Dissertacao - 2012 - Rodrigo de Oliveira Matos

Antenas Multibandas Utilizando a Geometria Fractal do Tringulo de

Sierpinski

DEZEMBRO/ 2012

RODRIGO DE OLIVEIRA MATOS

i

INSTITUTO NACIONAL DE TELECOMUNICAES INATEL

MESTRADO EM TELECOMUNICAES

Antenas Multibandas Utilizando a Geometria Fractal do Tringulo de

Sierpinski

RODRIGO DE OLIVEIRA MATOS

ORIENTADOR: PROF. DR. JOS ANTNIO JUSTINO RIBEIRO

SANTA RITA DO SAPUCA MG

2012

Dissertao apresentada ao Instituto Nacional de Telecomunicaes INATEL, como

parte dos requisitos para obteno do ttulo de Mestre em Telecomunicaes.

Matos, Rodrigo de Oliveira M433a

Antenas Multibandas Utilizando a Geometria Fractal do Tringulo de Sierpinski. / Rodrigo de Oliveira Matos. Santa Rita do Sapuca, 2012. 90 p.

Orientador: Prof. Dr. Jos Antnio Justino Ribeiro Dissertao de Mestrado Engenharia de Telecomunicaes Instituto Nacional de Telecomunicaes INATEL.

Inclui bibliografia e anexo.

1. Antena 2. Microfita 3. Multibandas 4. Fractal 5. Sierpinski Engenharia de Telecomunicaes. I. Ribeiro, Jos Antnio Justino. II. Instituto Nacional de Telecomunicaes INATEL. III. Ttulo.

CDU 621.39

iii

O assunto mais importante do mundo pode ser

simplificado at o ponto em que todos possam

apreci-lo e compreend-lo. Isso ou deveria

ser a mais elevada forma de arte.

(Charles Chaplin)

Dedico este trabalho memria de

minha av, Odete de Paiva de Oliveira.

iv

Agradecimentos

Agradeo primeiramente a Deus, por iluminar minha vida e me abenoar com toda sorte de

bnos.

Ao professor Jos Antnio Justino Ribeiro pelo paciente e criterioso trabalho de orientao.

Aos professores do Mestrado por me proporcionarem uma rica formao acadmica.

A minha me, Janete Aparecida de Oliveira, por acreditar em meus objetivos e me mostrar

que persistncia e determinao so fundamentais para alcan-los.

A minha noiva, Poliana Maria da Silva, pelo constante apoio e carinho que me deram

foras para alcanar mais esse objetivo.

A toda comunidade INATEL, em especial Gisele Moreira dos Santos.

Ao professor Antonio Alves Ferreira Jnior pelo suporte prestado nos procedimentos de

medida.

A empresa ESSS e a ANSYS pela parceria com o INATEL que permitiu a utilizao do

programa HFSS.

A Coordenao de Aperfeioamento de Pessoal de Nvel Superior CAPES pelo apoio

financeiro prestado em forma de bolsa de estudos.

Aos amigos do GJPF, da FUMEC e do Mestrado, que estiveram presente tanto nos

momentos de alegria quanto nos momentos mais difceis.

Aos amigos Rodrigo Carneiro Brando, Guilherme Varela Barbosa e Rebecca Vieira Sales

de Noronha pela companhia nas incontveis horas de estudos.

A todos que contriburam, direta ou indiretamente, para a concluso desta importante etapa

da minha vida meu muito obrigado.

v

Sumrio

LISTA DE FIGURAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii

LISTA DE TABELAS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xi

LISTA DE SMBOLOS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xii

RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xv

ABSTRACT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xvi

CAPTULO 1

1.1 Breve histrico 1

1.2 Motivao para o trabalho 1

1.3 Descrio sumria do trabalho 2

CAPTULO 2

2.1 Introduo 3

2.2 Ondas de superfcie 5

2.3 Influncias das propriedades do dieltrico 5

2.4 Tcnicas de excitao para antenas de microfita 6

2.5 Antenas de microfita retangular 9

2.6 Informaes sobre a impedncia no ponto de excitao da antena 12

2.7 Resultados tericos para irradiador retangular 14

2.8 Antenas de microfita triangular 19

2.8.1 Frequncia de ressonncia 23

2.9 Resultados tericos para irradiador triangular 24

2.10 Comentrios do captulo 28

vi

CAPTULO 3

3.1 Introduo 29

3.1.1 Sistema de funes iterativas 31

3.2 Tringulo de Sierpinski 32

3.3 Tapete de Sierpinski 34

3.4 Curva de Koch 35

3.5 Conjunto de Cantor 36


CAPTULO 4

4.1 Introduo 38

4.2 Frequncia de ressonncia dado um tringulo de Sierpinski equiltero 38

4.3 Antena de microfita com irradiador triangular equiltero de Sierpinski 40

4.4 Resultados tericos e prticos para a microfita de Sierpinski equiltera 44

4.5 Projeto da antena de Sierpinski montada verticalmente 52

4.6 Estudos complementares da rede vertical de Sierpinski 56

4.6.1 Justificativa para a anlise 56

4.6.2 Efeitos relacionados ao nmero de iteraes 56

4.6.3 Frequncia de ressonncia em funo do ngulo de abertura 57


CAPTULO 5

5.1 Comentrios gerais 64

5.2 Concluses 65

5.3 Sugestes para trabalhos futuros 66

REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS 67

APNDICE 1 ARTIGOS SUBMETIDOS E PUBLICADOS 71

APNDICE 2 CDIGO DA IMPEDNCIA DE ENTRADA 72

vii

Lista de Figuras

Figura 2.1 Antena de microfita utilizando elemento irradiador retangular. No est representado

o processo de alimentao, para o qual existem diferentes procedimentos. 4

Figura 2.2 Propagao das ondas de superfcie no dieltrico, transmitida ao longo da estrutura e

difratada em suas bordas. 5

Figura 2.3 Esquema bsico de excitao com linha de microfita. Em situaes prticas, h

necessidade de especificar o ponto de excitao e suas dimenses para o casamento

de impedncia com a antena.

7

Figura 2.4 Variveis envolvidas no clculo da impedncia caracterstica da linha de microfita. 7 Figura 2.5 Esquema da excitao com cabo coaxial. A escolha do ponto de conexo depende do

casamento de impedncia exigido. 8

Figura 2.6 Excitao por meio de acoplamento por proximidade. 9 Figura 2.7 Excitao atravs de acoplamento por abertura. 9 Figura 2.8 (a) Acmulo de cargas nas extremidades das lminas condutoras. (b) Reorganizao

do campo guiado em funo da no-uniformidade na distribuio de cargas nos

condutores.

10

Figura 2.9 Linhas de campo ao longo das bordas da microfita retangular. 11 Figura 2.10 Acrscimo no comprimento devido presena de fendas irradiantes nas

extremidades da lmina condutora sobre o substrato. 12

Figura 2.11 Fenda de largura w e extenso L muito pequena comparada com o comprimento de onda, de maneira que o campo fica distribudo quase uniformemente.

12

Figura 2.12 Modelo da antena de microfita na forma de uma linha de transmisso equivalente. 14 Figura 2.13 (a) Dimenses da microfita retangular para operao em 2,4GHz e (b) sua respectiva

montagem e malha no HFSS

. 15

Figura 2.14 Perda de retorno para microfita retangular com as dimenses especificadas. 15 Figura 2.15 Impedncia de entrada na carta de Smith para a microfita retangular normalizada em

relao impedncia de 50. 16

Figura 2.16 Diagramas de irradiao em coordenadas polares da microfita retangular com plano

de terra finito, operando em 2,4GHz no plano do campo eltrico (a) e no plano do

campo magntico (b).

17

Figura 2.17 Diagrama de irradiao em coordenadas retangulares da microfita retangular com

plano de terra finito, operando em 2,4GHz no plano do campo eltrico. 18

Figura 2.18 Diagrama de irradiao em coordenadas retangulares da microfita retangular com

plano de terra finito, operando em 2,4 GHz no plano do campo magntico. 18

Figura 2.19 Antena de microfita triangular equiltera alimentada por cabo coaxial. 19 Figura 2.20 (a) Dimenses da antena de microfita triangular para operao em 2,4GHz e (b) sua

respectiva montagem e malha no HFSS

. 25

viii

Figura 2.21 Perda de retorno em dB da antena de microfita triangular para excitao com cabo de

50. 25

Figura 2.22 Impedncia de entrada na carta de Smith para a microfita triangular normalizada em

relao impedncia de 50. 25

Figura 2.23 Diagramas de irradiao em coordenadas polares de a microfita triangular com plano

de terra finito, operando em 2,4 GHz no plano do campo eltrico (a) e no plano do

campo magntico (b).

26

Figura 2.24 Diagrama de irradiao em coordenadas retangulares de a microfita triangular com

plano de terra finito, operando em 2,4 GHz no plano do campo eltrico. 27

Figura 2.25 Diagrama de irradiao em coordenadas retangulares de a microfita triangular com

plano de terra finito, operando em 2,4 GHz no plano do campo magntico. 27

Figura 3.1 Exemplo de geometrias fractais. (a) Tringulo de Sierpinski. (b) Tapete de

Sierpinski. (c) Linha quebrada de Koch. (d) Um tipo de conjunto denominado pente

de Cantor.

31

Figura 3.2 Representao do processo de deslocamento de eixos coordenados envolvidos no

sistema de funes iterativas. 32

Figura 3.3 Representao do processo de rotao dos eixos coordenados envolvidos no sistema

de funes iterativas. 32

Figura 3.4 Mtodo de construo do tringulo de Sierpinski pelo sistema de funes iterativas. 34 Figura 3.5 Geometria geradora e as primeiras trs iteraes do tringulo de Sierpinski. 34 Figura 3.6 Geometria geradora e as primeiras trs iteraes do tarpete de Sierpinski. 35 Figura 3.7 Geometria geradora e as primeiras trs iteraes da curva de Koch. 36 Figura 3.8 Geometria geradora e as primeiras trs iteraes do pente de Cantor. 37 Figura 4.1 Modelo de linha de transmisso para antena de microfita construda com a geometria

do tringulo de Sierpinski com ngulo de abertura de 60. 42

Figura 4.2 Comportamento da impedncia de entrada da antena analisada, em funo da

distncia a partir da base do tringulo gerado aps a terceira iterao, localizado no

vrtice inferior do tringulo de Sierpinski.

42

Figura 4.3 Comportamento da parte real da impedncia de entrada da antena analisada com eixo

das ordenadas em escala logartmica. 43

Figura 4.4 (a) Dimenses do irradiador para a antena de microfita de Sierpinski com ngulo de

abertura de 60 e (b) sua respectiva montagem e malha no HFSS

. 43

Figura 4.5 Montagem para as medies na faixa de frequncias de interesse. 44 Figura 4.6 Comportamento da perda de retorno em dB com frequncias variando de 100MHz

at 3,7GHz da antena de microfita de Sierpinski. 45

Figura 4.7 Perda de retorno em dB com frequncias variando de 100MHz at 3,7GHz da antena

de microfita de Sierpinski obtida com o programa HFSS

. 45

Figura 4.8 Diagramas de irradiao normalizados da microfita de Sierpinski com plano de terra

finito, operando em 651MHz (a) no plano do campo eltrico e (b) no plano do

campo magntico.

47


finito, operando em 1,32GHz (a) no plano do campo eltrico e (b) no plano do

campo magntico.

48



campo magntico.

48

ix



campo magntico.

48


finito, operando em 3,6GHz (a) no plano do campo eltrico e (b) no plano do campo

magntico.

49

Figura 4.13 Modificaes no irradiador da antena de microfita de Sierpinski com ngulo de

abertura de 60 atravs da introduo de chanfros nos vrtices dos tringulos

excludos a cada iterao.

50

Figura 4.14 Resultado simulado para as perdas de retorno em dB com frequncias variando de

100MHz at 4GHz para antena de microfita de Sierpinski modificada. 50

Figura 4.15 Alterao nas dimenses do irradiador da antena de microfita de Sierpinski

modificada com ngulo de abertura de 60 montada sobre dieltrico com espessura

h=6,6mm.

51


100MHz at 4GHz para antena de microfita de Sierpinski modificada montada sobre

dieltrico com espessura h=6,6mm.

51

Figura 4.17 (a) Aspecto da antena de Sierpinski montada verticalmente sobre plano de terra

finito e (b) sua respectiva malha no programa HFSS

. 53


100MHz at 3,7GHz para a antena de Sierpinski montada verticalmente sobre o

plano de terra finito.

53

Figura 4.19 Antena e equipamentos utilizados para medio das perdas de retorno da antena na

faixa de 100MHz at 3,7GHz. 53

Figura 4.20 Medida para as perdas de retorno em dB com frequncias variando de 100MHz at

3,7GHz da antena de Sierpinski montada verticalmente sobre o plano de terra. 54

Figura 4.21 Diagramas de irradiao da antena de Sierpinski montada verticalmente sobre plano

de terra finito, operando em 765MHz (a) no plano normal (=0) (b) no plano

paralelo (=90).

55


de terra finito, operando em 1,46GHz (a) no plano normal (=0) (b) no plano

paralelo (=90).

55


de terra finito, operando em 2,96GHz (a) no plano normal (=0) (b) no plano

paralelo (=90).

55

Figura 4.24 Aspecto das antenas simuladas verticalmente sobre plano de terra finito no programa

HFSS

para um irradiador cuja geometria o (a) tringulo fundamental, (b) fractal

de Sierpinski de 1 ordem, (c) fractal de Sierpinski de 2 ordem e (d) fractal de

Sierpinski de 3 ordem.

57

Figura 4.25 Resultado simulado para as perdas de retorno da antena utilizando tringulo (a)

fundamental, (b) de Sierpinski de 1 ordem, (c) de 2 ordem e de (d) 3 ordem. 57

Figura 4.26 Dimenses do irradiador para a antena montada verticalmente sobre plano de terra

finito utilizando geometria fractal de Sierpinski com ngulo de abertura de 45. 59

Figura 4.27 Dimenses do irradiador para a antena montada verticalmente sobre plano de terra

finito utilizando geometria fractal de Sierpinski com ngulo de abertura de 75. 59

Figura 4.28 Resultado simulado para as perdas de retorno da antena utilizando tringulo de

Sierpinski com (a) = 75, (b) = 60 e (c) = 45. 60

x

Figura 4.29 Diagramas de irradiao da antena de Sierpinski com = 45 montada

verticalmente, operando em 813MHz (a) no plano normal (=0) (b) no plano

paralelo (=90).

61


verticalmente, operando em 1,67GHz (a) no plano normal (=0) (b) no plano

paralelo (=90).

61



paralelo (=90).

61


verticalmente, operando em 703MHz (a) no plano normal (=0) (b) no plano

paralelo (=90).

62



paralelo (=90).

62



paralelo (=90).

62

xi

Lista de Tabelas

Tabela 2.1 Resumo das principais caractersticas para a antena de microfita retangular operando

em 2,4GHz. 18

Tabela 2.2 Resumo das principais caractersticas para a antena de microfita triangular operando

em 2,4 GHz. 27

Tabela 3.1 Dimenso de Hausdorff para as estruturas fractais estudadas. 37

Tabela 4.1 Dimenses dos tringulos para os tipos de irradiadores apresentados. 43

Tabela 4.2 Especificaes da antena de microfita de Sierpinski com ngulo de abertura de 60. 44

Tabela 4.3 Relao entre a ordem da banda e as frequncias de operao calculadas. 44

Tabela 4.4 Comparao entre as frequncias medidas e com os valores obtidos na simulao

para a antena de microfita de Sierpinski. 46

Tabela 4.5 Larguras de faixa medidas e tericas para a antena de microfita de Sierpinski. 46

Tabela 4.6 Diretividade, ganhos e eficincia de irradiao nas frequncias de interesse da antena

de microfita de Sierpinski. 47

Tabela 4.7 Resumo das principais caractersticas da antena de microfita de Sierpinski com

irradiador modificado. 49

Tabela 4.8 Resumo das principais caractersticas da antena de microfita de Sierpinski utilizando

dieltrico mais espesso. 52

Tabela 4.9 Resumo das principais caractersticas da antena de Sierpinski montada verticalmente

sobre plano de terra finito. 54

Tabela 4.10 Comparao entre as frequncias obtidas nos resultados simulados e experimentais

para a antena montada verticalmente sobre plano de terra finito. 54

Tabela 4.11 Comparao entre as frequncias obtidas para as antenas com diferentes valores de

60

Tabela 4.12 Resumo das principais caractersticas da antena de Sierpinski para = 45. 60

Tabela 4.13 Resumo das principais caractersticas da antena de Sierpinski para = 75. 60

xii

Lista de smbolos

E

Campo eltrico

H

Campo magntico

a Lado do tringulo equiltero utilizado como irradiador na antena de microfita

A Amplitude determinada pela excitao na antena de microfita triangular

aef Lado do tringulo equiltero, utilizado como irradiador na antena de microfita, levando em

conta o franjamento de campo

ag Lado do tringulo gerador do fractal de Sierpinski

agef Lado do tringulo gerador do fractal de Sierpinski levando em conta o franjamento de campo

b Largura de linha de microfita

B1 Susceptncia equivalente de uma fenda

bg Base do tringulo gerador do fractal de Sierpinski

Bn Susceptncia normalizada da fenda em relao admitncia caracterstica

c Velocidade da onda eletromagntica no vcuo

D Diretividade da antena

e, f Deslocamentos envolvidos no sistema de funes iterativas

Ex Componente do campo eltrico na direo x

Ey Componente do campo eltrico na direo y

Ez Componente do campo eltrico na direo z

fD Fator utilizado para representar a relao entre as dimenses da estrutura original e de suas

cpias

fr Frequncia de ressonncia

G0 Ganho da antena em referncia a antena isotrpica

G1 Condutncia equivalente de uma fenda

h Espessura do dieltrico

hg Altura do tringulo gerador do fractal de Sierpinski

hgef Altura do tringulo gerador do fractal de Sierpinski levando em conta o franjamento de campo

xiii

Hx Componente do campo magntico na direo x

Hy Componente do campo magntico na direo y

Hz Componente do campo magntico na direo z

k Ordem da iterao fractal

k0 Nmero de onda para o espao livre

kmn Fator de propagao

L Comprimento do irradiador com geometria retangular

Lef Comprimento do irradiador na antena de microfita retangular levando em conta o franjamento

de campo

Lr Comprimento de uma reta arbitrria

Lu Comprimento em escala reduzida de uma reta arbitrria

M Constante arbitrria envolvida no processo de disperso da permissividade relativa com a

frequncia

n Ordem da banda de operao

nc Nmero de cpias de uma estrutura que cobrem a original

nk Nmero de cpias da reta geradora resultantes a cada iterao no processo de construo da

curva de Koch

nq Nmero de cpias do quadrado gerador resultantes a cada iterao no processo de construo

do tapete de Sierpinski

nt Nmero de cpias do tringulo gerador resultantes a cada iterao no processo de construo

do tringulo de Sierpinski

r Fator de escala do sistema de funes iterativas

t Espessura da pelcula condutora

w Largura do irradiador com geometria retangular

w0 Base do tringulo gerado aps a terceira iterao do tringulo de Sierpinski

Wh Operador de Hutchison

wn Transformaes afins envolvidas no sistema de funes iterativas

wv Variao da largura da linha de microfita

wvef Valor efetivo da largura da linha de microfita levando em considerao o franjamento de

campo

Y Admitncia

Y0 Admitncia caracterstica

Yen Admitncia resultante na entrada de uma antena

YL Admitncia equivalente de uma fenda

Z0 Impedncia caracterstica

l Incremento no comprimento do irradiador com geometria retangular devido ao franjamento de campo

xiv

ngulo de abertura do vrtice do tringulo de Sierpinski

Fator de fase

lPerodo logartmico entre as frequncias para uma antena com irradiador utilizando geometria

fractal do tringulo de Sierpinski

ef Constante eltrica efetiva

r Permissividade relativa

ab Abertura de feixe no plano do campo magntico

Comprimento de onda da onda eletromagntica

Comprimento de onda da onda eletromagntica no vcuo

r Permeabilidade relativa

ngulo de elevao

ab Abertura de feixe no plano do campo eltrico

r ngulo de rotao envolvido no sistema de funes iterativas

Frequncia angular

mnl (x,y) Autofuno que verifica a equao de onda original para um tringulo equiltero

xv

Resumo

Nesta dissertao sero apresentadas duas configuraes de antenas utilizando a geometria

fractal de Sierpinski para operao multibanda. Na geometria adotada, com a gerao

sucessiva dos tringulos segundo ngulos previamente definidos, tem-se um espaamento

logartmico entre as frequncias de operao. Os projetos foram construdos com um laminado

de fibra de vidro FR4 e obtiveram-se desempenhos aceitveis, em termos de perda de retorno,

em diferentes faixas de frequncias. Sero apresentadas as simulaes e medies realizadas

dos prottipos construdos. So mostrados os parmetros das antenas referentes a largura de

faixa, diretividade, ganho, eficincia de irradiao e diagrama de irradiao.

Palavras-chave: Antenas de microfita, antenas multibandas, geometria fractal de Sierpinski.

xvi

Abstract

In this dissertation will be presented two configurations for antennas using a Sierpinski

fractal geometry for multiband operation. The adopted geometry, with the successive

generation of the triangles with predefined angle, it has a logarithmic spacing between the

operation frequencies. These projects were built with a fiber glass substrate FR4 and provide

acceptable performance in terms of return loss at different frequency bands. It is presented

simulations and measurements of the fabricated prototypes. Moreover, it is shown the antenna

parameters like bandwidth, directivity, gain, radiation efficiency and radiation pattern.

Keywords: Microstrip antennas, multiband antennas, Sierpinski fractal geometry.

1

Captulo 1

Introduo

1.1 Breve histrico

Em 1953, Deschamps apresentou o conceito de antenas de microfita, uma estrutura

compacta indicada para operaes em UHF e em microondas [1]. A proposta recebeu grande

ateno por permitir a construo de irradiadores simples, leves, de baixo custo, moldveis em

diferentes superfcies e fabricadas por tcnicas bem dominadas para produo de circuitos

impressos [2]. Um inconveniente relaciona-se sua pequena largura de faixa, entre 1% e 3%

da frequncia de projeto. Sistemas modernos de comunicao sem fio integram mltiplas

funes que ocupam diversas faixas de frequncias e tecnologias mais recentes como o rdio

cognitivo [3], demandam diferentes frequncias e exigem antenas adaptveis a essas novas

aplicaes. Neste cenrio, a utilizao de antenas multibandas uma possvel soluo. Entre

as diversas tcnicas propostas para a obteno de antenas multibandas, destacam-se as antenas

fractais que satisfazem determinados comportamentos em mltiplas faixas de frequncia.

Apesar da teoria dos fractais ter sido desenvolvida em 1965, suas aplicaes nos projetos de

antenas comearam em meados da dcada de 1980, partindo da criao de Nathan Cohen [4].

Em sua proposta, desenvolveu-se a teoria de antenas aplicada a estruturas que mantivessem

auto-semelhana em suas geometrias progressivas.

1.2 Motivao para o trabalho

Para alcanar a caracterstica de operao em mltiplas faixas de frequncia com a

utilizao de geometrias fractais, a estrutura que adota a geometria fractal de Sierpinski,

discutida neste trabalho. Para isto, ser estudado o uso dessa geometria impressa

paralelamente sobre o plano de terra em um substrato dieltrico FR4 de fabricao nacional

2

[5], em uma configurao semelhante s estruturas impressas convencionais, e verticalmente

sobre um plano de terra finito.

1.3 Descrio sumria do trabalho

O Captulo 2 apresenta algumas caractersticas e limitaes das antenas de microfita, sobre

uma nica camada dieltrica, de formato retangular e triangular como uma referncia para

comparar com o modelo construdo. No Captulo 3, estudam-se os fractais de Sierpinski, da

curva de Koch e do conjunto de Cantor com nfase nos conceitos de auto-similaridade, do

mtodo do sistema de funes iterativas utilizado no processo de construo e da definio de

dimenso fractal. O Captulo 4 apresenta os estudos para as antenas impressas paralelamente e

verticalmente sobre plano de terra finito utilizando um irradiador com geometria fractal do

tringulo de Sierpinski. So levantadas por meio de simulaes no programa HFSS da

ANSYS/ANSOFT as perdas de retorno, os diagramas de irradiao, os valores de diretividade,

ganho e eficincia de irradiao. Em seguida, os prottipos das antenas impressas

paralelamente e verticalmente sobre plano de terra utilizando a geometria fractal proposta so

construdos. Apresenta-se a instrumentao utilizada e os resultados experimentais para a

perda de retorno das duas configuraes, com o objetivo de confrontar os resultados

experimentais com os obtidos pelas simulaes. O ltimo captulo dedicado aos comentrios,

concluses e sugestes para trabalhos futuros.

3

Captulo 2

Antenas de microfita com geometrias euclidianas

2.1 Introduo

Antenas de microfita so construdas a partir de uma fina camada de metal sobreposta a um

material dieltrico de baixa perda que separa essa camada de um plano de terra [6]. Essa

lmina condutora, identificada como sendo o elemento irradiador, em geral projetada para

uma condio de ressonncia e pode ser de formato retangular, triangular, circular, com a

geometria de um dipolo, etc.. Em lugar de um nico elemento, pode ser construda tambm em

forma de um arranjo impresso de lminas ou dipolos com sistema de alimentao adequado s

caractersticas desejadas para o conjunto [7]. O formato da lmina condutora influencia na

distribuio de corrente em sua extenso e na distribuio do campo ao longo de toda a

estrutura. Para um irradiador retangular, por exemplo, o campo eltrico nulo no centro da

lmina condutora, mximo em uma das bordas e mnimo na outra. Por outro lado, a corrente

mxima no centro e mnimas nas extremidades do irradiador. Desta forma, tem-se que a

impedncia da antena mnima no centro e mxima nas bordas. Um exemplo dessa estrutura,

com elemento irradiador retangular, no evidenciando o sistema de alimentao, est

apresentado na Fig. 2.1. Seus parmetros geomtricos mais importantes so o comprimento, L,

a largura, w, e a espessura, t, da pelcula condutora. O plano de terra separado desta lmina

por um dieltrico de espessura h e permissividade relativa r. H diferentes tcnicas para a

alimentao, destacando-se a excitao por cabo coaxial, por linha de microfita ou por

acoplamento eletromagntico [8].

As antenas de microfita receberam grande ateno por serem simples, leves, de baixo custo,

podendo ser fabricadas por tcnicas utilizadas na fabricao de circuito impresso. Alm disto,

podem ser moldadas superfcie sobre a qual forem construdas [2]. Suas principais

4

desvantagens esto relacionadas com a largura de faixa, que fica em torno de 1% a 3% [8],

alm da baixa eficincia de irradiao, dependendo da espessura e do material utilizado. H

dieltricos que apresentam grandes tangentes de perda em micro-ondas que so responsveis

por significativa reduo na eficincia global da antena [9].

Figura 2.1. Antena de microfita utilizando elemento irradiador retangular. No est representado o processo

de alimentao, para o qual existem diferentes procedimentos.

Neste trabalho, a anlise das antenas de microfita ser feita por meio de simulao

empregando o programa HFSS

da empresa ANSYS [10]. Esse aplicativo utiliza a tcnica

numrica conhecida como Mtodo dos Elementos Finitos em que a estrutura subdividida em

pequenas partes compostas de tetraedros. A coleo de todos esses elementos constitui uma

malha. A soluo encontrada para os campos dentro dos elementos finitos, que esto

interligados de modo a satisfazerem as equaes de Maxwell e as condies de contorno nas

fronteiras entre eles. Com isto, obtm-se uma soluo aproximada de campo para toda a

estrutura original. Uma vez definidas as excitaes e as condies de contorno o programa

calcula o campo eltrico por

0

1 20

EkE r

r

(2.1)

onde r = /o a permeabilidade relativa, r = /o a permissividade relativa, k0 = /c o

nmero de onda para o espao livre, sendo c a velocidade da onda eletromagntica no vcuo.

Para achar o campo magntico, o programa aplica a lei de Faraday em sua forma diferencial

EH

1 (2.2)

Adotando este procedimento, os campos associados estrutura analisada e seus locais de

acesso, so descritos por uma matriz de elementos finitos, desenvolvida a partir de (2.1) e

5

(2.2). O mtodo identifica os valores dentro dos tetraedros e analisa a estrutura completa

verificando as condies em seus limites. O processo repetido vrias vezes, refinando a

estrutura da malha nas regies onde os erros na soluo do campo eltrico forem maiores. Os

erros so analisados de acordo com a alterao na distribuio de campo eltrico entre duas

solues sucessivas. Este processo ocorre at que os resultados convirjam para as condies

fixadas no incio da anlise, que levam em considerao o percentual de refinamento entre

cada iterao, a frequncia de operao estipulada, e o erro aceitvel na descrio dos campos,

geralmente da ordem de 0,01 0,03. Quanto maior for a exatido exigida, maior ser a

quantidade de iteraes necessrias no processo.

2.2 Ondas de superfcie

Sempre que o dieltrico da antena de microfita possuir permissividade relativa maior do

que a unidade (r > 1), situao absolutamente comum em vista de laminado com dieltrico

slido, haver excitao de ondas de superfcie. Essas ondas so guiadas na estrutura por

reflexo total na interface do substrato com o meio externo. Isto possvel se a incidncia

nesse contorno ocorrer com ngulo igual ou superior ao ngulo crtico. Portanto, implica em

transmisses com ngulo de elevao c que assume valores entre /2 e sen1

[(r)1/2

]. Ao

incidirem no plano de terra so refletidas at a interface entre o dieltrico e o ar, onde ocorre

tambm a reflexo total (Fig. 2.2). Esse processo repete-se at que a onda alcance o limite do

dispositivo e so difratadas em suas bordas. As ondas de superfcie decaem exponencialmente

e so responsveis por parte da perda de energia, reduzindo a eficincia da antena [11].

Figura 2.2. Propagao das ondas de superfcie no dieltrico, transmitida ao longo da estrutura e difratada

em suas bordas.

2.3 Influncias das propriedades do dieltrico

As caractersticas de uma antena de microfita esto relacionadas a diversos parmetros do

dieltrico, tais como a tangente de perdas, a permissividade relativa, sua variao com a

6

frequncia, etc.. A relao entre a permissividade relativa do dieltrico e a frequncia de

operao f0 pode ser expressa de maneira simplificada como [8]:

r

Mf

0 (2.3)

onde M uma constante arbitrria. Portanto, uma mudana na permissividade implica em

modificao na frequncia dada por:

r

r

r

rd

f

df

2

1

2

1

0

0 (2.4)

em que a ltima parcela vlida para pequenas alteraes na grandeza. Esta previso

importante pelo fato de o valor nominal da permissividade fornecida pelo fabricante no ser

acurado o suficiente para os requisitos de projeto. Isso acarreta, muitas vezes, na necessidade

de fabricao de um segundo prottipo para garantir a operao da antena na frequncia

desejada. O dieltrico tambm influencia na largura de faixa, que aumenta com a sua

espessura e com a diminuio de sua permissividade relativa [11]. Entretanto, esse aumento de

espessura acarreta em antenas com maiores dimenses.

Outra especificao j mencionada diz respeito s caractersticas de dissipao de potncia

no laminado. Quanto mais elevada for a tangente de perdas, maior ser essa dissipao no

dieltrico e menor a eficincia da antena. Existem dieltricos com permissividade relativa

situada entre os valores de 1,17 e 25, com tangente de perda especificada entre 0,0001 e 0,02

[12] [13] [14].

2.4 Tcnicas de excitao para antenas de microfita

As antenas de microfita podem ser excitadas por uma linha de microfita ou com a utilizao

de um cabo coaxial. Tambm pode ser excitada indiretamente utilizando tcnicas como o

acoplamento por proximidade ou o acoplamento de abertura [15]. Nestes dois ltimos casos

no h contato metlico entre a linha de excitao e a lmina condutora. Na excitao com

linha de microfita, esquematizada na Fig. 2.3, esta linha apresenta largura muito inferior ao da

lmina ativa da antena, no caso das estruturas tradicionais. Em conjunto com o plano de terra,

esta fita forma a regio de transmisso do sinal e deve ser convenientemente casada a fim de

se evitar a perda por reflexo.

7

Figura 2.3. Esquema bsico de excitao com linha de microfita. Em situaes prticas, h necessidade de

especificar o ponto de excitao e suas dimenses para o casamento de impedncia com a antena.

No clculo da sua impedncia caracterstica, considera-se a geometria da Fig. 2.4, sendo b a

largura da linha de microfita. Sua impedncia caracterstica pode ser alterada com o ajuste da

relao entre sua largura e a espessura do laminado. Trata-se de um dado relevante na escolha

do ponto de excitao para o casamento de impedncia com a antena.

Figura 2.4. Variveis envolvidas no clculo da impedncia caracterstica da linha de microfita.

Como o campo entre a linha de microfita e o plano de terra no est inteiramente contido

no dieltrico, esse meio de transmisso no homogneo. Dessa forma, o modo de

propagao ao longo da linha no exatamente TEM. Todavia, pode ser aproximado para esta

condio, desde que se utilize nos clculos um valor efetivo para a constante dieltrica,

determinado pela combinao entre o valor do substrato slido e a permissividade do ar [16].

Para uma relao b/h > 1, o valor deste parmetro obtido por [16]:

21121

2

1

2

1

b

hrref

(2.5)

Existem diversas frmulas empricas e deduzidas analiticamente para clculo da

impedncia caracterstica. Uma das que apresentam resultados confiveis para a relao b/h

entre 0,5 e 10 [16]:

444,1667,0393,1

1200

h

bn

h

bZ

ef

(2.6)

8

Para uma relao b/h < 1 a constante eltrica efetiva calculada por:

221

104,012

12

1

2

1

h

b

b

hrref

(2.7)

e outra expresso til para se chegar impedncia caracterstica da linha de microfita [16]:

h

b

b

hnZ

ef

25,0860

0

(2.8)

Na excitao por cabo coaxial, vista de topo e de perfil na Fig. 2.5, o condutor interno do

cabo conectado lmina condutora principal, enquanto que o condutor externo ligado ao

plano de terra. O casamento de impedncia pode ser obtido pela escolha adequada do ponto de

excitao na lmina condutora [17]. Entretanto, esse tipo de excitao acarreta em um maior

volume da estrutura e apresenta uma menor largura de faixa quando comparada por uma

excitao por linha de microfita. Para a situao onde se utiliza um dieltrico mais espesso que

os convencionais, a extenso do conector central fica maior, o que acentua o efeito indutivo

gerado pelo conector e dificulta o casamento de impedncia.

Figura 2.5. Esquema da excitao com cabo coaxial. A escolha do ponto de conexo depende do casamento

de impedncia exigido.

Na tcnica de acoplamento eletromagntico por proximidade, Fig. 2.6, uma linha de

microfita usada para a excitao da antena colocada entre duas camadas dieltricas: uma

camada fica entre a linha e o plano de terra e outra camada entre a linha e o elemento

irradiador. Essa tcnica possibilita maior largura de banda e seu casamento de impedncia

pode ser feito por meio de uma combinao conveniente entre a largura da fita e a espessura

do substrato [11].

9

Figura 2.6. Excitao por meio de acoplamento por proximidade.

A excitao utilizando o acoplamento por abertura, ilustrado na Fig. 2.7, a tcnica mais

complexas de se construir entre as citadas. Consiste de um plano de terra com uma pequena

abertura que separa dois dieltricos. Uma linha excita o elemento irradiador atravs da fenda

no plano de terra localizado entre os dois dieltricos. As caractersticas da fenda determinam a

eficcia do acoplamento entre a linha de microfita e o elemento principal. Geralmente a linha

de microfita centraliza em relao abertura, com essa fenda posicionada abaixo do centro

da lmina condutora, de modo a excitar o campo magntico do sistema irradiador. [11]. Uma

escolha conveniente da largura da microfita e das dimenses da fenda empregada na excitao

permite o casamento de impedncia [11].

Figura 2.7. Excitao atravs de acoplamento por abertura.

2.5 Antenas de microfita retangular

Ser considerado um elemento irradiador de formato retangular conforme apresentado na

Fig. 2.1, para ter uma referncia de desempenho e comparar com o modelo desenvolvido neste

trabalho. Em geral, a antena projeta para operar no modo TM10, dessa forma, a largura w

possui pouca influncia na frequncia de ressonncia, mas tem efeito significativo na

impedncia de entrada da antena. Uma medida conveniente leva em conta a mdia aritmtica

10

entre a constante dieltrica do substrato e do ar. Para este valor, considera-se que uma largura

w adequada seja igual a meio comprimento de onda na frequncia de ressonncia [18]. Ento,

tomando a velocidade da onda eletromagntica no vcuo, c, e a frequncia de ressonncia, fr,

este valor :

21

2

1

2

r

rf

cw

(2.9)

O comprimento L do elemento irradiador influencia na frequncia de operao. Por causa

de deformao no campo em suas extremidades, o primeiro passo obter um valor que seja

aproximadamente igual a meio comprimento de onda na condio de ressonncia e levando

em conta apenas a constante dieltrica do substrato. Portanto,

rrf

cL

2 (2.10)

O fator r em (2.10) seria vlido para as lminas condutoras do elemento irradiador e do

plano de terra muito grandes comparadas com a espessura do laminado. Devido ao acmulo de

cargas nas extremidades dos condutores, observa-se uma mudana na distribuio de campo

nessa regio, como apresentado na Fig. 2.8. Em geral, o campo no fica confinado lmina e

uma parte avana para fora das dimenses L e w. Grande parte da energia concentra-se no

dieltrico enquanto uma pequena parte propaga-se pelo ar. Esse fenmeno identificado como

franjas de campo ou franjamento de campo.

(a) (b)

Figura 2.8. (a) Acmulo de cargas nas extremidades das lminas condutoras. (b) Reorganizao do campo

guiado em funo da no-uniformidade na distribuio de cargas nos condutores.

Nas extremidades definidas pelo comprimento da lmina metlica, em ambas as franjas

identificam-se componentes longitudinais de campo eltrico no mesmo sentido, conforme

mostra a Fig. 2.9. Este fato equivalente a duas fendas excitadas por campos que contribuem

para a irradiao da onda eletromagntica. Como as excitaes nestas fendas so praticamente

em fase, resulta em uma rede transversal simples de dois elementos. Logo, o diagrama de

11

irradiao apresenta valor mximo na direo normal ao eixo desta rede, isto , perpendicular

ao plano da lmina condutora. Ilustram-se, tambm, as distribuies de campo na largura w

em toda a extenso da antena. Destacam-se as respectivas orientaes com objetivo de

comprovar que no tm influncias significativas na direo de mxima irradiao da

estrutura. Portanto, nas laterais da lmina metlica identificam-se fendas no-irradiantes.

Figura 2.9. Linhas de campo ao longo das bordas da microfita retangular.

Os efeitos das franjas de campo nas bordas so includos nos clculos da constante

dieltrica efetiva determinada por (2.5) e (2.7). As franjas de campo nas extremidades afetam

as dimenses da lmina condutora. Esse efeito pode ser descrito por um incremento l no

comprimento, dado por:

813,0258,0

264,0300,0

412,0

h

w

h

w

hL

ef

ef

(2.11)

que adicionado ao valor de L. Isto leva a um comprimento efetivo Lef, conforme apresentado

na Fig. 2.10, com o valor [11]

L

f

cL

efr

ef 22

(2.12)

Em virtude da necessidade desta correo, o comprimento fsico L da antena, inicialmente

dado por (2.10), passa a ser

L

f

cL

efr

22

(2.13)

12

Figura 2.10. Acrscimo no comprimento devido presena de fendas irradiantes nas extremidades da lmina

condutora sobre o substrato.

2.6. Informaes sobre a impedncia no ponto de excitao da antena

Para um modelo conforme apresentado na Fig. 2.9, a regio de irradiao pode ser vista

como uma fenda, semelhante de antenas de abertura, com distribuio de campo

praticamente uniforme. Dessa forma, necessrio estimar a admitncia da fenda, onde cada

fenda irradiante representada por uma admitncia equivalente em paralelo YL, composta por

uma condutncia G1 e susceptncia B1. Para obter a condutncia e a susceptncia da fenda

equivalente toma-se por referncia a Fig. 2.11, onde a irradiao ocorre a partir de uma fenda

de altura L e largura w, com uma distribuio de campo praticamente uniforme.

Figura 2.11. Fenda de largura w e extenso L muito pequena comparada com o comprimento de onda, de maneira que o campo fica distribudo quase uniformemente.

Para fendas muito estreitas, com L < 0,1, situao muito comum nas antenas de

microfita, conveniente calcular os valores da condutncia e da susceptncia com as seguintes

expresses [17]:

61

2

0

1muwG

(2.14)

mun

wB 2

21

0

1

(2.15)

13

onde

0

Lum

(2.16)

A fenda localizada no lado oposto ao ponto de excitao influencia a impedncia de entrada

da antena. Esse comportamento assemelha-se ao de uma linha de transmisso que possui como

carga a impedncia da fenda. De acordo com a teoria de linhas de transmisso sem perdas, a

admitncia a uma distncia dc da carga dada por [17]:

cL

cL

dtgYiY

dtgYiYYY

0

00 (2.17)

onde

11 BiGYL (2.18)

Embora esta expresso para a admitncia seja vlida de forma exata apenas para estruturas

sem perdas, possvel utiliz-la de maneira aproximada tendo em vista que nas proximidades

da antena a energia associada aos campos de induo muito grande comparada com a dos

campos de irradiao. Assim, a hiptese de uma estrutura quase ideal no introduz erros

apreciveis nos valores finais. Este clculo no leva em considerao o efeito de uma fenda

sobre a outra. De acordo com (2.17), existe uma distncia para a qual a admitncia de entrada

da linha formada pelo elemento irradiador apresenta a mesma parte real da admitncia da

fenda e parte imaginria simtrica. Dessa forma, impe-se:

))(

)(

110

011

011LtgBiGiY

LtgYBiGYiBG (2.19)

Por meio de (2.19) e utilizando a susceptncia normalizada da primeira fenda em relao

admitncia caracterstica como:

0

1

Y

BBn (2.20)

encontra-se a expresso para o comprimento da microfita que torna a impedncia real em sua

entrada, dada por [17]

1

2

2

n

n

B

BLtg (2.21)

14

Para a antena excitada conforme a Fig. 2.5 e modelada na forma de uma linha de

transmisso equivalente conforme a Fig. 2.12, a impedncia no ponto de excitao resulta dos

valores combinados das duas fendas. O efeito de uma das fendas transformado de acordo

com o trecho dc, sendo que a outra sofre a influncia de uma distncia que equivale diferena

entre o comprimento total e o trecho dc. Como seus efeitos em um mesmo ponto estaro em

paralelo, conveniente trabalhar com as admitncias para encontrar impedncia total. Dessa

forma, a admitncia resultante [17]

)(

)(

10

01

10

010

c

c

c

cen

dLtgYiY

dLtgYiY

dtgYiY

dtgYiYYY (2.22)

Esta equao permite obter um comprimento onde as susceptncias das fendas tenham

valores simtricos e a impedncia de entrada fique puramente real. Utilizando-a, determina-se,

tambm, a parte real da impedncia de entrada em funo da distncia da borda da antena e os

possveis comprimentos que possibilitem uma impedncia prxima de 50Este valor

conveniente para as operaes em micro-ondas, pois a maioria dos equipamentos calibrada

para esta impedncia de referncia.

Figura 2.12. Modelo da antena de microfita na forma de uma linha de transmisso equivalente.

2.7. Resultados tericos para irradiador retangular

Conforme apresentado, a dimenso L controla a frequncia de operao enquanto w age de

forma mais significativa sobre a impedncia de entrada da antena. Para ter uma referncia do

comportamento da antena de formato retangular, empregaram-se as equaes (2.11), (2.13) e

(2.15) para uma frequncia de 2,4GHz e obtiveram-se w = 3,765cm e L = 2,88cm. Estes

valores foram encontrados para a antena desenvolvida em um substrato dieltrico FR4, com

espessura h = 1,524mm, r = 4,4 e tg Em funo do estudo relativo impedncia de

entrada, a antena deve ser excitada por um cabo coaxial a uma distncia de 7,075mm de sua

borda. A antena foi excitada no HFSS utilizado uma Wave Port com a mesma seo reta e

15

raio idntico ao utilizado para modelar o conector externo do cabo coaxial, de modo que o

campo se propague pelo cabo coaxial a partir da porta de excitao [10]. A Fig. 2.13 apresenta

as dimenses finais e sua representao no programa HFSS

.

(a) (b)

Figura 2.13. . (a) Dimenses da microfita retangular para operao em 2,4GHz e (b) sua respectiva


.

Um dos fatores limitantes para a operao das antenas em geral a eficincia na

transferncia de potncia entre a estrutura de excitao e a estrutura irradiante. comum

adotar um critrio onde, na pior situao, cerca de 90% da potncia seja transferida para a

antena. Para isso, foram levantados os coeficientes de reflexo, parmetro S11, que d

informaes sobre a perda de retorno. No limite mencionado, a largura de faixa til implica

em aceitar || dB, onde || indica a magnitude do coeficiente de reflexo entre a

impedncia de entrada da antena e a impedncia caracterstica da estrutura de alimentao. A

Fig. 2.14 apresenta a perda de retorno para as dimenses especificadas para a antena.

1.90 2.10 2.30 2.50 2.70 2.90Freq [GHz]

-35.00

-30.00

-25.00

-20.00

-15.00

-10.00

-5.00

0.00

S1

1 [d

B]

MY

1: -9

.50

00

Figura 2.14. Perda de retorno para microfita retangular com as dimenses especificadas.

16

A Fig. 2.15 apresenta o traado da impedncia de entrada na carta de Smith normalizada

em relao a uma impedncia caracterstica de 50. Percebem-se ressonncias nos pontos

onde a curva intercepta o eixo real e, consequentemente, a reatncia vale zero. Na ressonncia

no lado esquerdo da carta, a impedncia de entrada de aproximadamente 48, e consegue-se

o melhor casamento por estar mais prximo do centro da carta.

5.002.001.000.500.200.00

5.00

-5.00

2.00

-2.00

1.00

-1.00

0.50

-0.50

0.20

-0.20

0.000

10

20

30

40

50

60

708090100

110

120

130

140

150

160

170

180

-170

-160

-150

-140

-130

-120

-110-100 -90 -80

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

P

Name Freq Ang Mag RX

P 2.3990 175.1881 0.0166 0.9675 + 0.0027i

Figura 2.15. Impedncia de entrada na carta de Smith para a microfita retangular normalizada em relao

impedncia de 50.

Na Fig. 2.16 so apresentados os diagramas de irradiao em coordenadas polares no plano

do campo eltrico e no plano do campo magntico. Para a microfita retangular, o mximo do

diagrama de irradiao ocorre na direo normal ao plano de terra. Como esse plano no

infinito, parte do campo sofre difrao nas bordas do substrato. Essa representao informa a

distribuio de energia de forma mais prxima daquela observada em condies reais, porm,

pode apresentar dificuldades para obteno de informaes como a largura de feixe de meia

potncia. Dessa forma, a Fig. 2.17 e Fig. 2.18 apresentam os diagramas de irradiao em

coordenadas retangulares no plano do campo eltrico e no plano do campo magntico,

respectivamente, bem como os pontos onde a densidade de potncia cai de 3dB em relao ao

valor mximo do lobo principal. Analisando a Fig. 2.17 encontra-se que a abertura de feixe no

plano do campo eltrico ab=86 e, da Fig. 2.18 encontra-se que a abertura de feixe no plano

do campo magntico ab=74. De posse desses valores, e utilizando a frmula para o clculo

17

da diretividade aproximada de Kraus, vlida para situaes com lobo principal bem definido e

lobos secundrios de pequenas amplitudes, dada por [17]:

abab

D

41253

(2.23)

encontra-se D = 6,48 ou 8,11dB. Com a integrao numrica prpria do programa, que

relaciona a densidade de potncia em uma direo arbitrria e a densidade de potncia mdia

sobre todas as direes, a microfita apresenta diretividade de 7,33dB na frequncia de

operao. As diferenas encontradas justificam-se pelo fato da frmula de Kraus considerar

um diagrama aproximado enquanto o programa computacional considera um diagrama mais

prximo daquele obtido em situaes reais. Para uma antena sem perdas, a diretividade ser

igual ao ganho. No entanto, se a antena tem perdas inerentes, a diretividade est relacionada

com o ganho de acordo com a eficincia de irradiao. O ganho G0 da microfita retangular,

calculado com a isotrpica como antena de referncia de 4,11dBi. Dessa forma a eficincia

de irradiao da antena foi de 47,66% utilizando o ganho e a diretividade obtidas no programa

de simulao. Este resultado aceitvel para o material do substrato, com a espessura e a

tangente de perdas especificadas na anlise [9]. A Tabela 2.1 apresenta um resumo das

principais caractersticas para a antena de microfita analisada, demonstrando que a mesma

atingiu o rendimento tpico para antenas de microfita corretamente projetadas [11].

-24.00

-18.00

-12.00

-6.00

90

60

30

0

-30

-60

-90

-120

-150

-180

150

120

-20.00

-15.00

-10.00

-5.00

90

60

30

0

-30

-60

-90

-120

-150

-180

150

120

(a) (b)

Figura 2.16. Diagramas de irradiao em coordenadas polares da microfita retangular com plano de terra

finito, operando em 2,4GHz no plano do campo eltrico (a) e no plano do campo magntico (b).

18

-200.00 -150.00 -100.00 -50.00 0.00 50.00 100.00 150.00 200.00Theta [deg]

-30.00

-25.00

-20.00

-15.00

-10.00

-5.00

0.00

Ca

mp

o N

orm

aliza

do

[d

B]

MY

1: -3

.00

00

m2 m3Name X Y

m1 -2.0000 0.0000

m2 -45.0000 -2.9809

m3 41.0000 -3.0189

Figura 2.17. Diagrama de irradiao em coordenadas retangulares da microfita retangular com plano de

terra finito, operando em 2,4GHz no plano do campo eltrico.

-200.00 -150.00 -100.00 -50.00 0.00 50.00 100.00 150.00 200.00Theta [deg]

-25.00

-20.00

-15.00

-10.00

-5.00

0.00

Ca

mp

o N

orm

aliza

do

[d

B]

m2 m3

MY

1: -3

.00

00

Name X Y

m1 0.0000 0.0000

m2 -37.0000 -2.9849

m3 37.0000 -3.0045

Figura 2.18. Diagrama de irradiao em coordenadas retangulares da microfita retangular com plano de

terra finito, operando em 2,4 GHz no plano do campo magntico.

TABELA 2.1

RESUMO DAS PRINCIPAIS CARACTERSTICAS PARA A ANTENA DE MICROFITA RETANGULAR OPERANDO EM 2,4GHZ.

Parmetro da antena Valor simulado

Largura de faixa 2,65%

Diretividade 7,33 dB

Ganho 4,11dBi

Eficincia de irradiao 47,66%

19

2.8. Antenas de microfita triangular

As lminas condutoras de microfitas triangulares possuem caractersticas de irradiao

semelhantes s de microfitas retangulares, porm com menores dimenses. O projeto mais

simples para esta antena inclui uma lmina condutora triangular equiltera separada de um

plano de terra por um dieltrico com permissividade relativa r. Essa lmina alimentada por

um cabo coaxial em um ponto localizado a uma distncia d como na Fig. 2.19 [19].

Figura 2.19. Antena de microfita triangular equiltera alimentada por cabo coaxial.

Os estudos para um guia de onda triangular equiltero com paredes eltricas perfeitas tem

sido abordado h vrias dcadas, a partir dos trabalhos pioneiros de Schelkunoff [20] e

Akaiwa [21]. Aplicando o princpio da dualidade, as distribuies de campo para os modos

TM com paredes magnticas perfeitas so semelhantes para os modos TE com paredes

eltricas perfeitas. Para a situao onde o campo magntico da onda est no plano transversal

direo resultante de propagao e, adotando-se a direo z como sendo essa resultante de

propagao, tem-se Ez 0 e Hz = 0. As leis de Faraday e de Ampre para variaes harmnicas

no tempo, em um meio dieltrico so dadas por

HiE

(2.24)

EiH

(2.25)

conveniente descrever as componentes transversais do campo guiado em funo das

componentes longitudinais e, dessa forma, em coordenadas retangulares, o movimento na

direo z implica em

20

zzyx ezEyExEE

)(

(2.26)

zzyx ezHyHxHH

)(

(2.27)

Dessa forma, substituindo estes dois campos nas leis de Faraday e de Ampre,

desenvolvem-se os rotacionais e igualam-se as correspondentes componentes de forma a

obterem-se as seguintes equaes

y

HHEi zyx

(2.28)

x

HHEi zxy

(2.29)

y

H

x

HEi x

y

z

(2.30)

y

EEHi zyx

(2.31)

x

EEHi zxy

(2.32)

y

E

x

EHi x

y

z

(2.33)

Neste momento, conveniente definir os modos de propagao que descrevem as

componentes nas direes x e y em funo das componentes na direo z, Ez e Hz. Isto

facilitar a anlise e a interpretao dos campos ao longo da estrutura. Nos modos TMmn

referido coordenada z, tem-se Hz = 0 e desaparecem os termos envolvendo as

correspondentes derivadas em relao s coordenadas transversais. Por outro lado, parte-se da

premissa que a espessura do laminado seja muito pequena comparada com o comprimento de

onda. Desta maneira, o campo resultante fica praticamente uniforme entre as duas camadas

metlicas ao longo da coordenada y, embora seja varivel segundo x. Portanto, no aparece a

componente de campo eltrico na direo y e impe que Ey = 0. Portanto, de (2.31) tira-se a

componente Hx:

y

EiH zx

(2.34)

Da mesma forma, devido pequena espessura do dieltrico, admite-se que entre as lminas

Ex = 0 e de (2.32) obtm-se a componente Hy:

21

x

EiH zy

(2.35)

Estes resultados so substitudos em (2.30) para se obter uma expresso geral da

componente Ez e resultam na sequncia que leva equao de onda para a componente

longitudinal do campo eltrico:

y

E

iyx

E

ixEi zzz

11

2

2

2

22

y

E

x

EE zzz

02

2

2

2

2

zmn

zz Eky

E

x

E (2.36)

Nesta ltima expresso, considerou-se o autovalor da equao de onda como sendo

22mnk (2.37)

Para a equao de onda dada em (2.36) a soluo pode ser descrita como

yxAE mnlz , (2.38)

onde A a amplitude determinada pela excitao e mnl (x,y) a autofuno que verifica a

equao de onda original. Para descrev-la, conveniente que se adote o centroide do

tringulo coincidente com a origem do sistema de coordenadas. Isto exige que a definio de

uma nova varivel [11]:

3'

axx (2.39)

Ao se coincidir o centroide com a origem do sistema de coordenadas, so introduzidos trs

vetores unitrios normais aos lados do tringulo orientados do centro aos vrtices. Dessa

forma a autofuno fica descrita como [11]

a

ylnm

a

x

a

ynml

a

xyxmnl

3

2cos

3

'2cos

3

2cos

3

'2cos,

a

ymln

a

x

3

2cos

3

'2cos (2.40)

22

onde m, n e l so valores inteiros, no nulos simultaneamente. Como foi estabelecida nova

origem do sistema de referncias no centro do tringulo, obedecendo a relaes semelhantes

(2.39), a descrio dos modos neste novo referencial exige que seja satisfeita a seguinte

condio [11]

0 lnm (2.41)

Para que esta expresso seja verificada, os campos modais delas obtidos devem satisfazer a

equao de onda (2.36). Para isto, h necessidade de se obterem as derivadas de segunda

ordem de Ez em relao s coordenadas x e y. Efetuando estas operaes, chega-se s

expresses:

a

ynml

a

x

a

lA

x

Ez

3

2cos

3

'2cos

23

4 22

2

2

y

a

lnm

a

x

a

m

3

2cos

3

'2cos

3

42

22

y

a

mln

a

x

a

n

3

2cos

3

'2cos

3

42

22

(2.42)

a

ynml

a

x

a

nmA

y

Ez

3

2cos

3

'2cos

29

422

2

2

y

a

lnm

a

x

a

ln

3

2cos

3

'2cos

29

422

y

a

mln

a

x

a

ml

3

2cos

3

'2cos

29

422

(2.43)

Para tornar o sistema de equaes mais compacto, sero introduzidas as definies:

1

3

2cos

3

'2cos

a

ynml

a

x (2.44)

2

3

2cos

3

'2cos

y

a

lnm

a

x (2.45)

3

3

2cos

3

'2cos

y

a

mln

a

x (2.46)

Aplicando estes resultados na equao de onda (2.36), tm-se:

23

1

222

2

2

2

2

2

2

239

4

nmnml

aA

y

E

x

E zz

3

222

2

2

2

222

2

2

239

423

9

4 mmlln

alnlnm

a (2.47)

1

222

2

2

321

2 239

4 nmnml

aAkmn

3

222

2

2

2

222

2

2

239

423

9

4 mmlln

alnlnm

a (2.48)

A partir destas relaes, chega-se expresso final para o autovalor da equao de onda:

222

2

22 23

9

4nmnml

akmn 2222

2

239

4lnlnm

a

222

2

2

239

4mmlln

a (2.49)

Partindo de (2.41) tira-se que l = m+n). A substituio do valor de l nas igualdades em

(2.49) conduzem ao valor final de kmn, que determinar as possveis frequncias de

ressonncia de acordo com o correspondente modo de operao:

22

3

4nmnm

akmn (2.50)

2.8.1 Frequncia de ressonncia

A frequncia de ressonncia do dispositivo aquela para a qual o fator de fase coincide

com o autovalor da equao de onda no modo considerado. Portanto, escreve-e que

oo rrmnk . Relacionando as propriedades eletromagnticas com a velocidade da onda

no espao livre, tem-se cfck rrrrmn 2 Portanto, a frequncia de ressonncia

para o modo [11]

22

3

2

2nmnm

a

ckcf

rr

mnr

(2.51)

Para uma situao que leve em conta os efeitos de as paredes magnticas serem imperfeitas,

o lado a em (2.51) deve ser substitudo por um valor efetivo diferente de sua medida

geomtrica. Recomenda-se que [22]

24

r

ef

haa

(2.52)

Esta sugesto leva a uma melhor exatido nos resultados experimentais, quando

comparados com a considerao sobre a permissividade efetiva no clculo do lado do

tringulo [23]. Desta forma, a frequncia de ressonncia para um irradiador triangular

delimitado por uma parede magntica imperfeita fica melhor avaliada por

22

3

2nmnm

a

cf

ref

r

(2.53)

Aps simples operaes algbricas em (2.53) e utilizando (2.52), obtm-se uma expresso

para o lado do irradiador triangular equiltero em funo da frequncia de ressonncia e dos

parmetros h e r do dieltrico, para o modo dominante. Tem-se:

rrr

h

f

ca

3

2 (2.54)

2.9. Resultados tericos para irradiador triangular

Para o estudo da antena de microfita triangular, foi calculado inicialmente um irradiador

com dimenses obtidas utilizando (2.54). Em seguida, esse irradiador aprimorado atravs do

programa HFSS

de forma que as dimenses finais sejam as especificadas na Fig. 2.20. O

substrato dieltrico utilizado foi o FR4, com espessura h = 1,524mm, r = 4,4 e

tgPara determinar o ponto de excitao, inicialmente realizou-se o estudo relativo

impedncia de entrada conforme apresentado anteriormente. Em seguida esse ponto

aprimorado no programa HFSS

resultando em uma excitao por um cabo coaxial a uma

distncia de 5,73mm da borda da antena. A Fig. 2.20 apresenta as dimenses finais da antena

juntamente com sua montagem no HFSS

. A perda de retorno calculada para a microfita

triangular apresentado na Fig. 2.21. Para perdas de retorno menores ou iguais a 9,5dB, a

largura de faixa da antena foi de 48,5MHz, o que corresponde a 2% em torno de 2,4GHz. O

comportamento da impedncia de entrada na carta de Smith apresentado na Fig. 2.22, O

valor encontrado na ressonncia, mais prximo do centro da carta, que onde se consegue

melhor casamento de aproximadamente 53

25

(a) (b)

Figura 2.20. (a) Dimenses da antena de microfita triangular para operao em 2,4GHz e (b) sua respectiva


.

1.90 2.10 2.30 2.50 2.70 2.90Freq [GHz]

-30.00

-25.00

-20.00

-15.00

-10.00

-5.00

0.00

S1

1 [d

B]

MY

1: -9

.50

00

Figura 2.21. Perda de retorno em dB da antena de microfita triangular para excitao com cabo de 50.

5.002.001.000.500.200.00

5.00

-5.00

2.00

-2.00

1.00

-1.00

0.50

-0.50

0.20

-0.20

0.000

10

20

30

40

50

60

708090100

110

120

130

140

150

160

170

180

-170

-160

-150

-140

-130

-120

-110-100 -90 -80

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

P

Name Freq Ang Mag RX

P 2.3990 -13.3180 0.0300 1.0600 - 0.0147i

Figura 2.22. Impedncia de entrada na carta de Smith para a microfita triangular normalizada em relao

impedncia de 50.

26

Como na microfita retangular, o mximo do diagrama de irradiao ocorre na direo

normal ao plano da antena. Por causa das extenses finitas do plano de terra, parte do campo

sofre difrao em suas bordas e parte da energia transferida para a parte inferior da antena.

Na Fig. 2.23 so apresentados os diagramas de irradiao em coordenadas polares para os

planos paralelos ao campo eltrico e ao campo magntico da onda irradiada. As Figs. 2.24 e

2.25 apresentam, respectivamente, os diagramas normalizados de campo em coordenadas

retangulares nos mesmos planos. Da Fig. 2.24, encontra-se a abertura de feixe no plano do

campo eltrico com o valor ab = 88 e da Fig. 2.25 encontra-se a abertura ab = 78 no plano

do campo magntico. De posse desses valores, e utilizando a frmula aproximada para o

clculo da diretividade aproximada dada por (2.23), encontra-se D = 6,01 ou 7,79dB. Existem

outras expresses aproximadas vlidas para pequenos lobos secundrios e predominncia de

irradiao em um lobo principal bem definido [15]. Com a integrao numrica do programa a

antena apresenta diretividade de 7,02dB na frequncia de operao. A diferena entre estes

valores se deve pelos mesmos motivos apresentados no estudo da microfita retangular. Como

ocorreu na antena retangular, para o laminado FR4 com a tangente de perda especificada, tem-

se uma pequena eficincia de irradiao. Por isto, o ganho G0 calculado com a isotrpica como

antena de referncia, de 2,49dBi, o que implica em eficincia da ordem de 35%. Valem as

observaes j fixadas para o modelo retangular [9]. A Tabela 2.2 apresenta um resumo das

principais caractersticas para a antena triangular analisada. Nota-se que os resultados so

condizentes com os valores tpicos para antenas de microfita corretamente projetadas [11].

-20.00

-15.00

-10.00

-5.00

90

60

30

0

-30

-60

-90

-120

-150

-180

150

120

-20.00

-15.00

-10.00

-5.00

90

60

30

0

-30

-60

-90

-120

-150

-180

150

120

(a) (b)

Figura 2.23. Diagramas de irradiao em coordenadas polares de a microfita triangular com plano de terra

finito, operando em 2,4 GHz no plano do campo eltrico (a) e no plano do campo magntico (b).

27

-200.00 -150.00 -100.00 -50.00 0.00 50.00 100.00 150.00 200.00Theta [deg]

-25.00

-20.00

-15.00

-10.00

-5.00

0.00

Ca

mp

o N

orm

aliza

do

[d

B]

MY

1: -3

.00

00

m2 m3

Name X Y

m1 6.0000 0.0000

m2 -38.0000 -3.0271

m3 50.0000 -3.0358

Figura 2.24. Diagrama de irradiao em coordenadas retangulares de a microfita triangular com plano de

terra finito, operando em 2,4 GHz no plano do campo eltrico.

-200.00 -150.00 -100.00 -50.00 0.00 50.00 100.00 150.00 200.00Theta [deg]

-22.50

-20.00

-17.50

-15.00

-12.50

-10.00

-7.50

-5.00

-2.50

0.00

Ca

mp

o N

orm

aliza

do

[d

B]

MY

1: -3

.00

00

m2 m3

Name X Y

m1 0.0000 0.0000

m2 -39.0000 -3.0227

m3 39.0000 -3.0410

Figura 2.25. Diagrama de irradiao em coordenadas retangulares de a microfita triangular com plano de

terra finito, operando em 2,4 GHz no plano do campo magntico.

TABELA 2.2

RESUMO DAS PRINCIPAIS CARACTERSTICAS PARA A ANTENA DE MICROFITA TRIANGULAR OPERANDO EM 2,4 GHZ.

Parmetro da antena Valor simulado

Largura de faixa 2,02%

Diretividade 7,0163dB

Ganho 2,4888dBi

Eficincia de irradiao 35,258%

28

2.10. Comentrios do captulo

Neste captulo, foram apresentadas caractersticas das antenas de microfita, com estudos,

simulaes e resultados tericos para o elemento emissor nos formatos retangular e triangular.

Os modelos foram propostos para um laminado com propriedades eletromagnticas e

geomtricas previamente estabelecidas. Apesar de a antena triangular apresentar

funcionamento semelhante retangular, ela tem desempenho inferior no que diz respeito

largura de faixa, ao ganho e eficincia de irradiao. A antena triangular apresentou largura

de faixa da ordem de 48,5MHz ou 2% em relao frequncia central de 2,4GHz, enquanto

retangular apresentou 63,6MHz que corresponde a 2,65%. Apesar de apresentarem

diretividade semelhantes, em torno de 7dB, h uma diferena significativa em seus ganhos.

Para a antena retangular foi de 4,1dBi enquanto que o ganho da antena triangular foi de

2,49dBi, justificado, principalmente, pelas menores dimenses da microfita triangular e pela

significativa influncia da tangente de perda do laminado em relao sua constante

dieltrica.

29

Captulo 3

Geometrias fractais

3.1 Introduo

Benoit Mandelbrot (1924-2010) [24], matemtico francs nascido na Polnia, introduziu o

termo fractal, que significa fragmento irregular ou quebrado. Utilizou-o para descrever uma

famlia de formas complexas que possuem uma auto-similaridade em sua estrutura geomtrica,

resultante de uma repetio significativa, teoricamente tendendo para o infinito. Em seu

aspecto macroscpico, assume um formato semelhante ao das clulas do processo. Portanto, a

auto-similaridade identificada pela repetio de uma figura ou contorno em diferentes

escalas que obedecem a um procedimento recursivo. Esse procedimento aplicado

indefinidamente, de forma que quanto maior o nmero de iteraes, mais detalhado ser o

fractal.

Outra propriedade importante a dimenso de um fractal, a qual pode assumir valores

fracionrios que representam o nvel de irregularidade e o grau de ocupao da estrutura no

espao que a contm [24]. Para representar a dimenso de um fractal, Mandelbrot utilizou a

proposta do matemtico alemo Felix Hausdorff (1868-1942) [25]. Para descrever essa

dimenso, parte-se de uma reta de comprimento Lr. Essa reta ser dividida em vrias partes

iguais, de maneira que, aps a diviso, existiro diversas cpias da reta original. Cada cpia

ter um comprimento Lu que corresponde a uma reduo de 1/r da estrutura original.

Sobrepondo as diversas cpias de Lr sobre a mesma, de forma a revesti-la totalmente,

encontra-se um valor nc = (Lr / Lu) que indica o nmero de cpias que cobrem a estrutura

original. Da mesma forma, ao sobrepor um quadrado de lado Lr com diversos quadrados em

escalas reduzidas de lado Lu, tem-se uma relao do tipo nc = (Lr / Lu)2. Esse processo repetido

para outras situaes leva a uma relao do tipo nc = fD

ur LL . A razo Lr / Lu pode ser

30

substituda pelo fator fD, para representar a relao entre as dimenses da estrutura original e

de suas cpias. Aplicando o logartmico em ambos os lados da equao, encontra-se a

dimenso de Hausdorff [25]:

Dc

ff

nD

log

log (3.1)

que representa o nvel de irregularidade e o grau de ocupao da estrutura no espao que a

contm.

Na Fig. 3.1, apresentam-se algumas geometrias fractais conhecidas. Na parte (a),

apresentado o tringulo de Sierpinski, descrito pela primeira vez pelo matemtico polons

Waclaw Sierpinski (1882-1969). Essa estrutura formada por tringulos sequencialmente

menores que so cpias idnticas da geometria original. Seu processo de construo consiste

na remoo de um tringulo central que possui vrtices localizados nos pontos mdios dos

lados do tringulo gerador. Aps a subtrao do tringulo central, resultam trs tringulos

iguais, cada um com metade do tamanho do gerador [26]. Waclaw Sierpinski tambm

descreveu o que se chamou tapete de Sierpinski, parte (b) da figura, que possui processo de

construo semelhante ao tringulo. Para sua formao, um quadrado preenchido dividido

em nove quadrados iguais removendo-se o quadrado central. Cada um fica reduzido de 1/3 em

relao ao quadrado gerador [27].

A curva de Koch, ilustrada na parte (c) da Fig. 3.1, foi apresentada pela primeira vez em

um trabalho do matemtico sueco Helge Von Koch (1870-1924) e formada por um segmento

de reta dividida em trs partes iguais. O segmento mdio forma um tringulo equiltero sem a

base, de modo que a figura possua quatro segmentos de comprimentos iguais [27] [28].

Tem-se, ainda, o conjunto de Cantor, parte (d) da figura, apresentado pelo matemtico

russo de origem alem Georg Cantor (1845-1918), pode ser descrito a partir de um retngulo

ou segmento de reta. A cada iterao, fica dividida em trs partes iguais, removendo-se o tero

central da estrutura e o processo repetido indefinidamente. Se a geometria geradora for um

retngulo tem-se o fractal denominado de pente de Cantor. Caso o gerador seja um segmento

de reta, o fractal denominado de poeira de Cantor em funo da fragmentao muito

reduzida em seus estgios finais. A figura final resultado do empilhamento das formas

obtidas a cada iterao [27] [28].

31

Entre os diversos estudos realizados nos diferentes ramos de pesquisa utilizando o conceito

de fractal, destaca-se a rea concentrada na teoria e no projeto de antenas fractais. A idia

bsica que, com a repetio da geometria, fosse possvel a recorrncia de determinadas

propriedades das antenas em dimenses progressivamente menores. Assim, seria possvel o

desenvolvimento de dispositivos que pudessem operar em faixa larga ou em faixas bem

definidas de frequncias [29].

(a) (b) (c) (d)

Figura 3.1. Exemplo de geometrias fractais. (a) Tringulo de Sierpinski. (b) Tapete de Sierpinski. (c) Linha

quebrada de Koch. (d) Um tipo de conjunto denominado pente de Cantor.

3.1.1 Sistema de funes iterativas

Existem diversos mtodos para a gerao de um fractal. Entre os mais conhecidos e

utilizados tem-se o sistema de funes iterativas. A tcnica baseia-se na utilizao de uma

srie de transformaes afins, que incluem rotao e deslocamento de coordenadas, definidas

por [29]

f

e

y

x

rr

rr

y

xwn

rr

rr

cossen

sencos (3.2)

onde r o fator de escala, e e f so os deslocamentos envolvidas no processo e r o ngulo de

rotao. No processo de deslocamento adotado um novo par de eixos paralelos aos originais

(Fig. 3.2). As coordenadas de um ponto P nos dois sistemas so relacionadas por:

fyy

exx

'

' (3.3)

No processo de rotao, tm-se dois sistemas de eixos com mesma origem, porm um eixo

est deslocado em relao ao outro por um ngulo r (Fig. 3.3). A relao entre as coordenadas

de um ponto P nos dois sistemas :

'

'

cossen

sencos

rr

rr

y

x

y

x (3.4)

32

Figura 3.2. Representao do processo de deslocamento de eixos coordenados envolvidos no sistema de

funes iterativas.

Figura 3.3. Representao do processo de rotao dos eixos coordenados envolvidos no sistema de funes

iterativas.

Considere uma geometria A0 que represente um formato arbitrrio e um conjunto de

transformaes afins w1, w2,, wn, como, por exemplo, a representada na equao anterior.

Pela unio dessas transformaes sofridas por A0, cria-se uma nova figura. Essa unio

representada por [29]:

N

n

nh AwAW1

00 )(

(3.5)

onde Wh conhecido como operador de Hutchison. O fractal obtido com repetidas

aplicaes de Wh geometria anterior. Se A0 representar a geometria geradora, o processo

iterativo produz uma sequncia destes operadores que convergem para a geometria fractal

ideal. Quando o processo for interrompido em determinada iterao k, a figura gerada um

pr-fractal de ordem k.

3.2 Tringulo de Sierpinski

Um dos fractais mais utilizados em projetos de antenas so os tringulos de Sierpinski. A

Fig. 3.4 mostra as etapas de construo para a primeira iterao deste tringulo com o sistema

de funes iterativas. O tringulo equiltero gerador A0 possui o canto inferior esquerdo

33

localizado na origem do plano cartesiano, com o eixo das abscissas passando em sua base. So

aplicadas trs transformaes afins dadas por:

0

0

210

0211

y

x

y

xw (3.6)

0

21

210

0212

y

x

y

xw (3.7)

43

41

210

0213

y

x

y

xw (3.8)

ao tringulo gerador, de onde se formam trs novos tringulos em escalas diferentes e

trasladados [26] [27].

A primeira transformao reduz pela metade as dimenses do tringulo original. A

segunda, alm de reduzir as dimenses do gerador pela metade, translada a figura gerada de

uma distncia equivalente metade da base do gerador, no sentido positivo do eixo das

abscissas. A terceira reduz as dimenses, translada o novo tringulo em relao ao eixo das

abscissas de 1/4 da base do tringulo gerador. Em relao ao eixo das ordenadas, essa

translao equivale metade da altura do tringulo original. As transformaes afins so,

ento, combinadas de modo a formar a primeira iterao do tringulo de Sierpinski A1. A

segunda iterao obtida aplicando-se as mesmas transformaes afins w1, w2 e w3

geometria A1 resultante da primeira. A cada nova iterao, esse processo repete-se dando

origem a novas geometrias. Repetindo-se o procedimento indefinidamente, chega-se ao

tringulo de Sierpinski ideal. A Fig. 3.5 apresenta os resultantes desse processo at a 3 ordem.

Percebe-se que na primeira iterao tm-se trs tringulos equilteros, nove na segunda

iterao e vinte e sete na terceira. Por inferncia, conclui-se que o nmero de cpias do

gerador nt resultantes a cada iterao dado por:

ktn 3 (3.9)

onde k a ordem da iterao. Esta estrutura auto-similar possui trs cpias da figura original

com dimenses reduzidas pela metade a cada iterao. Assim, a dimenso de Hausdorff para o

tringulo de Sierpinski, prevista em (3.1), vale:

585,1

2log

3logfD (3.10)

34

Para aplicaes na construo de antenas, os tringulos pretos representam os condutores

metlicos e os brancos indicam a regio de onde o metal foi removido em cada iterao [29].

Figura 3.4. Mtodo de construo do tringulo de Sierpinski pelo sistema de funes iterativas.

Figura 3.5. Geometria geradora e as primeiras trs iteraes do Tringulo de Sierpinski.

3.3 Tapete de Sierpinski

Conforme mencionado, Sierpinski tambm descreveu a figura identificada como tapete,

cujo processo de construo assemelha-se ao do tringulo, embora possua um quadrado

preenchido como geometria geradora. Essa figura dividida em nove partes iguais, cada uma

com 1/3 das dimenses do original, removendo-se o quadrado central [27]. A Fig. 3.6

apresenta a geometria geradora e as suas trs primeiras iteraes. Na primeira iterao, tem-se

a presena de oitos quadrados, sessenta e quatro na segunda e quinhentos e doze na terceira.

Conclui-se que o nmero de cpias do gerador nq resultantes a cada iterao :

kqn 8 (3.11)

onde k a ordem da iterao. Essa estrutura auto-similar possui oito cpias da figura original

com dimenses reduzidas de 1/3 a cada iterao. A dimenso de Hausdorff vale

893,1

3log

8logfD (3.12)

Em projetos de antenas, os retngulos pretos representam os condutores metlicos e os

brancos indicam a regio de onde o metal foi removido, em cada iterao. O processo pode ser

descrito pelo sistema de funes iterativas obtidas com as seguintes equaes:

35

0

0

310

0311

y

x

y

xw (3.13)

31

0

310

0312

y

x

y

xw (3.14)

32

0

310

0313

y

x

y

xw (3.15)

0

31

310

0314

y

x

y

xw (3.16)

32

31

310

0315

y

x

y

xw (3.17)

0

32

310

0316

y

x

y

xw (3.18)

31

32

310

0317

y

x

y

xw (3.19)

32

32

310

0318

y

x

y

xw (3.20)

Figura 3.6. Geometria geradora e as primeiras trs iteraes do tapete de Sierpinski.

3.4 Curva de Koch

A curva de Koch um dos fractais mais simples. A Fig. 3.7 apresenta a geometria geradora

e as suas primeiras trs iteraes. Sua construo dada pelo sistema de funes [25] [29]:

0

0

310

0311

y

x

y

xw (3.21)

0

31

360cos360sen

360sen360cos2

y

x

y

xw (3.22)

63

21

360cos360sen

360sen360cos3

y

x

y

xw (3.23)

0

32

310

0314

y

x

y

xw (3.24)

36

Inicialmente, um segmento de reta dividido em trs partes iguais e o segmento mdio

formar um tringulo equiltero sem a base. Portanto, na primeira iterao a estrutura

apresenta quatro segmentos de comprimentos iguais, apresenta dezesseis na segunda e

sessenta e quatro na terceira. A concluso que a quantidade de cpias do gerador nk

resultantes a cada iterao obtida com:

kkn 4 (3.25)

onde k a ordem da iterao. A estrutura auto-similar possui quatro cpias da figura original

com dimenses reduzidas de 1/3 a cada iterao. A dimenso de Hausdorff vale:

2619,1

3log

4logfD (3.26)

Figura 3.7. Geometria geradora e as primeiras trs iteraes da curva de Koch.

3.5 Conjunto de Cantor

Para descrever o conjunto de Cantor, inicia-se com um segmento de reta no intervalo

fechado I0 = [0,1]. Na primeira iterao, esse intervalo dividido em trs partes iguais sendo

desprezado o tero mdio. O resultado a unio disjunta de dois intervalos fechados dado por

I1 = [0,1/3] [2/3,1], onde cada segmento possui 1/3 da dimenso do original. A segunda

iterao consiste na diviso de cada intervalo gerado em trs partes iguais e na remoo do

tero mdio de cada diviso. Tem-se um intervalo I2 = [0,1/9] [2/9,1/3] [2/3,7/9] [8/9,1]

cada um com comprimento de 1/9 do gerador. O processo, repetido indefinidamente, gera o

fractal em sua forma final. [27] [28] Chega-se concluso que o conjunto de Cantor apresenta

estrutura auto-similar com duas cpias da figura original cada uma com dimenses reduzidas

de 1/3. Dessa forma, tm-se nc = 2, fD = 3 e a dimenso de Hausdorff vale:

6309,0

3log

2logfD (3.27)

Esse processo pode ser representado pelo sistema de funes iterativas:

37

0

0

00

0311

y

x

y

xw (3.28)

0

32

00

0312

y

x

y

xw (3.29)

Conforme mencionado, se a geometria geradora for um segmento de reta o fractal originado

ser a poeira de Cantor. Caso o gerador seja um retngulo, tem-se o fractal denominado pente

de Cantor. A Fig. 3.8 mostra a geometria geradora e as trs primeiras iteraes para o pente.

Figura 3.8. Geometria geradora e as primeiras trs iteraes do pente de Cantor.

3.6 Comentrios do captulo

Foram apresentadas as principais caractersticas

Dissertacao - 2012 - Rodrigo de Oliveira Matos

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