E-Jurnal Matematika - repositori.unud.ac.id · 1 Mahasiswa Jurusan Matematika FMIPA Universitas...

OPEN JOURNAL SYSTEMS

Journal Help

USER

Username

Password

Remember me

Log In

NOTIFICATIONS

View

Subscribe / Unsubscribe

JOURNAL CONTENT

Search

All

E - J u r n a l

M a t e m a t i k a

E-Jurnal Matematika http://ojs.unud.ac.id/index.php/mtk

1 of 2 8/4/2014 12:13 PM

Search

Browse

By Issue

By Author

By Title

Other Journals

FONT SIZE

INFORMATION

For Readers

For Authors

For Librarians

HOME ABOUT LOG IN REGISTER SEARCH CURRENT ARCHIVES

Home > E-Jurnal Matematika

E-Jurnal Matematika

E-Jurnal Matematika merupakan salah satu jurnal elektronik yang ada di Universitas Udayana, sebagai media komunikasi antar

peminat di bidang ilmu matematika dan terapannya, seperti statistika, matematika finansial, pengajaran matematika dan terapan

matematika dibidang ilmu lainnya. Jurnal ini lahir sebagai salah satu bentuk nyata peran serta jurusan Matematika FMIPA UNUD

guna mendukung percepatan tercapainya target mutu UNUD, selain itu jurnal ini terbit didorong oleh surat edaran Dirjen DIKTI

tentang syarat publikasi karya ilmiah bagi program Sarjana di Jurnal Ilmiah. E-jurnal Matematika juga menerima hasil-hasil

penelitian yang tidak secara langsung berkaitan dengan tugas akhir mahasiswa meliputi penelitian atau artikel yang merupakan

kajian keilmuan.

Editorial Team

Ketua : Desak Putu Eka Nilakusumawati, S.Si., M.Si

Sekretaris : I Made Eka Dwipayana S.Si. M.Si.

Penyunting :

Tjokorda Bagus Oka Ph.D.1.

Komang Dharmawan Ph.D.2.

Drs. GK Gandhiadi MT.3.

Ir. I Komang Gde Sukarsa M.Si.4.

Ir. I Putu Eka Nila Kencana MT5.

ISSN: 2303-1751

E-Jurnal Matematika http://ojs.unud.ac.id/index.php/mtk

2 of 2 8/4/2014 12:13 PM

OPEN JOURNAL SYSTEMS

Journal Help

USER

Username

Password

Remember me

Log In

NOTIFICATIONS

View

Subscribe / Unsubscribe

JOURNAL CONTENT

Search

All

Search

Browse

By Issue

By Author

By Title

Other Journals

FONT SIZE

E - J u r n a l M a t e m a t i k a

Vol 2, No 4 (2013) http://ojs.unud.ac.id/index.php/mtk/issue/view/1048

1 of 3 7/19/2014 2:26 PM

INFORMATION

For Readers

For Authors

For Librarians

HOME ABOUT LOG IN REGISTER SEARCH CURRENT ARCHIVES

Home > Archives > Vol 2, No 4 (2013)

Vol 2, No 4 (2013)

Table of Contents

ArticlesPERBANDINGAN REGRESI KOMPONEN UTAMA DAN ROBPCA DALAM MENGATASI

MULTIKOLINEARITAS DAN PENCILAN PADA REGRESI LINEAR BERGANDA

PDF

NI WAYAN YULIANI, I KOMANG GDE SUKARSA, I GUSTI AYU MADE SRINADI 1-5

PENERAPAN METODE LEAST MEDIAN SQUARE-MINIMUM COVARIANCE DETERMINANT

(LMS-MCD) DALAM REGRESI KOMPONEN UTAMA

PDF

I PUTU EKA IRAWAN, I KOMANG GDE SUKARSA, NI MADE ASIH 6-10

PENERAPAN REGRESI ZERO-INFLATED NEGATIVE BINOMIAL (ZINB) UNTUK PENDUGAAN

KEMATIAN ANAK BALITA

PDF

NI MADE SEKARMINI, I KOMANG GDE SUKARSA, I GUSTI AYU MADE SRINADI 11-16

KOMPARASI ANALISIS GEROMBOL (CLUSTER) DAN BIPLOT DALAM PENGELOMPOKAN PDF

I MADE ANOM ARIAWAN, I PUTU EKA NILA KENCANA, NI LUH PUTU SUCIPTAWATI 17-22

KARAKTERISTIK SEKTOR PERTANIAN DI PROVINSI BALI MENURUT SUBSEKTOR PENYUSUN PDF

PUTU OKA SURYA ARSANA, MADE SUSILAWATI, KETUT JAYANEGARA 23-28

HUBUNGAN PENGARUH PENOLONG KELAHIRAN TERHADAP STATUS KELAHIRAN BAYI

DENGAN KONTROL VARIABEL CONFOUNDING DI KABUPATEN BULELENG (STUDI KASUS:

PUSKESMAS SUKASADA II)

PDF


2 of 3 7/19/2014 2:26 PM

KADEK NOVIA DWIJAYANTHI, I GUSTI AYU MADE SRINADI, NI LUH PUTU SUCIPTAWATI 29-32

VARIABEL LATEN SEBAGAI MODERATOR DAN MEDIATOR DALAM HUBUNGAN KAUSAL PDF

I KOMANG GEDE ANTARA, I PUTU EKA NILA KENCANA, KETUT JAYANEGARA 33-39

PERUMUSAN PREMI BULANAN ASURANSI KESEHATAN INDIVIDU PERAWATAN RUMAH SAKIT

(ANUITAS HIDUP PEMBAYARAN BULANAN)

PDF

AGUSTINA PAULA THERESIA PUTRI LAHALLO, I NYOMAN WIDANA, DESAK PUTU EKA

NILAKUSMAWATI

40-45

PENGKLASIFIKASIAN DEBITUR DENGAN MENGGUNAKAN ALGORITMA GRAHAM SCAN

DALAM PENGAPLIKASIAN CONVEX HULL

PDF

AGUS EKA ARIESTA, G.K. GANDHIADI, NI KETUT TARI TASTRAWATI, I PUTU EKA NILA

KENCANA

46-52

ISSN: 2303-1751


3 of 3 7/19/2014 2:26 PM

E-Jurnal Matematika Vol. 2, No.4, Nopember 2013, 46-52 ISSN: 2303-1751

1 Mahasiswa Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana

2,3,4 Staf Pengajar Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana 46

PENGKLASIFIKASIAN DEBITUR DENGAN MENGGUNAKAN

ALGORITMA GRAHAM SCAN DALAM PENGAPLIKASIAN

CONVEX HULL

AGUS EKA ARIESTA1, G.K. GANDHIADI

2, NI KETUT TARI TASTRAWATI

3,

I PUTU EKA NILA KENCANA4

1,2,3,4Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana, Bukit Jimbaran-Bali

e-mail: [email protected],

[email protected],

[email protected],

[email protected]

Abstract

Computational geometry is the mathematical science of computation by

using the algorithm analysis to solve the problems of geometry. The problems of

computational include polygon triangulations, convex hulls, Voronoi diagrams,

and motion planning. Convex hull is the set of points that form a convex polygon

that covers the entire set of points. The algorithms for determining the convex

hull, among others, Graham Scan, Jarvis March, and Divide and Conquer. In the

two-dimensional case, Graham Scan algorithm is highly efficient in the use of

time complexity. This article discusses the quest convex hull of the data bank

debtors, some of the data used to look at the classification accuracy of the convex

hull formed. The coordinates of all the data found by using principal component

analysis.After the data are analyzed, we get the accuracy of classification by 74%.

Keywords: Computational geometry, convex hull, graham scan, principal

component analysis

1. Pendahuluan

Pada decade terakhir suatu disiplin ilmu yang dikenal dengan geometri

komputasi telah muncul. Geometri komputasi merupakan suatu ilmu pada bidang

matematika komputasi yang berhubungan dengan rancangan dan analisis

algoritma untuk menyelesaikan masalah–masalah geometri [1]. Bidang yang

mendasari geometri komputasi adalah matematika diskret dan algoritma

geometrik.

Permasalahan geometri komputasi mencakup beberapa hal, yakni

trigonometri poligon (polygon triangulations), convex hulls, Voronoi diagrams,

geometry searching, dan motion planning. Salah satu permasalahan yang

berkaitan dengan penentuan bentuk geometri komputasi dapat diselesaikan

dengan menggunakan algoritma pencarian convex hull. Tujuan utama dari

pencarian convex hull adalah menggambarkan perbedaan antarkelompok pada

variabel-variabel kontinu [3]. Adapun algoritma untuk menentukan convex hull

dari himpunan titik berhingga antara lain Brute Force, Graham Scan, Jarvis

March,dan Divide and Conquer. Tiap algoritma memiliki kelebihan dan

mailto:[email protected]






e-Jurnal Matematika Vol. 2, No. 4, Nopember 2013, 46-52

47

kekurangan masing-masing, namun dalam kasus berdimensi dua,algoritma

Graham Scan merupakan algortima yang cukup efisien dalam kompleksitas waktu

yang digunakan [2].

Dalam tulisan ini akan dibahas pencarian convex hull dari data debitur bank

dengan menggunakan algoritma Graham Scan. Debitur ini dikelompokkan

berdasarkan kemampuannya dalam melunasi kredit yakni kelompok lancar, diberi

perhatian khusus, kurang lancar, diragukan, dan macet. Dari data yang tersedia,

beberapa data akan digunakan untuk melihat seberapa besar ketepatan convex hull

dalam mengklasifikasikan debitur berdasarkan kemampuan dalam melunasi

kreditnya.

2. Metode Penelitian

Data yang digunakan dalam penelitian ini adalah data sekunder berupa data

besarnya pinjaman debitur, jangka waktu pinjaman, penghasilan per bulan debitur,

pendidikan terakhir debitur, dan kemampuan debitur dalam melunasi kreditnya yang

berjumlah 200 data.

Adapun teknik analisis data pada penelitian ini dilakukan dengan langkah-

langkah berikut:

1. Melakukan transformasi data

Transformasi dilakukan pada peubah bebas yang berskala ordinal, dengan

tujuan untuk mengubah data yang berskala ordinal tersebut menjadi berskala

interval dengan Method of Successive Interval (MSI). Pada penelitianini,

transformasi data dilakukan hanya pada variable pendidikan terakhir. Adapun

langkah-langkahnya sebagai berikut:

a. Dihitung frekuensi untuk setiap kategori.

b. Berdasarkan frekuensi setiap kategori dihitung proporsinya.

c. Dari proporsi yang diperoleh, dihitung proporsi kumulatif untuk setiap

kategori.

d. Ditentukan nilai batas Z untuk setiap kategori.

e. Dihitung scale value untuk setiap kategori melalui persamaan:

𝑠𝑐𝑎𝑙𝑒𝑣𝑎𝑙𝑢𝑒 =

𝑑𝑒𝑛𝑠𝑖𝑡𝑦 𝑎𝑡 𝑙𝑜𝑤𝑒𝑟 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡 − 𝑑𝑒𝑛𝑠𝑖𝑡𝑦 𝑎𝑡 𝑢𝑝𝑝𝑒𝑟 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡

𝑎𝑟𝑒𝑎 𝑢𝑛𝑑𝑒𝑟 𝑢𝑝𝑝𝑒𝑟 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡 − 𝑎𝑟𝑒𝑎 𝑢𝑛𝑑𝑒𝑟 𝑙𝑜𝑤𝑒𝑟 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡

f. Dihitung score untuk setiap kategori melalui persamaan:

𝑠𝑐𝑜𝑟𝑒 = 𝑠𝑐𝑎𝑙𝑒𝑣𝑎𝑙𝑢𝑒 + 𝑠𝑐𝑎𝑙𝑒𝑣𝑎𝑙𝑢 𝑒𝑚𝑖𝑛 + 1

2. Mencari titik koordinat (𝑥, 𝑦) masing-masing data dengan menggunakan

analisis komponen utama dengan mereduksikan variabel 𝑋1, 𝑋2, 𝑋3, 𝑋5.

Adapun langkah-langkahnya sebagai berikut:

a. Menentukan matrik sragam Σ yaitu matriks 𝑋′𝑋.

b. Mencari nilai eigen 𝜆 dari matriks ragam Σ .

c. Mencari dua vector eigen yang bersesuaian dengan dua nilai eigen

terbesar.

A.E.Ariesta, G.K.Gandhiadi, N.K.Tari Tastrawati, I P.E.Nila Kencana Pengklasifikasian Debitur

Menggunakan Algoritma Graham

Scan dalam Pengaplikasian Convex Hull

48

d. Menentukan score komponen vector cirri pada langkah c. Score

komponen pertama sebagai absis (x) dan score komponen kedua

sebagai ordinat (y).

3. Data tersebut akan dikelompokkan menjadi dua kelompok dengan

menggunakan teknik pengelompokan stratified random sampling.

Kelompok data pertama sebanyak 150 digunakan untuk membangun

convex hull (data analisis) dan kelompok data kedua sebanyak 50

berikutnya (data validasi) digunakan untuk memvalidasi ketepatan

klasifikasi.

4. Dua kelompok yang telah terbentuk pada langkah 3 akan dikelompokkan

lagi masing-masing menjadi lima subkelompok yang baru berdasarkan

kemampuan debitur dalam melunasi kreditnya, yakni kelompok lancar,

diberi perhatian khusus, kurang lancar, diragukan, dan macet.

5. Setiap subkelompok akan dibentuk pemetaan berdimensi dua dengan

menggunakan titik koordinat (𝑥, 𝑦) yang diperoleh dari langkah 2.

6. Pembentukan convex hull.

Adapun algoritma pembentukan convex hull dengan algoritma

Graham Scan dijelaskan sebagai berikut:

a) Setiap data pada masing-masing kelompok diurutkan berdasar

kanordinat 𝑦 terkecil. Jika terdapat lebih dari satu ordinat 𝑦 terkecil

maka ordinat 𝑦 terkecil dengan absis 𝑥 terkecil dipilih menjadi titik

awal pengurutan (𝑝0).

b) Pada masing-masing kelompok dicari besar sudut berlawanan arah

jarum jam yang terbentuk dari titik awal pengurutan(𝑝0) dan sumbu

mendatar yang melalui titik awal pengurutan terhadap titik-titik

lainnya.

c) Data diurutkan berdasarkan sudut yang diperoleh pada masing-masing

kelompok dari terkecil sampai terbesar (ascending).

d) Pada masing-masing kelompok dengan data yang telah terurut

dilakukan proses scan. Dipilih tiga buah titik terkecil (terurut) untuk

diuji nilai hasil kali silangnya. Jika hasil kali silang tersebut bernilai

positif maka proses scan dilanjutkan ketitik berikutnya, sedangkan jika

nilai hasil kali silang tiga titik bernilai negative atau nol maka titik

terkecil kedua dari tiga titik yang dipilih dihapus. Proses scan

dilakukan sampai ketitik terakhir padamasing-masing kelompok.

Sehingga diperoleh titik-titik luar yang merupakan titik pembentuk

convex hull pada masing-masing kelompok.

7. Menentukan kelompok masing-masing individu data validasi

berdasarkan convex hull yang terbentuk. Jika terdapat data yang berada

pada wilayah overlapping (tumpang tindih) dan di luar convex hull yang

terbentuk, maka data-data tersebut akan diklasifikasikan kembali

berdasarkan criteria berikut:


49

a) Pengklasifikasian data yang berada pada wilayah overlapping akan

ditentukan dengan mencari jarak Euclid terpendek antara data

terhadap centroid-centroid (titik tengah) wilayah yang bersangkutan.

b) Pengklasifikasian data yang berada di luar convex hull yang terbentuk

akan ditentukan denganjarak Euclid terpendek antara data terhadap

centroid kelima convex hull yang terbentuk

8. Mengukur ketepatan pengklasifikasian dengan menggunakan data

validasi.

9. Lakukan pengulangan langkah ke-3 sampai ke-9 sebanyak sembilan kali,

untuk mencari pengelompokan mana yang mempunyai ketepatan

klasifikasi terbesar.

3. Hasil dan Pembahasan

Langkah awal yang dilakukan adalah transformasi variabel yang berskala

ordinal menjadi skala interval dengan menggunakan Method of Successive

Interval (MSI). Variabel yang ditransformasi adalah variable pendidikan terakhir.

Setelah diubah menjadi skala interval, langkah selanjutnya adalah mencari titik

koordinat(𝑥, 𝑦) yang ditentukan oleh dua score component terbesar pada Analisis

Komponen Utama, score komponen terbesar pertama sebagai absis(𝑥) dan score

komponen kedua sebagai ordinat (𝑦).

Setelah didapatkan titik koordinat (𝑥, 𝑦), selanjutnya 200 data tersebut

dibagi menjadi dua yakni 150 sebagai pembentuk convex hull dan 50 sebagai data

validasi. Pembagian kelompok ini menggunakan teknik stratified random

sampling. Data yang berjumlah 200 akan dibagi menjadi lima kelompok yaitu, 90

data kelompok lancar, 46 data kelompok diberiperhatian khusus, 51 data

kelompok kurang lancar, 4 data kelompok diragukan, dan 9 data kelompok macet.

Selanjutnya pada masing-masing kelompok dilakukan pengacakan secara random,

lalu dipilih data yang akan dijadikan data analisis sampel dan data validasi

sampel.

Selanjutnya dibentuk pemetaan berdimensi dua dari data analisis yang telah

diolah. Kemudian membentuk convex hull masing-masing kelompok dengan

algoritma Graham Scan. Setelah convex hull terbentuk, data validasi dimasukkan

kedalam convex hull untuk menentukan ketepatan klasifikasi data tersebut.




50

Keterangan :

= data validasi

= wilayah yang membentuk kelompok lancar

= wilayah yang membentuk kelompok diberi perhatian

khusus

= wilayah yang membentuk kelompok kurang lancar

= wilayah yang membentuk kelompok diragukan

= wilayah yang membentuk kelompok macet

Perhatikan Gambar 1, terdapat beberapa data yang berada pada wilayah

overlapping (tumpang tindih) dan diluar convex hull yang terbentuk. Data yang

berada pada wilayah yang overlapping maupun diluar convex hull akan

diklasifikasikan kembali. Adapun pengklasifikasian untuk data-data tersebut

ditentukan berdasarkan kriteria berikut:

1. Pengklasifikasian data yang berada pada wilayah overlapping akan ditentukan

dengan mencari jarak Euclid terpendek antara data terhadap centroid-centroid

(titik tengah) wilayah yang bersangkutan.

2. Pengklasifikasian data yang berada di luar convex hull yang terbentuk akan

ditentukan dengan mencari jarak Euclid terpendek antara data terhadap

centroid dari kelima convex hull yang terbentuk.

Jarak Euclid dari data terhadap titik centroid yang bersesuaian(𝐽𝐸𝐶) dapat dicari

dengan rumus 𝐽𝐸𝐶𝑗 = 𝑥𝑖 − 𝑥𝑐𝑗 2

+ 𝑦𝑖 − 𝑦𝑐𝑗 2dengan,

𝑥𝑖 = komponen 𝑥d ata ke-𝑖 𝑖 = 1, … ,150

𝑦𝑖 = komponen 𝑦 data ke-𝑖 𝑥𝑐𝑗 = jarak centroid komponen 𝑥 pada kelompok data ke-𝑗 𝑖 = 1, … ,5

𝑦𝑐𝑗 = jarak centroid komponen 𝑦 pada kelompok data ke-𝑗

5 6 7 8 9 10 11-5.5

-5

-4.5

-4

-3.5

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

X

Y

data validasi

CH kel. 1

CH kel. 2

CH kel. 3

CH kel. 4

CH kel. 5

Gambar 1. Plot Data Validasi kedalam Convex Hull


51

Hasil dari data yang telah diklasifikasikan kembali disajikan pada Gambar 2.

Berdasarkan Gambar 2 diperoleh hasil ketepatan pengklasifikasian sebesar

74%. Hasil ketepatan ini adalah hasil yang terbesar setelah melakukan proses

mencari ketepatan pengklasifikasian sebanyak sepuluh kali.Adapun ringkasan dari

sepuluh pengulangan disajikan pada Tabel 1.

Tabel 1. Hasil Sepuluh Pengulangan Proses Mencari Ketepatan Pengklasifikasian

Pengulangan

Data Berada pada

Ketepatan Klasifikasi Wilayah yang

overlapping

Di Luar Convex

Hull

1 40 5 60%

2 31 16 58%

3 36 1 74%

4 39 9 54%

5 37 4 68%

6 37 9 60%

7 38 9 58%

8 34 6 68%

9 35 9 66%

10 34 5 70%

Dari Tabel 1 dapat dilihat bahwa ketepatan klasifikasi dipengaruhi oleh

banyaknya data yang berada pada wilayah yang overlapping dan di luar convex

hull yang terbentuk.

5 6 7 8 9 10 11-5.5

-5

-4.5

-4

-3.5

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

X

Y

data kel. 1

data kel. 2

data kel. 3

data kel. 4

data kel. 5

CH kel. 1

CH kel. 2

CH kel. 3

CH kel. 4

CH kel. 5

Gambar 2. Hasil Akhir Pengklasifikasian kedalam Convex Hull




52

4. Kesimpulan

Berdasarkan hasil yang diperoleh, dapat diambil kesimpulan bahwa dari

setiap pengulangan diperoleh hasil ketepatan pengklasifikasian yang berbeda-

beda, dan ketepatan terbesar adalah 74%. Hasil ketepatan pengklasifikasian ini

dipengaruhi oleh banyaknya data validasi yang berada pada wilayah overlapping

dan data yang berada diluar convex hull yang terbentuk. Semakin banyak data

yang berada pada wilayah overlapping dan yang berada diluar convex hull, maka

ketepatan pengklasifikasiannya cenderung lebih kecil.

Daftar Pustaka

[1] Johnsonbaugh, Richard. 2002. Discrete Mathematics. Fourth edition.

Penerjemah: Didiek Djunaedi. Jakarta :PT Prehallindo.

[2] O’Rourke, Joseph. 1997. Computational Geometry in C. Second edition.

Cambrige University Press.

[3] Vidmar,G. M. P. 2004. Augmented Convex Hull Plots: Rationale,

Implementation in R and Beomedical Applications. Slovenia: Institute of

Biomedical Informatics Faculty of Medicine University of Ljubljana.

E-Jurnal Matematika - repositori.unud.ac.id · 1 Mahasiswa Jurusan Matematika FMIPA Universitas...

Documents

Transcript of E-Jurnal Matematika - repositori.unud.ac.id · 1 Mahasiswa Jurusan Matematika FMIPA Universitas...