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Distribuciones Multivariantes
Distribución conjunta de un vector aleatorio
Distribuciones marginales y condicionadas
Independencia entre variables aleatorias
Características de un vector aleatorio
EsperanzaVarianza, Covarianza, Correlación
Transformaciones de vectores aleatorios
Distribución Normal multivarianteEstadística. Profesora: María Durbán
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Objetivos del tema:
Al final del tema el alumno será capaz de:
� Utilizar la función de probabilidad o densidad conj unta para el cálculo deprobabilidades
� Calcular distribuciones marginales y condicionadas a partir de las conjuntas
� Interpretar y calcular covarianzas y correlaciones entre variables aleatorias
� Calcular medias y varianzas de transformaciones lin eales de vectoresaleatorios
� Comprender las propiedades de la distribución Norma l bivariante
Distribuciones Multivariantes
Estadística. Profesora: María Durbán3
Distribuciones Multivariantes
1. Distribución conjunta de un vector aleatorio
2. Distribuciones marginales y condicionadas
3. Independencia entre variables aleatorias
4. Características de un vector aleatorio
EsperanzaVarianza, Covarianza, Correlación
5. Transformaciones de vectores aleatorios
6. Distribución Normal multivariante
1. Distribución conjunta de un vector aleatorio
Estadística. Profesora: María Durbán4
1. Distribución conjunta de un vector aleatorio
En el tema anterior estudiamos distribuciones de probabilidad para unavariable aleatoria. Sin embargo, a menudo nos interesa estudiar más deuna variable en un experimento aleatorio.
Por ejemplo, en la clasificación de señales emitidas y recibidas, cada señalse clasifica como de baja, media o alta calidad. Podemos definir:X=“número de señales de baja calidad recibidas”, eY=“número de señales de alta calidad”.
En general, si X e Y son dos variables aleatorias, la distribución de probabilidad que define simultáneamente su comportamiento se llama distribución de probabilidad conjunta.
Estadística. Profesora: María Durbán5
1. Distribución conjunta de un vector aleatorio
Variables discretas
Dadas dos v.a. discretas, , definimos su función distribución de probabilidad mediante la función de probabilidad conjunta:
( , ) Pr( , )p x y X x Y y= = =
,X Y
Como en el caso unidimensional está función debe verificar:
( , ) 0
( , ) 1x y
p x y
p x y
≥=∑∑
La función de distribución conjunta:
0 0
0 0 0 0( , ) Pr( , ) Pr( , )x x y y
F x y X x Y y X x Y y≤ ≤
= ≤ ≤ = = =∑ ∑
Estadística. Profesora: María Durbán6
1. Distribución conjunta de un vector aleatorio
Ejemplo
En el desarrollo de un nuevo receptor para la transmisión de informacióndigital, cada bit recibido se clasifica como aceptable, sospechoso o noaceptable, dependiendo de la calidad de la señal recibida.Se transmiten 4 bits y se definen las siguientes v.a.:
X = Número de bits aceptablesY = Número de bits sospechosos
Estadística. Profesora: María Durbán7
1. Distribución conjunta de un vector aleatorio
Ejemplo
En el desarrollo de un nuevo receptor para la transmisión de informacióndigital, cada bit recibido se clasifica como aceptable, sospechoso o noaceptable, dependiendo de la calidad de la señal recibida.Se transmiten 4 bits y se definen las siguientes v.a.:
0 1 2 3 4
4 4.1x10-5
3 4.1x10-5 1.84x10-3
2 1.54x10-5 1.38x10-3 3.11x10-2
1 2.56x10-6 3.46x10-4 1.56x10-2 0.2333
0 1.6x10-7 2.88x10-5 1.94x10-3 7.83x10-2 0.6561
( , ) 0
( , ) 1x y
p x y
p x y
≥=∑∑
X
Y
Estadística. Profesora: María Durbán8
1. Distribución conjunta de un vector aleatorio
Ejemplo
En el desarrollo de un nuevo receptor para la transmisión de informacióndigital, cada bit recibido se clasifica como aceptable, sospechoso o noaceptable, dependiendo de la calidad de la señal recibida.Se transmiten 4 bits y se definen las siguientes v.a.:
0 1 2 3 4
4 4.1x10-5
3 4.1x10-5 1.84x10-3
2 1.54x10-5 1.38x10-3 3.11x10-2
1 2.56x10-6 3.46x10-4 1.56x10-2 0.2333
0 1.6x10-7 2.88x10-5 1.94x10-3 7.83x10-2 0.6561
Pr( 1, 2)X Y≤ ≤
X
Y
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1. Distribución conjunta de un vector aleatorio
Distribución Multinomial
Un experimento se repite n veces de forma independiente:
1. El experimento tiene k posibles resultados
2. La probabilidad de cada resultado, se mantiene constante
La variable = el número de veces que ocurre el resultado i-ésimo
1 2, , kp p pK
1 2, , kX X XK
iX
siguen una distribución multinomial con función de probabilidadconjunta:
1 2
1 1 2 2 1 2
1 2
1 2 1 2
!Pr( , , , )
! ! !
1
kxx x
k k k
k
k k
nX x X x X x p p p
x x x
x x x n p p p
= = = =
+ + + = + + + =
K KK
K K
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1. Distribución conjunta de un vector aleatorio
Ejemplo
Las probabilidades de que cierta lámpara de un modelo de proyector duremenos de 40 horas, entre 40 y 80 horas, y más de 80 horas de uso son 0.3 ; 0.5 y 0.2 respectivamente.
Calcular la probabilidad de que entre 8 de tales lámparas, 2 duren menos de 40 horas; cinco duren entre 40 y 80 horas, y una dure más de 80 horas.
Hay 3 resultados posibles: 1 1
2 2
3 3
40 0.3
40 80 0.5
80 0.2
X dura p
X dura p
X dura p
= < → == − → == > → =
2 5
1 2 3
8!Pr( 2, 5, 1) 0.3 0.5 0.2 0.095
2!5!1!X X X= = = = =
Estadística. Profesora: María Durbán11
1. Distribución conjunta de un vector aleatorio
Variables continuas
Dadas dos v.a. continuas, definimos su función distribución de probabilidad mediante la función de densidad conjunta:
( , )f x y
,X Y
Como en el caso unidimensional está función debe verificar:
( , ) 0
( , ) 1
f x y
f x y dxdy+∞ +∞
−∞ −∞
≥
=∫ ∫
La función de distribución conjunta:
0 0
0 0 0 0( , ) Pr( , ) ( , )y x
F x y X x Y y f x y dxdy−∞ −∞
= ≤ ≤ = ∫ ∫
2 ( , )( , )
d F x yf x y
dxdy=
Estadística. Profesora: María Durbán12
1. Distribución conjunta de un vector aleatorio
Variables continuas
La probabilidad ahora se calcula como un volumen:
Pr( , ) ( , )b d
a ca X b c Y d f x y dxdy≤ ≤ ≤ ≤ = ∫ ∫
Pr( 1 1, 1.5 1.5)X Y− ≤ ≤ − ≤ ≤
Estadística. Profesora: María Durbán13
1. Distribución conjunta de un vector aleatorio
Variables continuas
La probabilidad ahora se calcula como un volumen:
Pr( , ) ( , )b d
a ca X b c Y d f x y dxdy≤ ≤ ≤ ≤ = ∫ ∫
Pr( 1 1, 1.5 1.5)X Y− ≤ ≤ − ≤ ≤
Estadística. Profesora: María Durbán14
1. Distribución conjunta de un vector aleatorio
Ejemplo
Sea X la variable aleatoria que representa el tiempo hasta que un servidorse conecta con tu ordenador (en milisegundos) e Y el tiempo hasta que el servidor te autoriza como usuario.
La función de densidad conjunta viene dada por:
6( , ) 6 10 exp( 0.001 0.002 ) 0f x y x y x y−= × − − < <
¿Pr( 1000, 2000)?X Y< <
Estadística. Profesora: María Durbán15
1. Distribución conjunta de un vector aleatorio
Ejemplo
6( , ) 6 10 exp( 0.001 0.002 ) 0f x y x y x y−= × − − < <
¿Pr( 1000, 2000)?X Y< <
X
Y
Recinto donde la función dedensidad no es 0
1000
2000
3000
1000 2000 3000Estadística. Profesora: María Durbán
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1. Distribución conjunta de un vector aleatorio
Ejemplo
6( , ) 6 10 exp( 0.001 0.002 ) 0f x y x y x y−= × − − < <
¿Pr( 1000, 2000)?X Y< <
X
Y
1000
2000
3000
1000 2000 3000
Recinto de integración para el cálculode esa probabilidad
Estadística. Profesora: María Durbán17
1. Distribución conjunta de un vector aleatorio
Ejemplo
6( , ) 6 10 exp( 0.001 0.002 ) 0f x y x y x y−= × − − < <
1000
0 0Pr( 1000, 2000) ( , )
y
X Y f x y dxdy< < = +∫ ∫
X
Y
1000
2000
3000
1000 2000 3000
x=y
Estadística. Profesora: María Durbán18
1. Distribución conjunta de un vector aleatorio
Ejemplo
6( , ) 6 10 exp( 0.001 0.002 ) 0f x y x y x y−= × − − < <
1000 2000 1000
0 0 1000 0Pr( 1000, 2000) ( , ) ( , )
0.915
y
X Y f x y dxdy f x y dxdy< < = +
=∫ ∫ ∫ ∫
X
Y
1000
2000
3000
1000 2000 3000
x=y
Estadística. Profesora: María Durbán19
Distribuciones Multivariantes
1. Distribución conjunta de un vector aleatorio
2. Distribuciones marginales y condicionadas
3. Independencia entre variables aleatorias
4. Características de un vector aleatorio
EsperanzaVarianza, Covarianza, Correlación
5. Transformaciones de vectores aleatorios
6. Distribución Normal multivariante
2. Distribuciones marginales y condicionadas
Estadística. Profesora: María Durbán20
2. Distribuciones marginales
Si se definen más de una v.a. en un experimento, es importantedistinguir entre la distribución de probabilidad conjunta y la distribuciónde probabilidad de cada variable individualmente. A la distribución de cada variable se le denomina distribución marginal.
Variables Discretas
Dadas dos v.a. discretas, con función de probabilidad conjuntalas funciones de probabilidad marginales de ambas variables son:
,X Y
( , )p x y
( ) Pr( ) Pr( , )
( ) Pr( ) Pr( , )
X
y
Y
x
p x X x X x Y y
p y Y y X x Y y
∀
∀
= = = = =
= = = = =
∑
∑
Son funciones de probabilidad
Se puede calcular su esperanza,varianza, etc.
Estadística. Profesora: María Durbán21
Ejemplo
En el desarrollo de un nuevo receptor para la transmisión de informacióndigital, cada bit recibido se clasifica como aceptable, sospechoso o noaceptable, dependiendo de la calidad de la señal recibida.Se transmiten 4 bits y se definen las siguientes v.a.:
0 1 2 3 4
4 4.1x10-5
3 4.1x10-5 1.84x10-3
2 1.54x10-5 1.38x10-3 3.11x10-2
1 2.56x10-6 3.46x10-4 1.56x10-2 0.2333
0 1.6x10-7 2.88x10-5 1.94x10-3 7.83x10-2 0.6561
X
Y
Las funciones de probabilidadmarginal se obtendríansumando en ambas direcciones.
X = Número de bits aceptablesY = Número de bits sospechosos
2. Distribuciones marginales
Estadística. Profesora: María Durbán22
Ejemplo
En el desarrollo de un nuevo receptor para la transmisión de informacióndigital, cada bit recibido se clasifica como aceptable, sospechoso o noaceptable, dependiendo de la calidad de la señal recibida.Se transmiten 4 bits y se definen las siguientes v.a.:
0 1 2 3 4
0.0001 0.0036 0.0486 0.2916 0.6561
X
Y
Las funciones de probabilidadmarginal se obtendríansumando en ambas direcciones.
X = Número de bits aceptablesY = Número de bits sospechosos
2. Distribuciones marginales
Estadística. Profesora: María Durbán23
Ejemplo
En el desarrollo de un nuevo receptor para la transmisión de informacióndigital, cada bit recibido se clasifica como aceptable, sospechoso o noaceptable, dependiendo de la calidad de la señal recibida.Se transmiten 4 bits y se definen las siguientes v.a.:
0 1 2 3 4
4 4.1x10-5
3 4.1x10-5 1.84x10-3
2 1.54x10-5 1.38x10-3 3.11x10-2
1 2.56x10-6 3.46x10-4 1.56x10-2 0.2333
0 1.6x10-7 2.88x10-5 1.94x10-3 7.83x10-2 0.6561
X
Y
Las funciones de probabilidadmarginal se obtendríansumando en ambas direcciones
X = Número de bits aceptablesY = Número de bits sospechosos
2. Distribuciones marginales
Estadística. Profesora: María Durbán24
Ejemplo
En el desarrollo de un nuevo receptor para la transmisión de informacióndigital, cada bit recibido se clasifica como aceptable, sospechoso o noaceptable, dependiendo de la calidad de la señal recibida.Se transmiten 4 bits y se definen las siguientes v.a.:
4 0.00004
3 0.00188
2 0.03250
1 0.24925
0 0.71637
X
Y
Las funciones de probabilidadmarginal se obtendríansumando en ambas direcciones
X = Número de bits aceptablesY = Número de bits sospechosos
2. Distribuciones marginales
Estadística. Profesora: María Durbán25
2. Distribuciones marginales
Variables Continuas
Dadas dos v.a. continuas, con función de densidad conjuntalas funciones de densidad marginal de ambas variables son:
,X Y ( , )f x y
( ) ( , )
( ) ( , )
X
Y
f x f x y dy
f y f x y dx
+∞
−∞+∞
−∞
=
=
∫
∫
Son funciones de densidad
Se puede calcular su esperanza,varianza, etc.
-4 -2 0 2 4x
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
f(x)
Estadística. Profesora: María Durbán26
Ejemplo
Sea X la variable aleatoria que representa el tiempo hasta que un servidorse conecta con tu ordenador (en milisegundos) e Y el tiempo hasta que el servidor te autoriza como usuario. La función de densidad conjunta viene dada por
6( , ) 6 10 exp( 0.001 0.002 ) 0f x y x y x y−= × − − < <
¿Pr( 2000)?Y >
2. Distribuciones marginales
Estadística. Profesora: María Durbán27
Ejemplo
6( , ) 6 10 exp( 0.001 0.002 ) 0f x y x y x y−= × − − < <
¿Pr( 2000)?Y >
Podemos resolverlo de dos formas:
Integrar la función de densidad conjuntaen el recinto adecuado
Calcular la función de densidad marginalde Y y calcular esa probabilidad
2. Distribuciones marginales
Estadística. Profesora: María Durbán28
Ejemplo
6( , ) 6 10 exp( 0.001 0.002 ) 0f x y x y x y−= × − − < <
X
Y
1000
2000
3000
1000 2000 3000
¿Pr( 2000)?Y >
Podemos resolverlo de dos formas:
Integrar la función de densidad conjuntaen el recinto adecuado
2000 0Pr( 2000) ( , ) 0.05
y
Y f x y dxdy+∞
> = =∫ ∫
Y
2. Distribuciones marginales
Estadística. Profesora: María Durbán29
Ejemplo
6( , ) 6 10 exp( 0.001 0.002 ) 0f x y x y x y−= × − − < <
X
Y
1000
2000
3000
1000 2000 3000
¿Pr( 2000)?Y >
Podemos resolverlo de dos formas:
3 0.002 0.001
0( ) ( , ) 6 10 (1 ) 0
yy y
Yf y f x y dx e e y− − −= = × − >∫
Calcular la función de densidad marginalde Y y calcular esa probabilidad
Y
0
2. Distribuciones marginales
Estadística. Profesora: María Durbán30
Ejemplo
6( , ) 6 10 exp( 0.001 0.002 ) 0f x y x y x y−= × − − < <
Y
1000
2000
3000
¿Pr( 2000)?Y >
Podemos resolverlo de dos formas:
2000Pr( 2000) ( ) 0.05YY f y dy
+∞> = =∫
Calcular la función de densidad marginalde Y y calcular esa probabilidad
Y
0
2. Distribuciones marginales
Estadística. Profesora: María Durbán31
2. Distribuciones condicionadas
Cuando se definen más de una v.a. en un experimento, el conocimientode una de las variables puede afectar a las probabilidades que se asociancon los valores de la otra variable
Recordemos del Tema de Probabilidad el Teorema de Bayes:
( ) ( )( )A
BAAB
PrPr
PrI=
Mide el tamañode uno conrespecto al otro
Estadística. Profesora: María Durbán32
2. Distribuciones condicionadas
Cuando se definen más de una v.a. en un experimento, el conocimientode una de las variables puede afectar a las probabilidades que se asociancon los valores de la otra variable
Variables Discretas
Dadas dos v.a. discretas, con función de probabilidad conjuntala funcion de probabilidad de Y condicionada a X=x0:
,X Y
( , )p x y
Para un valor genérico de x
A B∩
Podemos calcular su esperanza, varianza, etc.
0( ) 0Xp x >A( ) ( )
( )( )
( )00
0
0
0Pr
,Pr,|
xX
yYxX
xp
yxpxyp
X ===
==
( ) ( )( )
( )( )xX
yYxX
xp
yxpxyp
X =====
Pr
,Pr,| ( ) ( ) ( )xpxypyxp X|, =
Estadística. Profesora: María Durbán33
Ejemplo
En el desarrollo de un nuevo receptor para la transmisión de informacióndigital, cada bit recibido se clasifica como aceptable, sospechoso o noaceptable, dependiendo de la calidad de la señal recibida.Se transmiten 4 bits y se definen las siguientes v.a.:
X = Número de bits aceptablesY = Número de bits sospechosos
Como sólo se transmiten 4 bits, si X=4, necesariamente Y=0si X=3, Y=0 ó 1
M
Saber lo que vale X cambia la probabilidad asociada con los valores de Y
2. Distribuciones condicionadas
Estadística. Profesora: María Durbán34
Ejemplo
En el desarrollo de un nuevo receptor para la transmisión de informacióndigital, cada bit recibido se clasifica como aceptable, sospechoso o noaceptable, dependiendo de la calidad de la señal recibida.Se transmiten 4 bits y se definen las siguientes v.a.:
X = Número de bits aceptablesY = Número de bits sospechosos
Como sólo se transmiten 4 bits, si X=3, Y=0 ó 1
Pr( 0, 3) 0.05832Pr( 0 | 3) 0.2
Pr( 3) 0.2916
Pr( 1, 3) 0.2333Pr( 1| 3) 0.8
Pr( 3) 0.2916
Y XY X
X
Y XY X
X
= == = = = ==
= == = = = ==
Pr( 0 | 3) Pr( 1| 3) 1Y X Y X= = + = = =
[ | 3] 0 0.2 1 0.8 0.8E Y X = = × + × =
Número esperado de bits sospechosos cuando el número de aceptables es 3
2. Distribuciones condicionadas
Estadística. Profesora: María Durbán35
2. Distribuciones condicionadas
Variables Continuas
Dadas dos v.a. continuas, con función de densidad conjuntala función de densidad de Y condicionada a X
,X Y ( , )f x y
( , )( | )
( )X
f x yf y x
f x=
Es función de densidad
Se puede calcular su esperanza,varianza, etc.
( , ) ( | ) ( )Xf x y f y x f x=
Estadística. Profesora: María Durbán36
Ejemplo
Sea X la variable aleatoria que representa el tiempo hasta que un servidorse conecta con tu ordenador (en milisegundos) e Y el tiempo hasta que el servidor te autoriza como usuario. La función de densidad conjunta viene dada por
6( , ) 6 10 exp( 0.001 0.002 ) 0f x y x y x y−= × − − < <¿Cuál será la probabilidad de que el tiempo hasta que el servidor te autoriza como usuario sea más de 2000 milisegundos si el tiempo que ha tardado elservidor en conectarse ha sido 1500 milisegundos?
¿Pr( 2000 | 1500)?Y X> =
2. Distribuciones condicionadas
Estadística. Profesora: María Durbán37
Ejemplo
6( , ) 6 10 exp( 0.001 0.002 ) 0f x y x y x y−= × − − < <
X
Y
1000
2000
3000
1000 2000 3000
( , )( | )
( )X
f x yf y x
f x=
Y
0
¿Pr( 2000 | 1500)?Y X> =
0.003( ) ( , ) 0.003 x 0x
Xx
f x f x y dy e+∞ −= = >∫
0.002 0.002( | ) 0.002 0x yf y x e x y−= < <
2. Distribuciones condicionadas
Estadística. Profesora: María Durbán38
Ejemplo
6( , ) 6 10 exp( 0.001 0.002 ) 0f x y x y x y−= × − − < <
X
Y
1000
2000
3000
1000 2000 3000
Y
0
¿Pr( 2000 | 1500)?Y X> =
0.002 0.002( | ) 0.002 0x yf y x e x y−= < <
2000
3 0.002
2000
Pr( 2000 | 1500) ( | 1500)
0.002
0.368
y
Y X f y X dy
e dy
+∞
+∞ −
> = = =
=
=
∫
∫
2. Distribuciones condicionadas
Estadística. Profesora: María Durbán39
Distribuciones Multivariantes
1. Distribución conjunta de un vector aleatorio
2. Distribuciones marginales y condicionadas
3. Independencia entre variables aleatorias
4. Características de un vector aleatorio
EsperanzaVarianza, Covarianza, Correlación
5. Transformaciones de vectores aleatorios
6. Distribución Normal multivariante
3. Independencia entre variables aleatorias
Estadística. Profesora: María Durbán40
3. Independencia entre variables aleatorias
En algunos experimentos, el conocimiento de una de las variables puede no afectar ninguna de las probabilidades que se asocian con los valores de la otra variable
Recordemos del Tema de Probabilidad:
( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )BAB
ABA
BABA
Pr|Pr
Pr|Pr
PrPrPr
==
=∩
Estadística. Profesora: María Durbán41
3. Independencia entre variables aleatorias
Variables Discretas
,X YDiremos que dos variables son independientes si:
( | ) ( ) ( | ) ( ) Y Xp y x p y p x y p x= =
( , ) ( | ) ( ) ( ) ( ) , Y X Yp x y p x y p y p x p y x y= = ∀
Estadística. Profesora: María Durbán42
3. Independencia entre variables aleatorias
Variables Continua
,X YDiremos que dos variables son independientes si:
( | ) ( ) f ( | ) ( ) Y Xf y x f y x y f x= =
( , ) ( | ) ( ) ( ) ( ) , Y X Yf x y f x y f y f x f y x y= = ∀
Estadística. Profesora: María Durbán43
Ejemplo
Sea X la variable aleatoria que representa el tiempo hasta que un servidorse conecta con tu ordenador (en milisegundos) e Y el tiempo hasta que el servidor te autoriza como usuario. La función de densidad conjunta viene dada por
6( , ) 6 10 exp( 0.001 0.002 ) 0f x y x y x y−= × − − < <
3. Independencia entre variables aleatorias
0.002 0.002( | ) 0.002 0x yf y x e x y−= < <
3 0.002 0.001( ) 6 10 (1 ) 0y y
Yf y e e y− − −= × − >≠ Para todos los valores de x
Estadística. Profesora: María Durbán44
Distribuciones Multivariantes
1. Distribución conjunta de un vector aleatorio
2. Distribuciones marginales y condicionadas
3. Independencia entre variables aleatorias
4. Características de un vector aleatorio
EsperanzaVarianza, Covarianza, Correlación
5. Transformaciones de vectores aleatorios
6. Distribución Normal multivariante
4. Características de un vector aleatorio
Estadística. Profesora: María Durbán45
4. Características de un vector aleatorio
Esperanza
Dadas n v.a. definimos el vector n-dimensional 1 2, , , nX X XK
1
2
n
X
X
X
=
XM
La función de probabilidad/densidad del vector es la función deprobabilidad/densidad conjunta de los componentes del vector.
Se define el vector de medias como el vector cuyas componentes son las medias o esperanzas de cada componente.
[ ]
[ ][ ]
[ ]
1
2
n
E X
E XE
E X
= =
µ XM
Estadística. Profesora: María Durbán46
4. Características de un vector aleatorio
Covarianza
Primero comenzamos por definir la covarianza entre dos variables:
Es una medida de la relación lineal entre dos variables
[ ]( ) [ ]( ) [ ] [ ] [ ]( , )Cov X Y E X E X Y E Y E XY E X E Y = − − = −
Propiedades
Si son independientes ya queSi sean independientes Si hacemos un cambio de origen y escala:
,X Y ( , ) 0Cov X Y⇒ = [ ] [ ] [ ]E XY E X E Y=( , ) 0 ,Cov X Y X Y= ⇒
dcYW
baXZ
+=+= ( ) ( )YXacCovWZCov ,, =⇒
Estadística. Profesora: María Durbán47
4. Características de un vector aleatorio
Covarianza
[ ]( ) [ ]( ) [ ] [ ] [ ]( , )Cov X Y E X E X Y E Y E XY E X E Y = − − = −
¿Cómo lo calculamos?
Necesitamos calcular la esperanza de una función de dos variablesaleatorias:
[ ]( , )E h X Y =( , ) ( , )
( , ) ( , )
x y
h x y p x y
h x y f x y dxdy+∞ +∞
−∞ −∞
∑∑
∫ ∫
Estadística. Profesora: María Durbán48
4. Características de un vector aleatorio
´Covarianza positiva Covarianza cero
Covarianza negativa Covarianza cero
Hay relaciónpero nolineal
Estadística. Profesora: María Durbán49
Ejemplo
En el desarrollo de un nuevo receptor para la transmisión de informacióndigital, cada bit recibido se clasifica como aceptable, sospechoso o noaceptable, dependiendo de la calidad de la señal recibida.Se transmiten 4 bits y se definen las siguientes v.a.:
X = Número de bits aceptablesY = Número de bits sospechosos
¿Es la covarianza entre X e Y positiva o negativa?
Sabemos que cuando Y se acerca a 4, X se acerca a 0Por lo tanto la covarianza es negativa.
4X Y+ ≤ ⇒
4. Características de un vector aleatorio
Estadística. Profesora: María Durbán50
4. Características de un vector aleatorio
Correlación
La correlación entre dos variables también es una medida de la relación lineal entre dos variables
[ ] [ ]( , )
( , )Cov X Y
X YVar X Var Y
ρ =
Si son independientes ya que
Si
,X Y ( , ) 0X Yρ⇒ = ( ), 0Cov X Y =
| ( , ) | 1X Yρ ≤
| ( , ) | 1Y aX b X Yρ= + ⇒ =
Estadística. Profesora: María Durbán51
4. Características de un vector aleatorio
Matriz de Varianzas y Covarianzas
Dadas n v.a. llamamos matriz de varianzas y covarianzasdel vector a la matriz cuadrada de orden n:
1 2, , , nX X XK
X
( )( )
[ ] [ ] [ ][ ] [ ]
[ ] [ ]
1 1 2 1
1 2 2
1
, ,
,
,
n
X
n n
Var X Cov X X Cov X X
Cov X X Var XE
Cov X X Var X
′= =
M X-µ X-µ
L
M M
M M O M
L L
Propiedades
Simétrica (ella y su matriz traspuesta coinciden)Semidefinida positiva (todos sus autovalores son ) 0≥
Estadística. Profesora: María Durbán52
Distribuciones Multivariantes
1. Distribución conjunta de un vector aleatorio
2. Distribuciones marginales y condicionadas
3. Independencia entre variables aleatorias
4. Características de un vector aleatorio
EsperanzaVarianza, Covarianza, Correlación
5. Transformaciones de vectores aleatorios
6. Distribución Normal multivariante
5. Transformaciones de vectores aleatorios
Estadística. Profesora: María Durbán53
5. Transformaciones de vectores aleatorios
Al igual que en el caso univariante, hay ocasiones en que es necesariocalcular la distribución de probabilidad de una función de dos o más v.a.
Dado un vector aleatorio con función de densidad conjunta ,lo transformamos en otro vector aleatorio de la misma dimensiónmediante una función
X ( )f X
Yg
1 1 1
2 2 1
1
( , , )
( , , )
( , , )
n
n
n n n
y g x x
y g x x
y g x x
==
=
K
K
M
K
Existen lastransformacionesinversas
1( ) ( ( ))d
f f gd
−= XY Y
Y
1 1
1
1
n
n n
n
dx dx
dy dyd
ddx dx
dy dy
=X
Y
L
M M
L
Estadística. Profesora: María Durbán54
5. Transformaciones de vectores aleatorios
Si tiene menor dimensión que , completamos con elementos de hasta completar la misma dimensión.
XY YX
Ejemplo
1
1 2 1 2
1 22
4 0 , 1( , )
0 en el resto X X
x x x xf x x
< <=
Calcular la función de densidad de
1. Definimos
2. Buscamos la distribución conjunta de
3. Calculamos la marginal de
1 1 2Y X X= +
2 2Y X=
1 2( , )Y Y=Y
1Y
Estadística. Profesora: María Durbán55
5. Transformaciones de vectores aleatorios
Ejemplo
1
1 2 1 2
1 22
4 0 , 1( , )
0 en el resto X X
x x x xf x x
< <=
1( ) ( ( ))d
f f gd
−= XY Y
Y
� Buscamos la distribución conjunta de1 2( , )Y Y=Y
{21
1
1 2 2 1 2 2( ) ( , ) ( ) ( , )
YY
g X X X g Y Y Y−= + → = −X Y14243
1 11
0 1
d
d
−= =X
Y
1
1 2 2( ( )) 4( )f g y y y− = −Y
1 2 2( ) 4( )f y y y= −Y
¿En qué recinto está definida?
Estadística. Profesora: María Durbán56
5. Transformaciones de vectores aleatorios
Ejemplo
1 20 , 1x x< <
1 1 2
2 2
Y X X
Y X
= +=
(0,1)
(0,0)
(1,1)
(1,0)
1 2 1 2
1 2 1 2
1 2 1 2
1 2 1 2
(x =0,x =0) (y 0 0, 0)
(x =0,x =1) (y 1 0, 1)
(x =1,x =0) (y 1 0, 0)
(x =1,x =1) (y 1 1, 1)
y
y
y
y
→ = + =→ = + =→ = + =→ = + =
Estadística. Profesora: María Durbán57
5. Transformaciones de vectores aleatorios
Ejemplo
1 20 , 1x x< <
1 1 2
2 2
Y X X
Y X
= +=
(0,1)
(0,0)
(1,1)
(1,0)(0,0)
(1,1)
(1,0)
(2,1)
1 2 1 2
1 2 1 2
1 2 1 2
1 2 1 2
(x =0,x =0) (y 0 0, 0)
(x =0,x =1) (y 1 0, 1)
(x =1,x =0) (y 1 0, 0)
(x =1,x =1) (y 1 1, 1)
y
y
y
y
→ = + =→ = + =→ = + =→ = + =
Estadística. Profesora: María Durbán58
5. Transformaciones de vectores aleatorios
Ejemplo
2
1
1 2 1
2 1 2
0 1 0
1 2 -1 1
y y y
y y y
< < < << < < <
1 2 0y y− =1 2 1y y− =
1 1 2
2 2
Y X X
Y X
= +=
1 20 , 1x x< <Calculamos las 4 rectas que delimitan el recinto:
2
2
1 2
1 2
0
1
0
1
y
y
y y
y y
==− =− =
1 2 2
1 2 1
2 1 2
( ) 4( )
0 1 0
1 2 -1 1
f y y y
y y y
y y y
= −< < < << < < <
Y
Estadística. Profesora: María Durbán59
5. Transformaciones de vectores aleatorios
Ejemplo
�Calculamos la marginal de 1Y
1
1
1
3
1 2 2 2 1 1
0
1 1
3
1 2 2 2 1 1 1
1
34( ) 0 1
2( )
8 34( ) 4 1 2
3 2
y
Y
y
y y y y y y
f y
y y y y y y y−
− ∂ = < <=
− ∂ = − + − < <
∫
∫
Estadística. Profesora: María Durbán60
5. Transformaciones de vectores aleatorios
Convolución de X1 y X2
Si X1 y X2 son variables aleatorias independientes con funciones de densidad y , la función de densidad de es
1 1( )Xf x2 2( )Xf x 1 2Y X X= +
1 2( ) ( ) ( )Y X Xf y f y x f x x
+∞
−∞= − ∂∫
Se utiliza en casos como la transformada de Fourier
Estadística. Profesora: María Durbán61
5. Transformaciones de vectores aleatorios
Un caso que merece mención especial es el cálculo de esperanzas yvarianzas de transformaciones lineales:
1 1 m m n n m n× × ×= ≤Y A X
[ ] [ ][ ]
E E
Var M
=
′= X
Y A X
Y A A
Ejemplo
( ) 1
1 2
2
1 1
= + ⇒ =
XY X X Y
X
[ ] [ ] [ ]
[ ] ( ) [ ][ ] [ ] [ ]
1 2
1 1 2
1 2 1 2
1 2 2
( , ) 11 1 2 ( , )
( , ) 1
E E E
Var CovVar Var Var Cov
Cov Var
= +
= = + +
Y X X
X X XY X X X X
X X X
Estadística. Profesora: María Durbán62
5. Transformaciones de vectores aleatorios
Un caso que merece mención especial es el cálculo de esperanzas yvarianzas de transformaciones lineales:
1 1 m m n n m n× × ×= ≤Y A X
[ ] [ ][ ]
E E
Var M
=
′= X
Y A X
Y A A
Ejemplo
( ) 1
1 2
2
1 1
= − ⇒ = −
XY X X Y
X
[ ] [ ] [ ]
[ ] ( ) [ ][ ] [ ] [ ]
1 2
1 1 2
1 2 1 2
1 2 2
( , ) 11 1 2 ( , )
( , ) 1
E E E
Var CovVar Var Var Cov
Cov Var
= −
= − = + − −
Y X X
X X XY X X X X
X X X
Estadística. Profesora: María Durbán63
5. Transformaciones de vectores aleatorios
Un caso que merece mención especial es el cálculo de esperanzas yvarianzas de transformaciones lineales:
1 1 m m n n m n× × ×= ≤Y A X
[ ] [ ][ ]
E E
Var M
=
′= X
Y A X
Y A A
Caso particular: Distribución Normal
( )1 1 2 2
~ , 1, , independientesi i i
n n
X N i n
Y a X a X a X
µ σ =
= + + +
K
K
[ ] [ ] 2 2
1 1
n n
i i i i
i i
E Y a Var Y aµ σ= =
= =∑ ∑
Normal
Estadística. Profesora: María Durbán64
5. Transformaciones de vectores aleatorios
Ejemplo
Una pieza en forma de U está formada por tres partes, A, B y C. La longitudde A sigue una distribución Normal con media 10mm y desviación típica 0.1mm. El grosor de las partes B y C se distribuye normalmente con media2mm y desviación típica 0.05mm.Suponiendo que las dimensiones de las partes son independientes:
1. Determinar la media y desviación típica de la distribución del hueco D.2. En esa pieza ha de encajar otra de 5.9 mm, ¿cuál es la probabilidad de
que una pieza de esta forma sea inservible?
A
B CD
Estadística. Profesora: María Durbán65
5. Transformaciones de vectores aleatorios
Ejemplo
1. Determinar la media y desviación típica de la distribución del hueco D.
A
B CD
D A B C= − −~ (10,0.1)
~ (2,0.05) ~ (2,0.05)
A N
B N C N
[ ][ ][ ]
2 2 2
10 2 2 6
0.1 0.05 0.05 0.015
. 0.122
E D
Var D
DT D
= − − =
= + + =
=
Estadística. Profesora: María Durbán66
5. Transformaciones de vectores aleatorios
Ejemplo
2. En esa pieza ha de encajar otra de 7.9 mm, ¿cuál es la probabilidad deque una pieza de esa forma sea inservible?
A
B CD
~ (6,0.015)D N
5.9 6Pr( 5.9) Pr
0.122
Pr( 0.82) 1 Pr( 0.82)
D Z
Z Z
− < = <
< − = − ≤
1 0.7939 0.2061− =
El 20% de laspiezas fabricadases inservible
Estadística. Profesora: María Durbán67
Distribuciones Multivariantes
1. Distribución conjunta de un vector aleatorio
2. Distribuciones marginales y condicionadas
3. Independencia entre variables aleatorias
4. Características de un vector aleatorio
EsperanzaVarianza, Covarianza, Correlación
5. Transformaciones de vectores aleatorios
6. Distribución Normal multivariante6. Distribución Normal multivarianteEstadística. Profesora: María Durbán
68
Si vector aleatorio sigue una distribución Normal bivariante
con vector de medias y matriz de varianzas-covarianzas
tiene función de densidad:
=
2
1
µµ
µ
( )( )
−Σ−−
Σ= − )()'(
2
1exp
2
1 1
2/1µXµXX
πf
=
2
1
X
XX
=Σ
2
221
21
2
1
σσρσσρσσ
6. Distribución Normal multivariante
Estadística. Profesora: María Durbán69
6. Distribución Normal multivariante
( )( )
−Σ−−
Σ= − )()'(
2
1exp
2
1 1
2/1µXµXX
πf
2 2 2
1 2 (1 )σ σ ρ∑ = −2
1 1 21
2
2
1 2 2
1
1
1(1 )
ρσ σ σ
ρρσ σ σ
−
− ∑ = −−
( )( )
2 2
1 1 2 2 1 1 2 21 2 22
1 2 1 21 2
1 1, exp 2
2(1 )2 (1 )
x x x xf x x
µ µ µ µρρ σ σ σ σπ σ σ ρ
− − − − = − + − − −
=Σ
2
221
21
2
1
σσρσσρσσ
x
y
f(x,y)
x
y
x
y
ρ = −0.90ρ = 0 ρ = 0.90
The Bivariate Normal Distribution
x
y y y
x xµ1
µ2
µ1 µ1
µ2 µ2
ρ = 0ρ = 0.9 ρ = − 0.9
Contour Plots of the Bivariate Normal Distribution
x
y y y
x xµ1
µ2
µ1 µ1
µ2 µ2
ρ = 0ρ = 0.9 ρ = − 0.9
Scatter Plots of data from the Bivariate Normal Distribution
σ = σ1 2σ = σ1 2 σ = σ1 2
σ = σ1 2 σ = σ1 2 σ = σ1 2
σ = σ1 2
σ = σ1 2σ = σ1 2
Función de densidad
Diagrama de dispersión
Estadística. Profesora: María Durbán71
=
2
1
µµ
µ
=Σ
2
221
21
2
1
σσρσσρσσ
=
2
1
X
XX
6. Distribución Normal multivariante
Propiedades
( ) ( )1 2
1 1 1 2 1 1
1 2 2 1
0 , independientes
X ~ , X ~ ,
X | X X | X son normales
X X
N N
y
ρµ σ µ σ
= ⇒
Estadística. Profesora: María Durbán72
6. Distribución Normal multivariante
Ejemplo
En el proceso de fabricación de lámparas electroluminiscentes (luz negra), se depositan capas de tinta en una base de plástico. El grosor de esas capas es determinante a la hora de satisfacer las especificaciones relativas al color e intensidadde la luz.Sean X e Y el grosor de dos capas de tinta, se sabe que ambas siguen una distribución Normal, con medias 0.1mm y 0.23mm y desviaciones típicas 0.00031mmy 0.00017mm respectivamente. La correlación entre ambas es 0.Las especificaciones de grosor son las siguientes:
0.099535 0.100465
0.22966 0.23039
X
Y
≤ ≤≤ ≤
¿Cuál es la probabilidad de que una lámpara elegidaal azar satisfaga las especificaciones?
Estadística. Profesora: María Durbán73
6. Distribución Normal multivariante
Ejemplo
0.099535 0.100465
0.22966 0.23039
X
Y
≤ ≤≤ ≤
¿Cuál es la probabilidad de que una lámpara elegida al azar satisfaga las especificaciones?
~ (0.1,0.00031)
~ (0.23,0.00017)
X N
Y N
Pr(0.099535 0.100465,0.22966 0.23039)X Y≤ ≤ ≤ ≤
0 independientesρ = →
( )( )
Pr(0.099535 0.100465)Pr(0.22966 0.23039)
Pr( 1.5 1.5)Pr( 2 2)
2Pr( 1.5) 1 2Pr( 2) 1
X Y
Z Z
Z Z
≤ ≤ ≤ ≤− ≤ ≤ − ≤ ≤ =
≤ − ≤ −
0.827=