Dominika StaszewskaRoksana HejmanLeszek Gryczka

N-OSOBOWY DYLEMAT WIĘŹNIA

We wcześniejszym referacie była mowa o grach n-osobowych o sumie niezerowej, które nie dają się sensownie analizować, sprowadzając do postaci funkcji charakterystycznej. W tym referacie zajmiemy się pewnym szczególnym typem gier o takiej własności. Należy do niego między innymi następująca gra:

Gra jest symetryczna, dla każdego z trzech graczy strategia D dominuje nad C. Jedyną równowaga jest DDD z wypłatami (-1,-1,-1), a więc wynik zdominowany w sensie Patero przez CCC z wypłatami (1,1,1). Mamy więc do czynienia z trzyosobowym dylematem więźnia.Wraz z dojściem trzeciego gracza pojawia się możliwośd zawierania koalicji. Sprawdzimy zatem, co się stanie gdy Kolumna i Warstwa zawrą koalicję. Otrzymamy wówczas grę:

Zauważmy, że gra Wiersza ma punkt siodłowy (przy strategiach dominujących obu graczy) w DDD a więc jego poziom bezpieczeństwa wynosi -1. W grze Kolumny i Warstwy punktami siodłowymi o wartości 0 są DCD i DDC. Ze względu na symetryczność gry. Analogicznie wyniki uzyskamy dla pozostałych koalicji. Wyznaczymy więc funkcje charakterystyczna gry ( L oznacza panią Warstwę)

Wynikałoby z tego, że lepiej być w koalicji dwuosobowej niż w żadnej (gdy dopuszczamy wypłaty uboczne) oraz, że najlepiej dla wszystkich byłoby zawrzeć trzyosobową koalicję, w której wszyscy zgodzą się grać C. O tym iż jest to tylko iluzja wynikająca ze zbytniego zaufania do funkcji charakterystycznej można się przekonać jeśli się pomyśli jak w praktyce jak w praktyce mogłaby przebiegać gra z poprzedniego slajdu.

Jeżeli gracze będą grad swoje strategie bezpieczeństwa to wynikiem będzie DCD lub DDC z wynikiem ( , ). Kolumna i Warstwa osiągną swój poziom bezpieczeństwa , ale Wiersz dostanie więcej niż -1, czyli jego poziom bezpieczeństwa. Założenie że Kolumna i Warstwa będą dążyły do minimalizacji wypłat Wiersza jest w tym przypadku nieuzasadnione. Oznacza to , że Wiersz (bądź inny gracz) wychodzi lepiej na graniu samemu niż na dwu-, trzyosobowej koalicji. Dwóm pozostałym graczom (przy zachowaniu racjonalnym) najlepiej będzie zagrać strategią w której jeden zagra D, a drugi C.

Mamy zatem dwa wnioski:

•Wnioski wyciągane z analizy funkcji charakterystycznych n-osobowych gier o sumie niezerowej mogą byd mylące

•Dążenie do współpracy w sytuacjach, które mogą byd modelowane przez n-osobowy dylemat więźnia bywa ryzykowne

Aby przekonać się jakie dokładnie może być to ryzyko rozważny grę pięcioosobową: każdy z graczy ma strategie C i D, zaś wypłata gracza zależy od tego czy gra on C, czy D oraz od tego ilu z pozostałych graczy gra C.

Ponieważ wypłata przy graniu strategii D jest zawsze wyższa niż odpowiednia wypłata, gdy zagra się C, dla wszystkich graczy strategia D dominuje strategię C. Kiedy wszyscy grają D, wypłaty wszystkich graczy wynoszą -1. Jest to wynik nieoptymalny w sensie Pareto, ponieważ gdyby wszyscy grali C, każdy otrzymałby wypłatę .

EKSPERYMENTDobierzcie sobie czterech przyjaciół (lub wrogów) i zagrajcie z nimi w grę 2.1.3. dziesięć razy, zapisujecie za każdym razem decyzje i wypłaty wszystkich graczy. Na koniec obliczcie łączne wypłaty wszystkich graczy i dla każdego porównajcie jej wysokośd z liczbą przypadków , w których zagrał C.Jeśli przeprowadzicie ten eksperyment jego wyniki prawdopodobnie was zaniepokoją. Dlaczego? Rozważmy skutki zagrania C zamiast D:•Obniża to własną wypłatę o 1 (wszystkie wypłaty strategii C są o 1 mniejsze niż odpowiednie wypłaty D)•Dla pozostałych graczy oznacza to podniesienie o 1 liczby „innych graczy” grających C ,a w konsekwencji podniesienie wypłat o 1.Za każdym razem gdy wybierasz C szkodzisz sobie i pomagasz innym.

PrzykładPrzeprowadzając eksperyment na 5 graczach tylko sześciu (nazwijmy ich kooperatorami) zagrało C pięć lub więcej razy. Trzy z pięciu grup miało dwóch kooperatorów ( nazwijmy je grupami częściowo kooperującymi). Gracze uzyskali następujące wypłaty:

Aby odnieśd sukces w tej grze należy byd dezerterem w grupie, której częśd członków próbuje kooperowad. Na uczestnictwie w grupie niekooperujących wszyscy wychodzą źle, ale w najgorszej sytuacji są osoby nastawiające się na kooperację w grupie, w której wykorzystają ich dezerterzy. W świecie n-osobowego Dylematu Więźnia cnota jest karana, a oportunizm nagradzany.

N-osobowym Dylematem Więźnia nazywamy każdą grę, w której każdy z n graczy ma dwie strategie ( nazwijmy je C i D), takie że:

•Dla każdego gracza D jest strategią dominującą•Jeśli wszyscy zagrają D, wszyscy uzyskają gorsze wypłaty niż w sytuacji, gdy wszyscy zagrają C

Na zakończenie przyjrzymy się grze „zanieczyszczanie jeziora” . Wyobraźmy sobie jezioro ,nad którym leży pięć wsi czerpiących z niego wodę i spuszczających do niego swoje ścieki. Mieszkańcy każdej wsi decydują czy oczyszczać ścieki przed spuszczeniem do jeziora, czy nie. Koszty oczyszczania ścieków to 5 tys. dolarów rocznie dla każdej wsi, a z drugiej strony koszty uzdatniania wody pitnej dla jednej wsi to 20 tys. dolarów razy liczna wsi ,które nie oczyszczają swoich ścieków.

Poniższa tabela przestawia roczne koszty prowadzenia gospodarki rolnej każdej z wsi, w zależności od tego, czy wieś oczyszcza swoje ścieki, czy nie oraz w zależności od liczby pozostałych wsi oczyszczających ścieki:

Ponieważ koszty dla danej wsi są zawsze niższe, jeśli nie oczyszcza ona swych ścieków, wszystkie będą zanieczyszczały jezioro i każda z nich poniesie łącznie koszty uzdatniania wody 100 tys. dolarów, co jest kwotą znacznie wyższą niż 5 tys. dolarów, które każda wieś musiałaby rocznie wyłożyć na utrzymanie czystości wody w jeziorze.

Czy istnieje jakieś wyjście z tej pułapki? Wiemy, że żadnej ze wsi nie opłaca się oczyszczać ścieków ( gdyby to robiła jej mieszkańcy wydaliby rocznie 30 tys. dolarów więcej, żeby zapewnić oszczędności mieszkańca pozostałych wsi).

Może jednak nie której wsie mogłyby wspólnie przeprowadzić swoją gospodarkę wodną? Dwie wsie nie mogą osiągnąć w ten sposób oszczędności, ale trzy już tak. Jeśli będą oczyszczały swoje ścieki, każda z nich zaoszczędzi na uzdatnianiu wody 6 tys. dolarów rocznie, płacąc za oczyszczanie tylko 50 tys. dolarów. Byłoby jednak naiwnością sądzić, że łatwo będzie zawiązać taką koalicję bo, jak już widzieliśmy wsie ,które do niej nie wejdą również zaoszczędzą swoje 6 tys. dolarów, ale bez poniesienia 5 tys. dolarów kosztów.

Zatem każda z wsi widziałaby chętnie pozostałe zawiązujące takie porozumienie, ale robiłaby wszystko żeby samej się w niej nie znaleźć. Jeden z amerykańskich ekologów Garret Hardin sugerował, że najlepszym rozwiązaniem takich problemów mogłaby byś zgoda każdej z wsi na ”zmuszenie” wszystkich do zawarcia koalicji. Wychodzi na to, że zbiorowy przymus byłby dla wszystkich przymuszanych opłacalny.

ĆWICZENIA1.Rozważmy następującą grę kooperacji-dezercji, niebędącą jednak pięcioosobowym Dylematem Więźnia, gdyż dezercja nie zawsze przynosi w niej korzyści:

a)Załóżmy, że w pierwszej rundzie wszyscy gracze grają C. Czy gracz grający C uzna za korzystne zmianę w następnej rundzie swojej strategii na D?

b) Załóżmy, że w pierwszej grze czterech graczy gra C, zaś jeden D (CCCCD).Czy gracz grający C chciałby w następnej rundzie zagrać D?Czy gracz grający D chciałby w następnej rundzie zagrać C?c) Przeprowadź analogiczne analizy sytuacji, w których w pierwszej rundzie zagrano CCCDD, CCDDD, CDDDD, DDDDD.

2. Sześciu farmerów użytkuje wspólne pastwisko, na którym można wypasać sześć krów po 1000 dolarów zysku każda. Wypasanie każdej dodatkowej (powyżej sześciu) spowoduje zmniejszenie zysków przynoszących przez jedną krowę o 100 dolarów. Każdy farmer ma do wyboru dwie strategie:C: wypasać jedną krowęD: wypasać dwie krowy

a) Uzupełnij tabelkę:

b) Jak liczna musi być koalicja farmerów, by mogła osiągnąć korzyści z tego, że wszyscy jej członkowie zagrają C?c) Jeśli taka koalicja powstanie , to wolałbyś do niej należeć czy nie?

Teoria Gier a Sport. DRAFT

w Futbolu Amerykańskim.

Draft-dobór zawodników do drużyn futbolu amerykańskiego.

W futbolu, koszykówce czy innych sportach w których działają zawodowe ligi, zespoły wybierają nowych graczy w systemie draftu, który zakłada sekwencyjny dobór zawodników przez poszczególne drużyny. Spośród zawodników wpisanych na listy transferowe najsłabszy w ostatnim sezonie zespół wybiera jednego zawodnika jako pierwszy. Po nim wybiera jednego zawodnika drugi zespół od końca itd., a gdy wszystkie zespoły wybiorą po jednym zawodniku procedurę tę powtarza się w tej samej kolejności do momentu kiedy nie ma już „zawodników do wyboru”. W założeniu tego systemu danie najsłabszej drużynie pierwszeństwa wyboru ma sprawić że liga stanie się bardziej wyrównana a jej rozgrywki bardziej atrakcyjne dla kibiców.

Problem z tą pozornie doskonałą procedurą polega na tym, że prowadzi ona do sytuacji, które są w istocie pewną wymyśloną formą Dylematu Więźnia. Rozpatrzmy najprostszy przykład. Załóżmy że mamy do czynienia z dwiema drużynami, Niebieskimi i Czerwonymi, a w drafcie jest czterech zawodników, A, B, C, D. Przyjmijmy że zespoły mają następujące preferencje co do graczy:

Niebiescy Czerwoni A B C D B C D A

Tak więc Niebiescy najbardziej potrzebują A, a najmniej D, zaś Czerwoni najbardziej chcą dostać B, a najmniej A.

Gdyby obie drużyny przyjęły podczas draftu „szczere” strategie, a Niebiescy wybrali jako pierwsi, draft przebiegałby następująco:

Ostatecznie każda z drużyn dostanie pierwszego i trzeciego zawodnika ze swojej listy.

Jednakże, podobnie jak wyborcy nie muszą głosować szczerze, drużyny również nie muszą wybierać graczy –i czasem mogą odnieść z tego korzyść. Załóżmy że w naszej sytuacji:

1) Każdy zespół zna preferencje konkurentów;2 ) Celem każdego z zespołów jest zdobycie swoich najbardziej preferowanych graczy (a nie np. uniemożliwienie innym zdobycia graczy, których potrzebują).

W sporcie założenie pierwsze jest zasadne –zespoły dysponują szczegółowymi informacjami zarówno o kwalifikacjach poszczególnych zawodników w drafcie, jak i o potrzebach innych drużyn. Różnie natomiast bywa z warunkiem drugim –zdarzyło się że wybierano w drafcie jakiegoś zawodnika tylko po to, by nie wzmocnił innej drużyny.

Jeśli jednak przyjmiemy oba założenia, Niebiescy mogliby wybrać bardziej preferowanych przez siebie zawodników, wykorzystując fakt że Czerwoni na pewno nie będą chcieli gracza A. Wobec tego Niebiescy mogą spokojnie w pierwszej rundzie wybrać drugiego w kolejności preferencji gracza B, licząc na to, że gracza A wybiorą w rundzie drugiej. Daje to następujący przebieg draftu:

Czerwoni jeśli mają się trzymać założenia 2) nie mogą bronić się przed taką strategią –powyższe wybory są dla obu drużyn optymalne. W naszym przykładzie nie mamy do czynienia z Dylematem Więźnia. Czerwoni stracili a Niebiescy zyskali, a ostateczny wynik jest paretooptymalny. Ale gdy w drafcie wezmą udział trzy zespoły sytuacja ulegnie zmianie. Rozważmy następujący przykład z trzema drużynami i sześcioma graczami:

Jeśli zespoły wybierają graczy szczerze, Niebiescy i Czerwoni dostają po dwóch najbardziej pożądanych przez siebie graczy, również Zieloni nie wychodzą na tym najgorzej. Oczywiście ani Niebiescy ani Czerwoni nic na nieszczerości nie mogliby zyskać, ale co z Zielonymi?Gdy w pierwszej rundzie Niebiescy i Czerwoni wybiorą swoich najbardziej pożądanych graczy, Zieloni mogą zamiast C wybrać F i wtedy mamy taki rezultat:

Niewątpliwie Zieloni zyskali na nieszczerości. Jak w tej sytuacji mogą się bronić Czerwoni, którzy, wybierając w pierwszej rundzie E, zostaną poszkodowani na skutek nieszczerości Zielonych? Okazuję się, że wybranie w pierwszej rundzie F nic by im nie pomogło, zadziałałoby wybranie B:

Wynika to stąd że teraz Zieloni muszą wybrać C w pierwszej rundzie, bo inaczej straciliby go na rzecz Niebieskich. W tym przypadku nieszczerość Czerwonych działa na szkodę Niebieskich - czy ci mogą się jakoś bronić? Nie pomoże im wybranie w pierwszej rundzie B. ale jeżeli wybiorą wtedy C, doprowadzą do następującego przebiegu draftu:

Takie wybory są optymalne dla wszystkich drużyn. Jeżeli porównamy wynik przy wyborach optymalnych z pierwotnym wynikiem draftu przy wyborach szczerych, zobaczymy że mielibyśmy do czynienia z Dylematem Więźnia. Wszystkie trzy zespoły uzyskały w drafcie wyniki gorsze niż gdyby wszyscy wybierali szczerze –racjonalne działania mające na celu zabezpieczenie własnego interesu wszystkim przyniosą szkodę. Uczestnicy skomplikowanej procedury draftu zawodników okazują się tak samo narażeni na paradoks Dylematu Więźnia, jak farmerzy wypasający krowy na gminnym pastwisku.

ĆWICZENIA1. [Kohler i Chanrasekaran, 1971] podają następujący algorytm wyznaczania optymalnych wyborów dla sytuacji, gdy w drafcie biorą udział tylko dwie drużyny (np. Niebiescy i Czerwoni) 1)Przy optymalnej grze w ostatniej rundzie Czerwoni wybiorą gracza zajmującego na liście preferencji Niebieskich ostatnią pozycję. Oznaczamy tego gracza jako wybór Czerwonych w ostatniej rundzie i (w wyobraźni) skreślimy z listy preferencji obu drużyn. 2)W ostatniej rundzie Niebiescy wybiorą zawodnika, który jest na ostatniej pozycji zredukowanej listy Czerwonych. Oznaczamy tego gracza jako wybór Niebieskich w ostatniej rundzie i skreślimy go z listy preferencji obu drużyn. 3)Powtarzajmy powyższą operację dla rund od przedostatniej do pierwszej. Wypróbuj algorytm na poniższych przykładach; wyniki porównaj ze skutkami szczerych wyborów.

DZIĘKUJEMY ZA UWAGĘ