Divergencia de un tensor Luis Roberto Ríos Álvarez

Facultad de Ciencias, UNAM

Relatividad

Introducción.

El propósito de este trabajo es describir el Teorema de la Divergencia para tensores,

explicando primero el mismo teorema para un campo vectorial y repasar términos como

flujo y la derivada covariante de un tensor. Todo esto de la manera más clara posible sin

demostrar de manera formal y contundente todas las definiciones que se muestren, el

objetivo es mostrar al lector la matemática y la teoría de manera simple y sólo con los

detalles más importantes.

Derivada Covariante.

Comenzamos resolviendo el problema que resulta ser el derivar un tensor, ya que esta

derivada debe comportarse como un tensor para que nuestras ecuaciones tensoriales sean

independientes del sistema de coordenadas. Primero definimos a los tensores de la forma:

(1)

Si aplicamos la derivada como la conocemos a este tensor T obtenemos:

(2)

Usando la regla de la cadena y reacomodando llegamos a:

(3)

Aquí el segundo término representa un problema pues no se comporta como un tensor,

es necesario redefinir la derivada para que este término desaparezca, para esto el

matemático Elwin Bruno Christoffel ideó los llamados símbolos de Christoffel que se

agregan a la derivada del tensor y que sirven para eliminar el término del que hablamos.

Estos símbolos están definidos como:

(4)

Donde el término g es el tensor métrico definido como:

(5)

Los símbolos de Christoffel poseen muchas propiedades útiles que podrían ser

demostradas pero en esta sección nos limitaremos a definir términos que serán utilizados

para entender mejor la divergencia de un tensor.

Ahora que sabemos cómo eliminar el término que nos molesta en la definición de la

derivada podemos definir la derivada covariante de un tensor, esta tiene una forma si el

tensor es contravariante y otra si es covariante, las cuales son respectivamente:

(6) y

(7)

Donde la coma indica una derivada ordinaria y el punto y coma una derivada covariante.

Divergencia de un Campo Vectorial.

Un campo vectorial es algo que podemos imaginar como una infinidad de vectores en un

espacio tridimensional, en donde a cada punto en el espacio se le asigna un vector en

específico. Donde hay un campo podemos trazar una superficie y encontrar el flujo neto

de fuerza que atraviesan esta superficie, solo contamos las líneas que cortan, no las

tangenciales. El flujo entonces lo podemos escribir como la intensidad de flujo de vectores

F por el área que atraviesa:

Φ=F·A (8)

Para encontrar el flujo cuando la dirección de los vectores varía y el área es curva

dividimos la superficie de manera que a cada pedazo se le pueda ver como una lámina

plana y le asignamos una dirección a cada superficie con un vector normal a su plano

tangente. Así el flujo está dado por:

ΔΦ=F·ΔS para una división (9)

Φ= ΣF·ΔS= ∫FΔS para toda la superficie (10)

Si las líneas provienen de dentro del espacio encerrado por la superficie se dice que hay

una divergencia positiva, si entran la divergencia es negativa. Si el flujo neto esto quiere

decir que para cada línea que entra hay una que sale, para que esto ocurra no es necesario

que la superficie sea esférica, puede tener cualquier forma siempre y cuando sea cerrada.

En la física un campo eléctrico puede ser expresado con líneas que salen de una partícula,

si encerramos a una carga negativa dentro de una superficie cerrada tendríamos una

divergencia positiva pues estas líneas que definen nuestro campo provienen de dentro de

la superficie. Si un campo externo afectara a una partícula encerrada dentro de una

superficie la divergencia sería negativa. Un caso muy interesante es el del campo

magnético, siempre que encerremos un imán en una superficie cerrada encontraremos

que la divergencia de su campo es cero, pues los imanes no tienen monopolos, en el

siguiente diagrama podemos apreciar la forma del campo y resulta claro entonces que por

cada línea que sale del imán otra entra:

Figura 1. Campo magnético de un imán.

De esto podemos deducir una de las ecuaciones de Maxwell, las cuales son muy

importantes para la física, esta nos dice que la divergencia del Campo magnético B es

siempre cero:

(11)

La divergencia es un escalar, así que para que al operar ∇ (Nabla) con un campo vectorial

esto requiere que ∇ sea un operador tensorial, lo cual nos será importante para la siguiente

sección. La divergencia de un campo vectorial sobre una superficie cerrada se da como:

(12)

Y definamos ahora la divergencia de un campo vectorial pero usando tensores, esta se

escribe entonces como:

(13)

Nota: El tensor métrico en esta definición aparece en algunos libros, textos y

publicaciones con un signo negativo, esto se empleaba para indicar que si el tensor

métrico era negativo se debía cambiar su signo para no tener un complejo en nuestra

definición, mas con el tiempo las razones de su uso se han dejado de explicar y esto puede

resultar confuso.

La divergencia de un Campo Tensorial.

Ahora extenderemos la divergencia a los tensores, para esto definamos primero la

divergencia de un tensor contravariante de orden 1 de la siguiente manera:

∇·T = ∂μTμ = ∂Tμ/∂xμ =∂T1/∂x1 + ∂T2/∂x2 + ∂T3/∂x3 + ... (14)

Para la divergencia de un tensor de segundo orden T obtenemos un vector y se expresa de

la forma:

(15)

Ahora definimos la divergencia de un campo tensorial de orden superior como:

(16)

Teorema de la divergencia.

El teorema de la divergencia se expresa mediante la ecuación:

(17)

Si queremos extender el teorema a la Relatividad necesitamos definir la divergencia en

un espacio de 4 dimensiones, para ello requerimos escribir este teorema de forma

tensorial, como:

(18)

Ahora usaremos la definición de F y dV como:

(19) y

(20)

Así al sustituir ambos términos del lado izquierdo obtenemos una nueva ecuación, del

lado derecho solo debemos considerar que dS se escribirá como:

(21)

ya que las derivadas de ese lado no son covariantes. Entonces obtenemos nuestra

ecuación final:

(22)

Conclusiones.

Hemos logrado llegar a ecuaciones de vital importancia para la física a través de

demostraciones que usan poca matemática, la mayoría de las definiciones dadas en este

documento carecen de una demostración apropiada para poder ser utilizadas, mas ese no

es el punto de este trabajo, un escrito con tales demostraciones y con una formalidad justa

y necesaria requeriría de muchas más hojas y de un manejo bastante avanzado del tema

para los lectores, siendo este un curso básico de relatividad solo se pretende acercar al

lector de una manera gentil al tema, ya que exponerlo a matemáticas tan avanzadas podría

resultar contraproducente. Teniendo esto en cuenta podemos afirmar que el camino por

el que hemos llevado al lector fue el apropiado.

Habiendo aclarado las razones por las que se trató el tema de esa manera veamos entonces

a lo que llegamos: Definimos conceptos básicos para que al pasar de la divergencia de un

campo vectorial a uno tensorial no se sintiera tan forzada debido a la ausencia de

demostraciones formales y en el camino encontramos aplicaciones para la física y algunas

notas importantes que son útiles al momento de entender la notación en las definiciones.

Finalmente es importante destacar que los resultados obtenidos son válidos para tensores

que no son mixtos, si quisiéramos definir todo para estos es posible mas la notación se

haría más confusa y se podría perder al lector, por lo que se invita a este a adentrarse más

en el tema tomando como primer paso las referencias al final del documento.

Referencias

[1] La Teoría de la Relatividad. Disponible en http://teoria-de-la-relatividad.blogspot.mx/2009/03/24-la-divergencia-del-tensor-t.html [2] La Teoría de la Relatividad. Disponible en http://teoria-de-la-relatividad.blogspot.mx/2009/03/23b-la-derivada-covariante-de-un-tensor.html [3] Las ecuaciones de Maxwell - Ley de Gauss para el campo magnético. Disponible en http://eltamiz.com/2011/09/28/las-ecuaciones-de-maxwell-ley-de-gauss-para-el-campo-magnetico

[4] Mecánica del Medio Continuo: Conceptos Básicos. Disponible en

https://www.uclm.es/profesorado/evieira/ftp/apuntes/Tensores.pdf

[5] Productos diádicos, diadas y tensores. Disponible en

http://laplace.us.es/campos/teoria/diadas.pdf

[6] Análisis Vectorial. Disponible en

http://www.esi2.us.es/DFA/CEMI/Teoria/Tema1.pdf

[7] Algebra y cálculo tensorial. Disponible en

http://bigmac.mecaest.etsii.upm.es/Site/RM1_files/tema1.pdf