Distribucija frekvencija
description
Transcript of Distribucija frekvencija
![Page 1: Distribucija frekvencija](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081504/56814437550346895db0d102/html5/thumbnails/1.jpg)
VVeerroovvaattnnooććaa
matematička verovatnoća (P) = odnos između broja povoljnih
događaja (m) i ukupnog broja događaja (n):
nmP 0 P 1
m = n (svi mogući događaji su povoljni)
P = 1 apsolutna sigurnost nekog događanja
m = 0, onda je i P = 0 apsolutna nemogućnost događanja
![Page 2: Distribucija frekvencija](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081504/56814437550346895db0d102/html5/thumbnails/2.jpg)
Vrlo često: %100nm
P
Statistička definicija verovatnoće: verovatnoća je odnos
između broja pojavljivanja događaja A i svih događaja
0
A
nn
p
Kada n0 ili kada n0 n, p P
![Page 3: Distribucija frekvencija](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081504/56814437550346895db0d102/html5/thumbnails/3.jpg)
Verovatnoća izvlačenja “keca” iz špila od 52 karte:
m = 4, n = 52, P = 4/52 = 0,0769 ili 7,69%
Verovatnoća “keca” pik: Pp = 1/52 = 0,0192, verovatnoća
“keca” tref je takođe 0,0192, itd.
P = Pp + Pt + Pk + Ph = 4/52
OOppššttee pprraavviilloo:: aakkoo ddooggaađđaajjii AA,, BB ii CC mmoogguu ddaa ssee ddooggooddee,, AA ii CC
ssuu nnpprr.. ““ppoovvoolljjnnii”” ddooggaađđaajjii,, vveerroovvaattnnooććaa ddaa ććee ssee ddooggooddiittii iillii AA iillii
CC jjeeddnnaakkaa jjee zzbbiirruu vveerroovvaattnnooććaa ppoojjeeddiinnaaččnniihh ddooggaađđaajjaa AA ii CC..
![Page 4: Distribucija frekvencija](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081504/56814437550346895db0d102/html5/thumbnails/4.jpg)
Verovatnoća izvlačenja dva “keca” uzastopno iz špila
od 52 karte:
P1 = 4/52, a P2 = 3/51
Verovatnoća sukcesivnog događanja događaja A i C
data je proizvodom pojedinačnih verovatnoća:
OOppššttee pprraavviilloo:: P = PA × PC
PPrriimmeerr:: P = (4/52)×(3/51) = 0,00452 (0,452%)
![Page 5: Distribucija frekvencija](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081504/56814437550346895db0d102/html5/thumbnails/5.jpg)
““SSttaattiissttiiččkkii”” kkaarraakktteerr vveerroovvaattnnooććee
Verovatnoća izvlačenja bilo kog keca:
P = 4 / 52 = 1 / 13
13 uzastopnih izvlačenja kec će jednom biti izvučen ?!?!
13000 uzastopnih izvlačenja broj slučajeva izvlačenja
keca 1000
![Page 6: Distribucija frekvencija](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081504/56814437550346895db0d102/html5/thumbnails/6.jpg)
BBiinnoommnnaa ddiissttrriibbuucciijjaa ((rraassppooddeellaa))
Klasifikacija pojedinačnih devijacija samo na osnovu
znaka, bez obzira na veličinu devijacije
n = 1
+ -
P+ = (1/2) P- = (1/2)
P1 = P+ + P- = (1/2) + (1/2) = 1
![Page 7: Distribucija frekvencija](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081504/56814437550346895db0d102/html5/thumbnails/7.jpg)
n = 2
++
P2+ = (1/4) P+ - = (1/2) P2- = (1/4)
P2 = (1/4) + (1/2) + (1/4) = 1, ili:
P2 = (1/2)2 + 2(1/2)(1/2) + (1/2)2
![Page 8: Distribucija frekvencija](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081504/56814437550346895db0d102/html5/thumbnails/8.jpg)
n = 3
+++ ++- --+ - - -
+-+ -+-
-++ +--
P3+ = (1/8) P2+1- = (3/8) P1+2- = (3/8) P3- = (1/8)
P3 = (1/8) + (3/8) + (3/8) + (1/8) = 1, ili
P3 = (1/2)3 + 3(1/2)2(1/2) + 3(1/2)(1/2)2 + (1/2)3
![Page 9: Distribucija frekvencija](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081504/56814437550346895db0d102/html5/thumbnails/9.jpg)
Ukupna verovatnoća (Pn) može se predstaviti opštim
binomnim izrazom:
Pn = (1/2 + 1/2)n, ili:
121
21
21
...
...21
21
21
21
21
P
nnn
1nn
1n
22nn2
1nn1
nn0n
odnosno:
121
21
Pkkn
nkn
,
gde su nk tzv. binomni (kombinatorni) koeficijenti
Paskalovog trougla
![Page 10: Distribucija frekvencija](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081504/56814437550346895db0d102/html5/thumbnails/10.jpg)
Tablica I. Paskalov trougao
n
0 00 1
1 10 11 1 1
2 20 2
1 22 1 2 1
3 30 31 3
2 33 1 3 3 1
itd. itd.
)!(!
!
knk
nnk ; n! = 1 × 2 × 3 … × (n-1) × n
10 nn
n
![Page 11: Distribucija frekvencija](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081504/56814437550346895db0d102/html5/thumbnails/11.jpg)
Tablica II. Vrednosti izraza (1/2)n
n (1/2)n
0 1
1 0,5
2 0,25
3 0,125
4 0,0625
5 0,03125
6 0,015625
7 0,0078125
8 0,00390625
9 0,001953125
10 0,0009765625
![Page 12: Distribucija frekvencija](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081504/56814437550346895db0d102/html5/thumbnails/12.jpg)
B i n o m n a r a s p o d e l a u o p š t e m s l u č a j u m o ž e s e
p r e d s t a v i t i s l e d e ć o m j e d n a č i n o m :
P n = ( p + q ) n , g d e j e p + q = 1 , i l i :
knknkn qpP .
N a j v e r o v a t n i j i b r o j d o g a đ a n j a n e k o g
d o g a đ a j a ( E ) k o j i i m a v e r o v a t n o ć u p ( t z v . s r e d n j a
v r e d n o s t b i n o m n e d i s t r i b u c i j e ) m o ž e s e o d r e d i t i
p r e m a r e l a c i j i :
E = n p .
![Page 13: Distribucija frekvencija](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081504/56814437550346895db0d102/html5/thumbnails/13.jpg)
Binomna distribucija može da se upotrebi za
izračunavanje verovatnoće da će sve greške
merenja imati isti znak, pa da će se prema tome
adirati. Ova verovatnoća se izračunava na
osnovu relacije:
Pmax = 2 × (1/2)n = (1/2)n-1.
Sa povećanjem broja merenja iz kojih se
izračunava krajnji rezultat analize, verovatnoća
da će sve greške biti aditivne naglo opada.
Za n = 2, Pmax=0,5; za n = 3, Pmax= 0,25;
za n = 6, Pmax= 0,031.
![Page 14: Distribucija frekvencija](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081504/56814437550346895db0d102/html5/thumbnails/14.jpg)
![Page 15: Distribucija frekvencija](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081504/56814437550346895db0d102/html5/thumbnails/15.jpg)
Distribucija frekvencija
Interval Frekvencija
![Page 16: Distribucija frekvencija](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081504/56814437550346895db0d102/html5/thumbnails/16.jpg)
Masa (g)
f
![Page 17: Distribucija frekvencija](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081504/56814437550346895db0d102/html5/thumbnails/17.jpg)
2ix
21
i e2
1)x(f
GGaauussoovvaa iillii nnoorrmmaallnnaa ddiissttrriibbuucciijjaa ((rraassppooddeellaa))
![Page 18: Distribucija frekvencija](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081504/56814437550346895db0d102/html5/thumbnails/18.jpg)
Karakteristike:Vrednost xi = m ima najveću
frekvenciju javljanja kriva je simetrična maksimum na xi = m prevojne tačke na xi = m s
najčešći matematički model raspodele analitičkih rezultata, koji podležusamo slučajnim greškama
![Page 19: Distribucija frekvencija](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081504/56814437550346895db0d102/html5/thumbnails/19.jpg)
![Page 20: Distribucija frekvencija](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081504/56814437550346895db0d102/html5/thumbnails/20.jpg)
Oblik i položaj moguda se upotrebe zaocenu rezultata!
![Page 21: Distribucija frekvencija](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081504/56814437550346895db0d102/html5/thumbnails/21.jpg)
Parametri normalne raspodele grešaka
očekivana (tačna) vrednost – m“rasutost”s2
![Page 22: Distribucija frekvencija](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081504/56814437550346895db0d102/html5/thumbnails/22.jpg)
U analitičkoj praksi se obično rade 2-3 paralelne analize istog uzorka nije moguće tačno odrediti parametre normalne raspodele procena odgovarajućih parametara
Procena = tačno izračunata veličina zasnovana na preciznim merenjima
za n , procena mora asimptotski da se približavapravoj vrednosti parametra konzistencija rasipanje procene u odnosu na pravu vrednostparametra što je moguće manje efikasnost
![Page 23: Distribucija frekvencija](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081504/56814437550346895db0d102/html5/thumbnails/23.jpg)
Aritmetička sredina (srednja vrednost) rezultataje najčešće konzistentna i efikasna procenaparametra m Gausove raspodele:
ixn
1x
Malo n velika osetljivost na simetriju raspodele
![Page 24: Distribucija frekvencija](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081504/56814437550346895db0d102/html5/thumbnails/24.jpg)
Medijana x~
za set od dve vrednosti x1 < x2, 2
xxx~ 21
za set od tri vrednosti x1 < x2 < x3, medijana je x2
ako je n 3, ekstremne vrednosti nemaju uticaja
manje efikasna procena prave vrednosti od aritmetičke sredine
![Page 25: Distribucija frekvencija](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081504/56814437550346895db0d102/html5/thumbnails/25.jpg)
Relativna efikasnost medijane u odnosu na srednju vrednost seta rezultata.
n Relativna efikasnost
2 1,00 3 0,74 4 0,84 5 0,70 6 0,78 7 0,68 8 0,74 9 0,67 10 0,72 0,64
![Page 26: Distribucija frekvencija](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081504/56814437550346895db0d102/html5/thumbnails/26.jpg)
Velika razlika između srednje vrednosti i medijane set rezultata nije simetričan jedan od rezultata podleže nekoj gruboj grešci !?!
Još neke mere centralne tendencije:Dominantna vrednost (moda, mod) = najčešćepostignuta vrednost;
Geometrijska sredina - prosečna mera brzine promena
Harmonična sredina – daje prosek nekih odnosaH = n / Σ(1/x)
![Page 27: Distribucija frekvencija](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081504/56814437550346895db0d102/html5/thumbnails/27.jpg)
MERE VARIJABILNOSTI
Interval (Opseg, Raspon, R od Range) = najjednostavnija
ali i najnetačnija mera grupisanja rezultata oko nekesrednje vrednosti (osetljiv na ekstremne vrednosti)
R = xn – x1 za set: x1 < x2 < x3 < ...< xn.
Srednje odstupanje: Σ devijacija / n - može da se računa u odnosu na srednju vrednost, medijanu ili dominantnu vrednost
![Page 28: Distribucija frekvencija](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081504/56814437550346895db0d102/html5/thumbnails/28.jpg)
PPOOCCEENNEE SSTTAANNDDAARRDDNNEE DDEEVVIIJJAACCIIJJEE Standardna devijacija predstavlja apsolutnu grešku za onu vrednost xi za koju Gausova kriva raspodele ima prevojnu tačku.
n
x
n
ds
2i
2i
0
Statistički neopterećena i
efikasna procena
![Page 29: Distribucija frekvencija](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081504/56814437550346895db0d102/html5/thumbnails/29.jpg)
1n
xx
1ns
2i
2i
Konzistentna,statistički neopterećenaasimptotski efikasnaprocena
n – 1 = broj stepeni slobode
![Page 30: Distribucija frekvencija](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081504/56814437550346895db0d102/html5/thumbnails/30.jpg)
Drugi metod za određivanje procene standardne devijacije
sR = knR
Koeficijent varijacije (relativna standardna devijacija):
Γ = 1/v = /s
Često se izražava u %
x
x
sv
![Page 31: Distribucija frekvencija](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081504/56814437550346895db0d102/html5/thumbnails/31.jpg)
STANDARDNA DEVIJACIJA SREDNJE VREDNOSTI
nx
Rasipanje aritmetičkesredine
1nn
xxs
2i
x
= standardna greška (standard error, S.E.)
n
Rks n
x Za relativno malo n
![Page 32: Distribucija frekvencija](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081504/56814437550346895db0d102/html5/thumbnails/32.jpg)
INTERVAL POUZDANOSTI (RELIABILNOSTI)
Srednja vrednost kao procena μ ne izražava pouzdanostsa kojom je određena. Bolje: odrediti interval (interval pouzdanosti) u kome se sa velikom verovatnoćom (koeficijent pouzdanosti, (1-α))može nalaziti prava vrednost
n
zxL
2,1
n
tsxL 2,1
RKxL n2,1
x
z Standardizovananormalna promenljiva
![Page 33: Distribucija frekvencija](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081504/56814437550346895db0d102/html5/thumbnails/33.jpg)
![Page 34: Distribucija frekvencija](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081504/56814437550346895db0d102/html5/thumbnails/34.jpg)
t-raspodela
Vrednost t za interval pouzdanosti od
90% 95% 98% 99%
Kritična t vrednost za P
vrednosti od 0,10 0,05 0,02 0,01
Broj stepeni slobode
1 6,31 12,71 31,82 63,66 2 2,92 4,30 6,96 9,92 3 2,35 3,18 4,54 5,84 4 2,13 2,78 3,75 4,60 5 2,02 2,57 3,36 4,03 6 1,94 2,45 3,14 3,71 7 1,89 2,36 3,00 3,50 8 1,86 2,31 2,90 3,36 9 1,83 2,26 2,82 3,25 10 1,81 2,23 2,76 3,17 12 1,78 2,18 2,68 3,05 14 1,76 2,14 2,62 2,98 16 1,75 2,12 2,58 2,92 18 1,73 2,10 2,55 2,88 20 1,72 2,09 2,53 2,85 30 1,70 2,04 2,46 2,75 50 1,68 2,01 2,40 2,68 1,64 1,96 2,33 2,58
Kritične t vrednosti odgovaraju dvosmernom testu. Za jednosmerni test vrednosti se uzimaju
iz kolona koje odgovaraju dvostruko većim vrednostima P. Npr. za jednosmerni test, P = 0,05, ν = 5, očitava se vrednost iz kolone za P = 0,10 koja iznosi 2,02.
![Page 35: Distribucija frekvencija](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081504/56814437550346895db0d102/html5/thumbnails/35.jpg)
x
LL100i 12
x
RK2100i n
Relativna širina intervala pouzdanosti
U analitičkoj praksi se veoma često dešava da analitičar mora da bude zadovoljan ako je relativni interval pouzdanosti oko 5%, a pri analizi veoma niskih koncentracija, uz samo nekoliko paralelnih određivanja, prihvatljive su i i-vrednosti od oko 10%.
![Page 36: Distribucija frekvencija](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081504/56814437550346895db0d102/html5/thumbnails/36.jpg)
DEVIJACIJE OD GAUSOVOG ZAKONA RASPODELE
Pretpostavke na osnovu kojih je Gausov zakon izveden nisu ispunjene u praktičnoj analitičkoj hemiji različita odstupanja od normalne raspodele čak i u oblastima vrlo bliskim pravoj vrednosti μ. odstupanja od simetrije raspodele:
greške jednog znaka verovatnije od grešaka drugog znaka (npr. titracija uz indikator)
![Page 37: Distribucija frekvencija](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081504/56814437550346895db0d102/html5/thumbnails/37.jpg)
od posebne su važnosti one kod kojih izmerene vrednosti nisu simetrično raspoređene, ali zato neke funkcije izmerenih vrednosti imaju normalnu raspodelu; npr. log-normalna distribucija: logaritam
promenljive ima normalnu raspodelu: vrednosti Xi = log xi, podležu Gausovoj raspodeli; procena parametra μ je:
n
XX i n
xx ig
loglog
nng xxxx ...21
![Page 38: Distribucija frekvencija](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081504/56814437550346895db0d102/html5/thumbnails/38.jpg)
Devijacije od Gausove raspodele
Koncentracija
f
![Page 39: Distribucija frekvencija](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081504/56814437550346895db0d102/html5/thumbnails/39.jpg)
logC
f
![Page 40: Distribucija frekvencija](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081504/56814437550346895db0d102/html5/thumbnails/40.jpg)
U praktičnoj analitičkoj hemiji, moguća su dva slučaja kod kojih se javlja log-normalna distribucija: 1. Izmerene vrednosti zavise od veličina koje imaju normalnu distribuciju, a ta zavisnost je logaritamska; 2. Izmerene vrednosti su bliske teorijskim ili praktičnim granicama.
![Page 41: Distribucija frekvencija](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081504/56814437550346895db0d102/html5/thumbnails/41.jpg)
STANDARDNA DEVIJACIJA KRAJNJEG REZULTATA
konstante,...,,..., baba kkkbkakky
...22 bbaay kk
dc
baky
k = konstanta; a,b,c,d = nezavisne izmerene veličine
2222
dcbaydcbay
y = an
a
n
yay
y = f(x)
dx
dyxy