DUVAR KA˘GIDI GRUPLARI Bir düzlemi (odanın zeminini, voleybol ...
11
DUVAR KA ˘ GIDI GRUPLARI Fulya Ta¸ stan Bir d¨ uzlemi (odanın zeminini, voleybol sahasını) bir ¸ce¸ sit karoyla kaplayabilmek i¸cin birbirinden ba˘gımsız en azından iki y¨onde karoları ¨ otelemek gerekir elbette. Bunu yapmanın ilk aklınıza gelen yolu muh- temelen S ¸ekil 1’deki gibi olsa gerek. Oysa ne yazık ki ( ya da ne g¨ uzel ki) d¨ uzlemi b¨ oyle iki ¨otelemeyle kaplamanın tek bir yolu yoktur. Bu yazıda, duvar ka˘ gıdı grupları olarak bilinen, d¨ uzlem ¨ uzerindeki birbi- rinden ba˘ gımsız iki ¨ oteleme simetrisine (ve daha da fazlasına) sahip periyodikd¨o¸ semelerin simetri gruplarından bahsedece˘ giz. Simetrilere g¨ unl¨ uk hayatımızda, sanat tarihi boyunca antik mima- riden modern sanata kadar ve hatta do˘ gada sık¸ca rastlarız. Sezgisel olarak d¨ uzlem ¨ uzerindeki bir d¨ o¸ semenin simetrik oldu˘ gunu anlayabilsek bile, bunların simetrilerinin ger¸ cekte neler oldu˘ gunu s¨oyleyebilmek o ka- dar da kolay de˘ gildir. Bu d¨ o¸ semelerin matemati˘ gini anlayabilmek i¸ cin sahip oldukları simetrileri ¨ ol¸cecek bir y¨ ontem geli¸ stirilmelidir. Matema- tik dilinde, bir d¨o¸ seme ¨ uzerindeki simetriyi, d¨ o¸ semenin g¨ or¨ unt¨ us¨ u ko- runarak yapılan sabit hareket olarak tanımlayabiliriz. D¨ uzlem ¨ uzerinde d¨ ort¸ce¸ sit simetri bulunmaktadır: (1) ¨ Oteleme simetrisi: do˘grusal y¨ onde sabit bir mesafedeki hareket; (2) D¨ ond¨ urme simetrisi: belli bir merkez etrafında belli bir a¸cıyla d¨ ond¨ urme hareketi; (3) Yansıma simetrisi: belli bir do˘grultuda yerle¸ stirilen aynada yansı- ma hareketi (cismin aynanın di˘ger tarafında olu¸ san g¨ or¨ unt¨ us¨ u an- lamında); (4) Kayma-yansıma simetrisi: ¨once belli bir y¨onde ¨oteleyip daha sonra ¨oteleme y¨ on¨ une paralel do˘grultuda yansıma hareketi. D¨ uzlem ¨ uzerinde birbirinden ba˘gımsız iki ¨oteleme simetrisine (ve belki de birka¸ c ba¸ ska simetriye) sahip d¨ o¸ semelere duvar ka˘ gıdı d¨ o¸ semeleri demi¸ stik.Bird¨o¸ semenin simetrilerinin olu¸ sturdu˘ gu k¨ umeyi de o d¨ o¸ semenin simetri grubu olarak adlandırıyoruz. Bir k¨ umenin bir grup olabilmesi i¸cin¨ oncelikle ¨ uzerinde bir de i¸ slem olması gerekir. Buradaki i¸ slem, si- metrileri ardı ardına yapma i¸ slemi. Matematik¸cilerduvarka˘gıdıd¨o¸ semelerinin simetri gruplarına g¨ore sınıflandırıldı˘ gını bilirler. Dolayısıyla bu d¨ o¸ semeleri sınıflandırmamız 1
Transcript of DUVAR KA˘GIDI GRUPLARI Bir düzlemi (odanın zeminini, voleybol ...
DUVAR KAGIDI GRUPLARI
Fulya Tastan
Bir duzlemi (odanın zeminini, voleybol sahasını) bir cesit karoylakaplayabilmek icin birbirinden bagımsız en azından iki yonde karolarıotelemek gerekir elbette. Bunu yapmanın ilk aklınıza gelen yolu muh-temelen Sekil 1’deki gibi olsa gerek. Oysa ne yazık ki ( ya da ne guzelki) duzlemi boyle iki otelemeyle kaplamanın tek bir yolu yoktur. Buyazıda, duvar kagıdı grupları olarak bilinen, duzlem uzerindeki birbi-rinden bagımsız iki oteleme simetrisine (ve daha da fazlasına) sahipperiyodik dosemelerin simetri gruplarından bahsedecegiz.
Simetrilere gunluk hayatımızda, sanat tarihi boyunca antik mima-riden modern sanata kadar ve hatta dogada sıkca rastlarız. Sezgiselolarak duzlem uzerindeki bir dosemenin simetrik oldugunu anlayabilsekbile, bunların simetrilerinin gercekte neler oldugunu soyleyebilmek o ka-dar da kolay degildir. Bu dosemelerin matematigini anlayabilmek icinsahip oldukları simetrileri olcecek bir yontem gelistirilmelidir. Matema-tik dilinde, bir doseme uzerindeki simetriyi, dosemenin goruntusu ko-runarak yapılan sabit hareket olarak tanımlayabiliriz. Duzlem uzerindedort cesit simetri bulunmaktadır:
(1) Oteleme simetrisi: dogrusal yonde sabit bir mesafedeki hareket;(2) Dondurme simetrisi: belli bir merkez etrafında belli bir acıyla
dondurme hareketi;(3) Yansıma simetrisi: belli bir dogrultuda yerlestirilen aynada yansı-
ma hareketi (cismin aynanın diger tarafında olusan goruntusu an-lamında);
(4) Kayma-yansıma simetrisi: once belli bir yonde oteleyip dahasonra oteleme yonune paralel dogrultuda yansıma hareketi.
Duzlem uzerinde birbirinden bagımsız iki oteleme simetrisine (vebelki de birkac baska simetriye) sahip dosemelere duvar kagıdı dosemeleridemistik. Bir dosemenin simetrilerinin olusturdugu kumeyi de o dosemeninsimetri grubu olarak adlandırıyoruz. Bir kumenin bir grup olabilmesiicin oncelikle uzerinde bir de islem olması gerekir. Buradaki islem, si-metrileri ardı ardına yapma islemi.
Matematikciler duvar kagıdı dosemelerinin simetri gruplarına goresınıflandırıldıgını bilirler. Dolayısıyla bu dosemeleri sınıflandırmamız
1
2 Fulya Tastan
icin onların simetri gruplarını incelemek gerekir. Farklı simetri gru-buna sahip her doseme farklı duvar kagıdı grubu ile anılır. Duvar kagıdıdosemeleri dosemede bulunan en kucuk dondurme acısına gore sınıflan-dırılırlar. “Kristalografik kısıt” olarak adlandırılan bir ozellikten dolayıdosemelerde dondurme simetrilerindeki acılar yalnızca 60, 90, 120, 180derece olabilir ya da doseme herhangi bir dondurme simetrisine sa-hip degildir. Dosemelerin ınıflandırılmasındaki en ilginc noktaysa, budosemelere ait sadece ve sadece 17 farklı simetri grubunun mumkunolmasıdır. Bu 17 simetri grubuna duvar kagıdı grupları denir.
Duvar kagıdı dosemeleri dosemeyi olusturan temel bir bolgenin ote-lemelerle tekrar edilmesiyle olusturulur. Yani dikdortgen, kare, altıgenveya eskenar dortgen biciminde olabilen bu temel bolgeyi dosemenin ka-rosu olarak dusunebiliriz. Bu bolgeler duvar kagıdı gruplarının ınıflan-dırılmasında da etkin bir role sahiptir. Her bir duvar kagıdı grubu bellibir sembolle ifade edilir. Kristalografik gosterimde p sembolu dosemeyiolusturan temel bolgeyi, m sembolu yansıma simetrisini, g sembolu kayma-yansıma simetrisini, c sembolu herhangi bir yansıma dogrusu uzerindebulunmayan dondurme merkezinin varlıgını ifade eder.
17 duvar kagıdı grubunun gorsellerle ve kristalografik gosterimleriyleınıflandırılması soyledir:
Sekil 1. p1 - Yalnızca birbirinden bagımsız iki oteleme simetrisi
DUVAR KAGIDI GRUPLARI 3
Sekil 2. pm: Birbirlerine paralel dogrularda olan ikiyansıma simetrisi ve bagımsız iki oteleme
Sekil 3. pg: Iki adet paralel dogrultuda kayma-yansımasimetrisi ve bagımsız iki oteleme
4 Fulya Tastan
Sekil 4. cm: Bir yansıma simetrisi ile ona paralel olan birkayma-yansıma simetrisi ve bagımsız iki oteleme
Sekil 5. p2: Yalnızca 180 derecelik dondurme simetrisi vebagımsız iki oteleme
DUVAR KAGIDI GRUPLARI 5
Sekil 6. pmg: 180 derecelik bir dondurme simetrisininyanında birbirlerine dik dogrultuda bir yansıma ve birkayma-yansıma simetrisi ve iki bagımsız oteleme
Sekil 7. pgg: 180 derecelik dondurme simetrisininyanında birbirlerine dik dogrultularda iki kayma-yansımasimetrisi ve bagımsız iki oteleme
6 Fulya Tastan
Sekil 8. pmm: 180 derecelik dondurme simetrisininyanında birbirlerine dik dogrultularda iki yansıma simet-risi ve bagımsız iki oteleme
Sekil 9. cmm: 180 derecelik dondurme simetrisininyanında birbirlerine dik dogrultularda iki yansıma ve ikikayma-yansıma simetrisi ve bagımsız iki oteleme
DUVAR KAGIDI GRUPLARI 7
Sekil 10. p3: 120 derecelik dondurme simetrisi vebagımsız iki oteleme
Sekil 11. p3m1: 120 derecelik dondurme simetrisi ileeskenar ucgenin kenarları dogrultusunda yansıma simet-risi ve bagımsız iki oteleme
8 Fulya Tastan
Sekil 12. p31m: 120 derecelik dondurme simetrisiyanında dondurme merkezi yansıma dogruları uzerindeolmayan bir 120 derecelik dondurme simetrisi ile yineeskenar ucgenin kenarları dogrultusunda yansıma simet-risi ve bagımsız iki oteleme
Sekil 13. p4: 90 derecelik dondurme simetrisi ve bagımsıziki oteleme
DUVAR KAGIDI GRUPLARI 9
Sekil 14. p4g: 90 derecelik dondurme simetrisi yanındakarenin kenarları dogrultusunda yansıma simetrisi vebagımsız iki oteleme
Sekil 15. p4m: 90 derecelik dondurme simetrisi yanında45◦-45◦-90◦ ucgeninin kenarları dogrultusunda yansımasimetrisi ve bagımsız iki oteleme
10 Fulya Tastan
Sekil 16. p6: Yalnızca 60 derecelik dondurme simetrisi vebagımsız iki oteleme
Sekil 17. p6m: 60 derecelik dondurme simetrisi yanında30◦-60◦-90◦ ucgeninin kenarları dogrultusunda yansımasimetrisi ve bagımsız iki oteleme
DUVAR KAGIDI GRUPLARI 11
Simetrilerin ardındaki matematigi anlayabilmek, matematigin sanatve kultur tarihine yaptıgı katkının da anlasılmasını saglar. Endulus’tebulunan Elhamra Sarayı’nın duvarlarında duvar kagıdı motiflerinin herbir cesidini bulabilirsiniz. Elhamra’nın dosemelerinde, yasadıgımız sehirde,dogada, karmasık ve fakat simetrik guzellikleri cebir ve geometri arasındabaglantı kurarak anlayabilmek, matematigi bir butun olarak gormekacısından kucuk ama son derece onemli bir adım olacaktır. Etrafımızdakiguzellikler matematik dilinden de konusur.
Bogazici Universitesi, Matematik Bolumu
