Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 10.11.2006 1 Grundlagen der Elektrotechnik I (GET I)...
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Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 10.11.2006 1
Grundlagen der Elektrotechnik I (GET I)
Vorlesung am 10.11.2006
Fr. 08:30-10:00 Uhr; R. 0605 (Hörsaal, Menzelstraße/Kunsthochschule)
Universität Kassel (UNIK)FB 16 Elektrotechnik / Informatik
FG Fahrzeugsysteme und Grundlagen der Elektrotechnik (FG FSG)FG Theoretische Elektrotechnik (FG TET)
Büro: Wilhelmshöher Allee 71, Raum 2113 / 2115D-34121 Kassel
Dr.-Ing. René Marklein
E-Mail: [email protected].: 0561 804 6426; Fax: 0561 804 6489URL: http://www.tet.e-technik.uni-kassel.de
URL: http://www.uni-kassel.de/fb16/tet/marklein/index.html
Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 10.11.2006 2
Frage: Welche der folgenden Brücken ist NICHT abgeglichen, d.h. I1 ≠ 0 ?
1 3
2 4
R R
R RAbgleichbedingung:
R
RR
R
RI1
1R R
2R R
3R R
4R R
5R
R1I
2R
2RR
R
RI1
1R R
2R R
3 2R R
4 2R R
5R
R1I
2R2R
R R2RI1
1R R
2 2R R
5
2
R
R3R R
4 2R R
1I
R2R
RR
2RI1
1R R
2 2R R
5R
R
4R R
3 2R R
1I
a)
b)
c)
d)
Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 10.11.2006 3
Frage: Welche der folgenden Brücken ist NICHT abgeglichen, d.h. I1 ≠ 0 ?
1 3
2 4
R R
R RAbgleichbedingung:
R
RR
R
RI1
1R R
2R R
3R R
4R R
5R
R1I
2R
2RR
R
RI1
1R R
2R R
3 2R R
4 2R R
5R
R1I
2R2R
R R2RI1
1R R
2 2R R
5
2
R
R3R R
4 2R R
1I
R2R
RR
2RI1
1R R
2 2R R
5R
R
4R R
3 2R R
1I
1 3
2 4
R R
R R
R R
R R
1 3
2 4
2 2
R R
R R
R R
R R
1 3
2 4
2
2
R R
R R
R R
R R
a)
b)
c)
d)
ist NICHT abgeglichen
1 3
2 4
2
2
R R
R R
R R
R R
Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 10.11.2006 4
2.2.7 Schaltungssymmetrie
In Sonderfällen kann man Symmetrieeigenschaften von Netzwerken ausnutzen:
Beispiel 2.5:Vereinfachung einer symmetrischen Schaltung
Bild 2.18a. Schaltung aus 8 Widerständen
Bild 2.18b. Schaltung aus 9 Widerständen
R
R RR
R
R
R
R
A B
C
D
Bild 2.18. Drei gleichwertige symmetrische Schaltungen(vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 41, 2005])
R
R RR
R
R
R
R
A B
C
D
ABR
Symmetrische Schaltung
Aufgrund der Symmetriefließt zwischen denKlemmen A und B
kein Strom!Deswegen kann man
zwischen den KlemmenA und B einen beliebigen Widerstand RAB einfügen.
Symmetrie-linie
Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 10.11.2006 5
2.2.7 Schaltungssymmetrie
CD
1,52 1,2
1,5
R RR R
R R
In Sonderfällen kann man Symmetrieeigenschaften von Netzwerken ausnutzen:
Aus Schaltung 2.18c lässt sich der Gesamtwiderstand
bestimmen!
Beispiel 2.5:Vereinfachung einer symmetrischen Schaltung
Bild 2.18a. Schaltung aus 8 Widerständen
Bild 2.18b. Schaltung aus 9 Widerständen
Bild 2.18c. Gruppenschaltung aus 8 Widerständen
R
R RR
R
R
R
R
A B
C
D
Bild 2.18. Drei gleichwertige symmetrische Schaltungen(vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 41, 2005])
R
R RR
R
R
R
R
A B
C
D
ABR
R
R RR
R
R
R
R
2
R
A B
C
D
Aufgrundder
Symmetrie!
Aufgrundder
Symmetrie!
Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 10.11.2006 6
2.2.7 Schaltungssymmetrie
R
R RR
R
R
R
R
2
R
R
R2
R
R
2
R
R
2
R
R
R2
R
R
2
R
R
1 3
2 2R R R
Bild 2.18c. Gruppenschaltung aus 8 Widerständen
Parallel-schaltung
Parallel-schaltung
Reihen-schaltung
Reihen-schaltung
Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 10.11.2006 7
2.2.7 Schaltungssymmetrie
3
5R
3
5R
1,2 R
3 3 6
5 5 51,2
R R R
R
R
R3
2R
3
2R
23 3
2 23 5
2 23 2
2 53
5
R R R
R R R
R
R
Reihen-schaltung
Parallel-schaltung
Parallel-schaltung
Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 10.11.2006 8
2. Berechnung von Strömen und Spannungen in elektrischen Netzen2.3 Strom- und Spannungsmessung2.3.1 Anforderungen an Strom- und Spannungsmesser
Innenwiderstand des Messgerätes: RM
Bild 2.19. Strommessung mit einem Strommesser(umgangssprachlich auch Amperemeter genannt)(vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 42, 2005])
I
MR
Bild 2.19b. Strommessung
MR
qU
R
RM: Innenwiderstand des Messgerätes:
► RM ist zusätzlich im Messkreis
► RM verkleinert Strom I
► RM möglichst niedrig wählen
I
M
qUI
R R
RU
MRU
idealesMessgerät
Innenwiderstanddes Messgerätes
I
idealesMessgerät
Innenwiderstanddes Messgerätes
Strommessung:
M 0M
lim q q
R
U UI
R R R
A
Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 10.11.2006 9
2.3.1 Anforderungen an Strom- und Spannungsmesser
Ri zusätzliche Belastung der Spannungsquelle
Bild 2.20. Spannungsmessung mit einem Spannungs-Messer (umgangssprachlich auch Voltmeter genannt)(vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 42, 2005])
MR
UInnenwiderstand des Messgerätes: RM
MR
MRU
qU
qR
I
qRU
R
RI
MRI
RU
M
i
M
RR
UI
R
1 :K
► Ri: zusätzlicher Strom
► Ri möglichst hoch wählen
mitM M
M
1R RRR
I I UIU I
R R R R
iRI
M
MM MM
lim lim 0 RR R R
R R
U II I I U
R R
Bild 2.20b. Spannungsmessung
Spannungsmessung:
i i R R R RI I I I I I
idealesMessgerät
Innenwiderstanddes Messgerätes
idealesMessgerät
Innenwiderstanddes Messgerätes
Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 10.11.2006 10
2.3.1 Anforderungen an Strom- und Spannungsmesser
Der Innenwiderstand des Spannungsmessers,RM, sollte möglichst hoch sein.
Spannungen sind hochohmig zu messen.
Idealfall:
Spannungsmessung:
MR
Der Innenwiderstand des Strommessers, RM, sollte möglichst niedrig sein.
Ströme sind niederohmig zu messen.
Idealfall:
I
MR
idealesMessgerät,
widerstandslos
Innenwiderstanddes Messgerätes
Strommessung:
MR U
M 0R
idealesMessgerät,
widerstandlos
Innenwider-Stand des
Messgerätes
V
I MR
Reales Messgerät incl.Innenwiderstand
MR
U
realesMessgerät
mitInnenwider-
stand
V
Reales Messgerät mitInnenwiderstand RM
realesMessgerät
mitInnenwider-
stand RM
Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 10.11.2006 11
2.3.1 Anforderungen an Strom- und Spannungsmesser
Der Innenwiderstand des Spannungsmessers,RM, sollte möglichst hoch sein.
Spannungen sind hochohmig zu messen.
Idealfall:
Spannungsmessung:
MR
Der Innenwiderstand des Strommessers, RM, sollte möglichst niedrig sein.
Ströme sind niederohmig zu messen.
Idealfall:
I
MR
idealesMessgerät,
widerstandslos
Innenwiderstanddes Messgerätes
Strommessung:
MR U
M 0R
idealesMessgerät,
widerstandlos
Innenwider-Stand des
Messgerätes
A
V
I M( )R
Reales Messgerät mitInnenwiderstand RM
A
M( )R
U
realesMessgerät
mitInnenwider-
stand RM
V
Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 10.11.2006 12
2.3.2 Eigenschaften des Drehspulmesswerks
Strom durch Messwerk bei Vollausschlag: IMV
Widerstand des Messwerks: RM
Aufbau:
►Zeigerausschlag ist proportional des Messstromes I►Messwerk zeigt wegen der Trägheit immer den zeitlichen Mittelwert des Messstromes an
►Gleichstrommessung; Wechselstrommessung nach vorgeschalteter Gleichrichtung
N
F::::::::::::::
F::::::::::::::
S
B::::::::::::::
I1M
Bild 5.10. Drehspule in radialhomogenen Feld (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 216, 2005])
Skala
Feder
Magnet
Zeiger
Anschluss-klemme
SpuleI
Mess-strom
Mess-strom
Analogmultimeter
Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 10.11.2006 13
2.3.2 Eigenschaften des Drehspulmesswerks
Strom durch Messwerk bei Vollausschlag: IMV
Widerstand des Messwerks: RM
Skala
Feder
Magnet
Zeiger
Anschlussklemme
Spule
Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 10.11.2006 14
Beispiel 2.6: Eigenverbrauch eines Drehspulmesswerks
M
MV
1 kΩ
50 μA
R
I
2MV MV M
2
26 3
= V/A
22 6 2 3
123
3 12 3 2
6
2500=102,5 10
10
WVA
50 μA 1 kΩ
50 10 A 1 10 Ω
V50 10 A 1 10
A
V2,5 10 10 1 10 A
A
P I R
Lösung:
Leistungsaufnahme des Messwerks bei Vollausschlag: PMW?
Gegeben:
Gesucht:
6MV 2,5 10 W 2,5 μWP
Widerstand des Messwerks:
Strom des Messwerks bei Vollausschlag:
(Leistungsaufnahme des Messwerks bei Vollausschlag)
MV MV MV
M MV MV
2MV M
M MVR I
P U I
R I I
I R
Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 10.11.2006 15
2.3.3 Klassengenauigkeit
Fehler = Abweichung des angezeigten Stromes vom wahren Strom
Klassenzeichen: Anzeigefehler in Prozent vom Vollausschlag
► Präzisionsinstrumente Klassen 0,1 ( ± 0,1 % ); 0,2; 0,5
► Betriebsinstrumente Klassen 1; 1,5; 2,5; 5 (alte analoge Technik!)
Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 10.11.2006 16
Beispiel 2.7: Messgenauigkeit eine Drehspulinstrumentes Klasse 1,5 im Messbereich 300 mA?
300 mA 0,015 4,5 mA
150 mA 4,5 mAI ► abgelesen 150 mA, heißt wahrer Wert:
Absoluter Fehler: entspricht Abweichung ± 3 % vom Messwert!
Maximale Abweichung 1,5 % von 300 mA, also
Lösung:
50 mA 4,5 mAI
4,5 mA 4,5 mAI
MV MV M
6 350 10 A 10 Ω
50 mV
U I R
► abgelesen 50 mA, heißt wahrer Wert:
Absoluter Fehler: entspricht Abweichung ± 9 % vom Messwert
Absoluter Fehler: entspricht Abweichung ± 100 % vom Messwert, d.h. I = 0 … 9 mA
Daher sinnvoll Messbereichsumschaltung in den Stufen 1, 3, 10, 30 …
► abgelesen 4,5 mA, heißt wahrer Wert
Spannungsmessung mit diesem Instrument: Bei Vollausschlag gilt:
Beispielsweise:
Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 10.11.2006 17
2.3.4 Messbereichserweiterung2.3.4.1 Strom-Messbereichserweiterung
M M
M P
I G
I G G
M PV MVVollausschlag
M
G GI II
G
Strom I bei Vollausschlag: IV
IMI M
M
1R
G
PP
1R
G
a b
Bild 2.21. Parallelschaltung eines Widerstandes zum Messwerk (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 44, 2005])
Stromverhältnis über Stromteiler-Formel:
M PM
M
G GI I
G
Gesamtstrom über Stromteiler-Formel:
Messwerk mit Innenwiderstand RM
M
M
P
: Gesamtstrom
: Messstrom
: Leitwert des Messwerks
: parallelgeschalteter Leitwert
I
I
G
G
Parallelgeschalteter Widerstand
VIMVI
MM
1R
G
PP
1R
G
a b
Vollausschlag: V
Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 10.11.2006 18
Beispiel 2.8: Berechnung eines Parallelwiderstandes zur Strom-Messbereichserweiterung
M
MV
1 kΩ
50 μA
R
I
VP M
MV
3
3 6
3
1
1 10 A1
1 10 Ω 50 10 A
19
1 10 Ω
IG G
I
P 52,6 ΩR
Messwerkwiderstand :
Drehspulmesswerk mit Vollausschlagstrom:
Messbereichserweiterung: Strommessung bis IV = 1 mA: Bestimme den Messwiderstand RP = ?
Lösung:
Gleichung oben umformen nach GP:
Gegeben:
Gesucht:
(Messwiderstand)
M PV MV
M
MVM P
M
VM M P
MV
G GI I
G
IG G
G
IG G G
I
VVP M M M
MVMV
1II
G G G GII
3
PP
1 1 10Ω
19R
G
VI MVI MM
1R
G
PP
1R
G
a b
Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 10.11.2006 19
Beispiel 2.9: Dimensionierung der Widerstände eines Vielfach-Messgerätes zur Strommessung
Gesucht:
Widerstandswerte die für Messbereiche 100 µA, 300 µA, 1 mA
Schalterstellung Messbereich
A 0…1 mA
B 0…300 µA
C 0…100 µA
Gegeben:
I
A 1R
2R
3R
MR
MI
B
C
Bild 2.22. Drehspulmesswerk mit drei Strom-Messbereichen (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 45, 2005])
Drehspulmesswerk mit Vollausschlagstrom I MV = 50 μA
Messwerkwiderstand RM = 900 Ω
Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 10.11.2006 20
I
A 1R
2R
3R
MR
MI
B
C
Bild 2.22. Drehspulmesswerk mit drei Strom-Messbereichen (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 45, 2005])
Beispiel 2.9: Dimensionierung der Widerstände eines Vielfach-Messgerätes zur Strommessung
Lösung:
Mit Gl. (2.29)
22
1 2
1
1 2
1
1 1RI I
R RR
IR R
im Zähler, proportional zum Strom im Messgerätezweig, steht der Strom im Parallelzweig - Widerstände statt Leitwerte wie in der Stromteilerregel.
1 MV
1 2 3 M (A)
50 μA 1
1 mA 20
R I
R R R R I
1 2 MV
1 2 3 M (B)
50 μA 1
300 μA 6
R R I
R R R R I
1 2 3 MV
1 2 3 M (C)
50 μA 1
100 μA 2
R R R I
R R R R I
Anschluss an A, Vollausschlag:
Anschluss an B, Vollausschlag:
Anschluss an C, Vollausschlag:
(2.37a)
(2.37b)
(2.37c)
11
1R
G
I
22
1R
G
1I 2I
Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 10.11.2006 21
Beispiel 2.9: Dimensionierung der Widerstände eines Vielfach-Messgerätes zur Strommessung
1 2 3 M
1 2 3
1
19
20 2 M
M
R R R R
R R R R
R R
1 M 1 M
120 2
10R R R R
3 M 3 M
26 4
3R R R R
2 M 1 3
M M M
2 M
1 2
10 37
30
R R R R
R R R
R R
M 900 ΩR
1 M
2 M
3 M
1 1900 Ω 90 Ω
10 10
7 7900 Ω 7 30 Ω 210 Ω
30 30
2 2900 Ω 2 300 Ω 600 Ω
3 3
R R
R R
R R
(2.38a)
(2.38b)
(2.38c)
Addition (2.38a) und (2.38c):
Addition von (2.38b) und -5 mal (2.38c):
In (2.38c) einsetzen:
Jetzt Messwerkwiderstand
in die Beziehungen für R1, R2 und R3 einsetzen:
1 2 3 M
1 2 3
1 2 3
19
5 5
M
M
R R R R
R R R R
R R R R
1 2 3 M
1 2 3
3
5 +5
5 5 5 5
6 4 M
M
R R R R
R R R R
R R
Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 10.11.2006 22
VR M
MV
1U
R RU
2.3.4.2 Spannungs-Messbereichserweiterung
R MV MV
M
R RU U
R
Spannungsteilerregel
mit UMV Spannung am Messwerk bei Vollausschlag!
(2.39a)
Bild 2.23. Reihenschaltung eines Widerstandes zum Messwerk (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 46, 2005])
6 3MV MV M 50 10 A 1 10 Ω 50 mVU I R
Beispiel 2.10: Vorwiderstand zur Spannungs-Messbereichserweiterung
Mit Gl. (2.39)
Gegeben:Drehspulmessgerät mit Vollausschlagstrom IMV = 50 μA, RM = 1 kΩ soll Spannungen bis 100 V messen.
Gesucht: RR = ?
Lösung:Spannung am Messwerk bei Vollausschlag
a
RR MRMI
b
MU
U
3VR M
MV
3
100 V1 1 10 Ω 1
50 mV
1 10 Ω 2000 1 1,999 MΩ
UR R
U
(2.39b)
Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 10.11.2006 23
Beispiel 2.11: Dimensionierung der Widerstände eines Vielfach-Spannungs-Messgerätes
Gegeben:
RM = 1 Ω, Vollausschlag bei IMV = 100 μA,
Gesucht:
R1, … , R4?
Bild 2.24. Drehspulmessgerät mit vier Spannungs-Messbereichen(vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 47, 2005])
Schalterstellung Messbereich
A 0 … 100 mV
B 0 … 1 V
C 0 … 3 V
D 0 ... 10 V
A1R
2R
3R
MR
MI
B
C
3RD
Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 10.11.2006 24
Beispiel 2.11: Dimensionierung der Widerstände eines Vielfach-Spannungs-Messgerätes
MV M 1 1 M
300 mV300 mV 3 Ω 1 Ω 2 Ω
100 mAI R R R R
iA M 1 3 ΩR R R
MV M 1 2 2 M 1
1 V1 V 10 Ω 3 Ω 7 Ω
100 mAI R R R R R R
iB M 1 2 10 ΩR R R R
MV M 1 2 3 3 M 1 2
3 V3 V 30 Ω 10 Ω 20 Ω
100 mAI R R R R R R R R
iC M 1 2 3 Ω30 R R R R R
MV M 1 2 3 4 3 M 1 2 3
10 V10 V 100 Ω 30 Ω 70 Ω
100 mAI R R R R R R R R R R
iD M 1 2 3 4 100 ΩR R R R R R
►In Schalterstellung A:
Widerstand des Messgerätes
►In Schalterstellung B:
Widerstand des Messgerätes
►In Schalterstellung C:
Widerstand des Messgerätes
►In Schalterstellung D:
Widerstand des Messgerätes
Lösung:
(Anmerkung: Innenwiderstand für Spannungsmessung viel zu niedrig, real würde man ein höherohmiges Messwerk nehmen)
Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 10.11.2006 25
2.3.5. Messwertkorrektur2.3.5.1. Spannungsrichtige Messung
11 M M
M
0 ; U
I I I IR
11
M
UI I
R
Stromkorrektur möglich, wenn Ri bekannt:
2.3.5.2. Stromrichtige Messung
1 M M 1 M0 ; U U U U I R
1 1 MU U I R
Spannungskorrektur möglich, wenn Ri bekannt:
U
MR
1U
Strommesser
Spannungsmesser
MU
1R1I
Bild 2.26. Stromrichtige Messung(vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 48, 2005])
A
V
MR
I
1U
1I
Strommesser
Spannungsmesser
1RMI
Bild 2.25. Spannungsrichtige Messung(vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 48, 2005])
A
V
Stromkorrektur
Spannungskorrektur
Maschenregel ergibt:
Knotenregel ergibt: Strom durch Spannungsmesser:
Spannung am Strommesser:
(2.41)
Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 10.11.2006 26
2.3.5. Messwertkorrektur
Widerstandsmessung an den oben genannten Schaltungen:
Fehler entweder im Strom- oder im Spannungswert geht in berechneten Widerstand ein:
► wenn , d. h. R1 sehr viel kleiner als RM, des Spannungsmessers
-> dann spannungsrichtige Messung, da Strom durch Spannungsmesser klein zu Messstrom
► wenn , d. h. R1 sehr viel größer als RM des Strommessers
-> dann stromrichtige Messung, da Strom durch Spannungsmesser in ähnlicher Größenordnung
U
MR
1U
Strommesser
Spannungsmesser
MU
1R1I
Bild 2.26. Stromrichtige Messung(vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 48, 2005])
A
V
MR
I
1U
1I
Strommesser
Spannungsmesser
1RMI
Bild 2.25. Spannungsrichtige Messung(vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 48, 2005])
A
V
Spannungsrichtige Messung Stromrichtige Messung
1 MR R
1 MR R
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2.4. Lineare ZweipoleZweipolbegriff: Schaltung mit zwei Anschlüssen, z. B. A
und B,
dies kann ein lineares passives Bauelement wie ein Widerstand, eine Spule oder ein
Kondensator, oder ein lineares aktives Bauelement wie eine Spannungs- oder Stromquelle sein.
R LC
Widerstand Spule Kondensator
Lineare passive Zweipole Verbraucherzweipol
Verbraucherzählpfeilsystem (VZS):
Bei Verbrauchern U und I im VZS gleichgerichtet!
Lineare aktive Zweipole Erzeugerzweipol
Verbraucherzählpfeilsystem (VZS)
Bei Quellen U und I im VZS entgegengesetzt!
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
Spannungs-quelle
Batterie Strom-quelle
I
U
I
U
I
U
I
U
I
U
I
U
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2.4. Lineare ZweipoleZweipolbegriff: Schaltung mit zwei Anschlüssen, z. B. A
und B,
dies kann auch eine komplexere Schaltung mit nur zwei von außen zugänglichen Anschlüssen, dessen Innenleben nicht bekannt ist, nur ihr lineares Strom- und Spannungsverhalten,
I=I(U) oder U=U(I) muss bekannt sein.
Bild 2.27. Zweipol mit 3 Spannungsquellen und 3 Widerstände (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 51, 2005])
I
1R
A
B
U
q1U q2U q3U
2R 3R
Zweipol
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