LECTURA DE LA TABLA Se debe tener en cuenta la siguiente:1 La tabla proporciona rea bajo la curva normal estndar desde menos infinito hasta z. es decir rea correspondiente a P[Z z] = (z).2 Los valores de z estn dados en centsimos desde -3.49 hasta 3.49.3 Es una tabla con dos entradas encabezadas por la letra z. en la primera columna se lee el valor de z. en dcimos. En la segunda columna se lee al centecimal.4 La tabla ayuda a resolver dos tipos de problemasa) Conocido z hallar el rea.Digamos z = 1.86, es decir queremos calcular P[Z 1.86]. En la primera columna se ubica el valor de Z con un decimal 1.8, y el segundo decimal se ubica en la primera fila 0.06. Por ambos puntos se traza una horizontal y una vertical, el nmero que corresponde a la interseccin de ambas rectas: 0.686, es el rea deseada.b) Conocido el rea hallar z.es un procedimiento inverso al anterior. Se ubica el rea en el cuerpo de la tabla, por este punto se traza una horizontal y una vertical. Se halla z sumado el punto de interseccin de la horizontal con la primera columna + el punto de interseccin de la vertical con la primera fila.

3. EXTRACTO DE LA TABLA III

Z0.000.010.020.030.040.050.060.070.080.09...0.9

0.8159

0.8186

0.8212

0.8238

0.8264

0.8289

0.8315

0.8340

0.8365

0.83861.01.11.21.31.40.84130.86430.88490.90320.91920.84380.86650.88690.90490.92070.84610.86860.88880.90660.92220.84850.87080.890.0.90920.92360.85080.87290.89250.90990.92510.85310.87490.89440.91150.92650.85540.87700.89620.91310.92780.85770.87900.89800.91470.92920.85990.88910.89970.91620.93060.86210.88300.90150.91770.93191.51.61.71.81.90.93320.94520.95540.96410.97130.93450.94630.95640.96490.97190.93570.94740.95730.96560.97260.93700.94840.95820.96640.96320.93820.94950.95950.96710.96380.93940.95050.95990.96780.96440.94060.95150.96080.96860.96500.94180.95250.96160.96930.96560.94290.95350.96250.96990.96610.94410.95450.96330.97060.9667

IV. PROBLEMAS1.Si X es una variable aleatoria distribuida normalmente con media U = 6 y varianza o 2 = 25. hallar:a) P[6 X 12]b) P[0 X 8]c) P[-2 < X < 0]d) P[X >21]

1.Si X es una variable aleatoria distribuida normalmente con media U = 6 y varianza o 2 = 25. hallar:e) P[(X-6) < 5]b) P[(x -6) < 10]2.Si X es N (25, 36) determinar la constante e tal queP[/X -25/ c]= 0.9544

3.Si X es N (u, 4) Calcular P[(x u) > 3]4.Si X es N (50, 25) Calcular:a) P[X > 62]b) P[(x -50) < 8]

5.Si X es N (5, 9)Hallar los valores de a y b tal que P[a < X < b] = 0.80 donde a y b son simtricos con respecto a la media.6.Si X es N(3, 4). Hallar el nmero c tal que P[x c] = 2P[x < c]

7.Una variable aleatoria X se distribuye normalmente. Si E(x2)=68 y P[X

9.Los lmites de aceptacin de los dimetros de los balones producidos por cierta mquina son u o que porcentaje de balones sern aceptados? 10. Para cierto examen la calificacin media es 11 y o = 2. .Se desea desaprobar al 40% de los examinados. Cul debe ser la calificacin mxima probatoria?

11.Un ictilogo est interesado en estimar cuanto tiempo puede sobrevivir cierto tipo de pez de mar en aguas del ro Amazonas. Luego de una serie de experimentos llega a estimar que la vida media de este tipo de pez alcanza los 210 das despus de haber sido colocado en el agua del ro con una desviacin estndar de 40 das. El ictilogo estima que la distribucin de los das vividos es normal. Un pez particular ha sobrevivid 230 das.cual es la probabilidad de que viva ms de un da?

12.Se est construyendo un grupo de 100 casas en la Urbanizacin San Borja. El material empleado en las redes de desage es tal que el 9.512% de las tuberas de desage tienen perodos de duracin que exceden los 15 aos y que el 62.556% tienen perodos de duracin que exceden los 9 aos. Considerando que la distribucin de probabilidad de los perodos de duracin de estas tuberas es normal, determine la media y la varianza de estas distribuciones.

13.El gerente de produccin de una fbrica piensa que la vida til de una mquina M est distribuida normalmente en una media de 3000 horas. Si adems el gerente piensa que hay una probabilidad de 0.50 de que la mquina dure menos de 2632 o ms de 3368 horas. Cul es la desviacin estndar?

14.Un rodamiento es considerado defectuoso y por lo tanto es rechazado si su dimetro es mayor de 2.2 pulgadas menor que 1.98 pulgadas Cul es el nmero esperado de rodamientos rechazados , si los dimetros e una partida de 10000 rodamientos estn distribuidos normalmente con una media de 2 pulgadas y una desviacin estndar de 0,01 pulgadas?

15.Los dimetros de una partida grande de rodamientos estn distribuidos normalmente con una media de 2.0 pulgadas y una desviacin estndar de 0.01 pulgadas. Suponga que se necesita un rodamiento con dimetro mayor que 2.02 pulgadas. Cul es la probabilidad de tener que probar 10 rodamientos?

Volver al inicioAPROXIMACIONES DE LAS DISTRIBUCIONES DISCRETAS A LA NORMAL

Cuando p es muy pequea y n muy grande hemos visto que la aproximacin Binomial a la Poison es buena.Observe que la distribucin binomial discreta, cuya grfica se muestra en la 1 figura se aproxima al rea bajo la cura de la 2 figura.Distribucin Binomial.Curva Normal como aproximacin de la Binomial.As la probabilidad de obtener exactamente un valor x, es aproximada mediante el rea bajo la curva normal entre x - y x + como es, el rea sombrea da en el grfico de alado.Es decir,

El cuadro siguiente presenta algunas aproximaciones de las probabilidades Binomiales a la curva normal.

1. DEFINICIN.La aproximacin de Distribucin de Poisson a la normal, se hace teniendo en cuenta que si x1, x2, xn. Son variables aleatorias independientes de Poisson, cada una con parmetro , entonces:II. APROXIMACIN POISSON A LA NORMAL.es una variable aleatoria de Poisson con parmetro n (propiedad reproductiva) Por el teorema central del lmite, la variable aleatoriatiene aproximadamente una distribucin N(0, 1), para n suficientemente grande. La aproximacin de la distribucin de Poisson a la normal se mejora conforme aumenta el valor del parmetro n , de la suma. En la prctica se considera una aproximacin buena cuando n > 5. Por lo tanto, si el parmetro comn de los sumandos es pequea, n puede reducirse en forma correspondiente.La distribucin Normal es continua y de Poisson es discreta, por lo tanto, para aproximar la distribucin la Distribucin de Poisson por el rea bajo la curva normal se usa el factor de correccin de continuidad. Es decir:

El cuadro siguiente presenta algunas aproximaciones de la distribucin de Poisson a la curva normal.

1. DEFINICIN.La distribucin Hipergeomtrica se relaciona con problemas en donde el muestreo se obtiene sin reemplazo de una poblacin finita.Sea N el tamao d la poblacin finita constituida por objetos de dos clases A y B. suponga que hay M objetos de clase A y N M de clase B. se extrae una muestra de tamao n sin reemplazo de la poblacin, y se define la variable aleatoria como sigueX = nmero de objetos de clase A en la muestra de tamao n.Rx = {0, 1 , 2,,min(M,n)}La variable aleatoria as definida tiene una distribucin hipergeomtrica con media III. APROXIMACIN DE LA HIPERGEOMTRICA A LA NORMAL.

definimos ahora la variable aleatoria siguienteXi = n de objetos de clase A obtenida en la i-sima extraccin.donde i = 0, 1 , 2,,nRxi ={0, 1}Entonces, la variable aleatoria X se escribe

1.Con base en experiencia pasada, el 40% de todos los clientes de cierta estacin de gasolina pagan sus compras con tarjeta de crdito. Si se selecciona una muestra aleatoria de 200 clientes, Cul es la probabilidad quea) Cuando menos 75 paguen con tarjeta de crdito?b) No ms de 70 paguen con tarjeta de crdito?c) Entre 70 y 75 clientes, inclusive paguen con tarjeta de crdito?IV. PROBLEMAS

2.Si una muestra de 100 tiene 3 menos artculos defectuosos se acepta el lote de 100. Si se supone que la probabilidad de producir artculos buenos del proceso de produccin es de 0.90, Cul es la probabilidad deque se acepte el lote?3.Si el 10% de los tubos de los receptores de radio se queman antes que la garanta haya expirado: un comerciante ha vendido 100 tubos. Cul es la probabilidad que:a) Se vea obligado a sustituir por lo menos 20 de ellos?b) Sustituya por lo menos 5 y no ms de 15 tubos?

4.En la playa de estacionamiento de cierta empresa grande, el registro de los automviles de los empleados revel, que la razn de los automviles de manufactura nacional a extranjera es 2 a 1, es decir dos de cada tres automviles son de manufactura nacional. Si se elige al azar 72 propietarios de autos y asumiendo una poblacin suficientemente grande, a) Qu tipo de distribucin de probabilidad tendr el nmero de propietarios de automviles de manufactura nacional en la muestra?cuales son los valores de sus parmetros?b) Utilice una aproximacin a la verdadera distribucin de probabilidad para determinar la probabilidad que en la muestra haya a lo ms 48 propietarios de autos de manufactura nacional.

5.Una compaa estima que ha de recibir de vuelta al rededor del 30 % de los cupones especiales de premio que planea enviar por correo para un programa de promocin de ventas. Si se envan 500 cupones Cul es la probabilidad de que se reciban de vuelta ms de 165 respuestas?

6.Para decidir a cerca de un proyecto de remodelacin de un sector de Lima, el Concejo Municipal decide seleccionar al azar 100 unidades habitacionales de este sector. Si el 40% ms de ellas estn en mal estado, se proceder a la remodelacin, en caso contrario. No se har la remodelacin.a) Cul es la probabilidad que se haga la remodelacin si slo el 36% de todas las viviendas de ese sector estn en mal estado?b) Cul es la probabilidad que no se haga la remodelacin si el 50% de las viviendas estn en mal estado?

7.Suponga que el 10 % de los neumticos de un fabricante tienen defectos en la superficie, y que los embarca en lotes de 100.a) Cul es la probabilidad (aproximada) que un lote contenga 8 menos neumticos con defectos en la superficie?b) Un comprador mayorista recibe 500 lotes Cul es la probabilidad (aproximada) que al menos 140 lotes contengan8 8 menos neumticos con defectos en la superficie cada uno?

8.Sean X1, X2, X30.variables aleatorias de Poisson distribuidos cada una con = 2/3. calcular: a) P[15 < < 22]b) P[21 < 27]

9.El nmero de accidentes de un tramo de 100 km de un autopista es una variable aleatoria de Poisson con media 2 por semana. Cul es la probabilidad (aproximada) que hayan menos de 100 accidentes en este tramo durante un ao?

10. Se utiliza la siguiente regla para controlar el funcionamiento de una mquina que produce cierto tipo de artculos. Se selecciona una muestra de 400 artculos cada hora. Si el nmero de artculos defectuosos es de 12 o ms, se detiene la mquina; y si el nmero de artculos defectuosos es inferior a 12, se deja que la mquina siga funcionando. Cul es la probabilidad de:a) Detener la mquina si est produciendo un 2 % de artculos defectuosos en promedio?b) Dejar que la mquina siga funcionando si est produciendo un 4% de artculos defectuosos en promedio?

12. Tornillos de hierro de pulg fabricados por cierta empresa ocasionalmente no tienen ranura. Esto ocurre al azar, y la probabilidad de este hecho y de que escape a la inspeccin es de 0.02. en una remesa se 2500 de tales tornillos. Cul es la probabilidad que:a) 64 ms carezcan de ranuras?b) 36 o menos? Entre 36 y 64 inclusive?

16. Un funcionario de asistencia pblica en cierta rea de una ciudad grande sospecha que un 10% de los nios sufren grave desnutricin. En esa rea viven 2000 nios. Se selecciona una muestra de 80 nios.a) Qu distribucin de probabilidad tiene el nmero de nios desnutridos de la muestra?cules son sus parmetros?b) cul es la probabilidad (aproximada) que cuando menos 5 nios estn desnutridos?

17. Los automviles llegan a un servicio de lavado automtico a razn de 9 cada media hora. Determine la probabilidad que en cualquier periodo dado de ocho horas.a) Lleguen cuando menos 120 automviles.b) Lleguen entre 120 y 150 automviles

18.a) Un sistema est formado por 100 componentes que funcionan independientemente. La probabilidad que cualquier componente falle durante el periodo de operacin es igual a 0.10. El sistema funciona si funcionan al menos 85 componentes. Calcular la probabilidad que funcione el sistema.b) Suponga que el sistema anterior est formado por n componentes, cada una con una confiabilidad de 0.90. El sistema funcionar si al menos el 80% de las componentes funcionan correctamente. Determinar n de modo que el sistema tenga una confiabilidad de 0.95.