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LEONS
SRIES
DIVERGENTES.
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DU MME AUTEUR.
Leons
sur la Thorie des
fonctions
{lments
del thorie
des
ensembles
et
applications).
Grand
in-8
'.
3
fr.
5o.
.Yoiivelles leons
sur la thorie
des
fonctions.
Leons sur
les
fonctions
entires.
Grand
in-8
3 fr.
5o.
EX PREPARATION.
Nouvelles leons sur la
thorie
des fonctions.
Leons
sur
les
sries
termes positifs.
Grand
in-8.
-
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NOUVELLES
LEONS
SUR
LA
THEORIE
DES
FONCTIONS.
LEONS
SRIES
DIVERGENTES
Emile
BOREL,
M.VITRI DI C0> iNOKMALE
SUPliRlEURl
i^0
s^^^^
PARIS,
GAUTHIER-
VILLARS,
IMPRIMEUR-LIRRAIRE
DE l'oBSKRVATOIRE
D I
PARIS
ET
DU
BUREAU DES
LONGITUDES,
Quai
des
Grands-Augustins,
55.
1901
(Tous
liroils
rservs.)
-
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Qft
-
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PRFACE.
L'accueil
favorable que
le
public
matbmaticjue a
bien
voulu
faire
aux
deux
Ouvrages
que
j'ai
dj
publis sur la
Tborie des
fonctions m'est
un prcieux
encouragement
continuer
la tche
cpie
j'ai
entreprise. Comme
je
l'ai
dj
dit dans
une prcdente
Prface, mon
intention est
de
faire paratre
une
srie de petits
Livres qui
soient,
autant
que
possible, indpendants les uns des
autres
:
pour
pouvoir
lire chacun
d'eux,
il sufft de connatre les
principes
gn-
raux
de
la
Thorie
des
fonctions
tels
qu'ils se
trouvent
dans
tous
les
cours d'Analyse.
La
thorie des
sries
divergentes
a
fait l'objet
de mon
enseignement
l'cole
Normale en
1899-
1900;
mais ces
Leons sont
notablement
plus
tendues
que
mon
Cours;
le
Chapitre
V,
notamment, renferme
l'exposition de certains
rsultats nouveaux que
j'ai obtenus
depuis un an.
M.
Dauzats,
agrg-bibliothcaire
l'Ecole
Normale, qui
avait suivi mon cours,
avait
bien voulu
m'offrir
de le r-
diger.
Par suite
de
diverses
circonstances indpendantes
de
sa volont,
il n'a
pu
donner suite que partiellement
ce
projet
:
la
rdaction
du
Chapitre
T
lui
est
seule
due.
Je
tiens
-
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lui
exprimer
ici ma
vive reconnaissance
pour les soins
qu'il
a
donns
cette
rdaction.
tant
donn
l'intrt
que
me
parat
prsenter
le
problme
des
sries
divergentes
et vu
les
polmiques
ardentes qu'il a
autrefois
souleves,
j'ai cru
devoir faire
prcder
d'une
courte
Introduction
historique
l'exposition
des
thories
modernes.
Cette
Introduction
se
termine par quelques
considrations
gnrales sur les
sries
divergentes
et
par
(|uelques
indications
sur le
plan de
ces
Leons.
-
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INDEX.
Pages.
I.NTRODLT.TION.
Historique
et
gnralits
i
Ch.vp.
I.
Les sries
asymptotiques
21
Chap.
II.
Les fractions continues
et la
thorie
de Stieltjes.
.
55
Chap.
III.
La
thorie
des sries
sommables
87
Chap.
IV.
Les
sries
sommables
et
le prolongement
ana-
lytique
1 20
Chap.
V.
Les
dveloppements
en
sries
de
polynmes
i56
Table
des
matires
1 83
-
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LEONS
SRIES
DIVERGENTES.
INTRODUCTION.
HISTORIQUE ET GNRALITS.
Les
sries
divergentes
axa
ni
^ibel et
Caucliy.
On s'accorde gnralement
pour
dater
les dbuts
de
l'Analyse
moderne des
travaux
d'Abel
et
de Cauchy.
Ce
qui
caractrise
surtout
ces
deux
gomtres,
c'est
le souci
de
la
rigueur
parfaite
des
raisonnements
:
c'est l
la
rforme
essentielle
qu'ils
ont intro-
duite dans les
Mathmatiques.
Sans doute,
avant
eux,
bien
des
gomtres
avaient fait
des
raisonnements rigoureux;
plusieurs
mme
avaient
une
sret
parfaite
et
ne se trompaient
que d'une
manire
exceptionnelle.
D'autre part,
depuis Abel
et
Cauchj, il
a t imprim
souvenl
des
raisonnements
inexacts^,
et eux-mmes
n'ont
pas
toujours
chapp
l'erreur.
Mais le
point
essentiel
est d'avoir proclam
hautement
et nettement
qu'un raisonnement
non rigoureux,
un
raisonnement
par
induction
ou
par
peu prs,
doit
tre,
en
Mathmatiques,
considr
comme inexistant.
Ce
principe une
fois
|)Os,
il
appartenait
aux successeurs
d'Abel
et
de
Cauchy d'en
tirer
toutes
les
consquences
et d'introduire
peu
peu la rigueur
parfaite
des
mthodes
et
des raisonnements
qui caractrise le
dveloppement
mathmatique
de la
seconde
moiti
du
sicle
qui
vient
de finir.
E.
B.
(3)
I
-
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2
INTRODUCTION.
Il
est
incontestable que
la
rvolution ainsi
accomplie
a con-
stitu
un
grand
progrs
et
qu'elle
tait
indispensable.
On
peut
toutefois
se
demander si
l'abandon
complet des
mthodes
moins
rigoureuses
des
gomtres
du
xviii^
sicle
a
t
un
bien
au
point
de
vue
de
la
facilit
de la
dcouverte
mathmatique.
Il
a
pu tre
ncessaire
de
les al)andonner
momentanment
d'une
manire
complte,
pour permettre au principe
de
la
rigueur
ncessaire
de
s'tablir
sans
contestation;
mais
maintenant
que
ce
principe
est
tabli
d'une
manire
dfinitive
et
irrvocable,
l'tude
des m-
thodes
anciennes
peut avoir
du
bon,
condition,
bien
entendu,
qu'on
les
emploie
seulement
comme
procd
de
recherche,
en
se
rservant
de
dmontrer
ensuite
les
rsultats
par les
mthodes
rigoureuses de
l'Analyse moderne.
La
thorie
des sries divergentes est l'une
de celles
auxquelles
s'appliquent
le
plus immdiatement les gnralits
qui
prcdent;
nous
allons
nous
occuper
exclusiveinent
de
cette thorie,
et tout
d'abord rechercher
quel
tait
l'tat
de
la
question
avant les
pre-
miers
travaux
d'Abel
et
de
Cauchj.
Le
procd le
plus
commode,
et
peut-tre
aussi
le
plus sr,
pour faire
cette
recherche, consiste
consulter
le grand
Trait de
Calcul
diflrenliel
et
intgral
de
Lacroix
(').
On peut
considrer, en
eflet,
que cet Ouvrage
rsume l'Ana-
Ijse
ancienne; en le
comparant
avec VAnalyse
algbrique
de
Caucliy
(-),
publie seulement quelques
annes aprs,
on
mesure
toute
la
distance
qui
spare
les
Mathmatiques
du
xviii^
sicle
des
Mathmatiques
du xix*^. Peu
de comparaisons
sont
plus
instruc-
tives
pour
l'histoire
de
la
Science.
Mais revenons aux
sries divergentes
et voyons
ce
que
nous
apprend
leur
sujet le
Trait
de Lacroix;
nous emprunterons
aussi
quelques
renseignements bibliographiques
au substantiel
article de M.
Pringsheim
dans rEncyclopdie
Burkhardt-Meyer
(s).
11
importe
tout
d'abord
d'tablir
une
distinction
entre
les
sries
purement
numriques et
les
sries analytiques, c'est--dire
dont
(') S.
-F. Lacroix, Trait du Calcul
diffrentiel
et
du
Calcul
intgral,
se-
conde
dition,
3
vol.
ia-4,
Paris,
i8io,
i8i4
el
1S19.
(-)
OEuvres
de
Cauchy,
srie
II, t. III.
La premire
dition
est de
1821.
(')
Encyclopdie
der
niatliematisclien
Wissenschaften,
I,
A.
3.
39-40.
-
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HISTORIQUE ET
GNRALITS.
3
les termes sont des
fooclions
d'une
variable
(ou
de
plusieurs; mais
nous nous
bornerons
au cas
d'une
seule).
En
ce
qui concerne
les
sries
divergentes
numriques,
l'impos-
sibilit
apparat
d'abord
immdiatement
de
les
utiliser
directement
pour
un
calcul
prcis.
Il
est
cependant un cas
dans lequel
elles ont
paru
pouvoir
servir
un
calcul
approximatif; et, en
fait,
dans
la
pratique,
on
n'a
jamais besoin que d'une
approximation
limite;
il
est
mme
|)resque
toujours
impossible
de
faire
un
calcul
exact.
Le
cas
dont
nous voulons parler est celui
o
les termes
de la
srie
divergente
commencent
dcrotre
jusqu'
un
certain
terme
minimum,
pour
augmenter
d'ailleurs
ensuite
au
del
de toute limite.
En
calculant
la
somme de la
srie
jusqu'au
terme minimum,
on
peut
esprer
avoir
un rsultat
approcb, dont
l'approximation
sera du
mme
ordre de
grandeur
que
ce terxne
et pourra,
par
suite,
tre
trs
notable,
si
ce
terme est suffisamment petit.
Souvent mme,
on
n'aura
pas
besoin
d'aller
jusqu'au
terme
minimum,
qui
occupera
un
rang
trs
lev
et
sera
bien plus
petit
que
l'approximation
dsire; on calculera
simplement
les
pre-
miers
termes
de
la
srie,
jusqu'
ce
qu'on
arrive
des
termes
assez
petits pour
qu'on
puisse les considrer
comme
ngligeables,
et
l'on adoptera la
somme ainsi
trouve pour
valeur
approche
de
la
srie.
L'exemple
classique
en
Analyse
de
la
srie
pour
laquelle
cette
mthode
russit
est
la
srie
de
Slirling;
mais
nous
aurons
l'oc-
casion
d'y revenir
tout
l'heure.
Un
exemple
plus
important
est
celui des
sries que
les astronomes
emploient
dans
leurs
calculs;
ils les ont
utilises
longtemps sans
se
douter
qu'elles
taient
divergentes,
en calculant
seulement
les
premiers
termes.
Depuis
que M.
Poincar,
dans un
Mmoire
clbre
('),
a
dmontr
leur
divergence,
on
continue
les utiliser
dans
bien
des cas,
car
on
y
est
encoui^ag
par
l'exactitude
des
rsultats
obtenus,
en
tous
points
conformes
aux
observations.
Nous verrons,
dans
le
Cha-
pitre I,
consacr
la
thorie
des sries
asymptotiques
de
M.
Poin-
car,
comment
cette thorie
permet
de
se rendre
compte
de
ce
fait,
en
apparence
paradoxal.
(') Acla
Diathemalica.
l. \III.
-
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4
INTRODUCTION.
Mais
il est
des
si'ies divergentes
numriques
qui prsentent
un tout autre
caractre
5
leurs
termes
ne
vont
pas
en
dcroissant,
ou
mme
croissent
constamment
partir
du premier
et
augmen-
tent
au
del
de
toute
limite.
Comme
exemples
typiques
de telles sries,
on
peut
citer
les
deux
suivantes,
que l'on
rencontre
assez frquemment
dans
les
applications,
et
qui
sont
tudies
toutes
deux dans
le Trait
de
Lacroix
:
(1)
I
I
-+-
1
I
I
T
^.
.
.
(
2
)
1
1
.
2
-^
I .
'-
.
j
I
.
>,
.
'3
.
I
-1-
I
.
>.
.
3
.
4
.
5
....
La
srie (i), qui parat avoir t considre
pour la
premire
fois
par
Jacques
Bernoulli
et
Lcibnitz,
a t
trs
souvent
choisie
comme type
de
srie divergente; elle
a
donn
lieu,
depuis
Euler
jusqu' Cauchy,
de
nombreuses
discussions, et,
aprs
Cauchy,
on l'a souvent signale
comme
exemple
de
l'emploi illgitime
des
sries
divergentes.
Euler
considre
la
somme
de
la srie
(i)
comme
gale
; et
cette
affirmation
a
pour
lui la
signification
suivante
:
s\,
par
un
calcul
quelconque, on
est conduit la
srie
(1),
le
rsultat
de
ce
calcul
est certainement
-
Ainsi
prsente
et
prise
la lettre, la proposition d'Euler
n'est
certainement
pas
exacte,
et
l'on
ne
tarda
pas
s'en
apercevoir.
Dj
plusieurs
auteurs, Pierre
Varignon,
Nicolas
Bernoulli,
d'Alembert,
avaient
signal le danger de
l'emploi
des
sries
divergentes.
J'emprunte
M.
Pringsheim
la
citation
suivante
de
d'Alembert : Pour moi,
j'avoue
que
tous
les raisonnements
fonds
sur
les
sries
qui
ne
sont
pas
convergentes... me
para-
tront trs
suspects,
mme
quand les
rsultats s'accorderaient
avec
des
vrits
connues
d'ailleurs.
[Opusc.
math.,
5,
1768,
p.
i83).
Pielativemcnt
la
srie
d'Euler,
l'objection
suivante
se prsenta
bientt.
Soient
n et
m
[n
a,,x =
lim
dans
le
cas
o
la
limite
du
second
membre
existe.
On
voit
ainsi
()
Voir, pour celle
discussion,
Lacroix, i.
III,
p.
i6o;
cl
Lagrange,
Rapport
sur
le
Mmoire
de
Caliet,
dans
le
Tome
III
des
Mmoires de la
classe des
Sciences
mathmatigues et physiques de
l'Institut.
(-)
Journal
de Crelie, t.
89,
p.
26>.
-
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-
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21/206
HISTORIQUE
ET
GNRALITS.
7
conclure,
avec
M.
Pringsheim,
que
raffirmalion
d'Euler
est d-
pourvue
de
toute
valeur
et
doit
tre
compltement
rejete?
Nous
ne le pensons pas.
Il importe,
en
efet, de
remarquer que les
anciens
gomtres
n'avaient
point
l'habitude
de
construire
artifi-
ciellement
des
expressions
analytiques
compliques pour
prouver
telle
ou
telle
opinion; ils se
contentaient, d'habitude, de
calculer
sur les expressions
qui
se
prsentaient
naturellement
eux, au
cours de
leurs
recherches.
Il
doit
donc tre
expressment
sous-entendu, dans l'affirmation
d'Euler
que,
si
/'on
est conduit
la
srie
{^)
par
ti'
importe quel
(')
On devra, bien entendu,
tenir
compte des
remarques
de
Lagrange
rappeles
page
5,
relativement
aux sries
qu'il
est
naturel
de
considrer
comme
incom-
pltes
et
de
complter
par des termes
nuls. Si
cependant
la
loi
des
termes
man-
quants
est
suffisamment
rgulire,
la
proposition d'Euler parat tre encore
vraie.
Mais
je
ne
puis ici
prciser le sens
du
mot rgulire;
je
renverrai
mes Leons
sur les
fonctions
entires.
Note
II,
o
l'on trouvera quelques indications
ce
sujet,
en
attendant
que
je
puisse publier une thorie
gnrale
de
la
croissance
des
fonctions.
Comme exemple
d'une
srie
importante
en
Analyse
et
o
il
manque des termes
en grand
nombre,
on
peut
citer
la
suivante
s
=
f-i-q~g*-i-q^-r-
q'^-i-
q-'-'-r-
q^^
.
.
..
Lorsque
q
tend
vers
i par valeurs relles, la
limite
de
s
est ? de
sorte
que
l'on
a,
la
limite
Voici
de
ce
fait une
dmonstration
trs
lgante, due
M. J. Tannery.
On
a
^d^)
=
i^^( i) 2
-
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22/206
INTHOUUCTIOX.
calcul,
on
peut
sans
hsilaiion la
remplacer
par
-,
qu'il
s'agit
seulement
des
calculs
que
l'on
sera conduit
naturellement
faire,
et
non
d'expressions
construites
exprs
pour
mettre
la
rgle
en
dfaut. Pour
prouver
donc
que l'affirmation
d'Euler
est
fausse,
en
se
plaant
au point de
vue
d'Euler,
il
faudrait
fournir
l'exemple
d'un
gomtre
qui,
n'ayant
aucune
proccupation relative aux
sries
divergentes
et
la
lgitimit
de
leur
emploi, a
trouv,
dans
des
calculs
ajant
pour
objet
des
recherches
d'un
ordre
tout
diffrenl, une
srie telle
que
(5),
pour
laquelle
la rgle
d'Euler
est
en
dfaut.
Tant
qu'on
n'aura pas
fourni
un
tel
exemple, on
pourra
dire
que celte
rgle
est
exacte, au point
de
vue
pratique et expri-
mental,
puisque,
depuis
un
sicle, elle
n'aurait
tromp aucun
des
gomtres
qui
l'auraient
applique,
sauf
ceux
qui
se
seraient
pr-
cisment
propos comme but de
la
mellre
en dfaut;
ceux-l,
non
plus, n'auraient
d'ailleurs
pas t tromps,
puisqu'ils savaient
l'avance
le
but
vers lequel
ils
tendaient.
Aussi
n'y a-t-il point lieu
de
blmer
Fourier
de
s'en tre
servi
sans
scrupule
[uvres, t. I,
p.
206).
Fourier
fait
d'ailleurs
usage,
dans le
mme Ouvrage
(p.
191)
de
produits
infinis
diver-
gents et il suffit
de consulter
la
Note dans
laquelle
M.
Darboux
a
rtabli
le
raisonnement
rigoureux, pour
se
rendre compte
que
Fourier savait
parfaitement
ce
qu'il
faisait
et
ne
risquait
nulle-
ment
de
se
tromper.
Mais
nous nous
sommes
assez
tendus
(
'
)
sur la
srie
(i); disons
quelques mots
de la srie
{1}
I
(.2
1.^.3
1
. 9.
.
3
.
4
-^
1
.
2
.
3
.
4
-
5
.
.
.
on
en
conclut immdiatement
le
tlicoriiie
que
nous
avons
nonc
rehilivcmenl
la srie
s.
Ce
thorme
peut
s'tendre,
par
l'emploi
des
formules
de
transformation
(Tan-
NERY
et MoLK,
Trait
des
fonctions
elliptiques, t. II,
formule
XLIIIg),
au cas
o
l'on
suppose
que
q
tend
vers
i
en suivant
un
chemin quelconque
non
tan-
gent au cercle
de
convergence;
je
dois
aussi
ce dernier
rsultat
une ohligeante
communication de
M.
Tannery.
(')
Faisons
observer
cependant que, si
l'on attribue
une
somme
la srie
(1),
cette
somme ne
saurait
tre autre que -; car si l'on
pose
S
=1
I
~
r
I
H- ...
-
8/10/2019 Divergent Series by Lacon
23/206
HISTORIQUE
ET
GENERALITES.
9
Il
ne
peut
tre ici
question de
prendre
une
moyenne
de
sommes
successives;
cette
moyenne
n'existe pas;
on
ne peut pas
non
plus,
comme
il pourrait
tre
suggr
par
ce
qui prcde,
introduire
une
vai'iable
x
et
cliercher
la
limite
de
la
srie
{>,)'
1
[
.'IX
-h
\
.i.O.V-
I
.
-2
.
3 .
4
373
-i-
.
.
.
lorsqu'on
y
fait x=i.
Cette
srie
(2)'
est,
en
effet,
divergente
pour
toute valeur de
x.
Lacroix obtient
la somme de la
srie
(2)
|)ar une
transforma-
lion
assez
complique
(t.
ll,
p,
347);
le rsultat
ainsi
oblenu
concide
d'ailleurs avec
la valeur d'une
intgrale
qui donne
nais-
sance
la srie
(2)'
et dont nous
parlerons plus
loin
(p.
56).
Sans
qu'il
soit
ncessaire
d'insister davantage,
on
voit
que,
malgr des
hsitations
et des
scrupules
qui
devaient
mettre en
garde
contre les
erreurs
grossires,
les
gomtres
du
temps
de
Lacroix avaient
d'assez
bonnes
raisons
exprimentales
d'avoir
confiance dans
les sries
divergentes,
mme
numriques.
A
plus
forte
raison
employaient-ils
sans
le
moindre
scrupule
les
sries divergentes
dont
les termes
taient des
fonctions
d'une
variable.
Considrant simplement au
point
de
vue
formel
les
calculs
excuts
sur
ces
sries,
ils
taient
amens
constater que
les
rsultats
de ces
calculs exprimaient
des
faits
analytiques
prcis,
d'o
ils
tiraient
des consquences le
plus
souvent,
sinon
toujours, exactes
(^).
Nous verrons
plus
loin
comment de
tels
rsultats
sont
aisment
explicables.
on
a
S
== -(,
-1
+
I-I+...)=I-S
d'o
S
=
-
Relativement aux objections que l'on
pourrait faire
ce
raisonne-
ment,
en
changeant
l'ordre
des
termes,
voi/-
plus
loin,
p.
17.
('
)
Le
passage suivant
du
Trait
de
Lacroix
(t.
I,
p.
4)
niontre trs
nettement
le
point de
vue auquel
il
se plaait
:
Il
est
propos de
faire
attention
au
mot
dcvcloppement
que
l'on
emploie
ici
au
lieu de
celui
de
valeur;
car une srie ne
donne pas
toujours
la
valeur
de
la
fonction
laquelle
elle
appartient
:
quelquefois
mme,
au
lieu
d'en approcher
davantage,
mesure qu'on
prend
plus
de
termes, elle
s'en
loigne
sans
cesse,
ainsi
qu'on
peut le
remarquer sur
la
fraction dveloppe
suivant
les
puis-
sances
de
X.
La srie
qui en
rsulte ne donne
des
rsultats
convergents vers la
vraie
valeur
([uc
dans
-
8/10/2019 Divergent Series by Lacon
24/206
lO
INTRODUCTION.
En
somme,
on
peut rsumer
l'tat
de
la Science
l'poque
de
Lacroix
en disant que l'on
avait
dans les sries
divergentes
une
confiance
justifie
par
les
faits,
mais
cependant rendue prudente
et
quelque
peu
hsitante
par des
difficults telles
que celle qui a
t
tudie
page
5.
Les
Lravaux
de
CaucJiy.
Nous venons de
dire
que, l'poque
o
Abel et Cauchy com-
mencrent
crire,
on
avait,
dans les sries
divergentes,
une
confiance
justifie presque
toujours, sinon toujours, par les faits.
Aussi n'est-ce
pas
sans hsitation
qu'Abel et
Cauchy
frapprent
le cas o x
-
8/10/2019 Divergent Series by Lacon
25/206
HISTORIQUE
ET
GNRALITS.
II
d'oslracisnie
les
sries
divergentes.
Quelques cilations
montreront
bien
quels
furent
leurs scrupules. Abel
crit
Hohnbo,
le
1
6
jan-
vier
1826 (OEm-res
compltes
d'Abel,
dition Sjlow-Lie, t.
II,
p.
256-25;)
:
Les
sries
divergentes
sont, en
gnral,
f|uelque
cbose
de
bien
fatal,
et
c'est
une
honte qu'on ose
y
fonder aucune
dmonstration...
la
partie
la
plus essentielle
des Mathmatiques
est
sans
fondement.
Poiti-
la
plus
grande
partie les
rsultats
sont
justes,
il est
vrai, mais c'est
l
une chose
bien trange. Je
ni occupe
en
chercher
la
raison, problme trs
intressant
)>.
D'autre part, dans la
Prface
de
son
Analyse
algbriciue,
ds
1821,
Cauchy crit
:
J'ai
t
forc
cVadmettre
diverses
pro|)Ositions
qui paratront
peut-tre
un peu dures; par
exemple,
qu'une
srie
divergente
n'a
pas
de
somme...
.
On
voit
combien sont grands
les scrupules
de Cauchv
;
aussi
ne
doit-on
pas s'tonner qu'il se soit pos,
lui
aussi,
le
problme
nonc
par
Abel
dans
le passage que
nous
avons
cit,
et
ail
recherch
comment l'emploi des sries divergentes
peut
conduire,
d'une manire
presque constante,
des
rsultats
exacts,
tout
en
n'tant
pas
thoriquement lgitime.
Une
mort
prmature
n'a
malheureusement
pas permis
Abel
de s'occuper de cette
(jues-
lion,
comme il
en annonce l'intention
;
aussi avons-nous dii
mettre
le
nom
seul
de Cauchy en
tte
de
ce
paragraphe.
En
parcourant
ses uvres, on
se
rend compte que
le
dsir
de
trouver un
mode
d'utilisation
des
sries
divergentes
ne
l'a
jamais
abandonn;
il
y
revient
plusieurs reprises.
Il
se
proccupe aussi
des
intgrales
dfinies
dpourvues
de
sens,
question connexe
celle
des sries
divergentes
et
pouvant
tre
traite par des
m-
thodes
en
partie
analogues,
mais
que
nous
laisserons
systmaticjne-
ment de
ct, dsireux
de dlimiter bien nettement
notre sujet,
et
ne
voulant
pas
y
mler
un
problme,
intressant sans
doute,
mais
peine
effleur
jusqu'ici
et
qui
appelle
encore bien
des
recherches.
Sur
les sries
divergentes, les travaux
de
Cauchy
sont d'impor-
tance
trs
ingale;
le
court
Mmoire
sur
la srie
de
Stirling
(')
se
distingue
nettement
des autres par la
clart et
la beaut
de
ses
rsultats;
nous
tudierons
en
dtail
ce
Mmoire au dbut du
Cha-
pitre
I;
contentons-nous
de
dire
ici que Cauchy
y
justifie,
pour
(
'
)
Comptes
rendus,
t.
WIII,
p.
070.
uvres
de
Caucliy,
srie
I,
t.
VIII,
p. iS.
-
8/10/2019 Divergent Series by Lacon
26/206
12
INTRODUCTION.
la
srie de
Slirling,
le
procd
de
calcul
approximatif dont
nous
avons
parl
tout
Theure
(p.
3),
pour les
sries dont les termes
dcroissent
d'abord
beaucoup
pour
crotre
ensuite
au
del
de
toute
limile.
La
thorie
de
Caucliy
ne s'applique
d'ailleurs
pas
la seule
srie
de Stirling;
comme
nous
le
verrons,
il
fait
observer
qu'elle
s'applique aussi
une
classe
fort gnrale
de
sries
ordonnes
suivant
les puissances
croissantes
de la
variable.
Mais
cette
partie
du Mmoire de Cauchy,
tant
reste sans
applications,
est
tombe
dans
l'oubli
et
la
srie
de
Stirling
a
t
le
seul
exemple
classique de srie
asymplotique,
jusqu'au
jour
o
M.
Poincar a fait une thorie
gnrale
de
cette
classe
de
sries, thorie
dont les
traits essentiels
sont
exposs
dans le
Cha-
pitre
I.
Parmi les
autres recberches de
Caucliv
sur les
sries
diver-
gentes,
on
doit citer
sa
thorie des sries
syntagma
tiques
.
Cauchy
donne
ce
nom
des
sries
ordonnes
suivant
les
puissances
de
plusieurs
variables et qui
sont
convergentes
ou
divergentes, sui-
vant
la
manire dont on
arrange
leurs termes.
Nous devons
nous
borner
ces
brves
indications,
renvoyant pour
les
dtails
aux
Mmoires
de Cauchv
(').
Signalons cependant
un
fait
curieux :
l'analogie
certaine,
quoiijiie
assez
loigne,
de
ces
recherches
de
Cauchy avec les travaux rcents de
M.
Mittag-Leffler,
dont
il
sera
question
au Chapitre
V.
Nous
devons
d'ailleurs
nous empresser
de
dire
que les Mmoires de
Cauchy,
faute
d'applications
simples,
taient
comj)ltement
tombs
dans l'oubli,
et que M.
^littag-Leffler
n'en avait
nulle
connaissance
lorsqu'il
a
fait sa
belle
dcouverte.
Le
fait
essentiel qui se dgage de celte
revue
rapide
des
travaux
de
Cauchy
sur
les sries
divergentes,
c'est
que le
grand
gomtre
n'a jamais
perdu
de
vue la question des
sries
divergentes
et
a
cherch
constamment
attnuer
cette
proposition
un
peu
dure
,
suivant
ses
propres termes,
qu
une
srie
divergente
n^a pas
de
somme.
Les successeurs
immdiats
de
Cauchy,
au
contraire,
ont
accept
cette proposition sans
attnuation
ni
restriction, et
parais-
sent
avoir
perdu compltement de vue
les eflorts
qu'il a
faits
pour
en
diminuer
la brutalit. Ils conservrent
seulement
le
souvenir
(
'
)
Comptes
rendus,
l.
\\,
p.
.jjy.
uvres
de
Cauchy,
srie
I^
t.
IX,
p.
jy.
-
8/10/2019 Divergent Series by Lacon
27/206
IIISTOUIQl li
ET GNRALITS.
l3
(le
la thorie relalive la srie de
Sliiling; mais la possihilil/;
d'utilise'
praliqueinent cette
srie
divergente
apparaissait
comme
une
curiosit
tout
fait
isole, et
sans
importance au
point
de
vue des
ides gnrales que
l'on
pouvait
ciiercher
se faire
sur
l'Analyse.
Les
sries
di\'ergentes depuis Caachy.
Le
problme
actuel.
Comme nous
venons
de le
dire,
on
cessa,
aprs
la mort
de
Cauchj
(1857),
de se
proccuper
des
sries
divergentes;
c'est
seulement
plus de
vingt ans aprs que parat
un travail
se
ratta-
chant
cette
question;
je
veux
parler
du
Mmoire
de
Laguerre
sur
l'intgrale
('
)
r e-^d.r
Nous
dirons
quehpies
mots
de
ce
Mmoire
au
dbut
du
Clia-
pitrell;
CDiUentuns-nous
de remarquer ici qu'il
renferme
seu-
lement
un
lait isol
et
ne
paraissant pas
pouvoir
servir
de
base
une
thorie?
gnrale.
C'est
seulement bien
plus
tard
([ue
Stieltjes,
gnralisant
d'une manire
fort
large le rsultat
de Laguerre,
a
cr
la
belle
thorie que nous
exposerons dans
ce Chapitre.
Mais
c'est
1886 qu'il
faut
faire
remonter
les premires
re-
cherches
la
fois
gnrales
et
rigoureuses, sur
des
sries
diver-
gentes.
A cette poque, parurent simultanment
deux Mmoires,
l'un
de
Stieltjes
(-),
l'autre de
M.
Poincar
(^)
sur les sries
que
le premier
appelait
semi-convergentes
et
le
second
asympto-
tiques.
C'est
ce dernier
terme
qui
a prvalu; la thorie
de
M.
Poincar
a,
en effet, une porte bien plus
haute
que
celle de
Stieltjes,
comme on
s'en
rendra
compte
aisment en lisant le
Chapitre
I.
Ce qui
caraclj'ise
la
thorie
de
M.
Poincar et
lui
donne
sa
grande
importance,
c'est qu'elle
est
base
essentiellement
sur la
(')
uvres de
Laguerre.
t.
I,
p.
428.
Bulletin de
la
Socit
mathmatique
de
France,
t. Vil.
(-)
Stikltjes,
Beclierches
sur
quelques
sries
semi-convergentes
(Annales
de
l'cole
normale,
1886).
(')
Poincar.
Acla
mathematica,
t.
VIII.
-
8/10/2019 Divergent Series by Lacon
28/206
I.'t
INTRODLCTIOX.
possibilit
d'appliquer aux sries
asjmplotiques,
dans des
condi-
tions
bien
dtermines que
nous
apprendrons
connatre,
les
rgles
ordinaires du
calcul
algbrique
et du
calcul
intgral.
Les
oprations
ainsi
effectues
correspondent
exactement
aux
op-
rations
analogues
eff'ectues
sur les
fonctions que l'on
fait
correspondre
aux sries.
C'est
l
le fait
essentiel qui est
le
fon-
dement
de
la
thorie de
M.
Poincar
et qui doit tre,
mutatis
mutandis,
le fondement de toute thorie
des
sries
divergentes
qui
a5[)ire
tre susceptible
d'applications.
On li'oiivera dans
les Chapitres III, IV,
V,
l'expos
de
travaux
plus
rcents sur les
sries
divergentes, travaux
dans
lesquels
j ai
eu une
part
assez
grande
pour qu'il
ne
m'appartienne
point
de les
commenter;
je
prfre
terminer
ce
Chapitre en
indiquant
brive-
ment
les
principes
fondamentaux
qui
m'ont
guid
et
qui
drivent
d'ailleurs
des
remarques
qui
viennent d'tre faites
propos
de
la
thorie
de JNI.
Poincar.
Il
semble
qu
propos
des
sries divergentes on
puisse
se
poser
deux
problmes principaux, dont
le
second
est,
comme
nous le
verrons, un cas particulier
du
|)remier, mais mrite cependant
d'tre trait
part.
Le
problme fondamental
est
le
suivant
:
Faire
correspondre
cliacjue
srie divergente
numriciue
un
nombre
tel
que
la
substitution de ce nombre la srie,
dans
les calculs usuels
oii
elle
peut se
prsenter, donne des rsultats exacts, ou du
/noins
presque
toujours
exacts.
Il
v aura
lieu d'ailleurs,
une fois
ce
premier
rsultat
acquis,
de
fixer
des classes,
le
plus
tendues
pos-
sible,
de mthodes de
calcul
dans
lesquelles
on est
certain
que la
substitution
du nombre
la
srie
est
lgitime. Pour les calculs ne
rentrant pas dans les
classes
tudies,
on
devra
regarder
le
rsultat
obtenu
comme
seulement probable,
et
chercher le
vrifier par
d'autres
mthodes.
11
est
d'ailleurs
peine
utile d'observer
qu'on ne peut gure
esprer
rsoudre le problme prcdent j^our
toutes
les
sries
divergentes;
l'infinit non dnondjrable
des
modes de
divergence
parat
tre un
obstacle
insurmontable;
mais
ce
serait
dj
un
rsultat
fort
important
de
l'avoir rsolu
pour les
sries
diver-
gentes
que
l'on
peut tre
efTectivement amen
rencontrer
dans
les
applications.
-
8/10/2019 Divergent Series by Lacon
29/206
HISTORIQUE
ET
GENERALITES.
l5
On
pourrait
d'ailleurs
tre
amen,
comme
nous
en verrons
des
exemples
plus
loin,
attribuer plusieurs
sommes
diffrentes
une
srie divergente
(^);
ce
fait
peut paratre
tout
d'abord
trange
et paradoxal; il
n'aurait
pas
paru
moins
trange
un
gomtre
du
xv *^
sicle
d'entendre
affirmer
que
l'intgrale
dfinie
-dz
r?
n'a
pas
seulement
pour
valeur
loga,
mais
doit
tre
considre
comme
gale
l0g2
-\-
ikTzi,
/ tant
un
nombre entier
quelconque.
Mais nous
laisserons
peu
prs
compltement de
ct celle
question
des
valeurs
multiples
des
sries.
Il
est
ais de
fixer,
a
priori,
diverses
conditions
auxquelles
devra satisfaire
le
nombre
que nous appellerons la
somme
de la
srie
divergente, par une extension naturelle du
sens
de
ce
mol.
11 est d'abord
clair
que
si
les sries
de
termes
gnraux
u,i
et r
ont
pour
somme
U
et
V,
la
srie
de terme
gnral
au,i-{-
O^'n
devra avoir
pour
somme aU+
bV,
quelles
que
soient les
con-
stantes
a
et
b.
Il
est clair aussi
que
si la srie
a pour
somme
U,
la
srie
Un
-h
Ll
+-1
-1-
Ui,-\-t
+
. . .
doit avoir
pour
somme
De
mme,
dans
des
conditions
prciser, la
multiplication
des
sries
divergentes
devra
tre
possible,
et
la
&v'\e
produit
devra
avoir
pour
somme
le produit
des sommes des
sries
facteurs.
Les remarques
prcdentes
permettent dj de
calculer la valeur
ncessaire que l'on
doit
attribuer
la
somme
de
certaines
sries,
si
toutefois
il
est possible de
leur
attribuer une
valeur. Nous
les
(')
I^U
aussi
une
srie conveigenlc
-
8/10/2019 Divergent Series by Lacon
30/206
l6
IXTRODUCTIOX.
avons
dj
ulllisccs, en fait,
page
8,
propos
de
la
srie d'Eulcr.
Voici un
autre exemple
:
soit
.s-
=
I
2
4-
4
8
-h
1
G
3-2
-^
On
a
5
=
1
2(1
2-1-4
8-f-iG
...)
=
i
2.9,
d'o
Il est
cependant
deux oprations
que l'on
devra
se
garder
d'ef-
fectuer
sur
les
sries divergentes :
c'est
le
changement
de
l'ordre
des
termes,
et
le
remplacement
de
termes
conscutifs
par leur
somme
('),
lorsque
ces
oprations
seront
faites
une
infinit
de
fois,
car
il rsulte,
d'une
remarque
faite
la page
prcdente,
que
ces
oprations
sont
lgitimes
lorsqu'on
ne les elTectue
qu'un
nombre
limit
de fois.
Il
est
manifeste
d'ailleurs
que
la
seconde
des
oprations
dont
nous
venons de
parler
ne
saurait
tre
lgitime
si la
premire ne
l'est
pas; car, en efrectuant
successivement
cette
seconde
opra-
tion
et
l'opration inverse, on
peut
obtenir
un changement
pur
et
simple
de l'ordre
des
termes,
c'est--dire
effectuer
la
premire
opration
(-).
Or,
un
peu
de
rflexion suffit pour se rendre
compte que
ce
changement de
l'ordre
des termes ne
saurait
tre lgitime.
On sait, en
effet,
que, mme dans le cas
des
sries
convergentes,
on peut
modifier la
somme volont en changeant
l'ordre des
termes,
toutes
les
fois
que
la
srie
n'est
pas
absolument
conver-
gente.
(') Ou,
inversement,
la
dcomposition d'un terme
en une
somme de plusieuri
autres.
('-)
Par
exemple,
la srie d'EuIer
s peut
s'crire
c'est--dire
c'est--dire
(.^0
+
(>-0--('-0-^---,
(-.-rl)-h(-I
+
.)
+
(-
-
8/10/2019 Divergent Series by Lacon
31/206
HISTORIQUE
ET
GENERALITES.
17
D'ailleurs,
on
peut
dmontrer
(')
que
si l'on
dsigne
par o
le
dplacement
du terme de
rang /i de
la
srie, c'est--dire
la
diff-
rence
entre
les
nombres
qui
expriment
son
rang
dans
la
srie
pri-
mitive et dans la
srie
modifie,
il
suffit,
pour que le
changement
de
l'ordre
des
termes
n'altre pas
la valeur
de la
srie,
que
l'on
ait
(1)
lim o_^,
=
o,
OU
bien
(i')
liin
o,iUn+p
=
o,
quel
que
soit
l'entier positif
p
qui
peut varier
avec
n; ces
deux
conditions
sont
d'ailleurs quivalentes;
mais
il
ne suffit pas que
l'on ait
(2)
lini o
u,i
=
o.
Or,
pour une srie convergente,
dont les termes
tendent
nces-
sairement
vers
zro, la
condition
(i)
est
ncessairement
vrifie si
tous les
o,i
sont
finis.
Mais
pour une
srie
divergente, dont
les
termes ne tendent
gnralement
pas vers
zro,
la condition
(2)
ne
sera
pas
vrifie, mme si
les
o
ne
dpassent pas
l'unit.
11 est
donc fort naturel,
par
analogie
avec
ce
qui
se passe
pour les sries
convergentes,
que
le
changement
de
l'ordre
des
tei^mes
altre la
valeur
de
la
srie.
Des exemples trs aiss
former montrent
d'ailleurs
qu'il
en est effectivement
ainsi.
O/i
doit
donc considrer, dans une
srie, le rang
de
chaque
ternie
comme
fcdsant
partie
intgrante de ce
terme; une
srie
n'est pas
seulement une collection
dnombrable
de
nombres; c'est
une
telle
collection,
dont les lments
sont rangs
dans
un
ordre
dtermin, et cet
ordre importe autant que
la
valeur des
lments.
Sans doute,
pour
les sries absolument convergentes, la
somme
ne
dpend
pas
de cet
ordre et,
un
certain point
de
vue,
on
peut
en
faire abstraction;
mais il n'en
serait
sans doute
plus
de mme
si Ton
s'inquitait
des
diverses
valeurs
que
peuvent avoir
ces
sries,
comme
nous l'avons dit
p.
i5.
Cette
manire
de considrer les sries :
une
collection
de
(')
Voir BoREL,
^u/-
le
cliangenient
de
l'ordre
des
ternies
d'une srie
semi-
convergente
{Bulletin
des
Sciences
niatllmatiques,
1890).
E.
B.
(3)
2
-
8/10/2019 Divergent Series by Lacon
32/206
|8
INTRODUCTION.
nombres,
dont chacun
a
un rang
dlermin,
est,
mon sens,
tout
fait
essentielle
en Analyse
;
il faut
y
ajouter qu'une modi-
fication portant
sur un nombre
limit de rangs,
et
pouvant
par
suite
diminuer tous
les rangs d'un
nombre
fixe,
partir
d'un cer-
tain terme,
est sans
importance
;
mais
c'est
l'infini,
si l'on
peut
ainsi
s'exprimer,
c'est--dire
dans
les
termes
dont
le
rang
augmente
indfiniment,
qu'il
importe de
ne
pas
bouleverser
l'arrangement
de
la
srie,
sous peine de changer
compltement son caractre.
Laissant
maintenant
de
ct les
sries
divergentes numriques,
passons
au
second
problme
que nous avions
annonc
:
il
est
relatif
aux
sries
de
fonctions
toujours
divergentes. La thorie des
sries
de
fonctions
tantt
convergentes, tantt
divergentes, sui-
vant
la
valeur
de
la variable
(ou
des
variables)
se
rattache, en
edet,
la
thorie
du prolongement
analytique et
il
n'y
a pas
lieu
d'v insister
ici;
nous en parlerons dans le Chapitre
IV.
Le
problme
actuel
est,
comme nous l'avons dit, un
cas
parti-
culier
du
prcdent
puisque, si
l'on
savait
calculer la
somme
de
la
srie
numrique
obtenue en
donnant
la variable (ou aux
variables),
dans
la srie
de fonctions, une
valeur
particulire
quelconque, on
aurait
la connaissance
complte
des
valeurs
nu-
mriques de la fonction
reprsente
par la srie.
Cette
fonction
serait
donc
connue,
au moins
thoriquement, et
son
tude
rendue
possible.
Mais on conoit qu'il jHiisse
tre le plus
souvent avantageux
d'tudier
cette fonction directement,
sans
passer par
l'interm-
diaire de ses valeurs
numriques,
et
c'est
pourquoi
nous
avons
distingu
ce
second problme du premier.
Le cas
particulier
de
ce
second
problme
qui parat tre de
beaucoup
le
plus
important,
dans
l'tat
actuel de
l'Analyse, est
celui qui est
relatif
aux sries
de
puissances
toujours
divergentes.
Nous nous
en
occuperons
diverses reprises
dans le
courant
de
cet
Ouvrage.
Remarquons simplement ici que ces sries se
prsentent
natu-
rellement,
comme
intgrales
vrifiant
formellement
des quations
diflrentielles,
et
qu'il
est par consquent
tout
indiqu
de cher-
cher
dterminer,
l'aide
de ces
sries,
les
fonctions
intgrales.
Il
est clair,
d'ailleurs,
sans
qu'il
soit
besoin
d'insister
sur
ce
point,
que
les
rgles de
sommation
de
ces
sries
de fonctions
-
8/10/2019 Divergent Series by Lacon
33/206
HISTORIQUE
ET
GNRALITS.
I9
devronlsatisfaire
aux lois
fondamentales
que
nous
avons
reconnu
tre
ncessaires pour les
rgles
de sommation des
sries num-
riques.
En
particulier,
pour
les
sries
de
puissances,
la
multipli-
cation s'effectue
d'aprs des
rgles videntes
:
elle
devra
donner
pour
rsultat une
srie
donl
la
somme sera
le produit
des
sommes
des sries
facteurs.
Terminons en indiquant brivement
le
plan
de ce
Livre.
Le
Chapitre
I
est
consacr
aux
sries
asjmptotiques,
dont
la
thorie est
domine
par les travaux
de M.
Poincar.
Cette
thorie
permet de
faire correspondre, dans
des
cas dtermins,
une
srie
divergente un nombre connu
seulement
avec
une
certaine
approximation
Au
point
de
vue des applications
aux problmes
pratiques,
et
en
particulier
ceux
de
la
Mcanique
cleste,
cette
solution
est
pleinement
satisfaisante,
du
moment
que
l'approximation
est
assez
grande.
JNlais,
au
point
de vue
thorique,
cette
mthode
ne permet
point de
dterminer
exactement la fonction
qui
correspond
une
srie
analytique; nous
verrons, en
effet, d'aprs
M.
Poincar,
qu'
chaque
srie asymptolique
correspondent
une
infinit
de fonc-
tions
distinctes.
Les
sries
asjmptotiques
peuvent
cependant
rendre
de
grands
services
pour
l'tude
des
intgrales
des
quations
diffrentielles
indpendamment
de
leurs
applications
au
calcul
numrique.
En
effet, en gnral,
parmi l'infinit
de
fonctions
que
reprsente
la
srie, une seule
vrifie
l'quation
diffrentielle
:
la
srie corres-
pond donc,
lorsqu'on
lui
adjoint
l'quation
diffrentielle,
une
fonction dtermine, et l'on conoit
que la
considration
simul-
tane
de
la
srie et
de
l'quation
permette d'tudier
cette
fonction.
J^e
Chapitre
II
est
consacr
l'tude
des
rapports entre les
sries divergentes
et
les
fractions
continues;
les
travaux
fonda-
mentaux
de
Stieltjes sur
la
question
y
occupent
la
plus
large
place.
A la fin
de ce
Chapitre
j'indique une
gnralisation
rcente
des
rsultats
de
Stieltjes
('),
gnralisation faite en
vue de
l'applica-
(
'
)
Voir
BoREL,
Mmoire
sur les
sries
divergentes
{Annales
de
l'cole
Nor-
male,
1S99,
p.
ii3
el suiv.).
-
8/10/2019 Divergent Series by Lacon
34/206
20
INTRODUCTION.
lion
possible des
rgles
du
calcul
aux sries
divergentes consi-
dres.
La
porte
des
rsultats
de
Stieltjes
est
ainsi
notablement
tendue
et
leur
application
la thorie
des
quations
diflerenlielles
est
rendue
possible.
Le
Chapitre
III
est consacr l'exposition d'une gnralisation
de
la
notion
de
somme que j'ai
indique
il
J
a
quelques annes;
dans
le
Chapitre
IV, j'tudie les rapports
de cette
thorie
avec
celle
du prolongement
analj'tique
et
j'indique
quelques
rsultats
obtenus
rcemment
par
divers
gomtres,
dont
les
travaux
ont
t
inspirs par
la
thorie des sries
divergentes sommables et
qui,
ce
titre,
trouvent naturellement
leur
place
ici.
Enfin,
dans
le
Chapitre
V,
aprs
avoir
expos un trs
beau
thorme
que
M.
Mittag-Leffler
a
obtenu
rcemment en cherchant
gnraliser
certains rsultats
des
Chapitres III et
TV,
je
montre
comment les
ides
exposes
sur
les sries divergentes
permettent
d'aboutir,
dans
cette voie,
des
rsultats
bien
plus
tendus,
et
j'tudie
les rapports
de
cette
thorie nouvelle
avec les autres
thories
des
sries divergentes.
-
8/10/2019 Divergent Series by Lacon
35/206
CHAPITRE
I.
LES
SRIES
ASYMPTOTIQUES.
Cauchy et
La
srie de Stirling.
Comme nous
l'avons
vu,
les
premires
recherches
sur les sries
asymptoliques sont dues Cauchy
('),
et
sont
surtout relatives
la
srie de
Stirling.
Mais
la
thorie
gnrale de
ces
sries
n'a t
tablie
qne rcemment, par les
travaux
de
M. Poincar.
I^a srie de
Stirling,
la
premire srie
divergente employe pra-
tiquement,
sert
calculer
la
fonction
F
(g)
quand
z
est trs grand.
La fonction r(s)
est
dfinie
par l'intgrale
r(.-)=
f
dx.
En
intgrant
par
parties
on
obtient
la
relation
d'o
l'on
dduit
que, pour les
valeurs entires
de
,
on
a
r
(
/i
-4-
1
)
=
71
Lorsque
n est trs
grand,
les
valeurs
de
n\
sont
trs
pnibles
calculer,
et
cependant
il
est
important,
notamment
dans bien
des
questions de
calcul
des probabilits, d'en
connatre
une
valeur
approche.
Nous
partirons
de la
formule
suivante que l'on
dmontre dans
les cours d'Analyse
{voir.,
par
exemple, Jordan,
2''
dition,
t. II,
p.
180):
Iogr(^)=(^
i
jlogs
c
-t-
-logaTT
-^-rsi^z)
(')
Cauchy,
Comptes
Rendus, t.
XVII,
p.
370
(28
aot
i8^3).
uvres,
srie
I.
t. VIII,
p.
18.
-
8/10/2019 Divergent Series by Lacon
36/206
22
CHAPITRE
I.
avec
Le calcul de
la fonction
r(:;)
est
ainsi
ramen au
calcul
avec
approximation de la
fonction
ts[z).
Nous
supposerons
z
rel
et positif,
ce
cas
tant seul
intres-
sant
dans
les
applications. L'intgrale prise
partir
de
o
a
un sens.
On a en
efTet
:
l
X
X'
x^ \
=
-i-
H...=--
-Xx
X
\
1
]
X
-i.
Donc
dx
i.
et
l'on
voit
que
le
coefficient
de
dx
est
fini
pour
x=^o.
Il
en
rsulte
immdiatement
que
la
fonction
7rj(c)
tend vers
zro
si
z-
crot
indfiniment.
Pour avoir une premire
approximation,
remarquons
que
Ion a
r
/
p
ZX'
=0
,
e----cdx
=
i-- )
=-,
d'o
Ton
dduit
l'ingalit
iX
f{x)e--^dx
',
ce
qui ne
change
pas les
limites,
puisque
z
est
rel
et
positif. On
obtient
j
-^tn
e-zx
clx
^
^^^
I
y-ne-y-dj
On trouve donc
r(?.n
i)
('in)l
,
,
B,
I B,
I
B3
I
Or
les
nombres
de
Bernoulli
de
rang lev
augmentent
rapide-
ment
avec
leur
indice, car
on
a
\
^
2-/'
'
o-/'
j
d'ol
-^
>
-^^
rV^
>
A(2p
-t-
i)(2p
+
1),
2-2
^
32
'
A
tant une
constante.
Donc
ce rapport
crot indfiniment
avec
p.
Le rapport d'un terme au prcdent dans
la srie cy(G)
a pour
valeur absolue
B;,
+
l
(2/?
V)ip
J^
B;, {ip-^\){'ip
^1)
z^-
et,
par
suite, quel
que soit
::,
il
crot aussi
indfiniment
en
mme
temps
que
p.
Le dveloppement
que nous
avons
trouv
pour
^(j;)
est
donc
divergent.
Les oprations que
nous
avons faites,
prsentes
sous
cette forme,
ne
sont par consquent
pas
lgitimes.
Nanmoins
Cauchy a
montr
que,
sans
qu'il
soit
besoin de
faire aucun
autre
calcul,
on
peut
lgitimement
employer
le
dveloppement
trouv
pour le
calcul approximatif
de
m[z).
Nous
avions
calculer
l'intgrale
f
Or
Cauchy
a
fait la
remarque
suivante
;
Si
l'on
dsigne
par
a
ely
-
8/10/2019 Divergent Series by Lacon
39/206
LES
SRIES
ASYMPTOTIQUES.
25
des
nombres positifs
et
que l'on
considre
le
quotient
^
=
1
-
-^,
-4-^
_...+
,_,)
J:^^_(_i)+1
2^
a-hy
a
a'-
*
-^i
a'^-^^
{
y
--
a)
la
progression gomtrique obtenue
peut tre
convergente ou
divergente, mais
la
valeur absolue du
reste est
toujours
plus
petite,
soit que le dernier
terme calcul,
soit
que le
premier
nglig.
Elle
est
d'ailleurs
de mme signe que
le
premier
terme
nglig.
Cette
proprit,
vraie
pour
des
progressions
gomtriques,
le
sera
encore
pour des sommes de progressions
gomtriques,
de
raison
ngative.
Nous
avons obtenu le
dveloppement
Bi
B,a72
B3
,
7
~^T^ ^
G ^'
comme
une
somme
de
telles
])rogressions.
Donc,
en
nous
arrtant
\S
B
au
terme
(
\)p~^
7~~\
x'-p~'-, l'erreur
sera
G
''^--
,
x-p, B
tant
^
^
{ ipY-
'
(
'i/>
-+-
2
)
compris
entre
o
et
i
.
Dans l'intgration
qui
donne rjs[z)
le terme
comilmentaire
prcdent
donnera
comme coefficient
de
-
^0
c'est--dire
que
la
proprit
fondamentale
des progressions :
/'e/--
reu7'
est plus
petite
que le
premier
terme
nglig,
subsiste
si
l'on
multiplie
par
e~^^'
et si
l'on
intgre.
Elle
appartient donc
la
srie
de
Stirling,
et
l'on
a
,
,
B,
I
B2
I
^
,
R
^
-
8/10/2019 Divergent Series by Lacon
40/206
26
CHAPITRE
I.
On
voit
que la
mthode
de
Caiichj
ne
s'applique
pas
seule-
ment
la
srie
de
Stirling, mais
s'tend
immdiatement
une
classe
tendue
de sries analogues.
La
tliorie cIp
M. Poiticar.
L'ide
de chercher
construire
une
thorie gnrale des sries
asjmptotiques parat tre venue
simultanment
Slielljes
et
M.
Poincar.
Stielljes leur donna
le nom
de
sries
semi-conver-
gentes.
JNous n'adopterons
pas cette dnomination,
qui
prte
une
amhigul
('),
mais
celle de
sries
asymptotiques
due
M.
Poincar
et
qui
est
maintenant
consacre par
l'usage. La
thorie de
^L
Poincar
a
d'ailleurs
bien
plus
de
porte
que celle
de
Stieltjes.
\eanmoins
les
travaux
de
Stieltjes sont
intressants, et
nous
allons
en
dire
quelques iiots. avant
de
passer
l'tude
de la
thorie
de
^L Poincar.
Stieltjes suppose
que Ton
j)art d'une
fonction dtermine, que Ion veut
tudier
pour les valeurs
trs
grandes de la variable.
Considrons une fonction
F
(a)
d'une
variable
positive
a.
Sup-
posons
que lorsque a augmente indfiniment cette
fonction
ait
une
limite
lim
F(a)
Co,
On
peut
dire
que
Co
donne
une
approximation
de
F()
pour
une
valeur
trs grande
de
a.
Cherchons
si l'on
peut
trouver une
approximation plus
grande.
F(rt)
Cq
tend vers zro.
Mais
il se
peut
que
le
produit
par a
de
cette
quantit
ait une
limite
lim
a[F(a)^Co]
=
Ci,
OU
lim a F(a I
Cq
'
=
o.
=
00
L
J
11 se
peut
encore
que
l'on
ait
L
J
et ainsi
de
suite.
(')
On
appelle
souvent
semi-convergentes
les sries
non
absolument
conver-
gentes.
-
8/10/2019 Divergent Series by Lacon
41/206
LES SERIES
ASYMPTOTIQUES.
27
On esl
conduit
crire
F(a)
=
Co-4-^
+
^^-....
^
^
a
a-
[1
pourra arriver
que le dveloppement
ainsi trouv
soit
divergent.
On peut alors se demander
si
ce
dveloppement ne peut
pas tout
de
mme
tre utile pour
le calcul
de
la
fonction F(a).
On
crira
a
a'>-
et
la
question se posera
d'tudier
R
;
selon le rsultat
de celte
tude, on se
servira
ou
non de la
srie. On
n'aura
pas
propre-
ment
parler
tudier
une
srie
divergente,
mais une certaine
fonction R.
Stieltjesa fait
observer
qu'on avait surtout
tudi auparavant
les
sries
pour lesquelles les signes
sont
alterns
et
qu'il appelle
sries
de
premire
espce,
donnant
le
nom
de sries
de
seconde
espce
celles
dont tous
les termes
ont le mme
signe.
En
gnral, les sries
de premire espce
sont
telles que le
reste
R
est
infrieur au dernier
terme
calcul
ou
au premier
terme
nglig.
On peut calculer
ces sries
sans
scrupule
aussi
loin
qu'elles
paraissent
converger.
Considrons maintenant
une
srie
de seconde
espce,
par
exemple
. .
I I
1.2
1
.
2
.
3 .
.
.
(
/i
I
)
r>
Si
rt est dtermin,
ainsi
que
F(),
le
reste R,
quand 7i augmen-
tera,
sera
d'abord
positif,
puis
ngatif
et
dcrotra jusqu'
-co.
Ce
qui
est
important,
c'est
la
dtermination
de
la
valeur
de
/i
pour laquelle
R,,
se
rapprochera
le plus
possible de
zro.
La
srie
prcdente
se
rencontre
dans
l'tude
du
logarithme
intgral
qui
est
dfini
par la formule
C'est
une
transcendante
fort intressante qu'on
rencontre
dans
beaucoup
de problmes.
Voyons
le sens qu'il faut attribuer
cette
formule.
Si
5::
-- i,
on
remplace
l'intgrale
par
ce que
Cauchv
appelait la
valeur
principale,
c'est--dire
^-iir-o-
On
constate
aisment
que cette
limite
existe
lorsque
z
tend
vers
zro
(').
Si
l'on remplace
x
par
e^
dans le
logarithme
intgral,
on
trouve
le
dveloppement
divergent qui
prcde
Oq
peut obtenir
aussi,
pour
le
logarithme
intgral,
un dveloppe-
ment
convergent.
Mais
Stieltjes a montr
que le dveloppement
divergent
donne
des
rsultats
bien
meilleurs pour le calcul
(-).
La
mthode
de
M. Poincar
est
plus gnrale.
Elle
permet
d'tudier
les
intgrales
d'un grand
nombre d'quations
difTren-
tielles
(^}.
Son
principe
consiste,
aprs avoir dfini
la
correspondance
entre
une
fonction
et
une
srie asymptotique,
constater
que
cette
correspondance
se conserve
dans
la
plupart
des
oprations
simples.
Considrons
une
fonction
}(x) et
le
dveloppement
X
X-
On
dira
que
ce
dveloppement, qui
peut tre
di^-ergent,
repr-
(')
D'une
manire
plus
gnrale, on
sait
que,
si
/(c)
est
infini, on
dfinit
l'in-
lgrale comme
il suit
1
fix)dx^-Um\
j
f{x)dx-^
j
f{x)dx\.
c
et
s'
tendant vers
zro
indpendamment l'un de
l'autre.
Cauchj
a
introduit
la
valeur
principale
en
faisant
z
=
z'
.
et il
se
peut
que la
valeur
principale
existe alors que
la
valeur gnrale
n'existe
pas.
(^) Voir Stieltjes,
Recherches sur
quelques
sries
semi-convergentes
{An-
nales de l'cole
Normale,
i88G).
(^)
Voir
PoixcAR,
Sur
les intgrales
singulires
des quations
diffren-
tielles
{Acta mathematica,
t.
VIII).
-
8/10/2019 Divergent Series by Lacon
43/206
LES SRIES ASVMPTOTIQL'ES.
29
Bente
asymptotiqueinent
la fonction
si
la diffrence
est,
lorsque
:z,
crot
indfiniment,
d'un
ordre de grandeur
infrieur
j
c'est--dire
si le
produit de
cette
diil'rence
par
x
tend
vers
x'^
-
8/10/2019 Divergent Series by Lacon
44/206
3o
CHAPITRE I.
il
esl
clair
que la
fonction
i(^x)-^e~^
sera
reprsente
par
le
mme
dveloppement.
Ce
n'est
qu'en l'assujettissant
d'autres
conditions
qu'on
dterminera
la
fonction reprsente par une
telle
srie.
Par
exemple,
si
l'on
considre
une
quation diffren-
tielle,
le
fait que
la
fonction
cherche est une
intgrale
de
l'qua-
tion
sufili-a
souvent
pour que son
dveloppement
asymptotique
la
dtermine.
Maintenant
que nous
avons
dfini la reprsentation asympto-
tique
des
fonctions,
nous
allons
tudier
ce
que devient
cette
reprsentation
quand
on
eflectue
sur
les
fonctions
des
oprations
simples.
Tout
d'abord on
voit
immdiatement
que
la
reprsentation
asymptotique
est
conserve
par
Vaddilion
et
la
soustraction
(').
Si
l'on a
C,
C-+-
r'.
r' .
-4-
?'
J'(r)
=
t,i
et
s)^
tendant
vers zro lorsque
x crot
indfiniment, on
aura
J(^)~
J
(.r)
=
(CoH-Co)H
h...+
^^
,
B,i-+-
^',1
tendant encore
vers
zro lorsque
x
crot
indfiniment.
ElFectuons
maintenant
la
multiplication
des deux fonctions
J
et
J'.
On
aura
JJ'
Ci(c'-i-
:')
-;-
Coc;,^,
-4-
.
.-4-
fc,,
-4-
,,)^',
(c-l-
)(c', -t-
s'.,)
JJ
=
CnCn-;
(\
tendant
visiblement
vers
zro quand
x
crot
indfiniment.
Si
donc deux
fonctions sont
telles
que chacune
d'elles est
reprsente
par
une srie asymptotique,
il en
est
de mme de
leur
produit
et
la srie asymptotique
qui le
reprsente
est le
produit
(
'
)
Nous
avons, en fait,
dj
ulilis
celle
proprit pour la somme J(x)
+
e-*'.
-
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45/206
LES SRIES
ASY.MPTOTIQUES.
3l
des
deux
sries
donnes. Nous dirons
plus
brivement
qu on
peut
multiplier
deux
sries asymptotiques.
Comme
corollaire,
on
peut
lever une
puissance
quelconque
une
srie
asjniptotique.
On
pourra donc
aussi
calculer un
polynme
dont les
divers
termes
seront
les
puissances d'une srie
asymptotique
F(J)
=
Ao-4-
A,J^-...-^A/,J/'.
On
peut
aller plus loin,
et
noncer
un rsultat
trs
important
: on
peut remplacer
le
polynme prcdent
par
une
srie
conver-
gente,
condition
toutefois
de prendre
certaines
prcautions.
Soit
/(J)
=
Ao-^
AiJ
+...+
A/,
.]/'
+
.. .
une
srie
convergente dont le rayon
de
convergence
p
soit
sup-
rieur
|co|.
i{x)
tendant
vers
Cq lorsque
x
crot
indfiniment,
pour
X
assez
grand
la srie
convergera par
suite
de
la
condi-
tion
p>|co|.
/(J)
dfinit une
certaine
fonction
de x^
F(^).
Je
dis
que
cette
fonction
est
susceptible
d'une
reprsentation
asymp-
totique
que l'on
obtiendra
en
l'emplaant,
dans la
srie
y,
J
par la
srie
asymptotique
correspondante
et en
effectuant
les
calculs.
On a
Inii
Y{x)
=
Ao AiCo-v-.
.
.
A;,c^-w.
.
.
=
Cu,
F(5^)
Co=
A,(J
Co)-4-...^A/,(J/'-c^)^....
Calculons
lim^[F(j;)
Cq].
Nous
savons
que
x{3p
cj^)
a
une
limite
bien
dtermine. 11 suffit, pour avoir
cette
limite,
d'lever
la puissance
p
le
dveloppement asymptotique
de
J
(x)
iP{x) =
cP-
P^'t^Cy
On a
donc
lima7(J/'
c'J)
=z
pc'^-^
Ci.
Nous
connatrons
donc
la limite
C|
de
x[F(x)
Cq].
On
obtient
Cl
=
ci(Ai-)-
2A2C0-1-.
.
.^pX/jC'^-^
-1-.
.
).
la srie
tant
visiblement convergente, d'aprs l'hypothse
faite
sur
le
rayon
de
convergence
de/(J).
En
continuant
ainsi
nous
verrions
qu'il
suffit
de
remplacer
-
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32
CHAPITRE I.
partout
J
(x)
par son dveloppement
asjmptotiqiie
pour
avoir
celui
de F(^).
Nous
aurions pu viter
tout
calcul en
faisant
la
remarque
sui-
vante
:
Le
dveloppement
en
srie
asjmptotique
est unique;
si
d'ailleurs
il est convergent
il
suffit
pour
l'obtenir
de
faire
la
sub-
stitution
indique. Il
doit
donc
en tre
de
mme quand le
dve-
loppement
est
divergent.
Au
point de vue de la
convergence
la
seule
question
qui
pour-
rait
se
poser
est
celle
de
la
convergence
des
dveloppements
suc-
cessifs
dfinissant
Co, C,,
....
Or,
l'emploi
de
la
formule
de
ajlor
montre
immdiatement
que ces
dveloppements
s'expri-
ment
linairement
au mo}'en
des sries
/'(co),
/ (co),
...
qui
sont
toutes
convergentes,
par liypothse;
dans
l'expression
de
chacun
des
coefficients
Cp,
il
ne
figure d'ailleurs
qu'un nombre
limit
de ces
sries
(les/)
premires).
Passons
au
cas
de la
division.
J(^)
tant reprsente
comme
prcdemment,
considrons
y-
:
Nous
pourrons
l'crire
J
{x
S{x)
Co 1
-H
ou, en
posant
Co
X
Co
X-
J(,.r.)
Co
-
Celte
srie
est
convergente
si
|[
-
8/10/2019 Divergent Series by Lacon
47/206
LES
SERIES
ASYMPTOTIQUES.
Supposons
que ron
ait asvmptoliqiiement
33
J(:r)
=
Cq-
C-2
X
X'
x ^
Je
dis que l'on aura tle
mme
/:
[^'',,
ri
,
on
fait
le
raisonnement suivant :
Si
l'on
remplace
j)^
par
cette expression
dans F, et si
F est
une
fonction
analytique,
on
obtiendra
une
fonction analytique
de
x
F
=
Ao
-r-
Al
.r
-^
Aa
x''- .
. .
Mais
par
hypothse
y
et
ses
drives
sont
choisies
telles
que
F
et ses
drives soient nulles
pour
x
=
o.
Ces
drives
pour
x
=2
o
tant
Aq,
A(
,
Ao.
. .
.
,
on
en
conclut
que
le
dveloppement
de
F est identiquement
nul.
Par
suite la
fonction
jK
ainsi
dfinie
est une
intgrale
de
l'quation.
Dans
le
cas
o
la
srie trouve
pour
y
est
divergente,
on
peut
encore
remplacer
y
par cette
srie
et
appliquer les rgles
ordi-
naires
du
calcul.
Les
coefficients
Ao,
A,,
.
.
.,
s'exprimeront exactement
de la
mme
manire que lorsque la srie
jk
est
convergente,
puisque les
rgles
de
calcul sont les mmes. Donc le rsultat
obtenu
sera iden-
tiquement
nul
et
le
dveloppement
\r\fievafo?-niellement
l'qua-
tion
diffrentielle.
Ce
rsultat tait connu depuis longtemps.
M. Poincar,
le
pre-
mier,
a
montr
qu'on
