Dựng thiết diện và vận dụng

8/3/2019 Dng thit din v vn dng

1/12


2/12


3/12


4/12


5/12


6/12


7/12

BI GIA PHONG Gio vin trng THPT TRNG VNH K.

Trang 7 http://giaphong.schools.officelive.com

300 M

A

CB

G

H

x

a

N

D

M

G

x

H

A

D

C

B

N

J

GH

K

NM

S

BA

C

D

I

IV/ QUAN H SONG SONG, QUAN H VUNG GC V TNH DIN TCH THIT DIN.Bi tp 1. Cho hnh t din ABCD c AD (ABC) , AD AC 4a= = , AB 3a= , BC 5a= . M l mtim ty trn cnh AB. t AM x= (0 x 3a)< < . Mt phng (P) i qua M %ng thi song songvi AD v BC. Tm x thit din to bi mp(P) v t din ABCD c din tch ln nht.Hng d!n gii:ABC vung ti A 2 2 2(BC AB AC )= + Gi s# (P) ct AC, CD, DB ln lt ti N, G, H.AD // (P) (ABD) (P) MH // AD = AD // (P) (ACD) (P) NG // AD = BC // (P) (BCD) (P) HG // BC = BC // (P) (ABC) (P) MN // BC = MH // AD v AD (ABC) MH (ABC) MH MN Thit din MNGH l hnh ch nht

5xMN

3= ;

4MH (3a x)

3=

2

MNGH

20x(3a x) 20 3a x x

S 9 9 2

+

=

2

MNGHmax S 5a= khi

3a

x 2= (M l trung im ca AB)Ch : Ta c th chng minh c tnh cht sau: Nu ct mt hnh t din b"ng mt mt phngsong song vi hai cnh &i din ca hnh t din th thit din l hnh bnh hnh.

Bi tp 2. Cho hnh t din ABCD vi ABC vung ti A, 0ABC 30= , BC a= . BD (ABC) vBD a= . M l mt im ty trn cnh BC. t BM x= (0 x a)< < . Mt phng (P) i qua M %ngthi song song vi AC v BD. Tm x thit din to bi mp(P) v t din ABCD c din tch lnnht.Hng d!n gii: Gi s# (P) ct AB, AD, DC ln lt ti N, G, H.AC // (P) (ABC) (P) MN // AC = AC // (P) (ACD) (P) GH // AC =

BD // (P)

(ABD) (P) GN // BD = BD // (P) (BCD) (P) HM // BD = GN // BD v BD (ABC) GN (ABC) GN MN Thit din MNGH l hnh ch nhtBCD vung cn ti BHMC vung cn ti M

HM MC a x= = . BMN vung ti B v 0NBM 30=

x

MN2

= 2

MNGH

(a x)x 1 a x xS HM.MN

2 2 2

+ = =

2

MNGH

amax S

8= khi

ax

2= (M l trung im ca BC)


8/12



/

/

/

G

EH/

MD

CB

A

S

x

J

I

KN

300

M

G

x

H

A

D

CBN

/

/

J

K

MI O

H

A

D

C

B

Bi tp 3. Cho hnh t din ABCD vi ABC vung ti a, 0ABC 30= , AB a= . BD (ABC) vBD a= . M l mt im ty trn cnh AB. t AM x= (0 x a)< < . Mt phng (P) i qua M vvung gc vi AB. Tm x thit din to bi mp(P) v t din ABCD c din tch ln nht.Hng d!n gii:AB (P) AB MN , AB MH MN // BD, MH // AC BD // (P) (BCD) (P) GH // BD =

AC // (P) (ACD) (P) NG // AC = MN // BD v BD (ABC) MN (ABC) MN MH Thit din MNGH l hnh ch nht

MN x= ,(a x) 3

MH3

=

2

MNGH

x(a x) 3 3 x a xS

3 3 2

+ =

2

MNGH

a 3max S

12= khi

ax

2= (M l trung im ca AB)

Bi tp 4. Cho hnh t chp S.ABCD vi ABCD l hnh vung cnh b"ng a, SCD vung cn ti Sv (SCD) (ABCD) . M l mt im ty trn cnh AD. t AM x= (0 x a)< < . Mt phng (P)i qua M v vung gc vi AD. Tnh theo a v x din tch thit din to bi mp(P) v t din ABCD.

Hng d!n gii:Gi H, E ln lt l trung im ca CD, AB.SH CD SH (ABCD) AD (SCD) v AD (P) (P) (SCD) (P) ct SA, SB, BC ln lt ti N, G, KMN // SD, GK // SC, NG //MK //AB.GK BK AM MN

SC BC AD SD= = = GK MN=

Thit din l hnh thang cn MNGK.SE ct NG ti I; HE ct MK ti JIJ // SH IJ (ABCD) IJ MK

MK a= , NG a x= , xIJ2

= MNGK 1 (2a x)xS (MK NG)IJ2 2= + = .

Bi tp 5. Cho hnh t din u ABCD c cnh b"ng a. H l trung im ca BC. M l mt im ty

trn on thng AH. t AM x= a 3

0 x2

<


9/12



/

/

N

J

G

K

M

I

O

H

A

D

C

B

a

O

G

H

K

D C

BA

S

x

a

a

ME

F

O

D C

BA

S

a

M

E

I

F

H

Trng hp a 3 a 3x3 2

< < :

(P) ct DC, DB, DH ln lt ti G, K, N.Thit din l hnh thang cn IJGK

(&i xng qua mp(DAH)) .2x 3

IJ3

=

KG DN OM

BC DH OH= =

( )KG 2 x 3 a=

MN HM

OD HO= ( )MN a 3 2x 2=

( ) ( ) ( )IJGK1 4x 3 3a 3 2

S (IJ KG)MN a 3 2x 2 4x a 3 2a 3 4x2 3 3 2

= + = =

2

IJGK

6 4x a 3 2a 3 4xS

6 2

+

2

IJGK

a 6maxS

8= khi

3a 3x

8= .

Kt lun: Thit din c din tch ln nht2

IJGK

a 6maxS

8= khi

3a 3x

8=

3AM AH

4

=

.

Bi tp 6. Cho hnh chp S.ABCD c ABCD l hnh vung cnh b"ng a. SA (ABCD) v SA a= .M l mt im ty trn on thng AH. t AM x= ( )0 x a 2< < . Mt phng (P) i qua M vvung gc vi AC. Tm x thit din to bi mp(P) v t din u ABCD c din tch ln nht.Hng d!n gii: {O} AC BD= .

Trng hpa 2

0 x2

< < :(P) ct AD, AB, SB, SC, SD

ln lt ti E, F, G, H, K. AC (P) AC EF , AC HM SA // HM SA // (P) SA // KE // GF HM (ABCD) HM EF Thit din l ng$ gic EFGHK &i xng qua (SAC).

Trong EMHK v FMHG l hai hnh thang vung&i xng qua HM.

EFGHK EMHK

KH HMS 2S 2 .EM

2

+ = =

EM AM x= = ; KE DE a x 2= =

HM CM

SA CA=

2a x 2HM

2

= ( )EFGHK

2a x 2 1S a x 2 .x 4a 3x 2 .x

2 2

= + =

( ) ( )2

EFGHK

2 2S 4a 3x 2 .3x 2 2a

12 12=

2

EFGHK

a 2maxS

3= khi

a 2x

3= .

Trng hp a 2 x 2 22 < :

Thit din l HEF. Gi I l trung im ca SC.OI // SA OI (ABCD) OI BD

2

HEF

1 1 a 2S EF.HM BD.OI

2 2 4= =

2

HEF

a 2maxS

4= khi

a 2x

2= (M O) .

Kt lun: Thit din c din tch ln nht2

EFGHK

a 2maxS

3= khi

a 2x

3=

1AM AC

3

=

.


10/12



OG

J

I

N

M

B'A'

D'

D

C'

C

BA

2a

a

G

H

N

M

D

CB

A

S

x

V/ DNG THIT DIN V TNH TH TCH.Bi tp 1. Cho hnh chp S.ABCD c ABCD l hnh ch nht AB a= , AD 2a= . SA (ABCD) vSA 3a= . M l mt im ty trn SA. t AM x= (0 x 3a)< < . Mt phng (P) i qua M v vunggc vi SA. Gi V l th tch kh&i tr' c chiu cao AM v y l thit din to bi (P) vi hnh chpS.ABCD. Tm x V ln nht.Hng d!n:SA (ABCD) v SA (P) (P) // (ABCD). (P) ct SB, SC, SD ln lt ti N, G, H.ABCD l hnh ch nht Thit din MNGH l hnh ch nht.MN MH SMAB AD SA

= = 3a xMN3

= ; 2(3a x)MH

3

=

22x(3a x)V MN.MH.MA

9

= = vi x (0; 3a)

22 2V ' (3a x) 2x(3a x) (3a x)(3a 3x)9 9

= =

V ' 0= x a (0; 3a)

x 3a (0; 3a)

=

=

a 3a0

8a3

9

0V '

V

x

38a

maxV9

= khi AM x a= = .

Bi tp 2. Cho hnh lp phng ABCD.ABCD c cnh b"ng a. Gi M l trung im ca BC v Ol tm ca hnh vung CDDC. Thit din to bi hnh lp phng ABCD.ABCD v (AMO)chia kh&i lp phng ABCD.ABCD thnh hai phn; tnh t( s& th tch ca hai phn y.Hng d!n gii:

AM ct CD ti I. OI ct CC ti N v ct DD ti G.Thit din l t gic AMNG.Gi J l hnh chiu vung gc ca O trn CD.

CI CD a= = ;CN IC a 2

OJ IJ 3a/2 3= = =

aCN

3= ;

2aDG 2CN

3= =

Th tch kh&i lp phng: 3V a= .Thit din AMNG chia kh&i lp phng thnhhai phn. Phn cha CD gi s# c th tch V1v phn cn li gi s# c th tch V2.

1 I.ADG I.MNCV V V= .3

I.ADG 2aV 9= ;

3

I.MCN aV 36= ;

3

1 7aV 36= 1

2

V 7V 29

= .

Bi tp 3. Cho hnh lp phng ABCD.ABCD c cnh b"ng a. Gi M, N ln lt l trung imca CD, BC.a) Tnh din tch thit din to bi hnh lp phng ABCD.ABCD v (AMN).b) Thit din to bi hnh lp phng ABCD.ABCD v (AMN) chia kh&i lp phng

ABCD.ABCD thnh hai phn; tnh t( s& th tch ca hai phn y.Hng d!n gii:


11/12



/

/M

A

A'

C

B

B'

C'// //N

I

_

\

\

/

//

H

G

J

I

N

M

B'A'

D'

D

C'

C

BA

J

M

N

I

_

_

_

/

// C'

A'B'

D'

a) MN ct AB ti I v ct AD ti J. AI ct BB ti H. AJ ct DD ti G. Thit din l ng$ gic

AHNMG.1 1

IB' A 'B' IA '2 3

= = ;1 1

JD ' A 'D ' JA '2 3

= = 1

HB' AA '3

= ;1

GD' AA '3

= .

a 13AI AJ

2= = ;

3a 2IJ

2= .

2 2

INH

AIJ

S IH IB' 1

S IA IA ' 9

= = =

2 2

AHNMG AIJ INH JMG AIJ INH AIJ AIJ AIJ

2 7 7 3a 17 7a 17S S (S S ) S 2S S S S

9 9 9 8 24= + = = = = = .

b) Th tch kh&i lp phng: 3V a= . Thit din AHNMG chia kh&i lp phng thnh hai phn. Phncha AB gi s# c th tch V1 v phn cn li gi s# c th tch V2.

1 I.AA 'J I.HB'N J.GD'M I.AA'J I.HB'N I.AA'J I.AA'J I.AA'J

1 25V V (V V ) V 2V V 2 V V

27 27= + = = =

3

1 I.AA 'J

25 25 1 1 25 1 1 3a 3a 25aV V A 'A.A ' I.A 'J a

27 27 3 2 27 3 2 2 2 72= = = =

3a

2

3

2

47aV

72= 1

2

V 25

V 47= .

Bi tp 4. Cho kh&i l)ng tr'ng ABC.ABC c M l trung im ca AB. Mt phng (MBC)

chia kh&i l)ng tr' ABC.ABC thnh hai phn. Tnh t( s& th tch ca hai phn .Hng d!n gii:(MBC) ct AC ti N. (ABC) // (ABC)(MBC) (A'B'C') MN // BC // B'C' = M l trung im ca AB N l trung im ca AC(MBC) chia kh&i l)ng tr' ABC.ABC thnh hai phn.Gi s# phn cha AA c th tch V1 v phn cn li c th tch V2.Gi {I} BM CN= I AA' IA ' IM IN MN 1

IA IB IC BC 2= = = =

1 A 'MNABC I.ABC I.A'MNV V V V= =

1 I.ABC I.ABC I.ABC ABC1 7 7 1V V V V S IA8 8 8 3

= = =

1 ABC ABC ABC.A 'B'C'

7 1 7 7V S 2AA ' S AA ' V

8 3 12 12= = =

2 ABC.A'B'C'

5V V

12= 1

2

V 7

V 5= .

Bi tp 5. Cho kh&i chp t gic u S.ABCD c cnh y b"ng a. Cc cnh bn to vi y mtgc 600. Gi M l trung im ca SC. Mt phng (P) i qua AM %ng thi song song vi BD chiakh&i chp S.ABCD thnh hai phn. Tnh t( s& th tch ca hai phn .Hng d!n:


12/12


600

aO

G

F

E

//

//

M

DC

BA

S

a

//

/

/

O

G

E

F

//

//

M

D C

BA

S

HJ

N

I

//

_

/

_

_

J

I

M

N

D C

BA

/ /I

/

E

//

//

S

R

G

CB

Gi O l tm hnh vung ABCDSO (ABCD)

SAC u c cnh AC a 2= .a 6

SO2

= 3

S.ABCD

a 6V

6=

(P) chia kh&i chp S.ABCD thnh hai phn. Gi s# phncha S c th tch V1 v phn cn li c th tch V2.

Cch 1:a 6

AM SO2

= = ;2 2

EF BD a 23 3

= =

2

AEMF1 1 a 6 2a 2 a 3S AM.EF2 2 2 3 3

= = =

2 3

1 AEMF

1 1 a 3 a 2 a 6V S .SM

3 3 3 2 18= = =

Cch 2: S.AMF S.AMF

S.ABCD S.ACD

V V 1 SM SF 1 1 1

V 2V 2 SC SD 2 3 6= = = =

Tng t: S.AME

S.ABCD

V 1

V 6= S.AEMF

S.ABCD

V 1

V 3= 1 S.ABCD

1V V

3= 2 S.ABCD

2V V

3= 1

2

V 1

V 2= .

Bi tp 6. Cho hnh chp t gic u S.ABCD. Gi M, N, G ln lt l trung im ca AB, AD, SC.

Chng minh r"ng mt phng (MNG) chia kh&i chp S.ABCD thnh hai phn c th tch b"ng nhau.Hng d!n:

MN ct BC ti I v ct CD ti J. IG ct SB E; JG ct SD ti F. Thit din l ng$ gic MNFGE.Mt phng (MNG) chia kh&i chp S.ABCD thnh hai phn. Gi s# phn cha (nh C c th tch V1v phn cn li c th tch V2. Gi V l th tch kh&i chp S.ABCD. 1 G.CIJ I.BME J.DNFV V V V= .

Trong SOC v GH // OC1

GH SO2

= v GH (ABCD) .1 1

BI BM BC IC2 3

= = = .

G.CIJ CIJ

1 1 1 1 1 3 3 1 9V S GH CI.CJ.GH BC CD SO V

3 3 2 3 2 2 2 2 16= = = = .

Gi R l trung im ca BCIE IB 1

IG IR 2= = I.BEM

I.CGJ

V IB IE IM 1 1 1 1

V IC IG IJ 3 2 3 18= = = .

I.BEM I.CGJ G.CIJ1 1 1 9 1

V V V V V18 18 18 16 32

= = = = . Tng t: J.DNF1

V V32

= .

1

9 1 1 1V V V V V

16 32 32 2= = 1 2V V= .

Dựng thiết diện và vận dụng

Documents

Transcript of Dựng thiết diện và vận dụng