Juan Miguel Morales Retratos de cantantes Fotografías de ...
Dr. Miguel Antonio Morales Ramos
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L´ ogica matem´ atica Dr. Miguel Antonio Morales Ramos
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Lógica matemáticaContenido I 1 Encuadre 2 Proposiciones
Proposiciones simples y compuestas Terminos de enlace de proposiciones Simbologa de proposiciones y de los terminos de enlace
3 Terminos de enlace dominante Agrupamiento y parentesis
4 Proposiones logicas Valores de verdad de una proposicion Tablas de verdad para &,∨,¬,⇒,⇔
Negacion Conjuncion Disyuncion Condicional
Contenido II Bicondicional
Elaboracion de la tabla de verdad para cualquier proposicion Tautologas y contradicciones Equivalencias logicas
5 Reglas de inferencia Definiciones basicas Reglas primitivas
Encuadre
Objetivo
Aplicar los conceptos de logica matematica, conjuntos y algebra booleana en el analisis, planteamiento y solucion de problemas en el area de Informatica.
Encuadre
Temas
Encuadre
Bibliografa
• Introduccion a la logica matematica. Suppes, Patrick; Hill, Shirley. Reverte. 2004. • Matematicas discretas. Johnsonbaugh, Richard. Prentice Hall.
1999, 4ª Edicion.
Encuadre
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Encuadre
En una nacion republicana, cuyos ciudadanos deben ser guiados por la razon y la persuasion y no por la fuerza, el arte del razonamiento es de primordial importancia. -Thomas Jefferson
Encuadre
enganar nuestra percepcion, un argumento ingenioso puede enganar nuestro pensamiento. • El buen razonamiento esta
basado en principios, pero cuando los violamos es muy probable que seamos enganados –o que por descuido nos enganemos a nosotros mismos- Figura: Cascada, M.C. Escher
Encuadre
Revisa
2a =a + b 2a − 2b =a + b − 2b
2(a − b) =a + b − 2b 2(a − b) =a − b
2 =1
Proposiciones
• Con el estudio de la logica se persigue llegar a ser preciso y cuidadoso. • La logica tiene un lenguaje exacto • Se necesita de un conjunto de reglas que sean perfectamente claras
y definidas y que esten libres de las vaguedades de nuestro lenguaje.
Proposiciones
Proposiciones
• Son el material de nuestro razonamiento. • Una proposicion afirma que algo es (o no es) el caso; Todas las
proposiciones son o verdaderas o falsas. • Es posible que la verdad de algunas proposiciones nunca se conozca. • Ejemplo:
Existe vida en algun otro planeta
Proposiciones
• Las preguntas: • Las ordenes: • Las exclamaciones:
¿Por que? Por que no se pueden afirmar o negar. La verdad y la falsedad siempre se aplican a las proposiciones, pero no se aplican a las preguntas, ni a las ordenes ni a las exclamaciones.
Proposiciones
Dos oraciones diferentes pueden tener el mismo significado y usarse para aseverar la misma preposicion.
Mara gano la eleccion La eleccion fue ganada por Mara
Proposicion Es el termino que utilizamos para referirnos a aquello para lo que las oraciones declarativas se utilizan normalmente, para aseverar.
El termino enunciado no es un sinonimo exacto de proposicion, pero en logica se utiliza en el mismo sentido.
Proposiciones
Ejemplo 2.1 ¿Cuales de las siguientes son proposiciones?
1 La Tierra es no plana. 2 (2)(3) = 5 3 ¿Habla usted aleman? 4 3x + 4 = 0 5 Barra el piso. 6 La temperatura en la superficie solar es de 100C. 7 El sol saldra manana.
Proposiciones
Solucion
(1) y (2) son proposiciones (3) es una pregunta, por lo que no es una proposicion. (4) es una afirmacion declarativa, es verdadera o falsa dependiendo del valor de x. (5) es una orden, no una proposicion. (6) es una oracion declarativa que puede ser verdadera o falso por lo que s es una proposicion. (7) es una proposicion, verdadera o falsa. Habra que esperar hasta el da siguiente para verificar su veracidad.
Proposiciones
Determine si es una proposicion o no 1 El 2 de febrero de 2009 fue miercoles. 2 El codigo postal de Oscar, en Los Angeles, es 70762. 3 Escuchen, mis ninos, y oiran la cabalgata de medianoche de Paul Revere. 4 Ceda el paso al peaton. 5 5+9=13 y 4-2=1 6 5+9=14 o 4-2=0 7 Algunos numeros son positivos 8 Porfirio Daz fue presidente de Mexico en 1899. 9 Los accidentes son la principal causa de muertes en ninos menores de 10 anos.
10 ¿A donde vas a ir manana? 11 Comportate y sientate. 12 Un litro de leche pesa menos de un kilo.
Proposiciones Proposiciones simples y compuestas
Tipos de proposiciones
• Simple o atomica: Es aquella proposicion que solo hace una aseveracion. • Hoy es lunes • La empresa trabaja de lunes a sabado.
• Compuesta o molecular: Proposicion que contiene una o mas proposiciones simples, utiliza terminos de enlace. • Hoy es lunes y no hay clase • Apruebo el examen o presento examen extraordinario.
La proposicion molecular se ha constituido con dos proposiciones atomicas y el termino de enlace “y”.
Proposiciones Terminos de enlace de proposiciones
Terminos de enlace
Las palabras de enlace son de gran importancia. Por ejemplo, el termino de enlace en la proposicion
Hoy hay baile y manana entramos tarde a clases
es el termino y.
Terminos de enlace
Proposiciones Terminos de enlace de proposiciones
Identifica el termino de enlace
1 La luna no esta hecha de queso verde. 2 El viento arrastra las nubes o llovera hoy con seguridad. 3 Si estamos en diciembre entonces llegara pronto la Navidad. 4 El terreno es muy rico y hay suficiente lluvia.
Proposiciones Terminos de enlace de proposiciones
Escribe proposiciones dentro de los parentesis 1 O ( ) o ( ) 2 ( ) o ( ) 3 A la vez ( ) y ( ) 4 ( ) y ( ) 5 No ( ) 6 Si ( ) entonces ( ) 7 Si ( ), ( ) 8 Si no ( ) entonces no ( ) 9 No ocurre que ( )
Proposiciones Terminos de enlace de proposiciones
Actividad 2.1 Utilizar el parentesis para poner de manifiesto la forma de las siguientes proposiciones moleculares.
1 Juan esta aqu y Mara ha salido. 2 Si x+1=10 entonces x=9. 3 O Mara no esta aqu o Juan se ha ido. 4 Si x=5 o y=2 entonces z=9. 5 Si x¿4 y z¿0, x+z¿4. 6 Si ella disparo el arma o el no usaba chaleco antibalas entonces Jose esta muerto. 7 x = 1 y z = 2. 8 No ocurre que 0 = 1. 9 Si xy = 0, o x = 0 o y = 0.
10 No ocurre que si x + 0 = 10 entonces x = 5.
Proposiciones Terminos de enlace de proposiciones
Actividad 2.2 Senalar cada proposicion atomica con una A y cada proposicion molecular con una M. Escribir junto a cada proposicion el termino de enlace utilizado.
1 Mi hermano se caso en Colima. 2 Manana es domingo. 3 Mara es menor de 18 anos, al igual que su amiga Alma. 4 La esposa de Pedro adora los Bon Ice y los raspados. 5 Si Carlos Slim vende su compana, entonces German Larrea sera
feliz. 6 Si Luisito Rey es bueno entonces el Chapo es inocente. 7 Tengo cuatro hermanos varones o tengo cuatro hermanas.
Proposiciones Terminos de enlace de proposiciones
Actividad 2.3 Realizar el ejercicio 1 A, pagina 3-4 del libro de Suppes P., Hill S. Primer curso de logica matematica.
Proposiciones Simbologa de proposiciones y de los terminos de enlace
Simbolizacion de proposiciones
El uso de smbolos en logica simplifica el manejo de las proposiciones.
Usaremos letras mayusculas para representar proposiciones como
A, B, P, Q, R , S, T
Proposiciones Simbologa de proposiciones y de los terminos de enlace
Simbologa de proposiciones
Hace calor → P
Proposiciones Simbologa de proposiciones y de los terminos de enlace
Simbologa de proposiciones
Esta manchado → P
Proposiciones Simbologa de proposiciones y de los terminos de enlace
Simbologa de proposiciones
→
Proposiciones Simbologa de proposiciones y de los terminos de enlace
Actividad 2.4 Simbolizar las proposiciones siguientes sustituyendo las proposiciones atomicas por letras mayusculas. No utilizar V, F ni C.
1 La comida sera hoy a las tres en punto. 2 El gran oso negro andaba perezosamente por el camino de abajo. 3 La musica es muy suave o la puerta esta cerrada. 4 A este perro grande le gusta cazar gatos. 5 El pregunta por su pipa y pregunta por su escudilla. 6 Luis es un buen jugador o es muy afortunado. 7 Si Luis es un buen jugador, entonces parcipara en el pardo del
colegio.
Proposiciones Simbologa de proposiciones y de los terminos de enlace
8 California esta al oeste de Nevada y Nevada al oeste de Utah. 9 Muchos estudiantes estudian Logica en el primer ano de carrera.
10 Los gatos no acostumbran a llevar mitones. 11 Si los gatos llevan mitones, entonces los gatos pueden llevar
sombreros. 12 Se puede encontrar a Juana en casa de Susana. 13 A las focas no les crece el pelo. 14 Si Mara canta, entonces es feliz. 15 Los alumnos mayores no estan en la lista antes que los jovenes. 16 La asignatura preferida de Jaime es Matemacas. 17 Si aquellas nubes se mueven en esa direccion, entonces tendremos
lluvia.
Proposiciones Simbologa de proposiciones y de los terminos de enlace
18 Si los deseos fueran caballos, entonces los mendigos cabalgaran. 19 Esta proposicion es atomica o es molecular. 20 El sol calentaba y el agua estaba muy agradable.
Proposiciones Simbologa de proposiciones y de los terminos de enlace
Simbologa de terminos de enlace
Y Conjuncion &,∧, · O Disyuncion ∨, +, || Si . . . entonces . . . Condicional ⇒, →,− > No Negacion ∼. ¬, !
Alt 170 ¬ Alt 126 ∼
Proposiciones Simbologa de proposiciones y de los terminos de enlace
Actividad 2.5 Realizar los ejercicios 3B, 3C y 3D de las paginas 11 y 12 del libro de Suppes.
Proposiciones Simbologa de proposiciones y de los terminos de enlace
Actividad 2.6 Simbolizar las proposiciones siguientes, completamente, utilizando el smbolo logico correspondiente para los terminos de enlace. Indicar la proposicion atomica que corresponde a cada letra.
1 Juan vive en nuestra calle y Pedro en la manzana contigua. 2 Los discos antiguos de Jose son buenos pero los modernos son
todava mejores. 3 Metio la nariz y ya saco tajada. 4 El sol desaparece detras de las nubes y en seguida empieza a
refrescar.
Proposiciones Simbologa de proposiciones y de los terminos de enlace
5 El reactor se elevaba a nuestra vista y dejaba tras s una fina estela blanca.
6 Juana tiene trece anos y Rosa quince. 7 Jorge es alto y Andy es bajo. 8 La estrella de mar es un equinodermo y los erizos de mar son
tambien equinodermos. 9 Hoy es da treinta y manana sera primero.
10 El juego ha empezado y llegaremos tarde. 11 Si hace suficiente fro, entonces el lago se helara. 12 Si las luces estan encendidas, entonces la familia Alvarez esta en
casa.
Proposiciones Simbologa de proposiciones y de los terminos de enlace
13 Si dos pulsaciones se atraviesan, continuan conservando la forma original.
14 Si pierde usted el autobus, entonces tendra que andar. 15 Si usted se dirige hacia el norte, entonces llegara a Canada manana. 16 Si es un acido, entonces contiene el elemento hidrogeno. 17 Si dos y tres son cinco, entonces tres y dos son cinco. 18 Si x es igual a dos, entonces x mas uno es igual a tres. 19 Si hoy es siete, entonces el viernes es nueve. 20 Si su produccion crece, entonces Juan podra estabilizar el precio.
Terminos de enlace dominante Agrupamiento y parentesis
Agrupamiento y parentesis
( ) & ( )
Una proposicion que no contenga &,∨,¬, no necesita colocarse entre parentesis
((P) ∨ (Q)) &(R)
Terminos de enlace dominante Agrupamiento y parentesis
El metodo mas claro de poner de manifiesto la dominancia de un termino de enlace es usar el termino en la forma gramatical mas completa, ordinariamente compuesto de dos partes, una de las cuales se escribe al principio de la proposicion molecular: • A la vez ( ) y ( ) • O ( ) o ( ) • Si ( ) entonces ( )
Terminos de enlace dominante Agrupamiento y parentesis
Ejemplo Considerese la proposicion: O el esta equivocado y yo tengo razon, o quedare sorprendido.
Poniendo parentesis:
O ( el esta equivocado y yo tengo razon), o quedare sorprendido.
Simbolizando la proposicion:
(P&Q) ∨ S
Si el parentesis estuviera colocado en otra forma:
P&(Q ∨ S)
La expresion sera: A la vez el esta equivocado y yo tengo razon o quedare sorprendido.
Terminos de enlace dominante Agrupamiento y parentesis
Actividad 3.7 Cada una de las proposiciones simbolizadas siguientes es una conjuncion, por lo que el termino de enlace mayor o dominante es y. Poner los parentesis adecuadamente para indicar que y es dominante.
1 P ∨ Q&S 2 Q ∨ R&S 3 Q&R ∨ T 4 P ∨ R&R 5 R&P → T
Terminos de enlace dominante Agrupamiento y parentesis
Actividad 3.8 Cada una de las proposiciones simbolizadas siguientes es una disyuncion. Poner los parentesis adecuadamente para indicar que o es dominante.
1 P ∨ Q&S 2 Q ∨ R&S 3 Q&R ∨ T 4 P ∨ R&R 5 R ∨ P → T
Terminos de enlace dominante Agrupamiento y parentesis
Simbolizar las proposiciones matematicas siguientes: 1 Si x es mayor que 3, entonces x es igual a 4 o x es igual a 5. 2 Si a la vez x es menor que 5 y x es mayor que 3 entonces x es igual
a 4. 3 y = 5 y si x < y entonces x < 5. 4 O x es mayor que 6 y x es menor que 8 o x no es igual a 6. 5 Si x + 3 > 5 y y − 4 > 1 entonces x + y > 3.
Terminos de enlace dominante Agrupamiento y parentesis
Eliminacion de algunos parentesis
Regla 1 ⇒ es mas potente que los otros terminos de enlace.
• (P&Q)⇒ R se puede escribir simplemente como
P&Q ⇒ R
P ⇒ Q ∨ R
En la expresion (P ⇒ Q) ∨ R
no se puede eliminar el parentesis. La expresion
A⇒ (B ⇒ C) tiene un significado diferente de
(A⇒ B)⇒ C
Eliminacion de algunos parentesis
Regla 2 El signo de negacion ¬ es mas debil que cualquiera de los otros tres terminos de enlace.
• (¬P)&Q se escribe ¬P&Q • P ∨ ( Q) se escribe P ∨ ¬Q • (¬P)⇒ (¬Q) se puede escribir ¬P ⇒ ¬Q • Pero el parentesis es necesario en la expresion ¬(P&Q).
Terminos de enlace dominante Agrupamiento y parentesis
Actividad 3.9 Utilizando las reglas de prioridad sobre la potencia de los smbolos, anadir los parentesis necesarios para que el termino de enlace dominante sea el que se indica.
1 condicional P ⇒ Q ∨ R 2 disyuncion P ∨ Q&R 3 conjuncion R ⇒ S&T 4 negacion ¬R&S 5 condicional P ∨ Q ⇒ ¬R 6 negacion ¬P ⇒ Q 7 conjuncion A&B ⇒ C 8 disyuncion M ⇒ N ∨ P 9 negacion ¬P ∨ ¬Q 10 conjuncion ¬A ∨ ¬B&¬C
Proposiones logicas Valores de verdad de una proposicion
Valores de verdad de una proposicion
Tal y como lo mencionamos antes, una proposicion afirma que algo es (o no es) el caso; todas las proposiciones son o verdaderas (V) o falsas (F).
Proposiones logicas Tablas de verdad para &, ∨, ¬, ⇒, ⇔
Negacion
La negacion de un enunciado verdadero lo vuelve falso, y la negacion de un enunciado falso lo vuelve verdadero. Tabla de verdad para la negacion:
P ¬P V F F V
Proposiones logicas Tablas de verdad para &, ∨, ¬, ⇒, ⇔
Conjuncion
Dados dos enunciados cualesquiera, P y Q, solamente existen cuatro grupos de valores de verdad posibles que puedan contener. Estos cuatro casos posibles, y el valor de verdad de la conjuncion en cada uno de ellos, pueden exponerse como sigue: • Donde P es verdadera y Q es verdadera, P&Q es verdadera. • Donde P es verdadera y Q es falsa, P&Q es falsa. • Donde P es falsa y Q es verdadera, P&Q es falsa. • Donde P es falsa y Q es falsa, P&Q es falsa.
Proposiones logicas Tablas de verdad para &, ∨, ¬, ⇒, ⇔
Tabla de verdad para la conjuncion
P Q P&Q V V V V F F F V F F F F
Proposiones logicas Tablas de verdad para &, ∨, ¬, ⇒, ⇔
Disyuncion
La disyuncion de dos enunciados se forma al combinar dos proposiciones con el termino de enlace “o”, dichos componentes se llaman “disyuntos” (o “alternativas”). La palabra “o” tiene dos significados. Por ejemplo: • Los recargos se cancelaran en caso de enfermedad o desempleo. • Cuando en un restaurante dice en el menu “cafe o postre”.
Proposiones logicas Tablas de verdad para &, ∨, ¬, ⇒, ⇔
Disyuncion
Utilizaremos la “o” en el primer sentido, es decir, como disyuncion inclusiva o debil. Una disyuncion de este tipo es falsa solo en el caso de que ambos disyuntos son falsos. • Donde P es verdadera y Q es verdadera, P ∨ Q es verdadera. • Donde P es verdadera y Q es falsa, P ∨ Q es verdadera. • Donde P es falsa y Q es verdadera, P ∨ Q es verdadera. • Donde P es falsa y Q es falsa, P ∨ Q es falsa.
Proposiones logicas Tablas de verdad para &, ∨, ¬, ⇒, ⇔
Tabla de verdad para la disyuncion
P Q P ∨ Q V V V V F V F V V F F F
Proposiones logicas Tablas de verdad para &, ∨, ¬, ⇒, ⇔
Condicional
El enunciado componente que sigue al “si” se llama antecedente, y el enunciado componente que sigue a “entonces” es el consecuente.
Proposiones logicas Tablas de verdad para &, ∨, ¬, ⇒, ⇔
Tabla de verdad para el condicional
P Q P ⇒ Q V V V V F F F V V F F V
Proposiones logicas Tablas de verdad para &, ∨, ¬, ⇒, ⇔
Observe, la siguiente proposicion condicional:
Si x < 2, entonces x < 4
es verdadera para cualquier numero x sea cual sea. • Si 1 < 2, entonces 1 < 4 • Si 3 < 2, entonces 3 < 4 • Si 4 < 2, entonces 4 < 4
Proposiones logicas Tablas de verdad para &, ∨, ¬, ⇒, ⇔
Ejemplo 2.2 Determine si la proposicion es verdadera o falsa.
¬ [¬ (Estocolmo es la capital de Noruega ∨ Pars es la capital de Francia) ∨ ¬ (¬Londres es la capital de Inglaterra&Roma es la capital de Espana)]
Proposiones logicas Tablas de verdad para &, ∨, ¬, ⇒, ⇔
Bicondicional
El bicondicional es un termino de enlace que corresponde a la expresion si y solo si. Se simboliza con ⇔. Por ejemplo, la expresion
P ⇔ Q corresponde a la proposicion compuesta P si y solo si Q. Tambien se conoce como doble implicacion o equivalencia.
Proposiones logicas Tablas de verdad para &, ∨, ¬, ⇒, ⇔
Tabla de verdad para el bicondicional
P Q P ⇔ Q V V V V F F F V F F F V
Proposiones logicas Tablas de verdad para &, ∨, ¬, ⇒, ⇔
La tabla de verdad para el bicondicional se determina por la conjuncion y el condicional.
P ⇔ Q significa lo mismo que (P ⇒ Q)&(Q ⇒ P)
Proposiones logicas Elaboracion de la tabla de verdad para cualquier proposicion
Elaboracion de la tabla de verdad para cualquier proposicion
En general, una proposicion compuesta puede tener muchas partes componentes, siendo cada una de estas una proposicion por s misma, representada por alguna variable proposicional. Si una proposicion compuesta S contiene n proposiciones componentes, habra necesidad de tener 2n renglones en la tabla de verdad para S. Esta tabla de verdad puede construirse como sigue.
Proposiones logicas Elaboracion de la tabla de verdad para cualquier proposicion
Elaboracion de la tabla de verdad para cualquier proposicion I
Una tabla de verdad para una proposicion cualquiera puede construirse como sigue: • Las primeras n columnas de la tabla estan marcadas por las
variables proposicionales componentes. Se incluyen columnas adicionales para todas las combinaciones intermedias de las variables, y esto culmina en una columna con la proposicion completa.
Proposiones logicas Elaboracion de la tabla de verdad para cualquier proposicion
Elaboracion de la tabla de verdad para cualquier proposicion II
• Bajo cada uno de los primeros n encabezados, se ha anotado las 2n
posibles n-tuplas de valores de verdad para las n proposiciones componentes. • Para cada renglon se calcula, en secuencia, todos los valores de
verdad restantes.
Proposiones logicas Elaboracion de la tabla de verdad para cualquier proposicion
Ejemplo 2.3
P Q R ¬P ¬P ∨ Q ¬R (¬P ∨ Q) &¬R
Proposiones logicas Elaboracion de la tabla de verdad para cualquier proposicion
Ejemplo 2.4 Para el enunciado
(¬P&R) ∨ (¬Q&¬P)
• Elabore una tabla de verdad • Suponga que P es verdadero, Q es falso y R verdadero. Obtenga el
valor de verdad de este enunciado.
Proposiones logicas Elaboracion de la tabla de verdad para cualquier proposicion
Ejemplo 2.5 Elabore la tabla de verdad para
1 (¬B&¬A) ∨ (¬A&C) 2 (¬P&Q) ∨ ¬Q
Proposiones logicas Tautologas y contradicciones
Tautologas y contradicciones
Una proposicion que es verdadera para todos los valores posibles de sus variables propositivas se denomina tautologa. Por ejemplo:
P ∨ ¬P
Tautologas y contradicciones
A una proposicion que es falsa para todos los valores posibles de sus variables propositivas se denomina contradiccion o falacia. Por ejemplo:
P&¬P
Proposiones logicas Tautologas y contradicciones
Proposiciones condicionales Si P y Q son proposiciones, a la proposicion
P ⇒ Q
se le llama proposicion condicional o implicacion. La proposicion
Q ⇒ P es la recproca de P ⇒ Q. La contrapositiva de P ⇒ Q es la proposicion
¬Q ⇒ ¬P
Proposiones logicas Tautologas y contradicciones
Ejemplo 2.6 De la recproca y la contrapositiva de la implicacion “Si esta lloviendo entonces me mojo”.
Proposiones logicas Tautologas y contradicciones
Calcule la tabla de verdad de la proposicion
(P ⇒ Q)⇔ (¬Q ⇒ ¬P)
Proposiones logicas Tautologas y contradicciones
Teorema 2.1 Cada una de las siguientes proposiciones es una tautologa.
1 (P&Q)⇒ P 2 (P&Q)⇒ Q 3 P ⇒ (P ∨ Q) 4 Q ⇒ (P ∨ Q) 5 ¬P ⇒ (P ⇒ Q) 6 ¬(P ⇒ Q)⇒ P 7 (P&(P ⇒ Q))⇒ Q 8 (¬P&(P ∨ Q))⇒ Q 9 (¬Q&(P ⇒ Q))⇒ ¬P
10 ((P ⇒ Q)&(Q ⇒ R))⇒ (P ⇒ R)
Proposiones logicas Tautologas y contradicciones
Actividad 4.10 Verifica que cada una de las proposiciones en el Teorema 2.1 es una tautologa.
Proposiones logicas Equivalencias logicas
Equivalencias logicas
Se dice que P y Q son logicamente equivalentes si P ⇔ Q es una tautologa. Se denota P es equivalente a Q por P ≡ Q. Por ejemplo P ⇒ Q ≡ ¬Q ⇒ ¬P, pues
(P ⇒ Q)⇔ (¬Q ⇒ ¬P)
1 P ∨ Q ≡ Q ∨ P 2 P ⇒ Q ≡ ¬P ∨ Q
Proposiones logicas Equivalencias logicas
Conmutativas • P ∨ Q ≡ Q ∨ P • P&Q ≡ Q&P
Asociativas • P ∨ (Q ∨ R) ≡ (P ∨ Q) ∨ R • P&(Q&R) ≡ (P&Q)&R
Proposiones logicas Equivalencias logicas
Propiedades
Distributivas • P ∨ (Q&R) ≡ (P ∨ Q)&(P ∨ R) • P&(Q ∨ R) ≡ (P&Q) ∨ (P&R)
Idempotentes • P ∨ P ≡ P • P&P ≡ P
Proposiones logicas Equivalencias logicas
Propiedades
Negacion
1 ¬(¬P) ≡ P 2 ¬(P ∨ Q) ≡ (¬P)&(¬Q) 3 ¬(P&Q) ≡ (¬P) ∨ (¬Q)
En ocasiones se hace referencia a la propiedad 1 como la doble negacion. Las propiedades 2 y 3 de la negacion se llaman leyes de De Morgan.
Proposiones logicas Equivalencias logicas
Actividad 4.11 Demostrar todas las propiedades anteriores de las equivalencias logicas.
Proposiones logicas Equivalencias logicas
Leyes de absorcion
1 P ∨ (P&Q) ≡ P 2 P&(P ∨ Q) ≡ P 3 (P&Q) ∨ ¬Q ≡ P ∨ ¬Q 4 (P ∨ Q)&¬Q ≡ P&¬Q
Proposiones logicas Equivalencias logicas
Si T es una tautologa y M es una contradiccion 1 (T &P) ≡ P 2 (T ∨ P) ≡ T 3 (M&P) ≡ M 4 (M ∨ P) ≡ P
Proposiones logicas Equivalencias logicas
Teorema 2.2 1 (P ⇒ Q) ≡ (¬P ∨ Q) 2 (P ⇒ Q) ≡ (¬Q ⇒ ¬P) 3 (P ⇔ Q) ≡ (P ⇒ Q)&(Q ⇒ P) 4 ¬(P ⇒ Q) ≡ (P&¬Q) 5 ¬(P ⇔ Q) ≡ (P&¬Q) ∨ (Q&¬P)
Proposiones logicas Equivalencias logicas
Reglas de inferencia Definiciones basicas
Definiciones basicas
Turnstile El smbolo ` se conoce como turnstile o torniquete.
Secuencia Un numero de proposiciones separadas (que corresponden a las premisas de un argumento), por comas y seguidas por ` en modo horizontal o bien, en renglones y seguidas por una lnea horizontal.
Reglas de inferencia Definiciones basicas
Ejemplo 3.1 P&Q → R, ¬R&P ` ¬Q
P&Q → R ¬R&P ¬Q
Reglas de inferencia Definiciones basicas
Prueba o demostracion Es una secuencia de lneas que contienen proposiciones. Cada proposicion es una suposicion o el resultado de aplicar una regla de demostracion a proposiciones previas en la secuencia.
Anotacion A la derecha de cada proposicion hacemos una anotacion que especifica la regla de demostracion que se aplico y a cuales proposiciones previas para conducir a la proposicion dada.
Reglas de inferencia Definiciones basicas
Conjunto de suposiciones Contiene a las suposiciones en las cuales la proposicion dada depende.
Numero de lnea A la izquierda, escribimos el numero de lnea de la prueba.
Prueba para argumento dado Es una prueba cuya ultima proposicion es la conclusion del argumento y depende unicamente en las premisas del argumento.
Reglas de inferencia Definiciones basicas
Ejemplo 3.2 Conjunto de suposiciones Numero de lnea Proposicion Anotacion
1,2 (7) P → Q&R 6→ I(3)
Reglas de inferencia Reglas primitivas
Reglas primitivas
Suposicion Se supone cualquier proposicion. Anotacion: Sup Conjunto de suposiciones: El numero de lnea
Nota: Cualquier cosa se puede suponer en cualquier momento. Algunas suposiciones son utiles y otras no.
Ejemplo 3.3 1 (1) P ∨ Q Sup
Reglas de inferencia Reglas primitivas
Conjuncion
Dadas dos proposiciones en las lneas m y n, concluimos una conjuncion de ellas. Anotacion: Conj(m, n) Conjunto de suposiciones: La union del conjunto de
suposiciones en las lneas m y n.
Reglas de inferencia Reglas primitivas
Ejemplo 3.4 Conjunto de suposiciones Numero de lnea Proposicion Anotacion 1 (1) P Sup 2 (2) Q Sup 1,2 (3) P&Q Conj(1,2) 1,2 (4) Q&P Conj(1,2) 1 (5) P&P Conj(1,1)
Reglas de inferencia Reglas primitivas
Ejemplo 3.5 Conjunto de suposiciones Numero de lnea Proposicion Anotacion 1 (1) P Sup 2 (2) Q Sup 1,2 (3) P&Q Conj(1,2) 1,2 (4) Q&P Conj(1,2) 1 (5) P&P Conj(1,1)
Reglas de inferencia Reglas primitivas
Simplificacion
Dada una proposicion que es una conjuncion en la lnea m, concluimos cualquiera de las proposiciones que forman la conjuncion. Anotacion: Simp(m) Conjunto de suposiciones: Las mismas que
en la lnea m
Reglas de inferencia Reglas primitivas
Ejemplo 3.6 Conjunto de suposiciones Numero de lnea Proposicion Anotacion 1 (1) P&Q Sup 1 (2) Q Simp(1) 1 (3) P Simp(1)
Ejemplo 3.7 Conjunto de suposiciones Numero de lnea Proposicion Anotacion 1 (1) P&(Q → R) Sup 1 (2) Q → R Simp(1)
Reglas de inferencia Reglas primitivas
Adicion
Dada una proposicion en la lnea m, concluimos cualquier disyuncion que la tenga como disyunto. Anotacion: Ad(m) Conjunto de suposiciones: El mismo que en
la lnea m.
Reglas de inferencia Reglas primitivas
Ejemplo 3.8 Suposiciones Numero de lnea Proposicion Anotacion 1 (1) P Sup 1 (2) P ∨ Q Ad(1) 1 (3) (R ↔ ¬T ) ∨ P Ad(1)
Ejemplo 3.9 1 (1) Q → R Sup 1 (2) (Q → R) ∨ (P&¬S) Ad(1)
Reglas de inferencia Reglas primitivas
Modus Tollendo Ponens
Dada una proposicion en la lnea m que es una disyuncion y otra proposicion en la lnea n que es una negacion de uno de sus disyuntos concluimos el otro disyunto. Anotacion: MTP(m, n) Conjunto de suposiciones: La union del conjunto de
suposiciones en las lneas m y n.
El orden de m y n es irrelevante.
Reglas de inferencia Reglas primitivas
Ejemplo 3.10 Suposiciones Numero de lnea Proposicion Anotacion 1 (1) P ∨ Q Sup 2 (2) ¬P Sup 1,2 (3) Q MTP(1,2)
Ejemplo 3.11 Suposiciones Numero de lnea Proposicion Anotacion 1 (1) P ∨ (Q → R) Sup 2 (2) ¬(Q → R) Sup 1,2 (3) P MTP(1,2)
Reglas de inferencia Reglas primitivas
Ejemplo 3.12 Suposiciones Numero de lnea Proposicion Anotacion 1 (1) P ∨ ¬R Sup 2 (2) R Sup 1,2 (3) P MTP(1,2)
Reglas de inferencia Reglas primitivas
Prueba condicional
Dada una proposicion en la lnea n, concluimos un condicional que la tiene como consecuente y cuyo antecedente aparece en la prueba como una suposicion en la lnea m. Anotacion: PCond(m→ n) Conjunto de suposiciones: Las suposiciones en la lnea n
a excepcion de m. El antecedente debe estar presente en la prueba como una suposicion. Las lneas m y n podran ser las mismas.
Reglas de inferencia Reglas primitivas
Ejemplo 3.13 Suposiciones Numero de lnea Proposicion Anotacion 1 (1) ¬P ∨ Q Sup 2 (2) P Sup 1,2 (3) Q MTP(1,2) 1 (4) P → Q PCond(2→ 3)
Ejemplo 3.14 Suposiciones Numero de lnea Proposicion Anotacion 1 (1) P Sup
(2) P → P PCond(1→ 1)
Reglas de inferencia Reglas primitivas
Ejemplo 3.15 Suposiciones Numero de lnea Proposicion Anotacion 1 (1) R Sup 2 (2) P Sup 2 (3) P → R PCond(2→ 1)
Reglas de inferencia Reglas primitivas
Modus Ponendo Ponens
Dada una proposicion condicional en la lnea m y otra proposicion condicional que es el antecedente en la lnea n, concluimos el consecuente del condicional. Anotacion: MPP(m, n) Conjunto de suposiciones: La union del conjunto de
suposiciones en las lneas m y n.
Reglas de inferencia Reglas primitivas
Ejemplo 3.16 Suposiciones Numero de lnea Proposicion Anotacion 1 (1) P → Q Sup 2 (2) P Sup 1,2 (3) Q MPP(1, 2)
Reglas de inferencia Reglas primitivas
Reduccion al absurdo Dadas tanto una proposicion como su negacion en las lneas m y n, concluimos la negacion de alguna suposicion que aparezca en la prueba en la lnea k . Anotacion: RAA(m, n)k Conjunto de suposiciones: La union del conjunto de
suposiciones en las lneas m y n excluyendo k
La proposicion en la lnea k es conocida como la suposicion de reduccion. La conclusion debe ser la negacion de esta. Las proposiciones en las lneas m y n deben ser la negacion una de la otra.
Reglas de inferencia Reglas primitivas
Ejemplo 3.17 Suposiciones Numero de lnea Proposicion Anotacion 1 (1) P → Q Sup 2 (2) ¬Q Sup 3 (3) P Sup 1,3 (4) Q MPP(1, 3) 1,2 (5) ¬P RAA(2, 4)3
Reglas de inferencia Reglas primitivas
Ejemplo 3.18 Suposiciones Numero de lnea Proposicion Anotacion 1 (1) P ∨ Q Sup 2 (2) ¬P Sup 3 (3) ¬P → ¬Q Sup 2,3 (4) ¬Q MPP(2, 3) 1,2,3 (5) P MTT(1, 4)3 1,3 (6) P RAA(2, 5)2
Reglas de inferencia Reglas primitivas
Ejemplo 3.19 Suposiciones Numero de lnea Proposicion Anotacion 1 (1) P Sup 2 (2) Q Sup 3 (3) ¬Q Sup 2,3 (4) ¬P RAA(2, 3)1
Reglas de inferencia Reglas primitivas
Bicondicional
Dadas dos proposiciones condicionales con las formas P → Q y Q → P en las lneas m y n, concluimos un bicondicional con P en un lado y Q en el otro. Anotacion: Bicon(m, n) Conjunto de suposiciones: La union del conjunto de
suposiciones en las lneas m y n.
Reglas de inferencia Reglas primitivas
Ejemplo 3.20 Suposiciones Numero de lnea Proposicion Anotacion 1 (1) P → Q Sup 2 (2) Q → P Sup 1,2 (3) P ↔ Q Bicon(1,2) 1,2 (4) Q ↔ P Bicon(1,2)
Reglas de inferencia Reglas primitivas
Separar el bicondicional
Dado una proposicion bicondicional P ↔ Q, concluimos ya sea P ↔ Q o Q ↔ P. Anotacion: SBicon(m) Conjunto de suposiciones: El conjunto de
suposiciones en la lnea m.
Reglas de inferencia Reglas primitivas
Ejemplo 3.21 Suposiciones Numero de lnea Proposicion Anotacion 1 (1) P ↔ Q Sup 1 (2) Q → P SBicon(1) 1 (3) P → Q SBicon(1)
Encuadre
Proposiciones
Simbología de proposiciones y de los términos de enlace
Términos de enlace dominante
Tablas de verdad para &,,,,
Tautologías y contradicciones
Proposiciones simples y compuestas Terminos de enlace de proposiciones Simbologa de proposiciones y de los terminos de enlace
3 Terminos de enlace dominante Agrupamiento y parentesis
4 Proposiones logicas Valores de verdad de una proposicion Tablas de verdad para &,∨,¬,⇒,⇔
Negacion Conjuncion Disyuncion Condicional
Contenido II Bicondicional
Elaboracion de la tabla de verdad para cualquier proposicion Tautologas y contradicciones Equivalencias logicas
5 Reglas de inferencia Definiciones basicas Reglas primitivas
Encuadre
Objetivo
Aplicar los conceptos de logica matematica, conjuntos y algebra booleana en el analisis, planteamiento y solucion de problemas en el area de Informatica.
Encuadre
Temas
Encuadre
Bibliografa
• Introduccion a la logica matematica. Suppes, Patrick; Hill, Shirley. Reverte. 2004. • Matematicas discretas. Johnsonbaugh, Richard. Prentice Hall.
1999, 4ª Edicion.
Encuadre
var ocgs=host.getOCGs(host.pageNum);for(var i=0;i<ocgs.length;i++){if(ocgs[i].name=='MediaPlayButton0'){ocgs[i].state=false;}}
Encuadre
En una nacion republicana, cuyos ciudadanos deben ser guiados por la razon y la persuasion y no por la fuerza, el arte del razonamiento es de primordial importancia. -Thomas Jefferson
Encuadre
enganar nuestra percepcion, un argumento ingenioso puede enganar nuestro pensamiento. • El buen razonamiento esta
basado en principios, pero cuando los violamos es muy probable que seamos enganados –o que por descuido nos enganemos a nosotros mismos- Figura: Cascada, M.C. Escher
Encuadre
Revisa
2a =a + b 2a − 2b =a + b − 2b
2(a − b) =a + b − 2b 2(a − b) =a − b
2 =1
Proposiciones
• Con el estudio de la logica se persigue llegar a ser preciso y cuidadoso. • La logica tiene un lenguaje exacto • Se necesita de un conjunto de reglas que sean perfectamente claras
y definidas y que esten libres de las vaguedades de nuestro lenguaje.
Proposiciones
Proposiciones
• Son el material de nuestro razonamiento. • Una proposicion afirma que algo es (o no es) el caso; Todas las
proposiciones son o verdaderas o falsas. • Es posible que la verdad de algunas proposiciones nunca se conozca. • Ejemplo:
Existe vida en algun otro planeta
Proposiciones
• Las preguntas: • Las ordenes: • Las exclamaciones:
¿Por que? Por que no se pueden afirmar o negar. La verdad y la falsedad siempre se aplican a las proposiciones, pero no se aplican a las preguntas, ni a las ordenes ni a las exclamaciones.
Proposiciones
Dos oraciones diferentes pueden tener el mismo significado y usarse para aseverar la misma preposicion.
Mara gano la eleccion La eleccion fue ganada por Mara
Proposicion Es el termino que utilizamos para referirnos a aquello para lo que las oraciones declarativas se utilizan normalmente, para aseverar.
El termino enunciado no es un sinonimo exacto de proposicion, pero en logica se utiliza en el mismo sentido.
Proposiciones
Ejemplo 2.1 ¿Cuales de las siguientes son proposiciones?
1 La Tierra es no plana. 2 (2)(3) = 5 3 ¿Habla usted aleman? 4 3x + 4 = 0 5 Barra el piso. 6 La temperatura en la superficie solar es de 100C. 7 El sol saldra manana.
Proposiciones
Solucion
(1) y (2) son proposiciones (3) es una pregunta, por lo que no es una proposicion. (4) es una afirmacion declarativa, es verdadera o falsa dependiendo del valor de x. (5) es una orden, no una proposicion. (6) es una oracion declarativa que puede ser verdadera o falso por lo que s es una proposicion. (7) es una proposicion, verdadera o falsa. Habra que esperar hasta el da siguiente para verificar su veracidad.
Proposiciones
Determine si es una proposicion o no 1 El 2 de febrero de 2009 fue miercoles. 2 El codigo postal de Oscar, en Los Angeles, es 70762. 3 Escuchen, mis ninos, y oiran la cabalgata de medianoche de Paul Revere. 4 Ceda el paso al peaton. 5 5+9=13 y 4-2=1 6 5+9=14 o 4-2=0 7 Algunos numeros son positivos 8 Porfirio Daz fue presidente de Mexico en 1899. 9 Los accidentes son la principal causa de muertes en ninos menores de 10 anos.
10 ¿A donde vas a ir manana? 11 Comportate y sientate. 12 Un litro de leche pesa menos de un kilo.
Proposiciones Proposiciones simples y compuestas
Tipos de proposiciones
• Simple o atomica: Es aquella proposicion que solo hace una aseveracion. • Hoy es lunes • La empresa trabaja de lunes a sabado.
• Compuesta o molecular: Proposicion que contiene una o mas proposiciones simples, utiliza terminos de enlace. • Hoy es lunes y no hay clase • Apruebo el examen o presento examen extraordinario.
La proposicion molecular se ha constituido con dos proposiciones atomicas y el termino de enlace “y”.
Proposiciones Terminos de enlace de proposiciones
Terminos de enlace
Las palabras de enlace son de gran importancia. Por ejemplo, el termino de enlace en la proposicion
Hoy hay baile y manana entramos tarde a clases
es el termino y.
Terminos de enlace
Proposiciones Terminos de enlace de proposiciones
Identifica el termino de enlace
1 La luna no esta hecha de queso verde. 2 El viento arrastra las nubes o llovera hoy con seguridad. 3 Si estamos en diciembre entonces llegara pronto la Navidad. 4 El terreno es muy rico y hay suficiente lluvia.
Proposiciones Terminos de enlace de proposiciones
Escribe proposiciones dentro de los parentesis 1 O ( ) o ( ) 2 ( ) o ( ) 3 A la vez ( ) y ( ) 4 ( ) y ( ) 5 No ( ) 6 Si ( ) entonces ( ) 7 Si ( ), ( ) 8 Si no ( ) entonces no ( ) 9 No ocurre que ( )
Proposiciones Terminos de enlace de proposiciones
Actividad 2.1 Utilizar el parentesis para poner de manifiesto la forma de las siguientes proposiciones moleculares.
1 Juan esta aqu y Mara ha salido. 2 Si x+1=10 entonces x=9. 3 O Mara no esta aqu o Juan se ha ido. 4 Si x=5 o y=2 entonces z=9. 5 Si x¿4 y z¿0, x+z¿4. 6 Si ella disparo el arma o el no usaba chaleco antibalas entonces Jose esta muerto. 7 x = 1 y z = 2. 8 No ocurre que 0 = 1. 9 Si xy = 0, o x = 0 o y = 0.
10 No ocurre que si x + 0 = 10 entonces x = 5.
Proposiciones Terminos de enlace de proposiciones
Actividad 2.2 Senalar cada proposicion atomica con una A y cada proposicion molecular con una M. Escribir junto a cada proposicion el termino de enlace utilizado.
1 Mi hermano se caso en Colima. 2 Manana es domingo. 3 Mara es menor de 18 anos, al igual que su amiga Alma. 4 La esposa de Pedro adora los Bon Ice y los raspados. 5 Si Carlos Slim vende su compana, entonces German Larrea sera
feliz. 6 Si Luisito Rey es bueno entonces el Chapo es inocente. 7 Tengo cuatro hermanos varones o tengo cuatro hermanas.
Proposiciones Terminos de enlace de proposiciones
Actividad 2.3 Realizar el ejercicio 1 A, pagina 3-4 del libro de Suppes P., Hill S. Primer curso de logica matematica.
Proposiciones Simbologa de proposiciones y de los terminos de enlace
Simbolizacion de proposiciones
El uso de smbolos en logica simplifica el manejo de las proposiciones.
Usaremos letras mayusculas para representar proposiciones como
A, B, P, Q, R , S, T
Proposiciones Simbologa de proposiciones y de los terminos de enlace
Simbologa de proposiciones
Hace calor → P
Proposiciones Simbologa de proposiciones y de los terminos de enlace
Simbologa de proposiciones
Esta manchado → P
Proposiciones Simbologa de proposiciones y de los terminos de enlace
Simbologa de proposiciones
→
Proposiciones Simbologa de proposiciones y de los terminos de enlace
Actividad 2.4 Simbolizar las proposiciones siguientes sustituyendo las proposiciones atomicas por letras mayusculas. No utilizar V, F ni C.
1 La comida sera hoy a las tres en punto. 2 El gran oso negro andaba perezosamente por el camino de abajo. 3 La musica es muy suave o la puerta esta cerrada. 4 A este perro grande le gusta cazar gatos. 5 El pregunta por su pipa y pregunta por su escudilla. 6 Luis es un buen jugador o es muy afortunado. 7 Si Luis es un buen jugador, entonces parcipara en el pardo del
colegio.
Proposiciones Simbologa de proposiciones y de los terminos de enlace
8 California esta al oeste de Nevada y Nevada al oeste de Utah. 9 Muchos estudiantes estudian Logica en el primer ano de carrera.
10 Los gatos no acostumbran a llevar mitones. 11 Si los gatos llevan mitones, entonces los gatos pueden llevar
sombreros. 12 Se puede encontrar a Juana en casa de Susana. 13 A las focas no les crece el pelo. 14 Si Mara canta, entonces es feliz. 15 Los alumnos mayores no estan en la lista antes que los jovenes. 16 La asignatura preferida de Jaime es Matemacas. 17 Si aquellas nubes se mueven en esa direccion, entonces tendremos
lluvia.
Proposiciones Simbologa de proposiciones y de los terminos de enlace
18 Si los deseos fueran caballos, entonces los mendigos cabalgaran. 19 Esta proposicion es atomica o es molecular. 20 El sol calentaba y el agua estaba muy agradable.
Proposiciones Simbologa de proposiciones y de los terminos de enlace
Simbologa de terminos de enlace
Y Conjuncion &,∧, · O Disyuncion ∨, +, || Si . . . entonces . . . Condicional ⇒, →,− > No Negacion ∼. ¬, !
Alt 170 ¬ Alt 126 ∼
Proposiciones Simbologa de proposiciones y de los terminos de enlace
Actividad 2.5 Realizar los ejercicios 3B, 3C y 3D de las paginas 11 y 12 del libro de Suppes.
Proposiciones Simbologa de proposiciones y de los terminos de enlace
Actividad 2.6 Simbolizar las proposiciones siguientes, completamente, utilizando el smbolo logico correspondiente para los terminos de enlace. Indicar la proposicion atomica que corresponde a cada letra.
1 Juan vive en nuestra calle y Pedro en la manzana contigua. 2 Los discos antiguos de Jose son buenos pero los modernos son
todava mejores. 3 Metio la nariz y ya saco tajada. 4 El sol desaparece detras de las nubes y en seguida empieza a
refrescar.
Proposiciones Simbologa de proposiciones y de los terminos de enlace
5 El reactor se elevaba a nuestra vista y dejaba tras s una fina estela blanca.
6 Juana tiene trece anos y Rosa quince. 7 Jorge es alto y Andy es bajo. 8 La estrella de mar es un equinodermo y los erizos de mar son
tambien equinodermos. 9 Hoy es da treinta y manana sera primero.
10 El juego ha empezado y llegaremos tarde. 11 Si hace suficiente fro, entonces el lago se helara. 12 Si las luces estan encendidas, entonces la familia Alvarez esta en
casa.
Proposiciones Simbologa de proposiciones y de los terminos de enlace
13 Si dos pulsaciones se atraviesan, continuan conservando la forma original.
14 Si pierde usted el autobus, entonces tendra que andar. 15 Si usted se dirige hacia el norte, entonces llegara a Canada manana. 16 Si es un acido, entonces contiene el elemento hidrogeno. 17 Si dos y tres son cinco, entonces tres y dos son cinco. 18 Si x es igual a dos, entonces x mas uno es igual a tres. 19 Si hoy es siete, entonces el viernes es nueve. 20 Si su produccion crece, entonces Juan podra estabilizar el precio.
Terminos de enlace dominante Agrupamiento y parentesis
Agrupamiento y parentesis
( ) & ( )
Una proposicion que no contenga &,∨,¬, no necesita colocarse entre parentesis
((P) ∨ (Q)) &(R)
Terminos de enlace dominante Agrupamiento y parentesis
El metodo mas claro de poner de manifiesto la dominancia de un termino de enlace es usar el termino en la forma gramatical mas completa, ordinariamente compuesto de dos partes, una de las cuales se escribe al principio de la proposicion molecular: • A la vez ( ) y ( ) • O ( ) o ( ) • Si ( ) entonces ( )
Terminos de enlace dominante Agrupamiento y parentesis
Ejemplo Considerese la proposicion: O el esta equivocado y yo tengo razon, o quedare sorprendido.
Poniendo parentesis:
O ( el esta equivocado y yo tengo razon), o quedare sorprendido.
Simbolizando la proposicion:
(P&Q) ∨ S
Si el parentesis estuviera colocado en otra forma:
P&(Q ∨ S)
La expresion sera: A la vez el esta equivocado y yo tengo razon o quedare sorprendido.
Terminos de enlace dominante Agrupamiento y parentesis
Actividad 3.7 Cada una de las proposiciones simbolizadas siguientes es una conjuncion, por lo que el termino de enlace mayor o dominante es y. Poner los parentesis adecuadamente para indicar que y es dominante.
1 P ∨ Q&S 2 Q ∨ R&S 3 Q&R ∨ T 4 P ∨ R&R 5 R&P → T
Terminos de enlace dominante Agrupamiento y parentesis
Actividad 3.8 Cada una de las proposiciones simbolizadas siguientes es una disyuncion. Poner los parentesis adecuadamente para indicar que o es dominante.
1 P ∨ Q&S 2 Q ∨ R&S 3 Q&R ∨ T 4 P ∨ R&R 5 R ∨ P → T
Terminos de enlace dominante Agrupamiento y parentesis
Simbolizar las proposiciones matematicas siguientes: 1 Si x es mayor que 3, entonces x es igual a 4 o x es igual a 5. 2 Si a la vez x es menor que 5 y x es mayor que 3 entonces x es igual
a 4. 3 y = 5 y si x < y entonces x < 5. 4 O x es mayor que 6 y x es menor que 8 o x no es igual a 6. 5 Si x + 3 > 5 y y − 4 > 1 entonces x + y > 3.
Terminos de enlace dominante Agrupamiento y parentesis
Eliminacion de algunos parentesis
Regla 1 ⇒ es mas potente que los otros terminos de enlace.
• (P&Q)⇒ R se puede escribir simplemente como
P&Q ⇒ R
P ⇒ Q ∨ R
En la expresion (P ⇒ Q) ∨ R
no se puede eliminar el parentesis. La expresion
A⇒ (B ⇒ C) tiene un significado diferente de
(A⇒ B)⇒ C
Eliminacion de algunos parentesis
Regla 2 El signo de negacion ¬ es mas debil que cualquiera de los otros tres terminos de enlace.
• (¬P)&Q se escribe ¬P&Q • P ∨ ( Q) se escribe P ∨ ¬Q • (¬P)⇒ (¬Q) se puede escribir ¬P ⇒ ¬Q • Pero el parentesis es necesario en la expresion ¬(P&Q).
Terminos de enlace dominante Agrupamiento y parentesis
Actividad 3.9 Utilizando las reglas de prioridad sobre la potencia de los smbolos, anadir los parentesis necesarios para que el termino de enlace dominante sea el que se indica.
1 condicional P ⇒ Q ∨ R 2 disyuncion P ∨ Q&R 3 conjuncion R ⇒ S&T 4 negacion ¬R&S 5 condicional P ∨ Q ⇒ ¬R 6 negacion ¬P ⇒ Q 7 conjuncion A&B ⇒ C 8 disyuncion M ⇒ N ∨ P 9 negacion ¬P ∨ ¬Q 10 conjuncion ¬A ∨ ¬B&¬C
Proposiones logicas Valores de verdad de una proposicion
Valores de verdad de una proposicion
Tal y como lo mencionamos antes, una proposicion afirma que algo es (o no es) el caso; todas las proposiciones son o verdaderas (V) o falsas (F).
Proposiones logicas Tablas de verdad para &, ∨, ¬, ⇒, ⇔
Negacion
La negacion de un enunciado verdadero lo vuelve falso, y la negacion de un enunciado falso lo vuelve verdadero. Tabla de verdad para la negacion:
P ¬P V F F V
Proposiones logicas Tablas de verdad para &, ∨, ¬, ⇒, ⇔
Conjuncion
Dados dos enunciados cualesquiera, P y Q, solamente existen cuatro grupos de valores de verdad posibles que puedan contener. Estos cuatro casos posibles, y el valor de verdad de la conjuncion en cada uno de ellos, pueden exponerse como sigue: • Donde P es verdadera y Q es verdadera, P&Q es verdadera. • Donde P es verdadera y Q es falsa, P&Q es falsa. • Donde P es falsa y Q es verdadera, P&Q es falsa. • Donde P es falsa y Q es falsa, P&Q es falsa.
Proposiones logicas Tablas de verdad para &, ∨, ¬, ⇒, ⇔
Tabla de verdad para la conjuncion
P Q P&Q V V V V F F F V F F F F
Proposiones logicas Tablas de verdad para &, ∨, ¬, ⇒, ⇔
Disyuncion
La disyuncion de dos enunciados se forma al combinar dos proposiciones con el termino de enlace “o”, dichos componentes se llaman “disyuntos” (o “alternativas”). La palabra “o” tiene dos significados. Por ejemplo: • Los recargos se cancelaran en caso de enfermedad o desempleo. • Cuando en un restaurante dice en el menu “cafe o postre”.
Proposiones logicas Tablas de verdad para &, ∨, ¬, ⇒, ⇔
Disyuncion
Utilizaremos la “o” en el primer sentido, es decir, como disyuncion inclusiva o debil. Una disyuncion de este tipo es falsa solo en el caso de que ambos disyuntos son falsos. • Donde P es verdadera y Q es verdadera, P ∨ Q es verdadera. • Donde P es verdadera y Q es falsa, P ∨ Q es verdadera. • Donde P es falsa y Q es verdadera, P ∨ Q es verdadera. • Donde P es falsa y Q es falsa, P ∨ Q es falsa.
Proposiones logicas Tablas de verdad para &, ∨, ¬, ⇒, ⇔
Tabla de verdad para la disyuncion
P Q P ∨ Q V V V V F V F V V F F F
Proposiones logicas Tablas de verdad para &, ∨, ¬, ⇒, ⇔
Condicional
El enunciado componente que sigue al “si” se llama antecedente, y el enunciado componente que sigue a “entonces” es el consecuente.
Proposiones logicas Tablas de verdad para &, ∨, ¬, ⇒, ⇔
Tabla de verdad para el condicional
P Q P ⇒ Q V V V V F F F V V F F V
Proposiones logicas Tablas de verdad para &, ∨, ¬, ⇒, ⇔
Observe, la siguiente proposicion condicional:
Si x < 2, entonces x < 4
es verdadera para cualquier numero x sea cual sea. • Si 1 < 2, entonces 1 < 4 • Si 3 < 2, entonces 3 < 4 • Si 4 < 2, entonces 4 < 4
Proposiones logicas Tablas de verdad para &, ∨, ¬, ⇒, ⇔
Ejemplo 2.2 Determine si la proposicion es verdadera o falsa.
¬ [¬ (Estocolmo es la capital de Noruega ∨ Pars es la capital de Francia) ∨ ¬ (¬Londres es la capital de Inglaterra&Roma es la capital de Espana)]
Proposiones logicas Tablas de verdad para &, ∨, ¬, ⇒, ⇔
Bicondicional
El bicondicional es un termino de enlace que corresponde a la expresion si y solo si. Se simboliza con ⇔. Por ejemplo, la expresion
P ⇔ Q corresponde a la proposicion compuesta P si y solo si Q. Tambien se conoce como doble implicacion o equivalencia.
Proposiones logicas Tablas de verdad para &, ∨, ¬, ⇒, ⇔
Tabla de verdad para el bicondicional
P Q P ⇔ Q V V V V F F F V F F F V
Proposiones logicas Tablas de verdad para &, ∨, ¬, ⇒, ⇔
La tabla de verdad para el bicondicional se determina por la conjuncion y el condicional.
P ⇔ Q significa lo mismo que (P ⇒ Q)&(Q ⇒ P)
Proposiones logicas Elaboracion de la tabla de verdad para cualquier proposicion
Elaboracion de la tabla de verdad para cualquier proposicion
En general, una proposicion compuesta puede tener muchas partes componentes, siendo cada una de estas una proposicion por s misma, representada por alguna variable proposicional. Si una proposicion compuesta S contiene n proposiciones componentes, habra necesidad de tener 2n renglones en la tabla de verdad para S. Esta tabla de verdad puede construirse como sigue.
Proposiones logicas Elaboracion de la tabla de verdad para cualquier proposicion
Elaboracion de la tabla de verdad para cualquier proposicion I
Una tabla de verdad para una proposicion cualquiera puede construirse como sigue: • Las primeras n columnas de la tabla estan marcadas por las
variables proposicionales componentes. Se incluyen columnas adicionales para todas las combinaciones intermedias de las variables, y esto culmina en una columna con la proposicion completa.
Proposiones logicas Elaboracion de la tabla de verdad para cualquier proposicion
Elaboracion de la tabla de verdad para cualquier proposicion II
• Bajo cada uno de los primeros n encabezados, se ha anotado las 2n
posibles n-tuplas de valores de verdad para las n proposiciones componentes. • Para cada renglon se calcula, en secuencia, todos los valores de
verdad restantes.
Proposiones logicas Elaboracion de la tabla de verdad para cualquier proposicion
Ejemplo 2.3
P Q R ¬P ¬P ∨ Q ¬R (¬P ∨ Q) &¬R
Proposiones logicas Elaboracion de la tabla de verdad para cualquier proposicion
Ejemplo 2.4 Para el enunciado
(¬P&R) ∨ (¬Q&¬P)
• Elabore una tabla de verdad • Suponga que P es verdadero, Q es falso y R verdadero. Obtenga el
valor de verdad de este enunciado.
Proposiones logicas Elaboracion de la tabla de verdad para cualquier proposicion
Ejemplo 2.5 Elabore la tabla de verdad para
1 (¬B&¬A) ∨ (¬A&C) 2 (¬P&Q) ∨ ¬Q
Proposiones logicas Tautologas y contradicciones
Tautologas y contradicciones
Una proposicion que es verdadera para todos los valores posibles de sus variables propositivas se denomina tautologa. Por ejemplo:
P ∨ ¬P
Tautologas y contradicciones
A una proposicion que es falsa para todos los valores posibles de sus variables propositivas se denomina contradiccion o falacia. Por ejemplo:
P&¬P
Proposiones logicas Tautologas y contradicciones
Proposiciones condicionales Si P y Q son proposiciones, a la proposicion
P ⇒ Q
se le llama proposicion condicional o implicacion. La proposicion
Q ⇒ P es la recproca de P ⇒ Q. La contrapositiva de P ⇒ Q es la proposicion
¬Q ⇒ ¬P
Proposiones logicas Tautologas y contradicciones
Ejemplo 2.6 De la recproca y la contrapositiva de la implicacion “Si esta lloviendo entonces me mojo”.
Proposiones logicas Tautologas y contradicciones
Calcule la tabla de verdad de la proposicion
(P ⇒ Q)⇔ (¬Q ⇒ ¬P)
Proposiones logicas Tautologas y contradicciones
Teorema 2.1 Cada una de las siguientes proposiciones es una tautologa.
1 (P&Q)⇒ P 2 (P&Q)⇒ Q 3 P ⇒ (P ∨ Q) 4 Q ⇒ (P ∨ Q) 5 ¬P ⇒ (P ⇒ Q) 6 ¬(P ⇒ Q)⇒ P 7 (P&(P ⇒ Q))⇒ Q 8 (¬P&(P ∨ Q))⇒ Q 9 (¬Q&(P ⇒ Q))⇒ ¬P
10 ((P ⇒ Q)&(Q ⇒ R))⇒ (P ⇒ R)
Proposiones logicas Tautologas y contradicciones
Actividad 4.10 Verifica que cada una de las proposiciones en el Teorema 2.1 es una tautologa.
Proposiones logicas Equivalencias logicas
Equivalencias logicas
Se dice que P y Q son logicamente equivalentes si P ⇔ Q es una tautologa. Se denota P es equivalente a Q por P ≡ Q. Por ejemplo P ⇒ Q ≡ ¬Q ⇒ ¬P, pues
(P ⇒ Q)⇔ (¬Q ⇒ ¬P)
1 P ∨ Q ≡ Q ∨ P 2 P ⇒ Q ≡ ¬P ∨ Q
Proposiones logicas Equivalencias logicas
Conmutativas • P ∨ Q ≡ Q ∨ P • P&Q ≡ Q&P
Asociativas • P ∨ (Q ∨ R) ≡ (P ∨ Q) ∨ R • P&(Q&R) ≡ (P&Q)&R
Proposiones logicas Equivalencias logicas
Propiedades
Distributivas • P ∨ (Q&R) ≡ (P ∨ Q)&(P ∨ R) • P&(Q ∨ R) ≡ (P&Q) ∨ (P&R)
Idempotentes • P ∨ P ≡ P • P&P ≡ P
Proposiones logicas Equivalencias logicas
Propiedades
Negacion
1 ¬(¬P) ≡ P 2 ¬(P ∨ Q) ≡ (¬P)&(¬Q) 3 ¬(P&Q) ≡ (¬P) ∨ (¬Q)
En ocasiones se hace referencia a la propiedad 1 como la doble negacion. Las propiedades 2 y 3 de la negacion se llaman leyes de De Morgan.
Proposiones logicas Equivalencias logicas
Actividad 4.11 Demostrar todas las propiedades anteriores de las equivalencias logicas.
Proposiones logicas Equivalencias logicas
Leyes de absorcion
1 P ∨ (P&Q) ≡ P 2 P&(P ∨ Q) ≡ P 3 (P&Q) ∨ ¬Q ≡ P ∨ ¬Q 4 (P ∨ Q)&¬Q ≡ P&¬Q
Proposiones logicas Equivalencias logicas
Si T es una tautologa y M es una contradiccion 1 (T &P) ≡ P 2 (T ∨ P) ≡ T 3 (M&P) ≡ M 4 (M ∨ P) ≡ P
Proposiones logicas Equivalencias logicas
Teorema 2.2 1 (P ⇒ Q) ≡ (¬P ∨ Q) 2 (P ⇒ Q) ≡ (¬Q ⇒ ¬P) 3 (P ⇔ Q) ≡ (P ⇒ Q)&(Q ⇒ P) 4 ¬(P ⇒ Q) ≡ (P&¬Q) 5 ¬(P ⇔ Q) ≡ (P&¬Q) ∨ (Q&¬P)
Proposiones logicas Equivalencias logicas
Reglas de inferencia Definiciones basicas
Definiciones basicas
Turnstile El smbolo ` se conoce como turnstile o torniquete.
Secuencia Un numero de proposiciones separadas (que corresponden a las premisas de un argumento), por comas y seguidas por ` en modo horizontal o bien, en renglones y seguidas por una lnea horizontal.
Reglas de inferencia Definiciones basicas
Ejemplo 3.1 P&Q → R, ¬R&P ` ¬Q
P&Q → R ¬R&P ¬Q
Reglas de inferencia Definiciones basicas
Prueba o demostracion Es una secuencia de lneas que contienen proposiciones. Cada proposicion es una suposicion o el resultado de aplicar una regla de demostracion a proposiciones previas en la secuencia.
Anotacion A la derecha de cada proposicion hacemos una anotacion que especifica la regla de demostracion que se aplico y a cuales proposiciones previas para conducir a la proposicion dada.
Reglas de inferencia Definiciones basicas
Conjunto de suposiciones Contiene a las suposiciones en las cuales la proposicion dada depende.
Numero de lnea A la izquierda, escribimos el numero de lnea de la prueba.
Prueba para argumento dado Es una prueba cuya ultima proposicion es la conclusion del argumento y depende unicamente en las premisas del argumento.
Reglas de inferencia Definiciones basicas
Ejemplo 3.2 Conjunto de suposiciones Numero de lnea Proposicion Anotacion
1,2 (7) P → Q&R 6→ I(3)
Reglas de inferencia Reglas primitivas
Reglas primitivas
Suposicion Se supone cualquier proposicion. Anotacion: Sup Conjunto de suposiciones: El numero de lnea
Nota: Cualquier cosa se puede suponer en cualquier momento. Algunas suposiciones son utiles y otras no.
Ejemplo 3.3 1 (1) P ∨ Q Sup
Reglas de inferencia Reglas primitivas
Conjuncion
Dadas dos proposiciones en las lneas m y n, concluimos una conjuncion de ellas. Anotacion: Conj(m, n) Conjunto de suposiciones: La union del conjunto de
suposiciones en las lneas m y n.
Reglas de inferencia Reglas primitivas
Ejemplo 3.4 Conjunto de suposiciones Numero de lnea Proposicion Anotacion 1 (1) P Sup 2 (2) Q Sup 1,2 (3) P&Q Conj(1,2) 1,2 (4) Q&P Conj(1,2) 1 (5) P&P Conj(1,1)
Reglas de inferencia Reglas primitivas
Ejemplo 3.5 Conjunto de suposiciones Numero de lnea Proposicion Anotacion 1 (1) P Sup 2 (2) Q Sup 1,2 (3) P&Q Conj(1,2) 1,2 (4) Q&P Conj(1,2) 1 (5) P&P Conj(1,1)
Reglas de inferencia Reglas primitivas
Simplificacion
Dada una proposicion que es una conjuncion en la lnea m, concluimos cualquiera de las proposiciones que forman la conjuncion. Anotacion: Simp(m) Conjunto de suposiciones: Las mismas que
en la lnea m
Reglas de inferencia Reglas primitivas
Ejemplo 3.6 Conjunto de suposiciones Numero de lnea Proposicion Anotacion 1 (1) P&Q Sup 1 (2) Q Simp(1) 1 (3) P Simp(1)
Ejemplo 3.7 Conjunto de suposiciones Numero de lnea Proposicion Anotacion 1 (1) P&(Q → R) Sup 1 (2) Q → R Simp(1)
Reglas de inferencia Reglas primitivas
Adicion
Dada una proposicion en la lnea m, concluimos cualquier disyuncion que la tenga como disyunto. Anotacion: Ad(m) Conjunto de suposiciones: El mismo que en
la lnea m.
Reglas de inferencia Reglas primitivas
Ejemplo 3.8 Suposiciones Numero de lnea Proposicion Anotacion 1 (1) P Sup 1 (2) P ∨ Q Ad(1) 1 (3) (R ↔ ¬T ) ∨ P Ad(1)
Ejemplo 3.9 1 (1) Q → R Sup 1 (2) (Q → R) ∨ (P&¬S) Ad(1)
Reglas de inferencia Reglas primitivas
Modus Tollendo Ponens
Dada una proposicion en la lnea m que es una disyuncion y otra proposicion en la lnea n que es una negacion de uno de sus disyuntos concluimos el otro disyunto. Anotacion: MTP(m, n) Conjunto de suposiciones: La union del conjunto de
suposiciones en las lneas m y n.
El orden de m y n es irrelevante.
Reglas de inferencia Reglas primitivas
Ejemplo 3.10 Suposiciones Numero de lnea Proposicion Anotacion 1 (1) P ∨ Q Sup 2 (2) ¬P Sup 1,2 (3) Q MTP(1,2)
Ejemplo 3.11 Suposiciones Numero de lnea Proposicion Anotacion 1 (1) P ∨ (Q → R) Sup 2 (2) ¬(Q → R) Sup 1,2 (3) P MTP(1,2)
Reglas de inferencia Reglas primitivas
Ejemplo 3.12 Suposiciones Numero de lnea Proposicion Anotacion 1 (1) P ∨ ¬R Sup 2 (2) R Sup 1,2 (3) P MTP(1,2)
Reglas de inferencia Reglas primitivas
Prueba condicional
Dada una proposicion en la lnea n, concluimos un condicional que la tiene como consecuente y cuyo antecedente aparece en la prueba como una suposicion en la lnea m. Anotacion: PCond(m→ n) Conjunto de suposiciones: Las suposiciones en la lnea n
a excepcion de m. El antecedente debe estar presente en la prueba como una suposicion. Las lneas m y n podran ser las mismas.
Reglas de inferencia Reglas primitivas
Ejemplo 3.13 Suposiciones Numero de lnea Proposicion Anotacion 1 (1) ¬P ∨ Q Sup 2 (2) P Sup 1,2 (3) Q MTP(1,2) 1 (4) P → Q PCond(2→ 3)
Ejemplo 3.14 Suposiciones Numero de lnea Proposicion Anotacion 1 (1) P Sup
(2) P → P PCond(1→ 1)
Reglas de inferencia Reglas primitivas
Ejemplo 3.15 Suposiciones Numero de lnea Proposicion Anotacion 1 (1) R Sup 2 (2) P Sup 2 (3) P → R PCond(2→ 1)
Reglas de inferencia Reglas primitivas
Modus Ponendo Ponens
Dada una proposicion condicional en la lnea m y otra proposicion condicional que es el antecedente en la lnea n, concluimos el consecuente del condicional. Anotacion: MPP(m, n) Conjunto de suposiciones: La union del conjunto de
suposiciones en las lneas m y n.
Reglas de inferencia Reglas primitivas
Ejemplo 3.16 Suposiciones Numero de lnea Proposicion Anotacion 1 (1) P → Q Sup 2 (2) P Sup 1,2 (3) Q MPP(1, 2)
Reglas de inferencia Reglas primitivas
Reduccion al absurdo Dadas tanto una proposicion como su negacion en las lneas m y n, concluimos la negacion de alguna suposicion que aparezca en la prueba en la lnea k . Anotacion: RAA(m, n)k Conjunto de suposiciones: La union del conjunto de
suposiciones en las lneas m y n excluyendo k
La proposicion en la lnea k es conocida como la suposicion de reduccion. La conclusion debe ser la negacion de esta. Las proposiciones en las lneas m y n deben ser la negacion una de la otra.
Reglas de inferencia Reglas primitivas
Ejemplo 3.17 Suposiciones Numero de lnea Proposicion Anotacion 1 (1) P → Q Sup 2 (2) ¬Q Sup 3 (3) P Sup 1,3 (4) Q MPP(1, 3) 1,2 (5) ¬P RAA(2, 4)3
Reglas de inferencia Reglas primitivas
Ejemplo 3.18 Suposiciones Numero de lnea Proposicion Anotacion 1 (1) P ∨ Q Sup 2 (2) ¬P Sup 3 (3) ¬P → ¬Q Sup 2,3 (4) ¬Q MPP(2, 3) 1,2,3 (5) P MTT(1, 4)3 1,3 (6) P RAA(2, 5)2
Reglas de inferencia Reglas primitivas
Ejemplo 3.19 Suposiciones Numero de lnea Proposicion Anotacion 1 (1) P Sup 2 (2) Q Sup 3 (3) ¬Q Sup 2,3 (4) ¬P RAA(2, 3)1
Reglas de inferencia Reglas primitivas
Bicondicional
Dadas dos proposiciones condicionales con las formas P → Q y Q → P en las lneas m y n, concluimos un bicondicional con P en un lado y Q en el otro. Anotacion: Bicon(m, n) Conjunto de suposiciones: La union del conjunto de
suposiciones en las lneas m y n.
Reglas de inferencia Reglas primitivas
Ejemplo 3.20 Suposiciones Numero de lnea Proposicion Anotacion 1 (1) P → Q Sup 2 (2) Q → P Sup 1,2 (3) P ↔ Q Bicon(1,2) 1,2 (4) Q ↔ P Bicon(1,2)
Reglas de inferencia Reglas primitivas
Separar el bicondicional
Dado una proposicion bicondicional P ↔ Q, concluimos ya sea P ↔ Q o Q ↔ P. Anotacion: SBicon(m) Conjunto de suposiciones: El conjunto de
suposiciones en la lnea m.
Reglas de inferencia Reglas primitivas
Ejemplo 3.21 Suposiciones Numero de lnea Proposicion Anotacion 1 (1) P ↔ Q Sup 1 (2) Q → P SBicon(1) 1 (3) P → Q SBicon(1)
Encuadre
Proposiciones
Simbología de proposiciones y de los términos de enlace
Términos de enlace dominante
Tablas de verdad para &,,,,
Tautologías y contradicciones
![Miguel Ramos Carretero - KTH · Miguel Ramos Carretero Beyond visuals! 2 Song vs Song (2012) [1] LandSeed v1.0 (2013) [2] Virtual characters Perception ... Miguel Ramos Carretero](https://static.fdocuments.net/doc/165x107/5adbb3e07f8b9a6d318e7c1e/miguel-ramos-carretero-ramos-carretero-beyond-visuals-2-song-vs-song-2012-1.jpg)
