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力学分野

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物理IB 物体の運動

物体の運動 等速運動～等加速度運動

運動の表し方(1)平均の速さ

速度の正負は向きを示すx1 x2

t1 t2

等速直線運動

(2)時間 t の間の移動距離を x ,速さを v とすると

x - tグラフ 傾きの示すものv - tグラフ面積が示すもの

x

t t

v

(3)

(4)

ベクトルの合成と分解

θ

平行四辺形の法則成分の大きさは(5)

相対速度

(6)

加速度平均の加速度(7)

t1

t1t2

加速度の正負は向きを示す

等加速度直線運動

運動の向き

運動の向き

左図の加速度の向きは

(8)

傾きの示すもの

面積

v

v

v,a,xの負は向きを示す

(9)

(10)

t[s]後の速度 (11)

t[s]後の位置

時間 tを消去した式

t

t

v－tグラフの示すもの(12)加速度

v

t1 t2 t3

(13)面積の示すもの

t

v

速度見える相対速度

v1から見たv速度は

v2

F

Fx

Fyv1

v2

v =x2-x1t2-t1

v =xt

x = v t

速 度

距 離

F

Fx

y=Fsinh

=Fcosh

v = v2－ v1

a =v2- v1t2-t1

右向き左向き

加速度

変 位

v= v0+ at

x= v0t+12

at2

v2-v02=2ax

移動距離

a1=t1

va2=0 a3=-

t3-t2

v

１秒間あたりの位置の変化量

x1x2

t1t2

m/s

右向きを正とするとき速度は負の量となる

m/s・s=m

a

b

a+b

v = v 2 - v 1

相手－自分

40km/h

50km/h

40km/h パトカーから見たＡの速さ

パトカーから見たＢの速さ

Ａ

Ｂ

80km/h

10km/h

v1

v1

v2

v2

速度が正

速度は負

v

t=0 10m/s t=4 2m/s

左図の物体の加速度の大きさと向きを答えよ。

正

v=v

－2=10+a・ 40+at

a=－3

よ り大きさ

向き 左向き

3m/s2

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物理IB 落下運動

落下運動

等加速度直線運動 自由落下 鉛直投げ下げ運動 鉛直投げ上げ運動

重力による落下運動

(1) (4) (7)

(2) (5) (8)

(3) (6) (9)

鉛直投げ上げ運動

(10)最高点に達する時間

(11)最高点の高さ

(12)元に戻る時間

(13)元に戻る速度

最高点での速さが０になり、運動の対称性が成立

v

水平投射

y

x

t

θ

x

y

初速度 v0 で水平に投げた物体の運動

(14) t秒後の速度の x,y成分と向き

(15) t秒後の位置 x,y

v

斜方投射

(16)初速度の x,y成分

(17) t 秒後の速度のx，y成分

(19) 運動の軌跡 (20)最高点の時間と高さ (21)水平到達距離

x=v0t+12

at2

v=v0+at

v2-v02=2ax

v=gt

y=12

gt2

v2=2gy

v= v 0+ g t

y=v0t+12

gt2

v2-v02=2gy

v = v 0 - g t

y= v 0 t-12

g t2

v2-v02=-2gy

T=v0g

H=v02

2g

2T

-v0

vx= v0 vy= g t

x = v 0 t y =12

g t 2

v 0cosh v 0sinh

vx= v0coshvy= v 0s inh-g t

y=xtanh-12

gv0cosh

x 2T=

v0sinhg

H=v0sinh 2

2g X=v02

gsin2h

速さが０になる時間

02-v02=-2gH

y

xモンキーハンティング

鉛直方向には、自由落下運動で等しいから初速がちがっても必ず命中する。

x

y

v

θ

t v

(18) t 秒後の物体の位置 x,y

(22)最高点の速さ

x= v0cosh t y= v 0sinh t-12

g t2

等速 よ り

v0cosh

水平より角度θで速さv0で投げあげた物体の運動。水平方向は等速，鉛直方向は加速度－gの等加速度運動

(18)式よりtを消去鉛直方向の速さ が０ になる時間

0=v0sinh-gt よ りX=v0cosh×

v0sinhg

×2

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物理IB 剛体の力学

剛体の力学

O

F1

F2

F3

l1l3 l2

剛体のつりあいの条件は

O

F

l

(3)一般に,点Oに関する剛体に働く力の

モーメントMは

反時計回りを正とし,時計回りを負とする。

剛体に働く力は，同一作

用線上で自由に平行移動

できる

合力

l1

l2 (1)平行な２力の合力の関係

合力の大きさ

合力の作用点の場所は

合力

l2l1

(2)逆向きの力の合力

合力の大きさ

合力の作用点の場所

力のモーメントは，上図のように直角方向で考

える．直角でないときは成分に分解し，直角方

向で求める

(5)力のつり合い

力のモーメントのつり合い

l1 l2

反時計まわりを正とし，時計回りを負とする

平行な２力の合成

は，上の図のよう

に，釣り合う力を

求めて逆向きを考

える方がわかりや

すい

O

ワンポイント 平行でない

３力のつり合いは作用線が

必ず１点で交わり，力を移

動すれば閉じた三角形にな

る．

合力と力のモーメントつり合い

F1

F 1

F 2

F2

F1F2

F

F

F3

(4)力のつり合い

点Oについての力のモーメント

のつり合い

合 力 = F 1+ F 2

l1 : l2= F 2 :F 1で 内 分

合 力 = F 1- F 2

l1:l2= F 2:F 1で外分

M = F・l

F1+ F2+ F3+…=0

-F1・l1 +F2・l2+ -F3・l3 =0

-F 1 + -F 2 + F 3 = 0

F 1・l1+ - F 2・l2 = 0

作用線は1点で交わる

蝶番W

T

30°Ａ

一様な長さl棒をを図のように糸につないで固定した。点Ａについての力のモーメントの釣り合い

棒の重さは無視 T×lsin30°-W×2l

=0

張力の大きさTはと蝶番からの大きさは

張力T=W 蝶番からの力 W　

W

N

F

R

θ

なめらかな壁に立てかけた長さl の一様な棒。床についての力のモーメントの釣り合い

摩擦力の大きさ

W× 2l

cosh-R×lsinh=0

R=2tanh

W

m1 m2

x1 x2

(6)重心の位置座標

O

X=m1x1+m2x2

m1+m2

α

β

W

F

水平に加える力は

F=Wtanβ

.jhd < 5 >公式集力学 　

質量 mの物体に働く重力

物理IB 運動の法則

運動の法則力のつり合い

x

y

F1

F2

F3 (1) x方向の力のつりあい

(2) y方向の力のつり合いθ mg

N f

(3)斜面上のつり合い

M m静止重力加速度 gとして，力の釣り合いから

(4)張力 (5)摩擦力

運動方程式

F２F１

F３

質量 mの物体に３つの力が働くとき,生じる加速度を aとすると(6)運動方程式

a

なめらかな斜面

θ mg

N

(7)運動方程式

(8)加速度

(9)張力 Tで持ち上げていく質量 mの物体

の運動方程式と加速度a

力のつりあいと運動方程式

摩擦のある斜面F1x+ -F 2x + -F3x = 0

F 1 y + -F 2 y + F 3 y= 0N - m g c o s h = 0

f - m g s in h = 0

T = m g f=mg

m a = F 1+ -F 2 + F 3

W = m g

ma=m gsinh

a = g sin h

ma=T-mg a=mT－g m/s2

正負で向きを示す。釣り合うときは合力が０である。成分は０になる。

T-mg=0 T-f=0 より

[N]mkg

1kgの物体に働く重力は1kgwで，9.8Nである。

a

力の釣り合い…斜面垂直方向

等加速度運動

N-m g cosh= 0

v=v0+gsinh・ t x=v0・ t+12

gsinh・ t2

a T

a

加速度aで上昇するエレベータ内の体重Wの子供の見かけの重さ

Wa=NN=W

=W

g+a

1+ga

-Wg[N]

[kgw]

外力F摩擦力f0 外力F

最大静止摩擦力f

外力F

運動摩擦力f’静止

摩擦力

摩擦力３つの場合

動き出す直前 運動中

f 0= F f= l N f '=l 'N

θ

静止摩擦係数μと摩擦角の関係

l = ta n h

運動の向き

動摩擦係数μの床を滑る物体の運動の方程式

N-mg=0 ma=-lN よ り ma=-lmg

a=-lg

(11)加速度

.jhd < 6 >公式集力学 　

物理IB 運動方程式

運動方程式 運動方程式と摩擦力

(3)速さ vに比例する空気の抵抗力(比例定数k)を受けて落下する物体の運動方程式

M

m

(9)それぞれの運動方程式

(10)加速度の大きさ

すべて摩擦ないもの

とする

(11)張力の大きさ

落下中 m a = m g－ k v

M a= Tm a = m g -T

a=M+m

mgT=

M+mMmg

θ θ

動摩擦係数μの斜面

(1)運動方程式（下降中）

a

a

正

(4)自然長から l伸びておもりが釣り合った式

(5)自然長から x伸びた瞬間のおもりの運動方程式

mg mg

mg

m a = m gsinh-lm g cosh m a=-m gsinh-lm gcosh

mg=kl

m a = m g -k x

質量 mの物体を動摩擦係数μの床で水平方向に Tの力で引くときの運動方程式と加速度

T

m a = T - l m g

a =mT

- l g

ma=fM m

F

外力 Fを加える物体間に働く力を f個々の運動方程式をつくることがポイント

(6)２つの物体のそれぞれの運動方程式

(7)加速度 a

(8)物体間の力 f

M a= F - f

a=M+m

F

f=M+m

mF

f

(２)運動方程式（上昇中）

ma=f

アトウッドの器械

a

a

M m

T

(11)それぞれの運動方程式

(12)加速度の大きさ

(13)張力の大きさ

M a = M g - T

m a = T - m g

a=M+mM-m

g

T=2MmgM+m

質量mの小物体を左から速さv0で滑らせる。動摩擦係数μの質量Mの台がなめらかな床の上を動く。加速度α，βとするときの運動方程式

α

β

ma=－lmg Mb=lmg

小物体が台上で止まる時間

台から みた加速度

0=v0+ a－b ta－b=－l

t=M+m

M

g

lgv0

－lMm

g

θm M

βα

台の加速度γ

右図，摩擦はないものとする。質量mの小物体をv0で滑らせる。台が右向きに動く。台上にあるとき加速度を図のようにとるとき、運動方程式をつくれ。垂直抗力をNとする。

ma=－ N sinh mb= N cosh－ m g M c= N sinh

α，β，γの関係を答えよ。

tanh=a－γ－β

等速落下はv=

mgk

力のつり 合い

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運動量の保存 衝突・分裂の問題

vo

F Fv

(1)運動量

t秒 (2)力積 (3)物体の運動量の変化は，物体に加えられた力積に等しい。（ベクトルで表現）

運動量保存の法則

(4)外力が働かない限り，２つの物体の衝突前後での運動量の和は保存されている。

MV m v

MV'm v m v'

ベクトルで表現 大きさで表現

正の向き衝突前 衝突後

M V mM

V'mv m

正の向き

衝突前 衝突後(5)向きを考える衝突問題 大きさで表現すると

v'

M V mM

V'mvm

衝突前 衝突後一体となる

(6)衝突後一体となる場合。(向き)

vx

vx'

(7)平面上の衝突壁に衝突するときは，壁に平行な成分については，運動量は保存される．

vx

vx'

Vx

Vx'

m

MVy

vy

Vy'

vy'

M

m

m

(8)平面上の衝突問題 それぞれの成分について

衝突中

m[kg]

m v0 m v

F t

M V + m v = M V ' + m v' MV+mv=MV '+mv'

m v -m v 0= F t

M V + -m v = -M V ' + m v '

M V+ -m v = m + M V '

m v x = m v x '

x成 分 m v x+ M V x= m v x'+ M V x'

y成分 -m vy + M V y= m vy'+ -M V y'

物理IB 運動量の保存

kgm/s

N･s

正の向き

反発係数

hh'

v

v'

(1)反発係数 eを速度で示すと

(2)同様に高さで示すと

衝突前

e=-v'v

>0

e=h '

h

衝突後

v'v

v v'

V V'

V V'

(5)反発係数は（大きさで示す）

衝突前

衝突前

衝突後

衝突後

e=v'-V 'V-v

e=V '+v'V+v

反発係数eのとき(3)時間の比は

t1

t2 =e

x1x2

(4)距離の比

x2x1

=e

t1 t2

vV衝突前

右図のように２つの物体が直線運動しているとき、衝突後ＢからＡをみるといくらの速さでどちらの向きにいくらの速さで動いているか。

Ａ Ｂ反発係数をeとする

e (V－v)で左向き

.jhd < 8 >公式集力学 　

物理IB 反発係数と衝突

衝突問題と運動量保存 反発係数と衝突

v v'V V ' 衝突後(1)弾性衝突の場合（左図）運動量保存の法則

反発係数

＊力学的エネルギーの保存

Mkg mkg衝突には，完全弾性衝突・非弾性衝突・完全非弾性衝突がある．その違いは，反発係数が e=1, 0<e<1, e=0 のときの場合である．e=0 のときは２つの物体は衝突後一体となる．

分裂前 分裂後

Mkg m1kg m2kgv2

v1V

(2)分裂前後の運動量の保存

分裂前 分裂後

Mkgm1kg m2kgv1

分裂後

(3)静止していた物体が２つに分裂した場合

mkg v

v

(7)壁に衝突した物体が同じ速さで跳ね返るとき，物体の受けた力積

壁の受けた力積右向きを正とする

花火は最高点ではじける．そのときの運動量の和は０である．球はどの方向から見ても円であるので同じ形で見える

運動量は mvで向きを持つ。反発係数は vで示す相対的な速さであることに注意する

v2

M V+ m v=-M V '+ m v'

1=V '+v'V-v

12

M V 2+12

m v2=12

M V '2+12

m v'2

MV= m 1v1+ m 2v2 0= -m1v1 +m 2v2

-2m v（運動量の変化）

2m v

正

正

VＡ Ｂ Ａ Ｂ

同質量の２つの物体が弾性衝突するとき

衝突後の速度は

静止 VＡ Ｂ Ａ Ｂ

衝突後の速度は

v

正

同質量の２つの物体が弾性衝突するとき

Ａは静止，Ｂは右向きにV（速度の交換）

Ａは左向きにv（－v），Ｂは右向きにV（速度の交換）

同質量、弾性衝突の例

M O T H E R

θ

ボールの質量m，同じ速さvで図のように打ち返したとき，ボールの受けた力積の大きさは

2mvcosp－h2

mv M 静止

r

半径rの斜面を持つ質量Mの台に向かって小球を滑らせた。Ａ図,Ｂ図のときの台の速さを答えよ。

mv= m+M V より V=M+m

mv

Ａ Ｂ

mv=mv'+MW12

mv2=12

mv'2+12

MW2 よ り W=M+m2m

v

V

Wv'

すべての運動で摩擦はない

下図のなめらかな斜面をもつ質量Mの台に向かって質量mの小球を滑らせた。小球が上がる最高点の高さはいくらか。最高点のとき台の上にいるものとする。床・斜面はなめらかとする。

m M

mv=

12

h=

mv

2gv2

m+M

2=

M+m

M

12

M+m

V ∴

V

V=

2+m

M+mmv

gh

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物理IB 力学的ｴﾈﾙｷﾞｰ

仕事と力学的エネルギー仕事 F

x

F

x F x

仕事の量(1) 仕事の量(2) 仕事の量(3)

(4)t秒間にW[J]の仕事をするときの仕事率

(5)力Fを加えてその向きに一定の速さvで動く物体について力がする仕事率

h

(6)重力による仕事は、経路によらず

(7)動摩擦係数μの床を lだけ滑るとき、摩擦力のする仕事

質量 m

エネルギー 仕事をする能力

m

v(8)運動エネルギー

h

(9)重力による位置エネルギー

基準は地面からとることが多い

バネ定数 k

(10)自然長から x変位しているときの弾性力 f

(11)弾性力による位置エネルギー

エネルギーの原理

一定の力 Fv２

v１

x

(12)物体の運動エネルギーの変化量は、加えられた仕事に等しい。

動摩擦係数μ

v

x

静止

(13)上の場合の関係式

力学的エネルギー保存の法則

h

H

v V

(14)上の場合の力学的エネルギーの保存を示す式

θ

l

摩擦力などの仕事

外力が仕事をしないとき，力学的ｴﾈ

ﾙｷﾞｰは保存される。

W=Fx W = F xcosh W =-Fx

P=Wt P= F v

W=mgh

-l m g l

K=12

mv2 U = m g h

f = k x U k=12

kx2

12

mv22-12

mv12=Fx

12

mv2=-lmgx

12

mv2+mgh=12

mV2+mgH

[J] [J] [J]

[W] [W]

[J]

[J]

h 左図の物体への仕事重力

垂直抗力

－mgh [J]

0 [J]

質量 m

[J][J]

[J][N]

質量mおもりをつるすと自然長からlだけ伸びて釣り合っている。力の釣り合いの式

バネ定数

弾性エネルギー（kを使わずに）

自然長を基準にした位置エネルギー

kl－ m g= 0

k=mgl

[N/m]

12

m g l [J]

－mgl [J]

h

v

(15)自由落下する物体のエネルギーの関係式

mgh=12

mv2

速さvは

2gh m/s

運動エネルギー・位置エネルギー・弾性エネルギーを総称して力学的エネルギーという。外力が仕事をしない限り、力学的エネルギーの総和は保存されている。重力・弾性力はエネルギーに含まれているので、外力ではない。

(速さ )２と

質量の両方が関係する

.jhd < 10 >公式集力学 　

物理IB 力学的ｴﾈﾙｷﾞｰの保存

力学的エネルギーの保存の法則

hv０

最高点 (3)水平に投げた物体の関係式v０h

v

v０

h

θ

(4)斜方投射の場合での最高点との関係式

(5)なめらかな斜面上を vですべらせたら、 lだけ進んで一瞬静止した。

(6)変位 xで速さ vのバネ（バネ定数 k）の単振動の関係式

v

A

v

(7)自然長での速さが vであるとき、振幅 Aとするときの関係式

A

A

(8)つり合いのところを基準として、 x変位したときの速さを vとするときの関係式

θ

静止v

(9)長さ lの振り子の場合の関係式

衝突前 衝突後

V v V' v'M m

(10)衝突の前後で力学的エネルギーが保存されているとき（弾性衝突）

V

v

(11)長さ lの軽い棒の先に質量 mのおもりをつけて鉛直面内で円運動させたとき

AA

θ

v

l

鉛直投げ上げ運動(1)hの高さでの力学的エネルギーの保存

(2)真上に投げあげた物体の最高点と投げあげた地点でのエネルギーの関係式

最高点の高さ

12

m v 0 2= m g H

12

mv02+mgh=12

mv2

12

mv02=12

m v0cosh 2+mgh12

m v2= m g lsinh

12

mv2+12

kx2=12

kA2

12

mv2=12

kA2

12

m v 2+12

kx 2=12

k A 2

12

m v2= m g l 1-cosh

12

MV2+12

mv2=12

MV '2+12

mv'2

12

mV2=12

mv2+2mgl

H

v

12

m v 0 2=12

m v 2+ m g h

H=v02

2g

最高点の高さ

h=v0sinh 2

2g

振動の中心での速さは

v=Am

k

位置エネルギーの基準は,どこにとっても同じ形になる。

最下点での速さ

v = 2g l 1 - c o sh

アトウッドの器械

M mM m

hh

v

v

左図の静止の状態から，右図のように2h離れて速さvで動いているときの力学的エネルギーの保存

2つの物体の速さ

0=12

Mv2－Mgh+12

mv2+mgh

v=2 M－m gh

M+m