9º

Docente: Alba Milena Guerrero Pérez

Whatsapp: 3143696022

E-mail: milenaguerrero@jecaro.edu.co

INSTITUCIÓN EDUCATIVA JOSÉ EUSEBIO CARO Docente: ALBA MILENA GUERRERO

12 Julio-10 septiembre

DBA Interpreta el espacio de manera analítica a partir de relaciones geométricas que se establecen en las trayectorias y desplazamientos de los cuerpos en diferentes situaciones.

Temas Función cuadrática

Ecuación cuadrática

Función exponencial

Actividades de formación

Guía teórica sobre las funciones cuadráticas y exponenciales, tabulación, grafica en el plano cartesiano

Ecuaciones cuadráticas: formas de solución: por factorización y por fórmula

Ejemplos prácticos

Actividades de evaluación

1. Transcribir la teoría enviada en esta guía en sus respectivos cuadernos de forma ordenada.

2. Desarrollar las actividades propuestas

Recursos Cuaderno, internet, teléfono o/y computador

Rúbrica de evaluación

Deberán enviar solamente las actividades desarrolladas así: Toman las fotos de forma VERTICAL, DEBEN ESTAR ORDENADAS (si tienen computador pegan todas las fotos en un archivo y lo guardan como pdf, si lo hacen por celular van subiendo cada una en el orden en que están: Actividad 1, actividad2…etc) NO

ENVIAR foto de apuntes. Subir a Classroom, escribir su nombre y curso en cada hoja que envían.

Correo autorizado: milenaguerrero@jecaro.edu.co

Solo en caso de no tener wifi enviar al whastsapp: 3175695234 Nota: Se tendrá en cuenta el orden y presentación que se refleje en las fotografías enviadas y la puntualidad en el envío. Solo deben enviar las actividades. El cuaderno se revisa cuando entremos de forma presencial.

HOLA APRECIADOS

ESTUDIANTES: Les saluda su

profesora de Algebra. Espero que hayan

tenido un merecido descanso para

renovar energías y retomar su

formación académica y personal.

Recuerden seguir cuidando la salud

propia y la de su familia aplicando las

recomendaciones que se hacen para

evitar el contagio.

FUNCION CUADRÁTICA

Una función cuadrática también se conoce como función de segundo grado, ya que el mayor grado

(exponente) de la variable X es 2, también es aquella que puede escribirse como una ecuación de la

forma:

𝒚 = 𝒇(𝒙) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐

Donde a , b y c (llamados términos ) son números reales cualesquiera y a es distinto de cero (puede

ser mayor o menor que cero, pero no igual que cero). El valor de b y de c sí puede ser cero. En la

ecuación cuadrática cada uno de sus términos tiene un nombre.

𝒂𝒙𝟐: 𝑇é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜 𝐶𝑢𝑎𝑑𝑟á𝑡𝑖𝑐𝑜 𝒃𝒙: 𝑇é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙 𝒄: 𝑇é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 Ejemplos de funciones cuadráticas:

𝒇(𝒙) = −4𝑥2 + 𝑥 − 10 𝒇(𝒙) = 2𝑥2 + 1 𝒇(𝒙) =𝑥2

4− 7𝑥

Grafica de una función cuadrática.

Al ubicar en un plano cartesiano las parejas ordenadas que se obtienen de una tabla de valores de

una función cuadrática, se obtiene una curva llamada Parábola. En la parábola se pueden distinguir

varios elementos: vértice, eje de simetría, puntos de corte (intercepto con el eje x e intercepto con

el eje y).

Vértice: Punto mínimo o máximo de la parábola. Las

coordenadas de ese punto (h,k) se hallan así:

ℎ = −𝑏

2𝑎 𝑘 = 𝑓(−

𝑏

2𝑎)

Eje de simetría: recta perpendicular al eje x que pasa

por el vértice

Puntos de corte: Puntos en los cuales la gráfica

interseca (o corta) a los ejes x y y.

Intercepto con Y (0,c): se halla al remplazar X por 0 en

la función.

Intercepto con X : se halla al remplazar Y por 0 en la

función.

Si 𝑎 > 0, 𝑙𝑎 𝑝𝑎𝑟á𝑏𝑜𝑙𝑎 𝑎𝑏𝑟𝑒 ℎ𝑎𝑐𝑖𝑎 𝑎𝑟𝑟𝑖𝑏𝑎 𝑦

𝑠𝑢 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑜 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑣é𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒.

Si 𝑎 < 0, 𝑙𝑎 𝑝𝑎𝑟á𝑏𝑜𝑙𝑎 𝑎𝑏𝑟𝑒 ℎ𝑎𝑐𝑖𝑎 𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜 𝑦

𝑠𝑢 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑣é𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒

Ejemplo 1: Trazar la gráfica de 𝒇(𝒙) = 𝑥2 + 2𝑥 − 3, ubicar las coordenadas del vértice y

de los puntos de corte con los ejes.

Primero: Identificamos los valores de a, b y c en la función: 𝑎 = 1 𝑏 = 2 𝑐 = −3

Segundo: Hallamos el vértice V (h,k), así: ℎ = −𝑏

2𝑎 ℎ = −

2

2(1)= −

2

2= −1

Para hallar k, remplazamos h en nuestra función cuadrática donde está la variable x.

𝒇(−𝟏) = (−1)2 + 2(−1) − 3 = 1 + (−2) − 3 = 1 − 5 = −4 Vértice: (-1,-4)

Tercero: Hallamos los puntos de corte con los ejes X y Y.

Con el eje Y: 𝒇(𝟎) = (0)2 + 2(0) − 3 = 0 + 0 − 3 = −3. La gráfica interseca al eje y en (0,-3)

Con el eje X: 0 = 𝑥2 + 2𝑥 − 3

0 = (𝑥 + 3)(𝑥 − 1)

Entonces: (𝑥 + 3) = 0 𝑥 = −3

𝑜 (𝑥 − 1) = 0 𝑥 = 1. Los puntos de corte con X son (-3,0) y (1,0)

Después tabulamos y graficamos: Podemos escoger algunos valores de X para realizar nuestra

gráfica, remplazamos en la función y obtenemos el valor de Y (En este caso a=1, 𝑎 >

0, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑝𝑎𝑟á𝑏𝑜𝑙𝑎 𝑎𝑏𝑟𝑒 ℎ𝑎𝑐𝑖𝑎 𝑎𝑟𝑟𝑖𝑏𝑎)

Para: 𝑥 = −4 𝑦 = (−4)2

+ 2(−4) − 3

𝑦 = 16 + 2(−4) − 3 𝑦 = (−4)2

+ 2(4) − 3

𝑦 = 16 + (−8) − 3

𝑦 = 5

x y

-4 5

-3 0

-2 -3

-1 -4

0 -3

1 0

2 5

Se factoriza para hallar x. En este caso, se aplica el caso de

trinomio de la forma 𝑎𝑥2𝑛 + 𝑏𝑥𝑛 + 𝑐. En donde se buscan

dos números que multiplicados den c y sumados den b.

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3

𝒇(𝒙)=𝑥^2+2𝑥−3

Recordar la prioridad operacional,

primero se resuelven las

potencias y raíces, después

multiplicaciones y divisiones y por

último sumas y restas

Ejemplo 2: Trazar la gráfica de 𝒇(𝒙) = −3𝑥2 + 6𝑥, ubicar las coordenadas del vértice y de

los puntos de corte con los ejes.

Primero: Identificamos los valores de a, b y c en la función: 𝑎 = −3 𝑏 = 6 𝑐 = 0 (𝑛𝑜 ℎ𝑎𝑦)

Segundo: Hallamos el vértice V (h,k), así: ℎ = −𝑏

2𝑎 ℎ = −

6

2(−3)= −

6

−6= 1

Para hallar k, remplazamos h en nuestra función cuadrática donde está la variable x.

𝒇(𝟏) = −3(1)2 + 6(1) = −3 ∗ 1 + 6 = −3 + 6 = −3 Vértice: (1,3)

Tercero: Hallamos los puntos de corte con los ejes X y Y.

Con el eje Y: 𝒇(𝟎) = −3(0)2 + 6(0) = 0 + 0 = 0 La gráfica interseca al eje y en (0,0)

Con el eje X: 0 = −3𝑥2 + 6𝑥

0 = −3𝑥(𝑥 − 2)

Entonces: −3𝑥 = 0 𝑥 = 0

𝑜 (𝑥 − 2) = 0 𝑥 = 2. Los puntos de corte con X son (0,0) y (2,0)

Después tabulamos y graficamos: Podemos escoger algunos valores de X para realizar nuestra

gráfica, remplazamos en la función y obtenemos el valor de Y. (En este caso a=-3, 𝑎 <

0, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑝𝑎𝑟á𝑏𝑜𝑙𝑎 𝑎𝑏𝑟𝑒 ℎ𝑎𝑐𝑖𝑎 𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜)

Para: 𝑥 = −1 𝑦 = −3(−1)2

+ 6(−1)

𝑦 = −3(1) + 6(−1) = −3 + (−6)

𝑦 = −9

Escriba aquí la ecuación.

x y

-3 -45

-2 -24

-1 -9

0 0

1 3

2 0

3 -9

Se factoriza con factor común. El factor común es -3x

Recordar la prioridad operacional,

primero se resuelven las

potencias y raíces, después

multiplicaciones y divisiones y por

último sumas y restas

-10

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

-2 -1 0 1 2 3 4

𝒇(𝒙)=−3𝑥^2+6𝑥

SITUACIÓN PROBLEMA PARA FUNCIÓN Y ECUACIÓN CUADRÁTICA

Un microempresario ha logrado determinar que la producción piscícola de su lago está dada por

(400-20x) gramos por cada pez cuando hay x peces por metro cuadrado.

a. Determinar la función de producción total por metro cuadrado.

b. Representar en una tabla de valores la producción P en función del número de peces por metro

cuadrado que se cultiven.

c. Realizar la gráfica correspondiente a la tabla elaborada.

d. Determinar la producción total en gramos por metro cuadrado cuando se cultivan 9 peces por

metro cuadrado

e. Determinar la producción total en gramos por metro cuadrado cuando se cultivan 11 peces por

metro cuadrado

f. Determinar la producción total máxima por metro cuadrado.

g. ¿Para cuántos peces por metro cuadrado se da la máxima producción total por metro cua-

drado?

h. ¿Qué producción por metro cuadrado se logra cuando se cultivan 14 peces por m2

i. Cuántos peces se debe cultivar por metro cuadrado para obtener una producción total por me-

tro cuadrado de 1920 gramos

DESARROLLO a. Dado que cada pez produce (400 – 20X) gramos cuando hay X peces por metro cuadrado, la

producción total por metro cuadrado será: P = (400-20x) x gramos, es decir:

P = 400x - 20x2 g

b. Tabla

c. Gráfica (arriba)

d. Producción total en g/m2 se cultivan 9 peces por m2

P(9) = 400(9) – 20(9)2

P(9) = 3600 – 1620

P(9) = 1980 gramos por metro cuadrado

e. Producción total en g/m2 se cultivan 11 peces por m2

P(11) = 400(11) – 20(11)2

P(11) = 4400 – 2420

P(11) = 1980 gramos por metro cuadrado.

f. Producción total máxima por m2

Según la gráfica, la producción total máxima por metro cuadrado es de 2000 gramos por m2

g. Cantidad de peces necesaria para lograr la producción máxima

Según la gráfica, la producción total máxima por m2 ocurre cuando se cultivan 10 peces por

m2

h. ¿Qué producción por metro cuadrado se logra cuando se cultivan 14 peces por m2

P(14) = 400(14) – 20(14)2

P(14) = 5600 – 3920

P(14) = 1680 gramos por metro cuadrado.

x P

0 0

1 380

2 720

3 1020

4 1280

5 1500

6 1680

7 1820

8 1920

9 1980

10 2000

11 1980

12 1920

13 1820

14 1680

15 1500

16 1280

17 1020

18 720

19 380

20 0

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

1100

1200

1300

1400

1500

1600

1700

1800

1900

2000

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

Pro

du

cc

ión

Cantidad

Producción (P) por metro cuadrado

i. ¿Cuántos peces se debe cultivar por metro cuadrado para obtener una producción total por

metro cuadrado de 1920 gramos?

Para resolver la pregunta, partiendo de la función de producción P = 400x - 20x2 , reem-

plazamos P por 1920 y obtenemos la ecuación:

1920 = 400x - 20x2

Reordenando

20x2 - 400x + 1920 = 0

Al resolver se obtiene:

X1 = 12

X2 = 8

Es decir, hay dos maneras de obtener una

producción por metro cuadrado de 1920 gra-

mos: Bien cultivando 8 peces, o bien

cultivando 12 peces. Obviamente, por

razones de costo, se escogería la opción de

cultivar 8 peces por metro cuadrado.

Nota 2: Actividad y Recuerde: Deberán enviar solamente las actividades

desarrolladas así: Toman las fotos de forma VERTICAL, DEBEN ESTAR ORDENADAS (si tienen

computador pegan todas las fotos en un archivo y lo guardan como pdf, si lo hacen por celular

van subiendo cada una en el orden en que están: Actividad 1, actividad2…etc.) NO ENVIAR foto

de apuntes. Obligatorio, escribir su nombre y curso en cada hoja que envían.

Enviar por classroom. Fecha máxima de envío: 2 agosto 2021 SITUACIÓN PARA FUNCIÓN CUADRÁTICA-ÁRBOLES DE NARANJA

Un cultivador de cítricos estima que en una parcela la producción de cada árbol está dada

por la función p=(400-4x) naranjas por árbol, cuando se cultivan x árboles.

a. Determinar la función de producción total de la parcela

b. Representar en una tabla de valores la producción total PT en función del número

árboles que se cultiven.

c. Realizar una gráfica de la tabla

d. Determinar la producción total de naranjas cuando se cultivan 40 árboles

e. Determinar la producción total de naranjas cuando se cultivan 60 árboles

f. Determinar la producción total máxima

g. ¿Para cuántos árboles se tiene la máxima producción de la parcela?

h. ¿Qué producción de naranjas se logra cuando se cultivan 45 árboles?

i. ¿Cuántos árboles se deben cultivar para tener una producción total 6400 naranjas?

ECUACION CUADRÁTICA

Una ecuación de la forma 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 recibe el nombre de ecuación cuadrática o ecuación

de segundo grado. Dependiendo del valor de las constantes b y c, las ecuaciones cuadráticas se

clasifican en incompletas y completas.

Ecuaciones incompletas: son aquellas ecuaciones en donde 𝑏 = 0 o 𝑐 = 0 . Por ejemplo:

2𝑥2 − 3𝑥 = 0 ; 3𝑥2 + 4𝑥 = 0 ; 4𝑥2 = 0 , son ecuaciones incompletas.

Ecuaciones completas: son aquellas ecuaciones en donde 𝑎 ≠ 0 , 𝑏 ≠ 0, 𝑐 ≠ 0 . Por ejemplo:

2𝑥2 + 43𝑥 − 5 = 0 ; -3𝑥2 + 15𝑥 − 31 = 0 son ecuaciones completas.

Solución de ecuaciones cuadráticas incompletas

Podemos tener tres posibles casos: 𝒂𝒙𝟐 = 𝟎 ; 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 = 𝟎 ; 𝒂𝒙𝟐 + 𝒄 = 𝟎

Caso 1: Ecuaciones de la forma 𝒂𝒙𝟐 = 𝟎

En este caso se despeja 𝒙 así: Ejemplo:

𝒂𝒙𝟐 = 𝟎

𝒙𝟐 = 𝟎

𝒙 = 𝟎 Por lo tanto, la ecuación tiene una solución real,

es 𝒙 = 𝟎

𝟒𝒙𝟐 = 𝟎

𝒙𝟐 =𝟎

𝟒

𝒙 = 𝟎

Caso 2: Ecuaciones de la forma 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 = 𝟎 :En este caso se aplica la factorización y se

iguala a cero cada factor para despejar la variable en cada caso, así:

En este caso se despeja 𝒙 así: Ejemplo:

𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 = 𝟎

𝒙(𝑎𝑥 + 𝑏) = 0 𝑥 = 0 o 𝑎𝑥 + 𝑏 = 0 𝑎𝑥 = −𝑏

𝑥 = −𝑏

𝑎

Por lo tanto, la ecuación tiene dos soluciones reales y diferentes:

𝑥1 = 0 𝑦 𝑥2 = −𝑏

𝑎

𝟒𝒙 − 𝟔𝒙𝟐 = 𝟎

2𝑥(2 − 3𝑥) = 0

2𝑥 = 0 o 2 − 3𝑥 = 0 𝑥1 = 0 −3𝑥 = −2

𝑥 =−2

−3

𝑥2 =2

3

Solucionar una ecuación cuadrática significa encontrar el valor o los valores de las incógnitas

que hacen verdadera la igualdad.

Caso 3: Ecuaciones de la forma 𝒂𝒙𝟐 + 𝒄 = 𝟎 : En este caso se despeja 𝒙 y se extrae la

raíz cuadrada a ambos lados de la igualdad.

En este caso se despeja 𝒙 así: Ejemplo:

𝒂𝒙𝟐 + 𝒄 = 𝟎

𝑎𝑥2 = −𝑐

𝑥2 = −𝑐

𝑎

𝑥 = ±√−𝑐

𝑎

Las soluciones son : 𝒙𝟏 = √−𝒄

𝒂 y

𝒙𝟐 = −√−𝒄

𝒂

𝟑𝒙𝟐 − 𝟐𝟕 = 𝟎

3(𝒙𝟐 − 9) = 0

(𝒙𝟐 − 9) =0

3

𝒙 𝟐 − 9 = 0 𝒙𝟐 = 9

𝑥 = √9 𝑥 = ±3 𝑥1 = 3 𝑥2 = −3

Solución de ecuaciones cuadráticas completas

Para solucionar ecuaciones cuadráticas completas existen 3 métodos: solución por factorización,

solución por completación de cuadrados y solución por fórmula general.

Método 1: Solución por factorización: (Aquí es necesario que usted recuerde de grado

octavo, lo que aprendió de factorización de trinomios)

Ejemplo: Para resolver la ecuación 𝟔𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 − 𝟔 = 𝟎

𝟔𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 − 𝟔 = 𝟎

(𝟑𝒙 + 𝟐)(𝟐𝒙 − 𝟑) = 𝟎

𝟑𝒙 + 𝟐 = 𝟎 y 𝟐𝒙 − 𝟑 = 𝟎

𝒙𝟏 = −𝟐

𝟑 𝒙𝟐 =

𝟑

𝟐

Por lo tanto, la ecuación 𝟔𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 − 𝟔 = 𝟎 , tiene dos soluciones reales diferentes que son:

𝒙𝟏 = −𝟐

𝟑 𝒙𝟐 =

𝟑

𝟐

Método 2: Solución Completando cuadrados: Este método se utiliza cuando la ecuación

cuadrática no se puede factorizar. Consiste en transformar un trinomio, en un trinomio cuadrado

perfecto, de la siguiente manera:

1. Se escribe la ecuación 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 de la forma 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 = −𝑐

Se factoriza el trinomio

Se iguala cada factor a cero

S e f a c t o r i z a e l t r i n o m i o

Se despeja la variable en cada caso

2. Se suma a ambos lados de la ecuación el término 𝑏2

4𝑎, siempre y cuando a sea cuadrado

perfecto.

3. Se factoriza el trinomio cuadrado perfecto y el otro lado se simplifica

4. Se saca la raíz cuadrada y se expresa cada solución por separado.

Ejemplo: Para resolver la ecuación 𝒙𝟐 − 𝟖𝒙 + 𝟏𝟑 = 𝟎

𝒙𝟐 − 𝟖𝒙 = −𝟏𝟑

𝒙𝟐 − 𝟖𝒙 + 𝟒𝟐 = −𝟏𝟑 + 𝟒𝟐

𝒙𝟐 − 𝟖𝒙 + 𝟒𝟐 = −𝟏𝟑 + 𝟏𝟔

(𝒙 − 𝟒)𝟐 = 𝟑

𝒙 − 𝟒 = ±√𝟑

𝒙 = 𝟒 ± √𝟑

𝒙𝟏 = 𝟒 + √𝟑 𝒙𝟐 = 𝟒 − √𝟑

Por lo tanto, la 𝒙𝟐 − 𝟖𝒙 + 𝟏𝟑 = 𝟎 , tiene dos soluciones reales diferentes que son:

𝒙𝟏 = 𝟒 + √𝟑 𝒙𝟐 = 𝟒 − √𝟑

Método 3: Solución por fórmula general: Este método permite resolver ecuaciones

utilizando una formula general:

𝒙 =−𝒃±√𝒃𝟐−𝟒𝒂𝒄

𝟐𝒂

𝒙𝟏

=−𝒃+√𝒃

𝟐−𝟒𝒂𝒄𝟒𝒂𝒄

𝟐𝒂 𝒙𝟐 =

−𝒃−√𝒃𝟐

−𝟒𝒂𝒄𝟒𝒂𝒄

𝟐𝒂

Ejemplo: Para resolver la ecuación 𝟔𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 − 𝟑 = 𝟎

𝒙 =−𝟑±√𝟑𝟐−𝟒∗𝟔∗−𝟑

𝟐∗𝟔

a 6 Coeficiente de 𝒙𝟐 b 3 Coeficiente de 𝒙 c -3 Término independiente

Se pasa el término independiente al otro

lado de la igualad.

Se suma ambos lados la mitad del

coeficiente de x al cuadrado

Se factoriza el trinomio cuadrado perfecto

𝒙 = −𝟑±√𝟗—𝟕𝟐

𝟏𝟐=

−𝟑±√𝟗+𝟕𝟐

𝟏𝟐=

−𝟑±√𝟖𝟏

𝟏𝟐=

−𝟑±𝟗

𝟏𝟐

𝒙𝟏 = −𝟑+𝟗

𝟏𝟐 =

𝟔

𝟏𝟐=

𝟏

𝟐 𝒙𝟐 =

−𝟑−𝟗

𝟏𝟐 =

−𝟏𝟐

𝟏𝟐= −𝟏

𝒙𝟏 =𝟏

𝟐 y 𝒙𝟐 =-1

FUNCIÓN EXPONENCIAL

La función Exponencial

La función exponencial se aplica en ciencias como la

biología, química, economía y sociales. De manera

particular esta función se utiliza para describir

crecimientos y decrecimiento de poblaciones,

decaimiento radioactivo, carga y descarga de un

capacitor, crecimiento o decrecimiento de cifras

económicas entre otras.

Ejemplo de crecimiento exponencial. Casos de

COVID 19 a partir del primer caso en diferentes

países.

Definición

Una función exponencial es aquella que tiene la

forma: 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥

Cumpliendo con las siguientes condiciones:

𝑎 > 0 𝑦 𝑎 ≠ 1

En esta función la variable independiente x hace parte

del exponente

Ejemplos:

f(𝑥) = 5𝑥 SI es una función exponencial

𝑓(𝑥) = (−5)𝑥 NO es una función exponencial

𝑔(𝑥) = 1𝑥 NO es una función exponencial

ℎ(𝑥) = (1

4)

𝑥+1 SI es una función exponencial

𝑔(𝑥) = 2𝑥 +3

4 SI es una función exponencial

𝑓(𝑥) = 𝑥5 NO es una función exponencial

ℎ(𝑥) = (1

4)

1 NO es una función

exponencial

𝑔(𝑥) = 2 + (3

4)

𝑥 SI es una función

exponencial

𝑓(𝑥) = (−2)𝑥 NO es una función exponencial

𝑗(𝑥) = 𝑥3 NO es una función exponencial

Principales características de la

función exponencial

Las principales características de la función

exponencial con 𝑎 > 0 𝑦 𝑎 ≠ 1 son:

El Dominio de la función siempre van a ser

todos los números reales:

𝐷𝑜𝑚𝑓 = 𝑅

El Rango de la función siempre van a ser todos

los números reales mayores a cero.

𝑅𝑎𝑛𝑓 = 𝑅 > 0

La gráfica pasa por el punto (0,1), porque 𝑎0 =

1.

La gráfica pasa por el punto (1, 𝑎), porque 𝑎1 =

𝑎

Estas características serán analizadas en la

representación gráfica de la función.

Representación gráfica de una

función exponencial

En la representación gráfica se pueden presentar dos

casos:

Caso 1.

Representación

gráfica cuando a>1

Es una función creciente

Caso 2.

Representación gráfica cuando

0<a<1

Es una función decreciente

La imagen de 0 siempre es

1 y la imagen de 1 es a.

Ejemplos de representación gráfica de una función exponencial

En cada uno de los siguientes ejemplos vamos a analizar todas las

características de la función y su representación gráfica.

Ejemplo 1.

Construir una tabla de valores, graficar y analizar las características de

la siguiente función exponencial:

𝒇(𝒙) = 𝟑𝒙

Verificamos primero si es o NO es una función exponencial de acuerdo

a la definición antes estudiada.

Si comparamos con la definición 𝑎 = 3 y es mayor que 1, entonces es

un caso 1, entonces la gráfica sería creciente.

Tabla de valores

Los valores de entrada van a ser -3,-2,-1,0,1,2,3 (pueden ser más).

Los valores de salida se calculan con el valor numérico de la función

𝑓(𝑥) = 3𝑥 teniendo en cuenta los valores de entrada. Así,

Para la entrada -3, la salida aprox es 0,04

𝑓(−3) = 3−3

𝑓(−3) =1

33

𝑓(−3) =1

27

𝑓(−3) ≈ 0,04

Para la entrada -2, la salida aprox es 0,11

𝑓(−2) = 3−2

𝑓(−2) =1

32

𝑓(−2) =1

9

𝑓(−2) ≈ 0,11

Para la entrada -1, la salida aprox es 0,33

𝑓(−1) = 3−1

𝑓(−1) =1

31

𝑓(−1) =1

3

𝑓(−1) ≈ 0,33

Para la entrada -0, la salida es 1

𝑓(0) = 30 𝑓(0) = 1

Para la entrada 1, la salida es 3

𝑓(1) = 31 𝑓(1) = 3

Para la entrada 2, la salida es 9

𝑓(2) = 32 𝑓(2) = 9

Para la entrada 3, la salida es 27

𝑓(3) = 33 𝑓(3) = 27

Con estos cálculos construyo tabla de valores:

X -3 -2 -1 0 1 2 3

Y 0,04 0,11 0,33 1 3 9 27

Y finalmente ubico en el plano cartesiano.

Recuerda: en el eje horizontal se ubican los valores de entrada x y en

el eje vertical se ubican los valores de salida y.

CARACTERÍSTICAS De el gráfico se concluye que: Es una función creciente

𝐷𝑜𝑚𝑓 = 𝑅 𝑅𝑎𝑛𝑓 = 𝑅 > 0

pasa por el punto (0,1)

pasa por el punto (1,3)

Ejemplo 2.

Construir una tabla de valores, graficar y analizar las características de la

siguiente función exponencial:

𝒇(𝒙) = (𝟏

𝟒)

𝒙

Verificamos primero si es o NO es una función exponencial de acuerdo a la

definición antes estudiada.

Si comparamos con la definición 𝑎 =1

4= 0,25 y es mayor que 0 y

menor que 1, entonces es un caso 2, entonces la gráfica sería

decreciente.

Tabla de valores

Los valores de entrada van a ser

-3,-2,-1,0,1,2,3 (pueden ser más).

Los valores de salida se calculan

con el valor numérico de la

función

𝑓(𝑥) = (1

4)

𝑥

teniendo en

cuenta los valores de entrada.

Así,

Para la entrada -3, la salida es 64

𝑓(−3) = (1

4)

−3

𝑓(−3) = (4

1)

3

𝑓(−3) = 64

Para la entrada -2, la salida es 16

𝑓(−2) = (1

4)

−2

𝑓(−2) = (4

1)

2

𝑓(−2) = 16

Para la entrada -1, la salida es 4

Para la entrada 0, la salida es 1

𝑓(−1) = (1

4)

−1

𝑓(−1) = (4

1)

1

𝑓(−1) = 4

𝑓(0) = (1

4)

0

𝑓(0) = 1

Para la entrada 1, la salida es ¼ = 0,25

𝑓(1) = (1

4)

1

𝑓(1) =1

4

Para la entrada 2, la salida es aprox. a 0,06

𝑓(2) = (1

4)

2

𝑓(2) =1

16

𝑓(2) ≈ 0,06 Para la entrada 3, la salida es aprox. a 0,02

𝑓(3) = (1

4)

3

𝑓(3) =1

64

𝑓(3) ≈ 0,02

Con estos cálculos construyo la tabla de valores:

X -3 -2 -1 0 1 2 3

Y 64 16 4 1 0,25 0,06 0,02

Y finalmente ubico en el plano cartesiano.

Recuerda: en el eje horizontal se ubican los valores de entrada x y en

el eje vertical se ubican los valores de salida y.

CARACTERÍSTICAS De el gráfico se concluye que: Es una función decreciente

𝐷𝑜𝑚𝑓 = 𝑅 𝑅𝑎𝑛𝑓 = 𝑅 > 0

pasa por el punto (0,1)

pasa por el

punto (1,1

4 )

Traslación de una función exponencial

Traslación sobre el eje y

Si quiero trasladar sobre el eje y una función basta con conocer la tabla de valores de la función

original y sumarle o restarles a los valores de salida el valor de traslación.

𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏 se traslada hacia arriba

𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 − 𝑏 se traslada hacia abajo

Ejemplo 3.

Trasladar 4 unidades hacia abajo a la función de ejemplo 1.

Solución:

La función del ejemplo 1 es 𝒇(𝒙) = 𝟑𝒙

Su tabla es:

X -3 -2 -1 0 1 2 3

Y 0,04 0,11 0,33 1 3 9 27

𝑓(𝑥) = 2𝑥 función original

𝑓(𝑥) = 2𝑥+3 se trasladó 3 unidades

hacia arriba

La voy a trasladar cuatro unidades hacia abajo, entonces mi nueva función sería:

𝒈(𝒙) = 𝟑𝒙 − 𝟒

Y la nueva tabla se valores, a partir de la tabla de la función original se calcula

restando 4 a cada uno de los valores de salida de la función.

X -3 -2 -1 0 1 2 3

Y -3,96 -3,89 -3,67 -3 -1 5 23

CARACTERÍSTICAS Del nuevo gráfico (rojo) se concluye que: Es una función creciente

𝐷𝑜𝑚𝑔 = 𝑅 𝑅𝑎𝑛𝑔 = 𝑅 > −4

pasa por el punto (0, −3)

pasa por el punto (1, −1)

TRASLACIÓN SOBRE EL EJE X

Si quiero trasladar sobre el eje x una función basta con conocer la tabla de valores

de la función original y desplazar hacia la derecha o hacia la izquierda los valores de

salida en dicha tabla. La nueva función se expresaría así:

𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥+𝑐 se traslada hacia la izquierda

𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥−𝑐 se traslada hacia la derecha

Ejemplo 4.

Trasladar 2 unidades hacia la izquierda a la función de ejemplo 1.

Solución:

La función del ejemplo 1 es 𝑓(𝑥) = 3𝑥

Su tabla es:

X -3 -2 -1 0 1 2 3

Y 0,04 0,11 0,33 1 3 9 27

𝑓(𝑥) = 2𝑥 función original

𝑓(𝑥) = 2𝑥−3 se trasladó 3 unidades

hacia la derecha

La voy a trasladar dos unidades hacia la izquierda, entonces mi nueva función sería:

ℎ(𝑥) = 3𝑥+2

Y la nueva tabla se valores, a partir de la tabla de la función original se calcula

DESPLAZANDO DOS UNIDADES HACIA LA IZQUIERDA cada uno de los valores de

salida de la función.

X -3 -2 -1 0 1 2 3

Y 0,33 1 3 9 27 81 243

CARACTERÍSTICAS Del nuevo gráfico (rojo) se concluye que: Es una función creciente

𝐷𝑜𝑚𝑔 = 𝑅 𝑅𝑎𝑛𝑔 = 𝑅 > 0

pasa por el punto (0,9)

pasa por el punto (1, −2)

Nota 4: Actividad y recuerde: Deberán enviar solamente las actividades

desarrolladas así: Toman las fotos de forma VERTICAL, DEBEN ESTAR ORDENADAS (si tienen

computador pegan todas las fotos en un archivo y lo guardan como pdf, si lo hacen por celular

van subiendo cada una en el orden en que están: Actividad 1, actividad2…etc.) NO ENVIAR foto

de apuntes. Obligatorio, escribir su nombre y curso en cada hoja que envían.

Enviar por classroom. Fecha máxima de envío: 20 agosto 2021 1. Toma la función del ejemplo 2:

𝒇(𝒙) = (𝟏

𝟒)

𝒙

con su tabla y realiza:

a. Traslada la función 3 unidades hacia arriba, escribiendo la nueva función obtenida y la nueva gráfica. b. Traslada la función 1 unidad hacia la derecha, escribiendo la nueva función obtenida y la nueva gráfica. c. Traslada la función 2 unidades hacia abajo, escribiendo la nueva función obtenida y la nueva gráfica.

2. Construir tablas de valores para las

siguientes funciones exponenciales.

Graficarlas en un solo plano cartesiano usando

diferentes colores.

Escribir para cada función sus principales

características.

Contesta las preguntas:

𝑓(𝑥) = 2𝑥 color azul

𝑔(𝑥) = 3𝑥 color rojo

ℎ(𝑥) = 4𝑥 color verde

𝑗(𝑥) = 5𝑥 color morado

Preguntas:

Se tienen cuatro bacterias peligrosas y diferentes.

Se ha descubierto que su crecimiento poblacional,

siendo x el número que horas que transcurren, se

puede calcular según las siguientes funciones.

La población de la Bacteria A crece según la

función f

La población de la Bacteria B crece según la

función g

La población de la Bacteria C crece según la

función h

La población de la Bacteria D crece según la

función j

a. Al cabo de 3 horas ¿Cuál de las bacterias tiene

mayor población?

b. Al cabo de 3 horas ¿Cuál de las bacterias tiene

menor población?

c. ¿Cuál de las bacterias es la menos peligrosa

según su población?

d. ¿Cuál de las bacterias es la más peligrosa

según su población?

e. ¿Cuál es la población de la bacteria más

peligrosa después de 10 horas?

f. ¿Cuál es la población de la bacteria menos

peligrosa después de 10 horas?

3. La ganancia G, en millones de pesos, que

produce una empresa administrada por 4

hermanos, después de x años, se puede

calcular con la expresión:

𝐺(𝑥) = 50 (1

2)

𝑥

+ 12 x = años

de trabajo de la empresa

a. Después de 5 años ¿Cuánto gana cada

uno?

b. Realiza la gráfica de la función.

HAS TERMINADO! Buen trabajo.

Links recomendados:

Si tienes internet en casa, puedes repasar estos temas ingresando a

las siguientes direcciones:

https://www.youtube.com/watch?v=gxzigePy5r8 : Factorización de trinomios de la forma 𝑎𝑥2𝑛 + 𝑏𝑥𝑛 + 𝑐

https://www.youtube.com/watch?v=1dvGz8vQCeU: Factorización de trinomios cuadrados perfectos

https://www.youtube.com/watch?v=UNEfUX8oNsE: Factorización de trinomios de la forma 𝑥2𝑛 + 𝑏𝑥𝑛 + 𝑐

https://www.youtube.com/watch?v=jaYJsISmUCw: Ecuación cuadrática por fórmula

https://www.youtube.com/watch?v=PTJx4W-lQbE Ecuación cuadrática por factorización.

RECUERDEN FECHAS IMPORTANTES: ACTIVIDAD FECHA

Nota 1 Exámen No. 1 en google forms temática abordada 23 Julio 2021

Nota 2 Taller Función cuadrática 2 agosto 2021

Nota 3 Exámen No. 2 en google forms temática abordada 13 agosto 2021

Nota 4 Taller función exponencial 20 Agosto 2021

Nota 5 Exámen No. 3 en google forms temática abordada 31 agosto 2021

Apoyo Exámen No. 4 en google 6 septiembre 2021

Cuídense mucho y ayuden a cuidar a sus familiares

¡¡ÉXITOS!!

Enlace para asesoría virtual : https://meet.google.com/apo-suae-ncy

Horarios: por definir