Distribuição Binomial continuação Prof. Ivan Balducci FOSJC / Unesp.
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DistribuiçãoDistribuiçãoBinomialBinomial
continuaçãocontinuação
Prof. Ivan Balducci
FOSJC / Unesp
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O Processo BinomialUm lançamento de moeda segue um processo
que gera dados binomiais. As características de um processo binomial são:
• p é constante de ensaio a ensaio (= 0.5)
• Há dois resultados, “sucesso e fracasso” (sucesso = cara ou coroa)
• Ensaios são independentes (um lançamento não afeta o próximo lançamento)
• Há um número (N) finito de ensaios (por exemplo, o nº de ensaios = 5)
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n...,0,1,2,.... x,)1(*)!(!
!)(
xnx
xnx
nxp
n = nº de ensaios (exº: lançamento da moeda)
x = número de sucessos em n ensaios
= probabilidade de “sucessos”
A Distribuição Binomial
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A Distribuição Binomial
0 55!0 0.5 1 0.5 0.03125
0! 5!P X
1 45!1 0.5 1 0.5 0.1875
1! 4!P X
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P x N Pr (X=x)
0.5 0 5 0.03125
0.5 1 5 0.15625
0.5 2 5 0.3125
0.5 3 5 0.3125
0.5 4 5 0.15625
0.5 5 5 0.03125
x = nº de caras quando se lança 5 moedas
Pr (X=x) = probabilidade de sair x caras em 5 ensaios
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Histograma para a Distribuição Binomial
A forma da distribuição binomial
depende do valor do parâmetro
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Exemplos:
= 0.5
Simétrica
= 0.9
assimetria negativa
= 0.1
assimetria positiva
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Calculando a Probabilidade Binomial
xnxnx )p1(pC)x(p)xX(P xnxnx )p1(pC)x(p)xX(P
Em geral, a distribuição binomial pode ser representada como:
)!xn(!x!n
Cwhere nx
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E(X) = = npV(X) = 2 = np(1-p)
Média e Variância da Variável Binomial
E(X) = valor esperado = média
V(X) = variância
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A Distribuição Binomial
Notaçãop = p(A) = a probabilidade de A
q = p(B) = a probabilidade de B
p + q = 1.00
Lançando uma moeda:
p (caras) = q (coroas) = .50
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A Distribuição Binomial
Os dois resultados não precisam ser igualmente prováveis.
Exemplo: desempenho em teste de múltipla escolha com 4 alternativas (a; b;c;d)
Cada questão representa um ensaio; em cada ensaio há 2 resultados possíveis: Resultado 1: correto p = 0.25 Resultado 2: incorreto q = 0.75
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A Distribuição BinomialA binomial é apropriada quando:
1. Há uma série de N ensaios.2. Em cada ensaio, há apenas 2 possíveis
resultados mutuamente exclusivos.3. O resultado em cada ensaio é
independente do resultado que se obtém de outros ensaio.
4. A probabilidade de cada resultado em qualquer ensaio é cohecida, e é constante de um ensaio ao próximo ensaio.
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Probabilidade e a Binomial Distribuição
Se houver N ensaio e você quer saber a probabilidade de ter r sucessos:
p(r sucessos) = N! prqN-r
r! (N – r)!
Exemplo: adivinhação de um nº pensado por outro
Digo para 10 pessoas pensar um número entre 1 e 4;
Se eu apenas “chuto”: p = 0.25; q = 0.75 e na fórmula de Prob (r acertos) temos N = 10.
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REVISÃO DA CURVA
NORMAL DE
PROBABILIDADES
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ContínuaSimétricaUnimodalárea total sob a curva soma a 1, ou 100%.área à direita média é ½ ou 50%.área à esquerda da média é ½ ou 50%.
1/2 1/2
X
Características da NormalREVISÃO
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f xx
Where
e
e( )
:
1
2
1
2
2
mean of X
standard deviation of X
= 3.14159 . . .
2.71828 . . .
X
Curva Normal REVISÃO
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20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
5 5
10
Curva Normal: diferentes médias e dp
REVISÃO
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Uma distribuição com Média = 0, e DP = 1
Fórmula Z Padroniza qualquer
distribuição normal
Escore Z calculada pela Fórmula
Z O nº de DPs distante da
média
ZX
1
0
Curva Normal PadronizadaREVISÃO
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Second Decimal Place in Z Z 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09
0.00 0.0000 0.0040 0.0080 0.0120 0.0160 0.0199 0.0239 0.0279 0.0319 0.03590.10 0.0398 0.0438 0.0478 0.0517 0.0557 0.0596 0.0636 0.0675 0.0714 0.07530.20 0.0793 0.0832 0.0871 0.0910 0.0948 0.0987 0.1026 0.1064 0.1103 0.11410.30 0.1179 0.1217 0.1255 0.1293 0.1331 0.1368 0.1406 0.1443 0.1480 0.1517
0.90 0.3159 0.3186 0.3212 0.3238 0.3264 0.3289 0.3315 0.3340 0.3365 0.33891.00 0.3413 0.3438 0.3461 0.3485 0.3508 0.3531 0.3554 0.3577 0.3599 0.36211.10 0.3643 0.3665 0.3686 0.3708 0.3729 0.3749 0.3770 0.3790 0.3810 0.38301.20 0.3849 0.3869 0.3888 0.3907 0.3925 0.3944 0.3962 0.3980 0.3997 0.4015
2.00 0.4772 0.4778 0.4783 0.4788 0.4793 0.4798 0.4803 0.4808 0.4812 0.4817
3.00 0.4987 0.4987 0.4987 0.4988 0.4988 0.4989 0.4989 0.4989 0.4990 0.49903.40 0.4997 0.4997 0.4997 0.4997 0.4997 0.4997 0.4997 0.4997 0.4997 0.49983.50 0.4998 0.4998 0.4998 0.4998 0.4998 0.4998 0.4998 0.4998 0.4998 0.4998
Tabela Z padronizadaREVISÃO
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-3 -2 -1 0 1 2 3
P Z( ) .0 1 0 3413
Z 0.00 0.01 0.02
0.00 0.0000 0.0040 0.00800.10 0.0398 0.0438 0.04780.20 0.0793 0.0832 0.0871
1.00 0.3413 0.3438 0.3461
1.10 0.3643 0.3665 0.36861.20 0.3849 0.3869 0.3888
Exemplo de uso da
Tabela Z
REVISÃO
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X is normally distributed with = 485, and = 105 P X P Z( ) ( . ) .485 600 0 1 10 3643
For X = 485,
Z =X -
485 485
1050
For X = 600,
Z =X -
600 485
1051 10.
Z 0.00 0.01 0.02
0.00 0.0000 0.0040 0.00800.10 0.0398 0.0438 0.0478
1.00 0.3413 0.3438 0.3461
1.10 0.3643 0.3665 0.3686
1.20 0.3849 0.3869 0.3888
Exemplo numérico – NormalREVISÃO
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Uso da Normal para resolver problemas de Binomial
A distribuição normal pode ser usada em problemas da distribuição binomial que envolvem grandes valores de n.
Para resolver um problema binomial pela distribuição normal realizamos uma conversion do n e p da binomial para o µ e σ da normal.
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Equações de Conversão
Conversion example:
n p
n p q
Given that X has a binomial distribution, find
and P X n p
n p
n p q
( | . ).
( )(. )
( )(. )(. ) .
25 60 30
60 30 18
60 30 70 3 55
Aproximação para a Normal
EXEMPLO ALFA
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0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.10
0.12
6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30
Gráfico
EXEMPLO ALFA
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252627282930313233
Total
0.01670.00960.00520.00260.00120.00050.00020.00010.00000.0361
X P(X)
The normal approximation,
P(X 24.5| and
18 355
24 5 18
355
183
5 0 183
5 4664
0336
. )
.
.
( . )
. .
. .
.
P Z
P Z
P Z
Binomial vs Aproximação Normal
Pela Fórmula da Binomial Obs: “Não foi necessário calcular até 60”
EXEMPLO ALFA
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Exemplo BETA
Aproxime a probabilidade binomial P(x=10) quando n = 20
e p = .5
Os parâmetros da distribuição normal usados para a aproximação da binomial são:
= np; 2 = np(1 - p) = npq
Aproximação Normal para a Binomial
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Correção de ContinuidadeUsamos a tabela normal para determinar a probabilidade de r (exº., respostas corretas).
Mas, distribuições normais representam dados contínuos, e as variáveis binomiais são discretas.
Portanto temos de considerar r como o ponto Portanto temos de considerar r como o ponto médiomédio entre os limites reais de uma faixa de pontos (por exº: r - .5 to r + .5)
Antes de resolver o Exemplo BETA
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Correção de Continuidade
Aproximação Normal Binomial
P x
P x
P x
P x
P x
( )
( )
( )
( )
( )
5
5
5
5
5
Antes de resolver o Exemplo BETA
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Correção de Continuidade
Aproximação Normal para a Binomial
P x
P x
P x
P x
P x
( )
( )
( )
( )
( )
5
5
5
5
5
P x
P x
P x
P x
P x
( . . )
( . )
( . )
( . )
( . )
4 5 55
4 5
55
55
4 5
Enunciado da binomial Resolução via Normal
Antes de resolver o Exemplo BETA
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109.5 10.5
P(XBinomial = 10) =
~= P(9.5<Y<10.5)
= np = 20(.5) = 10; 2 = np(1 - p) = 20(.5)(1 - .5) = 5 = 51/2 = 2.24
1742.)24.2
105.10Z
24.2105.9
(P
0.176
Traçamos uma distribuição normal para aproximr a binomial P(X = 10).
P(9.5<YNormal<10.5)A aproximação
Agora, sim, resolvendo o Exemplo BETA
Com a aproximação da normal = 0.1742
Com a fórmula da Binomial
= 0.176
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44.5
1413.5
P(X P(X 14) 14)
P(Y< 4.5)P(Y< 4.5)
P(Y > 13.5)P(Y > 13.5)
P(X P(X 4) 4)
Correção de continuidadeAproximação Normal para a Binomial
Outros exemplos
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Condições para a aproximação
A Binomial aproxima a Normal quando:
1. np > 10
2. nq > 10
Média: = np
DP = SQRT(npq)
z = (X –np) /SQRT(npq)
SQRT é a raiz quadrada
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Em um teste com 48 questões, qual a probabilidade de se obter 14 respostas certas?
p = ¼q = ¾N = 48r = 14
z1= X – pn = 13.5 – 12 = 1.5/3 = .50 SQRT(npq) 3
Exemplo GAMA
npq = 48(0.25)(0.75) = 9
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Exemplo GAMA
zx = 14.5 – 12 = 2.5/3 = .83
3
Observe a área acima do z-escore:
Área acima z = .50 é .3085
Área acima z = .83 é .2033
Calculando a área entre os dois z-scores:
.3085 - .2033 = .1052
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Binomial vs Normal
Esta é uma probabilidade aproximada. Compare (0.1052 via aprox. normal) com a probabilidade da binomial = 0.1015
Elas são muito próximas, mas não exatamente a mesma.
Exemplo GAMA
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Exemplo DELTA
177083661.)6.0()4.0(!7)!715(
!15 7157
Para n=15, p=0.4.
Calcule P(X=7).
Usando a fórmula binomial
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Binomial Distribution with n=15 and p=0.4
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
X Success out of 15 trials
Pro
ba
bil
ity
Exemplo DELTA
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bin(7; n =15;p = 0.4)
Usando a aproximação normal. Obtemos npe npq.
.1826 .79)zP(.264
)897.1
65.7
897.1
65.6()5.75.6()7(
zPxPxP
Exemplo DELTA
Com a Binomial obtivemos o valor de p = 0.1770
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Exemplo ÉPSILON
Solução VIA NORMAL
0102.0)32.2(
)2500)(76.0)(24.0(
)2500)(24.0(5.649()650(
zP
zPxP
No Canadá, como resultado de um levantamento, 24% das pessoas têm telefone com secretária
eletrônica. Se uma campanha de telemarketing envolve 2500 pessoas, qual a probabilidade de, pelo menos, 650 terem secretária eletrônica?
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A Distribuição BinomialNão esqueçam
Uma variável aleatória X é o número de sucessos obtidos em n ensaios
A probabilidade de cada sucesso é constante e igual a
A probabilidade de X = x sucessos em n ensaios de um experimento binomial define a distribuição binomial
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A Distribuição Binomial
A distribuição binomial é dada por sua função densidade de probabilidade:
p(x) xnx
x
n
)1(
xnx
xnx
n
)1()!(!
!
Não esqueçam
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Distribuição Binomial
Provas de Bernoulli
Aproximação a Normal
Termos que devem ser familiares