수학과 고등학교 성취기준 성취수준 예시평가문항 고급 수학Ⅰ, 고급...

수학과 고등학교 성취기준․성취수준․예시평가문항

고급 수학Ⅰ, 고급 수학Ⅱ

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고급 수학Ⅰ 교육과정의 내용 체계

대영역 중영역

(가) 벡터와 행렬 벡터

행렬과 연립일차방정식

(나) 일차변환 일차변환과 행렬

고윳값과 행렬의 거듭제곱

(다) 그래프

그래프의 뜻

여러 가지 그래프

그래프의 활용

1. 성취기준․성취수준

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성취기준 성취수준

고수1111. 차원 벡터와 벡터공간

의 뜻을 안다.

상 차원 벡터공간 의 뜻을 설명할 수 있다.

중 좌표평면과 좌표공간이 각각 차원, 차원 벡터공간임을 설명할 수 있다.

하 차원, 차원 벡터의 뜻을 알고 이와 관련된 수학적 표현을 사용할 수 있다.

고수1112. 일차독립과 일차종속의 의미를 이해한다.

상 일차독립과 일차종속의 의미를 설명할 수 있다.

중 세 차원 벡터가 일차독립인지 일차종속인지 판단할 수 있다.

하 두 차원 벡터가 일차독립인지 일차종속인지 판단할 수 있다.

고수1113. 기저의 의미를 이해한다.

상 주어진 벡터가 차원 벡터공간의 기저인지 아닌지 판단하고, 그 이유를 논리적으로 설명할 수 있다.

중 주어진 벡터가 차원 벡터공간의 기저인지 아닌지 판단할 수 있다.

하 기저의 정의를 말할 수 있다.

교육과정 내용 성취기준 성취기준

① 차원 벡터와 벡터공간 의 뜻을 안다.

고수1111. 차원 벡터와 벡터공간

의 뜻을 안다.② 일차독립과 일차종속의 의미를 이해

한다.고수1112. 일차독립과 일차종속의 의미

를 이해한다.③ 기저의 의미를 이해한다. 고수1113. 기저의 의미를 이해한다.④ 두 차원 벡터의 외적의 뜻을 알고,

이를 활용할 수 있다. 고수1114. 두 차원 벡터의 외적의 뜻

을 알고, 이를 활용할 수 있다.

□ 대영역명 : (가) 벡터와 행렬□ 중영역명 : 벡터

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고수1114. 두 차원 벡터의 외적의 뜻을 알고, 이를 활용할 수 있다.

상 두 차원 벡터의 외적을 문제 해결에 활용할 수 있다.

중 두 차원 벡터의 외적의 기하학적 성질을 설명할 수 있다.

하 두 차원 벡터의 외적을 구할 수 있다.

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① 행렬의 뜻을 알고, 행렬의 연산을 할 수 있다.

고수1121. 행렬의 뜻을 알고, 행렬의 연산을 할 수 있다.

② 미지수가 개 이하인 연립일차방정식을 행렬을 이용하여 나타내고 가우스 소거법으로 풀 수 있다.

고수1122. 미지수가 개 이하인 연립일차방정식을 행렬을 이용하여 나타내고 가우스 소거법으로 풀 수 있다.

③ 행렬의 기본행연산을 이용하여 역행렬을 구할 수 있다.

고수1123. 행렬의 기본행연산을 이용하여 역행렬을 구할 수 있다.

④ 행렬식의 뜻을 알고 그 성질을 이해한다.

고수1124. 행렬식의 뜻을 알고 그 성질을 이해한다.

⑤ 크래머의 공식을 이용하여 연립일차방정식을 풀 수 있다.

고수1125. 크래머의 공식을 이용하여 연립일차방정식을 풀 수 있다.


고수1121. 행렬의 뜻을 알고, 행렬의 연산을 할 수 있다.

상 행렬의 연산의 기본 성질을 추론하고, 이를 이용하여 행렬의 연산을 할 수 있다.

중 행렬의 덧셈, 뺄셈, 실수배, 곱셈을 할 수 있다.

하 행렬의 뜻을 알고 이와 관련된 수학적 표현을 사용할 수 있다.

고수1122. 미지수가 개 이하인 연립일 차 방 정 식을 행렬을 이용하여 나타내고 가우스 소거법으로 풀 수 있다.

상 연립방정식의 연산과 행렬의 기본행연산의 관계를 설명할 수 있다.

중 가우스 소거법을 활용하여 미지수가 3개 이하인 연립일차방정식의 해를 구할 수 있다.

하 미지수가 개 이하인 연립일차방정식을 행렬을 이용하여 나타낼 수 있다.

□ 중영역명 : 행렬과 연립일차방정식

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고수1123. 행렬의 기본행연산을 이용하여 역행렬을 구할 수 있다.

상 행렬의 기본행연산을 이용하여 ×행렬의 역행렬을 구할 수 있다.

중 행렬의 기본행연산을 이용하여 ×행렬의 역행렬을 구할 수 있다.

하 행렬과 역행렬의 정의 및 기본행연산의 방법을 말할 수 있다.

고수1124. 행렬식의 뜻을 알고 그 성질을 이해한다.

상 행렬식의 성질을 추측하고, 이를 수학적 추론에 근거하여 정당화할 수 있다.

중 차 정사각행렬의 행렬식의 뜻을 알고, 이를 구할 수 있다.

하 차 정사각행렬의 행렬식의 뜻을 알고, 이를 구할 수 있다.

고수1125. 크래머의 공식을 이용하여 연 립 일 차 방정식을 풀 수 있다.

상 크래머의 공식을 이용하여 미지수가 개인 연립일차방정식의 해를 구할 수 있다.

중 크래머의 공식을 이용하여 미지수가 개인 연립일차방정식의 해를 구할 수 있다.

하 크래머의 공식을 말할 수 있다.

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고수1211. 일차변환의 뜻을 알고, 일차변환과 행렬 사이의 관계를 이해한다.

상 모든 일차변환이 행렬과 벡터의 곱으로 표현됨을 설명할 수 있다.

중 주어진 일차변환을 행렬을 사용하여 나타낼 수 있다.

하 일차변환의 정의를 말할 수 있다.

고수1212. 대칭변환, 닮음변환, 회전변환과 행렬 사이의 관계를 이해한다.

상 대칭변환, 닮음변환, 회전변환이 일차변환임을 설명할 수 있다.

중 대칭변환, 닮음변환, 회전변환을 행렬로 나타낼 수 있다.

하 대칭변환, 닮음변환, 회전변환의 뜻을 말할 수 있다.고수1213. 일

차변환의 합성의 뜻을 알고 나타내는 행렬을 구할 수 있다.

상 일차변환의 합성이 일차변환임을 설명할 수 있다.

중 일차변환의 합성을 나타내는 행렬을 구할 수 있다.

하 일차변환의 합성의 뜻을 말할 수 있다.


① 일차변환의 뜻을 알고, 일차변환과 행렬 사이의 관계를 이해한다.

고수1211. 일차변환의 뜻을 알고, 일차변환과 행렬 사이의 관계를 이해한다.

② 대칭변환, 닮음변환, 회전변환과 행렬 사이의 관계를 이해한다.

고수1212. 대칭변환, 닮음변환, 회전변환과 행렬 사이의 관계를 이해한다.

③ 일차변환의 합성의 뜻을 알고 나타내는 행렬을 구할 수 있다.

고수1213. 일차변환의 합성의 뜻을 알고 나타내는 행렬을 구할 수 있다.

④ 일차변환의 역변환의 뜻을 알고 나타내는 행렬을 구할 수 있다.

고수1214. 일차변환의 역변환의 뜻을 알고 나타내는 행렬을 구할 수 있다.

□ 대영역명 : (나) 일차변환□ 중영역명 : 일차변환과 행렬

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고수1214. 일차변환의 역변환의 뜻을 알고 나타내는 행렬을 구할 수 있다.

상 일차변환의 역변환이 일차변환임을 설명할 수 있다.

중 일차변환의 역변환을 나타내는 행렬을 구할 수 있다.

하 일차변환의 역변환의 뜻을 말할 수 있다.

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고 수1221/1222. 고윳값과 고유벡터의 뜻을 알고, 특성 다 항 식 을 이용하여 고윳값과 고유벡터를 구할 수 있다.

상 특성다항식을 이용하여 고윳값과 고유벡터를 구할 수 있다.

중 행렬의 특성다항식의 뜻을 알고, 이를 구할 수 있다.

하 고윳값과 고유벡터의 뜻을 말할 수 있다.

고수1223. 행렬의 대각화를 이해하고, 이를 활용할 수 있다.

상 행렬의 대각화를 문제 해결에 활용할 수 있다.

중 주어진 행렬을 대각화할 수 있다.

하 행렬의 대각화의 뜻을 말할 수 있다.


① 고윳값과 고유벡터의 뜻을 안다. 고수1221/1222. 고윳값과 고유벡터의 뜻을 알고, 특성다항식을 이용하여 고윳값과 고유벡터를 구할 수 있다.② 특성다항식을 이용하여 고윳값과 고

유벡터를 구할 수 있다.

③ 행렬의 대각화를 이해하고, 이를 활용할 수 있다.

고수1223. 행렬의 대각화를 이해하고, 이를 활용할 수 있다.

④ 케일리-해밀턴의 공식을 알고 이를 이용하여 행렬의 거듭제곱을 구할 수 있다.

고수1224. 케일리-해밀턴의 공식을 알고 이를 이용하여 행렬의 거듭제곱을 구할 수 있다.

□ 중영역명 : 고윳값과 행렬의 거듭제곱

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고수1224. 케일리-해밀턴의 공식을 알고 이를 이용하여 행렬의 거듭제곱을 구할 수 있다.

상 케일리-해밀턴의 공식을 이용하여 행렬의 거듭제곱을 구할 수 있다.

중 차 정사각행렬을 이용하여 케일리-해밀턴의 공식이 성립함을 보일 수 있다.

하 케일리-해밀턴의 공식을 말할 수 있다.

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고 수1311/1312. 그래프의 뜻을 알고, 꼭짓점의 차수의 합과 변의 수 사이의 관계를 안다.

상 그래프의 꼭짓점의 차수의 합과 변의 수 사이의 관계를 추측하고, 이를 정당화할 수 있다.

중 그래프의 각 꼭짓점의 차수의 뜻을 알고 이를 구할 수 있다.

하 그래프의 뜻을 알고, 이와 관련된 수학적 표현을 사용할 수 있다.

고수1313. 그래프를 인접행렬로 나타내고 그 성질을 이해한다.

상 그래프의 인접행렬을 이용하여 그래프의 성질을 설명할 수 있다.

중 그래프를 인접행렬로 나타낼 수 있다.

하 그래프의 인접행렬의 뜻을 말할 수 있다.


① 그래프의 뜻을 안다. 고수1311/1312. 그래프의 뜻을 알고, 꼭짓점의 차수의 합과 변의 수 사이의 관계를 안다.② 꼭짓점의 차수의 합과 변의 수 사이

의 관계를 안다.③ 그래프를 인접행렬로 나타내고 그 성

질을 이해한다.고수1313. 그래프를 인접행렬로 나타내

고 그 성질을 이해한다.

□ 대영역명 : (다) 그래프□ 중영역명 : 그래프의 뜻

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고수1321. 수형도의 뜻을 알고 그 성질을 이해한다.

상 수형도의 성질을 추측하고 이를 정당화할 수 있다.

중 주어진 그래프가 수형도인지 아닌지 판단할 수 있다.

하 수형도의 뜻을 말할 수 있다.

고수1322. 생성 수 형 도 의 뜻을 알고, 최 소 생 성 수형도를 구할 수 있다.

상 주어진 알고리즘에 따라 최소생성수형도를 구할 수 있다.

중 연결된 그래프의 생성수형도를 찾을 수 있다.

하 생성수형도의 뜻을 말할 수 있다.

고수1323-1. 오 일 러 그 래프의 뜻을 안다.

상 여러 가지 그래프를 관찰하여 그래프가 오일러그래프일 필요충분조건을 말할 수 있다.

중 주어진 그래프가 오일러그래프인지 아닌지 판단할 수 있다.

하 오일러그래프의 뜻을 말할 수 있다.


① 수형도의 뜻을 알고 그 성질을 이해한다.

고수1321. 수형도의 뜻을 알고 그 성질을 이해한다.

② 생성수형도의 뜻을 알고, 최소생성수형도를 구할 수 있다.

고수1322. 생성수형도의 뜻을 알고, 최소생성수형도를 구할 수 있다.

③ 오일러그래프와 해밀턴그래프의 뜻을 안다.

고수1323-1. 오일러그래프의 뜻을 안다.

고수1323-2. 해밀턴그래프의 뜻을 안다.

④ 평면그래프의 뜻을 알고 그 성질을 이해한다.

고수1324. 평면그래프의 뜻을 알고 그 성질을 이해한다.

□ 중영역명 : 여러 가지 그래프

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고수1323-2. 해 밀 턴 그 래프의 뜻을 안다.

상 오일러그래프와 해밀턴그래프 사이에 서로 관계가 없음을 반례를 들어 설명할 수 있다.

중 주어진 그래프가 해밀턴그래프인지 아닌지 판단할 수 있다.

하 해밀턴그래프의 뜻을 말할 수 있다.

고수1324. 평면 그 래 프 의 뜻을 알고 그 성질을 이해한다.

상 여러 가지 평면그래프를 관찰하여 평면그래프의 성질을 추측하고 정당화할 수 있다.

중 주어진 그래프가 평면그래프인지 아닌지 판단할 수 있다.

하 평면그래프의 뜻을 말할 수 있다.

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고수1331. 채색수의 뜻을 알고, 여러 가지 그래프의 채색수를 구할 수 있다.

상 여러 가지 단순그래프의 채색수를 구할 수 있다.

중 회로의 채색수를 구할 수 있다.

하 채색수의 뜻을 알고 이와 관련된 수학적 표현을 사용할 수 있다.

고수1332. 채색수를 활용하여 여러 가지 문제를 해결할 수 있다.

상 채색수를 활용하여 여러 가지 문제를 해결할 수 있다.

중 실생활 문제 상황을 반영하는 그래프의 채색수를 구할 수 있다.

하 채색수를 이용하여 실생활 문제를 해결할 수 있음을 이해한다.

고수1333. 최단경로의 뜻을 알고, 이를 찾을 수 있다.

상 두 점 사이의 최단경로를 찾을 수 있다.

중 두 점 사이의 서로 다른 두 경로 중 어느 것이 더 짧은지 판단할 수 있다.

하 연결된 그래프의 최단경로의 뜻을 말할 수 있다.


① 채색수의 뜻을 알고, 여러 가지 그래프의 채색수를 구할 수 있다.

고수1331. 채색수의 뜻을 알고, 여러 가지 그래프의 채색수를 구할 수 있다.

② 채색수를 활용하여 여러 가지 문제를 해결할 수 있다.

고수1332. 채색수를 활용하여 여러 가지 문제를 해결할 수 있다.

③ 최단경로의 뜻을 알고, 이를 찾을 수 있다.

고수1333. 최단경로의 뜻을 알고, 이를 찾을 수 있다.

□ 중영역명 : 그래프의 활용

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문항번호 대영역성취기준

(번호)문항유형 평가내용

고수Ⅰ-1 (가) 벡터와 행렬 고수1114 서술형

평면의 방정식을 구할 때 두

벡터의 외적이 주어진 벡터와

모두 수직임을 활용하기

고수Ⅰ-2 (나) 일차변환 고수1213 서술형

간단한 회전변환과 대칭변환을

제시하여 그 합성변환을

나타내는 행렬을 구하기

고수Ⅰ-3 (나) 일차변환고수1221/

1222단답형

주어진 문제 상황에서

고윳값과 고유벡터를 구분하기


1222서술형

주어진 차 정사각행렬에

대하여 특성다항식을 구하기


1222서술형

특성다항식을 활용하여

고윳값과 고유벡터 구하기

고수Ⅰ-4 (다) 그래프 고수1321 선다형여러 가지 그래프의 정의 중

수형도의 뜻을 구별하기

고수Ⅰ-4 (다) 그래프 고수1321 선다형

회로가 있는 그래프, 연결이

끊어진 그래프, 수형도 등을

답지에 제시하여 이 중에서

수형도를 구별하기

고수Ⅰ-5 (다) 그래프 고수1332 수행평가채색수를 활용하여 여행 일정

계획하기

2. 예시평가문항가. 문항개발내역

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나. 문항

【고수Ⅰ-1】

과목 고급 수학Ⅰ 대영역 벡터와 행렬 중영역 벡터

성취기준고수1114. 두 차원 벡터의 외적의 뜻을 알고, 이를 활용할 수 있

다.

성취

수준

상 두 차원 벡터의 외적을 문제 해결에 활용할 수 있다.중 두 차원 벡터의 외적의 기하학적 성질을 설명할 수 있다.하 두 차원 벡터의 외적을 구할 수 있다.

문항번호 성취수준 문항형태 정답

1 상 서술형 예시답안 참조

【예시문항】

1. 벡터의 외적을 이용하여 세 점 A B C 을 지나는 평면의 방정식을 구하고, 그 과정을 서술하시오.

【예시답안】

1. AB×AC 이고 평면 위의 두 벡터 AB AC는 외적 AB×AC와 수직이므로 외적이 구하는 평면의 법선벡터가 된다. 따라서 구하는 평면의 방정식은 , 즉 이다.

【채점기준】

채점 기준표 (분석적 채점)

문항 평가 요소 배점

1평면 위의 두 벡터의 외적을 구한 경우 2외적이 구하는 평면의 법선벡터가 됨을 설명한 경우 2평면의 방정식을 구한 경우 1

【채점상의 유의점】

• AB×AC가 아닌 AC×BC, AB×BC 또는 순서를 달리 한 외적을 구하여도 2점을 부여한다.

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• 평면 위의 두 벡터의 외적을 구할 때 실수를 하여 잘못 구한 벡터를 가지고 평면의 방정식을 구한 경우 다른 과정에 오류가 없으면 3점을 줄 수 있다.

【문항해설】

• 상 수준에서는 벡터의 외적을 문제 해결에 활용하는 것을 요구한다. 따라서 평면의 방정식을 구할 때 두 벡터의 외적이 주어진 벡터와 모두 수직임을 활용할 수 있는 문항을 출제하였다. 따라서 이 문항에 5점을 받은 경우 벡터의 외적을 활용하여 문제를 해결할 수 있다고 판단할 수 있으므로 성취수준 ‘상’으로 판정할 수 있다.

• 중 수준에서는 두 차원 벡터의 외적의 기하학적 성질을 설명하는 것을 요구하므로 이 문항에서 두 벡터의 외적을 구하고 그것이 구하는 평면의 법선벡터임을 설명하여 4점을 받은 경우 성취수준 ‘중’으로 판정할 수 있다.

• 하 수준에서는 두 차원 벡터의 외적을 구하는 것을 요구하므로 이 문항에서 두 벡터의 외적만을 구하여 2점을 받은 경우 성취수준 ‘하’로 판정할 수 있다.

【학생의 반응 사례】

[그림 1] 문항 1에 대한 학생의 반응


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【현장 적용 결과】

문항 1

응시자수 18명 평균정답률 73.3% 학교수준 상

배점 분류 응답내용 반응비율(%)

5 51평면 위의 두 벡터의 외적을 구하여 그것이 구하는 평면의 법선벡터임을 설명하고 이를 이용하여 평면의 방정식을 구한 경우

44.4

4 41평면 위의 두 벡터의 외적을 구하여 그것이 구하는 평면의 법선벡터임을 설명했지만 평면의 방정식을 구하지 못한 경우

0.0

331

평면 위의 두 벡터의 외적을 구했지만 이것이 구하는 평면의 법선벡터임을 설명하지 않고 바로 평면의 방정식을 구한 경우

33.3

32평면 위의 두 벡터의 외적을 구하고 이를 이용하여 평면의 방정식을 구했으나 법선벡터를 방향벡터라고 설명한 경우

11.1

221 평면 위의 두 벡터의 외적을 구하고 더 이상 진행하

지 못한 경우 0.0

22 평면 위의 두 벡터의 외적이 구하는 평면의 법선벡터임을 설명하였으나 외적을 구하지 못한 경우 0.0

111 외적을 이용하지 않고 평면의 법선벡터를 찾았으나

평면의 방정식을 완성하지 못한 경우 5.6

12 평면 위의 두 벡터를 찾아 외적을 구하려고 시도하였으나 계산이 틀린 경우 5.6

0 08 기타 오답 0.099 무응답 0.0

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【고수Ⅰ-2】

과목 고급 수학Ⅰ 대영역 일차변환 중영역 일차변환과 행렬성취기준

고수1213. 일차변환의 합성의 뜻을 알고 나타내는 행렬을 구할 수 있다.

성취

수준

상 일차변환의 합성이 일차변환임을 설명할 수 있다.중 일차변환의 합성을 나타내는 행렬을 구할 수 있다.하 일차변환의 합성의 뜻을 말할 수 있다.


1 중 서술형 예시답안 참조

【예시문항】

1. 일차변환 는 원점을 중심으로 만큼 회전하는 회전변환이고, 일차변환 는 직

선 에 대한 대칭변환일 때 합성변환 ∘를 나타내는 행렬을 구하고, 그 과정을 서술하시오.

【예시답안】

1. 일차변환 를 나타내는 행렬은

이고, 일차변환 를 나타내는 행렬

은

이므로 합성변환 ∘를 나타내는 행렬은 두 행렬의 곱

이다.

【채점기준】



1일차변환 를 나타내는 행렬을 제시한 경우 1일차변환 를 나타내는 행렬을 제시한 경우 1두 행렬의 곱으로 합성변환을 나타내는 행렬을 구한 경우 2

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• 일차변환 를 나타내는 행렬이나 일차변환 를 나타내는 행렬을 잘못 제시하였어도 두 행렬을 곱하여 합성변환을 나타내는 행렬을 구하는 과정에 오류가 없을 경우 채점 기준표의 마지막 항목에서는 감점하지 않고 2점을 부여한다.

• 각 일차변환을 나타내는 행렬은 맞게 제시하였으나 곱하는 과정에서 순서를 바꾸어 곱한 경우에는 각 행렬의 곱으로 합성변환을 나타내는 행렬을 구한다는 것을 알고 있다는 사실을 인정하여 1점을 부여한다.

• 각 일차변환을 나타내는 행렬을 구하여 곱하지 않고 합성변환을 먼저 구한 후 행렬로 나타낸 경우에도 논리적 오류가 없으면 감점하지 않고 4점을 부여한다.

【문항해설】

• 중 수준에서는 일차변환의 합성을 나타내는 행렬을 구하는 것을 요구하므로 일차변환을 나타내는 행렬을 쉽게 찾을 수 있는 간단한 회전변환과 대칭변환을 제시하여 그 합성변환을 나타내는 행렬을 구하도록 하는 문항을 출제하였다. 따라서 이 문항에서 4점을 받은 경우 일차변환의 합성을 나타내는 행렬을 구할 수 있다고 판단할 수 있으므로 성취수준 ‘중’으로 판정할 수 있다.


[그림 7]문항 1에 대한 학생의 반응


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문항 1



441 일차변환 와 를 나타내는 행렬을 각각 구하고 이를

곱하여 합성변환을 나타내는 행렬을 구한 경우 77.8

42 합성변환을 먼저 구하고 이를 나타내는 행렬을 구한 경우 0.0

331 일차변환 와 중 하나를 잘못 구하고 이를 곱하여

합성변환을 나타내는 행렬을 구한 경우 22.2

32 일차변환 와 를 나타내는 행렬을 각각 구하고 이를 곱하는 과정에서 순서를 바꾸어 곱한 경우 0.0

221 일차변환 와 를 나타내는 행렬을 각각 구하고 더

이상 진행하지 못한 경우 0.0

22 일차변환 와 를 나타내는 행렬을 모두 잘못 구하고 이를 곱하여 합성변환을 나타내는 행렬을 구한 경우 0.0

1 11 논리적 설명이 미흡한 경우 0.0

008 기타 오답 0.099 무응답 0.0

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【고수Ⅰ-3】

과목 고급 수학Ⅰ 대영역 일차변환 중영역고윳값과 행렬의

거듭제곱성취기준

고수1221/1222. 고윳값과 고유벡터의 뜻을 알고, 특성다항식을 이용하여 고윳값과 고유벡터를 구할 수 있다.

성취

수준

상 특성다항식을 이용하여 고윳값과 고유벡터를 구할 수 있다.중 행렬의 특성다항식의 뜻을 알고, 이를 구할 수 있다.하 고윳값과 고유벡터의 뜻을 말할 수 있다.


1 하 단답형 고윳값, 고유벡터2 중 서술형 예시답안 참조3 상 서술형 예시답안 참조

【예시문항】

행렬

와

에 대하여

를 만족하는 실수 가 존재할 때, 물음에 답하시오. (단, 는 영행렬이 아니다.)1. 를 만족하는 영행렬이 아닌 가 존재할 때, 를 행렬 의 이

라 하고, 를 에 대한 라 한다. 안에 알맞은 말을 차례로 쓰시오.

2. 행렬 의 특성다항식을 구하고, 그 과정을 서술하시오. 3. 와 를 구하고, 그 과정을 서술하시오.

【예시답안】

1. 고윳값, 고유벡터2. 행렬 의 특성다항식은 det이다. (단, 는 차 단위행렬)따라서 det이다.3. 특성다항식 의 근은 이며 이들이 고윳값이다.따라서 각각의 고윳값에 대한 고유벡터는 다음과 같다.ⅰ) 일 때,

이므로 이다. 따라서 고유벡터는

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이다.ⅱ) 일 때,

이므로 이다. 따라서 고유벡터는 이다.ⅲ) 일 때,

이므로 이다. 따라서 고유벡터는 이다.

【채점기준】



1 정답을 제시한 경우 32 행렬 의 특성다항식을 구한 경우 4

3

특성다항식을 이용하여 고윳값을 구한 경우 2 일 때, 고유벡터를 구한 경우 1 일 때, 고유벡터를 구한 경우 1 일 때, 고유벡터를 구한 경우 1


• 2번 문항에서 특성다항식이 det임을 명시했으나 계산 과정에서 오류가 있을 경우 2점을 줄 수 있다.

• 3번 문항에서 잘못 구한 고윳값으로 고유벡터를 구했을 경우 그 과정에 오류가 없으면 부분 점수를 줄 수 있다.

【문항해설】

• 하 수준에서는 고윳값과 고유벡터의 뜻을 아는 것을 요구하므로 주어진 문제 상황에서 고윳값과 고유벡터를 구분하도록 하는 문항을 출제하였다. 이 문항에서 3점을 받은 경우 성취수준 ‘하’로 판정할 수 있다.

• 중 수준에서는 행렬의 특성다항식의 뜻을 알고 이를 구하는 것을 요구하므로 주어진 차 정사각행렬에 대하여 특성다항식을 구하는 문항을 출제하였다. 이 문항에서 4점을 받은 경우 성취수준 ‘중’으로 판정할 수 있다.

• 상 수준에서는 특성다항식을 이용하여 고윳값과 고유벡터를 구하는 것을 요구하

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므로 2번 문항에서 구한 특성다항식을 활용하여 고윳값과 고유벡터를 구하도록 하는 문항을 출제하였다. 이 문항에서 5점을 받은 경우 성취수준 ‘상’으로 판정할 수 있다.

• 상 수준에서 요구하는 고윳값과 고유벡터를 구하는 문제를 3단계로 풀게 하여 상, 중, 하 수준의 성취수준을 모두 파악할 수 있도록 구성하였다.






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문항 1


문항 2



4 41 det를 이용하여 특성다항식을 맞게 구한 경우 86.7

3 31 det를 이용하여 특성다항식을 구하려고 시도하였으나 계산 과정에 사소한 실수가 있는 경우 0.0

2 21 det를 이용하여 특성다항식을 구하려고 시도하였으나 를 잘못 설정하여 계산한 경우 6.7

1 11 det가 특성다항식임을 언급하였으나 전혀 계산하지 못한 경우 0.0

008 기타 오답 0.099 무응답 6.7

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문항 3



5 51 특성다항식을 이용하여 고윳값을 구하고 세 고윳값에 대한 고유벡터를 모두 구한 경우 66.7

441 특성다항식을 이용하여 고윳값을 구하고 두 고윳값에

대한 고유벡터를 맞게 구한 경우 13.3

42 고윳값 중 일부를 틀리게 구하고 이를 이용하여 세 고윳값에 대한 고유벡터를 구한 경우 0.0

331 특성다항식을 이용하여 고윳값을 구하고 한 고윳값에

대한 고유벡터만 맞게 구한 경우 0.0

32 고윳값 중 일부를 틀리게 구하고 이를 이용하여 두 고윳값에 대한 고유벡터를 구한 경우 0.0

221 특성다항식을 이용하여 고윳값을 구하고 더 이상 답

하지 못한 경우 0.0

22 고윳값 중 일부를 틀리게 구하고 이를 이용하여 한 고윳값에 대한 고유벡터를 구한 경우 6.7

1 11 고윳값 중 일부를 틀리게 구하고 더 이상 답하지 못한 경우 0.0

008 기타 오답 0.099 무응답 13.3

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【고수Ⅰ-4】

과목 고급 수학Ⅰ 대영역 그래프 중영역 여러 가지 그래프성취기준 고수1321. 수형도의 뜻을 알고 그 성질을 이해한다.

성취

수준

상 수형도의 성질을 추측하고 이를 정당화할 수 있다.중 주어진 그래프가 수형도인지 아닌지 판단할 수 있다.

하 수형도의 뜻을 말할 수 있다.문항번호 성취수준 문항형태 정답

1 하 선다형 ②2 중 선다형 ③, ⑤

【예시문항】

1. 다음 중 수형도의 뜻으로 옳은 것은?① 점과 선으로 이루어진 그림② 회로를 갖지 않는 연결된 그래프③ 연결된 그래프의 모든 점을 오직 한번만 지나는 회로④ 연결된 그래프의 모든 변을 오직 한번만 지나는 회로⑤ 변이 꼭짓점에서만 만나게 평면 위에 다시 그릴 수 있는 그래프

2. 다음 그래프 중 수형도인 것을 모두 고르면? ① ② ③

④ ⑤

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【문항해설】

• 하 수준에서는 수형도의 뜻을 아는 것을 요구하므로 여러 가지 그래프의 정의 중 수형도의 뜻을 구별하도록 하는 문항을 출제하였다. 1번 문항에서 ①은 그래프의 뜻, ②는 수형도의 뜻, ③은 해밀턴 회로의 뜻, ④는 오일러 회로의 뜻, ⑤는 평면그래프의 뜻이다. 이 중에서 수형도의 뜻을 구분할 수 있다면 성취수준 ‘하’로 판정할 수 있다.

• 중 수준에서는 여러 가지 그래프 중에서 수형도를 구별하는 것을 요구하므로 회로가 있는 그래프, 연결이 끊어진 그래프, 수형도 등을 답지에 제시하여 이 중에서 수형도를 구별하도록 하는 문항을 출제하였다. 2번 문항에서 ①은 그래프가 연결되어 있지 않아 수형도가 아니고, ②와 ④는 회로가 존재하여 수형도가 아니다. ③과 ⑤는 수형도이다. 이 중에서 수형도인 것만을 있는 대로 고를 수 있다면 성취수준 ‘중’으로 판정할 수 있다.


문항 1


답지반응분포

답지 ① ② ③ ④ ⑤ 계응답률(%) 11.1 66.7 11.1 0.0 11.1 100.0

문항 2


답지반응분포

답지 ① ② ③ ④ ⑤ 계응답률(%) 44.4 11.1 94.4 16.7 94.4 261.0

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지역 소개

감라스턴(Gamla stan) 오래된 건물이 많은 구시가지, 스토르토리에트 광장

노르말름(Norrmalm)스톡홀름 시내, 쇼핑지구, 세르겔스 토리, 핀넨, 쿵스트레

고덴 등이 있다.

쿵스홀멘(Kungsholmen) 왕의섬, 시청사

【고수Ⅰ-5】

과목 고급 수학Ⅰ 대영역 그래프 중영역 그래프의 활용성취기준 고수1332. 채색수를 활용하여 여러 가지 문제를 해결할 수 있다.

성취

수준

상 채색수를 활용하여 여러 가지 문제를 해결할 수 있다.중 실생활 문제 상황을 반영하는 그래프의 채색수를 구할 수 있다. 하 채색수를 이용하여 실생활 문제를 해결할 수 있음을 이해한다.


1 상 수행평가 예시답안 참조

【예시문항】

1. 스톡홀름 여행계획세우기친구들과 함께 스톡홀름을 여행하고자 한다. 외스테르말름(Ostermalm)에 있는 호텔에서 묵으면서 관광을 하려고 하는데 서로 보고 싶은 곳이 다르다. 어떻게 하면 가장 적은 기간(일수) 안에 각자 보고 싶은 곳을 다 볼 수 있을까? 다음 사항을 고려하여 구해보자.

[고려 사항]

Ÿ 하루에 한 장소만 관광을 할 수 있다.

Ÿ 같은 장소를 보고 싶어 할 경우 함께 관광을 한다.

[1단계] 스톡홀름 소개하기: 교사가 스톡홀름에 대해 소개한다.

(스톡홀름 소개 자료)스웨덴의 수도. 시가는 많은 반도와 소도(小島)로 형성되어 있고, 넓은 수면(水面)과 운하가 있는 도시. 1912년 제14차 IOC(국제 올림픽 위원회) 총회가 개최되었으며, 1912년에는 제5회 국제 올림픽 대회, 1956년에는 제16회 국제 올림픽 대회가 오스트레일리아의 멜버른에서 열렸을 때 마술 종목만을 실시했던 도시이다

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지역 소개

유르고덴(Djurgarden)스칸센 민속박물관, 티볼리공원, 프린스 에우젠 미술관, 바

사호박물관

쇠데르말름(Sodermalm)패션 피플, 소포, 슬롯센, 쇠데르말름 광장, 시립박물관, 카

타리나 엘리베이터 등이 있다.

외스테르말름(Ostermalm)스톡홀름의 중심지로 고급식당, 고급상점, 골동품가게가

많다.

버사스턴(Vasastan)birkastaden, 고급 주거단지, Bonniers Konsthall, 스톡홀

름 경제학교, 스톡홀름 공립도서관

[2단계] 관광하고 싶은 곳 정하기① 5~6명을 한 조로 하여 각자 보고 싶은 곳을 2~3개 정한다.② 조원의 이름을 적고 보고 싶은 곳에 ○표 하여 다음 표를 완성한다.

학생 이름

장소

감라스턴

노르말름

쿵스홀멘

유르고덴

쇠데르말름

외스테르말름

버사스턴

선택이유

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[3단계] 여행 최소 일수 구하기앞에서 두 가지 고려 사항이 있었다. 첫째는 하루에 한 장소만 관람할 수 있다는 것이고, 둘째는 같은 장소를 보고 싶어 하는 친구들은 반드시 같은 날 함께 가야 한다는 것이다. 이때 여행에 필요한 최소 일수를 채색수를 이용하여 구하시오.

[4단계] 발표하기각 조에서 장소를 선택한 이유와 여행 최소 일수를 구한 방법을 발표한다.

【예시답안】

[3단계] 예시답안학생이름

장소성희 도연 미숙 철이 재섭 희진

감라스턴 ○ ○ ○ ○

노르말름 ○ ○

쿵스홀멘 ○ ○

유르고덴 ○

쇠데르말름 ○

외스테르말름

버사스턴 ○ ○ ○

도시명을 꼭짓점으로 하고, 한 사람이 보고 싶은 곳을 변으로 연결하면 위와 같은 그래프를 그릴 수 있고, 이 그래프의 꼭짓점은 최소 3가지 색으로 칠할 수 있다. 따라서 최소 3일이면 각자 보고 싶어 하는 곳을 모두 볼 수 있다.

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【채점기준】

[3단계 채점기준]채점 기준표 (분석적 채점)


1

도시명을 꼭짓점으로 설정한 경우 1한 사람이 보고 싶은 곳을 변으로 연결한 경우 2꼭짓점을 최소의 색으로 칠하고, 이를 이용하여 여행에 필요한 최소 일수를 제시한 경우 2


• 교사가 각 지역을 설명할 때 어느 도시에 편중해서 설명하지 않아야 학생들의 선택이 한곳으로 집중되지 않는다.

• 보고 싶은 장소를 정할 때 상의하거나 조작하지 않도록 주의한다.• 3단계에서 서로 다르게 색칠은 했으나 최소수가 아니면 2점 감점한다.• 성취수준과 관련된 3단계의 채점 기준만 제시하였다. 2단계에서는 성실성, 4단계

에서는 발표력과 논리력을 종합적으로 평가하여 점수를 부여할 수 있다.

【문항해설】

• 상 수준에서는 채색수를 이용하여 여러 가지 문제를 해결할 수 있는 것을 요구하므로 학생들이 흥미를 가질만한 여행 일정 계획하기에 채색수를 활용할 수 있는 문항을 출제하였다. 이때 도시의 특징을 설명하면 사회 등 다른 교과와의 융합도 가능하다. 또한 조별 활동을 통해 다양한 그래프와 채색수가 나오므로 비교도 가능하다.

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문항 1



5 51도시명을 꼭짓점으로 설정하고 한 사람이 가고자 하는 곳을 변으로 연결하여 그래프를 그리고 그 그래프의 채색수를 이용하여 최소 일수를 구한 경우

33.3

4

41도시명을 꼭짓점으로 설정하고 한 사람이 가고자 하는 곳을 변으로 연결하여 그래프를 그리고 그 그래프의 채색수를 이용하여 최소 일수를 구하였으나 채색수를 구한 과정에 대한 설명이 부족한 경우

33.3

42도시명을 꼭짓점으로 설정하고 한 사람이 가고자 하는 곳을 변으로 연결하여 그래프를 그리고 그 그래프의 채색수를 이용하여 최소 일수를 구하였으나 채색수를 구하는 과정에 약간의 오류가 있는 경우

0.0

331

도시명을 꼭짓점으로 설정하고 한 사람이 가고자 하는 곳을 변으로 연결하여 그래프를 그렸으나 채색수를 구하지 못한 경우

0.0

32그래프를 그리는 과정에서 약간의 오류가 있었으나 그 그래프의 채색수를 이용하여 최소 일수를 구한 경우

0.0

2 21도시명을 꼭짓점으로 설정하고 한 사람이 가고자 하는 곳을 변으로 연결하려고 시도하였으나 그 과정에 약간의 오류가 있는 경우

0.0

111 그래프의 채색수를 이용하지 않고 최소 일수를 구한

경우 33.3

12 도시명만 꼭짓점으로 설정하고 더 이상 진행하지 못한 경우 0.0

008 기타 오답 0.099 무응답 0.0

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3. 성취기준․성취수준 고급 수학Ⅰ

수준 설 명

A벡터와 행렬, 일차변환, 그래프와 관련된 수학적 표현을 이해하고 사용하며, 여러 개념들의 성질이나 원리에 대한 완전한 이해를 바탕으로, 관련된 문제 상황에 적절한 전략을 적용하여 해결하는 능력과 수행 과정이 매우 우수하다.

B벡터와 행렬, 일차변환, 그래프와 관련된 수학적 표현을 부분적으로 이해하고 사용하며, 여러 개념들의 성질이나 원리에 대한 충분한 이해를 바탕으로, 관련된 문제 상황에 적절한 전략을 적용하여 해결하는 능력과 수행 과정이 우수하다.

C벡터와 행렬, 일차변환, 그래프와 관련된 수학적 표현을 사용하며, 여러 개념들의 성질이나 원리에 대한 이해를 바탕으로, 관련된 문제 상황에 적절한 전략을 적용하여 해결하는 능력과 수행 과정이 보통이다.

D 벡터와 행렬, 일차변환, 그래프와 관련된 수학적 표현의 사용이 다소 미흡하며, 여러 개념들의 성질이나 원리에 대한 부분적인 이해를 바탕으로, 관련된 문제 상황에 적절한 전략을 적용하여 해결하는 능력과 수행 과정이 다소 미흡하다.

E벡터와 행렬, 일차변환, 그래프와 관련된 수학적 표현의 사용 및 여러 개념들의 성질이나 원리에 대한 이해가 미흡하고, 관련된 문제 상황에 적절한 전략을 적용하여 해결하는 능력과 수행 과정이 미흡하다.

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고급 수학Ⅱ 교육과정의 내용 체계

대영역 중영역

(가) 복소수와 극좌표 복소수의 극형식

극좌표와 극방정식

(나) 미적분의 활용

미분의 활용

미분방정식

적분의 활용

(다) 편미분

이변수함수의 뜻

극한과 연속

편미분

편미분의 활용

Ⅱ. 고급 수학 Ⅱ 1. 성취기준․성취수준

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고수2111. 복소평면의 뜻을 안다.

상 복소수의 덧셈과 뺄셈이 복소평면에서 어떤 의미를 갖는지 파악하여 논리적으로 설명할 수 있다.

중 복소평면과 관련된 수학적 표현을 이해하고 사용할 수 있다.

하 복소수를 복소평면 위의 점에 대응시킬 수 있다.고수2112. 복

소수의 극형식의 뜻을 알고, 이를 이용하여 여러 가지 문제를 풀 수 있다.

상 복소수의 극형식을 이용하여 여러 가지 문제를 해결할 수 있다.

중 복소수의 극형식의 뜻을 알고 있고, 주어진 복소수를 극형식으로 나타낼 수 있다.

하 복소수의 절댓값과 편각의 뜻을 알고 이를 구할 수 있다.

고수2113. 드 무 아 브 르 의 정리를 이해한다.

상 수학적 귀납법을 이용하여 드 무아브르의 정리를 증명할 수 있다.

중 드 무아브르의 정리의 기하학적 의미를 설명할 수 있다.

하 드 무아브르의 정리를 이용하여 복소수의 제곱을 할 수 있다.


① 복소평면의 뜻을 안다. 고수2111. 복소평면의 뜻을 안다.

② 복소수의 극형식의 뜻을 알고, 이를 이용하여 여러 가지 문제를 풀 수 있다.

고수2112. 복소수의 극형식의 뜻을 알고, 이를 이용하여 여러 가지 문제를 풀 수 있다.

③ 드 무아브르의 정리를 이해한다. 고수2113. 드 무아브르의 정리를 이해한다.

□ 대영역명 : (가) 복소수와 극좌표□ 중영역명 : 복소수의 극형식

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고수2121. 극좌표와 극좌표계의 뜻을 안다.

상 극평면 위의 점에 대한 극좌표를 일반적으로 나타낼 수 있다.

중 극평면 위의 점에 대하여 동경과 편각의 뜻을 설명할 수 있다.

하 극좌표로 주어진 점을 극평면에 나타낼 수 있다.

고수2122. 직교좌표와 극좌표의 관계를 이해한다.

상 직교좌표와 극좌표의 관계를 이용하여 극방정식을 직교방정식으로 바꿀 수 있다.

중직교좌표와 극좌표의 관계를 이용하여 직교좌표로 주어진 점을 극좌표로, 극좌표로 주어진 점을 직교좌표로 나타낼 수 있다.

하 직교좌표와 극좌표의 관계를 말할 수 있다.

고수2123. 극방 정 식 으 로 주어진 곡선의 그래프를 그릴 수 있다.

상 대칭성을 이용하여 극방정식으로 주어진 곡선의 그래프를 그릴 수 있다.

중 대응표를 이용하여 극방정식으로 주어진 곡선의 그래프를 그릴 수 있다.

하 공학적 도구를 이용하여 극방정식으로 주어진 곡선의 그래프를 그릴 수 있다.


① 극좌표와 극좌표계의 뜻을 안다. 고수2121. 극좌표와 극좌표계의 뜻을 안다.

② 직교좌표와 극좌표의 관계를 이해한다.

고수2122. 직교좌표와 극좌표의 관계를 이해한다.

③ 극방정식으로 주어진 곡선의 그래프를 그릴 수 있다.

고수2123. 극방정식으로 주어진 곡선의 그래프를 그릴 수 있다.

□ 중영역명 : 극좌표와 극방정식

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□ 대영역명 : (나) 미적분의 활용□ 중영역명 : 미분의 활용


① 코시의 평균값 정리를 이해하고 활용할 수 있다.

고수2211. 코시의 평균값 정리를 이해하고 활용할 수 있다.

② 테일러 급수의 뜻을 알고, 간단한 함수의 테일러 급수를 구할 수 있다.

고수2212. 테일러 급수의 뜻을 알고, 간단한 함수의 테일러 급수를 구할 수 있다.

③ 테일러 다항식의 뜻을 알고, 이를 이용하여 함수의 근삿값을 구할 수 있다.

고수2213. 테일러 다항식의 뜻을 알고, 이를 이용하여 함수의 근삿값을 구할 수 있다.


고수2211. 코시의 평균값 정리를 이해하고 활용할 수 있다.

상 코시의 평균값 정리를 활용하여 여러 가지 문제를 해결하고, 그 과정을 논리적으로 설명할 수 있다.

중 코시의 평균값 정리를 만족하는 값을 구할 수 있다.

하 코시의 평균값 정리를 말할 수 있다.고수2212. 테

일러 급수의 뜻을 알고, 간단한 함수의 테일러 급수를 구할 수 있다.

상 간단한 함수의 에서의 테일러 급수를 구할 수 있다.

중 간단한 함수의 에서의 테일러 급수를 구할 수 있다.

하 테일러 급수의 뜻을 말할 수 있다.고수2213. 테

일러 다항식의 뜻을 알고, 이를 이용하여 함수의 근삿값을 구할 수 있다.

상 테일러 다항식을 이용하여 함수의 근삿값을 구할 수 있다.

중 함수의 차 테일러 다항식을 구할 수 있다.

하 테일러 다항식의 뜻을 말할 수 있다.

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고수2221. 미분 방 정 식 의 뜻을 알고, 간단한 미분방정식의 해를 구할 수 있다.

상 간단한 미분방정식의 해를 구할 수 있다.

중 미분방정식의 해의 뜻을 알고, 주어진 함수가 주어진 미분방정식의 해인지 아닌지 판정할 수 있다.

하 미분방정식의 뜻을 알고 그와 관련된 용어와 기호를 사용할 수 있다.

고 수 2 2 2 2 . ′ , ″ 꼴의 미 분 방 정 식의 해의 성질을 이해한다.

상 ″ 꼴의 미분방정식의 해가 삼각함수와 관련이 있음을 설명할 수 있다.

중 ′ 꼴의 미분방정식의 해가 일 때와 일 때 어떻게 달라지는지 설명할 수 있다.

하 ′ 꼴의 미분방정식의 해가 지수함수와 관련이 있음을 설명할 수 있다.


① 미분방정식의 뜻을 알고, 간단한 미분방정식의 해를 구할 수 있다.

고수2221. 미분방정식의 뜻을 알고, 간단한 미분방정식의 해를 구할 수 있다.

② ′ , ″ 꼴의 미분방정식의 해의 성질을 이해한다.

고수2222. ′ , ″ 꼴의 미분방정식의 해의 성질을 이해한다.

□ 중영역명 : 미분방정식

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고수2231. 극방 정 식 으 로 표현된 곡선으로 둘러싸인 영역의 넓이를 구할 수 있다.

상 극방정식으로 표현된 두 곡선과 두 반직선으로 둘러싸인 영역의 넓이를 구할 수 있다.

중 극방정식으로 표현된 곡선과 두 반직선으로 둘러싸인 영역의 넓이를 구할 수 있다.

하 극방정식으로 표현된 곡선과 두 반직선으로 둘러싸인 영역을 그래프로 나타낼 수 있다.

고수2232. 회전체의 부피를 구할 수 있다.

상 회전체의 부피를 구하는 다양한 방법의 차이를 파악하고, 이를 논리적으로 설명할 수 있다.

중 다양한 방법1)으로 회전체의 부피를 구할 수 있다.

하 회전축에 수직인 단면의 넓이를 나타낸 식과 정적분을 이용하여 회전체의 부피를 구할 수 있다.

고수2233. 회전 ( 곡 ) 면 의 넓이를 구할 수 있다.

상곡선을 표현하는 다양한 방법에 따라 곡선을 회전시켜 생기는 회전(곡)면의 넓이를 구하는 방법의 차이를 이해하고, 이를 논리적으로 설명할 수 있다.

중 매개변수나 극방정식으로 표현된 곡선을 회전시켜 생기는 회전(곡)면의 넓이를 구할 수 있다.

하 함수 의 그래프를 회전시켜 생기는 회전(곡)면의 넓이를 구할 수 있다.


① 극방정식으로 표현된 곡선으로 둘러싸인 영역의 넓이를 구할 수 있다.

고수2231. 극방정식으로 표현된 곡선으로 둘러싸인 영역의 넓이를 구할 수 있다.

② 회전체의 부피를 구할 수 있다. 고수2232. 회전체의 부피를 구할 수 있다.

③ 회전(곡)면의 넓이를 구할 수 있다. 고수2233. 회전(곡)면의 넓이를 구할 수 있다.

④ 모멘트와 질량중심의 뜻을 알고 이를 구할 수 있다.

고수2234. 모멘트와 질량중심의 뜻을 알고 이를 구할 수 있다.

□ 중영역명 : 적분의 활용

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고수2234. 모멘트와 질량중심의 뜻을 알고 이를 구할 수 있다.

상 적분을 활용하여 곡선으로 둘러싸인 영역의 모멘트와 질량중심을 구할 수 있다.

중 곡선으로 둘러싸인 영역의 모멘트와 질량중심의 뜻을 설명할 수 있다.

하 질량이 주어진 세 점의 모멘트와 질량중심의 뜻을 알고 이를 구할 수 있다.

1) 다양한 방법은 회전축에 수직인 단면의 넓이를 이용하는 방법, 회전축에 평행인 단면의 넓이를 이용하는 방법

등을 말한다.

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고 수2311/2312. 이 변 수 함 수의 뜻을 알고, 등위곡선을 사용하여 이 변 수 함 수의 그래프를 좌 표 평 면 에 표현할 수 있다.

상 등위곡선을 사용하여 이변수함수의 그래프를 좌표평면에 표현할 수 있다.

중 등위곡선의 뜻을 말하고, 주어진 의 값에 대하여 -등위곡선을 구할 수 있다.

하 이변수함수의 뜻을 알고, 주어진 점에서 이변수함수의 값을 구할 수 있다.

고수2313. 간단한 이변수함수의 그래프를 그릴 수 있다.

상 간단한 이변수함수의 그래프를 그릴 수 있다.

중 간단한 이변수함수의 그래프를 추정하여 설명할 수 있다.

하 공학적 도구를 이용하여 이변수함수의 그래프를 좌표공간에 그릴 수 있다.


① 이변수함수의 뜻을 안다. 고수2311/2312. 이변수함수의 뜻을 알고, 등위곡선을 사용하여 이변수함수의 그래프를 좌표평면에 표현할 수 있다.

② 등위곡선을 사용하여 이변수함수의 그래프를 좌표평면에 표현할 수 있다.

③ 간단한 이변수함수의 그래프를 그릴 수 있다.

고수2313. 간단한 이변수함수의 그래프를 그릴 수 있다.

□ 대영역명 : (다) 편미분□ 중영역명 : 이변수함수의 뜻

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고수2321. 이변 수 함 수 의 극한의 뜻을 알고, 그 극한을 구할 수 있다.

상 경로에 따라 이변수함수의 극한이 달라질 수 있음을 알고 이를 구할 수 있다.

중 함수가 연속인 경우 이변수함수의 극한을 구할 수 있다.

하 이변수함수의 극한의 뜻을 알고 그와 관련된 용어와 기호를 사용할 수 있다.

고수2322. 이변 수 함 수 의 극한의 성질을 일변수함수의 극한과 비교하여 이해한다.

상 이변수함수의 극한의 성질을 이해하여 극한값을 구할 수 있다.

중일변수함수의 경우처럼 두 이변수 함수의 극한값이 존재할 때 함수를 사칙연산에 의해 분리하여 계산할 수 있음을 이해한다.

하 일변수함수와 달리 이변수함수의 경우 주어진 점으로 가까이 가는 방법이 무수히 많이 있음을 말할 수 있다.

고수2323. 이변 수 함 수 의 연속의 뜻을 알고, 그 성질을 이해한다.

상 일변수함수의 연속의 성질을 변환하거나 확장하여 이변수함수의 연속의 성질을 추론할 수 있다.

중 예를 통하여 이변수함수가 연속인 경우와 불연속인 경우를 구분할 수 있다.

하 이변수함수의 연속의 뜻을 직관적으로 이해하고, 이를 설명할 수 있다.


① 이변수함수의 극한의 뜻을 알고, 그 극한을 구할 수 있다.

고수2321. 이변수함수의 극한의 뜻을 알고, 그 극한을 구할 수 있다.

② 이변수함수의 극한의 성질을 일변수함수의 극한과 비교하여 이해한다.

고수2322. 이변수함수의 극한의 성질을 일변수함수의 극한과 비교하여 이해한다.

③ 이변수함수의 연속의 뜻을 알고, 그 성질을 이해한다.

고수2323. 이변수함수의 연속의 뜻을 알고, 그 성질을 이해한다.

□ 중영역명 : 극한과 연속

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고수2331. 편미 분 계 수 와 편 도 함 수 의 뜻을 알고, 이를 구할 수 있다.

상 편미분계수와 편도함수의 기하학적 의미를 설명할 수 있다.

중 편미분계수와 편도함수를 구할 수 있다.

하 편미분계수와 편도함수의 뜻을 알고 이와 관련된 수학적 표현을 사용할 수 있다.

고수2332. 이계 편 도 함 수의 뜻을 알고, 이를 구할 수 있다.

상 여러 가지 함수의 이계편도함수를 구할 수 있다.

중 다항함수의 이계편도함수를 구할 수 있다.

하 이계편도함수의 뜻을 알고 이와 관련된 수학적 표현을 사용할 수 있다.

고수2333. 연쇄법칙을 이해하고, 이를 활용할 수 있다.

상 연쇄법칙을 활용하여 이변수함수의 합성함수의 편도함수를 구할 수 있다.

중 연쇄법칙을 활용하여 이변수함수와 일변수함수의 합성함수의 도함수를 구할 수 있다.

하 연쇄법칙을 말할 수 있다.


① 편미분계수와 편도함수의 뜻을 알고, 이를 구할 수 있다.

고수2331. 편미분계수와 편도함수의 뜻을 알고, 이를 구할 수 있다.

② 이계편도함수의 뜻을 알고, 이를 구할 수 있다.

고수2332. 이계편도함수의 뜻을 알고, 이를 구할 수 있다.

③ 연쇄법칙을 이해하고, 이를 활용할 수 있다.

고수2333. 연쇄법칙을 이해하고, 이를 활용할 수 있다.

□ 중영역명 : 편미분

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고수2341. 그래 디 언 트 의 뜻을 알고, 이를 구할 수 있다.

상 그래디언트의 성질을 설명할 수 있다.

중 주어진 함수의 그래디언트를 구할 수 있다.

하 그래디언트의 뜻을 알고 이와 관련된 수학적 표현을 사용할 수 있다.

고수2342. 그래 디 언 트 를 이용하여 곡면의 접평면을 구할 수 있다.

상 접평면의 법선벡터를 이용하여 곡면의 접평면을 구할 수 있다.

중 접평면의 법선벡터를 구할 수 있다.

하 곡면의 한 점에서의 그래디언트가 그 점에서의 접평면의 법선벡터임을 말할 수 있다.

고 수2343/2344. 이 변 수 함 수의 임계점과 안장점, 극점, 극값의 뜻을 알고, 이를 구할 수 있다.

상 이변수함수의 극값을 구할 수 있다.

중 안장점과 극점의 뜻을 알고 이계도함수 판정법을 이용하여 이를 구분할 수 있다.

하 임계점의 뜻을 알고 이를 구할 수 있다.


① 그래디언트의 뜻을 알고, 이를 구할 수 있다.

고수2341. 그래디언트의 뜻을 알고, 이를 구할 수 있다.

② 그래디언트를 이용하여 곡면의 접평면을 구할 수 있다.

고수2342. 그래디언트를 이용하여 곡면의 접평면을 구할 수 있다.

③ 임계점과 안장점의 뜻을 알고, 이를 구할 수 있다. 고수2343/2344. 이변수함수의 임계점과

안장점, 극점, 극값의 뜻을 알고, 이를 구할 수 있다.④ 이변수함수의 극값을 구할 수 있다.

⑤ 편미분을 활용하여 최대⋅최소 문제를 해결할 수 있다.

고수2345. 편미분을 활용하여 최대⋅최소 문제를 해결할 수 있다.

□ 중영역명 : 편미분의 활용

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고수2345. 편미분을 활용하여 최대⋅

최소 문제를 해결할 수 있다.

상 다양한 최대⋅최소 문제를 편미분을 활용하여 해결할 수 있다.

중 편미분을 활용하여 이변수함수의 최댓값 또는 최솟값을 구할 수 있다.

하 주어진 영역에서 이변수함수가 최댓값이나 최솟값을 갖는 점이 임계점이거나 경계점이 됨을 말할 수 있다.

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고수Ⅱ-1(가) 복소수와

극좌표고수2112 단답형

주어진 복소수의 절댓값과

편각을 구하기


극좌표고수2112 단답형

주어진 복소수를 극형식으로

나타내기


극좌표고수2112 서술형

복소수의 곱에 극형식을

활용하고 설명하기


극좌표고수2123 수행평가

컴퓨터 프로그램을 이용하여

극방정식으로 주어진 곡선의

그래프를 그리는 절차를

제시하고 이를 따라가면서

그래프를 그리기



간단한 극방정식을 제시하여

대응표를 그리도록 안내하고

이를 이용하여 몇 개의 점을

극평면에 나타낸 후 이를

곡선으로 연결하여 그래프의

개형을 그리기



대칭성을 파악할 수 있는 식을

만들 수 있도록 안내하고, 이를

이용하여 대칭성을 서술하기

고수Ⅱ-3(나) 미적분의

활용고수2221 선다형

주어진 미분방정식에 주어진

함수를 대입하여 해가 되는지

안 되는지를 판단하기


활용고수2221 서술형

주어진 미분방정식에 주어진

함수를 대입하여 해가 되는지

안 되는지를 판단하기


활용고수2221 서술형

변수분리를 통해 간단히 해를

구할 수 있는 미분방정식을

제시하여 해를 구하는 과정을

서술하기

고수Ⅱ-4 (다) 편미분고수2311/

2312서술형

간단한 이변수함수를 제시하여

-등위곡선의 뜻을 말하고

인 경우의 -등위곡선을

구하기

고수Ⅱ-4 (다) 편미분고수2311/

2312서술형

간단한 이변수함수에 대하여

등위곡선을 사용하여 그래프를

좌표평면에 표현하기

2. 예시평가문항가. 문항개발내역

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고수Ⅱ-5 (다) 편미분 고수2321 단답형

직관적으로 연속임을 알 수

있는 함수를 제시하여 특정한

점으로 가까이 갈 때의 극한값

구하기

고수Ⅱ-5 (다) 편미분 고수2321 서술형

주어진 점에서 연속이 아닌

이변수함수를 제시하여 서로

다른 경로에 따른 극한값을

구하기

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나. 문항

【고수Ⅱ-1】

과목 고급 수학Ⅱ 대영역복소수와 극좌표 중영역 복소수의 극형식

성취기준고수2112. 복소수의 극형식의 뜻을 알고, 이를 이용하여 여러 가지

문제를 풀 수 있다.

성취

수준

상 복소수의 극형식을 이용하여 여러 가지 문제를 해결할 수 있다.

중복소수의 극형식의 뜻을 알고 있고, 주어진 복소수를 극형식으로 나타낼 수 있다.

하 복소수의 절댓값과 편각의 뜻을 알고 이를 구할 수 있다.문항번호 성취수준 문항형태 정답

1 하 단답형 예시답안 참조2 중 단답형 예시답안 참조3 상 서술형 예시답안 참조

【예시문항】

두 복소수 , 에 대하여 물음에 답하시오. (단, 편각의 범위는 로 제한한다.)1. 의 값을 ( 는 실수)의 꼴로 나타내고 이를 복소평면에 나타낸 점을

P라 할 때, 선분 OP의 길이와 선분 OP가 축의 양의 방향과 이루는 각의 크기를 구하시오. (단, O는 원점이다.)

2. (1) 두 복소수 , 를 극형식으로 나타내시오.(2) 1번 문항에서 구한 의 값을 극형식으로 나타내시오.

3. (1) 2번 문항의 (1)과 (2)의 결과를 비교하여 극형식으로 나타낸 두 복소수의 곱에 관한 성질을 유추하여 설명하시오.

(2) (1)의 결과를 활용하여 두 복소수 , 의 곱을 극형식으로 나타내고, 그 과정을 서술하시오.

- 50 -

【예시답안】

1. , OP,

2. (1) cos

sin , cos

sin

(2) cos

sin

3. (1) , 이고, 이므로 이다. 또, arg

, arg

이고, arg

이므로 arg argarg이다. 이를 바탕으로 임의의 두 복소수 에 대하여 , arg argarg가 성립함을 유추할 수 있다. (2) cos

sin

, cos

sin 이므로

⋅cos

sin

cos

sin

- 51 -

【채점기준】



1 1OP 1

1

2(1) cos

sin

, cos

sin

2

(2) cos

sin

2

3

(1)

임을 식이나 말로 설명한 경우 1arg argarg임을 식이나 말로 설명한 경우 1임의의 두 복소수 에 대하여 , arg argarg가 성립함을 식이나 말로 설명한 경우 1

(2)두 복소수를 극형식으로 나타낸 경우 1(1)의 결과를 활용하여 cos

sin

로 계산한 경우 1


• 1번과 2번 문항의 경우 단답형이므로 정답과 일치하는 경우 점수를 부여한다. 1번 문항의 경우

또는

등으로 답하여도 정답으로 인정할 수 있으나 2번 문항에서 각 복소수의 편각이 제시된 제한 범위를 벗어나는 경우 총점에서 1점 감점할 수 있다.

• 문항 3-(1)의 경우 식으로 설명한 경우나 말로 설명한 경우 모두 같은 점수를 부여한다. 다만, 주어진 두 복소수 , 에 대한 구체적인 경우에 대한 서술과 임의의 두 복소수에 대한 서술이 분명히 구분되어 있는지 확인하여 각각에 대한 점수를 부여한다. 또한 문제에서 극형식으로 주어진 두 복소수의 곱에 대한 성질을 유추하도록 요구하고 있을 뿐이므로 이에 대한 증명은 채점 과정에서 고려할 필요가 없다.

• 문항 3-(2)의 경우 두 복소수를 각각 극형식으로 나타낸 후 (1)의 결과를 활용

- 52 -

하여 곱을 계산하는 것이 문제의 핵심이다. 따라서 이런 절차를 거치지 않고 두 복소수를 먼저 곱한 후 극형식으로 나타낸 경우는 1점만 부여한다.

【문항해설】

• 하 수준에서는 복소수의 절댓값과 편각의 뜻을 알고 이를 구할 수 있는 것을 요구하므로 주어진 복소수의 절댓값과 편각을 구하는 문항을 출제하였다. 다만 중 수준과 상 수준의 문항으로의 연결을 위하여 서로 다른 두 복소수를 제시하고 먼저 곱셈을 한 후 그 결과에 대한 절댓값과 편각을 구하도록 요구하였다.

따라서 1번 문항에서 3점을 받은 경우 복소수의 절댓값과 편각을 구할 수 있다고 판단할 수 있으므로 성취수준 ‘하’로 판정할 수 있다.

• 중 수준에서는 복소수의 극형식의 뜻을 알고 주어진 복소수를 극형식으로 나타낼 수 있는 것을 요구하므로 주어진 복소수를 극형식으로 나타내도록 하는 문항을 출제하였다. 두 복소수의 곱에 관한 상수준의 문항과 연결하기 위하여 두 복소수 및 복소수의 곱을 모두 극형식으로 나타내도록 요구하였다.

따라서 2번 문항에서 4점을 받은 경우, 복소수의 극형식의 뜻을 알고 주어진 복소수를 극형식으로 나타낼 수 있다고 판단할 수 있으므로 성취수준 ‘중’으로 판정할 수 있다.

• 상 수준에서는 복소수의 극형식을 활용하여 여러 가지 문제를 해결할 수 있는 것을 요구하므로 3번 문항에서는 복소수의 곱에 극형식을 활용하는 것에 초점을 맞추었으며 이에 대한 성질을 학습하기 전에 문항을 제시하여 스스로 성질을 유추하고 이를 일반화하여 설명하도록 요구하였다. 또한 이 결과를 직접 복소수의 곱에 활용하도록 요구하였다.

따라서 3번 문항에서 5점을 받은 경우, 복소수의 극형식을 활용하여 문제를 해결할 수 있다고 판단할 수 있을 뿐만 아니라 스스로 추론하고 추론한 결과를 활용할 수 있다고 판단할 수 있으므로 성취수준 ‘상’으로 판정할 수 있다.

• 이 문항은 복소수를 극형식으로 나타내는 내용을 학습한 후, 극형식으로 주어진 복소수의 곱에 대한 성질을 학습하기 전에 제시하는 것이 더 좋다. 문항을 통해 스스로 성질을 유추해 보는 경험을 한 후에 논리적인 증명이나 기하학적 의미에 관한 학습이 이어지는 것이 좋기 때문이다.



- 53 -



- 54 -



문항 1



3 31 의 값과 선분의 길이, 각의 크기가 모두 맞은 경우 50.0

2 21 구하는 세 가지 중 두 개를 맞은 경우 33.31 11 구하는 세 가지 중 한 개를 맞은 경우 16.7

008 기타 오답 0.099 무응답 0.0

- 55 -

문항 2



4 41 두 복소수 , 를 모두 극형식으로 나타내고 도 극형식으로 나타낸 경우 88.9

3 31 두 복소수 , 중 한 가지만 맞게 하고 의 극형식이 맞은 경우 5.6

221 , 의 극형식만 맞은 경우 0.022 의 극형식만 맞은 경우 0.0

1 11 두 복소수 , 중 한 가지만 맞은 경우 5.6

008 기타 오답 0.099 무응답 0.0

- 56 -

문항 3



5 51극형식을 이용한 두 복소수의 곱셈에 대한 성질을 적절한 설명과 함께 유추하고 이를 이용하여 주어진 두 복소수의 곱을 극형식을 이용하여 계산한 경우

0.0

4 411번 문항의 결과에서 극형식을 이용한 두 복소수의 곱셈에 대한 성질을 적절한 설명과 함께 유추하였으나 주어진 두 복소수의 곱을 계산할 때 이를 이용하지 않은 경우

0.0

3 31극형식을 이용한 두 복소수의 곱셈에 대한 성질을 유추하고 이를 이용하여 주어진 두 복소수의 곱을 극형식을 이용하여 계산하였으나 유추 과정에 대한 설명이 부족한 경우

66.7

2

21극형식을 이용한 두 복소수의 곱셈에 대한 성질을 유추하였으나 그 과정에 대한 설명이 부족하고, 주어진 두 복소수의 곱을 계산할 때 이를 이용한 근거가 분명하지 않은 경우

5.6

22극형식을 이용한 두 복소수의 곱셈에 대한 성질을 유추하였으나 그 과정에 대한 설명이 부족하고, 이를 이용하여 주어진 두 복소수의 곱을 계산하는 과정에 약간의 오류가 있는 경우

22.2

23극형식을 이용한 두 복소수의 곱셈에 대한 성질을 유추하여 설명하지 못했으나, 극형식을 이용하여 주어진 두 복소수의 곱을 계산한 경우

5.6

1 11극형식을 이용한 두 복소수의 곱셈에 대한 성질을 유추하였으나 그 과정에 대한 설명이 부족하고, 주어진 두 복소수의 곱을 극형식으로 나타내지 못한 경우

0.0

0 08 기타 오답 0.099 무응답 0.0

<학생 반응 참고 사항>• 3번 문항의 채점 기준의 수정이 필요함.

- 57 -



3

(1) 임의의 두 복소수 에 대하여 , arg argarg가 성립함을 식이나 말로 설명한 경우 2

(2)두 복소수를 극형식으로 나타낸 경우 2(1)의 결과를 활용하여 cos

sin

로 계산한 경우 1

<수정된 채점 기준표>

<수정된 채점기준표로 채점한 결과>문항 3응시자수 18명 평균정답률 91.1% 학교수준 상


5 51극형식을 이용한 두 복소수의 곱셈에 대한 성질을 유추하고 이를 이용하여 주어진 두 복소수의 곱을 극형식을 이용하여 계산한 경우

66.7

4 41극형식을 이용한 두 복소수의 곱셈에 대한 성질을 유추하고 이를 이용하여 주어진 두 복소수의 곱을 극형식을 이용하여 계산하는 과정에서 약간의 오류가 있는 경우

22.2

331

극형식을 이용한 두 복소수의 곱셈에 대한 성질을 유추하였으나 주어진 두 복소수의 곱을 계산하는 과정에서 이를 이용하였다는 근거가 부족한 경우

5.6

32극형식을 이용한 두 복소수의 곱셈에 대한 성질을 유추하여 설명하지 못했으나, 극형식을 이용하여 주어진 두 복소수의 곱을 계산한 경우

5.6

221

극형식을 이용한 두 복소수의 곱셈에 대한 성질을 유추하였으나 주어진 두 복소수의 곱을 계산하지 못한 경우

0.0

22극형식을 이용한 두 복소수의 곱셈에 대한 성질을 유추하여 설명하지 못했으나, 극형식을 이용하여 주어진 두 복소수의 곱을 계산하였고 그 과정에 약간의 오류가 있는 경우

0.0

1 11극형식을 이용한 두 복소수의 곱셈에 대한 성질을 유추하여 설명하지도 않고, 주어진 두 복소수의 곱을 극형식을 이용하지 않고 계산한 경우

0.0

0 99 무응답 0.0

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【고수Ⅱ-2】

과목 고급 수학Ⅱ 대영역복소수와 극좌표 중영역

극좌표와 극방정식

성취기준 고수2123. 극방정식으로 주어진 곡선의 그래프를 그릴 수 있다.

성취

수준

상대칭성을 이용하여 극방정식으로 주어진 곡선의 그래프를 그릴 수 있다.

중대응표를 이용하여 극방정식으로 주어진 곡선의 그래프를 그릴 수 있다.

하공학적 도구를 이용하여 극방정식으로 주어진 곡선의 그래프를 그릴 수 있다.


1 하 수행 평가 예시답안 참조2 중 수행 평가 예시답안 참조3 상 수행 평가 예시답안 참조

【예시문항】

1. 다음 절차에 따라 컴퓨터 프로그램을 이용하여 극방정식으로 주어진 곡선의 그래프를 그리시오.

(1) sin (2) cos

(절차 1) [그래프] 메뉴의 [새 함수의 그래프]를 클릭한다. [새 함수] 창에서 [함수 형태]를 클릭하고 를 클릭한다.

(절차 2) [새 함수] 창의 빈 상자에 에 해당하는 식을 입력하고(예, cos) [확인]을 클릭한다. 각의 단위를 라디안으로 설정할까를 묻는 물음창이 뜨면 [예]를 클릭한다.

- 59 -

(절차 3) 왼쪽 그림과 같이 그래프가 그려지면 원점을 이동시키거나 단위 길이를 조정하여 그래프의 위치와 크기를 적절히 조정한다.

2. 극방정식 에 대하여 물음에 답하시오. (1) 몇 개의 특수한 편각 에 대한 동경 의 대응표를 그리시오.

(2) 위 대응표의 점들을 극평면에 나타내고 이를 곡선으로 연결하여 그래프의 개형을 그리시오.

3. 극방정식 sin에 대하여 물음에 답하시오.

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(1) sin, sin, sin를 각각 sin에 대한 식으로 나타내고, 이를 이용하여 극방정식 sin의 그래프의 대칭성에 대하여 서술하시오.

(2) 적절한 의 구간에서 와 의 대응표를 그리시오.

(3) 대응표를 이용하여 극방정식 sin의 그래프의 개형을 그리시오.

【예시답안】

1. (1) sin (2) cos

2. (1)

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(2)

3. (1) sin sinsin이므로 축 대칭sinsin이므로 축 대칭sin sin sin이므로 원점 대칭(2)

(3)

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【채점기준】



1 컴퓨터를 이용하여 그래프를 정확히 그린 경우 3

2(1) 주어진 편각에 대한 동경을 정확히 기록한 경우 1

(2) 대응표의 점들을 극평면에 정확히 나타낸 경우 2나타낸 점들을 곡선으로 연결하여 그래프의 개형을 그린 경우 1

3

(1) 세 식을 각각 sin에 대한 식으로 나타낸 경우 1각 식을 이용하여 대칭성을 적절히 서술한 경우 1

(2) 적절한 구간에서 대응표를 그린 경우 1

(3)대응표의 점들을 극평면에 정확히 나타낸 경우 1나타낸 점들을 곡선으로 연결하고 대칭성을 이용하여 그래프의 개형을 그린 경우 1


• 1번 문항의 경우 컴퓨터 프로그램을 이용하여 그래프를 그리는 문항이므로 제시된 절차에 따라 식을 정확히 입력하기만 하면 그래프가 정확히 그려진다. 따라서 제시된 절차를 잘 따라가 정확한 그래프를 산출한 경우 3점을 부여한다.

• 2번 문항의 경우 대응표를 이용해 나타낸 점과 점 사이의 곡선에 대해서는 컴퓨터가 아니라 손으로 그리는 것이기 때문에 어느 정도 모양만 비슷하면 점수를 부여한다.

• 문항 3-(1)에서 경우 각각 세 가지 모두 정확히 서술한 경우만 1점을 부여한다. 문항 3-(2)의 경우 가 특수각이면 편하게 계산할 수 있으므로 를 구간

내에서

간격으로 분할하여 그에 따른 의 값을 표로 나타내면 1점을 부여한다. 의 값들을 다르게 사용할 수도 있으나 너무 적은 개수만을 계산하면 그래프의 모양이 정확하지 않을 수 있고, 적절한 대응표를 그리는 것도 평가 요소이기 때문에 부터

까지 등분 이상으로 분할하지 않은 경우는 점수를 부여하지 않는다. 문항 3-(3)의 경우 대응표의 점들을 극평면에 정확히 나타내면 1점, 이를 곡선으로 연결하고 대칭성을 이용하여 전체 그래프의 개형을 완성한 경우 1점을 부여한다.

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【문항해설】

• 하 수준에서는 공학적 도구를 이용하여 극방정식으로 주어진 곡선의 그래프를 그릴 수 있는 것을 요구하므로 1번 문항에서는 컴퓨터 프로그램을 이용하여 극방정식으로 주어진 곡선의 그래프를 그리는 절차를 제시하고 이를 따라가면 그래프를 그릴 수 있도록 안내하였다.

따라서 1번 문항에서 3점을 받은 경우 공학적 도구를 이용하여 극방정식으로 주어진 곡선의 그래프를 그릴 수 있다고 판단할 수 있으므로 성취수준 ‘하’로 판정할 수 있다.

• 중 수준에서는 대응표를 이용하여 극방정식으로 주어진 곡선의 그래프를 그릴 수 있는 것을 요구하므로 간단한 극방정식을 제시하여 대응표를 그리도록 안내하고 이를 이용하여 몇 개의 점을 극평면에 나타낸 후 이를 곡선으로 연결하여 그래프의 개형을 그릴 수 있도록 안내하였다.

따라서 2번 문항에서 4점을 받은 경우 대응표를 이용하여 극방정식으로 주어진 곡선의 그래프를 그릴 수 있다고 판단할 수 있으므로 성취수준 ‘중’으로 판정할 수 있다.

• 상 수준에서는 대칭성을 이용하여 극방정식으로 주어진 곡선의 그래프를 그릴 수 있는 것을 요구하므로 대칭성을 파악할 수 있는 식을 만들 수 있도록 안내하였고, 이를 이용하여 대칭성을 서술하도록 요구하였다. 또 대응표의 점들을 극평면에 나타내고 이를 곡선으로 연결한 후 대칭성을 이용하여 그래프의 개형을 완성할 수 있도록 안내하였다.

따라서 3번 문항에서 5점을 받은 경우 대칭성을 이용하여 극방정식으로 주어진 곡선의 그래프를 그릴 수 있다고 판단할 수 있으므로 성취수준 ‘상’으로 판정할 수 있다.

• 1번 문항의 평가 요소는 컴퓨터를 이용하여 극방정식으로 주어진 곡선의 그래프를 그릴 수 있는가이다. 프로그램에 대한 사전 지식이 없어도 제시된 절차를 따라 가면 그래프를 그릴 수 있도록 문항을 구성하였으며, 이 예시문항에서 이용한 컴퓨터 프로그램은 GSP이지만 교사의 재량에 따라 다른 프로그램을 이용할 수 있다. 이 문항은 극좌표와 극방정식의 뜻을 학습한 이후 언제든지 활용할 수 있다. 문항에 주어진 식 외에도 여러 가지 그래프를 그려 보게 하여 학생들에게 다양한 극방정식으로 주어진 곡선의 그래프의 모양을 볼 수 있는 경험을 제공할 수도 있다.

• 2번 문항의 평가 요소는 대응표를 이용하여 극방정식으로 주어진 곡선의 그래프를 그릴 수 있는가이다. 따라서 제시된 편각에 대한 동경의 값을 쉽게 계산할 수 있는 문항을 출제하였으며 이를 극평면에 나타내고 곡선으로 연결하여 그래프의

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개형을 완성할 수 있도록 안내하였다. 이 문항은 대응표를 이용하여 컴퓨터가 하던 일을 학생들이 스스로 해 보게 하는 것에 의미가 있다.

• 3번 문항의 평가 요소는 대칭성을 이용하여 극방정식으로 주어진 곡선의 그래프를 그릴 수 있는가이다. 주어진 식을 변형하여 대칭성을 파악할 수 있는지가 핵심적인 평가 요소이고 그 이외의 부분은 이전에 했던 과정과 크게 다르지 않다. 따라서 이 문항은 극평면에서의 대칭에 대하여 학습한 이후에 이를 그래프 그리기에 활용하는 용도로 사용할 수 있다.


[그림 5] 문항 1-(1)에 대한 학생의 반응

[그림 6] 문항 1-(2)에 대한 학생의 반응


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- 66 -


- 67 -


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[그림 11] 문항 3에 대한 학생의 반응(33)


문항 1


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문항 2



4 41 대응표를 이용하여 점들을 극평면에 정확히 나타내고 이를 이용하여 그래프의 개형을 완성한 경우 72.2

3

31 대응표의 점들 중 일부를 극평면에 그리지 않고 그래프를 그린 경우 22.2

32 대응표의 점들 중 일부가 정확히 찍히지 않은 상태에서 그래프를 그린 경우 5.6

33 대응표를 그리고 모든 점을 정확히 찍었으나 그래프를 그리지 않은 경우 0.0

2 21 대응표를 그리고 점의 일부를 찍은 상태에서 그래프를 완성하지 않은 경우 0.0

1 11 대응표만 완성한 경우 0.0

0 08 기타 오답 0.099 무응답 0.0

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문항 3응시자수 18명 평균정답률 65.6% 학교수준 상


5 51주어진 식을 모두 sin에 대한 식으로 나타내고 이와 관련된 대칭성을 적절히 서술하였으며 적절한 구간에서 대응표를 그린 뒤 대칭성을 이용하여 그래프를 그린 경우

22.2

4

41주어진 식을 모두 sin에 대한 식으로 나타내고 이와 관련된 대칭성을 적절히 서술하였으며 대칭성을 이용하여 그래프를 그렸으나 서술한 대칭성과 관련된 구간에서 대응표를 만들지 않은 경우

5.6

42주어진 식을 모두 sin에 대한 식으로 나타내고 이와 관련된 대칭성을 일부만 서술하였으며 적절한 구간에서 대응표를 그린 뒤 대칭성을 이용하여 그래프를 그린 경우

5.6

43주어진 식을 모두 sin에 대한 식으로 나타내고 이와 관련된 대칭성을 적절히 서술하였으며 대칭성을 이용하여 그래프를 그렸으나 그래프를 그리는 과정에 약간의 오류가 있어 그래프가 정확하지 않은 경우

5.6

3

31주어진 식을 모두 sin에 대한 식으로 나타냈으나 이와 관련된 대칭성을 일부만 서술하였으며, 적절한 구간에서 대응표를 그렸으나 앞에서 언급한 일부 대칭성만 이용하여 그래프를 그린 경우

5.6

32주어진 식을 모두 sin에 대한 식으로 나타내고 이와 관련된 대칭성을 적절히 서술하였으나 대응표를 그리는 과정에 오류가 있어서 그래프의 모양이 정확하지 않은 경우

5.6

33주어진 식을 모두 sin에 대한 식으로 나타냈으나 이와 관련된 대칭성을 일부만 서술하였으며, 서술한 대칭성과 관련된 구간에서 대응표를 만들지 않은 경우

22.2

2

21주어진 식을 모두 sin에 대한 식으로 나타냈으나 이와 관련된 대칭성을 전혀 서술하지 않았으며, 대칭성을 고려하지 않고 대응표를 만들고 그래프를 그린 경우

11.1

22주어진 식을 모두 sin에 대한 식으로 나타냈으나 이와 관련된 대칭성을 일부만 서술하였으며, 서술한 대칭성과 관련된 구간에서 대응표를 만들지 않았고 그래프 개형도 정확하지 않은 경우

11.1

1 11주어진 식을 모두 sin에 대한 식으로 나타냈으나 이와 관련된 대칭성을 전혀 서술하지 않았으며, 그래프 개형도 정확하지 않은 경우

5.6

0 99 무응답 0.0

- 71 -

【고수Ⅱ-3】

과목 고급 수학Ⅱ 대영역 미적분의 활용 중영역 미분방정식성취기준

고수2221. 미분방정식의 뜻을 알고, 간단한 미분방정식의 해를 구할 수 있다.

성취

수준

상 간단한 미분방정식의 해를 구할 수 있다.

중미분방정식의 해의 뜻을 알고, 주어진 함수가 주어진 미분방정식의 해인지 아닌지 판정할 수 있다.

하미분방정식의 뜻을 알고 그와 관련된 용어와 기호를 사용할 수 있다.


1 (1) 중 선다형 ③, ④(2) 서술형 예시답안 참조


【예시문항】

1. (1) 미분방정식 ′ 의 해를 모두 고르면? ① ②

③ ④

⑤

(2)

가 미분방정식 ′ 의 해임을 보이시오. 또 일 때 의 초

깃값이 인 특수해를 구하고, 그 과정을 서술하시오.

2. 미분방정식

sin의 해를 구하고, 그 과정을 서술하시오.

【예시답안】

1. (1) ③, ④(2)

이면 ′ 이고 ′

이므로

주어진 미분방정식의 해가 됨을 알 수 있다. 이때

에서 이면

- 72 -

이므로 의 초깃값이

이면 이다. 따라서 구하고자 하는 특수해는

이다.

2.

sin에서 은 상수해이다. ≠일 때 변수분리하여 쓰면

sin이므로 ln cos (단, 는 상수)이다. 이를 정리하면 cos

(단, )이므로 해는 다음과 같다. 또는 cos (단, 는 상수)

【채점기준】



1

(1) ③, ④ 2

(2)

함수

에 대하여 ′ 이므로

′

임을 설명한 경우1

주어진 초깃값에 해당하는 상수의 값을 구하여 구하고자 하는 특수해가

임을 제시한 경우 1

2

이 상수해임을 제시한 경우 1주어진 미분방정식을 변수분리하여

sin와 같이 나타낸

경우2

변수분리하여 나타낸 식을 적분하여 해 cos (단, 는 상수)를 구한 경우 2

- 73 -


• 문항 1-(1)에서 선다형이므로 두 개의 정답을 모두 고른 경우 2점을 부여한다. 미분방정식의 해의 뜻과 상수에 따라 해가 여러 가지로 달라질 수 있음을 알고 있는지 묻는 문항이므로 한 개만 고르거나 다른 선택지를 고른 경우는 점수를 부여하지 않는다.

• 문항 1-(2)에서 주어진 함수가 주어진 미분방정식의 해임을 보이는 과정은

이면 ′ 임과 이때 ′ 임을 언급하면 점수를 부여

한다. ′을 계산하지 않고 근거 없이 ′ 임을 주장한 경우는 첫 번째 항목의 점수를 부여하지 않는다. 특수해를 구하는 부분은 해결 과정에 대한 서술 없이 정답만 제시한 경우 0.5점만 부여한다.

• 2번 문항의 경우 상수해를 빠뜨리지 않고 제시하였는지 확인하여 1점을 부여하고, 나머지 부분은 식을 변수분리하여 나타낸 과정에 2점, 이를 적분하여 해를 구한 과정에 2점을 부여한다. 이때 변수분리하여 나타낸 식은 모양이 조금 달라질 수 있으므로 채점에 유의한다.

• 2번 문항에서 구한 미분방정식의 해도 상수에 따라 식의 모양이 달라질 수 있으므로 채점에 유의한다. 예를 들어 cos (단, 는 상수)와 같이 써도 정답으로 인정해야 한다.

【문항해설】

• 중 수준에서는 미분방정식의 해의 뜻을 아는 것을 요구하므로 주어진 함수를 대입하여 해가 되는지 안 되는지를 판단하도록 하는 문항을 출제하였다. 또한 이를 정당화하는 것을 요구하는 문항을 추가하였으며 특수해의 뜻을 알고 있는지를 묻는 문항도 추가하여 미분방정식의 해에 대한 전반적인 내용을 고루 알고 있는지를 평가하고자 하였다.

따라서 1번 문항에서 4점을 받은 경우 미분방정식의 해의 뜻을 알고 있다고 판단할 수 있으므로 성취수준 ‘중’으로 판정할 수 있다. 문항 1-(2)에서도 미분방정식의 해를 직접 구한 것은 아니고 주어진 결과를 정당화했을 뿐이므로 성취수준 ‘상’으로 판정할 수는 없다.

• 상 수준에서는 간단한 미분방정식의 해를 구할 수 있는 것을 요구한다. 따라서 변수분리를 통해 간단히 해를 구할 수 있는 미분방정식을 제시하여 해를 구하는 과정을 서술하는 문항을 출제하였다.

이 문항에서 5점을 받은 경우 간단한 미분방정식의 해를 구할 수 있다고 판단할 수 있으므로 성취수준 ‘상’으로 판정할 수 있다.

• 문항 1-(1)의 평가 요소는 주어진 함수가 미분방정식의 해가 되는지 안 되는지

- 74 -

를 판단할 수 있는가이다. 선택지에 주어진 함수를 미분할 수 있고, 이를 주어진 미분방정식에 대입하여 등식이 성립하는지를 확인할 수 있으면 된다. 미분방정식의 해는 상수에 따라 달라질 수 있음을 강조하기 위하여 선다형 문항으로 출제하였다.

• 문항 1-(2)의 평가 요소는 주어진 함수가 주어진 미분방정식의 해가 됨을 정당화 할 수 있는지와 주어진 초깃값을 이용하여 특수해를 구할 수 있는가이다. 학생들은 주어진 함수를 미분하고 주어진 방정식에 대입하여 등식이 성립함을 보여줄 수 있어야 한다. (1)에서는 여러 가지 함수를 대입해 보고 결과만을 제시하도록 하였기 때문에 이를 정당화하는 것을 보고자 (2)를 추가하였다. 또한 미분방정식의 일반해와 특수해를 구분하여 그 뜻을 알고 있는지를 물어보기 위해 초깃값을 제시하고 특수해를 구하도록 요구하는 문항을 추가하였다.

• 2번 문항의 평가요소는 간단한 미분방정식의 해를 구할 수 있는가이다. 구체적으로 살펴보면, 미분방정식의 상수해가 존재하는지, 존재한다면 이를 구할 수 있는지, 변수분리 가능한 미분방정식을 변수분리하여 나타낼 수 있는지, 이를 적분하여 일반해를 구할 수 있는가이다. 교육과정 성취기준의 ‘간단한 미분방정식’을 변수분리 가능한 미분방정식으로 해석하여 이러한 유형의 미분방정식의 해를 구하는 문항을 출제하였다.

• 이 문항은 1번 문항만을 제시할 경우에는 미분방정식의 해의 뜻을 학습한 직후에 제시할 수 있으며, 1번 문항부터 2번 문항까지 통합적으로 제시할 경우에는 변수분리형 미분방정식의 뜻과 해법을 학습한 이후에 제시해야 한다.

- 75 -





- 76 -



문항 1응시자수 18명 평균정답률 93.1% 학교수준 상


4

41주어진 미분방정식의 해 두 개를 정확히 찾고, 이를 통해 유추한 일반해를 주어진 식에 대입하여 정당화하고, 주어진 초깃값에 해당하는 특수해를 정확히 구한 경우

33.3

42주어진 미분방정식의 해 두 개를 정확히 찾고, 유추를 통한 방법은 아니지만 주어진 미분방정식을 풀어서 일반해를 찾고, 주어진 초깃값에 해당하는 특수해를 정확히 구한 경우

44.4

3

31주어진 미분방정식의 해 두 개를 정확히 찾고, 이를 통해 일반해를 유추하였으나 이를 정당화하지 않았으며, 주어진 초깃값에 해당하는 특수해를 정확히 구한 경우

11.1

32주어진 미분방정식의 해 두 개 중 한 개만 찾고, 유추한 일반해를 정당화하였으며, 초깃값에 해당하는 특수해를 정확히 구한 경우

5.6

33 대응표를 그리고 모든 점을 정확히 찍었으나 그래프를 그리지 않은 경우 0.0

2 21주어진 미분방정식의 해 두 개 중 한 개만 찾고, 유추한 일반해를 정당화하였으나 초깃값에 해당하는 특수해를 구하지 않은 경우

5.6

1 11 대응표만 완성한 경우 0.00 99 무응답 0.0

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문항 2



5 51 변수분리한 식을 적분하여 일반해를 구하고 상수해도 정확히 제시한 경우 0.0

4 41 변수분리한 식을 적분하여 일반해를 정확히 구했으나 상수해를 제시하지 않은 경우 5.6

331

상수해를 제시하지 않았고, 변수분리한 식을 적분하여 일반해를 구하는 과정에서

를 적분할 때 절댓값 기호 없이 ln라고 한 경우

38.9

32 상수해를 제시하지 않았고, 변수분리한 식을 적분하여 일반해를 구하는 과정에서 약간의 오류가 있는 경우 5.6

221

상수해를 제시하지 않았고, 변수분리한 식을 적분하여 일반해를 구하는 과정에서

를 적분할 때 절댓값 기호 없이 ln라고 한 것이 제시한 답에도 영향을 미친 경우

27.8

22상수해를 제시하지 않았고, 주어진 미분방정식을 변수분리하여 나타내었으나 적분하여 해를 구하는 과정에서 약간의 오류가 있는 경우

22.2

1 11 상수해만 제시한 경우 0.0

0 08 기타 오답 0.099 무응답 0.0

<학생 반응 참고 사항>• 미분방정식을 정식으로 배우지 않은 상태에서 문제를 풀었기 때문에 만점자가 없

었음.

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【고수Ⅱ-4】

과목 고급 수학Ⅱ 대영역 편미분 중영역 이변수함수의 뜻성취기준

고수2311/2312. 이변수함수의 뜻을 알고, 등위곡선을 사용하여 이변수함수의 그래프를 좌표평면에 표현할 수 있다.

성취

수준

상등위곡선을 사용하여 이변수함수의 그래프를 좌표평면에 표현할 수 있다.

중등위곡선의 뜻을 말하고, 주어진 의 값에 대하여 -등위곡선을 구할 수 있다.

하이변수함수의 뜻을 알고, 주어진 점에서 이변수함수의 값을 구할 수 있다.


1 중 서술형 예시답안 참조2 상 서술형 예시답안 참조

【예시문항】

함수 에 대하여 물음에 답하시오.1. 상수 에 대하여 -등위곡선의 뜻을 말하고, 주어진 함수의 -등위곡선을 구하

시오. 2. 등위곡선을 사용하여 함수 의 그래프를 좌표평면에 표현하고, 그

과정을 서술하시오.

【예시답안】

1. 함수 에 대하여 와의 교선을 -평면에 정사영시킨 곡선을 -등위곡선이라 한다. 따라서 의 -등위곡선은 -평면 위의 곡선 이다.

2. 실수 에 대하여 ≥이다. 따라서 함수 의 등위곡선은 (≥), ⋯(*)으로 주어진다. 따라서 주어진 함수의 -등위곡선은 -평면에서 원점을 중심으로 하고 반지름이 인 원이다. 적당한 의 값( )에 대하여 이를 좌표평면에 표현하면 다음과 같다.

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【채점기준】



1 -등위곡선의 뜻을 잘 말한 경우 2주어진 함수의 -등위곡선에 대하여 잘 설명한 경우 2

2주어진 함수에 대하여 -등위곡선이 -평면에서 원점을 중심으로 하고 반지름이 인 원임을 설명한 경우 2

적당한 에 대하여 등위곡선을 좌표평면에 표현하여 동심원 사이의 간격이 점점 줄어들고 있음이 보이는 경우 3


• 1번 문항의 경우 -등위곡선이 -평면 위의 곡선임을 명시하지 않으면 각각

점씩 감점한다. 이를 확실히 하지 않고 또는 이라는 식만을 언급할 경우 이는 좌표공간에서는 원기둥의 방정식이 되므로 -평면 위의 곡선 또는 , 과 같이 서술해야 한다.

• 2번 문항의 경우 동심원이 간격이 점점 줄어들고 있는지 확인하여 채점해야 한다. 만일 동일한 간격으로 원을 그린 경우에는 두 번째 항목에서 1점만 부여한다.

【문항해설】

• 중 수준에서는 등위곡선의 뜻을 알고 특정한 -등위곡선을 구할 수 있는 것을 요구하므로 간단한 이변수함수를 제시하여 -등위곡선의 뜻을 말하고 인 경우의 -등위곡선을 구하도록 하는 문항을 출제하였다. 따라서 1번 문항에서 4점을 받은 경우 등위곡선의 뜻을 말할 수 있고, 특정한 의 값에 대하여 이를 구할 수 있다고 판단할 수 있으므로 성취수준 ‘중’으로 판정할 수 있다.

• 상 수준에서는 등위곡선을 사용하여 이변수함수의 그래프를 좌표평면에 표현할

- 80 -

수 있는 것을 요구하고 있으므로 간단한 이변수함수에 대하여 등위곡선을 사용하여 그래프를 좌표평면에 표현하도록 하는 문항을 출제하였다. 이 문항을 해결하기 위하여 학생들은 등위곡선이 어떤 식으로 나타나는지 파악할 수 있어야 하며 의 값이 일정한 간격으로 늘어날 때 등위곡선이 좌표평면에 어떤 모습으로 나타나는지 보여줄 수 있어야 한다.

따라서 이 문항에서 5점을 받은 경우 등위곡선을 사용하여 이변수함수의 그래프를 좌표평면에 표현할 수 있다고 판단할 수 있으므로 성취수준 ‘상’으로 판정할 수 있다.

• 이 예시문항은 이변수함수의 뜻과 등위곡선의 뜻을 학습한 이후에 활용할 수 있으며 좌표평면에 표현한 등위곡선의 모양을 통해 이변수함수의 그래프가 좌표공간에서는 어떻게 나타날지 생각함으로써 다음 차시의 수업과 연계할 수도 있다.




- 81 -



- 82 -


문항 1



4 41 -등위곡선의 뜻과 주어진 함수의 -등위곡선에 대하여 잘 설명한 경우 33.3

3 31 -등위곡선의 뜻에 대한 설명이 불완전하지만, 주어진 함수의 -등위곡선은 정확히 구한 경우 27.8

2

21 -등위곡선의 뜻에 대한 설명이 불완전하고, 주어진 함수의 -등위곡선을 평면 위에 그리지 않은 경우 22.2

22 -등위곡선의 뜻을 설명하지 않고, 주어진 함수의

등위곡선만 구한 경우 5.6

23 -등위곡선의 뜻을 설명하고, 주어진 함수의 -등위곡선을 구하지 않은 경우 5.6

1 11 -등위곡선의 뜻에 대한 설명이 불완전하고, 주어진 함수의 -등위곡선을 구하지 않은 경우 0.0

0 08 기타 오답 0.099 무응답 5.6

- 83 -

문항 2



5 51주어진 함수의 -등위곡선을 잘 설명하고, 좌표평면에 표현할 때 동심원 사이의 간격이 점점 줄어들고 있음이 보이는 경우

11.1

4 41 좌표평면에 간격이 점점 줄어들고 있는 동심원을 잘 표현하였으나 그 과정에 대한 설명이 부족한 경우 22.2

3 31주어진 함수의 -등위곡선을 잘 설명하였으나 좌표평면에 표현할 때 동심원 사이의 간격이 점점 줄어들지 않고 일정한 경우

38.9

2 21 주어진 함수의 -등위곡선에 대하여 잘 설명하였으나 좌표평면에 표현하지 않은 경우 0.0

1 11주어진 함수의 -등위곡선에 대하여 설명하지 않고 좌표평면에 표현할 때 동심원 사이의 간격이 점점 줄어들지 않고 일정한 경우

11.1

12 등위곡선을 좌표평면에 표현하지 않은 경우 16.7

0 08 기타 오답 0.099 무응답 0.0

- 84 -

【고수Ⅱ-5】

과목 고급 수학Ⅱ 대영역 편미분 중영역 극한과 연속성취기준 고수2321. 이변수함수의 극한의 뜻을 알고, 그 극한을 구할 수 있다.

성취

수준

상경로에 따라 이변수함수의 극한이 달라질 수 있음을 알고 이를 구할 수 있다.

중 함수가 연속인 경우 이변수함수의 극한을 구할 수 있다. 하

이변수함수의 극한의 뜻을 알고, 그와 관련된 용어와 기호를 사용할 수 있다.


1 중 단답형


【예시문항】

1. 연속인 이변수함수 에 대하여 lim →

의 값을 구하시오.

2. 이변수함수

에 대하여 물음에 답하시오.(1) 점 가 축을 따라 원점 으로 가까이 갈 때, 이변수함수 의 극한값

을 구하고, 그 과정을 서술하시오.(2) 점 가 직선 를 따라 원점 으로 가까이 갈 때, 이변수함수 의

극한값을 구하고, 그 과정을 서술하시오.

【예시답안】

1. 2. (1) 점 가 축 위에 있으므로 이라 놓을 수 있다. 이때 이변수함수의 함숫값은 항상 이므로 극한값은 이다. (2) 점 가 직선 위의 점이면

이므로 극한값은

이다.

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【채점기준】



1 정답을 제시한 경우 4

2(1)

일 때의 식을 언급한 경우 1극한값을 정확히 제시한 경우 1

(2) 일 때의 식을 언급한 경우 2극한값을 정확히 제시한 경우 1


• 문항 2-(1)에서 의 값을 계산하지 않고 극한값을 구한 경우 1점만 부여한다.

• 문항 2-(2)에서 의 값을 계산하지 않고 극한값을 구한 경우 1점만 부여한다.

【문항해설】

• 중 수준에서는 함수가 연속인 경우 이변수함수의 극한값을 구하는 것을 요구하므로 직관적으로 연속임을 알 수 있는 함수를 제시하여 특정한 점으로 가까이 갈 때의 극한값을 구하도록 하는 문항을 출제하였다. 엄밀한 정의에 의하여 극한값을 구하도록 한 문항이 아니라 함수가 연속인 경우 극한값과 함숫값이 같음을 이용하여 극한값을 구하도록 요구한 문항이다. 따라서 이 문항에서 4점을 받은 경우 연속인 이변수함수의 극한을 구할 수 있다고 판단할 수 있으므로 성취수준 ‘중’으로 판정할 수 있다.

• 상 수준에서는 경로에 따라 이변수함수의 극한값이 달라짐을 알고 이를 구할 수 있음을 요구하므로 주어진 점에서 연속이 아닌 이변수함수를 제시하여 서로 다른 경로에 따라 극한값을 구하도록 하는 문항을 출제하였다. 따라서 이 문항에서 5점을 받은 경우 성취수준 ‘상’으로 판정할 수 있다.

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- 87 -


문항 1

응시자수 18명 평균정답률 100% 학교수준 상

문항 2



5 51 주어진 경로에 따라 식이 어떻게 달라지는지 언급하고 두 극한값을 모두 정확히 구한 경우 77.8

4 41 두 극한값을 모두 정확히 구했으나 설명이 부족한 경우 5.63 31 (2)번 문항만 정확히 해결한 경우 11.12 21 (1)번 문항은 해결하지 못하고 (2)번 문항만 해결하

였는데 설명이 부족한 경우 5.61 11 (1)번 문항만 해결하였는데 설명이 부족한 경우 0.00 08 기타 오답 0.0

99 무응답 0.0

- 88 -

3. 과목별 성취수준 고급 수학Ⅱ

수준 설 명

A복소수와 극좌표, 미적분의 활용, 편미분과 관련된 수학적 표현을 이해하고 사용하며, 여러 개념들의 성질이나 원리에 대한 완전한 이해를 바탕으로, 관련된 문제 상황에 적절한 전략을 적용하여 해결하는 능력과 수행 과정이 매우 우수하다.

B복소수와 극좌표, 미적분의 활용, 편미분과 관련된 수학적 표현을 부분적으로 이해하고 사용하며, 여러 개념들의 성질이나 원리에 대한 충분한 이해를 바탕으로, 관련된 문제 상황에 적절한 전략을 적용하여 해결하는 능력과 수행 과정이 우수하다.

C복소수와 극좌표, 미적분의 활용, 편미분과 관련된 수학적 표현을 사용하며, 여러 개념들의 성질이나 원리에 대한 이해를 바탕으로, 관련된 문제 상황에 적절한 전략을 적용하여 해결하는 능력과 수행 과정이 보통이다.

D 복소수와 극좌표, 미적분의 활용, 편미분과 관련된 수학적 표현의 사용이 다소 미흡하며, 여러 개념들의 성질이나 원리에 대한 부분적인 이해를 바탕으로, 관련된 문제 상황에 적절한 전략을 적용하여 해결하는 능력과 수행 과정이 다소 미흡하다.

E복소수와 극좌표, 미적분의 활용, 편미분과 관련된 수학적 표현의 사용 및 여러 개념들의 성질이나 원리에 대한 이해가 미흡하고, 관련된 문제 상황에 적절한 전략을 적용하여 해결하는 능력과 수행 과정이 미흡하다.

수학과 고등학교 성취기준 성취수준 예시평가문항 고급 수학Ⅰ, 고급...

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