DIVISIVILIDAD (2)

CAPTULO I

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DIVISIBILIDAD: Estudia todas las condiciones que requiere un nmero para ser divisible por otro. Se dice que un nmero es divisible por otro cuando el cociente de su divisin resulta siempre un nmero entero y residuo cero.As: 91 es divisible por 7; pues

91 7

0 13Se dice que 7 es divisor de 91

141 es divisible por 11; pues

141 11

31 11

9Se dice que 11 no es divisor de 141 porque no lo divide exactamenteDEFINICIN DE DIVISOR:Se dice que B es divisor de A, cuando lo divide en forma entera y exacta.

Cuntos divisores tiene 24?

Definicin de MLTIPLO:

Se dice que A es mltiplo de B, cuando lo contiene un nmero entero y exacto de veces.

Se escribe: o

Se lee: 91 es mltiplo de 7 o

91 es mltiplo de 13

En resumen:

91 7PRACTICANDO

Escribe los 10 primeros mltiplos de:

3 : 2 :5 :7 : 13 : Escribe los divisores de:

12 : 18 : 20 : 48 : 360 : PROPIEDADES: 1. El cero es mltiplo de todos los nmeros enteros, excepto de l mismo.2. El uno es divisor de todos los nmeros enteros, sin excepcin.

3. Todo nmero es mltiplo y divisor de s mismo, excepto el cero.4. Los mltiplos de un nmero entero son ilimitados. Ejemplo

5 = {o; 5; 10; 15; ...etc}.

5. Los divisores de un nmero entero son limitados. Ejemplo:

d(12) = {1; 2; 3; 3; 4; 6; 12}.

6. La suma o resta de mltiplos de un nmero n dan como resultado otro mltiplo de n:

+ - - =

7. multiplicar un mltiplo de n por una constante, el producto sigue siendo mltiplo de n:

K =

8. El producto de mltiplos de n es un mltiplo de n

CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD:

I. Divisibilidad por A. Divisibilidad por Si: = 2

La ltima cifra slo puede tomar los valores: 0, 2, 4, 6 y 8.B. Divisibilidad por Si: =

Las dos ltimas cifras deben ser ceros o mltiplo de 4.

Ejemplos: 348, 12380, etcC. Divisibilidad por Si: =

Las tres ltimas cifras deben ser ceros o mltiplos de 8.Ejemplos: 42000, 21448, etc

II. Divisibilidad por D. Divisibilidad por Si: =

La suma de todas las cifras debe ser mltiplo de 3.

Ejemplo: 345621, 564 , 945 , etc

E. Divisibilidad por = 9 Si: =

La suma de todas las cifras debe ser mltiplo de 9.Ejemplo: 945, 8775,etc

III. Divisibilidad por A) Divisibilidad por Si: = 5

La ltima cifra slo puede ser cero o cinco.

B) Divisibilidad por = 25Si: = 25

Las dos ltimas cifras deben ser ceros o mltiplo de 25.

IV. Divisibilidad por 10

Si: =

d = 0

La ltima cifra debe de ser cero.

V. Divisibilidad por 7

Si: =

Se cumple: Un nmero es divisible por 7 si la suma de sus cifras multiplicadas de derecha a Izquierda por 1; 3; 2; -1; -3; -2 da cero o mltiplo de 7.

VI. Divisibilidad por 11

Un nmero es divisible por 11, si la suma de sus cifras de orden impar menos la suma de las cifras de orden par, resulta cero o mltiplo de 11.

Ejemplo:

a) 84436 es divisible por 11?

(8+4+6) (4+3) = 11=

b) 51030507 es divisible por 11?

(7 + 5 + 3 + 1) (0 + 0 + 0 + 5)

16 5 = 11 =

PRACTICA N 021. Relaciona ambas columnas:

a) Mltiplos de 8 mayores que 10 y menores de 60: b) Divisores de 16:c) Mltiplos de 9 menores que 30: d) Divisores de 36:e) Mltiplos de 11 menores que 70:2. Cul debe ser el nmero de a en los siguientes nmeros para que sea divisible por:2

;3;4;5;9

a) 54a

b)211a

c)724a

d)3213a3. Hallar el valor de a si: y

A) 0

B) 2

C) 3 D) 4 E) 5

4. Hallar el valor de a si: y

A) 7

B) 5

C) 9 D) 8 E) 0

5. Hallar a si:

y

A) 5

B) 2 C) 7 D) 0 E) 66. Si: Cunto suman todos los posibles valores de a?A) 4

B) 2

C) 6 D) 8 E) 107. Calcular b : 86325 = + bA) 0

B) 2 C) 4 D) 6 E) 88. Hallar a si: + 3A) 1

B) 2 C) 3 D) 7 E) 89. Hallar a, si:

a) 0

b) 1

c) 2

d) 3

e) 4


a) 0

b) 2

c) 3

d) 4

e) 5


a) 7

b) 5

c) 9

d) 8

e) 0

12. Si: , Calcular el residuo de dividir: entre 9.a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) 5

13. Se tiene los siguientes nmeros: 12; 24; 38; y 41 indicar cul o cules don divisibles por 2a)12 y24 b)24 y 41 c) 24 y 38 d) Ninguno E) 12; 24 Y 38

14. Si se tiene los nmeros: 124; 233; 666 y 429. Cuntos son divisibles por 3?

A) 0

B) 1 C) 3 D) 5

E) 2

15. Se tiene los nmeros 48; 64; 1200; 5600 y 3248 cuntos son divisibles entre 4?

A) 0

B) 1 C) 3 D) 5

E) 2

16. Si se tiene los nmeros : Cuntos son divisibles por 5?

A) 0

B) 1 C) 3 D) 4

E) 217. Calcula la suma del mayor valor ms el menor valor que puede tomar a en; A) 10

B) 13 C) 3 D) 7

E) 15

18. Calcula la suma del mayor valor ms el menor valor que puede tomar a en;

A) 13

B) 14 C) 17 D) 15

E) 16

19. Halla la suma de valores de a, si: A) 25

B) 20 C) 24 D) 23

E) 17

20. Halla la suma de valores de x, si: A) 0

B) 6 C) 7 D) 5

E) 8


B) 1 C) 8

D) 9

E) 222. Halla la suma de valores de x, si: A) 6

B) 7 C) 8

D) 9

E) 1023. Calcula el valor de a, en: A) 6

B) 4 C) 3

D) 5

E) 2

24. Halla la suma de valores que puede tomar x, si: A) 22

B) 21 C) 24

D) 25

E) 20


B) 10 C) 7

D) 8

E) 4

26. Hallar la suma de valores que puede tomar a, si: A) 15

B) 16 C) 17

D) 18

E) 19

27. Calcula a, si: A) 6

B) 4 C) 3

D) 5

E) 2

28. Halla el menor valor de m para que el numeral sea: A) 4

B) 7 C) 3

D) 5

E) 2

29. Determinar el valor de a, en: A) 9

B) 4 C) 3

D) 5

E) 230. Determinar el valor de m, si: A) 9

B) 7 C) 6

D) 5

E) 4

31. Hallar a + b, en: A) 10

B) 11 C) 13

D) 14

E) 12

32. Hallar el mximo valor de a + b, en: A) 14

B) 12 C) 15

D) 17

E) 18

33. Hallar x + y, en:

A) 8

B) 9 C) 10

D) 11

E) 12

34. Hallar m + n, en: n A) 6

B) 7 C) 8

D) 9

E) 10

35. Halla el mayor valor que puede tomar , si: A) 00

B) 25 C) 50

D) 85

E) 75

36. Calcular a2 b2, si: A) 40

B) 36 C) 28

D) 12

E) 0NMEROS PRIMOS: Tambin llamados PRIMOS ABSOLUTOS. Son aquellos nmeros que carecen de ley de formacin alguna, por tener slo divisores: la unidad y l mismo. Observaciones:

1. El menor y nico nmero primo par es el 2.

2. Los nicos nmeros primos consecutivos

son el 2 y el 3.

3. Todo nmero primo mayor que 7 termina en 1 en 3 en 7 en 9.

NMEROS PRIMOS ENTRE S (PESI):Llamados tambin primos relativos. Son aquellos que poseen como nico divisor comn a la unidad (1).

Ejemplo: d(18) = 1; 2; 3; 6; 9; 18

d(25) = 1; 5; 25

( 18 y 25 son PESI , Porque el divisor comn es la unidad.

NMERO COMPUESTO: Todo aquel nmero que tiene ms de 2 divisores se llama nmero compuesto. Ejemplo

.: d12 = 1; 2; 3;4 ( 12 es un nmero compuesto

Observacin:

El nmero 1 no es un nmero primo ni un nmero compuesto, forma un conjunto unitario: el conjunto de los nmeros simples.

Ejemplo:

Descomponer el nmero 1740 en sus factores primos.

17402

8702

4353

1455

2929

1

( 1740 = 22 x 31 x 51 x 291

Forma general:

Dnde: a, b y c son nmeros primos.

(, ( y ( son nmeros enteros positivos.

CANTIDAD DE DIVISORES:El nmero total de divisores es igual al producto de los exponentes de los factores primos aumentado en 1.

Sea

Ejemplo: Cuntos divisores tiene 60?60 = 22 x 31 x 51 =

Nmeros de divisores de 60

= (2 + 1) (1 + 1) (1 + 1) = 12 divisores.

SUMA DE DIVISORES:

Sea:

Entonces la suma de divisores se obtiene usando la siguiente frmula:

S(d) =

S(d)= suma de divisores

PRACTICA N 03

1. Determinar el nmero de divisores de 40

2. Cuntos divisores de 30 son nmeros primos?

3. Cuntos nmeros primos hay entre 15 y 45?

4. Determinar el mayor nmero primo comprendido entre 50 y 60

5. Cuntos divisores tiene el nmero 1200?

6. Hallar la suma de todos los nmeros primos comprendidos entre 1 y 30?7. Cuntos divisores menos tiene el nmero 56 que el nmero 80?

8. Cuantos divisores menos tiene A que B si: y 9. Determinar el nmero de divisores de 252010. Entre los nmeros: 360; 270 y 180 Cul es el que tiene tantos divisores como 520?

11. Cuntos divisores de 84, tienen dos cifras?

12. Cuntos divisores de 150, son mltiplos de 5?

13. La suma de los divisores de 35 es:

14. Cuntos divisores mltiplos de 5 tiene el numero 130?

15. Si: ; tiene 60 divisores Cunto vale n?

16. Cuntos divisores de 72 tienen raz cuadrada exacta?MNIMO COMN MLTIPLO Y MXIMO COMN DIVISOR.

1. MXIMO COMN DIVISOR (MCD):El mximo comn divisor de 2 o ms nmeros es un divisor comn a dichos nmeros y es el mayor posible. Ejemplo:Divisores : 12 y 8

d(12)12345612

d(8)1248

( MCD (12; 8) = 4

2. MNIMO COMN MLTIPLO (MCM):

El mnimo comn mltiplo de dos o ms nmeros es un mltiplo comn a dichos nmeros pero es el menor posible. Ejemplo:

m(12)1224364860728496

m(8)816243240485664

( MCM (12; 8) = 24

MTODOS DE OBTENCIN DEL MCD: Por descomposicin Individual en Factores Primos (descomposicin cannica)

Ejemplo:

80 = 24 x 5

90 = 2 x 32 x 5

150 = 2 x 3 x 52 MCD: Producto de factores primos comunes con el menor exponente.

MCD = 2 x 5 = 10

MCM: Producto de factores primos comunes y no comunes con el mayor exponente.

Luego:

MCM = 24 x 32 x 52 = 3 600 Por descomposicin Simultnea en factores primos; 80 90 150 2

40 45 75 5

8 9 15

( MCD = 2 x 5 = 10

MTODOS DE OBTENCIN DEL MCM:Se buscan todos los factores primos sin excepcin hasta llegar a 1. Ejemplo:

40 90 150 2

40 45 75 5

8 9 15 3

8 3 5 3

8 1 5 2

4 1 5 2

2 1 5 2

1 1 5

5

1 1 1

( MCM = 24 x32 x52= 3 600PROPIEDADES:a) Sean los nmeros A y B

MCD (A y B) x MCM(A y B) = A x B

Ejemplo: Sean los nmeros 36 y 24

MCD(36; 24) =12 y MCM(36;24) = 72

entonces: 12 x 72 = 36 x 24 = 864b) Si A = B

MCM (A y B) = A MCD (A y B) = B

c) Si A y B son PESI:

MCD (A y B) = 1 MCM (A y B) = A x B

PRACTICA N 041. Sean los nmeros

A = 218 x 312 x 58B = 215 x 316 x 510 x 720

Si el MCD(A; B) = 2x . 3y . 5z ; Hallar x + y + z

a) 25 b) 30 c) 35

d) 40 e) 45

2. Sean los nmeros:

A = 218 . 312 . 58

B = 215 . 316 . 510 .720Si el MCM(A y B) es 2m . 3n . 5p . 7q ; Hallar: m + n + p +q

a) 15 b) 18 c) 64

d) 30 e) 45

3. Si: A = 12x15n y B = 15x12n obtener el valor de n. Si: MCD (A, B) = 1620

a) 5 b) 4 c) 3

d) 2 e) 1

4. Hallar m sabiendo que MCM (A, B) tiene 2944 divisores.

Si: A = 72m x 750 ; B = 90m x4

a) 10 b) 9 c) 7

d) 5 e) 3

5. Cuntos divisores en comn tiene los nmeros 360; 480 y 540?

a) 8 b) 12 c) 16

d) 18 e) 15

6. El producto de dos nmeros es 768; si su MCM es 96, hallar su MCD

a) 6 b) 8 c) 12

d) 16 e) 24

10.- Un padre de a uno da sus hijos 60 soles a otro 75 y a otro 90, para repartirlos entre los pobres, de modo que todos den a cada pobre la misma cantidad. Cul es la mayor cantidad que podran dar a cada pobre ?

a) 15 b) 12 c) 45

d) 30 e) 107. Andrea tiene una cartulina que mide 24cm de ancho por 36cm de largo y quiere cortarla en trozos cuadrados de manera que no sobre material. Cuntos trozos obtendr, de mayor tamao posible?. a) 10 b) 6 c) 24

d) 12 e) 18

8. Cul es el menor nmero de losetas de 12x20 cm. que se necesitan para cubrir una pared de forma cuadrada?

a) 60

b) 240

c) 30

d) 15

e) 130.

9. La suma de dos nmeros es 30, si su MCD es 6 y su MCM es 36, hallar la diferencia de dichos nmeros

a) 4 b) 5 c) 6

d) 8 e) 9

10. El m. c. d. de dos nmeros es 115 y el m. c. m. 230. Cul es el producto de los dos nmeros? a) 26450 b)26540 c) 2634011. Cuntos divisores tiene el MCD (A y B) si: A = 48 . 32 . 73 y

B = 83 . 27 . 49?

a) 60 b) 120 c) 180

d) 90 e) 36

12. Cuntos divisores tiene el MCM(A y B) si: A = 43 . 27 . 49 y

B = 32 . 34 . 7

a) 100 b) 105 c) 108

d) 115 e) 120

13. EMBED Equation.3

EMBED Equation.DSMT4


EMBED Visio.Drawing.11

EMBED Visio.Drawing.11


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_1488518158.unknown

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_1488524878.unknown

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_1488516807.unknown

_1488517621.vsda

b

c

d

e

f

=

1

3

2

-1

-3

-2

-2a - 3b c + 2d + 3e + f

=

_1488516509.unknown

_1488474863.unknown

_1488516070.unknown

_1488514095.unknown

_1488474833.unknown

_1091695153.vsda

b

c

d

e

f

=

-

+

-

+

-

+

(a + c + e) - (b + d + f)

=

DIVISIVILIDAD (2)

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