Doppi bipoli

www.die.ing.unibo.it/pers/mastri/didattica.htm(versione del 21-11-2012)

2

Doppi bipoli (o 2-porte)

● Doppi bipoli: componenti con due copie di terminali (porte) tali che, per ciascuna coppia, la corrente entrante in uno dei terminali è uguale a quella uscente dall’altro

● Doppio bipolo intrinseco: il vincolo tra le correnti dei terminali di ciascuna porta è

determinato dalla struttura interna del componente

● Doppio bipolo non intrinseco: il vincolo tra le correnti è dovuto al modo in cui il componente

viene collegato

34

12

ii

ii

3

Rappresentazioni di un tripolo come doppio bipolo

● Un tripolo può essere considerato come un doppio bipolo con i terminali negativi delle porte collegati tra loro

● Le tensioni e le correnti utilizzate per caratterizzare il compo-nente e le espressioni delle equazioni caratteristiche dipendonodalla scelta del terminale comune

4

Doppi bipoli resistivi

● Le equazioni di un doppio bipolo resistivo sono del tipo

f1, f2 funzioni generiche

● Se il tempo non compare esplicitamente come argomento di f1 ef2 il componente è detto tempo-invariante

0),(),(),(),(f

0),(),(),(),(f

21212

21211

ttititvtv

ttititvtv

5

Doppi bipoli resistivi lineari tempo-invarianti

● Per un doppio bipolo resistivo lineare e tempo-invariantele equazioni, nel caso generale, sono del tipo

aij, bij (i, j 1, 2) rappresentano delle costanti reali

● Queste equazioni possono essere espresse nella forma

dove

● Quando è possibile esplicitare due delle variabili in funzioni delle rimanenti si possono avere altre forme particolari delle equazioni

0

0

222121222121

212111212111

ibibvava

ibibvava

2221

1211

2221

1211

2

1

2

1

bb

bb

aa

aa

i

i

v

vBAiv

0BiAv

6

Rappresentazioni di un doppio bipolo

v2, i2v1, i1Trasmissione inversa

v1, i1v2, i2Trasmissione (diretta)

i1, v2v1, i2Ibrida inversa

v1, i2i1, v2Ibrida (diretta)

i1, i2v1, v2Comandata in tensione

v1, v2i1, i2Comandata in corrente

Variabilidipendenti

VariabiliindipendentiRappresentazione

7

Matrice di resistenza

● Per un doppio bipolo comandato in corrente le equazioni possono essere poste nella forma

cioè

dove

● R = matrice di resistenza● Per comprendere il significato dei parametri, si considerano le

condizioni di funzionamento in cui una delle variabili indipendenti viene azzerata (mentre l’altra assume un valore arbitrario 0)

2221212

2121111

irirv

irirv

2221

1211

2

1

2

1

rr

rr

i

i

v

vRiv

Riv

8

Significato dei parametri di resistenza

r11 resistenza di ingresso a vuoto alla porta 1

r21 resistenza di trasferimento a vuoto dalla porta 1 alla porta 2

r22 resistenza di ingresso a vuoto alla porta 2

r12 resistenza di trasferimento a vuoto dalla porta 2 alla porta 1

01

111

2

i

i

vr

01

221

2

i

i

vr

02

112

1

i

i

vr

02

222

1

i

i

vr

9

Esempio – Resistori collegati a T

CBC

CCA

RRR

RRRR

1C2

1CA1

iRv

iRRv

2CB2

2C1

iRRv

iRv

10

Esempio – Resistori collegati a Π

BCBCABAC

AC12

BCABAC

BCABAC11

RRRR

Riv

RRR

RRRiv

BCACAB

BCACBCAB

BCACAB

BCAC

BCACAB

BCAC

BCACAB

BCACACAB

RRR

RRRR

RRR

RRRRR

RR

RRR

RRRR

R

ACBCABAC

BC21

ABACBC

ACABBC22

RRRR

Riv

RRR

RRRiv

11

Esempio – Equivalenza T – Π (stella-triangolo)

● Un doppio bipolo a T e un doppio bipolo a Π sono equivalenti se le loro matrici di resistenza RT e R sono uguali

● Confrontando le matrici si riconosce che devono essere verificate le relazioni

che corrispondono alle formule di trasformazione triangolo-stella

CBC

CCAT RRR

RRRR

BCACAB

BCACBCAB

BCACAB

BCAC

BCACAB

BCAC

BCACAB

BCACACAB

RRR

RRRR

RRR

RRRRR

RR

RRR

RRRR

R

BCACAB

BCACC

BCACAB

BCABB

BCACAB

ACABA RRR

RRR

RRR

RRR

RRR

RRR

12

Matrice di conduttanza

● Per un doppio bipolo comandato in tensione le equazioni possono essere poste nella forma

cioè

dove

● G = matrice di conduttanza

2221212

2121111

vgvgi

vgvgi

2221

1211

2

1

2

1

gg

gg

i

i

v

vGiv

Gvi

13

Significato dei parametri di conduttanza

g11 conduttanza di ingresso in cortocircuito alla porta 1

g21 conduttanza di trasferimento in cortocircuito dalla porta 1 alla porta 2

g22 conduttanza di ingresso in cortocircuito alla porta 2

g12 conduttanza di trasferimento in cortocircuito dalla porta 2 alla porta 1

01

111

2

v

v

ig

01

221

2

v

v

ig

02

112

1

v

v

ig

02

222

1

v

v

ig

14

Esempio – Resistori collegati a Π

BCABAB

ABACAB

GGG

GGGG

AB12

ACAB11

Gvi

GGvi

BCAB22

AB21

GGvi

Gvi

BCAB22

AB21

GGvi

Gvi

15

Esempio – Resistori collegati a T

CBA

CBBA

CBA

BA

CBA

BA

CBA

CABA

GGG

GGGG

GGG

GGGGG

GG

GGG

GGGG

G

CB

B

CBA

CBA12

CBA

CBA11

GG

G

GGG

GGGvi

GGG

GGGvi

CA

A

CAB

CAB21

CAB

CAB22

GG

G

GGG

GGGvi

GGG

GGGvi

16

Matrici ibride

● Se è possibile esprimere v1 e i2 in funzione di i1 e v2 si ha

● H matrice ibrida (diretta)

● Se è possibile esprimere i1 e v2 in funzione di v1 e i2 si ha

● H matrice ibrida inversa

● I coefficienti delle matrici ibride non hanno dimensioni omogenee

2221212

2121111

vhihi

vhihv

2221212

2121111

ihvhv

ihvhi

2

1

2

1

v

i

i

vH

2

1

2

1

i

v

v

iH

2221

1211

hh

hhH

2221

1211

hh

hhH

17

Significato dei coefficienti di H

h11 resistenza di ingresso in cortocircuito alla porta 1

h21 guadagno di corrente in cortocircuito dalla porta 1 alla porta 2

h22 conduttanza di ingresso a vuoto alla porta 2

h12 guadagno di tensione a vuoto dalla porta 2 alla porta 1

01

111

2

v

i

vh

01

221

2

v

i

ih

02

112

1

i

v

vh

02

222

1

i

v

ih

18

Significato dei coefficienti di H

01

111

2

i

v

ih

01

221

2

i

v

vh

02

112

1

v

i

ih

02

222

1

v

i

vh

1 porta alla vuoto a ingresso di aconduttanz11h

2 porta alla 1 porta dalla vuoto a tensione di guadagno21h

2 porta alla itocortocircu in ingresso di resistenza22h

1 porta alla 2 porta dalla itocortocircu in corrente di guadagno12h

19

Matrice di trasmissione (matrice catena)

● Si esprimono la tensione e la corrente alla porta 1 in funzione della tensione e della corrente alla porta 2

● Per motivi pratici, conviene considerare come variabile indipendente i2invece di i2

● T matrice di trasmissione (matrice catena)

● Significato dei coefficienti

● Non è possibile utilizzare queste relazioni per determinare i coefficienti (occorrerebbe fissare sia la tensione che la corrente della porta 2)

221

221

DiCvi

BiAvv

2

2

1

1

i

v

i

vT

DC

BAT

02

1

02

1

02

1

02

1

2222

vivi

i

iD

v

iC

i

vB

v

vA

20

Determinazione dei coefficienti di T

01

2

2

1

i

v

v

A01

2

2

1

vv

i

B

01

2

2

1

i

i

v

C01

2

2

1

vi

i

D

21

Matrice di trasmissione inversa

● Si esprimono la tensione e la corrente alla porta 2 in funzione della tensione e della corrente alla porta 1

● Per motivi pratici, conviene considerare come variabile indipendente i1invece di i1

● T matrice di trasmissione inversa

● Significato dei coefficienti

112

112

iDvCi

iBvAv

1

1

2

2

i

v

i

vT

DC

BAT

01

2

01

2

01

2

01

2

1111

vivi

i

iD

v

iC

i

vB

v

vA

22

Relazioni tra le rappresentazioni

● Confrontando le varie espressioni delle equazioni di un doppio bipolo si riconosce che (quando il doppio bipolo ammette tutte le rappresentazioni considerate)

la matrice G è l’inversa della matrice R

la matrice H è l’inversa della matrice H

La matrice T è l’inversa della matrice T con i coefficienti della diagonale secondaria cambiati di segno a causa delle scelte diverse per i versi di riferimento delle correnti

● Le altre relazioni tra le varie rappresentazioni si possono ottenere utilizzando le definizioni dei coefficienti delle matrici

23

Esempio - Passaggio da parametri r a parametri h

● Calcolo degli elementi della prima colonna di H

2221212

2121111

irirv

irirv

2221212

2121111

vhihi

vhihv

01

221

01

111

22

vv

i

ih

i

vh

222121

2121111

0 irir

irirv

122

122

2112111

122

212

)det(i

ri

r

rrrv

ir

ri

R

02 v

22

2121

2211

)det(

r

rh

rh

R

(si pone v2 0)

24

Esempio - Passaggio da parametri r a parametri h

● Calcolo degli elementi della seconda colonna di H

2222

2121

irv

irv

02

222

02

112

11

ii

v

ih

v

vh

01 i 2

22

121

222

2

1

vr

rv

vr

i

22

2222

1212

1

rh

r

rh

2221212

2121111

irirv

irirv

2221212

2121111

vhihi

vhihv

(si pone i1 0)

25

Relazioni tra le rappresentazioni

DC

BAAC

BD

hh

hh

h

h

hh

hh

h

h

g

g

g

gg

g

r

r

r

rr

r

AC

BD

DC

BA

hh

hh

h

h

hh

hh

h

h

g

g

g

gg

g

r

r

r

rr

rD

A

D

DD

C

A

B

A

AA

C

hh

hhhh

hh

gg

gg

g

g

rr

rr

r

r

A

C

A

AA

B

D

C

D

DD

B

hh

hh

hh

hh

gg

gg

g

g

rr

rr

r

r

B

D

B

BB

A

B

A

B

BB

D

hh

hh

h

h

hh

hh

h

hgg

ggrr

rr

C

A

C

CC

D

C

D

C

CC

A

hh

hh

h

h

hh

hh

h

hgg

gg

rr

rr

TT

TT

H

HG

R

T

TT

TTH

H

G

R

T

T

T

HH

HH

G

RH

T

T

HH

HHG

R

H

T

TH

H

RR

RRG

T

T

H

H

GG

GGR

TTHHGR

1212

11

12

22

12

1212

22

12

11

12

12

11

12

1212

11

12

11

12

1221

22

2121

11

21

22

21

2121

22

21

11

21

21

11

21

2121

22

21

22

21

2121

11

2221

1211

1121

1222

2222

21

22

12

22

1111

21

11

12

11

1121

1222

2221

1211

1111

21

11

12

11

2222

21

22

12

22

2222

21

22

12

22

1111

21

11

12

11

2221

1211

1121

1222

1111

21

11

12

11

2222

21

22

12

22

1121

1222

2221

1211

1

11

1

1

1

1

1

1

11

1

1

1

1

1

1

11

1

1

1

1

1

Ogni riga riporta le espressioni dei coefficienti di una matrice in funzione dei coefficienti delle matrici indicate nelle intestazioni delle colonne

)det(MΜ

26

Esempio – doppi bipoli che non ammettono la matrice R o la matrice G

● Non è possibile imporre valori arbitrari ad entrambe le tensioni (cioèutilizzarle come variabili indipendenti) la matrice G non è definita

● Non è possibile utilizzare le correnti come variabili indipendenti la matrice R non è definita

)( 2121 iiRvv

2

1

2

1

i

i

RR

RR

v

v

RR

RRR

)( 2121 vvGii

2

1

2

1

v

v

GG

GG

i

i

GG

GGG

27

Reciprocità

● Ipotesi:

● Definizione:si dice che il doppio bipolo è reciproco se

● Per interpretare il significato di questa relazione e ricavare le condizioni che devono soddisfare i parametri delle matrici del doppio bipolo si fa riferimento alle situazioni in cui una sola delle variabili indipendenti è diversa da zero

2121

2121

,,,

,,,

iivv

iivv

22112211 iviviviv

insiemi arbitrari di tensioni e correnti che soddisfano le equazioni del doppio bipolo

28

Reciprocità - parametri r

Condizione 1 Condizione 2

0I 21 ii I0 21 ii

I212221212 ririrv I122121111 ririrv

2112 rr

22112211 iviviviv 0II0 2121 vvvv12 vv

Condizione di reciprocità

29

Reciprocità - parametri g

0V 21 vv V0 21 vv

V212221212 gvgvgi V122121111 gvgvgi

2112 gg

Condizione 1 Condizione 2

22112211 iviviviv 12 ii 2121 V00V iiii Condizione di reciprocità

30

Reciprocità - parametri h

Condizione 1 Condizione 2

0I 21 vi V0 21 vi

I212221212 hvhihi V122121111 hvhihv

2112 hh

22112211 iviviviv VI

12 vi

2121 VI00 iviv

Condizione di reciprocità

31

Reciprocità - parametri h, T e T

● Parametri h: procedendo in modo simile al caso precedente si ottiene la

condizione

● Parametri di trasmissione:

si può dimostrare che per un doppio bipolo reciproco valgono le condizioni

2112 hh

1)det(

1)det(

T

T

32

Doppi bipoli reciproci

● Per un doppio bipolo reciproco valgono le seguenti proprietà:

Applicando una corrente I ad una qualunque delle porte all’altra porta si ottiene la stessa tensione a vuoto

Applicando una tensione V ad una qualunque delle porte all’altra porta si ottiene la stessa corrente di cortocircuito

Il guadagno di corrente in cortocircuito in una direzione èuguale al guadagno di tensione a vuoto nella direzione opposta cambiato di segno

33

Simmetria

● Si dice che un doppio bipolo è simmetrico se, per ogni insieme di tensioni e di correnti alle porte che soddisfano le sue equazioni caratteristiche, anche l’insieme ottenuto scambiando la porta 1 con la porta 2 soddisfa le equazioni caratteristiche

● Si può dimostrare che le matrici di un due porte simmetrico soddisfano le seguenti proprietà

matrice R: r11 r22 r12 r21

matrice G: g11 g22 g12 g21

matrice H: h12 h21 det(H) 1 matrice H: h12 h21 det (H) 1 matrice T: A D det(T) 1 matrice T: A’ D’ det(T) 1

La simmetria implica anche la reciprocità

34

Trasformatore ideale

● Le equazioni del trasformatore ideale possono essere espresse intermini di matrice ibrida o di matrice di trasmissione (dirette o inverse)

● Per il trasformatore ideale non è possibile definire le matrici R e G

● Vale la relazione h12 h21 K Il trasformatore ideale è un componente reciproco

(ma non simmetrico, se K ≠ 1 )

21

21

1i

Ki

Kvv

12

21

Kii

Kvv

Parametri di trasmissione

Parametriibridi

K rapporto di trasformazione o rapporto spire

35

Generatori dipendenti

2

1

2

1

0

00

i

i

rv

v

12

1 0

riv

v

12

1 0

gvi

i

2

1

2

1

0

00

v

v

gi

i

rrrrr 21221211 0

ggggg 21221211 0

Generatore di tensionecontrollato in corrente

Generatore di correntecontrollato in tensione

Caso particolare di rappresentazionein termini di parametri di resistenza

Caso particolare di rappresentazionein termini di parametri di conduttanza

36

Generatori dipendenti

12

1 0

ii

v

12

1 0

vv

i

2

1

2

1

0

00

v

i

i

v

2

1

2

1

0

00

i

v

v

i

21221211 0 hhhh

21221211 0 hhhh

Generatore di tensionecontrollato in tensione

Generatore di correntecontrollato in corrente

Caso particolare di rappresentazionein termini di parametri ibridi (diretti)

Caso particolare di rappresentazionein termini di parametri ibridi (inversi)

37

Generatori dipendenti

● I quattro tipi di generatori dipendenti corrispondono a matrici R, G, H e H’ con il solo elemento 21 diverso da zero

I generatori dipendenti sono componenti non reciproci

● Ciascun tipo di generatore ammette una sola tra le matrici R, G, H e H’

● Si può verificare che l’unica altra matrice definita in tutti e quattro i casi è la matrice T

● I doppi bipoli (e più in generale i componenti N-porte) lineari resistivi possono essere rappresentati mediante circuiti equivalenti formati da generatori dipendenti e resistori

In questo modo è possibile estendere i metodi di analisi studiati in Elettrotecnica ai circuiti che contengono doppi bipoli (e N-porte)

38

Circuiti equivalenti di doppi bipoli lineari

2221212

2121111

irirv

irirv

2221212

2121111

vgvgi

vgvgi

Matrice di resistenza

Matrice di conduttanza

39

Circuiti equivalenti di doppi bipoli lineari

Matrice H

2221212

2121111

vhihi

vhihv

Matrice H

2221212

2121111

ihvhv

ihvhi

40

Circuiti equivalenti di doppi bipoli lineari

Circuiti equivalenti a T

2221122

2121111

irirv

irirv

Doppio bipolo reciproco

2221212

2121111

irirv

irirv

Doppio bipolo non reciproco

41

Circuiti equivalenti di doppi bipoli lineari

Circuiti equivalenti a Π

2221122

2121111

vgvgi

vgvgi

Doppio bipolo reciproco

2221212

2121111

vgvgi

vgvgi

Doppio bipolo non reciproco

42

Teoremi di rappresentazione dei doppi bipoli

Rappresentazione comandata in corrente● Ipotesi: Q doppio bipolo formato da componenti resistivi lineari e

generatori indipendenti Q è comandato in corrente

Circuito equivalente: vG1, vG2 tensioni a vuoto alle porte di Q

(v1 e v2 per i1 i2 0) R matrice di resistenza del doppio bipolo ottenuto da Q

azzerando i generatori indipendenti

43

Teoremi di rappresentazione dei doppi bipoli

Rappresentazione comandata in tensione● Ipotesi: Q doppio bipolo formato da componenti resistivi lineari e

generatori indipendenti Q è comandato in tensione

Circuito equivalente: iG1, iG2 correnti di cortocircuito alle porte di Q

(i1 e i2 per v1 v2 0) G matrice di conduttanza del doppio bipolo ottenuto da Q

azzerando i generatori indipendenti

44

Teoremi di rappresentazione dei doppi bipoli

Rappresentazione ibrida (diretta)● Ipotesi: Q doppio bipolo formato da componenti resistivi lineari e

generatori indipendenti Q ammette la rappresentazione ibrida (diretta)

Circuito equivalente: vG1 v1 per i1 0, v2 0 iG2 i2 per i1 0, v2 0 H matrice ibrida (diretta) del doppio bipolo ottenuto da Q

azzerando i generatori indipendenti

45

Collegamenti di bipoli e doppi bipoli

● Di seguito si prenderanno in esame alcuni casi in cui un doppio bipoloè ottenuto collegando due doppi bipoli oppure collegando un doppio bipolo con uno più bipoli

● In tutti i casi si sottintende che siano soddisfatte le seguenti ipotesi (che nei casi pratici dovranno sottoposte a verifica)

I collegamenti considerati sono leciti (cioè non dànno origine a circuiti impossibili o indeterminati)

Le matrici utilizzate per rappresentare i doppi bipoli sono definite

Nel caso di doppi bipoli non intrinseci, i componenti, collegati nei modi considerati, si comportano effettivamente come doppi bipoli

46

Resistori in serie alle porte

● In questo caso conviene utilizzare i parametri di resistenza

Le resistenze in serie alle porte si sommano alle resistenze di ingresso

22221212222

21211111111

irRirviRv

irirRviRv

22221

12111

Rrr

rRrR

2221

1211

rr

rrR

47

Resistori in parallelo alle porte

● In questo caso conviene utilizzare i parametri di conduttanza

Le conduttanze dei resistori in parallelo alle porte si sommano alle conduttanze di ingresso

22221212222

21211111111

vgGvgivGi

vgvgGivGi

22221

12111

Ggg

gGgG

2221

1211

gg

ggG

48

Doppi bipoli in serie

● LKI:

● LKV:

● Componenti:

● La matrice R del doppio bipolo risultante è data dalla somma delle matrici di resistenza dei due doppi bipoli

baba

ba

iii

iiiiii

222

111

baba

ba

vvv

vvvvvv

222

111

bbb

aaa

iRv

iRv

RiviRRv )( ba ba RRR

49

Resistore in serie al terminale comune di un tripolo

● Questo collegamento può essere visto come un caso particolare dicollegamento in serie di doppi bipoli

R si somma a tutti gli elementi della matrice Ra

2221

1211a rr

rrR

RR

RRbR

RrRr

RrRra

2221

1211bRRR

50

Doppi bipoli in parallelo

● LKV:

● LKI:

● Componenti:

La matrice G del doppio bipolo risultante è data dalla somma delle matrici di conduttanza dei due doppi bipoli

baba

ba

iii

iiiiii

222

111

baba

ba

vvv

vvvvvv

222

111

bbb

aaa

vGi

vGi

GvivGGi )( ba ba GGG

51

Resistore collegato tra le due porte

● Questo può essere visto come un caso particolare di collegamento in parallelo di doppi bipoli

G si somma agli elementi della diagonale principale e si sottrae dagli elementi della diagonale secondaria della matrice Ga

2221

1211a gg

ggG

GG

GGbG

GgGg

GgGg

2221

1211ba GGG

52

Collegamento serie-parallelo

● LKV:

● LKI:

● Componenti:

La matrice H del doppio bipolo risultante è data dalla somma delle matrici ibride dei due doppi bipoli

ba

ba

iii

iii

222

111

ba

ba

vvv

vvv

222

111

ba HHH

b

bb

b

b

a

aa

a

a

v

i

i

v

v

i

i

v

2

1

2

1

2

1

2

1 HH

2

1

2

1

2

1

v

i

v

i

i

vba HHH

53

Collegamento parallelo-serie

● LKV:

● LKI:

● Componenti:

La matrice H del doppio bipolo risultante è data dalla somma delle matrici ibride inverse dei due doppi bipoli

ba

ba

iii

iii

222

111

ba

ba

vvv

vvv

222

111

ba HHH

b

bb

b

b

a

aa

a

a

i

v

v

i

i

v

v

i

2

1

2

1

2

1

2

1 HH

2

1

2

1

2

1

i

v

i

v

v

iba HHH

54

Doppi bipoli in cascata

● In questo caso conviene utilizzare le matrici di trasmissione

● Le tensioni e le correnti alla porta comune coincidono

La matrice T del doppio bipolo risultante è data dal prodotto delle matrici di trasmissione dei due doppi bipoli

abab iivv 2121

2

2

1

1

2

2

1

1

i

v

i

v

i

v

i

vb

b

b

a

aa TT

2

2

1

1

i

v

i

vba TT ba TTT

55

Doppi bipoli terminati

● Nelle applicazioni pratiche si incontra spesso il caso in cui le porte di un doppio bipolo sono collegate a due bipoli come mostrato nella figura

● Il primo bipolo costituisce la sorgente del segnale in ingresso al doppio bipolo e può rappresentare il circuito equivalente di Thévenin o Norton degli stati precedenti

● Il secondo bipolo costituisce il carico e può rappresentare l’impedenza equivalente degli stati successivi

Sorgente CaricoDoppiobipolo

56

Indici degli elementi delle matrici del doppio bipolo

● Quando un doppio bipolo è utilizzato in modo che è possibile attribuire alle due porte i ruoli di ingresso e di uscita, gli indici degli elementi delle matrici del doppio bipolo vengono indicati anche nel modo seguente

11 i (input) il parametro esprime la relazione tra la tensione e la corrente alla porta di ingresso

21 f (forward) il parametro indica come ciò che avviene alla porta di ingresso influenza l’uscita

12 r (reverse) il parametro indica come ciò che avviene alla porta di uscita influenza l’ingresso

22 o (output) il parametro esprime la relazione tra la tensione e la corrente alla porta di uscita

o

ri

o

ri

o

ri

hh

hh

gg

gg

rr

rr

fff

HGR

57

Doppi bipoli unilaterali

● Un doppio bipolo per cui il parametro r è nullo è detto unilaterale

Un doppio bipolo unilaterale è un componente non reciproco

● In queste condizioni si può avere propagazione del segnale solo dalla porta 1 alla porta 2

Eventuali disturbi sovrapposti a v2 o i2 nel caso di un doppio bipolo bilaterale vengono trasferiti alla porta 1

Nel caso di doppio bipolo unilaterale questi disturbi non possono modificare v1 e i1

Per un doppio bipolo bilaterale v1 e i1 variano al variare del carico Per un doppio bipolo unilaterale v1 e i1 sono indipendenti dal carico

● Il fatto che un doppio bipolo sia unilaterale spesso rappresenta una situazione vantaggiosa (più semplice da gestire)

● In pratica, di solito non possibile fare in modo che il parametro r sia esattamente zero, ma solo che sia molto piccolo rispetto al parametro f

58

Funzioni di rete

● La sorgente viene rappresentata mediante un circuito equivalente di tipo Thévenin o Norton

● Il carico viene rappresentato mediante una resistenza equivalente

59

Funzioni di rete

● Equazioni della sorgente

● Equazioni del doppio bipolo

● Equazioni del carico

● Scelta la rappresentazione del doppio bipolo, le equazioni consentono di ricavare le tensioni e le correnti alle porte

● Inoltre è possibile determinare delle funzioni di rete che esprimono le relazioni tra le tensione e le correnti alle porte

● In seguito, come esempio, si farà uso della matrice ibrida, ma il proce-dimento può essere esteso facilmente alle altre rappresentazioni

2L2 iRv 2L2 vGi

1SS1 iRvv 1SS1 vGii

2

1

of

ri

2

1

i

i

rr

rr

v

v

2

1

of

ri

2

1

v

v

gg

gg

i

i

2

1

of

ri

2

1

v

i

hh

hh

i

v

60

Guadagno di corrente

● Combinando l’equazione del carico con la seconda equazione del dop-pio bipolo si ottiene la relazione tra le correnti di ingresso e di uscita

Il guadagno di corrente è

● In particolare se si annulla la resistenza di carico si ha

Lo

f

1

2i 1 Rh

h

i

iA

2Lo1f2 iRhihi 1Lo

f2 1

iRh

hi

f1

2cci h

i

iA

2L2

2o1f2

2r1i1

iRv

vhihi

vhihv

61

Guadagno di tensione

● Eliminando i1 e i2 dalle equazioni si ottiene la relazione tra le tensioni di ingresso e di uscita

Il guadagno di tensione è

● In particolare nel funzionamento a vuoto si ha

2L2

2o1f2

2r1i1

vGi

vhihi

vhihv

2o1f2L vhihvG

Li

f

Lifroi

f

1

2v Gh

h

Ghhhhh

h

v

vA

H

2f

Lo1 v

h

Ghi

2f

Loi1 vh

h

Ghhv r

H f

0v

hA

62

Resistenza di ingresso

● La resistenza di ingresso del doppio bipolo caricato si ottiene eliminando i2 e v2 dalle equazioni

● In particolare a vuoto e in cortocircuito si ottiene, rispettivamente

2L2

2o1f2

2r1i1

iRv

vhihi

vhihv

1Lo

Lfri2Lr1i1 1

iRh

RhhhiRhihv

1Lo

f2 1

iRh

hi

Lo

fri

Lo

Lfri

1

1in 1 Gh

hhh

Rh

Rhhh

i

vR

iincc hR oo

fri

1

10in hh

hhh

i

vR

H

63

Guadagni di tensione e corrente riferiti al generatore

● Per calcolare i guadagni riferiti ai generatori si moltiplicano i guadagnidi tensione e di corrente riferiti alla porta 1 per i fattori di partizione che legano, rispettivamente, vS a v1 e iS a i1

VinS

in

1

2

S

1

S

2SV A

RR

R

v

v

v

v

v

vA

IinS

in

1

2

S

1

S

2IS A

GG

G

i

i

i

i

i

iA

64

Equazione di uscita

● Eliminando i1 e v1, si ottiene la relazione che lega la tensione e la corrente alla porta 2

● A partire da questa relazione di possono ricavare i circuiti equivalenti di Thévenin e Norton del bipolo ottenuto collegando la sorgente e il doppiobipolo

2o1f2

2r1i1

1SS1

vhihi

vhihv

iRvv

2r1i1SS vhihiRv Si

2rS1 Rh

vhvi

2Si

froS

Si

f2 v

Rh

hhhV

Rh

hi

65

Resistenza di uscita

● La resistenza di uscita si ottiene azzerando il generatore

● Nei casi particolari di RS 0 o GS 0 si ha rispettivamente

2Si

fro2 v

Rh

hhhi

0S v1

Si

fro

02

2out

S

Rh

hhh

i

vR

V

o0out

1

hR

H

i

1

i

frooutcc

h

h

hhhR

66

Tensione a vuoto

● La tensione di uscita a vuoto si ottiene ponendo i2 0 nell’equazione di uscita

● La relazione tra la tensione a vuoto e la tensione del generatore è

020Si

froS

Si

f

vRh

hhhv

Rh

hS

Sofrio

f20 v

Rhhhhh

hv

So

f

S

20

Rh

h

v

v

H

02 i 202 vv

67

Tensione a vuoto

● Lo stesso risultato si può ottenere utilizzando la resistenza di ingressoa vuoto per determinare v1 e quindi moltiplicando v1 per il guadagno di tensione a vuoto

SGo

ff

Go

oS0v

G0in

0inS20 v

Rh

hh

Rh

hvA

RR

Rvv

HHH

H

68

Corrente di cortocircuito

● La corrente di uscita in cortocircuito si ottiene ponendo v2 0nell’equazione di uscita

● La relazione tra la corrente di cortocircuito e la corrente iS è

SSi

fS

Si

fcc2 1

iGh

hv

Rh

hi

Si

f

S

cc2

1 Gh

h

i

i

02 v cc22 ii

69

Corrente di cortocircuito

● Lo stesso risultato si può ottenere utilizzando la resistenza di ingressoin cortocircuito per determinare i1 e quindi moltiplicando i1 per il guadagno di corrente in cortocircuito

fSi

fSf

Si

SSicc

Sincc

SScc2 1

hGh

hih

Rh

RiA

RR

Rii

70

Circuiti equivalenti del doppio bipolo

● Dal punto di vista della sorgente, il doppio bipolo può essere rappresentato da una resistenza equivalente Rin che, in generale, dipende dalla resistenza di carico RL

● Dal punto di vista del carico, il doppio bipolo può essere rappresentato mediante un circuito equivalente di tipo Thévenin o Norton, i cui parametri, in generale, dipendono dalla resistenza del generatore RS

71

Funzioni di rete espresse con i parametri R, G e H

Si

f

Si

f

oS

f

S

cc2

So

f

oS

f

Si

f

S

02

1

Si

fro

1

Si

fro

Si

froout

Lo

fri

1

Lo

fri

Lo

friin

Lo

f

Li

Lf

Lo

fi

Li

f

Lo

f

Li

Lfv

1

1

Gh

h

Gg

g

rG

r

i

iGh

h

gR

g

Rr

r

v

vRh

hhh

Gg

ggg

Rr

rrrR

Gh

hhh

Gg

ggg

Rr

rrrR

Rh

h

Gg

Gg

Rr

rA

Gh

h

Gg

g

Rr

RrA

R

HG

G

HR

HGR

72

Funzioni di rete espresse con i parametri R, G e H

H

RG

R

H

G

H

HGR

i

oioutcc

o

io0out

iio

incc

o

oi0in

fi

f

o

ficc

f

o

f

i

f0v

1

1

1

h

grR

h

grR

hgr

R

h

grR

hg

g

r

rA

h

g

g

r

rA

73

Resistenza caratteristica

● Il valore della resistenza di carico RL per cui risulta Rin RL è detto resistenza caratteristica e viene indicato con R0

● Utilizzando le espressioni ricavate per Rin e imponendo Rin RL R0si ottiene

● Quando RL R0 si dice che il doppio bipolo è adattato

o

oi2

1

fr2

oioi

fr2

oioi0

2

4)1()1(

2

4)()(

2

4)()(

h

hh

gggggg

rrrrrrR

HH

74

Doppi bipoli in cascata

● Nella pratica si presenta frequentemente il caso in cui un sistema ècostituito da più doppi bipoli collegati in cascata

● Le funzioni che descrivono il comportamento del doppio bipolo risultante non sono legate in modo semplice alle funzioni di rete relative ai singoli componenti

● Non è semplice ricavare come cambia il comportamento del sistema se viene variata la sua configurazione (per es. se viene eliminato uno dei moduli o ne viene aggiunto un altro)

75

Doppi bipoli in cascata

● In alcuni casi particolari il problema può essere semplificato

Per esempio, se tutti i doppi bipoli hanno resistenza di ingresso molto elevata e resistenza di uscita molto piccola il guadagno di tensione complessivo è circa uguale al prodotto dei loro guadagnia vuoto

Questa situazione non è sempre facilmente realizzabile (specialmente nel caso di doppi bipoli passivi)

● Se tutti i doppi bipoli hanno la stessa resistenza caratteristica

il doppio bipolo risultante ha ancora la stessa resistenza caratteristica

in condizioni di adattamento il guadagno complessivo si ottiene moltiplicando i guadagni dei singoli doppi bipoli

● Questa scelta trova numerose applicazioni pratiche

Es. sistemi a 600 usati in telefonia, sistemi a 50 utilizzati a radiofrequenza e per strumenti di misura

76

N-porte resistivi

● Componenti con 2N terminali che costituiscono N porte

per ciascuna porta la corrente entrante in unodei terminali è uguale a quella uscente dall’altro

● Relazioni costitutive

f1, ..., fN funzioni generiche

● Se il tempo non compare esplicitamente nelle funzioni il componente è detto tempo-invariante

0,,,,,f

0,,,,,f

11

111

tiivv

tiivv

NNN

NN

77

N-porte lineari tempo-invarianti

● Nel caso più generale le equazioni costitutive di un N-portelineare e tempo-invariante sono del tipo

● Queste equazioni possono essere scritte nella forma

dove

0

0

11111

11111111

NNNNNNN

NNNN

ibibvava

ibibvava

NNN

N

NNN

N

NN bb

bb

aa

aa

i

i

v

v

1

111

1

11111

ΒAiv

0BiAv

78

Rappresentazioni di un N-porte lineare

● Parametri di resistenza

● Parametri di conduttanza

● Se l’N-porte ammette entrambe le rappresentazioni, si ha

● Le altre possibili rappresentazioni sono dette ibride

Riv

NNN

N

NN rr

rr

i

i

v

v

1

11111

Riv

Gvi

NNN

N

NN gg

gg

i

i

v

v

1

11111

Giv

11 GRRG

79

Significato dei parametri di resistenza

khik

jjk

hi

vr

0

Rapporto tra la tensione alla porta j e la corrente alla porta k quando tutte le porte diverse dalla k-esima sono a vuoto

80

Significato dei parametri di conduttanza

khvk

jjk

hv

ig

0

Rapporto tra la corrente alla porta j e la tensione alla porta k quando tutte le porte diverse dalla k-esima sono in cortocircuito

81

Reciprocità

● Si dice che un N-porte è reciproco se, dati due generici insiemi di tensioni e correnti e (k =1,...,N) compatibili con le sue equazioni caratteristiche, è verificata la relazione

Se il componente ammette la matrice di resistenza vale la relazione

Se il componente ammette la matrice di conduttanza vale la relazione

N

kkk

N

kkk iviv

11

jkrr kjjk

jkgg kjjk

kk iv , kk iv ,

82

Teorema di reciprocità

● Un N-porte ottenuto connettendo componenti resistivi reciproci èreciproco

Dimostrazione ● Premessa: per un resistore la condizione di reciprocità è sempre

verificata, infatti

● Si considerano due condizioni di funzionamento dell’N-porte, in cui le porte vengono collegate a due insiemi arbitrari di N bipoli, scelti con l’unico vincolo che i circuiti ottenuti dal collegamento ammettanosoluzione unica

● Si indica con l il numero totale di lati dei circuiti così ottenuti e si attribuiscono i numeri da 1 a N ai bipoli collegati alle porte

iviviiRiv

iiRiv

iRv

iRv

83

Teorema di reciprocità

Dimostrazione ● Si indicano le tensioni e le correnti relative ai due funzionamenti con

● Per il teorema di Tellegen si ha

● Se l’N-porte è formato da componenti reciproci, i secondi addendi di queste equazioni sono uguali

Questo richiede che siano uguali i primi addendi, cioè che le tensioni e le correnti dell’N-polo risultante soddisfino la condizione di reciprocità

llll iivviivv ,,,,,,,, 1111 e

001111

l

Nkkk

N

kkk

l

Nkkk

N

kkk iviviviv

l

Nkkk

l

Nkkk iviv

11

N

kkk

N

kkk iviv

11

84

N-porte dinamici

● Per una rete lineare dinamica a N porte le relazioni tra le correnti e le tensioni alle porte sono di tipo differenziale lineare omogeneo

● In condizioni di regime sinusoidale, applicando la trasformata di Steinmetz si ottengono relazioni lineari algebriche omogenee tra i fasoridelle tensioni V1...VN e delle correnti I1... IN del tipo

dove

● Le equazioni hanno la stessa forma delle equazioni di un N-porteresistivo, ma in questo caso le matrici hanno coefficienti complessi dipendenti dalla pulsazione

0BiAv

NNN

N

NNN

N

NN bb

bb

Β

aa

aa

A

I

I

i

V

V

v

1

111

1

11111

85

Matrici di impedenza e di ammettenza

● Se il componente è comandato in corrente oppure in tensione èpossibile rappresentarlo mediante parametri di impedenza o di ammettenza che costituiscono l’estensione al caso dei regimi sinusoidale dei parametri di resistenza e di conduttanza

● Matrice di impedenza

● Matrice di ammettenza

Ziv

NNN

N

zz

zz

Z

1

111

khk

jjk

h

0I

I

Vz

Yvi

NNN

N

yy

yy

Y

1

111

khk

jjk

h

0V

V

Iy

86

Matrici ibride e matrici di trasmissione

● Per i componenti a due porte si possono estendere al regime sinusoidale le definizioni delle matrici ibride e di trasmissione(in questo caso i coefficienti sono complessi e dipendono da )

2

1

2

1

2221

1211

2

1

V

IH

V

I

hh

hh

I

VMatrice ibrida

2

1

2

1

2221

1211

2

1

I

VH

I

V

hh

hh

V

IMatrice ibrida inversa

2

2

2

2

1

1

I

VT

I

V

DC

BA

I

VMatrice di trasmissione

1

1

1

1

2

2

I

VT

I

V

DC

BA

I

VMatrice di trasmissione inversa

87

Relazioni tra le rappresentazioni dei doppi bipoli

DC

BA

T

A

T

CT

B

T

D

hh

hh

h

h

H

h

H

h

hh

h

h

y

y

y

Yyy

y

z

z

z

z

Z

z

z

T

T

A

T

CT

B

T

D

DC

BA

h

H

h

hh

h

h

hh

hh

h

h

H

y

y

y

Yyy

y

z

z

z

z

Z

z

z

T

D

A

D

TDD

C

A

B

A

A

T

A

C

hh

hh

H

h

H

hH

h

H

h

yy

yy

y

y

Y

z

Z

z

zz

z

zH

A

C

A

TAA

B

D

C

D

D

T

D

B

H

h

H

hH

h

H

h

hh

hh

y

Y

y

yy

y

y

zz

zz

z

z

Z

H

B

D

B

TBB

A

B

A

B

B

T

B

D

hh

hh

h

h

H

h

H

h

hh

h

hyy

yy

Z

z

Z

zZ

z

Z

z

Y

C

A

C

TCC

D

C

D

C

C

T

C

A

h

H

h

hh

h

h

hh

hh

h

h

H

Y

y

Y

yY

y

Y

y

zz

zzZ

TTHHYZ

1212

11

12

22

12

1212

22

12

11

12

12

11

12

1212

11

12

11

12

1221

22

2121

11

21

22

21

2121

22

21

11

21

21

11

21

2121

22

21

22

21

2121

11

2221

1211

1121

1222

2222

21

22

12

22

1111

21

11

12

11

1121

1222

2221

1211

1111

21

11

12

11

2222

21

22

12

22

2222

21

22

12

22

1111

21

11

12

11

2221

1211

1121

1222

1111

21

11

12

11

2222

21

22

12

22

1121

1222

2221

1211

1

11

1

1

1

1

1

1

11

1

1

1

1

1

1

11

1

1

1

1

1

Ogni riga riporta le espressioni dei coefficienti di una matrice in funzione dei coefficienti delle matrici indicate nelle intestazioni delle colonne

)det(MΜ

88

Circuiti con doppi bipoli dinamici

● Facendo uso della trasformata di Steinmetz, nel caso di circuiti in regime sinusoidale, o, più in generale, della trasformata di Fourier èpossibile estendere ai circuiti contenenti doppi bipoli dinamici tutti i risultati ricavati per i doppi bipoli e per gli N-porte resistivi

● In particolare si possono generalizzare

i circuiti equivalenti dei doppi bipoli

i teoremi di rappresentazione dei doppi bipoli

le relazioni relative ai collegamenti tra doppi bipoli

il teorema di reciprocità

le definizioni delle funzioni di rete, che in questo caso divengono funzioni a valori complessi della pulsazione

89

Funzioni di rete espresse con i parametri Z, Y e H

Si

f

Si

f

oS

f

S

cc2

So

f

oS

f

Si

f

S

02

1

Si

fro

1

Si

fro

Si

froout

Lo

fri

1

Lo

fri

Lo

friin

Lo

f

Li

Lf

Lo

fi

Li

f

Lo

f

Li

Lfv

1

1

Yh

h

Yy

y

zZ

z

I

IYhH

h

yYZ

y

Zz

z

V

VZh

hhh

Yy

yyy

Zz

zzzZ

Yh

hhh

Yy

yyy

Zz

zzzZ

Zh

h

YyG

Yy

Zz

zA

YhH

h

Yy

y

ZzZ

ZzA

HYZ

G

90

Funzioni di rete espresse con i parametri Z, Y e H

H

h

yz

ZZ

hY

yzZ

hyz

ZZ

h

H

Y

yzZ

hy

y

z

zA

H

h

y

y

z

zA

HYZ

i

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o

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o

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f

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f

i

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1

1

1