Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - WS 06 - Lecture 6 / Vorlesung 6 1 Elektromagnetische Feldtheorie I...

Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - WS 06 - Lecture 6 / Vorlesung 6 1

Elektromagnetische Feldtheorie I (EFT I) /

Electromagnetic Field Theory I (EFT I)

6th Lecture / 6. Vorlesung

University of KasselDept. Electrical Engineering /

Computer Science (FB 16)Electromagnetic Field Theory

(FG TET)Wilhelmshöher Allee 71

Office: Room 2113 / 2115D-34121 Kassel

Universität KasselFachbereich Elektrotechnik /

Informatik (FB 16)

Fachgebiet Theoretische Elektrotechnik

(FG TET)Wilhelmshöher Allee 71Büro: Raum 2113 / 2115

D-34121 Kassel

Dr.-Ing. René [email protected]

http://www.tet.e-technik.uni-kassel.dehttp://www.uni-kassel.de/fb16/tet/marklein/index.html

mailto:[email protected]

http://www.tet.e-technik.uni-kassel.de/

http://www.uni-kassel.de/fb16/tet/marklein


ES Fields / ES FelderPoint Charge Concept / Konzept der Punktladung (1)

e e

Sphere e0 ( )

( ) d ( ) dS V V

R Q

S V Q

R

D R n R

ES Fields / ES FelderElectrostatic Point Source / Elektrostatische Punktquelle (1)

Electrostatic (ES) Fields – Point Charge Concept /Elektrostatische (ES) Felder – Konzept der Punktladung

x

0R y

z

eQ

Re

e e

e 2

( ) ( ) ( )1( ) ( , ) ( , )R R

R

RR R

E R R

e e

0 21( ) ( ) ( , )RRR

D R D e

x

0R y

z

( )D R

eQ

21R

Sphere Sphere 0 0

20

0 02 20 01

4

0

e

1 1( , ) ( , )d d

4

R R

R RS V S V

R

S SR R

Q

e e

e

04Q

ee

0( )

4Q

RR


ES Fields / ES FelderPoint Charge Concept / Konzept der Punktladung (..)

e ( ) ?infinite / unendlich

R


Electrostatic (ES) Fields – Point Charge Concept /Elektrostatische (ES) Felder – Konzept der Punktladung (...)

e e( )dSV

V Q R

3e [As/m Coulomb]Q

Point Source / Punktquelle

Mathematically Nonsense / Mathematischer Unsinn

To Define Something New / Definiere etwas Neues

0SV

Integration Theory of Riemann /Riemannsche Integralrechnung:

e ( )d 0SV

V R

eQSV

R

O


ES Fields / ES FelderPoint Charge Concept / Konzept der Punktladung

e e ( )V

Q dV R


Electrostatic Charge /Elektrostatisches Ladung

ee

QV

e

e e0

lim

V

Q V

e e Q V V

0 V

Small Volume / Kleines Volumen

Point / Punkt

Electrostatic Volume Charge Density /Elektrostatisches RaumladungsdichteElectrostatic Charge /Elektrostatisches Ladung

Constant / Konstant


In the Limit / Grenzübergang

ΔQe =Constant if ΔV Goes to Zero, than the Volume Charge Density must go to Infinity. /ΔQe=konstant bleiben soll wenn ΔV nach null geht, dann muss die Raumladungsdichte nach unendlich gehen.


0

0 0

0 0 0

( ) d 1

( ) ( ) d ( )

( ) ( ) ( ) ( )

x

x

x x x

f x x x x f x

f x x x f x x x

( )x

x

Sifting Property / Siebeigenschaft

Delta-Function / Delta-Funktion δ-Distribution / δ-Distribution δ-Dirac-Pulse / δ-Dirac-Impuls

Distribution Generalized Function /

Verallgemeinerte Funktion

ES Fields / ES Felder Point Charge Concept / Konzept der Punktladung (2)


1-D Delta-Distribution / 1D Delta-Distribution

1

Goes to Infinity /Geht nach Unendlich

(Limited to 1 only for Visualization / Begrenzt auf 1 wegen der Visualisierung)

for/für" " 0

( ) = 0 0for/

für

xx

x

0( )x x

0x x x

( )f x

0( )f x

Definition of the δ –Distribution /Definition der δ –Distribution

1

1m , ( )m

x x

The Unit of the Delta-Distribution is the Inverse Unitof the Argument / Die Einheit der Delta-Distributionist die inverse Einheit des Argumentes


0

0 0

0

0 0 0

0 0 0

( ) :

( ) ( )d ( )

( ) ( ) :

( ) ( ) ( )d ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

x

x

x x

x x f x x f x

x x x

x x x f x x x f x

x x x x x x




Properties: Algebraic and Calculus Properties /Eigenschaften: Algebraische Eigenschaften und

Rechenregeln

0 0

0 0

( ) ( )d ( )

( ), ( ) ( )x

f x x x x f x

f x x x f x


t



1-D Delta-Distribution – Signal Processing – Sampling /

1D Delta-Distribution – Signalverarbeitung –Abtastung

( ) ( )

(

( )

(

)

- )

)

(

N

n NN

n NN

n N

f t t nT

f nT t nT

nTt tf

3 2 0 2 3T T T T T T

( )f tComb Function /Impulskamm

t3 2 0 2 3T T T T T T

( )f nT




30

30 0

0 0 0

( )d 1

( ) ( )d ( )

( ) ( ) ( ) ( )

f f

f f

R

R

R R R

R R R R R

R R R R R R

Sifting Property / Siebeigenschaft

Distribution Generalized Function / Verallgemeinerte Funktion

3 3e e 0

3e 0

1

e

( )d ( )d

( )d

Q

Q

Q

R R

R

R R R R R

R R R

e e 0( ) ( ) QR R R

x

y

z

0ReQ

R

0( ) R R

0R R

( )f R

0( )f R





1 2 3

0 0 00

0 0 0 00 0

0 0 0 0 00 2

1 10 2 20 3 30

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

sin sin

( ) ( ) ( )

x x y y z z

r r z zr r z z

r r

R RR R

R R R

h h h

R R

3 30 0 0 0 0 00

0 0 0

11

( )d ( ) ( ) ( )d ( ) ( ) ( )d d d

( ) d ( )d ( )d

z y x

z y x

x x y y z z x x y y z z x y z

x x x y y y z z z

R R

R R R R

1

1


Cartesian Coordinate System / Kartesisches Koordinatensystem

Cylindrical Coordinate System /Zylinderkoordinatensystem

Spherical Coordinate System /Kugelkoordinatensystem

General Case /Allgemeiner Fall




23 3 20 0 0 0 0 0

0 2 20 0 0

00

0 0

11

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )d d sin d d d

sin sin

( )( ) d d

R

R

R R R RR R

R R

R R R RR

R R

R R R R

20

0

1

( )sin d 1

sinR

R


23 30 0 0 0 0 0

00 0

20

0 00 0

11

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )d d d d d

( )( ) d d ( )

z r

z r

r r z z r r z zr r z

r r

r r r r z zr

R R

R R R R

1

d 1z


e e 0 0 0( , , ) AsQ Q x y zElectrostatic Point Charge Density / Elektrostatische Punktladung



e e 0( , , ) ( , ) ( )x y z x y z z Electrostatic Charge Density / Elektrostatische Ladungsdichte

e e 0 0( , , ) ( ) ( ) ( )x y z z x x y y Electrostatic Line Charge Density / Elektrostatische Linienladungsdichte

Electrostatic Volume Charge Density / Elektrostatische Raumladungsdichte e e 0 0 0( , , ) ( ) ( ) ( )x y z Q x x y y z z

eQ

e e 0 0( ) ( , , ) As/mz x y z

2e e 0( , ) ( , , ) As/mx y x y z

Electrostatic Line Charge Density / Elektrostatische Linienladungsdichte

Electrostatic Surface Charge Density / Elektrostatische Flächenladungsdichte

e ( )z

e ( , )x y

Point / Punkt

Line / Linie

Surface / Surface


ES Fields – Point Charge Concept / ES Felder – Konzept der Punktladung (...)



ee

0 0

1( )4

QR

R RElectrostatic Potential / Elektrostatisches Potential

3 32 2 20 0 0 0

3/ 22 2 20 0 0

1 1

( ) ( ) ( )

1

( ) ( ) ( )

x x y y z z

x x y y z z

R R

2 2 20 0 0 0

1 1

( ) ( ) ( )

x x y y z zR R

e

e 03

0 0

( ) ( )

4

QE R R

R R

R R

Electrostatic Field Strength / Elektrostatische Feldstärke

e e 0( ) ( )Q R R RElectrostatic Charge Density / Elektrostatische Ladungsdichte

ES Fields – Point Charge Concept /ES Felder – Konzept der Punktladung (...)


Poisson and Laplace Equation / Poisson- und Laplace-Gleichung

Coulomb Integral / Coulomb-Integral:

3ee

0

e

e

known /

(

b

)1( )4 | |

( ) : ekanntunknown / unbekannt( ) :

sVd

R

R

RR

R

R

R

ee

0e

e

for / Poisson Equation / für Poisson-Gleichung

for / Laplace Equati

( )( ) 0

( )0 on /

für Laplace-Gleich( ) 0 ung

R RR

R

e0

( )0

s

s

VV

RR

R

Limited Source Volume /Begrenztes Quellvolumen

2 Laplace Operator / Laplace-Operator :

ES Fields – Coulomb Integral / ES Felder – Coulomb-Integral

x

z

sVy

e ( ) R

R

R

| |R R e ( ) R

Source Point / Quellpunkt

Observation Point / Beobachtungspunkt


z

sVy

x

e ( ) R

RR

| |R R e ( ) R

e

3e e

0

3e

0

4 ( )

3e e

0 0( )

1 1( ) ( )4 | |

1 1 ( )4 | |

1 14 ( ) ( ) ( )4

s

s

s

V

V

V

d

d

d

R

R

R

R RR

RR

R

R

R RR

RR R R

3ee

0

e

e

known /

(

b

)1( )4 | |

( ) : ekanntunknown / unbekannt( ) :

sVd

R

R

RR

R

R

R

Coulomb Integral / Coulomb-Integral:

1

4with

R

RR

R

ES Fields – Coulomb Integral / ES Felder – Coulomb-Integral (...)


ES Fields – Green’s Function / ES Felder – Greensche Funktion

ESe

3e

3e

0

)

e0

(

( )1( )4 | |1 1 1 ( )

4 | |

s

s

V

V

G

d

d

R R

RR

RR

R

RR R

R

z

:Source Volume / QuellvolumensV

y

x

e ( ) R

RR

| |R R e ( ) R

for / für R RESe

1 1( )4 | |

G

RR R

R

Electrostatic Green’s Function / Elektrostatische Greensche Funktion

e1( )

4 | |eQ

RR R

Electrostatic Potential of an Electrostatic Point Charge / Elektrostatisches Potential einer elektrostatischen Punktladung

e ef (or )/ für ( )Q R R R

Normalized Potential of a Point Charge / Normiertes Potential einer Punktladung

ESe ( )with G R RR R


Electrostatic Volume Charge Density / Elektrostatisches Raumladungsdichte

ES Fields – Potential of a Point Charge / ES Felder – Potential einer Punktladung

with / mi t R e e e R e e ex y z x y zx y z x y z

e e( ) ( )R RRQ

3ee

0

3e

0

e

0

( )1( )4 | |

( )4 | |

14 | |

RR

RR

R

R

R

R

R

R

RR

R

s

s

V

V

Qd

Qd

Q

z

:Source Volume / QuellvolumensV

y

x

e ( ) RR

R

| |R R e ( ) ReQ

R

ee

0

1( )4 | |R

RR

Q


ee

0

1( )4Q

RR R

Field of an Electrostatic Point Charge / Feld einer elektrostatischen Punktladung

Electrostatic Potential of a Point Charge / Elektrostatisches Potential einer Punktladung

3 32 2 2

3 / 22 2 2

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

x y z

x y z

x x y y z z

x x y y z z

x x y y z z

x x y y z z

e e eR R

R R

e e e

2 2 2

1/ 22 2 2

1 1

( ) ( ) ( )1

( ) ( ) ( )

x x y y z z

x x y y z z

R R

e

e3

0

( ) ( )

4Q

E R RR R

R R

Electrostatic Field Strength of a Point Charge / Elektrostatische Feldstärke einer Punktladung

Electrostatic (ES) Fields / Elektrostatische (ES) Felder

with x y z

x y z

x y z

x y z

R e e e

R e e e

with x y z

x y z

x y z

x y z

R e e e

R e e e


Field of Two Electrostatic Point Charges – Electrostatic Dipole / Feld von zwei elektrostatischen Punktladungen – Elektrostatischen

Dipol


Field Lines of the Electric Field Strength of Two Spheres Carrying Charges of Opposite Sign / Feldlinien der elektrischen Feldstärke zweier

ungleich geladener Kugeln

+ +

+-

Electric Field Lines of Two Spheres Carrying Charges of the Same Sign / Feldlinien der elektrischen

Feldstärke zweier gleich geladener Kugeln


e+ ee

0

1( )4

RR R R RQ Q

Field of Two Electrostatic Point Charges – Electrostatic Dipole / Feld von zwei elektrostatischen Punktladungen – Elektrostatischen

DipolElectrostatic Potential / Elektrostatisches Potential

3 32 2 2

3 / 22 2 2

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

e e eR R

R R

e e e

x y z

x y z

x x y y z z

x x y y z z

x x y y z z

x x y y z z

2 2 2

1/ 22 2 2

1 1

( ) ( ) ( )1

( ) ( ) ( )

R R x x y y z z

x x y y z z

e

e+ e3 30

( ) ( )

14

E R R

R R R R

R R R RQ Q

Electrostatic Field Strength / Elektrostatische Feldstärke


with/mit R e e e

R e e ex y z

x y z

x y z

x y z

with/mit R e e e

R e e ex y z

x y z

x y z

x y z


Field of Two Electrostatic Point Charges – Electrostatic Dipole / Feld von zwei elektrostatischen Punktladungen – Elektrostatischer

Dipol



Q1 = 1 As located at P(x,y,z) = (3,0,0) and Q2 = -1 As located at P(x,y,z) = (-3,0,0)

In this demo, arrows are used to sketch the electric field pattern in the xy plane due to: Q1 alone / Q1 alleine

Q2 alone

Q1 and Q2 / Q1 and Q2

Note: Color Intensity is Proportional to the Magnitude of the Electric Field Strength. / Die Farbintensität ist proportional zur Magnitude der elektrischen Feldstärke.

Press

Press

Press

Electrostatic Field Due To Two Point Charges / Elektrostatische Feld von zwei Punktladungen



In this demo, arrows are used to sketch the electric field pattern in the xy plane due to: Geometry / GeometrieQ1 alone / Q1 alleine

Q2 alone / Q2 alleine

Q1 and Q2 / Q1 und Q2


Press

Press

Press

Electrostatic Field… / Elektrostatische Feld... Q1 alone / Q1 alleine

Press







Press

Press

Press

Electrostatic Field… / Elektrostatische Feld... Q2 alone / Q2 alleine

Press







Press

Press

Press

Electrostatic Field… / Elektrostatische Feld... Q1 and Q2 / Q1 und Q2

Press


0

0

0( ) b

a

R RR R

R

0R Rba

00 zEE e

x

z

y

0

0100a

b

Transition Conditions = ? / Übergangsbedingungen = ?


Boundary Conditions = ? / Randbedingungen = ?

Point Charge Attracted to a Electrically Charged Sphere /Punktladung angezogen von einer elektrisch geladenen Kugel

http://web.mit.edu/jbelcher/www/att.html


Boundary Conditions = ? / Randbedingungen = ?

Point Charge Repulsed By A Charged Sphere /Punktladung abgestoßen von einer elektrisch geladenen Kugel

http://web.mit.edu/jbelcher/www/att.html


(2) (1)

(2) (1) e

, , =

( , ) ws / mq, , =

0 sf / qf

t t

tt t

n× E R E R 0

Rn D R D R

e

, = pec / iel

, = ( , ) pec / iel

t

t t

n×E R 0

n D R R

Governing Equations in Integral Form /Grundgleichungen in Integralform

nMedium

(2)Medium (1)

Mediumn

Transition Conditions / Übergangsbedingungen Boundary Conditions / Randbedingungen

ws: with sources; sf = source-free / mq = mit Quellen; qf = quellenfrei

pec = perfectly electric conducting; pmc = perfectly magnetic conducting / iel = ideal elektrisch leitend; iml =

ideal magnetisch leitend

e

( ) 0

( , ) ( , )dC S

S V Vt t V

E R dR

D R dS R

ES Fields: Transition and Boundary Conditions / ES-Felder: Übergangs- und Randbedingungen

I(nterface)S B(oundary)S

ISRFor / Für

BSRFor / Für


(2) (1)

(2) (1)e ( )

n× E R E R 0

n D R D R R

e

pec / iel

( ) pec / iel

n×E R 0

n D R R

nMedium

(2)Medium (1)

Mediumn



pec = perfectly electric conducting / iel = ideal elektrisch leitend

I(nterface)SR B(oundary)SR

( )( )

tan

tan tanE

n×E R E RR e

( )nDn D R R

( ) : (Vector Tangential Component of

Vektorielle Tangentialkomponente vonScalar Tangential Component of

Skalare Tangentialkomponente vo

)

( ) :n

( )

tan

tanE

E R E R

R E R

Scalar Normal Component ofSkalare Normalkomponente vo

( ) : ( )nnD R D R

(2) (1)

(2) (1)e

0

( )tan tan

n n

E E

D D

R R

R R R

e

0 pec / iel

( ) pec / iel

tan

n

E

D

R

R R

e ( ) pec/iel R



nMedium

(2)Medium (1)

Mediumn



pec = perfectly electric conducting / iel = ideal elektrisch leitend

( ) ( )i i E R R

(2) (1)e e

(2) (1)e e e

(2) (2) (1) (1) er e r e

0

(1)(2) (1) ere e(2) (2)

r 0 r

( )

( )n

n n

n× R R 0

R R

Rn R R

RR R

e

e

0 r e e

ee

0 r

0

( )

( )

n

n

n× R 0

R

n R R

RR

( ) ( )( )0 r

( ) ( )0 r e

1,2

i ii

i i

i

D R E R

R


(2) (1)

(2) (1)e

0

( )tan tan

n n

E E

D D

R R

R R R

e

0 pec / iel

( ) pec / iel

tan

n

E

D

R

R R

e ( ) pec/iel R



nMedium

(2)Medium (1)

Mediumn


(2) (1)

(2) (1)e e e0

(2) (1)e

(1)(2) (1)re e e(2) (2)

r 0 r

0

const.

( )

1 ( )

tan tan

n n

E E

D D

n n

R R

R R

R R R

R R R

e e0

e

e e0 r

0

const.

( )

1 ( )

tan

n

E

D

n

R

R

R R

R R


(2) (1)

(2) (1)e

0

( )tan tan

n n

E E

D D

R R

R R R

e

0 pec / iel

( ) pec / iel

tan

n

E

D

R

R R

e ( ) pec/iel R



Boundary Conditions / Randbedingungen

e e 0 e 0

e e0 r

const. ( 0 V)

1 ( )n

R

R R

Mediumn

B(oundary)SR

e, , ( )E R D R R


e ( ) R

e ( )pec/iel R

Dirichlet Boundary Conditions for Фe /

Dirichlet-Randbedingung für Фe

Neumann Boundary Conditions for Фe /

Neumann-Randbedingung für Фe


e2 2 2 e

0e2 2 2

e


for / Laplace Equation / fü

( , , )( , , ) 0

( , , )0 ( , , )r Laplace-Gle0 ichung

x y zx y z

x y zx y z x y z

ES Fields / ES FelderPoisson and Laplace Equation / Poisson- und Laplace-Gleichung (2)Electrostatic (ES) Fields – Poisson and Laplace Equation /

Elektrostatische (ES) Felder – Poisson- und Laplace-Gleichung (3)

Laplace Operator in Cartesian Coordinates / Laplace-Operator in Kartesischen Koordinaten

Example: pn Junction – pn Diode / Beispiel: pn-Übergang – pn Diode

2

e2

for /fürfor /für

0 d ( )d 0

e n

e p

n d xexx n x d

nd pd0 x

Example: / Beispiel:

2 2

e2 2 ( , ) 0x yx y

x

y e 10 V

e 0 V e 0 V

e 0 V

Separation of Variables / Separation der Variablen!


e2 2 2 e

0e2 2 2

e


for / Laplace Equation / fü

( , , )( , , ) 0

( , , )0 ( , , )r Laplace-Gle0 ichung

x y zx y z

x y zx y z x y z

Electrostatic (ES) Fields – Boundary Value Problem (BVP) / Elektrostatische (ES) Felder – Randwertproblem (RWP)

Examples: / Beispiele:

2 2

e2 2 ( , ) 0x yx y

x

y e 10 V

e 0 V e 0 V

e 0 V

Separation of Variables / Separation der Variablen!

x

y

z

e

e

e

( ) 0( ) 0

( ) 0

RR

R

Between the Plates:Vacuum /

Zwischen den Platten:Vakuum

e

n×E 0

e

n×E 0

0

0

Boundary Conditions (BC) / Randbedingungen (RB)

e e0 0x d

e

00

x

e ( ) 0( )R

E R 0

e ( ) 0( )R

E R 0


ES Fields – Electrostatic Field Between Two Parallel PEC Plates /

ES Felder – Elektrostatisches Feld zwischen zwei parallelen IEL PlattenBoundary Value Problem (BVP) – Electrostatic Poisson Equation /

Randwertproblem (RWP) – Elektrostatische Poisson-Gleichung

e

00

x

x

y

ze

0 0 ( ) 0

co

for /für

for /fürnst.

Rx d

xx d

e

e

e

( ) 0( ) 0

( ) 0

RR

R

e e0 0x d



e

n×E 0

e

n×E 0

e ( ) 0R

2 2 2

e2 2 2 ( , , ) 0x y zx y z

2

e2d ( ) 0d

xx

0

0

e

e

( ) 0( ) 0RR

... Cartesian Coordinates /

... Kartesische Koordinaten

... Because of the Symmetry / ... wegen der Symmetrie

Between the Plates Laplace Equation: Zwischen den Platten: Laplace-Gleichung


e

e e 0

0 : 0: 0

xx d

Boundary Conditions (BC) /Randbedingungen (RB)

Partial Differential Equation / Partielle Differentialgleichung

e ( ) 0( )R

E R 0

e ( ) 0( )R

E R 0



ES Felder – Elektrostatisches Feld zwischen zwei parallelen IEL Platten

e

00

x

x

y

z

e

e

e

( ) 0( ) 0

( ) 0

RR

R

e e0 0x d



e

n×E 0

e

n×E 0

2

e2d ( ) 0 0d

x x dx

0

0

e

e

( ) 0( ) 0RR

Boundary Condition (BC) / Randbedingung (RB)

Integrating once / Integriere einmal

Integrating twice / Zweifache Integration ergibt

2

e e2d d( ) d ( ) const

ddx x x a

xx

ed ( ) constd

x ax

e ( )x ax b

e ed ( ) =const d ( )d

x a x x ax bx

Boundary Value Problem (BVP) – Electrostatic Poisson Equation / Randwertproblem (RWP) – Elektrostatische Poisson-Gleichung

e ( ) 0( )R

E R 0

e ( ) 0( )R

E R 0

e ( ) 0x ax b x d




e

00

x

x

y

z

e

e

e

( ) 0( ) 0

( ) 0

RR

R

e e0 0x d



e

n×E 0

e

n×E 0

0

0

e

e

( ) 0( ) 0RR


e ( )x ax b

e

e e 0

0 : 0: 0

xx d


e ( 0) ( 0) 0

x a x b

0b

e ( )x ax

e

e0

( ) ( )

x b a x b

e0ad

e0e ( ) 0x x x d

d

Solution for the Electrostatic Potential / Lösung für das elektrostatische Potential


e ( ) 0( )R

E R 0

e ( ) 0( )R

E R 0




e

00

x

x

y

z

e

e

e

( ) 0( ) 0

( ) 0

RR

R

e e0 0x d



e

n×E 0

e

n×E 0

0

0

e

e

( ) 0( ) 0RR


e0

e0

( )0 else / sonst

x x dx d

2

e2d ( ) 0 0d

x x dx

e

e e0

0 : 0: 0

xx d


Partial Differential Equation (PDE) / Partielle Differentialgleichung (DGL)

Solution for the Electrostatic Potential / Lösung für das elektrostatische Potential

x

e ( )x


e ( ) 0( )R

E R 0

e ( ) 0( )R

E R 0




e

00

x

x

y

z

e

e

e

( ) 0( ) 0

( ) 0

RR

R

e e0 0x d



e

n×E 0

e

n×E 0

0

0

e

e

( ) 0( ) 0RR


e0

e0

( )0 else / sonst

x x dx d

Electrostatic Potential / Elektrostatisches Potential

e

e

e0

e0

( ) ( )d( ) ( ) d

d0

d0 else / sonst

0

0 else / sonst

E R R

E e

e

e

x

x

x

x x xx

x x dx d

x dd

The Electrostatic Potential and Electrostatic Field Strenth are Discontinuous at the Plates /

Das elektrostatisches Potential und die elektrostatische Feldstärke sind unstetig an den Platten

e ( ) 0( )R

E R 0

e ( ) 0( )R

E R 0





e0 0( )

0 else / sonst

eE x x dx d

Representation of the Electrostatic Field Strenth using the Unit Step Functions: /

Darstellung der elektrostatischen Feldstärke durch Einheitssprungfunktionen:

x

( )xE x

e0( ) u( ) u( ) E exx x x d xd

1 0u( )

0 0x

xx

x

u( )x

x

u( )x

x

u( )x d

x d

x d

1

x

u( ) u( )x x d

x d


Step Functions / Einheitssprungfunktionen

1

1

1





e0

e0

( ) ( )

e0

e

0

d d( ) u( ) u( )d d

d du( ) u( )d d

( ) ( )

( )

x

x x d

E x x x dx d x

x x dd x x

x x ddx

0 e

e

0

d ( ) ( )d

( )d ( )d

x

x

E x xx

xE xx

e

e

( ) ( )d ( ) ( )d

D R R

xD x xx

u ( )

d u( ) ( )d

x

x xx

01 0( ) 0

0

( )

u ( ) ( )d u( ) ( ) u( ) ( )d

u( ) ( ) u( ) ( ) ( )d

( ) ( )

( ) ( ) (0)

(0)

u ( ) ( )d (0)

u ( ) ( )

f

x

x f x x x f x x f x x

f f f x x

f f x

f f f

f

x f x x f

x x





x

e0e 0

e0 e0

e0

( ) ( ) ( )

( ) ( )

x x x dd

x x d

x d

e ( )x

e0

e0

Electric Surface Charge Density / Elektrische Flächenladungsdichte

e0 ( )x e0 ( )x d

e

00

x

x

y

z

e

e

e

( ) 0( ) 0

( ) 0

RR

R

e e0 0x d



e

n×E 0

e

n×E 0

0

0

e

e

( ) 0( ) 0RR


e ( ) 0( )R

E R 0

e ( ) 0( )R

E R 0


End of Lecture 6 /Ende der 6. Vorlesung

Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - WS 06 - Lecture 6 / Vorlesung 6 1 Elektromagnetische Feldtheorie I...

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