Distribución T de Student

La distribución t de Student se utiliza cuando nos encontramos con la dificultad de no conocer la desviación típica poblacional y nuestra muestra es menor de 30. Es similar a la curva normal, pero la distribución t tiene mayor área a los extremos y menos en el centro.

Concepto y breve historia

Esta fue descubierta por un especialista en estadística de una empresa irlandesa, este señor cuyo nombre era William S. Gosset, hizo inferencias acerca de la media cuando la desviación poblacional fuese desconocida; y ya que a losempleados de dicha entidad no les era permitido publicar el trabajo de investigación bajo sus propios nombres, Gosset adoptó el seudónimo de “Student”.

Sus funciones se basan en establecer un intervalo de confianza, utilizando un nivel de confianza y los grados de libertad, obteniendo valores de una tabla dada con respecto a estas variables y aplicarla en la formula.De gran utilidad, reduce tiempo, costo y esfuerzos. Se utiliza para probar hipótesis y también para saber si dos muestras provienen de la misma población.

Grados de Libertad (V)

En la mayoría de los casos, los parámetros de una población son cantidades desconocidas y para estimarlos es necesario extraer una muestra de la población y calcular los estadísticos correspondientes.

Existen varias distribuciones t. Cada una de ellas está asociada con los que se denominan “Grados de libertad” (generalmente denotado por la letra V), esté se define como el número de valores que podemos elegir libremente, ósea, el número de observaciones menos uno, ν = n – 1.

Nos interesa en nuestro caso particular poder establecer el intervalo de confianza para estimar la media poblacional, para ello haremos uso de la siguiente fórmula:

Fórmula general

μ= x̄ ± t(α, ν) *σ*n

Donde: • μ = media poblacional.• x̄ = media muestral (promedio).• t(α, ν) = valor obtenido de la tabla de

la distribución “t”. α = nivel de confianza. ν = grados de libertad (v=n-1).• σ = desviación estándar.• n = tamaño de la muestra.

Usaremos un caso muy simple:

• Suponiendo que nos den un nivel de confianza del 95%, para poder sacar el valor haremos lo siguiente:

• Restaremos 100 – 95 = 5 luego se divide 5/100=0.05

• Ahora, para el grado de libertad (v), se tendrá en cuenta el tamaño de la muestra (n) y supondremos que sea 8. Donde:

• v= n - 1 v=8 – 1

• Finalmente ubicaremos los valores en la siguiente tabla de distribución t de Student:

Determinación del nivel de confianza con el grado de libertad en la tabla t de Student

α=0.05

v=7

Tabla t de Student

• Teniendo ya los dos valores, trataremos de ubicar en la tabla:

• Llegando a obtener un valor t(α, ν) de:

2.365

α=0.05 v=7

2.365

Ejercicio 01

• El auditor de una empresa al examinar los registros de facturación mensual, mediante el análisis de una muestra aleatoria irrestricta de 10 facturas no pagadas encontró que la media aritmética fue de $9500 con una desviación estándar de $327. Hallar el intervalo de confianza del 95% para estimar el parámetro poblacional.

• Datos: x̄ = 9500 α = 0.05 ν = 9 σ = 327 n = 10 t(α, ν) =2.262

μ= 9500 ± 2.262 * 327 * 10μ=[16896.74 ; 2103.26]

El intervalo de confianza para estimar el parámetro poblacional está entre 16896.74 hasta 2103.26

μ= x̄ ± t(α, ν) *σ*n

Valor t Tabulado: 2.262

Ahora para hallar el Valor Calculado se utiliza la siguiente fórmula:

Reemplazando y operando nos saldrá el siguiente valor:

Vc = 91.870

Y su respectiva gráfica:

Vc =

Ejercicio 02

• Se realizó un estudio sobre la utilización del agua en una pequeña ciudad. Para ello se considero una muestra de 25 casas. Teniendo como promedio un valor de 175.76 y una desviación estándar de 20.79. Hallar el intervalo de confianza del 90%para estimar el parámetro poblacional.

• Datos: x̄ = 175.76 α = 0.1 ν = 24 σ = 20.79 n = 25 t(α, ν) =1.711

μ= 175.76 ± 1.711 * 20.79 * 25μ=[1065.05 ; -713.53]

El intervalo de confianza para estimar el parámetro poblacional esta entre 1065.05 y -713.53

μ= x̄ ± t(α, ν) *σ*n

Valor t Tabulado: 1.711

Ahora para hallar el Valor Calculado se utiliza la siguiente fórmula:

Reemplazando y operando nos saldrá el siguiente valor:

Vc = 42.270

Y su respectiva gráfica:

Vc =

Ejercicio 03

• Se tienen las edades de 10 asegurados a una empresa que tiene un x̄ =39.5 y una σ = 7.77. Hallar el intervalo de confianza para el 90% y represente gráficamente

• Datos: x̄ = 39.5 α (90%)= 0.1 ν = 9 σ = 7.77 n = 10 t(α 90%, ν) =1.83

μ= 39.5 ± 1.83 * 7.77 * 10μ=[181.691 ; -102.691]

El intervalo de confianza para el 90% esta entre 181.691 hasta -102.691

μ= x̄ ± t(α, ν) *σ*n

Valor t Tabulado 90%=1.83

Ahora para hallar el Valor Calculado se utiliza la siguiente fórmula:

Reemplazando y operando nos saldrá el siguiente valor:

Vc 90% = 16.075

Y su respectiva gráfica:

Vc =