dy )))) · 2008-07-31 · Eğer sistemdeki diferansiyel denklemlerde sistem homojendir. Bu anlamda...

Daha önce beşinci bölümde

denklemlerini ele almıştık. Burada

fazla olduğu diferansiyel denklemlerden

üzerinde duracağız. Genel olarak

denklemden oluşan diferansiyel

yazabiliriz:

(((( , ,dx

x f x y t= == == == =� ((((

((((

, ,

, ,

dxx f x y t

dt

dyy g x y t

dt

= == == == =

= == == == =

�

�

tek değişken durumunda fark

değişken sayısının iki ya da daha

denklemlerden oluşan bir sistemin çözümü

22

iki tane birinci sıra diferansiyel

diferansiyel denklemler sistemini şöyle

)))), ,x f x y t ))))

))))

, ,

, ,

x f x y t

y g x y t

t

x ax by ce

y rx sy qe

= − −= − −= − −= − −

= + −= + −= + −= + −

�

�(1)

(2)x ax by

y rx sy

= −= −= −= −

= += += += +

�

�

(3)

x ax bxy

y rx sxy

= −= −= −= −

= += += += +

�

�

33t

t

x ax by ce

y rx sy qe

Yukarıda yer alan üç diferansiyel

sıradandır. Yani her bir sistem,

türevine göre yazılmıştır. 1. vetürevine göre yazılmıştır. 1. ve

değişkenleri olan x ve y bağlamında

Buna karşın 3. sistem, x ve y xy biçiminde

yer aldığından, doğrusal değildir

değişken olarak yer almıyorsa, sistem

değil, buna karşın 2. ve 3. sistemler

diferansiyel denklem sistemi de birinci

değişkenlerin en yüksek birinci

2. sistemler, sistemin bağımsız

44

2. sistemler, sistemin bağımsız

bağlamında doğrusal olduğundan doğrusaldır.

biçiminde çarpım olarak denklemlerde

değildir. Eğer denklemlerde t bağımsız

sistem otonomdur. 1. sistem otonom

sistemler homojendir.

Eğer sistemdeki diferansiyel denklemlerde

sistem homojendir. Bu anlamda

homojen değildir.homojen değildir.

İki diferansiyel denklemden oluşan

değişkenlerini t ’ye bağlayan x=x(t)

bulunmasıdır. Elde edilecek denklemler,bulunmasıdır. Elde edilecek denklemler,

Ayrıca, sistemin belirli çözümünün

koşullarının da verilmiş olması gerekir

denklemlerde sabit terimler yoksa,

1. sistem, cet teriminden dolayı

55

oluşan bir sistemin çözümü, x ve y

) ve y=y(t) biçimindeki denklemlerin

denklemler, t ’te göre türevlenebilirdir.denklemler, t ’te göre türevlenebilirdir.

çözümünün elde edilebilmesi için, başlangıç

gerekir.

Buna göre, iki değişkenli bir diferansiyel

olarak şöyle tanımlayabiliriz:

(((( )))), ,x f x y t====� (((( ))))

(((( ))))

(((( )))) (((( ))))0 0 0 0

, ,

, ,

,

x f x y t

y g x y t

x t x y t y

====

====

= == == == =

�

�

diferansiyel denklem problemini genel

66

0 0 0 0x t x y t y= == == == =

ÖrnekÖrnek 11::

(((( )))) (((( ))))

2

2 , 3

x x

y y

x t x y t y

====

====

= = = == = = == = = == = = =

�

�

(((( )))) (((( ))))

(((( )))) (((( ))))

0 0 0 0

2

2 , 3

2 , 3t t

x t x y t y

x t e y t e

= = = == = = == = = == = = =

= == == == =

Yukarıda elde ettiğimiz (t ’ye bağlı)Yukarıda elde ettiğimiz (t ’ye bağlı)

yapmak istersek, çözümü aşağıdaki

yörünge, Şekil 1’de gösterilmiştir.

3 2y x====

77

2 , 3x t x y t y= = = == = = == = = == = = =0 0 0 0

2 , 3

2 , 3t t

x t x y t y

x t e y t e

= = = == = = == = = == = = =

bağlı) çözümlerden, x-y düzlemine geçişbağlı) çözümlerden, x-y düzlemine geçiş

aşağıdaki gibi ifade edebiliriz. Buna ilişkin

3 2

Şekil 6.1. Diferansiyel Denklemin Iraksama Süreci Şekil 6.1. Diferansiyel Denklemin Iraksama Süreci

(Örnek 1)(Örnek 1)

ty

4

6

8

5 10

2

88

ekil 6.1. Diferansiyel Denklemin Iraksama Süreci ekil 6.1. Diferansiyel Denklemin Iraksama Süreci


3 2y x==== 3 2y x====

10 15 20t

x

ÖrnekÖrnek 22::

(((( )))) (((( ))))

2x x t

y y

= += += += +

====

= = = == = = == = = == = = =

�

�

(((( )))) (((( ))))

(((( )))) ((((

0 0 0 0

2

2 , 3

9 1, 3

4 2

t

x t x y t y

e tx t y t e

= = = == = = == = = == = = =

−−−−= − == − == − == − =

1 4 2y x t= + += + += + += + +

99

= = = == = = == = = == = = =

))))

0 0 0 02 , 3

, 3t

x t x y t y

x t y t e

= = = == = = == = = == = = =

= − == − == − == − =

Şekil 6.2. Diferansiyel Denklemin Iraksama Süreci Şekil 6.2. Diferansiyel Denklemin Iraksama Süreci


10t

y

4

6

8

5 10

2

1010ekil 6.2. Diferansiyel Denklemin Iraksama Süreci ekil 6.2. Diferansiyel Denklemin Iraksama Süreci


0t ====5t ====10t ====

1 4 2y x t= + += + += + += + +

0t ====

10 15 20t

x

Otonom sistemlerin zamandan bağımsız

Yani değişkenlerin zamana göre

denklem sisteminin çözümüyle eldedenklem sisteminin çözümüyle elde

Yukarıda örnek 1 otonom, örnek

Otonom bir diferansiyel denklem sisteminde

grafiği, t ’den bağımsızdır.

bağımsız davrandığına dikkat edelim.

göre türevleri sabittir. Diferansiyel

elde ettiğimiz x ve y, t ’ye bağlıdır.

1111

elde ettiğimiz x ve y, t ’ye bağlıdır.

2 otonom olmayan sistemlerdir.

sisteminde (x, y düzlemindeki) süreç

Yukarıda sözünü ettiğimiz gibi,

diferansiyel denklem sisteminin çözümüyle

fonksiyonlarının, y=f(x, t) fonksiyonuna

başlangıç koşulu altında çizilmesiyle

noktasından hareketle, zamana bağlı

bir seyir izleyeceğini gösterir. Bu

grafiği de (orbit) denilebilir. Örnek

süreç (yörünge) grafiğidir.

süreç grafiği (phase diagram),

çözümüyle elde ettiğimiz, x(t) ve y(t)

1212

fonksiyonuna dönüştürülüp, tanımlı bir

çizilmesiyle elde edilir. Bu grafik, başlangıç

bağlı olarak x değiştikçe, y ’nin nasıl

Bu nedenle bu grafiklere, yörünge

Örnek 1 ve örnek 2’deki grafikler, birer

ÖrnekÖrnek 33::

0 0

3

2

2 , 3

x x y

y x y

x y

= −= −= −= −

= − += − += − += − +

= == == == =

�

�

0 02 , 3x y= == == == =

Bu diferansiyel denklem sistemini,

çözelim.

33 3

x x x xx x y y y

− + − +− + − +− + − +− + − += − → = → == − → = → == − → = → == − → = → =

� ��

3 3

2 23 3

2 5 0

x x x xy x y x

x x x

− + − +− + − +− + − +− + − += − + → = − += − + → = − += − + → = − += − + → = − +

− − =− − =− − =− − =

��

��

1313

sistemini, ilk olarak indirgeme yöntemiyle

3 3

x x x xx x y y y

− + − +− + − +− + − +− + − += − → = → == − → = → == − → = → == − → = → =

� ��

3 3

2 23 3

x x x xy x y x

− + − +− + − +− + − +− + − += − + → = − += − + → = − += − + → = − += − + → = − +

��

1 2

2

1 2 1 2

2 5 0 2 5 0 1 6

r t r t

t t

x x x r r r

x A e A e x A e A e

− − = → − − = → =− − = → − − = → =− − = → − − = → =− − = → − − = → =

= + → = += + → = += + → = += + → = +

��

(((( )))) (((( )))) ((((

1 2 1 2

1 6 1 6

1 21 6 1 6

3

t t

t t

x A e A e x A e A e

x A e A e

x xy

+ −+ −+ −+ −

= + → = += + → = += + → = += + → = +

= + + −= + + −= + + −= + + −

− +− +− +− +====

�

�

(((( )))) ((((1 6 1 6

1 2

3

6 6

3 3

t t

t

y

y A e A e+ −+ −+ −+ −

====

= − += − += − += − +

1414

(((( )))) (((( ))))

1,2

1 6 1 6

1 2 1 2

2 5 0 2 5 0 1 6

t t

x x x r r r

x A e A e x A e A e+ −+ −+ −+ −

− − = → − − = → =− − = → − − = → =− − = → − − = → =− − = → − − = → =

= + → = += + → = += + → = += + → = +

∓

)))) (((( ))))

1 2 1 2

1 6 1 6

1 21 6 1 6

t t

x A e A e x A e A e

x A e A e+ −+ −+ −+ −

= + → = += + → = += + → = += + → = +

))))1 6 1 6t ty A e A e

+ −+ −+ −+ −

(((( )))) (((( ))))

(((( ))))

1 6 1 6

1 2

1 6 1 6

1 2

6 6

t t

t

t t

x A e A e

y A e A e

+ −+ −+ −+ −

+ −+ −+ −+ −

= += += += +

= − += − += − += − +

(((( )))) (((( ))))

1 2

0 0

1 2

3 3

2 , 3

1 6 1 6 2

ty A e A e

x y

A A

= − += − += − += − +

= == == == =

+ + − =+ + − =+ + − =+ + − =(((( )))) (((( ))))1 2

1 2

6 63

3 3A A− + =− + =− + =− + =

1515

(((( ))))1 6 1 6

1 2

t t

t ty A e A e

+ −+ −+ −+ −

1 2

1 6 1 6 2 3 61

y A e A e

A+ + − =+ + − =+ + − =+ + − = = −= −= −= − 1

2

14

3 61

4

A

A

= −= −= −= −

= += += += +

(((( ))))1 6 1 63 6 3 61 1

4 4

t t

tx e e

+ −+ −+ −+ − = − + += − + += − + += − + +

(((( ))))1 6 1 63 6 3 6

2 3 2 3

t t

ty e e

+ −+ −+ −+ − = − + += − + += − + += − + +

1616

(((( ))))1 6 1 63 6 3 61 1

4 4

t tx e e

+ −+ −+ −+ − = − + += − + += − + += − + +

(((( ))))1 6 1 63 6 3 6

2 3 2 3

t ty e e

+ −+ −+ −+ − = − + += − + += − + += − + +

Denge değerlerini belirlemek için,

ğiz.

x

3 0

2 0

x x yx y

y x y

= − == − == − == − =

= − + == − + == − + == − + =

�

�

Bu örneğe ilişkin denge eğrileri (isoclines

6.3a, 6.3b ve 6.3c’de gösterilmiştir

görülebilmektedir. Şekil 6.3c’deki mavi

iki doğru, ve sıfıra eşitlenerekx� y�

2 0y x y= − + == − + == − + == − + = �

iki doğru, ve sıfıra eşitlenerek

ların üzerindeki tüm noktalarda x ve

kesişim noktası da, tüm diferansiyel

göstermektedir.

x� y�

1717

ve terimlerini sıfıra eşitleyece-x� y�

* *0 , 0x y= == == == =

isoclines) ve süreç grafikleri, Şekil

gösterilmiştir. Sürecin bir eyer dengesi olduğu

mavi doğrular, denge eğrileridir. Bu

eşitlenerek belirlenmektedir. Yani, bu doğru-eşitlenerek belirlenmektedir. Yani, bu doğru-

ve y dengededirler. Her iki eğrinin

diferansiyel denklem sisteminin dengesini

60

Şekil 6.3a. Diferansiyel Denklem Sisteminin Şekil 6.3a. Diferansiyel Denklem Sisteminin

Iraksama Süreci (Örnek 3)Iraksama Süreci (Örnek 3)

0.5 1

-20

20

40

-60

-40

-20

1818ekil 6.3a. Diferansiyel Denklem Sisteminin ekil 6.3a. Diferansiyel Denklem Sisteminin


ty

1.5 2t

tx

Şekil 6.3b. Diferansiyel Denklem Sisteminin Şekil 6.3b. Diferansiyel Denklem Sisteminin


-5.0 -4.0 -3.0 -2.0 -1.0

6.0

1919ekil 6.3b. Diferansiyel Denklem Sisteminin ekil 6.3b. Diferansiyel Denklem Sisteminin


ty

2.0

3.0

4.0

5.0

6.0 t

•••• 0 0( , )x y

0.0

1.0

-1.0 0.0 1.0 2.0 3.0t

x

Şekil 6.3c. Denge Eğrileri ve Süreç GrafiŞekil 6.3c. Denge Eğrileri ve Süreç Grafi


y

••••

3

IV

(((( ))))* *,x y

III

2020ğrileri ve Süreç Grafiğiğrileri ve Süreç Grafiği


ty 0y ====�

I

0x ====�

tx••••

(((( ))))0 0,x y

2

••••

I

II

Süreç grafiğini, denge eğrilerinin grafiği

inceleyebiliriz. Her bir alanı Romen

alanların içinde kalan kırmızı (küçük)

noktasından hareket edildiğinde, sürecin

da noktalara) doğru akacağını bize

Örneğin başlangıç noktasının I. bölgede

durumda x ve y nasıl değişecektir. Ix y

tünde, denge eğrisinin ise

denge eğrilerini yeniden yazalım ve

bölgelerin hareket yönlerini x ve y için

0y ====�

2121

grafiği böldüğü dört alan üzerinden

Romen rakamlarıyla tanımladık. Bu

(küçük) oklar, veri bir başlangıç

sürecin hangi yöne ve noktaya (ya

göstermektedir.

bölgede bulunduğunu varsayalım. Bu

I. bölge, denge eğrisinin üs-0x ====�

altında yer almaktadır. Buna göre,

ve bunun üstünde ve altında kalan

için belirleyelim.

0x ====�

İlk olarak denge eğrilerini (Şekil

yazalım.

3 0x x y y= − = → == − = → == − = → == − = → =�

2 0 2y x y y x= − + = → == − + = → == − + = → == − + = → =�

I. bölge için şunları yazabiliriz:

x3 0

3

2 2 0

xy x x y

y x y x y

> → = − <> → = − <> → = − <> → = − <

< → = − + << → = − + << → = − + << → = − + <

�

�

2222

6.3c’deki mavi doğrular) yeniden

3

xx x y y= − = → == − = → == − = → == − = → =

3

2 0 2y x y y x= − + = → == − + = → == − + = → == − + = → =

3 0

2 2 0

y x x y

y x y x y

> → = − <> → = − <> → = − <> → = − <

< → = − + << → = − + << → = − + << → = − + <

x azalıyor.

y azalıyor.

Yukarıdaki sonuca göre, I. bölgede

(yatay oklar sol yöne ve dikey oklar

oklarla gösterilecektir.

Buna benzer biçimde IV. bölgeyi deBuna benzer biçimde IV. bölgeyi de

yazabiliriz:

3 03

2 2 0

xy x x y

y x y x y

> → = − <> → = − <> → = − <> → = − <

> → = − + >> → = − + >> → = − + >> → = − + >

�

�2 2 0y x y x y> → = − + >> → = − + >> → = − + >> → = − + >�

Buna göre, IV. bölgede x azalma

doğru) ve y artma yönünde (dikey oklar

oklarla gösterilecektir.

2323

bölgede x ve y ’nin her ikisi de azalma

oklar aşağı yöne doğru) yönündeki

de inceleyelim. IV. bölge için şunlarıde inceleyelim. IV. bölge için şunları

3 0

2 2 0

y x x y

y x y x y

> → = − <> → = − <> → = − <> → = − <

> → = − + >> → = − + >> → = − + >> → = − + >

x azalıyor.

y artıyor.2 2 0y x y x y> → = − + >> → = − + >> → = − + >> → = − + > y artıyor.

azalma yönünde (yatay oklar sol yöne

oklar yukarı yöne doğru) yönündeki

ÖrnekÖrnek 44::

3 3

3

4 , 5

x x y

y x y

x y

= − += − += − += − +

= −= −= −= −

= == == == =

�

�

0 04 , 5x y= == == == =

Bu diferansiyel denklem sistemini

çözdüğümüzde şunları elde ederiz:

2 2

4 4

9 1 1 9,

2 2

t t

t tt t

e ex y

e e

− +− +− +− += == == == =

Bu çözümlere ilişkin grafikler aşağıda

2424

sistemini Örnek 3’te olduğu gibi

2 2

4 4

9 1 1 9

2 2

t t

t tt t

e ex y

e e

− +− +− +− += == == == =

aşağıda yer almaktadır.

5

Şekil 6.4a. Diferansiyel Denklem Sisteminin Şekil 6.4a. Diferansiyel Denklem Sisteminin

Dengeye Yakınsama Süreci (Örnek 4)Dengeye Yakınsama Süreci (Örnek 4)

ty

2

3

4t

y

tx

0.5

1

2525ekil 6.4a. Diferansiyel Denklem Sisteminin ekil 6.4a. Diferansiyel Denklem Sisteminin

Dengeye Yakınsama Süreci (Örnek 4)Dengeye Yakınsama Süreci (Örnek 4)

1 1.5 2t

Şekil 6.3b. Diferansiyel Denklem Sisteminin Şekil 6.3b. Diferansiyel Denklem Sisteminin

Yakınsama Süreci (Örnek 4)Yakınsama Süreci (Örnek 4)

6.0 y

2.0

3.0

4.0

5.0

6.0t

y

0.0

1.0

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0••••

2626ekil 6.3b. Diferansiyel Denklem Sisteminin ekil 6.3b. Diferansiyel Denklem Sisteminin

Yakınsama Süreci (Örnek 4)Yakınsama Süreci (Örnek 4)

••••0 0

( , )x y

2.5 3.0 3.5 4.0 4.5

tx

Şekil 6.3c. Denge Eğrileri ve Süreç GrafiŞekil 6.3c. Denge Eğrileri ve Süreç Grafi

(Örnek 4)(Örnek 4)y

••••

IV

III



ty 0y ====�

I

0x ====�

tx••••

(((( ))))0 0,x y

4

••••

II

İlk olarak Örnek 3 ve farklı bir örneği

DiferansiyelDiferansiyel DenklemDenklem SistemlerininSistemlerinin

11.. İkiİki FarklıFarklı ReelReel KökKök DurumuDurumu

genel olarak diferansiyel denklem

yazılabileceğini ve çözülebileceğini

3 1 3

2 2 1

x x y x x

y x y y y

= − −= − −= − −= − − ====

= − += − += − += − +

� �

� �2 2 1y x y y y

= − += − += − += − + � �

2 5 2 1 5

3 4 1 3 4 1

x x y x x

y x y y y

= − + − − −= − + − − −= − + − − −= − + − − −

= − + −= − + −= − + −= − + −

� �

� �

2828

örneği matris biçimde yazalım ve sonra

SistemlerininSistemlerinin MatrisleMatrisle ÇözümüÇözümü

DurumuDurumu::

denklem sistemlerinin matrisle nasıl

görelim.

3 1 3

2 2 1

x x y x x

y x y y y

= − −= − −= − −= − − ====

2 2 1y x y y y

2 5 2 1 5

3 4 1 3 4 1

x x y x x

y x y y y

= − + − − −= − + − − −= − + − − −= − + − − − = += += += +

= − + −= − + −= − + −= − + −

� �

� �

Şimdi genel olarak iki değişkenli birinci

diferansiyel denklem sistemini yazalım

11 12 1x a x a y b= + += + += + += + + �

�

11 12 1

21 22 2

x = Ax + b

x a x a y b

y a x a y b y y

= + += + += + += + +

= + += + += + += + +

�

� �

�

Denge değerlerini belirleyebilmek için,

x vektörünü belirlememiz gerekir.

* * 10 = Ax + b x A b→ = −→ = −→ = −→ = −

2929

birinci sıradan homojen olmayan bir

yazalım.

11 12 1a a bx x

= += += += +�

� � �

11 12 1

21 22 2

x xA b

a a bx x

a a by a x a y b y y

= += += += +

�

�

� ��

için, vektörünü sıfır kabul ederek,

* * 10 = Ax + b x A b

−−−−→ = −→ = −→ = −→ = −

x�

Homojen olmayan diferansiyel denklem

indirgeyerek çözüm yapabiliriz.

x = Ax + b�

(((( ))))

*

*

x = Ax + b

0 = Ax + b

x A x x= −= −= −= −

�

�

Daha önce birinci sıra diferansiyel denklemin

etmiştik:

.rtx c e====

3030

denklem sistemini, homojen duruma

))))

denklemin çözümü olarak şunu elde

Bu çözümü, sistemin çözümünde de

x vrte====

Burada v, rasgele sabitlerden oluşan

olacaktır:olacaktır:

x v x v

x Ax v A v

v Av Av v 0 A I v 0

rt rt

rt rt

e re

re e

r r r

= → == → == → == → =

= → == → == → == → =

= → − = → − == → − = → − == → − = → − == → − = → − =

�

�

1 1 2 2

1 2

1 2

v Av Av v 0 A I v 0

A I 0 ,

x v vr t r r t r

r r r

r r r

A e A e

= → − = → − == → − = → − == → − = → − == → − = → − =

− = →− = →− = →− = →

= += += += +

3131de kullanabiliriz.

oluşan vektördür. Çözüm sırasıyla şöyle

(((( ))))

x v x v

x Ax v A v

v Av Av v 0 A I v 0

rt rtre e

r r r= → − = → − == → − = → − == → − = → − == → − = → − =(((( ))))v Av Av v 0 A I v 0r r r= → − = → − == → − = → − == → − = → − == → − = → − =

ÖrnekÖrnek 55::

* *

2 4

x x yx y

y x y

= += += += +

= − += − += − += − +

�

�

0 01 , 3x y= == == == =

Bu, homojen bir diferansiyel denklem

olmadan, çözümünü doğrudan yapacağız

biçimde tanımlayalım.biçimde tanımlayalım.

A

1 1

2 4

x x

y y

====

−−−−

�

��

3232

* *0x y= == == == =

denklem olduğundan, indirgemeye gerek

yapacağız. Bunu ilk olarak matris

1 1A

2 4

1 1r

====

−−−−

−−−−

(((( )))) 1

1 2

1

1 1A I 0 5 6 0

2 4

2 , 3

A I v 0r

rr r r

r

r r

r

−−−−− = → = − + =− = → = − + =− = → = − + =− = → = − + =

− −− −− −− −

= == == == =

− =− =− =− =(((( ))))

1 1 1

1 1 1

1

1 1 2

2 1 2

1 1 0

2 2 0 2 2 0

r r r

r r r

v v v

v v v

−−−− − + =− + =− + =− + = = = == = == = == = =

−−−− − + =− + =− + =− + =

3333

2A I 0 5 6 0r r r

r− = → = − + =− = → = − + =− = → = − + =− = → = − + =

1 1 1

1 1

1 1 1

1 1 2

1 2

2 1 2

01 , 1

2 2 0

r r r

r r

r r r

v v vv v

v v v

− + =− + =− + =− + = = = == = == = == = =

− + =− + =− + =− + =

(((( )))) 2

2 2 2

2 2 2

2

1 1 2

A I v 0

2 1 0 2 0

2 1 0 2 0

r

r r r

r r r

r

v v v

v v v

− =− =− =− =

−−−− − + =− + =− + =− + = = = == = == = == = =

−−−− − + =− + =− + =− + = 2 2 2

1 2

1 2

1 2

2 1 2

1 1

2 2

2 1 0 2 0

V v v

x v v

r r r

r r

r r

r r

r t r r t r

v v v

v v

v v

A e A e

= = == = == = == = = −−−− − + =− + =− + =− + =

= = == = == = == = =

= += += += +1 1 2 2

1

1 2

1

1 2

1

1 2

2

x v vr t r r t r

r

t r t r t

r

t

A e A e

x v vA e A e

y v

= += += += +

= += += += +

2

2

1

2

r

rv

3434

2 2 2

2 2

2 2 2

1 1 2

1 2

2 01 , 2

2 0

r r r

r r

r r r

v v vv v

v v v

− + =− + =− + =− + = = = == = == = == = =

− + =− + =− + =− + = 2 2 2

1 2

2 1 2

1 , 22 0

1 1

1 2

r r rv v

v v v= = == = == = == = =

− + =− + =− + =− + =

= = == = == = == = =

v v 2

2

1

2

r

rv

2 3

1 2

2 3

1 1

1 2

t t t

t

t t

xA e A e

y

x A e A e

= += += += +

= += += += +2 3

1 2

1 22 3

1 2 1 2

1 2

2 1 , 2

(0) 1 , (0) 3

t t

t

t t

t

x A e A e

A Ay A e A e A A

A A

x y

= += += += +

+ =+ =+ =+ == + = − == + = − == + = − == + = − =

+ =+ =+ =+ == == == == =

2 3

2 3

2

4

t t

t

t t

t

x e e

y e e

= − += − += − += − +

= − += − += − += − +

3535

1 2

1 2 1 2

1 2

12 1 , 2

2 3

A Ay A e A e A A

A A

+ =+ =+ =+ = = + = − == + = − == + = − == + = − =

+ =+ =+ =+ =

2 3

2 3

t t

t t

x e e

y e e

Daha önce tek reel kök durumunda,

denklemin çözümünü şöyle belirlemiştik

22.. TekTek ReelReel KökKök DurumuDurumu::

1 2

rt rtx A e A e t= += += += +

Aynı çözümü, denklem sistemi içinde

durum çıkabilir: ya iki farklı öz-vektör

İki farklı öz-vektör durumunda çözümü

1 2

1 2x v v

rt rtA e A e= += += += +

3636

durumunda, birinci sıradan bir diferansiyel

belirlemiştik:

1 2

rt rtx A e A e t

içinde kullanalım. Karşımıza iki olası

vektör (v1, v2) ya da tek öz-vektör (v).

çözümü şöyle yazabiliriz:

1 2

1 2x v v

rt rtA e A e= += += += +

Öz-vektör tek olduğunda ise çözümü

((((1 2

1 2x v v v

rt rt rtA e A e t e= + += + += + += + +

ÖrnekÖrnek 66::

* *

1 , 2

x xx y

y y

x y

==== = == == == =

====

= == == == =

�

�

0 01 , 2

1 0

0 1

x y

x x

y y

= == == == =

====

�

�

3737çözümü şöyle yazabiliriz:

))))1 2x v v v

rt rt rtA e A e t e= + += + += + += + +

0= == == == =

(((( ))))

2

1 2

1 0A - I 2 1 0 1

0 1

rr r r r r r

r

v v

−−−−= = − + = → = = == = − + = → = = == = − + = → = = == = − + = → = = =

−−−−

(((( ))))

1 2

1 21 1

1 2

2 2

1 2

1 2

1 2

A - I v 0 v , v

x v vrt rt

v vr

v v

A e A e

x v v

= → = = = == → = = = == → = = = == → = = = =

= += += += +

1 2

1 1

1 21 2

2 2

1 2,

t rt rt

t

rt rt

t t

x v vA e A e

y v v

x A e y A e

= += += += +

= == == == =

3838

1 2

1 2

A - I 2 1 0 1

1 0

r r r r r r

v v

= = − + = → = = == = − + = → = = == = − + = → = = == = − + = → = = =

1 2

1 21 1

1 2

2 2

1 0A - I v 0 v , v

0 1

v v

v v

= → = = = == → = = = == → = = = == → = = = =

ÖrnekÖrnek 77::

* *

3

x x yx y

y x y

= −= −= −= − = == == == =

= += += += +

�

�

Bu örnek, tek reel kökün olduğu

göre, şu çözümü oluşturacağız.

((((1 1 2

1 2x v v v

rt rt rtA e A e t e= + += + += + += + +((((1 2

1 21 1 2

1 2

v , v vrt rt rt

x xe e t e

y y

= = += = += = += = +

3939

* *0x y= == == == =

bir durumu göstermektedir. Buna

))))1 1 2x v v v

rt rt rtA e A e t e= + += + += + += + + ))))

1 1 2v , v v

rt rt rte e t e

= = += = += = += = +

İlk olarak v1 öz-vektörünü, sonra da

aşamada da her iki çözümü birleştirerek

1 1x x−−−− � 1 1

1 3

1 1A - I 4 4 0

1 3

x x

y y

rr r r

r

−−−− ====

− −− −− −− −= = − + == = − + == = − + == = − + =

−−−−

�

�

1 2

1 3

2

r

r r r

−−−−

= = == = == = == = =

4040

da v2 öz vektörünü belirleyelim. Son

birleştirerek genel çözüme ulaşalım.

2A - I 4 4 0r r r= = − + == = − + == = − + == = − + =

(((( )))) 1A - I v 0 vr

x x

= → = == → = == → = == → = =

1 12 1 2

1 1

2 2 1 2 2

2

v

v v

t t

t t

x xe e

y y

xe t e

y

= → = == → = == → = == → = =

= += += += +

2

2 2 2

2

1

1

t t

y

x ve t e

y v

= += += += +

−−−−

41411

1

1

2

2

1

1

1 t

v

v

x x e

= → = == → = == → = == → = =

−−−−

2

1 12 1 2

2

1 1

1

1

t

t t

t

x x ee e

y y e

= → = == → = == → = == → = =

−−−− −−−−

2

1

2

2

v

v

2 2 2

2 1

2 2 2

2 2

t t

t t

x e t e v

y e t e v

= += += += +

= − += − += − += − +

t ’ye göre türevi alalım.

((((

((((

2 2

1

2 2

1

2 2 1

2 2 1

t

t

x e t v

y e t v

= + += + += + += + +

= − + −= − + −= − + −= − + −

�

� (((( 12 2 1y e t v= − + −= − + −= − + −= − + −�

Yukarıdaki tüm denklemleri, asıl

yerlerine yazalım ve düzenleyelim.

4242

))))

))))

2 2 1

2 2 1y e t v

= + += + += + += + +

= − + −= − + −= − + −= − + − ))))2 2 1y e t v= − + −= − + −= − + −= − + −

diferansiyel denklem sistemdeki

(((( )))) ((((

(((( )))) ((((

2 2 2 2 2 2

1 1 2

2 2 2 2 2 2

1 1 2

2 2 1

2 2 1 3

t t t

t t t

e t v e t v e t v

e t v e t v e t v

+ + = + − − ++ + = + − − ++ + = + − − ++ + = + − − +

− + − = + + − +− + − = + + − +− + − = + + − +− + − = + + − +

2 2

1 22 2

2 12 2

1 2

2 2

2

10 , 1

1

t t

v vv v

v v

x e t e

+ = −+ = −+ = −+ = − = = −= = −= = −= = −

+ = −+ = −+ = −+ = −

= −= −= −= −

Şimdi her iki çözümü birleştirerek,

edelim.

2

2

2

ty e t= −= −= −= −

4343

)))) (((( ))))

)))) (((( ))))

2 2 2 2 2 2

1 1 2

2 2 2 2 2 2

1 1 22 2 1 3

t t t

t t t

e t v e t v e t v

e t v e t v e t v

+ + = + − − ++ + = + − − ++ + = + − − ++ + = + − − +

− + − = + + − +− + − = + + − +− + − = + + − +− + − = + + − +

2 2

2 10 , 1v v= = −= = −= = −= = −

belirli olmayan genel çözümü elde

((((1 1 2

1 2

1 2 2 2

x v v v

1 1 1

rt rt rt

t t

A e A e t e

x xxA e A e t

= + += + += + += + +

= + = + += + = + += + = + += + = + +

((((

1 2 2 2

1 2

1 2

2 2

1 2

1 1 1

1

t t

t t

x xxA e A e t

y yy

x A e A t e

= + = + += + = + += + = + += + = + +

− −− −− −− −

= + −= + −= + −= + −

2 2

1 2

t ty A e A te= − −= − −= − −= − −

4444

))))1 1 2

2 2

x v v v

1 1 1

rt rt rt

t tA e A e t −−−−

= + = + += + = + += + = + += + = + +

))))

2 2

1 2

2 2

1 1 1

1 1 0

1

t t

t t

A e A e t

x A e A t e

−−−− = + = + += + = + += + = + += + = + + − −− −− −− −

= + −= + −

t t

Daha önce karmaşık kökler durumunda,

denklemin çözümünü şöyle belirlemiştik

33.. KarmaşıkKarmaşık KöklerKökler DurumuDurumu::

1 2cos sin

ht

tx e A vt A vt= += += += +

Burada;

,r r h vi= ±= ±= ±= ±1 2

1

,

,2 2

r r h vi

ah v

= ±= ±= ±= ±

= − == − == − == − =

4545

durumunda, birinci sıradan bir diferansiyel

belirlemiştik:

1 2cos sinx e A vt A vt= += += += +

2

2 14

2 2

a a−−−−

Şimdi tek denklem (tek değişken)

denklemden (iki değişkenden) oluşan

için de yazalım.

(((( ))))

1 2

1 2

1 11

2 2

x u u

u cos sinht

A A

u we vt vt

u w

= += += += +

= −= −= −= −

(((( ))))

2 2

1 12

2 2

u cos sinht

w ue vt vt

w u

= − −= − −= − −= − −

4646

değişken) için yazdığımız bu çözümü, iki

oluşan bir diferansiyel denklem sistemi

(((( ))))1 1

2 2

u cos sinu w

e vt vtu w

= −= −= −= −

(((( ))))

2 2

1 1

2 2

u cos sinw u

e vt vtw u

= − −= − −= − −= − −

1 21 1 1 1

2 2 2 2

v , vr r

u w i u w i

u w i u w i

+ −+ −+ −+ − = == == == =

+ −+ −+ −+ −

cos sin (cos sin )h vi R Ri R i Re± = θ ± θ = θ ± θ =± = θ ± θ = θ ± θ =± = θ ± θ = θ ± θ =± = θ ± θ = θ ± θ =

Ayrıca De Moivre teoreminden

tanımlayabiliriz.

cos , sinh v

R Rθ = θ =θ = θ =θ = θ =θ = θ =

4747

1 21 1 1 1

2 2 2 2

v , vr r

u w i u w i

u w i u w i

+ −+ −+ −+ − = == == == =

+ −+ −+ −+ −

cos sin (cos sin )ih vi R Ri R i Re± θ± θ± θ± θ± = θ ± θ = θ ± θ =± = θ ± θ = θ ± θ =± = θ ± θ = θ ± θ =± = θ ± θ = θ ± θ =

yararlanarak, polar biçimde de

ÖrnekÖrnek 88::

3 4

2

x x yx y

y x y

= − += − += − += − +

= − += − += − += − +

�

�

Bu örnek, iki sanal kökün olduğuBu örnek, iki sanal kökün olduğu

olarak bunu matris biçimde yazalım

3 4

2 1

x x

y y

−−−− ====

−−−−

�

�

1 2

3 4A - I 2 5 0

2 1

1 2 , 1 2

rr r r

r

r i r i

− −− −− −− −= = + + == = + + == = + + == = + + =

− −− −− −− −

= − + = − −= − + = − −= − + = − −= − + = − −

4848

* *0x y= == == == =

olduğu bir durumu göstermektedir. İlkolduğu bir durumu göstermektedir. İlk

yazalım ve karakteristik kökleri bulalım.

2A - I 2 5 0

1 2 , 1 2

r r rr

r i r i

= = + + == = + + == = + + == = + + =

= − + = − −= − + = − −= − + = − −= − + = − −

Şimdi öz-vektörleri belirleyelim.

(((( )))) 11

1

3 4A - I v

2 1

rr

r− −− −− −− −

= == == == = − −− −− −− −

(((( ))))

(((( ))))

1 1

1

1 2

2 1

2 , 1

3 4

r rv v i

r

− −− −− −− −

= = += = += = += = +

− −− −− −− − (((( )))) 1

2 2

2

2

1 2

3 4A - I v

2 1

2 , 1

r

r r

rr

v v i

− −− −− −− − = == == == =

− −− −− −− −

= = −= = −= = −= = −

4949

1

1

13 4 0

2 1 0

r

r

v

r v

= == == == = − −− −− −− −

1

2

1 22 1 0

3 4 0

r

r

r v

v

− −− −− −− −

2

2

1

2 2

3 4 0

2 1 0

r

r

v

r v

= == == == = − −− −− −− −

Buna göre, genel çözüm:

(((( ))))1 2 1 2

1 2

2 2

1 1

i t i tt

t

xA e A e

y i i

− − + − −− − + − −− − + − −− − + − − = += += += +

+ −+ −+ −+ −

Bu genel çözümü reel terimlere dönüştürerek

1

1

1 1 1 112

1

r

r

u w i u wv

u w i u wiv

+ = =+ = =+ = =+ = = = = →= = →= = →= = → + = =+ = =+ = =+ = =++++

1

2 2 2 221r u w i u wiv

= = →= = →= = →= = → + = =+ = =+ = =+ = =++++

5050

(((( ))))1 2 1 2

1 2

2 2

1 1

i t i tA e A e

i i

− − + − −− − + − −− − + − −− − + − − = += += += +

+ −+ −+ −+ −

dönüştürerek ifade edelim.

1 1 1 12 0

1 1

u w i u w

u w i u wi

+ = =+ = =+ = =+ = = = = →= = →= = →= = → + = =+ = =+ = =+ = = 2 2 2 2

1 1u w i u wi= = →= = →= = →= = → + = =+ = =+ = =+ = =

(((( ))))

1 2

1 2

1 11

2 2

x u u

u cos sinht

A A

u we vt vt

u w

= += += += +

= −= −= −= −

(((( ))))

(((( ))))

1 12

2 2

1

u cos sin

2 0u cos 2 sin 2

ht

t

w ue vt vt

w u

e t t−−−−

= − −= − −= − −= − −

= −= −= −= − (((( ))))

(((( ))))

1

2

2 0u cos 2 sin 2

1 1

0 2u cos 2 sin 2

1 1

t

t

e t t

e t t

−−−−

−−−−

= −= −= −= −

= − −= − −= − −= − −

5151

(((( ))))1 1

2 2

u cos sinu w

e vt vtu w

= −= −= −= −

(((( ))))

(((( ))))

1 1

2 2

u cos sin

2 0u cos 2 sin 2

w ue vt vt

w u

e t t

= − −= − −= − −= − −

= −= −= −= − (((( ))))

(((( ))))

2 0u cos 2 sin 2

1 1

0 2u cos 2 sin 2

1 1

e t t

e t t

= −= −= −= −

= − −= − −= − −= − −

1

2 0x cos 2 sin 2

1 1

0 2

t t

t

xA e t t

y

−−−−

= = −= = −= = −= = −

(((( ))))((((

2

1 2

0 2

1 1

2 cos 2 sin 2

t

t

t

A e t t

x e A t A t

−−−−

−−−−

+ − −+ − −+ − −+ − −

= −= −= −= −(((( ))))((((

(((( )))) ((((((((

1 2

1 2 1 2

2 cos 2 sin 2

cos 2 sin 2

t

t

t

x e A t A t

y e A A t A A t−−−−

= −= −= −= −

= − − += − − += − − += − − +

5252

(((( )))) (((( ))))2 0

x cos 2 sin 21 1

0 2

A e t t

= = −= = −= = −= = −

(((( )))) (((( ))))

(((( ))))))))1 2

0 2cos 2 sin 2

1 1

2 cos 2 sin 2

A e t t

x e A t A t

+ − −+ − −+ − −+ − −

(((( ))))))))

)))) (((( )))) (((( ))))))))

1 2

1 2 1 2

2 cos 2 sin 2

cos 2 sin 2

x e A t A t

y e A A t A A t= − − += − − += − − += − − +

Şimdi çözümü elde edilmiş olan bir

(iki değişkenli bir sistemi dikkate

DiferansiyelDiferansiyel DenklemDenklem SistemininSisteminin

noktadayken zaman içerisinde nasıl

(phase diagrams) yoluyla inceleyelim

incelediğimiz gibi farklı durumlar vardır

kök, sanal kökler gibi. Ya da eldekök, sanal kökler gibi. Ya da elde

pozitif olmalarına göre de, sistemin

Aşağıda, bu türden farklı durumları

olarak iki farklı reel kökten başlayalım

5353

bir diferansiyel denklem sisteminin

dikkate alıyoruz), denge dışı bir

SistemininSisteminin DinamikDinamik DavranışıDavranışı

nasıl hareket edeceğini, süreç grafikleri

inceleyelim. Karşımızda, yukarıda

vardır. İki farklı reel kök, tek reel

edeceğimiz reel kökler negatif veedeceğimiz reel kökler negatif ve

sistemin hareket sürecini belirleyecektir.

durumları içeren bir yaklaşım yapıyoruz. İlk

başlayalım.

11.. İkiİki FarklıFarklı ReelReel KökKök DurumundaDurumunda

İki farklı reel kök durumunda şu çözümü

1 1 2 2

1 2x v v

r t r r t rA e A e= += += += +

1 2x v vA e A e= += += += +

Köklerin (r1 , r2) işaretine ve sayısal

min hareketi için şu olası durumlardan

� ise;1 2 1 2

0 , 0 ,r r r r< < >< < >< < >< < >1 2 1 2

1 2lim 0 , lim 0

lim 0 , lim 0

r t r t

t t

t tt t

e e

x y

→∞ →∞→∞ →∞→∞ →∞→∞ →∞

→∞ →∞→∞ →∞→∞ →∞→∞ →∞

= == == == =

= == == == =

5454DurumundaDurumunda SüreçSüreç GrafikleriGrafikleri

çözümü elde etmiştik:

1 1 2 2

1 2x v v

r t r r t rA e A e

1 2x v vA e A e

sayısal büyüklüklerine bağlı olarak siste-

durumlardan söz edilebilir:

1 2lim 0 , lim 0

lim 0 , lim 0

r t r t

t t

e e

x y

→∞ →∞→∞ →∞→∞ →∞→∞ →∞

→∞ →∞→∞ →∞→∞ →∞→∞ →∞

= == == == =

= == == == =

Bu durum Şekil 6.4’de gösterilmiştir

olduğunu kabul edelim. Başlangıç

(c2=0), sistem zaman içinde orijin(c2=0), sistem zaman içinde orijin

şekilde başlangıç noktası öz-vektörü

kararlı davranarak, yine denge noktasına

anlamda orijin noktasındaki bu

2rv

noktası diyoruz.

5555

gösterilmiştir. Orijin noktasının denge noktası

noktası öz-vektörü üstündeyse

noktasına hareket edecektir. Aynı

1rv

noktasına hareket edecektir. Aynı

vektörü üstündeyken (c1=0) de sistem

noktasına limitte yaklaşacaktır. Bu

denge noktasına, kararlı denge

Şekil 6.4. İki Reel Kök Durumunda Süreç GrafiŞekil 6.4. İki Reel Kök Durumunda Süreç Grafi

ty

2rv

••••

5656ki Reel Kök Durumunda Süreç Grafiğiki Reel Kök Durumunda Süreç Grafiği

1 2 1 20 , 0 ,r r r r< < >< < >< < >< < >

1rv

tx

v

(((( ))))* *,x y

� ise;1 2

0 , 0r r> >> >> >> >

1 2lim , limr t r t

e e= ∞ = ∞= ∞ = ∞= ∞ = ∞= ∞ = ∞lim , lim

lim , lim

t t

t tt t

e e

x y

→∞ →∞→∞ →∞→∞ →∞→∞ →∞

→∞ →∞→∞ →∞→∞ →∞→∞ →∞

= ∞ = ∞= ∞ = ∞= ∞ = ∞= ∞ = ∞

= ∞ = ∞= ∞ = ∞= ∞ = ∞= ∞ = ∞

Bu durumda Şekil 6.4’deki orijin noktasına

ters yöne dönük olacaktır. Yaniters yöne dönük olacaktır. Yani

sapma, sistemin dengeden giderek

anlamda, orijin noktasındaki denge,

5757

noktasına yönelmiş olan oklar, tam

sistem kararsızdır. Dengeden birsistem kararsızdır. Dengeden bir

giderek uzaklaşmasına neden olur. Bu

denge, kararsız bir denge noktasıdır.

ÖrnekÖrnek 99::

* *2

2

x x yx y

y x y

= − += − += − += − + = == == == =

= −= −= −= −

�

�

2 1

1 2

2 1A - I 4 3 0

x x

y y

rr r r

−−−− ====

−−−−

− −− −− −− −= = + + == = + + == = + + == = + + =

�

�

1 2

2 1A - I 4 3 0

1 2

3 , 1

rr r r

r

r r

− −− −− −− −= = + + == = + + == = + + == = + + =

− −− −− −− −

= − = −= − = −= − = −= − = −

5858

* *0x y= == == == =

2A - I 4 3 0r r r= = + + == = + + == = + + == = + + =2A - I 4 3 0r r r

r= = + + == = + + == = + + == = + + =

(((( )))) 1

1 1 1

1 1

1 1 1

A I v 0 , 3

1 1 0

1 1 0

r

r r r

r r r

r r

v v v

v v v

− = = −− = = −− = = −− = = −

+ =+ =+ =+ = = = = −= = = −= = = −= = = −

+ =+ =+ =+ =

(((( ))))

1 1 1

2

2 2 2

2 2 2

2 1 1

2 2

1 1 1

1 1 0

A I v 0 , 1

1 1 0

1 1 0

r r r

r

r r r

r r r

v v v

r r

v v v

v v v

= = = −= = = −= = = −= = = − + =+ =+ =+ =

− = = −− = = −− = = −− = = −

−−−− − + =− + =− + =− + = = = == = == = == = =

−−−− − + =− + =− + =− + = 2 2 2

1

2 1 11 1 0

V v v

r r r

r r

v v v

−−−− − + =− + =− + =− + =

====1 2

2

1 2

1 1

2 1

r r

r r

v v

v v

= == == == =

5959

1 1 1

1 11 1 1

1 2

01 , 1

0

r r r

r r

r r r

v v vv v

v v v

+ =+ =+ =+ = = = = −= = = −= = = −= = = −

+ =+ =+ =+ =1 1 1

2 2 2

2 2

2 2 2

1 2

2 1 1

1 1 1

1 2

1 , 10

01 , 1

0

r r r

r r r

r r

r r r

v vv v v

v v vv v

v v v

= = = −= = = −= = = −= = = − + =+ =+ =+ =

− + =− + =− + =− + = = = == = == = == = =

− + =− + =− + =− + = 2 2 2

1 2

2 1 10

r r rv v v

− + =− + =− + =− + =

1 1

1 1

= == == == =

−−−−

1 1 2 2

1 2

1 2

1 2

1 2

1 1

1 2

x v vr t r r t r

r rt r t r t

r r

A e A e

x v vA e A e

y v v

= += += += +

= += += += +

1 2

1 2

2 2

3

1 2

1 1

1 1

r rt

t t t

t

y v v

xA e A e

y

− −− −− −− −

= += += += +

−−−−

3

1 2

3

1 2

t t

t

t t

t

x A e A e

y A e A e

− −− −− −− −

− −− −− −− −

= += += += +

= − += − += − += − +

6060

1 1 2 2

1 2

1 2

1 2

1 1

1 2

x v vr t r r t r

r r

r t r t

r r

v vA e A e

v v

1 21 2

2 2

1 2

1 1

1 1

r r

t t

v v

A e A e− −− −− −− −

Şekil 6.5. Denge Eğrileri ve Süreç GrafiŞekil 6.5. Denge Eğrileri ve Süreç Grafi


2

2

x x y

y x y

= − += − += − += − +

= −= −= −= −

�

�1rv

••••((((



0x ====�t

y

1 23 , 1r r= − = −= − = −= − = −= − = −

2rv

tx

0y ====�

••••(((( ))))* *

,x y

� ise;1 2

0 , 0r r> <> <> <> <

1 2lim lim 0

lim , lim lim 0 , lim 0

r t r t

t te e

x y x y

→∞ →∞→∞ →∞→∞ →∞→∞ →∞= ∞ == ∞ == ∞ == ∞ =

= ∞ = ∞ = == ∞ = ∞ = == ∞ = ∞ = == ∞ = ∞ = =lim , lim lim 0 , lim 0t t t t

t t t tx y x y

→∞ →∞ →∞ →∞→∞ →∞ →∞ →∞→∞ →∞ →∞ →∞→∞ →∞ →∞ →∞= ∞ = ∞ = == ∞ = ∞ = == ∞ = ∞ = == ∞ = ∞ = =

Bu durum Şekil 6.6’da gösterilmiştir

öz-vektörü üzerinde bulunduğu2rv

Bunun dışındaki tüm olası durumlarda

öz-vektörüne kararlı yol, öz

Denge, bir eyer noktasıdır.

1rv2rv

6262

1 2lim lim 0

lim , lim lim 0 , lim 0

r t r t

t te e

x y x y

→∞ →∞→∞ →∞→∞ →∞→∞ →∞= ∞ == ∞ == ∞ == ∞ =

= ∞ = ∞ = == ∞ = ∞ = == ∞ = ∞ = == ∞ = ∞ = =lim , lim lim 0 , lim 0t t t t

t t t tx y x y

→∞ →∞ →∞ →∞→∞ →∞ →∞ →∞→∞ →∞ →∞ →∞→∞ →∞ →∞ →∞= ∞ = ∞ = == ∞ = ∞ = == ∞ = ∞ = == ∞ = ∞ = =

gösterilmiştir. Başlangıç noktasının yalnızca

bulunduğu durumlarda sistem kararlıdır.

durumlarda sistem kararsızdır. Bu nedenle

öz-vektörüne de kararsız yol diyoruz.

Şekil 6.6. İki Reel Kök Durumunda Süreç GrafiŞekil 6.6. İki Reel Kök Durumunda Süreç Grafi

ty

2rv

••••

6363ki Reel Kök Durumunda Süreç Grafiğiki Reel Kök Durumunda Süreç Grafiği

1rv

1 20 , 0r r> <> <> <> <

tx

ÖrnekÖrnek 1010::

* *

4

x x yx y

y x y

= += += += +

= += += += +

�

�

1 1

4 1

1 1

x x

y y

r

====

−−−−

�

�

1 2

1 1A - I 2 3 0

4 1

3 , 1

rr r r

r

r r

−−−−= = − − == = − − == = − − == = − − =

−−−−

= = −= = −= = −= = −

6464

* *0x y= == == == =

2A - I 2 3 0r r r

r= = − − == = − − == = − − == = − − =

(((( )))) 1

1 1 1

1 1

1 1 2

A I v 0 , 3

2 1 0 2 0

4 2 0 4 2 0

r

r r r

r r r

r r

v v v

v v v

− = =− = =− = =− = =

−−−− − + =− + =− + =− + = = = == = == = == = =

−−−−

(((( ))))

1 1 1

2

2 2 2

2 2 2

2 1 2

2 2

1 1 2

2 1 2

4 2 0 4 2 0

A I v 0 , 1

2 1 0 2 0

4 2 0 4 2 0

r r r

r

r r r

r r r

v v v

r r

v v v

v v v

= = == = == = == = = −−−−

− = = −− = = −− = = −− = = −

+ =+ =+ =+ = = = = −= = = −= = = −= = = −

+ =+ =+ =+ = 2 1 24 2 0 4 2 0

V v

v v v+ =+ =+ =+ =

====1 2

1 2

1 2

1 1

2 2

v

r r

r r

r r

v v

v v

= == == == =

6565

1 1 1

1 11 1 2

1 2

2 01 , 2

4 2 0

r r r

r r

r r r

v v vv v

v v v

− + =− + =− + =− + = = = == = == = == = =

− =− =− =− = 1 1 1

2 2 2

2 2

2 2 2

1 2

2 1 2

1 1 2

1 2

2 1 2

1 , 24 2 0

2 01 , 2

4 2 0

r r r

r r r

r r

r r r

v vv v v

v v vv v

v v v

= = == = == = == = = − =− =− =− =

+ =+ =+ =+ = = = = −= = = −= = = −= = = −

+ =+ =+ =+ = 2 1 24 2 0v v v+ =+ =+ =+ =

1 1

2 2

−−−−

1 1 2 2

1 2

1 2

1 2

1 2

1 1

1 2

x v vr t r r t r

r r

t r t r t

r r

A e A e

x v vA e A e

y v v

= += += += +

= += += += +

1 2

2 2

3

1 2

1 1

2 2

r r

t

t t t

t

y v v

xA e A e

y

= += += += +

3

1 2

3

1 2

t t

t

t t

t

x A e A e

y A e A e

−−−−

−−−−

= += += += +

= − += − += − += − +

6666

1 1 2 2

1 2

1 2

1 2

1 1

1 2

x v vr t r r t r

r r

r t r t

r r

v vA e A e

v v

1 2

2 2

1 2

1 1

2 2

r r

t t

v v

A e A e−−−−

−−−−



4

x x y

y x y

= += += += +

= += += += +

�

�2rv

••••



0x ====�ty

0y ====�

1 23 , 1r r= = −= = −= = −= = −

1rv

tx••••

ÖrnekÖrnek 1111::

* *3 2

2 2

x x yx y

y x y

= −= −= −= −

= −= −= −= −

�

�

3 2

2 2

3 2

x x

y y

r

−−−− ====

−−−−

− −− −− −− −

�

�

1 2

3 2A - I 2 0

2 2

1 , 2

rr r r

r

r r

− −− −− −− −= = − − == = − − == = − − == = − − =

− −− −− −− −

= − == − == − == − =

6868

* *0x y= == == == =

2A - I 2 0r r r

r= = − − == = − − == = − − == = − − =

(((( )))) 1

1 1 1

1 1 1

1 1

1 1 2

A I v 0 , 1

4 2 0 4 2 0

2 1 0 2 0

r

r r r

r r r

r r

v v v

v v v

− = = −− = = −− = = −− = = −

−−−− = = == = == = == = =

−−−−

(((( ))))

1 1 1

2

2 2 2

2 2 2

2 1 2

2 2

1 1 2

2 1 0 2 0

A I v 0 , 2

1 2 0

2 4 0 2 4 0

r r r

r

r r r

r r r

v v v

r r

v v v

v v v

= = == = == = == = = −−−−

− = =− = =− = =− = =

−−−− = = == = == = == = =

2 2 2

2 1 22 4 0 2 4 0

V vr

v v v

====1 2

1 2

1 2

1 1

2 2

v

r r

r

r r

v v

v v

= == == == =

6969

1 1 1

1 1

1 1 1

1 1 2

1 2

4 2 01 , 2

2 0

r r r

r r

r r r

v v vv v

v v v

− =− =− =− = = = == = == = == = =

− =− =− =− = 1 1 1

2 2 2

2 2

2 2 2

1 2

2 1 2

1 1 2

1 2

1 , 22 0

2 02 , 1

2 4 0

r r r

r r r

r r

r r r

v vv v v

v v vv v

v v v

= = == = == = == = = − =− =− =− =

− =− =− =− = = = == = == = == = =

+ =+ =+ =+ = 2 2 2

2 1 22 4 0v v v+ =+ =+ =+ =

1 2

2 1

= == == == =

1 1 2 2

1 2

1 2

1 2

1 2

1 1

1 2

x v vr t r r t r

r r

t r t r t

r r

A e A e

x v vA e A e

y v v

= += += += +

= += += += +

1 2

2 2

1 2

1 2

2 1

r r

t

t t t

t

y v v

xA e A e

y

−−−−

= += += += +

2

1 2

2

1 2

2

2

t t

t

t t

t

x A e A e

y A e A e

−−−−

−−−−

= += += += +

= += += += +

7070

1 1 2 2

1 2

1 2

1 2

1 1

1 2

x v vr t r r t r

r r

r t r t

r r

v vA e A e

v v

1 2

2 2

2

1 2

1 2

2 1

r r

t t

v v

A e A e


(Örnek 11)(Örnek 11)y3 2

2 2

x x y

y x y

= −= −= −= −

= −= −= −= −

�

�

••••



0x ====�ty

0y ====�

1 21 , 2r r= − == − == − == − =

1rv

tx••••

2rv

22.. TekTek ReelReel KökKök DurumundaDurumunda SüreçSüreç

Tek reel kök durumunda iki olası çözümün

Birinci olası çözüm, bağımsız öz-vektörlerBirinci olası çözüm, bağımsız öz-vektörler

1 2

1 2x v v

rt rtA e A e= += += += +

İkinci olası çözüm, tek bağımsız öz-

((((1 1 2x v v v

rt rt rtA e A e t e= + += + += + += + +((((1 1 2

1 2x v v v

rt rt rtA e A e t e= + += + += + += + +

Şimdi her bir duruma sırasıyla bakalım

t’den bağımsızdır, yalnızca öz-vektörlere

7272SüreçSüreç GrafikleriGrafikleri

çözümün olduğunu söylemiştik.

vektörler durumudur:vektörler durumudur:

1 2x v v

rt rtA e A e

-vektör durumudur:

))))1 1 2x v v v

rt rt rtA e A e t e= + += + += + += + + ))))1 1 2x v v v

rt rt rtA e A e t e= + += + += + += + +

bakalım. Birinci durumda x/y=A1/A2

vektörlere bağlıdır.

Tüm çözümler, orijinden çıkan düz

eğer karakteristik kök negatif ise,

Kararlı denge noktası orijindir. Aksi

Şekil 6.9’da görebiliriz.Şekil 6.9’da görebiliriz.

İkinci olası durumda sistemin hareketini

terim ’dir. Eğer karakteristik

Bunun yanında A2=0 ise, sistem v

2v

rtA e t

dengeye (orijin noktasına) yaklaşacaktır

Örnek 7, kararlı olmayan bir

yansıtılmıştır. Ayrıca Şekil 6.10

göstermektedir.

7373düz doğru üzerinde yer alacaktır ve

ise, sistem kararlı hareket edecektir.

Aksi halde sistem kararsızdır. Bunu

hareketini belirleyecek olan (baskın)

karakteristik kök negatifse, süreç kararlıdır.

vektörü üzerinde hareket ederek

yaklaşacaktır. Daha önce çözdüğümüz

süreç olarak, Şekil 6.10a’da

10b ve 6.10c kararlı süreçleri


(Bağımlı Öz(Bağımlı Öz--Vektör Durumu, Örnek 6)Vektör Durumu, Örnek 6)

tyx x

y y

====

====

�

�

••••

y y====�

1r ==== v


Vektör Durumu, Örnek 6)Vektör Durumu, Örnek 6)

ty

tx••••

1rv

2rv


(Bağımlı Öz(Bağımlı Öz--Vektör Durumu, Örnek 7)Vektör Durumu, Örnek 7)

ty

3

x x y

y x y

= −= −= −= −

= += += += +

�

�

••••

3y x y= += += += +�

2r ====

2rv


Vektör Durumu, Örnek 7)Vektör Durumu, Örnek 7)

ty

tx••••

1rv

İkinci durumda süreç oklarının dengeye

vektörlerine bağlıdır. Bunu görebilmek

olası çözümü kullanalım.

((((

(((( ))))

1 1 2

1 2

1 2 1

1 2 2

x v v v

x v v v

rt rt rtA e A e t e

A A A t e

= + += + += + += + +

= + += + += + += + +

Buradan görüldüğü gibi, vektör denklemiBuradan görüldüğü gibi, vektör denklemi

noktasından geçer ve

işaretine ve sayısal değerine bağlı

olacaktır.

1 2

1 2v vA A++++

7676

dengeye ne şekilde yaklaşacağı, v ve v2

görebilmek için, tek reel kök durumundaki

))))1 1 2

1 2 1

1 2 2

x v v v

x v v v

rt rt rt

rt

A e A e t e

A A A t e

= + += + += + += + +

= + += + += + += + +

denklemi doğrusaldır. Bu denklemdenklemi doğrusaldır. Bu denklem

ve v ’ye paraleldir. A2 katsayısının

bağlı olarak da farklı bir konumda


(Bağımsız Öz(Bağımsız Öz--Vektör Durumu)Vektör Durumu)

y4

2

x x y

y x y

= −= −= −= −

= −= −= −= −

�

�

••••

2y x y= −= −= −= −�

3r = −= −= −= − v


Vektör Durumu)Vektör Durumu)

ty

tx••••

33.. KarmaşıkKarmaşık KöklerKökler DurumundaDurumunda

Bu durum altında iki olası alt

karakteristik kökleri şöyle belirlemiştik

1,2r h vi==== ∓∓∓∓

Birinci olarak h≠0, v>0 alt durumuna

sistemini şu şekilde ifade edebiliriz:

x hx vy

y vx hy

= += += += +

= − += − += − += − +

�

�

7878DurumundaDurumunda SüreçSüreç GrafikleriGrafikleri

duruma bakacağız. Daha önce

belirlemiştik:

r h vi∓∓∓∓

durumuna bakalım. Diferansiyel denklem

:

x hx vy

y vx hy

B

ty

Şekil 6.12. Karmaşık Sayılar (Argand Gösterimi)Şekil 6.12. Karmaşık Sayılar (Argand Gösterimi)

••••

R

θθθθC

0••••••••

D••••

7979

(((( )))),P x y

ık Sayılar (Argand Gösterimi)ık Sayılar (Argand Gösterimi)

••••

y

x

R

θθθθ

(((( ))))

At

x••••

••••

x

x h v x

y v h y

====

−−−−

�

�

Bunu kutupsal koordinatlar olarak (Bunu kutupsal koordinatlar olarak (

(((( ))))12

2 2 2

2 2

, tanR x y

R x y

= + θ == + θ == + θ == + θ =

= += += += +(((( ))))

(((( )))) (((( ))))

2

1 12 2

2 2

2 2 2 21 1

2 22 2

R x y

R x x y x y x y y− −− −− −− −

= += += += +

= + + += + + += + + += + + +� � �

8080

x h v x

y v h y

(R ve θ cinsinden) ifade edelim.(R ve θ cinsinden) ifade edelim.

y

x= + θ == + θ == + θ == + θ =

(((( )))) (((( ))))1 12 22 2 2 2

1 12 2

2 2R x x y x y x y y

− −− −− −− −= + + += + + += + + += + + +� �

(((( ))))(((( ))))1

22 2

1 1R xx yy R xx yy

x y= + → = += + → = += + → = += + → = +

++++

� ��

2

2

xx hx vxyxx yy hR

yy vyx vy

= += += += + + =+ =+ =+ =

= − += − += − += − +

��

�

21 R

R hR h R ceR R

= → = → == → = → == → = → == → = → =�

�

8181

(((( ))))1 1

R xx yy R xx yyR

= + → = += + → = += + → = += + → = +� ��

2xx yy hR+ =+ =+ =+ =� �

htR hR h R ce= → = → == → = → == → = → == → = → =

2 2

1tan

cos

1

y yx yx

x x

x R

θ = → θ =θ = → θ =θ = → θ =θ = → θ =θθθθ

θ = → =θ = → =θ = → =θ = → =

�

2 2

2

2

1cos

cos

x R

R x

yx hxy vyxy yx vR

xy vx hxy

θ = → =θ = → =θ = → =θ = → =θθθθ

= += += += + − = −− = −− = −− = −

= − += − += − += − +

��

�

2 2

2 2

xy vx hxy

R vR

x x

= − += − += − += − +

−−−−θ = → θ = − → θ = − + θθ = → θ = − → θ = − + θθ = → θ = − → θ = − + θθ = → θ = − → θ = − + θ

�

� �

8282

2 2

2

y yx yx

x x

x R

−−−−θ = → θ =θ = → θ =θ = → θ =θ = → θ =

θ = → =θ = → =θ = → =θ = → =

� �

2

2 2

2

x R

R x

xy yx vR

θ = → =θ = → =θ = → =θ = → =

− = −− = −− = −− = −� �

0v vtθ = → θ = − → θ = − + θθ = → θ = − → θ = − + θθ = → θ = − → θ = − + θθ = → θ = − → θ = − + θ� �

Şu anda elimizde iki parametrik denklem

htR ce

vt

====

θ = − + θθ = − + θθ = − + θθ = − + θ0vtθ = − + θθ = − + θθ = − + θθ = − + θ

İkinci denkleme göre, v>0 olduğundan,

hareket saat yönünde çalışır. tÆ∞

tÆ∞ h>0 RÆ∞tÆ∞ iken, h>0 durumunda RÆ∞ olacaktır

gerçekleşen sarmal (spiral) hareket

ya da merkezden uzaklaşacak şekilde

8383

denklem var:

olduğundan, θ zaman içinde azalır. Yani

iken, h<0 durumunda RÆ0 ya da

olacaktır. Buna göre, saat yönünde

hareket ya merkeze (sabit noktaya) doğru

şekilde oluşacaktır.

İkinci olarak h=0, v>0 alt durumuna

kökler şöyledir:

1,2r h vi==== ∓∓∓∓1,2

1 2,

r h vi

r vi r vi

====

= = −= = −= = −= = −

∓∓∓∓

Diferansiyel denklem sistemini de şöyle

0

0

x x vy

y vx y

= += += += +

= − += − += − += − +

�

�

8484

durumuna bakalım. Bu durumda karmaşık

r vi r vi= = −= = −= = −= = −

şöyle yazabiliriz:

0

0

x v x

y v y

−−−− ====

−−−−

�

�

Bir önceki durumda olduğu gibi, R

yazalım.

0R R c= → == → == → == → =� 0R R c

v vt

= → == → == → == → =

θ = − → θ = − + θθ = − → θ = − + θθ = − → θ = − + θθ = − → θ = − + θ

�

�

Bu denklemler, hareketin merkez etrafında

ya da elips) biçim oluşturacağını söylemektedir

yönündedir. Hareketin bir tam aşama

8585

R ve θ için parametrik denklemleri

R R c= → == → == → == → =

0

R R c

v vt

= → == → == → == → =

θ = − → θ = − + θθ = − → θ = − + θθ = − → θ = − + θθ = − → θ = − + θ

etrafında kapalı bir dairesel (çember

söylemektedir. v>0 ise hareket saat

aşama süreci 2π/v ’dir.

ÖrnekÖrnek 1212::

4 1 4

4 4 1

x x y x x

y x y y y

= − + −= − + −= − + −= − + − = − − − −= − − − −= − − − −= − − − −

� �

� �

1 4A - I 2 17 0

4 1

1 4 1 , 4

rr r r

r

r i h v

− −− −− −− −= = + + == = + + == = + + == = + + =

− − −− − −− − −− − −

= − → = − == − → = − == − → = − == − → = − =∓1,2

0 0

1 4 1 , 4

ht t

r i h v

R ce R ce

vt t

−−−−

= − → = − == − → = − == − → = − == − → = − =

= → == → == → == → =

θ = − + θ → θ = − + θθ = − + θ → θ = − + θθ = − + θ → θ = − + θθ = − + θ → θ = − + θ

∓

8686

4 1 4

4 4 1

x x y x x

y x y y y

= − + −= − + −= − + −= − + − ====

= − − − −= − − − −= − − − −= − − − −

� �

� �

2A - I 2 17 0

1 4 1 , 4

r r rr

r i h v

= = + + == = + + == = + + == = + + =− − −− − −− − −− − −

= − → = − == − → = − == − → = − == − → = − =

0 0

1 4 1 , 4

4

ht t

r i h v

vt t

= − → = − == − → = − == − → = − == − → = − =


h≠0 olması, sürecin sarmal biçimli

merkezden giderek uzaklaşan bir sarmal

giderek yaklaşan bir sarmal biçimdegiderek yaklaşan bir sarmal biçimde

h=−1<0 nedeniyle, sürecin başlangıç

noktasına (merkeze) giderek yaklaştığını

görebiliriz. v ’nin değeri ise, sarmal

ters yönde mi olacağını belirler

oluşacaktır. Örnek 12’de v=4>0 olduğuna

8787

biçimli olmasını; h>0 olması, sürecin

sarmal; h<0 olması, sürecin merkeze

biçimde olmasına yol açar. Örnek 12’debiçimde olmasına yol açar. Örnek 12’de

başlangıç noktasından (x0=2, y0=3), denge

yaklaştığını Şekil 6.13a ve b’de

sarmal hareketin saat yönünde mi yoksa

belirler. v>0 ise, süreç saat yönünde

olduğuna dikkat edelim.

Şekil 6.13a. Karmaşık Sayılar: Şekil 6.13a. Karmaşık Sayılar:

4

x x y

y x y

= − += − += − += − +

= − −= − −= − −= − −

�

�

1.0

2.0

3.0

4.0

4y x y= − −= − −= − −= − −�

-3.0

-2.0

-1.0

0.0

-2.0 -1.0 0.0 1.0

8888şık Sayılar: şık Sayılar: hh==−1−1 , , vv=4=4

4x x y

y x y

= − += − += − += − +

= − −= − −= − −= − −

••••0 0

( , ) (2,3)x y ====

y x y= − −= − −= − −= − −

1.0 2.0 3.0 4.0

Şekil 6.13b. Karmaşık Sayılar: Şekil 6.13b. Karmaşık Sayılar:

4x x y= − += − += − += − +�

1,2

4

1 4

y x y

r i

= − −= − −= − −= − −

= −= −= −= −

�

∓

8989

ık Sayılar: ık Sayılar: hh==−1−1 , , vv=4 =4 (Örnek 12)(Örnek 12)

0x ====�t

y 0y ====�1rv

tx

2rv

ÖrnekÖrnek 1313::

4 1 4

4 4 1

x x y x x

y x y y y

= += += += + = − + −= − + −= − + −= − + −

� �

� �

1 4A - I 2 17 0

4 1

1 4 1 0 , 4 0

rr r r

r

r i h v

−−−−= = − + == = − + == = − + == = − + =

− −− −− −− −

= → = > = >= → = > = >= → = > = >= → = > = >∓1,2

0 0

1 4 1 0 , 4 0

ht t

r i h v

R ce R ce

vt t

= → = > = >= → = > = >= → = > = >= → = > = >

= → == → == → == → =


∓

9090

4 1 4

4 4 1

x x y x x

y x y y y

====

= − + −= − + −= − + −= − + −

� �

� �

2A - I 2 17 0

1 4 1 0 , 4 0

r r rr

r i h v

= = − + == = − + == = − + == = − + =

= → = > = >= → = > = >= → = > = >= → = > = >

0 0

1 4 1 0 , 4 0

4

ht t

r i h v

R ce R ce

vt t

= → = > = >= → = > = >= → = > = >= → = > = >


Şekil 6.13a. Karmaşık Sayılar: Şekil 6.13a. Karmaşık Sayılar:

4

4

x x y

y x y

= += += += +

= − += − += − += − +

�

� 4y x y= − += − += − += − +�

-25.0 -20.0 -15.0 -10.0 -5.0

30.0

35.0

9191

ık Sayılar: ık Sayılar: hh==11 , , vv=4 =4 (Örnek 13)(Örnek 13)

5.0

10.0

15.0

20.0

25.0

( , ) (1,1)x y ====

-15.0

-10.0

-5.0

0.0-5.0 0.0 5.0 10.0 15.0

••••0 0

( , ) (1,1)x y ====

Şekil 6.13b. Karmaşık Sayılar: Şekil 6.13b. Karmaşık Sayılar:

y4x x y= += += += +

= − += − += − += − +

�

�

1,2

4

1 4

y x y

r i

= − += − += − += − +

====

�

∓

9292

ık Sayılar: ık Sayılar: hh==11 , , vv=4=4 (Örnek 13)(Örnek 13)

0x ====�t

y 0y ====�1rv

tx

2rv

IS-LM modelini daha önce statik biçimiyle

yeniden tanımlayarak, örneğin bir parayeniden tanımlayarak, örneğin bir para

nasıl bir gelişime yol açacağını

oluşturalım. Toplam reel harcamayı

(((( ))))1( ) 1 ( ) ( )ex t a c t y t er t= + − −= + − −= + − −= + − −(((( ))))1

Burada t1, marjinal vergi oranını tanımlamaktadır

9393

biçimiyle incelemiştik. Şimdi modeli

para politikasının etkisinin zamanlapara politikasının etkisinin zamanla

görelim. İlk olarak reel piyasayı

harcamayı şöyle yazabiliriz:(((( ))))( )ex t

( ) 1 ( ) ( )ex t a c t y t er t= + − −= + − −= + − −= + − −

tanımlamaktadır.

Para piyasında para talebi ve arzını

0

( ) ( ) ( )

,

dm t fy t gr t

MM M m

= −= −= −= −

= == == == = 0

0 0,

SM M m

P= == == == =

Reel piyasada reel gelir (y(t)), reel

gelir arasındaki farka bağlı olarak

piyasasında ise, reel para talebi ile

bağlı olarak da faiz oranı değişecektir

(((( )))) ((((((((

(((( )))) ((((0 0

( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) , 0

( ) ( ) ( ) , 0d

y ex t y t a c t y t er t y t

r m t m fy t gr t m

= α − = α + − − − α >= α − = α + − − − α >= α − = α + − − − α >= α − = α + − − − α >

= β − = β − − β >= β − = β − − β >= β − = β − − β >= β − = β − − β >

�

�

9494

da şöyle tanımlayabiliriz:

0

( ) ( ) ( )m t fy t gr t

M0

P

reel toplam harcama (ex(t)) ile reel

olarak değişim gösterecektir. Para

ile reel para arzı arasındaki farka

değişecektir.

)))) ))))

))))

1

0 0

( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) , 0

( ) ( ) ( ) , 0

y ex t y t a c t y t er t y t

r m t m fy t gr t m

= α − = α + − − − α >= α − = α + − − − α >= α − = α + − − − α >= α − = α + − − − α >

= β − = β − − β >= β − = β − − β >= β − = β − − β >= β − = β − − β >

Şekil 6.14’de IS ve LM eğrileri yer

tüm noktalar reel piyasanın dengede

üzerindeki tüm noktalar da para piyasasının

eder. Yani reel piyasa dengedeyken

piyasası dengedeyken faiz oranı

durumunu, LM eğrisi,

alarak IS ve LM denklemlerini belirleyelim

0y ====� 0r ====�

(((( ))))(((( ))))

(((( ))))

1

0

1 0y a c t y er y r

fy mr fy gr m r

= α + − − − = → == α + − − − = → == α + − − − = → == α + − − − = → =

= β − − → == β − − → == β − − → == β − − → =

�

�

9595

almaktadır. IS eğrisinin üzerindeki

dengede olduğunu, LM eğrisinin

piyasasının dengede olduğunu ifade

dengedeyken gelir değişmez ( ) ; para

oranı değişmez ( ). IS eğrisi,

durumunu gösterir. Bunu dikkate

belirleyelim.

0y ====�

0r ====�

(((( ))))1

0

(1 ) 11 0

a c t yy a c t y er y r

e

fy m

g

+ − −+ − −+ − −+ − −= α + − − − = → == α + − − − = → == α + − − − = → == α + − − − = → =

−−−−

Şekil 6.14, ekonominin denge dışı

dinamik süreçlerin nasıl oluşacağını

IS eğrisinin sağında bulunduğumuzu

yazabiliriz:

(((( ))))1(1 ) 1

0 (1 ) 1

0

a c t yr a c t y er

e

y

+ − −+ − −+ − −+ − −> → > + − − −> → > + − − −> → > + − − −> → > + − − −

<<<<�

Yani ekonomi IS eğrisinin sağında

Şekil 6.14’te bu, sola doğru okla gösterilmiştir

9696

dışı bir durumda bulunduğunda,

oluşacağını oklarla göstermektedir. Örneğin

bulunduğumuzu varsayalım. Bu durumda şunu

(((( ))))10 (1 ) 1r a c t y er> → > + − − −> → > + − − −> → > + − − −> → > + − − −

yer aldığında, reel gelir (y) azalır.

gösterilmiştir.

r

••••*rE

*y

9797

( 0)LM r ====�

y

( 0)IS y ====�

Benzer biçimde, ekonomi para piyasası

oranı değişimine de bakabiliriz. Örneğin

ise şunu yazabiliriz:

0

0

fy mr fy gr m

g

r

−−−−< → − − >< → − − >< → − − >< → − − >

>>>>�

Yani ekonomi LM eğrisinin sağında

(r) artar. Şekil 6.14’te bu, yukarıya

9898

piyasası dengesizliği içindeyken faiz

Örneğin ekonomi LM eğrisinin sağında

00r fy gr m< → − − >< → − − >< → − − >< → − − >

sağında yer aldığında, nominal faiz oranı

doğru okla gösterilmiştir.

IS ve LM eğrilerine ilişkin bu

değerlendirdiğimizde, sistemin (grafiğin)

bir bütün olarak saatin dönüş yönününbir bütün olarak saatin dönüş yönünün

Şimdi nominal para arzının azaltıldığı

inceleyelim (Şekil 6.15). Para arzının

sol tarafa doğru kayacaktır. Nihai

geliş süreci için olası dört farklı sürece

9999

bu dinamik davranışları birlikte

(grafiğin) dört bölgesindeki hareket

yönünün tersi yönde gerçekleşmektedir.yönünün tersi yönde gerçekleşmektedir.

azaltıldığı bir para politikasının etkisini

arzının azaltılması sonucunda LM eğrisi

Nihai yeni denge E1’dir. Yeni dengeye

sürece bakalım.

rLM m

S••••A

••••*0

r0

E

••••1

E*

1r

1S

4S

2S

3S

*0

y*1

y

100100

0 0( )LM m

1 1( )LM m

y

( 0)IS y ====�

Birinci olası durum S1 ile gösterilmiştir

para politikası karşısında daha esnek

arzındaki artış kısa sürede faizarzındaki artış kısa sürede faiz

artırmakta; artan faiz oranları karşısında

çarpan etkisiyle reel gelir düzeyi yeni

Gelirdeki düşme para talebini

azalmaktadır (LM eğrisi boyuncaazalmaktadır (LM1 eğrisi boyunca

süreçte faiz oranı daha hızlı tepki

yapmakta), gelir ise daha yavaş bir

101101

gösterilmiştir. Bu durum, para piyasasının

esnek olduğunu varsaymaktadır. Para

oranlarını (A noktasına kadar)oranlarını (A noktasına kadar)

karşısında yatırımlar azalmakta ve

yeni denge değerine gerilemektedir.

azalttığından, faiz oranları da

E denge noktasına hareket). BuE1 denge noktasına hareket). Bu

tepki vermekte (yani anlık sıçramalar

uyarlanma süreci yaşamaktadır.

İkinci olası durum S2 ile gösterilmiştir

uyarlanma süreci yavaştır. Faiz oranları

gelmez. Üçüncü olası durumda (Sgelmez. Üçüncü olası durumda (S3

hızlı bir uyarlanma göstermektedir

hareket daha az olası bir durumdur

S4 ile gösterilmiştir. Bu süreç de

uyarlanma sürecine sahip olduğunuuyarlanma sürecine sahip olduğunu

uyarlanmasının daha hızlı olması,

ilgilidir. Reel piyasanın uyrlanma hızını

102102

gösterilmiştir. Bu durumda her iki piyasanın

oranları yeni dengeye sıçramalarla

) faiz oranları ikinciye göre daha3) faiz oranları ikinciye göre daha

göstermektedir. Ancak saatin tersi yöndeki bu

durumdur. Daha çok görülmesi olası durum

para piyasasının daha esnek bir

olduğunu varsaymaktadır. Para piyasasınınolduğunu varsaymaktadır. Para piyasasının

olması, β katsayısının büyük olasıyla

hızını da α katsayısı belirlemektedir.

Şimdi bir sayısal örnek yapalım.

1

0

50 , 0.75 , 0.25 , 1.525

0.25 , 0.5 , 8

a c t e

f u m

= = = == = = == = = == = = =

= = == = == = == = =0

Bu verilere göre ekonominin başlangıçtaki

* *0 0

( , ) (62 ,15)y r ====

Reel para arzının 8’den 5’e düştüğünü

Bu durumda yeni denge değerleri şöyle

* *1 1

( , ) (54 ,17)y r ====

103103

50 , 0.75 , 0.25 , 1.525= = = == = = == = = == = = =

başlangıçtaki denge değerleri şöyledir:

düştüğünü varsayalım: 15m ====

şöyle oluşacaktır.

Buna göre IS-LM modelinin dinamik

için şu diferansiyel denklemlerle tanımlanacaktır

0.4375 1.525 50y y r= − α − α + α= − α − α + α= − α − α + α= − α − α + α�

Ekonominin para politikası sonrasında

denge noktasına ulaşacağını α ve

belirleyecektir. Üç olası süreci dikkate

0.4375 1.525 50

0.25 0.5 5

y y r

r y r

= − α − α + α= − α − α + α= − α − α + α= − α − α + α

= β − β − β= β − β − β= β − β − β= β − β − β

�

�

belirleyecektir. Üç olası süreci dikkate

1

2

3

: 0.05 , 0.8

: 0.1 , 0.8

: 0.5 , 0.8

S

S

S

α = β =α = β =α = β =α = β =

α = β =α = β =α = β =α = β =

α = β =α = β =α = β =α = β =

104104

dinamik yapısı reel piyasa ve para piyasası

tanımlanacaktır.

0.4375 1.525 50y y r= − α − α + α= − α − α + α= − α − α + α= − α − α + α

sonrasında hangi süreci izleyerek yeni

ve β parametrelerinin büyüklükleri

dikkate alalım:

0.4375 1.525 50y y r= − α − α + α= − α − α + α= − α − α + α= − α − α + α

dikkate alalım:

: 0.05 , 0.8

: 0.1 , 0.8

: 0.5 , 0.8

α = β =α = β =α = β =α = β =

α = β =α = β =α = β =α = β =

α = β =α = β =α = β =α = β =

Ekonomiyi daraltıcı bir para politikasının

karşısında Şekil 6.16 ile gösterilmiştir

süreci, α ve β parametrelerininsüreci, α ve β parametrelerinin

oluşmaktadır.

Şekil 6.17 ise, hem para hem

genişlemeci olduğu bir durum için oluşturulmuştur

Para piyasası uyarlanma katsayısının

uyarlanma katsayısının düşük değer

dengeye daha az dolambaçlı ve hızlı

105105

politikasının etkisi, üç olası durum

gösterilmiştir. Ekonominin yeni dengeye geliş

parametrelerinin alacağı sayısal değerlere göreparametrelerinin alacağı sayısal değerlere göre

de maliye politikasının birlikte

oluşturulmuştur.

katsayısının yüksek ve reel piyasanın

değer aldığı durumda (S1) ekonomi yeni

hızlı ulaşmaktadır.

20

50

14

16

18

••••* *1 1

( , ) (54 ,17)y r ====

8

10

12

106106

1LM

60 65 70••••

0LM

IS

1S

2S

3S

* *0 0

( , ) (62 ,15)y r ====

0IS

1

2

3

: 0.05 , 0.8

: 0.1 , 0.8

: 0.5 , 0.8

S

S

S

α = β =α = β =α = β =α = β =

α = β =α = β =α = β =α = β =

α = β =α = β =α = β =α = β =

20

50 55 60 65

10

15••••

1S

2S

3S

* *1 1

( , ) (54 ,17)y r ====

0

5

107107

1LM

0LM

70 75 80 85

1LM

0IS

* *0 0

( , ) (62 ,15)y r ====

1IS

••••

1

2

3

: 0.05 , 0.8

: 0.1 , 0.8

: 0.5 , 0.8

S

S

S

α = β =α = β =α = β =α = β =

α = β =α = β =α = β =α = β =

α = β =α = β =α = β =α = β =

Şimdi IS-LM modelini, yatırımların

düzeyince de belirlendiğini varsayarak

yazabiliriz:

(((( ))))1 , 0ex a c t y er jy j= + − − + >= + − − + >= + − − + >= + − − + >(((( ))))

0

1 , 0

( )

( )

d

d

ex a c t y er jy j

m fy gr

y ex y

r m m

= + − − + >= + − − + >= + − − + >= + − − + >

= −= −= −= −

= α −= α −= α −= α −

= β −= β −= β −= β −

�

�

Bu diferansiyel denklemleri yeniden

(((( ))))(((( ))))((((

0

1 1y A c t j y er

r fy gr m

= α + α − + − − α= α + α − + − − α= α + α − + − − α= α + α − + − − α

= β − β − β= β − β − β= β − β − β= β − β − β

�

�

108108

yatırımların aynı zamanda gelir (talep)

varsayarak genişletelim. Modeli şöyle

1 , 0ex a c t y er jy j= + − − + >= + − − + >= + − − + >= + − − + >1 , 0ex a c t y er jy j= + − − + >= + − − + >= + − − + >= + − − + >

yeniden düzenleyelim:

)))) ))))1 1y A c t j y er= α + α − + − − α= α + α − + − − α= α + α − + − − α= α + α − + − − α

Yukarıdaki diferansiyel denklemleri

LM eğrilerini belirleyelim:

((((((((1 10 ( )

a c t j yy r IS

− − − −− − − −− − − −− − − −= → == → == → == → =�

Bu modelle bir önceki modeli birbirinden

((((((((

0

0 ( )

0 ( )

y r ISe

m fyr r LM

g

= → == → == → == → =

− +− +− +− += → == → == → == → =

�

�

değere bağlı olarak IS eğrisinin hem

alabilmesidir (Şekil 6.18a ve 6.18b)

(((( ))))1 1 0c t j− − −− − −− − −− − −

109109

denklemleri sıfıra eşitleyerek sırasıyla IS ve

)))) ))))1 10 ( )

a c t j yy r IS

− − − −− − − −− − − −− − − −

birbirinden ayıran nokta, j ’nin alacağı

)))) ))))0 ( )

0 ( )

y r ISe

r r LM

hem pozitif hem de negatif biçim

b).

1 1 0c t j >>>>− − −− − −− − −− − − <<<<

r((((1 1 0c t j− − − >− − − >− − − >− − − >

••••*rE

*y

110110

( 0)LM r ====�

))))1 1 0c t j− − − >− − − >− − − >− − − >

( 0)IS y ====�

y

r((((1 1 0c t j− − − >− − − >− − − >− − − >

••••*rE

*y

111111

( 0)IS y ====�

))))1 1 0c t j− − − >− − − >− − − >− − − >

( 0)LM r ====�

y

Şimdi modeli tanımlayan diferansiyel

ve r ’yi denge değerlerinde alalım.

(((( ))))(((( ))))((((0 1 1a c t j y er= α + α − + − − α= α + α − + − − α= α + α − + − − α= α + α − + − − α

Diferansiyel denklemlerden, bunların

(((( ))))(((( ))))((((* *

0

0 1 1

0

a c t j y er

fy gr m

= α + α − + − − α= α + α − + − − α= α + α − + − − α= α + α − + − − α

= β − β − β= β − β − β= β − β − β= β − β − β

(((( ))))(((( )))) (((((((( ))))(((( )))) ((((

(((( )))) (((( ))))* *

1 1y c t j y y e r r

r f y y g r r

= α − + − − − α −= α − + − − − α −= α − + − − − α −= α − + − − − α −

= β − − β −= β − − β −= β − − β −= β − − β −

�

�

112112

diferansiyel denklemleri sıfıra eşitleyerek, y

)))) ))))* *0 1 1a c t j y er= α + α − + − − α= α + α − + − − α= α + α − + − − α= α + α − + − − α

bunların farkını alarak yazalım.

)))) ))))* *0 1 1a c t j y er= α + α − + − − α= α + α − + − − α= α + α − + − − α= α + α − + − − α

)))) (((( )))))))) (((( ))))* *y c t j y y e r r= α − + − − − α −= α − + − − − α −= α − + − − − α −= α − + − − − α −

Bu sistemin matrisi:

(((( ))))(((( ))))1 1c t j eA

f g

α − + − −αα − + − −αα − + − −αα − + − −α ==== β −ββ −ββ −ββ −β

Bu matrisin izini ve determinantını

f gβ −ββ −ββ −ββ −β

(((( ))))((((

(((( ))))((((

( ) 1 1

det( ) 1 1

tr A c t j g

A g c t j e f

= α − + − − β= α − + − − β= α − + − − β= α − + − − β

= −αβ − + − + α β= −αβ − + − + α β= −αβ − + − + α β= −αβ − + − + α β(((( ))))((((det( ) 1 1A g c t j e f= −αβ − + − + α β= −αβ − + − + α β= −αβ − + − + α β= −αβ − + − + α β

Şimdi bu durumu bir örnekle gösterelim

113113

c t j e

f g

α − + − −αα − + − −αα − + − −αα − + − −α β −ββ −ββ −ββ −β

da şöyle yazabiliriz:

f gβ −ββ −ββ −ββ −β

))))

))))

( ) 1 1

det( ) 1 1

tr A c t j g

A g c t j e f

= α − + − − β= α − + − − β= α − + − − β= α − + − − β

= −αβ − + − + α β= −αβ − + − + α β= −αβ − + − + α β= −αβ − + − + α β))))det( ) 1 1A g c t j e f= −αβ − + − + α β= −αβ − + − + α β= −αβ − + − + α β= −αβ − + − + α β

gösterelim.

Parametre değerlerinin aşağıdaki gibi

1

0

25 , 0.75 , 0.25 , 1 , 0.95

0.22 , 0.75 , 8 , 0.05 , 0.8

a c t e j

f g m

= − = = = == − = = = == − = = = == − = = = =

= = = α = β == = = α = β == = = α = β == = = α = β =

Bu değerler için denge gelir düzeyi

Şimdi diferansiyel denklemi, denge

yeniden yazalım (dengeden sapmaya

* *0 0

65.4 , 10.5y r= == == == =

yeniden yazalım (dengeden sapmaya

(((( ))))

(((( ))))

* *

* *

0.0256 0.05

0.176 0.6

y y y r r

r y y r r

= − − −= − − −= − − −= − − −

= − − −= − − −= − − −= − − −

�

�

114114

gibi olduğunu varsayalım:

25 , 0.75 , 0.25 , 1 , 0.95

0.22 , 0.75 , 8 , 0.05 , 0.8

a c t e j= − = = = == − = = = == − = = = == − = = = =

= = = α = β == = = α = β == = = α = β == = = α = β =

ve faiz oranı şöyle olur:

denge durumundan farkını alarak

sapmaya göre tanımlayalım):sapmaya göre tanımlayalım):

(((( ))))

(((( ))))

* *

* *

0.0256 0.05

0.176 0.6

y y y r r

r y y r r

= − − −= − − −= − − −= − − −

= − − −= − − −= − − −= − − −

Bu diferansiyel denklemin karakteristik

2

0

0.0256 0.05

A rI

rr r

− =− =− =− =

− −− −− −− −= + − == + − == + − == + − =

İlk çözümü yazalım:

2

1 2

0.176 0.6

0.0112 , 0.586

r rr

r r

= + − == + − == + − == + − =− −− −− −− −

= = −= = −= = −= = −

(((( ))))

* * * *

1* * * *

* *

0.0256 0.05

0.176 0.6

0.288

y y y y y y y yA r

r r r r r r r r

r r y y

− − − − −− − − − −− − − − −− − − − − = → == → == → == → =

− − − − −− − − − −− − − − −− − − − −

− = −− = −− = −− = −

115115

karakteristik kökleri (özdeğerleri):

0.5744 0.0066 0r r= + − == + − == + − == + − =0.5744 0.0066 0r r= + − == + − == + − == + − =

* * * *

* * * *

0.0256 0.050.0112

0.176 0.6

y y y y y y y y

r r r r r r r r

− − − − −− − − − −− − − − −− − − − − = → == → == → == → =

− − − − −− − − − −− − − − −− − − − −

Benzer biçimde ikinci özdeğeri kullanarak

* * * *

2* * * *

0.0256 0.05

0.176 0.6

y y y y y y y yA r

r r r r r r r r

− − − − −− − − − −− − − − −− − − − − = → = −= → = −= → = −= → = −

− − − − −− − − − −− − − − −− − − − −

Bu çözüm için IS, LM eğrileri ile öz

süreç grafiği Şekil 6.19’la gösterilmiştir

(((( ))))* *12.23r r y y

− = −− = −− = −− = −

ettiğimiz öz-vektör boyunca sürecin

gelen öz-vektör boyunca da kararsız

genel çözüm bir eyer noktası tanımlamaktadır

116116

kullanarak ikinci çözümü yazalım.

* * * *

* * * *

0.0256 0.050.586

0.176 0.6

y y y y y y y y

r r r r r r r r

− − − − −− − − − −− − − − −− − − − − = → = −= → = −= → = −= → = −

− − − − −− − − − −− − − − −− − − − −

öz-vektörlerin bir arada tanımlandığı

gösterilmiştir. r1 öz-değerine karşılık elde

sürecin kararlı, r2 öz-değerine karşılık

kararsız olduğuna dikkat edelim. Yani

tanımlamaktadır.

1rv

••••

117117

( 0)LM r ====�

( 0)IS y ====�1rv

2rvv

Şimdiye kadar IS-LM modelinde

üzerinde duralım. Acaba menkul kıymetlerüzerinde duralım. Acaba menkul kıymetler

gelir ve faizleri etkileyebilir mi? Bu

değinmiştir: q yatırım teorisi. q değişkeni,

olarak menkul değerin piyasa karşılığını

menkul değerlerin gelecekteki getirileri

piyasa faiz oranından (r) günümüze

eşitlenir.

118118

modelinde dikkate almadığımız bir konu

kıymetler piyasasındaki davranışlar,kıymetler piyasasındaki davranışlar,

Bu konuya ilk olarak Tobin (1969)

değişkeni, bir yenileme maliyeti oranı

karşılığını göstermektedir. Yani, tüm

getirileri eşit olursa (R), bu getirileri

günümüze indirgediğimizde V=R/r ’ye

Diğer yandan firmalar, yatırımların

stokunun yenilenme maliyetine (RC

sürdüreceklerdir. Burada ρ sermayenin

mektedir. Buna göre q ’yu yeniden yazalım

V R rq

RC R r= = == = == = == = =

ρρρρ

Bu denklem, net yatırımın q ’nun bir

tedir. Uzun dönemde her iki yatırımın

r=ρ , yani q=1 olacaktır. Dolayısıyla

Buradan çıkarılacak sonuç şudur: Yatırımlar,

toplam harcamalar q ’nun pozitif yönlü

119119

yatırımların getiri oranı (R/ρ), sermaye

RC) eşitleninceye kadar yatırımlarını

sermayenin marjinal etkinliğini göster-

yazalım:

V R r

RC R r

ρρρρ= = == = == = == = =

ρρρρ

bir fonksiyonu olduğunu göstermek-

yatırımın getiri oranı eşitleneceğinden,

Dolayısıyla net bir yatırım yapılmayacaktır.

Yatırımlar, dolayısıyla ekonomideki

yönlü bir fonksiyonudur.

Ekonominin toplam harcamalarını

tanımlayalım:

1 2 0 1 2( ) ( ) ( ) , 0 1 , 0a t a y t a q t g a a= + + < < >= + + < < >= + + < < >= + + < < >

Burada g0 kamu harcamalarıdır. Dinamik

reel piyasada bir harcama gelir dengesizliği

uğrayacaktır (gecikmeli değişim):

(((( ))))( ) ( ) , 0y ex t y t= σ − σ >= σ − σ >= σ − σ >= σ − σ >�

Reel piyasadaki gecikmeli uyarlanmaya

dengesizliğe uyarlanmanın hemen gerçekleştiğini

0( ) ( ) , 0 , 0fy t gr t m f g− = > >− = > >− = > >− = > >

120120

(ex), q ’yu dikkate alarak yeniden

1 2 0 1 2( ) ( ) ( ) , 0 1 , 0a t a y t a q t g a a= + + < < >= + + < < >= + + < < >= + + < < >

Dinamik IS-LM modelinde olduğu gibi,

dengesizliği durumunda gelir değişime

( ) ( ) , 0= σ − σ >= σ − σ >= σ − σ >= σ − σ >

uyarlanmaya karşın, para piyasasındaki

gerçekleştiğini varsayalım:

( ) ( ) , 0 , 0fy t gr t m f g− = > >− = > >− = > >− = > >

Şimdi de bono getiri oranını (ya

tanımlayalım:

1( ) ( )eb y t q t

r++++

====�

1

( )r

q t====

Burada b1y(t) milli gelirin bir oranı olarak

beklenen kazançlarını göstermektedir

Ayrıca rasyonel bekleyişlerin olduğunu

121121

(ya da eşdeğer olan hisse senedi)

olarak firma karlarını, firmanın

göstermektedir.

olduğunu varsayıyoruz:

( )eq t�

( )eq t q====� �

Tüm bu belirlemelerden sonra modeli

temel denklem üzerine kuruludur:

1 2 0e a y a q g= + += + += + += + +

(((( ))))

0

1

m fy gr

y e y

b y qr

q

= −= −= −= −

= σ −= σ −= σ −= σ −

++++====

�

�

q

122122

modeli yeniden yazalım. Model dört

Bu dört denklemi yeniden düzenleyerek,

diferansiyel denkleme indirgeriz:

(((( ))))1 2 01y a y a q g= σ − + σ + σ= σ − + σ + σ= σ − + σ + σ= σ − + σ + σ�

0

1

qmfqq b y

g g

= − −= − −= − −= − −

�

İlk olarak bu diferansiyel denklem

değerini belirleyelim:

(((( ))))1 2 0

0

1

1 0 ( )

0 ( )

y a y a q g q IS

qmfqq b y q LM

g g fy m

= σ − + σ + σ = → == σ − + σ + σ = → == σ − + σ + σ = → == σ − + σ + σ = → =

= − − = → == − − = → == − − = → == − − = → =

�

�

123123

düzenleyerek, doğrusal olmayan iki

denklem sisteminin uzun dönem denge

(1 )a y g− −− −− −− −1 0

2

1

0

(1 )1 0 ( )

0 ( )

a y gy a y a q g q IS

a

gb yq b y q LM

g g fy m

− −− −− −− −= σ − + σ + σ = → == σ − + σ + σ = → == σ − + σ + σ = → == σ − + σ + σ = → =

= − − = → == − − = → == − − = → == − − = → =−−−−

Şekil 16.20, IS eğrisini ve reel piyasa

bir harekete yol açacağını göstermektedir

elde edilmiştir. Dolayısıyla bu doğru

(1 )a y g− −− −− −− −1 0

2

(1 )0

a y gy q

a

− −− −− −− −= → == → == → == → =�

Bu doğrunun sol üst tarafı için de şu

1 0

2

(1 )(1 ) 0 0

a y gq a y a q g y

a

− −− −− −− −> → − − + + > → >> → − − + + > → >> → − − + + > → >> → − − + + > → >

2a

Yani ekonomi IS doğrusunun sol

düzeyi (y) artar. Bu, Şekil 16.20’de

gösterilmiştir.

124124

piyasa dengesinden sapmaların nasıl

göstermektedir. IS doğrusu, yapılarak

doğru boyunca şu geçerlidir:

0y ====�

a y g1 0

a y g

şu yazılabilir:

1 2 0(1 ) 0 0q a y a q g y> → − − + + > → >> → − − + + > → >> → − − + + > → >> → − − + + > → >�

sol üst kısmında bulunuyorsa, gelir

’de sağ yana yönlenmiş kırmızı ok ile

qq

1 0

2

(1 )

0

a y gq

a

y

− −− −− −− −>>>>

>>>>�

125125

1 0(1 )

0a y g

y q− −− −− −− −

= → == → == → == → =� 1 0

2

(1 )0

a y gy q

a

− −− −− −− −= → == → == → == → =�

1 0(1 )a y g

qa

− −− −− −− −<<<<

IS

y

2

0

a

y <<<<�

Bu doğrunun sağ alt tarafı için de şu

1 0

1 2 0

2

(1 )(1 ) 0 0

a y gq a y a q g y

a

− −− −− −− −< → − − + + < → << → − − + + < → << → − − + + < → << → − − + + < → <

Yani ekonomi IS doğrusunun sağYani ekonomi IS doğrusunun sağ

düzeyi (y) azalır. Bu, Şekil 16.20’de

gösterilmiştir.

Şimdi de LM eğrisini oluşturalım.

denklemce tanımlanmaktadır. Bu denklemin

alarak, gelir karşısında göreli firma

olduğunu görebiliriz.

(((( ))))

(((( )))) ((((0 1 1 1

2 2

0 0

fy m gb gb fy bdq

dy fy m g rfy m fy m

− −− −− −− −= = − == = − == = − == = − =

−−−−− −− −− −− −

126126

şu yazılabilir:

1 2 0(1 ) 0 0q a y a q g y< → − − + + < → << → − − + + < → << → − − + + < → << → − − + + < → <�

sağ alt kısmında bulunuyorsa, gelirsağ alt kısmında bulunuyorsa, gelir

’de sol yana yönlenmiş mavi ok ile

. LM eğrisi, doğrusal olmayan bir

denklemin y ’e göre birinci türevini

firma değerinin nasıl değişmekte

))))(((( ))))

(((( ))))

(((( ))))21 11

2 2

00 0

g b f g y b q f gb

dy fy m g rfy m fy m

−−−−= = − == = − == = − == = − =

−−−−− −− −− −− −

Bu sonuca göre LM eğrisinin şekli

dır. ise pozitif, aksi

durumda Şekil 6.21’in a ve b panellerinde

Şimdi LM eğrisinin negatif ya da pozitif

b q f g

(((( ))))1b q f g>>>>

Şimdi LM eğrisinin negatif ya da pozitif

anlamına bakalım. Gelirde bir yükselme

şekilde de A noktasından B noktasına

amaçlı para talebini artıracağından

yükselir (q azalır). Bunun sonucunda

yükseleceğinden, karlılık artacaktıryükseleceğinden, karlılık artacaktır

gelirdeki artış hisse senedinden

oranlarındaki artıştan daha az artırırsa,

getirisindeki denge yeniden sağlanacak

6.21a’da B ’den C ’ye hareket).

127127

farkının işaretine bağlı-

aksi durumda negatif eğimlidir. Her iki

panellerinde gösterilmiştir.

pozitif olabilmesinin iktisadi açıdan

(((( ))))1b q f g−−−−

pozitif olabilmesinin iktisadi açıdan

yükselme olduğunu varsayalım (Her iki

noktasına hareket). Gelirdeki artış işlem

artıracağından (para arzı sabitken) faiz oranları

sonucunda firmanın hisse senedi değeri

artacaktır. Bu aktarım sürecinde eğerartacaktır. Bu aktarım sürecinde eğer

senedinden elde edilen kazançları faiz

artırırsa, faiz oranı ile hisse senedi

sağlanacak şekilde q azalır (Şekil

Gelirdeki artışın, hisse senedi piyasasında

bu durumu Blanchard “kötü haberler”

Eğer gelirdeki artış hisse senedindenEğer gelirdeki artış hisse senedinden

oranlarındaki artıştan daha çok artırırsa,

getirisindeki denge yeniden sağlanacak

6.21b’de B ’den C ’ye hareket). Blanchard

olarak tanımlamaktadır.

128128

piyasasında fiyat düşüşlerine yol açtığı

haberler” olarak tanımlamaktadır.

senedinden elde edilen kazançları faizsenedinden elde edilen kazançları faiz

artırırsa, faiz oranı ile hisse senedi

sağlanacak şekilde q yükselir (Şekil

Blanchard bu durumu da “iyi haberler”

qgb y

q

LM

•••• ••••

••••

AB

C

1

0

gb yq

fy m>>>>

−−−−

1

0

gb yq

fy m<<<<

−−−−

129129

gb y

0

gb y

fy m

y

1

0

gb yq

fy m====

−−−−

q1

gb yq >>>>

q

••••

••••

••••A

B

C

1

0

gb yq

fy m>>>>

−−−−

q <<<<

LM

q <<<<

130130

1

0

gb yq

fy m====

−−−−

1gb y

<<<<

y

1

0

gb y

fy m<<<<

−−−−

Şimdi reel kesim ile parasal kesim

ve 6.22.b’de görelim. Her iki şekilde

vektör boyunca süreç kararlı, diğer

Rasyonel beklentiler varsayımı ve

ekonomide kararlı dengeye yeniden

vardır.

131131

kesim davranışlarını birlikte Şekil 6.22a

şekilde de r1 öz-değeriyle tanımlanan öz-

diğer öz-vektör boyunca da kararsızdır.

ve veri tek y düzeyine karşılık

yeniden dönüşü sağlayan tek q değeri

q0q ====�

2rvq0q ====�

••••

IS

132132

0y ====� 0y ====�

1rv

y

LM

q 2rvq

••••

LM

IS

133133

0y ====�

0q ====�

0y ====�

1rv

y

Bu modeli bir de sayısal olarak

haberlerin iyi olduğu varsayımına göre

0.8 0.2 7ex y q= + += + += + += + +

= −= −= −= −

(((( ))))

8 0.25 0.2

2

0.1

y r

y ex y

y qr

q

= −= −= −= −

= −= −= −= −

++++====

�

�

Bu dört denklemi düzenleyerek aşağıdakiBu dört denklemi düzenleyerek aşağıdaki

elde ederiz.

14 0.4 0.4

1.25 0.1 40

y y q

q qy y q

= − += − += − += − +

= − −= − −= − −= − −

�

�

134134

olarak oluşturalım ve çözelim. Modeli,

göre yazalım.

0.8 0.2 7ex y q= + += + += + += + +

y r

aşağıdaki iki diferansiyel denklemiaşağıdaki iki diferansiyel denklemi

14 0.4 0.4

1.25 0.1 40

y y q

q qy y q= − −= − −= − −= − −

İlk olarak modelin uzun dönem denge

0 14 0.4 0.4 0

0 1.25 0.1 40 0

y y q

q qy y q

= → − + == → − + == → − + == → − + =

= → − − == → − − == → − − == → − − =

�

�

Diferansiyel denklemleri durağan-

sıra Taylor açılımı yaparak doğrusallaştıralım

* * *35.76 , 0.76 , 4.7y q r= = == = == = == = =

(((( )))) (((( ))))* *0.4 0.4y y y q q= − − + −= − − + −= − − + −= − − + −� (((( )))) (((( ))))

(((( )))) (((( ))))* * * * * *

0.4 0.4

1.25 0.1 40 1.25

y y y q q

q q y y y y q q y q q

= − − + −= − − + −= − − + −= − − + −

= − − − − − + −= − − − − − + −= − − − − − + −= − − − − − + −

�

�

135135

denge değerlerini belirleyelim:

0 14 0.4 0.4 0

0 1.25 0.1 40 0

y y q

q qy y q

= → − + == → − + == → − + == → − + =

= → − − == → − − == → − − == → − − =

-durum denge değerlerinde birinci

doğrusallaştıralım.

* * *35.76 , 0.76 , 4.7y q r= = == = == = == = =

(((( )))) (((( ))))* * * * * *1.25 0.1 40 1.25q q y y y y q q y q q= − − − − − + −= − − − − − + −= − − − − − + −= − − − − − + −

Son denklemleri yeniden düzenlersek

(((( )))) ((((

(((( ))))

* *

* * *

0.4 0.4

0.85 4.7

y y y q q

q q y y q q

= − − + −= − − + −= − − + −= − − + −

= − + −= − + −= − + −= − + −

�

�

Bu diferansiyel denklem sisteminin

lim.

(((( ))))0.85 4.7q q y y q q= − + −= − + −= − + −= − + −�

0.4 0.4

0.85 4.7

rA rI r r

r

− −− −− −− − − = = − − =− = = − − =− = = − − =− = = − − =

−−−−

1 2

0.85 4.7

4.7658 , 0.4658

r

r r

−−−−

= = −= = −= = −= = −

136136

düzenlersek:

))))

(((( ))))

* *

* * *

0.4 0.4

0.85 4.7

y y y q q

q q y y q q

= − − + −= − − + −= − − + −= − − + −

= − + −= − + −= − + −= − + −

sisteminin karakteristik köklerini belirleye-

(((( ))))0.85 4.7q q y y q q= − + −= − + −= − + −= − + −

2 4.43 2.22 0A rI r r− = = − − =− = = − − =− = = − − =− = = − − =

Buna göre sistemin belirsiz çözümü

* 4.7658 0.46581 2

* 4.7658 0.46583 4

( )

( )

t t

t t

y t y A e A e

q t q A e A e

= + += + += + += + +

= + += + += + += + +

Öz-vektörleri de şöyle bulabiliriz:

(((( )))) 1

1 1

1

1 2

0.4 4.7658 0.4 00

0.85 4.7 4.7658 0

1 , 12.9145

r

r r

A r I v

v v

− −− −− −− − − = → =− = → =− = → =− = → =

= == == == =

(((( )))) 2

1 1

1 2

1

1 2

1 , 12.9145

0.4 ( 0.4658) 0.4 00

0.85 4.7 ( 0.4658) 0

1 , 0.1645

r

r r

v v

A r I v

v v

= == == == =

− − −− − −− − −− − − − = → =− = → =− = → =− = → =

= = −= = −= = −= = −

137137

çözümü şöyledir:

* 4.7658 0.46581 2

* 4.7658 0.46583 4

t t

t t

y t y A e A e

q t q A e A e

−−−−

−−−−

= + += + += + += + +

1

1

1

2

0.4 4.7658 0.4 0

0.85 4.7 4.7658 0

r

r

v

v

− = → =− = → =− = → =− = → = −−−−

2

2

1

2

0.4 ( 0.4658) 0.4 0

0.85 4.7 ( 0.4658) 0

r

r

v

v

− = → =− = → =− = → =− = → = − −− −− −− −

qIS2rv

q

••••

138138

y

LM

1rv

Hükümetin kamu harcamalarını artırdığını

üzerinde bir etki yaratmaz, ancak IS eğrisini

kaydırır. Kötü ve iyi haberler durumlarının

yer almaktadır. Kamu harcama artışı sonrasında

Ekonomi başlangıçtaki E1 denge durumundan

vektörü boyunca hareket ederek yeni dengevektörü boyunca hareket ederek yeni denge

haber durumlarının her ikisinde de gelir

durumunda hisse senedi fiyatları düşer.

139139

artırdığını varsayalım. Bu politika LM eğrisi

eğrisini paralel biçimde sağ yöne doğru

durumlarının her ikisi de Şekil 6.23a ve 6.23b’de

sonrasında gelir düzeyi hemen yükselmez.

durumundan E' durumuna geçer. Sonra öz-

denge noktasına (E2) ulaşır. Kötü ve iyi

2rv


gelir artışı olmakla birlikte, kötü haber

q1

y�

0q ====�

••••

••••

1E

2E

E′′′′

1IS

2IS

140140

10y ====�

1rv

2rv

20y ====�

y

LM

2rv

q

LM

••••1

E

E′′′′

LM

1IS

2IS

141141

10y ====�

0q ====�

10y ====�

1rv

2rv

20y ====�

••••2

E

y

Merkez Bankasının para arzını artırdığını

üzerinde bir etki yaratmaz, ancak LM eğrisini

kaydırır. Kötü ve iyi haberler durumlarının

yer almaktadır. Kamu harcama artışı sonrasında

Ekonomi başlangıçtaki E1 denge durumundan

vektörü boyunca hareket ederek yeni dengevektörü boyunca hareket ederek yeni denge

haber durumlarının her ikisinde de gelir

durumunda hisse senedi fiyatları düşer.

142142

artırdığını varsayalım. Bu politika IS eğrisi

eğrisini paralel biçimde sağ yöne doğru

durumlarının her ikisi de Şekil 6.23a ve 6.23b’de

sonrasında gelir düzeyi hemen yükselmez.

durumundan E' durumuna geçer. Sonra öz-


2rv


gelir artışı olmakla birlikte, kötü haber

q2

0q ====�

10q ====�

••••1

E

2EE′′′′

••••

2

IS

143143

0y ====� 0y ====�

rv

2rv••••

y

1LM

1rv2

LM

q

1LM

••••1

E

2E

E′′′′ ••••

1E

IS

2LM

144144

10q ====�

0y ====�

1rv

2rv2

0q ====�

••••

y

Gregory Mankiw, David Romer ve DavidGregory Mankiw, David Romer ve David

girdilerinin yanına beşeri sermayeyi (

genişletmişlerdir. Bu modelde de teknolojik

Bir ekonomide nihai ürünün (Y) Cobb-DouglasBir ekonomide nihai ürünün (Y) Cobb-Douglas

girdileri kullanılarak üretildiğini varsayalım

(((( ))))1

, 0 , 0 , 1Y K H AL−α−β−α−β−α−β−α−βα βα βα βα β= α > β > α + β <= α > β > α + β <= α > β > α + β <= α > β > α + β <

David Weil (1992) çalışmasında, K ve L

145145

David Weil (1992) çalışmasında, K ve L

(H) katarak, Solow büyüme modelini

teknolojik gelişme dışsal alınmıştır.

Douglas üretim fonksiyonu ile, K, H ve LDouglas üretim fonksiyonu ile, K, H ve L

varsayalım.

, 0 , 0 , 1= α > β > α + β <= α > β > α + β <= α > β > α + β <= α > β > α + β <

Fiziksel sermaye ve beşeri sermaye birikimi

olmak üzere şöyle yazılabilir:

K K

K YK s Y dK s

K K= − → = − δ= − → = − δ= − → = − δ= − → = − δ

��

İşgücü istihdam artış hızı ve teknolojik gelişme

L�

H H

K K

H YH s Y dH s

H H= − → = − δ= − → = − δ= − → = − δ= − → = − δ

��

0

0

nt

gt

LL L e n

L

AA A e g

A

= → == → == → == → =

= → == → == → == → =

�

�

146146

birikimi aynı yıpranma oranına (δ) sahip

K K

K YK s Y dK s

K K= − → = − δ= − → = − δ= − → = − δ= − → = − δ

�

gelişme hızı dışsaldır:

H H

K K

H YH s Y dH s

H H= − → = − δ= − → = − δ= − → = − δ= − → = − δ

�

Solow büyüme modelindekine benzer

birikim denklemleri ile Harrod-nötr teknolojik

üretim fonksiyonunu kullanarak, Genişletilmiş

dinamik denklemlerine ulaşalım.dinamik denklemlerine ulaşalım.

(((( ))))1

, , ,

Y K HY K H AL

AL AL AL

Y K Hy k h y k h

AL AL AL

−α−β−α−β−α−β−α−βα βα βα βα β

α βα βα βα β

= → == → == → == → =

= ≡ ≡ ≡= ≡ ≡ ≡= ≡ ≡ ≡= ≡ ≡ ≡, , ,y k h y k hAL AL AL

= ≡ ≡ ≡= ≡ ≡ ≡= ≡ ≡ ≡= ≡ ≡ ≡

147147

benzer biçimde, fiziksel ve beşeri sermaye

teknolojik gelişmeye göre tanımladığımız

Genişletilmiş Solow Büyüme Modelinin temel

, , ,

Y K H

AL AL AL

Y K Hy k h y k h

AL AL AL


= → == → == → == → =

= ≡ ≡ ≡= ≡ ≡ ≡= ≡ ≡ ≡= ≡ ≡ ≡, , ,y k h y k hAL AL AL

= ≡ ≡ ≡= ≡ ≡ ≡= ≡ ≡ ≡= ≡ ≡ ≡

Şimdi k ve h’nin dinamiğini belirlemek

zamana göre türevini alalım ve düzenleyelim

K k K L Ak

≡ → = − +≡ → = − +≡ → = − +≡ → = − +

� ��

(((( ))))

K k K L Ak

AL k K L A

H h H L Ah

AL h H L A

k Ys n g k s k h n g k

≡ → = − +≡ → = − +≡ → = − +≡ → = − +

≡ → = − +≡ → = − +≡ → = − +≡ → = − +

= − + + δ → = − + + δ= − + + δ → = − + + δ= − + + δ → = − + + δ= − + + δ → = − + + δ

� ��

� ��

�(((( ))))

(((( ))))

K K

H H

k Ys n g k s k h n g k

k K

h Ys n g h s k h n g h

h H

= − + + δ → = − + + δ= − + + δ → = − + + δ= − + + δ → = − + + δ= − + + δ → = − + + δ

= − + + δ → = − + + δ= − + + δ → = − + + δ= − + + δ → = − + + δ= − + + δ → = − + + δ

�

�

148148

belirlemek için önce logaritmasını, sonra da

düzenleyelim.

K k K L A ≡ → = − +≡ → = − +≡ → = − +≡ → = − +

� ��

(((( ))))

K k K L A

AL k K L A

H h H L A

AL h H L A

s n g k s k h n g kα βα βα βα β

≡ → = − +≡ → = − +≡ → = − +≡ → = − +

≡ → = − +≡ → = − +≡ → = − +≡ → = − +

= − + + δ → = − + + δ= − + + δ → = − + + δ= − + + δ → = − + + δ= − + + δ → = − + + δ

� ��

� ��

� (((( ))))

(((( ))))

K K

H H

s n g k s k h n g k

s n g h s k h n g h



= − + + δ → = − + + δ= − + + δ → = − + + δ= − + + δ → = − + + δ= − + + δ → = − + + δ

= − + + δ → = − + + δ= − + + δ → = − + + δ= − + + δ → = − + + δ= − + + δ → = − + + δ

�

�

Genişletilmiş Solow Modelinin temel dinamiklerini

aynı anda çözülmesi gereken (yani ekonomide

sermaye hem de beşeri sermaye için

dereceden, doğrusal olmayan diferansiyel

eşanlı diferansiyel denklemi çözebilmek

etrafında birinci sıra Taylor açılımı yaparız

( , ) ,F k h k s k h k n gα βα βα βα β= = − θ + + δ = θ= = − θ + + δ = θ= = − θ + + δ = θ= = − θ + + δ = θ�( , ) ,

( , )

K

H

F k h k s k h k n g

G k h h s k h h



= = − θ + + δ = θ= = − θ + + δ = θ= = − θ + + δ = θ= = − θ + + δ = θ

= = − θ= = − θ= = − θ= = − θ

�

�

149149

dinamiklerini gösteren bu iki denklem,

ekonomide eşanlı olarak hem fiziksel

için durağan durumu gösteren), birinci

diferansiyel denklemlerdir. Bu doğrusal olmayan

çözebilmek için, ilk olarak durağan durum değeri

yaparız.

( , ) ,F k h k s k h k n g= = − θ + + δ = θ= = − θ + + δ = θ= = − θ + + δ = θ= = − θ + + δ = θ( , ) ,F k h k s k h k n g

G k h h s k h h

= = − θ + + δ = θ= = − θ + + δ = θ= = − θ + + δ = θ= = − θ + + δ = θ

= = − θ= = − θ= = − θ= = − θ

(((( )))) (((( ))))

(((( )))) (((( ))))

* * * *

* * * *

( , ) ( , )

( , ) ( , )

k h

k h

F k h F k h F k k F h h

G k h G k h G k k G h h

F F

= + − + −= + − + −= + − + −= + − + −

= + − + −= + − + −= + − + −= + − + −

∂ ∂∂ ∂∂ ∂∂ ∂

(((( ))))

1 1

1 1

* * * * 1 *

0

,

,

( , ) ( ) ( ) ( ) ( )

k K h K

k H H H

K K

F FF s k h F s k h

k h

G GG s k h G s k h

k h

F k h s k h k s k h k k

α− β α β−α− β α β−α− β α β−α− β α β−


α β α− βα β α− βα β α− βα β α− β

∂ ∂∂ ∂∂ ∂∂ ∂≡ = α − θ ≡ = β≡ = α − θ ≡ = β≡ = α − θ ≡ = β≡ = α − θ ≡ = β

∂ ∂∂ ∂∂ ∂∂ ∂

∂ ∂∂ ∂∂ ∂∂ ∂≡ = α ≡ = β − θ≡ = α ≡ = β − θ≡ = α ≡ = β − θ≡ = α ≡ = β − θ

∂ ∂∂ ∂∂ ∂∂ ∂

= − θ + α − θ −= − θ + α − θ −= − θ + α − θ −= − θ + α − θ − ��0

(((( ))))* * * * 1 * * * * 1 *

0

( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )H H H

G k h s k h h s k h k k s k h h hα β α− β α β−α β α− β α β−α β α− β α β−α β α− β α β−= − θ + α − + β − θ −= − θ + α − + β − θ −= − θ + α − + β − θ −= − θ + α − + β − θ − ��

150150

))))F k h F k h F k k F h h

G k h G k h G k k G h h

1 1

1 1

* * * * 1 *( , ) ( ) ( ) ( ) ( )

F s k h F s k h

G s k h G s k h

F k h s k h k s k h k k



α β α− βα β α− βα β α− βα β α− β

≡ = α − θ ≡ = β≡ = α − θ ≡ = β≡ = α − θ ≡ = β≡ = α − θ ≡ = β

≡ = α ≡ = β − θ≡ = α ≡ = β − θ≡ = α ≡ = β − θ≡ = α ≡ = β − θ

= − θ + α − θ −= − θ + α − θ −= − θ + α − θ −= − θ + α − θ − (((( )))) (((( ))))* * * 1 *( ) ( )K

s k h h hα β−α β−α β−α β−+ β −+ β −+ β −+ β −

(((( )))) (((( ))))* * * * 1 * * * * 1 *( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )H H H

G k h s k h h s k h k k s k h h hα β α− β α β−α β α− β α β−α β α− β α β−α β α− β α β−= − θ + α − + β − θ −= − θ + α − + β − θ −= − θ + α − + β − θ −= − θ + α − + β − θ −

((((

((((

* 1 * * * * 1 *

* 1 * * * * 1 *

( , ) ( ) ( ) ( ) ( )

( , ) ( ) ( ) ( ) ( )

K KF k h k s k h k k s k h h h

G k h h s k h k k s k h h h



= = α − θ − + β −= = α − θ − + β −= = α − θ − + β −= = α − θ − + β −

= = α − + β − θ −= = α − + β − θ −= = α − + β − θ −= = α − + β − θ −

�

�

Açılımın sağındaki ilk terim, durağan durumda

((((* 1 * * * * 1 *( , ) ( ) ( ) ( ) ( )H H

G k h h s k h k k s k h h hα− β α β−α− β α β−α− β α β−α− β α β−= = α − + β − θ −= = α − + β − θ −= = α − + β − θ −= = α − + β − θ − �

k* ve h* terimlerinin birer sabit değer olacağını

denklemleri yeniden matris biçiminde düzenleyelim

k (((( ))))

(((( ))))

*

*

*

*

1

1

k

k h

hh

k

α− θ βθα− θ βθα− θ βθα− θ βθ

= += += += + αθ β − θαθ β − θαθ β − θαθ β − θ

�

�

151151

)))) (((( ))))

)))) (((( ))))

* 1 * * * * 1 *

* 1 * * * * 1 *

( , ) ( ) ( ) ( ) ( )

( , ) ( ) ( ) ( ) ( )

K KF k h k s k h k k s k h h h

G k h h s k h k k s k h h h



= = α − θ − + β −= = α − θ − + β −= = α − θ − + β −= = α − θ − + β −

= = α − + β − θ −= = α − + β − θ −= = α − + β − θ −= = α − + β − θ −

durumda sıfır olacaktır.

)))) (((( ))))* 1 * * * * 1 *( , ) ( ) ( ) ( ) ( )H H

G k h h s k h k k s k h h hα− β α β−α− β α β−α− β α β−α− β α β−= = α − + β − θ −= = α − + β − θ −= = α − + β − θ −= = α − + β − θ −

olacağını dikkate alarak, bu diferansiyel

düzenleyelim.

*

*

( 1) )

( 1) )

k k

h h

θ α+β −θ α+β −θ α+β −θ α+β −

= += += += + θ α+β −θ α+β −θ α+β −θ α+β − αθ β − θαθ β − θαθ β − θαθ β − θ

Çözüm iki kısımdan oluşacaktır. İlk olarak

değerlerini (k* ve h* ) MRW Büyüme Modelinin

ve ’yi sıfıra eşitleyerek elde edeceğiz

siyonları bulabilmek için, doğrusallaştırılmış

k� h�

siyonları bulabilmek için, doğrusallaştırılmış

çözeceğiz. İlk olarak durağan durum denge

(((( )))) (((( ))))

(((( )))) (((( ))))

* * *

* * *

Kk s k h k

h s k h h



= − θ == − θ == − θ == − θ =

= − θ == − θ == − θ == − θ =

�

� (((( )))) (((( ))))

(((( ))))

* * *

1 1

1 1* * * *1 1,

H

K H

h s k h h

s sk h h k

β αβ αβ αβ α−α −β−α −β−α −β−α −β−α −β−α −β−α −β−α −β

= − θ == − θ == − θ == − θ =

= == == == = θ θθ θθ θθ θ

�

152152

olarak k ve h ’nin durağan durum (denge)

Modelinin asıl dinamik denklemlerinde

edeceğiz. Bunun ardından tamamlayıcı fonk-

doğrusallaştırılmış denklemleri homojenleştirerekdoğrusallaştırılmış denklemleri homojenleştirerek

denge değerleri şöyledir:

0

0

= − θ == − θ == − θ == − θ =

= − θ == − θ == − θ == − θ =

(((( ))))

1 1

1 1* * * *1 1

0

,K Hs s

k h h kβ αβ αβ αβ α−α −β−α −β−α −β−α −β−α −β−α −β−α −β−α −β

= − θ == − θ == − θ == − θ =

= == == == = θ θθ θθ θθ θ

Şimdi doğrusallaştırılmış denklemleri homojenleştirerek

yonları bulalım. Bunu yaparken k ve

diğine dikkat edelim.

(((( ))))

((((*

*

1k

hh

k


==== αθ β − θαθ β − θαθ β − θαθ β − θ

�

�

153153

homojenleştirerek tamamlayıcı fonksi-

h’nin durağan durumda değerlendiril-

))))

*

*

1

k

kh

h


αθ β − θαθ β − θαθ β − θαθ β − θ

İlk olarak karakteristik kökleri (özdeğerleri)

vektörleri (özvektörleri) belirleyelim.

(((( ))))1 r

A rI

α− θ− βθα− θ− βθα− θ− βθα− θ− βθ

− = =− = =− = =− = =

((((

(((( )))) ((((

(((( )))) ((((

*

*

2 21 1 0

A rIh

k

r r

− = =− = =− = =− = =

αθ β − θ−αθ β − θ−αθ β − θ−αθ β − θ−

+ − α−β θ + − α−β θ =+ − α−β θ + − α−β θ =+ − α−β θ + − α−β θ =+ − α−β θ + − α−β θ =

(((( )))) ((((

((((

1,2

1 2

2 2 4 1

0 , 1 0

r

r r

− − α−β θ − α−β θ − − α−β θ− − α−β θ − α−β θ − − α−β θ− − α−β θ − α−β θ − − α−β θ− − α−β θ − α−β θ − − α−β θ ====

= −θ < = −θ − α−β <= −θ < = −θ − α−β <= −θ < = −θ − α−β <= −θ < = −θ − α−β <

∓

154154

(özdeğerleri) ve buna bağlı olarak karakteristik

*

*

0

k

hα− θ− βθα− θ− βθα− θ− βθα− θ− βθ

− = =− = =− = =− = =

))))

))))

)))) (((( ))))

*

2 2

2

0

1

1 1 0

h

r

− = =− = =− = =− = =


+ − α−β θ + − α−β θ =+ − α−β θ + − α−β θ =+ − α−β θ + − α−β θ =+ − α−β θ + − α−β θ =

)))) (((( ))))

))))

222 2 4 1

2

0 , 1 0

− − α−β θ − α−β θ − − α−β θ− − α−β θ − α−β θ − − α−β θ− − α−β θ − α−β θ − − α−β θ− − α−β θ − α−β θ − − α−β θ

= −θ < = −θ − α−β <= −θ < = −θ − α−β <= −θ < = −θ − α−β <= −θ < = −θ − α−β <

Karakteristik vektörler (özvektörler):

[[[[ ]]]](((( ))))

*

1 *1

kr

hA rI v v

h


− = =− = =− = =− = = [[[[ ]]]](((( ))))

(((( )))) (((( ))))

((((

*

*

11 *

*

1

1

A rI v vh

k

A r I vh

k

− = =− = =− = =− = = αθ β − θ−αθ β − θ−αθ β − θ−αθ β − θ−

α− θ− −θ βθα− θ− −θ βθα− θ− −θ βθα− θ− −θ βθ

− = =− = =− = =− = = αθ β − θ− −θαθ β − θ− −θαθ β − θ− −θαθ β − θ− −θ

((((*

* *

1 1 1 11 2 1 2* *

0 1 ,

k

k hv v v v

h k

αθ β − θ− −θαθ β − θ− −θαθ β − θ− −θαθ β − θ− −θ

θα +βθ = → = = −θα +βθ = → = = −θα +βθ = → = = −θα +βθ = → = = −

155155

*

*

0

k

hA rI v v

− = =− = =− = =− = =

)))) (((( ))))

1

*

1*1

12

0

0

1

A rI v v

r

k

vh

v


α− θ− −θ βθα− θ− −θ βθα− θ− −θ βθα− θ− −θ βθ

− = =− = =− = =− = = αθ β − θ− −θαθ β − θ− −θαθ β − θ− −θαθ β − θ− −θ

)))) (((( ))))

* *

1 1 1 11 2 1 2* *

1

0 1 ,k h

v v v vh k

αθ β − θ− −θαθ β − θ− −θαθ β − θ− −θαθ β − θ− −θ

ααααθα +βθ = → = = −θα +βθ = → = = −θα +βθ = → = = −θα +βθ = → = = −

ββββ

[[[[ ]]]](((( ))))

(((( ))))

*

2 *

*

1

1

kr

hA rI v v

hr



(((( ))))

(((( )))) (((( ))))((((

*

22 *

*

1

1 1

rk

A r I vh

k


α− θ− θ α+β − βθα− θ− θ α+β − βθα− θ− θ α+β − βθα− θ− θ α+β − βθ

− = =− = =− = =− = = αθ β − θ− θ α+β −αθ β − θ− θ α+β −αθ β − θ− θ α+β −αθ β − θ− θ α+β −

* *

2 2 2 21 2 1 2* *

0 1 ,k h

v v v vh k

−βθ +βθ = → = =−βθ +βθ = → = =−βθ +βθ = → = =−βθ +βθ = → = =

156156

2

0A rI v v

r


))))))))

(((( )))) (((( ))))(((( ))))

2

*

2*1

22

1 1

0

1 1

r

k

vh

v


α− θ− θ α+β − βθα− θ− θ α+β − βθα− θ− θ α+β − βθα− θ− θ α+β − βθ

− = =− = =− = =− = = αθ β − θ− θ α+β −αθ β − θ− θ α+β −αθ β − θ− θ α+β −αθ β − θ− θ α+β −

* *

2 2 2 21 2 1 2* *

k hv v v v

h k−βθ +βθ = → = =−βθ +βθ = → = =−βθ +βθ = → = =−βθ +βθ = → = =

Buna göre karakteristik kökleri ve vektörleri

111

1 12

vr v

v

= −θ → = == −θ → = == −θ → = == −θ → = = −−−−

(((( ))))

2

22

1r v

= −θ − α−β → = == −θ − α−β → = == −θ − α−β → = == −θ − α−β → = =

Bu sonuçları dikkate alarak belirsiz genelBu sonuçları dikkate alarak belirsiz genel

*1 2

*

1( )

( )

tk t

A e A ehh t

k

−θ−θ−θ−θ

= + += + += + += + +αααα −−−−

ββββ

157157

vektörleri birlikte yeniden yazalım.

*

*

1

h

k

αααα −−−−ββββ

*

212 *22 *

1

k

vr v h

vk

ββββ

= −θ − α−β → = == −θ − α−β → = == −θ − α−β → = == −θ − α−β → = =

genel çözümü yazalım.genel çözümü yazalım.

(((( ))))*

1 *1 2 *

*

1t

kA e A e h

hk

−θ −α−β−θ −α−β−θ −α−β−θ −α−β

= + += + += + += + +

Belirsiz çözümü belirli çözüme dönüştürebilmek

sahip olduğu fiziksel ve beşeri sermaye

bildiğimizi kabul edelim. Belirsiz çözümde

* *1 2

* *

*

1 1(0)

(0)

(0)

k k

A Ah hh hk k

Ak A A k

= + += + += + += + +αααα −−−− ββββ

===== + += + += + += + + *11 2

* *

*1 2* *

2

(0)

(0)

Ak A A k

h hh A A h

k k A

===== + += + += + += + + αααα = − + += − + += − + += − + +

ββββ ====

158158

dönüştürebilmek için başlangıçta ekonominin

sermaye stokunu sırasıyla k(0) ve h(0) olarak

çözümde t=0 alarak A1 ve A2 ’yi belirleyebiliriz.

(((( ))))(((( ))))

*

*

* *(0) (0)

k

h

h k h k

β −β −β −β −====

(((( ))))

(((( )))) (((( ))))(((( ))))

*

* * * *

*

(0) (0)

h

h k k k h h

h

====α+βα+βα+βα+β

α − +β −α − +β −α − +β −α − +β −====

α+βα+βα+βα+β

Buna göre belirli çözüm:

(((( ))))(((( ))))

* * * * * *

* (1 )

* *

(0) (0) (0) (0)( ) t t

h k h k h k k k h hk t k e e

h h−θ −θ −α−β−θ −θ −α−β−θ −θ −α−β−θ −θ −α−β

β − α − +β −β − α − +β −β − α − +β −β − α − +β −= + += + += + += + +

α+β α+βα+β α+βα+β α+βα+β α+β(((( ))))

(((( ))))(((( ))))

* * * * * *

* (1 )

* *

(0) (0) (0) (0)( ) t t

h h

h k k h h k k k h hh t h e e

k k−θ −θ −α−β−θ −θ −α−β−θ −θ −α−β−θ −θ −α−β

α+β α+βα+β α+βα+β α+βα+β α+β

α − α − +β −α − α − +β −α − α − +β −α − α − +β −= + += + += + += + +


Şimdi fiziksel ve beşeri sermayenin asimptotikbakalım.

* *lim ( ) , lim ( )t t

k t k h t h→∞ →∞→∞ →∞→∞ →∞→∞ →∞

= == == == =

159159

(((( )))) (((( ))))(((( ))))

* * * * * *

* (1 )

* *

(0) (0) (0) (0)t t

h k h k h k k k h hk t k e e

h h−θ −θ −α−β−θ −θ −α−β−θ −θ −α−β−θ −θ −α−β

β − α − +β −β − α − +β −β − α − +β −β − α − +β −

α+β α+βα+β α+βα+β α+βα+β α+β(((( ))))

(((( )))) (((( ))))(((( ))))

* * * * * *

* (1 )

* *

(0) (0) (0) (0)t t

h h

h k k h h k k k h hh t h e e

k k−θ −θ −α−β−θ −θ −α−β−θ −θ −α−β−θ −θ −α−β


α − α − +β −α − α − +β −α − α − +β −α − α − +β −


asimptotik olarak nasıl hareket ettiğine

(((( ))))(((( ))))*k �

Doğrusallaştırma yoluyla elde ettiğimiz

aşama grafikleriyle de görelim. İlk olarak

gösteren eğrileri tanımlayalım.

(((( ))))(((( ))))

(((( )))) (((( ))))

(((( ))))(((( ))))

*

*

* *

*

*

1 ( 1) 0

( 1)

1 1

kk k h k

h

k kk h

h

h

= α− θ + βθ + θ α+β − == α− θ + βθ + θ α+β − == α− θ + βθ + θ α+β − == α− θ + βθ + θ α+β − =

α+β − βα+β − βα+β − βα+β − β= += += += +

− α − α− α − α− α − α− α − α

�

� (((( ))))(((( ))))

(((( ))))

*

*

**

*

1 ( 1) 0

1( 1)

hh k h h

k

kkk h

h

= αθ + β − θ + θ α+β − == αθ + β − θ + θ α+β − == αθ + β − θ + θ α+β − == αθ + β − θ + θ α+β − =

−β−β−β−βα+β −α+β −α+β −α+β −= += += += +

α αα αα αα α

�

160160

ettiğimiz modelin zaman içindeki davranışını

olarak k ve h için durağan durum değerlerini

*

*

1 ( 1) 0k k h k

k hh

= α− θ + βθ + θ α+β − == α− θ + βθ + θ α+β − == α− θ + βθ + θ α+β − == α− θ + βθ + θ α+β − =

Sarı Renkli DoğruSarı Renkli Doğru

*

*

1 ( 1) 0h k h h

kk h

= αθ + β − θ + θ α+β − == αθ + β − θ + θ α+β − == αθ + β − θ + θ α+β − == αθ + β − θ + θ α+β − =

Yeşil Renkli DoğruYeşil Renkli Doğru

Şekil 4.11. MRW Büyüme Modelinde Dengeli Büyümeye Geçiş Şekil 4.11. MRW Büyüme Modelinde Dengeli Büyümeye Geçiş

Sürecinin DinamiğiSürecinin Dinamiği

kIV

(((( ))))

*( 1)

1

kα + β −α + β −α + β −α + β −

− α− α− α− α

*k

0 *( 1)kα + β −α + β −α + β −α + β −

αααα

III

161161Şekil 4.11. MRW Büyüme Modelinde Dengeli Büyümeye Geçiş Şekil 4.11. MRW Büyüme Modelinde Dengeli Büyümeye Geçiş

Sürecinin DinamiğiSürecinin Dinamiği

0h ====�

(((( )))) **

*

1( 1) kkk h

h

− β− β− β− βα + β −α + β −α + β −α + β −= += += += +


IE

0k ====�

��(((( )))) (((( ))))

* *

*

( 1)

1 1

k kk h

h

α + β − βα + β − βα + β − βα + β − β= += += += +

− α − α− α − α− α − α− α − α

I

*k h*h

II

Şimdi Şekil 4.11’i kullanarak, bir iktisat

ekonominin nasıl davranış göstereceğini

etkin işgücü başına fiziksel sermaye,

başına beşeri sermaye dengededir. Her

denklemlerinin, durağan durum denge noktasında

açılımı ile elde edilmiştir. Bu nedenle asıl

ve mavi eğriye k* ve h* noktasında teğettirler

Bu iki doğru koordinat sistemini dört bölgeyeBu iki doğru koordinat sistemini dört bölgeye

rakamlarıyla tanımladık. Ekonomi, politika

dengesindeyken, bir politika değişikliği

birine geçiş yapacaktır (geçici süreyle).

162162

iktisat politikası değişikliği sonrasında

göstereceğini inceleyelim. Sarı renkli doğru boyunca

yeşil doğru boyunca da etkin işgücü

iki doğru, MRW modelinin asıl dinamik

noktasında (k* ve h*) birinci sıra Taylor

asıl dinamik denklemleri gösteren kırmızı

teğettirler.

bölgeye ayırmıştır. Bu bölgeleri Romenbölgeye ayırmıştır. Bu bölgeleri Romen

politika değişikliği öncesinde k* ve h*

sonrasında ilk olarak bu dört bölgeden

Dengeden uzaklaşma sonrasında ekonominin

görebilmek için, her bir bölgede hem fiziksel

yönlerde değişeceğini belirleyelim. Bunun

denklemleri yeniden kullanalım.denklemleri yeniden kullanalım.

İlk olarak fiziksel sermayenin davranışını

ve IV. bölgeler) için şu eşitsizliği yazabiliriz

(((( )))) ((((

* *( 1)

1 1

k kk h

α + β − βα + β − βα + β − βα + β − β> +> +> +> +

− α − α− α − α− α − α− α − α(((( )))) ((((1 1− α − α− α − α− α − α− α − α

Bu eşitsizliği düzenleyerek şunu yazabiliriz

(((( ))))(((( ))))*

*1 ( 1) 0 0

kk h k k

h

α − θ + βθ + θ α + β − < → <α − θ + βθ + θ α + β − < → <α − θ + βθ + θ α + β − < → <α − θ + βθ + θ α + β − < → <

163163

ekonominin nasıl bir seyir izleyeceğini

fiziksel hem de beşeri sermayenin hangi

Bunun için doğrusallaştırılmış diferansiyel

davranışını görelim. Sarı doğrunun üst bölgesi (I.

yazabiliriz:

))))

* *

*1 1

k kk h

h

α + β − βα + β − βα + β − βα + β − β

− α − α− α − α− α − α− α − α))))1 1 h− α − α− α − α− α − α− α − α

yazabiliriz:

*1 ( 1) 0 0k h k kα − θ + βθ + θ α + β − < → <α − θ + βθ + θ α + β − < → <α − θ + βθ + θ α + β − < → <α − θ + βθ + θ α + β − < → <�

Buna göre, ekonomi sarı renkli eğrinin

işgücü başına fiziksel sermaye azalacaktır

olacağını söyleyebiliriz. Özetlersek;

I. ve IV. bölgelerde: 0k <<<<�

II. ve III. bölgelerde: 0k >>>>�

durumu, k için azalmayı; durumu

üzerinde fiziksel sermayedeki azalmayı

0k <<<<� 0k >>>>�

üzerinde fiziksel sermayedeki azalmayı

yönlü okla gösterdik.

Benzer analizi etkin işgücü başına beşeri

164164

eğrinin üst bölgesinde bulunduğunda etkin

azalacaktır. Alt bölge için bunun tersinin geçerli

0

0

durumu da artmayı göstermektedir. Şekil

azalmayı aşağı yönlü okla, artmayı da yukarıazalmayı aşağı yönlü okla, artmayı da yukarı

beşeri sermaye için de yapalım.

(((( )))) **

*

1( 1) kkk h

h

− β− β− β− βα + β −α + β −α + β −α + β −> +> +> +> +


Yeşil doğru boyunca fiziksel sermaye birikimi

(III. ve IV. bölgeler) için şu eşitsizliği yazabiliriz

III. ve IV. bölgelerde:

(((( ))))(((( ))))

*

*

*1 ( 1) 0 0

k hh

hk h h h

k

> +> +> +> +α αα αα αα α

αθ + β − θ + θ α + β − < → <αθ + β − θ + θ α + β − < → <αθ + β − θ + θ α + β − < → <αθ + β − θ + θ α + β − < → <

I. ve II. bölgelerde:

durumu, h için azalmayı; durumu

üzerinde beşeri sermayedeki azalmayı sola

okla gösterdik.

0h <<<<� 0h >>>>�

165165

k h

birikimi yoktur. Yeşil doğrunun üst bölgesi

yazabiliriz:

0h <<<<�

�

*1 ( 1) 0 0

k h

k h h hαθ + β − θ + θ α + β − < → <αθ + β − θ + θ α + β − < → <αθ + β − θ + θ α + β − < → <αθ + β − θ + θ α + β − < → <�

0h >>>>�

durumu da artmayı göstermektedir. Şekil

sola yönlü okla, artmayı da sağa yönlü

MRW büyüme modelinin temel dinamik

ettiğimiz sonuçlar ve grafik analizi, zaman

yeni bir denge durumunu tanımlayacağını

sonrası hangi bölgeye gelmiş olursa olsun,

h denge değeri tanımlayacaktır.

Bir iktisat politikası ya da dışsal değişim

sermayenin zaman içinde nasıl bir değişim

nüfus artış hızında bir gerileme, etkin işgücünüfus artış hızında bir gerileme, etkin işgücü

sermeyenin artarak yeni bir denge değeri

yeni denge değerlerine k** ve h** diyelim

166166

dinamik denklemlerinin çözümüyle elde

zaman içinde ekonominin asimptotik olarak

tanımlayacağını göstermektedir. Ekonomi, politika

olsun, değişim süreci mutlaka yeni bir k ve

değişim sonrasında fiziksel ve beşeri

değişim izleyeceğine de bakalım. Örneğin

işgücü başına hem fiziksel hem de beşeriişgücü başına hem fiziksel hem de beşeri

değeri tanımlamasına neden olacaktır. Bu

diyelim.

Şekil 4.12a. MRW Büyüme Modelinde Etkin İşgücü Başına Fiziksel Şekil 4.12a. MRW Büyüme Modelinde Etkin İşgücü Başına Fiziksel

Sermayenin Dengeli Büyümeye Geçiş Sürecinin DinamiğiSermayenin Dengeli Büyümeye Geçiş Sürecinin Dinamiği

k

*k

**k

(0)k

0

*k

167167Şekil 4.12a. MRW Büyüme Modelinde Etkin İşgücü Başına Fiziksel Şekil 4.12a. MRW Büyüme Modelinde Etkin İşgücü Başına Fiziksel


t

h

Şekil 4.12a. MRW Büyüme Modelinde Etkin İşgücü Başına Beşeri Şekil 4.12a. MRW Büyüme Modelinde Etkin İşgücü Başına Beşeri


*h

**h

(0)h

0

*h

168168Şekil 4.12a. MRW Büyüme Modelinde Etkin İşgücü Başına Beşeri Şekil 4.12a. MRW Büyüme Modelinde Etkin İşgücü Başına Beşeri


t

Her iki şekilden de görüleceği gibi, değişimin

başına fiziksel ve beşeri sermaye değerleri

yükselmekte, azalan verimlerin etkisiyle

yüksek yeni bir denge değerine (k** ve

seyir izlemesinin ana nedeni, α ve β ’nın

(((( ))))(((( ))))

* * * * * *

* *

(0) (0) (0) (0)(1 ) 0t t

h k h k h k k k h hkt e t e

n h h−θ −θ −α−β−θ −θ −α−β−θ −θ −α−β−θ −θ −α−β

β − α − +β −β − α − +β −β − α − +β −β − α − +β −∂∂∂∂= − − − α−β <= − − − α−β <= − − − α−β <= − − − α−β <

∂ α+β α+β∂ α+β α+β∂ α+β α+β∂ α+β α+β

(((( ))))(((( ))))

* * * * * *

* *

(0) (0) (0) (0)(1 ) 0t t

h k k h h k k k h hht e t e

n k k−θ −θ −α−β−θ −θ −α−β−θ −θ −α−β−θ −θ −α−β

α − α − +β −α − α − +β −α − α − +β −α − α − +β −∂∂∂∂= − − −α−β <= − − −α−β <= − − −α−β <= − − −α−β <


169169

değişimin hemen sonrasında etkin işgücü

değerleri sırasıyla k(0) ve h(0) değerlerine

etkisiyle önceki değerinden (k* ve h* ) daha

ve h**) yakınsamaktadır. Bunun böyle bir

’nın birden küçük olmasıdır.

(((( )))) (((( ))))(((( ))))

* * * * * *

(1 )

* *

(0) (0) (0) (0)(1 ) 0t t

h k h k h k k k h ht e t e

n h h−θ −θ −α−β−θ −θ −α−β−θ −θ −α−β−θ −θ −α−β

β − α − +β −β − α − +β −β − α − +β −β − α − +β −= − − − α−β <= − − − α−β <= − − − α−β <= − − − α−β <


(((( )))) (((( ))))(((( ))))

* * * * * *

(1 )

* *

(0) (0) (0) (0)(1 ) 0t t

h k k h h k k k h ht e t e

n k k−θ −θ −α−β−θ −θ −α−β−θ −θ −α−β−θ −θ −α−β

α − α − +β −α − α − +β −α − α − +β −α − α − +β −= − − −α−β <= − − −α−β <= − − −α−β <= − − −α−β <


Şimdi bir sayısal örnek verelim.

α=0.5 , β=0.3, θ=0.08 , sK=0.2 , sH=0.075

lemleri oluşturalım.lemleri oluşturalım.

0.5 0.3

0.5 0.3

0.2 0.08

0.075 0.08

k k h k

h k h h

= −= −= −= −

= −= −= −= −

�

�

Bu temel diferansiyel denklemleri kullanarakbelirleyelim.

0.5 0.3

0.5 0.3

* *

0 0 0.2 0.08

0 0 0.075 0.08

22.43 , 8.41

k k h k

h k h h

k h

= → = −= → = −= → = −= → = −

= → = −= → = −= → = −= → = −

= == == == =

�

�

170170

075 varsayalım. Buna göre temel denk-

0.075 0.08h k h h

kullanarak önce durağan durum değerlerini

0.5 0.3

0.5 0.3

0 0 0.2 0.08

0 0 0.075 0.08

22.43 , 8.41

k k h k

h k h h

= → = −= → = −= → = −= → = −

= → = −= → = −= → = −= → = −

Özdeğerler:

(((( ))))*

*1

kr

hA rI


− = = =− = = =− = = =− = = =

(((( ))))*

*

2

2

1

0.096 0.00128 0

0.096 (0.096) 4(0.00128)

A rIh

k

r r

r

− = = =− = = =− = = =− = = =


+ + =+ + =+ + =+ + =

− −− −− −− −====

∓1,2

1 2

0.096 (0.096) 4(0.00128)

2

0.08 , 0.016

r

r r

− −− −− −− −====

= − = −= − = −= − = −= − = −

∓

171171

0.04 0.0640

r− −− −− −− −− = = =− = = =− = = =− = = =

− −− −− −− −0

0.015 0.056

0.096 (0.096) 4(0.00128)

rr

− = = =− = = =− = = =− = = =− −− −− −− −


0.096 (0.096) 4(0.00128)

Birinci özvektörü, durağan durum denge

11

0.04 ( 0.08) 0.064

0.015 0.056 ( 0.08)A r I v

− − −− − −− − −− − − − = =− = =− = =− = = − − −− − −− − −− − −

(((( )))) (((( ))))1 * 1 * 1 11 2 1 2

1 11 2

1 1

0.04 0.064 0

35.89 1.6

1 0.624

v k v h v v

v v

v v

− + − = → = −− + − = → = −− + − = → = −− + − = → = −

= −= −= −= −

==== ⇒⇒⇒⇒ = −= −= −= −1 11 2

111

12

1 0.624

1

0.624

v v

vv

v

==== ⇒⇒⇒⇒ = −= −= −= −

= == == == = −−−−

172172

denge noktasında elde edelim:

11

12

0.04 ( 0.08) 0.0640

0.015 0.056 ( 0.08)

v

v

− = =− = =− = =− = = − − −− − −− − −− − −

* *

1 * 1 * 1 11 2 1 2

0.04 0.064 0.064

0.04 0.04

k hv k v h v v

++++ − + − = → = −− + − = → = −− + − = → = −− + − = → = −

İkinci özvektörü, durağan durum denge

22

0.04 ( 0.016) 0.064

0.015 0.056 ( 0.016)A r I v

− − −− − −− − −− − − − = =− = =− = =− = = − − −− − −− − −− − −

(((( )))) (((( ))))2 * 2 * 1 11 2 1 2

1 11 2

1 11 2

0.024 0.064 0

0.003 2.67

1 0.374

v k v h v v

v v

v v

− − + − = → = +− − + − = → = +− − + − = → = +− − + − = → = +

= += += += +

==== ⇒⇒⇒⇒ ====1 2

212

22

1 0.374

1

0.374

v v

vv

v

==== ⇒⇒⇒⇒ ====

= == == == =

173173

noktasında elde edelim:

21

22

0.04 ( 0.016) 0.0640

0.015 0.056 ( 0.016)

v

v

− = =− = =− = =− = = − − −− − −− − −− − −

* *

2 * 2 * 1 11 2 1 2

0.024 0.064 0.064

0.024 0.024

k hv k v h v v

− +− +− +− + − − + − = → = +− − + − = → = +− − + − = → = +− − + − = → = + −−−−

Bu sonuçları dikkate alarak belirsiz genel

0.08 0.0161 2

( ) 1 1 22.43

( ) 0.624 0.374 8.41

t tk t

A e A eh t

− −− −− −− −

= + += + += + += + + −−−−

ya da şöyle yazabiliriz:

0.08 0.0161 2

0.08 0.0161 2

( ) 22.43

( ) 0.624 0.374 8.41

t t

t t

k t A e A e

h t A e A e

− −− −− −− −

− −− −− −− −

= + += + += + += + +

= − + += − + += − + += − + +

Fiziksel ve beşeri sermeye için birer başlangıç

çözerek belirli genel çözüme ulaşabiliriz

yapalım: (0) 30 , (0) 12k h= == == == =

174174

genel çözümü yazalım.

0.08 0.016( ) 1 1 22.43

( ) 0.624 0.374 8.41

t tA e A e− −− −− −− −

= + += + += + += + +

0.08 0.016

( ) 22.43

( ) 0.624 0.374 8.41t th t A e A e− −− −− −− −= − + += − + += − + += − + +

başlangıç değeri kabul edip A1 ve A2 ’yi de

ulaşabiliriz. Başlangıç değerleri için şu varsayımı

1 2

1 2

1 2

(0) 22.43 30

(0) 0.624 0.374 8.41 12

0.76 , 8.33

k A A

h A A

A A

= + + == + + == + + == + + =

= − + + == − + + == − + + == − + + =

= − == − == − == − =1 2

0.08 0.016

0.08 0.016

0.76 , 8.33

( ) 0.75 8.33 22.43

( ) 0.470 3.12 8.41

t t

t t

A A

k t e e

h t e e

− −− −− −− −

− −− −− −− −

= − == − == − == − =

= − + += − + += − + += − + +

= + += + += + += + +

Bu çözüm, dengenin kararlı (istikrarlı) olduğunu

dışında oluşabilecek bir şok sonucu ekonomi

h* ile belirtilen başlangıç denge noktasına

175175

(0) 0.624 0.374 8.41 12= − + + == − + + == − + + == − + + =

( ) 0.75 8.33 22.43

( ) 0.470 3.12 8.41

= − + += − + += − + += − + +

olduğunu göstermektedir. Yani, sistemin

ekonomi ulaştığı noktadan, yeniden k* ve

noktasına dönecektir.

Şekil 4.13, bu örneği yansıtmaktadır.

zaman içerisindeki hareketin başlangıç

göstermektedir. Ancak modelde meydana

nüfus artış hızının düşmesi, tasarrufnüfus artış hızının düşmesi, tasarruf

noktasının tanımlanmasına neden olacaktır

Örneğin nüfus artış hızının azaldığını

başına fiziksel ve beşeri sermaye artarak,

denge oluşturacaktır. Bu, Şekil 4.14’tedenge oluşturacaktır. Bu, Şekil 4.14’te

azalmanın hemen ardından ekonomi

Ardından etkin işgücü başına fiziksel

azalmanın etkisiyle, yeni uzun dönem durağan

176176

Küçük kırmızı oklar, tüm durumlarda

başlangıç denge noktasına doğru olacağını

meydana gelebilecek bir içsel değişim (örneğin

oranlarında bir artış), yeni bir dengeoranlarında bir artış), yeni bir denge

olacaktır.

varsayalım. Bu durumda etkin işgücü

artarak, k** ve h** düzeyinde yeni bir kararlı

’te gösterilmiştir. Nüfus artış hızında bir’te gösterilmiştir. Nüfus artış hızında bir

önce geçici olarak E2 noktası gelir.

fiziksel ve beşeri sermaye verimliliğindeki

durağan durum dengesine (E1) ulaşır.

Şekil Şekil 4.13. 4.13. MRW Büyüme Modelinde MRW Büyüme Modelinde

k

*k

177177

MRW Büyüme Modelinde MRW Büyüme Modelinde Geçiş Geçiş Sürecinin Sürecinin DinamiğiDinamiği

1 11 2

0.003 2.67v v= += += += +

0h ====�

E��

0k ====�

1 11 2

35.89 1.6v v= −= −= −= −

h*h

Şekil Şekil 4.14. 4.14. MRW Büyüme Modelinde MRW Büyüme Modelinde

Nüfus Artış Hızında Bir AzalmaNüfus Artış Hızında Bir Azalma

k h ====�

*k0

E��

1E

**k

2E

��

��

35

*h **h 15

178178MRW Büyüme Modelinde MRW Büyüme Modelinde Geçiş Geçiş Sürecinin Sürecinin Dinamiği: Dinamiği:

Nüfus Artış Hızında Bir AzalmaNüfus Artış Hızında Bir Azalma

1 11 2

0.006 2.67v v= += += += +0k ====�

0====�

1 11 2

49.55 1.6v v= −= −= −= −

h

Nüfus artış hızında 0.005 birimlik bir

çözümü şudur (bunun için θ değerini

edin):

0.075 0.015( ) 1.88 5.91 30.97t tk t e e− −− −− −− −= − + += − + += − + += − + +0.075 0.015

0.075 0.015

( ) 1.88 5.91 30.97

( ) 1.18 2.22 11.61

t t

t t

k t e e

h t e e

− −− −− −− −

− −− −− −− −

= − + += − + += − + += − + +

= + += + += + += + +

Şekil 4.14, değişim öncesi ve sonrası

yansıtmaktadır.

179179

azalma varsayımı durumunda modelin

değerini 0.08’den 0.075’e indirdiğimize dikkat

0.075 0.015( ) 1.88 5.91 30.97t t= − + += − + += − + += − + +0.075 0.015( ) 1.88 5.91 30.97

( ) 1.18 2.22 11.61

t t

t t

= − + += − + += − + += − + +

= + += + += + += + +

sonrası durumların her ikisini birden

Bu model R. Dornbusch tarafındanBu model R. Dornbusch tarafından

sermaye hareketliliği, para ve döviz piyasalarına

kesim ve ekonomik karar birimlerinin

varsayımlarını kullanarak döviz kuru hareketliliğini

Model, bir parasal genişleme sonrasınaModel, bir parasal genişleme sonrasına

11.. Kısa dönemde döviz kurunda hızlı bir

ve hem döviz kuru hem de dış ticaret dengesinde

(1976) ortaya atılmıştır. Model, tam

180180

(1976) ortaya atılmıştır. Model, tam

piyasalarına göre daha ağır uyarlanan reel

birimlerinin tutarlı bekleyişlere sahip olduğu

hareketliliğini açıklamaya çalışmaktadır.

ilişkin şu üç sonuca ulaşmaktadır:ilişkin şu üç sonuca ulaşmaktadır:

bir yükseliş (yerli paranın değer yitirmesi)

dengesinde salınımlı bir seyir.

22.. Dengeye yeniden uyarlanma sürecinde

genel düzeyinde yükselme.

33.. Döviz kurlarının fiyatlar genel düzeyi üzerinde33.. Döviz kurlarının fiyatlar genel düzeyi üzerinde

Bu anlamda modelde döviz kuru, parasal

etkilerinde önemli bir aktarım mekanizması

politikasının faiz oranları ve döviz kuru

davranışına sıkı sıkıya bağlıdır. Eğer reel

dönemde faiz oranlarını düşürüp, döviz

bir sıçrama yapmasına neden olur. Aksi

uyarlanma süreci yaşar.

sürecinde düşen döviz kuruyla birlikte fiyatlar

üzerinde doğrudan etkisinin bulunması.

181181

üzerinde doğrudan etkisinin bulunması.

parasal bir genişlemenin reel kesime

mekanizması görevini üstlenmiştir. Para

kuru üzerindeki etkisi, reel milli gelirin

reel gelir sabitse, parasal genişleme kısa

döviz kurunun uzun dönem değerine aniden

Aksi durumda ise, her ikisi de daha ağır bir

Modelde üç kesim tanımlanmaktadır: Reel

ve uluslar arası para piyasası. Her üç piyasayı

Reel Kesim (Mal Piyasası):

(((( )))) , 0 1 , 0ex cy g h s p c h= + + − < < >= + + − < < >= + + − < < >= + + − < < >(((( ))))

(((( ))))

, 0 1 , 0

, 0

ex cy g h s p c h

p ex y

= + + − < < >= + + − < < >= + + − < < >= + + − < < >

= α − α >= α − α >= α − α >= α − α >�

Para Piyasası:, 0 , 0

d

s d

m p fy ur f u

m m m

= + − > >= + − > >= + − > >= + − > >

= == == == =s d

m m m= == == == =

Uluslararası Para Piyasası:

* e

e

r r s

s s

= += += += +

====

�

� �

(tam sermaye hareketliliğini

Reel kesim (mal piyasası), para piyasası

piyasayı tanımlayan denklemler şöyledir:

182182

, 0 1 , 0ex cy g h s p c h= + + − < < >= + + − < < >= + + − < < >= + + − < < >, 0 1 , 0ex cy g h s p c h= + + − < < >= + + − < < >= + + − < < >= + + − < < >

, 0 , 0m p fy ur f u= + − > >= + − > >= + − > >= + − > >

hareketliliğini tanımlamaktadır)

Yukarıdaki denklemlerde yer alan değişkenlerin

ex, toplam harcama; i, özel kesim yatırım

yurtiçi fiyatlar genel düzeyi; y, reel milli

arzı; r*, yurtdışı faiz oranı; s, spot dövizarzı; r*, yurtdışı faiz oranı; s, spot döviz

döviz kuru uzun dönem denge değeri (ya

Değişkenlerin küçük harfli gösterimi,

gelmektedir.

Modelde tanımlayacağımız bir diğer değişken,

*

PR

SP====

Burada P*, yurtdışındaki fiyatlar genel düzeyidir

183183

değişkenlerin anlamları şöyledir:

yatırım harcamaları; g, kamu harcamaları; p,

milli gelir; md, nominal para talebi; ms, para

döviz kuru; se, beklenen spot döviz kuru; s*,döviz kuru; se, beklenen spot döviz kuru; s*,

(ya da satınalma gücü paritesi değeri).

bunların doğal logaritmaları anlamına

değişken, reel döviz kurudur (R).

düzeyidir.

Diğer bir ifadeyle R, yurtiçi genel fiyat düzeyinin,

mış olan yurtdışı genel fiyat düzeyine oranıdır

tanımlayan tek fiyat yasasını kabul edecek

dolayısıyla R=1 yazabiliriz.dolayısıyla R=1 yazabiliriz.

Şimde R oranının her iki yanının doğal

varsayımı ve yurtdışı fiyatlar genel düzeyinin

varsayımını kullanalım.

*

*

ln ln ln ln

1 , 1 0

R P S P

R P s p

= − −= − −= − −= − −

= = → − == = → − == = → − == = → − =

184184

düzeyinin, yerli para birimiyle tanımlan-

oranıdır. Eğer satınalma gücü paritesini

edecek olursak (uzun dönemde), P=SP* ve

doğal logaritmasını alalım ve yukarıdaki

düzeyinin de birim değere sahip olduğu

1 , 1 0R P s p= = → − == = → − == = → − == = → − =

s’deki bir yükselme (ki yerli paranın değeri

demek), yerli para cinsinden yurtdışındaki

ve bunun sonucu olarak da yurtiçinde

olur. Bu durum ihracatın yükselmesine,

ve toplam yurtiçi harcamaların artmasına

Reel kesimi tanımlayan ikinci denklemde

düzeyinde bulunduğunun varsayılması

gelir düzeyi yerine fiyatlar genel düzeyi yükselecektir

185185

değeri yabancı para karşısında azalıyor

yurtdışındaki fiyatların yükselmesi anlamına gelir

üretilen mallar göreli olarak ucuzlamış

yükselmesine, ithalatın azalmasına yani net ihracatın

artmasına neden olur.

denklemde ekonominin tam kaynak kullanım

nedeniyle, aşırı bir talep durumunda

yükselecektir.

Uluslararası para piyasalarını tanımlayan

düşmesi ya da yükselmesi olduğunda,

oranından sapacağını söylemektedir. Bunun

tam hareketli olmasıdır. Tam tersi döviztam hareketli olmasıdır. Tam tersi döviz

spot döviz kuru beklentisinde hiçbir değişme

Fiili ve beklenen spot döviz kuru aynı hale

oranları da sapma göstermeyecektir.

Yukarıda görüldüğü gibi, genel olarak

ilişkileri üzerine kuruludur. Her iki piyasada

s’dir.

186186

tanımlayan denklem de, döviz kurunda bir değer

olduğunda, yurtiçi faiz oranının yurtdışı faiz

Bunun arkasındaki varsayım sermayenin

döviz kurlarını sabit kabul edecek olursak,döviz kurlarını sabit kabul edecek olursak,

değişme gerçekleşmeyecektir:

hale geleceğinden, yurtiçi ve yurtdışı faiz

0es ====�

model mal piyasası ve para piyasası

piyasada da ana belirleyici değişkenler p ve

Toplam harcama fonksiyonunu, fiyatlar

tanımlayan denklemdeki yerine yazarak

(((( )))) (((( ))))1p c y h s p g = α − + − += α − + − += α − + − += α − + − + �

Reel kesimde denge, fiyatlar değişmediğinde

(((( )))) ((((

(((( ))))

0 0 1

1

p c y h s p g

c y gp s

h h

= → = α − + − += → = α − + − += → = α − + − += → = α − + − +

−−−−= − += − += − += − +

�

Uzun dönemde satınalma gücü paritesiUzun dönemde satınalma gücü paritesi

durumda reel kesim dengesini gösteren

harcama denklemindeki h(p-s) teriminin

bir doğru biçimini alır (Şekil 4.15).

187187

fiyatlar genel düzeyindeki hareketleri

yazarak düzenleyelim.

p c y h s p g

değişmediğinde oluşur.

(((( ))))p c y h s p g = → = α − + − += → = α − + − += → = α − + − += → = α − + − +

geçerli olacağından, p=s gerçekleşir. Bu

Reel kesim eş-denge eğrisi

geçerli olacağından, p=s gerçekleşir. Bu

gösteren eğri, reel kesimi tanımlayan toplam

teriminin sıfır olması nedeniyle, orijinden geçen

Şekil Şekil 4.15. Dornbusch Döviz Kuru Modeli: Reel Kesim Dengesi4.15. Dornbusch Döviz Kuru Modeli: Reel Kesim Dengesi

p

045

188188

4.15. Dornbusch Döviz Kuru Modeli: Reel Kesim Dengesi4.15. Dornbusch Döviz Kuru Modeli: Reel Kesim Dengesi

0p ====� 0p ====�

s

(((( )))) ((((

(((( ))))

0 1 0

1

p c y h s p g

c y gp s

h h

> → α − + − + >> → α − + − + >> → α − + − + >> → α − + − + >

−−−−< − +< − +< − +< − +

�

h h

Yani reel kesim eş-denge eğrisinin altında

armakta, üst bölgede ise azalmaktadır.

denge durumundan, sağ-altındaki bölgeye

spot döviz kuru (s) yükselir, yurtiçinde

ucuzlayacağından rekabet avantajına veucuzlayacağından rekabet avantajına ve

harcamadaki bu artış da, (gelir düzeyi

düzeyinin (p) artmasına neden olur (yukarı

189189

))))0 1 0p c y h s p g > → α − + − + >> → α − + − + >> → α − + − + >> → α − + − + >

altında kalan bölgede fiyatlar genel düzeyi

. Örneğin bir parasal genişleme sonucu

bölgeye geçtiğimizi varsayalım. Bu durumda

yurtiçinde üretilen mallar göreli olarak daha

ve ihracatın artmasına yol açar. Toplamve ihracatın artmasına yol açar. Toplam

düzeyi sabit olduğundan) fiyatlar genel

(yukarı yönlü ok).

Şimdi de para piyasasına bakalım. Ekonomik

yapabildiği varsayımını, para piyasası dengesi

para piyasası eş-denge eğrisini elde ederek,

nasıl bir davranış sergileyeceğini inceleyelim

(((( ))))

(((( ))))

*

*

,

1 1

m p fy ur r r s

m p fy u r s

s p fy m ru u

= + − = += + − = += + − = += + − = +

= + − += + − += + − += + − +

= + − −= + − −= + − −= + − −

�

�

.

*

1 10 0s p fy m r

u u

p m fy ur

= → = + − −= → = + − −= → = + − −= → = + − −

= − += − += − += − +

�

Para

190190

Ekonomik karar birimlerinin tam öngörü

dengesi denkleminde dikkate alalım ve

ederek, denge dışı durumlarda ekonominin

inceleyelim.

*

*

m p fy ur r r s

s p fy m r

= + − = += + − = += + − = += + − = +

= + − −= + − −= + − −= + − −

�

(((( )))) *s p fy m ru u

= → = + − −= → = + − −= → = + − −= → = + − −

Para piyasası eş-denge eğrisi

Para piyasası eğrisi yataydır (Şekil 4.16

döviz kuru piyasası dengesini ifade eder

daralma sonrasında ekonomi bu eğrinin

kuru ve fiyatların nasıl değişim göstereceğine

Örneğin eğrinin üst bölgesine geçersek,

sahip olduğu varsayıldığından) ani bir sıçrama

* *1 1

0

p m fy ur p fy m ru u

s

> − + → + − − >> − + → + − − >> − + → + − − >> − + → + − − >

>>>>�

sahip olduğu varsayıldığından) ani bir sıçrama

yapacak, sonra fiyatlar genel düzeyi (p)

yükselecektir (ya da düşecek). Para politikası

para ve döviz piyasası yoluyla başlayarak

mekanizması reel kesimde daha geç devreye

191191

16). Bu eğrinin üzerindeki tüm noktalar,

eder. Örneğin bir parasal genişleme ya da

eğrinin üst ya da alt bölgesine geçerse, döviz

göstereceğine bakalım.

geçersek, döviz kuru (yeterince yüksek esnekliğe

sıçrama (ya da ters yönde bir sıçrama)

(((( ))))* *1 10p m fy ur p fy m r

u u

> − + → + − − >> − + → + − − >> − + → + − − >> − + → + − − >

sıçrama (ya da ters yönde bir sıçrama)

ve spot döviz kuru (s) ağır bir hareketle

politikası sonrası değişim süreci öncelikle

başlayarak ekonomiye yayılmakta, aktarım

devreye girmektedir.

Şekil Şekil 4.16. Dornbusch Döviz Kuru Modeli: Para Piyasası Dengesi4.16. Dornbusch Döviz Kuru Modeli: Para Piyasası Dengesi

p

*p m fy ur= − += − += − += − +

192192

4.16. Dornbusch Döviz Kuru Modeli: Para Piyasası Dengesi4.16. Dornbusch Döviz Kuru Modeli: Para Piyasası Dengesi

0s ====�

s

Şekil Şekil 4.17. Dornbusch Döviz Kuru Modeli: Eşanlı Denge4.17. Dornbusch Döviz Kuru Modeli: Eşanlı Denge

p

*p ••••

045

0p ====�

193193

4.17. Dornbusch Döviz Kuru Modeli: Eşanlı Denge4.17. Dornbusch Döviz Kuru Modeli: Eşanlı Denge

0p ====�

0s ====�••••

s*s

Dornbusch Modeli İçin Sayısal Örnek:

0.8 4 0.01( )

0.1( )

ex y s p

p ex y

= + + −= + + −= + + −= + + −

= −= −= −= −

= + − = == + − = =

�

Uzun dönemde satın alma gücü paritesinin

*

*

0.5 0.5 , 105

,

20 , 10

d d s

e e

m p y r m m

r r s s s

y r

= + − = == + − = == + − = == + − = =

= + == + == + == + =

= == == == =

� � �

para piyasaları dengesini ( ) dikkate

biliriz (Şekil 4.18).

0s ====�

0

105 0.5(20) 0.5(10) 100

s p m fy ur

p

= → = − += → = − += → = − += → = − +

= − + == − + == − + == − + =

�

194194

= + − = == + − = =

paritesinin geçerli olacağını varsayarak (s=p) ve

0.5 0.5 , 105d d s

m p y r m m= + − = == + − = == + − = == + − = =

dikkate alarak her iki eş-denge eğrisini çize-

*

105 0.5(20) 0.5(10) 100

s p m fy ur

= − + == − + == − + == − + =

Şekil Şekil 4.18. Dornbusch Döviz Kuru Modeli: Eşanlı Denge4.18. Dornbusch Döviz Kuru Modeli: Eşanlı Denge

p

* 100p ==== ••••

045

*s

0p ====�

195195

4.18. Dornbusch Döviz Kuru Modeli: Eşanlı Denge4.18. Dornbusch Döviz Kuru Modeli: Eşanlı Denge

0p ====�

0s ====�••••

11

v

s* 100s ====

21

v

Modelin diferansiyel denklemleri şöyledir

(((( )))) (((( ))))

(((( )))) *

1 0.001 0.001

1 1

p c y h s p g p p s

s p fy m r s pu u

= α − + − + → = − += α − + − + → = − += α − + − + → = − += α − + − + → = − +

= + − − → = −= + − − → = −= + − − → = −= + − − → = −

� �

� �(((( ))))s p fy m r s pu u

= + − − → = −= + − − → = −= + − − → = −= + − − → = −

� �

Diferansiyel denklem sisteminin katsayılar

0.001 0.001

2 0A

−−−− ====

Öz-değerleri belirleyelim.Öz-değerleri belirleyelim.

2

1 2

0.001 0.001

2 0

0.0452 , 0.0442

rA rI r r

r

r r

− −− −− −− −− = = + − =− = = + − =− = = + − =− = = + − =

−−−−

= − == − == − == − =

196196

şöyledir:

1 0.001 0.001

2 200

p c y h s p g p p s

s p fy m r s p

= α − + − + → = − += α − + − + → = − += α − + − + → = − += α − + − + → = − +

= + − − → = −= + − − → = −= + − − → = −= + − − → = −

� �

� � 2 200s p fy m r s p= + − − → = −= + − − → = −= + − − → = −= + − − → = −� �

katsayılar matrisi:

2 0.001 0.002 0A rI r r− = = + − =− = = + − =− = = + − =− = = + − =

Özvektörler:

[[[[ ]]]] 1

0.001 ( 0.0452) 0.001 0

2 0 ( 0.0452) 0

rA rI v− − −− − −− − −− − −

− = =− = =− = =− = =

[[[[ ]]]]

1 1

2

2 144.2

0.001 (0.0442) 0.001 0

2 0 (0.0442) 0

r r

r

v v

A rI v

= −= −= −= −

− −− −− −− − − = =− = =− = =− = =

Kararsız Yol

2 2

2 145.2

r rv v==== Kararlı Yol

197197

1

1

1

2

0.001 ( 0.0452) 0.001 0

2 0 ( 0.0452) 0

r

r

v

v

− = =− = =− = =− = = − −− −− −− −

2

2

2

1

2

0.001 (0.0442) 0.001 0

2 0 (0.0442) 0

r

r

v

v

v

− −− −− −− −

− = =− = =− = =− = = −−−−

Kararlı yolun denklemini şöyle belirleriz

* *0.0452( ) 2( )

0.0452( 100) 2( 100)

s s p p

s p

− − = −− − = −− − = −− − = −

− − = −− − = −− − = −− − = −

102.26 0.023p s= −= −= −= −

Kararsız yolun denklemi de şöyledir

* *0.0442( ) 2( )

0.0442( 100) 2( 100)

s s p p

s p

− = −− = −− = −− = −

− = −− = −− = −− = −0.0442( 100) 2( 100)

97.79 0.022

s p

p s

− = −− = −− = −− = −

= −= −= −= −

198198

belirleriz:

0.0452( ) 2( )

0.0452( 100) 2( 100)

şöyledir:

Şekil Şekil 4.19. Dornbusch Döviz Kuru Modeli Sayısal Örnek:4.19. Dornbusch Döviz Kuru Modeli Sayısal Örnek:

EşEş--denge Eğrileridenge Eğrileri

p

*p ====

*s ====

1991994.19. Dornbusch Döviz Kuru Modeli Sayısal Örnek:4.19. Dornbusch Döviz Kuru Modeli Sayısal Örnek:

denge Eğrileridenge Eğrileri

0p ====�

•••• 0s ====�

====s

Şimdi de bu iki diferansiyel denklem

Yukarıda iki farklı ve ters işaretli

çözüm:

*x v v xr t r r t rA e A e= + += + += + += + +1 1 2 2

1 2

1 2

1 2

*1 2

1 1

1 2

2 2

0.0452 0.04421 2

x v v x

1 1 100

45.2 44.2 100

r t r r t r

r r

t r t r tr r

t

t t t

A e A e

s v vA e A e

p v v

sA e A e

p−−−−

= + += + += + += + +

= + += + += + += + +

= + += + += + += + + 1 2

0.0452 0.04421 2

1

45.2 44.2 100

100

100 45.2

t

t tt

t

A e A ep

s A e A e

p A e

−−−−

−−−−

= + += + += + += + +

= + += + += + += + +

= += += += + 0.0452 0.044244.2t t−−−−

200200

denklem için eşanlı çözümü görelim.

işaretli öz-değer bulmuştuk. Buna göre

*x v v x

1 2

1 2

*

*1 1

*2 2

0.0452 0.04421 2

x v v x

1 1 100

45.2 44.2 100

r r

r r

t t

sv v

pv v

A e A e

= + += + += + += + +

= + += + += + += + +

−−−−1 2

0.0452 0.0442

45.2 44.2 100

t t

A e A e

s A e A e

= + += + += + += + + −−−−

0.0452 0.04422

44.2t tA e−−−−

Çözüm genel bir yapıdadır. Örneğin

dengeden uzaklaşan ekonominin

kabul edilerek, A1 ve A2 bilinmeyenleri

Şimdi ekonomide bir genişleyiciŞimdi ekonomide bir genişleyici

gidildiğini varsayalım ve bunun olası

genişleme doğrudan reel kesimi etkilemediğinden,

kalır. Reel kesime etkisi dolaylı olacaktır

rıya kaydırır (Şekil 4.19). Yukarıda

devamı olarak uygulamayı bu çerçevededevamı olarak uygulamayı bu çerçevede

birim artırılarak 110’a çıkarıldığını

birim kadar yukarı kayacaktır. Yeni

Bu arada iki öz-vektörün de yeni denge

yer değiştireceğine dikkat edelim.

201201

Örneğin bir parasal genişleme sonrasında

ilk durumu bir başlangıç noktası

bilinmeyenleri de belirlenebilir.

genişleyici para politikası uygulamasınagenişleyici para politikası uygulamasına

olası etkisini inceleyelim. Parasal

etkilemediğinden, eğrisi yerinde

olacaktır. İlk olarak, eğrisini yuka-

Yukarıda verdiğimiz sayısal örneğin bir

çerçevede sürdürelim. Para arzının 5

s�

p�

çerçevede sürdürelim. Para arzının 5

çıkarıldığını varsayalım. Dolayısıyla eğrisi 5

Yeni denge noktası E1’de (105, 105)’tir.

denge noktasından geçecek şekilde

s�

Şekil Şekil 4.20a. Dornbusch Döviz Kuru Modeli: Eşanlı Denge4.20a. Dornbusch Döviz Kuru Modeli: Eşanlı Denge

p

••••

*0

p

*1

p

0E

1E

••••

T

2T

045

*0

p

*1

s

••••

0p ====�

202202

4.20a. Dornbusch Döviz Kuru Modeli: Eşanlı Denge4.20a. Dornbusch Döviz Kuru Modeli: Eşanlı Denge

0p ====�

0s�

1s�

20

SP

11

v

••••

1T

3T

•••• ••••

100.36 0.022p s= −= −= −= −

s

0s�

21

v

11

SP

•••• •••• ••••A B C

107.37 0.023p s= −= −= −= −

Şekil Şekil 4.20b. Tam Öngörü Durumunda Yeni Dengeye Geçiş Süreci4.20b. Tam Öngörü Durumunda Yeni Dengeye Geçiş Süreci

(Excel Grafiği)(Excel Grafiği)

1E

••••0p ====�

1E

••••

0E

••••Döviz kurundaki ani sıçrama

203203

4.20b. Tam Öngörü Durumunda Yeni Dengeye Geçiş Süreci4.20b. Tam Öngörü Durumunda Yeni Dengeye Geçiş Süreci


107.37 0.023p s= −= −= −= −107.37 0.023p s= −= −= −= −


Şekil Şekil 4.20c. Eksik Öngörü Durumunda Dengeden Uzaklaşma4.20c. Eksik Öngörü Durumunda Dengeden Uzaklaşma


1E

0p ====�

••••1

E

••••

0E

••••0s�

Döviz kurundaki ani sıçrama

204204

4.20c. Eksik Öngörü Durumunda Dengeden Uzaklaşma4.20c. Eksik Öngörü Durumunda Dengeden Uzaklaşma


0

s�1

s�


Şekil Şekil 4.20d. Eksik Öngörü Durumunda Dengeden Uzaklaşma4.20d. Eksik Öngörü Durumunda Dengeden Uzaklaşma


0p ====�

1E

••••

0E

••••0s�

Döviz kurundaki ani sıçrama

205205

4.20d. Eksik Öngörü Durumunda Dengeden Uzaklaşma4.20d. Eksik Öngörü Durumunda Dengeden Uzaklaşma


1s�


Parasal genişleme, yukarıda hesapladığımız

lerini etkilemeyecektir. Şimdi yeni

leri belirleyelim.

* *0.0452( ) 2( )s s p p− − = −− − = −− − = −− − = −* *1 1

0.0452( ) 2( )

0.0452( 105) 2( 105)

107.37 0.023

s s p p

s p

p s

− − = −− − = −− − = −− − = −

− − = −− − = −− − = −− − = −

= −= −= −= −

* *1 1

0.0442( ) 2( )s s p p− = −− = −− = −− = −

Kararlı

1 10.0442( ) 2( )

0.0442( 105) 2( 105)

100.36 0.022

s s p p

s p

p s

− = −− = −− = −− = −

− = −− = −− = −− = −

= −= −= −= − Kararsız

206206

hesapladığımız diferansiyel denklem kök-

dengeden geçecek olan öz-vektör-

0.0452( ) 2( )0.0452( ) 2( )

0.0452( 105) 2( 105)

Kararlı yol ( )11

SP

Kararsız yol ( )21

SP

Ekonomik karar birimleri, tam öngörü

döviz kurunun hızla değer yitireceğini

ler. (Şekil 4.20’de E0 ’dan B ’ye). B

vektör eğrisi üzerine düşmektedir.vektör eğrisi üzerine düşmektedir.

denkleminde, B noktasındaki s değerini

107.37 0.023

100 107.37 0.023 326.28

p s

s s

= −= −= −= −

= − → == − → == − → == − → =

Ekonomi B noktasından hareketle

denge noktasına ulaşacaktır. s değerini

dikkati çeken en önemli nokta, döviz

bir sıçrama yapmış olmasıdır. Sonra

hareketle 105 birim denge değerine

207207

öngörü yapabildikleri varsayımı altında,

yitireceğini (yani s ’nin artacağını) bekler-

B noktası tam olarak yeni kararlı öz-

. Bu nedenle yeni kararlı öz-vektör. Bu nedenle yeni kararlı öz-vektör

değerini belirleyebiliriz.

100 107.37 0.023 326.28s s= − → == − → == − → == − → =

yeni kararlı yolu (T1) izleyerek, E11 1

değerini belirleyebiliriz. Bu süreçte

döviz kurunun hızlı ve büyük miktarda

Sonra kararlı yol boyunca ağır bir

değerine azalma göstermektedir.

Ekonomik karar birimleri tam öngörüye

değişim gösterecektir? Böyle bir durumda

parasal genişleme sonrası oluşacak

daha fazla (C noktası) ya da dahadaha fazla (C noktası) ya da daha

lerdir. Ekonominin C noktasından sonra

dan sonra da izleyeceği yol T2 ile gösterilmiştir

sızdır, yani nihai olarak bir denge değeri

Para politikası uygulamasında, para

uygulayan kurumun, ekonomik kararuygulayan kurumun, ekonomik karar

politikayı duyurup duyurmaması,

açısından önemlidir. Yukarıdaki

açıklama yapmadan parasal genişlemeye

alınmıştır.

208208

öngörüye sahip değillerse sistem nasıl

durumda ekonomik karar birimleri,

oluşacak yeni döviz kurunu 326.28’den ya

düşük (A noktası) tahmin edecek-düşük (A noktası) tahmin edecek-

sonra izleyeceği yol T3, A noktasın-

gösterilmiştir. Her iki yol da karar-

değeri tanımlamamaktadır.

para politikasına karar veren ve

karar birimlerine yapmak istediğikarar birimlerine yapmak istediği

döviz kuru ve fiyat değişimleri

örnekte, para otoritesinin hiçbir

genişlemeye gittiği bir durum dikkate

Para otoritesi yapmak istediği genişleyici

ekonomik karar birimlerine duyurursa,

otoritesinin açıklamasını tümüyle yerine

döviz kurunun ani bir sıçramayladöviz kurunun ani bir sıçramayla

(satın alma gücü değerine) yükseleceğini,

göstererek, bir önceki denge düzeyinden

değerine ulaşacağını öngörecekler,

düzeyinin de yükselmesini bekleyeceklerdir

yurtdışı varlıklardan yurtiçi varlıklarayurtdışı varlıklardan yurtiçi varlıklara

oldukları varlıkların değerini korumaya

olduğu kadar çabuk yaparak, avantajı

çalışırlar. Bu işlemler döviz kurunun

artış önceki örnekten daha düşük bir

209209

genişleyici para politikasını önceden

duyurursa, ekonomik karar birimleri, para

yerine getireceğinden emin olarak,

önce uzun dönem denge değerineönce uzun dönem denge değerine

yükseleceğini, ardından ağır ağır düşme

düzeyinden daha yüksek yeni bir denge

öngörecekler, aynı şekilde fiyatlar genel

bekleyeceklerdir. Bu beklentiler ışığında,

varlıklara doğru hareket ederek, sahipvarlıklara doğru hareket ederek, sahip

korumaya; bu işlemleri de mümkün

avantajı kendi lehlerine dönüştürmeye

kurunun ani artışına yol açar, fakat bu

bir değerdir.

Bu durum Şekil 4.21’de yer almaktadır

otoritesinin duyuru yapmadan parasal

döviz kurundaki sıçrama, uzun dönem

kadar olmaktaydı. Para otoritesi belirlikadar olmaktaydı. Para otoritesi belirli

yıl) para arzını artıracağını duyurursa,

yukarıda anlattığımız davranışları nedeniyle

B noktasından daha soldaki bir

Ekonomide döviz kuru ve fiyatlar

dengeye ulaşacaktır. Yine tam öngörüdengeye ulaşacaktır. Yine tam öngörü

karar birimleri veri parasal genişleme

ve fiyatların nerede oluşacağını tam

210210

almaktadır. Bir önceki örnekte (yani para

parasal genişlemeye gittiği durum)

dönem denge değeri olan B noktasına

belirli bir zaman sonra (örneğin birbelirli bir zaman sonra (örneğin bir

duyurursa, ekonomik karar birimlerinin

nedeniyle döviz kurundaki sıçrama

bir noktaya (B′) ulaşabilecektir.

fiyatlar E0-B′-A-E1 yolunu izleyerek yeni

öngörü varsayımı nedeniyle, ekonomiköngörü varsayımı nedeniyle, ekonomik

genişleme altında yeni denge döviz kuru

tam öngörebilmektedirler.

Şekil Şekil 4.21. Dornbusch Döviz Kuru Modeli:4.21. Dornbusch Döviz Kuru Modeli:

Parasal Genişlemenin Önceden AçıklanmasıParasal Genişlemenin Önceden Açıklanması

p

••••

*0

p

*1

p

0E

1E

•••• ••••

045

*0

p

*1

s

•••• ••••B

0p ====�

211211

4.21. Dornbusch Döviz Kuru Modeli:4.21. Dornbusch Döviz Kuru Modeli:

Parasal Genişlemenin Önceden AçıklanmasıParasal Genişlemenin Önceden Açıklanması

0p ====�

0s�

1s�

20

SP

11

v′′′′

••••

3T

••••A

100.36 0.022p s= −= −= −= −

••••

s

0s�

21

v

••••B′′′′

107.37 0.023p s= −= −= −= −

21

v′′′′B••••

EnflasyonEnflasyon veve İşsizlikİşsizlik İlişkisiİlişkisi:: PhillipsPhillips

Phillips eğrisi kavramı ilk olarak

ortaya atılmıştır. Kavram orijinal biçimiyle

ücretlerde değişme) ve işsizlik arasındakiücretlerde değişme) ve işsizlik arasındaki

maktadır. Bu ilişki şöyle yazılabilir:

( ) , ( ) 0w f u f u′′′′= <= <= <= <

Burada w, parasal ücretlerdeki artış

maliyete göre fiyatlamayı (kar marjı yamaliyete göre fiyatlamayı (kar marjı ya

işsizlik oranı ile parasal ücret artış hızı ilişkisini,

indirgeyebiliriz. Yani ücretler ortalama

firmalar ortalama maliyetlere belirli

belirleyecek.

212212

PhillipsPhillips EğrisiEğrisi

olarak A.W. Phillips tarafından (1958)

biçimiyle enflasyon oranı (parasal

arasındaki ilişkiyi açıklamaya çalış-arasındaki ilişkiyi açıklamaya çalış-

( ) , ( ) 0w f u f u′′′′= <= <= <= <

hızını; u, işsizlik oranıdır. Ortalama

ya da mark-up kuralı) dikkate alırsak,ya da mark-up kuralı) dikkate alırsak,

ilişkisini, enflasyon oranı-işsizlik ilişkisine

maliyetleri belirleyecek ve dolayısıyla

bir yüzde ekleyerek kendi fiyatlarını

Parasal ücretlerde artış olduğu sürece,

düzeyinde de bir artışa dönüşecektir

Buna göre Phillips eğrisini yeniden

( ) , ( ) 0f u f u′′′′π = <π = <π = <π = <

M. Friedman para politikasını incelediği

enflasyon oranına ilişkin beklentilerin de

Bu nedenle kavram günümüzde, “genişletilmişgenişletilmiş

dır.

( ) , ( ) 0f u f u′′′′π = <π = <π = <π = <

dır.

( ) , ( ) 0 , 0 1ef u f u′′′′π = + δπ < < δ <π = + δπ < < δ <π = + δπ < < δ <π = + δπ < < δ <

Bu denklemin, Phillips’in asıl çalışmasından

213213

sürece, bu aynı ölçüde fiyatlar genel

dönüşecektir:

tanımlayalım:

w = π= π= π= π

incelediği çalışmasında (1968), bu ilişkinin

de eklenerek genişletilmesini önermiştir.

genişletilmişgenişletilmiş PhillipsPhillips eğrisieğrisi” olarak anılmakta-

( ) , ( ) 0 , 0 1f u f u′′′′π = + δπ < < δ <π = + δπ < < δ <π = + δπ < < δ <π = + δπ < < δ <

çalışmasından farkı, δπe terimidir.

Bekleyişlerin uyarlamacı biçimde oluşturulduğunu

(((( )))) , 0e eπ = β π − π β >π = β π − π β >π = β π − π β >π = β π − π β >�

Gerçekleşen enflasyon oranı (π),

aşarsa, ekonomideki enflasyon oranıaşarsa, ekonomideki enflasyon oranı

durumda düşürülecektir.

Şimdi hükümetin işsizlik oranını u

ğini ve bunu başardığını varsayalım

görebilmemiz için, genişletilmiş Phillips

türevini alalım ve bunu ’deki yerineeππππ

(((( ))))

(((( ))))*( ) 1

e e e e

f u

π = δπ = δβ π − π = δβπ − δβπ δπ = π −π = δπ = δβ π − π = δβπ − δβπ δπ = π −π = δπ = δβ π − π = δβπ − δβπ δπ = π −π = δπ = δβ π − π = δβπ − δβπ δπ = π −

π = β − β − δ ππ = β − β − δ ππ = β − β − δ ππ = β − β − δ π

� �

�

ππππ

Türev alırken, f(u*) terimin sabit bir

214214

oluşturulduğunu varsayalım:

, 0π = β π − π β >π = β π − π β >π = β π − π β >π = β π − π β >

), beklenen enflasyon oranını (πe)

oranı beklentileri yükseltilecek, aksioranı beklentileri yükseltilecek, aksi

u* gibi bir düzeyde korumak istedi-

varsayalım. Bu politikanın etkilerini

Phillips denkleminin zamana göre

yerine yazarak düzenleyelim.

*, ( )e e e e f uπ = δπ = δβ π − π = δβπ − δβπ δπ = π −π = δπ = δβ π − π = δβπ − δβπ δπ = π −π = δπ = δβ π − π = δβπ − δβπ δπ = π −π = δπ = δβ π − π = δβπ − δβπ δπ = π −

değer olduğuna dikkat edelim.

Düzenlediğimiz son denklemin grafiği

Enflasyon oranı ile enflasyon oranındaki

için denge değerine (sabit noktaya)

* *0 0 ( ) 1f uπ = → = β − β − δ ππ = → = β − β − δ ππ = → = β − β − δ ππ = → = β − β − δ π�

*

*( )

1

f uπ =π =π =π =

− δ− δ− δ− δ

�

0<δ<1 olması, ile π arasındaki fonksiyonel

mektedir. δ=1 durumunda ise enflasyon

edilmektedir:

ππππ�

0e eπ = π → π =π = π → π =π = π → π =π = π → π =�edilmektedir:

İşsizlik oranı da enflasyon oranından

işsizlik oranı, “doğaldoğal işsizlikişsizlik oranıoranı”

maktadır.

0e eπ = π → π =π = π → π =π = π → π =π = π → π =�

215215

grafiği Şekil 4.22’de yer almaktadır.

oranındaki değişme arasındaki bağlantı

noktaya) bakalım.

(((( ))))* *0 0 ( ) 1π = → = β − β − δ ππ = → = β − β − δ ππ = → = β − β − δ ππ = → = β − β − δ π(((( ))))

fonksiyonel ilişkiyi kararlı hale getir-

enflasyon oranı herzaman doğru tahmin

oranından bağımsızdır. Bu durumdaki

(un) ya da NAIRUNAIRU olarak tanımlan-

Şekil Şekil 4.22. Genişletilmiş Phillips Eğrisi Modelinde4.22. Genişletilmiş Phillips Eğrisi Modelinde

Enflasyon Oranındaki DeğişmelerEnflasyon Oranındaki Değişmeler

ππππ�

0*ππππ••••

216216

4.22. Genişletilmiş Phillips Eğrisi Modelinde4.22. Genişletilmiş Phillips Eğrisi Modelinde


ππππ

(((( ))))*( ) 1f uπ = β − β − δ ππ = β − β − δ ππ = β − β − δ ππ = β − β − δ π�

Doğal işsizlik oranı Şekil 4.23’de gösterilmiştir

Eğer hükümet işsizlik oranını, doğal

hedeflerse (u*<un), enflasyon oranı

nedeni, enflasyon oranı beklentisinin,

gecikmeli olarak izlemesidir. Dolayısıyla

ğini yakalamaya çalışacaktır. Yani

artıyor olacaktır.

Şimdi ekonominin sahip olduğu milli

katalım. Bunun için yukarıdaki tartışmayı

eğrisini yeniden tanımlayalım ve Okuneğrisini yeniden tanımlayalım ve Okun

tin işsizlik oranını, doğal işsizlik

hedeflemesine göre enflasyon oranı

alarak Phillips eğrisi denklemini yeniden

217217

gösterilmiştir.

doğal işsizlik oranı altına çekmeyi

oranı yükselmeye başlar ( ). Bunun

beklentisinin, gerçekleşen enflasyon oranını

0π >π >π >π >�

Dolayısıyla ekonomi her seferinde izledi-

Yani enflasyon oranı sürekli olarak

milli gelir düzeyini de bu analize

tartışmayı dikkate alarak Phillips

Okun yasasına başvuralım. Hüküme-Okun yasasına başvuralım. Hüküme-

oranının üzerinde ya da altında

oranı da değişmektedir. Bunu dikkate

yeniden tanımlayalım.



ππππ( ) 0f u

ππππ

0 u

218218



( ) 0n

f u ====

nu u

(((( ))))1 1, 0e

nu uπ = −γ − + π γ >π = −γ − + π γ >π = −γ − + π γ >π = −γ − + π γ >

Diğer yandan işsizlik oranındaki

arasındaki bağlantıyı belirten OkunOkun

(((( ))))2 2, 0

n nu u y y− = −γ − γ >− = −γ − γ >− = −γ − γ >− = −γ − γ >

Bu son denklemi bir öncekinde yerine

(((( ))))(((( ))))

(((( ))))

1 2 1 2

, 0

n n

e

y y y y

y y

π = −γ −γ − + π = γ γ − + ππ = −γ −γ − + π = γ γ − + ππ = −γ −γ − + π = γ γ − + ππ = −γ −γ − + π = γ γ − + π

π = α − + π α >π = α − + π α >π = α − + π α >π = α − + π α >(((( )))) , 0en

y yπ = α − + π α >π = α − + π α >π = α − + π α >π = α − + π α >

Burada y, milli gelir düzeyi (logaritması)

karşılık gelen milli gelir düzeyi (logaritması)

219219

1 1, 0π = −γ − + π γ >π = −γ − + π γ >π = −γ − + π γ >π = −γ − + π γ >

oranındaki değişmeyle milli gelir açığı

OkunOkun yasasıyasası şöyledir:

2 2, 0− = −γ − γ >− = −γ − γ >− = −γ − γ >− = −γ − γ >

yerine yazalım.

(((( ))))1 2 1 2

, 0

e en n

y y y yπ = −γ −γ − + π = γ γ − + ππ = −γ −γ − + π = γ γ − + ππ = −γ −γ − + π = γ γ − + ππ = −γ −γ − + π = γ γ − + π

π = α − + π α >π = α − + π α >π = α − + π α >π = α − + π α >, 0π = α − + π α >π = α − + π α >π = α − + π α >π = α − + π α >

(logaritması); yn , doğal işsizlik oranına

(logaritması).

Phillips eğrisine ilişkin bu tanımlamaların

LM modeli çerçevesinde ele alarak

dinamiklerini inceleyelim. Modelin denklemleri


0

(1 )

( )e

y c i g

c a b t y

i i h r

= + += + += + += + +

= + −= + −= + −= + −

= − − π= − − π= − − π= − − π


Para Piyasası:Para Piyasası:

d

s

d s

m ky ur

m m p

m m

= −= −= −= −

= −= −= −= −

====

220220

tanımlamaların ardından, kavramı bir IS-

alarak işsizlik oranı ve enflasyon

denklemleri şöyledir:

Bu modelde y, reel milli gelir; c,

nominal faiz oranı; g, reel kamu harcaması

reel para arzı; m, nominal para arzı

Mal ve para piyasası denklemlerini

denge değerlerini elde ederiz.

(((( )))) (((( )))) (((((((( )))) ((((

(((( ))))

0*

1 1

a i g h u m p hy

b t hk u

+ + + − + π+ + + − + π+ + + − + π+ + + − + π====

− − +− − +− − +− − +

− −− −− −− −(((( ))))*

*ky m p

ru

− −− −− −− −====

221221

, reel tüketim; i, reel yatırım; r,

harcaması; md, reel para talebi; ms ,

arzı; p, fiyatlar genel düzeyidir.

y ve r için eşanlı çözerek, modelin

(((( ))))(((( ))))

ea i g h u m p h

b t hk u

+ + + − + π+ + + − + π+ + + − + π+ + + − + π

− − +− − +− − +− − +

Diğer yandan para piyasası denkleminden

piyasasındaki yerina yazarak düzenlersek,

eğrisini (AD) elde edebiliriz. Burada

kısalttıkkısalttık

(((( ))))0 1 2y a a m p a= + − + π= + − + π= + − + π= + − + π

Burada katsayılara a0, a1 ve a2 diyerek

222222

denkleminden y’i çekerek mal

düzenlersek, ekonominin toplam talep

Burada katsayılara a0, a1 ve a2 diyerek

0 1 2ey a a m p a= + − + π= + − + π= + − + π= + − + π

diyerek kısaltma yaptık.

Bu denklem hem mal hem de para

yansıttığından dolayı toplam talep

lemi şöyle de ifade edebiliriz:

1a a m ++++0 1

1 1 1

1a a mp y

a a a

++++= − + π= − + π= − + π= − + π

Diğer yandan toplam arz eğrisini

arasındaki fonksiyonel ilişki olarak

(((( )))) , 0en

y yπ = α − + π α >π = α − + π α >π = α − + π α >π = α − + π α >(((( )))) , 0n

y yπ = α − + π α >π = α − + π α >π = α − + π α >π = α − + π α >

Uzun dönemde fiyatların tam esnek

varsaydığımızda π=πe olacağından,

alır. Şekil 4.24 toplam talep ve arz eğrilerini

223223

para piyasası dengesini aynı anda

eğrisini göstermektedir. Bu denk-

a 2

1 1 1

ea

p ya a a

= − + π= − + π= − + π= − + π

de, enflasyon oranıyla çıktı açığı

yazalım.

, 0π = α − + π α >π = α − + π α >π = α − + π α >π = α − + π α >, 0π = α − + π α >π = α − + π α >π = α − + π α >π = α − + π α >

esnek ve öngörülebilir olduğunu

olacağından, uzun dönem eğrisi dik bir biçim

eğrilerini göstermektedir.

Şekil Şekil 4.24. Genişletilmiş Phillips Eğrisi Modeli İçin4.24. Genişletilmiş Phillips Eğrisi Modeli İçin

Toplam Talep ve Arz EğrileriToplam Talep ve Arz Eğrileri

p eπ = ππ = ππ = ππ = πp π = ππ = ππ = ππ = π

••••*p

0n

y

224224

4.24. Genişletilmiş Phillips Eğrisi Modeli İçin4.24. Genişletilmiş Phillips Eğrisi Modeli İçin

Toplam Talep ve Arz EğrileriToplam Talep ve Arz Eğrileri

0 1 21e

a a m ap y

a a a

++++= − + π= − + π= − + π= − + π

y

1 1 1

p ya a a

= − + π= − + π= − + π= − + π

Dikkatlice baktığımızda toplam talep

biçimde), reel para arzında (m-p)

toplam talep eğrisi sağ-üst yönde kaymaktadır

Şimdi bu konuyu bir sayısal örnekleŞimdi bu konuyu bir sayısal örnekle

alalım.

(((( ))))

9 0.4( ) , 0 , 5

0.2 , 6

e

n n

y m p m

y y y

= + − π = == + − π = == + − π = == + − π = =

π = − =π = − =π = − =π = − =

Şekil 4.25 bu örneğin grafiğidir. Denge,Şekil 4.25 bu örneğin grafiğidir. Denge,

olarak hesaplanabilir. Bu denge fiyatın

dinamikler ekonomiyi yeniden dengeye

Bu durum, grafiğin alt bölümündeki

oklarla gösterilmiştir.

225225

talep denkleminde (ilk yazdığımız

bir değişme meydana geldiğinde,

kaymaktadır.

örnekle sürdürelim. Şu modeli dikkateörnekle sürdürelim. Şu modeli dikkate

9 0.4( ) , 0 , 5

0.2 , 6

y m p m= + − π = == + − π = == + − π = == + − π = =

Denge, y=yn olacağından, p*=12.5Denge, y=yn olacağından, p =12.5

fiyatın dışında bir fiyat oluşursa,

dengeye sürükleyecek biçimde çalışır.

bölümündeki mavi eğri üzerindeki sol-alt yönlü

Şekil Şekil 4.25. Genişletilmiş Phillips Eğrisi Modeli İçin4.25. Genişletilmiş Phillips Eğrisi Modeli İçin

Toplam Talep ve Arz Eğrileri (Sayısıl Örnek)Toplam Talep ve Arz Eğrileri (Sayısıl Örnek)

p LRAS

E

06

ny ====

••••* 12.5p ====

ππππ( ) 0

nf u

0E

0 •••• 6n

y ====

226226

4.25. Genişletilmiş Phillips Eğrisi Modeli İçin4.25. Genişletilmiş Phillips Eğrisi Modeli İçin

Toplam Talep ve Arz Eğrileri (Sayısıl Örnek)Toplam Talep ve Arz Eğrileri (Sayısıl Örnek)

y

AD

( ) 0n

f u ====

A••••

(((( ))))y yπ = α −π = α −π = α −π = α −

y

••••(((( ))))n

y yπ = α −π = α −π = α −π = α −

Uzun dönemde ekonominin enflasyon

kabul ettik. Bu değer sıfır olmazsa

olursa), ekonomi doğal işsizlik oranında

yanıt verebilmek için yeniden toplamyanıt verebilmek için yeniden toplam

Toplam talep eğrisinin zamana göre

denklemine ulaşmış oluruz.

(((( ))))

(((( ))))

0 1 2

1 2e

y a a m p a

y a m a

= + − + π= + − + π= + − + π= + − + π

= − π + π= − π + π= − π + π= − π + π� � �

Talep baskısı denklemini genişletilmiş

birleştirerek, fiyat beklentilerini dinamik

227227

enflasyon bekleyişlerinin sıfır olacağını

olmazsa (yani bir pozitif değere sahip

oranında olacak mıdır? Bu soruya

toplam talep eğrisi tanımını ele alalım.toplam talep eğrisi tanımını ele alalım.

göre türevini alırsak, talep baskısı

0 1 2e

e

y a a m p a= + − + π= + − + π= + − + π= + − + π

= − π + π= − π + π= − π + π= − π + π�

genişletilmiş Phillips eğrisi denklemiyle

dinamik biçimde tanımlamış oluruz.

(((( ))))

(((( ))))

(((( ))))

1 2

, 0

e

en

e e

y a m a

y y

= − π + π= − π + π= − π + π= − π + π

π = α − + ππ = α − + ππ = α − + ππ = α − + π

π = β π − π β >π = β π − π β >π = β π − π β >π = β π − π β >

� � �

�

Bu model Şekil 4.26’da yer almaktadır

eğrisini; LPC, uzun dönem Phillips

göstermektedir. Grafiğin dikey ekseninde

yatay eksende de milli gelirin (y

dönemde π=πe olacağından, ve

(((( ))))

0eπ =π =π =π =�

Modelin dinamiklerini görebilmemiz

denkleme indirgeyerek yazabiliriz

denklemini üçüncüdeki yerine yazarak

(((( ))))en

y yπ = αβ −π = αβ −π = αβ −π = αβ −�

228228

almaktadır. SPC, kısa dönem Phillips

Phillips eğrisini ve DP, talep baskısını

ekseninde enflasyon oranının (π),

y) olduğuna dikkat edelim. Uzun

ve gerçekleşir.m = π= π= π= π�

görebilmemiz için, modeli iki diferansiyel

yazabiliriz. Yukarıdaki modelin ikinci

yazarak düzenleyelim.

Şekil Şekil 4.26. Kısa ve Uzun Dönem Phillips Eğrileri4.26. Kısa ve Uzun Dönem Phillips Eğrileri

ππππ LPCππππ

π = π =π = π =π = π =π = π =

••••m = π= π= π= π�

LPC

0n

y

229229

4.26. Kısa ve Uzun Dönem Phillips Eğrileri4.26. Kısa ve Uzun Dönem Phillips Eğrileri

LPC

0eπ = π =π = π =π = π =π = π =

LPC

SPC

y

DP

Talep baskısı denklemini elde etmek

denklemindeki π yerine yazalım ve düzenleyelim

(((( ))))

(((( ))))((((

1 2ey a m a= − π + π= − π + π= − π + π= − π + π

= − α − + π + αβ −= − α − + π + αβ −= − α − + π + αβ −= − α − + π + αβ −

� � �

� � (((( ))))((((

(((( )))) ((((

1 2

1 1 2 1

en n

y a m y y a y y

y a m a a y y a


= − α − β − − π= − α − β − − π= − α − β − − π= − α − β − − π

� �

� �

Şimdi elimizde, modelin dinamiklerini

denklem bulunuyor:

(((( ))))π = αβ −π = αβ −π = αβ −π = αβ −� (((( ))))

(((( )))) ((((1 1 2 1

en

y y

y a m a a y y a

π = αβ −π = αβ −π = αβ −π = αβ −

= − α − β − − π= − α − β − − π= − α − β − − π= − α − β − − π

�

� �

230230

etmek için, kısa dönem Phillips eğrisi

düzenleyelim.

)))) (((( )))) = − α − + π + αβ −= − α − + π + αβ −= − α − + π + αβ −= − α − + π + αβ −)))) (((( ))))

))))

1 2

1 1 2 1

en n

en

y a m y y a y y

y a m a a y y a


= − α − β − − π= − α − β − − π= − α − β − − π= − α − β − − π

dinamiklerini tanımlayan iki diferansiyel

))))1 1 2 1e

ny a m a a y y a= − α − β − − π= − α − β − − π= − α − β − − π= − α − β − − π

İlk olarak sistemin denge değerlerini

(((( ))))

((((1 1 2 1

0 0

0 0

en n

y y y y

y a m a a y y a m

π = → = αβ − → =π = → = αβ − → =π = → = αβ − → =π = → = αβ − → =

= → = − α − β − − π → = π= → = − α − β − − π → = π= → = − α − β − − π → = π= → = − α − β − − π → = π

�

� � �

Her iki diferansiyel denklem için eş

Üstteki şekil enflasyon beklenti

Ekonominin çıktı düzeyi doğal düzeyin

beklentisi azalmakta, tersi durumda

((((0 0y y y y> → < αβ − → π >> → < αβ − → π >> → < αβ − → π >> → < αβ − → π >((((

((((

0 0

0 0

n n

n n

y y y y

y y y y

> → < αβ − → π >> → < αβ − → π >> → < αβ − → π >> → < αβ − → π >

< → > αβ − → π << → > αβ − → π << → > αβ − → π << → > αβ − → π <

231231

değerlerini (sabit noktayı) belirleyelim.

)))) (((( ))))1 1 2 1

n n

e en

y y y y

y a m a a y y a m

π = → = αβ − → =π = → = αβ − → =π = → = αβ − → =π = → = αβ − → =

= → = − α − β − − π → = π= → = − α − β − − π → = π= → = − α − β − − π → = π= → = − α − β − − π → = π� � �

eş-denge eğrileri Şekil 4.27’dedir.

beklenti dinamiğini göstermektedir.

düzeyin altında ise enflasyon oranı

durumda artmaktadır.

))))0 0ey y y y> → < αβ − → π >> → < αβ − → π >> → < αβ − → π >> → < αβ − → π >�))))

))))

0 0

0 0

en n

en n

y y y y

y y y y

> → < αβ − → π >> → < αβ − → π >> → < αβ − → π >> → < αβ − → π >

< → > αβ − → π << → > αβ − → π << → > αβ − → π << → > αβ − → π <

�

�

Şekil Şekil 4.25. Genişletilmiş Phillips Eğrisi Modelinde Eş4.25. Genişletilmiş Phillips Eğrisi Modelinde Eş

eππππ0eπ =π =π =π =�

LRAS

0

ny y====

eππππ

0

232232

4.25. Genişletilmiş Phillips Eğrisi Modelinde Eş4.25. Genişletilmiş Phillips Eğrisi Modelinde Eş--Denge Eğrileri Denge Eğrileri

y

y

0y ====�

(((( ))))2

1

1en

am y y

a

ββββπ = − α − −π = − α − −π = − α − −π = − α − −

�

Şimdi de alttaki şekli inceleyelim ve

((((

((((

1 1 2 1

2

0 0

1e

y a m a a y y a

am y y

a

= → = − α − β − − π= → = − α − β − − π= → = − α − β − − π= → = − α − β − − π

ββββπ = − α − −π = − α − −π = − α − −π = − α − −

� �

�

Görüldüğü gibi eş-denge eğrisi denklemi

negatif eğimlidir. Eğrinin üst ve

şöyledir:

((((1

1m y ya

π = − α − −π = − α − −π = − α − −π = − α − −

�

((((a ββββ

π < − α − −π < − α − −π < − α − −π < − α − −� ((((

(((( )))) (((( ))))

2

1

1 1 2 1

1en

n

am y y

a

a m a a y y a y

ββββπ < − α − −π < − α − −π < − α − −π < − α − −

− α − β − − π > → >− α − β − − π > → >− α − β − − π > → >− α − β − − π > → >

�

� �

233233

ve eş-denge eğrisini belirleyelim.

)))) (((( ))))

))))

1 1 2 1e

n

n

y a m a a y y a

m y y

= → = − α − β − − π= → = − α − β − − π= → = − α − β − − π= → = − α − β − − π

denklemi (1-(a2β)/a1>0) olduğunda

ve alt bölgesindeki dinamikler de

))))nm y y

))))))))

1 1 2 10 0

n

e

m y y

a m a a y y a y− α − β − − π > → >− α − β − − π > → >− α − β − − π > → >− α − β − − π > → >� �

(((( ))))

(((( )))) (((( ))))

2

1

1 1 2 1

1en

n

am y y

a

a m a a y y a y

ββββπ > − α − −π > − α − −π > − α − −π > − α − −

− α − β − − π < → <− α − β − − π < → <− α − β − − π < → <− α − β − − π < → <

�

� �

Eş-denge eğrisinin üst bölümünde y

yor. Her iki eş-denge eğirisi de Şekil

belirlediğimiz tüm dinamikleri bu

ekonominin denge dışındaki bir

dengeye ulaşacağını ya da dengeden

Sistemin yakınsayan ya da ıraksayan

parametre ve dışsal değişkenlerinin

Şimdi bir sayısal örnekle bunu görelim

234234

1 1 2 10 0ea m a a y y a y− α − β − − π < → <− α − β − − π < → <− α − β − − π < → <− α − β − − π < → <� �

y azalıyor, üst bölümünde de artı-

Şekil 4.28’de gösterilmiştir. Yukarıda

grafikte birlikte ele aldığımızda,

durumdan sarmal bir hareketle

dengeden uzaklaşacağını söyleyebiliriz.

ıraksayan sarmal hareketini, sistemin

değişkenlerinin alacağı değerler belirlemektedir.

görelim.

Şekil Şekil 4.28. Genişletilmiş Phillips Eğrisi Modelinde Denge4.28. Genişletilmiş Phillips Eğrisi Modelinde Denge

ππππ eπ =π =π =π =�

••••em = π= π= π= π�

0n

y

235235

4.28. Genişletilmiş Phillips Eğrisi Modelinde Denge4.28. Genişletilmiş Phillips Eğrisi Modelinde Denge

0π =π =π =π =�

yn

y

0y ====�

(((( ))))

(((( ))))

(((( ))))

10 15 0.5

0.2 15

1.5

e

e

e e

y

y

= − π + π= − π + π= − π + π= − π + π

π = − + ππ = − + ππ = − + ππ = − + π

π = π − ππ = π − ππ = π − ππ = π − π

� �

�

Bu modeli önce iki diferansiyel denkleme

177.75 1.85 10

4.5 0.3e

y y

y

= − − π= − − π= − − π= − − π

π = − +π = − +π = − +π = − +

�

�

Uzun dönem denge değerlerini belirleyelim

* *

0 0 177.75 1.85 10

0 0 4.5 0.3

15 , 15

e

en

y y

y y

= → = − − π= → = − − π= → = − − π= → = − − π

π = → = − +π = → = − +π = → = − +π = → = − +

= = π == = π == = π == = π =

�

�

236236

denkleme indirgeyelim.

177.75 1.85 10 e= − − π= − − π= − − π= − − π

belirleyelim.

0 0 177.75 1.85 10

0 0 4.5 0.3

15 , 15

ey y

y

= → = − − π= → = − − π= → = − − π= → = − − π

π = → = − +π = → = − +π = → = − +π = → = − +

Şimdi para arzı artış hızında bir

enflasyon ve çıktı üzerindeki

başlangıçta para arzı artış hızının

düşürüldüğünü varsayalım. Budüşürüldüğünü varsayalım. Bu

grafiği ve değişkenlerin zaman

fonksiyonları) aşağıdaki şekillerde

birimlik bir çıktı düzeyine karşılık

birimdir. Para arzı artış hızı 12 birime

yeni (uzun dönem denge) (15, 12yeni (uzun dönem denge) (15, 12

Yukarıda incelediğimiz genişletilmiş

dönemde para arzı artış hızı ile

olacağını unutmayalım.

237237

bir düşmenin, enflasyon beklentisi,

etkilerini inceleyelim. Örneğin

%15 olduğunu ve bunun %12’ye

politika sonrası sistemin süreçpolitika sonrası sistemin süreç

zaman içindeki değişimi (etki-tepki

şekillerde yer almaktadır. Başlangıçta 15

karşılık enflasyon oranı beklentisi de 15

birime düşürüldüğünde, ekonomide

12) biçiminde gerçekleşmektedir.12) biçiminde gerçekleşmektedir.

genişletilmiş Phillips modelinde, uzun

ile enflasyon beklentisinin aynı

h≠0 olması, sürecin sarmal biçimli

merkezden giderek uzaklaşan bir

merkeze giderek yaklaşan bir sarmal

İncelediğimiz bu örnekte h=−0.925

noktasından yeni denge noktasına

görebiliriz (Şekil 4.30). Bu model

bir sarmal hareket yaparak dengeye

uzaklaşacaktır. Genel olarak örneğimizeuzaklaşacaktır. Genel olarak örneğimize

artış hızındaki bir azalmanın sonrasında

çıktıda yeni bir denge tanımlayacak

kararlı bir sarmal hareket yapmaktadır

238238

biçimli olmasını; h>0 olması, sürecin

bir sarmal; h<0 olması, sürecin

sarmal biçimde olmasına yol açar.

925<0 nedeniyle, sürecin başlangıç

noktasına (merkeze) giderek yaklaşacağını

model her durumda saatin tersi yönde

dengeye yaklaşacak ya da dengeden

örneğimize baktığımızda, para arzıörneğimize baktığımızda, para arzı

sonrasında ekonomi, enflasyon ve

tanımlayacak biçimde, saatin tersi yönünde

yapmaktadır.

Şekil 4.32’ye baktığımızda, başlangıçta

yon oranının beklenen enflasyon

görmekteyiz. Bunun nedeni, daraltıcı

toplam talebin tam istihdam

(Şekil4.31) sonucu enflasyonun baskılanmasıdır

diliminde gelir düzeyi yükseldikçe,

geçmektedir.

239239

başlangıçta bir süre gerçekleşen enflas-

enflasyon oranının altında seyrettiğini

daraltıcı para politikasının ardından

gelir düzeyinin altına düşmesi

baskılanmasıdır. İlerleyen zaman

yükseldikçe, gerçekleşen enflasyon da artışa


Süreç Grafiği ve Denge: Sayısal ÖrnekSüreç Grafiği ve Denge: Sayısal Örnek

ππππ

eπ =π =π =π =�

* 15em = π == π == π == π =�

π =π =π =π =�

••••••••

15

y y

••••

240240



0eπ =π =π =π =�

0y ====�

0π =π =π =π =�

••••

y

*

15

ny y====

16.0



Para Arzı Artış Hızının DüşürülmesiPara Arzı Artış Hızının Düşürülmesi

e

tππππ

13.0

14.0

15.0

10.0

11.0

12.0

0.0 2.0 4.0 6.0 8.0



Para Arzı Artış Hızının DüşürülmesiPara Arzı Artış Hızının Düşürülmesi

0eπ =π =π =π =�

•••• 0E

0( 15)y m ====� �

10.0 12.0 14.0 16.0 18.0

y

1E

1( 12)y m ====� �

••••

18.0


y y ’nin Davranışı’nin Davranışı

y

6.0

8.0

10.0

12.0

14.0

16.0

••••

0.0

2.0

4.0

6.0

0.0 10.0 20.0

242242


’nin Davranışı’nin Davranışı

30.0 40.0 50.0 60.0

t

16.0

,eπ ππ ππ ππ π


ππee ve ve π π ’nin Davranışı’nin Davranışı

12.0

13.0

14.0

15.0

••••

e

tππππ

10.0

11.0

12.0

0.0 10.0 20.0 30.0

tππππ

243243


’nin Davranışı’nin Davranışı

30.0 40.0 50.0 60.0

t

Sistemi çözebilmek için dengeden

biçimde yeniden tanımlayalım.

(((( )))) ((((

(((( ))))

* *

*

1.85 10

4.5 0.3

e e

e

y y y

y y

= − − − π − π= − − − π − π= − − − π − π= − − − π − π

π = − + −π = − + −π = − + −π = − + −

�

� (((( ))))*4.5 0.3e y yπ = − + −π = − + −π = − + −π = − + −�

Katsayılar matrisi:

1.85 10

0.3 0A

− −− −− −− − ====

Özdeğerler:Özdeğerler:

1 2

1.85 10

0.3 0

0.925 1.464 , 0.925 1.464

rA rI r r

r

r i r i

− − −− − −− − −− − −− = = + + =− = = + + =− = = + + =− = = + + =

−−−−

= − + = − −= − + = − −= − + = − −= − + = − −

244244

dengeden sapmalar cinsinden homojen

))))* *e e= − − − π − π= − − − π − π= − − − π − π= − − − π − π

2 1.85 3 0

0.925 1.464 , 0.925 1.464

A rI r rr

r i r i

− = = + + =− = = + + =− = = + + =− = = + + =

= − + = − −= − + = − −= − + = − −= − + = − −


(((( ))))((((

1

1

1.85 0.925 1.464 10A - I v

0.3 0 0.925 1.464

ri

r − − − + −− − − + −− − − + −− − − + −

= == == == =

(((( ))))((((

1 1

1

1 2

2

1 , 0.0925 0.1464

1.85 0.925 1.464 10A - I v

0.3 0 0.925 1.464

r r

r

v v i

ir

= = − −= = − −= = − −= = − −

− − − − −− − − − −− − − − −− − − − −= == == == =

2 2

1 21 ,

r rv v= = −= = −= = −= = −0.0925 0.1464i++++

245245

))))(((( ))))

1

1

1

2

1.85 0.925 1.464 10 0

0.3 0 0.925 1.464 0

r

r

i v

i v

− − − + −− − − + −− − − + −− − − + − = == == == = − − +− − +− − +− − +

))))(((( ))))

2

2

1

2

1.85 0.925 1.464 10 0

0.3 0 0.925 1.464 0

r

r

i v

i v

− − − − −− − − − −− − − − −− − − − − = == == == = − − −− − −− − −− − −


0.925

1 2

1 1

0.0925 0.1464 0.0925 0.1464

t t

e

t

ye A A−−−−

= += += += + ππππ − + − −− + − −− + − −− + − −


1

1

1 11

2 220.0925 0.1464

r

r

u w iv

u w iv

++++ = == == == = ++++ − +− +− +− +

1 1

2 2

1 0

0.0925 0.1464

u w

u w

= == == == =

= − == − == − == − =

246246

1 2

1 1

0.0925 0.1464 0.0925 0.1464e A A

i i

= += += += + − + − −− + − −− + − −− + − −


1

0.0925 0.1464i

− +− +− +− +

1 0

0.0925 0.1464

(((( )))) ((((

1 2

1 2

1 11

2 2

x u u

u cos sinht

A A

u we vt vt

u w

= += += += +

= −= −= −= −

(((( ))))

((((

2 2

1 12

2 2

1 0.925

u cos sin

1 0u cos 1.1464 sin 1.1464

ht

t

u w

w ue vt vt

w u

e t t−−−−

= − −= − −= − −= − −

= −= −= −= − ((((1 0.925

2 0.925

u cos 1.1464 sin 1.14640.0925 0.1464

0u cos 1.1

0.1464

t

t

e t t

e

−−−−

−−−−

= −= −= −= − −−−−

= −= −= −= −

(((( 464 sin 1.1464

247247

(((( ))))u cos sine vt vt

(((( ))))

)))) (((( ))))

u cos sin

1 0u cos 1.1464 sin 1.1464

e vt vt

e t t

= −= −= −= − )))) (((( ))))u cos 1.1464 sin 1.1464

0.0925 0.1464e t t= −= −= −= −

)))) (((( ))))1

464 sin 1.14640.0925

t t

−−−− −−−−

(((( ))))

(((( ))))

0.925

1

2

1 0cos 1.464 sin 1.464

0.0925 0.1464

0 1 15cos 1.464 sin 1.464

0.1464 0.0925 15

t t

e

t

ye A t t

A t t

−−−−

= −= −= −= − ππππ −−−−

+ − − ++ − − ++ − − ++ − − + −−−−

(((( )))) ((((((((0.925

1 2

0

0.1464 0.0925 15

15 cos 1.464 sin 1.464

15

t

t

e

t

y e A t A t

e

−−−−

−−−−

−−−−

= + −= + −= + −= + −

π = +π = +π = +π = + (((( )))) ((((((((.925

1 2 1 2

1 2

0.0925 0.1464 cos 1.464 0.1464 0.0925 sin 1.464

3 , 22.38

t A A t A A t

A A

− − − −− − − −− − − −− − − −

= − = −= − = −= − = −= − = −

(((( )))) ((((((((

(((( )))) ((((((((

0.925

0.925

15 3cos 1.464 22.38sin 1.464

15 3cos 1.464 2.51sin 1.464

t

t

e t

t

y e t t

e t t

−−−−

−−−−

= + − += + − += + − += + − +

π = + − −π = + − −π = + − −π = + − −

248248

(((( ))))

(((( ))))

1 0cos 1.464 sin 1.464

0.0925 0.1464

0 1 15cos 1.464 sin 1.464

0.1464 0.0925 15

e A t t

A t t

+ − − ++ − − ++ − − ++ − − +

))))))))

0.1464 0.0925 15

15 cos 1.464 sin 1.464y e A t A t

(((( )))) (((( )))) (((( ))))))))1 2 1 20.0925 0.1464 cos 1.464 0.1464 0.0925 sin 1.464A A t A A t− − − −− − − −− − − −− − − −

))))))))

))))))))

15 3cos 1.464 22.38sin 1.464

15 3cos 1.464 2.51sin 1.464

y e t t

e t t

DeflasyonistDeflasyonist SarmalSarmal

Bu başlık altında, nominal faiz oranlarının

reel para talebinin sonsuz esnek hale

bir deflasyonist sarmala girdiğibir deflasyonist sarmala girdiği

şöyledir:

0

(1 )

( )

, ,

e

y c i g

c a b t y

i i h r

m ky ur m m p m m

= + += + += + += + +

= + −= + −= + −= + −

= − − π= − − π= − − π= − − π

= − = − == − = − == − = − == − = − =

(((( ))))

, ,

,

d s d s

e e en

m ky ur m m p m m

y y

= − = − == − = − == − = − == − = − =

π = α − + π π = β π − ππ = α − + π π = β π − ππ = α − + π π = β π − ππ = α − + π π = β π − π�

Bu haliyle model, uyarlamacı bekleyişlere

bir genişletilmiş Phillips eğrisi modelidir

249249

oranlarının sıfır düzeyine indiğinde,

hale dönüştüğü ve ekonominin olası

bir model ele alınacaktır. Modelbir model ele alınacaktır. Model

, ,m ky ur m m p m m= − = − == − = − == − = − == − = − =

(((( ))))

, ,d s d s

e e e

m ky ur m m p m m= − = − == − = − == − = − == − = − =

π = α − + π π = β π − ππ = α − + π π = β π − ππ = α − + π π = β π − ππ = α − + π π = β π − π

bekleyişlere göre şekillendirilmiş olan

modelidir.

Modeli, reel para arzı ve enflasyon

ele alıp inceleyeceğiz. Yani şu iki

duymaktayız:

(((( ))))(((( ))))

(((( ))))

,

,

es s

e es

m f m

g m

= π= π= π= π

π = ππ = ππ = ππ = π

�

�

Para arzı ile enflasyon beklentisi arasındaki

s sm m p m p= − → = − = −π= − → = − = −π= − → = − = −π= − → = − = −π� �

(((( ))))

s s

es n

m y y = − α − + π= − α − + π= − α − + π= − α − + π

� �

�

250250

beklentisi dinamikleri çerçevesinde

diferansiyel denkleme gereksinim

arasındaki ilişkiyi şöyle kurabiliriz:

m m p m p= − → = − = −π= − → = − = −π= − → = − = −π= − → = − = −π� �

� �

Ayrıca modelde sırasıyla genişletilmiş

bekleyişi tanımlayan son iki denklemi

(((( ))))

(((( ))))

e en n

y y y yπ = α − + π → π − π = α −π = α − + π → π − π = α −π = α − + π → π − π = α −π = α − + π → π − π = α −

Son denklemden reel geliri yok etmemiz

tanımlayan denklemleri kullanarak

(((( ))))e e eπ = β π − π → π = βα −π = β π − π → π = βα −π = β π − π → π = βα −π = β π − π → π = βα −� �

01 1

ea i g

r − −− −− −− −+ ++ ++ ++ + = + π −= + π −= + π −= + π −

e

s

rh h

m kyr

u u

= + π −= + π −= + π −= + π −

−−−−= += += += +

251251

genişletilmiş Phillips eğrisi ve uyarlamalı

denklemi kullanarak şu ilişkiyi yazabiliriz:

(((( ))))

(((( ))))

e en n

y y y yπ = α − + π → π − π = α −π = α − + π → π − π = α −π = α − + π → π − π = α −π = α − + π → π − π = α −

etmemiz için, mal ve para piyasalarını

şu eşitlikleri tanımlayalım:

(((( ))))ny yπ = β π − π → π = βα −π = β π − π → π = βα −π = β π − π → π = βα −π = β π − π → π = βα −

(((( ))))1 1b t y − −− −− −− − h h

İkinci r denklemini ilkiyle eşitleyerek

düzeyini elde ederiz.

(((( )))) (((((((( )))) ((((

0*

1 1

ea i g h h u my

b t kh u

+ + + π ++ + + π ++ + + π ++ + + π +====

− − +− − +− − +− − +

Bu denklemi de,

düzenleyelim:

(((( )))) ((((1 1b t kh u− − +− − +− − +− − +

(((( ))))s nm y y = − α − + π= − α − + π= − α − + π= − α − + π �

(((( )))) (((((((( )))) ((((

0

1 1

e

s n

a i g h h u mm y

b t kh u

+ + + π ++ + + π ++ + + π ++ + + π += − α − + π= − α − + π= − α − + π= − α − + π − − +− − +− − +− − +

�

(((( ))))(((( )))) (((( ))))

(((( )))) (((( ))))

0

1 1 1 1

11 1

s n s

a i gm y m

b t kh u b t kh u

h

b t kh u

−α + +−α + +−α + +−α + += + α −= + α −= + α −= + α − − − + − − +− − + − − +− − + − − +− − + − − +

αααα− + π− + π− + π− + π − − +− − +− − +− − +

�

252252

eşitleyerek y için çözersek, denge gelir

))))))))

sa i g h h u m

b t kh u

denklemindeki y yerine yazarak

))))b t kh u

e = − α − + π= − α − + π= − α − + π= − α − + π

))))))))

s es n

a i g h h u mm y

b t kh u

= − α − + π= − α − + π= − α − + π= − α − + π

(((( ))))(((( )))) (((( ))))1 1 1 1

s n s

e

h um y m

b t kh u b t kh u

αααα= + α −= + α −= + α −= + α − − − + − − +− − + − − +− − + − − +− − + − − +

− + π− + π− + π− + π

Yukarıdakine benzer biçimde y ifadesini

ki yerine yazarak düzenleyelim.

(((( ))))en

y yπ = βα −π = βα −π = βα −π = βα −�

(((( )))) (((((((( )))) ((((

(((( ))))(((( )))) (((( ))))

0

0

1 1

1 1 1 1

e

e

e

a i g h h u m

b t kh u

a i gy m

b t kh u b t kh u

+ + + π ++ + + π ++ + + π ++ + + π +π = βα −π = βα −π = βα −π = βα − − − +− − +− − +− − +

−α + +−α + +−α + +−α + +π = − αβ +π = − αβ +π = − αβ +π = − αβ + − − + − − +− − + − − +− − + − − +− − + − − +

�

�

(((( )))) (((( ))))1 1e

h

b t kh u

αβαβαβαβ+ π+ π+ π+ π − − +− − +− − +− − +

253253

ifadesini denkleminde

.

(((( ))))en

y yπ = βα −π = βα −π = βα −π = βα −�

))))))))

(((( ))))(((( )))) (((( ))))1 1 1 1

s

n

n s

a i g h h u my

b t kh u

h uy m

b t kh u b t kh u

π = βα −π = βα −π = βα −π = βα −

αβαβαβαβπ = − αβ +π = − αβ +π = − αβ +π = − αβ + − − + − − +− − + − − +− − + − − +− − + − − +

Her iki diferansiyel denklem de ms ve

sayısal örnekle sistemi çözelim ve dinamik

060 , 0.75 , 0.2 , 430 , 4 , 330 , 0.25 , 10a b t i h g k u= = = = = = = == = = = = = = == = = = = = = == = = = = = = =

450 , 0 , 2000 , 0.1 , 0.08

60 0.75(1 0.2)

430 4( )

n

e

m p y

c y

i r

= = = α = β == = = α = β == = = α = β == = = α = β =

= + −= + −= + −= + −

= − − π= − − π= − − π= − − π

(((( ))))

820 0.75(1 0.2) 4( )

0.25 10 , 450 ,

0.1 2000 , 0.08

e

d s d s

e e e

y y r

m y r m p m m

y

= + − − − π= + − − − π= + − − − π= + − − − π

= − = − == − = − == − = − == − = − =

π = − + π π = π − ππ = − + π π = π − ππ = − + π π = π − ππ = − + π π = π − π�

254254

ve πe ’ye göre doğrusaldır. Şimdi bir

dinamik davranışını inceleyelim.

60 , 0.75 , 0.2 , 430 , 4 , 330 , 0.25 , 10a b t i h g k u= = = = = = = == = = = = = = == = = = = = = == = = = = = = =

450 , 0 , 2000 , 0.1 , 0.08= = = α = β == = = α = β == = = α = β == = = α = β =

(((( ))))

820 0.75(1 0.2) 4( )

0.25 10 , 450 ,

0.1 2000 , 0.08

e

d s d s

e e e

m y r m p m m= − = − == − = − == − = − == − = − =

π = − + π π = π − ππ = − + π π = π − ππ = − + π π = π − ππ = − + π π = π − π

Örnekteki değerleri dikkate alarak

diferansiyel denklemleri oluşturalım

36 0.08 1.8

2.88 0.0064 0.064

s s

e e

m m

m

= − − π= − − π= − − π= − − π

π = − + + ππ = − + + ππ = − + + ππ = − + + π

�

� 2.88 0.0064 0.064e es

mπ = − + + ππ = − + + ππ = − + + ππ = − + + π�

İlk olarak uzun dönem denge değerlerini

eğrilerini belirleyelim.

0 0 36 0.08 1.8 20 0.044

0 0 2.88 0.0064 0.064 45 0.1

s s s

e e e

m m m

m m

= → = − − π → π = −= → = − − π → π = −= → = − − π → π = −= → = − − π → π = −

π = → = − + + π → π = −π = → = − + + π → π = −π = → = − + + π → π = −π = → = − + + π → π = −

�

�

* *

0 0 2.88 0.0064 0.064 45 0.1

450 , 0

e e es s

es

m m

m

π = → = − + + π → π = −π = → = − + + π → π = −π = → = − + + π → π = −π = → = − + + π → π = −

= π == π == π == π =

�

Eş-denge eğrilerinin grafiği Şekil 4.

255255

alarak sistemin dinamiğini tanımlayan

oluşturalım.

36 0.08 1.8

2.88 0.0064 0.064

e

e e

= − − π= − − π= − − π= − − π

π = − + + ππ = − + + ππ = − + + ππ = − + + π2.88 0.0064 0.064e eπ = − + + ππ = − + + ππ = − + + ππ = − + + π

değerlerini (sabit noktayı) ve eş-denge

0 0 36 0.08 1.8 20 0.044

0 0 2.88 0.0064 0.064 45 0.1

e es s s

e e e

m m m

m m

= → = − − π → π = −= → = − − π → π = −= → = − − π → π = −= → = − − π → π = −

π = → = − + + π → π = −π = → = − + + π → π = −π = → = − + + π → π = −π = → = − + + π → π = −0 0 2.88 0.0064 0.064 45 0.1e e es s

m mπ = → = − + + π → π = −π = → = − + + π → π = −π = → = − + + π → π = −π = → = − + + π → π = −

.33’de yer almaktadır.

Ayrıca eş-denge eğrilerinin ayırdığı

hareket edeceğini belirleyelim.

20 0.044 0 36 0.08 1.8 0

20 0.044 0 36 0.08 1.8 0

e es s s

e e

m m m

m m m

π > − → > − − π → >π > − → > − − π → >π > − → > − − π → >π > − → > − − π → >

π < − → < − − π → <π < − → < − − π → <π < − → < − − π → <π < − → < − − π → <

Buna göre, eğrisinin üst bölgesinde

20 0.044 0 36 0.08 1.8 0

45 0.1 0 2.88 0.0064 0.064 0

45 0.1 0 2.88 0.0064 0.064 0

e es s s

e e es s

e e es s

m m m

m m

m m

π < − → < − − π → <π < − → < − − π → <π < − → < − − π → <π < − → < − − π → <

π > − → < − + + π → < ππ > − → < − + + π → < ππ > − → < − + + π → < ππ > − → < − + + π → < π

π < − → > − + + π → > ππ < − → > − + + π → > ππ < − → > − + + π → > ππ < − → > − + + π → > π

0s

m ====�

π =π =π =π =�azalıyor; eğrisinin üst bölgesinde

artıyor. Bu belirlemeleri sola, sağa,

Şekil 4.33 üzerinde işaretledik. Görünüm,

yönde olacağını söylemektedir.

0eπ =π =π =π =�

256256

ayırdığı dört bölgede ms ve πe ’nin nasıl

20 0.044 0 36 0.08 1.8 0

20 0.044 0 36 0.08 1.8 0

e es s s

e e

m m m

m m m

π > − → > − − π → >π > − → > − − π → >π > − → > − − π → >π > − → > − − π → >

π < − → < − − π → <π < − → < − − π → <π < − → < − − π → <π < − → < − − π → <

�

�

bölgesinde ms artıyor, alt bölgesinde

πe

20 0.044 0 36 0.08 1.8 0

45 0.1 0 2.88 0.0064 0.064 0

45 0.1 0 2.88 0.0064 0.064 0

e es s s

e e es s

e e es s

m m m

m m

m m

π < − → < − − π → <π < − → < − − π → <π < − → < − − π → <π < − → < − − π → <

π > − → < − + + π → < ππ > − → < − + + π → < ππ > − → < − + + π → < ππ > − → < − + + π → < π

π < − → > − + + π → > ππ < − → > − + + π → > ππ < − → > − + + π → > ππ < − → > − + + π → > π

�

�

�

bölgesinde πe azalıyor, alt bölgesinde

sağa, aşağıya ve yukarıya yönlü oklarla

Görünüm, dinamik sürecin saatin tersi

2.0

3.0

Şekil Şekil 4.33. Deflasyonist Modelde Nominal Para Arzı Daralması 4.33. Deflasyonist Modelde Nominal Para Arzı Daralması

Karşısında Ekonomideki Enflasyonist SüreçKarşısında Ekonomideki Enflasyonist Süreç

20 0.044es

mπ = −π = −π = −π = −

-1.0

0.0

1.0

2.0

420.0 430.0 440.0 450.0

••••0

E

-4.0

-3.0

-2.0

2572574.33. Deflasyonist Modelde Nominal Para Arzı Daralması 4.33. Deflasyonist Modelde Nominal Para Arzı Daralması

Karşısında Ekonomideki Enflasyonist SüreçKarşısında Ekonomideki Enflasyonist Süreç

450.0 460.0 470.0 480.0

••••

45 0.1es

mπ = −π = −π = −π = −

Şekil 4.33’de, nominal para arzı

sonra, ekonomi saatin tersi yönünde

hareket yaparak yeniden başlangıçtaki

dönmektedir. Genel olarak Pagan’ın

sürece, ekonomi kararlı bir davranış

Örneğimiz için bu değere bakalım:

Pagan Kararlılık Koşulu

uββββ*

0.0018 1s

u

m

ββββ= <= <= <= <

Diğer yandan öz-değerlerin (karakteristik

negatif olması (h=–0.008), bize aynı

258258

450 birimden 425’e düşürüldükten

yönünde daralan (kararlı) bir sarmal

başlangıçtaki denge düzeyine geri

Pagan’ın şu kararlılık koşulu sağlandığı

davranış gösterecektir.

*: 1

s

uulu

m

ββββ<<<<

0.0018 1

(karakteristik köklerin) reel kısmının da

aynı şeyi söylemektedir.

Şimdi sistemin genel çözümüne

dengeden sapmalar cinsinden homojen

lım.

(((( )))) ((((

(((( ))))

* *36 0.08 1.8s s s

m m m= − − − π − π= − − − π − π= − − − π − π= − − − π − π�

Katsayılar matrisi:

0.08 1.8

0.0064 0.064A

− −− −− −− − ====

Özdeğerler:

(((( ))))* *2.88 0.0064 0.064e e es s

m mπ = − + − + π − ππ = − + − + π − ππ = − + − + π − ππ = − + − + π − π�

Özdeğerler:

1 2

0.08 1.8

0.0064 0.064

0.008 0.08 , 0.008 0.08

rA rI r r

r

r i r i

− − −− − −− − −− − −− = = + + =− = = + + =− = = + + =− = = + + =

−−−−

= − + = − += − + = − += − + = − += − + = − +

259259

bakalım. Sistemi çözebilmek için

homojen biçimde yeniden tanımlaya-

(((( ))))

(((( ))))

* *36 0.08 1.8 e e= − − − π − π= − − − π − π= − − − π − π= − − − π − π

(((( ))))* *2.88 0.0064 0.064e e eπ = − + − + π − ππ = − + − + π − ππ = − + − + π − ππ = − + − + π − π

2

0.08 1.80.016 0.0064 0

0.008 0.08 , 0.008 0.08

A rI r rr

r i r i

− = = + + =− = = + + =− = = + + =− = = + + =−−−−

= − + = − += − + = − += − + = − += − + = − +


(((( ))))(((( ))))

1

1

0.08 0.008 0.08 1.8A - I v

0.0064 0.064 0.008 0.08

ri

r − − − + −− − − + −− − − + −− − − + −

= == == == =

(((( ))))(((( ))))

1 1

1

1 2

2

1 , 0.04 0.044

0.08 0.008 0.08 1.8A - I v

0.0064 0.064 0.008 0.08

r r

r

v v i

ir

= = − −= = − −= = − −= = − −

− − − − −− − − − −− − − − −− − − − −= == == == =

2

1

rv 2

21 , 0.04 0.044

rv i= = − += = − += = − += = − +

260260

(((( ))))

1

1

1

2

0.08 0.008 0.08 1.8 0

0.0064 0.064 0.008 0.08 0

r

r

i v

i v

− − − + −− − − + −− − − + −− − − + − = == == == = − − +− − +− − +− − +

(((( ))))

2

2

1

2

0.08 0.008 0.08 1.8 0

0.0064 0.064 0.008 0.08 0

r

r

i v

i v

− − − − −− − − − −− − − − −− − − − − = == == == = − − −− − −− − −− − −


0.008

1 2

1 1

0.04 0.044 0.04 0.044

st t

e

t

me A A−−−−

= += += += + ππππ − + − −− + − −− + − −− + − −


1

1

1 11

2 220.04 0.044

r

r

u w iv

u w iv

++++ = == == == = ++++ − +− +− +− +

1 1

2 2

1 0

0.04 0.044

u w

u w

= == == == =

= − == − == − == − =

261261

1 2

1 1

0.04 0.044 0.04 0.044e A A

i i

= += += += + − + − −− + − −− + − −− + − −


1

0.04 0.044i

− +− +− +− +

0.04 0.044

(((( ))))

1 2

1 2

1 11

2 2

x u u

u cos sinht

A A

u we vt vt

u w

= += += += +

= −= −= −= −

(((( ))))

((((

2 2

1 12

2 2

1 0.008

u cos sin

1 0u cos 0.08 sin 0.08

ht

t

u w

w ue vt vt

w u

e t t−−−−

= − −= − −= − −= − −

= −= −= −= − ((((

((((

1 0.008

2 0.008

u cos 0.08 sin 0.080.04 0.044

0 1u cos 0.08

0.044 0.0

t

t

e t t

e t

−−−−

−−−−

= −= −= −= − −−−−

= − −= − −= − −= − −

262262

(((( ))))u cos sine vt vt

(((( ))))

)))) (((( ))))

1 1

2 2

u cos sin

1 0u cos 0.08 sin 0.08

w ue vt vt

w u

e t t

= −= −= −= − )))) (((( ))))

))))

u cos 0.08 sin 0.080.04 0.044

0 1u cos 0.08

0.044 0.0

e t t

e t

= −= −= −= −

= − −= − −= − −= − −−−−−

(((( ))))sin 0.084

t

(((( ))))

(((( ))))

0.008

1

2

1 0cos 0.08 sin 0.08

0.04 0.044

0 1 450cos 0.08 sin 0.08

0.044 0.04 0

st t

e

t

me A t t

A t t

−−−−

= −= −= −= − ππππ −−−−

+ − − ++ − − ++ − − ++ − − + (((( ))))

(((( ))))((((

2

0.008

1 2

0.008

1

cos 0.08 sin 0.080.044 0.04 0

450 cos 0.08 sin 0.08

0.04

t

st

e t

t

A t t

m e A t A t

e A

−−−−

−−−−

+ − − ++ − − ++ − − ++ − − +

= + −= + −= + −= + −

π = −π = −π = −π = −(((( )))) (((((((( 2 1 2

1 2

0.044 cos 0.08 0.044 0.04 sin 0.08

25 , 22.72

A t A A t

A A

− − −− − −− − −− − −

= − == − == − == − =

(((( ))))((((

(((( ))))(((( ))))

1 2

0.008

0.008

25 , 22.72

450 25cos 0.08 22.72sin 0.08

2sin 0.08

t

st

e t

t

A A

m e t t

e t

−−−−

−−−−

= − == − == − == − =

= + − += + − += + − += + − +

π = −π = −π = −π = −

263263

(((( ))))

(((( ))))

1 0cos 0.08 sin 0.08

0.04 0.044

0 1 450cos 0.08 sin 0.08

0.044 0.04 0

e A t t

A t t

= −= −= −= −

+ − − ++ − − ++ − − ++ − − + −−−−

(((( ))))

(((( ))))))))

cos 0.08 sin 0.080.044 0.04 0

450 cos 0.08 sin 0.08

A t t

m e A t A t

+ − − ++ − − ++ − − ++ − − + −−−−

(((( )))) (((( )))) (((( ))))))))2 1 20.044 cos 0.08 0.044 0.04 sin 0.08A t A A t− − −− − −− − −− − −

(((( ))))))))450 25cos 0.08 22.72sin 0.08m e t t

Örneğe bir de IS-LM eğrilerini dikkate

LM eğrilerinin denklemlerini türetelim

sı denklemlerini kullanarak ve her

nımlayarak r için çözelim.nımlayarak r için çözelim.

* *

: 205 0.1

: 45 0.025

5 , 2000n

IS r y

LM r y

r y y

= −= −= −= −

= − += − += − += − +

= = == = == = == = =

IS-LM grafiği Şekil 4.34’tedir. ŞimdiIS-LM grafiği Şekil 4.34’tedir. Şimdi

oranının (r) sıfıra düştüğü bir durumu

ekonominin para talebini hesaplayalım

* *0.25 10 0.25(2000) 10(0) 500d d

m y r m= − → = − == − → = − == − → = − == − → = − =

264264

dikkate alarak bakalım. İlk olarak IS ve

türetelim. Bunun için mal ve para piyasa-

iki piyasada denge durumunu ta-

: 45 0.025

5 , 2000

IS r y

LM r y

Şimdi ekonomide denge nominal faizŞimdi ekonomide denge nominal faiz

durumu dikkate alalım. Bu faiz oranında

hesaplayalım.

0.25 10 0.25(2000) 10(0) 500d d

m y r m= − → = − == − → = − == − → = − == − → = − =

Şekil Şekil 4.34. 4.34. ISIS--LMLM Modelinde Deflasyonist SarmalModelinde Deflasyonist Sarmal

r

••••* 5r ====

0 ••••*

ny y= == == == =

265265

Modelinde Deflasyonist SarmalModelinde Deflasyonist Sarmal

( 450)LM m ====

π =π =π =π =

y

( 0)eIS π =π =π =π =

••••2000y y= == == == =

( 5)eIS π = −π = −π = −π = −

Ekonomi dengedeyken md=ms=500

enflasyon beklentisi de 5 puan azalark

nedenle (LM eğrisi sabitken) IS

Ekonomik karar birimleri nominalEkonomik karar birimleri nominal

alamayacağını bildiğinden, nominal

olduğunun farkında olacaktır. Bu,

tuzağında ekonominin para balansları

parasal genişleme politikasının nominal

sıfırdır.sıfırdır.

266266

olacaktır. reelr=r-πe olduğundan,

azalark -5 değerine düşecektir. Bu

eğrisi sol alt tarafa kaymıştır.

nominal faiz oranlarının negatif değerlernominal faiz oranlarının negatif değerler

nominal faizlerin en alt sınırında

likidite tuzağı durumudur. Likidite

balansları-faiz esnekliği sonsuzdur. Yani,

nominal faiz oranları üzerindeki etkisi

4.0

Şekil Şekil 4.35. Likidite Tuzağı ve Deflasyonist Sarmal4.35. Likidite Tuzağı ve Deflasyonist Sarmal

eππππ

-4.0

-2.0

0.0

2.0

350.0 400.0 450.0

0E

••••

2T

••••

-8.0

-6.0

267267

4.35. Likidite Tuzağı ve Deflasyonist Sarmal4.35. Likidite Tuzağı ve Deflasyonist Sarmal

* 0r ====205 0.4e

smπ = − +π = − +π = − +π = − +

500.0 550.0 600.0s

m

•••• 0s

m ====�

205 0.4s

mπ = − +π = − +π = − +π = − +

•••• 0eπ =π =π =π =�

1T ••••A

Şimdi ekonominin resesyonda olduğu

Şekil 4.35’de E0 noktasıdır. Ekonomide

Ekonomi, kararlı denge sürecini tanımlayan

yeniden dengeye ulaşabilecektir.yeniden dengeye ulaşabilecektir.

davranışa sahipse (örneğin T1),

halinde (A noktası) kararlı süreci yakalaması

andan itibaren ekonomi bir deflasyonist

yörünge çizer. Çıktı açığı her seferinde

çok derinleştirir, ancak nominalçok derinleştirir, ancak nominal

sabitlenen nominal faiz oranı ve deflasyonist

faiz oranları giderek yükselir, bunun

Kısacası bu süreç bir deflasyonist sarmaldir

268268

olduğu bir durumu dikkate alalım. Bu,

Ekonomide bir aşırı kapasite (y<yn) vardır.

tanımlayan T2 yolunu izlediği sürece

Eğer kararlı yolun dışında birEğer kararlı yolun dışında bir

nominal faizlerin sıfıra düşmesi

yakalaması olanak dışı olacaktır. Bu

deflasyonist sarmala yakalanmış bir

seferinde deflasyonist beklentiyi daha

faizler düşmez. Sıfır düzeyindefaizler düşmez. Sıfır düzeyinde

deflasyonist sarmal nedeniyle reel

bunun sonucunda da çıktı açığı artar.

sarmaldir.

Bu soruna bağımsız bir merkez bankası

düşünelim. Ekonomi resesyonda

Ancak genişleyici para politikasına

ekonomi sarmal deflasyonist süreceekonomi sarmal deflasyonist sürece

noktasında ya da bu noktadan

politikası yapılmalıdır. Ekonominin kararlı

olan yol ile arasında yer

için bir çıkış kapısıdır. Merkez bankası

uygulamada, ekonominin bu koridora

0s

m ====� 0eπ =π =π =π =�

uygulamada, ekonominin bu koridora

geç hareket ederse, T1 gibi kararsız,

olacaktır.

269269

bankası olarak çözüm aradığımızı

olduğundan para arzını artırırız.

politikasına ne zaman başvuracağız. Burada

sürece yakalanmadan önce (Şekilde Esürece yakalanmadan önce (Şekilde E0

hemen sonra) genişlemeci para

kararlı sürece girmesini sağlayacak

alan koridordur ve merkez bankası

bankası genişleyici para politikasını

koridora girmesini engelleyecek ölçüdekoridora girmesini engelleyecek ölçüde

kararsız, deflasyonist sarmala yakalanmış

Şekil 4.35’de ve eğrilerinin

edilmelidir. Bu dirsek noktasının

gelmektedir. Yani dirsek, sıfır olan

gelen likidite tuzağını ifade etmektedir

0s

m ====� 0eπ =π =π =π =�

gelen likidite tuzağını ifade etmektedir

gelen beklenen enflasyon oranı ile

(diğer bir ifadeyle dirseğin tam olarak

lim). Örnek modelimizi bir bütün

nominal faiz oranını reel para arzı

yazalım.yazalım.

* 41 0.08 0.2 es

r m= − + π= − + π= − + π= − + π

270270

eğrilerinin birer dirsek yaptığına dikkat

sağında her ikisi de yatay hale

olan nomainal faiz oranına karşılık

etmektedir. Şimdi likidite tuzağına karşılketmektedir. Şimdi likidite tuzağına karşılk

reel para arzı düzeyini belirleyelim

olarak nerede oluşacağını belirleye-

bütün olarak dikkata alalım ve denge

arzı ve beklenen enfasyon cinsinden

Şimdi nominal faiz oranını sıfır alarak,

oluşturalım.

* 0 41 0.08 0.2 0s

r m= → − + π == → − + π == → − + π == → − + π =

π = − +π = − +π = − +π = − +205 0.4es

mπ = − +π = − +π = − +π = − +

Bu denklemi, ve denklemleriyle

πe için çözersek, kırılma noktalarını

0s

m ====� 0eπ =π =π =π =�

0 0 36 0.08 1.8 205 0.4

506.3 , 2.48

s s s

e

m m m

m

= → = − − − += → = − − − += → = − − − += → = − − − +

= π = −= π = −= π = −= π = −

�

506.3 , 2.48

0 0 2.88 0.0064 0.064 205 0.4

500 , 5

es

e

es

m

m

= π = −= π = −= π = −= π = −

π = → = − + + − +π = → = − + + − +π = → = − + + − +π = → = − + + − +

= π = −= π = −= π = −= π = −

�

271271

alarak, ms ile πe arasındaki bağlantıyı

0 41 0.08 0.2 0e= → − + π == → − + π == → − + π == → − + π =

denklemleriyle eşitleyerek sırasıyla , ms ve

bulmuş oluruz.

(((( ))))0 0 36 0.08 1.8 205 0.4s s s

m m m= → = − − − += → = − − − += → = − − − += → = − − − +

(((( ))))0 0 2.88 0.0064 0.064 205 0.4s s

m mπ = → = − + + − +π = → = − + + − +π = → = − + + − +π = → = − + + − +

Bu olaya 2001 yılı ortalarında yaşanmış

Resesyona gireceği düşünülen ABD’de

tür (yani para arzını genişletmiştir)

bankası da aynı politikayı izlemiş,bankası da aynı politikayı izlemiş,

oranlarını sabit tutmuştur (para arzını

Avrupa Birliği genelinde işsizlik oranları

açığı vardır. Bu gelişmelerin bir

yukarıda sözü edilen deflasyonist sarmal

272272

yaşanmış bir gerçek örnek verilebilir.

ABD’de FED faiz oranlarını düşürmüş-

genişletmiştir). Hemen ardından İngiltere merkez

fakat Avrupa Merkez Bankası faizfakat Avrupa Merkez Bankası faiz

arzını genişletmemiştir). Bu sırada

oranları hayli yüksektir, yani bir çıktı

sonucu olarak Avrupa Birliği’nde,

sarmal gerçekleşmiştir.

AçıkAçık EkonomiEkonomi DinamikleriDinamikleri:: KatıKatı

Farklı döviz kuru rejimlerini ilk olarak

içerisinde ele alacağız. Model şöyledir

E C I G NX= + + += + + += + + += + + +0

0

, 0 , 0 1

, 0 1

, 0

d

d

E C I G NX

C a bY a b

Y Y T

T T tY t

I I jY j

= + + += + + += + + += + + +

= + > < <= + > < <= + > < <= + > < <

= −= −= −= −

= − < <= − < <= − < <= − < <

= + >= + >= + >= + >0

0

0

, 0

, 0 1

I I jY j

M M mY m

NX X M

= + >= + >= + >= + >

= + < <= + < <= + < <= + < <

= −= −= −= −

273273

KatıKatı FiyatFiyat ModelleriModelleri

olarak fiyatların sabit olduğu bir model

şöyledir:

, 0 , 0 1

, 0 1

C a bY a b= + > < <= + > < <= + > < <= + > < <

, 0 1= + < <= + < <= + < <= + < <

Mal piyasasında zaman içindeki değişim,

arasındaki farka bağlı olarak gerçekleşir

firmalar üretimi genişleterek gelir

meye başlar.meye başlar.

(((( )))) , 0dY

E Ydt

= λ − λ >= λ − λ >= λ − λ >= λ − λ >

Bu dinamiği, modelin denklemlerini

(((( 0 0 0 0 0

dYa bT I G X M b t j m Y

dt= λ − + + + − − λ − − − += λ − + + + − − λ − − − += λ − + + + − − λ − − − += λ − + + + − − λ − − − +((((

((((

0 0 0 0 0

1 (1 )

a bT I G X M b t j m Ydt

dYA b t j m Y

dt

= λ − + + + − − λ − − − += λ − + + + − − λ − − − += λ − + + + − − λ − − − += λ − + + + − − λ − − − +

= λ − λ − − − += λ − λ − − − += λ − λ − − − += λ − λ − − − +

274274

değişim, toplam gelir ve harcama

gerçekleşir. Harcamalar geliri aştığında,

yaratırlar, dolayısıyla gelir yüksel-

, 0= λ − λ >= λ − λ >= λ − λ >= λ − λ >

denklemlerini de katarak yeniden tanımlayalım:

)))) (((( ))))0 0 0 0 01 (1 )a bT I G X M b t j m Y= λ − + + + − − λ − − − += λ − + + + − − λ − − − += λ − + + + − − λ − − − += λ − + + + − − λ − − − +)))) (((( ))))

))))

0 0 0 0 01 (1 )a bT I G X M b t j m Y

A b t j m Y

= λ − + + + − − λ − − − += λ − + + + − − λ − − − += λ − + + + − − λ − − − += λ − + + + − − λ − − − +

Mal piyasası dengesini belirleyelim.

((((0 0 1 (1 )dY

A b t j m Ydt

A

= → = λ − λ − − − += → = λ − λ − − − += → = λ − λ − − − += → = λ − λ − − − +

Modelin grafiği Şekil 4.36’da ve 3

sistemde tek denge noktası olduğundan,

kararlıdır ya da kararsızdır. Şekil

*

1 (1 )

AY

b t j m====

− − − +− − − +− − − +− − − +

kararlıdır ya da kararsızdır. Şekil

kararsız durum çizilmiştir.

275275

.

))))0 0 1 (1 )A b t j m Y= → = λ − λ − − − += → = λ − λ − − − += → = λ − λ − − − += → = λ − λ − − − +

3.37’de gösterilmiştir. Genel olarak

olduğundan, sistem bir bütün olarak ya

4.36’da kararlı durum, 4.37’de de4.36’da kararlı durum, 4.37’de de

Şekil Şekil 4.36. Açık Ekonomide Kararlı Mal Piyasası 4.36. Açık Ekonomide Kararlı Mal Piyasası

E

Y�

••••

*Y0

0 ••••*Y0

Y

276276

4.36. Açık Ekonomide Kararlı Mal Piyasası 4.36. Açık Ekonomide Kararlı Mal Piyasası

E

Y E====

Y

Y1

Y

Şekil Şekil 4.37. Açık Ekonomide Kararsız Mal Piyasası 4.37. Açık Ekonomide Kararsız Mal Piyasası

E

Y�

••••

*Y0

0*Y0

Y••••

277277

4.37. Açık Ekonomide Kararsız Mal Piyasası 4.37. Açık Ekonomide Kararsız Mal Piyasası

E

Y E====

Y

Y1

Y

Kararlılık koşulunu belirleyebilmek

tanımlayan diferansiyel denklemi çözelim

sistemin denge değerine yakınsak olduğuna

((((1 (1 )dY

A b t j m Y= λ − λ − − − += λ − λ − − − += λ − λ − − − += λ − λ − − − +((((

(((( ))))* *

1 (1 )

( ) (0)

1 (1 ) 0 lim ( )

dYA b t j m Y

dt

Y t Y Y Y e

b t j m Y t Y

= λ − λ − − − += λ − λ − − − += λ − λ − − − += λ − λ − − − +

= + −= + −= + −= + −

− − − + > → →− − − + > → →− − − + > → →− − − + > → →

Kararlılık koşulu incelendiğinde,Kararlılık koşulu incelendiğinde,

kararsızlığın yaşanabildiği görülebilir

Şekil 4.36’da görüldüğü gibi, mal piyasası

negatif eğimli olmaktadır.

278278

belirleyebilmek için, mal piyasası dinamiğini

çözelim ve t→∞ iken hangi durumda

olduğuna bakalım.

))))1 (1 )A b t j m Y= λ − λ − − − += λ − λ − − − += λ − λ − − − += λ − λ − − − + ))))

(((( ))))1 (1 )

*

1 (1 )

1 (1 ) 0 lim ( )

b t j m t

t

A b t j m Y

Y t Y Y Y e

b t j m Y t Y

−λ − − − +−λ − − − +−λ − − − +−λ − − − +

→∞→∞→∞→∞

= λ − λ − − − += λ − λ − − − += λ − λ − − − += λ − λ − − − +

− − − + > → →− − − + > → →− − − + > → →− − − + > → →

farklı durumlarda kararlılık vefarklı durumlarda kararlılık ve

görülebilir. Kararlılık koşulu sağlandığında,

piyasası dinamiğini tanımlayan eğri,

((((

((((

1 (1 )

1 (1 )

Y A b t j m Y

dYb t j m

dY

= λ − λ − − − += λ − λ − − − += λ − λ − − − += λ − λ − − − +

= − λ − − − += − λ − − − += − λ − − − += − λ − − − +

�

�

(1 ) 1 0b t j m− + − < → <− + − < → <− + − < → <− + − < → <

Ancak bu aşamada dikkat edilmesi

koşulunun bu modelde kendiliğinden

neden yoktur. Dış ticaretin olmadığıneden yoktur. Dış ticaretin olmadığı

gelire çok duyarlıysa ve marjinal tüketim

durumu ortaya çıkabilir. Dış ticaret,

layarak, kararsızlık sürecini ortadan

279279

))))

))))

Y A b t j m Y

b t j m

= λ − λ − − − += λ − λ − − − += λ − λ − − − += λ − λ − − − +

= − λ − − − += − λ − − − += − λ − − − += − λ − − − +

�(1 ) 1 0

dY

dY− + − < → <− + − < → <− + − < → <− + − < → <

�

gereken bir nokta vardır. Kararlılık

kendiliğinden sağlanmasını gerektiren bir

olmadığı (m=0) bir durumda, yatırımlarolmadığı (m=0) bir durumda, yatırımlar

tüketim eğilimi yüksekse, kararsızlık

ticaret, yüksek harcama eğilimini baskı-

kaldırabilir.

ÖdemelerÖdemeler DengesiDengesi veve ParaPara ArzıArzı

Şimdi modeli, ödemeler dengesini

bulunduracak biçimde genişletelim

den oluşmaktadır: Birincisi dış ticaretden oluşmaktadır: Birincisi dış ticaret

akımları dengesi (CF). Ödemeler dengesini

bp nx cf= += += += +

Eğer yurtiçi fiyatlar genel düzeyi P ise

NX Px Pz= −= −= −= −

Bu eşitlikte NX nominal net dış ticareti,

göstermektedir.

280280

dengesini ve döviz kurlarını da gözönünde

genişletelim. Ödemeler dengesi iki ana bölüm-

ticaret dengesi (NX), diğeri de sermayeticaret dengesi (NX), diğeri de sermaye

dengesini reel terimlerle yazalım.

ise;

ticareti, x reel ihracatı, z reel ithalatı

Spot döviz kurunu S ile, yurtdışı fiyatları

dikkate alarak net dış ticareti yeniden

*NX SP

NX Px SP z x zP P

= − → = −= − → = −= − → = −= − → = −

Bu eşitlikte R, reel döviz kurunu göstermektedir

betçi düzeyini de belirtmektedir. Reel

gelir düzeyine (x ), bir ölçüde de pozitif

P P

nx x Rz= −= −= −= −

gelir düzeyine (x0), bir ölçüde de pozitif

na bağlıdır.

0, 0x x fR f= + >= + >= + >= + >

281281

fiyatları da P* ile gösterelim. Bunları

yeniden yazalım.

*NX SPNX Px SP z x z

P P

= − → = −= − → = −= − → = −= − → = −

göstermektedir ve ekonominin reka-

Reel ihracat bir ölçüde yurtdışı reel

pozitif yönlü olarak reel döviz kuru-

P P

pozitif yönlü olarak reel döviz kuru-

, 0= + >= + >= + >= + >

Net ithalatı da şöyle yazabiliriz:

0, 0 1 , 0Rz z my gR m g= + − < < >= + − < < >= + − < < >= + − < < >

Reel ihracat ve ithalat tanımlamalarını

Şimdi de sermaye dengesini yazalım

(((( ))))*0

, 0cf cf v r r v= + − >= + − >= + − >= + − >

0( )nx nx f g R my= + + −= + + −= + + −= + + −

Burada r yurtiçi faiz oranını, r* yurtdışıBurada r yurtiçi faiz oranını, r* yurtdışı

aşamada döviz kuru beklentilerini

Sonra bu varsayımı gevşeteceğiz.

akımları, faiz oranı farklarına (r-r*)

282282

, 0 1 , 0Rz z my gR m g= + − < < >= + − < < >= + − < < >= + − < < >

tanımlamalarını birleştirelim.

yazalım.

, 0cf cf v r r v= + − >= + − >= + − >= + − >

nx nx f g R my= + + −= + + −= + + −= + + −

yurtdışı faiz oranını göstermektedir. İlkyurtdışı faiz oranını göstermektedir. İlk

sabit varsayarak analiz yapacağız.

. Bu varsayımlar altında sermaye

bağlı olarak gerçekleşecektir.

Yukarıdaki düzenlemeleri dikkate alarak

yazalım.

(((( ))))

bp nx cf

bp bp f g R my v r r

= += += += +

= + + − + −= + + − + −= + + − + −= + + − + −

Sabit döviz kuru rejimi altında, ödemeler

durumda yurtiçi faiz oranıyla ekonominin

bağlantıyı, yukarıdaki eşitlikten hareketle

(((( ))))0bp bp f g R my v r r= + + − + −= + + − + −= + + − + −= + + − + −

((((0 0bp bp f g R my v r r= → = + + − + −= → = + + − + −= → = + + − + −= → = + + − + −((((

(((( ))))

0

0*

0 0bp bp f g R my v r r

bp f g Rr r y

v v

= → = + + − + −= → = + + − + −= → = + + − + −= → = + + − + −

+ ++ ++ ++ += − += − += − += − +

283283

alarak ödemeler dengesini yeniden

(((( ))))*bp bp f g R my v r r= + + − + −= + + − + −= + + − + −= + + − + −

ödemeler dengesinin dengede olduğu

ekonominin reel gelir düzeyi arasındaki

hareketle türetebiliriz.

(((( ))))*bp bp f g R my v r r= + + − + −= + + − + −= + + − + −= + + − + −

)))) (((( ))))*bp bp f g R my v r r= → = + + − + −= → = + + − + −= → = + + − + −= → = + + − + −)))) (((( ))))*bp bp f g R my v r r

mr r y

v v

= → = + + − + −= → = + + − + −= → = + + − + −= → = + + − + −

= − += − += − += − +

Ödemeler dengesinin sağlandığı durumda

aynı zamanda Şekil 4.38’de yer almaktadır

üst bölgesinde ödemeler dengesi

tedir. Eğrinin üzerindeki tüm noktalardatedir. Eğrinin üzerindeki tüm noktalarda

maktadır. Ekonominin örneğin ithalat

noktasına geçtiğini, yani ödemeler

lım. Yurtiçi faiz oranı sabitken gelir

talebini (para arzı sabitken) artırır,

sermaye akmasına yol açar. Bu yollasermaye akmasına yol açar. Bu yolla

noktada yeniden sağlanmış olur. Ödemeler

geçildiğinde ekonominin rezervleri

tadır.

284284

durumda faiz oranı-gelir bağlantısı

almaktadır. Pozitif eğimli olan eğrinin

fazla, alt bölgesinde açık vermek-

noktalarda ödemeler dengesi sağlan-noktalarda ödemeler dengesi sağlan-

ithalat artışı gibi bir nedenle B

dengesinin açık verdiğini varsaya-

gelir düzeyi artmıştır. Gelir artışı para

artırır, faiz hadleri yükselerek yurtiçine

yolla ödemeler dengesi C gibi biryolla ödemeler dengesi C gibi bir

Ödemeler dengesinin üst bölgesine

artmakta, aksi yönde ise azalmak-

Şekil Şekil 4.38. Ödemeler Dengesi 4.38. Ödemeler Dengesi

r

(((( ))))bp f g R+ ++ ++ ++ +

0bp >>>>

••••A

(((( ))))0*bp f g R

rv

+ ++ ++ ++ +−−−− •••• 0bp <<<<

285285

4.38. Ödemeler Dengesi 4.38. Ödemeler Dengesi

0bp ====

••••

••••

B

y

Ekonominin rezerv durumunu şu faktörler

1. Rezerv değişiminden kaynaklanan

2. Parasal yetkililerin para arzı genişlemesinin

ölçüde bertaraf edecek önlemler

3. Hükümetin döviz kuru aracını kullanması

Şimdi ödemeler dengesinin şekline

bakalım.

v=0 olursa, BP eğrisi dik biçim alır (Şekil

((((

(((( ))))

0

0

0 0v bp f g R my

bp f g Ry

m

= → = + + −= → = + + −= → = + + −= → = + + −

+ ++ ++ ++ +====

286286

faktörler belirler:

kaynaklanan para arzı değişimi.

genişlemesinin yol açacağı etkileri ne

önlemler aldığı.

kullanması.

şekline ilişkin bazı özel durumlara

(Şekil 4.39a).

(((( ))))v bp f g R my= → = + + −= → = + + −= → = + + −= → = + + −

Şekil Şekil 4.39. Ödemeler Dengesi 4.39. Ödemeler Dengesi

r ( 0)BP v ====

y

a) Sermaye Hareketliliği Yoka) Sermaye Hareketliliği Yok

0

287287

4.39. Ödemeler Dengesi 4.39. Ödemeler Dengesi

r

( )BP v = ∞= ∞= ∞= ∞

y

b) Sermaye Hareketliliği Tamb) Sermaye Hareketliliği Tam

0

v=∞ olursa, BP eğrisi yatay biçim alır

Pozitif eğimli BP eğrisi durumunda

vardır. Ancak bu durumda da LM eğrisinin

önem taşımaktadır. Şu iki olasılıönem taşımaktadır. Şu iki olasılı

LM’den daha dik ya da daha yataydır

Son olarak IS eğrisini tanımlayalım.

[[[[ ]]]]

[[[[

(1 ) ( )

1 (1 )( )

e a b t j y hr nx f g R my

a nx f g R

= + − + − + + + −= + − + − + + + −= + − + − + + + −= + − + − + + + −

− − − +− − − +− − − +− − − ++ + ++ + ++ + ++ + + [[[[01 (1 )( )a nx f g R

r yh h

− − − +− − − +− − − +− − − ++ + ++ + ++ + ++ + += −= −= −= −

288288

alır (Şekil 4.39b): r = r*

sermaye hareketliliği kısıtlı ölçüde

eğrisinin BP eğrisine göre konumu

karşımıza çıkabilir. BP eğrisi yakarşımıza çıkabilir. BP eğrisi ya

yataydır.

.

]]]]

0(1 ) ( )

1 (1 )

e a b t j y hr nx f g R my

b t j m

= + − + − + + + −= + − + − + + + −= + − + − + + + −= + − + − + + + −

− − − +− − − +− − − +− − − + ]]]]1 (1 )b t j mr y

h h

− − − +− − − +− − − +− − − +

AçıkAçık EkonomideEkonomide ParaPara PolitikasıPolitikası

Kapalı ekonomi IS-LM modelinde

Ancak sabit döviz kuru rejimini uygulayan

varsayım artık geçerli değildir. Çünküvarsayım artık geçerli değildir. Çünkü

arzının tanımı değişmektedir. Bu nedenle

için yeniden tanımlayalım.

0 , 1M Cp CBR M M Cp D= + ≡ = += + ≡ = += + ≡ = += + ≡ = +

Burada; M0, parasal taban; Cp,

tuttukları para miktarı; CBR, MB’deki

serbest mevduat. Parasal tabanla para

çarpanı ilişkisini dikkate alalım.

1 0s

M M qM≡ =≡ =≡ =≡ =

289289

para arzını dışsal kabul etmiştik.

uygulayan açık bir ekonomide bu

Çünkü açık bir ekonomi için paraÇünkü açık bir ekonomi için para

nedenle para arzını açık bir ekonomi

sM Cp CBR M M Cp D= + ≡ = += + ≡ = += + ≡ = += + ≡ = +

ekonomik karar birimlerinin elde

MB’deki ticari banka rezervleri; D,

para arzı arasında da basit bir para

1 0M M qM

Yukarıda tanımladığımız parasal taban,

lerini göstermektedir. MB’nin varlıkları

(CBC) uluslararası rezervlerinden

parasal tabanı ya da MB bilançosunuparasal tabanı ya da MB bilançosunu

((((

0

0s

M Cp CBR CBC IR

M qM q CBC IR

= + = += + = += + = += + = +

= = += = += = += = +

Parasal tabandaki değişimler iki

sterilizasyonu da içerecek şekildesterilizasyonu da içerecek şekilde

değişimler); ikincisi, sabit döviz kuru

sindeki değişimlere özdeş olan uluslararası

290290

taban, MB bilançosunun yükümlülük-

varlıkları da, MB’nin açtığı kredilerle

rezervlerinden (IR) oluşmaktadır. Buna göre

bilançosunu çift taraflı olarak yazabiliriz:bilançosunu çift taraflı olarak yazabiliriz:

))))

M Cp CBR CBC IR

M qM q CBC IR

= + = += + = += + = += + = +

= = += = += = += = +

iki kaynaktan beslenir: Birincisi,

şekilde açık piyasa işlemleri (CBC’dekişekilde açık piyasa işlemleri (CBC’deki

kuru rejimi altında ödemeler denge-

uluslararası rezervlerdeki değişimler.

Açık piyasa işlemleri (∆CBC) otonom

değişimler (∆IR) olarak iki bölüme sahiptir

, 0 1CBC IR∆ = µ − λ∆ ≤ λ ≤∆ = µ − λ∆ ≤ λ ≤∆ = µ − λ∆ ≤ λ ≤∆ = µ − λ∆ ≤ λ ≤

Bu eşitlikte λ sterilizasyon katsayısıdır

anlamına gelmektedir. Eğer ödemeler

nedenle parasal taban uluslararası

parasal otorite karşı bir hareketle parasal

(((( ))))s sM q CBC IR M q CBC IR= + → ∆ = ∆ + ∆= + → ∆ = ∆ + ∆= + → ∆ = ∆ + ∆= + → ∆ = ∆ + ∆(((( ))))

(((( ))))

(1 )

s s

s s

s

M q CBC IR M q CBC IR

M q CBC IR M q IR

M q q IR

P P P

= + → ∆ = ∆ + ∆= + → ∆ = ∆ + ∆= + → ∆ = ∆ + ∆= + → ∆ = ∆ + ∆

∆ = ∆ + ∆ → ∆ = µ + − λ ∆∆ = ∆ + ∆ → ∆ = µ + − λ ∆∆ = ∆ + ∆ → ∆ = µ + − λ ∆∆ = ∆ + ∆ → ∆ = µ + − λ ∆

∆∆∆∆ µ − λ ∆µ − λ ∆µ − λ ∆µ − λ ∆= += += += +

291291

otonom (µ)ve uluslararası rezervlerdeki

sahiptir.

, 0 1∆ = µ − λ∆ ≤ λ ≤∆ = µ − λ∆ ≤ λ ≤∆ = µ − λ∆ ≤ λ ≤∆ = µ − λ∆ ≤ λ ≤

katsayısıdır. λ=1, tam sterilizasyon

ödemeler dengesi fazla verirse ve bu

uluslararası rezerv artışı nedeniyle artarsa,

parasal tabanı aynı ölçüde azaltır.

(((( ))))s sM q CBC IR M q CBC IR= + → ∆ = ∆ + ∆= + → ∆ = ∆ + ∆= + → ∆ = ∆ + ∆= + → ∆ = ∆ + ∆(((( ))))

[[[[ ]]]](1 )

s s

s s

M q CBC IR M q CBC IR

M q CBC IR M q IR

= + → ∆ = ∆ + ∆= + → ∆ = ∆ + ∆= + → ∆ = ∆ + ∆= + → ∆ = ∆ + ∆

∆ = ∆ + ∆ → ∆ = µ + − λ ∆∆ = ∆ + ∆ → ∆ = µ + − λ ∆∆ = ∆ + ∆ → ∆ = µ + − λ ∆∆ = ∆ + ∆ → ∆ = µ + − λ ∆

Şimdi iki uç durumu dikkate alalım.

1. µ=0 ve λ=0. Birincisi yalnızca otonom

dığını, ikincisi de sterilizasyon politikasına

tedir. Bu durumu son denklemdeki yerlerinetedir. Bu durumu son denklemdeki yerlerine

sM q IR

qbpP P

∆∆∆∆ ∆∆∆∆= == == == =

Bu sonuç, bir ödemeler dengesi açığının

ölçüsünde bir para arzında azalmaya

etmektedir.

292292

.

otonom açık piyasa işlemleri yapıl-

politikasına gidilmediğini söylemek-

yerlerine yazarak düzenleyelim.yerlerine yazarak düzenleyelim.

açığının (fazlasının), para çarpanı

azalmaya (artmaya) neden olacağını ifade

2. µ=0 ve λ=1. Birincisi yalnızca otonom

dığını, ikincisi de tam sterilizasyon

tedir.

0sM∆∆∆∆

==== 0s

P====

Para arzıyla ödemeler dengesi arasındaki

durumdadır. Ödemeler dengesindeki

arzında hiçbir değişime neden olmamaktadır

Açık bir ekonomide para arzını dışsal

işlemleri yapılmadığını ve tam sterilizasyonişlemleri yapılmadığını ve tam sterilizasyon

varsaymakla aynıdır. Sabit döviz

yapılmıyorsa, bir ödemeler dengesi

kaydırır (Şekil 4.40).

293293

otonom açık piyasa işlemleri yapıl-

sterilizasyon politikasına gidildiğini söylemek-

arasındaki bağ tamamen kopmuş

dengesindeki gelişmeler, yurtiçi reel para

olmamaktadır.

dışsal kabul etmek, otonom açık piyasa

sterilizasyon politikası uygulandığınısterilizasyon politikası uygulandığını

kuru rejimi altında sterilizasyon

dengesi açığı LM eğrisini sol-üste doğru

Şekil Şekil

r

0

294294

Şekil Şekil 4.404.40

LM

0LM

1LM

2LM

y

SabSabiitt DDöövviizz KuruKuru RejRejiimmiindende GenişleyiciGenişleyici

GenişleyiciGenişleyici MaliyeMaliye PolitikasıPolitikası

Yurtiçi ve yurtdışı fiyatları, spot döviz

kısa dönemde faiz oranı ve gelir düzeyi

tarafından belirlenecek, ödemeler

olacaktır:

(((( ))))0bp bp f g R my v r r= + + − + −= + + − + −= + + − + −= + + − + −

Konuyu anlayabilmek için modeli

sayısal örnekle inceleyelim.

295295

GenişleyiciGenişleyici MaliyeMaliye veve ParaPara PolitikalarıPolitikaları

döviz kurunu sabit varsaydığımızda,

düzeyi yurtiçi mal ve para piyasaları

dengesi de şu şekilde belirlenmiş

(((( ))))*bp bp f g R my v r r= + + − + −= + + − + −= + + − + −= + + − + −

topluca bir arada yazalım ve bir

ModelModel::

(((( )))) (1 )

d d

e a f g R b t y hr jy my

m M P ky ur

= + + + − − + −= + + + − − + −= + + + − − + −= + + + − − + −

= = −= = −= = −= = −

(((( ))))

(((( )))) (((( ))))

(((( ))))

0 0

*

0 0

d d

s s

m M P ky ur

m M P q CBC IR q IR

R SP P

nx x z f g R my

= = −= = −= = −= = −

= = + + µ + − λ ∆= = + + µ + − λ ∆= = + + µ + − λ ∆= = + + µ + − λ ∆

====

= − + + −= − + + −= − + + −= − + + −

(((( ))))

(((( )))) ((((

*0

, , 0 , 0d s

cf cf v r r

bp nx cf

y e y r m m

= + −= + −= + −= + −

= += += += +

= α − = β − α > β >= α − = β − α > β >= α − = β − α > β >= α − = β − α > β >� �

296296

e a f g R b t y hr jy my= + + + − − + −= + + + − − + −= + + + − − + −= + + + − − + −

)))) (((( ))))(1 )m M P q CBC IR q IR

nx x z f g R my

= = + + µ + − λ ∆= = + + µ + − λ ∆= = + + µ + − λ ∆= = + + µ + − λ ∆

)))), , 0 , 0d s

y e y r m m= α − = β − α > β >= α − = β − α > β >= α − = β − α > β >= α − = β − α > β >

SayısalSayısal DeğerlerDeğerler::

a m S f P P

b t h j g k u

67.5 , 0.2 , 1.764 , 5 , 1 , 1

0.75 , 0.3 , 2 , 0 , 2 , 0.25 , 0.5

= = = = = == = = = = == = = = = == = = = = =

= = = = = = == = = = = = == = = = = = == = = = = = =b t h j g k u

q v R S x z cf IR

CBC r

nx x z bp nx cf

0 0 0 0

*

0 0 0 0 0 0

0.75 , 0.3 , 2 , 0 , 2 , 0.25 , 0.5

1 , 1 , , 0 , 24 , 20.5 , 3

0 , 15 , 0.05 , 0.8 , 0 , 0

24 , 3.5

= = = = = = == = = = = = == = = = = = == = = = = = =

= = = = = = == = = = = = == = = = = = == = = = = = =

= = α = β = µ = λ == = α = β = µ = λ == = α = β = µ = λ == = α = β = µ = λ =

= − = − = + = −= − = − = + = −= − = − = + = −= − = − = + = −

bp IR Pbp0 0= → ∆ = == → ∆ = == → ∆ = == → ∆ = =

297297

a m S f P P

b t h j g k u

*67.5 , 0.2 , 1.764 , 5 , 1 , 1

0.75 , 0.3 , 2 , 0 , 2 , 0.25 , 0.5

= = = = = == = = = = == = = = = == = = = = =

= = = = = = == = = = = = == = = = = = == = = = = = =b t h j g k u

q v R S x z cf IR

nx x z bp nx cf

0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0.75 , 0.3 , 2 , 0 , 2 , 0.25 , 0.5

1 , 1 , , 0 , 24 , 20.5 , 3

0 , 15 , 0.05 , 0.8 , 0 , 0

24 , 3.5

= = = = = = == = = = = = == = = = = = == = = = = = =

= = = = = = == = = = = = == = = = = = == = = = = = =

= = α = β = µ = λ == = α = β = µ = λ == = α = β = µ = λ == = α = β = µ = λ =

= − = − = + = −= − = − = + = −= − = − = + = −= − = − = + = −

İlk olarak IS, LM ve BP eğrilerini belirleyelim

[[[[01 (1 )( )a nx f g R

r yh h

+ + ++ + ++ + ++ + += −= −= −= −

(((( ))))0 0

27.924 0.3375

6 0.5

r y

q CBC IR q IRr y

u u

r y

= −= −= −= −

+ + µ + − λ ∆+ + µ + − λ ∆+ + µ + − λ ∆+ + µ + − λ ∆ = − += − += − += − +

= − += − += − += − + 0LM

(((( ))))0*

6.152 0.2

bp f g Rr r y

v v

r y

+ ++ ++ ++ += − += − += − += − +

= += += += +0

BP

298298

belirleyelim (Şekil 4.41).

]]]]1 (1 )b t j mr y

h h

− − − +− − − +− − − +− − − +

(((( ))))1q CBC IR q IR kr y

u u

+ + µ + − λ ∆+ + µ + − λ ∆+ + µ + − λ ∆+ + µ + − λ ∆ = − += − += − += − +

0IS

mr r y

v v

= − += − += − += − +

0BP

Veri değerler altındaki denge faiz

için yukarıda topluca yazdığımız IS

lım.

0 014.253 , 40.506r y= == == == =

0 014.253 , 40.506r y= == == == =

Denge durumu Şekil 4.41’de çizilmiştir

Şimdi kamu harcamalarının 10 birim

4.42). Kamu harcama artışı sırasıyla

(para arzı sabitken) yükseltecek,

gelebilmesi için faiz oranları da artacaktır

vererek yeni dengenin oluşmasını

dönemde E0 ’dan ’ye doğru hareket0

E′′′′

299299

oranı ve gelir düzeyini belirlemek

IS, LM ve BP denklemlerini kullana-

14.253 , 40.50614.253 , 40.506

çizilmiştir.

birim artırıldığını varsayalım (Şekil

sırasıyla gelir düzeyini ve para talebini

yükseltecek, para piyasasının dengeye

artacaktır. Para piyasası hemen tepki

oluşmasını sağladığından, ekonomi kısa

hareket etmiş olur.

Şekil Şekil 4.41. 4.41. ISIS, , LMLM ve ve

r

••••0

E

014.253r ====

00

40.506y ====

300300

ve ve BPBP Eğrileri ve DengeEğrileri ve Denge

0LM

0LM

0IS

6.152 0.2r y= += += += +

6 0.5r y= − += − += − += − +

0( 0)BP bp ====

y

0IS

27.924 0.3375r y= −= −= −= −

40.506

Şekil Şekil 4.42.Kamu Harcama Artışının Etkileri:4.42.Kamu Harcama Artışının Etkileri:

Sterilizasyon Politikası Yok ve Sermaye Hareketliliği SınırlıSterilizasyon Politikası Yok ve Sermaye Hareketliliği Sınırlı

r

0E

014.253r ==== ••••

116.114r ====

0 0

40.506y

301301

4.42.Kamu Harcama Artışının Etkileri:4.42.Kamu Harcama Artışının Etkileri:


0LM

LM0LM

0BP

1LM

1E

1IS

••••0

E′′′′

••••••••

y

0IS

1IS

0

40.506y

1

49.809y

noktasında ödemeler dengesi fazlası

yapılmadığını varsaydığımızdan, para

fazlası kadar gerçekleşir. Yani MB’nin

artış gösterir. Bu para arzı artışı,

0E′′′′

artış gösterir. Bu para arzı artışı,

yeniden kuruluncaya kadar sağa doğru

harcama politikasının oluşturduğu

süreçten görüldüğü gibi, para arzı

düzeyi başlangıçta 3 birimken, son

tir( ).0 , 0s

M IRµ = λ = → ∆ = ∆µ = λ = → ∆ = ∆µ = λ = → ∆ = ∆µ = λ = → ∆ = ∆tir( ).0 , 0s

M IRµ = λ = → ∆ = ∆µ = λ = → ∆ = ∆µ = λ = → ∆ = ∆µ = λ = → ∆ = ∆

(((( ))))

((((

0 0

0 0

q CBC IR q IRr y

u u

IR ur ky q CBC IR M

+ + µ + − λ ∆+ + µ + − λ ∆+ + µ + − λ ∆+ + µ + − λ ∆ = − += − += − += − +

∆ = − + + = = ∆∆ = − + + = = ∆∆ = − + + = = ∆∆ = − + + = = ∆

302302

fazlası oluşur. Sterilizasyonun hiç

para arzı artışı, ödemeler dengesi

MB’nin uluslararası rezervleri bu kadar

artışı, LM eğrisini, ödemeler dengesiartışı, LM eğrisini, ödemeler dengesi

doğru kaydırır. Genişleyici bir kamu

oluşturduğu yeni denge noktası E1 ’dir. Bu

arzı dışsal değil içseldir. Para arzı

son durumda 4.395 birime yükselmiş-

(((( ))))

))))0 0

1

1.395s

q CBC IR q IR kr y

u u

IR ur ky q CBC IR M

+ + µ + − λ ∆+ + µ + − λ ∆+ + µ + − λ ∆+ + µ + − λ ∆ = − += − += − += − +

∆ = − + + = = ∆∆ = − + + = = ∆∆ = − + + = = ∆∆ = − + + = = ∆

Tam sterilizasyon politikası uygulanmış

başlayarak LM0 eğrisi boyunca hareket

caktı. Tam sterilizasyon politikasıyla

verilmeyeceğinden, nihai denge noktasıverilmeyeceğinden, nihai denge noktası

Sermaye hareketliliği tümüyle serbestse

harcama politikası sonrasında faiz

kalacak, ancak gelir düzeyi yükselecektir

düzeyindeki yükselme para talebini

yükselme, (r-r*>0) farkı nedeniyleyükselme, (r-r*>0) farkı nedeniyle

açacak, aynı ölçüde para arzında bir

sağlayacaktır. Faiz oranları yeniden

sermaye girişi olur.

303303

uygulanmış olsaydı, ekonomi E0’dan

hareket edecek ve noktasına ulaşa-

politikasıyla para arzı genişlemesine izin

noktası olacaktı.

0E′′′′

0E′′′′noktası olacaktı.

serbestse (r=r*), genişleyici kamu

faiz oranları yurtdışı düzeyinde sabit

yükselecektir (Şekil 4.43). Gelir

talebini artıracak, faiz oranlarındaki

yurtdışından sermaye girişine yol

0E′′′′

yurtdışından sermaye girişine yol

bir artış faiz oranlarının düşmesini

yeniden yurtdışı düzeyine ulaşana kadar

Şekil Şekil 4.43.Kamu Harcama Artışının Etkileri:4.43.Kamu Harcama Artışının Etkileri:

Sterilizasyon Politikası Yok ve Sermaye Hareketliliği TamSterilizasyon Politikası Yok ve Sermaye Hareketliliği Tam

r

0E

*0

r r====

••••E

••••

0 0y

304304

4.43.Kamu Harcama Artışının Etkileri:4.43.Kamu Harcama Artışının Etkileri:

Sterilizasyon Politikası Yok ve Sermaye Hareketliliği TamSterilizasyon Politikası Yok ve Sermaye Hareketliliği Tam

LM0

LM

0BP

1LM

1E

IS

••••0

E′′′′

••••

y

0IS

1IS

1y

GenişleyiciGenişleyici ParaPara PolitikasıPolitikası

MB kredisinin (CBC) 0’dan 2 birime

artışı, para arzını da 2 birim yükseltir

birime çıkar. LM eğrisi sağ tarafa doğrubirime çıkar. LM eğrisi sağ tarafa doğru

LM1 ve IS0 eğrilerinin kesişim noktasında

oluşur (kısa dönemde).

0 1: 6 0.5 : 10 0.5LM r y LM r y= − + → = − += − + → = − += − + → = − += − + → = − +

(((( ))))bp bp f g R my v r r= + + − + − = −= + + − + − = −= + + − + − = −= + + − + − = −

Uzun dönemde rezervler azalır,

başlangıçtaki faiz oranı ve milli gelir

(((( ))))0bp bp f g R my v r r= + + − + − = −= + + − + − = −= + + − + − = −= + + − + − = −

305305

birime artırıldığını varsayalım. Kredi

yükseltir. Yani para arzı 3 birimden 5

doğru kayar (Şekil 4.44).doğru kayar (Şekil 4.44).

noktasında ( ) ödemeler dengesi açığı

0 1: 6 0.5 : 10 0.5LM r y LM r y= − + → = − += − + → = − += − + → = − += − + → = − +

0E′′′′

(((( ))))* 2.567bp bp f g R my v r r= + + − + − = −= + + − + − = −= + + − + − = −= + + − + − = −

para arzı düşer ve nihai denge

gelir düzeyinde oluşur.

(((( ))))* 2.567bp bp f g R my v r r= + + − + − = −= + + − + − = −= + + − + − = −= + + − + − = −

Şekil Şekil 4.44. Para Arzı Artışının Etkileri:4.44. Para Arzı Artışının Etkileri:


r

0 1E E====

014.253r ==== ••••

012.641r′′′′ ====

••••10.253 E

0 0

40.506y

••••10.253 E

306306

4.44. Para Arzı Artışının Etkileri:4.44. Para Arzı Artışının Etkileri:


0LM

LM0LM

0BP

0 1E E====

1LM

•••• 0E′′′′

••••

••••E

2.567bp = −= −= −= −

y

0IS

0

40.506y 45.282

•••• 2E

Bir dengeden bir başka dengeye

almış olduk. Bu sürece bir de dinamik

dönemde para arzı artışı faiz oranının

düşmesine neden olur. Faiz oranındakidüşmesine neden olur. Faiz oranındaki

taraftan çarpan yoluyla yatırımları

sermaye çıkışı nedeniyle rezervleri

(LM eğrisi sola doğru kayar). E

hareket nasıl bir seyir izleyecektir?

çizilmiştir. Bu yolu belirleyen, paraçizilmiştir. Bu yolu belirleyen, para

dengesi açığına ne ölçüde duyarlı

politikasının yapısıdır. Ekonominin

yukarıdaki işleyişi etkilemez.

307307

geçişi durağan bir çerçevede ele

dinamik bir çerçevede bakalım. Kısa

oranının E2 noktasına (10.253 düzeyine)

oranındaki bu düşüş, eşanlı olarak biroranındaki bu düşüş, eşanlı olarak bir

yatırımları artırır, diğer yandan yurtdışına

ve dolayısıyla da para arzını azaltır

E2’den E1’e doğru gerçekleşen bu

izleyecektir? Şekil 4.44’de bir örnek yol

para arzındaki değişimin ödemelerpara arzındaki değişimin ödemeler

olduğu ve uygulanan sterilizasyon

tam sermaye akışına sahip olması

Bu örneklerden hareketle Mundell-

edebiliriz:

SabitSabit dövizdöviz kurukuru rejimirejimi altındaaltında genişleyicigenişleyici

gelirigeliri artırırartırır;; ancakancak parapara politikasıpolitikası etkisizdiretkisizdirgelirigeliri artırırartırır;; ancakancak parapara politikasıpolitikası etkisizdiretkisizdir

Bu değişim sürecinde para piyasaları,

bir ayarlanma yapmaktadır. Gelirin

uyarlanmaya göre düşüktür. Örneğin

girişi nedeniyle oluşan fazla, para

düşürecek, yurtiçi özel yatırımlar

doğru kayacaktır. Diğer yandan uluslararası

bir şekilde döviz kurunun yükselmesine

değişim de, dış ticaret dengesini etkileyerek

değiştirir.

308308

-Fleming’in önermesini şöyle ifade

genişleyicigenişleyici kamukamu harcamaharcama politikasıpolitikası millimilli

etkisizdiretkisizdir..etkisizdiretkisizdir..

piyasaları, mal piyasalarına göre çok hızlı

Gelirin uyarlanma hızı, faiz oranı yoluyla

Örneğin ödemeler dengesinde sermaye

para arzını artırarak faiz oranlarını

artacaktır. Yani IS eğrisi sağ yöne

uluslararası rezervlerdeki artış, hızlı

yükselmesine yol açar. Döviz kurundaki

etkileyerek mal piyasası dengesini

YurtdışıYurtdışı FaizFaiz OranlarındaOranlarında ArtışArtış

Yurtdışı faiz oranlarındaki artışın

açık ekonomi için tanımladığımız

alalım.alalım.

(((( ))))bp f g Rr r y

v v

0* + ++ ++ ++ +

= − += − += − += − +

r* ’daki bir artış, BP eğrisini sol-üste

Örneğin yurtdışı faiz oranı başlangıçta

olsun. BP eğrisi, BP0 konomundan,

ekonomide sterilizasyon politikası

uygulanıyorsa, yurtdışına sermaye

daralacaktır (LM eğrisi LM0’dan LM1

309309

etkilerini değerlendirebilmek için,

tanımladığımız BP denklemini yeniden dikkate

bp f g R mr r y

v v

= − += − += − += − +

üste doğru kaydıracaktır (Şekil 4.45).

başlangıçta %15 iken, %18’e yükselmiş

konomundan, BP1 konumuna geçecektir. Eğer

yoksa ve sabit döviz kuru rejimi

sermaye çıkışı oluşacak, para arzı

1’e kayacaktır).

Şekil Şekil 4.45. Yurtdışı Faiz Oranı Artışının Etkileri:4.45. Yurtdışı Faiz Oranı Artışının Etkileri:

Sterilizasyon Politikası Yok ve Sabit Döviz Kuru Rejimi VarSterilizasyon Politikası Yok ve Sabit Döviz Kuru Rejimi Var

r LMr

E0

14.253r ====

LM

••••

E1

••••r0

16.137′′′′ ====

••••B

T1T

2

0 0

40.506y34.925

310310

4.45. Yurtdışı Faiz Oranı Artışının Etkileri:4.45. Yurtdışı Faiz Oranı Artışının Etkileri:

Sterilizasyon Politikası Yok ve Sabit Döviz Kuru Rejimi VarSterilizasyon Politikası Yok ve Sabit Döviz Kuru Rejimi Var

1LM

BP r*( 18)====

0LM

BP r*

0( 15)====

E0

1LM

••••

BP r*

1( 18)====

bp 3= −= −= −= −

T1

y

0IS

0

40.506y

Bu gelişmeler sonucunda ekonominin

oluşmuştur. Eğer para piyasaları

uyumlanmaya girerse, E1 dengesine

lanma süreci daha ağır çalışırsa, örneğinlanma süreci daha ağır çalışırsa, örneğin

Yurtdışı faiz oranındaki artış, BP0

eşittir (∆r*=3). Dikkat edilirse, yurtiçi

(∆r=1.884). Çünkü gelir düzeyindeki

dış ticaret artacak, dolayısıyla ödemeler

kaçışından daha düşük gerçekleşecektirkaçışından daha düşük gerçekleşecektir

oranındaki yükselme daha düşük

sermaye hareketliliğinin tam olması

yurtdışı faiz oranları kadar yükselecektir

311311

ekonominin yeni dengesi E1 noktasında

bu gelişmeler karşısında hızlı bir

dengesine geliş T1 yoluyla olacaktır. Uyum-

örneğin T gibi bir yol izlenecektir.örneğin T2 gibi bir yol izlenecektir.

ile BP1 arasındaki dikey uzaklığa

yurtiçi faiz oranı bu ölçüde artmamıştır

azalma ithalatı azaltacağından, net

ödemeler dengesindeki açık, sermaye

gerçekleşecektir. Bunun sonucu olarak da faizgerçekleşecektir. Bunun sonucu olarak da faiz

düşük bir ölçüde oluşacaktır. Ancak

olması durumunda yurtiçi faiz oranları

yükselecektir.

EsnekEsnek DDöövviizz KuruKuru RejRejiimmiindende GenişleyiciGenişleyici

GenişleyiciGenişleyici MaliyeMaliye PolitikasıPolitikası

Yukarıda, Bretton Woods sisteminde

rejimi uygulamaları altında maliye

üzerindeki etkilerini inceledik. 1973

ekonomi esnek döviz kuru rejimlerine

lerdir. Burada yurtiçi ve yurtdışı fiyatların

esnek olduğu bir durum için maliye

Yani reel döviz kurundaki değişmeleri

değişmelerine bırakmaktayız. Bir maliye

da döviz ve para piyasalarının, döviz

uyumlanma süreci içinde olacağını varsayıyoruz

312312

GenişleyiciGenişleyici MaliyeMaliye veve ParaPara PolitikalarıPolitikaları

sisteminde olduğu gibi, sabit döviz kuru

maliye ve para politikalarının ekonomi

1973 yılından sonra çoğu gelişmiş

rejimlerine doğru bir geçiş gerçekleştirmiş-

fiyatların sabit, döviz kurununu da

maliye politikasının etkilerine bakacağız.

değişmeleri tamamıyle spot döviz kuru

maliye politikası değişikliği karşısın-

döviz kuru ve faiz oranı yoluyla hızlı bir

varsayıyoruz.

Şimdi bir örnek yardımıyla kamu harcamalarındaki

döviz kuru sisteminde yol açacağı

değerler aşağıda verilmiştir. Buna

Kamu harcamalarının 10 birim artırıldığını

‘dan IS1’e kayacaktır. Kamu harcama

talebini yükseltecek, faiz oranları

ödemeler dengesinde bir fazla meydana

kurunun değerlenmesine (spot dövizkurunun değerlenmesine (spot döviz

olarak, BP eğrisini sol-üste ve IS eğrisini

nihai denge E2’de oluşacaktır.

313313

harcamalarındaki bir artışın, esnek

açacağı olası etkileri görelim. Sayısal

Buna ilişkin grafik de Şekil 4.46’dır.

artırıldığını varsayalım. IS eğrisi, IS0

harcama artışı ile oluşan gelir artışı para

artacak, sermaye girişi nedeniyle

meydana gelecektir. Bu fazla döviz

döviz kurunun düşmesine) nedendöviz kurunun düşmesine) neden

eğrisini sol-alta (IS2’ye) kaydıracak,

S S

IS r y

IS r y

0 1

0

1

1.764 1.547

: 27.924 0.3375

: 32.924 0.3375

= → == → == → == → =

= −= −= −= −

= −= −= −= −

IS r y

LM r y

BP r y

BP r y

y r

2

0

0

1

: 32.165 0.3375

: 6 0.5

: 6.152 0.2

: 7.671 0.2

40.506 , 14.253

= −= −= −= −

= − += − += − += − +

= += += += +

= += += += +

= == == == =y r

y r bp

y r

0 0

1 1 1

2 2

40.506 , 14.253

46.476 , 17.238 , 1.791

45.57 , 16.785

= == == == =

= = == = == = == = =

= == == == =

314314

1.764 1.547

y r bp46.476 , 17.238 , 1.791= = == = == = == = =

Şekil Şekil 4.46. Kamu Harcama Artışının Etkileri:4.46. Kamu Harcama Artışının Etkileri:

Esnek Döviz Kuru Rejimi ve Kısmi Sermaye HareketliliğiEsnek Döviz Kuru Rejimi ve Kısmi Sermaye Hareketliliği

rbp = −= −= −= −

E0

014.253r ====

r1

17.238====

bp = −= −= −= −

B

••••

r2

16.785====

0 y0

40.506

••••

315315

4.46. Kamu Harcama Artışının Etkileri:4.46. Kamu Harcama Artışının Etkileri:


3= −= −= −= −0

LM

BP0

BP1

3= −= −= −= −

IS1

BP2••••

E1

••••E

2

y

0IS

40.506

IS2

IS1

y2

45.57y

1

46.476

Sermaye hareketliliğinin tam olduğu

miştir. Genel işleyiş itibariyle aynı

gelir artışı bakımından farklıdır.

Buradan şu iki sonucu çıkarabiliriz:Buradan şu iki sonucu çıkarabiliriz:

SonuçSonuç 11:: KısmiKısmi sermayesermaye hareketliliğininhareketliliğinin

sistemisistemi içerisindeiçerisinde kamukamu harcamaharcama artışıartışı

tamtam sermayesermaye hareketliliğihareketliliği durumundadurumunda

yaratmamaktadıryaratmamaktadır..

SonuçSonuç 22:: KısmiKısmi sermayesermaye hareketliliğihareketliliği

larınınlarının herher ikisindeikisinde dede kamukamu harcamaharcama

anidenaniden sıçramasıçrama yapmasınayapmasına nedenneden olurolur

316316

olduğu durum da Şekil 4.47’de gösteril-

olan iki durum, nihai sonucu, yani

hareketliliğininhareketliliğinin bulunduğubulunduğu birbir esnekesnek dövizdöviz kurukuru

artışıartışı gelirigeliri artırmakta,artırmakta, bunabuna karşınkarşın

durumundadurumunda gelirgelir düzeyidüzeyi üzerindeüzerinde hiçhiç birbir etkietki

veve tamtam sermayesermaye hareketliliğihareketliliği durumdurum--

harcamaharcama artışı,artışı, faizfaiz oranıoranı veve dövizdöviz kurununkurunun

olurolur..

Şekil Şekil 4.47. Kamu Harcama Artışının Etkileri:4.47. Kamu Harcama Artışının Etkileri:

Esnek Döviz Kuru Rejimi ve Tam Sermaye HareketliliğiEsnek Döviz Kuru Rejimi ve Tam Sermaye Hareketliliği

r

E0

r r*====

r1

••••

0

••••

317317

4.47. Kamu Harcama Artışının Etkileri:4.47. Kamu Harcama Artışının Etkileri:


0LM

BP0

BP1••••

E1

y

0IS

IS1

GenişleyiciGenişleyici ParaPara PolitikasıPolitikası

Şimdi de para arzı artışının etkilerine

eğrisini LM0’dan LM1’e kaydırır (Şekil

faiz oranları azaldığı için sermayefaiz oranları azaldığı için sermaye

dengesi açığı verir. Esnek döviz kuru

anında yükselir (ulusal paranın

düşer). BP eğrisi BP0’dan BP1’e düşer

kuru değerinin düşmesi net ihracatı

doğru kayar. Gelir düzeyinin artışı,doğru kayar. Gelir düzeyinin artışı,

yurtiçi faiz oranı artar. Net ihracatla

olmaması nedeniyle, faiz oranındaki

kadar olmadığından, faiz oranı başlangıç

318318

etkilerine bakalım. Para arzındaki artış LM

(Şekil 4.48). Para arzı artışı sonrasında

sermaye çıkışı olur ve ekonomi ödemelersermaye çıkışı olur ve ekonomi ödemeler

kuru rejimi nedeniyle spot döviz kuru

yabancı para karşısındaki değeri

düşer (yeni denge noktası E1’dir). Döviz

ihracatı artırır, yani IS eğrisi sağ-üste

artışı, para talebini yükselteceğinden,artışı, para talebini yükselteceğinden,

ihracatla gelirinin sermaye kaçışı kadar

oranındaki bu artış başlangıçtaki düşüş

başlangıç düzeyinin altında kalır.



r

014.253r ====

r1

12.641====

r2

16.785====

E0••••

••••E

0 y0

40.506y

1

45.282

B••••

319319



0LM

BP

LM1

BP1

BP0

bp 2.567= −= −= −= −

BP2

E2

••••E

1

y

0IS

IS1

y2

46.582



r

r r*====E

0••••

••••

0

••••

••••B

320320



0LM

BP0

BP1

••••

E1

E2

••••

LM1

y

0IS

IS1

••••

Tam sermaye hareketliliği durumunda

olarak yurtdışı faiz oranlarıyla aynı

Her iki durumda da ekonominin hangi

ulaşacağı, para piyasası, döviz piyasasıulaşacağı, para piyasası, döviz piyasası

hızlarına bağlıdır. Para piyasaları, mal

etmektedir. Bir parasal genişleme

bunun ardından yine hızlıca spot

Dolayısıyla kısa dönemdeki bu hızlı

denge noktasına sürüklemektedir. Dahadenge noktasına sürüklemektedir. Daha

piyasası ise, uzun dönemde hem faiz

değişimlerinin etkisiyle değişerek

düzeyi yükselecek) para piyasasını

321321

durumunda ise yurtiçi faiz oranları nihai

düzeyde kalır.

hangi yolu izleyerek yeni dengeye

piyasası ve mal piyasası uyumlanmapiyasası ve mal piyasası uyumlanma

mal piyasalarına göre hızlı hareket

hızlıca faiz hadlerini düşürmekte,

spot döviz kurları yükselmektedir.

hızlı uyarlanma süreci ekonomiyi E1

Daha ağır uyumlanma yaşayan malDaha ağır uyumlanma yaşayan mal

faiz oranı hem de spot döviz kuru

(IS eğrisi sağ-üste kayacak, gelir

ve döviz piyasasını etkileyecektir.

Buradan şu iki sonucu çıkarabiliriz:

SonuçSonuç 11:: EsnekEsnek dövizdöviz kurukuru rejiminderejiminde

artırmaartırma gücünegücüne sahiptirsahiptir.. SermayeSermaye hareketliliğihareketliliği

dede oo ölçüdeölçüde güçlügüçlü olurolur..

SonuçSonuç 22:: EsnekEsnek dövizdöviz kurukuru rejiminderejiminde

oranıoranı hemhem dede spotspot dövizdöviz kurunukurunu anidenaniden

kadarkadar kısıtlıysa,kısıtlıysa, bubu yükselmeyükselme dede oo ölçüdeölçüde

322322

rejiminderejiminde genişleyicigenişleyici parapara politikasıpolitikası gelirigeliri

hareketliliğihareketliliği nene kadarkadar serbestse,serbestse, bubu etkietki

rejiminderejiminde parasalparasal genişlemegenişleme hemhem yurtiçiyurtiçi faizfaiz

anidenaniden yükseltiryükseltir.. SermeyeSermeye hareketliliğihareketliliği nene

ölçüdeölçüde fazlafazla olurolur..

YurtdışıYurtdışı FaizFaiz OranlarındaOranlarında ArtışArtış

r* ’daki bir artış, BP eğrisini sol-üste

BP eğrisi, BP0 konomundan, BP1 konumuna

oranındaki artış sermaye kaçışınaoranındaki artış sermaye kaçışına

açığı yaratarak), spot döviz kurunun

mesine neden olur. Net ihracat artar

sağ-üst yöne doğru kayar. Gelir

yükselteceğinden, yurtiçi faiz oranı

(ödemeler dengesi açığı azalır). Bu(ödemeler dengesi açığı azalır). Bu

noktasında oluşur. Bu gelişme sürecinde

spot döviz kurunda ani bir yükselme

323323

üste doğru kaydıracaktır (Şekil 4.50).

konumuna geçecektir. Yurtdışı faiz

kaçışına neden olarak (ödemeler dengesikaçışına neden olarak (ödemeler dengesi

kurunun ve rakabet edebilirliğin yüksel-

artar (gelir düzeyi yükselir), IS eğrisi

Gelir artışı para talebini ve ithalatı

oranı artar, yurtiçine sermaye girişi olur

Bu gelişmelerin sonucunda dengeBu gelişmelerin sonucunda denge E1

sürecinde ekonomi, ne faiz oranı ne de

yükselme yaşamamıştır.

Şekil Şekil 4.50. Yurtdışı Faiz Oranı Artışının Etkileri:4.50. Yurtdışı Faiz Oranı Artışının Etkileri:

Esnek Döviz Kuru Rejimi VarEsnek Döviz Kuru Rejimi Var

rr

E0

E

••••

0

E0

324324

4.50. Yurtdışı Faiz Oranı Artışının Etkileri:4.50. Yurtdışı Faiz Oranı Artışının Etkileri:

Esnek Döviz Kuru Rejimi VarEsnek Döviz Kuru Rejimi Var

LM0

LM

BP0

BP1

IS

BP2

E1

••••

y

0IS

IS1

EsnekEsnek DövizDöviz KuruKuru RejimiRejimi veve SabitSabit

DinamikleriDinamikleri

Şu ana kadar dinamik analize hemen

politikalarının açık ekonomi üzerinepolitikalarının açık ekonomi üzerine

durağanlık) çerçevede baktık. Şimdi

nasıl bir seyir yarattıklarını görelim

ekonomiyi temsil edecek olan dinamik

(((( ))))y e y= α − α >= α − α >= α − α >= α − α >�Mal Piyasası: (((( ))))

((((

(((( )))) , 0

d s

y e y

r m m

S bp

= α − α >= α − α >= α − α >= α − α >

= β − β >= β − β >= β − β >= β − β >

= γ γ >= γ γ >= γ γ >= γ γ >

�

�

�

Mal Piyasası:

Para Piyasası:

Döviz Piyasası:

325325

SabitSabit FiyatlarFiyatlar AltındaAltında AçıkAçık EkonomininEkonominin

hemen hiç girmedik. Maliye ya da para

üzerine etkilerine statik (karşılaştırmalıüzerine etkilerine statik (karşılaştırmalı

Şimdi bu etkilerin zaman içerisinde

görelim. Bu amaçla, ilk olarak, aşağıda

dinamik modeli tanımlayalım.

, 0y e y= α − α >= α − α >= α − α >= α − α >

))))

, 0

, 0

, 0

d s

y e y

r m m

= α − α >= α − α >= α − α >= α − α >

= β − β >= β − β >= β − β >= β − β >

= γ γ >= γ γ >= γ γ >= γ γ >

Basitlik sağlamak amacıyla, şu ek varsayımı

* 1P P= == == == =

Bu durumda R=S olur. Şimdi modelin

varsayımı da dikkate alarak yenidenvarsayımı da dikkate alarak yeniden

gösteren dinamik denklemdeki yerine

(((( )))) [[[[

(((( ))))

0(1 )e a nx b t j m y hr f g S

y e y

= + + − + − − + += + + − + − − + += + + − + − − + += + + − + − − + +

= α −= α −= α −= α −�

(((( )))) [[[[((((

(((( )))) [[[[

0

0

(1 )

(1 ) 1

y a nx b t j m y hr f g S y

y a nx b t j m y hr f g S

= α + + − + − − + + −= α + + − + − − + + −= α + + − + − − + + −= α + + − + − − + + −

= α + + α − + − − − α + α += α + + α − + − − − α + α += α + + α − + − − − α + α += α + + α − + − − − α + α +

�

�

326326

varsayımı da koyalım:

modelin harcama denklemini, bu

yeniden yazalım ve mal piyasasınıyeniden yazalım ve mal piyasasını

yerine koyalım.

]]]] (((( ))))e a nx b t j m y hr f g S= + + − + − − + += + + − + − − + += + + − + − − + += + + − + − − + +

]]]] (((( )))) ))))

]]]] (((( ))))(1 ) 1

y a nx b t j m y hr f g S y


= α + + − + − − + + −= α + + − + − − + + −= α + + − + − − + + −= α + + − + − − + + −

= α + + α − + − − − α + α += α + + α − + − − − α + α += α + + α − + − − − α + α += α + + α − + − − − α + α +

(((( ))))

(((( ))))

d sr m m= β −= β −= β −= β −�

Benzer biçimde para piyasası dinamiklerini

elde edelim.

(((( ))))r ky ur m r m ky ur0 0

= β − − → = −β + β − β= β − − → = −β + β − β= β − − → = −β + β − β= β − − → = −β + β − β� �

Son olarak da döviz piyasası dinamiklerini

(((( )))) (((( ))))S bp bp f g S my v r r0

= γ = γ + + − + −= γ = γ + + − + −= γ = γ + + − + −= γ = γ + + − + − �

(((( ))))S bp vr my vr f g S*0

= γ − − γ + γ + γ += γ − − γ + γ + γ += γ − − γ + γ + γ += γ − − γ + γ + γ +�

327327

dinamiklerini tanımlayan denklemi de

r ky ur m r m ky ur0 0

= β − − → = −β + β − β= β − − → = −β + β − β= β − − → = −β + β − β= β − − → = −β + β − β� �

dinamiklerini tanımlayalım.

(((( ))))S bp bp f g S my v r r* = γ = γ + + − + −= γ = γ + + − + −= γ = γ + + − + −= γ = γ + + − + −

(((( ))))S bp vr my vr f g S= γ − − γ + γ + γ += γ − − γ + γ + γ += γ − − γ + γ + γ += γ − − γ + γ + γ +

(((( )))) [[[[y a nx b t j m y hr f g S0

(1 ) 1= α + + α − + − − − α + α += α + + α − + − − − α + α += α + + α − + − − − α + α += α + + α − + − − − α + α +�

Yukarıda ayrı ayrı tanımladığımız

yazalım.

(((( ))))

r m ky ur

S bp vr my vr f g S

0

*0

= −β + β − β= −β + β − β= −β + β − β= −β + β − β

= γ − − γ + γ + γ += γ − − γ + γ + γ += γ − − γ + γ + γ += γ − − γ + γ + γ +

�

�

İlk denklem mal piyasası (IS), ikinci

üçüncü denklem de ödemeler dengesiüçüncü denklem de ödemeler dengesi

maktadır. Şimdi grafiksel olarak bu

Aşağıda Şekil 4.51, 4.52 ve 4.53, sırasıyla

leri göstermektedir.

328328

]]]] (((( ))))y a nx b t j m y hr f g S(1 ) 1= α + + α − + − − − α + α += α + + α − + − − − α + α += α + + α − + − − − α + α += α + + α − + − − − α + α +

piyasa dinamiklerini, toplu olarak

(((( ))))S bp vr my vr f g S= γ − − γ + γ + γ += γ − − γ + γ + γ += γ − − γ + γ + γ += γ − − γ + γ + γ +

ikinci denklem para piyasası (LM) ve

dengesi (BP) dinamiklerini tanımla-dengesi (BP) dinamiklerini tanımla-

bu dinamikleri oklarla gösterelim.

sırasıyla IS, LM ve BP için dinamik-

İlk olarak Şekil 4.51’e bakalım. Negatif

IS eğrisi üzerindeki noktalar, tüm

bileşimlerinde mal piyasasının uzun

tanımlar. IS denklemini şöyle türetiriz

(((( )))) [[[[

(((( )))) (((( )))) [[[[


a nx f g S b t j mr y

h h

0

0

0 0 (1 ) 1

1 (1 )

= → = α + + α − + − − − α + α += → = α + + α − + − − − α + α += → = α + + α − + − − − α + α += → = α + + α − + − − − α + α +

+ + ++ + ++ + ++ + + − − − +− − − +− − − +− − − += −= −= −= −

�

tanımlar. IS denklemini şöyle türetiriz

IS denklemini türetirken, spot döviz

mıza dikkat edelim.

329329

Negatif eğimli olan eğri, IS eğrisidir.

tüm veri faiz oranı ve gelir düzeyi

uzun dönemde dengede olmasını

türetiriz:

]]]] (((( ))))

]]]]


b t j mr y

h h

0 0 (1 ) 1

1 (1 )

= → = α + + α − + − − − α + α += → = α + + α − + − − − α + α += → = α + + α − + − − − α + α += → = α + + α − + − − − α + α +

− − − +− − − +− − − +− − − +

türetiriz:

IS

döviz kurunu (S) sabit olarak aldığı-

IS eğrisi boyunca mal piyasası dengede

değişime uğramaz. Ancak eğrinin sol

piyasası dengesi bozulduğundan, gelir

ğını belirleyelim. Örneğin IS eğrisininğını belirleyelim. Örneğin IS eğrisinin

(((( )))) (((( ))))

(((( )))) [[[[

a nx f g Sr y

h h

a nx b t j m y hr f g S

y

0

0(1 ) 1 0

0

+ + ++ + ++ + ++ + +> −> −> −> −

+ + − + − − − + + <+ + − + − − − + + <+ + − + − − − + + <+ + − + − − − + + <

<<<<�y 0<<<<�

Yani IS eğrisinin sağ-üst kısmında

cektir. Bu azalmayı göstermek için

Eğrinin sol-alt kısmı için de bunun

330330

dengede olduğundan, gelir düzeyi hiç

sol-alt ve sağ-üst kısımlarında mal

gelir değişir. Değişimin nasıl olaca-

eğrisinin sağ üst bölgesi için;eğrisinin sağ üst bölgesi için;

[[[[ ]]]]

]]]] (((( ))))

b t j mr y

h h

a nx b t j m y hr f g S

1 (1 )

(1 ) 1 0

− − − +− − − +− − − +− − − +> −> −> −> −

+ + − + − − − + + <+ + − + − − − + + <+ + − + − − − + + <+ + − + − − − + + <

gelir azalan bir davranış göstere-

için oklar sol yöne doğru çizilmiştir.

tersini söyleyebiliriz.

Şekil Şekil 4.51. Açık Ekonomide Mal Piyasası Dinamikleri4.51. Açık Ekonomide Mal Piyasası Dinamikleri

r

y 0>>>>�

0

331331

4.51. Açık Ekonomide Mal Piyasası Dinamikleri4.51. Açık Ekonomide Mal Piyasası Dinamikleri

y 0<<<<�

y

y IS0 ( )====�

r m ky ur0

0 0= → = −β + β − β= → = −β + β − β= → = −β + β − β= → = −β + β − β�

Benzer biçimde LM ve BP eğrileri

belirleyebiliriz.

m kr y

u u

0= − += − += − += − + LM

LM eğrisinin sol-üst bölgesi için:

m kr y m ky ur r0> − + → − + − < → <> − + → − + − < → <> − + → − + − < → <> − + → − + − < → <r y m ky ur r

u u

0

0> − + → − + − < → <> − + → − + − < → <> − + → − + − < → <> − + → − + − < → <

Bu bölgede oklar aşağı yönü (yani

mektedir (Şekil 4.52). LM eğrisinin

bunun tersi olacaktır.

r m ky ur= → = −β + β − β= → = −β + β − β= → = −β + β − β= → = −β + β − β

332332

eğrileri için de bu dinamik davranışları

r y m ky ur r0 0> − + → − + − < → <> − + → − + − < → <> − + → − + − < → <> − + → − + − < → <�r y m ky ur r0 0> − + → − + − < → <> − + → − + − < → <> − + → − + − < → <> − + → − + − < → <�

(yani faiz oranında azalmayı) göster-

eğrisinin sağ-alt bölgesi için davranış

Şekil Şekil 4.52. Açık Ekonomide Para Piyasası Dinamikleri4.52. Açık Ekonomide Para Piyasası Dinamikleri

r

r�

r�

0

333333

4.52. Açık Ekonomide Para Piyasası Dinamikleri4.52. Açık Ekonomide Para Piyasası Dinamikleri

r LM0 ( )====�

r 0>>>>�

r 0<<<<�

y

(((( ))))

(((( )))) (((( ))))

S bp vr my vr f g S

bp vr f g Sr y

v v

*0

*0

0 0= → = γ − − γ + γ + γ += → = γ − − γ + γ + γ += → = γ − − γ + γ + γ += → = γ − − γ + γ + γ +

− + +− + +− + +− + += − += − += − += − +

�

v v

Spot döviz kuru azalırsa (yerli

değerlenirse) BP eğrisi üste doğru

(((( ))))S bp vr my vr f g S

mr y

v v

= → = γ − − γ + γ + γ += → = γ − − γ + γ + γ += → = γ − − γ + γ + γ += → = γ − − γ + γ + γ +

= − += − += − += − +

334334

BPv v

(yerli para yabancı para karşısında

kayar (Şekil 4.53).

Şekil Şekil 4.53. Açık Ekonomide Döviz Piyasası Dinamikleri4.53. Açık Ekonomide Döviz Piyasası Dinamikleri

r

S 0<<<<�

S >>>>�

0

335335

4.53. Açık Ekonomide Döviz Piyasası Dinamikleri4.53. Açık Ekonomide Döviz Piyasası Dinamikleri

bp S azalıyor0 ( )>>>>

S BP0 ( )====�

bp S azalıyor0 ( )>>>>

bp S artıyor0 ( )<<<<S 0>>>>�

y

Ekonominin kısa ve uzun dönemlerde

görmek için, mal piyasası, para piyasası

lerini tanımlayan denklemleri eşanlı

gerekir. Şimdi daha önce verdiğimizgerekir. Şimdi daha önce verdiğimiz

çözüm yapalım.

a m S f P P

b t h j g k u

q v R S x z cf IR

67.5 , 0.2 , 1.764 , 5 , 1 , 1

0.75 , 0.3 , 2 , 0 , 2 , 0.25 , 0.5

1 , 1 , , 0 , 24 , 20.5 , 3

= = = = = == = = = = == = = = = == = = = = =

= = = = = = == = = = = = == = = = = = == = = = = = =

= = = = = = == = = = = = == = = = = = == = = = = = =q v R S x z cf IR

CBC r

nx x z bp nx cf

0 0 0 0

*

0 0 0 0 0 0

1 , 1 , , 0 , 24 , 20.5 , 3

0 , 15 , 0 , 0, 0.05 , 0.8 , 0.0001

24 , 3.5

= = = = = = == = = = = = == = = = = = == = = = = = =

= = µ = λ = α = β = γ == = µ = λ = α = β = γ == = µ = λ = α = β = γ == = µ = λ = α = β = γ =

= − = − = + = −= − = − = + = −= − = − = + = −= − = − = + = −

336336

dönemlerde nasıl bir seyir izleyeceğini

piyasası ve döviz piyasası dinamik-

eşanlı olarak y, r ve S için çözmemiz

verdiğimiz sayısal örneği dikkate alarakverdiğimiz sayısal örneği dikkate alarak

a m S f P P

b t h j g k u

q v R S x z cf IR

*67.5 , 0.2 , 1.764 , 5 , 1 , 1

0.75 , 0.3 , 2 , 0 , 2 , 0.25 , 0.5

1 , 1 , , 0 , 24 , 20.5 , 3

= = = = = == = = = = == = = = = == = = = = =

= = = = = = == = = = = = == = = = = = == = = = = = =

= = = = = = == = = = = = == = = = = = == = = = = = =q v R S x z cf IR

nx x z bp nx cf

0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

1 , 1 , , 0 , 24 , 20.5 , 3

0 , 15 , 0 , 0, 0.05 , 0.8 , 0.0001

24 , 3.5

= = = = = = == = = = = = == = = = = = == = = = = = =

= = µ = λ = α = β = γ == = µ = λ = α = β = γ == = µ = λ = α = β = γ == = µ = λ = α = β = γ =

= − = − = + = −= − = − = + = −= − = − = + = −= − = − = + = −

İlk olarak veri koşullar altında

değerlerini (durağan-durum değerlerini)

0 0 2.175 0.03375 0.1 0.35y y r S= → = − − += → = − − += → = − − += → = − − +�

* * *

0 0 2.175 0.03375 0.1 0.35

0 0 2.4 0.2 0.4

0 0 0.00185 0.00002 0.0001 0.0007

40.506 , 14.253 , 1.764

y y r S

r y r

S y r S

y r S

= → = − − += → = − − += → = − − += → = − − +

= → = − + −= → = − + −= → = − + −= → = − + −

= → = − − + += → = − − + += → = − − + += → = − − + +

= = == = == = == = =

�

�

�

337337

ekonominin uzun dönem denge

değerlerini) belirleyelim.

0 0 2.175 0.03375 0.1 0.35y y r S= → = − − += → = − − += → = − − += → = − − +

* * *

0 0 2.175 0.03375 0.1 0.35

0 0 2.4 0.2 0.4

0 0 0.00185 0.00002 0.0001 0.0007

40.506 , 14.253 , 1.764

y y r S

r y r

S y r S

y r S

= → = − − += → = − − += → = − − += → = − − +

= → = − + −= → = − + −= → = − + −= → = − + −

= → = − − + += → = − − + += → = − − + += → = − − + +

= = == = == = == = =

Şimdi de ekonominin kısa dönemde

Bunun için sistemi homojen diferansiyel

lım ve çözelim.

0.03375 0.1 0.35

0.2 0.4 0

0.00002 0.0001 0.0007

0.03375 0.1 0.35

y y r S

r y r S

S y r S

y y

= − − += − − += − − += − − +

= − += − += − += − +

= − + += − + += − + += − + +

− −− −− −− −

�

�

�

� 0.03375 0.1 0.35

0.2 0.4 0

0.00002 0.0001 0.0007

y y

r r

S S

− −− −− −− − = −= −= −= − −−−−

�

�

�

338338

dönemde nasıl bir izleyeceğini bulalım.

diferansiyel denklem olarak tanımlaya-

0.03375 0.1 0.35

0.00002 0.0001 0.0007

0.03375 0.1 0.35

y y r S

S y r S

y y

= − + += − + += − + += − + +

0.03375 0.1 0.35

0.2 0.4 0

0.00002 0.0001 0.0007

y y

r r

S S

r

A rI r

0.03375 0.1 0.35

0.2 0.4 0

0.00002 0.0001 0.0007

− − −− − −− − −− − −

− = − −− = − −− = − −− = − −

− −− −− −− −

[[[[ ]]]]

r

r r r

A r

r r

I

23

1 2 3-0.333 , -0.101 , 0.00082

v 0

0.43305 0.0332034 0.00002+ ++ ++ ++ +

= = == = == = == = =

− =− =− =− =

−−−−

0.03375 (-0.333) 0.1 0.35

0.2 0.4 (-0.333) 0

0.00002 0.0001 0.0007 (

− −− −− −− − −−−−

−−−−

− −− −− −− −

−−−−

339339

A rI r

r

0.03375 0.1 0.35

0.2 0.4 0

0.00002 0.0001 0.0007− −− −− −− −

-0.333 , -0.101 , 0.00082

0.43305 0.0332034 0.00002765 0====

0.03375 (-0.333) 0.1 0.35

0.2 0.4 (-0.333) 0

0.00002 0.0001 0.0007 (-0.333− −− −− −− −

v

v

v

11

12

13

0

0

) 0

====

1 1 11 2 3

1 1 11 2 3

1 1 11 2 3

0.29925 0.1 0.35 0

0.2 0.067 0 0

0.00002 0.0001 0.3337 0

v v v

v v v

v v v

− + =− + =− + =− + =

− + =− + =− + =− + =

− + + =− + + =− + + =− + + =

1 1 11 2 3

0.317 , 0.9484 , 0.00027v v v= − = − == − = − == − = − == − = − =

r1 için bulduğumuz birinci öz-vektörü,

üçüncü öz-vektörler içinde belirleriz

yazalım.

1 2 31 1 1

1 2 32 2 2

1 2 33 3 3

0.317 0.8314 0.8746

0.9484 , 0.5557 , 0.4364

0.00027 0.00038 0.2111

v v v

v v v

v v v

− −− −− −− − = − = − == − = − == − = − == − = − =

340340

1 1 11 2 3

0.00002 0.0001 0.3337 0v v v− + + =− + + =− + + =− + + =

0.317 , 0.9484 , 0.00027= − = − == − = − == − = − == − = − =

vektörü, benzer yöntemle ikinci ve

belirleriz. Şimdi üç vektörü de topluca

1 2 31 1 1

1 2 32 2 2

1 2 33 3 3

0.317 0.8314 0.8746

0.9484 , 0.5557 , 0.4364

0.00027 0.00038 0.2111

v v v

v v v

v v v

− −− −− −− − = − = − == − = − == − = − == − = − =

1 2

* 1 2 31 1 1

* 1 2 31 2 2 2 3 2

( )

( ) r t r t

y t y v v v

r t r A e v A e v A e v

= + + += + + += + + += + + +

Belirsiz çözüm şöyle olacaktır:

1 2 2 2 3 2

* 1 2 33 3 3

0.3331

( )

( ) 40.506 0.317

( ) 14.253 0

( ) 1.764

t

S t S v v v

y t

r t A e

S t

−−−−

−−−− = + −= + −= + −= + −

.9484 0.5557 0.4364

0.00027 0.00038 0.2111

+ − ++ − ++ − ++ − + ( ) 1.764S t 0.00027 0.00038 0.2111

341341

3

* 1 2 31 1 1

* 1 2 31 2 2 2 3 2

r t

y t y v v v

r t r A e v A e v A e v

= + + += + + += + + += + + +

1 2 2 2 3 2

* 1 2 33 3 3

S t S v v v

0.101 0.000382 3

0.8314 0.8746

.9484 0.5557 0.4364

0.00027 0.00038 0.2111

t tA e A e−−−−

−−−− + − ++ − ++ − ++ − + 0.00027 0.00038 0.2111

0.333 0.101 0.000381 2 3

0.333 0.101 0.00038

( ) 40.506 0.317 0.8314 0.8746

( ) 14.253 0.9484 0.5557 0.4364

t t t

t t t

y t A e A e A e

r t A e A e A e

− −− −− −− −

− −− −− −− −

= − − += − − += − − += − − +

= − − += − − += − − += − − +

Çözümleri ayrı ayrı yazalım.

0.333 0.101 0.000381 2 3

0.333 0.101 0.000381 2 3

( ) 14.253 0.9484 0.5557 0.4364

( ) 1.764 0.00027 0.00038 0.2111

t t t

t t t

r t A e A e A e

S t A e A e A e

− −− −− −− −

− −− −− −− −

= − − += − − += − − += − − +

= + + += + + += + + += + + +

Belirli çözümü elde etmek için,

gereksinimimiz var. Başlangıç değerlerinin

varsayalım.

(0) 45.57 , (0) 16.785 , (0) 1.547y r S= = == = == = == = =

342342

0.333 0.101 0.000381 2 3

0.333 0.101 0.00038

( ) 40.506 0.317 0.8314 0.8746

( ) 14.253 0.9484 0.5557 0.4364

t t t

t t t

y t A e A e A e

r t A e A e A e

− −− −− −− −

− −− −− −− −

= − − += − − += − − += − − +

= − − += − − += − − += − − +0.333 0.101 0.000381 2 3

0.333 0.101 0.000381 2 3

( ) 14.253 0.9484 0.5557 0.4364

( ) 1.764 0.00027 0.00038 0.2111

t t t

t t t

r t A e A e A e

S t A e A e A e

− −− −− −− −

− −− −− −− −

= − − += − − += − − += − − +

= + + += + + += + + += + + +

için, modelin başlangıç değerlerine

değerlerinin aşağıdaki gibi verildiğini

(0) 45.57 , (0) 16.785 , (0) 1.547y r S= = == = == = == = =

1 2 3

1 2 3

45.57 40.506 0.317 0.8314 0.8746

16.785 14.253 0.9484 0.5557 0.4364

A A A

A A A

= − − += − − += − − += − − +

= − − += − − += − − += − − +

1 2 3

1 2 3

1.547 1.764 0.00027 0.00038 0.2111

1.36 , 7.68 , 1.02

A A A

A A A

= + + += + + += + + += + + +

= = − = −= = − = −= = − = −= = − = −

343343

1 2 3

1 2 3

45.57 40.506 0.317 0.8314 0.8746

16.785 14.253 0.9484 0.5557 0.4364

A A A

A A A

= − − += − − += − − += − − +

= − − += − − += − − += − − +

1 2 31.547 1.764 0.00027 0.00038 0.2111

1.36 , 7.68 , 1.02

A A A= + + += + + += + + += + + +

= = − = −= = − = −= = − = −= = − = −

0.333 0.101 0.00038

0.333 0.101 0.00038

( ) 40.506 0.432 6.38 0.89

( ) 14.253 1.29 4.27 0.44

t t t

t t t

y t e e e

r t e e e

− −− −− −− −

− −− −− −− −

= − + −= − + −= − + −= − + −

= − + −= − + −= − + −= − + −

Buna göre belirli genel çözümler:

0.333 0.101 0.00038

0.333 0.101 0.00038

( ) 14.253 1.29 4.27 0.44

( ) 1.764 0.00036 0.00295 0.214

t t t

t t t

r t e e e

S t e e e

− −− −− −− −

− −− −− −− −

= − + −= − + −= − + −= − + −

= + + −= + + −= + + −= + + −

Ayrıca IS, LM ve BP eğrilerinin denklemlerini

y y r

r y r

S y r

0 0 2.175 0.03375 0.1 0.35(1.764)

0 0 2.4 0.2 0.4

0 0 0.00185 0.00002 0.0001 0.0007(1.764)

= → = − − += → = − − += → = − − += → = − − +

= → = − + −= → = − + −= → = − + −= → = − + −

= → = − − + += → = − − + += → = − − + += → = − − + +

�

�

�

344344

0.333 0.101 0.00038

0.333 0.101 0.00038

( ) 40.506 0.432 6.38 0.89

( ) 14.253 1.29 4.27 0.44

t t t

t t t

y t e e e

r t e e e

− −− −− −− −

− −− −− −− −

= − + −= − + −= − + −= − + −

= − + −= − + −= − + −= − + −0.333 0.101 0.00038

0.333 0.101 0.00038

( ) 14.253 1.29 4.27 0.44

( ) 1.764 0.00036 0.00295 0.214

t t t

t t t

r t e e e

S t e e e

− −− −− −− −

− −− −− −− −

= − + −= − + −= − + −= − + −

= + + −= + + −= + + −= + + −

denklemlerini de yazalım (S=1.764).

y y r

r y r

S y r

0 0 2.175 0.03375 0.1 0.35(1.764)

0 0 2.4 0.2 0.4

0 0 0.00185 0.00002 0.0001 0.0007(1.764)

= → = − − += → = − − += → = − − += → = − − +

= → = − − + += → = − − + += → = − − + += → = − − + +

25.000

30.000

Şekil Şekil 4.53. Açık Ekonomide 4.53. Açık Ekonomide

-5.000

0.000

5.000

10.000

15.000

20.000

0 5 10 15 20 25 30

-10.000

r y

r y

r y

27.924 0.3375

6 0.5

6.152 0.2

= −= −= −= −

= − += − += − += − +

= += += += +

IS

LM

BP

:

:

:

345345

LM

4.53. Açık Ekonomide 4.53. Açık Ekonomide Genel DengeGenel Denge

35 40 45 50 55 60

IS

BP

E0

••••

r y

r y

r y

27.924 0.3375

6 0.5

6.152 0.2

= −= −= −= −

= − += − += − += − +

= += += += +

dy )))) · 2008-07-31 · Eğer sistemdeki diferansiyel denklemlerde sistem homojendir. Bu anlamda...

Documents

Transcript of dy )))) · 2008-07-31 · Eğer sistemdeki diferansiyel denklemlerde sistem homojendir. Bu anlamda...