Робота в системі Mathcad1. Призначення програми, знайомство з робочою областю2. Введення математичних і текстових виразів3. Матричні операції4. Табулювання функцій

5. Побудова графіків функцій6. Методи рішення алгебраїчних рівнянь і систем

Mathcad - універсальна система, призначена для автоматизації математичних, інженерно-технічних і наукових розрахунків .

Mathcad дозволяє вирішувати такі завдання:

введення на комп'ютері математичних виразів (для подальших розрахунків, для створення документів, презентацій, Web-сторінок, електронних і звичайних «паперових» книг);

проведення математичних розрахунків (аналітичних та чисельних);

підготовка графіків (двовимірних, тривимірних) з результатами розрахунків;

введення початкових даних і виведення результатів у текстові файли або файли з базами даних в інших форматах;

підготовка звітів роботи у вигляді друкованих документів;

підготовка Web-сторінок і публікація результатів в Інтернеті;

отримання довідкової інформації.

Mathcad 1.0—5.xxMathcad 6

Mathcad 7Mathcad 8

Mathcad 2000 (версія 9)Mathcad 2001 (версія 10)

Mathcad 2001iMathcad 11—11.2a

Mathcad 12Mathcad 13—13.1

Mathcad 14Mathcad 15Mathcad Prime 1.0-3.0

Mathcad 1.0—5.xxВерсії Mathcad з 1.0 по 4.хх працювали в операційній системі DOS, мали невеликий розмір виконуваних файлів (до 1 МБ) і незначні системні вимоги (оперативна пам'ять до 1 МБ, IBM-сумісний комп'ютер). Виконували операції як з елементарними

математичними функціями, так і спеціальними (статистичними, булевими, комплексними тощо). Існувала можливість використання розмірностей у розрахунках і побудови 2D-графіки.Можливості програмування обмежувались функціями if і until, що дозволяли реалізовувати лише дві основні алгоритмічні конструкції — вибір і повторення. Версії з 5-ї і вище вже працювали на платформі Windows. Починаючи з п'ятої версії Mathcad користувачам була представлена можливість оголошення в середовищі Mathcad нових вбудованих функцій. Їх потрібно було написати на мові С, відкомпілювати 32-розрядним транслятором і прикріпити до Mathcad через механізм DLL.В п'ятій версії також з'явились інструменти розв'язання звичайних диференціальних рівнянь (ЗДР) і їх систем.

Mathcad 6Версії Mathcad 6.0 і PLUS 6.0 були розраховані на роботу з ОС Windows 95 і були повноцінними 32-розрядними додатками. Інтерфейс системи було поліпшено, підвищена швидкість виконання операцій, введені численні нові графічні можливості, нові функції і нові можливості програмування.

Mathcad 7У версії Mathcad 7.0 PRO були такі удосконалення й нововведення:

інтерфейс, перероблений і наближений до інтерфейсу текстового процесора Word 95/97;

виділення частин математичних виразів мишею; швидка побудова графіків в декартових і полярних координатах з автоматичною

установкою меж зміни незалежних змінних; нова палітра символьної математики з розширеними операторами; зручніший і наочніший синтаксис символьних операцій; можливість обробки помилок в ході обчислень; нові інструкції on

error, continue, return; застосування в програмах операторів символьних операцій; новий тип рядкових даних, констант і змінних; вісім нових функцій для роботи з рядковими даними; задання розмірних величин в системі СІ; можливість підготовки складних документів різними користувачами, що

працюють в різних місцях, за допомогою Collaboratory; можливість обміну документами через Інтернет.

Mathcad 8

Версія Mathcad 8.0 PRO надала ще цілий ряд корисних можливостей: близько 50 нових математичних функцій (елементарних, спеціальних статистичних

та ін.); нові функції оптимізації maximize і minimize; розв'язання задач лінійного

програмування; нові функції контролю типу даних; поліпшений блок розв'язання систем нелінійних рівнянь — знято обмеження на

повне число рівнянь (раніше було не більше 50), тепер їх число досягло 200; введення набору методів чисельного інтегрування з можливістю вибору конкретного

методу через контекстне меню; можливість проведення бінарних обчислень; ефективні засобизгладжування даних; поліпшені засоби введення і форматування тексту; команди редагування Find (знайти) і Replace (знайти і замінити); нова можливість блокування і приховування областей; поліпшене виведення таблиць; можливість запису документів у форматі HTML; можливість запису документів у форматі попередніх версій; підтримка нової графіки Open GL і Active X;

застосування майстрів для створення складних тривимірних графіків; істотно поліпшені засоби форматування графіків

Mathcad 2000 (версія 9)Версія Mathcad 2000 додала до існуючих можливостей ще ряд нових і істотних відмінностей: поліпшений інтерфейс системи, зокрема інтеграція з Інтернетом перенесена в центр

ресурсів; введений ряд нових функцій для фінансово-економічних розрахунків,

створення матриць тривимірних поверхонь, чисельного розв'язання диференціальних рівнянь у складі блоку Given, контролю типу розмірних змінних та ін.;

введений набір функцій для виконання регресії — експоненціальної, логарифмічної, синусоїдальної та ін.;

введений набір логічних операторів; розширені можливості функції root — тепер вона може шукатикорінь не тільки по

заданому наближенню (функція з двома параметрами), але й у заданому інтервалі (функція з чотирма параметрами);

введена прискорена і спрощена побудова тривимірних графіків

Mathcad 2001 (версія 10)У версії Mathcad 2001 ще більше зросла продуктивність обчислень і розширені можливості. Впроваджено підтримку Windows 2000. Створено чотири модифікації з урахуванням специфіки використання.Основні нововведення: істотно розширена сумісність з іншими популярними додатками; обробка одиниць вимірювання в реальному часі; обмеження рекурсивного спуску в

процесі обчислень (виграш в швидкості до 5-20 разів у порівнянні з попередніми версіями);

оптимізовані обчислення, особливо для ітерацій, підсумовування, інтегрування і диференціювання;

нові логічні алгоритми, засновані на залежностях від областей зміни змінних і велика узгодженість між аналітичними і чисельними розрахунками;

поліпшене управління пам'яттю і обробка об'єктів робочого документа, що видаляються

Mathcad 2001i («інтерактивний»)Mathcad 2001i отримав повну підтримку Windows XP, розширені можливості збору даних від зовнішніх пристроїв, підвищену захищеність Mathcad-документів введенням

сучасної криптографії, спрощену публікацію в Інтернет, розширене число алгоритмів розв'язання задач і набір опцій користувацьких налаштувань.Основні нововведення:

включення сучасних методів криптографії файлів для захисту змісту документів до того моменту, поки вони не надійдуть в руки адресатів;

при розповсюдженні документів додано можливість заблокувати всі області Mathcad з конструкціями і обчисленнями, тобто поширювати результати не відкриваючи суті ідей;

надав можливість користувачам задавати нові опції секретності для захисту від внесення до документів кодів, небезпечних для призначених для користувача комп'ютерних систем.

Mathcad 11—11.2aПри створенні Mathcad 11 основна увага була звернена на збільшення швидкості і потужності роботи системи. Мета полягала в тому, щоб поліпшити ядро Mathcad, розширити і поліпшити зручності роботи з Mathcad.Основні нововведення:

Розширені компоненти вводу-виводу для імпорту і експорту даних у вигляді рядків і стовпчиків, а також можливості читання-запису змішаних текстово-числових файлів;

забезпечена глибша інтеграція з Microsoft Excel; використовуючи прості команди copy/paste, можна створювати і відображати змішані

дані безпосередньо у формі матриць і таблиць; забезпечена нова підтримка читання/запису для рівномірних, довільних і

однорідних файлів двійкового формату (READBIN і WRITEBIN), що дає користувачам більшу гнучкість в операціях імпорту-експорту даних, ніж їх перетворення в ASCII-коди;

забезпечена нова підтримка для проходження рядкових даних через UserEFI-інтерфейс (функції, визначені користувачем; DLL).

забезпечена нова підтримка для комплексних аргументів функцій floor, ceil, round і trunc;

додані комплексні функції Бесселя і Ганкеля; розширені можливості функції genfit, яка забезпечує апроксимацію кривих

нелінійними функціями загального вигляду; введена нова sinc функція для обчислення точних значень sin(x)/x в границі при х, що прямує до 0;

поліпшений формат тексту RTF дозволяє вставляти фрагменти з документу Mathcad в такі прикладні додатки як Microsoft Word без додаткового переформатування;

поліпшена підтримка протоколу HTTP, яка дозволяє відкривати віддалені файли Mathcad, розміщені на Web-сервері, за допомогою команди File Open;

поліпшений HTML-подібний формат для вставки в Internet сторінок з колонтитулами, посиланнями і картинками;

забезпечена можливість зберігати документи як Інтернет-сторінки.Mathcad 12Нова версія пакету отримала досконаліше математичне ядро, а також додаткові опції, що дозволяють зберігати і публікувати документи Mathcad в різних форматах.Основні нововведення:

Можливість трасування обчислень: проміжні дані можуть бути виведені як для всього документа в цілому, так і для його окремих областей, що дозволяє ефективно контролювати виконання початкових кодів Mathcad.

Додаткові можливості публікації результатів обчислень завдяки новому формату даних XML: XSL-HTML-конвертер дозволяє генерувати веб-сторінки кращої якості;

опція XSL:FO дозволяє зберігати дані у форматі PDF.Mathcad 13—13.1Основні нововведення:

Потужні засоби відладки програм, включаючи можливість вставки міток і покрокового виконання програмних циклів;

нова функція автозбереження дозволяє виключити можливість втрати виконаної інженерами роботи;

новий покажчик математичних помилок дозволяє усувати помилки, які без нього могли б бути пропущені;

підтримка нелінійних одиниць вимірювання, таких, як Фаренгейт, Цельсій і децибел; можливість створення власних одиниць вимірювання за допомогою простого меню;

підвищена продуктивність обчислень в порівнянні з попередніми версіями.Mathcad 14Базові величини, розраховані в системі Mathcad 14, можуть бути переведені в параметри і розміри CAD-моделі для управління геометричним об'єктом. Параметри з моделі Pro/ENGINEER також можна ввести в Mathcad для наступних інженерно-конструкторських розрахунків.Суттєві зміни торкнулись також математичного ядра системи, яке тепер використовує символьну систему MuPAD. Це дозволило підвищити точність символьних обчислень та їх деталізацію, але є й негативні наслідки, пов'язані, з сумісністю символьних алгоритмів з попередніми версіями (обчислення, які працюють у попередніх версіях, можуть не виконуватись у новій і навпаки).Основні нововведення:

інтернаціоналізація: введено повну підтримку шрифтів Unicode та азіатських локалізацій операційних систем. Інтерфейс перекладено дев'ятьма мовами (англійська, французька, німецька, італійська, іспанська, японська, корейська, спрощена і традиційна китайська), підтримується перевірка орфографії 15-ма мовами.

2D-графіки: додано можливість вибору формату відображення чисел на шкалах координатних осей. При використанні полярної системи координат є можливість застосування негативних значень функції на радіусі.

Mathcad 15В актуальній версії Mathcad — 15.0 — суттєвих змін немає. Традиційно Mathcad підтримує роботу САПР Pro/Engineer, а також Windchill ProductPoint.Основні нові можливості:

додано 25 функцій для розрахунків з планування експериментів (design of experiments (DoE));

інтеграція з базою даних KnovelMath (інженерні і технічні стандарти); інтеграція з програмним забезпеченням Kornucopia (дозволяє застосовувати

шаблони процесів для оцінки даних натурних експериментів і результатів розрахунків);

інтеграція з базою даних Truenumbers (Truenumbers от True Engineering Technology), що надає доступ до різноманітних довідкових матеріалів і даних (результати з Mathcad просто передаються в різноманітні формати документів, що полегшує передачу даних у ланцюгу розробників);

підтримка операційної системи Microsoft Windows 7; підтримка Microsoft Excel 2007.Mathcad Prime 1.0-3.0

Mathcad Prime 3.0 є останнім релізом компанії PTC у програмному забезпеченні для інженерних розрахунків. Prime 3.0 увібрав все краще з свого попередника - Mathcad Prime 2.0, а також має багато нововведеннь та покращеннь. Основні нововведення Mathcad Prime:

математика в тексті - можливість введення формул безпосередньо в тексті документу.

шаблони документів форматування як формул, так і тексту. покращений розрахунковий модуль, та символьні обчислення розширені можливості роботи з 3-D графіками. покращений інтерфейс користувача, виконаний у вигляді стрічок («Ribbon»)

останніх версій MS Office.

робочий документ представлено у вигляді аркушів, як у текстових редакторах. повний пакет додаткових функцій чисельної математики (пакет для планування

експериментів включно). динамічна перевірка розмірних величин доступна у всіх розрахунках, створених у

Mathcad Prime 1.0, серед іншого — у векторах і матрицях.Mathcad Prime не сумісний із попередніми версіями. Для відкриття файлів, створених у попередніх версіях, передбачено автоматичний конвертер, який потребує встановлення одночасно з Mathcad Prime версії Mathcad 15, яка поставляється в комплекті. 100-відсоткова конвертація файлів не гарантується, оскільки Mathcad Prime поки що не відтворює повний функціонал Mathcad 15.

КомплектаціїВерсії Mathcad можуть відрізнятися комплектацією і ліцензією користувача. В різні часи поставлялись версії Mathcad Professional, Mathcad Premium,Mathcad Enterprise Edition (відрізняються комплектацією). Для академічних користувачів призначена версія Mathcad Academic Professor (має повну функціональність, але відрізняється ліцензією користувача і має в декілька разів нижчу вартість).Для студентів і співробітників навчальних закладів пропонується «студентська» версія, із суттєвими знижками.

Технологія MASПодальший розвиток технологія Mathcad отримала при створенні Mathcad Application Server (MAS). Суть технології MAS — в реалізації віддаленого доступудо програмного забезпечення Mathcad, або вже готових Mathcad-документів через веб-інтерфейс (технологія Web Calc).Користувач MAS не має потреби купувати Mathcad, скачувати і запускати exe-файли (але це не виключається і визначається рівнем доступу).

ІНТЕРФЕЙС ПРОГРАМИ

Главное меню в математическом пакете Mathcad состоит из девяти пунктов, в каждом из которых объединены функционально однородные команды:

Файл (File). Пункты данного меню отражают общие действия по работе с документами, такие как создание, открытие, сохранение и печать документов с результатами расчетов.

Правка (Edit). В данном меню в Mathcad сосредоточены общие команды по редактированию документа или его фрагментов, такие как: вырезать; копировать; вставить; проверить орфографию; отменить ранее выполненное действие; найти заданный фрагмент и, если необходимо, заменить его на другой.

Вид (View). Определяет вид интерфейса пользователя, то есть перечень и порядок расположения различных элементов, отображаемых на экране дисплея при работе в Mathcad. Данное меню управляет масштабом, отображением линеек, строкой состояния, набором активных панелей инструментов.

Вставка (Insert). Позволяет ввести в документ различные элементы: матрицы; графики; функции; рисунки и компоненты других программных приложений, например, Excel, MatLab.

Формат (Format). Задает формат стиля, шрифта текста, абзаца. Позволяет установить вид формул и формат отображения результатов расчета. - Математика (Math). Содержит команды, обеспечивающие проведение расчетов и задание опций, определяющих их точность.

Символика (Symbolics). Включает команды выполнения различных символьных расчетов. - Окно (Window). Команды данного меню активизируют различные документы и определяют режимы их отображения на экране дисплея.

Помощь (Help). Команды данного меню позволяют получить инструкции по работе с математической системой Mathcad, а также вызвать “Центр ресурсов”, содержащий многочисленные примеры решения задач.

Запуск Mathcad: Пуск→Программы→MathSoft Apps→MathCad Proffesional..

Палитра «Арифметика» для ввода чисел и математических операций.Палитра «Графики» для построения графиков и поверхностей.Палитра «Матрицы» для ввода матриц и векторов и выполнения действий над ними.Палитра «Вычисления» для ввода знаков равенства и специальных символов.Палитра «Матанализ» для вычисления сумм и произведений рядов, дифференциалов и интегралов.Палитра «Булево» для ввода логических операций.

Палитра «Программирование» для записи программ.Палитра «Греческий алфавит» для ввода символов греческого алфавита.Палитра «Символы» для ввода специальных символов.

Ввод математических и текстовых выражений

Ввод выражения начинается с позиции курсора и заканчивается нажатием клавиши Enter или щелчком мыши вне определения.

Рабочее поле документа Mathcad может состоять из двух видов областей:математическая область используется для ввода числовых данных и выполнения

расчетов, выделяется синим уголком – математическим курсором. По умолчанию все рабочее поле является математической областью;

текстовая область используется для ввода текстовых комментариев, выделяется красным прямым курсором – текстовым курсором. "Вставка" (Insert)→"Текстовая область" (Text Region).

Имена переменных чувствительны к регистру. Вначале вводится имя переменной, затем символ ":" (или знак =), затем число или

выражение. В качестве разделителя целой и дробной части числа используется точка.

Внимание! := это оператор присваивания, = это команда "Вычислить". Правило видимости: значение переменной доступно правее и ниже её

определения.

Приклад 1:

Вычислите выражение

1

20.707

.Для набора выражения последовательно введите числа и операторы: 1/ 2=. Знак квадратного корня можно найти, раскрыв арифметическую палитру .В конце выражения необходимо поставить знак равенства "=".

Маємо:

1

20.707

.Приклад 2:

Присвойте значения переменным:a 1 b 2.35 p x 1 .Вначале вводится имя переменной, затем символ ":" (или знак =), затем число или

выражение. Математические функции можно вводить, используя арифметическую палитру или

кнопку "Вставить функцию" . ФОРМАТ → РЕЗУЛЬТАТ

.Ведення розмірностей

При работе с размерными величинами мы можем вводить размерности вручную после знака умножения или же выбрать из списка по команде Insert\Unit (Ctrl U) или

кнопкой .

Базовыми единицами системы SI являются: m - метр (1L), kg - килограмм (1M), s - секунда (1T), K - Кельвин (единица температуры 1K), A - ампер (единица силы тока 1A), cd - Кандела (единица силы света 1C), и mole - моль (количество вещества 1S).

Если щелкнуть мышкой по любому выражению Mathcad, справа появляется маркер для ввода размерностей. Таким образом, можно вводить размерности, или преобразовывать значение из одних единиц в другие, например:

l 1 ft l 0.305m

l 1mi l 1.609 103 m l 5.28 103 ftЗдесь мы преобразовали футы в метры, а мили в метры и футы.

Работа с матрицами.

Матричные операции

Используем палитру векторов и матриц .

A

1

0

1

2

7

2

0

1

5

B

1

2

3

С матрицами можно проделать все допустимые операции: вычислить обратную матрицу, перемножить матрицы, сложить и вычесть. Можно также транспонировать матрицу , произвести выборку элементов.

A 10.949

0.026

0.179

0.256

0.128

0.103

0.051

0.026

0.179

AT1

2

0

0

7

1

1

2

5

BT 1 2 3( )

Можно решить систему уравнений матричным способом: X A 1 B

X

0.282

0.359

0.513

Доступ к элементу матрицы прозводится по индексу, отсчитываему от 0. Индексы, вводятся при помощи символа левой квадратной скобки - [.

Приклад:

X 0 0.282 X 1 0.359 X 2 0.513

Вводится X[0= X[1= X[2=.

Двумерный массив:Вводим A[0,0= A[0,2= A[2,2= A[2,0=. Индексы разделяются запятыми.

Можно выбрать один столбец двумерного массива, :

A 0 1

0

1

Операция векторизации производит поэлементные вычисления над матрицами

(вводится комбинацией клавиш Ctrl - или кнопкой палитры Vector and Matrix ). При её использовании операции производятся над каждым элементом вектора независимо.

Приклад:

1

1

1

2

0

1

2

0

1

Приклад:

a

1

2

3

b

1

1

4

c

1

1

2

Корни квадратного уравнения для трёх наборов исходных данных:

b b2 4 a c2 a

0.618

1

0.387

b b2 4 a c2 a

1.618

0.5

1.721

Табулирование функций.

Построить таблицу значений функции можно двумя способами.

Способ через интервал.1) Задать интервал изменения аргумента в формате:

x:=начальное значение [,начальное значение+шаг]..конечное значениеВ скобках указан необязательный параметр, если его нет, шаг, по умолчанию,

равен 1.

2) Определить функцию от этого аргумента, например f x( ) x sin 2 x( )2 . После имени функции обязательно в скобках вводится имя аргумента!

Способ через индекс.

1) Определить изменение целого индекса (номера аргумента в массиве денных)

i :=0 . .n , где

n=( конечное значение х−начальное значение хшаг )

n – заокруглюється до меншого цілого значення. 2) Аргумент и функция задается в виде вектор-столбца, например:

x i: = початкове значення x + крок • і

y i :=(x i )2 .5−2 .

Например: Необходимо определить функцию x⋅(sin (2x ))2 в интервале изменения

аргумента x∈[−0 .1 , π

2 ] с шагом 0,1.

Способ 1.

1)Задаем аргумент в следующем виде:

x :=−0 .1 ,−0 .1+0 .1 .. π2

. Двоеточие ".." вводится символом точка с запятой ";" или кнопкой арифметической

палитры .

2) Визначаємо функцію f x( ) x sin 2 x( )2

Чтобы вывести таблицу значений функции, введите ее имя f(x) и знак «=».

Внимание! При задании функции к ее имени добавляется и аргумент в скобках, иначе MathCad не поймет, что задана функция от нескольких значений аргумента.

Способ 2.1) Задаем изменение индекса i :=0 . .16 (в Mathcad индекс массива

отсчитывается от 0). Начальный индекс определяется системной переменной ORIGIN=0.

2) Далее определяем аргумент через индекс: x[i , отримаємо:

x і :=−0.1+0 .1⋅i

3) Визначаємо функцію yi xi sin 2 xi 2

Чтобы вывести таблицу значений функции, введите ее имя f(x) и знак «=».

Доступ к элементам массива происходит по индексу, например:y0 0 y1 3.947 10 3 y2 0.03

Выбор способа построения функции, вообще говоря, не столь важен, однако при вычислении значения функции как элемента массива упрощается процедура обращения к его отдельным значениям.

Задания функции от двух агрументов способом через индекс

Задана функция f x y( ) x2 y2 при x , y∈ [−5,5 ] с шагом 1. Тогда в Mathcad эта функция будет задаваться следующим образом:

1) Задаємо агументи:

i 0 10 xi 5 i

j 0 10 y j 5 j

2) Задаємо функцію: f x y( ) x2 y2

3) Визначаємо двумерную матрицу: M i j f xi y j

, которая содержит значения

функции.

Задання кусково непреривної функції

Задати функцію:

крок = 0,1

1) аргумент определяется также, как и в способе через интервал;2)

для кусочного задания функции после знака присваивания нужно

пользоваться специальной функцией - if(cond,x,y) (команда Вставка –

Функция, категория Кусочно-непрерывные).

if(cond,x,y)

cond – условие, x – значение, когда условие выполняется, y – значение, когда

условие не выполняется.

Приклад:

1) задаємо аргумент:x :=−2 ,−2+0 .1 .. 22) задаємо функцію:

1

2

3

4

9

5 6

7

8

g( x ) :=if (x≤0 , 3+x2

√1+ x4,if (x≥1 ,cos (π⋅x+0.2) ,2x+sin

2 (x )2+x ))

.

Построение графиков функций.

Для построения графиков використовується панель інструментів Математична

та графическая палитра :

№ Пиктограмма Горячие клавиши

Название и назначение

1. Shift+2 Х-У график – построение графиков функций от одной

переменной, заданных в декартовых координатах.

2. Ctrl+7 Полярные координаты – построение графиков функций от одной переменной, заданных в полярных координатах.

3. Ctrl+2 Поверхности – построение поверхности по функции от двух переменных, заданной в декартовых координатах.

4. 3D Диаграммы – построение столбчатой диаграммы

5. 3D Точечный – построение точечного графика функции от двух переменных, заданной в декартовых координатах.

6. Поле Векторов – построение поля векторов.

7. Ctrl+5 Контурный – построение линий равного уровня.

8. Трассировка – определение координат точки на графике.

9. Масштабирование – масштабирование графика.

Построение графика функции одной переменной в декартовых координатах

Используется Х-У график.

Функция задана способом через интервал

ВВОДИМО АРГУМЕНТВВОДИМО

ФУНКЦІЮ

Функция задана способом через индекс

ВВОДИМО АРГУМЕНТИ З ІНДЕКСАМИ

ВВОДИМО ІМ’Я МАТРИЦІ З ІНДЕКСАМИ

Одновременно можно построить до 16 кривых с общим аргументом, указывая функции через запятую. Можно и аргументы указывать через запятую.

Двойной щелчок мышкой по графику вызывает меню настройки, где можно изменить многие его характеристики.

На одном поле графика можно построить до 16 кривых. Чтобы добавить на существующий график еще один график, нужно выделить

математическим курсором имя уже построенной функции и нажать запятую. В

результате появится еще один маркер ввода, в который записывается имя добавляемой функции. Если добавляемая функция зависит от аргумента, отличающегося от аргумента уже построенной функции, имя аргумента добавляемой функции нужно добавить в поле аргументов также через запятую .

Методы решения алгебраических уравнений и систем.

Система MathCad позволяет решать линейные, нелиненые уравнения и системы уравнений как аналитически, так и численно и графически.

В ходе занятия нам понадобятся следующие палитры: Арифметика, Матрицы, Булево, Вычисления и Символические операторы.

Решение уравнений с одним неизвестным в аналитической форме.

Существует два способа аналитического решения уравнений с одним неизвестным:1) с помощью пункта главного меню Символы;2) с помощью команды solve палитры Символы.

В первом способе для аналитического решения уравнения необходимо выполнить следующие действия:

1. Записать уравнение в документе MathCad так, чтобы правая часть была равна нулю.

2. Выделить математическим курсором искомую переменную.3. Выполнить команду Символы – Переменные – Вычислить (Symbolics –

Variable - Solve).

В результате производится поиск такого значения переменой, при котором исходное выражение становится равным нулю. На рис. 2 представлен пример решения квадратного уравнения.

Или если коэффициенты в уравнении известны, то результат будет числом.

Для того, чтобы решение было записано справа от выражения, необходимо установить флажок в меню Символы – Стиль решения - Горизонтально (Symbolics\Evaluation Style\Horizontally).

Второй способ решения уравнений можно осуществить, воспользовавшись панелью

символьных вычислений , на которой необходимо выбрать кнопку .

После чего появится на экране сообщение .Введите в помеченной позиции слева от ключевого слова solve выражение для

правой части уравнения, а в позиции справа от solve – имя переменной, относительно которой нужно решить уравнение, и щелкните по свободному месту в рабочем документе. Результат (значение корня уравнения) будет отображен в рабочем документе справа от стрелки (рис. 4).

При использовании оператора solve, переменные не должны быть определены

заранее, так попытка раскрытия квадратного уравнения a x2 b x c solve x a x2 b x c solve x приведёт к ошибке однако, этот же квадратный трёхчлен с переменной z раскрывается вполне удовлетворительно:

a z2 b z c solve z

12 a

b b2 4 a c 12

12 a

b b2 4 a c 12

Численное решение уравнений с одним неизвестным.

Многие нелинейные уравнения, например трансцендентные, и системы из них не имеют аналитических решений и решаются графическими или численными методами.

Функция root(выражение, имя переменной) ищет значение переменной, при которой выражение становится равным нулю. Поиск корня осуществляется итерационными методами, причем перед этим надо задать начальное значение х.

Например, необходимо найти корень трансцендентного уравнения x cos x( ). Зададим начальное значение x 1 , решение дается функцией

root x cos x( ) x( ) 0.74 .Количество значащих цифры после десятичной точки: меню Format\Number в

пункте Displayed Precision.

Или например, найдем сначала графическое решение уравнения, а затем воспользуемся функцией root.

Для задания начального значения, чтобы избежать тривиальных ошибок, можно построить график исследуемой функции. Задайте в рабочем документе функцию F(x) и постройте ее график в декартовых координатах. Чтобы найти графически корни уравнения – абсциссы точек пересечения графика функции с осью ординат, щелкните по полю графика правой кнопкой мыши. В появившемся контекстном меню выберите пункт Трассировка и установите (стрелками клавиатуры или мышью) маркер (перекрещивающиеся пунктирные линии) в точке пересечения графика функции с осью абсцисс. В окне диалога отображаются координаты маркера: значение координаты х при равенстве координаты y нулю или малой величине и есть искомое приближенное значение корня.

Решение нелинейных уравнений и их систем.Если необходимо найти решения уравнения с несколькими переменными или

системы уравнений, задается блок уравнений. Он имеет следующую структуру:- Given – служебное слово, отмечающее начало блока;- уравнения;- ограничительные условия;- выражения с функциями Find и Minerr;- проверка решения (если необходима).

В данном случае используются следующие функции:а) Find(х1,х2,…,хn) – возвращает значение одной переменной или значения вектора

переменных Х, отвечающее точному решению.б) Minerr(х1,х2,…,хn) – возвращает значение одной переменной или значения

вектора переменных Х, отвечающее приближенному решению с минимальной среднеквадратической погрешностью.

Ограничительные условия служат для ограничения области решения с помощью функции Find или минимизации среднеквадратической погрешности с помощью функции Minerr. Они задаются следующими конструкциями: > (больше), < (меньше), ³ (больше или равно), £ (меньше или равно).

Наиболее часто поиск корней систем нелинейных уравнений осуществляется при помощи блока Given .........Find(...).

Например, необходимо решить систему уравненийx3 sin y( ) 25y2 cos x( ) 27

Тогда в MathCad система решается следующим образом:

x 1 y 1Given

x3 sin y( ) 25y2 cos x( ) 27

Внимание! В блоке решения системы уравний необходимо вводить знак равно с помощью комбинации Ctrl + = или с помощью кнопки = палитры Булево.

x

y

Find x y( )

x 2.96 y 5.101

Здесь могут решаться уже системы уравнений с несколькими неизвестными, однако, как и в предыдущем случае, необходимо задание начальной точки, от которой будет происходить поиск решения. Решение ищется методом итераций и при наличии нескольких корней, очевидно, будет найдено лишь ближайшее решение, если оно существует.

Пример: Решение системы уравнений .

Таким же образом можно решать и системы линейных уравнений, однако приходится задавать начальную итерацию, потому системы линейных уравнений лучше решать матричным методом.

Аналогично решаются и более сложные уравнения или их системы.

Решение систем линейных уравнений.

1. Для решения систем линейных уравнений можно использовать и встроенную функцию lsolve(...).

Пусть задана система линейных уравнений:2 x 3 y 1x 5y 0

В MathCad сначала записывается матрица коэффициентов и вектор правых часте имеют вид:

A21

35

B10

.

Затем записывается функция:

lsolve A B( )0.3850.077

2. Матричный способ. Система может быть представлена как A*X=B. Ищем ее решение матричным

способом:

X A 1 B

X0.3850.077

3. Решение систем линейных уравнений можно получать также при помощи блока Given ... Find(...).

x 0 y 0Given2 x 3 y 1x 5y 0

X Find x y( )

X0.3850.077

Пример: решение системы линейных уравнений

Знаходження коренів многочлена

При нахождении корней полинома степени n используют функцию polyroots(v), где v – вектор длины n+1, содержащей коэффициенты полинома.

Функция polyroots(v) возвращает сразу все корни полинома как вещественные, так и комплексные. Предварительно коэффициенты полинома должны быть представлены в в виде вектора.

Решение уравнений в символьном виде.

Некоторые уравнения Mathcad может решить в символьном виде. Для этого существуют три возможности:

1) использование меню Символы (Symbolics), 2) использование оператора solve, x 3) использование блока Given .... Find(...). Пример, решить систему линейных уравнений.

Givenu 2 v a4 u v b

Find u v( )

2 b a 1 8 4 a b 1 8

В данном случае, нам пришлось вводить неиспользованные до сих пор переменные u v, поскольку переменные x y уже определены. Обойти эти трудности можно довольно просто, если решить уравнение на новом рабочем листе.

Пример, решение полинома третьего порядка.a 1 b 1 c 1 d 1

a z3 b z2 c z d solve z

1ii

.

Методы решения дифференциальных уравнений и систем.

Обыкновенным дифференциальным уравнением порядка n называется уравнение , которое связывает независимую переменную x, искомую функцию y=y(x) и ее производные.

Системой обыкновенных дифференциальных уравнений называется система

уравнений которая связывает

независимую переменную x, искомые функции и их производные.

Все функции MathCad предназначены для численного решения задачи Коши нормальных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Задача Коши для уравнений сводится к решению задачи для системы.

Численное решение этой задачи состоит в построении таблицы приближенных значений yi,1, yi,2,…, yi,n, i=1,2,…,N, решения y1(x), y2(x),…, yn(x) на отрезке [x0, xN] в точках x0,x1,…,xN, которые называются узлами сетки.

ОбозначивY(x)=(y1(x),y2(x),…,yn(x)),Y0=(y0,1;…;y0,n),Y′=(y′1(x),y′2(x),…,y′n(x)),F(x,Y)=(f1(x,y1,…,yn), f2(x,y1,…,yn),…, fn(x,y1,…,yn)),

где Y- искомое решение; Y0 – вектор начальных условий; F(x,Y) – вектор правых частей, запишем систему дифференциальных уравнений в векторной форме:

Y′=F(x,Y), Y(x0)=Y0.

Численное решение дифференциальных уравнений.

Рассмотрим дифференциальные уравнения 1-го порядка. Пусть задано дифференциальное уравнение

xyd

d

yx

x2

при начальном условии y 1( ) 0.Численное решение осуществляется при помощи встроенной функции rkfixed(y,x1,x2,n,D), которая использует метод Рунге-Кутта 4-го порядка. Здесь: y - вектор начальных условий, в данном случае вектор из одного элемента.x1,x2 - границы интервала для поиска решения.n - количество точек на интервале.D(x,y) - вектор-функция первых производных, в данном случае вектор из одного

элемента.

Решение уравнения xyd

d

yx

x2 в MathCad на интервале (1,5):

1) Задается начальное условие Записывается правая часть уравнения как

функция от х и начального условия y0: 2) Находится численное решение c помощью функции rkfixed. В данном примере

ищем решение в интервале от 1 до 5 в 40 точках внутри интервала.В итоге полная запись решения выше приведенного уравнения имеет вид матрицы:

Матрица z имеет 2 столбца и 40 строк – первый столбец содержит переменную х , второй – искомую функцию y.

Построим график численного решения.

Численное решение систем дифференциальных уравнений.

Системы дифференцыальных уравнений первого порядка решаются также с помощью функции rkfixed.

Решим для примера систему 2-х дифференциальных уравнений 1-го порядка:

txd

dy x2 x

tyd

d3 x x2 y

Начальные условия:x 0( ) 0y 0( ) 1

Тогда в MathCad решение выполняется следующим образом.

Начальные условия, теперь уже в виде вектора.

Решение задачи Коши для дифференциальных уравнений высших порядков.

Найдем на отрезке [0,3] приближенное решение уравнения , удовлетворяющее начальным условиям , и построим график найденного решения.

Сведем решение задачи для уравнения второго порядка к задаче для эквивалентной нормальной системы первого порядка.

Обозначим и . Поскольку , то получим

Решим задачу численно, используя алгоритм Рунге-Кутты с фиксированным шагом на сетке из 20 равноотстоящих узлов.

Фрагмент рабочего документа Mathcad, содержащий вычисления и график, приведен на рисунке 2.

Приклад. Найдем на отрезке [0,3] приближенное решение задачи Коши

и построим графики для найденного решения. Решим задачу численно, используя алгоритм Рунге-Кутты с фиксированным шагом на сетке из 30 равноотстоящих узлов.

Сумма и произведения ряда.

Для вычисления суммы рядов воспользуемся значком суммы с указанием границ

суммирования.

Например:

1

100

n

1

n2

1.635

0

20

n

1( )n

2 n( )

0.54

Из примеров видно, что система обрабатывает ситуации 1( )0 1 0 1 .

Значок суммирования только с указанием индекса используется для работы с матрицами и функциями, зависящими от индекса, т.е. в тех случаях, когда пределы изменения индекса указываются в виде переменной интервального типа.

Пример:n 1 100

y n( ) n2 2 n 1

n

1y n( ) 0.635

Аналогично вычисляются произведения.

Пример:

2

10000

k

11

k2

0.5

1

10000

n

11( )n 1

2 n 1

1.414

Вычисление интегралов.

Определённый интеграл - есть площадь криволинейной трапеции. Интеграл достаточно хорошо вычисляется, если подынтегральная функция не имеет особенностей.

Точность вычислений задаётся системной переменной TOL, которая может быть переопределена в меню Математика\Параметры (Math\Options). Установим,

например точность вычислений 108 (TOL 10 8 ).

Вычислимx 1 1.1 2

f x( ) x3 3.1 x2 2.05x 1

Здесь мы вывели результат с 6 значащими цифрами.

1

2xf x( )

d 0.591667

Символьные вычисления суммы и произведения.

Если результат нужно получить не в виде числа, а в виде набора математических символов (т.е. необходимо вычислить неопределенный интеграл, продифференцировать функцию), то такие вычисления в MathCad называются символьными.

При символьных вычислениях не нужно задавать изменение аргумента, так как мы стремимся получить результат не в числовом виде, а в символьном.

Суммы и произведения можно вычислять в символьном виде, например:

Внимание! В символьных вычислениях в качастве знака «равно» используется знак символьного равенства →, расположенный на палитре Вычислений.

1

n

1

n2

162

или по конечному пределу:

1

10

n

1

n2

19683291270080

0

5

n

1( )n z2 n2 n( )

112

z2124

z41

720z6

140320

z81

3628800z10

Получаем ряд из 8 слагаемых, это значит, что система не смогла упростить выражение.

Вычисление пределов.

Для вычислений пределов также используется знак символьного равенства →.

0x

sin x( )x

lim

1x

11x

xlim

exp 1( )

Можно вычислить также пределы слева и справа.

Дифференцирование и вычисление интегралов.

Для вычисления производной достаточно поставить функцию под знак dd

f x( ) x sin x2

xf x( )d

d

sin 1( ) 2 cos 1( )

sin 1.2100000000000000000( ) 2.4200000000000000000cos 1.2100000000000000000( )

sin 1.4400000000000000000( ) 2.8800000000000000000cos 1.4400000000000000000( )

sin 1.6900000000000000000( ) 3.3800000000000000000cos 1.6900000000000000000( )

sin 1.9600000000000000000( ) 3.9200000000000000000cos 1.9600000000000000000( )

sin 2.2500000000000000000( ) 4.5000000000000000000cos 2.2500000000000000000( )

sin 2.5600000000000000000( ) 5.1200000000000000000cos 2.5600000000000000000( )

sin 2.8900000000000000000( ) 5.7800000000000000000cos 2.8900000000000000000( )

sin 3.2400000000000000000( ) 6.4800000000000000000cos 3.2400000000000000000( )

sin 3.6100000000000000000( ) 7.2200000000000000000cos 3.6100000000000000000( )

sin 4( ) 8 cos 4( )

Если перед этим определить значение переменной, то получим численное значение.

Mathcad не выводит константу интегрирования.Вычислим теперь интеграл от более сложной функции:

xx3 2 x2 x 1

x2 x 1 x2 1

d233

1

2 atan13

2 x 1( ) 3

1

2

12ln x2 1

x1

a2 b2 sin x( )2

d x1

a2 b2 sin x( )2 1

2

d

Как видно, такой интеграл Mathcad не мог вычислить в аналитическом виде, поэтому вернул исходное выражение.

Чтобы обеспечить вывод значений в той же строке: меню Символы\Стиль вычислений (Symbolics\Evaluation Style) → опция Горизонтально (Horizontally) .

Комплексные числа.

Комплексные числа вводятся в обычной алгебраической записи, в качестве мнимой единицы используется символ i или j. Примечание: нельзя просто ввести i, нужно написать 1i.

a 2 3i b 1 4j c a b c 1 7iab

0.588 0.647ic a b c 3 i a b 14 5i

Комплексное сопряжение (знак --), выводится символом двойной кавычки после набора имени переменной ".

a

2 3i b

1 4i ei 0.54 0.841i 1 i sin i( ) 1.175i

3 1 1 cos i( ) 1.543 6 1 0.866 0.5i или так: 6 1 1( )

1

6

В случае многозначности корней система вернёт корень с наименьшей мнимой частью.Функции для работы с комплексными числами:

Re z( ) - действительная часть числа, Re a( ) 2

Im z( )- мнимая часть числа. Im a( ) 3arg z( )- аргумент (угол в комплексной плоскости между вещественной осью и z)

z - модуль.