Dra. Elisa Schaeffer · función correcta de complejidad y ǫ > 0. ... contradicción y nos da el...

Análisis de Algoritmos

Clases de complejidad

Dra. Elisa Schaeffer

[email protected]

PISIS / FIME / UANL

Clases de complejidad– p. 1

Clase de complejidad

Los requisitos para definir una clase:

fijar un modelode computación (tipo de TM),





la modalidad de computación: determinista, nodeterminista, etcétera,






el recursoel uso del cual se controla por la definición:tiempo, espacio, etcétera,






el recursoel uso del cual se controla por la definición:tiempo, espacio, etcétera,

la cota que se impone al recurso: una funcióncorrecta de complejidad.


Función correcta de complejidad

f : N → N que es no decreciente y existe una máquinaTuring Mf de k cintas con entrada y salida tal que

∀x aplica que Mf (x) = ⊓f(|x|)

Mf para después de O (|x|+ f(|x|)) pasos decomputación

Mf utiliza O (f(|x|)) espacio en adición a x


Ejemplos

c,√n, n, ⌈log n⌉, log2 n, n2, 2n, n!

donde n es el parámetro de la función y c es un constante

Dada dos funciones correctas de complejidad f y g,también

f + g, f · g y 2f

son funciones correctas.



= el conjunto de lenguajes decididos por alguna TMM del tipo definido que opera en el modo de operacióndefinido tal que ∀x, M necesita ≤ f(|x|) unidades delrecurso definido.


Clases básicas

tiempo{

determinista TIME (f)

no determinista NTIME (f)

espacio{

determinista SPACE (f)

no determinista NSPACE (f)


Clases más amplias

TIME(

nk)

=⋃

j>0TIME (nj) = P

NTIME(

nk)

=⋃

j>0NTIME (nj) = NP

SPACE(

nk)

=⋃

j>0 SPACE (nj) = PSPACE

NSPACE(

nk)

=⋃

j>0NSPACE (nj) = NPSPACE

TIME

(

2nk)

=⋃

j>0TIME

(

2nj)

= EXP.

L = SPACE (log(n)) y NL = NSPACE (log(n))


Ejemplos simples

Tiempo Clase EjemploProblemas con algoritmos eficientes

O (1) P si un número es par o impar

O (n) P búsqueda de un elemento entre n elementos

O (n log n) P ordenación de n elementos

O (n3) P multiplicación de matrices

O(

nk)

P programación lineal

Problemas difícilesO (n22n) NP-completo satisfiabilidad


Complemento de clase C

{

L | L ∈ C}

Todas las clases deterministasde tiempo y espacio soncerradas bajo el complemento. L ∈ C.

Por ejemplo, P = coP. Lo único que hay que hacer para mostraresto es intercambiar los estados “sí” y “no” en las TM quecorresponden.

Se puede mostrar también que las clases de espacio nodeterministasestán cerradas bajo complemento.

Es una pregunta abierta si también aplica para clasesno deterministas de tiempo.


Aumento de rapidéz lineal

Teorema: TIME (f(n)) = TIME (ǫf(n)) para unafunción correcta de complejidad y ǫ > 0.

Demostracion: dada una TM M de tiempo f(n),construyemos otra M ′ que tenga tiempo ≤ ǫf(n).


Idea de la construcción

Si M tiene una cinta, M ′ tiene dos; en otro caso usan el

mismo número de cintas





Codificamos varios símbolos de M en uno sólo de M ′






⇒ un paso de M ′ corresponde a varios de M







Agrupamos cada grupo de 10k celdas de M como una

celda de M ′ así que 1 ≤ kǫ.









Preprocesamos primero la entrada de M









Preprocesamos primero la entrada de M

Resulta que M ′ toma por máximo 2n+ 8f(n)10k pasos, que es

menor a ǫf(n) por la elección de k.


HALTING

Si permitimos mas tiempoa una TM M , logramos que Mpuede tratar de tareas más complejas.

Para una función correcta de complejidad f(n) ≥ n,definimos un lenguaje nuevo:

Hf = {Mb;x | M acepta a x en ≤ f(|x|) pasos }

Hf es una versión “cortada” de H de HALTING .


Hf ∈ TIME(

(f(n))3)

, demostración

Una TM Uf de cuatro cintas compuesta de

la máquina universal U ,

un simulador de una cinta de TM de cintas múltiples,

una máquina de aumento de rapidez lineal

Mf que computa una “vara de medir” de largo f(n)


Operación de Uf

Mf computa ⊓f(|x|) para M en cinta 4

Mb está copiada a cinta 3

Cinta 2 está inicializada para codificar s.

Cinta 1 está inicializada con ⊲x.

Uf simula con una sola cinta a M .

Después de cada paso simulado, Uf avanza la vara.

Si Uf ve que M acepta a x en f(|x|) pasos, Uf acepta.

Si se acaba la vara sin que M acepte, Uf rechaza.


Tiempo de ejecución

Cada paso de la simulación necesita O (f(n)2) tiempo.




Son f(|x|) pasos simulados al máximo.




Son f(|x|) pasos simulados al máximo.

Llegamos a tiempo total O (f(n)3) para Uf .


Hf 6∈ TIME(

f(⌊n2⌋))

, demostración

Suponga que ∃M que decide a Hf en tiempo f(⌊n2⌋).

Consideramos otra máquina D que dice “no” cuandoM(Mb;Mb) = “sí” y en otros casos D dice “sí”.

Con la entrada Mb, D necesita f(⌊2|Mb|+12

⌋) = f(|Mb|)pasos.


Resultado

Si D(Db) = “sí”, tenemos que M(Db;Db) = “no”, yentonces Db;Db 6∈ Hf .

En este caso, Df no puede aceptar la entrada Db dentrode f(|Db|) pasos, que significa que D(Db) = “no”, que esuna contradicción.

Entonces D(Db) 6= “sí”. Esto implica que D(Db) = “no” yM(Db;Db) = “sí”, por lo cual Db;Db ∈ Hf y D acepta laentrada Db en no más de f(|Db|) pasos.

Esto quiere decir que D(Db) = “sí”, que es otracontradicción y nos da el resultado deseado.


Teorema

Si f(n) ≥ n es una función correcta de complejidad,entonces la clase TIME (f(n)) ⊂ TIME ((f(2n+ 1))3).


Análisis

Es bastante evidente que

TIME (f(n)) ⊆ TIME(

(f(2n+ 1))3)

como f es no decreciente. Ya sabemos que

Hf(2n+1) ∈ TIME(

(f(2n+ 1))3)

y que

Hf(2n+1) 6∈ TIME

(

f

(

⌊2n+ 1

2⌋))

= TIME (f(n)) .


Consecuencias

P ⊂ TIME (2n) ⊆ EXP por nk = O (2n)

y

TIME (2n) ⊂ TIME(

(22n+1)3)

⊆ TIME

(

2n2

)

⊆ EXP


Teorema

Si f(n) ≥ n es una función correcta de complejidad,

SPACE (f(n)) ⊂ SPACE (f(n) log f(n)) .


Importancia de ser correcta

Ejemplo:Existe una función no correcta f : Z+ → Z

+ así queTIME (f(n)) = TIME

(

2f(n))

.

El truco es definir f tal que ninguna TM M con entrada x,|x| = n, para después de k pasos así que

f(n) ≤ k ≤ 2f(n).


Relaciones entre clases

Sea f(n) una función de complejidad correcta.

SPACE (f(n)) ⊆ NSPACE (f(n))

y

TIME (f(n)) ⊆ NTIME (f(n))


Relaciones entre clases

Sea f(n) una función de complejidad correcta.

SPACE (f(n)) ⊆ NSPACE (f(n))

y

TIME (f(n)) ⊆ NTIME (f(n))

(una TM determinista es también una NTM)


NTIME (f(n)) ⊆ SPACE (f(n))

Demostracion por simular todas las opciones:Dado un lenguaje L ∈ NTIME (f(n)), existe una TMprecisa no determinista M que decide L en tiempo f(n).

Sea d el grado de no determinismo de M

Cada computación de M es una sucesión deselecciones no deterministas

El largo de la sucesión es f(n)

Cada elemento se puede representar por un entero∈ [0, d− 1]


Máquina auxiliar

Construyamos una máquina M ′ para simular a M ,considerando cada sucesión posible.

Si M para con “sí”, M ′ también para con “sí”.

Si ninguna sucesión acepta, M ′ rechaza su entrada.


Espacio

Aunque el numero de simulacioneses exponencial, elespacioque necesitamos es solamente f(n) como lohacemos una por una.

El estado y todo lo anotado durante la simulación de unasucesión puede ser borrado cuando empieza lasimulación de la sucesión siguiente.

Además, como f(n) es una función correcta decomplejidad, la primera secuencia se puede generar enespacio f(n).


Teorema

NSPACE (f(n)) ⊆ TIME(

clogn+f(n))

Consecuencia:

L ⊆ NL ⊆ P ⊆ NP ⊆ PSPACE ⊆ EXP.


¿A ⊂ B o A ⊆ B?

Tenemos L ⊂ PSPACE por

L = SPACE (log(n)) ⊂ SPACE (log(n) log(log(n)))

⊆ SPACE (n2) ⊆ PSPACE.


¿A ⊂ B o A ⊆ B?




Es comunmente aceptadoque las inclusiones inmediatassean todos de tipo A ⊂ B, pero todavía no se ha establecido talresultado.


¿A ⊂ B o A ⊆ B?




Es comunmente aceptadoque las inclusiones inmediatassean todos de tipo A ⊂ B, pero todavía no se ha establecido talresultado.

Lo que sí se ha establecido que por lo menos unade las

inclusiones entre L y PSPACE es de ese tipo, y también que

por lo menos una entre P y EXP es de ese tipo.

No se sabe cuál.Clases de complejidad– p. 28

Espacio y no determinismo

Ya tenemos que

NSPACE (f(n)) ⊆ TIME(

clog n+f(n))

⊆ SPACE(

clogn+f(n))


Teorema de Savitch

NTM con límites de espacio se puede simular con TMdeterministas con espacio cuadrático;

REACHABILITY ∈ SPACE(

log2 n)

⇒ . . . ⇒ ∀ función correcta f(n) ≥ log n,

NSPACE (f(n)) ⊆ SPACE(

(f(n))2)

.

Además, PSPACE = NPSPACE.

⇒ Las NTM con respeto a espacioson menospoderososque las NTM con respeto a tiempo.


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