S11 • Domínios planos e condições em variável complexa 

Dados dois pontos  A   e  B,  afixos dos números complexos   1z   e   2z , respetivamente, tem‐se que   2 1AB z z  

1 1 1z x y i   e  2 2 2z x y i  

    1 1,A x y     e  2 2,B x y  

2 22 1 2 1AB x x y y  

2 1 2 2 1 1

2 1 2 1

2 22 1 2 1

z z x y i x y i

x x y y i

x x y y

 

  Em   ,  conjunto dos números complexos, sejam 

     19

11 31

iz

i

    e   32

2 3i

z ke

, com k  

  Sabe‐se que, no plano complexo, a distância entre o afixo de  1z  e o afixo de  2z  é igual a  5. 

  Qual é o valor de k ?  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

19

1

1 3 11 32

1 1 1i ii

z ii i i

     e   

32

2 3 3i

z ke ki

 

Como a distância entre os afixos de  1z  e de  2z  é igual a  5  vem que:  

 

1 2

2

2 22

2

5 2 1 3 5

9 6 5 5

9 6 5 5

29 6 0 0

3

z z i k

k k

k k

k k k k

 

 

Como k  temos que 23

k  

   

  Qual é o conjunto de pontos do plano complexo que estão à distância 2do afixo de 2 i  ? 

2 2z i  

Um número complexo  z satisfaz esta condição se a distância do seu afixo ao afixo de 2 i  for igual a  2  .      O  lugar  geométrico  dos  pontos  que  estão  à distância de 2  de um ponto fixo é a circunferência de centro nesse ponto e raio igual a 2.    

   

Circunferência e círculo 

  Seja  1P  o afixo do número complexo  1 1 1z x y i    e    0r  

1z z r   

1z z r   1z z r  

     Circunferência de centro no afixo de  1z , o ponto  1P , e de raio r  

Círculo de centro no afixo de 

1z , o ponto  1P , e de raio r  Parte interna da circunferência de centro no afixo de  1z , o ponto  1P , e de raio r  

 

Represente geometricamente a região do plano definida pelas condições seguintes: 

1.   

1 2z i   

  

2.  2 1 1 3i z z i  

 

        

 

3.  1 3 2 2z i  

 

  

   

Sejam  1P   e  2P   os  afixos  dos  números  complexos  1 1 1z x y i     e    2 2 2z x y i  

respetivamente. 

 

1 2z z z z   1 2z z z z   1 2z z z z  

      

Mediatriz do segmento de reta   1 2PP  

 

Semiplano aberto, limitado pela mediatriz de  1 2PP  e que 

contém o ponto  1P . 

Semiplano fechado, limitado pela mediatriz de  1 2PP  e que 

contém o ponto  2P .  

Represente geometricamente, no plano complexo, a região do plano definida pelas condições seguintes: 

1.   2 3z i z i  

 

 

2.  1z z i  

 

 

3.  42 2 2 2

iz i z z e

 

    

       

42 2 cos sin 14 4

ie i i

 

 

 

 

   

  Em  , conjunto dos números complexos, sejam  1z  e  2z   tais que 

   1 2z i      e      1 2 4 3z z i  

  Considere a condição   1 2z z z z       1  

Mostre que o número complexo  42i

e  verifica esta condição e interprete 

geometricamente este facto. 

1 2 2 2 2 2

1 1

4 3 24 3 4 34 3 1 2

2 2i ii i

z z i z z z z iz z i i

 

42 2 cos sin 14 4

ie i i

 

 

 

 

 

 

1 2z z z z       1  

    1 2z i      ,      2 1 2z i     e    1z i  

 

  1 1 2 1 1z z i i     e    2 1 1 2 1z z i i i  

Como o número complexo  42i

e  verifica a condição  1  então o afixo deste número 

complexo é equidistante de  1z  e de  2z . 

   

 

Seja o número complexo z a bi , tal que   Re z a    e  Im z b  

Retas paralelas ao eixos coordenados e semiplanos 

Re z a   Re z a   Re z a  

 

 Reta vertical que passa no ponto de coordenadas  ,0a . 

  

   

 

   

 

Im z b   Im z b   Im z b  

 

 Reta horizontal que passa no ponto de coordenadas  0,b .