DOPRINOS METODAMA IDENTIFIKACIJE MEHANIČKIH SUSTAVA … · izlaza i poremećaja. Proces...
Transcript of DOPRINOS METODAMA IDENTIFIKACIJE MEHANIČKIH SUSTAVA … · izlaza i poremećaja. Proces...
SVEUČILIŠTE U SPLITU FAKULTET ELEKTROTEHNIKE STROJARSTVA I
BRODOGRADNJE
DOPRINOS METODAMA IDENTIFIKACIJE MEHANIČKIH SUSTAVA U VREMENSKOM PODRUČJU
DOKTORSKA DISERTACIJA
VLADISLAV ČUČIĆ
SPLIT, 2012.
Doprinos metodama identifikacije mehaničkih sustava u vremenskom području
ii
SVEUČILIŠTE U SPLITU FAKULTET ELEKTROTEHNIKE STROJARSTVA I BRODOGRADNJE
DOPRINOS METODAMA IDENTIFIKACIJE MEHANIČKIH SUSTAVA U VREMENSKOM PODRUČJU
DOKTORSKA DISERTACIJA Prof.dr.sc. Željan Lozina Vladislav Čučić, dipl. ing.
SPLIT, 2012.
Doprinos metodama identifikacije mehaničkih sustava u vremenskom području
iii
IMPRESUM/BIBLIOGRAFSKI PODATCI Doktorska disertacija je izrañena na
Zavodu za strojarstvo i brodogradnju
Fakultet elektrotehnike, strojarstva i brodogradnje u Splitu
Sveučilište u Splitu
Mentor: dr. sc. Željan Lozina, red. prof.
Rad broj: 80.
Doprinos metodama identifikacije mehaničkih sustava u vremenskom području
iv
PODATCI O OCJENI I OBRANI DISERTACIJE Povjerenstvo za ocjenu doktorske disertacije:
1. Dr. sc. Damir Vučina, red. prof. Fakultet elektrotehnike, strojarstva i brodogradnje Split
2. Dr. sc. Željan Lozina, red. prof. Fakultet elektrotehnike, strojarstva i brodogradnje Split
3. Dr. sc. Željana Nikolić, red. prof. Fakultet grañevinarstva, arhitekture i geodezije Split
Povjerenstvo za obranu doktorske disertacije:
1. Dr. sc. Damir Vučina, red. prof. Fakultet elektrotehnike, strojarstva i brodogradnje Split
2. Dr. sc. Željan Lozina, red. prof. Fakultet elektrotehnike, strojarstva i brodogradnje Split
3. Dr. sc. Željana Nikolić, red. prof. Fakultet grañevinarstva, arhitekture i geodezije Split
4. Dr. sc. Frane Vlak, izv. prof. Fakultet elektrotehnike, strojarstva i brodogradnje Split
5. Dr.sc. Vedrana Cvitanić, izv.prof. Fakultet elektrotehnike, strojarstva i brodogradnje Split
Disertacija obranjena dana: 04. rujna 2012.
Doprinos metodama identifikacije mehaničkih sustava u vremenskom području
v
Sažetak
Identifikacija sustava je proces dobivanja matematičkog modela na temelju izmjerenih
podataka. Postupak identifikacije može se odvijati u vremenskoj ili frekventnoj domeni. U ovom
radu napravljena je usporedba izmeñu takva dva pristupa. Usporedba je definirana s motrišta
točnijeg izračunavanja i uloženog truda potrebnog za provedbu identifikacije funkcije impulsnog
odziva IRF (impuls response function) potrebne u validaciji i poboljšanju modela u vremenu
(model update in time domain) u odnosu na klasično računanje inverznom Furierovom
transformacijom FRF-a (frequency response function).
Frekventno područje identifikacije sustava redovito obuhvaća područje od nula do
Nyquistove frekvencije. Meñutim, mnogi sustavi (strojni dijelovi) su opterećeni ili rade samo u
odreñenom frekventnom području. Širenjem frekventnog područja identifikacije opada
preciznost. Stoga je poželjno dobiti model, odnosno izvršiti identifikaciju, isključivo preko
odreñenog dijela spektra.
Ključne riječi Identifikacija sustava, vibracije, prijenosna funkcija, Fourierova transformacija, ERA, promatračko pojačanje, Kalmanov filtar
Doprinos metodama identifikacije mehaničkih sustava u vremenskom području
vi
Abstract
System identification is the process of obtaining a mathematical model based on
measured data. The process of identification can be done in time or frequency domain. In this
paper, comparison is made between these two approaches. The comparison is defined from the
aspect of a more accurate calculation and effort required to implement the identification of the
impulse response function IRF necessary for validation and improvement of the model in time
(model update in time domain) as compared to classical computing with inverse Fourier
transformation of FRF (Frequency Response Function).
Frequency range of identification systems regularly covers the area from zero to the
Nyquist frequency. However, many systems (machine parts) were loaded, or work only in a
certain frequency range. By expanding the field of frequency identification, accuracy declines. It
is therefore desirable to obtain the model, ie, identify solely through a portion of the spectrum.
Keywords System identification, vibration, transfer function, Fourier transform, ERA, observer gain, Kalman filter
Doprinos metodama identifikacije mehaničkih sustava u vremenskom području
vii
Doprinos metodama identifikacije mehaničkih sustava u vremenskom području
viii
Zahvala
Veliku zahvalnost na potpori i razumijevanju dugujem svom poštovanom mentoru prof. dr. sc. Željanu Lozini koji me je svojim znanjem, iskustvom i savjetima nesebično i strpljivo vodio pri izradi ove studije.
Ovaj rad ne bi bilo moguće realizirati bez pomoći mnogih drugih. No, posebnu
zahvalu želim uputiti svojoj supruzi Luci i djeci Antunu, Katarini i Zdravku na razumijevanju i ljubavi koju su mi pružali tijekom izrade ovog rada.
Doprinos metodama identifikacije mehaničkih sustava u vremenskom području
ix
Predgovor
Visoki zahtjevi za kvalitetom i pojačana konkurencija predstavljaju sve veće izazove u
projektiranju, konstruiranju i proizvodnji. Suvremeno gospodarstvo zahtijeva neprekidno
usavršavanje postojećih proizvoda, proizvodnih procesa i sustava, tehnologija i kvalitete rada.
Osnovni je cilj svakog proizvodnog sustava pronaći ono rješenje koje minimizira utrošak svih
resursa, a istovremeno pronalazi najpovoljnija izvedbena rješenja. Stoga je sve veći značaj
analize sustava odnosno odreñivanja zakonitosti procesa, u svrhu njegovog razvijanja ili
unapreñenja.
Analiza sustava dijeli se na teoretsku i eksperimentalnu analizu, a najčešće je kombinacija
jedne i druge metode.
Teoretska analiza, za razliku od eksperimentalne, ne zahtijeva postojanje realnog sustava,
a dobiveni modeli i njihova rješenja mogu se primijeniti za druge slične sustave (uz druge
dimenzije i parametre). Za ovaj postupak nužna su potrebna prethodna znanja, iz promatranog
područja, koja obuhvaćaju zakonitosti i meñudjelovanja unutar sustava. Dobiveni matematički
modeli često su komplicirani za daljnju analizu pa se dobivene parcijalne nelinearne
diferencijalne jednadžbe, aproksimiraju običnim linearnim diferencijalnim jednadžbama. Usprkos
tome, kod složenih sustava, matematički je model toliko kompliciran da je neprikladan za daljnju
primjenu.
Eksperimentalna analiza je postupak koji ne zahtijeva prethodna znanja o promatranom
sustavu, a dobivaju se jednostavniji matematički modeli, koji relativno dobro opisuju sustav.
Stoga je ovakav postupak pogodan za primjenu kada promatrani sustav nije dovoljno proučen ili
kad za njega ne postoji poznata matematička funkcija koja povezuje ulazne i izlazne signale
sustava. Nedostatak ove metode je što mora postojati sustav koji se istražuje, a dobiveni rezultati
nisu primjenjivi za slične procese.
U eksperimentalnu analizu spada identifikacija sustava. To je proces razvoja i poboljšanja
matematičkog modela fizikalnog sustava, koristeći se eksperimentalnim podatcima za opis ulaza,
izlaza i poremećaja. Proces identifikacije sastoji se od sljedećih koraka: izbora vrste
matematičkih modela, relevantnih ulaznih i izlaznih signala, izbora kriterija za ocjenu modela, te
razvoja i primjene algoritma. Moguće ju je podijeliti na parametarski i neparametarski postupak,
ovisno o tome je li struktura modela poznata ili nije.
Doprinos metodama identifikacije mehaničkih sustava u vremenskom području
x
Matematički model, dobiven eksperimentalnom analizom, može se koristiti za:
- ispitivanje procesa (sustava)
- provjeru teoretskog modela
- projektiranje sustava upravljanja
- optimiranje procesa
- dijagnostiku procesa
- procjenu nemjerljivih varijabli procesa
Doprinos metodama identifikacije mehaničkih sustava u vremenskom području
xi
Sadržaj Sažetak............................................................................................................................................. v Ključne riječi ................................................................................................................................... v Abstract........................................................................................................................................... vi Keywords........................................................................................................................................ vi Predgovor........................................................................................................................................ ix Popis oznaka .................................................................................................................................. xv 1. Uvod ............................................................................................................................................ 1
1.1. Pregled dosadašnjih istraživanja........................................................................................... 1 1.2. Definiranje problema............................................................................................................ 3
2. Hipoteza....................................................................................................................................... 7 3. Opis istraživanja .......................................................................................................................... 8 4. Teoretske osnove korištene pri izradi algoritama........................................................................ 9
4.1. Teoretska analiza sustava ..................................................................................................... 9 4.1.1. Vibracije – prigušene..................................................................................................... 9 4.1.2. Prikaz sustava u prostoru stanja................................................................................... 12
4.2. Identifikacija sustava u vremenskom području .................................................................. 16 4.2.1. Markovljevi parametri ................................................................................................. 17 4.2.2. Dobivanje Markovljevih parametara sustava .............................................................. 21 4.2.3. ERA – eigensystem realization algorithm................................................................... 22 4.2.4. ERA/DC – s korištenjem korelacije podataka............................................................. 25 4.2.5. Promatračko pojačanje Markovljevih parametara....................................................... 28 4.2.6. Metode za razlikovanje stvarnog moda od zašumljenog moda................................... 30 4.2.7. Kalmanov filtar............................................................................................................ 32
4.2. Identifikacija u frekventnom području ............................................................................... 38 4.2.1. Laplaceova transformacija........................................................................................... 38 4.2.2. Fourierova transformacija............................................................................................ 42 4.2.3. Z transformacija .......................................................................................................... 47 4.2.4. Bilinearna transformacija ............................................................................................ 49
4.3. Utjecaj šuma ....................................................................................................................... 51 4.3.1. Procjena utjecaja mjernog šuma na identifikaciju sustava .......................................... 51
4.4. Identifikacija modela iz dijela spektra................................................................................ 53 4.4.1. Modulacija ................................................................................................................... 54
4.5. Provjera računalnog programa simulacijom matematičkog modela .................................. 57 4.5.1. Numerička simulacija matematičkog modela.............................................................. 57 4.5.2. Usporedba izračunavanja funkcije impulsnog odziva ................................................. 63
5. Modeliranje konstrukcije........................................................................................................... 74 6. Postupak identifikacije na konkretnom primjeru....................................................................... 77
6.1. Analiza rezultata identifikacije ........................................................................................... 77 7. Zaključak ................................................................................................................................. 100 8. Literatura ................................................................................................................................. 101 Kratki životopis ........................................................................................................................... 105 Short Biography........................................................................................................................... 105
Doprinos metodama identifikacije mehaničkih sustava u vremenskom području
xii
Popis slika Slika 1. Tijek analize procesa ........................................................................................................ 5 Slika 2. Sustav s jednim stupnjem slobode.................................................................................... 9 Slika 3. Rješenja diferen. jed. gibanja u vremenu u ovisnosti o relativnom prigušenju ξ........... 11 Slika 4. Primjer oblika krivulje kod kontinuiranog i diskretnog modela .................................... 15 Slika 5. Tijek postupka identifikacije (pulsni vremenski odziv) ................................................. 17 Slika 6. Grafički prikaz algebarske jednadžbe u frekventnom području..................................... 42 Slika 7. Prijenosna funkcija i njene derivacije: x(ω/ω0), v(ω/ω0), a(ω/ω0), (amplituda)........... 43 Slika 8. Realna i imaginarna komponenta kompleksnog dinamičkog faktora u ovisnosti o omjeru ω/ω0 i relativnom prigušenju ξ ......................................................................................... 44 Slika 9. Dinamički faktor H u ovisnosti o omjeru ω/ω0 i relativnom prigušenju ξ .................... 46 Slika 10. Područje stabilnosti za kontinuirano – vremenski i diskretno vremenski sustav ........... 49 Slika 11. Utjecaj zašumljenog signala na masu i odziv sustava.................................................... 52 Slika 12. Razlika izmeñu procijenjenih i stvarnih (simuliranih) vrijednosti izlaza....................... 52 Slika 13. Utjecaj omjera izlaz/šum na točnost identifikacije......................................................... 53 Slika 14. Zrcaljenje i pomak eksperimentalnih podataka.............................................................. 54 Slika 15. Modulacija modela s valom nosiocem 400 Hz .............................................................. 54 Slika 16. Prikaz valnih oblika pri modulaciji ................................................................................ 55 Slika 17. Spektar signala kod modulacije jednom frekvencijom .................................................. 56 Slika 18. Spektar signala kod modulacije pojasom frekvencija .................................................... 56 Slika 19. Vibracijski sustav s dva stupnja slobode........................................................................ 57 Slika 20. Teoretska simulacija sustava, kod koje je izmjereni ulaz zbroj sile i šuma ................... 58 Slika 21. Teoretska simulacija sustava, kod koje je šum zasebna, nepoznata veličina ................. 58 Slika 22. Djelovanje jediničnog (zašumljenog) impulsa na masu m2, te odziv sustava ............... 59 Slika 23. Usporedbe identificiranih, predviñenih vrijednosti izlaza, sa stvarnim (simuliranim) .. 60 Slika 24. Usporedbe identificiranih, procijenjenih vrijednosti izlaza, sa stvarnim (simuliranim) 60 Slika 25. Razlika izmeñu procijenjenih i stvarnih (simuliranih) vrijednosti izlaza....................... 61 Slika 26. Usporedbe identificiranih, predviñenih vrijednosti izlaza, sa stvarnim (simuliranim) .. 62 Slika 27. Usporedbe identificiranih, procijenjenih vrijednosti izlaza, sa stvarnim (simuliranim) 62 Slika 28. Razlika izmeñu procijenjenih i stvarnih (simuliranih) vrijednosti izlaza....................... 63 Slika 29. Forme vibriranja linearnog sustava s dva stupnja slobode............................................. 64 Slika 30. Prikaz ulaznih i izlaznih podataka simulacije ................................................................ 66 Slika 31. Frekvencijski odziv (FRF) sustava s dva stupnja slobode ............................................. 67 Slika 32. Usporedba impulsnih odziva prvi izlaz (m1) ................................................................. 68 Slika 33. Usporedba pulsnih odziva drugi izlaz (m2) ................................................................... 68 Slika 34. Usporedba prijenosne funkcije dobivene iz pulsa i klasičnim načinom ........................ 69 Slika 35. Prikaz ulaznih i izlaznih podataka simulacije kada je uzbudna sila slučajna varijabla.. 70 Slika 36. Frekvencijski odziv (FRF) sustava s dva stupnja slobode (slučajna uzbuda) ................ 71 Slika 37. Usporedba pulsnih odziva za oba izlaza......................................................................... 72 Slika 38. Usporedba prijenosne funkcije dobivene iz pulsa i klasičnim načinom ........................ 73 Slika 39. Fotografija ispitivanja rešetkaste konstrukcije ............................................................... 74 Slika 40. Model rešetkaste konstrukcije ........................................................................................ 75 Slika 41. Piezo akcelerometar ....................................................................................................... 75 Slika 42. Postavljanje akcelerometra............................................................................................. 76 Slika 43. Udarni čekić ................................................................................................................... 76
Doprinos metodama identifikacije mehaničkih sustava u vremenskom području
xiii
Slika 44. Ulazna sila je udarac čekića, pet pokusa ........................................................................ 78 Slika 45. Usporedba rezultata simulacije dobivenih identifikacijom ovisno o broju pokusa i procijeni, u odnosu na izmjerene vrijednosti izlaza (izlaz 1). ....................................................... 80 Slika 46. Usporedba rezultata simulacije dobivenih identifikacijom ovisno o broju pokusa i procijeni, u odnosu na izmjerene vrijednosti izlaza (izlaz 2). ....................................................... 81 Slika 47. Usporedba rezultata simulacije dobivenih identifikacijom ovisno o broju pokusa i procijeni, u odnosu na izmjerene vrijednosti izlaza (izlaz 3). ....................................................... 81 Slika 48. Usporedba rezultata simulacije dobivenih identifikacijom ovisno o broju pokusa i procijeni, u odnosu na izmjerene vrijednosti izlaza (izlaz 4). ....................................................... 82 Slika 49. Usporedba rezultata simulacije dobivenih identifikacijom ovisno o broju pokusa i procijeni, u odnosu na izmjerene vrijednosti izlaza (izlaz 5). ....................................................... 82 Slika 50. Usporedba rezultata simulacije dobivenih identifikacijom ovisno o broju pokusa i procijeni, u odnosu na izmjerene vrijednosti izlaza (izlaz 6). ....................................................... 83 Slika 51. Usporedba rezultata simulacije dobivenih identifikacijom ovisno o broju pokusa i procijeni, u odnosu na izmjerene vrijednosti izlaza (izlaz 7). ....................................................... 83 Slika 52. Usporedba rezultata simulacije dobivenih identifikacijom ovisno o broju pokusa i procijeni, u odnosu na izmjerene vrijednosti izlaza (izlaz 8). ....................................................... 84 Slika 53. Usporedba rezultata simulacije dobivenih identifikacijom ovisno o broju pokusa i procijeni, u odnosu na izmjerene vrijednosti izlaza (izlaz 9). ....................................................... 84 Slika 54. Usporedba rezultata simulacije dobivenih identifikacijom ovisno o broju pokusa i procijeni, u odnosu na izmjerene vrijednosti izlaza (izlaz 10). ..................................................... 85 Slika 55. Usporedba rezultata simulacije dobivenih identifikacijom ovisno o broju pokusa i procijeni, u odnosu na izmjerene vrijednosti izlaza (izlaz 11). ..................................................... 85 Slika 56. Usporedba rezultata simulacije dobivenih identifikacijom ovisno o broju pokusa i procijeni, u odnosu na izmjerene vrijednosti izlaza (izlaz 12). ..................................................... 86 Slika 57. Usporedba rezultata simulacije dobivenih identifikacijom ovisno o broju pokusa i procijeni, u odnosu na izmjerene vrijednosti izlaza (izlaz 13). ..................................................... 86 Slika 58. Usporedba rezultata simulacije dobivenih identifikacijom ovisno o broju pokusa i procijeni, u odnosu na izmjerene vrijednosti izlaza (izlaz 14). ..................................................... 87 Slika 59. Usporedba rezultata simulacije dobivenih identifikacijom ovisno o broju pokusa i procijeni, u odnosu na izmjerene vrijednosti izlaza (izlaz 15). ..................................................... 87 Slika 60. Frekvencijski odziv (FRF) rešetkaste konstrukcije izlaz 1-3 ......................................... 89 Slika 61. Frekvencijski odziv (FRF) rešetkaste konstrukcije izlaz 4-6 ......................................... 89 Slika 62. Frekvencijski odziv (FRF) rešetkaste konstrukcije izlaz 7-9 ......................................... 90 Slika 63. Frekvencijski odziv (FRF) rešetkaste konstrukcije izlaz 10-12 ..................................... 90 Slika 64. Frekvencijski odziv (FRF) rešetkaste konstrukcije izlaz 13-15 ..................................... 91 Slika 65. Usporedba pulsnih odziva dobivenih u vrem. i frekventnom području (izlaz 1 i 2)...... 92 Slika 66. Usporedba pulsnih odziva dobivenih u vrem. i frekventnom području (izlaz 3 i 4)...... 92 Slika 67. Usporedba pulsnih odziva dobivenih u vrem. i frekventnom području (izlaz 5 i 6)...... 93 Slika 68. Usporedba pulsnih odziva dobivenih u vrem. i frekventnom području (izlaz 7 i 8)...... 93 Slika 69. Usporedba pulsnih odziva dobivenih u vrem. i frekventnom području (izlaz 9 i 10).... 94 Slika 70. Usporedba pulsnih odziva dobivenih u vrem. i frekv. području (izlaz 11 i 12)............ 94 Slika 71. Usporedba pulsnih odziva dobivenih u vrem. i frekv. području (izlaz 13 i 14)............ 95 Slika 72. Usporedba pulsnih odziva dobivenih u vrem. i frekventnom području (izlaz 15) ........ 95 Slika 73. Usporedba prijenosne funk. dobivene iz pulsa i klasičnim načinom (izlaz 1 do 3) ....... 96 Slika 74. Usporedba prijenosne funk. dobivene iz pulsa i klasičnim načinom (izlaz 4 do 5) ....... 97
Doprinos metodama identifikacije mehaničkih sustava u vremenskom području
xiv
Slika 75. Usporedba prijenosne funk. dobivene iz pulsa i klasičnim načinom (izlaz 7 do 9) ....... 97 Slika 76. Usporedba prijenosne funk. dobivene iz pulsa i klasičnim načinom (izlaz 10 do 12) ... 98 Slika 77. Usporedba prijenosne funk. dobivene iz pulsa i klasičnim načinom (izlaz 13 do 15) ... 98
Doprinos metodama identifikacije mehaničkih sustava u vremenskom području
xv
Popis oznaka ann član matrice sustava jednadžbe stanja
A identificirana matrica sustava
A matrica sustava jednadžbe stanja diskretnog vremenskog modela
Ac matrica sustava jednadžbe stanja kontinuiranog vremenskog modela
A promatračka matrica sustava jednadžbe stanja diskretnog vremenskog modela
bnp član ulazne matrice jednadžbe stanja
Bc ulazna matrica jednadžbe stanja kontinuiranog vremenskog modela
mB ulazna matrica u modalnim koordinatama
B2 matrica jednadžbe stanja koja karakterizira lokaciju i tip unosa
B promatračka ulazna matrica jednadžbe stanja kontinuiranog vremenskog modela
B identificirana matrica unosa
c prigušenje sustava
krc kritično viskozno prigušenje
C izlazna matrica jednadžbe stanja
Ca izlazna matrica za ubrzanje
Cd izlazna matrica pomak
mC izlazna matrica u modalnim koordinatama
Cv izlazna matrica brzine
1C konstanta integracije homogene diferencijalne jednadžbe
2C konstanta integracije homogene diferencijalne jednadžbe
C identificirana matrica izlaza
drp član matrice jednadžbe stanja direktnog preslikavanja ulaza na izlaz
D matrica jednadžbe stanja direktnog preslikavanja ulaza na izlaz
δ delta (Diracova) funkcija
∆t konstantni vremenski interval
)(ke pogreška estimacije
Doprinos metodama identifikacije mehaničkih sustava u vremenskom području
xvi
)(krε rezidua – ostatak, razlika stvarnog izmjerenog izlaza i procijenjenog mjerenja
)(tF sila
F(s) Laplaceova transformacija funkcije f(t)
ψ svojstveni vektor procijenjene matrice stanja A
G promatračko pojačanje
G(s) prijenosna funkcija
)(wG prijenosna funkcija bilinearne transformacije
H Hankelova matrica
)(ωH koeficijent dinamičkog pojačanja
)(kH korelacijski blok Hankelove matrice
I jedinična matrica
k krutost opruge
K Kalmanova matrica pojačanja
l broj uzorkovanja
iλ svojstvene vrijednosti
Λ dijagonalna matrica koja sadrži identificirane svojstvene vrijednosti iλ
m masa
m broj izlaza
M matrice mase
n broj stupnjeva slobode (broj reda sustava)
p broj koraka nakon kojeg početni uvjeti budu zanemarivi
αP promatračka matrica
)(kP− kovarijantna matrica
iq identificirana modalna amplituda
Q kovarijanca šuma procesa
βQ kontrolna matrica
r broj ulaza
R jedna od singularnih vrijednosti Hankelove matrice
R kovarijanca šuma mjerenja
Doprinos metodama identifikacije mehaničkih sustava u vremenskom području
xvii
)(kRhh kvadratna korelacijska matrica
s svojstveno rješenje kvadratne jednadžbe (homogene diferencijalne jednadžbe)
S jedna od singularnih vrijednosti Hankelove matrice
Σ jedna od singularnih vrijednosti Hankelove matrice
t vrijeme
0t početno vrijeme
τ vrijeme unutar vremenskog intervala
θ kut kašnjenja za uzbudnom silom
u vektor ulaznih varijabli
up član vektora ulaznih varijabli
U ulazna matrica sustava
U(s) Laplaceova transformacija ulaznog vektora
U+ pseudo – inverzna matrica U
v imaginarni član bilinearne ravnine
)(kv matrica ulaza i izlaza
)(kν mjerni šum
V proširena matrica ulaza i izlaza
V podskup matrice V
w ravnina bilinearne transformacije
)(kω procesni šum
0ω vlastita kružna frekvencija
pω svojstvena (prirodna, vlastita) frekvencija prigušenih vibracija
x vektor varijabli stanja
0x početne vrijednosti pomaka
)(txh rješenje homogene diferencijalne jednadžbe
)(ˆ kx− procjena stanja u trenutku k prije mjerenja
)(ˆ kx+ Procjena stanja u trenutku k, koja uključuje izlazno mjerenje
mx identificirani diskretni model u modalnim koordinatama
Doprinos metodama identifikacije mehaničkih sustava u vremenskom području
xviii
ux pomak u smjeru osi x
0x& početne vrijednosti brzine
ux& brzina
ux&& ubrzanje
)(tx p partikularno rješenje nehomogene diferencijalne jednadžbe
X(s) Laplaceova transformacija vektora varijabli stanja
y vektor izlaznih varijabli jednadžbe stanja
y podskup matrice y
Y matrica Markovljevih parametara sustava
Yk Markovljev parametar sustava
Y matrica promatračkih (observer) Markovljevih parametar
0kY promatračko pojačani Markovljev parametar
Y(s) Laplaceova transformacija izlaznih varijabli jednadžbe stanja
z kompleksna varijabla Z – transformacije
ξ relativno prigušenje
Doprinos metodama identifikacije mehaničkih sustava u vremenskom području
1
1. Uvod
1.1. Pregled dosadašnjih istraživanja
Prva značajnija istraživanja koja koriste identifikacijske metode modalne analize počinju
1940. godine [1], rušenjem mosta Tacoma Narrows. Most je bio otvoren za promet samo
nekoliko mjeseci, a srušen je pojavom rezonancije, uslijed male sile vjetra.
Metodologija modalnog testiranja razvojem računala i numeričkih metoda se tokom godina
znatno mijenjala i usavršavala.
U svom radu Wang i suradnici [2], predlažu metodu identifikacije zajedničkih dinamičkih
svojstava unutar sustava, sastavljene od podstruktura s djelomično izmjerenim frekvencijskim
odzivom (FRF), dok se neizmjeren odziv FRF slobodne podstrukture može dobiti kroz modalne
kalibracije. Podaci korišteni u procjeni se sastoje od djelomično izmjerenog FRF i podataka
izračunatih iz precizno kalibriranih podstruktura modela konačnih elemenata (FEM) [3-6]. Takav
pristup poboljšava točnost identifikacije u odnosu na mnoge druge metode koje koriste samo
djelomično mjerenje FRF i/ili dio od procijenjene FRF.
Jako je teško razviti metodu koja formulira matricu prigušenja tako da predstavlja stvarnu
prostornu raspodjelu i mehanizam prigušenja za promatrani dinamički sustav. Dinamična matrica
krutosti (dynamic stiffness matrix DSM) temeljena na metodi identifikacije koju predlažu Lee i
Kim je pogodna i obećavajuća, jer identificira prigušenje matrica od izmjerene DSM. Meñutim, u
kasnijim radovima su utvrñene velike varijance pogreške ovakvog pristupa identifikacije.
Uzroke i moguća rješenja problema postavljaju Arora, Singh i Kundra [7]. Uočavaju varijance i
propuštanje pogrješke kao glavni izvor problema, te razvijaju poboljšani eksperimentalni
postupak identifikacije kako bi se smanjio učinak tih pogrješaka.
Procjena svojstva strukture krutog tijela je vrlo važno pitanje za proučavanje njegovog
dinamičkog ponašanja. U svom radu [8] autori Raquel A.B. Almeida, António P.V. Urgueira,
Nuno M.M. Maia, istražuju skupinu metoda, gdje se procjenjuju svojstva krutog tijela modalnih
parametara dobivenih iz frekvencijskog odziva podataka (FRF). Ovakve metode, obično poznate
kao modalne metode, koriste identificirana modalna svojstva ortogonalnosti. Ipak, javljaju se
teškoće u slučajevima kada postoji visok stupanj simetrije u strukturi.
Doprinos metodama identifikacije mehaničkih sustava u vremenskom području
2
Fasana [9] temelji istraživanje u Z-domeni na RFP prikazu (rational fraction polynomials)
frekvencijskog odziva (FRF) sustava jednog ulaza i jedan izlaz (SISO) sustava, i jednostavno
proširivanje na više ulaza i više izlaza (MIMO). Usvojen je pristup najmanjih kvadrata koji uzima
u obzir informacije o svim odzivima FRF, ali kada se koriste veliki skupovi podataka, rješenje je
rezultat sustava algebarskih linearnih jednadžbi, što može biti dug i težak postupak.
Grupa autora X. Liu, N.A.J. Lieven, P.J. Escamilla-Ambrosio [10] koristi strukturirani
oblik signala za definiranje oštećenja. Posebno se pokazala prednost takve primjene gdje nije
dostupno točno modeliranje konačnim elementima. U tu svrhu primjenjuju se tradicionalni oblici
signala. Za lokalizaciju strukturnog oštećenja koristi se frekvencijski odziv (FRF). ULS i ODS,
FRF oblici su definirani za širokopojasni prijenos i pomoću njih se jasnije otkriva mjesto
oštećenja. Još jedna prednost korištenja FRF je u tome što se test podatci mogu izravno koristiti
bez potrebe provoñenja modalne identifikacije. Metode u ovoj studiji uključuju važne izmjene
poput korištenja imaginarnih dijelova FRF i normalizaciju oblika FRF prije usporedbe.
U svom radu Coppotelli [11] koristi djelovanje različitih opterećenja na mase potrebne za
procjenu funkcija frekvencijski odziv FRF. Ova tehnika omogućuje procjenu prirodnih
frekvencija, formi i omjera prigušenja. Pristup se temelji na osjetljivosti svojstvenih vrijednosti
za strukturne promjene, kao što su masa i krutost. Pokazano je kako općenito modalni parametri
mogu biti izvedeni od strane mjerenja prirodne frekvencije. Takvi generalizirani modalni
parametri koriste se za procjenu FRF.
Učinkovit frekvencijski odziv koristi Dunne [12] (FRF), koji predlaže graničnu metodu
pomoću teorije asimptotskih ekstremnih vrijednosti. Metoda iskorištava male slučajne uzorke
realizacijom FRF nominalno jednake strukture, te predviña odgovarajuće FRF granice za znatno
veće serije. To je korisno za predviñanje prisilnih vibracija kod vozila kada se pretpostavlja da se
parametri razlikuju statistički.
Inženjerske konstrukcije se rijetko ponašaju linearno, a linearne provjere su uobičajena
praksa u testiranju kritičnih struktura izloženih dinamičkih opterećenja za definiranje granice
važenja linearnog režima. Meñutim, u velikoj mjeri industrijske primjene, ne postoji opća
metodologija za dinamičko izdvajanje nelinearnih parametara iz mjernih podataka vibracije, tako
da mogu biti uključeni u numeričke modele. U svom radu, Carrella i Ewins [13] na temelju
podataka sadržanih u frekvencijskom odzivu (FRF) izučavaju svojstva strukture. Ta tehnika
spada u kategoriju jednog stupnja-of-slobode (SDOF) modalne analize metode. Načelo na kojem
Doprinos metodama identifikacije mehaničkih sustava u vremenskom području
3
se temelji učinkovita linearizacija, pri čemu se pretpostavlja da je dana amplituda pomaka odziva
sustava, reagira na istoj frekvenciji kao i uzbude, a krutost i prigušenje je konstantno. Pritom se
dobiva informacija pomoću amplituda različitih vibracijskih odziva. Moguće je procijeniti
amplitudu u ovisnosti o „prirodnoj“ frekvenciji i faktoru modalnih gubitaka.
Kashani, A.S. Nobari [14] se bave identifikacijom dinamičkih karakteristika lokalnih
nelinearnosti. Ova identifikacijska metoda je osnovana na funkciji Optimum Equivalent Linear
Frequency (OELF). Dinamičko ponašanje nelinearnih elemenata u sustavu je dobiveno iz OELF
pomoću dvije različite tehnike. Prva tehnika je „Direct Identification Method“ (DIM), u koja
unaprijed ne pretpostavlja nelinearnost u ponašanju i druga tehnika je „Model based
Identification Method” (MIM). Druga tehnika koristi dvije različite formulacije, kako bi se uzele
u obzir praktične granice zbog nedostupnosti nelinearnosti lokacije i / ili neodreñenosti stupnja
slobode.
Grupa autora Hu, Bao i Li [15] predlažu drugačiji pristup od tradicionalnih metoda za
procjenu modalnih parametara iz zašumljenog impulsnog odziva „impulsive response function“
(IRF). Glavna razlika leži u načinu tretiranja šuma i odabira reda modela koji se računa. Dok
tradicionalni pristup prihvaća šum namjernim povećanjem reda modela, njihov pristup koristi
stvarni sustav kako bi definirali red modela te izbacuju šum prije procjene modalnih parametara.
1.2. Definiranje problema
Područje identifikacije obuhvaća postupke modeliranja matematičkog modela nekog već
postojećeg sustava. Najčešće unutarnja struktura i parametri sustava nisu poznati ili su samo
djelomično poznati. Identifikacijom se, na osnovu mjerenja ulaznih i izlaznih rezultata, utvrñuje
matematički model, koji može zadovoljavajućom točnošću predstavljati promatrani sustav.
Točnost i preciznost modela ovisi o opremi i uvjetima pod kojima se odvija eksperiment, te o
utjecaju poremećaja (šuma) koji djeluju na proces.
Prilikom postupka identifikacije potrebno je voditi računa o nekoliko činjenica.
Raspoloživo vrijeme za eksperiment je ograničeno iz procesnih razloga ili zbog vremenske
promjenljivosti sustava. Ako je primijenjen deterministički ispitni signal, tada je vrijeme
mjerenja odreñeno pojavom stacionarnog stanja izlazne veličine. Ako se sustav pobuñuje
Doprinos metodama identifikacije mehaničkih sustava u vremenskom području
4
kontinuiranim signalom, uz diskretno mjerenje, nužno je poštivati Shannonov teorem. Promjenu
ispitnog signala potrebno je ograničiti na maksimalno dozvoljeni iznos. Ta ograničenja uvjetuje
sam sustav (proces), odnosno njegova linearizacijska svojstva.
Poremećajni signal (šum) direktno utječe na točnost i kvalitetu identifikacije, a sastoji se
iz više komponenata:
- visokofrekventni pseudo-stacionarni stohastički šum, čija je srednja vrijednost nula;
- niskofrekventni nestacionarni stohastički signal koji se mijenja u vremenu:
- komponenta signala nepoznatog karaktera, koja nastaje iznenadnim promjenama
parametara procesa ili smetnjama u mjernim ureñajima.
Stoga je potrebno svesti utjecaj šuma na najmanju moguću mjeru, kako bi se dobio što bolji
matematički model. U tom slučaju mogu se koristiti adekvatni filtri, koji su prilagoñeni
pojedinim klasama signala, te odbaciti nelogične rezultate.
Prvi korak postupka identifikacije je postavljanje zahtijeva za opisivanje nekog sustava
matematičkim modelom, te odreñivanje svrhe primjene (struktura i točnost). Drugi korak je
mjerenje. Prilikom planiranja mjerenja potrebno je prikupiti a-priori znanja, uočiti koje se
varijable mogu direktno mjeriti, a koje se indirektno procjenjuju, procijeniti frekvenciju
uzorkovanja, vrijeme trajanja mjerenja, odabir postupka identifikacije, itd. Točnost promatranja
bi se postigla kada bi trajanje mjerenja bilo beskonačno, stoga vrijeme mjerenja mora biti takvo
da se dobiju kvalitetne informacije o prijelaznim procesima koje se dogañaju u sustavu. Treći
korak je provedba eksperimenta (mjerenja), pri čemu treba paziti da budu ispunjeni prethodno
navedeni uvjeti. Ispitni signal može biti aktivan ili pasivan. Pri postupku identifikacije aktivnim
signalom ispitni signal se namjerno dovodi sustavu i ima točno odreñenu formu (impuls, slučajni
signal, …), dok se kod pasivnog signala koriste signali koji se mogu snimiti pri normalnom radu
sustava. Četvrti korak je obrada izmjerenih signala, te odreñivanje parametara, odnosno
odreñivanje modela. Peti korak je provjera valjanosti modela, te eventualno ponavljanje trećeg i
četvrtog koraka.
Na slici 1. općenito je prikazan tijek analize procesa [16] kao kombinacija iterativnog
postupka teoretske i eksperimentalne analize. U provedbi eksperimenta ulazni signal u proces
može biti pogonski, odnosno radni signal, ili, prema potrebi, točno odreñena vrsta signala.
Iscrtane linije pokazuju veze koje pridonose a-priori znanju o procesu, odnosno osiguravaju
provjeru točnosti teoretskog modela.
Doprinos metodama identifikacije mehaničkih sustava u vremenskom području
5
Slika 1. Tijek analize procesa
Osnovne metode identifikacije linearnih procesa:
- Fourierova analiza koristi se za linearne procese s kontinuiranim signalima pri
odreñivanju frekvencijske karakteristike procesa. Pogodna je za procese s malim odnosom šuma i
ispitnog signala.
- Korelacijska analiza primjenjuje se u vremenskom području i prikladna je za linearne
procese koji koriste linearne ili diskretne signale. Ulazni je stohastički i/ili periodički signal, a
Doprinos metodama identifikacije mehaničkih sustava u vremenskom području
6
kao rezultat dobije se korelacijska funkcija. Metoda je prikladna za procese s velikim odnosom
šum – ispitni signal.
- Spektralna analiza primjenjuje se pod istim uvjetima kao i korelacijska analiza. Obrada se
obavlja u frekvencijskom području, izračunava se spektralna gustoća signala.
- Referentni model je metoda prikladna za matematičke metode s kontinuiranim signalima.
Uz pretpostavljenu strukturu dobiju se parametri diferencijalnih jednadžbi ili jednadžbi
diferencija. Potrebno je osigurati da ulazni signali pobude sve interesantne karakteristične
frekvencije procesa.
- Procjena parametara je metoda koja je prikladna za kontinuirane i diskretne signale.
Ispitni signal može imati proizvoljan oblik, ali mora trajno pobuditi interesantne karakteristične
frekvencije. Postupak je pogodan za upravljanje ili simulaciju procesa.
U postupku identifikacije (u vremenskom području) koristi se algoritam ERA
(Eigensystem Realization Algorithm), koji bez ikakvih gubitaka dopušta samo jake, odnosno
dobre izmjerene, signale što je vrlo korisno, budući da izmjereni signali tokom testa mogu biti
zašumljeni ili može doći do nekog poremećaja na mjernim ureñajima. Takoñer, ERA algoritam
ima sposobnost smanjenja reda matrice sustava, što je naročito pogodno za kompliciranije
sustave. Pojačanje koje se uvodi u matematičko modeliranje ima ulogu fiktivne povratne petlje,
odnosno korekcije pri procjeni stanja sustava i procijenjene mjerne jednadžbe. U slučaju kada
šum u sustavu ima karakteristike bijelog šuma, Gausovu distribuciju i srednja vrijednost mu je
nula, tada je pojačanje Kalmanov filtar. Kalmanov filtar je rekurzivni stohastički procjenitelj
(estimator) varijabli stanja, koje se ne mogu mjeriti, a može poslužiti i za procjenu mjerljivih
signala ukoliko su oni u većoj mjeri zašumljeni.
Prilikom identifikacije sustava dolazi do odstupanja u procjeni, zbog utjecaja šuma i
nepreciznosti samog postupka. Stoga je istraživanje u ovom radu usmjereno na poboljšanje i
primjenu odgovarajućih matematičkih modela koji opisuju sustav na osnovi unaprijed definiranih
ulazno izlaznih veličina. Matematički model na koji se primjenjuje poboljšanje postupka
identifikacije omogućit će bolje opisivanje sustava u vremenskom području. Takvi matematički
modeli se mogu koristiti za detaljnu analizu i optimizaciju ispitivanog sustava.
Ima dosta matematičkih postupaka koji se bave ovom problematikom, meñutim u području
identifikacije sustava, ima još dosta prostora za poboljšanje. To je jedan od razloga zbog kojeg se
pristupilo ovim istraživanjima.
Doprinos metodama identifikacije mehaničkih sustava u vremenskom području
7
2. Hipoteza
Primjena adekvatnog postupaka identifikacije u procesu pronalaženja matematičkog
modela osigurat će zadovoljavajuću točnost i kvalitetu postupka, a time i bolje upravljanje i
regulaciju sustava.
Učinkovita usporedna analiza postupaka identifikacije pridonijet će donošenju kvalitetne
odluke o opravdanosti korištenja odreñenog postupka u identifikaciji sustava. Rezultati
usporedne analize su prihvatljivi ako se usporeñuju procesi provedeni pod optimalnim uvjetima.
Mnogi sustavi (strojni dijelovi) su opterećeni ili rade samo u odreñenom frekventnom
području, dok frekventno područje postupka identifikacije redovito obuhvaća područje od nula do
Nyquistove frekvencije. Širenjem frekventnog područja identifikacije opada preciznost, stoga je
poželjno dobiti model odnosno izvršiti identifikaciju isključivo preko odreñenog dijela spektra,
odnosno u radnom frekventnom području sustava. Na osnovi navedenog postavljaju se hipoteze.
Točnije izračunavanje funkcije impulsnog odziva IRF (impuls response function) potrebne u
validaciji i poboljšanju modela u vremenu (model update in time domain) u odnosu na klasično
računanje inverznom Fourierovom transformacijom FRF-a (frequency response function), uz
jednak matematički napor.
Mogućnost dobivanja matematičkih modela na temelju samo dijela spektra, metodama
identifikacije koje daju model u frekvencijskom području u rasponu od 0 do Nyquistove
frekvencije.
Cilj ovog istraživanja je potvrditi kako točnost identifikacije ovisi o pravilnom odabiru
matematičkih metoda, te pokazati prednost kada postupak identifikacije obuhvaća samo radno
područje sustava.
Doprinos metodama identifikacije mehaničkih sustava u vremenskom području
8
3. Opis istraživanja
Identifikacija sustava izvodi se na osnovu izmjerenih podataka koji opisuju ulaz, izlaz i
poremećaje. Kvaliteta modeliranja ovisi o omjeru signal – šum.
Svrha i cilj ovog istraživanja je razviti na sistematičan, znanstveni i pouzdan način
odgovarajuće poboljšanje korištenja prikladnih matematičkih alata koji integriraju
eksperimentalno, numeričko i analitičko znanje u postupku identifikacije sustava. Istraživanje će
omogućiti precizniju primjenu izrade matematičkih modela, što može dati odreñen doprinos
metodama u poboljšanju, razvijanju, regulaciji i upravljanju sustava.
Istraživanje će se primijeniti na matematičke alate i na kvalitetu njihovih rezultata, te će se
time doći do novih spoznaja i rješenja.
Doprinos metodama identifikacije mehaničkih sustava u vremenskom području
9
4. Teoretske osnove korištene pri izradi algoritama
Kompletni računalni programi korišteni u ovom radu baziraju se na teoretskim osnovama
koje slijede.
4.1. Teoretska analiza sustava
4.1.1. Vibracije – prigušene
Slika 2. Sustav s jednim stupnjem slobode
Primjenom drugog Newtonovog zakona može se opisati mehanički sustav. Rezultat je linearna
diferencijalna jednadžba s konstantnim koeficijentima [17-20]:
)(2
2
tFxckxxmdt
xdm uuu
u +−−== &&& (1)
odnosno
)(tFkxxcxm uuu =++ &&& (2)
Ako se diferencijalna jednadžba preformulira uz odgovarajuće supstitucije
mtFkxxcxm uuu :)(=++ &&&
)(1
tFm
xm
kx
m
cx uuu =++ &&& (3)
20ω=
m
k
022
22
12 ξω===
m
k
km
c
k
k
mm
c
m
c (4)
Doprinos metodama identifikacije mehaničkih sustava u vremenskom području
10
krckm =2 (5)
ξ=krc
c (6)
dobije se tzv. standardni oblik:
)(2202
00 tFk
xxx uuu
ωωξω =++ &&& (7)
gdje su
- m
k=0ω vlastita kružna frekvencija,
- 02 ω
ξm
c
c
c
kr
== relativno prigušenje,
- 022 ωmkmckr == kritično viskozno prigušenje.
Rješenje diferencijalne jednadžbe sastoji se iz dva dijela, homogenog i partikularnog rješenja
)()()( txtxtx phu += (8)
)(txh - je rješenje homogene diferencijalne jednadžbe
02 200 =++ uuu xxx ωξω &&& (9)
te predstavlja slobodnu komponentu vibracija.
Ako se rješenje pretpostavi u obliku st
h ex = i zatim uvrsti u gornju jednadžbu (9), dobije se
svojstvena kvadratna jednadžba
02 200
2 =++ ωξω ss (10)
koja ima dva svojstvena rješenja
2002,1 1 ξωξω −±−= is . (11)
Rješenje homogene diferencijalne jednadžbe sada može se pisati
tsts
h eCeCtx 2121)( += (12)
te uz odreñivanje konstanti integracija iz početnih uvjeta za 0t , ( 00 )( xtxu = , 00 )( xtxu&& = ), ono
ima oblik
Doprinos metodama identifikacije mehaničkih sustava u vremenskom području
11
++= −
txx
txetx p
p
p
t
h ωωξω
ωξω sincos)( 0000
0&
(13)
gdje je 20 1 ξωω −=p svojstvena (prirodna, vlastita) frekvencija prigušenih vibracija [21-23].
Slika 3. Položaj rješenja svojstvene jednadžbe u kompleksnoj ravnini ovisno o koeficijentu relativnog prigušenja
Slika 3. Rješenja diferen. jed. gibanja u vremenu u ovisnosti o relativnom prigušenju ξ
Drugi dio jednadžbe (8) je )(txp partikularno rješenje koje zadovoljava nehomogenu
diferencijalnu jednadžbu
)(2202
00 tFk
xxx uuu
ωωξω =++ &&& (14)
te predstavlja prisilnu komponentu vibracija.
Ukupno rješenje diferencijalne jednadžbe (prisilne vibracije) prigušenog sustava s jednim
stupnjem slobode je oblika
Doprinos metodama identifikacije mehaničkih sustava u vremenskom području
12
)sin()()( 0 ϑωωξω −+= −tH
k
FCetx
t
u (15)
gdje je koeficijent dinamičkog pojačanja
0
2
0
21
1)(
ωω
ξωω
ω
i
H
+
−
= . (16)
Vrijednost prvog člana rješenja tCe 0ξω− se eksponencijalno smanjuje, pa se tijekom vremena može
zanemariti. Taj član prikazuje početne ili prolazne vibracije. Drugi član rješenja predstavlja
prisilne vibracije - to je harmonijsko gibanje frekvencijom opterećenja.
Iz praktičnih razloga prolazne i prisilne vibracije proučavaju se neovisno pa je uobičajeno
partikularno i homogeno rješenje prikazivati odvojeno. Rješenje se može predočiti u kompleksnoj
ravnini ili vektorski, što je ekvivalentno. Grafički se rješenja prikazuju kao vektori (kompleksni
brojevi) koji rotiraju kutnom brzinom ωt odnosno ωpt. Projekcije ovih vektora na okomitu os
(realnu os) u vremenu daju pripadne dijagrame rješenja.
4.1.2. Prikaz sustava u prostoru stanja
Kontinuirani vremenski model
Za sustave s više stupnjeva slobode jednadžba (1) ima oblik
FkxxcxM uuu =++ &&& (17)
gdje su M, c, k matrice mase, prigušenja i krutosti; ux&& , ux& i ux su vektori ubrzanja, brzine i
pomaka; dok je F funkcija sile.
Pojam stanja odnosi se na dinamički fizički sustav, te se matematičkim modelom,
odnosno diferencijalnim jednadžbama, izučavaju odnosi i ponašanja njegovih fizikalnih veličina.
Dijeljenjem jednadžbe (17) s masom M, te njenim sreñivanjem [24-26] dobije se:
FxcMkxMx uuu +−−= −−&&&
11 (18)
uz odgovarajuće supstitucije
Doprinos metodama identifikacije mehaničkih sustava u vremenskom području
13
−−= −− cMkM
IAc 11
0,
=
u
u
x
xx
&
(19)
−
= −2
1
0
BMBc , )(2 tuBF =
jednadžba (17) može biti napisana kao diferencijalna jednadžba prvog reda [27-30], što je puno
pogodnije za računanje:
uBxAx cc +=& (20)
DuCxy += (21)
- x – vektor varijabli stanja
- y – vektor izlaznih varijabli
- u – vektor ulaznih varijabli
- A – matrica sustava
- B – ulazna matrica
- C – izlazna matrica
- D – matrica direktnog preslikavanja ulaza na izlaz.
Ac je (n x n) matrica stanja, B2 je matrica koju karakterizira lokacija i tip unosa. Ako se odziv
dinamičkog sustava mjeri pomoću m broja izlaza, u izlaznom vektoru y(t) koristeći senzore, za
mjerenje akceleracije, tahometri, mjerenje naprezanja itd., izlazna jednadžba u matričnom obliku
može se pisati
xCxCxCy dva ++= &&& (22)
gdje su Ca, Cv i Cd izlazne utjecajne matrice za ubrzanje, brzinu i pomak. Te izlazne matrice
opisuju odnose izmeñu vektora x&& , x& i x i dimenzije izmjerenog vektora y, prema tome sadrži
konverzijski faktor izmeñu fizikalnih jedinica, kao što su metri, i električnih jedinica, kao što su
volti. Rješavanjem x&& iz jednadžbe (18) supstitucijom u (22) dobije se
[ ] xCxCkxxcuBMCy dva ++−−= −&&2
1 (23)
ili
DuCxy += (24)
Doprinos metodama identifikacije mehaničkih sustava u vremenskom području
14
gdje je:
[ ]cMCCkMCCC avad
11 −− −−= (25)
21BMCD a
−= (26)
Ovdje je C m x n izlazna matrica vektora x, koji sadrži samo brzinu i pomak, a D je m x r
prijenosna matrica. Prisutnost D matrice čini fizikalni smisao, jer promjena koraka u sili
uzrokuje promjenu koraka u ubrzanju y. Veličina promjene koraka ubrzanja diktira što se dobije u
matrici D. Kad se ne mjeri ubrzanje, matrica D nestaje iz jednadžbe (24). Izrazi (20) i (21) čine
jednadžbe stanja kontinuirano vremenskog modela.
Prikaz sustava n-tog reda pomoću n diferencijalnih jednadžbi 1. reda, linearni sustavi s
vremenski nepromjenjivim koeficijentima:
1112121111 ... ubxaxaxax nn ++++=&
1222221212 ... ubxaxaxax nn ++++=& (27)
M
12211 ... ubxaxaxax nnnnnnn ++++=&
Prikaz u matričnom obliku
12
1
2
1
21
22221
11211
2
2
1
u
b
b
b
x
x
x
aaa
aaa
aaa
x
x
x
nnnnnn
n
n
+
=
MM
L
O
L
L
&
M
&
&
(28)
[ ] 112
1
21 ud
x
x
x
cccy
n
n +
⋅=M
K (29)
Sustav s više ulaza i izlaza
+
=
pnpnn
p
p
nnnnn
n
n
nu
u
u
bbb
bbb
bbb
x
x
x
aaa
aaa
aaa
x
x
x
M
L
O
L
L
M
L
O
L
L
&
M
&
&
2
1
21
22221
11211
2
1
21
22221
11211
2
1
(30)
Doprinos metodama identifikacije mehaničkih sustava u vremenskom području
15
+
=
prprr
p
p
nrnrr
n
n
ru
u
u
ddd
ddd
ddd
x
x
x
ccc
ccc
ccc
y
y
y
M
L
O
L
L
M
L
O
L
L
M
2
1
21
22221
11211
2
1
21
22221
11211
2
1
(31)
Diskretni vremenski model
Slika 4. Primjer oblika krivulje kod kontinuiranog i diskretnog modela
Za početni uvjet x(t0) za t = t0, i rješavanjem diferencijalne jednadžbe (20), proizlazi
∫ −− +=t
t
c
tAttAduBexetx coc
0
)()( )(0
)( τττ . (32)
Kod diskretno vremenskog modela vrijeme je definirano jednakim vremenskim intervalima.
Neka je isti vremenski interval zadan kao 0, ∆t, 2∆t, … (k+1)∆t, gdje je ∆t konstantni interval.
Zamjenom t = (k+1) ∆t i t0 = k∆t u jednadžbi (32) dobiva se
[ ] [ ]∫∆+
∆
−∆+∆ +∆=∆+tk
tk
c
tkAtAduBetkxetkx cc
)1()1( )()()1( τττ (33)
u(τ) = {u(k∆t) za k∆t ≤ τ < (k+1)∆t; k = 1, 2, 3, … }
Jednadžba (33) s konstantnom matricom Bc postaje
[ ] )()()1(0
tkuBdetkxetkx
t
c
AtA cc ∆
′+∆=∆+ ∫
∆′∆ ττ (34)
gdje se varijabla τ u jednadžbi (34) zamjeni ττ −∆+=′ tk )1( . Definira se
Doprinos metodama identifikacije mehaničkih sustava u vremenskom području
16
tAceA∆=
∫∆
′ ′=t
c
ABdeB c
0
ττ
[ ]tkxkx ∆+=+ )1()1( (35)
)()( tkuku ∆=
Diskretne vremenske matrice A i B u jednadžbi (35) mogu biti računate pomoću sljedećih
proširenja
...)(!3
1)(
!2
1 32 +∆+∆+∆+== ∆tAtAtAIeA ccc
tAc (36)
cccc
t
ABtAtAtIBdeB c
+∆+∆+∆== ∫∆
...)(!3
1)(
!2
1 322
0
ττ (37)
[ ] cc BAIAB 1−−= (38)
Jednadžbe stanja diskretno vremenskog modela (34) i (35) mogu se prikazati u kompaktnijem
linearnom obliku
)()()1( kBukAxkx +=+ k = 1, 2, 3, … (39)
)()()( kDukCxky += (40)
gdje su:
x(k) – n x 1 vektor varijabli stanja (br. reda sustava)
y(k) – m x 1 izlazni vektor (m – br. izlaza)
u(k) – r x 1 vektor ulaza (r – br. ulaza)
4.2. Identifikacija sustava u vremenskom području
Na slici 5. prikazan je tijek postupka identifikacije sustava. Djelovanjem poznate ulazne
funkcije, te na temelju izmjerenih izlaza prvo se izračunavaju promatrački Markovljevi parametri.
Iz njih se dalje računaju Markovljevi parametri sustava i promatračko pojačani Markovljevi
parametri, iz kojih se dobiju matrice sustava A, B, C, D i promatračko pojačanje G.
Doprinos metodama identifikacije mehaničkih sustava u vremenskom području
17
Slika 5. Tijek postupka identifikacije (pulsni vremenski odziv)
4.2.1. Markovljevi parametri
Pretpostavljajući nulte početne uvijete x(0) = 0 iz gornje dvije jednadžbe (39 i 40) za
k = 0, 1, 2, … (l – 1) (l – br. uzorkovanja) dobije se [31]:
0)0( =x
)0()0( Duy =
)0()1( Bux =
)1()0()1( DuCBuy +=
Doprinos metodama identifikacije mehaničkih sustava u vremenskom području
18
)1()0()2( BuABux +=
)2()1()0()2( DuCBuCABuy ++=
.
.
.
∑=
− −=k
i
i ikBuAkx1
1 )()( (41)
)()()(1
1 kDuikBuCAkyk
i
i +−= ∑=
− (42)
Ako se impulsna funkcija koja djeluje na ulazu, ui(0) = 1 (i = 1, 2, …, r) i ui(k) = 0 (k = 1, 2,…),
gdje je r – broj ulaza, uvrsti u gornji izraz, dobiju se na izlazu Markovljevi parametri:
DY =0 , CBY =1 , CABY =2 , …, BCAY k
k
1−= (43)
Jednadžba (43) predstavlja odnos izmeñu ulaza i izlaza zadanog sustava, poredano u
vremenskom nizu, te se može napisati preglednije, odnosno u matričnom obliku
y = Y U (44)
gdje su:
[ ])1()2()1()0( −= lyyyyy K (45)
= − BCACABCBDY l 2K (46)
−
−
−
=
)0(
)3()0(
)2()1()0(
)1()2()1()0(
u
luu
luuu
luuuu
U
MO
K
K
K
(47)
Matrica izlaza y ima dimenziju lm × , što je ujedno i broj jednadžbi sustava, matrica Y je matrica
Markovljevih parametara definirana s lrm ⋅× članova (nepoznanica), a matrica U ima dimenziju
llr ⋅× .
Ovaj sustav nije rješiv, jer je broj nepoznanica (Markovljevih parametara) veći od broja
jednadžbi lrm ⋅× > lm × , osim za slučaj kada postoji samo jedan ulaz r = 1, tada je sustav
Doprinos metodama identifikacije mehaničkih sustava u vremenskom području
19
jednoznačno definiran. Meñutim, i tada zbog velikog broja uzorkovanja l, sustav postaje prevelik
za računanje.
Ako se pretpostavi da je matrica A asimtotski stabilna, tada je Ak ≈ 0 za dovoljno veliki
cijeli broj p, k ≥ p, za vremenski niz k = 0, 1, 2, 3, … p, … (l-1). Jednadžba (44) sada se može
napisati pomoću:
[ ])1()()2()1()0( −= lypyyyyy KK (48)
[ ]BCACABCBDY p 1−= K (49)
−−
−−
−−
−
=
)1()0(
)3()2()0(
)2()1()1()0(
)1()()2()1()0(
pluu
lupuu
lupuuu
lupuuuu
U
K
MKMO
KK
KK
KK
(50)
s prikraćenim dimenzijama matrice:
lm × lpr ⋅+× )1(
y = Y · U (51)
)1( +⋅× prm
Ako se odabere broj uzorkovanja l tako da bude l > r(p+1), tada je CAkB ≈ 0 za k ≥ p. Broj
jednadžbi je sada u izrazu (51), veći nego broj nepoznanica ( lm × ) > ( )1( +⋅× prm ).
Markovljevi parametri se mogu dobiti pomoću izraza
Y = yU+ (52)
gdje je U+ pseudo – inverzna matrica U
Y = yUT[UU
T]
-1 = yU
+ (53)
Potrebno je istaknuti: kada se p povećava, pogreška aproksimacije se smanjuje. Nažalost, kod
malih prigušenja sustava, broj p postaje nepraktično velik, pa je dimenzija matrice U prevelika za
rješavanje. Taj problem se može riješiti umjetnim povećanjem prigušenja. Matematičkom
manipulacijom, koja ima ulogu prividne povratne petlje, sustav se može učiniti, po želji,
stabilnim. Jednadžbi stanja dodaje se izraz Gy(k), čime se dodaje i utjecaj izlaza (mjerenja) što
ima ulogu povratne petlje.
)()()()()1( kGykGykBukAxkx −++=+ (54)
Sreñivanjem nastaje observer (promatračka) matrica stanja:
Doprinos metodama identifikacije mehaničkih sustava u vremenskom području
20
)()()1( kvBkxAkx +=+ (55)
gdje je
GCAA +=
[ ]GGDBB −+= ,
=
)(
)()(
ky
kukv
G je n x m proizvoljno odabrana matrica tako da čini matricu A po želji stabilnom. Kako se
matrica G može proizvoljno odabrati, može se i svojstvena vrijednost matrice A dodijeliti nekom
promatračkom sustavu. Ako se koriste realni podatci koji uključuju i šum, svojstvena vrijednost
A se postavlja tako, da vrijedi 0≈BAC k , za k ≥ p. Pa se jednadžba (51) može pisati u
prikraćenom obliku prema jednadžbi (55):
lm × [ ] lrpmr ×++ )(
y = Y · V (56)
[ ]rpmrm ++× )(
gdje je:
[ ])1()()2()1()0( −= lypyyyyy KK (57)
= − BACBACBCDY p 1
K (58)
−−
−−
−−
−
=
)1()0(
)3()2()0(
)2()1()1()0(
)1()()2()1()0(
plvv
lvpvv
lvpvvv
lupuuuu
V
K
MKMO
KK
KK
KK
(59)
Matrica Y predstavlja promatračke (observer) Markovljeve parametre. Ako se sada promotri izlaz
sustava, odnosno mjerna jednadžba (40):
=+++=+ )()()( pkDupkCxpky
)()1()1()()( 21 pkDupkvBCkvBACkvBACkxAC ppp ++−+++++= −−K (60)
za niz k = 0, 1, …, (l – 1) gornja jednadžba može preglednije biti zapisana u obliku matrice:
VYxACy p += (61)
Doprinos metodama identifikacije mehaničkih sustava u vremenskom području
21
gdje je:
[ ])1()2()1()( −++= lypypypyy K (62)
[ ])2()2()1()0( −−= plxxxxx K (63)
[ ]BACBACBCDY p 1−= K (64)
−−
−−−
−−
−+
=
)1()1()0(
)3()1()2(
)2()()1(
)1()1()(
plvvv
lvpvpv
lvpvpv
lupupu
V
K
MMMM
K
K
K
(65)
Prvi član u jednadžbi (61) predstavlja utjecaj prethodnog koraka (p - 1). Za slučaj kada je
pA dovoljno mali, prvi član u jednadžbi (61) se može zanemariti i tada ista jednadžba glasi:
VYy = (66)
[ ] 1−= TT VVVyY
+= VyY (67)
Matrice y i V su podskupovi matrica y i V, koje su nastale eliminiranjem prvih p stupaca, dok je
+V pseudo – inverzna matrica. Jednadžba (66) se mora koristiti na način da se eliminira utjecaj
početnih uvjeta, zato što početni uvjeti postaju zanemarivi kada se množe s pA . Drugim riječima
početni uvjeti imaju zanemariv utjecaj na izmjerene podatke nakon p koraka.
4.2.2. Dobivanje Markovljevih parametara sustava
Ako se znaju Markovljevi parametri sustava, moguće je definirati sustav, odnosno
odrediti modalne parametre, prirodne frekvencije, prigušenje, te odrediti matrice sustava A, B, C i
D. Markovljeve parametre sustava moguće je dobiti iz promatračkih (observer) Markovljevih
parametara
= pYYYYY K210 (68)
gdje su:
DY =0
Doprinos metodama identifikacije mehaničkih sustava u vremenskom području
22
[ ]GGCACGDBGCACBACY kkk
k
111 )()()( −−− +−++==
[ ])2()1(kkk YYY −= ; k = 1, 2, 3, …
Iz čega se mogu definirati Markovljevi parametri:
DYYDCGGDBCCBY )2(1
)1(11 )()( −=−+== (69)
DYYYYCABY )2(21
)2(1
)1(22 −−== (70)
DYYYYYYBCAY )2(31
)2(22
)2(1
)1(3
23 −−−== (71)
što se može zapisati u općem obliku
DYY == 00
∑=
−−=k
i
ikikk YYYY1
)2()1( za k = 1, 2, …, p (72)
∑=
−−=p
i
ikik YYY1
)2( za k = p + 1, p + 2, …, ∞ (73)
Jednadžba (72) pokazuje da je Yk za k ≥ p + 1, linearna kombinacija prethodnih p sistemskih
Markovljevih parametara, Yk-1, Yk-2, …, Yk-p. Odnosno postoji samo p neovisnih sistemskih
parametara. Odabir broja p, treba biti takav, da članovi )1(kY i )2(
kY budu nule za k > p, te da
vrijedi mp ≥ n, gdje je m broj izlaza, a n red sustava. Očigledno je da broj p može biti manji od
reda sustava, u slučaju kada postoji više izlaza m > 1, a veći ili jednak redu sustava, kod sustava s
jednim izlazom. Budući da broj p odreñuje broj Markovljevih parametara, taj broj mora biti
dovoljno velik kako bi se mogla formirati Hankelova matrica, koja se koristi u svrhu daljnje
identifikacije sustava.
4.2.3. ERA – eigensystem realization algorithm
ERA algoritam počinje formiranjem Hankelove matrice, koja se sastoji od Markovljevih
parametara
=−
−+++−+
+++
−++
21
21
11
)1(
βααα
β
β
kkk
kkk
kkk
YYY
YYY
YYY
kH
K
MOMM
K
K
(74)
Doprinos metodama identifikacije mehaničkih sustava u vremenskom području
23
kada je k = 1
=
−++
+
11
132
21
)0(
βααα
β
β
YYY
YYY
YYY
H
K
MOMM
K
K
(75)
Da bi sustav bio odreñen, minimalni broj stupaca i redova, mora zadovoljavati slijedeća
dva uvjeta α ≥ n i β ≥ n, pri čemu je n red sustava, tada matrica )0(H ima rang n.
Zamjenom Markovljevih parametara iz jednadžbe (43) u jednadžbu (74), rastavlja se
Hankelova matrica na tri matrice
βα QAPkH k 1)1( −=− (76)
ili za k = 1 dobije se
βα
βααα
β
β
QP
BCABCABCA
BCABCACAB
BCACABCB
H =
=
−+−
−
21
2
1
)0(
K
MOMM
K
K
(77)
βα QPH =)0( (78)
gdje su
=
−1
2
α
α
CA
CA
CA
C
P
M
= − BABAABBQ 12 β
β K
Matrica αP je promatračka matrica, a βQ je kontrolna matrica. Da bi sustav imao svojstvo
kontrolivosti i promotrivosti, matrice αP i βQ moraju imati rang n. Hankelova matrica H(0)
rastavlja se na tri dijela (singular value decomposition):
TSRH Σ=)0( (79)
gdje je
Doprinos metodama identifikacije mehaničkih sustava u vremenskom području
24
Σ=Σ
00
0n
[ ]niin diag σσσσσ ,,,,,, 121 KK +=Σ
uz uvjet da je
0121 ≥≥≥≥≥≥ + nii σσσσσ KK
Neka su nR i nS matrice formirane pomoću prvih n kolona matrica R i S , tada matrica H(0)
postaje
T
nnn SRH Σ=)0( gdje je nn
T
nn
T
n ISSRR == (80)
Usporedbom gornje jednadžbe s jednadžbom
βαQPH =)0(
može se zaključiti da je αP u vezi s nR , a βQ u vezi s T
nS , pa se može pisati
[ ] [ ]T
nnnn SRQPH 2/12/1)0( ΣΣ== βα . (81)
U matrici [ ]2/1nnRP Σ=α prvi red je identificirana izlazna matrica C , a prva kolona matrice
[ ]T
nn SQ 2/1Σ=β je identificirana ulazna matrica B .
Za izračunavanje identificirane matrice sustava A koristi se Hankel-ova matrica H(1)
=
=
−++
+
+++
+
+
BCABCABCA
BCABCABCA
BCABCACAB
YYY
YYY
YYY
H
11
132
2
21
243
132
)1(
βααα
β
β
βααα
β
β
K
MOMM
K
K
K
MOMM
K
K
(82)
Ili kraće
T
nnnn SARAQPH 2/12/1)1( ΣΣ== βα (83)
Iz čega se identificiraju matrice:
2/12/1 )1(ˆ −− ΣΣ= nn
T
nn SHRA (84)
B = prve r kolone od T
nn S2/1Σ (85)
C = prvi m redovi od 2/1nnR Σ (86)
D = Y0 (87)
Doprinos metodama identifikacije mehaničkih sustava u vremenskom području
25
Matrice B i C se računaju korištenjem matrica T
mE i T
rE , koje se sastoje od Oi (nul matrica) i od
Ii (jedinična matrica):
[ ]mmm
T
m OOIE K= [ ]rrr
T
r OOIE K= (88)
gdje je m – broj izlaza, a r – broj ulaza
r
T
nn ESB 2/1ˆ Σ= (89)
2/1ˆnn
T
m REC Σ= . (90)
4.2.4. ERA/DC – s korištenjem korelacije podataka
Standardni ERA postupak koristi matricu H(0) jednadžba (77), dok ERA/DC koristi
kvadratnu korelacijsku matricu reda αγ m= (m je broj izlaza). Prednost postupka ERA/DC je u
manjoj dimenziji kvadratne korelacijske matrice )(kRhh αm x αm, u odnosu na matrica H(k) i
H(0) αm x βr. Ta prednost je posebno izražena kada Hankelova matrica ima osobito veliki broj
redova.
T
kkk
kkk
kkk
T
hh
YYY
YYY
YYY
YYY
YYY
YYY
HkHkR
==
−++
+
−+++++
++++
+++
11
132
21
11
132
21
)0()()(
βααα
β
β
βααα
β
β
K
MOMM
K
K
K
MOMM
K
K
(91)
ili nakon sreñivanja
=
∑∑∑
∑∑∑
∑∑∑
=−+−++
=+−++
=−++
=−+++
=+++
=++
=−++
=++
=+
β
αα
β
α
β
α
β
α
ββ
β
α
ββ
111
111
11
111
111
11
11
11
1
)(
i
T
iik
i
T
iik
i
T
iik
i
T
iik
i
T
iik
i
T
iik
i
T
iik
i
T
iik
i
T
iik
hh
YYYYYY
YYYYYY
YYYYYY
kR
K
MOMM
K
K
(92)
Kada je k = 0, korelacijska matrica postaje
Doprinos metodama identifikacije mehaničkih sustava u vremenskom području
26
T
T
hh
YYY
YYY
YYY
YYY
YYY
YYY
HHR
==
−++
+
−++
+
11
132
21
11
132
21
)0()0()0(
βααα
β
β
βααα
β
β
K
MOMM
K
K
K
MOMM
K
K
te je sada
=
∑∑∑
∑∑∑
∑∑∑
=−+−+
=+−+
=−+
=−++
=++
=+
=−+
=+
=
β
αα
β
α
β
α
β
α
ββ
β
α
ββ
111
111
11
111
111
11
11
11
1
)0(
i
T
ii
i
T
ii
i
T
ii
i
T
ii
i
T
ii
i
T
ii
i
T
ii
i
T
ii
i
T
ii
hh
YYYYYY
YYYYYY
YYYYYY
R
K
MOMM
K
K
(93)
Matrica )0(hhR sadrži auto–korelaciju Markovljevih parametara, kao što je ∑=
β
1i
T
iiYY i
kros-korelacije izmeñu izlaza sustava, kao što su ∑=
+
β
11
i
T
iiYY . Ako šumovi u Markovljevim
parametrima nisu u korelaciji, korelacijska matrica )0(hhR sadrži manje šuma, nego Hankelova
matrica H(0).
Iz jednadžbi (77) i (93) proizlazi
C
kTTkT
hh QAPPQQAPHkHkR ααββα === )0()()( (94)
Sada se mogu usporediti korelacijska matrica C
k
hh QAPkR α=)( s Markovljevim parametrima
BCAY k
k
1−= . Oba izraza, korelacijska matrica )(kRhh i Markovljevi parametri BCAY k
k
1−= , su
umnožak triju matrica, pa se na sličan način kao i za postupak ERA, mogu definirati αP , A i CQ .
Formira se korelacijski blok Hankelove matrice
+++++
++++
++
=
))(())1(()(
))1(()2()(
)()()(
)(
τςξτξξτ
τςττςττ
kRkRkR
kRkRkR
kRkRkR
k
hhhhhh
hhhhhh
hhhhhh
K
MOMM
K
K
H (95)
Doprinos metodama identifikacije mehaničkih sustava u vremenskom području
27
rastavljeno na tri dijela
[ ] ςξςτ
ξτα
τα
α
QAPQAQAQA
AP
AP
P
k k
C
k
CC
k =
= KM
)(H (96)
za k = 0
++
+=
))(())1(()(
))1(()2()(
)()()0(
)0(
τςξτξξτ
τςττςττ
hhhhhh
hhhhhh
hhhhhh
RRR
RRR
RRR
K
MOMM
K
K
H (97)
[ ] ςξςτ
ξτα
τα
α
QPQAQAQ
AP
AP
P
C
k
CC =
= KM
)0(H (98)
gdje je k broj tako odabran kako bi se izbjegli korelacijski uvjeti koji daju povećanje odstupanja
kada je prisutan šum; a τ se odabire tako da se spriječi značajno preklapanje susjednih blokova.
Brojevi ξ i ς odreñuju koliko ima korelacijskih pomaka koji su uključeni u analizu.
Daljnji proces ERA/DC se nastavlja slično kao i kod ERA-e, rastavljanjem matrice )0(H na tri
dijela (singular value decomposition)
TSRΣ=)0(H (99)
gdje je
Σ=Σ
00
0n
[ ]niin diag σσσσσ ,,,,,, 121 KK +=Σ
uz uvjet da je
0121 ≥≥≥≥≥≥ + nii σσσσσ KK
Matrice nR i nS se formiraju pomoću prvih n stupaca R S matrica.
Treba napomenuti da je gornja faktorizacija približna, ako je prisutan šum jer odbačene
pojedinačne vrijednosti nisu nula.
Korištenjem matrice T
rE , koja se sastoji od Oi (nul matrica) i od Ii (jedinična matrica)
Doprinos metodama identifikacije mehaničkih sustava u vremenskom području
28
[ ]rrr
T
r OOIE K= (100)
može se napisati
r
T
rhh EkEkR )()( H= (101)
iz čega se dobije grupiranjem i supstitucijama
[ ] r
T
nn
k
nn
T
nnnn
T
rhh ES)S(RREkR 2/12/12/12/1 1)( ΣΣΣΣ= −−H . (102)
Dalje se identificiraju matrice:
2/12/1 1ˆ −− ΣΣ= nn
T
nn )S(RA H (103)
[ ] rnn
T
r EHREB )0(ˆ 2/1 +Σ= (104)
2/1ˆnn
T
m REC Σ= (105)
Izlazna i ulazna matrica C i B mogu se identificirati iz prvih m redova matrice αP , te iz prvih r
stupaca matrice βQ .
== −
−
BABAABB
CA
CA
CA
C
QPH 12
1
2)0( β
α
βα K
M
(106)
[ ] )0()0( 2/1 HREHPQ nn
T
r
++ Σ== αβ (107)
4.2.5. Promatračko pojačanje Markovljevih parametara
Kako bi se izračunalo promatračko pojačanje G, prvo je potrebno odrediti niz
promatračko pojačanih Markovljevih parametara
GCAY k
k
10 −= ; k = 1, 2, 3, … (108)
Slično kao i kod Markovljevih parametara sustava, prema jednadžbama (69) i (70),
)2(1
01 YCGY == (109)
slijedeći član niza dobije se pomoću
01
)2(1
02
)2(2 )( YYYCGCGCAGGACY +=+== ,
pa je drugi član
Doprinos metodama identifikacije mehaničkih sustava u vremenskom području
29
01
)2(1
)2(2
02 YYYY −= , (110)
treći član
01
)2(2
02
)2(1
03
22)2(3 )( YYYYYGCGACCGCAGGCAGACY ++=++== ,
iz čega slijedi
01
)2(2
02
)2(1
)2(3
03 YYYYYY −−= . (111)
Odnosno, u općem obliku,
)2(1
01 YCGY == (112)
∑−
=−−=
1
1
0)2()2(0k
i
ikikk YYYY za k = 2, …, p (113)
∑=
−−=p
i
ikik YYY1
0)2(0 za k = p + 1, p + 2, …, ∞ . (114)
Sada se može izračunati promatračko pojačanje G
01)( YPPPG TT −= (115)
gdje je
=
kCA
CA
CA
C
P
M
2 ,
=
=
+ GCA
GCA
CAG
CG
Y
Y
Y
Y
Y
k
k
MM
2
01
03
02
01
0
Zbog praktičnosti, dobro je Markovljeve parametre i promatračko pojačane Markovljeve
parametre pisati unutar jedne matrice
[ ] [ ]GBCAGCABCAYYP kkk
kkk
1110 −−− =
== , (116)
ili u proširenom obliku
[ ] [ ]∑−
=−−−−=
1
1
0)2()2()2()1(k
i
ikikikkkk YYYYDYYP . (117)
Doprinos metodama identifikacije mehaničkih sustava u vremenskom području
30
4.2.6. Metode za razlikovanje stvarnog moda od zašumljenog moda
Identificirani diskretni model u modalnim koordinatama dan je u obliku
)(ˆ)(ˆ)1( kuBkxkx mmm +Λ=+ (118)
)()(ˆ)( kDukxCky mm += (119)
gdje su:
r – broj ulaza
m – broj izlaza
Λ - dijagonalna matrica koja sadrži identificirane svojstvene vrijednosti iλ (i = 1, 2, …, n)
mB i mC - ulazna i izlazna matrica u modalnim koordinatama
n – broj modalnih koordinata
=
n
m
b
b
b
B
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ 2
1
M; [ ]nm cccC ˆˆˆˆ
21 K=
Modalni oblik identificiranih Markovljevih parametra može se prikazati na sljedeći način:
[ ]12102 ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ
−− =
ΛΛ= lm
l
mmmmm YYYYBCBCBCDY KK (120)
Za slučaj bez šuma, niz Markovljevih parametara je kombinacija pulsnog odziva dobivena
jediničnim pulsom s različitih ulaza. Dobiveni niz je jedinstven i neovisan o koordinatama.
Svaki Markovljev parametar može biti zapisan kao kombinacija od n komponenti koje doprinose
iz različitih modalnih koordinata, npr.
∑=
=Λ=n
i
iiimm bcBCY1
2ˆˆˆˆˆˆˆ λ (121)
Stoga, svaka koordinata ima niz od l Markovljevih parametara, opisanih na sljedeći način:
−i
l
iiiiiii bcbcbc ˆˆˆˆˆˆˆˆ 2λλ K ; i = 1, 2, …, n (122)
Doprinos metodama identifikacije mehaničkih sustava u vremenskom području
31
Definiranjem niza iq koji predstavlja identificiranu modalnu amplitudu
= −i
l
iiiii bbbq ˆˆˆˆˆˆ 2λλ K ; (123)
niz Markovljevih parametara postaje
= ∑
=
n
i
iiqcDY1
ˆˆˆ . (124)
Drugi način izračunavanja niza iq je rastavljanje niza Markovljevih parametara
[ ]1210 −lYYYY K koji se direktno dobiju iz pulsnog odziva. Postupak počinje definiranjem
Hankelove matrice
=
−+
−−
−
11
132
21
)0(
l
l
l
YYY
YYY
YYY
H
K
MOMM
K
K
αα
α
α
(125)
gdje je α izabran tako da mα veće ili jednako od reda sustava n. Rastavljanjem Hankelove matrice
(singular value decomposition) dobije se
[ ][ ] [ ][ ][ ] [ ][ ] QPSRSRSRH T
nnnn
T
nnnn
T
nnnn =ΣΨΨΣ=ΣΨΨΣ=ΣΣ= −− 2/112/12/112/12/12/1)0( . (126)
ψ je proizvoljna nesingularna matrica koja je odreñena izborom koordinata modela. Ako se
koriste modalne koordinate, matrica ψ je svojstveni vektor matrice stanja realnog sustava. U
praksi matrica ψ se odabire kao svojstveni vektor procijenjene matrice stanja A , jer je realna
matrica stanja A nepoznata.
Supstitucijom izraza (75) u (81) proizlazi
ΛΛΛ
ΛΛΛ
ΛΛ
==
−−
−
−−
m
l
mmmmm
m
l
mmmmm
m
l
mmmmm
BCBCBC
BCBCBC
BCBCBC
QPH
21
2
1
)0(
K
MOMM
K
K
αα
α
α
, (127)
odnosno
Doprinos metodama identifikacije mehaničkih sustava u vremenskom području
32
[ ]m
l
mm
m
m
m
BBB
C
C
C
H 1
1
)0( −−
−
ΛΛ
Λ
Λ= α
α
KM
. (128)
Treba napomenuti, kako Λ, Bm, i Cm predstavljaju matrice realnog sustava u modalnim
koordinatama. Stoga, ova je jednadžba samo aproksimacija, kada je singularna vrijednost zbog
šuma prikraćena. Ako se promotri matrica Q
[ ][ ][ ]
[ ]
=ΛΛ=
=
−−
−−
−−
−−
n
l
nnnn
l
l
m
l
mm
n bbb
bbb
bbb
BBB
q
q
q
Q
1
21
2222
11
1111
12
1
α
α
α
α
λλ
λλλλ
K
M
K
K
KM
, (129)
usporedbom (123) i (129) proizlazi da su iq i iq (i = 1, 2, …, n) identični za slučaj bez šuma. Sa
postojanjem šuma i male prikraćene singularne vrijednosti, iq je aproksimacija od iq .
Općenito, neovisno o metodi i matematičkom modelu koji se koristi u opisivanju sustava
potrebno je primijeniti optimizaciju postupka. To znači minimizirati odstupanja izmeñu
analitičko/numeričkog matematičkog modela (MKE, identifikacijske jednadžbe stanja, …) u
odnosu na stvarni sustav [32-37].
Ocjena uspješnosti identifikacije računa se na dva načina:
a) MAC (Modal Amplitude Coherence)
**
*
ˆˆ
ˆ
iiii
ii
i
qqqq
qqMAC = (130)
b) MSV (Mode Singular Value)
)ˆ1(
ˆˆˆ)ˆ...ˆˆ1(ˆ 22
i
ii
i
l
iiiii
bcbcMSV
λλλλ
+≈++++= − (131)
4.2.7. Kalmanov filtar
Kalmanov filtar je rekurzivni stohastički estimator (procjenitelj) varijabli stanja, koje se
ne mogu mjeriti, a može poslužiti i za procjenu mjerljivih signala ukoliko su oni u većoj mjeri
zašumljeni.
Doprinos metodama identifikacije mehaničkih sustava u vremenskom području
33
Konvencionalni način upotrebe Kalmanovog filtra
Kalmanov filtar najčešće se koristi prilikom nadziranja, odnosno upravljanja procesa. To
znači da se procjena varijable stanja x mora odvijati u realnom vremenu, što uvjetuje postojanje
povratne petlje u sustavu, te stalno mjerenje nakon svakog vremenskog perioda k∆t. Način rada
Kalmanovog filtra odvija se u dva koraka:
1. predikcija – na temelju posljednjeg poznatog stanja k, predviña se slijedeće stanje k+1. U
ovom koraku procjena sadrži grešku, jer šum nije uzet u obzir.
2. Korekcija – nakon promjene stanja izmjeri se stvarni izlaz, koji sadrži šum, te na temelju
tog mjerenja i matrica koje opisuju sustav, korigira se procjena stanja.
Odnosno, mjerenje dijeli postupak Kalmanovog filtra na dva dijela: a priori - procjena stanja prije
mjerenja i a posteriori - procjena stanja nakon mjerenja. Procjena stanja u trenutku k, prije
mjerenja y(k) ima oznaku )(ˆ kx− , te se donosi samo na osnovu a posteriori procjene varijable
stanja i ulaza iz prethodnog koraka (utjecaj šuma je izostavljen). Često se ovaj korak naziva
predikcija, obzirom da se predviña slijedeće stanje sustava, na osnovu poznatog prethodnog.
Procjena stanja u trenutku k, koja uključuje izlazno mjerenje y(k) – a posteriori ima oznaku
)(ˆ kx+ .
Osnovna jednadžba stanja može se proširiti procesnim i mjernim šumom, pa se dobiju
stohastičke jednadžbe diferencije
)()()()1( kkBukAxkx ω++=+ (132)
)()()()( kkDukCxky ν++= , (133)
gdje su )(kω i )(kν procesni i mjerni šumovi, meñusobno neovisni, s odgovarajućim matricama
kovarijanci Q i R. Prvi - a priori korak predviña slijedeće stanje sustava, uz poznato prethodno, te
se može opisati sljedećom jednadžbom stanja
)1()1(ˆ)(ˆ −+−= −− kBukxAkx (134)
i matricom kovarijanci
QAkAPkP T +−=− )1()( (135)
Ova procjena varijable stanja sustava, definira se na temelju a posteriori vrijednosti (nakon
mjerenja) i ulaza iz prethodnog koraka. Procjena ovisi o točnosti matematičkog modela i o
Doprinos metodama identifikacije mehaničkih sustava u vremenskom području
34
utjecaju šuma, koji se u ovom koraku izostavlja. Razlikom stvarnog i procijenjenog stanja
definiraju se a priori i a posteriori pogrješke estimacije
)(ˆ)()( kxkxke −− −= (136)
)(ˆ)()( kxkxke −= (137)
A priori i a posteriori pogrješke estimacije imaju matricu kovarijanci
[ ]TkekeEkP )()()( −−− = (138)
[ ]TkekeEkP )()()( = (139)
Drugi korak postupka je korekcija estimacije nakon mjerenja, koje igra ulogu povratne veze.
Procijenjenoj vrijednosti u prvom koraku )(ˆ kx− dodaje se korekcijski član i time se poboljšava
estimacija varijable x u trenutku k
[ ])(ˆ)()()(ˆ)(ˆ kykykKkxkx −+= − (140)
gdje je )()(ˆ)(ˆ kDukxCky += − (141)
Razlika )(ˆ)( kyky − naziva se rezidual, to je odstupanje stvarnog mjerenja )(ky i teorijski
predviñenog rezultata mjerenja )(ˆ ky . K je Kalmanova matrica pojačanja, čija je uloga a
posteriori, minimiziranje kovarijance pogreške estimacije P(k). Uvrštenjem jednadžbe (140) u
(137), pa u jednadžbe (138) i (139), te deriviranjem po K i izjednačavanjem s nulom daje
pojačanje K(k) koje minimizira P(k)
[ ] 1)()()()(
−−− += kRCkCPCkPkK TT (142)
)())(()( kPCkKIkP −−= (143)
Iz izraza (142) se može zaključiti: ako se smanjuje pogrješka mjerenja, odnosno kovarijanca
šuma, R(k) teži nuli.
1
0)()(lim −
→= CkK
kR
Kalmanovo pojačanje jače djeluje na rezidual u jednadžbi korekcije, te naglašava rezultat
stvarnog mjerenja )(ky , jer je ono bliže stvarnoj vrijednosti nego procijenjena vrijednost )(ˆ ky . S
druge strane, ukoliko kovarijanca pogrješke estimacije )(kP− teži nuli,
0)(lim0)(
=→−
kKkP
Doprinos metodama identifikacije mehaničkih sustava u vremenskom području
35
pojačanje takoñer teži nuli, što znači da je i razlika a priori estimacije i korigirana estimacija vrlo
mala.
Na osnovu navedenog, može se zaključiti kako je kod klasičnog načina upotrebe
Kalmanovog filtra potrebno stalno mjerenje, koje ima ulogu povratne veze. To znači da se
filtriranje odvija u realnom vremenu, te je ovisno o samo jednom prethodnom koraku (k ovisi
samo o k – 1). U stvarnim primjenama Kalmanova filtra moraju se prethodno odrediti
kovarijancne matrice Q i R.
Izračunavanje Kalmanovog filtra direktno iz eksperimentalnih podataka
Kako bi se izračunalo pojačanje Kalmanovog filtra, potrebno je znati model sustava, te
kovarijance šuma procesa Q i šuma mjerenja R. Šum procesa uključuje nestalnost sustava i ulazni
šum. Često je u praksi teško odrediti sve potrebne elemente. Matematički model može se izvesti
analitički ili eksperimentalno pomoću sustava identifikacije [38-44]. Kovarijanca mjernog šuma
definira se ispitivanjem senzora, dok je kovarijancu procesa teško odrediti, pa je potrebno
odreñeno nagañanje. U praksi, kovarijantne matrice Q i R se mogu mijenjati u ovisnosti o
vremenu, ali se pretpostavlja da su konstantne. Takoñer, kako bi Kalmanov filtar mogao
procjenjivati rješenje, moraju biti ispunjeni slijedeći uvjeti: oba šuma spadaju u bijeli šum,
meñusobno su neovisni, imaju Gausovu distribuciju i srednja vrijednost im je nula.
Pomoću Kalmanovog filtra mogu se procijeniti jednadžbe:
)()()(ˆ)1(ˆ kKkBukxAkx rε++=+ (144)
)()(ˆ)(ˆ kDukxCky += (145)
gdje su: )(ˆ kx procijenjeno stanje, )(ˆ ky procijenjeno mjerenje, K pojačanje Kalmanovim filtrom
i )(krε rezidua – ostatak, koji predstavlja razliku stvarnog izmjerenog izlaza i procijenjenog
mjerenja.
)(ˆ)()( kykykr −=ε (146)
Kombinacijom gornjih jednadžbi (144) (145) dobije se:
[ ] [ ] )()()(ˆ)1(ˆ kKykuKDBkxKCAkx +−+−=+ (147)
što se može drugačije pisati
Doprinos metodama identifikacije mehaničkih sustava u vremenskom području
36
)(~
)(ˆ~
)1(ˆ kvBkxAkx +=+ (148)
gdje su:
KCAA −=~
,
[ ]KKDBB −=~
,
=
)(
)()(
ky
kukv .
Mjerna jednadžba sada izgleda ovako
)()()(ˆ)()(ˆ)( kkDukxCkkyky rr εε ++=+= . (149)
Usporedbom (54) i (148) može se primijetiti identičnost izraza: kada je ispunjen uvjet 0)( =krε ,
proizlazi da je KG −= . Kalmanov filtar postaje pojačanje G, koje nam služi kao umjetna
povratna petlja, odnosno korekcija pri procjeni stanja sustava i procijenjene mjerne jednadžbe.
Realni sustavi zbog prisutnosti poremećaja, smetnji, nelinearnosti procesnog i mjernog
šuma ne ispunjavaju navedene uvjete, pa identificirani filtar nije Kalmanov filtar. U tom slučaju
identificirani filtar je samo promatračko pojačanje G.
Izračunavanje Kalmanovog filtra pomoću kovarijanci procesnog i mjernog šuma
Neka je procijenjena jednadžba stanja zadana u sljedećem obliku:
)()()()()(ˆ)()1(ˆ kukHkykKkxxFkx ++=+ (150)
gdje su F(k), K(k) i H(k) vremenski promjenljive matrice. Procijenjena grješka je
)(ˆ)()( kxkxke −= (151)
Iz jednadžbi (132) (133) i (150) procijenjena greška je
)()()()()(ˆ)()()()()1(ˆ)1()1( kukHkykKkxxFkkBukAxkxkxke −−−++=+−+=+ ω (152)
Jedan od uvjeta Kalmanovog filtra je nulta srednja vrijednost grješke, pa se na osnovu toga može
pisati
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ])()()()(ˆ)()()()()1( kuEkHDkKBkxECkKkFAkeECkKAkeE −−+−−+−=+ (153)
Doprinos metodama identifikacije mehaničkih sustava u vremenskom području
37
Iz gore navedenog proizlazi da svaki od tri člana mora biti jednak nuli. Prvi član je jednak nuli,
jer je [ ] 0)( =keE , dok za druga dva člana vrijedi [ ] 0)(ˆ ≠kxE i [ ] 0)( ≠kuE , stoga se može
zaključiti da je
CkKAkF )()( −= (154)
DkKBkH )()( −= (155)
pa je procijenjena grješka
[ ] )()()()()()1( kkkKkeCkKAke ων +−−=+ (156)
Kovarijanca grješke je [ ])1()1()1( ++=+ kekeEkP T
(157)
uz uvjete
[ ] RkkE T =)()( νν i [ ] QkkE T =)()( ωω (158)
dobije se
[ ] [ ] QkRKkKCkKAkPCkKAkP TT ++−−=+ )()()()()()1( . (159)
Kovarijantna matrica P(k) pokazuje koliko je blizu srednjoj vrijednosti u Gausovoj distribuciji.
Velika kovarijanca pokazuje veću netočnost. Stoga je kriterij odreñivanja vrijednosti
Kalmanovog filtra traženje minimalne vrijednosti kovarijance P(k), tako da se derivira po K i
izjednači s nulom, pa se dobije pojačanje
[ ] 1)()()(
−+= TT CkCPRCkAPkK (160)
Zamjenom dobivene matrice Kalmanovog filtra u jednadžbu (156) te uz uvjet da je )()( kPkP T=
dobije se
[ ] QAkCPCkCPRCkAPAkAPkP TTTT ++−=+−
)()()()()1(1
(161)
ili
[ ] QAkPCkKAkP T +−=+ )()()1( . (162)
Sada se može definirati jednadžba stanja
[ ])(ˆ)()()(ˆ)1(ˆ kykyKkBukxAkx −++=+ (163)
)()(ˆ)(ˆ kDukxCky += (164)
Doprinos metodama identifikacije mehaničkih sustava u vremenskom području
38
4.2. Identifikacija u frekventnom području
Ispitivanje linearnih dinamičkih sustava u vremenskom području odvija se na bazi analize
izmjerenih signala. Nedostatak je potreba za brojnim ponavljanjima ako je neophodno izvršiti
analizu sustava u širem opsegu rada. U tom slučaju, primjenom Laplaceove ili Fourierove
transformacije diferencijalne jednadžbe sustava, dobije se algebarska jednadžba. Analizom i
rješavanjem dobivenih algebarskih jednadžbi može se odrediti veza izmeñu ulaza i izlaza sustava,
odnosno mogu se odrediti dinamičke karakteristike sustava.
Laplaceovom transformacijom funkciji f(t) pridružuje se funkcija F(s) koja sadrži
kompleksnu varijablu ωσ is += .
[ ] ∫+∞
−==0
)()()( dtetftfsF stα (165)
Opći oblik linearne diferencijalne jednadžbe
)(...)(
)(...)()(
001
1
1 tubdt
tudbtya
dt
tyda
dt
tyda
m
m
nn
n
nn
n
n ++=+++ −
−
− (166)
Laplaceovom transformacijom dobije se oblik algebarske jednadžbe
)()...()()...( 001
1 sUbsbsYasasa m
n
n
n
n
n ++=+++ −− (167)
4.2.1. Laplaceova transformacija
Računanje FRF i prijenosne funkcije iz kontinuiranog sustava
Iako Laplaceova transformacija diferencijalne jednadžbe drugog reda osigurava fizikalni
uvid u mehanički sustav, češće se u frekventnom području koristi transformacija diferencijalne
jednadžbe prvog reda [39], odnosno transformacija jednadžbe stanja (20).
()
()
c cx A x B u L
y Cx Du L
= +
= +
&
)()()( sUBsXAssX cc += (168)
)()()( sDUsCXsY += (169)
ili
Doprinos metodama identifikacije mehaničkih sustava u vremenskom području
39
1( ) ( ) ( )c cX s sI A B U s−= − (170)
{ }
1
1
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
c c
c c
Y s C sI A B U s DU s
Y s C sI A B D U s
−
−
= − +
= − + (171)
Sada se može izračunati prijenosna funkcija
1( )( ) ( )
( ) c c
Y sG s C sI A B D
U s
−= = − + (172)
Matrice [ ] cc BAsI1−− i [ ] DBAsIC cc +− −1 su prijenosne funkcije izmeñu ulaza i izlaza.
Iz Laplaceove transformacije izraza tAce proizlazi
[ ] [ ] 110
)(
0
)()( −−∞−−∞
− −=−−== ∫ cc
tAsIsttAtAAsIAsIedteee cccα
Ova jednadžba vrijedi za sve vrijednosti s osim za svojstvenu vrijednost cA . Za bilo koju
vrijednost cA beskonačan red konvergira.
...6
1
2
1
!
1 33
0
22 ++++== ∑∞
=
tAtAtAIAtk
e c
k
cc
k
c
ktAc (173)
Za izračunavanje izraza tAce potrebno je izračunati svojstvenu vrijednost cA
[ ]∑∞
=
−ΨΛΨ ΨΛΨ==−
0
1
!
11
k
kkttAt
kee c
1
0
1
!
1 −Λ∞
=
− ΨΨ=ΨΨΛ= ∑ t
k
kk etk
(174)
[ ] 1...21 −ΛΛΛ ΨΨ= neeediag
pri čemu matrice Ψ i Λ zadovoljavaju slijedeće jednakosti:
ΨΛ=ΨcA (175)
[ ]ndiag λλλ ...,,, 21=Λ (176)
[ ]nψψψ ...,,, 21=Ψ (177)
Stupčasti vektor iψ je svojstveni vektor koji odgovara svojstvenoj vrijednosti iλ matrice cA .
Ovaj se korak može izbjeći korištenjem prethodno spomenutog reda jednadžbi. Budući da red
brzo konvergira, često se koristi za Laplaceovu transformaciju.
Doprinos metodama identifikacije mehaničkih sustava u vremenskom području
40
[ ] ∑ ∑∞
=
∞
=
+−=
=0 0
)1(
!
1
k k
k
c
kk
c
ktAAsAt
ke c αα . (178)
Kombinacijom jednadžbi dobije se
∑∞
=
+−− =−0
)1(1)(k
k
c
k
c AsAsI . (179)
Sada se mogu napisati sljedeće jednakosti
[ ] )()( 1sUBAsIsX cc
−−=
)(0
)1( sUBAs c
k
k
c
k∑∞
=
+−= (180)
[ ][ ] )()( 1sUDBAsICsY cc +−= −
)(0
)1( sUBCAsD c
k
k
c
k
+= ∑
∞
=
+− (181)
Koristeći definicije DY =~
i BCAY k
ck
1~ −= , za Y(s) može se pisati:
[ ] )(...~
...~~~
)( 22
110 sUsYsYsYYsY n
n +++++= −−− . (182)
Potrebno je napomenuti kako kY~
(k = 1, 2, …) definirano u kontinuirano – vremenskom
području. Jednadžba (181) prikazuje kako se matrica prijenosne funkcije
[ ][ ]DBAsIC cc +− −1 može izračunati za bilo koju zadanu vrijednost s, ako je poznato kY~
(k = 1,
2,…).
Matrica 1( )csI A −− može se definirati jednostavnije.
Neka je Ac = ΨΛΨT, tako da je ΨΨ
T =I.
(sI – Ac) –1 = (sΨΨ
T – ΨΛΨT) –1
(sI – Ac) –1 = [Ψ (s–Λ)ΨT] –1
(sI – Ac) –1 = Ψ (s–Λ)–1
Ψ–T
Prijenosna funkcija za vremenski kontinuiran sustav je
DBAsICsU
sYsG cc +−== −1)(
)(
)()(
DBs
CsG c
T +Ψ
−
Ψ= −
λ1
)(
Doprinos metodama identifikacije mehaničkih sustava u vremenskom području
41
Za FRF vremenski diskretnog sustava treba staviti s = jω.
Računanje FRF i prijenosne funkcije iz diskretnog sustava
Na sličan način dobije se prijenosna funkcija diskretnog vremenskog sustava. Umjesto
Laplaceove transformacije primjenjuje se z transformacija.
()
()
x Ax Bu Z
y Cx Du Z
= +
= +
&
)()()( zBUzAXzzX +=
)()()( zDUzCXzY +=
1( ) ( ) ( )X z zI A BU z−= −
{ }
1
1
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
Y z C zI A BU z DU z
Y z C zI A B D U z
−
−
= − +
= − +
Iz posljednjeg izraza
1( )( ) ( )
( )
Y zG z C zI A B D
U z
−= = − +
Polazeći od 1( )zI A −− ,
(zI – A) –1 = Φ (z–Λ)–1Φ–T
1( )( ) ( )
( )
1( ) T
Y zG z C zI A B D
U z
G z C B Dz λ
−
−
= = − +
= Φ Φ + −
Dobivena prijenosna funkcija je za diskretni vremenski sustav. Za prijenosnu funkciju
kontinuiranog vremenskog sustava treba prijeći u s područje gdje je sz e= . Dodatno, pri
računanju FRF za kontinuirani vremenski sustav, treba staviti s = jω.
Iz toga slijedi 2
2 nn s
j fj tf f
nz e e
ππ∆= = .
Doprinos metodama identifikacije mehaničkih sustava u vremenskom području
42
4.2.2. Fourierova transformacija
Do rješenja linearne diferencijalne jednadžbe može se doći na sličan način Fourierovom
transformacijom, ako se varijabla s zamijeni samo imaginarnim članom ωis = . Primjenom
transformacije na jednadžbu (2) prigušenog sustava, uz pretpostavku pomaka ti
u eiXtx ωω)()( = ,
te ako se sila prikaže u obliku tieiFtf ωω)()( = transformirana jednadžba ima oblik:
titititi eiFeikXeicXieimX ωωωω ωωωωωω )()()()(2 =++− (183)
Kako svi članovi jednadžbe imaju dimenziju sile, gornja se jednadžba može prikazati grafički.
Slika 6. Grafički prikaz algebarske jednadžbe u frekventnom području
Sreñivanjem se dobije
)()()( 2 ωωωω iFiXkcim =++− (184)
Iz toga proizlazi prijenosna funkcija koja predstavlja omjer amplitude izlaza i sile uzbude za
pojedine frekvencije.
kcimiF
iXiH
++−==
ωωωω
ω2
1
)(
)()( (185)
Ako se diferencijalna jednadžba prisilnih vibracija prikaže u modalnom obliku, prema jednadžbi
(7) uz poznate supstitucije,
Doprinos metodama identifikacije mehaničkih sustava u vremenskom području
43
tk
Fxxx ωωωξω sin2 2
0200 =++ &&& (186)
prijenosna funkcija ima oblik
0
2
0
21
1)(
ωω
ξωω
ω
i
H
+
−
= . (187)
Njen grafički prikaz sustava s jednim stupnjem slobode za modalne parametre u relativnom
prikazu (X/Xstat, ω/ω0
, ζ=0.01) dan je na slici
Slika 7. Prijenosna funkcija i njene derivacije: x(ω/ω0), v(ω/ω0), a(ω/ω0), (amplituda)
Realni i imaginarni dio prijenosne funkcije
2
0
2
22
0
2
0
41
1
)Re(
+
−
−
=
ωω
ξωω
ωω
k
Fx (188)
2
0
2
22
0
0
41
2
)Im(
+
−
−=
ωω
ξωω
ωω
ξ
k
Fx (189)
Doprinos metodama identifikacije mehaničkih sustava u vremenskom području
44
Slika 8. Realna i imaginarna komponenta kompleksnog dinamičkog faktora u ovisnosti o omjeru ω/ω0 i relativnom
prigušenju ξ
Realni dio prijenosne funkcije je u fazi sa silom, a imaginarni zaostaje 2
πza silom. Vektor X
predstavlja ukupni kompleksni pomak
Doprinos metodama identifikacije mehaničkih sustava u vremenskom području
45
k
Fex
tiω
ωω
ξωω
2
0
2
22
0
41
1
+
−
= (190)
koji za kut θ kasni za uzbudnom silom
2
0
0
1
2
arctan
−
=
ωω
ωω
ξθ (191)
Realna komponenta pomaka iščezava (jednaka je nuli) za ω/ω0=1 neovisno o prigušenju, a ima
ekstremne vrijednosti, maksimum i minimum za frekvencije:
ξωω 2101 −= (192)
ξωω 2102 += (193)
S opadanjem prigušenja ekstremi postaju sve izraženiji i bliži pravcu ω/ω0=1; da bi za ξ=0, ovaj
pravac postao asimptota. Krivulje imaginarne komponente pomaka Im(x) imaju ekstreme u
neposrednoj blizini ω/ω0=1, koji su oštriji od ekstrema dinamičkog faktora H(ω) za odgovarajuće
vrijednosti prigušenja ξ.
Prisilne se vibracije mogu prikazati u obliku
k
Fex
ti )(
2
0
2
22
0
41
1 θω
ωω
ξωω
−
+
−
= (194)
gdje je θ fazni kut pomaka za uzbudnom silom.
Veličina u uglatim zagradama je apsolutna vrijednost kompleksnog dinamičkog faktora, )(ωH .
Dinamički faktor predstavlja bezdimenzionalni omjer izmeñu amplitude dinamičkog i statičkog
pomaka. Slika 9. prikazuje dinamički faktor kao funkciju bezdimenzionalnog omjera ω/ω0
za
različite slučajeve prigušenja ξ.
Doprinos metodama identifikacije mehaničkih sustava u vremenskom području
46
Slika 9. Dinamički faktor H u ovisnosti o omjeru ω/ω0 i relativnom prigušenju ξ
Velike vrijednosti amplituda pomaka, a time i brzine i ubrzanja nastaju u slučaju bliskih
vrijednosti uzbudne frekvencije i svojstvene frekvencije konstrukcije. Teorijski, kada nema
prigušenja i kada su uzbudna frekvencija i svojstvena frekvencija konstrukcije jednake, amplitude
Doprinos metodama identifikacije mehaničkih sustava u vremenskom području
47
pomaka postaju beskonačne. Pojava poklapanja uzbudne frekvencije opterećenja i svojstvene
frekvencije konstrukcije se naziva rezonancija.
Sa slike je jasno kako se s povećanjem prigušenja smanjuju pomaci te se ekstremna
vrijednost pomaka pomiče ulijevo od ω/ω0=1.
Ekstrem dinamičkog faktora jest za 20 21 ξωω −= i iznosi
212
1)(
ξξω
−=H . U
slučaju vrlo malog prigušenja (ξ<0.05) krivulje dinamičkog faktora H(ω) su skoro simetrične u
odnosu na pravac ω/ω0=1, a ekstremna vrijednost koja je u neposrednoj blizini ovog pravca
približno iznosi
QH ==ξ
ω2
1)( (195)
gdje se Q naziva faktorom kvalitete. Slika prikazuje i faznu razliku izmeñu uzbudne sile i
pomaka (kut θ) u ovisnosti o omjeru frekvencija ω/ω0. Vidljivo je da u slučaju rezonancije
(ω=ω0) ovaj kut ne ovisi o prigušenju ξ i iznosi 900 što znači da je brzina u fazi sa silom.
Takoñer, fazni kut teži nuli kada omjer frekvencija ω/ω0
teži nuli, a fazni kut teži π kada omjer
frekvencija ω/ω0
teži beskonačnosti.
4.2.3. Z transformacija
Do sada navedene Laplasove i Furierove transformacije primjenjuju se za linearne
kontinuirane sustave koji su opisani linearnim diferencijalnim jednadžbama. U diskretnim
sustavima, umjesto funkcija, koriste se nizovi nastali uzorkovanjem mjernog signala. Umjesto
diferencijalnih jednadžbi, u analizi diskretnih sustava koriste se diferentne jednadžbe, odnosno
jednadžbe diferencija. Stoga je, slična transformaciji s, razvijena transformacija z za diskretne
vremenske sustave. Z transformacija je operatorski postupak koji pretvara niz uzorkovanih
signala u kompleksnu funkciju z varijable.
Neka je )(ty kontinuirana funkcija, a )( tky ∆ (za k = 0, 1, 2, …) njen diskretni oblik,
z transformacija se definira kao:
Doprinos metodama identifikacije mehaničkih sustava u vremenskom području
48
[ ] ∑∞
=
−∆=∆=0
)()()(k
kztkytkyZzy (196)
gdje je z kompleksna varijabla, a )( tky ∆ pri tome mora zadovoljavati odreñene uvjete koje
većina realnih funkcija zadovoljava. Može se vidjeti sličnost, ako se usporedi gornji izraz s
izrazom za Laplaceovu transformaciju kontinuirane varijable )(ty , gdje je s takoñer kompleksna
varijabla.
[ ] ∫+∞
−==0
)()()( dtetytysy stα (197)
Razlika je u tome što kod z transformacije integral postaje suma, kontinuirana se funkcija
zamjenjuje diskretnim vrijednostima )( tky ∆ , a jezgra transformacije ste− postaje kz− .
Do izraza (196) može se doći na drugi način, prikazujući diskretnu funkciju u obliku
beskonačnog reda
...)2()2()()()()0()()( +∆−∆+∆−∆+==∆ ∆ tttytttytytytky t δδδδ (198)
∑∞
=
∆−∆=∆0
)()()(k
tkttkytky δ (199)
gdje je δ delta (Diracova) funkcija, koja ima vrijednost jedan kada je ispunjen uvjet tkt ∆= .
Napravi li se Laplaceova transformacija uzorkovanog vremenskog niza (199)
dtetkttysy st
k
−∞ ∞
=∫ ∑
∆−=
0 0
)()()( δ
( )∑∑∞
=
−∆−∞
=
∆− ∆=∆=00
)()(k
kts
k
tsk etkyetky
)(zy= za tsez ∆= (200)
Ove jednadžbe pokazuju kako se s transformacijom uzorkovanog vremenskog signala može
dobiti z transformacija, koristeći se supstitucijom tsez ∆= . Na slici 10. je prikazan odnos izmeñu
kontinuiranog vremenskog i diskretnog vremenskog sustava.
Doprinos metodama identifikacije mehaničkih sustava u vremenskom području
49
Slika 10. Područje stabilnosti za kontinuirano – vremenski i diskretno vremenski sustav
U s ravnini je desna polovica ravnine, dok je u z ravnini nestabilno područje izvan jedinične
kružnice. Imaginarna os s ravnine preslikava se u z ravnini u oblik jedinične kružnice.
4.2.4. Bilinearna transformacija
Z transformacija nije jednoznačna, obzirom da se jedinični krug preslikava u lijevu
poluravninu, ali i sve druge paralelne poluravnine, a cijela se z ravnina preslikava u osnovni pojas
s ravnine i sve pojaseve paralelne s njim. Zbog toga teoretski nije moguće kvalitetno koristiti
inverznu Z transformaciju za vraćanje iz z područja u s područje. Potrebno je uvesti novu
transformaciju i novo područje kod kojeg je preslikavanje jednoznačno.
Najpogodnija transformacija za jednoznačno preslikavanje z ravnine je bilinearna transformacija
ili linearna frakcionalna transformacija. Njezin opći oblik je
dcx
baxy
++
= (201)
gdje su a, b, c i d konstante; ax i y varijable.
U diskretnim sustavima koristi se oblik kod koga su konstante a = b = d = 1 i c = -1. Uvodi se
nova w ravnina, koja je sa z ravninom povezana izrazom
w
wz
−+
=1
1 , gdje je ivuw += (202)
Doprinos metodama identifikacije mehaničkih sustava u vremenskom području
50
uz uvjet da je odnos funkcija
w
wz
zGwG−
+=
=1
1)()( . (203)
Iz gornjeg izraza slijedi
1
1
+−
=z
zw (204)
uvrštenjem tiez ∆= ω dobije se
)
2cos(
)2
sin(
)(
)(
1
1
222
222
t
ti
eee
eee
e
ew
tititi
tititi
ti
ti
∆
∆
=
+
−=
+−
= ∆−
∆∆
∆−
∆∆
∆
∆
ω
ω
ωωω
ωωω
ω
ω
(205)
)2
tan(t
iw∆
=ω
(206)
iz čega je imaginarni član vw =)Im( , pa je
)2
tan(t
v∆
=ω
(207)
što je veza imaginarne komponente varijable w s imaginarnom komponentom varijable s .
Meñutim, bolje je kod bilinearne transformacije koristiti Tustinov oblik
w
t
wt
zzGwG
21
21)()(
∆−
∆+
== (208)
odnosno 1
12
+−
∆=
z
z
tw (209)
pa je veza izmeñu v i ω
)2
tan(2 t
tv
∆∆
=ω
(210)
Za male vrijednosti perioda uzimanja uzoraka t∆ , tangens je približno jednak kutu, pa je
2
2 t
tv
∆⋅
∆≈
ω (211)
Sreñivanjem proizlazi da je ω≈v . To znači da sve veličine vezane za pseudo – frekvenciju v u
w ravnini za male vrijednosti perioda uzorkovanja t∆ odgovaraju frekvencijama ω , koje bi se
dobile kada bi se inverznom Z transformacijom iz z ravnine prebacile u s ravninu.
Doprinos metodama identifikacije mehaničkih sustava u vremenskom području
51
4.3. Utjecaj šuma
Procijenjeni izlaz y se približava stvarnom izlazu kada je omjer izmeñu maksimalne amplitude
stvarnog izlaza i šuma dovoljno velik.
251
25
šuma amplituda Maksimalna
izlaza stvarnog amplituda Maksimalna=≥ (212)
Procjena izlaza na osnovu izmjerenih podataka nije precizna. Da bi se poboljšala procjena, mora
se prikladno odabrati ulazna frekvencija i amplituda uzbudnog signala, kako bi se dobio dovoljno
dobar izlazni signal. Dijagram 3. je dobiven prema izrazu
1
)ˆ(1
2
−
−=
∑=
n
yyn
i
ii
ε (213)
gdje je ε - srednja kvadratna pogreška, y - stvarni izlaz, y - procijenjeni izlaz i n - broj
uzorkovanja.
4.3.1. Procjena utjecaja mjernog šuma na identifikaciju sustava
Matematički model pobuñuje se silom u obliku slučajnog signala, te se izračunava
ubrzanje mase u sustavu. Šum je slučajna varijabla koja djeluje kao nepoznati poremećaj u
sustavu i ima karakteristike bijelog šuma, Gaussovu raspodjelu i srednja mu je vrijednost jednaka
nuli. Cilj identifikacije je dobiti jednadžbu stanja u diskretnom obliku, na temelju ulaznih i
izlaznih podataka, na osnovu čega se može odrediti ponašanje sustava. Identificirani sustav koji
se temelji na istom ulazu, treba imati identične vrijednosti izlaza, kako za matematički (ili
eksperimentalni), tako i za stvarni model. Identifikacija se vrši pomoću algoritma OKID. Pomoću
ulaza – slučajne sile i izlaza – akceleracije mase, metodom identifikacije, konstruira se diskretni
matematički model – jednadžba stanja u vremenskom području. Trajanje simulacije se provodi u
trajanju 100 s, korakom od 0.2 s.
Doprinos metodama identifikacije mehaničkih sustava u vremenskom području
52
Slika 11. Utjecaj zašumljenog signala na masu i odziv sustava
Šum je nepoznat, nije obuhvaćen mjerenjem, te je neovisan o sustavu. Pogrješka procijenjenog
izlaza u odnosu na izračunati izlaz (Slika 12.) je reda veličine od 0.1.
Slika 12. Razlika izmeñu procijenjenih i stvarnih (simuliranih) vrijednosti izlaza
Dijagram (Slika 13). dobiven je izračunavanjem pogrješke za različite omjere izlaz / šum.
Uočava se oštar pad srednje kvadratne pogrješke kada je izlazni signal bitno veći od šuma.
Znatno raste utjecaj šuma, kada je omjer izlaz – šum < 20, veća je disperzija točaka.
Doprinos metodama identifikacije mehaničkih sustava u vremenskom području
53
Slika 13. Utjecaj omjera izlaz/šum na točnost identifikacije
Slika 13. prikazuje utjecaj omjera izlaz / šum na preciznost procjene. U malom omjeru (≈ 7),
razlika izmeñu procijenjenog i izračunatog izlaza je reda 2, dok za omjer veći od 20, razlika
mnogo manja, što znači da je identifikacija sustava točnija.
4.4. Identifikacija modela iz dijela spektra
Mnogi sustavi (strojni dijelovi) su opterećeni ili rade samo u odreñenom frekventnom
području. Frekventno područje identifikacije redovito obuhvaća područje od nula do Nyquistove
frekvencije, meñutim širenjem frekventnog područja identifikacije opada preciznost. Stoga je
poželjno dobiti matematički model, odnosno izvršiti identifikaciju sustava, isključivo preko
odreñenog dijela spektra.
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2output: difference estimated - real
[m/s
2]
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6output: difference estimated - real
[m/s
2]
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
2,156 4,952 7,196 10,37 13,42 17 35,94 58,19 164,6 120,1 261,5
Output / noise
Err
or
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-0.15
-0.1
-0.05
0
0.05
0.1output: difference estimated - real
[m/s
2]
Doprinos metodama identifikacije mehaničkih sustava u vremenskom području
54
Ovaj postupak koristi bilinearnu transformaciju frekvencije koja ima ulogu komprimirati
frekvencijski vektor [45]. Zatim se prijenosna funkcija zrcali i pomakne na nulu (slika 14.).
Slika 14. Zrcaljenje i pomak eksperimentalnih podataka
Zrcaljenje i pomak prijenosne funkcije osiguravaju mogućnost standardnog postupka
identifikacije. Nakon identifikacije postupkom modulacije vrši se zrcaljenje i prebacivanje
modela nazad na njegovo originalno frekventno područje (slika 15).
Slika 15. Modulacija modela s valom nosiocem 400 Hz
4.4.1. Modulacija
Modulacija je postupak prijenosa signala iz jednog dijela spektra u drugi. Često se koristi
u emitiranju radijskih signala na različitim frekvencijama. Prijenos elektromagnetskih valova
znatno je djelotvorniji u području viših frekvencija. Stoga se, uz pomoć modulacije, premješta
informacijski signal iz osnovnoga u viši pojas frekvencija.
U užem smislu, modulacija je mijenjanje jednog ili više parametara pomoćnog signala,
ovisno o signalu koji nosi informaciju. Pomoćni signal naziva se prijenosnim signalom
Doprinos metodama identifikacije mehaničkih sustava u vremenskom području
55
(nositeljem). Signal koji nosi u sebi informaciju i koji mijenja parametre prijenosnog signala,
naziva se modulacijskim signalom. U postupku modulacije množimo modulacijski i prijenosni
signal, pa konačno dobivamo modulirani signal.
Slika 16. Prikaz valnih oblika pri modulaciji
Ako se pretpostavi, radi jednostavnosti, modulacijski signal um, amplitude Um i kutne
frekvencije ωm
)cos( tUu mmm ω= . (214)
Slično se može izraziti i prijenosni signal, koji se modulira
)cos( tUu ppp ω= . (215)
Indeks modulacije je omjer amplituda dvaju signala
p
ma
U
Um = . (216)
Dakle, modulirani signal je
Doprinos metodama identifikacije mehaničkih sustava u vremenskom području
56
−+++= tm
tm
tUtu mpa
mpa
ppmAM )cos(2
)cos(2
cos)( ωωωωω (217)
Iz izraza (217) vidljiv je frekvencijski sastav moduliranog signala. On se sastoji od komponente
na frekvenciji prijenosnog signala pω i dvije bočne komponente )( mp ωω − i )( mp ωω + .
Slika 17. Spektar signala kod modulacije jednom frekvencijom
Ako se modulacijski signal sastoji od niza frekvencijskih komponenata u frekvencijskom pojasu
od nekog fmin pa do nekog fmax, primjenom postupka superpozicije, dobiva se spektar signala u
obliku, prema slici 18.
Slika 18. Spektar signala kod modulacije pojasom frekvencija
Doprinos metodama identifikacije mehaničkih sustava u vremenskom području
57
4.5. Provjera računalnog programa simulacijom matematičkog modela
Osnovni preduvjet donošenja ispravnih zaključaka analize vibracija mehaničkog sustava
je pravilno tumačenje rezultata. Pri dinamičkoj analizi mehaničkog sustava (elementa, stroja ili
postrojenja) upotrebljavaju se standardni pojmovi za opis vibracijskog ponašanja, koji su, radi
boljeg razumijevanja, objašnjeni prethodnim poglavljima.
Mehanički vibracijski sustavi s jednim ili dva stupnja slobode gibanja najjednostavniji su
modeli kojima se može riješiti velik broj praktičnih vibracijskih problema. Da bi se takvim
jednostavnim modelima dobro opisalo stvarno ponašanje sustava, potrebno je, prije toga
razjasniti i razumjeti fizikalnu stranu problema.
Računalni program provjeren je na temelju odabranog teoretskog primjera sustava s dva
stupnja slobode gibanja, kod kojeg se rezultati mogu provjeriti na temelju jednostavnih izračuna.
4.5.1. Numerička simulacija matematičkog modela
Simulacija matematičkog modela, prikazanog na slici 19., izvodi se djelovanjem sile u
obliku jediničnog impulsa, na masu (m2) i izračunavanja ubrzanja masa (m1 i m2).
Slika 19. Vibracijski sustav s dva stupnja slobode
Šum je slučajna varijabla koja ima karakteristike bijelog šuma, Gausovu distribuciju i
srednja vrijednost mu je nula. U prvom slučaju sastavni je dio ulaza, dok u drugom slučaju, šum
djeluje kao nepoznati poremećaj na sustav. Oba primjera imaju iste vrijednosti sile, šuma i izlaza.
Za simulaciju koristi se program koji je napisan na osnovu prethodno iznijete teorije.
Simulacija matematičkog modela kada je šum dio ulaza može se shematski prikazati:
Doprinos metodama identifikacije mehaničkih sustava u vremenskom području
58
Slika 20. Teoretska simulacija sustava, kod koje je izmjereni ulaz zbroj sile i šuma
Simulacija matematičkog modela kada šum djeluje zasebno na sustav, ne ulazi u mjerenje ulaza,
već se registrira kroz ponašanje sustava na izlazu:
Slika 21. Teoretska simulacija sustava, kod koje je šum zasebna, nepoznata veličina
Rezultati identifikacije
Cilj identifikacije je dobiti jednadžbu stanja u diskretnom obliku, samo na osnovu ulaznih
i izlaznih podataka, prema kojoj se može odrediti ponašanje sustava. Identificirani sustav bi na
osnovu istog ulaza, trebao imati identične vrijednosti izlaza, kako za matematički (ili
eksperimentalni), tako i za stvarni model. Identifikacija se vrši pomoću algoritma OKID.
Simulacija matematičkog modela kada je šum dio ulaza:
Doprinos metodama identifikacije mehaničkih sustava u vremenskom području
59
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000
0.5
1 sila - impuls
[N]
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-0.2
0
0.2
[N]
maksimalni shum iznosi 4.8086% od sile
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-1
0
1
[N]
ulaz sila - impuls + shum
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-0.5
0
0.5
[m/s
2]
y1 - ubrzanje mase m1
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-0.5
0
0.5y2 - ubrzanje mase m2
vrijeme [s]
[m/s
2]
Slika 22. Djelovanje jediničnog (zašumljenog) impulsa na masu m2, te odziv sustava
Doprinos metodama identifikacije mehaničkih sustava u vremenskom području
60
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-0.4
-0.2
0
0.2
0.4usporedba prvog izlaza predvidjeni - stvarni
ubrz
anje
[m
/s2]
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-0.4
-0.2
0
0.2
0.4usporedba drugog izlaza predvidjeni - stvarni
ubrz
anje
[m
/s2]
Slika 23. Usporedbe identificiranih, predviñenih vrijednosti izlaza, sa stvarnim (simuliranim)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-0.4
-0.2
0
0.2
0.4usporedba prvog izlaza procjenjeni - stvarni
ubrz
anje
[m
/s2]
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-0.4
-0.2
0
0.2
0.4usporedba drugog izlaza procjenjeni - stvarni
ubrz
anje
[m
/s2]
Slika 24. Usporedbe identificiranih, procijenjenih vrijednosti izlaza, sa stvarnim (simuliranim)
Doprinos metodama identifikacije mehaničkih sustava u vremenskom području
61
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-1
-0.5
0
0.5
1
1.5x 10
-15 izlaz 1: razlika stvarni - procjenjeni
ubrz
anje
[m
/s2]
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-2
-1
0
1
2x 10
-15 izlaz 2: razlika stvarni - procjenjeni
ubrz
anje
[m
/s2]
Slika 25. Razlika izmeñu procijenjenih i stvarnih (simuliranih) vrijednosti izlaza
Dijagrami (slike 23. i 24.) pokazuju odlično poklapanje, kako predviñenog ubrzanja, tako i
procijenjenog. Razlika ubrzanja izmeñu stvarnih vrijednosti i procijenjenih (slika 25.) reda je
veličine 10-15. Identificirane matrice A, B, C i D su različite od stvarnih, ali je svojstvena
vrijednost matrice sustava A jednaka.
Simulacija matematičkog modela kada šum djeluje zasebno na sustav
Doprinos metodama identifikacije mehaničkih sustava u vremenskom području
62
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-0.4
-0.2
0
0.2
0.4usporedba prvog izlaza predvidjeni - stvarni
ubrz
anje
[m
/s2]
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-0.4
-0.2
0
0.2
0.4usporedba drugog izlaza predvidjeni - stvarni
ubrz
anje
[m
/s2]
Slika 26. Usporedbe identificiranih, predviñenih vrijednosti izlaza, sa stvarnim (simuliranim)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-0.4
-0.2
0
0.2
0.4usporedba prvog izlaza procjenjeni - stvarni
ubrz
anje
[m
/s2]
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-0.4
-0.2
0
0.2
0.4usporedba drugog izlaza procjenjeni - stvarni
ubrz
anje
[m
/s2]
Slika 27. Usporedbe identificiranih, procijenjenih vrijednosti izlaza, sa stvarnim (simuliranim)
Doprinos metodama identifikacije mehaničkih sustava u vremenskom području
63
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-0.06
-0.04
-0.02
0
0.02
0.04
0.06izlaz 1: razlika stvarni - procjenjeni
ubrz
anje
[m
/s2]
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-0.1
-0.05
0
0.05
0.1izlaz 2: razlika stvarni - procjenjeni
ubrz
anje
[m
/s2]
Slika 28. Razlika izmeñu procijenjenih i stvarnih (simuliranih) vrijednosti izlaza
Na slici 26. vidi se veliko odstupanje izmeñu predviñenog i stvarnog ubrzanja. Puno je bolje
poklapanje kod procjene, kada se koristi Kalmanov filtar (slika 27.). Razlika ubrzanja izmeñu
stvarnih vrijednosti i procijenjenih (slika 28.) je reda veličine 0.1.
4.5.2. Usporedba izračunavanja funkcije impulsnog odziva
Za usporedbu dvaju metoda izračunavanja funkcije impulsnog odziva, koriste se rezultati
matematičkog modela sustava s dvije mase (slika 19.). Pokus se izvodi dva puta s različitim
ulaznim vrijednostima. Prvi puta ulaz je uzbudna sila – puls, u početnom trenutku vrijednost sile
je jedan, a ostalo vrijeme pokusa je nula, dok je drugi put uzbudna sila slučajna varijabla koja
traje polovinu vremena pokusa. Izlazne veličine koje se promatraju su ubrzanja obiju masa.
Doprinos metodama identifikacije mehaničkih sustava u vremenskom području
64
Metode identifikacije sustava koje se usporeñuju imaju različit pristup - jedna se
izračunava u vremenskoj (ERA), druga u frekventnoj domeni (Fourierova transformacija).
Kriteriji za usporedbu je opis ponašanja sustava u vremenskom području. Rezultati dobiveni
pomoću obje metode identifikacije usporeñuju se s izlaznim rezultatima simulacije sustava.
Zadane vrijednosti su promatranog matematičkog modela su:
- mase: m1 = 5 kg, m2 = 3 kg,
- konstante opruga: k1 = 21000 N/m, k2 = 14000 N/m, k3 = 6000 N/m,
- prigušenja: c1 = 6.2898 Ns/m; c2 = 1.7617 Ns/m; c3 = 2.9434 Ns/m;
Iz toga se na klasičan način iz jednadžbe (7) mogu izračunati vlastite frekvencije i forme
vibriranja:
11 56.6984 −= sω 1
2 102.2348 −= sω
9.02381 =f Hz 16.27122 =f Hz
koje se mogu usporediti s rezultatima identifikacije.
Slika 29. Forme vibriranja linearnog sustava s dva stupnja slobode
Takoñer odgovarajuće svojstvene vrijednosti i svojstveni vektor:
=Λ
104520
03215
=Φ
0.3987 0.4175-
0.3234- 0.3089-
Doprinos metodama identifikacije mehaničkih sustava u vremenskom području
65
Sustav se identificira na osnovu ulaznih i izlaznih vrijednosti izračunatih iz matematičkog
modela. Na osnovu prethodno iznesenih teoretskih osnova odrede se matrice sustava
=
0,41190,053060,857990,07243
0,10670,5387-0,01218-0,8141-
0,92447-0,2356-0,38030,14039
0,15002-0,942520,174050,31099-
A
=
0,11189
0,26301-
0,28065-
0,27837-
B
=
0,330360,271270,449600,62453
0,221260,26429-0,378410,44364-C
=
0,3333
0D
Matricama se zatim dobiju jednadžbe stanja (39) i (40) diskretno vremenskog modela i
odgovarajuće vrijednosti frekvencija vibriranja:
9.02381 =f Hz 16.27122 =f Hz
Izračunate jednadžbe stanja (39) i (40), odnosno njihove matrice A, B, C i D zajedno sa
istom uzbudnom silom koja je korištena u dobivanju rezultata matematičkim modelom, koristi se
u simulaciji promatranog modela. Tako dobiveni izlaz usporeñuje se s stvarnim izlazom, odnosno
izlazom koji je dobiven matematičkim modelom.
a) Uzbudna sila je puls
Uzbudna sila definirana je izrazom
≠
==
00
01)(
t
ttF
u trenutku 0=t vrijednost sile je jedan, a u svim ostalim vremenskim intervalima je nula.
Slika 30. prikazuje ulazne i izlazne vrijednosti matematičkog modela dobivenih
simulacijom. Ove vrijednosti predstavljaju mjerenje nekog stvarnog sustava i služe za usporedbu
s identificiranim vrijednostima. U ovom slučaju ulazna sila je puls koja djeluje na masu dva,
promatrani izlazi simulacije su ubrzanja obiju masa. Ovo je sustav s jednim ulazom i više izlaza
(SIMO). U praksi se eksperiment ponavlja više puta i računa se sa srednjim vrijednostima kako bi
se smanjio utjecaj pogreške mjerenja.
Doprinos metodama identifikacije mehaničkih sustava u vremenskom području
66
0 2 4 6 8 10 120
0.5
1 Ulaz - sila na m2
[N]
0 2 4 6 8 10 12-0.5
0
0.5
[m/s
2]
Izlaz y1 - ubrzanje mase m1
0 2 4 6 8 10 12-0.5
0
0.5Izlaz y2 - ubrzanje mase m2
vrijeme [s]
[m/s
2]
Slika 30. Prikaz ulaznih i izlaznih podataka simulacije
Na slici 30. vide se ulazne i izlazne veličine sile i ubrzanja. Sila je potaknula sustav na
vibriranje u vrlo kratkom trenutku, a sustav se dalje nastavio slobodno vibrirati.
Ako se promotri sustav u frekventnoj domeni, uz pomoć Fourierove transformacije izlaza
i ulaza (jednadžba 172), dobije se prijenosna funkcija (FRF). Slika 31. prikazuje prijenosnu
funkciju i kašnjenje u ovisnosti o frekvenciji.
Doprinos metodama identifikacije mehaničkih sustava u vremenskom području
67
0 5 10 15 20 25 3010
-5
100
105
Prijenosna funkcija FRF
Frekvencija [Hz]A
mpl
ituda
0 5 10 15 20 25 30-200
-100
0
100
Frekvencija [Hz]
Faz
a [o
]
Slika 31. Frekvencijski odziv (FRF) sustava s dva stupnja slobode
Frekvencije kod kojih vrhovi krivulje prijenosne funkcije imaju najveću vrijednost
amplitude predstavljaju vlastite frekvencije sustava. Iz dijagrama se vidi kako se vrhovi FRF-a
poklapaju s izračunatim vrijednostima ( 9.02381 =f Hz, 16.27122 =f Hz).
Inverzijom prijenosne funkcije koja je frekventnoj domeni, dobije se pulsni odziv u
vremenskom području. Pulsni odziv se takoñer može dobiti i računanjem samo u vremenskoj
domeni (ERA poglavlje 4.2.3.) uz pomoć niza Markovljevih parametara (jednadžba 43). Budući
da je sama simulacija sustava, koja predstavlja stvarni eksperiment, pobuñena pulsom, mogu se
direktno usporediti identificirani pulsni odzivi s izračunatim izlaznim vrijednostima modela, te
na taj način ispitati preciznost postupka identifikacije.
Na slikama 32. i 33. prikazane su usporedbe identificiranih pulsnih odziva sa stvarnim
pulsnim odzivom dobivenog simulacijom matematičkog modela. Na gornjem dijagramu je
usporedba stvarnog pulsnog odziva (točkasto – plavo) s pulsnim odzivom dobivenim inverznom
prijenosnom funkcijom (puna crta – crveno). Slično je i na donjem dijagramu napravljena
usporedba izmeñu pulsnog odziva dobivenog u vremenskom području (crveno) sa stvarnim
pulsnim odzivom (točkasto – plavo).
Doprinos metodama identifikacije mehaničkih sustava u vremenskom području
68
0 0.5 1 1.5 2 2.5-0.4
-0.2
0
0.2
0.4Usporedba impulsnih odziva stvarno tocke - ifft crveno
vrijeme [s]
Ubr
zanj
e
0 0.5 1 1.5 2 2.5-0.4
-0.2
0
0.2
0.4Usporedba impulsnih odziva stvarno tocke - identif. crveno
vrijeme [s]
Ubr
zanj
e
Slika 32. Usporedba impulsnih odziva prvi izlaz (m1)
0 0.5 1 1.5 2 2.5-0.4
-0.2
0
0.2
0.4Usporedba impulsnih odziva stvarno tocke - ifft crveno
vrijeme [s]
Ubr
zanj
e
0 0.5 1 1.5 2 2.5-0.4
-0.2
0
0.2
0.4Usporedba impulsnih odziva stvarno tocke - identif. crveno
vrijeme [s]
Ubr
zanj
e
Slika 33. Usporedba pulsnih odziva drugi izlaz (m2)
Iz prethodno navedenih dijagrama (slike 32. i 33.) vidljivo je puno bolje preklapanje na
donjim dijagramima, gdje se usporeñuju vrijednosti dobivene identifikacijom u vremenskom
području sa stvarnim vrijednostima. Dijagrami na kojima se usporeñuju vrijednosti pulsnog
odziva dobivenog pomoću inverzne Fourierove transformacije prikazuju odreñeno odstupanje od
Doprinos metodama identifikacije mehaničkih sustava u vremenskom području
69
stvarnog odziva. Stoga se može se zaključiti kako je za odreñivanje ponašanja sustava pulsnog
odziva bolje koristiti Markovljeve parametre, odnosno identifikacija u vremenskom području,
nego identifikaciju u frekventnom području.
Prijenosna funkcija može se dobiti i Fourierovom transformacijom pulsnog izlaza. Na
slici 34. prikazane su prijenosne funkcije za oba izlaza: jedna je dobivena klasičnim načinom
prema jednadžbi (172) (crveno), a druga je dobivena iz pulsnog odziva (plavo).
0 0.5 1 1.5 2 2.5 310
-5
100
105
Usporedba funkcija FRF-a: iz pulse (plavo), klasicno racunanje (crveno); izlaz 1
Frekvencija [Hz]
Am
plitu
da
0 0.5 1 1.5 2 2.5 310
-4
10-2
100
102
Usporedba funkcija FRF-a: iz pulse (plavo), klasicno racunanje (crveno); izlaz 2
Frekvencija [Hz]
Am
plitu
da
Slika 34. Usporedba prijenosne funkcije dobivene iz pulsa i klasičnim načinom
U oba dijagrama predočeno je savršeno poklapanje, iz čega se može zaključiti da se
korištenjem identifikacije u vremenskom području može dobiti kvalitetna prijenosna funkcija.
Odabranim ispitnim primjerom pokazana je točnost rezultata izračuna, te je potvrñeno
kako se razvijeni postupak i računalni program mogu pouzdano primijeniti i na složenije sustave.
Doprinos metodama identifikacije mehaničkih sustava u vremenskom području
70
b) Ulaz je slučajna varijabla (random)
U drugom pokusu koristi se isti matematički model, linearni sustav s dva stupnja slobode.
Razlika je u tome što se ovaj put simulacija izvodi uzbudnom silom koja ima karakteristike
slučajne varijable. Sila djeluje na masi dva i traje pola promatranog vremenskog intervala (slika
35.), pa sustav nakon djelovanja sile slobodno vibrira. I u ovom pokusu, izlazne veličine su
ubrzanja obiju masa.
0 20 40 60 80 100 120-0.5
0
0.5 Ulaz - sila na m2
[N]
0 20 40 60 80 100 120-0.5
0
0.5
1
[m/s
2]
Izlaz y1 - ubrzanje mase m1
0 20 40 60 80 100 120-1
0
1Izlaz y2 - ubrzanje mase m2
vrijeme [s]
[m/s
2]
Slika 35. Prikaz ulaznih i izlaznih podataka simulacije kada je uzbudna sila slučajna varijabla
Analiza rezultata u frekventnom području pokazuje iste modalne vrijednosti sustava. Tako su dijagrami na slikama 31. i 36. identični, vrhovi krivulja pokazuju iste vlastite frekvencije sustava, što dokazuje kako modalni parametri ne ovise o uzbudi, već samo o sustavu.
Doprinos metodama identifikacije mehaničkih sustava u vremenskom području
71
0 5 10 15 20 25 3010
-5
100
105
Prijenosna funkcija FRF
Frekvencija [Hz]
Am
plitu
da
0 5 10 15 20 25 3050
100
150
200
Frekvencija [Hz]
Faz
a [o
]
Slika 36. Frekvencijski odziv (FRF) sustava s dva stupnja slobode (slučajna uzbuda)
Na slici 37. usporeñuje se pulsni odziv dobiven inverznom Fourijerovom transformacijom
iz prijenosne funkcije (FRF-a) (crvena linija) i pulsni odziv dobiven pomoću Markovljevih
parametara (plave točkice).
Doprinos metodama identifikacije mehaničkih sustava u vremenskom području
72
0 0.5 1 1.5 2 2.5-0.4
-0.2
0
0.2
0.4Usporedba pulsnih odziva: pulse (M.p.-plavo), IFFT (FRF-crveno); izlaz 1
vrijeme [s]
Ubr
zanj
e
0 0.5 1 1.5 2 2.5-0.4
-0.2
0
0.2
0.4Usporedba pulsnih odziva: pulse (M.p.-plavo), IFFT (FRF-crveno); izlaz 2
vrijeme [s]
Ubr
zanj
e
Slika 37. Usporedba pulsnih odziva za oba izlaza
I u ovom primjeru postoje odstupanja izmeñu dva pulsna odziva. Meñutim, na osnovu
analize prijašnjeg pokusa i usporedbi (slike 32. i 33.) može se pretpostaviti kako je relevantan
onaj pulsni odziv koji je izračunat u vremenskom području (ERA) (plavo).
Na dijagramu (slika 38.) usporeñena je prijenosna funkcija dobivena klasičnim
postupkom (crveno) prema jednadžbi (172) i prijenosna funkcija izračunata iz pulsnog odziva
(plavo).
Doprinos metodama identifikacije mehaničkih sustava u vremenskom području
73
0 5 10 15 20 25 3010
-6
10-4
10-2
100
102
Usporedba funkcija FRF-a: iz pulse (plavo), klasicno racunanje (crveno); izlaz 1
Frekvencija [Hz]
Am
plitu
da
0 5 10 15 20 25 3010
-6
10-4
10-2
100
102
Usporedba funkcija FRF-a: iz pulse (plavo), klasicno racunanje (crveno); izlaz 2
Frekvencija [Hz]
Am
plitu
da
Slika 38. Usporedba prijenosne funkcije dobivene iz pulsa i klasičnim načinom
Rezultati pokazuju odlična poklapanja i kod ovog pokusa. Vidi se kako se najveći vrhovi
amplituda prijenosnih funkcija nalaze na frekvencijama koje su ujedno i vlastite frekvencije
sustava ( 9.02381 =f Hz, 16.27122 =f Hz).
Doprinos metodama identifikacije mehaničkih sustava u vremenskom području
74
5. Modeliranje konstrukcije
Ukupna dosadašnja teoretska izlaganja i postupci primjenjivani na simuliranim
matematičkim modelima primijeniti će se na konkretnom primjeru. Eksperiment se sastoji u
identifikaciji zadane konstrukcije, odnosno odreñivanja odgovarajućeg matematičkog modela, te
izračunavanja odgovarajućih modalnih parametara kao što su vlastite frekvencije i forme
vibriranja. Takoñer će se na zadanom primjeru usporediti različiti pristupi u odreñivanju
ponašanja sustava [46-50]. Jedan pristup koristi prijenosnu funkciju (FRF) i analizira sustav u
frekventnom području, dok drugi pristup ostaje u vremenskom području i koristi niz
Markovljevih parametara (ERA). Osim navedenog ispitati će se utjecaj broja Markovljevih
parametara na točnost identifikacije sustava.
Za konkretan primjer koristi se rešetkasta čelična konstrukcija prikazana na slici 38.
Konstrukcija je zavarena je u obliku slova L, a sastoji se od 52 štapa i 28 čvora (slika 39.).
Postavljena je bez čvrstog oslonca tako da slobodno visi vezana užadima o most okvira.
Slika 39. Fotografija ispitivanja rešetkaste konstrukcije
Doprinos metodama identifikacije mehaničkih sustava u vremenskom području
75
Slika 40. Model rešetkaste konstrukcije
Na 15 čvorova postavljeni su akcelerometri, senzori za mjerenje ubrzanja. Karakteristike
postavljenih piezo akcelerometara (slika 41. i 42.) su tip RION PV-41, s/n 20484, osjetljivost na
80 Hz: 1.09 mV/(m/s2) kod 23 ºC.
Slika 41. Piezo akcelerometar
Doprinos metodama identifikacije mehaničkih sustava u vremenskom području
76
Slika 42. Postavljanje akcelerometra
Uzbuda sustava ostvaruje se udarnim čekićem (slika 42): Tip: B&K 8206-001, karakteristike:
- Osjetljivost: 11.3 mV/N kod 22ºC
- Mjerni raspon (puna skala kod ±5V) 445 N
- Polaritet električnog signala je pozitivan za tlačno opterećenje
Slika 43. Udarni čekić
Doprinos metodama identifikacije mehaničkih sustava u vremenskom području
77
6. Postupak identifikacije na konkretnom primjeru
Identifikacija zadane rešetkaste konstrukcije se ne izvodi u realnom vremenu, već se
bazira se na snimljenim podacima pokusa. Pokus se izvodi tako da se udarcem čekića na čvor 1
(slika 39.) pobudi sustav na vibriranje. Mjeri se ulazna i izlazna veličina, odnosno sila udarca
čekića i ubrzanja u pojedinim točkama konstrukcije. Karakteristika ovog pokusa je u tome što
ima jedan ulaz i 15 izlaza (SIMO Single Input Multi Output). Mjerni interval uzorkovanja iznosi
dt = 0,0009765625 s, a uzeto je 4096 uzoraka.
Kako bi se smanjio utjecaj pogreške mjerenja, pokus je ponovljen pet puta. Računa se s
srednjom vrijednosti izmjerenih podataka, što znači da se podaci sa svakog mjernog mjesta
posebno zbrajaju i dijele s brojem pokusa.
6.1. Analiza rezultata identifikacije
Na dijagramima (slika 44.) prikazana je uzbudna sila, odnosno udarac čekićem za svih pet
pokusa. Sila djeluje u relativnom kratkom intervalu i njena vrijednost varira oko 160 N. Ovakav
način uzbude sličan je teoretskom primjeru (poglavlje 4.5.2. pod a), kada jedinična sila djeluje u
jednom trenutku, a sve ostalo vrijeme je nula.
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-100
0
100
200Uzbudna sila eksp. br.1
Sila
[N
]
Vrijeme [s]
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-100
0
100
200Uzbudna sila eksp. br.2
Sila
[N
]
Vrijeme [s]
Doprinos metodama identifikacije mehaničkih sustava u vremenskom području
78
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-100
0
100
200Uzbudna sila eksp. br.3
Sila
[N
]
Vrijeme [s]
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-100
0
100
200Uzbudna sila eksp. br.4
Sila
[N
]
Vrijeme [s]
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-100
0
100
200Uzbudna sila eksp. br.5
Sila
[N
]
Vrijeme [s] Slika 44. Ulazna sila je udarac čekića, pet pokusa
Identifikacijom u vremenskom području na osnovu izmjerenih ulaznih i izlaznih
vrijednosti (poglavlje 4.2.) izračunaju se matrice sustava A, B, C i D. Te matrice definiraju
matematički model koji opisuje promatranu konstrukciju u obliku jednadžbe stanja (39) i (40).
Rezultati identifikacije:
Damping(%) Freq(HZ) Mode SV MAC
1.0000e+002 1.4869e+002 1.4210e-003 1.0000e+000
1.0000e+002 1.1765e+002 2.4863e-003 1.0000e+000
2.4925e+001 2.7702e+002 1.6359e-002 1.0000e+000
2.4925e+001 2.7702e+002 1.6359e-002 1.0000e+000
1.2529e+001 5.1607e+002 5.1894e-002 1.0000e+000
8.2047e+000 4.7755e+002 1.2279e-001 1.0000e+000
Doprinos metodama identifikacije mehaničkih sustava u vremenskom području
79
8.2047e+000 4.7755e+002 1.2279e-001 1.0000e+000
2.1778e+001 1.3650e+002 1.9028e-002 1.0000e+000
2.1778e+001 1.3650e+002 1.9028e-002 1.0000e+000
7.5130e+000 3.7973e+002 9.0266e-002 1.0000e+000
7.5130e+000 3.7973e+002 9.0266e-002 1.0000e+000
3.3590e+000 5.1229e+002 6.5400e-001 1.0000e+000
2.3465e+000 5.1214e+002 8.1457e-001 1.0000e+000
3.8353e+000 2.5468e+002 1.1678e-001 1.0000e+000
3.8353e+000 2.5468e+002 1.1678e-001 1.0000e+000
1.9022e+000 3.6942e+002 2.8836e-001 1.0000e+000
1.9022e+000 3.6942e+002 2.8836e-001 1.0000e+000
4.8910e+000 9.6737e+001 1.0946e-001 1.0000e+000
4.8910e+000 9.6737e+001 1.0946e-001 1.0000e+000
9.1268e-001 3.2370e+002 5.2884e-001 1.0000e+000
9.1268e-001 3.2370e+002 5.2884e-001 1.0000e+000
5.8806e-001 4.2235e+002 6.2288e-001 1.0000e+000
5.8806e-001 4.2235e+002 6.2288e-001 1.0000e+000
6.4009e-001 3.0609e+002 4.4717e-001 1.0000e+000
6.4009e-001 3.0609e+002 4.4717e-001 1.0000e+000
5.4974e-001 3.3261e+002 1.8589e-001 1.0000e+000
5.4974e-001 3.3261e+002 1.8589e-001 1.0000e+000
3.1033e-001 3.2312e+002 9.1441e-001 1.0000e+000
3.1033e-001 3.2312e+002 9.1441e-001 1.0000e+000
1.0000e+002 1.8916e-001 1.0000e+000 1.0000e+000
Dijagrami na slikama od 45. do 59. prikazuju različite utjecaje na točnost identifikacije
sustava, na njima se usporeñuju izmjerene i identificirane vrijednosti.
Prvi dijagram usporeñuje procijenjene vrijednosti izlaza nastale korištenjem
promatračkog pojačanja G, u matricama sustava (jednadžbe 55. i 56.). Procijenjeno ubrzanje
prikazano je crvenom bojom, a izmjerena vrijednost je plave boje. U istom redu dijagram s desne
strane prikazuje razliku tih dviju vrijednosti.
Doprinos metodama identifikacije mehaničkih sustava u vremenskom području
80
Drugi i treći dijagrami na slikama od 45. do 59. prikazuju usporedbu izmjerenih
vrijednosti s rezultatima identifikacije kada se ne koristi procjena (promatračko pojačanje G), već
se računa samo s osnovnim matricama sustava A, B, C i D. Razlika izmeñu drugog i trećeg
dijagrama je u tome što se za identifikaciju drugog dijagrama koristi srednja vrijednost svakog
mjernog mjesta ulaza i izlaza za pet pokusa. Treći dijagram usporeñuje rezultate nastale
identificiranjem na bazi izmjerenih vrijednosti samo jednog pokusa. Na desnoj strani su takoñer
prikazane usporeñene razlike. U drugom i trećem dijagramu su identificirane vrijednosti takoñer,
prikazane crvenom, a izmjerene plavom bojom. Vrijeme koje obuhvaća snimanje rezultata
pokusa je četiri sekunde, dok je na dijagramima radi jasnoće slike za usporedbu uzet samo jedan
interval od 0.1 s do 0.2 s.
0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2-50
0
50
vrijeme [s]
Ubr
zanj
e
Identifikacija: procijenjeno - izmjereno; izlaz = 1
0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2-50
0
50
vrijeme [s]
Ubr
zanj
e
Razlika: procijenjeno - izmjereno; izlaz = 1
0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2-50
0
50
vrijeme [s]
Ubr
zanj
e
Identifikacija: sila sred. vrijed. - izmjereno; izlaz = 1
0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2-50
0
50
vrijeme [s]
Ubr
zanj
e
Razlika: sila sred. vrijed. - izmjereno; izlaz = 1
0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2-50
0
50Identifikacija: sila pojedinacna vrijed. - izmjereno; izlaz = 1
vrijeme [s]
Ubr
zanj
e
0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2-50
0
50Razlika: sila pojedinacna vrijed. - izmjereno; izlaz = 1
vrijeme [s]
Ubr
zanj
e
Slika 45. Usporedba rezultata simulacije dobivenih identifikacijom ovisno o broju pokusa i procijeni, u odnosu na
izmjerene vrijednosti izlaza (izlaz 1).
Doprinos metodama identifikacije mehaničkih sustava u vremenskom području
81
0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2-50
0
50
vrijeme [s]
Ubr
zanj
e
Identifikacija: procijenjeno - izmjereno; izlaz = 2
0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2-50
0
50
vrijeme [s]
Ubr
zanj
e
Razlika: procijenjeno - izmjereno; izlaz = 2
0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2-50
0
50
vrijeme [s]
Ubr
zanj
e
Identifikacija: sila sred. vrijed. - izmjereno; izlaz = 2
0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2-50
0
50
vrijeme [s]
Ubr
zanj
e
Razlika: sila sred. vrijed. - izmjereno; izlaz = 2
0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2-50
0
50Identifikacija: sila pojedinacna vrijed. - izmjereno; izlaz = 2
vrijeme [s]
Ubrz
anj
e
0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2-50
0
50Razlika: sila pojedinacna vrijed. - izmjereno; izlaz = 2
vrijeme [s]U
brz
anj
e
Slika 46. Usporedba rezultata simulacije dobivenih identifikacijom ovisno o broju pokusa i procijeni, u odnosu na
izmjerene vrijednosti izlaza (izlaz 2).
0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2-50
0
50
vrijeme [s]
Ubr
zanj
e
Identifikacija: procijenjeno - izmjereno; izlaz = 3
0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2-50
0
50
vrijeme [s]
Ubr
zanj
e
Razlika: procijenjeno - izmjereno; izlaz = 3
0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2-50
0
50
vrijeme [s]
Ubr
zanj
e
Identifikacija: sila sred. vrijed. - izmjereno; izlaz = 3
0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2-50
0
50
vrijeme [s]
Ubr
zanj
e
Razlika: sila sred. vrijed. - izmjereno; izlaz = 3
0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2-50
0
50Identifikacija: sila pojedinacna vrijed. - izmjereno; izlaz = 3
vrijeme [s]
Ubrz
anj
e
0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2-50
0
50Razlika: sila pojedinacna vrijed. - izmjereno; izlaz = 3
vrijeme [s]
Ubrz
anj
e
Slika 47. Usporedba rezultata simulacije dobivenih identifikacijom ovisno o broju pokusa i procijeni, u odnosu na
izmjerene vrijednosti izlaza (izlaz 3).
Doprinos metodama identifikacije mehaničkih sustava u vremenskom području
82
0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2-50
0
50
vrijeme [s]
Ubr
zanj
e
Identifikacija: procijenjeno - izmjereno; izlaz = 4
0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2-50
0
50
vrijeme [s]
Ubr
zanj
e
Razlika: procijenjeno - izmjereno; izlaz = 4
0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2-50
0
50
vrijeme [s]
Ubr
zanj
e
Identifikacija: sila sred. vrijed. - izmjereno; izlaz = 4
0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2-50
0
50
vrijeme [s]
Ubr
zanj
e
Razlika: sila sred. vrijed. - izmjereno; izlaz = 4
0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2-50
0
50Identifikacija: sila pojedinacna vrijed. - izmjereno; izlaz = 4
vrijeme [s]
Ubr
zanj
e
0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2-50
0
50Razlika: sila pojedinacna vrijed. - izmjereno; izlaz = 4
vrijeme [s]
Ubr
zanj
e
Slika 48. Usporedba rezultata simulacije dobivenih identifikacijom ovisno o broju pokusa i procijeni, u odnosu na
izmjerene vrijednosti izlaza (izlaz 4).
0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2-50
0
50
vrijeme [s]
Ubr
zanj
e
Identifikacija: procijenjeno - izmjereno; izlaz = 5
0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2-50
0
50
vrijeme [s]
Ubr
zanj
e
Razlika: procijenjeno - izmjereno; izlaz = 5
0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2-50
0
50
vrijeme [s]
Ubr
zanj
e
Identifikacija: sila sred. vrijed. - izmjereno; izlaz = 5
0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2-50
0
50
vrijeme [s]
Ubr
zanj
e
Razlika: sila sred. vrijed. - izmjereno; izlaz = 5
0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2-50
0
50Identifikacija: sila pojedinacna vrijed. - izmjereno; izlaz = 5
vrijeme [s]
Ubr
zanj
e
0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2-50
0
50Razlika: sila pojedinacna vrijed. - izmjereno; izlaz = 5
vrijeme [s]
Ubr
zanj
e
Slika 49. Usporedba rezultata simulacije dobivenih identifikacijom ovisno o broju pokusa i procijeni, u odnosu na
izmjerene vrijednosti izlaza (izlaz 5).
Doprinos metodama identifikacije mehaničkih sustava u vremenskom području
83
0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2-50
0
50
vrijeme [s]
Ubr
zanj
e
Identifikacija: procijenjeno - izmjereno; izlaz = 6
0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2-50
0
50
vrijeme [s]
Ubr
zanj
e
Razlika: procijenjeno - izmjereno; izlaz = 6
0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2-50
0
50
vrijeme [s]
Ubr
zanj
e
Identifikacija: sila sred. vrijed. - izmjereno; izlaz = 6
0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2-50
0
50
vrijeme [s]
Ubr
zanj
e
Razlika: sila sred. vrijed. - izmjereno; izlaz = 6
0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2-50
0
50Identifikacija: sila pojedinacna vrijed. - izmjereno; izlaz = 6
vrijeme [s]
Ubr
zanj
e
0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2-50
0
50Razlika: sila pojedinacna vrijed. - izmjereno; izlaz = 6
vrijeme [s]
Ubr
zanj
e
Slika 50. Usporedba rezultata simulacije dobivenih identifikacijom ovisno o broju pokusa i procijeni, u odnosu na
izmjerene vrijednosti izlaza (izlaz 6).
0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2-50
0
50
vrijeme [s]
Ubr
zanj
e
Identifikacija: procijenjeno - izmjereno; izlaz = 7
0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2-50
0
50
vrijeme [s]
Ubr
zanj
e
Razlika: procijenjeno - izmjereno; izlaz = 7
0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2-50
0
50
vrijeme [s]
Ubr
zanj
e
Identifikacija: sila sred. vrijed. - izmjereno; izlaz = 7
0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2-50
0
50
vrijeme [s]
Ubr
zanj
e
Razlika: sila sred. vrijed. - izmjereno; izlaz = 7
0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2-50
0
50Identifikacija: sila pojedinacna vrijed. - izmjereno; izlaz = 7
vrijeme [s]
Ubr
zanj
e
0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2-50
0
50Razlika: sila pojedinacna vrijed. - izmjereno; izlaz = 7
vrijeme [s]
Ubr
zanj
e
Slika 51. Usporedba rezultata simulacije dobivenih identifikacijom ovisno o broju pokusa i procijeni, u odnosu na
izmjerene vrijednosti izlaza (izlaz 7).
Doprinos metodama identifikacije mehaničkih sustava u vremenskom području
84
0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2-50
0
50
vrijeme [s]
Ubr
zanj
e
Identifikacija: procijenjeno - izmjereno; izlaz = 8
0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2-50
0
50
vrijeme [s]
Ubr
zanj
e
Razlika: procijenjeno - izmjereno; izlaz = 8
0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2-50
0
50
vrijeme [s]
Ubr
zanj
e
Identifikacija: sila sred. vrijed. - izmjereno; izlaz = 8
0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2-50
0
50
vrijeme [s]
Ubr
zanj
e
Razlika: sila sred. vrijed. - izmjereno; izlaz = 8
0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2-50
0
50Identifikacija: sila pojedinacna vrijed. - izmjereno; izlaz = 8
vrijeme [s]
Ubr
zanj
e
0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2-50
0
50Razlika: sila pojedinacna vrijed. - izmjereno; izlaz = 8
vrijeme [s]
Ubr
zanj
e
Slika 52. Usporedba rezultata simulacije dobivenih identifikacijom ovisno o broju pokusa i procijeni, u odnosu na
izmjerene vrijednosti izlaza (izlaz 8).
0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2-50
0
50
vrijeme [s]
Ubr
zanj
e
Identifikacija: procijenjeno - izmjereno; izlaz = 9
0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2-50
0
50
vrijeme [s]
Ubr
zanj
e
Razlika: procijenjeno - izmjereno; izlaz = 9
0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2-50
0
50
vrijeme [s]
Ubr
zanj
e
Identifikacija: sila sred. vrijed. - izmjereno; izlaz = 9
0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2-50
0
50
vrijeme [s]
Ubr
zanj
e
Razlika: sila sred. vrijed. - izmjereno; izlaz = 9
0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2-50
0
50Identifikacija: sila pojedinacna vrijed. - izmjereno; izlaz = 9
vrijeme [s]
Ubr
zanj
e
0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2-50
0
50Razlika: sila pojedinacna vrijed. - izmjereno; izlaz = 9
vrijeme [s]
Ubr
zanj
e
Slika 53. Usporedba rezultata simulacije dobivenih identifikacijom ovisno o broju pokusa i procijeni, u odnosu na
izmjerene vrijednosti izlaza (izlaz 9).
Doprinos metodama identifikacije mehaničkih sustava u vremenskom području
85
0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2-50
0
50
vrijeme [s]
Ubr
zanj
e
Identifikacija: procijenjeno - izmjereno; izlaz = 10
0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2-50
0
50
vrijeme [s]
Ubr
zanj
e
Razlika: procijenjeno - izmjereno; izlaz = 10
0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2-50
0
50
vrijeme [s]
Ubr
zanj
e
Identifikacija: sila sred. vrijed. - izmjereno; izlaz = 10
0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2-50
0
50
vrijeme [s]
Ubr
zanj
e
Razlika: sila sred. vrijed. - izmjereno; izlaz = 10
0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2-50
0
50Identifikacija: sila pojedinacna vrijed. - izmjereno; izlaz = 10
vrijeme [s]
Ubr
zanj
e
0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2-50
0
50Razlika: sila pojedinacna vrijed. - izmjereno; izlaz = 10
vrijeme [s]
Ubr
zanj
e
Slika 54. Usporedba rezultata simulacije dobivenih identifikacijom ovisno o broju pokusa i procijeni, u odnosu na
izmjerene vrijednosti izlaza (izlaz 10).
0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2-50
0
50
vrijeme [s]
Ubr
zanj
e
Identifikacija: procijenjeno - izmjereno; izlaz = 11
0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2-50
0
50
vrijeme [s]
Ubr
zanj
e
Razlika: procijenjeno - izmjereno; izlaz = 11
0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2-50
0
50
vrijeme [s]
Ubr
zanj
e
Identifikacija: sila sred. vrijed. - izmjereno; izlaz = 11
0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2-50
0
50
vrijeme [s]
Ubr
zanj
e
Razlika: sila sred. vrijed. - izmjereno; izlaz = 11
0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2-50
0
50Identifikacija: sila pojedinacna vrijed. - izmjereno; izlaz = 11
vrijeme [s]
Ubr
zanj
e
0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2-50
0
50Razlika: sila pojedinacna vrijed. - izmjereno; izlaz = 11
vrijeme [s]
Ubr
zanj
e
Slika 55. Usporedba rezultata simulacije dobivenih identifikacijom ovisno o broju pokusa i procijeni, u odnosu na
izmjerene vrijednosti izlaza (izlaz 11).
Doprinos metodama identifikacije mehaničkih sustava u vremenskom području
86
0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2-50
0
50
vrijeme [s]
Ubr
zanj
e
Identifikacija: procijenjeno - izmjereno; izlaz = 12
0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2-50
0
50
vrijeme [s]
Ubr
zanj
e
Razlika: procijenjeno - izmjereno; izlaz = 12
0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2-50
0
50
vrijeme [s]
Ubr
zanj
e
Identifikacija: sila sred. vrijed. - izmjereno; izlaz = 12
0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2-50
0
50
vrijeme [s]
Ubr
zanj
e
Razlika: sila sred. vrijed. - izmjereno; izlaz = 12
0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2-50
0
50Identifikacija: sila pojedinacna vrijed. - izmjereno; izlaz = 12
vrijeme [s]
Ubr
zanj
e
0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2-50
0
50Razlika: sila pojedinacna vrijed. - izmjereno; izlaz = 12
vrijeme [s]
Ubr
zanj
e
Slika 56. Usporedba rezultata simulacije dobivenih identifikacijom ovisno o broju pokusa i procijeni, u odnosu na
izmjerene vrijednosti izlaza (izlaz 12).
0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2-50
0
50
vrijeme [s]
Ubr
zanj
e
Identifikacija: procijenjeno - izmjereno; izlaz = 13
0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2-50
0
50
vrijeme [s]
Ubr
zanj
e
Razlika: procijenjeno - izmjereno; izlaz = 13
0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2-50
0
50
vrijeme [s]
Ubr
zanj
e
Identifikacija: sila sred. vrijed. - izmjereno; izlaz = 13
0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2-50
0
50
vrijeme [s]
Ubr
zanj
e
Razlika: sila sred. vrijed. - izmjereno; izlaz = 13
0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2-50
0
50Identifikacija: sila pojedinacna vrijed. - izmjereno; izlaz = 13
vrijeme [s]
Ubr
zanj
e
0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2-50
0
50Razlika: sila pojedinacna vrijed. - izmjereno; izlaz = 13
vrijeme [s]
Ubr
zanj
e
Slika 57. Usporedba rezultata simulacije dobivenih identifikacijom ovisno o broju pokusa i procijeni, u odnosu na
izmjerene vrijednosti izlaza (izlaz 13).
Doprinos metodama identifikacije mehaničkih sustava u vremenskom području
87
0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2-50
0
50
vrijeme [s]
Ubr
zanj
e
Identifikacija: procijenjeno - izmjereno; izlaz = 14
0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2-50
0
50
vrijeme [s]
Ubr
zanj
e
Razlika: procijenjeno - izmjereno; izlaz = 14
0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2-50
0
50
vrijeme [s]
Ubr
zanj
e
Identifikacija: sila sred. vrijed. - izmjereno; izlaz = 14
0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2-50
0
50
vrijeme [s]
Ubr
zanj
e
Razlika: sila sred. vrijed. - izmjereno; izlaz = 14
0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2-50
0
50Identifikacija: sila pojedinacna vrijed. - izmjereno; izlaz = 14
vrijeme [s]
Ubr
zanj
e
0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2-50
0
50Razlika: sila pojedinacna vrijed. - izmjereno; izlaz = 14
vrijeme [s]
Ubr
zanj
e
Slika 58. Usporedba rezultata simulacije dobivenih identifikacijom ovisno o broju pokusa i procijeni, u odnosu na
izmjerene vrijednosti izlaza (izlaz 14).
0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2-50
0
50
vrijeme [s]
Ubr
zanj
e
Identifikacija: procijenjeno - izmjereno; izlaz = 15
0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2-50
0
50
vrijeme [s]
Ubr
zanj
e
Razlika: procijenjeno - izmjereno; izlaz = 15
0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2-50
0
50
vrijeme [s]
Ubr
zanj
e
Identifikacija: sila sred. vrijed. - izmjereno; izlaz = 15
0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2-50
0
50
vrijeme [s]
Ubr
zanj
e
Razlika: sila sred. vrijed. - izmjereno; izlaz = 15
0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2-50
0
50Identifikacija: sila pojedinacna vrijed. - izmjereno; izlaz = 15
vrijeme [s]
Ubr
zanj
e
0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2-50
0
50Razlika: sila pojedinacna vrijed. - izmjereno; izlaz = 15
vrijeme [s]
Ubr
zanj
e
Slika 59. Usporedba rezultata simulacije dobivenih identifikacijom ovisno o broju pokusa i procijeni, u odnosu na
izmjerene vrijednosti izlaza (izlaz 15).
Doprinos metodama identifikacije mehaničkih sustava u vremenskom području
88
Ne primjećuje se velika razlika u odstupanju izmeñu identificiranih i izmjerenih
vrijednosti ubrzanja, kada se računa sa srednjom vrijednosti više pokusa, u odnosu na samo jedan
pokus. Nešto je bolje preklapanje kada se koristi promatračko pojačanje G (prema jednadžbi 55.)
u procjeni izračunate vrijednosti ubrzanja. Budući da je riječ o stvarnom eksperimentu, šum koji
se javlja nema karakteristike bijelog šuma, pa su odstupanja puno veća nego kod teoretskih
simuliranih sustava.
Promatranjem sustava u frekventnoj domeni, uz pomoć Fourierove transformacije izlaza i
ulaza (jednadžba 172), a prema primjerima na slikama 31. i 36. dobije se prijenosna funkcija
sustava (FRF). Na slikama od 60. do 64. prikazani dijagrami prijenosne funkcije i dijagrami faze
u ovisnosti o frekvenciji, za pojedine izlaze.
Doprinos metodama identifikacije mehaničkih sustava u vremenskom području
89
0 200 400 60010
-5
100
105
Prijenosna funkcija FRF
Frekvencija [Hz]A
mpl
ituda
0 200 400 6000
200
400
Frekvencija [Hz]
Faz
a [o
]
0 200 400 60010
-5
100
105
Prijenosna funkcija FRF
Frekvencija [Hz]
Am
plitu
da
0 200 400 600-100
0
100
Frekvencija [Hz]
Faz
a [o
]0 200 400 600
10-5
100
105
Prijenosna funkcija FRF
Frekvencija [Hz]
Am
plitu
da
0 200 400 600-200
0
200
Frekvencija [Hz]
Faz
a [o
]
Slika 60. Frekvencijski odziv (FRF) rešetkaste konstrukcije izlaz 1-3
0 200 400 60010
-5
100
105
Prijenosna funkcija FRF
Frekvencija [Hz]
Am
plitu
da
0 200 400 6000
200
400
Frekvencija [Hz]
Faz
a [o
]
0 200 400 60010
-5
100
105
Prijenosna funkcija FRF
Frekvencija [Hz]
Am
plitu
da
0 200 400 6000
200
400
Frekvencija [Hz]
Faz
a [o
]
0 200 400 60010
-5
100
105
Prijenosna funkcija FRF
Frekvencija [Hz]
Am
plitu
da
0 200 400 600-200
0
200
Frekvencija [Hz]
Faz
a [o
]
Slika 61. Frekvencijski odziv (FRF) rešetkaste konstrukcije izlaz 4-6
Doprinos metodama identifikacije mehaničkih sustava u vremenskom području
90
0 200 400 60010
-5
100
105
Prijenosna funkcija FRF
Frekvencija [Hz]A
mpl
ituda
0 200 400 600-200
0
200
Frekvencija [Hz]
Faz
a [o
]
0 200 400 60010
-5
100
105
Prijenosna funkcija FRF
Frekvencija [Hz]
Am
plitu
da
0 200 400 600150
200
250
Frekvencija [Hz]
Faz
a [o
]
0 200 400 60010
-5
100
105
Prijenosna funkcija FRF
Frekvencija [Hz]
Am
plitu
da
0 200 400 600-500
0
500
Frekvencija [Hz]
Faz
a [o
]
Slika 62. Frekvencijski odziv (FRF) rešetkaste konstrukcije izlaz 7-9
0 200 400 60010
-5
100
105
Prijenosna funkcija FRF
Frekvencija [Hz]
Am
plitu
da
0 200 400 600-200
0
200
Frekvencija [Hz]
Faz
a [o
]
0 200 400 60010
-5
100
105
Prijenosna funkcija FRF
Frekvencija [Hz]
Am
plitu
da
0 200 400 600-100
0
100
Frekvencija [Hz]
Faz
a [o
]
0 200 400 60010
-5
100
105
Prijenosna funkcija FRF
Frekvencija [Hz]
Am
plitu
da
0 200 400 600-100
0
100
Frekvencija [Hz]
Faz
a [o
]
Slika 63. Frekvencijski odziv (FRF) rešetkaste konstrukcije izlaz 10-12
Doprinos metodama identifikacije mehaničkih sustava u vremenskom području
91
0 200 400 60010
-5
100
105
Prijenosna funkcija FRF
Frekvencija [Hz]A
mpl
ituda
0 200 400 600-100
0
100
Frekvencija [Hz]
Faz
a [o
]
0 200 400 60010
-5
100
105
Prijenosna funkcija FRF
Frekvencija [Hz]
Am
plitu
da
0 200 400 600-500
0
500
Frekvencija [Hz]
Faz
a [o
]
0 200 400 60010
-5
100
105
Prijenosna funkcija FRF
Frekvencija [Hz]
Am
plitu
da
0 200 400 6000
200
400
Frekvencija [Hz]
Faz
a [o
]
Slika 64. Frekvencijski odziv (FRF) rešetkaste konstrukcije izlaz 13-15
Vrhovi krivulje u dijagramima prijenosne funkcije kao i kod jednostavnih primjera na
slikama 31. i 36. nalaze se na vrijednostima vlastite frekvencije sustava. Iz dijagrama se vidi
kako se vrhovi FRF-a poklapaju s izračunatim vrijednostima.
Na slikama 65. do 72. usporeñuje se pulsni odziv dobiven inverznom Fourijerovom
transformacijom iz prijenosne funkcije (FRF-a) (crvena linija) i pulsni odziv dobiven pomoću
Markovljevih parametara (plave točkice). Zbog bolje predodžbe dijagrami ne prikazuju interval
cijelog pokusa (4 sekunde), već samo dio od 0 do 0.25 s. Kako bi usporedba bila kvalitetnija
vrijednosti obiju pulsnih odziva postavljena je u granicama (– 1, +1).
Doprinos metodama identifikacije mehaničkih sustava u vremenskom području
92
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25-1
-0.5
0
0.5
1Usporedba odziva: pulse(M.p.-plavo), IFFT (FRF-crveno); izlaz = 1
vrijeme [s]
Ubr
zanj
e
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25-1
-0.5
0
0.5
1Usporedba odziva: pulse(M.p.-plavo), IFFT (FRF-crveno); izlaz = 2
vrijeme [s]
Ubr
zanj
e
Slika 65. Usporedba pulsnih odziva dobivenih u vremenskom i frekventnom području (izlaz 1 i 2)
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25-1
-0.5
0
0.5
1Usporedba odziva: pulse(M.p.-plavo), IFFT (FRF-crveno); izlaz = 3
vrijeme [s]
Ubr
zanj
e
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25-1
-0.5
0
0.5
1Usporedba odziva: pulse(M.p.-plavo), IFFT (FRF-crveno); izlaz = 4
vrijeme [s]
Ubr
zanj
e
Slika 66. Usporedba pulsnih odziva dobivenih u vremenskom i frekventnom području (izlaz 3 i 4)
Doprinos metodama identifikacije mehaničkih sustava u vremenskom području
93
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25-1
-0.5
0
0.5
1Usporedba odziva: pulse(M.p.-plavo), IFFT (FRF-crveno); izlaz = 5
vrijeme [s]
Ubr
zanj
e
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25-1
-0.5
0
0.5
1Usporedba odziva: pulse(M.p.-plavo), IFFT (FRF-crveno); izlaz = 6
vrijeme [s]
Ubr
zanj
e
Slika 67. Usporedba pulsnih odziva dobivenih u vremenskom i frekventnom području (izlaz 5 i 6)
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25-1
-0.5
0
0.5
1Usporedba odziva: pulse(M.p.-plavo), IFFT (FRF-crveno); izlaz = 7
vrijeme [s]
Ubr
zanj
e
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25-1
-0.5
0
0.5
1Usporedba odziva: pulse(M.p.-plavo), IFFT (FRF-crveno); izlaz = 8
vrijeme [s]
Ubr
zanj
e
Slika 68. Usporedba pulsnih odziva dobivenih u vremenskom i frekventnom području (izlaz 7 i 8)
Doprinos metodama identifikacije mehaničkih sustava u vremenskom području
94
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25-1
-0.5
0
0.5
1Usporedba odziva: pulse(M.p.-plavo), IFFT (FRF-crveno); izlaz = 9
vrijeme [s]
Ubr
zanj
e
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25-1
-0.5
0
0.5
1Usporedba odziva: pulse(M.p.-plavo), IFFT (FRF-crveno); izlaz = 10
vrijeme [s]
Ubr
zanj
e
Slika 69. Usporedba pulsnih odziva dobivenih u vremenskom i frekventnom području (izlaz 9 i 10)
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25-1
-0.5
0
0.5
1Usporedba odziva: pulse(M.p.-plavo), IFFT (FRF-crveno); izlaz = 11
vrijeme [s]
Ubr
zan
je
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25-1
-0.5
0
0.5
1Usporedba odziva: pulse(M.p.-plavo), IFFT (FRF-crveno); izlaz = 12
vrijeme [s]
Ubr
zan
je
Slika 70. Usporedba pulsnih odziva dobivenih u vremenskom i frekventnom području (izlaz 11 i 12)
Doprinos metodama identifikacije mehaničkih sustava u vremenskom području
95
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25-1
-0.5
0
0.5
1Usporedba odziva: pulse(M.p.-plavo), IFFT (FRF-crveno); izlaz = 13
vrijeme [s]
Ubr
zanj
e
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25-1
-0.5
0
0.5
1Usporedba odziva: pulse(M.p.-plavo), IFFT (FRF-crveno); izlaz = 14
vrijeme [s]
Ubr
zanj
e
Slika 71. Usporedba pulsnih odziva dobivenih u vremenskom i frekventnom području (izlaz 13 i 14)
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25-1
-0.5
0
0.5
1Usporedba odziva: pulse(M.p.-plavo), IFFT (FRF-crveno); izlaz = 15
vrijeme [s]
Ubr
zanj
e
Slika 72. Usporedba pulsnih odziva dobivenih u vremenskom i frekventnom području (izlaz 15)
I u eksperimentu postoje odstupanja izmeñu dva pulsna odziva. Meñutim, na osnovu
analize prijašnjeg teoretskog pokusa i usporedbi (slike 32. i 33.) može se pretpostaviti kako je
Doprinos metodama identifikacije mehaničkih sustava u vremenskom području
96
relevantan pulsni odziv koji je izračunat u vremenskom području (ERA) (plavo), te da on daje
preciznije vrijednosti od onog izračunatog u frekventnoj domeni.
Fourierovom transformacijom pulsnog odziva dobivena je prijenosna funkcija (crno), koja
je na slijedećim dijagramima (slika 73. – 77.) usporeñena s prijenosnom funkcijom koja je
dobivena klasičnim postupkom (crveno) prema jednadžbi (172).
0 100 200 300 400 500 60010
-5
100
Frekvencija [Hz]
Am
plitu
da
Usporedba funkcija FRF-a: iz pulse (crno), klasicno racunanje (crveno); izlaz = 1
0 100 200 300 400 500 60010
-5
100
Frekvencija [Hz]
Am
plitu
da
Usporedba funkcija FRF-a: iz pulse (crno), klasicno racunanje (crveno); izlaz = 2
0 100 200 300 400 500 60010
-10
10-5
100
Frekvencija [Hz]
Am
plitu
da
Usporedba funkcija FRF-a: iz pulse (crno), klasicno racunanje (crveno); izlaz = 3
Slika 73. Usporedba prijenosne funkcije dobivene iz pulsa i klasičnim načinom (izlaz 1 do 3)
Doprinos metodama identifikacije mehaničkih sustava u vremenskom području
97
0 100 200 300 400 500 60010
-5
100
Frekvencija [Hz]
Am
plitu
da
Usporedba funkcija FRF-a: iz pulse (crno), klasicno racunanje (crveno); izlaz = 4
0 100 200 300 400 500 60010
-10
10-5
100
Frekvencija [Hz]
Am
plitu
da
Usporedba funkcija FRF-a: iz pulse (crno), klasicno racunanje (crveno); izlaz = 5
0 100 200 300 400 500 60010
-5
100
Frekvencija [Hz]
Am
plitu
da
Usporedba funkcija FRF-a: iz pulse (crno), klasicno racunanje (crveno); izlaz = 6
Slika 74. Usporedba prijenosne funkcije dobivene iz pulsa i klasičnim načinom (izlaz 4 do 5)
0 100 200 300 400 500 60010
-5
100
Frekvencija [Hz]
Am
plitu
da
Usporedba funkcija FRF-a: iz pulse (crno), klasicno racunanje (crveno); izlaz = 7
0 100 200 300 400 500 60010
-5
100
Frekvencija [Hz]
Am
plitu
da
Usporedba funkcija FRF-a: iz pulse (crno), klasicno racunanje (crveno); izlaz = 8
0 100 200 300 400 500 60010
-5
100
Frekvencija [Hz]
Am
plitu
da
Usporedba funkcija FRF-a: iz pulse (crno), klasicno racunanje (crveno); izlaz = 9
Slika 75. Usporedba prijenosne funkcije dobivene iz pulsa i klasičnim načinom (izlaz 7 do 9)
Doprinos metodama identifikacije mehaničkih sustava u vremenskom području
98
0 100 200 300 400 500 60010
-4
10-2
100
Frekvencija [Hz]
Am
plitu
da
Usporedba funkcija FRF-a: iz pulse (crno), klasicno racunanje (crveno); izlaz = 10
0 100 200 300 400 500 60010
-5
100
Frekvencija [Hz]
Am
plitu
da
Usporedba funkcija FRF-a: iz pulse (crno), klasicno racunanje (crveno); izlaz = 11
0 100 200 300 400 500 60010
-10
10-5
100
Frekvencija [Hz]
Am
plitu
da
Usporedba funkcija FRF-a: iz pulse (crno), klasicno racunanje (crveno); izlaz = 12
Slika 76. Usporedba prijenosne funkcije dobivene iz pulsa i klasičnim načinom (izlaz 10 do 12)
0 100 200 300 400 500 60010
-5
100
Frekvencija [Hz]
Am
plitu
da
Usporedba funkcija FRF-a: iz pulse (crno), klasicno racunanje (crveno); izlaz = 13
0 100 200 300 400 500 60010
-5
100
Frekvencija [Hz]
Am
plitu
da
Usporedba funkcija FRF-a: iz pulse (crno), klasicno racunanje (crveno); izlaz = 14
0 100 200 300 400 500 60010
-5
100
Frekvencija [Hz]
Am
plitu
da
Usporedba funkcija FRF-a: iz pulse (crno), klasicno racunanje (crveno); izlaz = 15
Slika 77. Usporedba prijenosne funkcije dobivene iz pulsa i klasičnim načinom (izlaz 13 do 15)
Doprinos metodama identifikacije mehaničkih sustava u vremenskom području
99
Slike od 73. do 77. prikazuju krivulje amplituda prijenosnih funkcija (FRF) u ovisnosti o
frekvenciji za svih 15 izlaza. Rezultati eksperimenta ne pokazuju tako dobra poklapanja vrhova
prijenosnih funkcija kao kod teoretskih primjera. Vrhovi krivulja definiraju vlastite frekvencije
sustava, stoga bi krivulje dobivene pomoću obiju metoda, trebale imati zajedničke vrhove.
Primjećuje se na svim izlazima veće odstupanje vrhova prijenosnih funkcija na manjim
frekvencijama (ispod 250 Hz). Najbolja preklapanja se vide izmeñu 300 Hz i 450 Hz, što znači da
je na tim frekvencijama najmanji utjecaj šuma. Stoga, kako bi se povećala točnost postupaka
identifikacije, poželjno je identificirati sustav u samo odreñenom uskom spektru frekvencija gdje
je manji utjecaj šuma, odnosno samo za odreñeno radno područje frekvencija kojima je
konstrukcija (strojni dio, sustav,…) podvrgnuta u stvarnosti.
Doprinos metodama identifikacije mehaničkih sustava u vremenskom području
100
7. Zaključak
Provedeno istraživanje potvrdilo je hipotezu kako je točnija identifikacija funkcije
impulsnog odziva IRF (impuls response function) u vremenskoj domeni (model update in time
domain) u odnosu na klasično računanje inverznom Fourierovom transformacijom FRF-a
(frequency response function). Postupci su usporeñeni s motrišta točnosti uz podjednak
matematički napor.
Ispitivanje je prvo izvedeno na pojednostavljenom vibracijskom modelu, sustavu s dva
stupnja slobode gibanja, a zatim primijenjeno na konkretni primjer. Provjera je izvršena
simulacijom matematičkog modela. Prilikom ispitivanja matematički model pobuñen je prvi puta
silom u obliku impulsa, a drugi puta sila je imala oblik slučajne varijable. Oba pokusa su
izvedena bez utjecaja šuma. Utjecaj šuma na postupak identifikacije je objašnjen zasebno, na
način da je matematički model umjetno zagañen bijelim šumom. Rezultati ispitivanja prikazani
su dijagramima na kojima se usporeñuju izlazne veličine u vremenskoj domeni i može se vidjeti
odlično preklapanje, pogotovo kod impulsne uzbude izlaznih parametara dobivenih simulacijom i
identifikacijom u vremenskom području.
Rezultati istraživanja jasno pokazuju prednosti identifikacije u vremenskom području:
- veća točnost i bolji opis matematičkim modelom;
- bolje razumijevanje vibracijskog ponašanja konstrukcije, te parametara koji utječu na
njena vibracijska svojstva;
- smanjenje vremena potrebnog za definiranje parametara konstrukcije.
Doprinos ovog istraživanja je primjena matematičkih alata kojima se:
- točnije definiraju parametri vibriranja konstrukcija;
- konstrukcija se promatra u željenom području vibracija.
Ovim istraživanjem je potvrñeno kako točnost identifikacije ovisi o pravilnom odabiru
matematičkih metoda.
Prikazani postupci identifikacije sustava lako su primjenjivi u inženjerskoj praksi.
Dobivanjem preciznijih matematičkih modela, koji bolje opisuju promatrani sustav, smanjuje se
potreba za ispitivanjima na samoj konstrukciji, što čini postupak puno bržim i jeftinijim.
Doprinos metodama identifikacije mehaničkih sustava u vremenskom području
101
8. Literatura
[1] M. E. Merchant, Basic mechanics of the metal cutting process, ASME Journal of Applied Mechanics 66 (1944) 168-175.
[2] Mian Wang, Dong Wang, Gangtie Zheng, Joint dynamic properties identification with partially measured frequency response function, Mechanical Systems and Signal Processing, Volume 27, February 2012, Pages 499-512.
[3] J. Sun, N. Vlahopoulos: An Improved Taguchi Method and its Application in Finite Element Model Updating of Bridges, Journal Key Engineering Materials, 456, 2010.
[4] H. B. Basaga, T. Turker, A. Bayraktar: A model updating approach based on design points for unknown structural parameters, Applied Mathematical Modelling, 35 (12), 2011, p. 5872-5883.
[5] S.R. Shiradhonkar, M. Shrikhande: Seismic damage detection in a building frame via finite element model updating, Computers & Structures, doi:10.1016/j.compstruc. 2011.06.006, 2011.
[6] G. H. Kim, Y. S. Park: An improved updating parameter selection method and finite element model update using multiobjective optimisation technique, Mechanical Systems and Signal Processing 18 (1), 2004, p. 59-78.
[7] Vikas Arora, S.P. Singh, T.K. Kundra, Damped model updating using complex updating parameters, Journal of Sound and Vibration, Volume 320, Issues 1-2, 6 February 2009, Pages 438-451.
[8] Raquel A.B. Almeida, António P.V. Urgueira, Nuno M.M. Maia, Further developments on the estimation of rigid body properties from experimental data, Mechanical Systems and Signal Processing, Volume 24, Issue 5, July 2010, Pages 1391-1408.
[9] Alessandro Fasana, Modal parameters estimation in the Z-domain, Mechanical Systems and Signal Processing, Volume 23, Issue 1, January 2009, Pages 217-225.
[10] X. Liu, N.A.J. Lieven, P.J. Escamilla-Ambrosio, Frequency response function shape-based methods for structural damage localisation, Mechanical Systems and Signal Processing, Volume 23, Issue 4, May 2009, Pages 1243-1259.
[11] Giuliano Coppotelli, On the estimate of the FRFs from operational data, Mechanical Systems and Signal Processing, Volume 23, Issue 2, February 2009, Pages 288-299.
[12] L.W. Dunne, J.F. Dunne, An FRF bounding method for randomly uncertain structures with or without coupling to an acoustic cavity, Journal of Sound and Vibration, Volume 322, Issues 1-2, 24 April 2009, Pages 98-134.
[13] A. Carrella, D.J. Ewins, Identifying and quantifying structural nonlinearities in engineering applications from measured frequency response functions, Mechanical Systems and Signal Processing, Volume 25, Issue 3, April 2011, Pages 1011-1027.
[14] H. Kashani, A.S. Nobari, Identification of dynamic characteristics of nonlinear joint based on the optimum equivalent linear frequency response function, Journal of Sound and Vibration, Volume 329, Issue 9, 26 April 2010, Pages 1460-1479.
Doprinos metodama identifikacije mehaničkih sustava u vremenskom području
102
[15] Sau-Lon James Hu, Xingxian Bao, Huajun Li, Model order determination and noise removal for modal parameter estimation, Mechanical Systems and Signal Processing, Volume 24, Issue 6, August 2010, Pages 1605-1620.
[16] Perić, Petrović, Identifikacija procesa, Predavanja, Zagreb 2005.
[17] Lozina, Željan, Vibracije s dva stupnja slobode, FESB Split, 2007.
[18] Rao V. Dukkipati, Solving Engineering System Dynamics Problems with MATLAB, New Age International publishers, New Delhi 2007.
[19] Den Hartog J.P., Mechanical Vibrations, Courier Dover Publication, 1985.
[20] Stegić M., Teorija vibracija linearnih diskretnih mehaničkih sustava, Udžbenik Sveučilišta u Zagrebu, 1996.
[21] Lozina, Željan: Analiza numeričkih metoda za modalnu analizu prolaznih vibracija. // Strojarstvo : časopis za teoriju i praksu u strojarstvu. 29 (1987) , 3/4; 155-165
[22] D.J. Ewins, Modal testing: Theory, Practice and Application, Second ed., Research Studies Press, Baldock UK, 2000.
[23] Bor-Tsuen Wang, Deng-Kai Cheng: Modal analysis by free vibration response only for discrete and continuous systems Original Research Article Journal of Sound and Vibration, Volume 330, Issue 16, 1 August 2011, Pages 3913-3929
[24] L. Ljung: System Identification Theory for the User, Prentice Hall PTR, 2006.
[25] Juang, J.-N., Applied System Identification, Prentice Hall, 1994.
[26] Juang, J.-N., Lucas G. Horta, and Minh Phan: System Observer Controller Identification Toolbox, NASA Technical Memorandum 107566, 1992.
[27] T. Söderström, P. Stoica, System Identification, Prentice-Hall International, Cambridge, 1989.
[28] H. Unbehauen, Identification Of Continuous Systems, North-Holland, Amsterdam,1987.
[29] B. Schwarz, M. Richardson: FEA Model Updating Using SDM, Proceedings of XXV International Modal Analysis Conference, Orlando, US, 2007.
[30] Per Sjövall, Thomas Abrahamsson: Component system identification and state-space model synthesis Original Research Article Mechanical Systems and Signal Processing, Volume 21, Issue 7, October 2007, Pages 2697-2714
[31] Jae-seung Hwang, Ahsan Kareem, Wha-jung Kim: Estimation of modal loads using structural response Original Research Article Journal of Sound and Vibration, Volume 326, Issues 3–5, 9 October 2009, Pages 522-539
[32] S.Q. Wu, S.S. Law: Moving force identification based on stochastic finite element model Original Research Article Engineering Structures, Volume 32, Issue 4, April 2010, Pages 1016-1027
[33] P.W. Tse, S. Gontarz, X.J. Wang: Enhanced eigenvector algorithm for recovering multiple sources of vibration signals in machine fault diagnosis Original Research Article Mechanical Systems and Signal Processing, Volume 21, Issue 7, October 2007, Pages 2794-2813
Doprinos metodama identifikacije mehaničkih sustava u vremenskom području
103
[34] B. Jaish, W.X. Ren: Finite element model updating based on eigenvalue and strain energy residuals using multiobjective optimization techniques, Mechanical Systems and Signal Processing 21 (5), 2007, p. 2295-2317.
[35] D. Sedlar, Ž. Lozina, D. Vucina: Comparison of Genetic and Bees Algorithm in the Finite Element Model Update, Transactions of FAMENA, 35(1), 2011, p.1-11.
[36] M.I. Friswell, J.E. Mottershead: Finite Element Model Updating in Structural Dynamics, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 1995.
[37] H.A. Nasrellah, C.S. Manohar: Finite element method based Monte Carlo filters for structural system identification Original Research Article Probabilistic Engineering Mechanics, Volume 26, Issue 2, April 2011, Pages 294-307
[38] Lozina, Željan: A comparison of harmonic acceleration method with the other commonly used methods for calculation of dynamic transient response. // Computers & structures. 29 (1988) , 2; 227-240
[39] Sedlar, Damir; Lozina, Željan; Tomac, Ivan.: Numerical simulation of frequency response functions // I International Interdisciplinary Technical Conference of Young Scientists, InterTech 2008 / Rydlichowski P., Kliks A., Sroka P. (ur.). Poznan : Uczelniany Samorzad Doktorantow Politechniki Poznanskiej, 2008. 252-255
[40] Čučić, Vladislav; Sedlar, Damir; Lozina, Željan. Identification of mechanical system for non-destructive testing // International Conference on Non-Destructive Testing MATEST 2011.
[41] Lozina, Željan; Vučina, Damir; Sedlar, Damir; Tomac, Ivan; Karišik, Edin; Čučić, Vladislav: Experimental Vibration Testing and Nondestructive Testing // International Conference on Non-Destructive Testing MATEST 2011
[42] Sedlar, Damir; Lozina, Željan; Tomac, Ivan: Impact test and modal analysis // 7th Youth Symposium on Experimental Solid Mechanics. Wojcieszyce, 2008.
[43] L.F. Ramos, G. De Roeck, P.B. Lourenço, A. Campos-Costa: Damage identification on arched masonry structures using ambient and random impact vibrations Original Research Article Engineering Structures, Volume 32, Issue 1, January 2010, Pages 146-162
[44] M. Corus: Force identification using a statically completed reduced model deriving from tests Original Research Article Journal of Sound and Vibration, Volume 329, Issue 20, 27 September 2010, Pages 4149-4165
[45] Waite, T. and A. Kelkar, “System Identification Using Enhanced SOCIT Algorithms, Advances in Control and Optimization of Dynamical Systems (ACODS),” IISc, Bangalore, India, February 1–2, 2007.
[46] Zhi-cheng Qiu, Jian-da Han, Xian-min Zhang, Yue-chao Wang, Zhen-wei Wu: Active vibration control of a flexible beam using a non-collocated acceleration sensor and piezoelectric patch actuator Original Research Article Journal of Sound and Vibration, Volume 326, Issues 3–5, 9 October 2009, Pages 438-455
[47] Chiu Jen Ku, Jack Edward Cermak, Li-Shu Chou: Random decrement based method for modal parameter identification of a dynamic system using acceleration responses Original Research Article Journal of Wind Engineering and Industrial Aerodynamics, Volume 95, Issue 6, June 2007, Pages 389-410
Doprinos metodama identifikacije mehaničkih sustava u vremenskom području
104
[48] Dan Dubina: Structural analysis and design assisted by testing of cold-formed steel structures Original Research Article Thin-Walled Structures, Volume 46, Issues 7–9, July–September 2008, Pages 741-764
[49] Zhi-cheng Qiu, Hong-xin Wu, Chun-de Ye: Acceleration sensors based modal identification and active vibration control of flexible smart cantilever plate Original Research Article Aerospace Science and Technology, Volume 13, Issue 6, September 2009, Pages 277-290
[50] Wenlung Li: Evaluation of the damping ratio for a base-excited system by the modulations of responses Journal of Sound and Vibration, Volume 279, Issues 3–5, 21 January 2005, Pages 1181-1194
Doprinos metodama identifikacije mehaničkih sustava u vremenskom području
105
Kratki životopis
Vladislav Čučić je roñen 3.02.1963. godine u Zadru gdje je završio osnovnu i srednju
školu. Diplomirao je 1990. godine na Fakultetu elektrotehnike, strojarstva i brodogradnje u Splitu
program studija strojarstva.
Od 1991. godine radi u srednjoj školi u Dubrovniku kao nastavnik gdje je, prema potrebi,
predavao predmete Fizika, Automatizacija, Informatika i strojarske grupe predmeta. Uz
nastavnički i razrednički rad sudjelovao je 2000. godine u uvoñenju Sustava kvalitete ISO 9001
u Pomorsko-tehničkoj školi Dubrovnik i od tada do 2011. godine obavljao poslove upravitelja
kvalitete.
Autor (ili koautor) je nekoliko znanstvenih radova iz područja dinamike, odnosno identifikacije sustava.
Short Biography
Vladislav Cucic was born 03/02/1963 in Zadar, where he finished elementary and high
school. He graduated Mechanical Engineering degree program in 1990 at the Faculty of
Electrical Engineering, Mechanical Engineering and Naval Architecture in Split.
Since 1991 he worked as a high school teacher in Dubrovnik where he, if necessary,
taught physics, automation, IT and engineering subjects. In addition to teaching in 2000 he
participated in the introduction of ISO 9001 in the Naval Technical School, Dubrovnik and from
then until 2011 performed the tasks as Quality Manager.
As author and co-author he published several papers on the dynamics and system
identification.