Dr.-Ing. René Marklein - NFT I - Lecture 12 / Vorlesung 12 - WS 2006 / 2007 1 Numerical Methods of...
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Dr.-Ing. René Marklein - NFT I - Lecture 12 / Vorlesung 12 - WS 2006 / 2007 1
Numerical Methods of Electromagnetic Field Theory I (NFT I)
Numerische Methoden der Elektromagnetischen Feldtheorie I (NFT I) /
12th Lecture / 12. Vorlesung
Universität KasselFachbereich Elektrotechnik /
Informatik (FB 16)
Fachgebiet Theoretische Elektrotechnik
(FG TET)Wilhelmshöher Allee 71Büro: Raum 2113 / 2115
D-34121 Kassel
Dr.-Ing. René [email protected]
http://www.tet.e-technik.uni-kassel.dehttp://www.uni-kassel.de/fb16/tet/marklein/index.html
University of KasselDept. Electrical Engineering /
Computer Science (FB 16)Electromagnetic Field Theory
(FG TET)Wilhelmshöher Allee 71
Office: Room 2113 / 2115D-34121 Kassel
Dr.-Ing. René Marklein - NFT I - Lecture 12 / Vorlesung 12 - WS 2006 / 2007 2
FIT Discretization of the 3rd and 4th Maxwell’s Equation /FIT-Diskretisierung der 3. und 4. Maxwellschen Gleichung
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Maxwellsche Gleichungen in Integralform
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Maxwellsche Gittergleichungen
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Dr.-Ing. René Marklein - NFT I - Lecture 12 / Vorlesung 12 - WS 2006 / 2007 3
3-D FIT – Electrostatic Case / 3D-FIT – Elektrostatischer Fall
Electric Gauss’ grid equation – 3rd Maxwell’s grid equation in global matrix form / Elektrische Gaußsche Gittergleichung – 3. Maxwellsche Gittergleichung in globaler Matrixform
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Inhomogeneous, anisotropic case / Inhomogener anisotroper Fall
Homogeneous, isotropic case / Homogener isotroper Fall
Dr.-Ing. René Marklein - NFT I - Lecture 12 / Vorlesung 12 - WS 2006 / 2007 4
3-D FIT – Electrostatic Case / 3D-FIT – Elektrostatischer Fall
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e
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D R ε R E R
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Inhomogeneous, anisotropic case / Inhomogener anisotroper Fall
Homogeneous, isotropic case / Homogener isotroper Fall
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Dr.-Ing. René Marklein - NFT I - Lecture 12 / Vorlesung 12 - WS 2006 / 2007 5
FIT Discretization of Scalar Electric Potential /FIT-Diskretisierung des skalaren elektrischen Potentials
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Dr.-Ing. René Marklein - NFT I - Lecture 12 / Vorlesung 12 - WS 2006 / 2007 6
FIT Discretization of Scalar Electric Potential /FIT-Diskretisierung des skalaren elektrischen Potentials
( )nyE
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exn M
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zn M
( )e
yn M
Integral form / IntegralformIntegral form / Integralform
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e e2 1
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FIT Discretization of Scalar Electric Potential /FIT-Diskretisierung des skalaren elektrischen Potentials
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e e2 1
C C
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Dr.-Ing. René Marklein - NFT I - Lecture 12 / Vorlesung 12 - WS 2006 / 2007 8
3-D FIT – Electrostatic Case / 3D-FIT – Elektrostatischer Fall
Electrostatic Poisson’s grid equation / Elektrostatische Poissonsche Gittergleichung
1e
E R grad
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ee
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RR
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Inhomogeneous, anisotropic case / Inhomogener anisotroper Fall
Homogeneous, isotropic case / Homogener isotroper Fall
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3-D FIT – Electrostatic Case / 3D-FIT – Elektrostatischer Fall
Electrostatic Poisson’s grid equation / Elektrostatische Poissonsche Gittergleichung
1e e
div ε S R grad V ρ
3 3
3 3
1
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3-D FIT – Electrostatic Case / 3D-FIT – Elektrostatischer Fall
Electrostatic Poisson’s grid equation / Elektrostatische Poissonsche Gittergleichung
1e e
div ε S R grad V ρ
1
1diag 0 0
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N N
N N
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Dr.-Ing. René Marklein - NFT I - Lecture 12 / Vorlesung 12 - WS 2006 / 2007 11
3-D FIT – Electrostatic Case / 3D-FIT – Elektrostatischer Fall
e
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Dr.-Ing. René Marklein - NFT I - Lecture 12 / Vorlesung 12 - WS 2006 / 2007 12
3-D FIT – Electrostatic Case / 3D-FIT – Elektrostatischer Fall
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Dr.-Ing. René Marklein - NFT I - Lecture 12 / Vorlesung 12 - WS 2006 / 2007 13
3-D FIT – Electrostatic Case / 3D-FIT – Elektrostatischer Fall
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Dr.-Ing. René Marklein - NFT I - Lecture 12 / Vorlesung 12 - WS 2006 / 2007 14
3-D FIT – Electrostatic Case / 3D-FIT – Elektrostatischer Fall
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Dr.-Ing. René Marklein - NFT I - Lecture 12 / Vorlesung 12 - WS 2006 / 2007 15
3-D FIT – Electrostatic Case / 3D-FIT – Elektrostatischer Fall
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n Mn Mn n M nM xx M yy M zz MI S S S
Dr.-Ing. René Marklein - NFT I - Lecture 12 / Vorlesung 12 - WS 2006 / 2007 16
3-D FIT – Electrostatic Case / 3D-FIT – Elektrostatischer Fall
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
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t x y zS S S I S S S
Dr.-Ing. René Marklein - NFT I - Lecture 12 / Vorlesung 12 - WS 2006 / 2007 17
N N
A
Discrete Poisson’s Grid Equation / Diskrete Poissonsche Gittergleichung
1
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) e
e ( )
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zM
xM
yM
zM
Dr.-Ing. René Marklein - NFT I - Lecture 12 / Vorlesung 12 - WS 2006 / 2007 18
3-D FIT – Electrostatic Case / 3D-FIT – Elektrostatischer Fall
Electrostatic Poisson’s grid equation / Elektrostatische Poissonsche Gittergleichung
1e e
div ε S R grad V ρ
0 r3 3 3 3
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13 3
3
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1
( )
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N N
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x
x
x
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S I
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Homogeneous isotropic case for a cubic grid complex / Homogener isotroper Fall für ein kubischen Gitterkomplex
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2
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2
e e0 r
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div grad ρ
Electrostatic Poisson’s grid equation / Elektrostatische Poissonsche Gittergleichung
Dr.-Ing. René Marklein - NFT I - Lecture 12 / Vorlesung 12 - WS 2006 / 2007 19
Band Structure of the Div-Grad-Operator in Matrix Form / Bandstruktur des Div-Grad-Operators in Matrixform
T
T
T
TT T
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x
x y z y
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P
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1
1
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1
1
11
11
Dr.-Ing. René Marklein - NFT I - Lecture 12 / Vorlesung 12 - WS 2006 / 2007 20
Band Structure of the Div-Grad-Operator in Matrix Form / Bandstruktur des Div-Grad-Operators in Matrixform
11
1
1
1
1
div grad
1
1
11
11
121
1
21
1
2
1
16
11
1
1
1
Dr.-Ing. René Marklein - NFT I - Lecture 12 / Vorlesung 12 - WS 2006 / 2007 21
Band Structure of the Div-Grad-Operator in Matrix Form / Bandstruktur des Div-Grad-Operators in Matrixform
div grad
16
1
1
1
1
1
div grad
161
1
1
1
1
div grad
14
1
1
1
div grad
141
1
1
3-D case / 3D-Fall
3-D case / 3D-Fall
2-D case in thexz plane /
2D-Fall in derxz-Ebene
2-D case in thexz plane /
2D-Fall in derxz-Ebene
Dr.-Ing. René Marklein - NFT I - Lecture 12 / Vorlesung 12 - WS 2006 / 2007 22
Numerical Methods for Linear Systems / Numerische Methoden für lineare Gleichungssysteme
A x b
One the simplest type of iterative methods for solving the linear system / Einer der einfachsten Typen von iterativen Methoden zur Lösung des linearen
Gleichungssystems
• Jacobi method (J method) / Jacobi-Methode (J-Methode)
• Gauss-Seidel method (GS method) / Gauß-Seidel-Methode (GS-Methode)
• Successive overrelaxation method (SOR method) / Überrelaxationsverfahren (SOR-Methode)
• Symmetric successive overrelaxation method (SSOR method) / Symmetrisches Überrelaxationsverfahren (SSOR-Methode)
• Jacobi method (J method) / Jacobi-Methode (J-Methode)
• Gauss-Seidel method (GS method) / Gauß-Seidel-Methode (GS-Methode)
• Successive overrelaxation method (SOR method) / Überrelaxationsverfahren (SOR-Methode)
• Symmetric successive overrelaxation method (SSOR method) / Symmetrisches Überrelaxationsverfahren (SSOR-Methode)
• Gaussian elimination (Gauss method) / Gaußsches Eliminationsverfahren (Gauß-Methode)• Gaussian elimination (Gauss method) / Gaußsches Eliminationsverfahren (Gauß-Methode)
• Conjugate gradient method (CG method) / Konjugierte Gradientenmethode (KG-Methode)
• Multi grid methods (MG method) / Mehrgitterverfahren (MG-Methode)
• Algebraic multi grid method (AMG method) / Algebraische Mehrgitterverfahren (AMG-Methode)
• Conjugate gradient method (CG method) / Konjugierte Gradientenmethode (KG-Methode)
• Multi grid methods (MG method) / Mehrgitterverfahren (MG-Methode)
• Algebraic multi grid method (AMG method) / Algebraische Mehrgitterverfahren (AMG-Methode)
Dr.-Ing. René Marklein - NFT I - Lecture 12 / Vorlesung 12 - WS 2006 / 2007 23
Numerical Methods for Linear Systems / Numerische Methoden für lineare Gleichungssysteme
Algebraic multi grid method (AMG method) / Algebraische Mehrgitterverfahren (AMG-Methode) Algebraic multi grid method (AMG method) / Algebraische Mehrgitterverfahren (AMG-Methode)
Dr.-Ing. René Marklein - NFT I - Lecture 12 / Vorlesung 12 - WS 2006 / 2007 24
Numerical Methods for Linear Systems / Numerische Methoden für lineare Gleichungssysteme
Algebraic multi grid method (AMG method) / Algebraische Mehrgitterverfahren (AMG-Methode) Algebraic multi grid method (AMG method) / Algebraische Mehrgitterverfahren (AMG-Methode)
Dr.-Ing. René Marklein - NFT I - Lecture 12 / Vorlesung 12 - WS 2006 / 2007 25
Iterative Methods for Linear Systems / Iterative Methoden für lineare Gleichungssysteme
A x b
LU decomposition of matrix [A] /LU-Zerlegung der Matrix [A]
A L D U
21
31 32
1 2 ( 1)
11 22
12 1
( 2)
( 1)
0 0 0
0
0
0 0
0
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0
0 0
0 0
0
0 0 0 0
N N N N N N
NN N N
N
N N
N N
N N
A
A A
A A A
A A A
A A
A
A
L
D
U
Lower triangular matrix / Unter Dreiecksmatrix
Main diagonal matrix / Hauptdiagonalmatrix
Upper triangular matrix / Obere Dreiecksmatrix
A x b L D U x b D x L U x b
Dr.-Ing. René Marklein - NFT I - Lecture 12 / Vorlesung 12 - WS 2006 / 2007 26
Iterative Methods for Linear Systems / Iterative Methoden für lineare Gleichungssysteme
1 1
cG
A x b
L D U x b
D x L U x b
x D L U x D b
G x c
( 1) ( ) 1, 2, ,l l l L
x G x c
x G x c
• Jacobi method (J method) / Jacobi-Methode (J-Methode)
• Gauss-Seidel method (GS method) / Gauß-Seidel-Methode (GS-Methode)
• Successive overrelaxation method (SOR method) / Überrelaxationsverfahren (SOR-Methode)
• Symmetric successive overrelaxation method (SSOR method) / Symmetrisches Überrelaxationsverfahren (SSOR-Methode)
• Jacobi method (J method) / Jacobi-Methode (J-Methode)
• Gauss-Seidel method (GS method) / Gauß-Seidel-Methode (GS-Methode)
• Successive overrelaxation method (SOR method) / Überrelaxationsverfahren (SOR-Methode)
• Symmetric successive overrelaxation method (SSOR method) / Symmetrisches Überrelaxationsverfahren (SSOR-Methode)
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Jacobi Method / Jacobi-Methode
( 1) ( )JJ
1J
1J
1, 2, ,l l l L
x G x c
G D L U
c D b
( )( 1)J, J,
1
1, 2, ,N
lli ij ij
j
x G x c l L
1( 1) ( ) ( )
J, J, J,1 1
1, 2, ,i N
l l lij ij ii j j
j j i
x G x G x c l L
It follows with the LU decomposition of matrix [A] /Mit der LU-Zerlegung der Matrix [A] folgt
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Jacobi Method / Jacobi-Methode
A L D U
div grad
=
A
141
1
1
JJ
1 1JJ
cG
x D L U x D b G x c
1
1
1
1
4
1J
G D L U
1
1
1
1
1
4
2
e e0 r
( )x
div grad ρ2-D case in the xz plane / 2D-Fall in der xz-Ebene
2-D case in the xz plane / 2D-Fall in der xz-Ebene
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Jacobi & Gauss-Seidel Method / Jacobi- & Gauss-Seidel-Methode
( , ) ( , )( , ) ( , )( , 1) ( )1
4x xz zn M l n M ln M l n M ln l nx x x x x b
( 1) ( )JJ
1J
1J
1, 2, ,l l l L
x G x c
G D L U
c D b
( , 1) ( , )( , 1) ( , )( , 1) ( )1
4x xz zn M l n M ln M l n M ln l nx x x x x b
( 1) ( )GSGS
1
GS
1
GS
1, 2, ,l l l L
x G x c
G D L U
c D L b
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Successive Overrelaxation Method (SOR Method) / Überrelaxationsverfahren (SOR-Methode)
( 1)( 1) ( ) ( )
( 1)( )
1, 2, ,
1
ll l l
ll
l L
x x x x
x x
( 1)
( 1)
Algebraic field vector at the iteration step / :
Algebrischer Feldvektor zum Iterationsschritt
Gauss-Seidel value at the iteration step /:
Gauß-Seidel-Wert zum Iterationsschritt
R :
l
l
l
l
l
l
x
x
elaxatios Parameter /
Relaxationsparameter
Under relaxation method /0 1 :
Unterrelaxationsmethode
Gauss-Seidel method /1 :
Gauß-Seidel-Methode
Over relaxation method /1 2 :
Überrelaxationsmethod
Dr.-Ing. René Marklein - NFT I - Lecture 12 / Vorlesung 12 - WS 2006 / 2007 31
Successive Overrelaxation Method (SOR Method) / Überrelaxationsverfahren (SOR-Methode)
( 1)( 1) ( ) ( )
( 1)( )
1, 2, ,
1
ll l l
ll
l L
x x x x
x x
( 1) ( ) ( 1)
1( ) ( 1) ( )
J, J, J,1 1
1
1 1, 2, ,
l l li i i
i Nl l l
ij ij ii j jj j i
x x x
x G x G x c i N
1
( 1) ( ) ( 1) ( )1 1J,
1 1
1 1, 2, ,i N
l l l lii ij ii ij ii i j j
j j i
x x D L x D U x c i N
1 1 1( 1) ( ) ( 1) ( )1 1, 2, ,
l l l li N x x D L x D U x D b
SORSOR
1 1( 1) ( )1 1, 2, ,
l li N
cG
x D L D U x D L b
Dr.-Ing. René Marklein - NFT I - Lecture 12 / Vorlesung 12 - WS 2006 / 2007 32
Successive Overrelaxation Method (SOR Method) / Überrelaxationsverfahren (SOR-Methode)
( 1)( 1) ( ) ( )
( 1)( )
1, 2, ,
1
ll l l
ll
l L
x x x x
x x
SORSOR
1 1( 1) ( )1 1, 2, ,
l li N
cG
x D L D U x D L b
1
SOR
1
SOR
1
G D L D U
c D L b
( 1) ( )SORSOR
1, 2, ,l l l L x G x c
Dr.-Ing. René Marklein - NFT I - Lecture 12 / Vorlesung 12 - WS 2006 / 2007 33
Symmetric Successive Overrelaxation Method (SSOR Method) / Symmetrische Überrelaxationsverfahren (SSOR-
Methode)
1 1
2 2
1 1
2 2
1( ) ( )
J, J, J,1 1
11 ( 1)
J, J, J,1 1
1 1, 2, ,
1 , 1, ,1
i Nl ll l
ij ij ii i j jj j i
i Nl ll l
ij ij ii i j jj j i
x x G x G x c i N
x x G x G x c i N N
1 1( ) ( )1 1 1( ) ( )2 2
1 1( ) ( )1 1 1( 1) ( )2 2
1 1, 2, ,
1 , 1, ,1
l ll l
l ll l
i N
i N N
x x D L x D U x D b
x x D L x D U x D b
Forward SOR step / Vorwärts-SOR-Schritt
Forward SOR step / Vorwärts-SOR-Schritt
Backward SOR step / Rückwärts-SOR-Schritt
Backward SOR step / Rückwärts-SOR-Schritt
Dr.-Ing. René Marklein - NFT I - Lecture 12 / Vorlesung 12 - WS 2006 / 2007 34
Convergence of Point Iterative Methods / Konvergenz von punktiterativen Methoden
1,2,...,
SOR
SSOR
max
1
0 2
0 2
nn N
G G
G
Dr.-Ing. René Marklein - NFT I - Lecture 12 / Vorlesung 12 - WS 2006 / 2007 35
Error Vector and Error Measure / Fehlervektor und Fehlermaß
SOR,opt
J
2
J
J
2
JSOR
J
SSOR
J
1J
2
1 1
11 1
1 1
1
4
2
1 2 1
cosD
dd N
D
G
G
G
GG
G
L U
G
G
Symmetric positive definite [A] matrix /
Symmetrische positiv-definite [A] Matrix
Approximation for a D-dimensional Dirichlet problem / Approximation für ein D-dimensionales Dirichlet-Problem
Dr.-Ing. René Marklein - NFT I - Lecture 12 / Vorlesung 12 - WS 2006 / 2007 36
Optimal Relaxation / Optimaler Relaxationsparameter
( 1) ( )
( ) ( )
( 1) ( )
( )
(l+1) ( , 1) ( , )max
1,2,...,
( , 1) ( , )(l+1)rel,max ( , 1)1,2,...,
lim 0
max
max
l l
l l
l l
l
l
n l n l
n N
n l n l
n ln N
x G x c
x G x c
ε x x
ε G ε
ε
Dr.-Ing. René Marklein - NFT I - Lecture 12 / Vorlesung 12 - WS 2006 / 2007 37
nMedium
(2)Medium
(1)
Medium
nTransition Conditions / Übergangsbedingungen Boundary Conditions / Randbedingungen
(2) (1)
(2) (1)e e e0
(2) (2)e
(1)(2) (1)re e e(2) (2)
r 0 r
0
const.
( )
1( )
tan tan
n n
E E
D D
n n
R R
R R
R R R
R R R
e e0
e
e e0 r
0
const.
( )
1( )
tan
n
E
D
n
R
R
R R
R R
I(nterface)SR B(oundary)SR
Electrostatic (ES) Fields / Elektrostatische (ES) Felder
(2) (1)
(2) (2)e
0
( )
tan tan
n n
E E
D D
R R
R R R
e
0 pec / iel
( ) pec / iel
tan
n
E
D
R
R R
e ( )
pec/iel
R
Dr.-Ing. René Marklein - NFT I - Lecture 12 / Vorlesung 12 - WS 2006 / 2007 38
Boundary conditions for the electrostatic potential / Randbedingungen für die elektrostatische Potential
e e 0 e 0
e e0 r
const. ( 0 V)
1( )
n
R
R R
Medium
nB(oundary)SR
e, , ( )E R D R R
Electrostatic (ES) Fields / Elektrostatische (ES) Felder
e ( ) R
e ( )
pec/iel
R
Dirichlet Boundary Condition for Фe /
Dirichlet-Randbedingung für Фe
Neumann Boundary Condition for Фe /
Neumann-Randbedingung für Фe
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Example: 2-D Dirichlet Problem / Beispiel: 2D-Dirichlet-Problem
ee
0 r
( )( )
x zx z
S
R e e
RR R
(1)e (2)
e (3)e
e 0 e 0 e 0 e 0 e 0
e 0 e 0 e 0 e 0 e 0
e 0
e 0
e 0
e 0
e 0
e 0
(4)e (5)
e (6)e
(7)e (8)
e (9)e
(1)e
(2)e
(3)e
(4)e
(5)e
(6)e
(7)e
(8)e
(9)e
4 1 0 1 0 0 0 0 0
1 4 1 0 1 0 0 0 0
0 1 4 0 0 1 0 0 0
1 0 0 4 1 0 1 0 0
0 1 0 1 4 1 0 1 0
0 0 1 0 1 4 0 0 1
0 0 0 1 0 0 4 1 0
0 0 0 0 1 0 1 4 1
0 0 0 0 0 1 0 1 4
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
b
b
b
b
b
b
b
b
b
e ( ) 0 DC S R R
( ) ( )e 0n n
Dx n C S
(1)e
(2)e
(3)e
(4)e
(5)e
(6)e
(7)e
(8)e
(9)e
2
e e0 r
( )x
xAb
div grad ρ
e e0 r
1( ) ( ) d
S V VV
S
R dS R
R
Dirichlet boundary condition for Фe / Dirichlet-Randbedingung für Фe
Dirichlet boundary condition for Фe / Dirichlet-Randbedingung für Фe
Dr.-Ing. René Marklein - NFT I - Lecture 12 / Vorlesung 12 - WS 2006 / 2007 40
Example: 2-D Dirichlet Problem / Beispiel: 2D-Dirichlet-Problem
3 7 11 15 19 23 27 31N N N N N N N N
e e 0 s s s ss( , ) ( ) ( ) x zx z x x z z x z R R e e
Dr.-Ing. René Marklein - NFT I - Lecture 12 / Vorlesung 12 - WS 2006 / 2007 41
Example: 2-D Dirichlet Problem / Beispiel: 2D-Dirichlet-Problem
Dr.-Ing. René Marklein - NFT I - Lecture 12 / Vorlesung 12 - WS 2006 / 2007 42
End of Lecture 12 /Ende der 12. Vorlesung