Sistem SDOF dengan getaran bebas

a. TANPA REDAMAN

GETARAN BEBAS TANPA REDAMAN STRUKTUR HANYA MENGALAMI

GETARAN KARENA DIRINYA SENDIRI TANPA ADA BEBAN LUAR

TIDAK MENGALAMI EFEK REDAMAN

Penguraian Persamaan Umum Gerak Sistem Getaran Bebas tak teredam

Persamaan Umum ;

m.a + k.x = F(t)

Dimana persamaanya dibedakan menjadi 2 bagian :

1. Bagian Utama (Particular Solution) :

m.a + k.x

2. Bagian Pelengkap (Complementary)

F(t) = 0

Untuk penyelesaian dipilih bentuk x = E cos t

Sehingga :

dx/dt = - E sin t

dx2/dt2 = - 2E cos t

Jika dimasukkan ke persamaan menjadi : ma+kx=0

- m2E cos t + k E cos t = K cos t

- m2E + k E = K

E = K / (k - m2)

Maka Jawab Umum x = K cos t

K – m2

SOLUSI PERSAMAAN DIFERENSIAL GERAK

Sehingga Solusi persamaan gerak yang terjadi adalah :

x = A cos t + B sin t

x = -A sin t + Bcos t

dimana = √ k/m (frekwensi alami) Pada gerak ini : C = 0 karena tidak ada faktor peredam F(T) = 0 karena getarnya bebas

.

FREKWENSI ALAMI DAN PERIODE

Pada getaran bebas tak teredam frekwensi yg terjadi adalah frekwensi natural (alami) dimana :

= √ (k/m)

f = / 2 Kebalikan dari frekwensi natural adalah

Periode yg dinyatakan dalam detik/siklus

T = 1/f = 2

PERPINDAHAN YANG TERJADI

Y= C sin (t + ) atau

Y = C cos (t - ) Dimana : C ={ yo2 + (V0/)2}1/2

Tan = yo/ (vo/)Tan = vo/ yo

Sistem SDOF dengan getaran bebas

b. DENGAN REDAMAN

SISTEM GETARAN BEBAS DGN REDAMAN PADA STRUKTUR SINGLE DOF

Persamaan Umum ;

m.a + c.v +k.x = F(t)

Dimana persamaanya dibedakan menjadi 2 bagian :

1. Bagian Utama (Particular Solution) :

m.a + c.v + k.x

2. Bagian Pelengkap (Complementary)

F(t) = 0

Untuk penyelesaian dipilih bentuk Y = C ept

Sehingga : ma + cv +kx = 0

m Cp2 ept + c Cp ept +k C ept = 0

Dgn menghilangkan faktor yang sama akan muncul persamaan kareakteristik :

m p2 + c p + k = 0

Dan akar2 persamaan kuadratnya adalah :

p1,p2 = -c/2m + √ {(c/2m)2 – k/m}

Sehingga Solusi Umum persamaan Gerak yang terjadi

y(t) = C1 ep1t + C2 ep2t

Dimana :

C1 dan C2 adalah konstanta integrasi yang ditetapkan sebagai kondisi awal.

REDAMAN YANG TERJADI

REDAMAN SUB KRITIS REDAMAN KRITIS REDAMAN SUPERKRITIS

PENYELESAIAN PERSAMAAN

AKAR DARI PERSAMAAN KUADRAT

p1,p2 = -c/2m + √ (c/2m)2 – k/m

Sehingga Solusi Umum untuk persamaan tersebut adalah :

y(t) = C1ept + C2 ept

Dimana C1 dan C2 adalah konstanta integrasi

SISTEM REDAMAN

ADA TIGA JENIS REDAMAN :

1. Sistem redaman kritis (Critical Damped System)

2. Sistem redaman superkritis (Overdamped System)

3. Sistem redaman subkritis (Underdamped System)

Redaman kritis

Terjadi jika ekspresi dibawah tanda akar persamaan adalah = 0

( ccr/2m)2 – k/m = 0

ccr = 2 √km

Dimana Ccr = harga redaman kritis

karena frekwensi natural sistem tak teredam dinyatakan oleh ω = √k/m

maka koefisien redaman kritis

ccr = 2m ω = 2k / ω

Redaman Kritis

Harga akar persamaan adalah sama yaitu p1 = p2 = - ccr /2m

Sehingga solusi yang dapat digunakan adalah :

y1(t) = C1 e-(ccr

/2m)t dan y2(t) = C2 t e-(c

cr/2m)t

Superposisi dari keduanya :

y(t) = (C1 + C2 t) e-(ccr

/2m)t

Dimana :

m = masa beban / sistem k = kekakuan struktur Y = perpindahan yang terjadi Ccr = redaman kritis P12 = akar persamaan yang terbentuk C12 = konstanta yang terbentuk akibat

penyelesaian persamaan diferensial W = frekuensi natural

REDAMAN SUB KRITIS

Terjadi jk nilai redaman yang terjadi lebih kecil dari harga kritis (C<Ccr)

Dan nilai akar persamaan kuadratnya adalah bilangan kompleks (mengandung bilangan imaginer)

p1,p2 = -c/2m + √ (c/2m)2 – k/m (complex value) Dimana persamaan euler utk menghubungkan

PD dgn pers trigonometrik adalah

eix = cos x + i sin x

e-ix = cos x – i sin x

Solusi Persamaan Gerak Redaman Subkritis Dengan mensunstitusikan akar p1 dan p2 maka

y(t)= e-(c/2m)t (A cos Dt + B sin Dt)

Dimana Frekwensi System:

D =√ { k/m – (c/2m)2}

atau D = √(1-ξ2)

Dengan = √ k/m ( frekwensi Natural)

ξ = c / cr ( Ratio Redaman)Dan c = adalah redaman yang terjadi

(kondisi subkritis)

Persamaan Gerak dengan Syarat Kondisi Awal Apabila ditentukan kondisi awal (Initial

Condition) yo dan vo (perpindahan dan kecepatan awal)

y(t) = e-ξt (yo cos Dt + vo+

yoξ sin Dt)

Atau y(t) = C e-ξt cos (Dt –)

Dimana :

C = √(yo2 + (vo+yoξD

2)

tan = (vo+yoξDyo)

D adalah frekwensi sistem dengan redaman

Periode Redaman Getaran

Amplitudo getaran tidak konstan tapi berkurang dengan interval yang sama yang disebut periode getaran

TD = 2 / D = √(1-ξ2)

Harga koefisien redaman untuk struktur lebih kecil sekitar 2 sampai 20% dari redaman kritis atau

Nilai ξ = 0,2 dan D = 0,98

PENGURANGAN LOGARITMIS

Pengurangan Logaritmis Merupakan Ratio antara dua puncak amplitudo yang berturutan dari suatu getaran bebas

= ln y1/y2

Sehingga untuk y(t) = C e-ξt cos (Dt –)

dan y1 = C e-ξt1 y2 = C e-ξt(t1+Td)

Maka = ln y1/y2 = ξtD atau ξ / √ (1- ξ2) utk ξ yg sangat kecil maka ξ

REDAMAN SUPERKRITIS

Koefisien redaman yang terjadi lebih besar dari redaman kritis

c > ccr

Sehingga nilai akar persamaan ( P1,2) bernilai real

dan berbeda

Maka perpindahan yang terjadi adalah

y(t) = C1 e p1t + C2 e p2t

CONTOH

Sebuah Struktur memiliki W = 10 N, kekakuan 20 N/m, dua amplitudo berturutan y1=1,0 dan y2=0,85

Hitung

a. Frekwensi Natural

b. Pengurangan Logaritmis

c. Ratio Redaman

d. Koefisien Redaman

e. Frekwensi teredam

Penyelesaian (Satuan Menyesuaikan)

Frekwensi Natural = √ (k/m) = √ 20x10 /10 Pengurangan Logaritmis

= ln y1/y2 = y1= ln (1,0/0,85) Ratio Redaman

ξ shg ξ = Koefisien Redaman

ccr = 2 √km dan ξ = C/Ccr shg C = ξ xCcr Frekwensi Teredam

D = √(1-ξ2)

d = 2p

ξ = c / cr

y1=1,0 dan y2=0,85

W = 10 N, kekakuan 20 N/m

ccr = 2 √km

d = 2pξ

d = ln y1/y2