1. Variables bidimensionals2. Núvol de punts3. Covariància4. Correlació. Coeficient de

correlació5. La recta de regressió

Variables Bidimensionals

Quan s’estudien simultaneament dues característiques d’una mateixa població, se diu que tenim una variable estadística bidimensional la qual es representa pel parell

(X,Y)On, X e Y son variables unidimensionals.

Tabulació de la variable

bidimensional

La tabulació d’aquestes variables es fa en lo que s’anomena taula de doble entrada, quan es tracta d’una variable quantitativa.

En aquesta taula tenim:•Els valors de la variable X, amb les seues freqüencies•Els valors de la variable Y, amb les seues frqüencies•Les freqüencies absolutes conjuntes del parell (X,Y)

Distribucions marginals• D’aquesta taula es podem traure el que s’anomen

distribucions marginals, que son les distribucions unidimensionals X e Y

Diagrama de dispersió o núvol de punts

• El núvol de punts es un diagrama gràfic que permet vore les regularitats que hi ha en les dades observades.

• Es posa la variable X al eix horizontal i la variable Y al eix vertical, i es dibuixen tants punts com vegades es donen juntes ambdues variables, apareixent el següent gràfic:

Covàriancia (variància conjunta)

• S’anomena covàriancia d’una variable bidimensional a la mitjana aritmètica dels productes de les desviacions de cadascuna de les variables respecte de les mitjanes respectives. Tè l’expressió:

• La covariància indica el sentit de la relació entre les dos variables:

• Si es positiva, indica una correlació directa• Si es negativa indica una correlació indirecta• Si es 0 indica que no hi ha relació entre les variables.

Exemple

Les notes de 12 alumnes d’una clase en matemàtiques i físiques son:

Calcula la covariància

Càlcul de la covariància

Desprès de tabular les dades calculem les mitjanes aritmètiques

Exercici

Els valors de dues variables X e Y es distribueixen segons la següent taula:

Calcula la covariància

En primer lloc, transformem la taula de doble entrada en taula simple i calculem les mitjanes marginals:

Exercici

Correlació

• S’anomena correlació la “relació o dependència que hi ha entre les dues variables que intervenen en una distribució bidimensional.

• La correlació ve determinada per la covariància. Aquesta com hem vist abans indica el sentit de la relació entre les dos variables:

• Si es positiva, indica una correlació directa• Si es negativa indica una correlació indirecta• Si es 0 indica que no hi ha relació entre les variables.

Tipus de correlació

• Aquesta relació pot ser:• Lineal o curvilínia segons si el núvol de punts es

condensa al voltant d’una linea recta o d’una corba• Directa o positiva quan es creixent. En cas contrari es

diu inversa o negativa. La correlació es nul.la quan no hi ha relació entre ambdues variables, en aquest cas, els punts es troben escampats• Funcional, quan els punts s’ajusten a una funció. En

cas contrari es pot parlar de dèbil o forta segons la tendencia que tinguen els punts d’ajustar-se a una funció

El coeficient de correlació

• EL coeficient de correlació de pearson és un paràmetre que serveix per a mesurar el grau de relació lineal que hi ha entre les dues variables unidimensionals que formen part d’una variable bidimensional. Es calcula fent:

Propietats del coeficient de correlació

• El coeficient de correlació es un valor compreso entre -1 i 1

• Quan el seu valor és• próxim a -1, la seua correlació es inversa i forta• próxim a 1, la seua correlació es directa i forta• próxim a 0, la correlació és dèbil• -1, i 1, hi ha dependència funcional

Exemple

Les notes de 12 alumnes d’una clase en matemàtiques i físiques son:

Calcula el coeficient de correlació

Com el coeficient de correlació es positiu, hi ha correlació directa.I com el coeficient d ecorrelació es proper de 1, hi ha correlació forta

Exercici

Els valors de dues variables X e Y es distribueixen segons la següent taula:

Calcula el coeficient de correlació

Coeficient de correlació

Com el coeficient de correlació es negatiu, la correlació es inversa. Ademés, com el coeficient de correlació està propoet de 0, la correlació és dèbil, es a dir, hi ha poca relació entre les dues variables.

Exercici

Exercici

La recta de regressió

• Quan entre les dues variables hi ha una forta correlació, el núvol de punts es condensa al voltant d’una recta anomenada recta de regressió.

• Hi ha dues rectes de regressió, dependent de quina variable és pre com variable dependient.

• Ambdues rectes es tallen en el punt anomenat centre de gravetat o de masses

• Si Y es la variable dependent, tenim:

• Si X es la variable dependent, tenim:

Exemple

Les notes de 12 alumnes d’una clase en matemàtiques i físiques son:

Calcula la recta de regressió

Calculem les mitjanes, les variàncies i la covarància

A partir d’aquestes dades calculem les rectes de regressió:

Finalment dibuixem: