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Documento di Validazione

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Indice Basi Teoriche 1. Caratteristiche del codice di calcolo .................................................................................................................3 2. Modellazione di pareti ..........................................................................................................................................4

2.1 Criteri per la definizione della geometria di maschi e fasce ..........................................................................................6 3. Modellazione degli elementi strutturali .............................................................................................................8

3.1 Elementi in muratura ordinaria ........................................................................................................................................8 3.1.1 Elemento Trave .......................................................................................................................................................8 3.1.2 Elemento Pilastro ................................................................................................................................................. 10 3.1.3 Criteri di resistenza adottati ................................................................................................................................. 12 3.1.4 Precisazioni sulla capacità deformativa in relazione ai riferimenti normativi .................................................... 14 3.1.5 Precisazioni sui criteri di resistenza in relazione ai riferimenti normativi ......................................................... 15 3.1.6 Precisazioni sui criteri di resistenza nel caso delle fasce (travi in muratura) .................................................. 18

3.2 Elementi in muratura armata ........................................................................................................................................ 18 3.2.1 Criteri di resistenza adottati ................................................................................................................................. 20 3.2.2 Precisazioni sulla capacità deformativa in relazione ai riferimenti normativi .................................................... 22

3.3 Elementi in cemento armato ......................................................................................................................................... 22 3.3.1 Elemento Trave .................................................................................................................................................... 23 3.3.2 Elemento Pilastro ................................................................................................................................................. 24 3.3.3 Elemento Setto ..................................................................................................................................................... 25 3.3.4 Criteri di resistenza adottati ................................................................................................................................. 26 3.3.5 Valutazione della capacità di rotazione ultima ................................................................................................... 32 3.3.6 Precisazioni sulla formazione della cerniera plastica ........................................................................................ 34

3.4 Altri elementi strutturali (catene, travi o pilastri in acciaio o legno) ............................................................................ 36 3.4.1 Elemento Trave Elastica ...................................................................................................................................... 36

4. Modellazione di strutture tridimensionali ...................................................................................................... 36 4.1 Solai ............................................................................................................................................................................... 38 4.2 Ripartizione delle masse ............................................................................................................................................... 39

5. Procedure di analisi........................................................................................................................................... 41 5.1 Analisi modale ............................................................................................................................................................... 41 5.2 Analisi statica non lineare (pushover) .......................................................................................................................... 41

5.2.1 Introduzione dell’eccentrità accidentale aggiuntiva prescritta dalle normative ................................................ 42 5.2.2 Precisazioni sull’applicazione dell’analisi statica non lineare in relazione ai riferimenti normativi .................. 43

6. Criteri adottati per la verifica ........................................................................................................................... 43 6.1 Verifica sismica globale ................................................................................................................................................ 43

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Approfondimenti & Validazioni 7. Premessa ............................................................................................................................................................ 45 8. Modellazione di pareti ....................................................................................................................................... 45

8.1 Sensitività della risposta al variare dei criteri adottati per la definizione della geometria degli elementi ................. 45 9. Modellazione degli elementi strutturali .......................................................................................................... 50

9.1 Elementi in muratura ordinaria ..................................................................................................................................... 50 9.1.1 Esempi di calcolo del dominio di resistenza a taglio (edifici esistenti) .............................................................. 50 9.1.2 Esempi di calcolo del dominio di resistenza a taglio (edifici nuovi) .................................................................. 57 9.1.3 Esempi di calcolo sulla capacità deformativa ..................................................................................................... 65

9.2 Definizione delle proprietà meccaniche della muratura .............................................................................................. 67 9.2.1 Murature Esistente ............................................................................................................................................... 67

9.3 Murature Nuova ............................................................................................................................................................. 69 9.4 Elementi in muratura armata ........................................................................................................................................ 71

9.4.1 Precisazioni sul trattamento dei dati forniti in input nel caso dei rinforzi .......................................................... 71 9.5 Elementi in cemento armato ......................................................................................................................................... 72

9.5.1 Validazione degli elementi in cemento armato tramite il confronto con un modello a fibre ............................. 72 10. Modellazione di strutture tridimensionali ................................................................................................... 74

10.1 Solai ............................................................................................................................................................................... 74 10.1.1 Ruolo della rigidezza dei solai nella risposta sismica globale ........................................................................... 74 10.1.2 Definizione delle proprietà di rigidezza dei solai ................................................................................................ 77 10.1.3 Combinazione dei carichi dei solai ...................................................................................................................... 78

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BASI TEORICHE

1. Caratteristiche del codice di calcolo Il modello di calcolo adottato è finalizzato all’analisi di strutture in muratura ordinaria e armata (nuove ed esistenti) o miste muratura con altre tipologie strutturali (quali cemento armato o acciaio). Il modello di calcolo adottato opera nell’ambito dell’approccio di modellazione a telaio equivalente tridimensionale, in cui le pareti sono interconnesse da diaframmi orizzontali di piano (solai). Le ipotesi sulle quali esso si basa si ispirano ad una concezione scatolare della struttura in muratura secondo cui la struttura portante, con riferimento alle azioni verticali e orizzontali, è identificata dalle pareti e dai solai (o volte). Le pareti sono propriamente gli elementi portanti, mentre i solai, oltre a distribuire i carichi verticali sulle pareti, sono considerati come elementi di irrigidimento nel piano (modellati come elementi membrana ortotropi), da cui dipende la distribuzione tra le varie pareti delle azioni orizzontali. Il ruolo degli orizzontamenti è di rilevante interesse determinando il grado di accoppiamento e la modalità di distribuzione delle azioni sugli elementi resistenti. Il comportamento flessionale locale dei solai e la risposta fuori piano delle pareti non sono considerati in questo modello che analizza la risposta globale dell’edificio governata dal comportamento nel piano delle pareti (questi ulteriori effetti possono essere poi infatti valutati mediante opportune verifiche locali). Secondo la rappresentazione a telaio, ciascuna parete dell’edificio è suddivisa in elementi nei quali è concentra la deformabilità e la non linearità della risposta – quali maschi (pannelli murari) e fasce (travi di collegamento in muratura) - collegati da porzioni rigide (nodi). L’osservazione dei danni dovuti al sisma mostra, infatti, che solo raramente (nel caso di geometria molto irregolare o aperture molto ridotte) si riscontrano fessure in queste aree della parete pertanto, la deformazione di queste regioni è considerata trascurabile rispetto alle deformazioni non lineari del macroelemento che governano la risposta sismica. Tale idealizzazione è coerente con quanto esplicitamente indicato nelle Norme Tecniche delle Costruzioni 2008 al punto 7.8.1.5.2 :“…..In presenza di elementi di accoppiamento l’analisi può essere effettuata utilizzando modelli a telaio, in cui le parti di intersezione tra elementi verticali e orizzontali possono essere considerate infinitamente rigide”. Le procedure adottate per procedere all’assemblaggio delle singole pareti al fine di modellare strutture tridimensionali consente di ottenere modelli di calcolo 3D con numero di gradi di libertà limitato cui è associato un onere computazionale ragionevole anche per strutture complesse in sede di analisi. I nodi sono classificati come: tridimensionali a 5 gradi di libertà (le tre componenti di spostamento nel sistema di riferimento globale e le rotazioni intorno agli assi X e Y trascurando dunque la rotazione attorno all’asse Z coerentemente con l’ipotesi di trascurare la risposta fuori piano delle pareti) all’intersezione tra una o più pareti; bidimensionali a 3 gradi di libertà (due traslazioni e la rotazione nel piano della parete) definiti su un’unica parete. Un’ opportuno algoritmo di ripartizione delle masse consente di trasferire le azioni dai nodi bidimensionali a quelli tridimensionali al fine di garantire la conservazione della massa totale in ogni direzione. Gli elementi in muratura ordinaria e quelli in muratura armata (o consolidati mediante rinforzi tipo FRP), coerentemente con quanto proposto nelle Norme Tecniche delle Costruzioni 2008 al pto. 7.8.1.5.4., sono modellati come elementi trave non lineare (nello specifico caratterizzati da sei gradi di libertà con un legame a resistenza limitata e degrado della rigidezza in fase non lineare e capacità di spostamento ultima sancita in termini di drift limite. E’ possibile inoltre modellare altre tipologie di elementi strutturali, quali catene, travi (in legno o in acciaio) ed elementi in calcestruzzo armato (travi, pilastri, setti), caratterizzati da comportamento non lineare. Gli elementi solaio, modellati come elementi membrana ortotropi, con 3 o 4 nodi (con due gradi di libertà per ciascun nodo) sono identificati: da una direzione principale, con modulo di Young E1; dal modulo di Young E2 nella direzione perpendicolare; dal modulo di Poisson ; dal modulo di taglio G1,2. Le grandezze E1 e E2 simulano pertanto il collegamento che il solaio, anche grazie all’effetto di cordoli o catene, esercita tra i nodi di incidenza nel piano della parete; G1,2 rappresenta invece la rigidezza a taglio del solaio nel piano, che governa la ripartizione delle azioni orizzontali tra le diverse pareti. L’elemento finito di riferimento considerato è l’elemento piano, in stato piano di tensione. La possibilità di modellare i

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solai come elementi membrana caratterizzati da rigidezza finita risulta particolarmente cruciale nel caso di manufatti caratterizzati da orizzontamenti per i quali l’ipotesi di rigidezza infinita (spesso adottata in molti modelli di calcolo) risulta del tutto inadeguata (quale il caso ad esempio di solai lignei oppure strutture voltate). Il modello di calcolo consente di effettuare analisi statiche lineari e non lineari per la verifica della sicurezza alla azioni ordinarie e sismica.

2. Modellazione di pareti Secondo la rappresentazione a telaio, ciascuna parete dell’edificio è suddivisa in elementi nei quali è concentra la deformabilità e la non linearità della risposta – quali maschi (pannelli murari) e fasce (travi di collegamento in muratura) - collegati da porzioni rigide (nodi). Grazie a questa suddivisione in nodi ed elementi, il modello della parete diviene quindi del tutto assimilabile a quello di un telaio piano. L’osservazione dei danni dovuti al sisma mostra, infatti, che solo raramente (nel caso di geometria molto irregolare o aperture molto ridotte) si riscontrano fessure in queste aree della parete pertanto, la deformazione di queste regioni è considerata trascurabile rispetto alle deformazioni non lineari del macroelemento che governano la risposta sismica. Tale idealizzazione è coerente con quanto esplicitamente indicato nelle Norme Tecniche delle Costruzioni 2008 al punto 7.8.1.5.2 :“…..In presenza di elementi di accoppiamento l’analisi può essere effettuata utilizzando modelli a telaio, in cui le parti di intersezione tra elementi verticali e orizzontali possono essere considerate infinitamente rigide”. La modellazione dei singoli elementi strutturali nei quali è concentrata la deformabilità e non linearità della risposta è analizzata in dettaglio al paragrafo 3 – Modellazione degli elementi strutturali. Nel seguito sono approfonditi esclusivamente gli aspetti relativi alle caratteristiche dei nodi e ai criteri assunti per la definizione della geometria delle porzioni deformabili. Nella descrizione di una singola parete i nodi sono individuati da una coppia di coordinate (x,z) nel piano della parete e dalla quota z corrispondente a quelle degli orizzontamenti; i gradi di libertà di cui disporranno saranno unicamente ux, uz, roty (nodi bidimensionali): essi possono essere puntuali oppure dotati di una propria geometria. Durante l’assemblaggio della parete si considereranno le eventuali eccentricità fra i nodi del modello e gli estremi dei macroelementi: considerati gli assi baricentrici degli elementi, questi potrebbero non coincidere con il nodo, nei blocchi rigidi si potrà quindi verificare un’eccentricità tra il nodo del modello e quello dell’elemento deformabile.

Estremi rigidi del macroelemento ed eventuale loro eccentricità

Questa operazione viene effettuata applicando una opportuna matrice di estremo rigido alla matrice delle rigidezze dell’elemento medesimo. Considerando i nodi 1 e 2 distinti eventualmente dagli estremi i e j dell’elemento strutturale, si possono scrivere le seguenti relazioni cinematiche sfruttando l’ipotesi di piccoli spostamenti che permette di confondere seno e tangente con l’angolo stesso:

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1

1

1

2

2

2

i i i

i i i

i

j j j

j j j

j

u u yw w x

u u yw w x

In termini matriciali questa operazione può essere poi tradotta introducendo la matrice di estremo rigido De che risulta:

1 0 0 0 0 0 00 1 0 0 0 0 00 0 1 0 0 0 0 00 0 0 1 0 0 00 0 0 0 1 0 00 0 0 0 0 1 0 00 0 0 0 0 0 1 00 0 0 0 0 0 0 1

i

i

j

j

yx

yx

eD

La matrice di rigidezza elastica dell’elemento Ke ed il vettore delle azioni nodali q saranno così modificati attraverso le matrici De di estremo rigido (ad esempio nel caso della matrice di rigidezza dell’elemento Ke’ = DTeKeD). La modellazione di elementi orizzontali, come le fasce (intese come maschi ruotati) richiede la rotazione degli elementi: questa operazione si esegue applicando una matrice di rotazione R:

cos( ) sin( ) 0 0 0 0 0 0sin( ) cos( ) 0 0 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0 0 00 0 0 cos( ) sin( ) 0 0 00 0 0 sin( ) cos( ) 0 0 00 0 0 0 0 1 0 00 0 0 0 0 0 1 00 0 0 0 0 0 0 1

R

La matrice di rigidezza dell’elemento Ke’ è così opportunamente modificata in Ke”=RTKe’R (si procede analogamente per il vettore delle azioni nodali). La matrice di rotazione R è legata all’angolo antiorario di rotazione del sistema locale del macroelemento rispetto al sistema globale. La modellazione strutturale richiede inoltre la possibilità di inserire travi ovvero prismi elastici a sezione costante, individuati nel piano dalla posizione dei due nodi di estremità. Noti la lunghezza (dimensione prevalente), l’area, il momento di inerzia ed il modulo elastico è possibile ricostruire la matrice di rigidezza (applicando le regole del legame elastico) e, assumendo, che permangano indefinitamente in campo elastico, si applicano le consuete formulazioni del legame elastico (Petrini et al., 2004; Corradi dell’Acqua, 1992). Oltre alla presenza di vere e proprie travi (architravi o cordoli in c.a.) il modello prevede la presenza di dispositivi catena: queste strutture metalliche, sono sprovviste di rigidezza flessionale e perdono ogni efficacia nel caso divengano compresse. Questa loro peculiarità comporta un ulteriore elemento di non linearità nel modello: la rigidezza complessiva del sistema deve diminuire qualora una catena tesa divenga compressa e deve aumentare nel caso contrario. Un’altra caratteristica di questi elementi è la possibilità di assegnare una deformazione iniziale e0, che determina una forza Fc= EAe0; dal punto di vista statico, una volta determinato il vettore globale delle forze di precompressione fc, basterà applicarlo alla struttura come se fosse un carico esterno. La matrice di rigidezza di elementi privi di rigidezza flessionale è facilmente ricavabile azzerando dalla matrice dell’elemento tutti i termini contenenti J; per gestire invece la non linearità occorre conservare distinti tutti i contributi elastici dovuti alle

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catene, e verificare ad ogni passo se vi siano catene precedentemente tese ora compresse o viceversa, ed in tal caso provvedere a correggere la matrice di rigidezza complessiva del modello. Infine per procedere all’assemblaggio di tutti gli elementi costituenti la parete in un unico sistema si deve stabilire un’univoca numerazione dei g.d.l. Assemblando il contributo di tutti i singoli elementi si ottiene il sistema di equazioni di equilibrio della parete in forma matriciale, di dimensioni 3n+2e (n = numero di nodi, e = numero di elementi).

2.1 Criteri per la definizione della geometria di maschi e fasce Passo cruciale di tale idealizzazione è rappresentata dalla identificazione della geometria delle porzioni schematizzabili come rigide e di quelle in cui concentrare la non linearità (maschi e fasce). Al riguardo tuttavia non sono proposti né in letteratura né tanto meno nei documenti normativi (non solo nazionali ma anche internazionali) criteri univocamente riconosciuti per operare tale idealizzazione. Il programma di calcolo 3Muri propone un algoritmo di generazione automatica della mesh (definito a partire da una serie di regole empiriche basate sul riscontro con il danno osservato a seguito di eventi sismici) che tuttavia può essere poi modificato arbitrariamente dall’utente quando quest’ultimo ritenga più appropriata l’adozione di criteri alternativi. In tal senso è dunque responsabilità del progettista incaricato quella di verificare l’aderenza della mesh proposta in automatico dal programma di calcolo con il caso effettivo di volta in volta esaminato (ad esempio preesistenti quadri fessurativi potrebbero fornire al progettista ulteriori elementi – evidentemente trascurati dall’algoritmo di generazione automatica della mesh - per la definizione della geometria degli elementi strutturali del telaio equivalente). Le Figure seguenti illustrano una esemplificazione dell’idealizzazione della parete in telaio equivalente nel caso di disposizione di aperture regolare ed irregolare rispettivamente in accordo ai principi utilizzati per la generazione automatica della mesh dal programma di calcolo adottato. Nello specifico i criteri di generazione automatica della mesh impiegati dal programma di calcolo (in relazione alla definizione delle porzioni di nodo rigido e delle fasce di piano) possono essere così sintetizzate:

- Altezza dei nodi: media delle altezze delle fasce adiacenti. La regola è applicata separatamente per ciascun livello; - Altezza delle fasce: l’altezza coincide con la larghezza di sovrapposizione totale incrementata di metà della larghezza

della regione di sovrapposizione parziale. Quando non c’è sovrapposizione la fascia non è generata.

Appare opportuno precisare inoltre che nel caso in cui due nodi adiacenti non siano collegati da alcun elemento deformabile (trave non lineare, fascia di piano) essi sono collegati automaticamente dal programma mediante una trave elastica rigida al fine di garantirne l’accoppiamento.

Idealizzazione della parete in muratura in telaio equivalente nel caso di disposizione di aperture regolare

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Idealizzazione della parete in muratura in telaio equivalente nel caso di disposizione di aperture irregolare La geometria adottata per gli elementi strutturali che compongono il telaio equivalente concorre a definire la risposta sismica globale. In particolare si richiama, ad esempio, come l’altezza definita per i maschi murari possa influenzare l’attivazione prevalente di un meccanismo a pressoflessione oppure a taglio (si rimanda alla sezione relativa ai criteri di resistenza dei pannelli in muratura ordinaria per verificare la dipendenza dalla snellezza del pannello della previsione di resistenza fornita da tali criteri).

PER ULTERIORI APPROFONDIMENTI E VALIDAZIONI: Si rimanda al capitolo 8 della sezione APPROFONDIMENTI E VALIDAZIONI, in particolare in relazione a :

- Sensitività della risposta al variare dei criteri adottati per la definizione della geometria degli elementi

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3. Modellazione degli elementi strutturali

3.1 Elementi in muratura ordinaria 3.1.1 Elemento Trave

Gli elementi in muratura ordinaria (maschi e fasce), coerentemente con quanto proposto nelle Norme Tecniche delle Costruzioni 2008 al pto. 7.8.1.5.4., sono modellati come elementi trave non lineare (nello specifico caratterizzati da sei gradi di libertà con un legame a resistenza limitata e degrado della rigidezza in fase non lineare).

u

Tu

T

Gradi di libertà (e corrispondenti caratteristiche di sollecitazione generalizzate) e comportamento non lineare dell’elemento trave non lineare Nello specifico le caratteristiche di tale elemento possono essere così sintetizzate: 1) Rigidezza iniziale secondo le caratteristiche elastiche (fessurate) del materiale; 2) Comportamento bilineare con valori massimi di taglio e momento coerenti con i valori di stato limite ultimo; 3) Redistribuzione delle sollecitazioni interne all’elemento tali da garantire l’equilibrio; 4) Settaggio dello stato di danno secondo i parametri globali e locali; 5) Degradazione della rigidezza nel ramo plastico; 6) Controllo di duttilità mediante la definizione di drift massimo (äu) differenziato secondo quanto previsto nelle normative vigenti a seconda del meccanismo di danneggiamento agente sul pannello. In particolare il drift è computato secondo la seguente espressione:

tagliopressoflessione

( ) ( ) 0.4% 0.6% 2

j i j iu

u uh

I valori di drift limite riportati a titolo di esempio si riferiscono a quelli proposti nelle Norme Tecniche delle Costruzioni 2008 (per gli edifici esistenti) e nell’Eurocodice 8; 7) Eliminazione dell’elemento (ossia l’elemento è in grado di garantire un contributo all’equilibrio esclusivamente per i contributi associati al suo peso proprio), al raggiungimento dello s.l.u. senza interruzione dell’analisi. Tale formulazione è adottata sia per gli elementi “maschio” che per le “fasce di piano”. I criteri di resistenza adottati sono particolarizzati per ciascuno di questi due tipi di elemento in accordo con le indicazioni specifiche fornite dalle normative. Si precisa che è trascurato il contributo di resistenza e di rigidezza fuori dal piano dell’elemento. La convenzione adottata per le caratteristiche di sollecitazione è illustrata nella figura precedente. Per ciascun elemento, il ramo elastico è determinato direttamente a partire dal calcolo dei contributi di rigidezza a taglio e flessionale, computabili sulla base delle proprietà meccaniche e geometriche (modulo elastico di Young E, modulo a taglio G

N i

N j

M i

M j

(u i ,w i, i)T i

(u j ,w j , j )T j

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e geometria del pannello). I differenti contributi sono opportunamente assemblati nella matrice di rigidezza elastica del singolo elemento.

3 2 3 2

2 2

3 2 3 2

12 6 12 60 0(1 ) (1 ) (1 ) (1 )

0 0 0 0

6 (4 ) 6 (2 )0 0(1 ) (1 )(1 ) (1 )

12 6 12 60 0(1 ) (1 ) (1 ) (1 )

0 0 0 0

6

i

i

i

j

j

j

EJ EJ EJ EJh h h h

EA EAT h hN EJ EJ EJ EJM h hh hT EJ EJ EJ EJN h h h h

EA EAMh h

2 2(2 ) 6 (4 )0 0

(1 ) (1 )(1 ) (1 )

i

i

i

j

j

j

uw

u

w

EJ EJ EJ EJh hh h

con 2 2 2

2 2224(1 ) 24(1 )1.2 1.2

2 12ir E G b E bh G Gh h

Matrice di rigidezza elastica dell’elemento non lineare pannello in muratura Il comportamento non lineare si attiva quando un valore di forza nodale raggiunge il suo massimo valore definito come il minimo fra i seguenti criteri di resistenza: pressoflessione, taglio-scorrimento, taglio-fessurazione diagonale. Inoltre è previsto un ulteriore controllo associato alla rottura per pura compressione dell’elemento. Il solutore dovrà poi garantire l’equilibrio. Nello specifico, l’elemento trave non lineare si fonda su una correzione di tipo non lineare, a partire dalla previsione elastica, operata confrontando le sollecitazioni con i limiti di resistenza conseguenti ai criteri sopraesposti ed effettuando poi, nel caso in cui tale limite sia superato, un’opportuna ridistribuzione delle caratteristiche di sollecitazione di taglio (costante lungo l’elemento in virtù dello schema di calcolo ad azioni concentrate nei nodi) e momento flettente alle estremità, in modo tale da garantire l’equilibrio dell’elemento stesso. Si sottolinea la dipendenza dei limiti di resistenza dallo sforzo normale di compressione: ne consegue che tali valori di confronto non sono una proprietà costante dell’elemento ma variano durante l’analisi a seguito della ridistribuzione delle azioni sugli elementi coinvolti nel contributo all’equilibrio globale del sistema strutturale.

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Principi della procedura di correzione non lineare nel caso di superamento della resistenza limite a taglio (shear) oppure per flessione (rocking)

3.1.2 Elemento Pilastro

L’elemento pilastro è caratterizzato da 10 gradi di libertà (g.d.l.): il g.d.l. relativo alla rigidezza torsionale è trascurato coerentemente con il modello di calcolo complessivo a telaio equivalente in cui la risposta fuori piano delle pareti non è considerata. La posizione nello spazio è definita dalle incidenze nodali e dall’angolo di rotazione computato in senso antiorario rispetto all’asse di riferimento X globale. Nella figura seguente sono schematizzate le variabili cinematiche e le caratteristiche di sollecitazione, con la corrispondente convenzione dei segni per ciascun piano di azione.

(a) (b) (c)

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Vista in pianta dell’elemento e identificazione della sua posizione tramite l’angolo (a); variabili cinematiche e convenzione

dei segni per le caratteristiche di sollecitazione dell’elemento pilastro non lineare in c.a. (b); grandezze geometriche (c) La matrice di rigidezza dell’elemento Kelem può essere definita sulla base di principi assolutamente analoghi a quelli precedentemente esposti per la trave.

3 2 3 2

3 2 3 2

12 6 12 60 0 0 0 0 0

(1 ) (1 ) (1 ) (1 )12 6 12 60 0 0 0 0 0(1 ) (1 ) (1 ) (1 )

0 0 0 0 0 0

yy yy yy yy

x x x x

xx xx xx xx

y y y y

EJ EJ EJ EJl l l l

EJ EJ EJ EJl l l l

EA EAl lTxi

TyiNiMxiMyiTxjTyjNjMxjMyj

2 2

2 2

3 2 3

0 0

(4 ) (2 ) (2 )6 60 0 0 0 0(1 ) (1 ) (1 ) (1 ) (1 )

6 (4 ) 6 (2 )0 0 0 0 0 0

(1 ) (1 ) (1 ) (1 )12 6 12

0 0 0 0 0(1 ) (1 ) (1 )

xx y xx y xx yxx xx

y y y y y

yy yy x yy yy x

x x x x

yy yy yy

x x x

EJ EJ EJEJ EJl l l l l

EJ EJ EJ EJl l l l

EJ EJ EJl l l

2

3 2 3 2

2 2

2 2

60

(1 )12 6 12 60 0 0 0 0 0(1 ) (1 ) (1 ) (1 )

0 0 0 0 0 0 0 0

(2 ) (4 )6 60 0 0 0 0 0(1 ) (1 ) (1 ) (1 )

6 (2 ) 60 0 0

(1 ) (1 ) (

yy

x

xx xx xx xx

y y y y

xx y xx yxx xx

y y y y

yy yy x yy

x x

EJl

EJ EJ EJ EJl l l l

EA EAl l

EJ EJEJ EJl l l l

EJ EJ EJl l l

(4 )

0 0 01 ) (1 )

xi

yi

zi

xi

yi

xj

yj

zj

xj

yj

yy x

x x

uuu

uuu

EJl

con 2 2

24(1 ) ; 24(1 )iy ixx x y y

r rl l

Matrice di rigidezza elastica dell’elemento pilastro 3D in CA I limiti elastici in termini di resistenza, relativi ai meccanismi di rottura considerati, coincidono con il valore ultimo, poiché vige l’ipotesi di comportamento elastico-perfettamente plastico, dunque in assenza di incrudimento. Si precisa che, in virtù della modellazione a telaio equivalente con azioni concentrate nei nodi adottata, il taglio e lo sforzo normale lungo l’elemento sono costanti e il momento flettente ha andamento lineare. I criteri di resistenza adottati sono analoghi a quelli adottati per la trave non lineare in muratura (nel caso degli elementi maschio). Poiché tali elementi possono essere soggetti a pressoflessione deviata, in via approssimata è stato considerato un dominio d’interazione lineare Mx-My. La capacità di spostamento ultima è valutata in termini di drift come nel caso della trave non lineare. Per quanto riguarda la procedura di correzione non lineare:

- nel caso di superamento della resistenza limite a pressoflessione si attiva la formazione di una cerniera plastica all’estremità dell’elemento (con principi analoghi a quelli descritti in dettaglio nel paragrafo 3.3.6 per gli elementi in cemento armato – a differenza di quest’ultimi tuttavia il controllo in relazione alla rottura è effettuato in termini di drift e non di capacità di rotazione della corda);

- nel caso di superamento della resistenza limite a taglio si opera con una procedura analoga a quella descritta nel caso degli elementi trave in muratura.

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3.1.3 Criteri di resistenza adottati

La struttura intrinseca della muratura, corsi più o meno regolari di mattoni o pietre, legati da malta, porta ad un sistema efficace a sopportare azioni di compressione, ma pressoché incapace di resistere ad azioni pure di trazione e resistente a flessione in ragione della compressione presente. I meccanismi di rottura connessi all’azione orizzontale, tipici per i maschi in muratura sono in generale riconducibili ad una crisi per pressoflessione o per taglio; in quest’ultimo si includono solitamente meccanismi fessurativi di diversa natura, ascrivibili all’effetto delle tensioni tangenziali originate dalle azioni orizzontali, in combinazione con le componenti di compressione verticale. Riassumendo si possono distinguere tre principali modalità di rottura: a) per pressoflessione b) per taglio-scorrimento c) per taglio-trazione con fessurazione diagonale Discriminante per l’attivazione del meccanismo effettivo tra i tre è una combinazione di fattori di diversa natura: la geometria del pannello, in particolare in termini di snellezza, le condizioni al contorno, l’entità del carico assiale e le caratteristiche geometriche e meccaniche dei componenti (elementi, malta) della muratura considerata.

(a) (b) (c)

Schematizzazione dei meccanismi di rottura del pannello murario: pressoflessione- (a), taglio-scorrimento (b) e taglio-trazione con fessurazione diagonale (c)

Pressoflessione: la condizione di rottura per pressoflessione nel piano è associata allo schiacciamento della muratura al lembo compresso delle sezioni estreme. La resistenza ultima per pressoflessione può essere calcolata assumendo per la zona compressa uno stress-block rettangolare.

Ribaltamento e parzializzazione (Magenes et al., 2001)

Dalla scrittura delle equazioni di equilibrio alla traslazione e alla rotazione è possibile ottenere il momento resistente della sezione presso-inflessa:

d

oo

dflexu f

tlltf

NNlM

1

21

2

2

, , (1)

-13 -

dove t è lo spesso del pannello, l è la larghezza del pannello, fd è la resistenza a compressione della muratura,

κ definisce l’ampiezza dello stress-block (usualmente κ = 0.85÷1), N è la normale agente sulla sezione,

ltN

o è tensione normale di compressione media.

Taglio-scorrimento: il meccanismo è associato alla formazione di fessure orizzontali nei giunti di malta che divengono potenziali piani di scorrimento. Questo meccanismo è favorito da bassi livelli di carichi verticali e bassi valori del coefficiente d’attrito. La resistenza ultima a taglio può essere valutata come

', tlfV vslu (2)

dove t è lo spesso del pannello, l’ è la lunghezza della zona compressa della sezione, fv è la resistenza a taglio della muratura. La resistenza a taglio fv è data da un criterio di resistenza alla Coulomb, sommando un contributo dovuto alla coesione ad uno dovuto all’attrito: lim,vovov fff (3)

in cui tl

No ' è tensione normale media agente sulla parte compressa della

sezione, µ è il coefficiente di attrito (solitamente assunto pari a 0.4), fv0 è la resistenza iniziale a taglio in assenza di compressione fv,lim è valore limite superiore della resistenza a taglio (fessurazione degli elementi). Considerando la condizione di parzializzazione della sezione, si può determinare la lunghezza della porzione compressa l’.

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Parzializzazione e larghezza efficace (Magenes et al., 2001)

Taglio-trazione con fessurazione diagonale: il meccanismo di danno è governato dalla formazione e dallo sviluppo di fessure diagonali inclinate, che possono seguire l’andamento dei giunti di malta oppure interessare gli elementi stessi. Il Criterio del massimo sforzo principale di trazione è derivato dagli studi di Turnšek e Cačovic (1971) che ipotizzarono che la rottura per taglio avesse luogo quando lo sforzo principale (macroscopico) di trazione raggiunge un valore limite ftu , assunto come resistenza a trazione convenzionale della muratura. In tal modo si assume che, relativamente allo stato limite di rottura per taglio con fessurazione diagonale, l’anisotropia della muratura possa essere trascurata, con il notevole vantaggio di utilizzare un singolo parametro di resistenza. La resistenza ultima a taglio-trazione può essere dunque ottenuta come

tu

otudiagu fb

ltfV 1, (4)

dove tl

No ' è tensione normale di compressione media,

b varia con il rapporto di forma h/l (usualmente 1≤ b ≤ 1.5), ftu è la resistenza a trazione convenzionale della muratura, che può essere anche espressa come

otuf 5.1 , con τo resistenza a taglio di riferimento della muratura.

3.1.4 Precisazioni sulla capacità deformativa in relazione ai riferimenti normativi

Il modello bilineare elastico-prefettamente plastico non incrudente descritto da un tratto iniziale in cui l’elemento si comporta come una trave elastica deformabile a taglio (secondo la formulazione di Timoshenko) seguito da un ramo plastico in cui i valori di taglio e momento si mantengono pari a quelli massimi della curva di dominio. Ovvero l’elemento può sopportare incrementi di deformazione ma non di carico. Si legge al punto 7.8.1.5.4 delle norme tecniche: I pannelli murari possono essere caratterizzati da un comportamento bilineare elastico perfettamente plastico, con resistenza equivalente al limite elastico e spostamenti al limite elastico e ultimo definiti per mezzo della risposta flessionale o a taglio di cui ai §§ 7.8.2.2 e 7.8.3.2. I punti richiamati dalla norma si riferiscono ai punti precedentemente citati in cui erano formulati il criterio di resistenza a presso flessione ed a taglio nella versione Mohr-Coulomb. Unendo le informazioni riportate nei paragrafi 7.8.2.2 e 7.8.3.2. si deduce che raggiunta la resistenza massima, secondo uno dei criteri indicati, l’elemento non possa subire aumenti di carico ma si possa ancora deformare finché non si raggiunge lo spostamento ultimo. Questo valore non dipende dal materiale ma solo dalla geometria, ovvero è pari allo 0.4% dell’altezza nel caso di danneggiamento a taglio, pari allo 0.8% dell’altezza nel caso di danneggiamento a presso flessione. Il motivo di questa differenza è dovuto alle ben maggiori capacità deformative di un pannello che va in crisi per pressoflessione. Ancora una volta la normativa opera una distinzione fra costruzioni esistenti e nuove, in particolare al punto C8.7.1.4 si pone una ulteriore limitazione alla deformabilità dei pannelli in edifici esistenti: Nella verifica allo Stato limite ultimo di salvaguardia della vita, qualora si esegua l’analisi non lineare, lo spostamento ultimo per azioni nel piano di ciascun pannello sarà assunto pari a 0,4 % dell'altezza del pannello, nel caso di rottura per taglio, e pari a 0,6%, nel caso di rottura per pressoflessione. Riassumendo, nel caso si operi su edifici nuovi, o più precisamente, su muratura nuova, è imprescindibile l’uso del criterio di taglio-scorrimento ed i limiti di drift sono fissati in 0.4% a nel caso di danneggiamento per taglio e 0.8% nel caso di presso flessione. nNel caso di una muratura esistente, invece, si può scegliere se usare il criterio per taglio-scorrimento (salvo però

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dover determinare il valore di fv0 che non risulta di facile determinazione) o per taglio-trazione con fessurazione diagonale, mentre i limiti di drift sono 0.4% nel caso di danneggiamento a taglio e 0.6% per il meccanismo di pressoflessione.

PER ULTERIORI APPROFONDIMENTI E VALIDAZIONI: Si rimanda al capitolo 9.1.3 della sezione APPROFONDIMENTI E VALIDAZIONI, in particolare in relazione a :

- Esempi di calcolo sulla capacità deformativa

3.1.5 Precisazioni sui criteri di resistenza in relazione ai riferimenti normativi

Il DM 14 gennaio 2008 tratta il comportamento meccanico della muratura nei capitoli 4 e 7 delle norme tecniche e nella Circolare 617/2009 (per quel che concerne prevalentemente l’esistente): nel capitolo 4 si trovano le definizioni dei parametri: 4.5.3 CARATTERISTICHE MECCANICHE DELLE MURATURE Le proprietà fondamentali in base alle quali si classifica una muratura sono la resistenza caratteristica a compressione fk, la resistenza caratteristica a taglio in assenza di azione assiale fvk0, il modulo di elasticità normale secante E, il modulo di elasticità tangenziale secante G. La formulazione dei criteri resistenti, prima riportata, trova applicazione nella normativa attuale nel capitolo 7: in particolare si è scelto come abbinamento preferenziale il meccanismo di presso flessione e taglio-scorrimento, più idonei a caratterizzare la muratura nuova. Nel capitolo 7, sono citati i criteri di resistenza da adottare nel calcolo sismico (ed in particolare nell’analisi statica non lineare); si riportano le seguenti indicazioni: 7.8.2.2.1 Pressoflessione nel piano La verifica a pressoflessione di una sezione di un elemento strutturale si effettua confrontando il momento agente di calcolo con il momento ultimo resistente calcolato assumendo la muratura non reagente a trazione ed una opportuna distribuzione non lineare delle compressioni (…) In caso di analisi statica non lineare, la resistenza a pressoflessione può essere calcolata ponendo fd pari al valore medio della resistenza a compressione della muratura, e lo spostamento ultimo può essere assunto pari allo 0,8% dell’altezza del pannello. Si segnala l’uso delle grandezze medie quali grandezze di calcolo, pertanto si avrà:

20 012u

m

l tMf

(5)

7.8.2.2.2 Taglio (…) fvd = fvk / γM è definito al § 4.5.6.1, calcolando la tensione normale media (indicata con sn nel paragrafo citato) sulla parte compressa della sezione (σn = P/ (l’t). Il valore di fvk non può comunque essere maggiore di 1,4 f bk , dove fbk indica la resistenza caratteristica a compressione degli elementi nella direzione di applicazione della forza, né maggiore di 1,5 MPa. In caso di analisi statica non lineare, la resistenza a taglio può essere calcolata ponendo fvd = fvm0 +0,4σn con fvm0 resistenza media a taglio della muratura (in assenza di determinazione diretta si può porre fvmo = fvk0/0,7), e lo spostamento ultimo può essere assunto pari allo 0,4% dell’altezza del pannello. Il valore di fvd non può comunque essere maggiore di 2,0 f bk né maggiore di 2,2 MPa. Per completezza si segnale che al punto § 4.5.6.1 è riportata la formula :

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fvk= fvko + 0,4 σn (4.5.4) in cui per fvk0 si richiama il citato punto § 4.5.3. La formulazione (7.8.3) delle norme tecniche riprende la formula e la contestualizza in termini di taglio ultimo anziché di tensione. Come già per la resistenza a compressione anche qui si ribadisce l’uso delle grandezze medie quali grandezze di calcolo fornendo addirittura la correlazione da impiegarsi nel passaggio da resistenza caratteristica a resistenza media attraverso un fattore 0.7 che amplifica il valore caratteristico (per analogia si può utilizzare la stessa relazione anche per passare dalla resistenza caratteristica a compressione e vice versa). La normativa fornisce inoltre il valore fvk,lim da impiegare per limitare la resistenza a taglio nelle analisi statiche non lineari, ovvero il doppio della resistenza orizzontale caratteristica del blocco oppure 2.2 MPa. La precisazione serve per rendere coerente il valore previsto nelle analisi lineari che impiegano i valori caratteristici con quello da usarsi nel lineare: in effetti in ambito lineare compariva una resistenza limite massima pari a 1.4 volte quella caratteristica del blocco con il limite comunque a 1.5 MPa. Applicando il fattore di passaggio 0.7, proposto per passare da valori caratteristici a valori medi si ottiene 1.4/0.7=2 e 1.5/0.7=2.14 a giustificare i valori proposti nel calcolo non lineare con parametri medi. I due criteri sopra descritti sono sufficienti per la formulazione del dominio resistente di un pannello di muratura: in base allo sforzo normale si possono cioè determinano i valori resistenti a taglio e momento e confrontarli con i valori ottenuti dal modello strutturale. La determinazione dei valori resistenti dipende dai parametri meccanici della muratura ovvero la resistenza media a compressione fm e la resistenza media a taglio in assenza di compressione fvm0. La valutazione della resistenza media a compressione è agevole sia in sede progettuale (dove può essere desunta da prove sperimentali di compressione semplice eseguite in laboratorio o calcolata secondo il paragrafo 11.10.3.1.2 delle norme tecniche a partire dalla resistenza del blocco e dalla malta) sia nel caso di edifici esistenti (sperimentalmente in sitù ad esempio mediante martinetti piatti doppi o, ove possibile, prove su carote,o mediante calcolo a partire dalle tabelle C8A.2.1 e C8A.2.2), più complessa è invece la valutazione della resistenza a taglio in assenza di compressione: in sede progettuale, su blocchi nuovi è nuovamente praticabile sia la via sperimentale (mediante prove su triplette) sia la strada numerica (sempre secondo il paragrafo 11.10.3.1.2); molto ardua è invece la definizione di tale resistenza su edifici esistenti. Le prove distruttive praticabili in situ (prove di compressione diagonale) forniscono invece il valore di ft condivisibile utilizzabile per l’applicazione del criterio di resistenza per taglio-trazione con fessurazione diagonale. Non essendo di fatto applicabile il calcolo della resistenza a taglio- scorrimento su edifici esistenti, la normativa, riprendendo quanto già previsto nell’OPCM 3274/2003, propone, in alternativa e solo per gli edifici esistenti, l’uso del criterio di del resistenza per taglio-trazione. C8.7.1.5 Modelli di capacità per la valutazione di edifici in muratura (…) Per gli edifici esistenti in muratura, considerata la notevole varietà delle tipologie e dei meccanismidi rottura del materiale, la resistenza a taglio di calcolo per azioni nel piano di un pannello in muratura potrà essere calcolata con un criterio di rottura per fessurazione diagonale o con un criterio di scorrimento, facendo eventualmente ricorso a formulazioni alternative rispetto a quelle adottate per opere nuove, purché di comprovata validità. Nel caso di muratura irregolare o caratterizzata da blocchi non particolarmente resistenti, la resistenza a taglio di calcolo per azioni nel piano di un pannello in muratura potrà essere calcolata con la relazione seguente:

0 0 0

0

1.5 1 11.5

d tdu

d td

fV lt ltb b f

(8.7.1.1) dove: l è la lunghezza del pannello t è lo spessore del pannello σ0 è la tensione normale media, riferita all’area totale della sezione (= P/lt, con P forza assiale agente, positiva se di

compressione) ftd e τ0d sono, rispettivamente, i valori di calcolo della resistenza a trazione per fessurazione diagonale e della corrispondente resistenza

a taglio di riferimento della muratura (ft = 1.5τ0); nel caso in cui tale parametro sia desunto da prove di compressione diagonale, la resistenza a trazione per fessurazione diagonale ft si assume pari al carico diagonale di rottura diviso per due

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volte la sezione media del pannello sperimentato valutata come t(l+h)/2, con t, l e h rispettivamente spessore, base, altezza del pannello.

b è un coefficiente correttivo legato alla distribuzione degli sforzi sulla sezione, dipendente dalla snellezza della parete. Si può assumere b = h/l, comunque non superiore a 1,5 e non inferiore a 1, dove h è l'altezza del pannello.

La formulazione riportata nella circolare è la trasposizione della formula di Turnšek e Cačovic (1971). Al valore di ft, resistenza a trazione, si preferisce il termine τ0, fornito nella tabella C8A.2.1 nella Circolare 617/2009 per diverse tipologie murarie.

PER ULTERIORI APPROFONDIMENTI E VALIDAZIONI: Si rimanda al capitolo 9.1 della sezione APPROFONDIMENTI E VALIDAZIONI, in particolare relativamente a:

- Esempi di calcolo del dominio di resistenza a taglio (edifici esistenti) - Esempi di calcolo del dominio di resistenza a taglio (edifici nuovi) - Definizione delle proprietà meccaniche della muratura

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3.1.6 Precisazioni sui criteri di resistenza nel caso delle fasce (travi in muratura)

Occorre precisare che i criteri di resistenza sopraesposti in accordo a quanto precisato nelle Norme Tecniche delle Costruzioni 2008 al punto 7.8.2.2.4, sono applicabili in generale nel caso delle travi in muratura (fasce) solo in presenza di sforzo assiale noto. Al punto 7.8.2.2.4 della suddetta norma è precisato altresì che nel caso in cui non sia noto lo stato di compressione assiale della trave in muratura:

- la resistenza a taglio può essere calcolata tramite la:

vofasciau htfT ,

in cui h è l’altezza della sezione della trave, t è lo spessore della parete e fv0 è la resistenza di calcolo a taglio in assenza di compressione. - e il momento resistente per pressoflessione tramite la:

htfHhH

Mh

ppfasciau 85.0

12, ,

in cui HP è il minimo tra la resistenza a trazione dell’elemento teso disposto orizzontalmente (ad esempio in presenza di un cordolo o una catena) ed il valore 0.4fhht con fh resistenza di calcolo a compressione della muratura in direzione orizzontale nel piano della parete. Tale valore risulta dunque diverso da zero solo nel caso in cui sia presente un elemento resistente a trazione accoppiato alla fascia. Tale criterio si basa sull’ipotesi di formazione di un meccanismo a puntone diagonale nella fascia.

Il modello di calcolo proposto (in cui i solai sono modellati come elementi membrana ortotropi- quindi dotati di rigidezza finita) consente la determinazione dello sforzo assiale nelle fasce. Tuttavia, tale sforzo costituisce in generale una sottostima di quello realmente agente su tali elementi a causa di alcuni fenomeni che sono trascurati nel modello (quali ad esempio l’incremento dello sforzo normale conseguente a fenomeni d’innalzamento alla base dei maschi a seguito della parzializzazione della sezione) o modellati solo in maniera approssimata. In ragione di tale osservazione si precisa che, in sede di calcolo, i valori limite di resistenza sono assunti come pari al massimo tra (Mu , Mu,fascia) e (Tu e Tu,fascia), ossia come il massimo tra quelli computati nel caso in cui lo sforzo normale sia noto oppure incognito. Si precisa che nel caso in cui l’elemento sia soggetto a trazione, il contributo resistente da esso fornito è azzerato.

3.2 Elementi in muratura armata L’elemento trave non lineare finalizzato alla modellazione di pannelli in muratura armata (oppure rinforzato tramite elementi in FRP o in altro materiale) si basa su una formulazione analoga a quella adottata per i pannelli in muratura ordinaria in cui i criteri di resistenza e i valori di drift limite atti a sancire il collasso risultano opportunamente modificati. In analogia, dunque all’elemento trave non lineare formulato per i pannelli in muratura ordinaria, le caratteriste principali di tale elemento risultano: 1) Rigidezza iniziale secondo le caratteristiche elastiche (fessurate) del materiale: tali contributi sono calcolati esclusivamente con riferimento al contributo offerto dalla muratura, considerando trascurabile – nei riguardi della rigidezza – quello associato al rinforzo; 2) Comportamento bilineare con valori massimi di taglio e momento coerenti con i valori di stato limite ultimo; 3) Redistribuzione delle sollecitazioni interne all’elemento tali da garantire l’equilibrio; 4) Settaggio dello stato di danno secondo i parametri globali e locali; 5) Degradazione della rigidezza nel ramo plastico; 6) Controllo di duttilità mediante la definizione di drift massimo (u) differenziato secondo quanto previsto nelle normative vigenti a seconda del meccanismo di danneggiamento agente sul pannello. In particolare, secondo quanto previsto dalle

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Norme Tecniche delle Costruzioni è assunto un valore limite pari allo 0.6% nel caso di rottura per taglio (§ 7.8.3.2.2) ed allo 1.2% nel caso di rottura per pressoflessione (§ 7.8.3.2.1). 7) Eliminazione dell’elemento, al raggiungimento dello s.l.u. senza interruzione dell’analisi. Si precisa che è trascurato il contributo di resistenza e di rigidezza fuori dal piano dell’elemento. La convenzione adottata per le caratteristiche di sollecitazione e la matrice di rigidezza che governa il comportamento elastico sono le medesime degli elementi in muratura ordinaria (cui si rimanda per la trattazione completa). Il comportamento non lineare si attiva quando un valore di forza nodale raggiunge il suo massimo valore definito come il minimo tra il criterio adottato per la risposta a pressoflessione e quella a taglio (valutata con il criterio per taglio-scorrimento e taglio- fessurazione diagonale come meglio precisato nel seguito) opportunamente modificati per tenere conto della presenza del rinforzo. Inoltre è previsto un ulteriore controllo associato alla rottura per pura compressione o trazione dell’elemento. La procedura di correzione non lineare è analoga a quella precedentemente illustrata nel caso dei pannelli in muratura ordinaria. In particolare è previsto l’inserimento di due tipologie di rinforzo: verticale (che può risultare concentrato e/o diffuso) e trasversale. E’ necessario tuttavia precisare che la possibilità di introdurre il rinforzo trasversale è subordinato alla presenza di quello verticale: questo poiché, come meglio specificato nel seguito, i criteri adottati per la valutazione della resistenza a taglio si basano sull’ipotesi di comportamento a traliccio. La variazione nei criteri di resistenza conseguente all’adozione della muratura armata è applicata di default esclusivamente ai pannelli resistenti verticali (maschi). Tuttavia è possibile, spuntando l’apposito check-box (evidenziato nella seguente figura tratta dalla maschera d’input per i rinforzi), tenere conto dell’incremento di resistenza associato anche alle travi di accoppiamento in muratura (fasce).

Maschera d’input dei rinforzi con evidenziata l’opzione relativa alla possibilità di tenere conto anche per le fasce dell’incremento di resistenza associato alla presenza del rinforzo

E’ opportuno precisare che nel caso delle fasce, poiché tali elementi risultano ruotati di 90° rispetto ai maschi, con riferimento ai dati assegnati in input per il rinforzo, le armature trasversali sono quelle adottate per computare l’incremento di resistenza alla risposta per pressoflessione (il numero di barre è conteggiato a partire dalla larghezza della fascia e dal passo delle armature, predisponendo comunque un minimo di una barra a ciascuna estremità dell’elemento quando le dimensioni dell’elemento non risultino compatibili con il passo inserito) e viceversa quelle verticali (facendo riferimento esclusivamente a quelle diffuse) per quello associato alla risposta a taglio.

-20 -

PER ULTERIORI APPROFONDIMENTI E VALIDAZIONI: Si rimanda al capitolo 9.4.1 della sezione APPROFONDIMENTI E VALIDAZIONI, in particolare relativamente a:

- Precisazioni sul trattamento dei dati forniti in input nel caso dei rinforzi


I criteri di resistenza adottati nel caso di di pannelli in muratura armata (oppure rinforzato tramite elementi in FRP o in altro materiale) risultano opportunamente modificati in ottemperanza alle raccomandazioni proposte nelle Norme Tecniche delle Costruzioni (D.M. 19/01/2008), per quanto riguarda la muratura armata, ed alcune indicazioni contenute nel documento CNT- DT 200/2004 (Istruzioni per la progettazione, l’Esecuzione ed il controllo di interventi di consolidamento statico mediante l’utilizzo di compositi Fibrorinforzati – Materiali, strutture di c.a. e di c.a.p, strutture murarie), per quanto riguarda il caso di rinforzo tramite FRP.

- Limiti di resistenza per la pura compressione/trazione

Il limite di resistenza a pura compressione è calcolato sommando a quello offerto della muratura (ottenuto applicando il coefficiente pari a 0.85 alla resistenza a compressione di calcolo della muratura) quello associato alle armature verticali presenti. Il limite di resistenza a pura trazione è calcolato facendo riferimento esclusivamente al contributo offerto dalle armature verticali.

- Limiti di resistenza per la pressoflessione nel piano

Per la verifica nei riguardi della risposta a pressoflessione (e la valutazione della resistenza limite associata) è posto riferimento ai criteri proposti nelle Norme Tecniche delle Costruzioni (D.M. 19/01/2008) al § 7.8.3.2.1. (nel caso della muratura armata) e alle indicazioni contenute nel documento CNT- DT 200/2004 al § 5.4.1.2.1, per quanto riguarda il caso di rinforzo tramite FRP. Il numero e la posizione delle armature verticali considerate per la valutazione del dominio di interazione N-M sono computati automaticamente dal programma secondo i criteri illustrati nel documento “Approfondimenti e Validazioni” in “Precisazioni sul trattamento dei dati forniti in input nel caso dei rinforzi”. In particolare, nel caso della muratura armata, in accordo a tali indicazioni, il dominio di interazione N-M è computato, nell’ipotesi di conservazione delle sezioni piane, assumendo per la muratura un diagramma delle compressioni rettangolare, con profondità 0,8 x, dove x rappresenta la profondità dell’asse neutro (calcolata rispetto al lembo compresso), e sollecitazione pari a 0,85 fd (con fd resistenza a compressione di calcolo della muratura). Inoltre, le deformazioni massime considerate risultano pari a mu = 0,0035 per la muratura compressa e su = 0,01 per l’acciaio teso. Nel caso del rinforzo tramite FRP, il documento propone dei criteri assolutamente analoghi con le seguenti precisazioni:

o rispetto all’intervallo proposto nel documento CNR-CT 200/2004 per la profondità da assumere per il diagramma delle tensioni di compressione della muratura (pari a 0.6 ÷ 0.8 x), si è assunto il valore pari a 0.8 analogamente al caso della muratura armata;

o il valore della deformazione ultima assunto per il rinforzo in composito fibrorinforzato è assunto pari al valore fornito in input dall’utente. Tale valore può essere calcolato secondo i criteri proposti nel documento CNT- DT 200/2004 al § 5.3.2.

- Limiti di resistenza per il taglio

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Nel caso del calcolo della resistenza limite associata alla risposta a taglio è innanzitutto opportuno effettuare la seguente precisazione. La scelta del criterio di resistenza a taglio adottato, ossia se un criterio alla Mohr-Coulomb oppure un criterio alla Turnšek e Cacovic (in accordo a quanto introdotto nel capitolo dedicato all’illustrazione della formulazione dell’elemento trave non lineare per i pannelli in muratura ordinaria), è diretta conseguenza dei parametri definiti ed assegnati per la tipologia di muratura caratterizzante il pannello murario rinforzato. In funzione dei parametri assegnati alla muratura (se – nel caso del criterio alla Turnšek e Cacovic per le murature esistenti - oppure fvm0 – nel caso di un criterio alla Mohr-Coulomb come proposto nella norma nel caso delle murature di nuova costruzione), e quindi del criterio di resistenza a taglio assunto, nel seguito sono illustrati i criteri adottati nel caso di presenza di rinforzo.

o Caso I – criterio alla Mohr- Coulomb

In questo caso per il calcolo della resistenza limite della muratura armata è posto riferimento ai criteri illustrati al § 7.8.3.2.2 delle Norme Tecniche delle Costruzioni (D.M. 19/01/2008). In particolare, secondo quanto proposto al § 7.8.3.2.2, la resistenza a taglio (Vt) è calcolata come somma dei contributi della muratura (Vt,M) e dell’armatura (V t,S), secondo le relazioni seguenti:

Vt = Vt,M + V t,S Vt, M = d t fvd

dove: d è la distanza tra il lembo compresso e il baricentro dell’armatura tesa; t è lo spessore della parete; fvd è assunto pari a fvk come definito al paragrafo § 4.4.6.1 calcolando la tensione normale media (indicata con n nel paragrafo citato) sulla sezione lorda di larghezza d (n = P/dt);

V t,S = (0,6 d Asw fyd) / s dove: d è la distanza tra il lembo compresso e il baricentro dell’armatura tesa; Asw è l’area dell’armatura a taglio disposta in direzione parallela alla forza di taglio, con passo s misurato ortogonalmente alla direzione della forza di taglio; fyd è la tensione di snervamento di calcolo dell’acciaio; s è la distanza tra i livelli di armatura. Deve essere altresì verificato che il taglio agente non superi il seguente valore:

V t,c = 0,3 fd t d

dove: t è lo spessore della parete fd è la resistenza a compressione di calcolo della muratura. Come precedentemente introdotto, tale criterio di resistenza presuppone una risposta a traliccio del pannello il cui funzionamento può essere garantito solo dalla presenza di opportune armature verticali disposte in opera. Nel caso di rinforzo tramite FRP, in accordo a quanto proposto nel documento CNT- DT 200/2004 al § 5.4.1.2.2, è adottato un criterio assolutamente analogo a quello di cui sopra, per la muratura armata, avendo cura di sostituire la tensione di snervamento di calcolo dell’acciaio (fyd) con la resistenza di progetto del rinforzo di FRP (ffd), definita come il minimo tra la tensione di rottura del composito e la tensione nel composito alla quale si ha la decoesione dalla muratura.

o Caso II – criterio alla Turnšek e Cacovic

Nel caso in cui i valori assegnati in input per la muratura corrispondano ad un criterio alla Turnšek e Cacovic, le Norme Tecniche delle Costruzioni (né il documento CNT- DT 200/2004 per quanto riguarda rinforzo tramite FRP) non propongono alcun criterio specifico per tenere conto dell’incremento di resistenza associato al rinforzo.

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Tra le proposte presenti in letteratura, si è deciso di operare secondo quanto proposto in Da Porto et al. 2009 1. Tali autori, sulla base di una calibrazione a partire da risultati di test sperimentali su pannelli in murartura armata, propongono di valutare l’incremento di resistenza a taglio offerto dalla presenza del rinforzo con un fattore analogo a V t,S introdotto nel caso dell’adozione di un criterio alla Mohr-Coulomb. Pertanto in definitiva il valore della resistenza a taglio è computato secondo la seguente espressione:

sfdA

ltN

bltV ydsw

o

ot 6.0

5.115.1

In cui, per il significato dei simboli, si fa riferimento a quanto introdotto in precedenza.

3.2.2 Precisazioni sulla capacità deformativa in relazione ai riferimenti normativi

Per quanto concerne i valori di drift limite assunti per la definizione della condizione di collasso dell’elemento, si è posto riferimento alle indicazioni fornite nelle Norme Tecniche delle Costruzioni 2008. In particolare si legge nelle Norme Tecniche delle Costruzioni 2008. - al punto 7.8.3.2.1 - Pressoflessione nel piano : “….In caso di analisi statica non lineare si adottano come valori di calcolo le resistenze medie dei materiali, e lo spostamento ultimo può essere assunto pari allo 1,2% dell’altezza del pannello.”

-- al punto 7.8.3.2.2 - Taglio : “….In caso di analisi statica non lineare si adottano come valori di calcolo le resistenze medie dei materiali e lo spostamento ultimo può essere assunto pari allo 0,6% dell’altezza del pannello”. I valori assunti di default dal programma di calcolo nel caso dei pannelli in muratura armata sono coerenti con tali indicazioni.

3.3 Elementi in cemento armato Gli elementi strutturali in calcestruzzo armato sono modellati come elementi non lineari a plasticità concentrata. Essi sono caratterizzati da un comportamento bilineare con resistenza limitata e comportamento elastico-perfettamente plastico con pendenza durante i cicli di scarico invariata rispetto a quella iniziale: la concentrazione della plasticità, con la conseguente formazione di cerniere plastiche, è localizzata esclusivamente agli estremi dell’elemento. I meccanismi resistenti considerati sono quelli: duttile a flessione (con o senza accoppiamento di sforzo normale) per ciascuna delle estremità dell’elemento e fragile a taglio. Nel caso del meccanismo duttile a flessione il controllo del raggiungimento delle condizioni ultime di collasso è monitorato attraverso la valutazione della capacità di rotazione della sezione alle estremità. Per i diversi elementi formulati, quali travi, pilastri e setti, sono poi caratterizzati i criteri di resistenza adottati per la definizione delle proprietà della cerniera plastica. La scelta di adottare un approccio a plasticità concentrata (rispetto ad altri approcci di modellazione adottati nel caso delle strutture in cemento armato, quali ad esempio quello a fibre) deriva in particolare dalla volontà di non gravare eccessivamente sull’onere computazionale, a fronte di un grado di accuratezza dell’analisi del comportamento dei singoli elementi soddisfacente nei riguardi delle risposta complessiva. Benché infatti il comportamento isteretico assunto non risulti certo il più accurato nei riguardi delle proprietà di dissipazione energetica di tali elementi, va ricordato che l’utilizzo del modello è nell’ambito di analisi incrementali monotone a collasso (analisi statica non lineare). Tale formulazione è inoltre coerente con le indicazioni introdotte nelle Norme Tecniche delle Costruzioni 2008 al punto 7.8.1.5.4 : “.... omissis…..Gli elementi lineari in c.a. (cordoli, travi di accoppiamento) possono essere caratterizzati da un comportamento bilineare elastico perfettamente plastico, con resistenza equivalente al limite elastico e spostamenti al limite elastico e ultimo definiti per mezzo della risposta flessionale o a taglio”. Si precisa inoltre che sono trascurati fenomeni del secondo ordine; tale assunzione trova giustificazione nell’accoppiamento di tali elementi con quelli in muratura, caratterizzati da limiti ultimi deformativi ben più contenuti. Si richiama infatti come il programma di calcolo 3Muri sia finalizzato all’analisi della risposta di strutture in muratura o miste muratura-cemento armato (in cui comunque la struttura portante principale è quella in muratura).

1 Da Porto, F.; Modena, C.; Mosele, F. “Comportamento ciclico nel piano di un sistema di muratura armata”, Costruire in Laterizio, n. 130 luglio-agosto 2009, pp. 54-61.

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PER ULTERIORI APPROFONDIMENTI E VALIDAZIONI: Si rimanda al capitolo 9.5.1 della sezione APPROFONDIMENTI E VALIDAZIONI, in particolare relativamente a: - Validazione degli elementi in cemento armato tramite il confronto con un modello a fibre

3.3.1 Elemento Trave

L’elemento trave non lineare in c.a. è caratterizzato da sei gradi di libertà (tre per ogni estremità), la cui posizione nella parete è definita compiutamente attraverso le incidenze nodali (con i relativi eventuali offset). Nelle figure seguenti sono schematizzate sinteticamente le componenti cinematiche e le caratteristiche di sollecitazione con la corrispondente convenzione dei segni adottata nel sistema di riferimento locale dell’elemento.

Variabili cinematiche e caratteristiche di sollecitazione dell’elemento trave in c.a.

Grandezze geometriche della trave: larghezza (b) e altezza(h) della sezione e lunghezza (l)dell’elemento

Il comportamento elastico lineare è determinato, come precedentemente evidenziato, a partire dal calcolo dei contributi di rigidezza a taglio e flessionale, computati sulla base delle proprietà meccaniche e geometriche (modulo elastico di Young E, modulo a taglio G e geometria della sezione dell’elemento) facendo riferimento alla sola sezione in calcestruzzo, trascurando il contributo offerto dall’armatura. La matrice di rigidezza risultante K che ne deriva è dunque (analoga a quella computata nel caso della trave non lineare in muratura):

3 2 3 2

2 2

3 2 3 2

2 2

12 6 12 60 0

(1 ) (1 ) (1 ) (1 )

0 0 0 0

6 (4 ) 6 (2 )0 0(1 ) (1 )(1 ) (1 )

12 6 12 60 0(1 ) (1 ) (1 ) (1 )

0 0 0 0

6 (2 ) 60(1 )(1 ) (1 )

EJ EJ EJ EJl l l l

EA EAl l

EJ EJ EJ EJl ll l

EJ EJ EJ EJl l l l

EA EAl l

EJ EJ EJll l

K

(4 )0(1 )

EJl

-24 -

In cui il fattore è fornito dalla:

2 2 2

2 2224(1 ) 24(1 )1.2 1.2

2 12ir E G b E bl G Gl l

con b larghezza della sezione e l lunghezza dell’elemento. I limiti di resistenza, relativi ai meccanismi di rottura considerati, coincidono con il valore ultimo, poiché vige l’ipotesi di comportamento elastico-perfettamente plastico, senza, dunque, fenomeni di incrudimento. Si precisa che, in virtù della modellazione a telaio equivalente con azioni concentrate nei nodi adottata, il taglio e lo sforzo normale lungo l’elemento sono costanti e il momento flettente ha andamento lineare. Oltre alle caratteristiche geometriche della sezione, b larghezza e h altezza (limitandosi al caso in cui questa sia rettangolare), perché possa essere poi stabilita compiutamente la superficie di snervamento per la valutazione del momento resistente limite, è necessaria l’ulteriore caratterizzazione tramite: le aree delle armature longitudinali inferiore e superiore ed il numero delle barre corrispondenti (As,inf e ns,inf ; As,xup e ns,inf), il valore del copriferro (c), l’area e il passo dell’armatura trasversale (Astaffe, s) , l’eventuale area, inclinazione e passo dell’armatura diagonale posta in opera (Adiag, sdiag, e ) ed infine la definizione di alcune caratteristiche dell’elemento propedeutiche alla definizione opportuna del valore della rotazione ultima della sezione, (passo dell’armatura trasversale in corrispondenza dell’estremità dell’elemento, tipologia delle barre poste in opera, se lisce o ad aderenza migliorata, efficienza dell’ancoraggio delle barre all’estremità, qualità dei dettagli antisismici).

3.3.2 Elemento Pilastro

L’elemento pilastro è caratterizzato da 10 gradi di libertà (g.d.l.): il g.d.l. relativo alla rigidezza torsionale è trascurato coerentemente con il modello di calcolo complessivo a telaio equivalente in cui la risposta fuori piano delle pareti non è considerata. La posizione nello spazio è definita dalle incidenze nodali e dall’angolo di rotazione computato in senso antiorario rispetto all’asse di riferimento X globale. Nella figura seguente sono schematizzate le variabili cinematiche e le caratteristiche di sollecitazione, con la corrispondente convenzione dei segni per ciascun piano di azione.

(a) (b) (c) Vista in pianta dell’elemento e identificazione della sua posizione tramite l’angolo (a); variabili cinematiche e convenzione

dei segni per le caratteristiche di sollecitazione dell’elemento pilastro non lineare in c.a. (b); grandezze geometriche (c) La matrice di rigidezza dell’elemento Kelem può essere definita sulla base di principi assolutamente analoghi a quelli precedentemente esposti per la trave.

-25 -

3 2 3 2

3 2 3 2

12 6 12 60 0 0 0 0 0

(1 ) (1 ) (1 ) (1 )12 6 12 60 0 0 0 0 0(1 ) (1 ) (1 ) (1 )

0 0 0 0 0 0

yy yy yy yy

x x x x

xx xx xx xx

y y y y

EJ EJ EJ EJl l l l

EJ EJ EJ EJl l l l

EA EAl lTxi

TyiNiMxiMyiTxjTyjNjMxjMyj

2 2

2 2

3 2 3

0 0

(4 ) (2 ) (2 )6 60 0 0 0 0(1 ) (1 ) (1 ) (1 ) (1 )

6 (4 ) 6 (2 )0 0 0 0 0 0

(1 ) (1 ) (1 ) (1 )12 6 12

0 0 0 0 0(1 ) (1 ) (1 )

xx y xx y xx yxx xx

y y y y y

yy yy x yy yy x

x x x x

yy yy yy

x x x

EJ EJ EJEJ EJl l l l l

EJ EJ EJ EJl l l l

EJ EJ EJl l l

2

3 2 3 2

2 2

2 2

60

(1 )12 6 12 60 0 0 0 0 0(1 ) (1 ) (1 ) (1 )

0 0 0 0 0 0 0 0

(2 ) (4 )6 60 0 0 0 0 0(1 ) (1 ) (1 ) (1 )

6 (2 ) 60 0 0

(1 ) (1 ) (

yy

x

xx xx xx xx

y y y y

xx y xx yxx xx

y y y y

yy yy x yy

x x

EJl

EJ EJ EJ EJl l l l

EA EAl l

EJ EJEJ EJl l l l

EJ EJ EJl l l

(4 )0 0 0

1 ) (1 )

xi

yi

zi

xi

yi

xj

yj

zj

xj

yj

yy x

x x

uuu

uuu

EJl

con 2 2

24(1 ) ; 24(1 )iy ixx x y y

r rl l

Matrice di rigidezza elastica dell’elemento pilastro 3D in CA I limiti elastici in termini di resistenza, relativi ai meccanismi di rottura considerati, coincidono con il valore ultimo, poiché vige l’ipotesi di comportamento elastico-perfettamente plastico, dunque in assenza di incrudimento. Si precisa che, in virtù della modellazione a telaio equivalente con azioni concentrate nei nodi adottata, il taglio e lo sforzo normale lungo l’elemento sono costanti e il momento flettente ha andamento lineare. Anche in questo caso oltre alle caratteristiche geometriche della sezione, per poi determinare la superficie di snervamento per la valutazione del momento resistente limite, è necessaria l’ulteriore caratterizzazione tramite: l’area e il numero delle barre delle armature longitudinali disposte sul lato B e H della sezione, nell’ipotesi di assumerla poi simmetrica (AlatoB, n latoB e AlatoH, nlatoH), il copriferro (c), l’area e il passo delle armature trasversali (Astaffe, s) ed infine la descrizione delle caratteristiche dell’elemento propedeutiche alla definizione opportuna del valore della rotazione ultima della sezione (passo dell’armatura trasversale in corrispondenza dell’estremità dell’elemento, tipologia delle barre poste in opera, se lisce o ad aderenza migliorata, efficienza dell’ancoraggio delle barre all’estremità, qualità dei dettagli antisismici).

3.3.3 Elemento Setto

L’elemento setto è, analogamente all’elemento pilastro, caratterizzato da 10 gradi di libertà; a differenza di quest’ultimo la posizione nello spazio è identificata dalle incidenze nodali e,relativamente alla sua orientazione, questa è definita dalla giacitura della parete lungo cui è diretta la sua dimensione prevalente (ovvero B).

Definizione delle caratteristiche geometriche dell’elemento setto

-26 -

Per quanto riguarda la definizione della matrice di rigidezza K e le convenzioni dei segni delle caratteristiche di sollecitazione si rimanda a quanto descritto per l’elemento pilastro. La sezione di tale elemento può risultare esclusivamente rettangolare, tuttavia è possibile definire in modo differenziato le armature longitudinali d’estremità della sezione per poter modellare soluzioni, adottate nella pratica progettuali, per le quali si preveda un infittimento dell’armatura in tali regioni (in modo approssimato, quanto meno dal punto di vista dell’armatura posta in opera, è possibile così anche simulare la presenza di pilastrini d’estremità). La caratterizzazione della sezione, analogamente all’elemento trave e pilastro, è compiuta attraverso: l’area e il numero delle armature disposte lungo la dimensione prevalente (AlatoB, n latoB), l’area e il numero di armature disposte lungo il lato corto (AlatoE, n latoE) e nel caso in cui sia presente un infittimento in tale zona indicarne anche l’estensione (BlatoE), il valore del copriferro (c), le armature orizzontali e il corrispondente passo (Aorizz , s), l’area l’inclinazione e il passo di eventuali armature diagonali poste alla base del setto (Adiag , e sdiag) e le ulteriori caratteristiche relative ai dettagli costruttivi necessarie per la definizione della rotazione ultima. Nel caso in cui siano presenti delle aperture all’interno degli elementi setto gli elementi strutturali di collegamento sono modellati come degli elementi trave bidimensionali con la possibilità di includere nella caratterizzazione delle armature alla voce Adiag la presenza di tralicci diagonali, come suggerito anche in diverse normative (EC8 – Norme tecniche delle Costruzioni 2008). In particolare nelle travi di collegamento dei setti nelle Norme tecniche delle Costruzioni 2008 l’inserimento di tali tralicci diagonali (punto 7.4.4.6) è prescritto nel caso in cui non siano rispettati determinati rapporti dimensionali (rapporto luce netta e altezza < 3) o precisi livelli dello stato tensionale ( taglio sollecitante > 4bt (Rck 2/3/28)); se l’elemento pertanto ricadesse durante l’analisi in una di tali condizioni e non fossero state predisposte tali armature il taglio resistente associato risulterebbe nullo.

Caratterizzazione delle tralicci diagonali nelle travi di collegamento dei setti: la voce Adiag corrisponde all’area complessiva Asi

del singolo diagonale


Nel seguito sono sintetizzati in particolare i criteri adottati per la definizione dei limiti di resistenza e per la caratterizzazione delle proprietà della cerniera plastica particolarizzandoli di volta in volta per ciascuna tipologia di elemento formulato ovvero elemento trave, pilastro e setto. Si precisa che nel calcolo dei criteri di resistenza dei diversi elementi formulati si è fatto esplicito riferimento ai criteri proposti nelle Norme Tecniche delle Costruzioni 2008 con riguardo alla classe di elementi strutturali progettati secondo la classe di duttilità bassa e media (questo comporta l’assunzione di non amplificare le caratteristiche di sollecitazione per alcun coefficiente di amplificazione come previsto invece nel rispetto dei principi di gerarchia delle resistenze).

3.3.4.1 Definizione dei limiti a compressione e trazione semplici Il limite di resistenza per pura compressione è definito per tutte le tipologie di elementi definiti dalla:

cdsdtot,sc,u fA8.0fAN In cui As,tot rappresenta l’area totale dell’armatura longitudinale presente, A è l’area della sezione di calcestruzzo, fsd rappresenta il valore di resistenza a snervamento di calcolo dell’acciaio e fcd quello di resistenza del cls. Poiché il valore di resistenza del cls fcd è usualmente riferito ad uno stato di sollecitazione flessionale, il coefficiente riduttivo, usualmente assunto pari a 0.8, riflette la penalizzazione attribuita alla condizione di profilo di compressione uniforme della sezione. In tale condizione infatti ne consegue uno stato di microfessurazione, tale da poter scomporre virtualmente il

-27 -

comportamento del materiale in quello di tante fibre parallele parzialmente scollegate, che ne penalizza la risposta complessiva; inoltre tale coefficiente riduttivo riflette la circostanza per la quale spesso il preludio del collasso nel caso di compressione uniforme è caratterizzato da spostamenti e plessi fessurativi meno evidenti che in altri casi. Per quanto riguarda invece il limite di resistenza a trazione semplice, questo è computato facendo riferimento esclusivo al contributo offerto dalle armature longitudinali, dunque risulta dalla:

sdtot,st,u fAN Tali limiti risultano invariati per le due sezioni d’estremità dell’elemento in quanto non viene tenuta in conto l’eventuale variazione dell’armatura longitudinale posta in opera lungo il suo sviluppo.

3.3.4.2 Meccanismo a flessione (con e senza sforzo assiale) Il calcolo dei domini limite d’interazione M-N che sanciscono di fatto la superficie di snervamento ammissibile con la quale operare il confronto per verificare la formazione della cerniera plastica, è basato sulle usuali ipotesi assunte nella scienza della tecnica delle costruzioni. Si analizza direttamente il caso della compresenza dello sforzo normale e del momento flettente poiché il caso della flessione pura è di fatto una condizione particolare di questo stato di sollecitazione nel caso in cui N sia nullo. Si precisa che il calcolo di tali domini, come prassi corrente, omette effetti d’interazione con la caratteristica di sollecitazione a taglio. Le ipotesi alla base della formulazione dei domini d’interazione M-N risultano: Conservazione delle sezioni piane; Ipotesi di aderenza perfetta: ovvero si ipotizza che l’armatura non slitti rispetto alle compagini di calcestruzzo lontane dalla fessura; di fatto dunque questa condizione, accoppiata alla i, porta alla conclusione che la deformazione delle armature s (quella al lembo teso) risulta univocamente determinata dalla posizione dell’asse neutro e dalla deformazione del cls nella fibra maggiormente compressa. Il polo di riduzione dei momenti assunto coincide con il baricentro geometrico della sezione, facendo però riferimento esclusivamente al contributo del calcestruzzo. I legami costitutivi dei due materiali base della sezione, ovvero calcestruzzo e acciaio, sono riportati nella figura seguente.

Legami costitutivi di riferimento per i materiali: acciaio (il valore ultimo di deformazione assunto pari 10 103 è quello

corrispondente alla perdita dell’aderenza cls-acciaio) e calcestruzzo Si precisa che nel caso del calcestruzzo di fatto nel calcolo poi del dominio limite si farà riferimento ad una legge costitutiva tipo stress-block: essa ovviamente rappresenta esclusivamente un’astrazione mentale e non è rappresentativa ovviamente di alcun comportamento deformativo reale; in effetti i valori puntuali non interessano neppure poiché l’analisi ultima non si avvale direttamente della legge costitutiva, ma dell’integrale dell’area sottesa.

Equilibrio della sezione

-28 -

Per la costruzione del dominio M-N si procede assegnando una deformata di rottura e determinando il diagramma delle deformazioni e poi, attraverso i legami costitutivi, quello delle tensioni; quindi si calcolano le risultanti delle tensioni di compressione del calcestruzzo NC e quelle dell’ armatura tesa e compressa NS e NS’: NS = s As NS’ = s’ As’ NC = y fcd b In cui s e As rappresentano il valore della tensione e l’area dell’armatura longitudinale tesa (viceversa l’apice ‘ indica l’armatura compressa), fcd la resistenza di calcolo del cls, caratterizza lo stress- block assunto pari a 0.8, y definisce la posizione dell’asse neutro e b è la larghezza della sezione. Ne conseguono l’equilibrio alla traslazione e quello alla rotazione: N= NC + NS + NS’ M= NC dC + NS dS + NS’ dS’ In cui dc,ds e ds’ rappresentano i bracci delle risultanti NC,NS e NS’rispetto al polo di riduzione, ovvero rispetto al baricentro della sezione in calcestruzzo. Le coordinate N e M corrispondono ad una deformata di rottura ed individuano dunque nel piano N-M un punto del dominio limite. Si sottolinea che nel calcolo del contributo della parte compressa di calcestruzzo è fatto riferimento al valore della resistenza di calcolo fcd ,valida a rigore nel caso di flessione semplice. Come visto nel paragrafo 3.3.4.1 nel caso della compressione uniforme la resistenza viene poi ridotta di un fattore pari a 1.25: nei domini d’interazione queste due considerazioni vengono composte “tagliando” di fatto il dominio con la retta a sforzo normale costante, pari al valore limite per compressione uniforme. Si precisa infine che la posizione delle armature, nel caso di barre disposte su più file, è stata approssimata con quella rappresentativa del baricentro dell’intero gruppo (ovviamente tenendo opportunamente conto del copriferro). La costruzione dei domini d’interazione è effettuata a partire dalle caratteristiche iniziali della sezione, la superficie di snervamento è poi assunta invariante durante l’analisi. Come meglio precisato nel paragrafo 3.3.6 in cui è descritta la procedura di correzione non lineare, il valore del momento limite Mu, assunto a riferimento per la valutazione della condizione di attivazione della cerniera plastica, è effettuato a partire dai domini d’interazione in corrispondenza del valore corrente di sforzo normale: questo significa di fatto assumere variabile il plateau della bilineare che caratterizza la cerniera plastica almeno fino al momento della sua attivazione.

Caratterizzazione della cerniera plastica in termini di diagramma momento-rotazione: Mu risulta variabile in funzione dello sforzo normale agente sull’elemento fino al momento dell’attivazione della cerniera plastica (rappresentato dalla linea

marcatamente più spessa nel diagramma M- Nel caso dei pilastri tali elementi possono essere soggetti a presso flessione deviata. Sebbene il procedimento per la costruzione del dominio limite Mx – My – N ricalchi concettualmente quello della presso flessione retta (assegnata una deformata di rottura si determina il diagramma delle deformazioni e poi, attraverso i legami costitutivi quello delle tensioni atte a calcolare le risultanti agenti sulla sezione) in tal caso esso si presenta considerevolmente più complicato a causa della possibile inclinazione dell’asse neutro. In questo caso pertanto per il computo del dominio resistente a pressoflessione deviata sono state introdotte le seguenti ipotesi semplificate:

-29 -

I momenti resistenti Mx,Rd e My.Rd sono stati computati singolarmente (in corrispondenza dello sforzo normale N

agente sull’elemento) facendo riferimento al caso della presso flessione retta, trascurando il contributo offerto dall’armatura disposta ortogonalmente all’asse neutro;

(b) armature considerate nel calcolo di Mx,Rd (c) armature considerate nel calcolo di My,Rd

la conseguente ripercussione sul dominio resistente dovuta alla presenza contemporanea del momento sollecitante in x e in y è tenuta in conto tramite un dominio d’interazione (in questa prima fase approssimato come lineare).

Nel caso degli elementi pilastro l’armatura per ciascuna coppia di lati paralleli è assunta simmetrica pertanto ai punti corrispondenti allo stato di massima trazione e compressione è associato identicamente un momento nullo. Nel caso degli elemento setto la trattazione precedentemente esposta è stata generalizzata, nel caso della dimensione prevalente, al fine di tenere conto del contributo di tutte le armature effettivamente presenti e non solo quelle di fatto più esterne.

3.3.4.3 Meccanismo a taglio Per quanto riguarda la definizione del taglio ultimo si è fatto riferimento alle indicazioni contenute nelle Norme Tecniche delle Costruzioni 2008 (caratterizzate per ogni tipologia di elemento strutturale trave, pilastro, setto) con le eventuali modifiche, apportate nel caso degli edifici esistenti, contenute nel documento di “Istruzioni per l'applicazione delle Nuove norme tecniche per le costruzioni". Si ricorda che il meccanismo per taglio è fragile dunque una volta raggiunto tale valore limite l’elemento è ritenuto a collasso. Nel caso degli elementi trave e pilastro poiché, come evidenziato in precedenza, si è fatto riferimento esclusivo al caso della progettazione in bassa o media duttilità, dunque in definitiva i criteri assunti coincidono con quelli della condizione non sismica ovvero seguendo le indicazioni contenute in DM 9 gennaio 1996 (punti 4.2.2). Di fatto dunque i criteri assunti fanno riferimento alla schematizzazione della membratura secondo l’idealizzazione a traliccio secondo Ritter-Mörsch. Si consideri dapprima il caso degli elementi trave e pilastro; la verifica si distingue nei due sottocasi in cui siano o no presenti armature trasversali al taglio.

- Verifica in assenza di armature trasversali al taglio

Come riportato nel DM 9 gennaio 1996:

4.2.2.2. Elementi senza armature trasversali resistenti a taglio. È consentito l’impiego di elementi sprovvisti di armature trasversali resistenti a taglio per solette, piastre e membrature a comportamento analogo, a condizione che detti elementi abbiano sufficiente capacità di ripartire i carichi trasversalmente.

B

H

B

H

B

(a) (b) (c)

-30 -

4.2.2.2.1. Verifica del conglomerato.

Il taglio di calcolo non deve superare il valore che, con riferimento alla resistenza a trazione di calcolo fctd, determina la formazione delle fessure oblique, tenendo conto, oltre che degli effetti dei carichi, di eventuali stati coattivi che favoriscano la formazione delle medesime fessure.

4.2.2.2.2. Verifica dell’armatura longitudinale. La verifica comporta la traslazione del diagramma del momento flettente lungo l’asse longitudinale nel verso che dà luogo ad un aumento del valore assoluto del momento flettente. Le verifiche possono effettuarsi rispettando la condizione:

dbrfV wlctdSdu )501(25,0

con il seguente significato dei simboli: Vsdu = taglio sollecitante di calcolo allo stato limite ultimo; fctd = resistenza a trazione di calcolo; r = (1,6-d) con d espressa in metri e comunque d 0,60 m;

l = db

A

w

sl e comunque l 0.02

bw = larghezza della membratura resistente a taglio; d = altezza utile della sezione; = 1 in assenza di sforzo normale; = 0 in presenza di un apprezzabile sforzo normale di trazione;

= sduM

M01 in presenza di sforzo di compressione (o di precompressione); M0 è il momento di decompressione

riferito alla fibra estrema della sezione su cui agisce Msdu; Msdu è il momento agente massimo di calcolo nella regione in cui si effettua la verifica a taglio, da assumersi almeno pari a M0;

Asl = area dell’armatura longitudinale di trazione ancorata al di là dell’intersezione dell’asse dell’armatura con una eventuale fessura a 45° che si inneschi nella sezione considerata

- Verifica in presenza di armature trasversali al taglio

Come riportato nel DM 9 gennaio 1996:

4.2.2.3. Elementi con armature trasversali resistenti al taglio. La resistenza allo sforzo di taglio dell’elemento fessurato si calcola schematizzando la trave come un traliccio ideale di cui quello di Ritter-Mörsch rappresenta un modello semplificato. Gli elementi del traliccio resistenti a taglio sono le armature trasversali d’anima, funzionanti come aste di parete, e il conglomerato sia del corrente compresso che delle bielle d’anima. Il traliccio è completato dall’armatura longitudinale.

Fig. 3-I per lb , lunghezza di ancoraggio, vedasi punto 5.3.3.

4.2.2.3.1. Verifica del conglomerato. La verifica consiste nel confrontare il taglio di calcolo con una espressione cautelativa della resistenza a compressione delle bielle inclinate.

-31 -

Nel caso in cui l’anima contenga barre pre-tese o cavi iniettati di diametro Ø>bw/8, si dovrà assumere nel calcolo la larghezza nominale dell’anima:

Ø21

wwn bb

dove è calcolato al livello più sfavorevole. Per la verifica del conglomerato compresso in direzione obliqua si potrà imporre:

dbfV wcdSdu 30,0 essendo fcd la resistenza di calcolo a compressione. L’espressione del taglio resistente riportata corrisponde al caso in cui l’armatura trasversale è costituita da staffe ortogonali alla linea media ( = 90°). Se le staffe sono inclinate (45° <90°) il valore di calcolo del taglio resistente può essere assunto pari a:

)cot1(30,0 dbf wcd con limite superiore 0,45 fcd bw d. Nel caso di barre rialzate la maggiorazione sopra indicata non è lecita.

4.2.2.3.2. Verifica dell’armatura trasversale d’anima. Il taglio di calcolo deve risultare inferiore od al limite uguale alla somma della resistenza della armatura d’anima e del contributo degli altri elementi del traliccio ideale. Comunque la resistenza di calcolo dell’armatura d’anima deve risultare non inferiore alla metà del taglio di calcolo. L’armatura trasversale deve essere tale da verificare:

Vsdu Vcd + Vwd in cui:

)cos(sen90,060,0

sdfAV

dbfV

ywdswwd

wctdcd

In tali espressioni è l’inclinazione dell’armatura trasversale rispetto all’asse della trave, Asw l’area dell’armatura trasversale posta all’interasse s, è un coefficiente che tiene conto della presenza di sforzo normale e che assume i valori: = 1 se, in presenza di sforzo normale di trazione, l’asse neutro taglia la sezione; = 0 se, in presenza di sforzo normale di trazione, l’asse neutro risulta esterno alla sezione;

= sduM

M01 in presenza di sforzo di compressione, essendo M0 e Msdu definiti precedentemente.

Per le barre rialzate resistenti a taglio è consigliabile limitare la tensione di calcolo a 0,8 fywd. Particolare attenzione deve essere rivolta al dimensionamento di elementi sottoposti ad azioni di fatica per i quali può verificarsi la necessità che la resistenza di taglio di calcolo debba essere interamente affidata all’armatura d’anima. Si precisa che, nel caso di edifici esistenti, la resistenza a taglio si valuta come per il caso di nuove costruzioni per situazioni non sismiche, considerando comunque un contributo del conglomerato al massimo pari a quello relativo agli elementi senza armature trasversali resistenti a taglio.

- Precisazioni relative al caso dei setti

Nel caso infine dei setti la verifica si compone di quella relativa all’anima per compressione, del meccanismo resistente a trazione e a scorrimento lungo piani orizzontali. - Verifica dell'anima a compressione: Tu,anima= TRd2 in cui:

TRd2 = 0,4 (0,7 – fck/200) · fcd bo

-32 -

con fck espresso in MPa e non superiore a 40 MPa bo spessore dell'anima della parete z braccio delle forze interne, valutabile come: 0,8 l - Verifica del meccanismo resistente a trazione :

Tu,trazione=TRd3=Tcd +Twd Nella quale Tcd e Twd rappresentano rispettivamente il contributo del conglomerato e dell'armatura, e sono da valutare con le espressioni valide per le situazioni non sismiche nelle sezioni al di fuori dell’altezza hcr, mentre nelle zone critiche valgono le espressioni: sforzo normale di trazione: Tcd = 0 sforzo normale di compressione: Tcd Rd(1.2 + 0.4 b0 z dove è il rapporto geometrico dell’armatura longitudinale espresso in %.

- Verifica a scorrimento lungo piani orizzontali

Tu, scorr = TRd,s=Tdd+Tfd nella quale Tdd e Tfd rappresentano rispettivamente il contributo dell'effetto "spinotto" delle armature verticali, e Tfd il contributo della resistenza per attrito e sono dati dalle espressioni: Tdd = 0,25 fydAsi Tfd = 0,25 fcd · l bo essendoAsi la somma delle aree delle barre verticali intersecanti il piano, e l’altezza della parte compressa della sezione. Si precisa che nel caso delle travi di collegamento degli elementi setto che presentino delle aperture, la verifica di quest’ultime è operata in conformità ai criteri precedentemente esposti nel caso degli elementi trave nel caso in cui sia verificata almeno una delle due seguenti condizioni: il rapporto luce netta e altezza è uguale o superiore a 3; il taglio agente risulti inferiore al valore pari a 4bd rd In caso contrario la verifica prevede che lo sforzo di taglio sia assorbito da armature ad X con sezione pari ad As per ciascuna diagonale, che attraversano diagonalmente la trave e si ancorano nelle pareti adiacenti; il taglio ultimo resistente allora è fornito dalla:

sinfA2T ydsu

essendo l'angolo tra le diagonali e l'asse orizzontale. Con l’ulteriore limitazione che comunque non sia superato il valore pari a 15bd rd. Si ricorda ancora che essendo tali formule implementate nella logica di verifica e non di progetto nel caso in cui per la trave di collegamento si renda necessaria, per la verifica, l’inserimento di armature a X e queste non siano state predisposte l’elemento risulta posto di fatto a collasso risultando il taglio resistente associato identicamente nullo.

3.3.5 Valutazione della capacità di rotazione ultima

Poiché il meccanismo a presso (tenso)-flessione è duttile è necessario definire le condizioni ultime che definiscono il collasso della sezione, ovvero la rotazione ultima ammissibile per la cerniera plastica oltre il quale di fatto la sezione è degradata ulteriormente a cerniera cinematica. In tal senso la comune assunzione, proposta anche nelle Norme Tecniche delle Costruzioni 2008, è quella di computare la capacità di rotazione della sezione facendo riferimento alla rotazione θ (rotazione rispetto alla corda) della sezione d’estremità dell’elemento valutata rispetto alla congiungente di tale sezione con la sezione di momento nullo a distanza pari alla luce di taglio Lv=M/T.

-33 -

Definizione della capacità di rotazione della sezione valutata rispetto alla congiungente di tale sezione con quella di momento nullo Si consideri dunque un sistema di riferimento locale con origine nell’estremo i, il punto di flesso, indicato come z0, risulta:

i

i0 T

Mz

In cui il segno negativo riflette la convenzione dei segni adottata per le caratteristiche di sollecitazione. Si calcola preliminarmente il valore dell’inflessione u0 in corrispondenza della sezione a momento nullo, ovvero corrispondente al punto di flesso, mediante interpolazione tra i valori d’estremità dell’elemento:

lz)uu(

uu 0iji0

A questo punto il calcolo delle capacità di rotazione corrente nei due estremi è immediato dalle (nell’ipotesi di piccoli spostamenti confondendo la funzione arcotangente con il suo argomento):

0

j0jj

0

0iii

zluu

zuu

Nello specifico il valore ultimo della capacità di rotazione della corda con cui operare il confronto per sancire il collasso della sezione è determinato in accordo alla formula su base empirica proposta al punto C8A.6.1 dell’Appendice del documento di “Istruzioni per l'applicazione delle Nuove norme tecniche per le costruzioni".

)25,1(25h

Lf);01,0(max)';01,0(max)3,0(016,01θ dc

ywsx

100f

f35,0

V225.0

cel

u

In cui:

el = 1.5 è un coefficiente riduttivo pari a 1.5 per la classe di elementi considerati; h è l’altezza della sezione;

=N/(Acfc) è lo sforzo assiale normalizzato agente su tutta la sezione Ac;

=Asfy/(bhfc) è la percentuale meccanica di armatura longitudinale in trazione (b, h = base ed altezza della sezione); =Asfy/(bhfc) è la percentuale meccanica di armatura longitudinale in compressione (b, h = base ed altezza della

sezione); fc , fy e fyw sono rispettivamente la resistenza a compressione del calcestruzzo e la resistenza a snervamento

dell’acciaio, longitudinale e trasversale; sx=Asx/bhsh è la percentuale di armatura trasversale (con sh interasse delle staffe);

-34 -

d è la percentuale di eventuali armature diagonali in ciascuna direzione, è un fattore di efficienza del

confinamento dato da:

oo

2i

o

h

o

h6

12

12

1bhb

hs

bs

con bo e ho dimensioni della nucleo confinato, bi distanze delle barre longitudinali trattenute da tiranti o staffe presenti sul perimetro.

Si precisa inoltre che il valore ottenuto per u è ulteriormente diviso per: il coefficiente riduttivo pari a 1.6 nel caso di acciaio incrudente oppure nel caso degli elementi setto; 1/0.85 nel caso in cui i dettagli costruttivi non siano classificabili come di tipo antisismico; 1/0.575 in presenza di barre lisce e in condizioni di ancoraggio insoddisfacenti. Si noti come di fatto il valore della rotazione ultima non sia un proprietà costante della sezione ma dipenda dallo stato di sollecitazione agente sull’elemento ed in particolare in funzione del valore agente dello sforzo normale e della distribuzione del momento flettente; fattori che concorrono nel computo della luce di taglio Lv. Nel caso della (presso) flessione deviata la normativa non contiene indicazioni ulteriori al fine di correggere il valore della rotazione ultima computato dalla espressione su base empirica descritta in precedenza. Del resto al riguardo, benché diverse sperimentazioni siano state effettuate per investigare l’influenza di stati di presso flessione deviata sul comportamento in termini di duttilità, degrado di rigidezza e di resistenza, data la complessità del problema, assai limitate risultano le proposte a carattere generale. In via semplificata nella formulazione proposta si è deciso di operare effettuando il confronto del valore della capacità della rotazione corrente con quello ultimo determinata secondo una formulazione analoga a quella adottata per i domini di interazione Mx-My: ovvero computando dapprima il valore della rotazione ultima separatamente per ciascun piano di sollecitazione facendo poi riferimento ad un diagramma d’interazione lineare per la determinazione del valore finale di confronto.

3.3.6 Precisazioni sulla formazione della cerniera plastica

Gli elementi non lineari in cemento armato si fondano su una correzione di tipo non lineare, a partire dalla previsione elastica, operata confrontando le sollecitazioni di calcolo con i limiti di resistenza conseguenti ai criteri sopraesposti. Nel caso della trave si opera come decritto nel seguito. Relativamente al meccanismo di resistenza a flessione, si ha la formazione di cerniere plastiche al raggiungimento del momento resistente, con limitazione della capacità di trasmettere sollecitazione flessionale al raggiungimento della rotazione ultima. La trave rimane in campo elastico fino a quando in una qualsiasi delle due estremità non sia raggiunto il momento limite: tale controllo è operato per entrambe le sezioni. Se, ad esempio, nell’estremo i dell’elemento viene superato il valore limite del momento, si realizza la cerniera plastica: il momento si mantiene costante pari al valore limite e la rotazione totale, prima interamente elastica, si compone di una quota parte elastica e di una plastica, localizzata nell’estremità. Il momento nell’estremo j, ancora in campo elastico, deve essere pertanto equilibrato con lo stato di spostamento attuale dell’elemento in cui nella sezione i si sia realizzata una cerniera plastica: non più dunque quello fornito dalla previsione elastica iniziale fondata sull’ipotesi che le rotazioni sviluppate alle estremità fossero di natura esclusivamente elastica, ma quello equilibrato con lo stato di spostamento in cui si tenga conto nell’estremo i della sola quota parte elastica e in j della rotazione ancora interamente elastica. La valutazione del momento equilibrato con tale stato di spostamenti è immediata dall’utilizzo dell’equazione della linea elastica in cui siano applicate le opportune condizioni al contorno, ovvero, ad esempio, nel caso esaminato in cui si realizzi in i la cerniera plastica, imponendo i valori noti del momento nell’estremo i, pari a quello limite, e quello della rotazione j interamente elastica. Si è in grado così di computare le quote parte elastica e plastica della rotazione in i e il momento in j equilibrato con lo stato attuale di spostamenti alle estremità, considerando la sola parte elastica della rotazione nell’estremo in cui si sia formata la cerniera plastica. A seconda delle differenti situazioni in cui si ricade le condizioni al contorno imposte nell’utilizzo dell’equazione della linea elastica risultano:

1. caso estremo i plasticizzato (Pi) – estremo j in fase elastica (Ej) : le condizioni al contorno imposte sono Mi = Mlimite e j (nota dalla previsione elastica iniziale) dalle quali si ricava la quota parte di rotazione elastica

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nell’estremo i i,el e di conseguenza anche quella plastica ,P; note j e i,el è possibile calcolare il momento Mj equilibrato con tale stato di spostamento;

2. caso estremo i in fase elastica (Ei) – estremo j plasticizzato (Pj): le condizioni al contorno imposte sono Mj = Mlimite e i (nota dalla previsione elastica iniziale) dalle quali si ricava la quota parte di rotazione elastica nell’estremo j j,el e di conseguenza anche quella plastica j,P; note i e j,el è possibile calcolare il momento Mi equilibrato con tale stato di spostamento;

3. caso estremo i e j entrambi plasticizzati (Pi - Pj): le condizioni al contorno imposte sono Mi = Mj = Mlimite dalle quali si ricavano le quote parte elastiche di rotazione nei due estremi i,el e j,el con le quali calcolare le quote plastiche i,P e j,P.

A questo punto, ovvero computati coerentemente i momenti flettenti alle estremità dell’elemento, si procede al controllo della rotazione, calcolata rispetto alla corda individuata dalla sezione a momento nullo, rispetto alla rotazione ultima calcolata secondo quanto precedentemente esposto. Nel caso in cui tale valore limite sia superato, il momento è annullato e la rotazione impressa diventa interamente plastica: a questo punto le caratteristiche di sollecitazione (taglio e momento) nell’altro estremo sono computate coerentemente con il nuovo schema statico conseguente per la trave, ovvero quello in cui l’estremo in cui si sia verificato il collasso flessionale diventa incernierato. Dunque le condizioni che si possono attuare in ciascuna sezione d’estremità risultano relativamente al meccanismo di flessione (con o senza sforzo normale):

permanenza in fase elastica (E); formazione della cerniera plastica per raggiungimento del valore limite del momento (P); collasso della sezione a seguito del superamento del valore ultimo della rotazione ammissibile (R).

Si precisa che la caratteristica di sollecitazione di taglio è costante lungo l’elemento in virtù dello schema ad azioni concentrate nei nodi, calcolato in modo tale da garantirne l’equilibrio con i momenti sviluppati alle estremità. Per quanto riguarda la verifica di resistenza a taglio questa si realizza confrontando il valore del taglio di calcolo, ovvero compatibile con l’equilibrio dell’elemento sulla base dei momenti sviluppati alle estremità, con quello limite. Nel caso in cui tale verifica non risulti soddisfatta e il taglio resistente sia minore di quello di calcolo, allora l’elemento risulta collassato e dunque non più in grado di sopportare sollecitazioni, in virtù dell’ipotesi di meccanismo di rottura fragile. Si sottolinea la dipendenza dei limiti ultimi di resistenza (a flessione e a taglio) dallo sforzo normale di compressione: ne consegue che tali valori di confronto non sono una proprietà costante dell’elemento, ma possono variare durante l’analisi a seguito della ridistribuzione delle azioni sugli elementi coinvolti nel contributo all’equilibrio globale del sistema strutturale. Nel caso degli elementi pilastro e setto (a 10 gdl) è necessario effettuare le seguenti precisazioni rispetto a quanto sopra descritto valido nel caso della trave. Poiché tali elementi possono essere soggetti a pressoflessione deviata, il procedimento di cui sopra si particolarizza come segue:

calcolo dei momenti limite Mx,Rd e My,Rd sulla base dello sforzo normale di calcolo agente sull’elemento ( calcolati separatamente in analogia col caso di presso flessione retta)

confronto delle caratteristiche di sollecitazione agenti con il dominio d’interazione lineare Mx,Rd -My,Rd eventuale correzione delle caratteristiche di sollecitazione coerentemente con il dominio limite resistente e la

conseguente formazione della cerniera plastica. Nel caso in cui si renda necessario operare la correzione delle caratteristiche di sollecitazione a causa del superamento del dominio ammissibile tale operazione viene effettuata tramite la congiungente i punti Pi e Pi-1 in modo da tener conto della “storia” di carico dell’elemento.

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Dominio d’interazione approssimato Mx-My in cui: Pi punto le cui coordinate rappresentano le caratteristiche di sollecitazione

di calcolo derivanti dalla previsione elastica iniziale; Pi-1 punto le cui coordinate rappresentano le caratteristiche di sollecitazione del passo precedente al raggiungimento della convergenza; punto di coordinate (Mx,c ; My,c) ausiliario per

effettuare il controllo tra le caratteristiche di sollecitazioni “attuali” e il dominio limite Si precisa che nel momento in cui si realizza la cerniera plastica essa coinvolge, nell’estremo in cui tale condizione si verifichi,entrambi i piani di sollecitazione, ovvero X e Y. Dunque ai momenti plastici Mx,p e My,p corrisponderanno le rotazioni plastiche nei due piani.

3.4 Altri elementi strutturali (catene, travi o pilastri in acciaio o legno) 3.4.1 Elemento Trave Elastica

Le travi sono geometricamente dei prismi elastici a sezione costante, individuati nel piano dalla posizione dei due nodi di estremità; conoscendo la lunghezza (dimensione prevalente), l’area, il momento di inerzia ed il modulo elastico è possibile ricostruire la matrice di rigidezza (applicando le regole del legame elastico) e, assumendo che permangano indefinitamente in campo elastico, non sono necessarie ulteriori considerazioni. La matrice di rigidezza è analoga a quella già descritta nel caso ad esempio dell’elemento trave in muratura ordinaria.

4. Modellazione di strutture tridimensionali Nel paragrafo 2 è stata illustrata la procedura di modellazione a telaio equivalente delle pareti sollecitate nel proprio piano. Tale strumento costituisce il punto di partenza per la modellazione del comportamento globale: tuttavia, l’estensione della procedura alla modellazione tridimensionale non è affatto banale. La strada scelta è quella di conservare la modellazione delle pareti nel proprio piano assemblandole ad altre strutture, gli orizzontamenti, dei quali viene modellato il comportamento membranale. Il modello dell’edificio viene ad assumere così globalmente masse e rigidezze su tutti i gradi di libertà tridimensionali tenendo conto però, localmente, dei soli g.d.l. nel piano (nodi bidimensionali). In questo modo si può pervenire ad un modello strutturale essenziale senza gravarlo del calcolo della risposta fuori piano locale, che può comunque essere verificata a posteriori. Stabilito un riferimento globale unico per il modello dell'edificio, sono introdotti i riferimenti locali di ciascuna parete: si assume che le pareti giacciano in un piano verticale e si localizza la traccia in pianta della generica parete i attraverso le coordinate di un punto, l’origine del riferimento locale Oi (xi, yi, zi), rispetto ad un sistema di riferimento cartesiano globale (X,Y,Z), e l’angolo θi calcolato rispetto all'asse X. Il sistema di riferimento locale della parete è così univocamente definito e la modellazione a macroelementi può avvenire con le stesse modalità del caso piano. I macroelementi, così come gli elementi trave o catena, mantengono il comportamento nel piano e non necessitano di essere riformulati.

-37 -

Individuazione in pianta della traccia delle pareti

I nodi di connessione, appartenenti ad una sola parete, mantengono i propri gradi di libertà nel piano nel riferimento locale, mentre i nodi che appartengono a più pareti (localizzati dalle incidenze di queste ultime) debbono necessariamente disporre di gradi di libertà nel riferimento globale (nodi tridimensionali). Questi nodi, in virtù dell’ipotesi di trascurare la rigidezza fuori piano delle pareti, non necessitano di un grado di libertà rotazionale intorno all’asse verticale Z in quanto non connessi ad elementi in grado di fornire termini di rigidezza rotazionale locale. I nodi rigidi tridimensionali, rappresentativi di situazioni quali cantonali e martelli, sono ottenuti come assemblaggio di virtuali nodi rigidi bidimensionali individuati in ciascuna delle pareti incidenti. Essi hanno componenti di spostamento generalizzato secondo 5 gradi di libertà: 3 spostamenti, ux, uy e uz, e 2 rotazioni φx e φy. Le relazioni tra le 5 componenti di spostamento e rotazione del nodo tridimensionale e le 3 del nodo bidimensionale fittizio, appartenente alla singola, parete sono perciò date dalle:

cos sin

sin cos

x y

z

x y

u u uw u

in cui con u, w e φ si sono indicate le 3 componenti di spostamento secondo i gradi di libertà del nodo fittizio appartenente alla generica parete orientata in pianta secondo un angolo θ. Analogamente anche le forze applicate ai nodi tridimensionali vengono scomposte secondo le direzioni individuate dai piani medi delle pareti ed applicate, così, ai macroelementi nel loro piano di resistenza.

θ

X Y

Z

ux uy

uz = w φ x

φ y φ

u

Gradi di libertà del nodo tridimensionale

Le forze reattive trasmesse dai macroelementi appartenenti alle singole pareti ai nodi fittizi bidimensionali vengono riportate nel riferimento globale in base alle:

X

Y

θ1 θ2

Parete 1

Parete 2

O2

O1

-38 -

1 2

1 21 2

1 21 2

1 21 2

1 21 2

cos cossin sin

sin sincos cos

x h h

y h h

z v v

x

y

F F FF F FF F FM M MM M M

in cui, come riportato nella figura seguente, i termini con apice 1 e 2 fanno riferimento rispettivamente ai termini di forza corrispondenti ai nodi virtuali individuati nelle pareti 1 e 2 cui il nodo tridimensionale appartiene.

X Y

Z

Fx Fy

Fz Mx My

1vF2

vFM1 M2

2hF

1vF

Forze sul nodo a 5 g.d.l. e sui corrispondenti nodi virtuali a 3 g.d.l.

La modellazione della parete può così ancora avvenire nel piano, recuperando quanto descritto nel paragrafo 2: i nodi che appartengono ad una sola parete rimangono bidimensionali, ossia mantengono solo 3 gradi di libertà anziché 5.

4.1 Solai Nel modello di calcolo adottato agli orizzontamenti – modellati come lastre dotate di opportuna rigidezza di piano- sono riconosciuti due ruoli fondamentali: quello di riportare alle pareti i carichi verticali gravanti su di essi; quello di ripartire, come elementi di irrigidimento di piano, le azioni orizzontali sulle pareti di incidenza. La risposta flessionale dei solai, significativa per la loro verifica di resistenza, ma trascurabile ai fini della risposta globale non è modellata (coerentemente con l’ipotesi fondamentale del modello tridimensionale a telaio equivalente adottato in cui è trascurata la risposta fuori piano delle pareti); i carichi sui solai sono ripartiti sulle pareti in funzione della direzione di orditura e delle aree di influenza. In particolare i solai, modellati come elementi finiti a membrana ortotropa a 3 o 4 nodi, con due gradi di libertà per nodo (gli spostamenti ux e uy), sono identificati da:

- una direzione di orditura, rispetto alla quale sono caratterizzati da un modulo elastico di Young E1; - un modulo elastico di Young E2 in direzione perpendicolare all’orditura; - il modulo di elasticità tangenziale G2,1 ; - il coefficiente di Poisson .

I moduli E1 ed E2 rappresentano, in particolare, il grado di collegamento che il solaio, anche grazie all’effetto di cordoli o catene, esercita tra i nodi di incidenza nel piano della parete. Il termine G2,1 rappresenta invece la rigidezza a taglio del solaio nel suo piano e da esso dipende la ripartizione delle azioni tra le pareti. E’ possibile disporre un elemento solaio collegandolo ai nodi tridimensionali, giacché esso ha la funzione principale di ripartire le azioni orizzontali tra le varie pareti in proporzione alla loro rigidezza ed in funzione della propria, conferendo al modello quel carattere di tridimensionalità che dovrebbe avvicinarsi al reale funzionamento strutturale.

-39 -

L’elemento finito di riferimento considerato è l’elemento piano, in stato piano di tensione, a tre nodi. Il sistema a quattro nodi è interpretabile come sovrapposizione mediata di membrane tridimensionali secondo tutte le possibili combinazioni offerte dai lati del quadrilatero (infatti la forma potenzialmente irregolare non permette l’utilizzo della matrice di rigidezza di un rettangolo). L’elemento a quattro nodi è pertanto ottenuto come media del contributo delle due coppie di elementi a tre nodi secondo cui è possibile suddividere il quadrilatero. In tal modo è possibile modellare con un unico elemento campiture di solaio di forma quadrilatera irregolare, con generica direzione di orditura.

i

y

xj

kl

ji

l k

j

l k

i

= ½ +

Elemento a 4 nodi per i solai

La matrice di rigidezza coinvolge, ovviamente, i soli nodi tridimensionali di incidenza del solaio, mentre il contributo dei carichi verticali, propri o portati, viene attribuito in termini di massa nodale aggiunta a tutti i nodi, anche a quelli a 3 g.d.l., appartenenti alle pareti di incidenza alla quota di piano del solaio; tale massa aggiuntiva viene calcolata in base alle aree di influenza di ciascun nodo, tenendo conto della direzione di orditura del solaio. In particolare la matrice di rigidezza D dell’elemento a 3 nodi risulta dalla:

1 - mu2

E1

1 - mu2

muE1

0

1 - mu2

muE1

1 - mu2

mE1

0

0

0

G12

R

T

SSSSS

V

X

WWWWW

m =E1

E2

PER ULTERIORI APPROFONDIMENTI E VALIDAZIONI: Si rimanda al capitolo 10.1 della sezione APPROFONDIMENTI E VALIDAZIONI, in particolare relativamente a: - Ruolo della rigidezza dei solai nella risposta sismica globale - Definizione delle proprietà di rigidezza dei solai

4.2 Ripartizione delle masse A causa delle ipotesi semplificate illustrate in precedenza, si è reso necessario costruire una nuova matrice di inerzia in cui i contributi alla massa dei nodi a tre gradi di libertà in direzione ortogonale alle pareti di appartenenza siano riportati ai nodi a cinque gradi di libertà. La costruzione della matrice d’inerzia inizia dall’assemblaggio di quelle delle singole pareti e tiene conto della massa (propria e portata) trasferita dai solai, coerentemente con il proprio verso di orditura, ai nodi (bi o tridimensionali) con un’eventuale eccentricità orizzontale nel piano della parete.

-40 -

Anche la massa dei nodi e la quota parte di massa degli elementi incidenti può presentare, nel piano della parete, eccentricità verticali ed orizzontali (il baricentro del nodo potrebbe non coincidere con il punto geometrico di definizione e la porzione di massa trasferita al nodo dal macroelemento sarà generalmente eccentrica). Poiché i nodi bidimensionali sono privi di gradi di libertà ortogonali al piano della parete di appartenenza, nel calcolo delle masse è trasferita la quota di massa nodale in tale direzione, ai nodi tridimensionali vicini, in proporzione alla mutua distanza ed in modo che la massa complessiva del sistema nelle direzioni X ed Y sia coerente. Nel modello sono cioè considerate due distinte masse nodali nelle due direzioni orizzontali per i nodi tridimensionali.

Trasferimento ai nodi 3d della massa nodale in direzione ortogonale alla parete

Con riferimento alla figura precedente, i termini di massa nodale del nodo I si ottengono dalle seguenti relazioni:

(1 cos )

(1 )

I Ix x

I Iy y

l xM M ml

l xM M m sinl

Questa soluzione consente così di implementare analisi statiche con componenti di accelerazione nelle tre direzioni principali ed analisi dinamiche al passo anch’esse con la possibilità di specificare contemporaneamente tre componenti di input nelle tre direzioni.

X

ZY

M y

M y

M xJ

M x

I

m

x

l

-41 -

5. Procedure di analisi Il solutore implementa le fondamentali procedure di calcolo necessarie per l’analisi sismica. Inoltre, grazie all’opportuna formulazione degli elementi che possono comporre il telaio equivalente (maschi, fasce, elementi in c.a., catene/puntoni), è possibile estendere la trattazione anche in campo non lineare: ossia mediante analisi statiche incrementali (in controllo di forze o di spostamento), analisi pushover (statiche non lineari in controllo misto forze- spostamenti) e dinamiche tridimensionali. Le procedure analisi possono raggrupparsi così in quattro tipologie fondamentali: a) analisi statiche lineari; b) analisi modali; c) analisi statiche non lineari (analisi incrementali in controllo forze, spostamenti, o pushover); d) analisi dinamiche non lineari. Le analisi statiche lineari e dinamica modale opereranno su modelli elastico-lineari, trattabili mediante la consueta trattazione matriciale del legame elastico mentre le analisi non lineari (statica e dinamica non lineare) richiedono una formulazione più complessa.. Si specifica che nel caso di analisi non lineari, le procedure incrementali sono operati applicando una procedura iterativa di convergenza mediante l’algoritmo di Newton-Raphson. Nel seguito è posto riferimento specifico alle procedure di analisi modale, statica non lineare (pushover) per l’analisi sismica e statica lineare e non lineare per l’analisi alle azioni ordinarie

5.1 Analisi modale L’analisi modale è svolta in accordo ai principi della dinamica. La procedura implementata nello specifico è basata sull’algoritmo di inversione matriciale di Jacobi (applicando la condensazione dei gradi di libertà rotazionali).

5.2 Analisi statica non lineare (pushover) Un’analisi pushover è un’analisi statica monotona, condotta in controllo di spostamenti, sottoponendo la struttura ad una distribuzione di forze orizzontali i cui rapporti relativi vengono mantenuti (variando ovviamente la risultante totale) al crescere degli spostamenti. In pratica si controlla lo spostamento orizzontale di un punto (un nodo della struttura, il punto di applicazione della risultante, etc.) imponendo che gli spostamenti orizzontali dei vari piani assumano valori tali da far corrispondere la deformata a quella conseguente all’applicazione delle forze orizzontali di piano secondo l’assegnata distribuzione. Ovviamente, rispetto ad un’analisi statica incrementale, l’analisi pushover consente di cogliere anche il tratto di softening dopo il raggiungimento della resistenza massima e di seguire l’instaurarsi del meccanismo di collasso. Nel programma 3Muri è stato formulato un algoritmo numerico particolarmente efficiente dal punto di vista computazionale al fine di svolgere tale tipologia di analisi. Esso si basa sulla trasformazione del problema del push-over in un’analisi in controllo di spostamento su un solo grado di libertà, ma su un sistema modificato tramite un’opportuna ridefinizione della matrice di rigidezza. Si consideri per semplicità un generico sistema elastico, descritto da n gradi di libertà, di cui i primi m liberi ed i rimanenti vincolati; si prescinda da storie di carico precedenti, in vista di una applicazione in termini incrementali. Il problema dell’analisi push-over può essere ricondotto a quello di imporre un campo di forze, rappresentativo dell’azione sismica, scalato attraverso un moltiplicatore l, che evolve nel corso dell’analisi e tale da indurre uno specifico spostamento ad una delle coordinate libere. La procedura consiste nello scegliere uno dei gradi di libertà liberi e controllarne lo spostamento. La formulazione generale del problema può essere espressa dalle seguenti equazioni:

, mm m mk x f

FF Fm FC F FT TFm Cm

CF Cm CC C C

K k K x fk kK k K x r

-42 -

dove m rappresenta il grado di libertà di controllo e fF rappresenta il vettore che racchiude i coefficienti che descrivono la distribuzione di forze applicata. Tale sistema di equazioni può essere riscritto sottraendo da ciascuna delle prime m-1 righe, la riga m moltiplicata per fi/fm ( dove l’indice i indica la riga in esame; a questo punto l’i-esima equazione diviene:

.

Il nuovo sistema di equazioni, con la relativa matrice di rigidezza modificata diviene:

,

in cui i termini tildati indicano l’avvenuta sottrazione della riga m. Nell’ottica di dover operare in campo non lineare è necessario riformulare il problema in termini incrementali, ovvero, assegnato un incremento al grado di libertà di controllo, determinare l’incremento da attribuire alle altre coordinate libere in modo che le forze si incrementino in rapporto prefissato. La formulazione già descritta vale a patto di sostituire a forze e spostamenti i loro incrementi.

5.2.1 Introduzione dell’eccentrità accidentale aggiuntiva prescritta dalle normative

Le Norme Tecniche delle Costruzioni 2008 (così come altri documenti normativi) prevede l’attribuzione di eccentricità accidentali oltre a quelle proprie della struttura (derivanti dall’eccentricità tra il baricentro delle masse e quello delle rigidezze). Nello specifico le Norme Tecniche delle Costruzioni (al punto 7.2.6) propongono, al fine di contemplare eventuali incertezze nel posizionamento delle masse, di considerare, in ogni piano, un centro di massa opportunamente traslato di una quantità pari al 5% della direzione massima ortogonale all’azione sismica. Il programma prevede l’introduzione delle eccentricità accidentali ex ed ey al fine di permettere la determinazione, per ogni piano, di una configurazione di masse modificata (in direzione X ed Y) in modo tale da fornire il baricentro nella posizione richiesta, senza alterare la massa verticale complessiva del sistema. La generica massa modificata km è calcolata tramite un coefficiente , comune a tutte le masse di piano, che controlla la variazione rispetto alla configurazione di partenza:

1 ( ) k k k Gm m x x% .

La quantità xk indica la posizione della massa k-esima, mentre xG la posizione originale del baricentro. La nuova configurazione di masse dovrà produrre un baricentro traslato dell’eccentricità e assegnata, a parità di massa complessiva:

( ) piano

k k G totk

m x x m e% .

Il coefficiente sarà determinato, per ogni piano, a partire dalla relazione di cui sopra che sviluppata porta a :

2( ) ( ) piano piano

k k G k k G totk k

m x x m x x m e .

Il primo termine è nullo per la definizione di baricentro, resta:

1 1 1 ... ... 0i i ii m im mm m in mn n

m m m

f f fk k x k k x k k xf f f

mm m mk x f

FF Fm FC FT TFm Cm

CF Cm CC C C

K k K x 0k kK k K x r

-43 -

2( )

piano

k k G totk

m x x m e

da cui si ricava, per il piano considerato, il valore di :

2( )

tot

piano

k k Gk

m e

m x x

Le masse nodali modificate sono conservate distintamente dalle masse originarie ed utilizzate, in luogo della precedenti, nelle analisi che lo richiedano, ovvero ove vada considerato un comportamento dinamico.

5.2.2 Precisazioni sull’applicazione dell’analisi statica non lineare in relazione ai riferimenti normativi

L’esecuzione dell’analisi statica non lineare è propedeutica alla verifica della sicurezza sismica globale del manufatto in accordo ai principi illustrati al paragrafo 6. Nello specifico il programma di calcolo prevede lo svolgimento di 24 analisi al variare: della direzione di analisi considerata (secondo le due principali X e Y – coerentemente con il sistema di riferimento introdotto in precedenza); del verso di analisi (se positivo o negativo); della distribuzione di forze applicata (nello specifico due, quella proporzionale alle masse e quella proporzionale al prodotto della massa incidente nel nodo per la deformata corrispondente al primo modo di vibrare approssimato secondo la deformata derivante dall’applicazione della distribuzione di forze applicata nel caso di analisi statica lineare); della presenza o meno dell’eccentricità accidentale aggiuntiva (pari al 5% della massima dimensione dell’edificio in direzione perpendicolare al sisma come proposto nelle Norme Tecniche delle Costruzioni 2008). Con riferimento alle distribuzioni di forze applicate appare utile precisare come al punto 7.3.4.1. delle Norme Tecniche delle Costruzioni siano definiti due gruppi di distribuzioni di forze da applicare e come la norma definisca che sia necessario adottare almeno una distribuzione di forza attinta da ciascuno dei due gruppi. Rispetto alle indicazioni generali descritte al punto 7.3.4.1., al punto C8.7.1.4 del documento di ““Istruzioni per l'applicazione delle Nuove norme tecniche per le costruzioni" è specificato che, nel caso delle costruzioni in muratura esistenti, è consentito adottare - indipendentemente dalla percentuale di massa partecipante sul primo modo – le seguenti distribuzioni: proporzionale alle forze statiche descritta al paragrafo 7.3.3.2 nel caso di analisi statica lineare (attinta dal gruppo 1); uniforme, ossia proporzionale alle masse (attinta dal gruppo 2). Le distribuzioni di forze adottate dal programma di calcolo risultano dunque coerenti con tali indicazioni. In relazione all’esecuzione delle analisi statiche non lineare, la scelta del nodo controllo merita alcune precisazioni. Nella norma non sono indicate specifiche indicazioni, tuttavia appare opportuno notare che nel caso degli edifici esistenti in muratura i risultati dell’analisi statica non lineare possono evidenziare una certa sensitività dei risultati al variare del nodo di controllo assunto, in particolare, nel caso in cui gli orizzontamenti siano caratterizzati da strutture flessibili (quali il caso ad esempio di solai lignei o volte). In ragione di tale osservazione, appare opportuno adottare nella rappresentazione della curva di capacità lo spostamento ottenuto come media di tutti quelli dei nodi di piano: tale adozione infatti consente di ottenere un risultato che sia maggiormente rappresentativo della risposta complessiva dell’intera struttura (e non così sensibile all’occorrenza di effetti locali della risposta). In ragione di tale osservazione infatti, rappresentare nella curva di capacità lo spostamento di un unico nodo di controllo posizionato nella parete più vulnerabile potrebbe non risultare cautelativo.

6. Criteri adottati per la verifica

6.1 Verifica sismica globale La verifica sismica globale consiste nel confronto tra la curva ottenuta attraverso l’analisi statica non lineare (opportunamente convertita perché sia rappresentativa di un equivalente oscillatore equivalente) e la domanda sismica

-44 -

rappresentata in termini di spettro di risposta (ottenuto a partire da quello elastico opportunamente ridotto secondo l’approccio degli spettri anelastici come proposto nelle Norme Tecniche delle Costruzioni 2008). I criteri adottati per la conversione della curva di capacità nella bilineare equivalente e quelli utilizzati per il calcolo della risposta sismica attesa, sono conformi a quanto prescritto nel caso di costruzioni esistenti in muratura nelle suddette norme di riferimento. La conversione della curva di capacità nella bilineare equivalente è operato tramite l’imposizione delle condizioni specificate nel documento di “Istruzioni per l'applicazione delle Nuove norme tecniche per le costruzioni" (punto C.7.8.1.5.4). Il ramo elastico iniziale è definito dalla retta che, passando per l'origine interseca la curva del sistema reale in corrispondenza del 70% del valore di picco; il plateau della bilineare è determinato sulla base del principio di equivalenza delle aree tra i diagrammi del sistema reale e quello equivalente fino al punto in corrispondenza dello spostamento ultimo. Lo spostamento ultimo della curva è computato in corrispondenza del passo dell’analisi in cui si verifica il decadimento del taglio di base del 20% rispetto al valore di picco. Il sistema equivalente risulta così determinato in termini di periodo (T*) (ossia rigidezza k*), resistenza (F*y), massa (m*) e spostamento ultimo (d*u). La verifica allo Stato Limite di Salvaguardia della Vita (SLV) prevede il confronto (per ciascuna delle analisi effettuate) tra lo spostamento massimo richiesto dalla normativa, dmax (calcolato secondo i criteri illustrati al punto C.7.3.4 del documento di “Istruzioni per l'applicazione delle Nuove norme tecniche per le costruzioni"), e lo spostamento ultimo valutato du sulla curva di capacità con l’ulteriore limitazione, nel caso di costruzioni in muratura, che il fattore q* (rapporto tra la forza di risposta elastica e la forza di snervamento del sistema equivalente) risulti inferiore a 3. La verifica allo Stato limite di Danno prevede il confronto (per ciascuna delle analisi effettuate) tra lo spostamento massimo richiesto dalla normativa, dSLDmax (calcolato impiegando lo spettro di risposta elastico), e lo spostamento massimo calcolato sulla curva di capacità corrispondente al sottopasso che causa il superamento del valore massimo di drift d’interpiano consentito dalla norma (pari a 0.003). La verifica allo Stato limite di Operatività prevede il confronto (per ciascuna delle analisi effettuate) tra lo spostamento massimo richiesto dalla normativa, dSLDmax (calcolato impiegando lo spettro di risposta di progetto definito per lo stato limite di operatività), e lo spostamento massimo calcolato sulla curva di capacità corrispondente al sottopasso che causa il superamento del valore massimo di drift d’interpiano consentito dalla norma (pari a 0.002).

-45 -

APPROFONDIMENTI E VALIDAZIONI

7. Premessa Il presente documento contiene approfondimenti teorici ed esempi numerici specifici atti a validare il modello di calcolo adottato (di cui i fondamenti teorici sono descritti nel “Manuale teorico”).

8. Modellazione di pareti

8.1 Sensitività della risposta al variare dei criteri adottati per la definizione della geometria degli elementi

La geometria adottata per gli elementi strutturali che compongono il telaio equivalente concorre a definire la risposta sismica globale. In particolare si richiama, ad esempio, come l’altezza definita per i maschi murari possa influenzare l’attivazione prevalente di un meccanismo a pressoflessione oppure a taglio (si rimanda alla sezione relativa ai criteri di resistenza dei pannelli in muratura ordinaria per verificare la dipendenza dalla snellezza del pannello della previsione di resistenza fornita da tali criteri). Nel seguito è illustrato un esempio atto a chiarire tali considerazioni e a quantificare gli effetti di diverse scelte adottate per la definizione della geometria dei maschi. In primo luogo si esamini nel seguito l’influenza nei risultati ottenuti al variare di diversi criteri assunti per la definizione della geometria dei maschi. Nello specifico si considerino i seguenti casi:

- Mesh coerente con quella automatica fornita dal programma di calcolo; - Mesh modificata- caso A (operando tramite la funzione “modifica mesh”) in cui l’altezza dei maschi è stata assunta pari

a quella di interpiano (pari a 3 m); - Mesh modificata- caso B (operando tramite la funzione “modifica mesh”) in cui l’altezza dei maschi è stata assunta pari

a quella delle aperture adiacenti (quindi pari a 2.1 m nel caso di porte e pari a 1.4 m nel caso di finestre). La figura seguente richiama la geometria della struttura in esame.

Caso studio in esame: individuazione delle pareti resistenti in pianta; vista 3D del modello geometrico; vista 3D della mesh

automatica generata dal programma di calcolo. La figura seguente sintetizza l’idealizzazione in telaio equivalente delle pareti dirette in X al variare delle tre ipotesi sopra introdotte.

-46 -

P1 P3 M

esh A

utoma

tica

Mesh

Mod

- Cas

o A

Mesh

Mod

- Cas

o B

Mesh delle parete P1 e P3 dirette in X al variare dei criteri assunti per la definizione della geometria dei maschi murari La figura seguente illustra il confronto delle curve taglio di base (V) – spostamento medio dei nodi del secondo livello (D) ottenute, per ciascuno dei tre casi, a seguito dell’esecuzione dell’analisi statica non lineare in direzione X con distribuzione di forze proporzionale alla masse. Nei tre casi si evidenzia una variazione sia nella duttilità globale che nella resistenza. Tali differenze sono imputabili alla variazione nei meccanismi di collasso prevalenti che si attivano nei maschi murari. La figura 1.10 illustra il quadro del danno per le pareti P1 e P3 in corrispondenza dello spostamento ultimo (definito in corrispondenza del decadimento del 20% del taglio massimo).

-47 -

Idealizzazione della parete in muratura in telaio equivalente nel caso di disposizione di aperture irregolare

Si noti come nel passaggio dalla configurazione associata alla mesh automatica al caso B si abbia una maggiore preponderanza di modalità di collasso (o di danneggiamento) dei pannelli per taglio. Questo porta in termini di duttilità globale ad una riduzione della stessa: infatti il drift limite è valutato in funzione dell’altezza del pannello che nel caso B risulta sensibilmente ridotta. In termini di variazione di resistenza la differenza può essere spiegata in ragione di come varia il rapporto tra la previsione offerta dal criterio di resistenza per pressoflessione e quello per taglio al variare della snellezza del pannello. Le figure da seguenti illustrano il confronto tra la previsione offerta da tali criteri di resistenza per l’elemento E4 (caratterizzato da larghezza pari a 1.05 m) della parete P1 (caratterizzato da snellezza pari a 2.1 nel caso della mesh automatica e da snellezza pari a 1.33 nel caso della mesh B). Analoghe considerazioni potrebbero spiegare le differenze riscontrate tra il caso relativo alla mesh originaria e quello del caso A. In quest’ultimo caso l’incremento nella snellezza dei pannelli (di altezza pari a 3 m) porta ad una maggiore sensitività della risposta al meccanismo per pressoflessione. Inoltre la minore rigidezza iniziale è imputabile al fatto che il contributo associato alla rigidezza flessionale diviene più significativo rispetto a quello a taglio (se rapportato alle altre configurazioni). Rispetto alle tre ipotesi sopra discusse relative alla definizione della geometria dei maschi murari, possono essere effettuate le seguenti considerazioni:

- il danno sismico osservato giustifica l’assunzione di porzioni per le quali sia possibile trascurare l’occorrenza di significativi fenomeni non lineari della risposta. Pertanto assumere l’altezza dei maschi pari a quella d’interpiano in generale appare estremamente cautelativa nei riguardi della snellezza risultante;

- d’altro canto appare più che lecito assumere una certa diffusione delle tensioni in corrispondenza degli spigoli delle aperture per cui la mesh proposta nel caso B rischia di concentrare la non linearità in porzioni troppo limitate. Al riguardo si richiama come i nodi siano considerati rigidi, quindi ridurre eccessivamente l’altezza dei maschi a favore di tali regioni potrebbe alterare ulteriormente la stima della rigidezza effettiva della struttura.

In conclusione i criteri proposti dall’algoritmo di generazione automatica, intermedi tra questi due casi limite (A e B), sembrano meglio descrivere la potenziale effettiva risposta strutturale.

0

5000

10000

15000

20000

25000

30000

35000

0 0,5 1 1,5 2

V [d

aN]

D [cm]

MESH_MOD B

MESH_MOD A

MESH_AUTOMATICA

-48 -

P1 P3 Me

sh A

utoma

tica

Mesh

Mod

- Cas

o A

Mesh

Mod

- Cas

o B

Quadro del danno al variare delle configurazioni esaminate

-49 -

Confronto tra i criteri di resistenza a pressoflessione e taglio per l’elemento E4 nel caso della mesh automatica

Confronto tra i criteri di resistenza a pressoflessione e taglio per l’elemento E4 nel caso della mesh-caso B

Confronto tra i criteri di resistenza per il pannello E4 al variare della geometria assunta

0

20

40

60

80

100

120

140

160

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

V [k

N]

sigma_v/fm

pressoflessione_incastro (H=2.2)

pressoflessione_incastro (H=1.4)

taglio fess.diagonale (H=1.4)

Pressoflessione_mensola (H=2.2)

taglio fess.diagonale (H=2.2)

-50 -

9. Modellazione degli elementi strutturali

9.1 Elementi in muratura ordinaria 9.1.1 Esempi di calcolo del dominio di resistenza a taglio (edifici esistenti)

Un maschio murario può essere schematizzato come elemento trave, in tal senso hanno significato i valori ultimi di resistenza prima menzionati. Il pannello è poi inserito in un telaio (costituito dagli altri pannelli a schematizzare l’edificio) che fornisce un grado di vincolo ai suoi nodi di estremità. Il grado di vincolo garantisce quindi una relazione fra il momento agente agli estremi ed il taglio nel pannello per equilibrio. Pertanto, noto lo schema statico e di vincolo si può esprimere anche il criterio di presso flessione, che coinvolge il momento, in termini di taglio resistente.

Schema statico per un pannello a cui siano impedite le rotazioni di entrambi gli estremi (il momento d’incastro è pari al prodotto del taglio per metà altezza)

Il caso più semplice è dato dalla schema di doppio incastro (può essere approssimativamente il caso di un maschio murario alla base di un fabbricato in cui sia presente un cordolo di piano ed un orizzontamento rigido) in cui la relazione fra taglio e momento è data da

20 02 1

pfpf u

ud

M l tVh h f

(6)

Ad esso è accoppiato un criterio di resistenza a taglio diverso a seconda che si consideri una muratura nuova (e quindi obbligatoriamente da calcolarsi per taglio-scorrimento) o una muratura esistente (per cui è preferibile usare il taglio–fessurazione diagonale). Il caso numericamente più semplice è rappresentato dal calcolo del dominio con il criterio di fessurazione diagonale (ovvero edifici esistenti) in cui non interviene la sezione parzializzata. In tal caso, noto il grado di vincolo (la relazione cioè fra momento e taglio) è possibile determinare per ogni valore possibile dell’azione assiale il corrispondente valore di taglio ultimo sia per presso flessione sia per fessurazione diagonale e considerare il minore. Se si schematizza il pannello come una trave, si assume costante la forza normale nell’elemento (ovvero si trascura l’incremento di azione normale dovuta all’azione distribuita della forza peso), nell’ipotesi di doppio incastro si ha:

2

0 0

0 0

11 1

1.5 1.511 11.5 1.5

pfu

d d

td d du

d d

N l t N Nt NVlt h lt f h f lt

N NV lt ltb lt b lt

(7)

h

b

s

F

FFh/2

FFh/2

-51 -

Ad esempio si consideri un pannello di muratura di pietra di spessore t=50 cm, altezza h=2.50 m e larghezza l=2.50 m. Si ipotizzi sia riconducibile alla tipologia “Muratura in pietre a spacco con buona tessitura” della tabella C8A.2.1, con un livello di conoscenza estesa (LC2) per cui si possano determinare i valori di fm e τ0 dai valori medi proposti divisi per il fattore di confidenza (in questo caso pari a 1.2):

fm [N/cmq] τ0 [N/cmq] E [MPa] G [MPa] w [kN/mc] 266.67 5.42 1740 580 21

Tabella 1 – Parametri meccanici per “Muratura in pietre a spacco con buona tessitura” in LC2

Geometria del Pannello in pietra

Per prima cosa si determina Nu con la Errore. L'origine riferimento non è stata trovata. che risulta pari a 2837 kN; in questo modo si può predisporre un foglio di calcolo per calcolare i valori di taglio ultimo al crescere della normale. I valori di N possono essere infittiti in prossimità dei valori di transizione da un meccanismo all’altro. Per valori molto bassi di N il meccanismo atteso è la presso flessione (il pannello è scarico e tende ribaltare), del resto per N=0 il valore ultimo di taglio per fessurazione diagonale risulta non nullo, quindi numericamente evidente il prevalere del meccanismo di presso flessione cui corrisponde invece un valore nullo a N=0.

N [kN] Vutaglio diag [kN]. MuPressofless

[kNm]. VuPressofless

[kN] Vumin [kN]

meccanismo

0 101.6 0.0 0.0 0.0 Pressoflessione 25 113.4 31.0 24.8 24.8 Pressoflessione 50 124.1 61.4 49.1 49.1 Pressoflessione 75 134.0 91.3 73.0 73.0 Pressoflessione

100 143.1 120.6 96.5 96.5 Pressoflessione 125 151.8 149.4 119.5 119.5 Pressoflessione 150 159.9 177.6 142.1 142.1 Pressoflessione 175 167.7 205.3 164.2 164.2 Pressoflessione 200 175.1 232.4 185.9 175.1 Fess.Diagonale 300 202.0 335.3 268.3 202.0 Fess.Diagonale 500 247.3 514.8 411.9 247.3 Fess.Diagonale 800 302.7 718.0 574.4 302.7 Fess.Diagonale

1000 334.6 809.4 647.5 334.6 Fess.Diagonale 1500 403.4 883.6 706.9 403.4 Fess.Diagonale 2000 462.1 737.5 590.0 462.1 Fess.Diagonale 2200 483.6 617.4 493.9 483.6 Fess.Diagonale 2300 494.0 544.1 435.3 435.3 Pressoflessione 2500 514.2 371.1 296.9 296.9 Pressoflessione 2700 533.6 162.8 130.3 130.3 Pressoflessione 2837 546.5 0.0 0.0 0.0 Pressoflessione

Tabella 2 – Calcolo del taglio resistente e del meccanismo di rottura per valori crescenti dell’azione assiale

-52 -

Dominio resistente a taglio in funzione del carico assiale

Al crescere della N varia il taglio resistente associato al meccanismo di pressoflessione secondo una legge parabolica mentre la resistenza a taglio con fessurazione diagonale che cresce al crescere di N con incrementi minori. In questo esempio, il tratto centrale del dominio è governato dalla resistenza per fessurazione diagonale, mentre agli estremi si prevede un comportamento per pressoflessione. Difficilmente le strutture in muratura presentano livelli di compressione prossimi al valore ultimo, usualmente si misurano (ad esempio durante le prove con martinetto singolo) valori di carico in esercizio dell’ordine di un quinto del carico di rottura. In pratica risulta particolarmente importante la prima parte della curva con la prima transizione fra presso flessione e rottura per fessurazione diagonale.

Dominio resistente in funzione di N/Nu

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

0 250 500 750 1000 1250 1500 1750 2000 2250 2500 2750

N

Vres

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

N/Nu

Vres

-53 -

Ci si propone quindi di verificare la correttezza dei valori determinati dal programma in corrispondenza dei punti di passaggio dal meccanismo di presso flessione a quello di taglio fessurazione diagonale. Si forzerà un modello di calcolo in cui presente una struttura che presenti un maschio murario definito come in questo esempio da un pannello quadrato di lato 2.5m spesso 50 cm in muratura a spacco di buona tessitura in LC2, soggetto prima ad un carico di 175 kN, poi di 200 kN, mostrando il diverso criterio di rottura.

Valori di validazione

L’analisi statica non lineare condotta in assenza di eccentricità dovrà restituire una curva analoga bilineare in cui si osserverà il passaggio dal ramo elastico al ramo plastico proprio per i valori di taglio previsti in precedenza e secondo il meccanismo opportuno, ovvero:

N Vutaglio diag.

[kN] MuPressofless

[kNm]. VuPressofless

[kN] Vu

[kN] meccanismo 175 167.7 205.3 164.2 164.2 Pressoflessione 200 175.1 232.4 185.9 175.1 Fess.Diagonale

Tabella 3 – Valori teorici di validazione Una prima validazione è presentata utilizzando il solutore, che può realizzare analisi anche su singoli pannelli: nel caso in esame si è imposto il progressivo spostamento del nodo di sommità monitorando il taglio alla base. Dal grafico seguente si può constatare come siano corretti i valori di taglio ultimo previsti nei due casi.

0

100

200

300

0 25 50 75 100 125 150 175 200 225 250

N

Vres

-54 -

Analisi in controllo di spostamenti (caso pannello in muratura esistente in pietra nelle due configurazioni di carico)

Un confronto analogo è possibile anche con la versione progettuale del software: in tal caso la geometria è stata forzata ad avere il vincolo di sheartype (doppio incastro) ed il carico prestabilito. Per fare ciò si sono definite due pareti uguali parallele di lunghezza 2.5m, altezza 2.5m, spessore 50 cm collegate superiormente mediante un solaio rigido ed ortogonalmente da pareti di spessore trascurabile; si sono imposti valori nulli (per ovviare ai controlli di coerenza del programma si inseriscono valori diversi da zero ma comunque molto piccoli, ad esempio 0.001) ai pesi specifici dei materiali e si attribuisce tutto il carico agente sul solaio alle pareti in esame. Poiché le due pareti “gemelle” sono state generate a 2.5 m di distanza, il solaio avrà una superficie di 6.25 mq. Per forzare il medesimo carico sulle due pareti è stato imposto un carico totale pari a 175∙2=350 kN ripartito su 6.25 si ottiene un Gk=56 kN/m2, che garantisce 175 kN sul maschio murario in esame, e Gk=64 kN/m2 per ottenere 200 kN. Il taglio riportato della curva globale è ripartito in modo uguale sui due pannelli: il taglio del singolo pannello è quindi pari alla metà del valore globale; in ogni caso dalla maschera delle sollecitazioni sull’elemento è possibile verificare azioni normali, taglio e momento di ogni pannello.

Modello globale e singole pareti (si segnala il vincolo a rotazione imposto ai nodi in sommità del pannello per forzare lo

sheartype)

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

0 0.5 1 1.5 2Spostamento[cm]

Tagl

io [k

N]

N=175 kNN=200kN

-55 -

Curva globale: il taglio totale è la somma dei tagli dei singoli maschi, per cui è il doppio del valore atteso (in questo caso per

N=175kN, si attendono 164.2 kN di taglio massimo sui pannelli,coerentemente con quanto riportato)

Modello globale in stato plastico (si noti lo stato di danno per presso flessione)

-56 -

Analogamente per il caso con la compressione di 200 kN.


N=200kN, si attendono 175 kN di taglio massimo sui pannelli,coerentemente con quanto riportato)

Modello globale in stato plastico (si noti lo stato di danno per taglio)

Infine mediante il solutore, ed il modello numerico del maschio singolo, si mostra come sia possibile ricostruire tutti i punti del dominio. Al crescere del valore di N si è diagrammato l’andamento taglio-spostamento registrando il valore di taglio plastico e sovrapponendolo al dominio precedentemente mostrato .

-57 -

Confronto fra i tagli massimi del modello numerico ed il dominio teorico (muratura in pietra, doppio incastro)

9.1.2 Esempi di calcolo del dominio di resistenza a taglio (edifici nuovi)

Più complesso è il calcolo del dominio nel caso si abbinino la presso flessione ed il taglio scorrimento: la valutazione del taglio associato al meccanismo alla Coulomb è dipendente dalla sezione effettivamente compressa di muratura. Questa ultima dipende dal momento agente, che a sua volta è legato dalla condizioni di vincolo al taglio massimo. Il taglio massimo, secondo il criterio Mohr-Coulomb, vale

MCu v vo n voV l tf l t f l tf N (8)

dove l’ è la lunghezza della sezione compressa, t lo spessore e fv è la resistenza della muratura mentre fv0 la resistenza della medesima in assenza di compressione mentre µ è l’attrito (nella norma vale 0.4) e σn la compressione riferita all’area effettiva. Secondo prima ricordato circa il punto 7.8.2.2.2 delle norme tecniche nell’ambito delle analisi non lineari si farà uso dei valori medi (eventualmente divisi per il fattore di confidenza). Il valore di l’ coincide con la larghezza del pannello l finchè l’eccentricità Me N non supera il valore limite di l/6: ovvero finché tutta la sezione risulta compressa. Al crescere dell’eccentricità oltre tale limite è possibile esprimere la porzione efficace. In tale espressione compare il momento che è legato al taglio dallo schema statico considerato (mensola, incastro e più in generale legato alle rigidezze del telaio in cui l’elemento è inserito); nella forma più generale si può esprimere per equilibrio: M Vh , (9)

max

max min

MM M

, (10)

' 32l Vhl

N

, (11)

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

0 250 500 750 1000 1250 1500 1750 2000 2250 2500 2750

N

Vres

-58 -

Considerando di volersi riferire alla curva che esprime il dominio, il taglio che compare nella (9), corrisponde proprio al taglio ultimo da determinare secondo la (8); sostituendo l’espressione (11) nella (8) si ottiene:

3 0.4 1.5 0.4 32

MCMC uR

u vo vo voVV hlV f t N f lt N f ht

N N

(12)

da cui:

12

3 23

MC vou

vo

f lt NV Nf ht N

(13)

Sostituendo l’espressione (13) in (11) si può esprimere la lunghezza effettiva in funzione della normale agente, senza far comparire il momento:

0

3 0.832 3fv

vo

vo

f lt Nl l h

f ht N

. (14)

L’espressione appena mostrata permette di determinare, per ogni valore di N, la lunghezza effettiva di sezione compressa da considerarsi nella condizione ultima per taglio scorrimento (in funzione quindi di fv0); tuttavia si osserva che tale valore avrà senso se il momento considerato è tale da indurre un’eccentricità superiore a l/6: in caso contrario l’espressione (14) produrrebbe una lunghezza superiore o uguale alla lunghezza massima l. Solitamente è da considerare anche un limite inferiore, costruito dalla condizione di equilibrio delle forze, ovvero la minima lunghezza efficace possibile è quella che permetterebbe di equilibrare la normale N secondo una distribuzione di tensioni in stress-block:

0fv

m

N l lf t

(15)

La limitazione inferiore va considerata solo se m

N lf t

Il criterio di Mohr-Coulomb produrrebbe un valore resistente ultimo crescente al crescere di N, tuttavia va considerata l’ulteriore limitazione sul valore della tensione a taglio che non deve superare fv,lim:

,lim'v vTf fl t

(16)

In caso contrario si dovrà assumere: lim

,lim 'fvu vV f l t (17)

Compare nuovamente il termine l’ legato però ad un criterio differente e pertanto nel caso si consideri la curva di dominio, differente da l’fv0. La lunghezza efficace l’fvlim, coerente con questo meccanismo, può essere espressa imponendo V=Vfvlim e sostituendo la (17) nella (11) :

, limlim

,lim

32 3

vfvu

v

f ltV N

f ht N

(18)

Si potrà quindi determinare l’lim introducendo la (18) nella (11):

lim, lim

,lim

332 3

fvv

v

f ltl l h

f ht N

(19)

Come in precedenza dovrà risultare:

limfvm

N l lf t

(20)

-59 -

Nel caso si assume l’fvlim pari ad uno degli estremi della si dovrà ricalcolare Vufvlim direttamente dalla (17). Come esempio si propone la trasposizione di una prova sperimentale su un pannello di muratura in blocchi di calcestruzzo autoclavato di spessore t=30 cm, altezza h=2.75 m e larghezza l=4.40 m (Penna et al., 2008). Si disponeva delle prove sperimentali che avevano fornito direttamente i valori medi da utilizzare nel calcolo (dalle proprietà del blocco è stato possibile ricavare fvlim):

fm [MPa] fv0m [MPa] fvlim [MPa] w [kN/mc] 2.2 0.24 0.85 5

Tabella 4 – Parametri meccanici medi sperimentali di un pannello in blocchi di calcestruzzo autoclavato. I valori riportati si riferiscono ai parametri previsti nella muratura nuova per il calcolo secondo il criterio di taglio-scorrimento.

Geometria del Pannello in calcestruzzo aerato autoclavato

Per prima cosa si determina Nu con la Errore. L'origine riferimento non è stata trovata. che risulta pari a 2468 kN; in questo modo si può predisporre un foglio di calcolo per calcolare i valori di taglio ultimo al crescere della normale. I valori di N possono essere infittiti in prossimità dei valori di transizione da un meccanismo all’altro. Seguono le espressioni utilizzate per il calcolo:

lim

2

0 0

lim,lim

11 1

min' fv

pfu

d d

MCu fv vo fv

m

fvu v

m

N l t N Nt NVlt h lt f h f lt

NV l tf N l lf t

NV f l t l lf t

(21)

-60 -

Contestualizzando il problema secondo uno schema a mensola (α=1) e secondo la normativa italiana (κ=0.85 e μ=0.4) si possono calcolare per ogni valore possibile di N i tagli ultimi associati ai differenti meccanismi e scegliere il minimo.

N l' fv0 l' fvlim l’min VMC Vfvlim Vpress Vmin meccanismo 0.00 0.00 0.00 0.00 0.0 0.0 0.0 0.0 - 60 0.30 0.18 0.11 45.8 77.2 46.8 45.8 taglio-scorr.

120 0.55 0.36 0.21 87.9 141.4 91.3 87.9 taglio-scorr. 180 0.77 0.52 0.32 127.3 195.7 133.5 127.3 taglio-scorr. 240 0.95 0.68 0.43 164.4 242.2 173.3 164.4 taglio-scorr. 300 1.11 0.82 0.53 199.7 282.4 210.8 199.7 taglio-scorr. 360 1.25 0.96 0.64 233.7 317.5 246.0 233.7 taglio-scorr. 420 1.37 1.10 0.75 266.4 348.6 278.8 266.4 taglio-scorr. 480 1.47 1.23 0.86 298.2 376.1 309.3 298.2 taglio-scorr. 540 1.57 1.35 0.96 329.1 400.7 337.5 329.1 taglio-scorr. 600 1.66 1.46 1.07 359.4 422.9 363.3 359.4 taglio-scorr. 660 1.74 1.58 1.18 389.1 442.9 386.8 386.8 pressoflessione 720 1.81 1.68 1.28 418.2 461.1 408.0 408.0 pressoflessione 780 1.87 1.79 1.39 446.9 477.7 426.8 426.8 pressoflessione 840 1.93 1.88 1.50 475.2 492.9 443.3 443.3 pressoflessione 950 2.03 2.05 1.69 526.2 517.8 467.5 467.5 pressoflessione

1000 2.07 2.13 1.78 549.1 527.9 475.9 475.9 pressoflessione 1100 2.14 2.27 1.96 594.3 546.4 487.8 487.8 pressoflessione 1200 2.21 2.40 2.14 638.9 562.9 493.3 493.3 pressoflessione 1300 2.27 2.52 2.32 686.8 590.9 492.3 492.3 pressoflessione 1400 2.32 2.64 2.50 739.7 636.4 484.8 484.8 pressoflessione 1500 2.36 2.75 2.67 792.5 681.8 470.8 470.8 pressoflessione 1600 2.41 2.85 2.85 845.3 727.3 450.3 450.3 pressoflessione 1700 2.45 2.95 3.03 898.2 772.7 423.4 423.4 pressoflessione 1800 2.48 3.04 3.21 951.0 818.2 389.9 389.9 pressoflessione 1900 2.51 3.13 3.39 1003.9 863.6 350.0 350.0 pressoflessione 2000 2.54 3.22 3.57 1056.7 909.1 303.6 303.6 pressoflessione 2100 2.57 3.30 3.74 1109.5 954.5 250.7 250.7 pressoflessione 2200 2.60 3.37 3.92 1162.4 1000.0 191.4 191.4 pressoflessione 2300 2.62 3.45 4.10 1215.2 1045.5 125.5 125.5 pressoflessione 2400 2.65 3.52 4.28 1268.0 1090.9 53.2 53.2 pressoflessione

2468.4 2.66 3.56 4.40 1178.9 678.3 0.0 0.0 pressoflessione

Tabella 5 – Esempio di dominio per muratura nuova; valori di Normale e Taglio in kN

-61 -

Dominio resistente

Per validare il calcolo si considereranno due valori di normale in corrispondenza del cambio di meccanismo fra taglio scorrimento e presso flessione.

Valori di validazione

N VMC Vpress Vmin meccanismo

600 359.4 363.3 359.4 taglio-scorr. 660 389.1 386.8 386.8 pressoflessione

Tabella 6 – Valori di validazione

Una prima validazione è nuovamente presentata utilizzando il solutore ed il modello del singolo pannello: in questo caso, a differenza del precedente, si è liberata la rotazione del nodo di sommità per ottenere lo schema a mensola (oltre all’aggiornamento della geometria, dei parametri resistenti e del meccanismo di rottura, scelto ora in presso flessione+ taglio

0

100

200

300

400

500

600

0 500 1000 1500 2000 2500

N [kN]

V [k

N]

Taglio-scorr.Pressofl.

Dominio

0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500

0 200 400 600 800 1000

N [kN]

V [k

N]

Taglio-scorr.Pressofl.

Dominio

-62 -

scorrimento). In assenza di indicazioni sperimentali sui valori di rigidezza si sono calcolati E e G mediante le formule proposte in normativa, in particolare al punto 11.10.3.4; per determinare il valore caratteristico della resistenza a compressione si è fatto riferimento (per estensione) al già citato punto 7.8.2.2.2 ovvero di assume che il valore caratteristico sia il 70% del valor medio.

1000 1000 0.7 700k m mE f f f (22)

0.4G E (23)

Si ottiene E=1540 MPa e G=616 MPa. Dal grafico seguente si può constatare come siano corretti i valori di taglio ultimo previsti nei due casi.

Analisi in controllo di spostamenti (caso pannello in blocchi di calcestruzzo autoclavatonelle due configurazioni di carico)

Un confronto analogo è possibile anche con la versione progettuale: in tal caso la geometria dovrà garantire lo schema a mensola (estremità libere di routare) ed il carico prestabilito: per fare ciò sono state definite due pareti uguali parallele di lunghezza 4.4m, altezza 2.75m, spessore 30 cm collegate superiormente mediante un solaio rigido ed ortogonalmente da pareti di spessore e rigidezza trascurabile; si sono imposti valori nulli (per ovviare ai controlli di coerenza del programma si inseriranno valori diversi da zero ma comunque molto piccoli, ad esempio 0.001) ai pesi specifici dei materiali e si è attribuito tutto il carico agente sul solaio alle pareti in esame. Poiché le due pareti “gemelle” sono state generate a 2 m di distanza, il solaio ha una superficie di 4.4 mq. Per forzare ilo carico voluto sulle due pareti si attribuisce un Gk=137 kN/m2 tale da ottenere i 600 kN sul maschio in esame, e Gk=150 kN/m2 per ottenere 660 kN. Il taglio riportato della curva globale è ripartito in modo uguale sui pannelli: il taglio del singolo pannello è quindi pari alla metà del valore globale. In ogni caso dalla maschera delle sollecitazioni sull’elemento è possibile verificare azioni normali, taglio e momento del pannello.

Modello globale e singole pareti

0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

0 0.5 1 1.5 2 2.5

Spost [cm]

Tagl

io [k

N]

N=600 kNN=660 kN

-63 -


N=711.6 kN, si attendono 359 kN di taglio massimo sui pannelli,coerentemente con quanto riportato nell’uscita dell’elemento)

Modello globale in stato plastico (si noti lo stato di danno per taglio)

-64 -

Analogamente per il caso con la compressione di 660 kN.


N=660kN, si attendono 386.8 kN di taglio massimo sui pannelli,coerentemente con quanto riportato)

Modello globale in stato plastico (si noti lo stato di danno per pressoflessione)

Infine mediante il solutore, ed il modello numerico del maschio singolo, si mostra come sia possibile ricostruire tutti i punti del dominio. Al crescere del valore di N si è diagrammato l’andamento taglio-spostamento registrando il valore di taglio resistente e sovrapponendolo al dominio precedentemente mostrato.

-65 -

Confronto fra i tagli massimi del modello numerico ed il dominio teorico (muratura in blocchi di calcestruzzo autoclavato,

schema a mensola)

9.1.3 Esempi di calcolo sulla capacità deformativa

Il legame suggerito dalla normativa prevede di modellare la risposta del pannello murario secondo un modello bilineare elastico-prefettamente plastico non incrudente descritto da un tratto iniziale in cui l’elemento si comporta come una trave elastica deformabile a taglio (secondo la formulazione di Timoshenko) seguito da un ramo plastico in cui i valori di taglio e momento si mantengono pari a quelli massimi della curva di dominio. Ovvero l’elemento può sopportare incrementi di deformazione ma non di carico. Si legge al punto 7.8.1.5.4 delle norme tecniche: I pannelli murari possono essere caratterizzati da un comportamento bilineare elastico perfettamente plastico, con resistenza equivalente al limite elastico e spostamenti al limite elastico e ultimo definiti per mezzo della risposta flessionale o a taglio di cui ai §§ 7.8.2.2 e 7.8.3.2. I punti richiamati dalla norma si riferiscono ai punti precedentemente citati in cui erano formulati il criterio di resistenza a presso flessione ed a taglio nella versione Mohr-Coulomb. Unendo le informazioni riportate nei paragrafi 7.8.2.2 e 7.8.3.2. si deduce che raggiunta la resistenza massima, secondo uno dei criteri indicati, l’elemento non possa subire aumenti di carico ma si possa ancora deformare finché non si raggiunge lo spostamento ultimo. Questo valore non dipende dal materiale ma solo dalla geometria, ovvero è pari allo 0.4% dell’altezza nel caso di danneggiamento a taglio, pari allo 0.8% dell’altezza nel caso di danneggiamento a presso flessione. Il motivo di questa differenza è dovuto alle ben maggiori capacità deformative di un pannello che va in crisi per pressoflessione. Ancora una volta la normativa opera una distinzione fra costruzioni esistenti e nuove, in particolare al punto C8.7.1.4 si pone una ulteriore limitazione alla deformabilità dei pannelli in edifici esistenti: Nella verifica allo Stato limite ultimo di salvaguardia della vita, qualora si esegua l’analisi non lineare, lo spostamento ultimo per azioni nel piano di ciascun pannello sarà assunto pari a 0,4 % dell'altezza del pannello, nel caso di rottura per taglio, e pari a 0,6%, nel caso di rottura per pressoflessione. Riassumendo, nel caso si operi su edifici nuovi, o più precisamente, su muratura nuova, è imprescindibile l’uso del criterio di taglio-scorrimento ed i limiti di drift sono fissati in 0.4% a nel caso di danneggiamento per taglio e 0.8% nel caso di presso flessione. nNel caso di una muratura esistente, invece, si può scegliere se usare il criterio per taglio-scorrimento (salvo però

0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500

0 500 1000 1500 2000 2500

N [kN]

V [k

N]

-66 -

dover determinare il valore di fv0 che non risulta di facile determinazione) o per taglio-trazione con fessurazione diagonale, mentre i limiti di drift sono 0.4% nel caso di danneggiamento a taglio e 0.6% per il meccanismo di pressoflessione. Nei casi precedentemente visti lo spostamento ultimo è immediatamente disponibile per lo schema a doppio incastro in cui corrisponde direttamente al 0.4% o 0.6% dell’altezza

h [cm] Du taglio(0.4%h) [cm] Du pressofl.(0.6%h) [cm] 250 1.0 1.5

Tabella 7 – Valori di spostamento ultimo previsti per il pannello in muratura esistenza (schema doppio incastro)

I valori trovano conferma nella 0 esprimendo poi il drift corrente come rapporto fra spostamento in sommità ed altezza si osserva chiaramente la correttezza del calcolo.

Andamento taglio-drift nel caso del pannello di muratura esistente (schema a doppio incastro)

Nel caso della mensola si può ragionevolmente applicare la stessa formula, tendendo presente però che risulta approssimata: infatti il drift rappresenta una distorsione angolare e pertanto non può prescindere dal considerare le rotazioni alle estremità dell’elemento. La normativa in questo aspetto non è esplicita, ma evidentemente non si può non rilevare come spostamenti molto modesti in presenza di rotazioni più importanti sarebbero comunque causa di distorsioni e quindi di drift altrettanto pericolosi quanto spostamenti elevati in assenza di rotazione. Evidentemente una rotazione rigida (che coinvolge quindi entrambi gli estremi del pannello) senza spostamento differenziale fra gli estremi non costituirebbe invece motivo di distorsione sul pannello. Nell’ambito della ricerca scientifica sono state proposte differenti formulazioni per il calcolo del drift, nella presente si utilizza il seguente criterio:

2

j i j iu uh

(24)

dove δ rappresenta il drift corrente nell’elemento, ui e uj gli spostamenti e θi e θj le rotazioni agli estremi. Nel caso appena visto di edificio nuovo, tendendo conto della larghezza molto elevata del pannello (quasi il doppio dell’altezza) si può ragionevolmente trascurare la rotazione dell’estremo superiore ottenendo i seguenti valori dello spostamento ultimo con la stessa formulazione usata in precedenza:

h [cm] Du taglio(0.4%h) [cm] Du pressofl.(0.8%h) [cm] 275 1.1 2.2

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7drift [%]

Tagl

io [k

N]

N=175 kNN=200kN

-67 -

Tabella 8 – Valori di spostamento ultimo previsti per il pannello in muratura nuova di calcestruzzo autoclavato (trascurando

la rotazione in sommità) I valori trovano conferma nella 0 esprimendo poi il drift corrente come rapporto fra spostamento in sommità ed altezza (trascurando nuovamente la rotazione) si osserva chiaramente la correttezza del calcolo.

Andamento taglio-drift nel caso del pannello di muratura esistente (schema a doppio incastro)

In corrispondenza dei ultimo valori di spostamento l’elemento trave non lineare, descrittivo del pannello murario, diviene inefficace. Pertanto si osserva l’azzeramento della sua resistenza a taglio.

9.2 Definizione delle proprietà meccaniche della muratura 9.2.1 Murature Esistente

Inseriamo una tipologia di muratura Esistente.

Mediante la finestra “Parametri muratura” inseriamo “Mattoni Pieni e malta di calce” con LC1 (livello di conoscenza). La tabella Tabella C8A.2.1 della circolare permette il calcolo delle proprietà meccaniche del materiale muratura.

0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

0.00% 0.10% 0.20% 0.30% 0.40% 0.50% 0.60% 0.70% 0.80% 0.90% 1.00%

drift[%]

Tagl

io [k

N]

N=600 kNN=660 kN

-68 -

Tipologia di muratura

fm

(N/cm2)

(N/cm2)

E

(N/mm2)

G

(N/mm2)

w

(kN/m3)

Min-max

min-max

min-max

min-max Muratura in mattoni pieni e malta di calce

240 400

6,0 9,2

1200 1800

400 600

18

Resistenze Minime /FC 177.78 4.44 - - -

Moduli Di elasticità medi - - 1500 500 -

Parametri Meccanici di calcolo 177.78 4.44 1500 500 18

Con LC1 si assume il fattore di confidenza corrispondente FC=1.35. La finestra mostrata dal programma presenta i medesimi risultati come da calcolo manuale riassunto nella tabella precedente.

Con tali parametri verranno calcolati i seguenti valori delle proprietà meccaniche dei materiali.

Rispetto alla finestra precedente, qui possiamo anche vedere fk e m. Le vigenti normative non presentano alcun legame tra fk (resistenza caratteristica a compressione) e fm (resistenza media a compressione).

-69 -

Le uniche indicazioni che si possiedono sono quelle per il calcolo di fm della Tabella C8A.2.1 della Circolare n. 617 del 2 febbraio 2009. Il valori caratteristici dovrebbero essere calcolati mediante la formulazione su base statistica descritta al paragrafo 11.10.3.1.1 delle NTC; tale procedura risulta di difficile attuazione poiché è richiesto il possesso di un numero di “provini” che solitamente non sono disponibili per edifici esistenti. Test sperimentali hanno messo in luce un legame tra i due valori di tipo lineare, approssimativamente con un valore di 0.7 : fk=0.7*fm. Tale tipo di legame, non essendo esplicitamente riportato nella normativa è da intendersi come un “suggerimento”; proprio per questo, sia il valore di fk che quello di fm risultano editabili qualora l’utente fosse in possesso di informazioni più precise da attribuire alla muratura. Si ricorda che l’individuazione precisa del valore caratteristico è poco significativo per una muratura esistente poiché nel calcolo sismico la resistenza di progetto da utilizzare è quella media (fd=fm); nel caso di verifica statica la resistenza di progetto è data dalle seguente: fd=fm/m (fm: resistenza media ridotta per il fattore di confidenza). Per i motivi sopra riportati, fk viene mostrato con esclusivo scopo informativo ma non trova utilizzo in alcun calcolo. m è ricavabile dalla Tabella 4.5.II., il valore presentato di default dal programma è quello più restrittivo assumendo quindi m=3 .

Materiale Classe di esecuzione 1 2

Muratura con elementi resistenti di categoria I, malta a prestazione garantita

2,0 2,5

Muratura con elementi resistenti di categoria I, malta a 2,2 2,7 composizione prescritta Muratura con elementi resistenti di categoria II, ogni tipo di malta

2,5 3,0

La casella “Rigidezza Fessurata” riduce la rigidezza della muratura (fattore riduzione=2).

9.3 Murature Nuova Inseriamo una tipologia di muratura Nuova.

Mediante la finestra “Parametri muratura” inseriamo i parametri del blocco murario utilizzato(fbk=8N/mm2) e la tipologia di malta(M10). La fbk rappresenta la resistenza caratteristica del blocco e viene fornita direttamente dal produttore del blocco.

-70 -

Dalla tabella del paragrafo 11.10.3.1.2 delle NTC si può per interpolazione ricavare il valore di fk

Tabella 11.10.V - Valori di fk per murature in elementi artificiali pieni e semipieni (valori in N/mm )

Resistenza caratteristica a compressione fbk dell’elemento

N/mm2

Tipo di malta

M15 M10 M5 M2,5 2,0 1,2 1,2 1,2 1,2 3,0 2,2 2,2 2,2 2,0 5,0 3,5 3,4 3,3 3,0 7,5 5,0 4,5 4,1 3,5

10,0 6,2 5,3 4,7 4,1 15,0 8,2 6,7 6,0 5,1 20,0 9,7 8,0 7,0 6,1 30,0 12,0 10,0 8,6 7,2 40,0 14,3 12,0 10,4 --

fk=(fbk-7.5)*(5.3-4.5)/(10-7.5)+7.5=4.66 N/mm2= 466N/cm2 Anche in tal caso utilizziamo “0.7” come fattore di legame tra fk e fm. fm= fk/0.7=666 N/cm2 I moduli elastici sono ricavabili mediante le formulazioni del capitolo 11.10.3.4 delle NTC: E= 1000 fk =1000*4.66N/mm2=4660 N/mm2

G= 0.4 E= 0.4*4660 N/mm2 = 1865 N/mm2 Dalla tabella del paragrafo 11.10.3.2.2 delle NTC si può ricavare il valore di fvk0=0.2 N/mm2

Tabella 11.10.VII

Tipo di elemento resistente

Resistenza caratteristica a compressione fbk dell’elemento

Classe di malta fvk0 (N/mm2)

Laterizio pieno e semipieno

fbk > 15

M10 ≤ M ≤ M20

0,30

7,5 < fbk ≤ 15

M5 ≤ M < M10

0,20

fbk ≤ 7,5

M2,5 ≤ M < M5

0,10

Calcestruzzo; Silicato di calcio; Cemento autoclavato; Pietra naturale squadrata.

fbk > 15

M10 ≤ M ≤ M20

0,20

7,5 < fbk ≤ 15

M5 ≤ M < M10

0,15

-71 -

fbk ≤ 7,5

M2,5 ≤ M < M5

0,10 fvm0=fvk0/0.7= 20N/cm2 /0.7= 28.57 N/cm2 Valori Calcolati da 3Muri Valori Calcolati Manualmente

E= 4660 N/mm2 G= 1865 N/mm2 fm= 666 N/cm2 fvm0= 28.57 N/cm2 fk=466N/cm2

9.4 Elementi in muratura armata

9.4.1 Precisazioni sul trattamento dei dati forniti in input nel caso dei rinforzi

In particolare nel seguito sono precisati i criteri applicati per definire la posizione delle armature (adottate nella valutazione dei domini di resistenza a pressoflessione) a partire dai dati forniti in imput dall’utente. Si richiama come nel caso dell’armatura verticale i dati acquisiti in input risultino:

o Ac [m2] : area totale dell’armatura verticale concentrata all’estremo dell’elemento; tale armatura è assunta di default disposta in modo simmetrico ai due estremi del pannello;

o dc [m] : distanza del baricentro dell’armatura verticale concentrata dall’estremo dell’elemento; o Ad [m2]: area dell’armatura verticale diffusa; si intende l’area totale del singolo rinforzo (comprensiva di quella

disposta a intradosso ed estradosso del pannello) posto poi ad interasse sd; o sd [m] : passo delle armature verticali diffuse.

Nel caso dell’armatura verticale concentrata i dati forniti in input sono sufficienti a definire univocamente la posizione delle armature all’interno del pannello. Nel caso dell’armatura verticale diffusa, la posizione ed il numero delle armature all’interno del pannello è calcolata sulla base dei seguenti criteri:

o si assume una distanza tra la prima barra (o gruppo di barre) dell’armatura diffusa e il bordo libero del pannello o l’armatura concentrata (nel caso in cui sia presente) pari a 0.1 m;

o sulla base dell’assunzione precedente e del passo sd fornito in input si calcola il numero di barre n’ che effettivamente possono essere disposte all’interno del pannello [n’= 1+ L1/s con L1 =L-2*0.1-2*dc), assumendo una distribuzione simmetrica rispetto all’asse baricentrico del pannello murario. Si precisa che il numero delle barre è

-72 -

approssimato all’intero corrispondente (approssimato per eccesso o per difetto se la prima cifra decimale risulti rispettivamente superiore o inferiore a 5);

o sulla base del numero di barre calcolate secondo il criterio illustrato al passo precedente, è eventualmente aggiornato il passo delle armature (assumendo s’ pari a L1/(n’-1)) .

La figura seguente illustra la disposizione delle armature risultante sulla base dei criteri di cui sopra.

Disposizione dell’armatura diffusa

9.5 Elementi in cemento armato 9.5.1 Validazione degli elementi in cemento armato tramite il confronto con un modello a fibre

Al fine di verificare la coerenza dei risultati ottenibili dall’applicazione della formulazione adottata per gli elementi in c.a. e la conseguente liceità nell’adozione di alcune semplificazioni, nell’ottica finale di indagare l’interazione di tali elementi nel contesto più complesso delle strutture miste, è stata analizzata la risposta di un telaio in c.a. confrontandola con quella ottenuta con altri programmi di calcolo (come illustrato in Cattari e Lagomarsino 20072. e Cattari 20073.). Si precisa che tale validazione è stata effettuata impiegando il programma 3Muri . In particolare il confronto è stato operato utilizzando il programma di calcolo SEISMOSTRUCT basato sull’approccio a fibre. Si propone nel seguito, a titolo di esempio, l’analisi di un telaio bidimensionale in c.a. modellato secondo l’approccio proposto a plasticità concentrata (PC Model) e quello a fibre (F Model) operato tramite l’impiego del programma SEISMOSTRUCT. Il telaio di 3 piani analizzato si compone di tre campate di luce rispettivamente pari a 3.5 , 2.5 , 5 m con altezza d’interpiano pari a 3 m . Le dimensioni geometriche (base x altezza della sezione trasversale) risultano pari a 0.3x0.4 m per le travi e 0.3x0.3 per i pilastri. L’armatura longitudinale consiste in all’estradosso e intradosso per le travi ed in per il pilastri; quella trasversale è data da staffe poste con passo pari a 0.2 m. Si precisa che, in virtù della tipologia di dettagli costruttivi adottati, che non soddisfano requisiti specifici, essi sono stati classificati come non antisismici, pertanto nel calcolo della rotazione ultima è stato applicato il coefficiente riduttivo pari a 0.85. Per quanto riguarda le caratteristiche meccaniche del materiale sono stati assunti rispettivamente per il cls la classe Rck 25 e per l’acciaio FeB44k.

2 Cattari S., Lagomarsino S. (2006).Non linear analysis of mixed masonry and reinforced concrete buildings, Proc. of 1st ECEES, Geneva, Switzerland. 3 Cattari, S. (2007). Modellazione a telaio equivalente di strutture esistenti in muratura e miste muratura-c.a.: formulazione di modelli sintetici. Tesi di Dottorato in Ingegneria Civile e Ambientale, Università degli Studi di Genova.

Ac AcAd

dc 0.1 s’ s’ s’ s’ s’ 0.1 dc

L1

L

Ad Ad Ad Ad Ad

-73 -

Schema del telaio analizzato

Nella figura seguente è sintetizzato il confronto in termini di curva Taglio di base (V)- spostamento del nodo di controllo (U) dei risultati ottenuti a seguito di una analisi statica non lineare. I risultati si riferiscono al caso di distribuzione di forze proporzionale al prodotto della massa incidente in ciascun nodo moltiplicato per la corrispondente quota (pseudo-triangolare), con verso agente da sinistra verso destra, assumendo come nodo di controllo quello posto all’ultimo livello sul lato più esterno.

Analisi statica non lineare – distribuzione pseudo-triangolare: confronto in termini di curva V-U (taglio di base versus

spostamento del nodo di controllo) I due modelli di calcolo, se pure basati su approcci profondamente differenti, risultano in sostanziale accordo. Relativamente al confronto dei risultati in termini di curva di capacità occorre tuttavia effettuare le seguenti osservazioni:

a) nel caso del modello FM non è effettuato alcun controllo sul raggiungimento della rotazione ultima delle sezioni (e il conseguente collasso dell’elemento) a differenza del modello proposto PCM: il decadimento della curva nel modello FM è perciò imputabile esclusivamente all’innescarsi di effetti del secondo ordine (peraltro si noti come questi si inneschino, per il caso in esame, in prossimità del collasso per raggiungimento della rotazione ultima delle sezioni dei pilastri di base ottenuto tramite il modello PC) ;

b) il progressivo degrado della rigidezza che si evidenzia nel cambio della pendenza del tratto iniziale della curva nel modello FM è imputabile a fenomeni di progressiva fessurazione delle sezioni: fenomeno che il modello semplificato PCM non è evidentemente in grado di cogliere.

0

50

100

150

200

250

300

0 25 50 75 100 125 150 175 200U [mm]

V [k

N]

PC ModelF Model

-74 -

F Model PC Model Legenda:

Analisi statica non lineare – distribuzione di forze pseudo-triangolare: confronto del quadro del danneggiamento a collasso Così pure il confronto dei risultati in termini di quadro di danneggiamento evidenzia una buona corrispondenza nella localizzazione delle cerniere plastiche e delle sezioni di maggiore criticità nei riguardi del raggiungimento delle condizioni limite di collasso. Si richiamino in particolare alcune ipotesi semplificate adottate nella formulazione degli elementi in c.a.. Il fatto di avere trascurato i fenomeni del secondo d’ordine trova giustificazione nell’accoppiamento poi di tali elementi con quelli in muratura caratterizzati da limiti ultimi deformativi ben più contenuti; peraltro il trascurare l’evoluzione del processo conseguente all’attivazione di tali meccanismi è acuita dall’avere introdotto direttamente nell’analisi i controlli sul raggiungimento delle condizioni di collasso. Evidentemente il degrado progressivo delle caratteristiche meccaniche non può essere tenuto in conto in maniera puntuale: tuttavia, al pari della definizione della rigidezza in condizioni fessurate operata per gli elementi in muratura idealizzati con comportamento bilineare, si può operare applicando coefficienti riduttivi differenziati in funzione della tipologia di elemento (es. trave o pilastro) nonché del grado di compressione conseguente all’azione dei carichi verticali.

10. Modellazione di strutture tridimensionali

10.1 Solai 10.1.1 Ruolo della rigidezza dei solai nella risposta sismica globale

Le normative di recente concezione ed i programmi di calcolo più avanzati riconoscono che, in molti casi, la flessibilità degli orizzontamenti deve essere tenuta in considerazione: essa rappresenta un aspetto cruciale nella modellazione. Il comportamento dei solai nella modellazione 3D è spesso assunto (con forte approssimazione) come infinitamente rigido: questa ipotesi può non essere del tutto accettabile in caso di edifici esistenti (in particolare, strutture storiche), dove possono essere presenti antiche tecnologie costruttive (per esempio, solai in legno, in voltine di mattoni con travetti metallici, volte in pietra o laterizio). Assunzioni realistiche sulla rigidezza degli orizzontamenti possono, infatti, condizionare fortemente la risposta globale: nel caso di solai al limite infinitamente flessibili, a seguito del raggiungimento delle condizioni ultime di una parete non sarà possibile alcuna ridistribuzione su elementi strutturali ancora efficienti, viceversa nel caso di solai infinitamente rigidi, in cui tale risorsa può essere sfruttata pienamente.

Collasso fragile a taglioCerniera plastica a pfCollasso duttile a pf (superamento della rotazione ultima)

-75 -

Al fine di chiarire tale aspetto, si esamini la risposta di una semplice struttura, costituita da una singola cella elementare a pianta rettangolare 4. Sia essa costituita da quattro pareti perimetrali, di cui due piene e due dotate di aperture: su quest’ultime gravi il solaio ordito perpendicolarmente ad esse. Coerentemente con la notazione introdotta in Figura 1.2, la parete P1 sia dotata di due aperture e la parete P3, ad essa opposta, abbia una singola apertura: ne consegue che, nell’ipotesi di materiale murario omogeneo, esse sono caratterizzate da rigidezza differente. Si ipotizzi inoltre che la massa gravante su ciascuna parete P1 e P3 (derivante pertanto dal rispettivo peso proprio e dai carichi portati) sia uguale e che gli elementi portanti verticali (maschi) siano perfettamente accoppiati; ossia, la risposta della parete sia governata esclusivamente dal loro comportamento e non possano subentrare variazioni nella rigidezza in fase non lineare dovute alla disarticolazione a seguito del danneggiamento delle travi di collegamento in muratura. Si precisa che il caso esaminato risulta sì irrealisticamente semplice ma, come chiarito nel seguito, con il pregio, rispetto a strutture più complesse, di consentire di controllare perfettamente tutti i parametri che entrano in gioco nella risposta strutturale al fine di chiarire il ruolo dell’orizzontamento. Si esamini nel seguito la risposta di tale struttura a seguito di un’analisi statica non lineare in direzione X, in controllo misto di forze e spostamenti (eseguita con il programma di calcolo 3Muri) imponendo lo spostamento di un nodo di controllo (sito nella parete P1 meno rigida). Le azioni, sono applicate secondo una distribuzione, uniforme, ossia attribuendo forze proporzionali alla massa portata da ciascuna parete; in questo caso, in particolare, le due forze F hanno medesima intensità per P1 e P3). Si considerino i due casi limite in cui l’orizzontamento sia idealizzato con comportamento infinitamente flessibile (caso a) e rigido (caso b).

Struttura esaminata: distribuzione di forze uniforme applicata nell’analisi statica non lineare ed identificazione del nodo di

controllo. Nelle figure seguenti, per ciascuno dei due casi esaminati sono illustrate: la deformata in pianta della struttura; le curve taglio resistente alla base (V) – spostamento orizzontale (u); la quota parte di forza ripartita dal solaio nel corso dell’analisi, normalizzata al valore massimo limite (Frip/Frip,lim) e diagrammata in funzione dello spostamento uP1 uguale per ciascun passo dell’analisi nei due casi limite esaminati e pari allo spostamento imposto nel nodo di controllo. Nel caso delle curve V-u è necessario precisare che per ciascun passo dell’analisi: il taglio totale che si sviluppa alla base (Vtot) è diagrammato rispetto allo spostamento ottenuto come media (umedio) di quello delle due pareti P1 e P3; il taglio che esprime il contributo offerto da ciascuna parete (VP1 e VP3) è diagrammato invece rispetto al corrispondente spostamento della parete (uP1 e uP3). Inoltre, poiché in questo caso la forza F applicata su ciascuna parete risulta uguale, necessariamente la quota parte di azione trasferita mediante il solaio risulta pari a Frip = (VP3 - VP1)/2. Nel caso del solaio flessibile, si consideri il comportamento esibito da ciascuna parete (1’ e 1’’) in corrispondenza del punto 1 contrassegnato sulla curva Vtot- umedio. Poiché il solaio flessibile non è in grado di trasferire alcuna azione da una parete all’altra, per ciascun passo dell’analisi (ossia, quale che sia lo spostamento imposto alla parete P1) deve risultare VP1 =VP3, nel soddisfacimento quindi del requisito imposto per cui la distribuzione di forze applicata è uniforme e uguale a F su ciascuna parete. Infatti, il rapporto Frip/Frip,lim risulta identicamente nullo. All’incrementare dello spostamento imposto la

4 Questo esempio è stato tratto da : Cattari S., Resemini S., Lagomarsino S. (2009). “Il ruolo delle volte nella risposta sismica degli edifici in muratura”, Allegato 3a.2-UR05-1, Programma Quadro DPC-Reluis del 15 Marzo 2005 (Progetto esecutivo 2005 - 2008).

-76 -

risposta evolve in fase non lineare, poiché progressivamente i maschi raggiungono la loro massima resistenza secondo i criteri di rottura assegnati. Quando la parete P1 raggiunge il massimo taglio VP1 (corrispondente alla situazione in cui tutti e tre i maschi hanno attinto alle loro massime risorse) la situazione della parete P3, pur trovandosi essa ancora in una fase pseudo-elastica, non può mutare ulteriormente.

Confronto della risposta della struttura esaminata nel caso di solaio infinitamente flessibile (a) e infinitamente rigido (b). Si esamini ora la risposta della struttura nel caso del solaio rigido. A parità di spostamento imposto sulla parete P1 rispetto al caso precedente (il punto 1’’ risulta coincidente nei due casi, così come la curva relativa alla parete P1), il taglio VP3 risulta diverso da quello VP1. Il solaio accoppia le due pareti: lo spostamento delle due pareti in effetti dovrebbe risultare uguale, la lieve differenza che si riscontra in Figura 5 è imputabile ad un leggero effetto torsionale conseguente alla non linearità della risposta. In questo caso, il solaio è in grado di trasferire azioni da una parete all’altra: così, nella ricerca di una soluzione equilibrata compatibile con le condizioni imposte a parità di taglio VP1, la parete P3 può attingere a risorse maggiori che nel caso precedente. Quando la parete P1 attinge alla sua massima resistenza, grazie all’effetto di redistribuzione del solaio, anche la parete P3 può continuare a sfruttare tutte le risorse ancora disponibili. La forza ripartita dal solaio Frip/Frip,lim cresce asintoticamente fino al valore limite compatibile con il raggiungimento del taglio massimo della parete P3. Evidentemente, in un edificio in cui siano presenti più pareti, tale fenomeno di ripartizione potrebbe verificarsi fino a quando vi siano pareti in grado di assorbire incrementi delle azioni. In termini di curva globale Vtot- umedio, il differente ruolo giocato dal solaio si traduce nel fatto che la struttura nel caso b esibisce un taglio maggiore, poiché entrambe le pareti resistenti in direzione X riescono a sfruttare al meglio le risorse disponibili. In figura seguente è posta a confronto la diversa capacità di redistribuzione delle azioni (nel caso esaminato) di tre tipologie di solai: latero-cemento con soletta di spessore pari a 4 cm; solaio ligneo con tavolato semplice e doppio di spessore rispettivamente pari a 2 e 4 cm. Evidentemente, in tutti e tre i casi i solai sono ipotizzati essere efficacemente collegati alle

P1

P3

P4P2

Conf. IndeformataConf. Deformata

P1

P3

P4P2



P1

P3

P4P2


P1

P3

P4P2

u [mm]

V [k

N]

1’’1’

1

Curva Vtot-umedioCurva VP1-uP1Curva VP3-uP3

uu [mm]

V [k

N]

1’’1’

1

Curva Vtot-umedioCurva VP1-uP1Curva VP3-uP3

u u [mm]

V [k

N]

1

1’1’’ Curva Vtot-umedio

Curva VP1-uP1Curva VP3-uP3

uu [mm]

V [k

N]

1

1’1’’ Curva Vtot-umedio

Curva VP1-uP1Curva VP3-uP3

u

0

1

u

1’’

F rip

/Fri

p,lim

Ripartizione Solaio rigido

uP1

0

1

u

1’’

F rip

/Fri

p,lim

Ripartizione Solaio rigido

uP1

0

1

u

1’’Ripartizione Solaio flessibile

F rip

/Fri

p,lim

uP1

0

1

u

1’’Ripartizione Solaio flessibile

F rip

/Fri

p,lim

uP1

-77 -

murature perimetrali. Si evidenzia come nel caso del solaio in latero-cemento effettivamente l’idealizzazione di comportamento infinitamente rigido possa essere giustificata.

Capacità di ripartizione al variare della rigidezza del solaio

10.1.2 Definizione delle proprietà di rigidezza dei solai

In funzione delle diverse tipologie strutturali dei solai (lignei, in latero cemento, volte,…) è necessario dunque definire delle opportune proprietà di rigidezza equivalente al fine di definire i parametri E1, E2, G1,2 che concorrono a descrivere la risposta delle lastre ortotrope tramite cui sono modellati i solai nel modello di calcolo proposto. Il programma di calcolo propone delle procedure di definizione automatica di tali proprietà di rigidezza equivalente definite a partire dai dati immessi dall’utente in relazione ai singoli elementi strutturali che compongono il solaio e sulla base di alcune ipotesi semplificate. E’ tuttavia possibile definire in alternativa direttamente i parametri E1, E2, G1,2 sulla base di opportuni criteri stabiliti dall’utente.

- Definizione delle proprietà equivalenti nel caso di solai lignei In funzione delle diverse tipologie di solaio e delle opzioni spuntate dall’utente il calcolo delle proprietà equivalenti da assegnare alla membrana ortotropa possono differire. In generale la rigidezza assiale è ricondotta al ruolo giocato dalle travi principali e quella a taglio associata invece ad esempio al tavolato (quando le sue caratteristiche siano tali da renderne significativo il contributo, quindi ad esempio nel caso di doppio tavolato efficacemente connesso). Si precisa come le formule che valutano automaticamente la rigidezza equivalente dei solai lignei attualmente implementate nel modello di calcolo trascurano il contributo alla rigidezza offerto ad esempio dai connettori. Tale contributo – in ragione dell’effettiva efficacia di tali elementi di collegamento- potrebbe rappresentare un contributo non trascurabile nella valutazione della rigidezza. Al riguardo ulteriori approfondimenti si possono trovare in Brignola et al. 2009 5.

- Definizione delle proprietà equivalenti nel caso di volte Nel caso delle volte, la valutazione dei contributi di rigidezza equivalenti risulta tutt’altro che banale e non può trascurare l’”effetto forma” che per tale tipologie strutturali gioca un ruolo significativo.

5 Brignola A., Pampanin S., Podestà S. (2009). "Evaluation and control of the in-plane stiffness of timber floors for the performance-based retrofit of URM buildings". Bulletin of the New Zealand Society for Earthquake Engineering.

0

1

F rip

/Frip

,lim

uP1

Flessibile

RigidoLigneo (tav. 4 cm)Ligneo (tav. 2 cm)

Latero-cemento (s=4 cm)

-78 -

Nel programma di calcolo sono implementate alcune formule approssimate che consentono di computare un coefficiente correttivo da applicare ai moduli elastici caratterizzanti il materiale di cui è composta la volta al fine di tenere conto dell’effetto forma sopra citato. In particolare sulla base delle seguenti grandezze:

- Spessore medio strutturale (smedio) – come inserito nella maschera d’input dall’utente; - Freccia (f)- come inserito nella maschera d’input dall’utente; - Luce equivalente (l)- computata a partire dall’area A interna racchiusa dal perimetro della volta (definito a partire dai

nodi selezionati dall’utente per definire la volta stessa), ovvero: Al Al variare della tipologia di volta, il coefficiente correttivo è computato con opportune formulazioni. Definito il coefficiente si computano così le grandezze da assegnare alla membrana equivalente introdotta poi nel modello di calcolo ( compilando poi così in automatico la parte della maschera corrispondente, in analogia alle altre tipologie di solai): s=smedio G= Gmuratura E=Emuratura =0.2 Tali espressioni forniscono valori approssimati. Ulteriori approfondimenti e ulteriori casistiche (al variare di differenti tipologie di volte - a padiglione, a crociera, a botte, di differenti parametri geometrici - rapporto spessore s su luce L, rapporto freccia f su luce L, di differenti condizioni di vincolo alla base delle volte – se di appoggio o di incastro, del ruolo giocato dalla tessitura muraria) sono contenute in Cattari et al. 2008a6 e Cattari et al. 2008b7.

10.1.3 Combinazione dei carichi dei solai

Il programma 3Muri permette l’inserimento dei carichi direttamente nel comando “solaio” mediante l’inserimento della pressione superficiale (esempio daN/m2). In accordo con il punto 2.5.1.3 delle NTC si assumono:

a) permanenti ( G ): azioni che agiscono durante tutta la vita nominale della costruzione, la cui variazione di intensità nel tempo è così piccola e lenta da poterle considerare con sufficiente approssimazione costanti nel tempo:

peso proprio di tutti gli elementi strutturali (Gk ); peso proprio di tutti gli elementi non strutturali (Gk Agg );

b) variabili ( Q ): azioni sulla struttura o sull’elemento strutturale con valori istantanei che possono risultare sensibilmente diversi fra loro nel tempo.

La ripartizione dei carichi sugli elementi portanti avviene dividendo il solaio con un approccio a “strisce”. Ogni striscia ha una larghezza di 5 cm e la direzione della lunghezza concorde con l’orditura del solaio; larghezze di strisce così contenute permettono di ottenere una maggiore precisione nell’individuazione dei carichi anche su solai planimetricamente irregolari. La combinazione dei carichi di tipo sismico da utilizzare sarà quindi: Esempio pratico con il programma:

6 Cattari S., Resemini S., Lagomarsino S. (2008). Modelling of vaults as equivalent diaphragms in 3D seismic analysis of masonry buildings, Proc. of 6th International Conference on Structural Analysis of Historical Construction, Bath. 7 Cattari S., Resemini S., Lagomarsino S. (2009). “Il ruolo delle volte nella risposta sismica degli edifici in muratura”, Allegato 3a.2-UR05-1, Programma Quadro DPC-Reluis del 15 Marzo 2005 (Progetto esecutivo 2005 - 2008).

-79 -

Spessore muro=30cm H interpiano=300cm w=18kN/m3

Gk=500 daN/m2 Gk_agg=100 daN/m2 Qk=200 daN/m2

2=0.3 Da cui si ricava:

=500+100+0.3*200=660 daN/m2 Il solaio interessa la parete evidenziata in giallo per una quota pari a: Ps=Carico su Muro=( )*Ainteresse= 660 daN/m2*4m2=2640daN Ainteresse=400cm*100cm= 40000cm2=4m2 La parete selezionata ha un peso di: W=w*Volume=18kN/m3*4m*3m*0.3m= 64.80kN=6480daN Questo vuol dire che la reazione vincolare attesa alla base del muro sarà: R=Ps+W=2640daN +6480daN= 9120daN Verifichiamo ora il calcolo eseguito dal programma 3Muri: Eseguiamo il calcolo pushover e verifichiamo le reazioni vincolari nella parete interessata al primo passo della pushover(nel primo passo l’effetto del sisma risulta ancora assente).

Il valore presentato nella finestra del programma è prossimo a quello calcolato manualmente: 9251 daN 9120daN

-80 -

Il muro posteriore non risulta interessato da alcun solaio. Per questo ci aspettiamo che la reazione vincolare sia pari al solo peso(W) del pannello .

Anche in tal caso: W= 6480daN 6092daN In tal caso la differenza tra il carico calcolato dal programma e quello teorico è maggiore rispetto alla parete interessata direttamente dal solaio dell’esempio precedente. Tale differenza è giustificata dall’insorgere di un “effetto telaio” che si forma con le due pareti di spina più corte, creando uno scambio mutuo di forze tra la parete interessata e il resto della struttura.

La combinazione dei carichi di tipo statico da utilizzare sarà:

I coefficienti moltiplicativi utilizzati per il calcolo sono quelli prescritti dalle NTC.

Poiché nelle proprietà del solaio la casella “Copertura” non è selezionata, si assume che il carico che interessa il solaio non è la neve ma quello tipico della “destinazione d’uso” del locale. Poiché il carico di “destinazione d’uso” è considerato dominante, nel calcolo non verrà assunto 0=0.7 ma 0=1.

Ricaviamo quindi: Ps=( )*Ainteresse=(1.3*500+1.5*100+1.5*1*200) daN/m2 *4 m2=4400daN Questo è il carico Nd nella sezione superiore del maschio murario, verifichiamolo mediante l’interfaccia del programma 3Muri.

Anche in tal caso possiamo notare che Ps=4400daN 4715 daN

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