Documen tos de Espol

Tema: Trazado de Gráfica Lineales

Objetivos:

• Aprender el uso adecuado de una hoja milimetrada

• Seleccionar adecuadamente la escala a utilizarse para graficar

• Aprender a trazar adecuadamente la gráfica de una relación lineal entre dos variables

físicas presentadas como un conjunto de datos tabulados

• Aprender a determinar la pendiente de una gráfica

• Aprender a determinar la incertidumbre de la pendiente de una gráfica

Equipos y materiales

• Una hoja de papel milimetrada

• Una calculadora científica básica

• Una regla de 30 cm con mínima división de un milímetro

Fundamento teórico:

1. Uso adecuado de la hoja de papel milimetrada:

a) Trazar sendos ejes perpendiculares entre sí, los cuales se dibujan a un centímetro del

borde izquierdo (eje Y o variable dependiente) y a un centímetro del borde inferior (eje X o

variable independiente), extendiéndose ambos ejes hasta un centímetro antes de sus

bordes extremos correspondientes (Fig.1).

Fig. 1

1 cm

1 cm

1 cm

1 cm

b) Marcando sobre cada eje sus correspondientes saetas, darles los nombres a los ejes

(nomenclatura) con sus respectivas unidades, según corresponda a la Práctica desarrollada

(Fig.2).

Fig. 2

c) Habiendo escogido la escala adecuada (ver sección 2.b) y 2.c) sobre selección de escala),

señalar cantidades cada dos, cuatro o cinco centímetros en cada eje hasta un centímetro

antes de la saeta que indica el final del eje. Como se puede observar en la Fig. 3 en el eje

de las X se ha señalado valores cada dos centímetros, de donde se deduce que cada

centímetro de la hoja en el eje de las X representa 4 s.

Fig. 3

V (m/s)

t (s)

2. Selección de escala:

Para una mejor comprensión de como seleccionar una escala, tomaremos de ejemplo los

siguientes datos tabulados para un cuerpo con aceleración constante:

Tiempo

± 1 (s)

Velocidad

± 0.1 (m/s)

10 1,8

20 2,1

30 2,8

40 3,5

50 4,1

60 4,6

70 5,1

80 5,6

En donde para la tabla dada, el tiempo es la variable independiente por lo que se la

representará en el eje X, mientras que la velocidad sería la variable dependiente la cual se

representará en el eje de las Y.

a) Seleccionar el rango de valores tabulados a representar en cada eje. De acuerdo al

conjunto de datos tabulados y a la importancia o no de encontrar el intercepto de la

gráfica, podemos seleccionar el rango de valores a representar en cada uno de nuestros

ejes, de la siguiente manera:

a. Si el intercepto no es de interés: Restar el valor más grande con el valor más

pequeño en la tabla. Ej:

i. Eje X : 80 – 10 = 70 segundos

ii. Eje Y : 5.6 – 1.8 = 3.8 m/s

b. Si el intercepto si es de interés: Escoger el valor más grande en la tabla.

i. Eje X : 80 segundos

ii. Eje Y: 5.6 m/s

b) De acuerdo a los centímetros disponibles en cada eje, generalmente en el eje X son 25 cm

disponibles y en el eje Y 15 cm disponibles, dividimos el rango de valores a graficar para el

número de centímetros disponibles en los correspondientes ejes.

Si para nuestro ejemplo a desarrollar es de importancia el intercepto para poder

determinar la ecuación empírica, nuestras escalas preliminares serían:

a. Eje X: ��

�� = 3.2 �� lo que nos indica que cada cm en el eje X equivale a 3.2 s de

tiempo.

Es recomendable que las escalas sean tomadas de modo tal que sean de fácil

representación, de ahí que se aconseja que cada centímetro sea igual a 1, 2, 5

unidades (eventualmente 4) o cualquier múltiplo de ellos.

Por lo anterior expuesto el 3.2 lo llevaremos a 4, de tal forma que nuestra escala en

centímetros correspondiente quedaría;

4.0 �� lo que nos indica que cada cm en el eje X equivale a 4.0 s de

tiempo.

b. Eje Y: �.� �/ �

�� = 0.37 �/�� lo que nos indica que cada cm en el eje Y equivale a

0.37 m/s de velocidad.

El 0.37 es llevado a 0.40, de tal forma que nuestra escala en centímetros

correspondiente quedaría;

0.40 �/�� lo que nos indica que cada cm en el eje X equivale a

0.40 m/s de velocidad.

c) Como la hoja de papel milimetrado, como su nombre lo indica, tiene como mínima división

al milímetro, conviene también interpretar las escalas anteriores en milímetros, así

sabremos qué medida representa nuestra mínima división.

a. Mínima división en el eje X: corresponde a la escala en el eje X dividida

entre 10 (1 cm = 10 mm), así:

4.0 �� ∗ ��

�� = 0.40 �� de tal forma que la mínima división (el

milímetro) en el eje de las X corresponde a

0.40 segundos de tiempo.

b. Mínima división en el eje Y: corresponde a la escala en el eje Y dividida

entre 10 (1 cm = 10 mm), así:

0.40 �/�� ∗ ��

�� = 0.04 �/�� de tal forma que la mínima división (el

milímetro) en el eje de las Y corresponde a 0.04

m/s de velocidad.

3. Trazo de los puntos en el papel milimetrado:

De acuerdo con las escalas escogidas para cada uno de los ejes, éstas serán utilizadas como

factores de conversión para determinar el lugar que le corresponde en cada eje a un par

ordenado de la tabla de valores.

Así por ejemplo para el primer par ordenado de la tabla:

- Los 10 s corresponde a:

10� ∗ ��.� � = 2.5 �� a partir del origen del eje de las X

Tiempo

± 1 (s)

Velocidad

± 0.1 (m/s)

10 1,8

- Mientras que los 1,8 m/s corresponden a :

1.8 �/� ∗ ��.�� /� = 4.5 �� a partir del origen del eje de las Y

Como se observa en la Fig. 4.

Fig. 4

Representemos el segundo par ordenado de la tabla:



- Mientras que los 2.1 m/s corresponden a :

2.1 �/� ∗ ��.��

� = 5.25 cm o interpretado como 52.5 mm a

partir del origen del eje de las Y


Tiempo

± 1 (s)

Velocidad

± 0.1 (m/s)

20 2,1

Fig. 5

Representemos por último el tercer par ordenado de la tabla:



- Mientras que los 2.8 m/s corresponden a :

2.8 �/� ∗ ��.��

�= 7.0 �� a partir del origen del eje de las Y


Tiempo

± 1 (s)

Velocidad

± 0.1 (m/s)

30 2,8

Fig. 6

De la misma forma con los demás pares ordenados hasta obtener lo que se observa en la Fig.7.

Fig. 7

4. Criterios para graficar la recta

a) Trazar la recta que pasa por la mayor cantidad de puntos experimentales.

b) Trazar la recta tal que existan tantos puntos experimentales por encima como por debajo

de ella, sin que exista demasiada dispersión con respecto a la recta.

En los criterios anteriores excluir datos aberrantes. En nuestro caso se ha utilizado el criterio

b), dejando 3 puntos por encima como por debajo de la recta, como se observa en la Fig. 8.

Fig. 8

5. Determinación del intercepto

En la gráfica realizamos la lectura correspondiente del punto intercepción con el eje de las

ordenadas (Eje Y), ya sea en centímetro o en milímetro, de acuerdo con el ejemplo

desarrollado, la intercepción se ha estimado en 25.7 mm, con lo que utilizando la escala

correspondiente al eje Y, tenemos:

25.7�� ∗ �.��

�� = 1.028 m/s

Sin embargo ésta no es la forma adecuada de presentar el intercepto, ya que hay que dejarlo

con igual número de decimales dela incertidumbre que corresponde en esta caso al eje Y.

En nuestro ejemplo el eje Y tiene una incertidumbre igual a 0.02 m/s, ya que por definición es

igual a la mínima división (1mm del eje Y = 0.04 m/s) dividida entre dos, por lo tanto el

intercepto es 1.03 m/s.

6. Cálculo de la pendiente

a) Seleccionamos dos puntos alejados entre sí que pertenezcan a la recta graficada; para lo

cual hay que visualizar estos dos puntos, uno de abajo hacia arriba (P1) y el otro de arriba

hacia abajo (P2).

b) Cualquiera de los dos puntos a escoger deben ser tal que coincidan con la intercepción de

dos líneas de la hoja papel milimetrado, de tal manera que sea fácil la interpretación o

conversión al momento de utilizar la escala que corresponda. En nuestro ejemplo:

a. El punto uno (P1); corresponde en X a 16 mm con respecto al origen, mientras que

en Y a 35 mm, de tal forma que usando las escalas respectivas tenemos:

Coordenada X; 16 �� ∗ �.�� = 6.4 s

En donde al igual que el intercepto, la forma adecuada de presentar la coordenada X

es con igual número de decimales de la incertidumbre que corresponde en esta caso al

eje X. En nuestro ejemplo el eje X tiene una incertidumbre igual a 0.2 s, ya que por

definición es igual a la mínima división (1mm del eje X = 0.4 s) dividida entre dos.

Coordenada Y; 35 �� ∗ �.��/�� = 1.40 m/s

Por lo tanto el primer punto es P1(6.4, 1.40)

b. El punto uno (P2); corresponde en X a 191 mm con respecto al origen, mientras

que en Y a 140 mm, de tal forma que usando las escalas respectivas tenemos:

Coordenada X; 191 �� ∗ �.�� = 76.4 s

Coordenada Y; 140 �� ∗ �.��/�� = 5.60 m/s

Por lo tanto el primer punto es P2(76.4, 5.60)

La gráfica de los puntos escogidos para calcular la pendiente, se muestran en la Fig.9.

Fig.9

c) Finalmente se calcula la pendiente analíticamente, empleando para ello las reglas

correspondiente para operaciones con cifras significativas:

� = ∆ ∆! = ∆"

∆# = 5.60 − 1.4076.4 − 6.4 = 4.20

70.0 = 0.0600 ��

7. Cálculo dela incertidumbre de la pendiente

a) Utilizando el criterio de propagación de errores por derivadas parciales, y realizando los

cambios de variables a = ∆Y y b =∆X , tenemos:

� = ∆ ∆! = %

&

'� = ()�

)% ( . '% + ()�)& ( . '& = (1&( . '% + +− %

&�+ . '&

'� = &. '% + %. '&

&� = ∆!. '(∆ ) + ∆ . '(∆!)(∆!)� (∗)

b) Considerando que la incertidumbre en cada eje corresponde a la mínima división dividida

entre dos:

a. '! = �í/.012 3/ 343 5� → '(∆!) = 2'! → '(∆!) = �í7. 89: ;7 ;<; !

∴ '(∆!) = 0.4 �

b. ' = �í/.012 3/ 343 >� → '(∆ ) = 2' → '(∆ ) = �í7. 89: ;7 ;<;

∴ '(∆ ) = 0.04 �/�

c) Reemplazando en la expresión (*):

'� = ∆!. '(∆ ) + ∆ . '(∆!)(∆!)� = (70.0). (0.04) + (4.20). (0.4)

(70.0)� (∗)

'� = 0.0009 ��

Como se observa, la incertidumbre de la pendiente se la deja con igual número de

decimales que el de la pendiente calculada.

d) Presentamos el resultado de la pendiente con su correspondiente incertidumbre:

� ± '� = (0.0600 ± 0.0009) ��

La siguiente Fig.10 muestra la gráfica final en donde aparece además el título de la gráfica y

también la ecuación empírica determinada a partir de la obtención del intercepto y de la

pendiente.

Fig. 10

Ecuación empírica:

V = (0.0600 t + 1.03) m/s

Gráfica V vs t

Documen tos de Espol

Documents

Transcript of Documen tos de Espol