Module dynamique des populations 1

Dynamique des populations

1 Description de la population2 Dynamique temporelle d’une population3 Dynamique temporelle de deux populations

Module dynamique des populations 2

Description de la population

Module dynamique des populations 3

Définition d’une répartition au hasard

• Le semis de point peut avoir une répartition régulière, agrégée, ou au hasard.

• Processus de génération des points au hasard:B

Φ(B) suit un processus de Poisson [λ×ν(B)], où λ est l’intensité.

Ce processus est stationnaire.

Φ(B)=nb de points

ν(B)=aire de B

Répartition uniforme des points dans B

Module dynamique des populations 4

Illustrations données complètement cartographiées

Théorique

Pratique

Module dynamique des populations 5

Indices pour les quadrats

• Indice de variance relative (réf. Fisher et al (1922))

• Indice de taille des agrégats (réf. David et Moore (1954))

XSI

2=

1 2−=

XSICS

Module dynamique des populations 6

Exemple tiré du Henry (Dunod)

Module dynamique des populations 7

Tests de la distribution en présence de quadrats

• Test du chi2 (cf. cours de statistique)

• Test de l’égalité, moyenne variance– H0 : µ = σ2 (modèle de type Poisson)– Statistique : (n-1) S2/ suit un χ2

(n-1)

Ninixi

Nombre théorique (Poisson)Nombre observé de quadratEffectif du quadrat

X

Module dynamique des populations 8

Technique d’échantillonnage pour le poisson d’eau douce

• Évaluation directe– Peuplement total : assèchement,

empoisonnement, explosifs, pêches exhaustives– Peuplement partiel : techniques

d’échantillonnage, aléas de la pêche, milieu non stationnaire, quelle représentativité ?

• Le marquage (techniques CMR)

Module dynamique des populations 9

Marquage d’un poisson

Mettre le schéma d’internet

Module dynamique des populations 10

Marquage d’un papillon

Module dynamique des populations 11

Probabilités associée au CMR• Notations

– pi = probabilité de recapture, proba qu’un individu présent à i soit capturé à i– φi = probabilité de survie, proba qu’un individu présent à i soit présent à i + 1– γi = probabilité d’ancienneté, proba qu’un individu présent à i ait été présent à i – 1

• Principe– Historique 1110110 d’effectif observé N1110110 survie

0110111Historique

7654321Occasions

recrutement

))1()1(()1()Pr( 6766554433221 φφφφφφφ pppppph −+−−=- Si on autorise le recrutement, on a deux sens de lecture possible

Module dynamique des populations 12

R

NR

R-NR

Relaché après marquage

Recapturé, Φp

Non recapturé, Φ(1-p) + (1-Φ)M

Effectif inconnu de la population

N suit une loi binomiale B(R,ΦP), conditionnellement à R

RNp R== θφθ ˆ ,

Cas d’un marquage-recapture

Si Φ=1 (tps très court) et p constant, alors M peut être estimé par RN/NR où N est l’effectif de la pêche

Les hypothèses des modèles CMR-Les histoires de vie des individus sont indépendantes et les probabilités Φ, p, γ sont identiques pour tous les individus de la population

-L’échantillon est représentatif, les marques sont neutres par rapport aux traits étudiés et ne peuvent être perdues

Module dynamique des populations 13

Exemple de survie des goélands breton (P79) tiré du Henry

Module dynamique des populations 14

Dynamique temporelle d’une population

Module dynamique des populations 15

Description dynamique d’une population

• Pour la dynamique de l’abondance, les variations d’abondance sont dues aux : naissances, mortalités, migrations, changement de classe

• La description de la dynamique suppose l’élaboration d’un modèlepour prédire ou comprendre les variations d’abondance

Exemple :Nb de peuplier de 1 à 2 ans sur ma parcelle

1999

2000

2001

2002

2003

2004

Variable d’étatFlux entrant :

Peupliers atteignant l’âge d’un an

Flux sortant :

Peupliers dépassant l’âge de 2 ans

Compartiment

Module dynamique des populations 16

Tables démographiques

• Il faut suivre une cohorte (données longitudinales).

• Dans le cas de données transversales– Les taux démographiques (mortalité, fécondité)

par âge ne varie pas dans le temps– L’effectif de la population ne change pas au

cours du temps– = population stationnaire sur la période d’étude

Module dynamique des populations 17

Poa annua, Paturin annuel p89

Module dynamique des populations 18

Modèles de croissanceÉquation de base :

N(t+∆t) = N(t) +B –D +I –E –H

Les effectifs sont exprimés par le produit de N(t) et dutaux correspondantB = bN(t), D=dN(t), I=iN(t), E=eN(t), H=hN(t)

Coefficient de changement (taux d’accroissement) : R = (1+b-d+i-e-h)N(t+ ∆t) = RN(t)

R>1 pop croît, R<1 pop décroît, R=1 pop stagne

Module dynamique des populations 19

Modèles de croissance

• Taux de changement relatif »R = [N(t+∆t)-N(t)]/N(t) et R=(1+ R)

• Taux de changement relatif par unité de temps» r = [N(t+∆t)-N(t)]/[N(t) ∆t]

• Taux instantané de changement relatif ou taux instantané d’accroissement

» r quand ∆t tend vers 0 (modèle continu)

Module dynamique des populations 20

Modèles de croissance déterministe, indépendant de la densité

– DiscretN(t+1)=R N(t) soit N(t)= N(0) Rt

– ContinuN(t) = N(0) ert

• Hypothèses : • R ou r ne dépendent pas du milieu• Naissance et décès sont indépendants de

l’âge ou autres caractéristiques• L’espèce existe sous la forme d’une seule

population• La (dé)croissance de la population est

exponentielle dans le temps

Thornton (1922): bactérie Bacillus dendroides

Module dynamique des populations 21

Module dynamique des populations 22

Modèles de croissance déterministe dépendant de la densité

• On définit – K la capacité de charge du milieu – Rm ou R m le coef. ou le taux d’accroissement maximum

• On modélise R ou R en temps discrets– Dépendance linéaire– N(t+1)=RN(t) où R = Rm(1-N(t)/K) (sygmoïde)– N(t+1)=(1+ R)N(t) où R = Rm(1-N(t)/K) (logistique)

– Exemple de dépendance non-linéaire– R=Rme-aN(t) (équation de Ricker)

Module dynamique des populations 23

Modèles de croissance déterministe dépendant de la densité

• Temps continus– [N(t+∆t)-N(t)]/ ∆t = r N(t)– Équation différentielle logistique

– Modèle logistique ou de Verhulst

( ) )()/(1)( tNKtNrdttdN −=

( ) rteNKKtN −−+= 1)0(/1)(

Module dynamique des populations 24

Modèle à compartiment : Matrice de projection de la population

• I Matrice de Leslie (application à la dynamique d’une population d’oiseaux)

– Définition de la matrice de projection et du vecteur d’état

– Projection de la population et état stable– Hypothèses sous jacentes à cette modélisation

• II Matrice de Usher (application à la dynamique d’une forêt)

Module dynamique des populations 25

Modèle à compartiment : description du modèle de Usher pour les arbres

La population peut être décrite à la date t par un vecteur d’état :

où est le nombre d’individus appartenant à la classe de diamètre i au temps t.

[ ]Nt t t L tn n n′ = 1 2, , ,L

Recrutement

Mortalité

ni t,

Classe 2

Classe L

MortalitéMortalitéClasse 1

Module dynamique des populations 26

Matrice de PassageN PNt t+ =1

Contribution classe 3 au recrutementAnnée t

P0

0

=

+

− − − −

−

pp p

p p

p Pp p

L

L L L L

L L LL

11 1 2 3

12 22

23 33

2 1 1 1

1

ϕ ϕ ϕ ϕL L

L L

Année t +1

m p pi ii ii= − + +1 1( )m pL LL= −1

Mortalité implicite :

Probabilité de passer en classe 3

Probabilité de rester enclasse 3

Module dynamique des populations 27

Recrutement dépendant de la densité

N PN R +t t t+ = +1 1

P0

0

=

− − − −

−

pp p

p p

p pp p

L L L L

L L LL

11

12 22

23 33

2 1 1 1

1

L L

[ ]′ = +R +t tr1 1 0 0L r aetbNt

+−=1avec

Module dynamique des populations 28

Exemple de modélisation, Forêt Guyanaise, Paracou (V. Favrichon 1994)

Module dynamique des populations 29

Module dynamique des populations 30

Module dynamique des populations 31

Module dynamique des populations 32

Module dynamique des populations 33

Module dynamique des populations 34

Dynamique temporelle de deux populations

Module dynamique des populations 35

Compétition interspécifique

Deux espèces N1 et N2 sont en compétition pour les ressources alimentaires

Suppositions : α = taux de reproduction égauxSans compétition β1= β2=0, modèles logistiquesRecouvrement de la niche traduit par β1 et β2

+−××=

1

2111

1 )()(1)()(K

tNtNtNdt

tdN βα

+−××=

2

1222

2 )()(1)()(K

tNtNtNdt

tdN βα

Modèle de type prédateur-proie

Modèle de Lotka-Volterra, 1926Sans prédation, βN= βP=0, modèles exponentiels.Avec prédation, le taux de disparition des proies est proportionnel à

l’effectif des prédateurs P(t). De même, le taux de croissance des prédateurs proportionnel à

l’effectif des proies N(t).

)()()()( tPtNtNdt

tdNNN ××−×= βα

)()()()( tPtNtPdt

tdPPP ××+×−= βα

Relation prédateur-proie

Module dynamique des populations 38

Exemple en milieu naturel : fluctuations du lièvre et du lynx enAmérique du nord

Variations autour du modèle de Lotka-Volterra :Autolimitation des proies

Sans prédateurs, βN=0, modèle logistique pour les proies.

)()()(1)()( tPtNK

tNtNdt

tdNN

NN ××−

−××= βα

)()()()( tPtNtPdt

tdPPP ××+×−= βα

Variations autour du modèle de Lotka-Volterra :Autolimitation des proies

Module dynamique des populations 41