222

Bestimmen Sie die Koordinaten des Lotfußpunktes F von A (3 | – 1 | 7), B (6 | 8 | 19) bzw. C (– 3 | – 3 | – 4) auf die Ebene E: 3 x 2 + 4 x 3 = 0 und berechnen Sie mithilfe dieses Fußpunktes jeweils den Abstand der Punkte von der Ebene.

a) Bestimmen Sie den Abstand des Punktes P (1 | – 2 | – 3) von den Koordinatenebenen. b) Wie kann man an den Koordinaten eines Punktes seinen Abstand von den Koordinaten­

ebenen ablesen?

a) In Fig. 1 sind ein Ausschnitt der Ebene E 1 und der Punkt P dargestellt. Bestimmen Sie den Abstand des Punktes P von der Ebene E 1 .

b) Gegeben sind die Ebene E 2 : 2 x 1 + 3 x 2 – 4 x 3 = 12 und der Punkt Q (5 | 8 | – 9). Bestimmen Sie die Koordinaten des Lotfußpunktes F von Q auf E 2 . Zeichnen Sie einen Ausschnitt der Ebene E 2 sowie die Punkte Q und F in ein Koordinatensystem.

Gegeben ist die Ebene E: 2 x 1 – x 2 + 5 x 3 = 7. Untersuchen Sie, ob die Ebene F parallel zur Ebene E ist, und berechnen Sie gegebenenfalls den Abstand der beiden Ebenen.

a) F: 4 x 1 – 2 x 2 + 10 x 3 = 18 b) F: [ → x – ( 2

3 4

) ] · ( 2

1 – 5

) = 0 c) F: x = ( 0 – 6

6 ) + r · (

5 0

– 2 ) + s · (

– 1 3

1 )

Finden Sie Paare zueinander paralleler Geraden und Ebenen und berechnen Sie jeweils deren Abstand.

g: → x = ( 2

0 1 ) + s · (

3 2

5 ) h: → x = (

7 – 3

2 ) + s · (

4 2

5 ) i: → x = (

– 1 2

1 ) + s · (

4 5

3 )

E: 3 x 1 – 4 x 3 = 15 F: 2 x 1 + x 2 – 2 x 3 = 8 G: 2 x 1 – 3 x 2 = 7

Berechnen Sie den Abstand des Punktes R (3 | 2 | – 1) von der Ebene E.

a) E: [ → x – ( 1 2

4 ) ] · (

10 – 11

2 ) = 0 b) E: 3 x 1 + 5 x 2 – x 3 = 20 c) E: x 1 = 4

Bestimmen Sie die Koordinaten des Lotfußpunktes F von R (2 | 5 | 4) auf die Ebene E: x 1 + 2 x 2 – 2 x 3 = 22 und berechnen Sie damit den Abstand von R zu E.

Bestimmen Sie t so, dass der Punkt P t (2 + t | 1 + 2 t | t) den Abstand 5 LE von der Ebene E: 6 x 1 + 2 x 2 – 3 x 3 = 0 hat.

Gegeben sind die Ebene E: 2 x 1 – x 2 – 2 x 3 = 8 und die Gerade g: → x = ( 2

3 – 5

) + r · ( 1 1

0 ) .

Bestimmen Sie diejenigen Punkte auf g, die von der Ebene E den Abstand 3 LE haben.

Bestimmen Sie alle Punkte auf den Koordinatenachsen, die von der Ebene E: 10 x 1 + 2 x 2 – 11 x 3 = 30 den Abstand 5 LE haben.

Bestimmen Sie die zur Ebene E parallelen Ebenen F 1 und F 2 im Abstand d. a) E: 4 x 1 – 7 x 2 + 4 x 3 = 6 , d = 4 b) E: 2 x 1 – 3 x 2 – 6 x 3 = 6 , d = 6

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30

40

Fig. 1

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60

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VII Abstände und Winkel

1 Abstand eines Punktes von einer Ebene – HNF

Die Punkte A (2 | 3 | – 6), B (5 | 7 | – 3) und C (2 | 1 | 0) haben alle den gleichen Abstand zur Ebene E: 2 x 1 + 3 x 2 – 6 x 3 = 28. Wo liegen alle Punkte, die diesen Abstand zur Ebene E haben?

Die Punkte A (2 | – 2 | 0), B (2 | 2 | 0), C (– 2 | 2 | 0) und D (– 2 | – 2| 0) sind die Ecken der Grund­fläche einer Pyramide. Es gibt zwei Pyramiden mit dem Volumen V = 192 VE, deren Spitzen auf

der Geraden g: → x = r · ( Å – 2

Å ) liegen. Berechnen Sie die Koordinaten der Spitzen.

Gegeben ist die rechts abgebildete quadra­tische Pyramide ABCDS mit A (2 | 0 | 0), B (0 | 2 | 0), C (– 2 | 0 | 0) und D (0 | – 2 | 0) sowie der Spitze S (0 | 0 | 6). Bestimmen Sie den Punkt im Innern der Pyramide, der zu allen Seitenflächen und der Grundfläche den gleichen Abstand hat.

Gegeben ist die Ebene E: 2 x 1 – x 2 + 2 x 3 = 5. Sind die folgenden Aussagen wahr oder falsch? Begründen Sie. A: Alle Punkte, welche den Abstand 5 LE von E haben, liegen in zwei zu E parallelen Ebenen. B: Alle Punkte, die in der Ebene F: 2 x 1 – x 2 + 2 x 3 = 10 liegen, haben den Abstand 5 LE zu E. C: Auf jeder Geraden, die E schneidet, gibt es genau einen Punkt, der den Abstand 5 LE zu E hat.

D: Alle Punkte auf der Geraden g: → x = ( 5

7 9

) + s · ( 0 2

1 ) haben denselben Abstand von E.

Wo liegen alle Punkte, die von der Ebene E: x 1 + 4 x 2 + 8 x 3 = 9 den Abstand 7 LE haben? Geben Sie Gleichungen an, um diese Punkte zu beschreiben.

Gegeben sind die Punkte A (4 | – 4 | 4), B (5 | 2 | – 1), C (9 | 8 | – 8) und D (2 | – 6 | 6) sowie die Ebene E: – x 1 – 2 x 2 + 2 x 3 = 5 . a) Berechnen Sie die Abstände der Punkte A

und B von der Ebene E. Berechnen Sie anschließend auch die Abstände der Punkte C und D von E und entscheiden Sie, ob C bzw. D auf derselben Seite von E liegt wie A oder wie B.

b) Wie kann man anhand der Abstandsberechnung allgemein entscheiden, auf welcher Seite der Ebene sich ein Punkt befindet?

a) Überprüfen Sie anhand von Beispiel 3, ob man die zu einer Ebene E: a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 = b parallelen Ebenen F 1 und F 2 im Abstand d mit folgender Formel direkt angeben kann: F 1 : a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 = b + | → n | · d bzw. F 2 : a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 = b – | → n | · d.

b) Bestimmen Sie die zu E: 6 x 1 – 3 x 2 – 2 x 3 = 12 parallelen Ebenen im Abstand 5 LE.

Berechnen Sie. a) 2 6 b) (– 1) 5 c) – 1 5 d) 13 0 e) 100 3 f) ( 1 _ 5 )

3

g) ( 2 _ 3 ) 3 h) 2 3 _ 3 i) 8 – 1 j) 13 – 2 k) ( 5 _ 6 )

– 3 l) (– 5) – 3

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