Docx 20111011 Bai Tap Matran Dinh Thuc
17
Bài tập chương IX: Ma trận và định thức Trần trung kiên 9.1 Chứng minh rằng: Định thức sẽ bằng không nếu: a/ Trong định thức có hai dòng (hay hai cột) giống nhau. b/ Trong định thức có hai dòng (hay hai cột) tỷ lệ với nhau c/ Trong định thức có một dòng (hay một cột) là tổ hợp tuyế (hay các cột) còn lại của định thức. 9.2 Chứng minh rằng: Trong một định thức, tổng các tích của dòng (hoặc một cột) với phần bù đại số của các phần tử tương cột) khác đều bằng 0. 9.3 Giả sử n n ij ) a ( A × = , n 2 1 A , , A , A là các cột của A. Chứng minh rằng: 0 A det ≠ ⇔ hệ véc tơ { } n 2 1 A , , A , A là hệ véc tơ độc lập tuyến tính. 9.4 Chứng minh rằng: các phép biến đổi sơ cấp thực hiện trê thay đổi hạng của ma trận đó. 9.5 Cho n m ij a A × = , B là ma trận vuông không suy biến cấp m. Chứng ( ) rank A . B rank = . Còn nếu n m ij a A × = , B là ma trận vuông không suy biến cấp n thì ( ) rank B . A rank = . Còn nếu n n ij a A × = , B là ma trận vuông không suy biến cấp n thì ( ) ( ) rank A . B rank B . A rank = = . 9.6 Nếu A và B là các ma trận vuông cấp n có A . B B . A = thì: a/ 2 2 2 B B . A 2 A ) B A ( + + = + ; b/ 2 2 B A ) B A )( B A ( − = − + ; c/ 3 2 2 3 3 B B . A 3 B . A 3 A ) B A ( + + + = + 9.7 Chứngminhrằng: Nếu ma trận vuông A có Ο = 2 A thì các ma trận E A vµ E A − + là những ma trận không suy biến. 9.8 Định thức cấp n sẽ thay đổi thế nào nếu: a/ Đổi dấu tất cả các phần tử của nó. b/ Viết các cột (hay các dòng của nó) theo thứ tự ngược lại 9.9 Cho A là ma trận vuông cấp n và nếu ) kA det( A det = . Hãy tính k. 9.12 Chứng minh rằng: Nếu 2 A det = thì các phần tử của ma trận nghịch không thể gồm toàn các số nguyên. 9.16 Cho các ma trận − = − = − − = 8 2 9 4 0 7 C ; 4 1 2 0 5 4 B ; 3 2 1 3 2 1 A Hãy tính a/ B 2 A 3 − ; b/ C 2 B 4 A 5 − − 9.17 Cho − = − − = 5 2 1 3 B ; 3 1 4 7 2 5 A Tìm C A A − và C B B − . 9.18 Cho − = − = 2 1 1 2 3 4 B ; 1 3 1 5 3 1 A . Tìm X biết a/ ; B X 3 A 2 = − b/ Ο = − X 3 2 A 3 ; 9.19 Tính: a/ A 4 với = 0 0 1 0 A ; b/ B 3 với − = a cos a sin a sin a cos B 9.20 Chứng minh rằng: ma trận = d c b a X thoả mãn phương trình: 1
-
Upload
triet-constantine -
Category
Documents
-
view
448 -
download
1
Transcript of Docx 20111011 Bai Tap Matran Dinh Thuc
Bi tp chng IX: Ma trn v nh thc
Trn trung kin
9.1 Chng minh rng: nh thc s bng khng nu: a/ Trong nh thc c hai dng (hay hai ct) ging nhau. b/ Trong nh thc c hai dng (hay hai ct) t l vi nhau. c/ Trong nh thc c mt dng (hay mt ct) l t hp tuyn tnh ca cc dng (hay cc ct) cn li ca nh thc. 9.2 Chng minh rng: Trong mt nh thc, tng cc tch ca cc phn t ca mt dng (hoc mt ct) vi phn b i s ca cc phn t tng ng ca mt dng (hoc ct) khc u bng 0. A 9.3 Gi s A = (aij )nn , A 1, A 2, , A n l cc ct ca A. Chng minh rng: det 0 h vc t { A 1, A 2, , A n} l h vc t c lp tuyn tnh. 9.4 Chng minh rng: cc php bin i s cp thc hin trn mt ma trn khng l thay i hng ca ma trn . 9.5 Cho A = aij mn , B l ma trn vung khng suy bin cp m. Chng minh rng (B rank .A) = rankA . (A Cn nu A = aij mn , B l ma trn vung khng suy bin cp n th rank .B) = rankA Cn . (A (B nu A = aij nn , B l ma trn vung khng suy bin cp n th rank .B) = rank .A) = rankA . 9.6 Nu A v B l cc ma trn vung cp n c A .B = B.A th: a/ (A + B)2 = A 2 + 2A .B + B2 ; b/ (A + B)(A B) = A 2 B2 ; c/ (A + B)3 = A 3 + 3A 2.B + 3A .B2 + B3 9.7 Chng minh rng: Nu ma trn vung A c A 2 = th cc ma trn A + E vA E l nhng ma trn khng suy bin. 9.8 nh thc cp n s thay i th no nu: a/ i du tt c cc phn t ca n. b/ Vit cc ct (hay cc dng ca n) theo th t ngc li. A kA 9.9 Cho A l ma trn vung cp n v nu det = det( ) . Hy tnh k. 9.12 Chng minh rng: Nu det = 2 th cc phn t ca ma trn nghch o A khng th gm ton cc s nguyn. 1 2 4 5 7 0 3 1; B = 0 2 ; C = 4 9 9.16 Cho cc ma trn A = 1 4 2 8 2 3 Hy tnh a/ 3A 2B ; b/ 5A 4B 2C 5 2 3 1 9.17 Cho A = 7 4; B = 2 5 Tm A A C v B BC . 1 3 1 3 4 3 A = 5 1; B = 2 1 . Tm X bit a/ 2A 3X = B; b/ 3A 2 X = ; 9.18 Cho 3 1 1 2 3 0 1 cos sina a 9.19 Tnh: a/ A4 vi A = 0 0 ; b/ B3 vi B = sina cos a a b 9.20 Chng minh rng: ma trn X = c d tho mn phng trnh:
( )
( )
( )
1
Bi tp chng IX: Ma trn v nh thc
Trn trung kin
1 0 0 0 X 2 (a + d)X + (ad bc E = , trong E = 0 1 ; = 0 0 ) 9.21 Chng minh rng: khng tn ti cc ma trn vung cng cp A v B sao cho AB BA = E , trong E l ma trn n v cng cp vi A v B. 1 0 1 0 2 f 9.22 Cho X = 2 3. Tnh (X ) = X 4X + 3E , trong E = 0 1 . 1 2 2 1 3 2 9.23 Cho A = 2 3 ; B = 3 4 vf (X ) = X + 3X 5X + E . Tnh f(AB). 1 0 0 X = 0 1 0 l nghim ca a thc 9.24 Chng minh rng: ma trn 0 0 3 3 2 f (X ) = X X 9X + 9E . 1 2 0 2 9.25 Tm (f(A)) nu A = 0 1 2 v f (X ) = X + E . 1 0 3 Gii cc phng trnh sau: 2 3 1 2/ 3 1 2 3 x 9.26 det 4 + x 3 = 0 ; 9.27 det x 1 2 = det 31/ 3 2 . 1 3 x 6 12 x 2 det 8 4 x 0 = 0. 9.28 x 3 0 0 9.29 Cho a1, a2, , an1 l cc hng s tu cho trc, khc nhau v khc 0. Gii phng trnh: x x2 x3 . . . xn 2 3 n a1 a1 a1 . . . a1 n det a2 a2 a3 . . . a2 = 0 2 2 . . . . . . . . . . . . . . . 2 3 n an1 an1 an1 . . . a 1 1 9.30 Tnh cc nh thc sau: a/ D = 1 1 1 a+ x x x b/ D = x b + x x x x c+ x 1 1 1 1 1 x 1 9.31 Gii phng trnh: 1 1 2 x . . . . . . . 1 1 1 ( + 1)2 ( + 1)2 ( + 1)2 ( + 1)2 ( + 1)2 ( + 2)2 ( + 2)2 ( + 2)2 ( + 2)2 ( + 2)2 ( + 3)2 ( + 3)2 ( + 3)2 ( + 3)2 ( + 3)2
. . . . .
. . . . .
. 1 . 1 =0 . 1 . . . . . . . (n 1) x 2
Bi tp chng IX: Ma trn v nh thc
Trn trung kin
S dng tnh cc cht ca nh thc, tnh cc nh thc t bi 32 n bi 36: 12732273 9.32 D = 12722272 0 1 1. . . 1 1 1 0 x . . . x x 461 373 654 1 x 0. . . x x 9.33 a/ D = 2 2 2 ; b/ D n = . . . . . . . . 363 275 556 1 x x . . . 0 x 1 x x . . . x 0 a0 1 0 . . . 0 0 a1 x 1 . . . 0 0 3 7 62 a 0 x ... 0 0 1 9 21 9.34 a/ D = 4 4 8 3 ; b/ Dn+1 = 2 ... . . . . ... . . . 2 1 45 an1 0 0 . . . x 1 an 0 0 . . . 0 x 2 3 4 5 3 4 5 6 9.35 D = 4 6 8 10 ; 2 3 7 8 1 2 3 4. . . n 1 2 2 2 2 2 2 3 4. . . n 2 2 2 2 2 3 3 3 4. . . n 9.36 a/ Dn = 4 4 4 4 . . . n ; b/ D5 = 2 2 3 2 2 ; 2 2 2 4 2 . . . . . . . . 2 2 2 2 5 n n n n. . . n 122 2. . . 2 222 2. . . 2 22 32. . . 2 c/ Dn = 2 2 2 4 . . . 2 . . . . . . . . . 222 2. . . n 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 9.37 Cho ma trn A cp 10 10 c dng: A = , cc phn t 0 0 0 0 1 1010 0 0 0 0 10 , dng a10,1 = 10 ; ak,k+1 = 1 k = 1 9; E l ma trn n v cp 10. Chng minh rng: det( E) = 10 10 10 . A 9.38 a/ Dng cng thc khai trin nh thc, tnh cc nh thc sau:
3
Bi tp chng IX: Ma trn v nh thc 3 0 a/ D = 0 1 0 1 0 2 5 2 2 3 1 3 3 1 2 0 0 0 1 2 0 ; 0 0 1 3 0 b/ D = 0 0 0 2 4 0 0 0 0
Trn trung kin
0 2 0 3 5 1 6 8 9 10 1 2 5 1 3 9.39 Tm ma trn nghch o ca ma trn A = 1 2 1 1 3 2 9.40 Tm ma trn nghch o ca cc ma trn: 1 1 1 1 1 1 2 1 0 0 1 1 1 1 3 1 2 2 5 1 2 A = B = 0 0 1 1 1 ; c/ C = 2 4 1 ; a/ 1 4 2 1 ; b/ 1 2 2 0 0 0 1 1 1 3 3 4 0 0 0 0 1 9.41 Gii phng trnh ma trn: a/ AX = B 2 1 3 3 6 1 2 1 ; B = 2 2 Vi A = 1 0 1 3 2 3 1 2 9 4 15 2 6 3 A = 1 1 1 ; B = 3 3 4 ; C = 3 1 1 . b/ AX + B = C vi 2 0 1 0 3 9 1 1 2 1 1 1 . . . 1 1 2 3 . . . n 0 1 1 . . . 1 0 1 2 . . . n 1 c/ AX = B vi A = 0 0 1 . . . 1 ; B = 0 0 1 . . . n 2 . . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 0 . . . 1 0 0 0 . . . 1 9.42 Vi gi tr no ca th cc ma trn sau c ma trn nghch o: 1 2 2 2 0 1 5 4 2 1 3 1 ; d/ A = 2 1 . a/ A = 3 0 ; b/ A = 2 1 ; c/ A = 3 2 2 1 1 0 1 1 3 9.43 Dng phng php nh thc bao quanh, tm hng ca ma trn: 1 1 2 3 1 1 2 3 4 0 2 1 2 2 1 3 0 1 0 0 3 3 3 a/ A = 2 4 1 8 ; B = 0 0 0 4 0 1 7 6 9 1 3 6 12 2 0 10 1 10 1 3 3 5 1 9.44 Dng cc php bin i s cp, tm hng ca ma trn: 1 4 5 3 1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 0 A = 2 1 1 2 4 ; B = 3 1 2 2 1 1 3 2 1 1 0 3 3 3 3 3 3 2 3 1 2 1 1 3 2 4
0 0 2 6 0 0
0 5 1 1 0 0
Bi tp chng IX: Ma trn v nh thc
Trn trung kin
9.45 Chng minh rng mt ma trn c hng bng r bao gi cng vit c thnh tng ca r ma trn c hng bng 1. 9.46 Cho hai ma trn cng cp A v B, chng minh rng rank(A + B) rankA + rankB . 9.47 Xt s ph thuc tuyn tnh ca h vc t ,0, , , a/ { A 1 = (1 3,1); A 2 = (1 2,1,3); A 3 = (2,1,1 1); A 4 = (4, 3,3,5)} ,0, , , b/ { B1 = (1 3,2); B2 = (1 2,1,0); B3 = (2,0,1 1); B4 = (2, 3,3,1)} 9.48 a/ Cho h vc t { A 1 = (2,3,5); A 2 = (3,7,8); A 3 = (1, 6, ); X = (1,3,5)} . Tm gi tr ca vc t X biu din tuyn tnh c qua h vc t { A 1, A 2, A 3} . b/ Cho h vc t { A 1 = (6,7,3,2);A 2 = (1,3,2,7);A 3 = (4,18,10,3);X = (1,8,5,)} Tm gi tr ca vc t X biu din tuyn tnh c qua h vc t { A 1, A 2, A 3} . c/ Cho h vc t { A 1 = (1, 1,a); A 2 = (3,2,2); A 3 = (4,3,1); C = (2,1,3)} . Tm gi tr ca a vc t C biu din tuyn tnh c qua h vc t { A 1, A 2, A 3} . , , ,3);C = (2,8,a,4)} d/ Cho h vc t { A 1 = (4,5,3, 1);A 2 = (1 7,2,3);A 3 = (4,1 1 Tm gi tr ca a vc t C biu din tuyn tnh c qua h vc t { A 1, A 2, A 3} . 9.49 Tm hng v mt c s ca h vc t sau, biu din cc vc t cn li theo c s : a/ { A 1 = (1,2, 1,3); A 2 = (0,3, 3,7); A 3 = (7,5,2,0); A 4 = (2,1,1, 1)} ,1 ,2,1 ,3); ,6,0,4); A 4 = (3,4,4,1 ,2); b/ { A 1 = (2,1 ,3,5); A 2 = (1 ,1 A 3 = (7,1 A 5 = (3,1 ,3,2,1)} 9.50 Cho { A 1,A 2 , K ,A m} l h m vc t n chiu c lp tuyn tnh. Nu mi vc t ca h u b sung thm thnh phn th n + 1 th h m vc t n + 1 chiu mi l c lp tuyn tnh hay ph thuc tuyn tnh? 9.51 Cho { A 1,A 2 , K ,A m} l h m vc t n chiu ph thuc tuyn tnh. Nu mi vc t ca h u bt i thnh phn th n th h m vc t n + 1 chiu mi l c lp tuyn tnh hay ph thuc tuyn tnh?
Gii9.2: Chng minh:
akjA ij j =1.
n
chnh l cng thc khai trin theo dng i ca nh thc:
a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n ............ dng i ak1 ak2 . . . akn ............ a a . . . akn dng k k1 k2 ............ an1 an2 . . . ann
(*1)
5
Bi tp chng IX: Ma trn v nh thcn
Trn trung kin
trong n 2 . M nh thc (*1) c hai dng ging nhau nn nh thc bng khng A 9.3 iu kin cn: Cho A = ( aij ) nn c det 0 , ta cn chng minh h vc t dng (hoc ct) ca ma trn l c lp tuyn tnh. Gi s ngc li h vc t dng (hoc ct) ca ma trn l ph thuc tuyn tnh, theo h qu 9.3.5 th det = 0, mu thun vi gi A thit. Mu thun chng t h vc t dng (hoc ct) ca ma trn l c lp tuyn tnh.
akjA ij = 0 j =1
iu kin : Gi s h n vc t dng (hoc ct) ca ma trn l c lp tuyn tnh, theo (A nh ngha ca hng ca h vc t th rank 1, A 2 ,..., A n) = n , theo nh l 9.5.1 th rankA= n A , theo nh ngha hng ca ma trn th det 0 . 9.5 Do B l ma trn khng suy bin nn tn ti B1 . Xt ma trn ghp (A B1) ,
nhn vo bn tri ca ma trn ny vi B, ta c B.(A B1) = (B.A B.B1) = ( B.A E) . chnh l php kh ton phn thc hin trn ma trn B1 n l cc php bin i s (B cp thc hin trn ma trn A c B.A rank .A) = rankA . 1 (A chng minh rank .B) = rankA ta ly chuyn v B , (B ) vA = (aji ) nm . Xt ma , trn ghp
(A (B1)) , nhn vo bn B.(A (B1)) = (BA B.(B1)) = ((AB) E) (v
tri ca ma trn ny vi B , ta cB.(B1) = (B1.B) = E ). Nh vy t ma trn A,
nh cc php chuyn v v cc php bin i s cp, ta thu c ma trn A.B (A rank .B) = rankA 9.7 Ta c det[ ( A + E ) ( A E ) ] = [ det( A + E ) ] [ det( A E ) ] (*1) 2 2 V AE = EA nn det[ ( A + E ) ( A E ) ] = det( A E ) , do A 2 = nn det( A 2 E 2 ) = det( E 2 ) = (1)n 0 det( A + E ) 0 v det( A E ) 0 cc ma trn A + E v A E l nhng ma trn khng suy bin. 9.8 a/ Vic i du tt c cc phn t ca nh thc cp n ng ngha vi vic i du tt c n dng ca nh thc. Ta bit vic i du cc phn t trn mt dng ca nh thc lm cho nh thc i du. V vy vic i du tt c cc phn t ca nh thc cp n lm cho nh thc c nhn vi (1)n . b/ i vi nh thc cp chn ( n = 2k ) th vic vit cc dng (hay cc ct ca n) theo th t ngc li ng ngha vi vic i ch k cp dng: dng 1 v dng 2k cho nhau; dng 2 v dng 2k 1 cho nhau; dng k v dng k + 1. Ta cng bit: khi i ch 2 dng no cho nhau th nh thc i du. Do khi vit cc dng ca nh thc cp 2k theo th t ngc li, nh thc c nhn vi (1)k . Chng hn khi lm nh vy i vi nh thc cp 2 th nh thc i du, cn vi nh thc cp 4 th nh thc khng i du. i vi nh thc cp l ( n = 2k + 1) th vic vit cc dng (hay cc ct ca n) theo th t ngc li ng ngha vi vic i ch k cp dng: dng 1 v dng 2k + 1 cho nhau; dng 2 v dng 2k cho nhau; dng k v dng k + 2 . Do khi vit cc dng ca nh thc cp 2k + 1 theo th t ngc li, nh thc cng c nhn vi 6
Bi tp chng IX: Ma trn v nh thc
Trn trung kin
(1)k . Chng hn khi lm nh vy i vi nh thc cp 3 th nh thc i du, cn vi nh thc cp 5 th nh thc khng i du. Nh vy khi vit cc dng (hay cc ct) ca nh thc theo th t ngc li th cc nh thc cp 4k v 4k + 1 khng thay i, cc nh thc cp 4k 1 v 4k 2 s i du (k nguyn dng). 9.9 V det(kA) = kn detA nn kn detA = detA . Nu detA = 0 th det(kA) = detA ng vi mi k. Cn nu detA 0 th kn = 1 k = 1 nu n l; k = 1 nu n chn. , 9.10 Chng minh rng: Nu A = A 1 th A 2n = E; A 2n+1 = A n = 0,1 2,3, T gi thit A = A 1 A 2 = A 1A = E A 2n = E n = E n nguyn dng A 2n+1 = A n nguyn dng. 9.11 Chng minh rng: Nu A, B l cc ma trn vung cng cp tho mn AB = BA v det 0 th A 1B = BA1 . A A 1B = A 1BAA 1 = A 1ABA 1 = BA 1. A 9.12 Chng minh rng: Nu det = 2 th cc phn t ca ma trn nghch o khng th gm ton cc s nguyn. Do detA = 2 0 tn ti ma trn nghch o A 1 A.A 1 = E 1 (detA).(detA 1) = det(A.A 1) = detE = 1 v det = 2 detA 1 = A 1 khng th A 2 ton cc s nguyn. 9.21 Chng minh rng: khng tn ti cc ma trn vung cng cp A v B sao cho AB BA = E , trong E l ma trn n v cng cp vi A v B. T s tn ti ca cc ma trn AB v BA ko theo A v B l cc ma trn vung cng cp. Gi s A = ( aij ) nn ; B = ( bij ) nn ; AB = ( cij ) nn ; BA = ( dij ) nn . Gi VABBA l tng cc phn t trn ng cho chnh ca ma trn AB BA VABBA = (cii dii ) =1 n
= aikbki bikaki = aikbki aki bik = 0 . Trong khi tng cc phn i =1 k=1 i =1 k=1 k=1 k=1 i t trn ng cho chnh ca ma trn n v E l VE = n. Vy khng tn ti cc ma trn vung cng cp A v B sao cho AB BA = E . x x2 x3 . . . xn 2 3 n a a1 a1 . . . a1 1 2 3 n 9.29 Phng trnh det a2 a2 a2 . . . a2 = 0 (vi iu kin a1, a2, , an1 . . . . . . .2 . .3 . . . . . n . a n1 an1 an1 . . . an1 l cc hng s khc nhau v khc 0) l phng trnh bc n nn n c ti a l n nghim. D dng thy x1 = 0, x2 = a1, x3 = a2, K , xn = an1 l n nghim khc nhau ca phng trnh, v vy n ch c cc nghim y m thi n n n n n n n
7
Bi tp chng IX: Ma trn v nh thc 1 1 9.30 a/ D = 1 1 1 ( + 1)2 ( + 1)2 ( + 1)2 ( + 1)2 ( + 1)2 ( + 2)2 ( + 2)2 ( + 2)2 ( + 2)2 ( + 2)2
Trn trung kin
( + 3)2 ( + 3)2 ( + 3)2 = ( + 3)2 ( + 3)2 ( + 3)2 ( + 3)2 ( + 3)2 ( + 3)2 v nh thc (2) ( + 3)2 444 3
1 2 + 2 + 1 ( + 2)2 ( + 3)2 1 2 ( + 2)2 1 2 + 2 + 1 ( + 2)2 ( + 3)2 1 2 ( + 2)2 = 1 2 + 2 + 1 ( + 2)2 ( + 3)2 1 2 ( + 2)2 1 2 + 2 + 1 ( + 2)2 ( + 3)2 = 1 2 ( + 2)2 1 2 + 2 + 1 ( + 2)2 ( + 3)2 1 2 ( + 2)2 1 4 4 4 4 4 4 2 4 4 4 4 4 4 4 1 4 4 4 44 2 4 4 4 3(2) (3)
c c t nh thc (3) bng cch cng vo ct 3 mt t hp tuyn tnh ca 2 ct u. 1 2 ( + 2)2 ( + 3)2 1 2 2 + 4 + 4 ( + 3)2 1 2 ( + 2)2 ( + 3)2 1 2 2 + 4 + 4 ( + 3)2 D = 1 2 ( + 2)2 ( + 3)2 = 1 2 2 + 4 + 4 ( + 3)2 = 0 V nh 1 2 ( + 2)2 ( + 3)2 1 2 2 + 4 + 4 ( + 3)2 1 2 ( + 2)2 ( + 3)2 1 2 2 + 4 + 4 ( + 3)2 144444 2444444 4 3(5)
thc (5) c ct 4 bng t hp tuyn tnh ca 3 ct u. a+ x x x 1 x x 1 x x b/ Nu abcx 0: D = x b + x x = a 0 b + x x + x 1 b + x x = x x c+ x 0 x c+ x 1 x c+ x 1 0 x 1 1 x 1 0 x 1 1 x = ab 0 1 x + ax 0 1 x + xb1 1 x + x2 1 1 x . V nh thc cui 0 0 c+ x 0 1 c+ x 1 0 c+ x 1 1 c+ x cng c hai ct ging nhau nn n bng 0. nh thc u tin l nh thc ca ma trn 1 0 x tam gic nn ab 0 1 x = ab(c + x) = abc + abx . Li tch hai nh thc gia theo 0 0 c+ x ct cui, mi nh thc thnh hai nh thc, ta c: 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 0 1 2 2 D = abc + abx + acx 0 1 0 + ax 0 1 1 + xbc1 1 0 + x b1 1 1 , y li thy 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 = 0; 1 1 1 = 0 (c hai ct ging nhau); 0 1 0 = 1; 1 1 0 = 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 D = abc + abx + acx + xbc 1 0 x Nu chng hn a = 0 th D = xb1 1 x = bcx . 1 0 c+ x a 0 0 Nu x = 0 th D = 0 b 0 = abc. (p s trong sch sai) 0 0 c 8
Bi tp chng IX: Ma trn v nh thc
Trn trung kin
1 1 1 . . . 1 1 1 x 1 . . . 1 = 0 l phng trnh bc n 1 1 9.31 Phng trnh: 1 1 2 x . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 1 . . . (n 1) x nn n c khng qu n 1 nghim khc nhau. Nhng d thy phng trnh c n 1 nghim khc nhau l x1 = 0; x2 = 1; . . . ; xn1 = n 2 phng trnh ch c cc nghim m thi (p s trong sch bi tp thiu nghim khng im) 461 373 654 98 98 98 2 2 = 0 (nh thc c hai dng t l vi 9.33 a/ D = 2 2 2 = 2 363 275 556 363 275 556 nhau th nh thc bng 0. 0 1 1 ... 1 1 1 0 x ... x x 1 x 0 ... x x Ly dng 1 nhn vi x cng vo cc 9.33 b/ Dn = . . . . . . . . . . . . . dng t th hai tr i, ta c: 1 x x ... 0 x 1 x x ... x 0 0 1 1 ... 1 1 1 x 0 . . . 0 0 Dn = 1 0 x . . . 0 0 Khai trin nh thc theo dng n, ta c: ... ... ... ... ... ... 1 0 0 . . . x 0 1 0 0 . . . 0 x 1 1 ... 1 1 0 1 1 ... 1 x 0 . . . 0 0 1 x 0 . . . 0 Dn = (1)n+1. 0 x . . . 0 0 x. 1 0 x . . . 0 (*1) ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 0 0 . . . x 0 1 0 0 . . . x Khai trin nh th nht theo ct n 1 (l nh thc cp n 1), ta c 1 1 ... 1 1 x 0 . . . 0 0 D = 0 x . . . 0 0 = xn2 ; ... ... ... ... ... 0 0 . . . x 0 0 1 1 ... 1 1 x 0 . . . 0 nh thc th hai 1 0 x . . . 0 chnh l Dn1 . Thay vo (*1), ta c cng thc: ... ... ... ... ... 1 0 0 . . . x Dn = (1)n1xn2 x.Dn1 n nguyn dng (*2).
9
Bi tp chng IX: Ma trn v nh thc
Trn trung kin
0 1 1 Ta c D3 = 1 x 0 = 2x D4 = (1)3.x2 x.2x = 3x2 Ta chng minh 1 0 x c: Dn = (1)n1.(n 1)xn2 n nguyn dng (*3) hin nhin cng thc ng vi n = 3. Gi s (*3) ng vi n, ta chng minh (*3) cng ng vi n + 1. Theo (*2) th Dn+1 = (1)n xn1 x.Dn theo (*3) th Dn+1 = (1)n xn1 x.(1)n1(n 1).xn2 = (1)n xn1(1+ n 1) = (1)n.n.xn1 , tc l (*3) cng ng vi n + 1 9.34 a/ nh thc c ct mt v ct 4 t l vi nhau th nh thc bng 0. a0 1 0 . . . 0 0 a1 x 1 . . . 0 0 a 0 x ... 0 0 9.34 b/ Dn+1 = . .2 . . . . . . . . . . . khai trin theo dng n + 1, ta c: an1 0 0 . . . x 1 an 0 0 . . . 0 x a0 1 0 . . . 0 1 0 . . . 0 0 a1 x 1 . . . 0 x 1 . . . 0 0 n+ 2 Dn+1 = (1) .an. 0 x . . . 0 0 + x. a2 0 x . . . 0 = (1)n+2.an.(1)n + x.Dn = ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. 0 0 . . . x 1 an1 0 0 . . . x an + x.Dn n nguyn dng (*1). a0 1 0 D1 = a0; D2 = a0x + a1; D3 = a1 x 1 = a0x2 + a1x + a2 d on: Ta c: a2 0 x Dn+1 = a0xn + a1xn1 + L + an1x + an = ai xni n nguyn dng (*2). Hin nhin (*2) ng vi n = 2 . Gi s (*2) ng vi n nguyn dng tu , theo (*1) th Dn+2 = an+1 + x.Dn+1 , theo (*2) th Dn+2 = an+1 + x. ai xni =i=0 n n+1 i=0 i =0 n
= a0xn+1 + a1xn + L + an1x2 + anx + an+1 = ai xn+1i , tc l (*2) ng vi n = n + 1 2 3 9.35 D = 4 2 3 4 6 3 4 5 8 7 5 6 =0 , (dng 3 v dng 1 t l vi nhau). 10 8
10
Bi tp chng IX: Ma trn v nh thc
Trn trung kin
1 2 3 4. . . n 2 2 3 4. . . n 3 3 3 4. . . n 9.36 a/ * Cch 1: Dn = 4 4 4 4 . . . n Ly dng 1 tr dng 2, ta c: . . . . . . . . n n n n. . . n 1 0 0 0 . . . 0 2 2 3 4 . . . n Dn = 3 3 3 4 . . . n , ly dng 2 tr dng 3, ta c tip: 4 4 4 4 . . . n . . . . . . . . n n n n . . . n 1 0 0 0 . . . 0 1 1 0 0 . . . 0 Dn = 3 3 3 4 . . . n . C nh vy, bc k th ly dng k tr dng k + 1, sau 4 4 4 4 . . . n . . . . . . . . n n n n . . . n 1 0 0 . . . 0 0 1 1 0 . . . 0 0 1 1 1 . . . 0 0 bc th n 1 ta c: Dn = . . . . . . . . . . . . . . . . . . = (1)n1n. 1 1 1 . . . 1 0 n n n ... n n 1 2 3 . . . n 1 n 2 2 3 . . . n 1 n 3 3 3 . . . n 1 n Cch 2: Dn = . . . . . . . . . . . . . . . . Ly dng cc dng t dng 2 tr i n 1 n 1 n 1 . . . n 1 n n n n . . . n 1 n 1 2 3 . . . n 1 n 1 0 0 . . . 0 0 2 1 0 . . . 0 0 tr dng 1, ta c Dn = . . . . . . . . . . . . . . . . khai trin theo ct n, ta n 2 n 3 n 4 . . . 0 0 n 1 n 2 n 3 . . . 1 0 1 0 0 ...0 2 1 0 ...0 Dn = (1)n+1 n . . . . . . . . . . . . . . . . = (1)n+1n c: n 2 n 3 n 4 . . . 0 n 1 n 2 n 3 . . . 1
11
Bi tp chng IX: Ma trn v nh thc1 (2) 2 9.36 c/ Tnh: Dn = . . 2 2 0 2 Dn = 0 . . 0 0 1 2 0 . . 0 0 1 2 1 .. 0 0 1 1 0 . . 0 0 . . . . . . 1 0 2 .. 0 0 . . . . . . . . . . . . 2 2 2 . . 2 2 2 2 3 .. 2 2 . . . . . . . . . . . .
Trn trung kin
. 2 . 2 . 2 . . . . . n 1 . 2
2 2 2 1 . . ly dng 2 nhn vi 2 ri cng vo 2 n
dng 1; ly dng 2 nhn vi 1 ri cng vo cc dng t dng 3 tr xung, ta c. 1 1 . 2 2 . 0 0 . . . . . . . . Khai trin theo ct 1, ta c tip: . n 3 0 . 0 n 2 . . . . . . . 1 1 . 0 0 . 0 0 . . . . . . . = Dn = 2.(n 2)! . n 3 0 . 0 n 2
1 0 Dn = 2. 0 . . 0 0
Theo th phn b bi 9.36 chnh l D5 = 2.(5 2)! = 12. 9.37 Tng qut, ta tnh nh thc cp n m cc phn t c dng aii 0 i = 1 ai,i+1 0 i = 1 1; an1 0 , cn li u bng 0: ,n; ,n 0 0 a11 a12 0 . . . 0 0 0 a22 a23 . . . 0 0 a33 . . . 0 0 D= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , khai trin nh thc theo ct 1, ta c: 0 0 0 . . . an1,n1 an1,n a 0 ann n1 0 0 . . . 0 0 0 0 a22 a23 . . . a12 0 . . . 0 0 0 0 0 a33 . . . a22 a23 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . + (1)n+1an1 0 a33 . . . 0 0 = D = a11 0 0 . . . an1,n1 an1,n ... ... ... ...... ..... 0 0 ... 0 0 ... a 0 ann n1,n1 an1,n = a11a22L ann + (1)n+1a12a23L an1,nan1. 9.40 Tm ma trn nghch o ca cc ma trn: 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 c/ B = 0 0 1 1 1 B = 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1
12
Bi tp chng IX: Ma trn v nh thc
Trn trung kin
1 1 1 ... 1 1 1 1 0 . . . 0 0 0 1 1 ... 1 1 0 1 1 . . . 0 0 0 0 1 . . . 1 1 B1 = 0 0 1 . . . 0 0 Tng qut: B = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 0 ... 1 1 0 0 0 . . . 1 1 0 0 0 ... 0 1 0 0 0 ... 0 1 1 2 3 . . . n 1 n 0 1 2 . . . n 2 n 1 0 0 1 . . . n 3 n 2 T y suy ra bi 9.41.c: BX = C vi C = . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 0 ... 1 2 0 0 0 ... 0 1 1 1 0 . . . 0 0 1 2 3 . . . n 1 n 0 1 1 . . . 0 0 0 1 2 . . . n 2 n 1 0 0 1 . . . 0 0 0 0 1 . . . n 3 n 2 X = B1C = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . = 0 0 0 . . . 1 1 0 0 0 . . . 1 2 0 0 0 ... 0 1 0 0 0 ... 0 1 1 1 1 ... 1 1 0 1 1 ... 1 1 0 0 1 ... 1 1 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . =B. 0 0 0 ... 1 1 0 0 0 ... 0 1 Nh vy ta c ng thc B2 = C 1 2 2 A = 3 0 c ma trn nghch o detA 0 4 9 0 9.42 a/ Ma trn 2 1 1 9 . 4 2 0 A = 2 1 detA = 3 5 0 0; 5 b/ 0 1 1 5 4 A = 3 1 detA = 2 17 + 38 0 2; 19 ; c/ 1 3 2 1 d/ A = 2 1 detA = 3 + 6 + 5 0 1; 1 21 3 2 2 9.45 Nhn xt: Ta d thy mt ma trn (khc ma trn khng) m tt c cc ct ca n t l vi nhau (tc l ch khc nhau bi mt hng s nhn) u c hng l 1 ,n Gi s A = (A 1,A 2, K ,A n ) l ma trn m A j l ct th j ca ma trn A ( j = 1 ). Do rankA = rank{ A 1,A 2, K ,A n } = r tn ti h r vc t c lp tuyn tnh cc i 13
Bi tp chng IX: Ma trn v nh thc
Trn trung kin
ca h vc t { A 1,A 2, K ,A n } ( r n ). Khng mt tnh tng qut, c th gi thit h ,n l r vc t u tin: { A 1,A 2, K ,A r } A k = zjkA j k = r + 1 j =1 r
A = A 1,A 2, K ,A r , zj,r+1A j , zj,r+ 2A j , K zj,nA j = j =1 j =1 j =1 A 1,, K , , z1,r+1A 1, z1,r+ 2A 1, K ,z1nA 1 + = { 1 4 2 4 3 123 123 r ct u ct r+ 1 ct r+ 2 4 4 4 4 4 4 4 2 4 4 4 4 4 4 ct n3 1 4r r r ma trn1
,A 2,, K , , z2,r+1A 2 , z2,r+ 2A 2 , K ,z2nA 2 + L + + { 4 3 1 44 2 4 43 1 2 3 1 2 4 4 4r ct u 4 4 4 ct r+1 4 4ct r+24 4 4 4ct n 1 44 42 4 43ma trn 2
+ ,, K ,,A r , zr,r+1A r , zr,r+2A r , K ,zrnA r { . Theo nhn xt: mi ma trn trong s 3 1 44 2 4 4 1 2 3 1 2 3 ct n ct 4 4r ct u 4 4 44 r+1 4 4ct r+24 4 4 4 4 1 44 2 4 3ma trn r
tng ca r ma trn trn u c hng l 1, l iu phi chng minh. 9.46 Gi s A 1,A 2, K ,A n l cc ct ma trn A; B1,B2, K ,Bn l cc ct ca ma trn B. Gi s rankA = r rank{ A 1,A 2, K ,A n } = r tn ti h con r vc t c lp tuyn tnh cc i ca h { A 1,A 2, K ,A n } . Khng lm mt tnh tng qut, c th gi thit r vc t l h r vc t u tin ca h: { A 1,A 2, K ,A r } (r n) A k = zjkA j k = 1 . Cng vy, rankB = s rank{ B1,B2, K ,Bn } = s c h s ,n vc t c lp tuyn tnh cc i ca { B1,B2, K ,Bn } l { B1,B2, K ,Bs} (s n) Bk = zjkBj k = 1 A k + Bk biu din tuyn tnh c qua h vc t ,nj =1 s j =1 r
r + s = rankA + rankB rank(A + B) rankA + rankB . 9.47 Ta bit rng: Nu hng ca mt h vc t bng s vc t ca h th h vc t l h vc t c lp tuyn tnh; cn nu hng ca mt h vc t t hn s vc t ca h th h vc t l h vc t ph thuc tuyn tnh. V vy ta ch cn tnh rank{ A 1,A 2,A 3,A 4} . b/ Gi A l ma trn to bi h vc t { A 1,A 2,A 3,A 4} , do hng ca mt ma trn bng hng ca h vc t dng hay h vc t ct ca ma trn nn ta tnh hng ca ma trn: 1 2 3 4 1 A = 1 1 1 3 1 3 5 7 5 3 2 3 4 1 4
{ A 1,A 2, K ,A r ,B1,B2, K ,Bs} k = 1,n rank{ A 1,A 2, K ,A n,B1,B2, K ,Bn}
14
Bi tp chng IX: Ma trn v nh thc
Trn trung kin
(1) 2 3 4 1 1 2 3 4 1 1 0 1 10 3 A = 1 1 1 3 1 0 (1) 2 7 2 0 1 2 7 2 3 5 7 5 3 0 1 2 7 6 0 0 0 0 (4) 2 3 4 1 4 0 1 2 7 6 0 0 0 0 4 1 0 1 10 3 1 0 1 10 0 0 1 2 7 2 0 1 2 7 0 = B 0 0 0 0 (4) 0 0 0 0 1 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 rank{ A 1,A 2,A 3,A 4} = rankA = rankB = 3, hng ca h vc t { A 1,A 2,A 3,A 4} t hn s vc t ca h h vc t { A 1,A 2,A 3,A 4} l h vc t ph thuc tuyn tnh. Cch gii nh trong sch bi tp khng c coi l cch gii mu mc, v c phi ai cng thy c dng A3 bng tng cc dng A1 v A4 u. Chng hn, ch cn sa a41 = 1 l ta c h 4 vc t mi, lm sao thy c ci g h vc t ny: (1) 2 3 4 1 1 2 3 4 1 1 0 1 10 3 C = 1 1 1 3 1 0 (1) 2 7 2 0 1 2 7 2 = F 3 5 7 5 3 0 1 2 7 6 0 0 0 0 (4) 1 3 4 1 4 0 1 1 3 5 0 0 1 10 7 Xt nh thc cp 4 xp theo trt t: ct 1, ct 2, ct 3, ct 5; dng 1, dng 2, dng 4, 1 0 1 3 0 1 2 2 dng 3: D = 0 0 1 7 = 4 0 (nh thc ca ma trn tam gic bng tch cc phn 0 0 0 4 t trn ng cho chnh) rank{ A 1,A 2,A 3,A 4} = rankC = rankF = 4 , hng ca h vc t { A 1,A 2,A 3,A 4} bng s vc t ca h h vc t { A 1,A 2,A 3,A 4} l h vc t c lp tuyn tnh. 9.48 a/ Vc t X biu din tuyn tnh c qua h vc t { A 1, A 2, A 3} tn ti cc s thc th rank{ A 1,A 2,A 3} = rank{ A 1,A 2,A 3,X } . Nhng rank{ A 1,A 2,A 3,X } = 2 3 1 2 3 1 1 = rank 3 7 6 3 = 3 v c nh thc cp 3: 3 7 3 = 11 0 5 8 5 5 8 5 2 3 1 2 3 1 rank{ A 1,A 2,A 3} = rank 3 7 6 = 3 3 7 6 0 5 5 0 1. 5 8 5 8 Ngc li, nu 1 th h vc t { A 1, A 2, A 3} l h vc t c lp tuyn tnh cc i ca h vc t { A 1,A 2,A 3,X } vc t X biu din tuyn tnh c qua h vc t { A 1, A 2, A 3} . b/ Xt ma trn A m cc ct ca n l A 1,A 2,A 3,X v bin i: 6 (1) 4 1 6 1 4 1 0 1 16/5 11/5 0 A = 7 3 18 8 25 0 30 5 0 0 0 3 2 10 5 (15) 0 18 3 1 0 6/5 1/5 2 7 3 40 0 31 7 0 0 17 15 15
Bi tp chng IX: Ma trn v nh thc
Trn trung kin
0 1 0 16 53 85 0 0 0 0 6 73 rank{ A 1,A 2,A 3} = rank{ A 1,A 2,A 3,X } = 3 h vc 1 0 0 85 0 0 1 15 17 t { A 1, A 2, A 3} l h vc t c lp tuyn tnh cc i ca h vc t { A 1,A 2,A 3,X } vi mi vc t X biu din tuyn tnh c qua h vc t { A 1, A 2, A 3} vi mi . 9.49 a/ Xt ma trn A m cc ct ca n l A 1,A 2,A 3,A 4 v bin i: (1) 1 3 3 1 1 3 3 1 0 3 1 A = 2 5 6 8 0 (7) 0 14 0 1 0 2 1 5 3 9 0 6 0 12 0 0 0 0 3 4 9 5 0 7 0 14 0 0 0 0 rank{ A 1,A 2,A 3,A 4} = 2 v h 2 vc t { A 1,A 2} l mt c s ca h { A 1,A 2,A 3,A 4 } . A 3 = 3A 1; A 4 = A 1 + 2A 2 . b/ Xt ma trn X m cc ct ca n l X 1,X 2,X 3,X 4 v bin i: (1) 2 4 1 1 2 4 1 1 0 18 17 3 1 3 5 0 7 15 8 0 0 64 64 X = 0 3 1 2 0 3 1 2 0 0 22 22 1 2 1 2 0 0 3 3 0 0 (3) 3 2 5 1 6 0 (1) 7 8 0 1 7 8 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 rank{ X 1,X 2,X 3,X 4} = rankX = 3 v h vc t { X 1,X 2,X 3} l mt 0 0 1 1 0 1 0 1 c s ca h vc t { X 1,X 2,X 3,X 4} , ng thi X 4 = X 1 X 2 + X 3 . 9.50 Xt ma trn cp m n to bi h vc t { A 1,A 2 , K ,A m} , do h ny l h c lp tuyn tnh nn n c hng l m ma trn tng ng c hng l m nn n c t nht mt nh thc cp m khc 0. Khi mi vc t ca h u b sung thm thnh phn th n + 1 th ma trn tng ng tng thm ct th n + 1, n vn c t nht nh thc cp m khc 0, nh thc ny vn chnh l nh thc trn. V vy ma trn mi vn c hng l m h m vc t mi vn c hng l m h vc t mi vn c lp tuyn tnh. 9.51 Cch 1: Cho { A 1,A 2 , K ,A m} l h m vc t n chiu ph thuc tuyn tnh. Nu mi vc t ca h u bt i thnh phn th n th h m vc t n 1 chiu mi l ph thuc tuyn tnh. V nu h mi l c lp tuyn tnh th theo bi 9.50, h c l c lp tuyn tnh, mu thun vi gi thit. Mu thun chng t h mi l ph thuc tuyn tnh. Cch 2: H { A 1,A 2 , K ,A m} ph thuc tuyn tnh rank{ A 1,A 2 , K ,A m} < m ma trn tng ng c hng nh hn m cp ca nh thc con cp cao nht trong s cc nh thc con khc khng vn nh hn m. Khi mi vc t ca h u b bt i thnh phn th n th ma trn tng ng mt i ct th n cp ca nh thc con cp 16
Bi tp chng IX: Ma trn v nh thc
Trn trung kin
cao nht trong s cc nh thc con khc khng khng th tng ln c. V vy ma trn mi vn c hng nh hn m h m vc t mi vn c hng thp hn m h vc t mi vn ph thuc tuyn tnh.
17
