Biosynthesis of Chlorogenic Acids in Growing and Ripening Fruits of Coffea arabica and Coffea
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7/26/2019 DISSERTACAO_Ajuste de Modelos No Lineares Na Descrio de Germinao de Sementes de Caf (Coffea Arbica
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IBITA FABIANA SOUSA
AJUSTE DE MODELOS NO LINEARES NA
DESCRIO DE GERMINAO DE SEMENTES DE
CAF (Coffea arabicaL.) CV. CATUA
LAVRAS - MG
2012
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IBITA FABIANA SOUSA
AJUSTE DE MODELOS NO LINEARES NA DESCRIO DEGERMINAO DE SEMENTES DE CAF (Coffea arabicaL.) CV.
CATUA
Dissertao apresentada UniversidadeFederal de Lavras, como parte das exign-cias do Programa de Ps-graduao em Es-tatstica e Experimentao Agropecuria,rea de concentrao em Estatstica e Ex-perimentao Agropecuria, para a obten-o do ttulo de Mestre.
OrientadorDr. Joel Augusto Muniz
CoorientadoraDra. Taciana Villela Savian
LAVRAS - MG2012
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fantasma
Ficha Catalogrfica Preparada pela Diviso de Processos Tcnicos daBiblioteca da UFLA
Sousa, Ibita Fabiana.Ajuste de modelos no lineares na descrio de germinao de se-
mentes de caf (coffea arbicaL.) cv. Catua / Ibita Fabiana Sousa.Lavras : UFLA, 2012.
72 p. : il.
Dissertao (mestrado) Universidade Federal de Lavras, 2012.Orientador: Joel Augusto Muniz.Bibliografia.
1. Curva de crescimento. 2. Erros correlacionados. 3. Anlise deregresso. 4. Regresso no linear. I. Universidade Federal de Lavras.II. Ttulo.
CDD - 519.536
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IBITA FABIANA SOUSA
AJUSTE DE MODELOS NO LINEARES NA DESCRIO DEGERMINAO DE SEMENTES DE CAF (Coffea arabicaL.) CV.
CATUA
Dissertao apresentada Universidade
Federal de Lavras, como parte das exign-cias do Programa de Ps-graduao em Es-tatstica e Experimentao Agropecuria,rea de concentrao em Estatstica e Ex-perimentao Agropecuria, para a obten-o do ttulo de Mestre.
APROVADA em 13 de fevereiro de 2012.
Dr. Augusto Ramalho de Morais UFLA
Dr. Virglio Anastcio da Silva UFLA
Dr. Joel Augusto MunizOrientador
LAVRAS - MG2012
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Aos meus familiares,em especial minha me, Maria Jos e meus avs Jos
Raimundo e Raimunda, pelo amor, apoio e fora em todos os momentos ;
Aos meus irmos, Ana Cristina, Antonio Alberto e Albertino Neto pelo
apoio e amizade;
A minha bisav, Francisca (in memorian) pelo amor, pelos momentoscompartilhados.
DEDICO.
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AGRADECIMENTOS
Acima de tudo, agradeo a Jesus Cristo por sua presena em minha vida,
mostrando-me, muitas vezes, que durante a angstia e o cansao, ainda vale a pena.
Obrigada por seu amor, fora e sabedoria ao longo dessa caminhada.
Ao meu orientador,Dr. Joel Augusto Muniz, pelo acolhimento, apoio, es-
tmulo, confiana e disponibilidade durante todo o desenvolvimento da orientao.
A professora Dra. Taciana Villela Savian, por estar sempre disponvel a
esclarecer dvidas.
minha famlia maravilhosa: minha me, Maria Jos; meus irmos Ana
Cristina, Antonio Alberto e Albertino Neto; meus avs, tios, primos e afilhados
pelo apoio, carinho e incentivo que mesmo de longe estavam sempre presentes.
Universidade Federal de Lavras, que me proporcionou cursar o mes-
trado em Estatstica e Experimentao Agropecuria.
Aos amigos da UFLA, Carolina, Juliano, Mariele, Adriele, Adriana, An-
dr, Elayne, Tbata, Marcelo, Leandro, Juracy, Larissa, Daniele, Loureno, Jusc-
lia, Siomara, Jair Rocha, Diogo, Jair Wyzykowsky. Obrigada pelo aprendizado etrocas de informaes, pelas reunies, viagens, passeios. Agradecimento especial
s irms de orientao Adriana Dias, Thais e Diana ao irmo de orientao Wal-
mes Zeviani pelas dvidas tiradas e por sempre me socorrer com o R. Guardarei
em meu corao todos os momentos de alegria compartilhados com todos vocs.
Aos professores da Ps-Graduao pelos conhecimentos transmitidos e
pela disposio em ajudar. S eu sei o quanto aprendi com vocs.
A todos os funcionrios do DEX, em especial, as "Josis"e Selminha. Exem-
plos de cordialidade e profissionalismo.
Ao professor Dr. Renato Mendes, Johan e aos funcionrios do Laboratrio
de Anlise de Sementes por contribuir na realizao do experimento desse estudo.
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SEDUC-PI, pelo apoio financeiro e institucional.
CAPES, pela concesso de bolsa de estudos.
Aos amigos e irmos da Primeira Igreja Batista de Parnaiba e Primeira
Igreja Presbiteriana de Lavras, pelas palavras de encorajamento, e pelas muitas
oraes.
Aos amigos mais chegados que irmos, Ana Sales, Ana Patricia, Eugnia,
Marina, Patricia Rufino, Thalita, Rutinha, Barbara, Daniel, Letcia, Amanda, Ju-
liany, Delva, Aracy, Rosngela, Maria, Rejane, Davi, Lucas, Theia, Ana Maria,
Clio, Alba Sena, Jerfeson, Elica, Samara e Lucas. Em especial Fbio Azevedo
por compartilhar tantos momentos especiais. Muito obrigada mesmo pelas vossas
amizades.
s irms de repblica Carol, Thas e Ana Flvia. Obrigada por tudo.
A todos aqueles que de alguma maneira contriburam, ou estiveram na
torcida pela realizao deste trabalho.
E que venha o futuro!
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O conhecimento d ocasio arrogncia, mas o
amor edifica. Se algum supe conhecer alguma
coisa, ainda no conhece at o ponto em que ne-
cessrio conhecer.
1 Corntios 8, 1b-2
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RESUMO
Sementes de caf com qualidade fisiolgica, de procedncia conhecida e com altodesempenho germinativo fundamental para a obteno de mudas vigorosas. Naavaliao de sementes, o estudo da curva de germinao pode contribuir para me-lhor entendimento do processo de germinao. O objetivo desse estudo foi avaliara qualidade do ajuste dos modelos Logstico e Gompertz, com estrutura de erros in-dependentes e autorregressivos, com autocorrelao de primeira ordem, AR(1), nadescrio de germinao de sementes de caf (Coffea arbicaL.) linhagem Catuavermelho IAC 99, em cinco diferentes percentuais de germinao. A estimaodos parmetros para os modelos foi feita pelos mtodos de mnimos quadrados epelo processo interativo de Gauss-Newton, utilizando-se a funo gnls do pacotenlme do programa R verso 2.13.1. A seleo do melhor modelo, para descrever o
processo germinativo, teve como base a preciso dos ajustes baseados no mximoda funo de verossimilhana (MFV) atravs do teste de razo de mxima veros-similhana utilizado para modelos encaixados, critrio de informao de Akaike(AIC) e critrio Bayesiano de Schwarz (BIC), alm dos avaliadores de qualidadede ajuste (coeficiente de determinao ajustado e desvio padro residual). Os da-dos utilizados foram provenientes de um experimento conduzido no ano de 2011no Laboratrio de Anlises de Sementes da Universidade Federal de Lavras. Osmodelos no lineares Logstico e Gompertz apresentaram-se adequados para ajusteda porcentagem de germinao. O modelo Gompertz com estrutura de erros au-toregressivo de ordem 1 apresentou-se como o melhor para descrever o processogerminativo ao longo do tempo.
Palavras-chave: Modelos de crescimento. Erros autocorrelacionados. Regressono linear. Germinao de sementes de caf.
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ABSTRACT
Seeds of coffee with physiological quality and known origin with high germi-native performance becomes mandatory to achieve homogeneous germination ofvigorous seedlings. The germination curve may contribute for better understan-ding of the process in seed analisys studies. The objective of this study was toevaluate the fit of Gompertz and Logistic models, with independent structure andautocorrelated errors, with first-order autocorrelation, AR (1), in description of thegermination of coffee seeds Coffea arabicared line Catua IAC 99 in five diffe-rent percentages of germination. The estimation of parameters for the models wasmade by Least Squares method and the iterative Gauss-Newton, using the func-tion gnls Package nlme of the R program version 2.13.1. The selection of the bestmodel to describe the germination process was based on the accuracy of the ad-
justments based on the maximum likelihood function (MFV) by testing maximumlikelihood ratio used for nested models, Akaike information criterion (AIC) andSchwarz Bayesian criterion (BIC), and evaluators goodness of fit (adjusted coeffi-cient of determination and residual standard deviation). The data used were takenfrom an experiment that was carried out in 2011 in Seeds Laboratory Analysis ofthe Federal University of Lavras. The nonlinear Logistic and Gompertz modelswere adequate to adjust the percentage of germination. The Gompertz model withorder 1 autoregressive error structure seemed to be the most suitable to describethe germination process over time.
Key words: Growth models. Autocorrelated errors. Non linear regression. Germi-
nation of coffee seeds.
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LISTA DE FIGURAS
Figura 1 Instalao do processo de germinao . . . . . . . . . . . . . . 32Figura 2 Instalao do processo de germinao . . . . . . . . . . . . . . 32Figura 3 Sementes de caf germinadas aos 15 dias - Lote III . . . . . . . 32Figura 4 Sementes de caf germinadas aos 21 dias - Lote V . . . . . . . . 32Figura 5 Sementes de caf germinadas aos 30 dias - Lote I . . . . . . . . 32Figura 6 Sementes de caf germinadas aos 30 dias - Lote IV . . . . . . . 32Figura 7 Anlise grfica dos resduos do modelo Logstico para o lote I . . 41Figura 8 Anlise grfica dos resduos do modelo Logstico para o lote II . 41Figura 9 Anlise grfica dos resduos do modelo Logstico para o lote III . 42Figura 10 Anlise grfica dos resduos do modelo Logstico para o lote IV . 42
Figura 11 Anlise grfica dos resduos do modelo Logstico para o lote V . 43Figura 12 Anlise grfica dos resduos do modelo Gompertz para o lote I . 43Figura 13 Anlise grfica dos resduos do modelo Gompertz para o lote II . 44Figura 14 Anlise grfica dos resduos do modelo Gompertz para o lote III 44Figura 15 Anlise grfica dos resduos do modelo Gompertz para o lote IV 45Figura 16 Anlise grfica dos resduos do modelo Gompertz para o lote V . 45Figura 17 Modelo Logstico na descrio de germinao de sementes de
caf - Lote I, em funo do tempo com estruturas de erros inde-pendentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
Figura 18 Modelo Logstico na descrio de germinao de sementes decaf - Lote II, em funo do tempo com estruturas de erros inde-
pendentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48Figura 19 Modelo Logstico na descrio de germinao de sementes decaf - Lote III, em funo do tempo com estruturas de erros in-dependentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
Figura 20 Modelo Logstico na descrio de germinao de sementes decaf - Lote IV, em funo do tempo com estruturas de erros in-dependentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
Figura 21 Modelo Logstico na descrio de germinao de sementes decaf - Lote V, em funo do tempo com estruturas de erros inde-pendentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
Figura 22 Histograma representativo da taxa de germinao absoluta (TGA)de sementes de caf estimada pela funo Logstica nos cinco lotes 52
Figura 23 Modelo Gompertz na descrio de germinao de sementes decaf- Lote I, em funo do tempo com estruturas de erros inde-pendentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
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Figura 24 Modelo Gompertz na descrio de germinao de sementes de
caf - Lote II, em funo do tempo com estruturas de erros inde-pendentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54Figura 25 Modelo Gompertz na descrio de germinao de sementes de
caf - Lote III, em funo do tempo com estruturas de erros in-dependentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
Figura 26 Modelo Gompertz na descrio de germinao de sementes decaf - Lote IV, em funo do tempo com estruturas de erros in-dependentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
Figura 27 Modelo Gompertz na descrio de germinao de sementes decaf - Lote V, em funo do tempo com estruturas de erros inde-pendentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
Figura 28 Histograma representativo da taxa de germinao absoluta (TGA)de sementes de caf estimada pela funo Gompertz nos cinco lotes 57
Figura 29 Valores mdios da porcentagem de germinao acumulada, dacurva de ajuste dos modelos Logstico e Gompertz, com estrutu-ras de erros AR (1) para o lote I . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
Figura 30 Valores mdios da porcentagem de germinao acumulada, dacurva de ajuste dos modelos Logstico com estrutura de errosindependentes e Gompertz com estrutura de erro AR(1) para olote II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
Figura 31 Valores mdios da porcentagem de germinao acumulada, dacurva de ajuste dos modelos Logstico com estrutura de errosindependentes e Gompertz com estrutura de erro AR(1) para o
lote III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61Figura 32 Valores mdios da porcentagem de germinao acumulada, da
curva de ajuste dos modelos Logstico com estrutura de errosindependentes e Gompertz com estrutura de erro AR(1) para olote IV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
Figura 33 Valores mdios da porcentagem de germinao acumulada, dacurva de ajuste dos modelos Logstico com estrutura de errosindependentes e Gompertz com estrutura de erro AR(1) para olote V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
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LISTA DE TABELAS
Tabela 1 Estimativas das estatsticas dos testes de Shapiro-Wilk, Breusch-Pagan e Durbin-Watson e os respectivos valor-p dos resduos domodelo Logstico para os cinco lotes de semente de caf. . . . . 46
Tabela 2 Estimativa das estatsticas dos testes de Shapiro-Wilk, Breusch-Pagan e Durbin-Watson e os respectivos valor-p dos resduos domodelo Gompertz para os cinco lotes de semente de caf. . . . . 46
Tabela 3 Estimativas dos parmetros para o ajuste do modelo Logstico,com erros independentes, aos valores de porcentagem de germi-nao de sementes para os cinco lotes . . . . . . . . . . . . . . 47
Tabela 4 Estimatvas da estatstica do teste de Shapiro-WilK dos resduos
do modelo Logstico e valor - p para os cinco lotes de sementesde caf. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50Tabela 5 Estimativas dos parmetros para o ajuste do modelo Gompertz,
com erros independentes, aos valores de porcentagem de germi-nao de sementes para os cinco lotes . . . . . . . . . . . . . . 52
Tabela 6 Estimatvas da estatstica do teste de Shapiro-WilK dos resduose valor - p do modelo Gompertz para os cinco Lotes. . . . . . . . 56
Tabela 7 Estatsticas do teste de razo de mxima verossimilhana (TRV)para os modelos estudados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
Tabela 8 Estimativas dos parmetros para o ajuste do modelo Logstico eGompertz, com estrutura de erros autoregressivos de ordem 1,
aos valores de porcentagem de germinao de sementes para oscinco lotes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58Tabela 9 Estimativas dos critrios de seleo: coeficiente de determinao
ajustado (R2aj), desvio padro residual (DPR), critrio de infor-mao de Akaike (AIC) e critrio bayesiano de Schwarz (BIC)para os modelos ajustados, na descrio de germinao de se-mentes para os cinco lotes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
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SUMRIO
1 INTRODUO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 REFERENCIAL TERICO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.1 Caracterizao e Germinao das sementes de caf (Coffea
arabicaL.) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.2 Modelos de regresso no linear . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.3 Estimao dos parmetros de modelos no lineares . . . . . . 192.3.1 Mtodo dos mnimos quadrados ordinrios . . . . . . . . . . 202.3.2 Mtodo dos mnimos quadrados ponderados . . . . . . . . . . 232.3.3 Mtodo dos mnimos quadrados generalizados . . . . . . . . . 242.3.4 Processos iterativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.4 Modelos de crescimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273 MATERIAl E MTODOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.1 Material . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.2 Mtodos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.2.1 Modelos estudados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.2.2 Critrios para seleo do modelo . . . . . . . . . . . . . . . . 343.2.2.1 Coeficiente de determinao ajustado(R2aj) . . . . . . . . . . 353.2.2.2 Desvio padro residual (DPR) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.2.2.3 Critrios de informao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.3 Anlise dos resduos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.4 Recursos computacionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4 RESULTADOS E DISCUSSO . . . . . . . . . . . . . . . . . 404.1 Ajuste dos modelos no lineares . . . . . . . . . . . . . . . . 404.2 Seleo dos modelos ajustados . . . . . . . . . . . . . . . . . . 585 CONCLUSO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
REFERNCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64ANEXOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
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1 INTRODUO
Num mercado ainda em franca expanso, o caf contribui em torno de
7,5% do valor total das exportaes brasileiras e em comparao com os de-
mais pases, representou mais de 30% da produo mundial previstas para as
safras 2010/2011. Segundo o Ministrio da Agricultura, Pecuria e Abasteci-
mento/MAPA, atualmente o Brasil considerado o maior produtor e exportador
mundial de caf em gros, alm de ser o responsvel por mais de 8 milhes de
empregos diretos e indiretos, onde as principais reas de cultivo localizam-se nos
estados de Minas Gerais, Esprito Santo, So Paulo, Bahia, Paran, Rondnia e
Rio de Janeiro (Brasil, 2011).
Entre as inmeras espcies de caf cultivadas no mundo, as mais conhe-
cidas so: Coffea arabicae o Coffea canephora, sendo que ambas possuem um
grande nmero de variedades e linhagens. O coffea arabicapossui maior impor-
tncia econmica, representando 70% do caf comercializado no mundo. Origi-
nrio do Oriente, produz cafs de melhor qualidade, mais finos e requintados, tem
gros de cor esverdeada e cultivado em regies com altitude mdia de 600m. Asua produo representa 73,9% (32,18 milhes de sacas) da produo do Pas, e
tem como maior produtor o estado de Minas Gerais, com 67,9% (21,85 milhes
de sacas) de caf beneficiado de acordo com a Companhia Nacional de Abasteci-
mento (CONAB, 2011).
Dentre as cultivares do caf arbica, as linhagens do Catua Vermelho tm
ampla capacidade de adaptao, apresentando produtividade elevada na maioria
das nossas regies cafeeiras. De baixa estatura, permitem maior densidade de
plantio, tornam mais fcil a colheita e mais eficientes os tratamentos fitossanitrios
(GUERREIRO et al., 2006).
A propagao usual do cafeeiro ocorre por meio de mudas provenientes
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de sementes, nas quais exibem germinao lenta e desuniforme. A germinao
uma sequncia de eventos fisiolgicos influenciada por fatores externos e internos
s sementes, em que cada fator pode atuar por si ou em interao com os demais.
Em geral, a germinao acumulada de sementes, constitui-se em uma curva de
formato sigmoidal que pode ser avaliada por meio de modelos no lineares.
Em estatstica, a regresso no linear uma forma de anlise em que os
dados so modelados por uma funo que uma combinao no linear de par-
metros do modelo e depende de uma ou mais variveis independentes.
O presente trabalho teve como objetivo avaliar a qualidade do ajuste dos
modelos no lineares Logstico e Gompertz, com estrutura de erros independen-
tes e autorregressivos, com autocorrelao de primeira ordem, AR(1), aos dados
de germinao de sementes de caf da linhagem Catua vermelho IAC 99, com
diferentes ndices de germinao, visando identificar a melhor estrutura para a
descrio do processo germinativo.
2 REFERENCIAL TERICO
2.1 Caracterizao e Germinao das sementes de caf (Coffea arabicaL.)
Elemento principal no estabelecimento, expanso, diversificao e desen-
volvimento da agricultura, as sementes tm a funo de perpetuao e multipli-
cao das espcies. Sob o aspecto ecolgico, representam a interligao natural
entre as espcies vegetais e o ambiente (MARCOS FILHO, 2005).
Detentoras de reservas nutritivas necessrias ao desenvolvimento da plantadurante o incio da germinao, as sementes, do ponto de vista funcional, so cons-
titudas por um tecido de reserva endospermtico ou cotiledonar e eixo embrion-
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rio, cujo crescimento est temporariamente suspenso, ambos protegidos por uma
cobertura protetora constituda de tecidos vivos e mortos (POPINIGIS, 1985).
As mudas das variedades de caf arabica podem ser produzidas a partir
de sementes, j que a fecundao se d em sua maioria (90 a 95%). Portanto, a
obteno de sementes de caf de qualidade fisiolgica de procedncia conhecida
e com alto desempenho germinativo tem sido considerada como o principal fa-
tor responsvel pela obteno de mudas vigorosas em condies de campo. As
sementes devem ser obtidas em Fazendas Experimentais de rgos de Pesquisa,
federais ou estaduais, ou de produtores registrados para a produo de sementes,
tendo - se certeza quanto boa origem do material, devendo ser conhecida varie-
dade/linhagem (MATIELLOet al., 2005).
Os frutos da espcie Coffea arabicaproduzem sementes viveis quando
esto fisiologicamente maduros, tendo sua descrio moforlgica confundida, em
muitas vezes, com a da semente. As sementes de caf so elpticas ou em forma de
ovo, plano convexa, possuindo um sulco longitudinal na superfcie plana, consti-
tudas por embrio, endosperma e tegumento (DEDECCA, 1957), ou seja, o fruto
exceto o epicarpo (casca) e o mesocarpo (mucilagem). O tegumento da semente
um envoltrio (pelcula prateada), que reveste o endosperma. O endosperma
garante as reservas energticas durante os processos de germinao e emergn-
cia, composto basicamente de carboidratos. O embrio, parte viva da semente,
formado por radcula, hipoctilo e cotildones. O endocarpo, tambm chamado
de pergaminho, protege as sementes contra microorganismos e danos fsicos. Se-
gundo Black, Bewley & Halmer (2006), o gro de caf apresenta teores aproxima-
dos de 6% de gua, 12% de protenas, 11% de leos, 70% de carboidratos e 4% de
minerais.
Considerada pelos botnicos como a retomada do crescimento do embrio
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(NASSIFet.al, 1998),a fase inicial de germinao consiste na ativao dos proces-
sos fisiolgicos do crescimento pela ativao do aumento do teor de umidade e da
atividade respiratria da semente.
Para que a germinao ocorra determinadas condies devem ser satisfei-
tas, a saber (POPINIGIS, 1985):
a) A semente deve ser vivel;
b) Condies internas das semente devem ser favorveis germinao;
c) As condies ambientais devem ser favorveis (gua, temperatura, oxi-
gnio e luz);
d) Condies satisfatrias de sanidade (ausncia de agentes patognicos).
A germinao de sementes em teste de laboratrio a emergncia e desen-
volvimento das estruturas essenciais do embrio, demonstrando sua aptido para
produzir uma planta normal sob condies favorveis de campo, no caso do caf
em teste padro que leva em mdia 30 dias (BRASIL, 2009). O mtodo tradi-
cionalmente usado para avaliar a qualidade fisiolgica de sementes se baseia na
realizao do teste de germinao em que os resultados so de grande valia para
comparao entre lotes de sementes para fins de comercializao e para fins de se-
meadura. Os testes de germinao so altamente padronizados, permitindo, assim,
a obteno de resultados semelhantes quando executados sobre um mesmo lote,
em laboratrios diferentes.(POPINIGIS, 1985)
As sementes de Coffea arabica apresentam germinao lenta e desuni-
forme. Assim, torna-se importante conhecer melhor o processo germinativo, vi-
sando reduzir o tempo de germinao que essencial para a melhoria das prticas
agrcolas e desenvolvimento da produo de caf.
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2.2 Modelos de regresso no linear
Em estatstica, regresso um mtodo comumente usado que permite ex-
plorar e inferir a relao de uma varivel resposta com variveis preditoras espe-
cficas. Pode-se atingir este objetivo por meio dos bem conhecidos modelos de
regresso, Drapper & Smith (1998) classificam os modelos de regresso como:
lineares em relao aos parmetros (as derivadas parciais em relao aos parme-
tros no depende dos parmetros); modelos linearizveis, aqueles que, por meio
de alguma transformao, tornam-se lineares e modelos inerentemente no linea-
res so modelos em que pelo menos uma das derivadas parciais depende de algum
parmetro do modelo.
Em qualquer tipo de modelagem, alm do ajuste realizado, necessrio
fazer inferncias sobre os parmetros em estudo. A inferncia nos modelos no
lineares ocorre por aproximao em Srie de Taylor na regio prxima s estimati-
vas, e essa aproximao pode ser considerada boa ou ruim dependendo do modelo
a ser estudado, delineamento experimental e conjunto de dados (SOUZA et al.,
2010). Em conformidade com Bates & Watts (1988), uma das melhores alternati-vas que se pode fazer para assegurar uma anlise no linear bem sucedida obter
bons valores iniciais para os parmetros, a partir dos quais a convergncia poder
ser obtida rapidamente.
A classe de modelos lineares bastante flexvel, uma vez que muitos mo-
delos podem ser formulados. Estes modelos podem ser uma boa opo quando
o objetivo descrever as observaes durante um perodo limitado do processo
de crescimento sem incorporar informaes sobre os dados (DRAPER & SMITH,
1998; SEBER, 1977). J no caso no linear, na maioria das vezes, as formula-
es de possveis modelos so baseadas em consideraes tericas inerentes ao
fenmeno que se tem interesse modelar. Modelos formulados desta forma so
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chamados de modelos mecansticos (MAZUCHELI & ACHCAR, 2002; SEBER
& WILD, 1989; BATES & WATTS, 1988). Em geral, os parmetros na funo
esperana tm interpretao prtica para os cientistas ou pesquisadores.
O ajuste de modelos no lineares bastante difundido e investigado do
ponto de vista metodolgico, na descrio de curvas de crescimento animal (MAZ-
ZINIet al., 2003, 2005; MENDESet al., 2008), na descrio de cintica de diges-
to de animais ruminantes (SAVIANet al., 2007a, 2007b), utilizando a abordagem
clssica e (SAVIANet al., 2009) a abordagem bayesiana. Na rea de produo ve-
getal, utilizado em situaes experimentais como no estudo de crioconservao
de sementes de aroeira (Astronium urundeuva Engl.) e barana (Schinopsis brasi-
liensis Engl.) (GONZAGAet al., 2003), estudo da dinmica e disponibilizao de
nutrientes no sistema solo-planta (PEREIRA et al., 2005), estudo do crescimento
de espcies vegetais (MARTINS FILHOet al., 2008), em estudos de velocidade de
reaes qumicas (MACHADO, 2008), sendo tambm normalmente utilizados na
descrio de curvas de lactao, quando ajustados a dados decorrentes de produo
de leite em intervalos consecutivos de tempo (SILVA et al., 2005). Um consenso
dos autores que trabalham com ajuste de modelos no lineares na descrio dos
fenmenos supracitados sobre a possibilidade de se condensar informaes de
uma srie de dados, tomados ao longo do tempo, em um pequeno conjunto de
parmetros biologicamente interpretveis (TERRAet al., 2010).
2.3 Estimao dos parmetros de modelos no lineares
Utilizado na estimao dos parmetros em modelos no lineares, da mesma
maneira que em modelos lineares (GALLANT, 1987), o mtodo dos mnimos qua-
drados consiste em encontrar o melhor ajustamento para um conjunto de dados
tentando minimizar a soma de quadrados dos resduos entre a curva ajustada e os
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valores observados. O mtodo apresenta algumas variaes para estrutura da ma-
triz de covarincias, estruturas estas que diferem dependendo do conhecimento do
fenmeno em estudo. A escolha de uma estrutura adequada pode tornar o mo-
delo mais realista em relao aos dados como tambm melhorar a eficincia das
estimativas.
Savian (2005) apresentou a caracterizao da regresso em funo do ve-
tor de erros da seguinte maneira: a) modelos ordinrios - aqueles cuja estrutura dos
erros no viola nenhuma das pressuposies, ou seja, N(0, I2). A estrutura
da matriz de covarincia pode ser representada da seguinte forma: =I2 , em
que2 a varincia das observaes e I a matriz identidade de dimenso p. b)
modelos ponderados - so aqueles cuja estrutura dos erros viola a pressuposio
de homogeneidade de varincias. Nesse caso, diz-se que os erros so heterosce-
dsticos, e representa-se por N(0, D2)em que D uma matriz diagonal, posi-
tiva definida, que pondera a varincia2. c) modelos generalizados - so aqueles
cuja estrutura dos erros viola a pressuposio de independncia dos erros e/ou de
homogeneidade de varincias. Os erros so correlacionados e possivelmente hete-
roscedsticos, N(0, W2), em que W uma matriz simtrica, positiva definida,
que representa as varincias e covarincias dos erros.
2.3.1 Mtodo dos mnimos quadrados ordinrios
Gallant (1987) apresenta o modelo de regresso linear da seguinte forma:
yt = f(xt, o
) + t; t=1,...n
no qualytrepresenta o valor observado,f(xt, o
) a relao funcional conhecida,
xt um vetor de observaes em k variveis regressoras, o
= [o1 ,
o2 ,...,
op ]
um
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vetor de parmetros p dimensional desconhecido e ium vetor de erros aleatrios
supostos normalmente e identicamente distribuidos com mdia zero e varincia
desconhecida2, ou seja,i N(0,2).
Na forma matricial tem - se:
y= f(o
) +
ondeytem componentes deyt,f(o
)tem componentes def(xt, o
)etem com-
ponentes det.
O estimador de mnimos quadrados de o
, pode ser obtido via minimi-
zao da soma de quadrados residuais, SSE(), por meio da pesquisa do mnimo
em todos os valores do espao paramtrico de(o ),
SS E() =n
t=1[yt f(xt, )]2
pode-se ocorrer ao contrrio da soma de mnimo quadrados linear S SE(), e de
se ter vrios mnimos relativos, alm do mnimo absoluto.
Na forma matricial, a soma de quadrados dos erros :
SS E() == [y f()]
[y f()]
ConsidereF() = f()
a matriz jacobiana def()em que f() uma funo
vetor colunan 1de um argumento p dimensional de().
O estimador de mnimos quadrados de satisfaz a equao:
SSE()
|= = 0
Sendo:
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SSE()
=
[y f()]
[y f()]
= 2 [y f()]
F()
Igualando-se a equao acima a zero, obtm-se:
2
y f()
F() = 0
2F
()
y f()
= 0
F
()
y f()
= 0
F
()
y f()
= 0, o sistema de Equaes Normais (SEN) no li-near.
A matrizF()desempenha o mesmo papel que a matriz X na regresso
lineary = X + .
Substituindo-seF()porX, tem - se:
X
[y f()] = 0
X
YX
f() = 0
X
f() =X
Y(SEN) no linear.
Fazendo-se no SEN[y f()] = , tem-seX
= 0. Resulta que o ve-
tor residual satisfaz F
() = 0 e , portanto ortogonal s colunas da matriz
JacobianaF()calculada em = , assim como em regresso linear. A identifi-
cao entre X e F(), vale em geral, isto , todas as expresses que se obtem no
estudo da inferncia do modelo linear, assumindo a pressuposio de normalidade
dos erros tem uma contrapartida no caso no linear que se obtem por intermdio
da substituio da matriz X porF().
Porm, no SEN no-linear, as equaes so no lineares em relao aos
parmetros, no possuindo em geral uma soluo explcita, na qual as mesmas
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devem ser obtida atravs de processos iterativos, usando um software estatstico.
2.3.2 Mtodo dos mnimos quadrados ponderados
Com a finalidade de estabilizao das varincias, o mtodo dos mnimos
quadrados ponderados na estimao dos parmetros mais adequado por forne-
cer estimadores no tendenciosos e de varincia mnima (HOFFMAN & VIEIRA,
1998).
Seja o modelo linear,
Y =X + u
supondo uN(0,V2), E(u) = 0e V ar(u) = V 2, em que V uma matriz
diagonal positiva definida, que representa as varincias associadas a cada ui. Os
elementos nulos, fora da diagonal da matriz V significa vlida a pressuposio de
independncia das observaes, ou seja,E(ui, uj) = 0, i =j .
Seja um novo modeloZ=Q+, e uma matriz simtrica no-singularPtal queV =P P =P
P. Desta forma, tem-se: V1 =P1P1.
Escrevendo = P1tem-se: E() = E(P1u) = P1E(u) = 0
e ainda, V ar() = E(
) [E()]2 = E(P1uu
P1) = P1V 2P1 =
2P1P P P1 =2I.
Multiplicando cada um dos termos de Y =X + uporP1, obtm-se o
novo modelo:
P1Y =P1X+ P1u Z=Q+ ,
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em que o vetor de erros dado por = P1u.
Aplicando-se o mtodo do MQO ao modelo novo, tem-se que o MQP for-
nece o SEN:
X
V1X= X
V1Y
cuja soluo:
= (X
V1X)1X
V1Y.
2.3.3 Mtodo dos mnimos quadrados generalizados
Hoffman & Vieira (1998) consideram que, em presena de heterogenei-
dade de varincias e/ou autocorrelao dos resduos, o mtodo dos mnimos qua-
drados generalizado mais eficiente do que o mtodo dos mnimos quadradosponderados e ordinrios. Se esses elementos esto includos como componentes
do modelo, ento as hipteses tero mais probabilidade de estarem satisfeitas, os
estimadores do parmetro tero melhores propriedades estatsticas, e o modelo
pode ser mais informativo.
Embora algumas transformaes de dados sejam conhecidas para algumas
formas de relao entre varincia e mdia, como por exemplo, a transformao
arco-seno para dados oriundos de proporo, em que nessas situaes podem ocor-
rer devido a variabilidade da mdia que j esperada, excesso de zero, correlao
entre indivduos, a busca de novos procedimentos de anlises se faz necessrio.
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Segundo Mazzini et al., (2005) se fosse utilizado o estimador de MQO, no le-
vando em considerao a no-homoscedasticidade e autocorrelao dos erros, os
testes de significncia das estimativas seriam viesados e ocorreria a subestimao
das varincias das estimativas dos parmetros respectivamente.
Seja o modelo linear
Y =X + u
supondo uN(0,W2),E(u) = 0e V ar(u) = V 2, em que W uma matriz
simtrica, positiva definida, que representa as varincias e covarincias dos erros.
Admitindo-se que os erros so autocorrelacionados na forma de um processo au-
torregressivo estacionrio de primeira ordem AR(1).
ut = 1ut1+ t
em queE(t) = 0, E(2t ) =2 , E(tth) = 0 seh = 0.
O modeloutser estacionrio se
1 1;t= 2,...,n.
Nessas condies,2u = 212
1
ecovu = 212
1
h1 De maneira anloga ao
mtodo dos mnimos quadrados ponderados encontra-se:
= (X
W1X)1X
W1Y.
Os mtodos dos mnimos quadrados, ordinrios e ponderados, so casos
particulares dos MQG.
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2.3.4 Processos iterativos
Vrios mtodos iterativos so propostos para obteno das estimativas de
mnimos quadrados dos parmetros de um modelo de regresso no linear. Os mais
utilizados so o mtodo de Gauss-Newton ou mtodo da linearizao, o mtodo de
Newton, o mtodo Steepest-Descent ou mtodo gradiente e o mtodo de Mar-
quardt (BATES & WATTS, 1988), esses mtodos diferem na forma como o
calculado para propiciar as atualizaes no vetor de parmetros.
De uma forma geral, os critrios bsicos so:Gradiente:
o=X
Gauss - Newton: o
= (X
X)X
Newton: o
=GX
Maquardt: o
= [X
X+ diag(X
X)X
]
em que(X
X) uma inversa generalizada.
O mtodo Gradiente baseado no gradiente ou grau de variao dos re-
sduos
. Os mtodos Gauss-Newton e Marquardt realizam a regresso dos re-
sduos em relao as primeiras derivadas do modelo no-linear em relao aos
parmetros, at que haja a convergncia. O mtodo de Newton faz a regresso
desses resduos em relao a uma funo das segundas derivadas do modelo no
linear com relao aos parmetros.
Segundo Souza (1998), o sucesso na convergncia de um algoritmo para
um mtodo iterativo no processo de estimao no linear est diretamente asso-
ciado ao uso de uma funo resposta apropriada e de valores iniciais adequados
ao procedimento numrico. Uma m escolha dos valores iniciais pode resultarnum nmero muito grande de interaes at convergir; convergir ao um mnimo
local, ou mesmo, no convergir. Entretanto, bons valores iniciais podem levar a
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um mnimo global, mesmo com a existncia de vrios mnimos locais.
No programa computacional R, os quatros mtodos citados esto imple-
mentados, sendo que os dois mais utilizados so os de Gauss Newton e Maquardt.
O mtodo Gauss-Newton usa a expanso em srie de Taylor do vetor de
funes:f() =f(o
)+F(o
)(o
)+ ... em que F(o
) a matriz de primeiras
derivadas de X, avaliada no pontoo
.
Substituindo os termos dessa expanso no SEN, obtemos:
X
f() =X
Y
X[f(o ) + F(o )( o)] =XY
X
[f(o
) + X( o
)] =X
Y
X
X( o
) =X
Y X
f(o
)
( o
) = (X
X)1 X
Portanto, a frmula interativa conhecida como mtodo de Gauss-Newton :
1 =o
+ (X
X)1 X
O processo repetido colocando-se 1 no lugar de o
(vetor de valores ini-
ciais que podem ser obtidos de estudos anteriores, conhecimentos tericos ou por
uma grade de valores que minimize a soma de quadrados do resduos), repetindo
um determinado nmero de vezes at que o vetor de estimativas no se altere mais
dentro de uma preciso pr estipulada.
2.4 Modelos de crescimento
Curvas de crescimento (sigmoidais) possuem uma larga aplicao em reas
como biologia, agronomia, economia, dentres outras. Exemplos tpicos ocorrem
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em estudos de crescimento humano, animal e vegetal. Essas curvas comeam em
algum ponto fixo e aumentam a sua taxa de crescimento monotnico at um ponto
de inflexo, aps este ponto esta taxa de crescimento comea a diminuir at a curva
se aproximar de um valor final, chamado de assntota (RATKOWSKY, 1983). Ge-
ralmente estudam-se as curvas de crescimento por meio de funes no lineares em
que apresentam algumas peculiaridades quanto ao procedimento de ajuste (DRA-
PER & SMITH, 1998). Os modelos so constitudos a partir de uma base terica
em que os parmetros fornecem um maior conhecimento sobre o fenmeno estu-
dado, o que gera um bom ajuste com menos parmetros.
A escolha do modelo que melhor descreve a curva de crescimento usual-
mente baseada na qualidade de seu ajuste aos dados, na interpretao biolgica
dos parmetros. Vrios tipos de modelos estatsticos podem ser usados, de acordo
com suas habilidades, para facilitar a interpretao dos processos envolvidos no
sistema de produo vegetal.
Os modelos empricos usados frequentemente para estimar o crescimento
vegetal incluem a funo Logstica e de Gompertz (SEBER & WILD, 1989; RAT-
KOWSKY, 1983).
O modelo Logstico como em Seber & Wild (1989) dado pela equao:
y =
1+exp[(x)]
em que:
corresponde ao valor assinttico, indicando o valor de estabilizao da varivel
dependente em relao ao tempo;
corresponde ao parmetro de localizao;medida relativa a taxa de crescimento da curva;
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A curva logstica simtrica em relao ao ponto de inflexo x = quando
y = 2 . Neste ponto, a taxa de crescimento atinge seu valor mximo, ou seja,
Wmax= 4 .
Quando os resultados inferenciais obtidos no so muito precisos, outras
parametrizaes podem ser consideradas de maneira que se ajustem melhor aos
dados, como apresentado por Ratkowsky (1983).
O modelo Gompertz (SEBER & WILD, 1989), definido pela equao,
y= exp[exp((x ))]
em que:
corresponde ao valor assinttico, indicando o valor de estabilizao da varivel
dependente em relao ao tempo;
corresponde ao parmetro de localizao;
medida relativa taxa de crescimento da curva;
frequentemente usando em situaes em que o crescimento no simtrico em
relao ao ponto de inflexo que ocorre emx = quandoy = e
, sendoWmax=
e .Na anlise de germinao de sementes, Guillnet al., (2009) estudando
a germinao de sementes cactos colunares em diferentes populaes no vale do
Tehuacn-Cuicatln, Mxico, utilizaram o modelo logstico no ajuste dos dados
e observaram que em todas as situaes o modelo ajustado foi significante para
explicar a porcentagem mxima acumulada em funo do tempo. Ikeda et al.,
(2008) em estudo relacionado ao efeito da Luz e KN O3na germinao de semen-
tes de Tridax Procumbenssob temperatura constante e alternada, identificaram o
modelo logstico na assicronia do percentual de germinao acumulada. Gazolaet
al., (2011) em estudos de modelagem no linear, envolvendo curva de crescimento
do desempenho germinativo de sementes de milho hbrido, verificaram que o mo-
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delo logstico apresentou ajuste adequado aos dados de percentuais germinativos.
Em estudo apresentado por Duarte et al., (2010), em germinao de sementes de
Dyckia goehringiiGross e Rauh (Bromeliaceae), sob diferentes temperaturas en-
contraram um comportamento sigmoidal na descrio de germinao. Tomaz et
al., (2010) com o objetivo de determinar o tempo necessrio para a conduo do
teste de germinao de Panicum maximumcv. Tanznia ajustaram o modelo lo-
gstico para a avaliao da germinao, percebendo que a curva esta prxima aos
valores observados, indicando que modelo se ajustou bem aos dados. Vidigal et
al., (2011), verificando a ocorrncia de mudanas nas sementes, durante a matu-
rao de frutos de pimento, utilizaram o modelo logstico no ajuste dos dados de
germinao das sementes ao longo do tempo.
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3 MATERIAl E MTODOS
3.1 Material
A base de dados utilizada neste trabalho provm de um experimento rea-
lizado no perodo de 06 de setembro a 06 de outubro de 2011, no Laboratrio de
Anlise de Sementes (LAS) do Departamento de Agricultura (DAG) da Universi-
dade Federal de Lavras (UFLA), no municpio de Lavras, MG. Foram utilizados
cinco lotes, com respectivos potenciais mnimos de germinao 73%, 88%, 90%,
90% e 97% de sementes de caf Coffea arbica L. da cultivar "Catua Verme-lho IAC 99", associando as porcentagens acima citadas aos lotes I, II, III, IV, V,
respectivamente. Cada tratamento constou de quatro repeties com 100 semen-
tes, utilizando como substrato rolos de papel toalha (germitest) umedecidos com
gua destilada na proporo de 2,5 vezes o peso do papel seco, colocados em c-
mara de germinao, regulados temperatura constante de 30oC, de acordo com
as regras para anlise de sementes (BRASIL, 2009). A germinao das sementes
foi monitorada durante 30 dias, sendo anotado diariamente o nmero de sementes
germinadas que teveram como critrio de germinao a protuso radicular.
Nas figuras 1 a 6, encontram-se algumas fotos ilustrando a instalao do
experimento e diferentes etapas do processo de germinao das sementes.
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Figura 1 Instalao do processo degerminao
Figura 2 Instalao do processo degerminao
Figura 3 Sementes de caf germina-
das aos 15 dias - Lote III
Figura 4 Sementes de caf germina-
das aos 21 dias - Lote V
Figura 5 Sementes de caf germina-das aos 30 dias - Lote I
Figura 6 Sementes de caf germina-das aos 30 dias - Lote IV
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3.2 Mtodos
3.2.1 Modelos estudados
Foram ajustados os modelos de crescimento no linear Logstico e Gom-
pertz de acordo com a parametrizao apresentada por Seber & Wild (1989), sendo
descritos pelas seguintes expresses:
1. Modelo Logstico com erros independentes e autoregressivos de pri-
meira ordem AR(1), respectivamente:
Yt =
1 + exp[(Xi )]+ ut
Yt=
1 + exp[(Xt )]+ ut1+ +t
2. Modelo Gompertz com erros independentes e autoregressivos de pri-
meira ordem AR(1), respectivamente:
Yt= exp[exp((Xt ))] + ut
Yt=exp[exp((Xt ))] + ut1+ t
em que
Yt- expressa a porcentagem de germinao acumulada no tempo t;
- corresponde ao valor assinttico, ou seja, representa a porcentagem
mxima de germinao acumulada, valor de estabilizao da varivel dependente
em relao ao tempo;
- corresponde ao tempo no qualY alcana metade do seu valor mximo
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no modelo Logstico e no modelo Gompertz Yalcana proporo1/e do seu valor
mximo;
- est vinculado taxa de crescimento, que representa a velocidade de
germinao para atingir o valor assinttico;
exp- refere-se base do logaritmo neperiano;
Xt- refere-se ao valor da varivel independente, ou seja, tempo necessrio
para germinao de sementes, dado em dias,t = 1, 2, 3...30;
ut- corresponde ao resduo no tempo t;
ut1- corresponde ao resduo no tempo t-1;
- corresponde ao parmetro autoregressivo de ordem 1;
t- o ruido branco.
3.2.2 Critrios para seleo do modelo
Para a verificao da qualidade do ajuste de um modelo no linear (MO-
TULUSKY & CHRISTOPOULOS, 2003; BOZSDOGAN, 1987), vrios aspectos
podem ser observados, busca-se o modelo mais parcimonioso, isto , o modelo
que envolva o mnimo de parmetros possveis a serem estimados e que explique
bem o comportamento da varivel resposta. Para isso, ferramentas analticas, tais
como testes hipteses e critrios de informao podem ser utilizados, sendo o seu
o clculo e interpretao, fceis de serem realizados. Logo a seleo do modelo
mais adequado para descrever a germinao de sementes foi realizada com base
na preciso dos ajustes obedecendo aos seguintes critrios:
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3.2.2.1 Coeficiente de determinao ajustado(R2aj)
R2aj = 1 [(1 R2)(n i)
(n p) ]
em que:
R2 = 1 SQRSQT
SQR = soma de quadrado do resduo;
SQT = soma de quadrado total;
n = nmero de observaes utilizadas para ajustar a curva;
p = nmero de parmetros na funo inclundo o intercepto;
i = 1 se tiver intercepto e 0 se no tiver intercepto.
Tem-se que quanto maior for o valor de R2aj , melhor ser o modelo.
3.2.2.2 Desvio padro residual (DPR)
A estimativa do DPR obtida pela seguinte expresso:
DP R=
QM E
(n p)
em que:
QME = quadrado mdio do erro;
n = nmero de observaes;
p = nmero de parmetros do modelo.
Quanto menor for o desvio padro residual, melhor ser o modelo ajus-
tado.
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3.2.2.3 Critrios de informao
Os critrios de Informao de Akaike (AIC)(AKAIKE, 1974), o Critrio
de Informao Bayesiano (BIC) (SCHWARZ, 1978) e o Teste da Razo de Veros-
similhana (TRV) so outras estatsticas que servem como medidas de comparao
da qualidade de ajuste do modelo baseados no mximo da funo de verossimi-
lhana (MFV) sendo dependentes do nmero de observaes e parmetros do mo-
delo em estudo.
A estimativa do AIC dada pela seguinte frmula:
AIC= 2logL() + 2k
O valor do critrio BIC para um determinado modelo :
BI C= 2logL() + klog(n)
onde:
L() o mximo da funo de verossimilhana;k: o nmero de parmetros no modelo;
n: o nmero de observaes usadas na estimao do modelo em estudo.
O Critrio de Informao de Akaike (AIC) admite a existncia de um mo-
delo real que descreve os dados que desconhecido, e tenta escolher dentre um
grupo de modelos avaliados, o que minimiza a divergncia de Kullback-Leibler
(K-L). Esta divergncia est relacionada informao perdida por se usar um mo-
delo aproximado e no o "real". O critrio BIC definido como a estatstica que
maximiza a probabilidade de se identificar o verdadeiro modelo dentre os ava-
liados. Apesar de usarem o mesmo critrio estatstico, utilizam valores crticos
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diferentes. Tanto o AIC e o BIC so usados para comparar modelos no aninhados
e o melhor modelo, considerando o ajuste, ser aquele que apresentar menor valor.
O teste da razo de mxima verossmilhana (TRV) apropriado para tes-
tar dois modelos hierarquicamente aninhados, baseado no ln da razo entre duas
verossimilhanas. Sob as hipteses:
H0 : O modelo mais simples o correto;
Ha : O modelo mais parametrizado o correto.
O TRV usa a estatsticaL = 2log L1L2
= 2[log(L2) log(L1)]sendoL2
o mximo do logaritmo natural da funo de verossimilhana para o modelo mais
parametrizado eL1para modelo mais simples. Sob a hiptese deH0 verdadeira
L 2(,)com graus de liberdade (gl), sendo a diferena entre o nmero de
parmetros do modelo mais parametrizado e o modelo mais simples. Rejeita-se
H0quandoL > 2(,).
3.3 Anlise dos resduos
Em regresso no linear, assim como em regresso linear, a anlise dos
resduos de um modelo feita para verificar a plausividade das pressuposies
envolvidas. Para a verificao dos pressupostos, pode-se utilizar anlise grfica dos
resduos, sendo este um mtodo informal de anlise que envolvem os grficos de
resduos em relao s variveis independentes e aos valores preditos, ou por meio
de testes estatsticos, que uma maneira mais objetiva de se analisar os resduos
por fornecer uma medida numrica para algumas das discrepncias previamente
descritas.
Para a verificao do pressuposto de normalidade, vrias formas grficas
tm sido propostas como histogramas dos resduos, em que se podem visualizar
desvios grosseiros da normalidade ou "Q-Q plot"que um grfico que testa a con-
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formidade entre a distribuio emprica e uma dada distribuio terica, apresen-
tando como regra de deciso se a observao grfica entre os quantis da varivel
aparecem alinhados com os quantis da distribuio, se isso ocorre porque os
dados esto normalmente distribudos. O teste estatstico de Shapiro - Wilk (SHA-
PIRO & WILK, 1965) um dos mais utilizados para a verificao do pressuposto
em que rejeita a hiptese de normalidade quando o valor de p inferior ou igual a
0,05.
Um grfico dos resduos contra os valores estimados pode ser utilizado
para examinar se as varincias dos erros so constantes, observando se a disperso
dos resduos ocorre aleatoriamente em torno da mdia zero. O teste estatstico
frequentemente usado para heterocedasticidade chamado de teste de Breusch-
Pagan (BREUSCH & PAGAN, 1979), em que a hiptese nula que os resduos
so homocedasticos, logo com valor de p inferior ou igual a 0,05 a hiptese nula
rejeitada.
Resduos relacionados com o tempo so chamados autocorrelacionados e
para verificar a existncia de correlao entre os resduos, pode-se plotar os res-
duos contra o tempo ou os resduos contra qualquer outra varivel de interesse.
Quando os erros so independentes, espera-se que os mesmos flutuem aleatori-
amente em torno da mdia zero. O teste de Durbin-Watson (Durbin & Watson,
1950) testa a existncia de autocorrelao de primeira ordem e calculado por:
DW =n
t=2(utut1)2
nt=1(ut)
2
em que:
ut: o resduo no tempo t;ut1: o resduo no tempo t-1.
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Tem - se que a um valor de p inferior ou igual a 0,05 rejeita-se a hiptese
de dependncia nos resduos.
3.4 Recursos computacionais
Os procedimentos de ajuste para os modelos com estruturas de erros inde-
pendentes e correlacionados foram implementados por meio da funo gnls(Ade-
quao do modelo linear utilizando mnimos quadrados generalizados) do pacote
nlme(Modelos lineares e no lineares de efeitos mistos) (PINHEIRO et al., 2011)
do programa R verso 2.13.1 (2011-07-08), conforme anexos, os quais possibili-
taram obter as estimativas dos parmetros e os avaliadores de qualidade de ajuste.
Para anlise dos resduos dos modelos de regresso no linear, foram uti-
lizados mtodos que podem ser ajustados no R como a matriz gradiente (derivadas
da funo em relao ao vetor de parmetros) do modelo ajustado dentro da fun-
olme, assim, obter testes estatsticos bptest e dubirnWatsonTest implementados
no pacotelmtestcomo tambm o pacotenlstools(ferramentas de diagnstico para
modelos de regresso no linear)(Florent e Delignette-Muller, 2011) para a obten-
o dos grficos residuais.
As estimativas iniciais, necessrias para a obteno das estimativas dos
parmetros, foram obtidas por meio do mtodo grfico iterativo para valores inici-
ais em regresso no linear, utilizando-se o pacote manipulate, funo manipulate
() disponvel no RStudio (editor para script do R), para o os modelos Logstico e
Gompertz respectivamente.
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4 RESULTADOS E DISCUSSO
4.1 Ajuste dos modelos no lineares
Aps o ajuste dos modelos Logstico e Gompertz, escolhidos com base na
observao grfica dos dados, considerando erros independentes e varincia cons-
tante, verificou-se por meio da anlise grfica dos resduos, Figuras 7 a 16 res-
pectivamente, pelo quadro resduos ou resduos stundentizados versus os valores
ajustados, que em todos os lotes analisados, os resduos se mostram concentrados
nas extremidades, ou seja, no h uma distribuio aleatria em torno da mdia
zero, indicando, assim, a no homogenidade das varincias que pode ser confir-
mado pelas estimativas da estatstica do teste de Breusch-Pagan apresentadas nas
Tabelas 1 e 2. A verificao da pressuposio de normalidade mostrada pelo gr-
fico "Q-Q Plot"dos resduos studentizados, nota-se que em todas as situaes os
valores extremos se afastaram da reta, mostrando a falta de normalidade que pode
ter sido afetada pela variabilidade dos dados como mostra as Figuras 7 a 16 e as
Tabelas 1 e 2. A suposio de dependncia examinada pelo grfico de autocor-relao, apresenta com exceo dos grficos observados nas Figuras 8, 11 e 16,
onde os resduos se comportaram mais aleatrios, um agrupamento dos resduos
na linha de base zero, mostrando que as interferncias em perodos separados so
sistematicamente relacionados. O que por meio do teste de Durbin-Watson isso
no se confirma em todas as situaes, ressaltando a importncia da utilizao de
testes estatsticos na validao das pressuposies.
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Figura 7 Anlise grfica dos resduos do modelo Logstico para o lote I
Figura 8 Anlise grfica dos resduos do modelo Logstico para o lote II
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Figura 9 Anlise grfica dos resduos do modelo Logstico para o lote III
Figura 10 Anlise grfica dos resduos do modelo Logstico para o lote IV
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Figura 11 Anlise grfica dos resduos do modelo Logstico para o lote V
Figura 12 Anlise grfica dos resduos do modelo Gompertz para o lote I
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Figura 13 Anlise grfica dos resduos do modelo Gompertz para o lote II
Figura 14 Anlise grfica dos resduos do modelo Gompertz para o lote III
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Figura 15 Anlise grfica dos resduos do modelo Gompertz para o lote IV
Figura 16 Anlise grfica dos resduos do modelo Gompertz para o lote V
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Na Tabela 1 e 2, esto apresentadas as estimatvas das estatsticas dos
testes de Shapiro-Wilk, Breusch-Pagan e Durbin-Watson e os respectivos valor-P
para os modelos Logsticos e Gompertz dos cinco lotes analisados. Observa-se que
tanto no ajuste do modelo Logstico como no modelo Gompertz, os erros relativos
aos lotes analisados no apresentaram normalidade, homocedasticidade e algumas
situaes independncia.
Tabela 1 Estimativas das estatsticas dos testes de Shapiro-Wilk, Breusch-Pagane Durbin-Watson e os respectivos valor-p dos resduos do modelo Lo-gstico para os cinco lotes de semente de caf.
Lotes Shapiro-Wilk Valor-p Breusch-Pagan Valor-p Durbin-Watson Valor-pI 0,7793 0,0002 22,9718 0,0001 3,0506 0,0001II 0,8825 0,0032 13,6698 0,0011 1,5574 0,1300III 0,7137 0,0001 16,9820 0,0002 2,2253 0,7760IV 0,6540 0,0001 4,4529 0,0011 2,2990 0,6620V 0,8150 0,0001 21,3829 0,0002 1,7447 0,3500
Tabela 2 Estimativa das estatsticas dos testes de Shapiro-Wilk, Breusch-Pagan eDurbin-Watson e os respectivos valor-p dos resduos do modelo Gom-pertz para os cinco lotes de semente de caf.
Lotes Shapiro-Wilk Valor-p Breusch-Pagan Valor-p Durbin-Watson Valor-pI 0,6613 0,0000 24,2076 0,0005 3,5277 0,0000II 0,7298 0,0001 16,5231 0,0002 3,0417 0,0040III 0,5719 0,0001 15,6517 0,0003 3,1387 0,0020IV 0,706 0,0001 20,4560 0,0001 3,4783 0,0000V 0,8362 0,0003 6,6433 0,0360 2,5639 0,1580
Diante do no atendimento das pressuposies, realizou-se o ajuste pelo
mtodo dos mnimos quadrados generalizados.
Na Tabela 3, esto apresentadas as estimativas dos parmetros do modelo
Logstico, com erros independentes, para cada lote de semente ao longo do tempo.
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Tabela 3 Estimativas dos parmetros para o ajuste do modelo Logstico, com
erros independentes, aos valores de porcentagem de germinao de se-mentes para os cinco lotes
ParmetrosLotes
I 92,82 10,22 1,27II 92,46 10,16 0,99III 95,97 10,73 0,92IV 95,04 9,90 1,15V 96,92 9,06 1,48
Todos os parmetros foram significativos em 1% pelo teste t.
Os lotes de sementes apresentaram comportamentos semelhantes quanto
ao percentual de germinao acumulada(), todos acima de 90%. Com exceo
do lote V, todos os percentuais obtidos mostraram-se superiores aos percentuais
mnimos classificados de acordo com o lote, sendo o que mais se diferenciou com
um aumento de 26% em relao aos 73% apresentado foi o lote I. O parme-
tro()est relacionado ao dia em que germinao acumulada atinge 50%, sendo
assim, nota-se que a qualidade V obteve o menor tempo para atingir metade do
potencial de germinao, o que pode estar relacionado com alto poder de germina-
bilidade das sementes. As demais qualidades obtiveram metade do percentual de
germinao em torno do 10o dia. O parmetro(), representando a velocidade de
germinao, teve na qualidade V o maior valor, o que indica que a porcentagem de
germino acumulada foi atingida em um menor tempo que as demais qualidades
estudadas.
Observa-se por meio das Figuras 17 a 21, que as curvas dos dados expres-
sam um comportamento sigmoidal.
Em estudo para caracterizar as fases de germinao de sementes de maracuj-
doce, Ferrariet al., (2008), ajustaram as curvas de germinao pela funo Logs-
tica.
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Figura 17 Modelo Logstico na descrio de germinao de sementes de caf -Lote I, em funo do tempo com estruturas de erros independentes
Figura 18 Modelo Logstico na descrio de germinao de sementes de caf -Lote II, em funo do tempo com estruturas de erros independentes
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Figura 19 Modelo Logstico na descrio de germinao de sementes de caf -Lote III, em funo do tempo com estruturas de erros independentes
Figura 20 Modelo Logstico na descrio de germinao de sementes de caf -Lote IV, em funo do tempo com estruturas de erros independentes
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Figura 21 Modelo Logstico na descrio de germinao de sementes de caf -Lote V, em funo do tempo com estruturas de erros independentes
Aps o ajuste do modelo Logstico, verifica-se pelo teste de Shapiro-Wilk,
conforme Tabela 4, que os erros relativos a todos os lotes analisados apresentaram
distribuio normal, indicando que o ajuste pelo modelo se mostrou adequado.
Tabela 4 Estimatvas da estatstica do teste de Shapiro-WilK dos resduos do mo-delo Logstico e valor - p para os cinco lotes de sementes de caf.
Qualidades Estatstica do Teste Shapiro Wilk Valor - pI 0,9266 0,5736II 0,9732 0,8951III 0,9174 0,5131IV 0,7928 0,0706V 0,9570 0,7868
Atravs da primeira derivada do modelo Logstico em funo do tempo,
obtm-se a taxa de germinao absoluta (TGA), apresentada na Figura 22. As
TGA foram crescentes at atingirem os mximos de 28%/dia para lote I, em torno
de 22%/dia para os lotes II e III, 27%/dia para lote IV e 35%/dia para lote V, nessa
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fase, a taxa de germinao se caracterizou elevada e positiva, chegando ao m-
ximo no ponto de inflexo da curva, que ocorreu prximo ao 10o dia. A partir
deste ponto, a concavidade da curva muda e a taxa de germinao comea a dimi-
nuir em virtude de fatores que inibem progressivamente a germinao. Observa-se
que o lote V, caracterizado como o de melhor pontencial germinativo, teve um
menor tempo para o processo de germinao, j que no dcimo terceiro dia prati-
camente todas as sementes j haviam germinado. Os resultados apresentados so
coerentes com o que foi exposto por Eira et al., (2006) em estudo sobre a fisiologia
e germinao da semente de caf, em que citaram que aps o dcimo dia, 50% da
populao de sementes de cafeeiro apresentaram emisso da radcula e, no dcimo
quinto dia, a maioria das sementes j germinaram.
Caron et al., (2007), ao analisarem o crescimento de plantas de aroeira
vermelha, utilizaram a taxa de crescimento absoluto ao longo do tempo na iden-
tificao de fitomassa acumulada. Verificaram o tempo de ocorrncia da a maior
taxa de crescimento absoluto que ocorreu no intervalo de 22 a 32 dias, conside-
rando um acmulo de 34,2% fitomassa de 0, 46g.planta1 e que a Taxa de Cresci-
mento Absoluto (TCA), variou de acordo com o crescimento das mudas, segundo
as respostas fisiolgicas as condies ambientais.
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Figura 22 Histograma representativo da taxa de germinao absoluta (TGA) desementes de caf estimada pela funo Logstica nos cinco lotes
As estimativas dos parmetros, para o modelo Gompertz, com erros inde-
pendentes, so apresentados na Tabela 5.
Tabela 5 Estimativas dos parmetros para o ajuste do modelo Gompertz, comerros independentes, aos valores de porcentagem de germinao de se-mentes para os cinco lotes
ParmetrosLotes
I 93,28 9,69 0,84II 93,06 9,49 0,66III 96,52 10,01 0,63IV 95,47 9,32 0,78V 97,23 8,62 1,02
Todos os parmetros foram significativos em 1% pelo teste t.
Ao comparar as estimativas do parmetro(), obtidas pelo modelo Gom-
pertz, percebe-se que os valores encontrados foram maiores que os obtidos pelo
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modelo Logstico, como tambm diferenciando - se superiormente dos percentu-
ais mnimos de germinao apresentados, exceto o lote V. As estimativas do pa-
rmetro()apresentaram menores valores que os obtidos pelo modelo Logstico
devido sua interpretao que corresponde ao dia em que o potencial de germi-
nao acumulada das sementes atinge 36,80%. Os valores referentes velocidade
de germinao , parmetro(), mesmo que em menores valores no diferencia da
explanao apresentada pelo modelo Logstico.
Nas Figuras 23 a 27, tem-se a representao grfica dos dados e o ajuste
do modelo Gompertz, com erros independentes.
Figura 23 Modelo Gompertz na descrio de germinao de sementes de caf-Lote I, em funo do tempo com estruturas de erros independentes
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Figura 24 Modelo Gompertz na descrio de germinao de sementes de caf -Lote II, em funo do tempo com estruturas de erros independentes
Figura 25 Modelo Gompertz na descrio de germinao de sementes de caf -Lote III, em funo do tempo com estruturas de erros independentes
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Figura 26 Modelo Gompertz na descrio de germinao de sementes de caf -Lote IV, em funo do tempo com estruturas de erros independentes
Figura 27 Modelo Gompertz na descrio de germinao de sementes de caf -Lote V, em funo do tempo com estruturas de erros independentes
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O modelo Gompertz, de acordo com Gaspar-Oliveira et al., (2008), pro-
porcionou ajuste adequado aos dados de percentuais de germinao em funo do
tempo (em dias) para mtodos de superao de dormncia.
Como no ajuste do modelo Logstico, observa-se que pelo teste de Shapiro-
Wilk, os erros relativos a todos os lotes analisados apresentaram distribuio nor-
mal para o modelo Gompertz, conforme Tabela 6.
Tabela 6 Estimatvas da estatstica do teste de Shapiro-WilK dos resduos e valor- p do modelo Gompertz para os cinco Lotes.
Lotes Estatstica do Teste Shapiro Wilk Valor - pI 0,9050 0,4382II 0,9077 0,4541III 0,8743 0,2842IV 0,8958 0,3871V 0,9209 0,5361
As TGA obtidas pelo modelo Gompertz tm sua interpretao semelhante
ao do modelo Logstico, apresentando-se crescentes at atingirem os mximos de
28%/dia para Lote I, em torno de 21%/dia para o Lote II e 23%/dia para Lote III,
26%/dia para Lote IV e 34%/dia para Lote V, chegando ao ponto de inflexo da
curva. A partir deste a taxa de germinao comea a diminuir exponencialmente,
onde possvel por meio dos grficos apresentados na Figura 28, verificar a assi-
metria do modelo Gompertz em relao ao ponto de inflexo.
Na Tabela 5, tem-se a estatstica do teste da razo de mxima verossimi-
lhana para os modelos Logstico e Gompertz, verificando-se para quais modelos
e qualidades o ajuste com os resduos correlacionados se mostrou mais plausvel
aos dados.
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Figura 28 Histograma representativo da taxa de germinao absoluta (TGA) desementes de caf estimada pela funo Gompertz nos cinco lotes
Tabela 7 Estatsticas do teste de razo de mxima verossimilhana (TRV) paraos modelos estudados.
ModelosQualidades Modelos Logstico AR(1) Gompertz AR(1)
I Logstico 9,8417
Gompertz 25,8619
II Logstico 1,5556NS
Gompertz 9,3801
III Logstico 0,3875NS
Gompertz 11,391
IV Logstico 1,1529NS
Gompertz 22,9725
V Logstico 1,0140NS
Gompertz 3,9992valores significativos a1%(P
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lhor ajuste aos dados considerando aos resduos correlacionados AR(1), j o ajuste
com o modelo Gompertz em todos os lotes analisados, o melhor ajuste apresentou
a estrutura de erros autocorrelacionados AR(1).
Na Tabela 8, observa-se que todas as estimativas dos parmetros dos mo-
delos Logstico e Gompertz com estrutura de erros autoregressivo de ordem 1 con-
vergiu para valores prximos aos encontrados no ajuste com erros independentes.
Verifica-se que o erro, associado ao ndice de germinao das sementes, numa
data, est negativamente correlacionado com o erro da data anterior.
Tabela 8 Estimativas dos parmetros para o ajuste do modelo Logstico e Gom-pertz, com estrutura de erros autoregressivos de ordem 1, aos valoresde porcentagem de germinao de sementes para os cinco lotes.
ParmetrosLotes Modelos 1
I Logstico 92,87 10,23 1,25 -0,52Gompertz 93,23 9,69 0,85 -0,74
II Gompertz 93,08 9,49 0,66 -0,51III Gompertz 96,52 10,01 0,63 -0,55IV Gompertz 95,47 9,32 0,78 -0,72V Gompertz 97,26 8,61 1,01 -0,39
todos os valores significativos a1%pelo teste t.
4.2 Seleo dos modelos ajustados
Atravs dos avaliadores de qualidade de ajuste apresentados na Tabela 9,
observa-se o modelo Gompertz com estrutura de erros autoregressivos de ordem 1
apresentando um melhor ajuste aos dados, devido aos menores valores dos desvios
padro (DPR), os critrios de informao de Akaike (AIC) e schwarz (BIC). Car-
valhoet al., (2011), em estudo de modelos no lineares generalizados aplicados na
predio da rea basal e volume deEucalyptusclonal, utilizaram os critrios acima
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propostos para a seleo dos modelos devido sua extrema relevncia na anlise
de regresso. J os valores obtidos no coeficiente de determinao, (R2aj) mos-
traram resultados semelhantes no podendo, assim, verificar a escolha do melhor
modelo por essa estatstica.
Tabela 9 Estimativas dos critrios de seleo: coeficiente de determinao ajus-tado (R2aj), desvio padro residual (DPR), critrio de informao deAkaike (AIC) e critrio bayesiano de Schwarz (BIC) para os modelosajustados, na descrio de germinao de sementes para os cinco lotes
Critrios de seleoLotes Modelo R2aj DPR AIC BIC
Logstico 0,99995 2,1329 135,4249 141,0297I Gompertz 0,99998 2,1422 135,6855 141,2903
Logstico AR(1) 0,99995 2,1122 127,5831 134,5891Gompertz AR (1) 0,99999 2,0609 111,8236 118,8296
Logstico 0,99975 2,3135 140,3023 145,9071II Gompertz 0,99999 1,4631 112,8095 118,4143
Logstico AR(1) 0,99968 2,3187 140,7467 145,7527Gompertz AR(1) 0,99999 1,4477 105,4295 112,4355
Logstico 0,99974 2,7985 151,7209 157,3257III Gompertz 0,99999 2,0910 134,2351 139,8399
Logstico AR(1) 0,99978 2,7977 153,3334 160,3394Gompertz AR(1) 0,99999 2,0613 124,8441 131,8500
Logstico 0,99986 1,9117 128,8573 134,4651IV Gompertz 0,99999 1,3780 109,2151 114,8199
Logstico AR(1) 0,99987 1,9111 130,1595 137,1655Gompertz AR(1) 0,99999 1,3119 88,2426 95,2486
Logstico 0,99991 1,4915 113,9644 119,5692V Gompertz 0,99999 0,6221 61,5024 67,10771
Logstico AR(1) 0,99965 2,0397 114,9503 121,9563Gompertz AR(1) 0,99999 0,6306 59,5031 66,5091
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Nas Figuras 29 a 33, observa-se a representao grfica do ajuste dos dois
modelos no lineares que, segundo os avaliadores da qualidade de ajuste, obtive-
ram um melhor ajustamento aos dados. Nota-se que ambos os modelos descrevem
de modo adequado a germinao das sementes, com curvas muito prximas aos
valores observados, mas com melhor destaque para o modelo considerando a es-
trutura de erros AR(1). Cunha (2011), identificou o modelo Gompertz com erros
autocorrelacionados de ordem 1 como o melhor modelo ao estudar os dimentros
dos frutos de ameixeira ao longo do tempo.
Figura 29 Valores mdios da porcentagem de germinao acumulada, da curvade ajuste dos modelos Logstico e Gompertz, com estruturas de errosAR (1) para o lote I
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Figura 30 Valores mdios da porcentagem de germinao acumulada, da curvade ajuste dos modelos Logstico com estrutura de erros independentese Gompertz com estrutura de erro AR(1) para o lote II
Figura 31 Valores mdios da porcentagem de germinao acumulada, da curvade ajuste dos modelos Logstico com estrutura de erros independentese Gompertz com estrutura de erro AR(1) para o lote III
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Figura 32 Valores mdios da porcentagem de germinao acumulada, da curvade ajuste dos modelos Logstico com estrutura de erros independentese Gompertz com estrutura de erro AR(1) para o lote IV
Figura 33 Valores mdios da porcentagem de germinao acumulada, da curvade ajuste dos modelos Logstico com estrutura de erros independentese Gompertz com estrutura de erro AR(1) para o lote V
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5 CONCLUSO
Conclui-se que:
(i) O modelo de Gompertz, com estrutura de erros autoregressivos de pri-
meira ordem, proporciona melhor qualidade de ajuste ao percentual de germinao
acumulada que o modelo Logstico;
(ii) A germinao das sementes de caf descrita pelos modelos no li-
neares Logstico e Gompertz, apresentando adequada interpretao biolgica dos
parmetros;
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