Distribuciones ejercicios
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Universidad Tecnológica de Torreón
Ejercicio: Distribución Bernoulli Distribución Binomial
Distribución Poisson Distribución Normal
Distribución Gamma Distribución T de student
Víctor Hugo Franco García
Procesos Industriales Área de Manufactura
2º “A” Matricula: 1110167
Prof. Lic. Edgar Mata Ortiz
Distribuciones Página 2
Índice
Distribución Bernoulli…………………………...3-4-5
Distribución Binomial……………………………6-7-8
Distribución Poisson………………………………9-10
Distribución Gamma…………………………11-12-13
Distribución Normal……………………..…..14-15-16
Distribución T de student…………………….17-18-19
Bibliografía………………………………………..20
Distribuciones Página 3
La distribución Bernoulli
Imagine un experimento que tenga dos resultados. Al primero se le llama “éxito” y al otro
“fracaso”. La probabilidad de éxito se denota por p. por consecuencia, la probabilidad de fracaso
es 1-p. lo anterior representa un ensayo de Bernoulli con probabilidad de éxito p. el más sencillo
de este tipo es el lanzamiento al aire de una moneda. Los posibles resultados son “cara” o “cruz”.
Si “cara” se define como éxito, entonces p constituye esa probabilidad. En una moneda p = ½.
Para cualquier ensayo de Bernoulli se define a la variable aleatoria X así: si el experimento propicia
“éxito”, entonces X=1. De lo contrario, X=0. De ahí que X sea una variable aleatoria discreta, con
función de masa de probabilidad p(x) definida por
p (0)= p (X = 0) = 1 – p
p (1)= p (X = 1) = p
Ejemplo:
Cuando se lanza un dado hay una probabilidad de 1/6 de que salga 6. Sea X = 1 si el dado cae seis
y X = 0 en cualquier otro caso. ¿Cuál es la distribución de X?
SOLUCIÓN:
La probabilidad de éxito es p = p (x = 1) = 1 / 6. Por lo que X – Bernoulli (1 / 6)
EJERCICIOS:
1. Un jugador de basquetbol está a punto de tirar hacia la parte superior del tablero. La
probabilidad de que anote el tiro es de 0.55
a) Sea X=1, si anota el tiro, si no lo hace, X=0. Determine la media y la varianza de X.
Ux = (0) (1 – 0.55) + (1) (0.55)
= 0.55 MEDIA
= (0 - P)ˆ2 (1-P) + (1 - P)ˆ2 (P)
= P (1 - P)
= 0.2475 VARIANZA
b) Si anota el tiro, su equipo obtiene dos puntos; si lo falla, su equipo no recibe puntos. Sea Y
el número de puntos anotados. ¿Tiene una distribución de Bernoulli? Si es así, encuentre
la probabilidad de éxito. Si no, explique por qué.
P + = 1
= 1 – P
= 1 – 0.55
= 0.45
Distribuciones Página 4
¿Tiene una distribución de Bernoulli? Sí, porque nos plantean un ejemplo donde nos
presentan 2 opciones de éxito o fracaso., donde si anota ganan 2 puntos y si no anotan no
gana nada
c) Determina la media y varianza de Y.
Ux = (0) (1 - 2) + (1) (2)
= 2 MEDIA
= (0 - P) ˆ2 (1 – P) + (1 - P) ˆ2 (P)
=P (1 - P)
= -2 VARIANZA
2. En un restaurante de comida rápida, 25% de las órdenes para beber es una bebida
pequeña, 35% una mediana y 40% una grande. Sea X=1 si se escoge aleatoriamente una
orden de bebida pequeña y X=0 en cualquier otro caso sea Y=1 si la orden es una bebida
pequeña p mediana y Z=0 para cualquier otro caso.
a) Sea Px la probabilidad de éxito de X. Determine Px
X – (Y + Z)
1 – (35 + 40)
1 – (0.75) = 0.25 25%
b) Sea Py la probabilidad de éxito de Y. Determine Py
Y - (X + Z)
1 – (25 + 40)
1 – (65) = 0.35 35%
c) Sea Pz la probabilidad de éxito de Z. determine Pz
Z – (X + Y)
1 – (25 + 35)
1 – (60) = 0.40 40%
d) ¿Es posible que X y Y sean iguales a 1?
No, porque la suma de sus porcentajes es menos a 1
e) ¿Es pz = Px + Py?
No, porque Z = 40% y X + Y = 70%
3. X y Y variables aleatorias de Bernoulli. Sea Z = X + Y.
a) Demuestre que si X y Y no pueden ser iguales a 1, entonces Z es variable aleatoria de
Bernoulli.
DATOS: X = 1 Y = 1 Z = X + Y Z = 2
X = 1 X = 0 Z = 0 + 0 Z = 0 No es un variable de Bernoulli
Y = 1 Y = 0
b) Demuestre que si X y Y no pueden ser iguales a 1, entonces Pz = Px + Py
Pz = Px + Py
1 = 0 + 0 1 = 0 No son iguales
c) Demuestre que si X y Y pueden ser iguales a 1, entonces Z no es una variable aleatoria
de Bernoulli.
Distribuciones Página 5
X = 1 Z = X + Y Z = 2 No es una variable de Bernoulli
Y = 1
4. Se lanza al aire una moneda de 1 y 5 centavos. Sea X = 1 si sale “cara” en la moneda de 1
centavo y X = 0 en cualquier otro caso. Sea Y= 1 si sale “cara” en la moneda de 5 centavos
y Y = 0 en cualquier otro caso. Sea Z = 1 si sale cara, en ambas monedas y Z = 0 en
cualquier otro caso
a) Sea Px la probabilidad de éxito de X. Determine Px
Monda de 1 centavo
X P
1 0.5 – 0.5
0 0.5 - 0
0.5
b) Sea Py la probabilidad de éxito de X. Determine Py
X P
1 0.5 – 0.5
0 0.5 - 0
0.5
c) Sea pz la probabilidad de éxito de X. Determine Pz
Z P
1 (0.33) – 0.5
0 (0.66) - 0
0.5
d) ¿son X y Y independientes?
Si, porque cada una tiene el mismo resultado y no depende una de la otra
e) ¿Es pz = Px Py?
No, porque los 3 resultados son independientes
f) ¿Es Z = XY? Explique
Si, porque Z = 1, X = 1, Y = 1 por lo tanto 1 = 1 x 1 1 = 1
5. Sea X y Y variables aleatorias de Bernoulli. Sea Z = XY.
a) Demuestre que Z es una variable aleatoria de Bernoulli.
Si X y Y son variables de Bernoulli
X = 1
Y = 1
Sea Z = XY Z = (1) (1) Z = 1
b) Demuestre que si X y Y son independientes, entonces Pz = PxPy
X = 1 Pz = 1 = Px = 1 = Py = 1
Distribuciones Página 6
Y = 1 Pz = Px Py
Z = 1 1 = (1) (1) 1 = 1
La distribución binomial
Extraer un solo componente de una población y determinar si está o no defectuoso es ejemplo de
un ensayo de Bernoulli. En la práctica es posible extraer varios componentes de una gran
población y contar el número de elementos defectuosos. Esto implica realizar diversos ensayos de
Bernoulli independientes y contar con el número de éxitos. El número de éxitos es una variable
aleatoria, que tiene una distribución binomial.
Sea la variable aleatoria X igual al número de éxitos en N ensayos, entonces X tiene la distribución
binomial con parámetros n y p. la notación es X-Bin (n, p). X es una variable aleatoria discreta y
sus posibles valores son 0,1,…..n.
Ejemplo:
Un lote contiene varios miles de componentes, de estos 10% están defectuosos. Se extraen siete
componentes de la población. Sea X el número de componentes defectuosos en la muestra. ¿Cuál
es la distribución de X?
SOLUCION:
Puesto que el tamaño muestral es pequeño en comparación con la población (es decir, menos a
5%), su número de éxitos representa una distribución binomial. Por tanto, se modela X con la
distribución binomial Bin (7, 0.1).
1. Sea X – Bin (8, 0.4). Determine
a) P(X = 2)
P (X = 2) 8!
2 (8 - 2) (0.4) ˆ2 (0.6) ˆ6 = 0.20901888
b) P(X = 4)
P (X = 4) 8!
4 (8 - 4) (0.4) ˆ4 (0.6) ˆ4 = 0.2322432
c) P(X < 2)
P (X <2) 8!
1 (8 - 1) (0.4) ˆ1 (0.6) ˆ5 = 0.08957952
d) P(X > 6)
P (X > 6) 8!
7 (8 - 7) (0.7) ˆ7 (0.3) ˆ1 = 0.19765032
e) Ux
Distribuciones Página 7
X P X (P)
3 0.15 0. 45
0 0.85 0
MEDIA: 0 .45
f) (X - M) ˆ2 (P)
(3 – 0.45) ˆ2 (0.15) = 0.975375
(0 – 0.45) ˆ2 (0.85) = 0.172125
VARIANZA: 1. 1475
2. Se toma una muestra de cinco elementos de una población grande en la cual 10% de los
elementos está defectuoso.
a) Determine la probabilidad de que ninguno de los elementos de la muestra esté
defectuoso.
5!
0! (5 - 0)! (0.9) ˆ0 (0.1) ˆ5 = 0.00001
b) Determine la probabilidad de que sólo uno de ellos tenga defectos.
5!
1! (5 - 1) (0.9) ˆ1 (0.1) ˆ4 = 0.00045
c) Determine la probabilidad de que uno o más de los elementos de la muestra estén
defectuosos
5!
2! (5 - 2)! (0.9) ˆ2 (0.1) ˆ3 = 0.0081 + 0.00045 = 0.00855
d) Determine la probabilidad de que menos de dos elementos de la muestra tenga
defectos
0.00001
0.00045
0.00046
3. Se lanza al aire una moneda diez veces.
a) ¿Cuál es la probabilidad de obtener tres veces “cara”?
10!
3! (10 - 3)! (0.5) ˆ3 (0.5) ˆ7 = 0.1171875
b) Determine la media del número de caras obtenidas
U = (10) (0.5) = 5
c) Determine la varianza del número de caras obtenidas
= 5 (1 - 0.5) = 2.5
d) Determine la desviación estándar del número de caras obtenidas
= 1.58113883
Distribuciones Página 8
4. En un cargamentos grande de llantas de automóvil. 5% tiene cierta imperfección. Se eligen
aleatoriamente cuatro llantas para instalarlas en el automóvil.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que ninguna de las llantas tenga imperfección?
4!
0 (4 - 0) (0.95) ˆ0 (0.05) ˆ4 = 0.00000625
b) ¿Cuál es la probabilidad de que sólo una de las llantas tenga imperfección?
4!
1 (4 - 1) (0.95) ˆ1 (0.05) ˆ3 = 0.000475
c) ¿Cuál es la probabilidad de que una o más de las llantas tenga imperfección?
4!
2 (4 - 2) (0.95) ˆ2 (0.05) ˆ2 = 0.0135375 + 0.000475 = 0.0140125
5. En un patrón aleatorio de ocho bits utilizado para probar un microcircuito. Cada bit tiene
la misma probabilidad de ser 0 o 1. Suponga que los valores de los bits son
independientes.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que todos los bits sean 1?
8!
1 (8 - 1) (0.5) ˆ1 (0.5) ˆ7 = 0.03125
b) ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente tres de los bits sean 1?
3!
1 (3 - 1) (0.5) ˆ1 (0.5) ˆ2 = 0.375
c) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos seis de los bits sean 1?
6!
1 (6 - 1) (0.5) ˆ1 (0.5) ˆ5 = 0.09375
d) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos dos de los bits sean 1?
2!
1(2 - 1) (0.5) ˆ1 (0.5) ˆ1 = 0.5
Distribuciones Página 9
La distribución de Poisson
La distribución de Poisson se utiliza con frecuencia en el trabajo científico. Una
manera de considerarla es como una aproximación de la distribución binomial
cuando n es grande y p es pequeña. Si una variable aleatoria discreta X definida
en un espacio de probabilidad <m> (Omega, Lambda, P (.)) es el numero de
éxitos en n repeticiones de un experimento de Bernoulli.
Donde lambda es igual a n * P (tamaño de muestra multiplicado por la
probabilidad de éxito)
n = Tamaño de muestra
x = Cantidad de éxitos
P = Probabilidad de éxito
e = base de logaritmos = 2.718281828
1. Sea X ~ Poisson (4). Determine
a) P (x = 1)
e – 4 (4^1, 1!) = 0.073262555
b) P (x = 0)
e – 4 (4^0, 0!) = 0.018315638
c) P (x = <2)
e – 4 (4^0, 0!) = 0.018315638
e – 4 (4^1, 1!) = 0.073262555 = 0.091578193
d) P (x > 1)
P (x = 2)
e – 4 (4^2, 2!) = 0.146525111
P (x = 3)
e – 4 (4^3, 3!) = 0.195366814 = 0.3418919225
e) U MEDIA: 4
f) VARIANZA: 4
2. La concentración de partículas en una suspensión es 2 por mL. Se agita por
completo la concentración, y posteriormente se extraen 3 Ml. Sea X el
número de partículas que son retiradas. Determine
a) P (x = 5)
e – 2 (2^5, 5!) = 0.036089408
b) P (x = < 2)
e – 2 (2^2, 2!) = 0.270670566
e – 2 (2^1, 1!) = 0.270670566 = 0.541341132
Distribuciones Página 10
c) P (x > 1)
e – 2 (2^2, 2!) = 0.270670566
3. Suponga que 0.03% de los contenedores plásticos producidos en cierto
proceso tiene pequeños agujeros que los dejan inservibles. X representa el
número de contenedores en una muestra aleatoria de 10 000 que tienen
este defecto. Determine
a) P (X = 3)
e – 3 (3^3, 3!) = 0.224041807
b) P (X < 2)
e – 3 (3^2, 2!) = 0.224041807
e – 3 (3^1, 1!) = 0.149361205 = 0.373403075
c) P (1 < X <4)
e – 3(3^3, 3!) = 0.224041807
d) U MEDIA: 3
e) VARIANZA: 3 4. Si Poisson (3), calcule
a) P (X = 2)
e – 3 (3^2, 2!) = 0.2240
b) P (X = 10)
e – 3 (3^10, 10!) = 0. 00081
c) P (X = 0)
e – 3 (3^0, 0!) = 0. 0498
5. Si X ~ Poisson (4). Calcule
a) P (X < 2)
E – 4 (4^2, 2!) = 0.146525111
b) P (X > 1)
E – 4 (4^1, 1!) = 0.073262555
Distribuciones Página 11
La distribución normal
En estadística y probabilidad se llama distribución normal, distribución de
Gauss o distribución gaussiana, a una de las distribuciones de probabilidad de
variable continua que con más frecuencia aparece aproximada en fenómenos
reales. La distribución normal es continua en vez de discreta. La media de una
variable aleatoria normal puede tener cualquier valor y la varianza cualquier valor
positivo. La distribución normal también aparece en muchas áreas de la propia
estadística. Por ejemplo, la distribución muestral de las medias muéstrales es
aproximadamente normal, cuando la distribución de la población de la cual se
extrae la muestra no es normal.
Ejercicios:
1. En una ciudad se estima que la temperatura máxima en el mes de junio si una distribución
normal, con media 23° y desviación típica 5°. Calcular el número de días del mes en los
que se espera alcanzar máximas entre 21° y 27°.
2. En un examen tipo test de 200 preguntas de elección múltiple, cada pregunta tiene una
respuesta correcta y una incorrecta. Se aprueba si se contesta a más de 110 respuestas
correctas. Suponiendo que se contesta al azar, calcular la probabilidad de aprobar el
examen.
Distribuciones Página 12
3. Se supone que los resultados de un examen siguen una distribución normal con media 78
y varianza 36. Se pide:
¿Cuál es la probabilidad de que una persona que se presenta el examen obtenga una
calificación superior a 72?
4. En una distribución normal de media 4 y desviación típica 2, calcular el valor de a para que:
P(4−a ≤ x ≤ 4+a) = 0 .5934
Distribuciones Página 13
5. Si X es una variable aleatoria distribuida según una distribución N (µ, σ), hallar:
P (µ−3σ ≤ X ≤ µ+3σ)
Es decir, que aproximadamente el 9 9 . 7 4 % de los valores de X están a menos de tres desviaciones
típicas de la media.
Distribuciones Página 14
La Distribución Gamma
DISTRIBUCIÓN GAMMA
Es una distribución adecuada para modelizar el comportamiento de variables
aleatorias continuas con asimetría positiva. Es decir, variables que presentan una
mayor densidad de sucesos a la izquierda de la media que a la derecha. En su
expresión se encuentran dos parámetros, siempre positivos, (α) y (β) de los que
depende su forma y alcance por la derecha, y también la función Gamma Γ(α),
responsable de la convergencia de la distribución
el valor de la función Gamma se obtiene a partir de:
Ejercicios:
1. En cierta ciudad el consumo diario de energía eléctrica, en millones de kilovatios por hora,
puede considerarse como una variable aleatoria con distribución GAMMA de parámetros = 3
y = 0.5. La planta de energía de esta ciudad tiene una capacidad diaria de 10 millones de KW/hora ¿Cuál es la probabilidad de que este abastecimientos sea:
a. Insuficiente en un día cualquiera?. b. Se consuman entre 3 y 8 millones de K. W./Hora? c. Encuentre E(x) y V(x).
Solución:
Distribuciones Página 15
2. Suponga que cierta pieza metálica se romperá después de sufrir dos ciclos de esfuerzo.
Si estos ciclos ocurren de manera independiente a una frecuencia promedio de dos por
cada 100 horas. Obtener la probabilidad de que el intervalo de tiempo se encuentre hasta que ocurre el segundo ciclo.
a. Dentro de una desviación con respecto del tiempo promedio.
b. A más de dos desviaciones por encima de la media.
Solución:
3. El número de pacientes que llegan a la consulta de un médico sigue una distribución de
Poisson de media 3 pacientes por hora. Calcular la probabilidad de que transcurra menos de una
hora hasta la llegada del segundo paciente.
Debe tenerse en cuenta que la variable aleatoria “tiempo que transcurre hasta la llegada del segundo
paciente” sigue una distribución Gamma (6, 2).
Solución:
Cálculo de probabilidades. Distribuciones continuas
Gamma (a p)
a : Escala 60000
p : Forma 20000
Punto X 10000
Cola Izquierda Pr[X<=k] 0,9826
Cola Derecha Pr[X>=k] 0,0174
Media 0,3333
Varianza 0,0556
Moda 0,1667
La probabilidad de que transcurra menos de una hora hasta que llegue el segundo paciente es 0,98.
4. Suponiendo que el tiempo de supervivencia, en años, de pacientes que son sometidos a una cierta
intervención quirúrgica en un hospital sigue una distribución Gamma con parámetros a=0,81 y
p=7,81, calcúlese:
Distribuciones Página 16
1. El tiempo medio de supervivencia.
2. Los años a partir de los cuales la probabilidad de supervivencia es menor que 0,1.
Cálculo de probabilidades. Distribuciones continuas
Gamma (a,p)
a : Escala 0,8100
p : Forma 7,8100
Cola Izquierda Pr [X<=k] 0,9000
Cola Derecha Pr [X>=k] 0,1000
Punto X 14,2429
Media 9,6420
Varianza 11,9037
Moda 8,4074
El tiempo medio de supervivencia es de, aproximadamente, 10 años.
5. suponga que cierta pieza metálica se romperá después de sufrir dos siclos de esfuerzo. Si estos
ciclos ocurren de manera independiente a una frecuencia promedio de dos por cada 100 horas.
Obtener la probabilidad de que el intervalo de tiempo se encuentre hasta que ocurre el segundo
ciclo.
a) dentro de una desviación con respecto del tiempo promedio
b) A más de dos desviaciones por encima de la media
Distribuciones Página 17
La distribución T de Student
En probabilidad y estadística, la distribución t (de Student) es una distribución
de probabilidad que surge del problema de estimar la media de una
población normalmente distribuida cuando el tamaño de la muestra es pequeño.
Aparece de manera natural al realizar la prueba t de Student para la determinación
de las diferencias entre dos medias muéstrales y para la construcción del intervalo
de confianza para la diferencia entre las medias de dos poblaciones cuando se
desconoce la desviación típica de una población y ésta debe ser estimada a partir
de los datos de una muestra. En estos casos calculamos el estadístico T:
Ejercicios:
1. S e s e l e c c i o n o u n a m u e s t r a a l e a t o r i a d e 2 5 c u e n t a s
p o r c o b r a r d e u n registro que contenía 96 cuentas. La muestra dio
una media de x = 2.435colones y una desviación típica de S = 335 colones.
Obténgase un intervalo de confianza del 90% para estimar la media de las 96
cuentas del registro.
2. El auditor de una empresa al examinar los registros de facturación
mensual, mediante el análisis de una muestra aleatoria irrestricta de 10
facturas no
p a g a d a s e n c o n t r ó q u e l a m e d i a a r i t m é t i c a f u e d e x = $ 9 5
0 0 c o n u n a desviación típica de s = $327. Construir un intervalo de
confianza del 95%para estimar el parámetro poblacional.
Distribuciones Página 18
3. U n a mu e s t r a a l e a t o r i a d e l p r o c e s o d e p r o d u c c i ó n d e 1 7 b o m b i l l o s ,
d i o u n a media de x = 128 horas, con una desviación típica s = 15 horas.
Construir un intervalo de confianza del 99% para estimar el promedio de vida
útil de todos los bombillos del proceso
4. U n a e mp r e s a c o n s t r u c t o r a d e s e a c o n o c e r e l p r o me d i o
d e a r r e n d a mi e n t o mensual de casas en cierta ciudad (casas tipo clase
media). Una
muestraa l e a t o r i a d e 2 6 a r r e n d a m i e n t o s d i o u n p r o m e d i o
d e x = $ 2 8 0 y u n a desviación típica de s = $55. Estime el promedio verdadero
con un intervalo de confianza del 0.99
Distribuciones Página 19
5. E l p r o p i e t a r i o d e u n a p a p e l e r í a d e s e a e s t i m a r l a m e d i
a d e l v a l o r a l menudeo de las tarjetas de felicitación que la tienda tiene en su
inventario. Un a mu e s t r a a l e a t o r i a d e 2 0 t a r j e t a s d e f e l i c i t a c i ó n i n d i c a
u n a me d i a
d e v a l o r d e $ 1 . 6 7 y u n a d e s v i a c i ó n e s t á n d a r d e $ 0 . 3 2 . S u p o n i
e n d o u n a distribución normal, construya una estimación del intervalo de confianza
del9 5 % p a r a l a m e d i a d e l v a l o r d e t o d a s l a s t a r j e t a s d e
f e l i c i t a c i ó n e n e l inventario de la tienda
Distribuciones Página 20
Bibliografía:
Autor: William Navidi
Libro: estadística para ingenieros
Y científicos
Titulo: Distribución Bernoulli
Distribución binomial
Distribución Poisson
Distribución normal
Distribución gamma
Distribución T de student
Editorial: Mc Graw Hill
[email protected] http://www.facebook.com/profile.php?id=100001475094229 http://hugo-franco.bligoo.com.mx/content https://twitter.com/#!/victorhugofran4 Otros: [email protected]
Saludos
¡Gracias por tu atención!