Disserta o de Mestrado - Entregar.doc) · been constructed with increasingly daring structures....

Universidade do Estado do Rio de Janeiro Centro de Tecnologia e Ciências

Faculdade de Engenharia

Jorge Maurício dos Santos de Souza

Análise da resposta dinâmica de passarelas de pedestres considerando-se

uma modelagem probabilística do caminhar humano

Rio de Janeiro

2012

Jorge Maurício dos Santos de Souza

Análise da resposta dinâmica de passarelas de pedestres considerando-se

uma modelagem probabilística do caminhar humano

Dissertação apresentada, como requisito parcial para obtenção do título de Mestre, ao Programa de Pós-Graduação em Engenharia Civil, da Universidade do Estado do Rio de Janeiro. Área de concentração: Estruturas.

Orientador: Prof. Dr. José Guilherme Santos da Silva

Rio de Janeiro

2012

CATALOGAÇÃO NA FONTE

UERJ / REDE SIRIUS / BIBLIOTECA CTC/B

Autorizo, apenas para fins acadêmicos e científicos, a reprodução total ou parcial

desta tese, desde que citada a fonte.

Assinatura Data

S729 Souza, Jorge Maurício dos Santos. Análise da resposta dinâmica de passarelas de pedestres

considerando-se uma modelagem probabilística do caminhar humano./ Jorge Maurício dos Santos de Souza. – 2012.

174f.

Orientador: José Guilherme Santos da Silva. Dissertação (Mestrado) – Universidade do Estado do Rio de

Janeiro, Faculdade de Engenharia.

1. Engenharia Civil. 2. Aço – Estruturas - Dissertações. 3. Pedestres – Dissertações. I. Silva, José Guilherme Santos da. II. Universidade do Estado do Rio de Janeiro. III. Título.

CDU 624.21

DEDICATÓRIA

A Deus, em primeiro lugar. A minha mãe pelo apoio e incentivo durante minha vida acadêmica.

AGRADECIMENTOS

Aos meus pais pelo apoio financeiro e moral durante a minha vida e na

elaboração da dissertação, sendo sempre importante o incentivo me deram para que

eu pudesse ter um crescimento pessoal e profissional.

Aos meus orientadores, Prof. Doutor José Guilherme da Silva por toda a

ajuda e demonstração de força de vontade, pela excelente orientação, apontando os

melhores caminhos, dando estímulos para o desenvolvimento deste trabalho e pela

amizade demonstrada nesses anos.

Ao engenheiro Fabio Pereira Figueiredo pela ajuda na atualização do

programa GFCD (Gerador de Função de Carregamento Dinâmico), de sua autoria,

necessário para a geração dos carregamentos verticais e transversais aplicados no

modelo para a realização desta pesquisa.

Aos meus amigos de trabalho pela paciência com os meus estudos.

Aos meus colegas de mestrado, pelo companheirismo e pelo inegável apoio

quando necessário.

A UERJ, porque sem ela não poderia ter realizado este sonho de conquista.

A todos aqueles, que embora não citados nominalmente, contribuíram direta e

indiretamente para a execução deste trabalho.

A CAPES pelo apoio financeiro.

“Se Deus é por nós...Quem será contra nós?”

Romanos 8:31

RESUMO

Souza, Jorge Maurício dos Santos de Souza. Análise da resposta dinâmica de passarelas de pedestres considerando-se uma modelagem probabilística do caminhar humano. 2012. 176f. Dissertação (Mestrado em Engenharia Civil) – Faculdade de Engenharia, Universidade do Estado do Rio de Janeiro, Rio de Janeiro, 2012. Passarelas de pedestres com arquitetura moderna, esbeltas e leves são uma constante nos dias atuais, apresentando grandes vãos e novos materiais. Este arrojo arquitetônico tem gerado inúmeros problemas de vibrações excessivas, especialmente sobre passarelas mistas (aço-concreto). As normas e recomendações de projeto consideram, ainda, que as forças induzidas pelo caminhar humano são determinísticas. Todavia, o caminhar humano e as respectivas forças dinâmicas geradas apresentam comportamento randômico. Deste modo, o presente trabalho de pesquisa objetiva contribuir com os projetistas estruturais, a partir do emprego de uma abordagem probabilística para avaliação do estado limite de utilização deste tipo de estrutura, associado a vibrações excessivas que podem vir a causar desconforto humano. Para tal, utiliza-se como modelo estrutural uma passarela de pedestres mista (aço-concreto) construída no campus do Instituto de Traumatologia e Ortopedia (INTO), na cidade do Rio de Janeiro. Com base na utilização dos métodos probabilísticos, torna-se possível determinar a probabilidade dos valores das acelerações de pico da estrutura ultrapassarem ou não os critérios de conforto humano estabelecidos em normas e recomendações de projeto. Os resultados apontam para o fato de que os valores das acelerações de pico calculadas com base exclusivamente nos métodos determinísticos podem ser superestimados em algumas situações de projeto. Palavras-chave: Passarelas de pedestres, Análise dinâmica de estruturas, Métodos probabilísticos, Análise de conforto humano, Modelagem computacional.

ABSTRACT

Nowadays, the pedestrian footbridges present greater slenderness and have been constructed with increasingly daring structures. This fact have generated very slender footbridges and consequently changed the serviceability and ultimate limit states associated to their design. Therefore, in this investigation, the walking loading was modelled based on a probabilistic approach, in order to describe the walking force in a given pedestrian population, aiming a human comfort analysis. The pedestrian walking dynamic action is modelled considering the random nature of the following parameters: pedestrian weight, step frequency and dynamic coefficients. The mathematical model is then applied to calculate the probability of having the structure dynamic response in a particular acceleration range. The investigated structural model is associated to a steel-concrete composite footbridge, built in the campus of the Institute of Traumatology and Orthopaedics (INTO), at the city of Rio de Janeiro, Brazil. Based on the use of probabilistic methods, it was possible to determine whether the footbridge peak accelerations exceed or not the human comfort criteria established in the design standards and recommendations. The results have indicated that the peak accelerations calculated based on the deterministic methods may be overestimated in some design situations. Keywords: Pedestrian footbridges, Dynamic analysis, Probabilistic methods, Human comfort analysis, Computational modelling.

LISTA DE FIGURAS

Figura 1 – Desabamento de uma passarela na Carolina do Norte/EUA [1] .............. 24

Figura 2 – Millennium Footbridge localizada em Londres sobre o Rio Tâmisa [2] .... 25

Figura 3 – Fator de resposta dinâmica (ψ) [3] ........................................................... 39

Figura 4 – Fator de grupo em função da primeira frequência natural na direção

transversal vertical da passarela (Kvert,f) [5] ............................................ 41

Figura 5 – Aceleração de pico máxima [55] .............................................................. 43

Figura 6 – Coeficiente relacionado a frequência natural da passarela (K1,vert ) [5] .... 44

Figura 7 – Curva base de vibrações para acelerações verticais [10] ........................ 46

Figura 8 – Fator de amplificação dinâmico em função do comprimento do vão e

do coeficiente de amortecimento estrutural (Φ) [9]................................. 47

Figura 9 – Aceleração vertical limite (m/s²) ............................................................... 49

Figura 10 – Representação do passo do pedestre durante a caminhada [19]. ......... 53

Figura 11 – Faixas de frequências nas direções transversal vertical e transversal ... 54

Figura 12 – Força de contato de um passo humano e reação do piso [59]. .............. 55

Figura 13 – Força dinâmica do caminhar humano na direção transversal vertical

(2 Hz) ..................................................................................................... 57

Figura 14 – Histograma ............................................................................................. 61

Figura 15 – Função densidade de probabilidade (fdp) .............................................. 62

Figura 16 – Função de distribuição acumulada (fda) ................................................ 63

Figura 17 – Curva característica de uma distribuição normal.................................... 65

Figura 18 – Simetria da distribuição normal [71] ....................................................... 66

Figura 19 – Pontos de inflexão da curva de distribuição normal [71] ........................ 66

Figura 20 – Histograma soma dos valores de dois dados ......................................... 71

Figura 21 – Funções de probabilidade (fdp) e (fda) .................................................. 71

Figura 22 – Vista superior do modelo estrutural. ....................................................... 73

Figura 23 – Vista lateral da laje de concreto sobre as transversinas. ....................... 74

Figura 24 – Vista frontal da laje de concreto sobre as transversinas. ....................... 74

Figura 25 – Vista tridimensional do modelo em elementos finitos ............................. 78

Figura 26 – Vista inferior do modelo em elementos finitos ........................................ 79

Figura 27 – Elemento beam44 [52] ........................................................................... 79

Figura 28 – Elemento shell63 [52] ............................................................................. 80

Figura 29 – 1º Modo de vibração f01=4,10 Hz ........................................................... 83

Figura 30 – 2º Modo de vibração f02=11,08 Hz ......................................................... 83





Figura 35 – Deslocamento do sistema com um grau de liberdade (S1GL) (ξ

0,5%). ..................................................................................................... 89

Figura 36 – Resposta dinâmica de sistema com um grau de liberdade (S1GL) (ξ

1%). ........................................................................................................ 89


1,5%). ..................................................................................................... 90


2%). ........................................................................................................ 90


5%). ........................................................................................................ 91


10%). ...................................................................................................... 91

Figura 41 – Resposta dinâmica de sistema com um grau de liberdade (S1GL)........ 92

Figura 42 – Resposta dinâmica de sistema com um grau de liberdade (S1GL)........ 92

Figura 43 – Processo randômico estacionário .......................................................... 98

Figura 44 – Processo estocástico não estacionário [68] ........................................... 99

Figura 45 – Fator de qualidade (Q) [61] .................................................................. 100

Figura 46 – Fator de amplificação dinâmico [61] ..................................................... 101

Figura 47 – Ângulo de fase para resposta dinâmica máxima [61] ........................... 101

Figura 48 – Modelo de carregamento representativo do caminhar de um

pedestre sobre passarela de pedestre ................................................. 102

Figura 49 – Função densidade de probabilidade da frequência do passo dos

pedestres.............................................................................................. 103

Figura 50 – Função distribuição acumulada da frequência do passo dos

pedestres.............................................................................................. 104

Figura 51 – Função densidade de probabilidade do comprimento do passo dos

pedestres.............................................................................................. 104

Figura 52 – Função distribuição acumulada do comprimento do passo dos

pedestres.............................................................................................. 104

Figura 53 – Forças dinâmicas determinísticas do caminhar humano (P=735 N e

fp= 2 Hz) ............................................................................................... 106

Figura 54 – Forças dinâmicas aleatórias do caminhar humano (P=735 N e fp= 2

Hz) ........................................................................................................ 107

Figura 55 – Comparativo entre as respostas dinâmicas determinísticas e

aleatórias .............................................................................................. 108

Figura 56 – Coeficientes dinâmicos Rainer [9] ........................................................ 110

Figura 57 – Coeficientes dinâmicos Murray [12]. .................................................... 111

Figura 58 – Coeficientes dinâmicos Young [22] ...................................................... 111

Figura 59 – Coeficientes dinâmicos Kerr [33] .......................................................... 112

Figura 60 – Comparação coeficientes dinâmicos 1º harmônico .............................. 112




Figura 64 – Espectro de resposta comprimento do vão 10 m (m/s²) ....................... 117









Figura 73 – Espectro de resposta comprimento do vão 90 m (m/s²). ...................... 121

Figura 74 – Espectro de resposta comprimento do vão 100 m (m/s²). .................... 122

Figura 75 – Variação da amplitude da resposta dinâmica em função do

comprimento do vão de um sistema com um grau de liberdade

(S1GL) submetido a carregamento aleatório do caminhar humano ..... 123

Figura 76 – 1º Harmônico comprimento do vão 100 m (m/s²). ................................ 124

Figura 77 – Função distribuição acumulada com coeficientes dinâmicos segundo

formulação matemática proposta por Murray [12] ................................ 127

Figura 78 – Função distribuição com coeficientes dinâmicos segundo formulação

matemática proposta por Rainer [9] ..................................................... 127

Figura 79 – Função distribuição acumulada com coeficientes dinâmicos segundo

formulação matemática proposta por Young [22] ................................. 128

Figura 80 – Modelo de carregamento para duas pessoas caminhando. ................. 131

Figura 81 – Efeito dinâmico de fluxo de pedestres [49] ........................................... 132

Figura 82 – Número de pedestres equivalente segundo simulação baseada no

Método Monte Carlo. ............................................................................ 134

Figura 83 – Fator redutor da reposta dinâmica de passarelas (ψ) 1º harmônico

[49] ....................................................................................................... 140

Figura 84 – Fator redutor da resposta dinâmica de passarelas (ψ) 2º harmônico

[49] ....................................................................................................... 140

Figura 85 – Número de pedestres equivalente (Neq). ............................................. 141

Figura 86 – Resposta dinâmica da passarela referencial (m/s²). ............................ 142

Figura 87 – Aceleração método Sètra (m/s²) (ξ 0,5%) ............................................ 145

Figura 88 – Aceleração método Sètra (m/s²) (ξ 1%) ............................................... 145

Figura 89 – Aceleração método Sètra (m/s²) (ξ 2%) ............................................... 146

Figura 90 – Aceleração método Sètra (m/s²) 2 Hz .................................................. 146




Figura 94 – Aceleração método Espectro de Resposta (m/s²) ξ 0,5% .................... 152

Figura 95 – Aceleração método Espectro de Resposta (m/s²) ξ 1% ....................... 153

Figura 96 – Aceleração método Espectro de Resposta (m/s²) ξ 2% ....................... 153

Figura 97 – Aceleração método Espectro de Resposta (m/s²) 2 Hz ........................ 154



Figura 100 – Aceleração método Espectro de Resposta (m/s²) 8 Hz ...................... 155

Figura 101 – Comparativo entre os métodos probabilísticos e determinístico

Rainer [9] .............................................................................................. 158


Murray [12] ........................................................................................... 159


Murray [12] ........................................................................................... 160

LISTA DE TABELAS

Tabela 1 – Fator de configuração KBS [3] .................................................................. 39

Tabela 2 – Frequência natural crítica para estruturas submetidas a ação humana

[53] ......................................................................................................... 42

Tabela 3 – Acelerações limites para passarelas de pedestres (ISO 2631-2, 1989) .. 45

Tabela 4 – Fator de configuração em função do número de vãos de passarelas

(Kpf)[11] .................................................................................................. 48

Tabela 5 – Características do caminhar humano [12] ............................................... 52

Tabela 6 – Coeficientes dinâmicos propostos por Murray [12] .................................. 57

Tabela 7 – Simulação MMC soma de dois dados ..................................................... 70

Tabela 8 – Características geométricas da passarela investigada (dimensões em

mm) ........................................................................................................ 72

Tabela 9 – Valores recomendados de taxas de amortecimento ξ [12] ...................... 76

Tabela 10 – Parâmetros α e β usados na análise de vibração forçada ..................... 77

Tabela 11 – Dados gerais sobre o modelo estrutural ................................................ 79

Tabela 12 – Autovalores em função do comprimento do vão ................................... 82

Tabela 13 – Autovalores do modelo estrutural investigado ....................................... 83

Tabela 14 – Fator de qualidade (Q) e pontos de meia potência ............................. 100

Tabela 15 – Parâmetros estatísticos do caminhar humano .................................... 103

Tabela 16 – Coeficientes dinâmicos ........................................................................ 109

Tabela 17 – Comparação entre os resultados do método analítico e do método

numérico............................................................................................... 128

Tabela 18 – Análise de Sensibilidade da Intravariabilidade do passo com

coeficientes dinâmicos segundo Rainer [9] .......................................... 129

Tabela 19 – Análise de Sensibilidade da Intravariabilidade do passo com

coeficientes dinâmicos segundo Murray [12]........................................ 130

Tabela 20 – Aceleração limite segundo guia de projeto Sètra (m/s²) [49] .............. 138

Tabela 21 – Faixas de frequência fundamental crítica segundo guia de projeto

Sètra [49] .............................................................................................. 138

Tabela 22 – Casos de carregamentos para verificação da resposta dinâmica

[49] ....................................................................................................... 138

Tabela 23 –Parâmetros estatístico segundo método espectro de resposta [43] ..... 149

Tabela 24 – Coeficientes do método espectro de resposta [43].............................. 151

Tabela 25 – Fator de pico ka, 95% [43] ....................................................................... 151

LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS

AISC American Institute of Steel Construction

ANSYS Swanson Analysis Systems

AASHTO American Association of State Highway and Transportation Officials

CEB Comitê Euro-International du Betón

GFCD Gerador de Função de Carregamento Dinâmico

ISO International Organization for Standardization

NBR Norma Brasileira

PUC Pontifícia Universidade Católica

RMS Root Mean Square

SIA Swiss National Standards

LISTA DE SÍMBOLOS

aeff acelerações efetivas

ap aceleração de pico

a/g razão entre a aceleração do piso e a aceleração da gravidade

a0/g pico de aceleração limite

ap/g pico de aceleração estimado

alim aceleração limite

a(t) aceleração em função do tempo

Cp comprimento do passo

Ec modulo de elasticidade do concreto

Es modulo de elasticidade do aço

f frequência de excitação

fcrit frequência critica

fda Função de distribuição acumulada

fdp função densidade de probabilidade

fmi fator de majoração do impacto do calcanhar

fn frequência natural da estrutura

fp frequência do passo da atividade

FAD fator de amplificação dinâmico

Fm valor máximo da série de fourier

F(t) vetor de forças nodais equivalente

Fv carregamento vertical

g aceleração da gravidade

I múltiplo harmônico (1, 2, 3...)

K matriz de rigidez do sistema

k fator corretor de massa

Kbs, Ka e Kpf fatores de configuração

kN kilonewton

K1, vert coeficiente relacionado a primeira frequência natural da passarela

Kvert, f: fator de grupo relacionado à frequência natural da passarela

L comprimento da passarela

m massa modal

M matriz de massa do sistema

N newton

N número de pedestres

Neq número de pedestres equivalente

P peso da pessoa

P0 força constante igual a 0,29kN para pisos e 0,41kN para passarelas

Q fator de qualidade

R fator de redução

t tempo

T período de tempo na qual a aceleração efetiva é medida

Tp período do passo

u(t) deslocamento em função do tempo

u(st) deslocamento máximo no estado permanente

v(t) velocidade em função do tempo

W peso efetivo do piso

Yest flecha estática no meio do vão

α taxa de contribuição da matriz de massa

αi coeficiente dinâmico para força harmônica

β coeficiente de amortecimento modal

β taxa de contribuição da matriz de rigidez

φi ângulo de fase para o harmônico i

Φ fator de amplificação dinâmico

υ coeficiente de Poisson

ρ densidade

∆ flecha estática no meio do vão

∆i coeficiente de fourier para o harmônico

∆iP0 amplitude da força do harmônico

ξi taxa de amortecimento do modo i

σ2 variância

σ desvio padrão

µ média

ω frequência angular da carga de excitação

ω0i frequência natural circular do modo i

ωn frequência fundamental circular

SUMÁRIO

INTRODUÇÃO ............................................................................................... 24

1 RECOMENDAÇOES DE PROJETO .............................................................. 37

1.1 Generalidades ............................................................................................... 37

1.2 Normas de projeto ........................................................................................ 38

1.2.1 Norma BS 5400 [3] ......................................................................................... 38

1.2.2 Norma OHBDC [4] .......................................................................................... 40

1.2.3 Norma Eurocode 5 – EC5 1 [5] ...................................................................... 40

1.2.4 Normas SIA 160 [6], CEB [7] e AASHTO [8] ................................................... 42

1.2.5 Norma Brasileira 6118 [53] ............................................................................. 42

1.2.6 Norma Bro [54] ............................................................................................... 42

1.2.7 Norma ISO 10137 [55] .................................................................................... 43

1.2.8 Norma Eurocode 5 – Parte 2 [56] ................................................................... 43

1.2.9 Guia de projeto 11 AISC (American Institute of Steel Construction) [12] ........ 45

1.2.10 ISO 2631/2 - International Organization for Standardization [10] .................... 45

1.2.11 Trabalhos relacionados à análise dinâmica de passarelas de pedestres ....... 46

1.2.12 Comparativo entre os critérios normativos ...................................................... 49

2 MODELO DE CARREGAMENTO DINÂMICO ............................................... 51

2.1 Introdução ..................................................................................................... 51

2.2 Modelo proposto por Varela e Battista [18] ................................................ 54

3 DEFINIÇÃO DOS PARÂMETROS UTILIZADOS NA INVESTIGAÇÃO ........ 59

3.1 Introdução ..................................................................................................... 59

3.2 Variável aleatória .......................................................................................... 59

3.3 Variável aleatória contínua e discreta ......................................................... 60

3.4 Distribuição de probabilidades ................................................................... 60

3.5 Função de probabilidade ou função de densidade de probabilidade (fdp)62

3.6 Função de distribuição acumulada (fda) .................................................... 62

3.7 Valor esperado de uma variável .................................................................. 63

3.8 Variância e desvio padrão de uma variável aleatória ................................ 64

3.9 Distribuição normal ...................................................................................... 64

4 MÉTODO MONTE CARLO (MMC)................................................................. 67

4.1 Introdução ..................................................................................................... 67

4.2 Geração de números aleatórios .................................................................. 68

4.3 Regras de Amostragem ................................................................................ 69

4.4 Simulação Monte Carlo ................................................................................ 70

5 DESCRIÇÃO DO MODELO ESTRUTURAL INVESTIGADO ........................ 72

5.1 Introdução ..................................................................................................... 72

5.2 Modelo estrutural da passarela ................................................................... 72

5.3 Modelagem do amortecimento estrutural ................................................... 75

6 MODELO NUMÉRICO-COMPUTACIONAL ................................................... 78

6.1 Introdução ..................................................................................................... 78

7 ANÁLISE DE AUTOVALORES E AUTOVETORES ...................................... 81

7.1 Introdução ..................................................................................................... 81

7.2 Análise das frequências naturais (autovalores) ........................................ 81

7.3 Análise dos modos de vibração (Autovetores) .......................................... 83

8 ANÁLISE DINÂMICA DETERMINÍSTICA DE PASSARELAS SUBMETIDAS

AO CAMINHAR DE UM PEDESTRE ............................................................. 85

8.1 Solução analítica .......................................................................................... 85

8.2 Método proposto por Zivanovic, Pavic e Reynolds [35] ............................ 93

9 ANÁLISE DE VIBRAÇÕES NÃO DETERMINÍSTICAS ................................. 96

9.1 Aspectos gerais ............................................................................................ 96

9.2 Processos determinísticos e estocásticos ................................................. 96

9.3 Classificação de processos determinísticos e estocásticos .................... 97

9.4 Fator de qualidade e largura de banda. ...................................................... 99

10 ESTUDO E SELEÇÃO DOS PARÂMETROS ESTATÍSTICOS PARA A

ANÁLISE DINÂMICA NÃO DETERMINÍSTICA (PROBABILÍSTICA) ......... 102

10.1 Aspectos gerais .......................................................................................... 102

10.2 Frequência e intravariabilidade do passo (Hz) ......................................... 105

10.3 Coeficientes dinâmicos (α) ........................................................................ 108

11 ANÁLISE DINÂMICA NÃO DETERMINÍSTICA (PROBABILÍSTICA) DE

PASSARELAS DEVIDO AO CAMINHAR DE UM PEDESTRE: SOLUÇÃO

ANALÍTICA .................................................................................................. 115

11.1 Determinação da reposta dinâmica graficamente ................................... 123



VIA MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS ................................................ 126

13 FORMULAÇÕES PARA AVALIAÇÃO DA RESPOSTA DINÂMICA DE

PASSARELAS DEVIDO AO CAMINHAR DE VÁRIOS PEDESTRES......... 131

13.1 Aspectos gerais .......................................................................................... 131

13.1.1 Efeito dinâmico de fluxo de pedestres proposto por Matsumoto [65] .......... 132

13.1.2 Efeito dinâmico de fluxo de pedestres proposto por Fujino [66] ................... 134

13.1.3 Efeito dinâmico de fluxo de pedestre proposto na norma Eurocode 5 [5] ..... 134

13.1.1 Efeito dinâmico de fluxo de pedestre proposto na norma ISO 10137 [55] .... 135

13.1.2 Efeito dinâmico de fluxo de pedestre segundo o anexo nacional do Reino

Unido ao Eurocode 1 [38] ............................................................................. 136

13.1.3 Efeito dinâmico de fluxo de pedestre proposto no guia de projeto Sétra [49]

...................................................................................................................... 136

13.1.4 Efeito dinâmico de fluxo de pedestre segundo Brand, Sanjayan e Sudbury [17]

...................................................................................................................... 140

13.1.5 Comparativo entre os métodos propostos do efeito Dinâmico devido a fluxo de

Pedestres ...................................................................................................... 141

14 AVALIAÇÃO DA RESPOSTA DINÂMICA DE PASSARELAS DEVIDO AO

CAMINHAR DE VÁRIOS PEDESTRES ....................................................... 143

14.1 Introdução ................................................................................................... 143

14.2 Método proposto no guia de projeto Sétra [49] ....................................... 143

14.3 Método Espectro de Resposta [43] ........................................................... 148

15 COMPARAÇÃO ENTRE OS RESULTADOS DAS ANÁLISES DINÂMICAS

DETERMINÍSTICA E NÃO DETERMINÍSTICA ............................................ 156

15.1 Aspectos gerais .......................................................................................... 156

15.2 Comparação entre os resultados das análise dinâmicas determinística e

probabilística devido ao caminhar de um pedestre................................. 156


probabilística devido à vários pedestres .................................................. 159

16 CONSIDERAÇÕES FINAIS ......................................................................... 161

16.1 Introdução ................................................................................................... 161

16.2 Conclusões ................................................................................................. 162

16.3 Sugestões para trabalhos futuros ............................................................. 167

REFERÊNCIAS ............................................................................................ 169

24

INTRODUÇÃO

Devido ao avanço dos materiais empregados na construção civil, as

estruturas estão cada vez mais leves e esbeltas e, portanto, mais flexíveis, tornando

o seu comportamento dinâmico mais crítico na ótica do conforto humano dos

usuários. Além disso, a diminuição do amortecimento estrutural e a mudança na

natureza e na intensidade das cargas contribuem para esse novo cenário.

De forma geral, os projetos de passarelas são elaborados considerando,

somente, à ação de cargas estáticas, não levando em consideração as ações

dinâmicas oriundas do movimento de pessoas. Com isso, cada vez mais se tem

observado um número crescente de estruturas que apresentam comportamento

dinâmico insatisfatório e, portanto, problemas associados ao conforto humano dos

usuários.

Diversos casos de vibrações excessivas ocasionando desconforto humano e

até colapso estrutural tem sido reportado na mídia, como ocorreu em uma Passarela

na Carolina do Norte/EUA durante a saída de uma multidão em um evento esportivo

deixando mais de 100 pessoas feridas (BBC NEWS [1]). A Figura 1 ilustra o

desabamento da passarela após o colapso estrutural.

Figura 1 – Desabamento de uma passarela na Carolina do Norte/EUA [1]

A passarela Millennium Footbridge [2], conhecida como a Passarela do

Milênio, que cruza o rio Tamisa, em Londres, Inglaterra, no dia de sua inauguração

em 10 de Junho de 2000 apresentou oscilações laterais com amplitudes além

daquelas previstas em projeto, devido à interação do caminhar de pessoas se

25

movimentando sobre a mesma. As amplitudes foram da ordem de 75 mm com

frequências na faixa de 0,8 a 1,0 Hz, obrigando as autoridades a fecharem a

passarela três dias após sua inauguração para que medidas corretivas fossem

adotadas, conforme citado por Newland [2]. A Figura 2 ilustra essa estrutura.

Figura 2 – Millennium Footbridge localizada em Londres sobre o Rio Tâmisa [2]

As normas e guias de projetos que tratam dos problemas de conforto humano

devido à ação humana consideram, de forma geral, que as forças induzidas pelo

caminhar de pedestres é um processo determinístico. Contudo, em função da

variação dos parâmetros da força dinâmica induzida pelo caminhar, tais como peso

do pedestre, frequência do passo, comprimento do passo, coeficientes dinâmicos e

etc., tal fenômeno apresenta comportamento randômico.

Por outro lado, atualmente, os projetistas estruturais têm tido acesso a

ferramentas numérico-computacionais com elevado nível de precisão, para estudar o

comportamento de estruturas sujeitas a ações dinâmicas, de forma a identificar,

ainda durante a fase de projeto, o desempenho da estrutura quando submetida a

cargas dinâmicas. Entretanto, o custo computacional para elaboração de um

espectro de resposta probabilístico a partir da modelagem computacional é elevado

tornando a sua implementação inviável na prática de projeto.

A presente dissertação tem como objetivo desenvolver uma metodologia de

avaliação da resposta dinâmica de passarelas submetidas ao carregamento devido

26

ao caminhar de um único pedestre ou fluxo de pedestres, de passarelas de

pedestres, mediante o emprego de métodos probabilísticos analíticos.

Com base no emprego de métodos probabilísticos torna-se possível

determinar a probabilidade de uma determinada passarela de pedestre ultrapassar

ou não os limites de conforto humano estabelecidos em normas e guias de projeto.

Os resultados obtidos com o emprego do método analítico probabilístico do

modelo estrutural base de uma passarela interna construída no novo campus do

Instituto Nacional de Traumatologia e Ortopedia - INTO, na cidade do Rio de Janeiro

são comparados com os resultados numéricos obtidos computacionalmente com

emprego de técnicas de discretização baseada no método de elementos finitos.

Por meio do método probabilístico proposto, foram construídos espectros de

respostas para uma passarela padrão com massa total igual a 20000 Kg, variando-

se o comprimento do vão de 10 m a 100 m, o coeficiente de amortecimento

estrutural e a frequência natural da estrutura. Estes espectros de respostas podem

ser utilizados para se determinar as respostas dinâmicas de quaisquer passarelas

com propriedades modais iguais e massa total diferente da passarela padrão,

visando determinar se a resposta dinâmica de um dado modelo estrutural é

satisfatória ou não, no que tange ao conforto humano dos usuários.

Revisão bibliográfica

As passarelas de pedestres são construídas com intuito de permitir que

pedestres prossigam sua trajetória transpondo obstáculos existentes ao longo do

caminho. Todavia o caminhar humano, por ser uma carga dinâmica, pode provocar

problemas de vibrações excessivos na estrutura gerando desconforto aos seus

usuários.

Dessa maneira, os projetos de passarelas de pedestres devem ser

elaborados levando-se em consideração os limites de conforto humano

estabelecidos por normas.

Os efeitos dinâmicos sobre passarelas de pedestres é assunto estudado e em

constante evolução desde o século XIX. Desde então diversos estudos e normas

foram publicados com o propósito de estabelecer métodos simplificados que

preveem o comportamento dinâmico da estrutura. Na realização da análise dinâmica

de passarelas de pedestres foram, inicialmente, adotados modelos analíticos

27

determinísticos simplificados que visavam, sobretudo, obter os valores de

acelerações de pico ocorridos em função do caminhar de um único pedestre em

ressonância com a estrutura. Os valores das acelerações máximas da estrutura

eram então comparados com critérios normativos de conforto humano.

Novos métodos analíticos surgiram ao longo dos anos até a presente data, e

em decorrência deste avanço científico, diversas normas e pesquisadores tem

recomendado a adoção de modelos de carregamentos que representam mais

fidedignamente as ações solicitantes, a interação usuário estrutura além da

característica estocástica dessas ações.

Esta revisão bibliográfica apresenta, inicialmente, os métodos analíticos

recomendados por normas e guias de projeto para verificação do comportamento

dinâmico de passarelas de pedestres devido ao caminhar de um único pedestre.

Posteriormente são revisados os métodos analíticos probabilísticos para avaliação

da resposta dinâmica de passarelas para ação de uma pessoa ou fluxo de

pedestres.

A norma Britânica British Standard BS 5400 [3] foi uma das primeiras a

contemplar os problemas de vibrações em passarelas de pedestres. Os parâmetros

estabelecidos por esta norma serviram de base para o desenvolvimento de diversos

códigos pelo mundo, dentre elas a norma canadense Ontario Highway Bridge

Design Code OHBDC [4].

A norma europeia Eurocode 5 – Parte 2 [5], apresenta recomendações que

permitem a análise do conforto humano de passarelas de madeira, sendo possível a

utilização desses métodos para obtenção da resposta dinâmica de estruturas

metálicas, concreto e mistas (aço-concreto).

As normas SIA 160 (Swiss National Standards [6]), CEB (Comite Euro-

International Du Beton [7]) recomendam que seja evitado projetar passarelas com

frequências naturais na direção transversal vertical nas faixas correspondentes ao

primeiro e segundo harmônicos do carregamento dinâmico devido ao caminhar

humano, evitando assim a ocorrência do fenômeno da ressonância.

A norma AASHTO [8] recomenda que seja evitado projetar passarelas com

frequências naturais na direção transversal vertical inferiores à faixa do primeiro

harmônico da carga de excitação. Se forem esperados problemas de vibração

causados pelo segundo harmônico da excitação a frequência natural na direção

28

transversal vertical destas estruturas devem ser superiores à faixa deste harmônico

de excitação.

Rainer, Pernica e Allen [9] propuseram, a partir da força dinâmica devido ao

caminhar humano composta de quatro harmônicos, um método simplificado para

verificação da aceleração de pico de passarelas de pedestres, levando-se em

consideração o efeito dinâmico do carregamento em função do tempo de atuação do

mesmo.

A norma ISO 2631/2 [10] fornece limites de aceleração para vibrações

mecânicas em função do tempo de exposição do usuário e da frequência natural da

estrutura, para as direções longitudinais e verticais, para pessoas nas posições em

pé, sentadas ou deitadas.

Pimentel e Fernandes [11] propuseram método simplificado para verificação

do comportamento dinâmico de passarelas a fim de aproximar os resultados

calculados pelos métodos simplificados estabelecidos pelas normas BS 5400 [3] e

OHBDC [4] com aqueles obtidos com a utilização de programas computacionais

baseados no modelo de elementos finitos.

Murray, Allen e Ungar [12] elaboraram o guia de projeto série número onze -

Vibrações de Pisos devido à Atividade Humana” do American Institute of Steel

Construction – AISC, contendo método simplificado para avaliação dinâmica de

pisos e passarelas de pedestres devido à atividade humana. Este método

simplificado foi elaborado a partir da teoria de viga de Euler-Bernoulli.

Feldmann, Heinemeyer e Völling [13] recomendaram por meio do guia de

projeto ArcelorMittal - Vibrações de Piso, métodos simplificados para avaliação do

comportamento dinâmico de pisos devido à ação dinâmica do caminhar humano

baseados, também, na teoria de viga de Euler-Bernoulli.

Hartley, Pavic, Waldron [14] investigaram o comportamento de uma passarela

de pedestre estaiada sob a ação do caminhar humano, tendo sido verificado a

compatibilidade entre os resultados obtidos por meio computacional baseado no

método dos elementos finitos e os valores experimentais medidos “in situ”.

Willford [15] concluiu que passarelas submetidas a fluxo de pedestres com

número elevado de pessoas encontram-se mais suscetíveis aos problemas de

vibrações laterais excessivas.

Byers, Stoyanoff e Boschert [16] recomendaram que fossem consideradas

durante a fase de projeto de passarelas de pedestres, as respostas dinâmicas

29

destas estruturas quando submetidas à carga intencional “vândala” no meio do vão,

tendo em visto que os resultados experimentais demonstram que sob tal

circunstância a passarela investigada ultrapassou os critérios de conforto humano

estabelecidos nas normas vigentes.

Brand, Sanjayan e Sudbury [17] estudaram o efeito dinâmico de fluxo de

pedestres no comportamento dinâmico de passarelas. Para se determinar a resposta

dinâmica de passarelas submetidas a fluxo de pedestres, foi proposto um fator

multiplicador do efeito dinâmico de um único pedestre.

Varela [18] propôs um modelo representativo do caminhar humano incluindo o

pico transiente devido ao impacto do calcanhar humano. Tal modelo de

carregamento foi baseado em resultados obtidos experimentalmente.

Figueiredo [19] concluiu em seus estudos, que a resposta dinâmica de

passarelas de pedestres analisadas numericamente dependente do modelo de

carregamento adotado. Para os modelos de carregamento que não levam em

consideração a variação temporal e espacial da carga, os valores das acelerações

de pico obtidos são conservadores.

Mackenzie, Barker, McFadyen, Allison [20] propuseram um método

simplificado para estabelecer critérios de conforto humano de passarelas aplicando-

se sobre os valores de limites máximos de aceleração coeficientes redutores que

levam em consideração o nível de conforto humano esperado, as características das

passarelas e das ações dinâmicas às quais estas estruturas estão submetidas.

Barker, DeNumann, Mackenzie e KO [21] recomendaram a adoção de

critérios de conforto humano para pisos e passarelas levando-se em consideração o

desconforto ocasionado por dosagem de vibrações ao longo do dia.

Hauksson [22] apresentou os resultados da resposta dinâmica da passarela

do milênio, denominada “Millenium Bridge”, calculados a partir das recomendações

das normas internacionais BS 5400 [3] e Eurocode [5]. Tendo sido verificado que

estas normas são insuficientes para detectar problemas de vibrações laterais

excessivas decorrentes da sincronização de pedestres.

Fanning, Healy, Pavic, Reynolds e Brownjohn [23] realizaram análise modal

experimental da passarela Sean O’Casey em Dublin Irlanda do Sul adotando os

testes tradicional e operacional de avalição modal. Observou-se que as frequências

naturais obtidas entre os dois métodos modal variaram cerca de 10%.

30

Brownjohn [24] comparou as respostas dinâmicas de passarelas, calculadas a

partir da recomendação das normas BS 5400 [3] e Eurocode 5 [5], com os valores

medidos experimentalmente. Tendo sido observado que as normas internacionais

não contemplam de forma adequada os efeitos da sincronização de pedestres e o

aumento do amortecimento estrutural devido ao acréscimo de pedestres atuantes

sobre a estrutura.

Racic, Zivanovic e Pavic [25] comparam as onze primeiras frequências

naturais de uma passarela de pedestres obtidos por meio de modelagem

computacional com os valores medidos em testes modais. Concluíram que

dependendo do nível de complexidade da estrutura, os resultados obtidos

computacionalmente baseados no método dos elementos finitos apresentam erros

quando comparados com os valores medidos experimentalmente. Tais valores

devem ser corrigidos de forma a se obter melhor resultado dinâmico de modelos

estruturais investigados.

Ming, Thambiratnam e Perera [26] concluíram que o comportamento dinâmico

de passarelas de pedestres esbeltas é afetado pela excentricidade do caminhar

humano.

Venuti e Bruno [27] propuseram um novo modelo de carregamento lateral

devido ao caminhar humano composto por três componentes de força: um que leva

em consideração a interação entre os pedestres, outro a interação entre pedestres e

a estrutura e por fim um componente de força dinâmica sem qualquer correlação

entre os pedestres e a estrutura.

Pirner e Urushadze [28] estudaram o comportamento dinâmico de passarelas

de pedestres alterando os valores de frequência do caminhar humano e coeficientes

dinâmicos.

Salamak e Lazinski [29] por meio de teste modal de três passarelas de

pedestres concluíram que o comportamento dinâmico destas estruturas variou

significativamente para um mesmo tipo de carregamento, em função das respectivas

massas e da rigidez das estruturas. Também, foi identificado que o comportamento

dinâmico das passarelas não é uniforme ao longo de uma mesma estrutura em

função da existência de diferentes coeficientes de amortecimento estrutural ao longo

do vão.

Zivanovic [30] alertou que a utilização das normas internacionais para

verificação do comportamento dinâmico de passarelas deve ser realizada

31

cuidadosamente. Visto que as respostas dinâmicas destas estruturas variam

segundo o carregamento dinâmico utilizado, a posição do carregamento incidente

sobre a passarela, a densidade de pedestres e as trajetórias percorridas pelos

usuários ao longo da travessia.

Maksud-Ul-Alam e Amim [31] propuseram, a partir do estudo de dois modelos

estruturais, uma revisão dos procedimentos estabelecidos pelas normas

internacionais para determinação do comportamento dinâmico de passarelas de

pedestres. Tendo em vista que tais procedimentos em sua grande maioria preveem

os picos de acelerações estruturais baseados em modelos de carregamentos

demasiadamente simplificados que não representam efetivamente as condições

reais destas ações dinâmicas.

Archbold, Caprani e Fanning [32] apresentaram estudo paramétrico do

modelo de carregamento vertical para passarelas de pedestres levando-se em

consideração a interação pedestre-estrutura e o aumento do coeficiente de

amortecimento do conjunto decorrente desta interação.

O Fundo de pesquisa para carvão e aço – The Research Fund for Coal and

Steel - (RFCS) [33] elaborou guia de projeto para verificação do comportamento

dinâmico de passarelas de pedestres metálicas. Neste guia são apresentados

modelos matemáticos para verificação do comportamento dinâmico destas

estruturas. As passarelas de pedestres são reduzidas a sistemas com um único grau

de liberdade (S1GL).

Zivanovic e Pavic [34] apresentaram modelo analítico probabilístico para

verificação do comportamento dinâmico de passarelas submetidas à ação de fluxo

de pedestres. O modelo assume que as variáveis aleatórias frequência e

comprimento do passo do pedestre seguem uma distribuição normal. O modelo,

ainda, leva em consideração a variação da frequência do passo do pedestre ao

longo da travessia sobre a passarela.

Zivanovic, Pavic e Reynolds [35;36] propuseram um método probabilístico

para verificação do comportamento dinâmico de passarelas de pedestres a partir de

simulações com a implementação do método de Monte Carlo. O método

probabilístico leva em consideração a aleatoriedade das variáveis peso, frequência e

comprimento do passo do pedestre. As variáveis aleatórias seguem uma distribuição

normal em torno de sua média. Os resultados obtidos demonstram que a resposta

32

dinâmica do modelo investigado, calculado adotando-se as recomendações da

norma BS 5400 [1], tem baixa probabilidade de ocorrência.

Zivanovic, Pavic , Reynolds [36] propuseram um método analítico para

verificação da resposta de passarelas de pedestre levando-se em consideração a

contribuição da resposta de cada modo de vibração.

Zivanovic, Racic, Pavic e El-Bahnasy [37] estudaram os parâmetros

estatísticos, média e desvio padrão do caminhar humano. Neste estudo foi verificada

a correlação entre os parâmetros velocidade da caminhada, frequência e

comprimento do passo do pedestre.

Zivanovic [38] apresentou a solução analítica para determinação da

aceleração de passarelas de pedestres quando reduzidas a um sistema com um

grau de liberdade, sendo que o primeiro modo de vibração de flexão transversal

vertical é representado por uma meia senóide.

Wan, Zivanovic e Pavic [39] propuseram método analítico probabilístico para

verificação do comportamento dinâmico de passarelas de pedestres devido à ação

de um único pedestre. Este método leva em consideração, a variação da frequência

do passo entre pedestres bem como a variação da frequência do passo de um dado

pedestre ao longo do seu deslocamento.

Zivanovic, Pavic e Ingólfsson [40] realizaram revisão dos métodos analíticos

propostos por normas internacionais e guias de projetos para verificação da resposta

dinâmica de passarelas de pedestres sob ação de fluxo espacialmente irrestrito de

pedestres. O estudo sugere que o método proposto pela norma Eurocode [5] é

demasiadamente simplificado e não leva em consideração a natureza estocástica do

caminhar do fluxo de pedestres.

Zivanovic e Pavic [41] apresentaram um modelo analítico para quantificar o

potencial dinâmico da carga de excitação devido ao caminhar de fluxo de pedestre

sobre passarelas.

Pavic, Omenzetter e Brownjohn [42] apresentaram um modelo probabilístico

baseado na função densidade espectral para avaliação do comportamento dinâmico

de passarelas de pedestres sob ação de uma pessoa ou fluxo de pedestres. As

respostas dinâmicas são estudadas no domínio da frequência. O método proposto

leva em consideração a variação da frequência do caminhar do pedestre ao longo

da travessia, isto é, o caminhar humano não é uma função perfeitamente periódica

conforme considerada nos métodos determinísticos.

33

Butz [43] apresentou método probabilístico denominado espectro de resposta

para determinar, por meio de simulação de Monte Carlo, o comportamento dinâmico

de passarelas de pedestres. Neste método a frequência do passo dos pedestres

segue uma distribuição normal.

Pedersen e Frier [44;45] estudaram o comportamento dinâmico de passarelas

a partir de modelo analítico probabilístico baseado no método de Monte Carlo. Tal

método leva em consideração a aleatoriedade do peso, frequência e comprimento

do passo do pedestre. Os resultados demonstram que as respostas dinâmicas da

estrutura não são alteradas significativamente quando a velocidade da frequência do

passo do pedestre é considerada uma variável estocástica. Em decorrência deste

resultado, foi sugerido que não é necessário considerar a aleatoriedade do

parâmetro comprimento do passo do pedestre, em modelos probabilísticos que

reduzem passarelas de pedestres a um sistema com um grau de liberdade.

Koabyashi [46] comparou as respostas dinâmicas de uma passarela obtidas

para os modelos de carregamentos devidos as atividades humanas do caminhar,

correr e saltar. Tendo sido demonstrado que a resposta dinâmica da passarela

investigada variou significativamente conforme a carga de excitação aplicada.

Zoltowski [47] conclui que a adoção de um modelo carregamento randômico

representativo do caminhar humano constitui-se em procedimento mais adequado

para verificação do comportamento dinâmico de passarelas de pedestres.

Hausdorf, Zemany, Peng e Goldberger [48] estudaram a variabilidade da

frequência do passo de crianças e jovens adultos saudáveis. Este estudo sugere

que a frequência do passo em jovens adultos saudáveis varia em torno de 1,3%±0,1.

O guia de projeto Sètra [49] apresenta uma metodologia de classificação de

passarelas de pedestres e critérios para avaliação do comportamento destas

estruturas evando-se em conta os efeitos dinâmicos de fluxo de pedestres. A

formulação matemática do efeito dinâmico de fluxo de pedestres foi obtida a partir de

medições experimentais.

Ji [50] propôs modelo de carregamento representativo do caminhar humano

que leva em consideração a interação pedestre-estrutura. O corpo humano foi

modelo como um conjunto com dois graus de liberdade divididos em parte superior e

inferior. Em decorrência desta interação, observou-se o aumento do amortecimento

total do conjunto (pedestre-estrutura).

34

Fanning, Archbold e Pavic [51] propuseram um modelo interativo de

carregamento devido ao caminhar humano, também, levando-se em consideração a

interação pedestre-estrutura. Na modelagem computacional o corpo humano foi

considerado como um sistema massa-mola com um grau de liberdade.

Motivação

No atual estado do desenvolvimento da engenharia estrutural, procura-se

obter projetos que atendam às especificações do cliente e normas técnicas, mas

também, que proporcione menores custos. Diversos trabalhos de pesquisa com

caráter científico têm sido realizados com o objetivo de apresentar métodos

probabilísticos para análise do comportamento dinâmico de passarelas de pedestres

submetidas à ação do caminhar humano. Tais métodos probabilísticos levam em

consideração a natureza estocástica do caminhar e consequentemente se

constituem em análises mais realistas do comportamento destas estruturas quando

submetidas a ações de atividades humanas.

Objetivos

Este trabalho tem como objetivo apresentar métodos analíticos probabilísticos

para verificação do comportamento dinâmico de passarelas submetidas ao caminhar

de uma pessoa e fluxo de pedestres. Os resultados analíticos probabilísticos são

comparados com os valores obtidos com a implementação de modelo numérico

baseado no método dos elementos finitos com a utilização do programa Ansys [52]

para o modelo estrutural investigado.

Estrutura da dissertação

Neste capítulo apresentou-se a motivação para o desenvolvimento do

presente trabalho e uma breve descrição de seu conteúdo. No primeiro capítulo

apresentam-se os critérios e recomendações de projeto propostos por normas

nacionais e estrangeiras.

35

No segundo capítulo faz-se uma breve introdução aos fundamentos da

metodologia utilizada para a modelagem do carregamento dinâmico proveniente do

caminhar de pedestre propostos por vários autores.

No terceiro capítulo apresenta-se os fundamentos da estatística necessários

para implementação de método probabilístico para avaliação do comportamento

dinâmico de passarelas de pedestres. No quarto capítulo descrevem-se os

fundamentos do Método de Monte Carlo.

No quinto capítulo apresenta-se o modelo estrutural investigado no presente

trabalho, apresentando suas características físicas e geométricas. Este capítulo

também apresenta a metodologia utilizada para modelagem do amortecimento

estrutural.

No sexto capítulo consta a descrição do modelo de elementos finitos, utilizado

no presente trabalho, para modelar a estrutura investigada, bem como suas

respectivas propriedades, características e dados gerais dos elementos utilizados.

O sétimo capítulo apresenta os resultados das análises de vibração livre,

realizadas para se determinar os autovalores (frequências naturais) e autovetores

(modos de vibração) do modelo estrutural investigado. Os autovalores e autovetores

são utilizados para prever a resposta dinâmica da estrutura quando submetida a

carregamentos dinâmicos.

O oitavo capítulo são apresentadas as soluções analíticas determinísticas e

probabilísticas para avaliação de passarelas de pedestres, considerando-se que tais

estruturas podem ser representadas por um sistema com um grau de liberdade

(S1GL).

No nono capítulo faz-se uma breve introdução ao problema de vibrações

dinâmicas aleatórias. O décimo capítulo apresenta a metodologia implementada

para obtenção da resposta dinâmica analítica probabilística de passarelas

submetidas à ação do caminhar de um único pedestre, baseado no método de

Monte Carlo.

No décimo primeiro capítulo são apresentados os resultados da análise

probabilística do comportamento dinâmico de passarelas de pedestres para ação de

um único pedestre.

O décimo segundo capítulo apresenta os resultados numéricos do modelo

estrutural investigado. Os resultados do método numérico computacional são

comparados com os valores obtidos analiticamente.

36

No décimo terceiro são apresentados estudos e trabalhos relacionados aos

efeitos dinâmicos de fluxo de pedestres.

No décimo quarto capítulo são apresentados métodos probabilísticos para

avaliação do comportamento dinâmico de passarelas de pedestres submetidas à

ação de fluxo de pedestres caminhando aleatoriamente.

No décimo quinto capítulo os resultados obtidos por meio dos métodos

probabilísticos são comparados com os valores das acelerações de pico calculadas

a partir de métodos determinísticos.

No décimo sexto capítulo apresentam-se as conclusões alcançadas com este

trabalho, contendo as considerações e sugestões para continuação do trabalho aqui

desenvolvido.

37

1 RECOMENDAÇOES DE PROJETO

1.1 Generalidades

As normas e estudos, apresentadas no capítulo 1 do presente trabalho, de

uma forma geral, recomendam a adoção de métodos simplificados para se calcular

as frequências naturais bem como as acelerações de pico de passarelas de

pedestres submetidas ao carregamento dinâmico devido ao caminhar humano.

A norma Eurocode 5 [5] e o guia de projeto do American Institute of Steel

Construction (AISC) série 11 [12] apresentam um método para obtenção das

frequências naturais de pisos e passarelas de pedestres, levando-se em conta a

formulação para vigas simplesmente apoiadas que são originadas das formulações

de Euler-Bernoulli. A frequência natural de passarelas mistas pode ser calculada por

meio das Equações 1 e 2, conforme o Eurocode 5 [5] e Guia de projeto 11 do AISC

[12] respectivamente:

A

IE

Lfn

ρ

π .

2 2= (1)

Onde:

E: módulo de elasticidade do aço (N/m²);

ρ: densidade do aço (Kg/m³);

I: momento de inércia da seção transformada (m4);

A: área transversal da seção transformada (m²).

L: vão da passarela mista (aço-concreto)

∆

=g

fn 18,0 (2)

Onde:

g: aceleração da gravidade (m/s²);

∆: flecha estática no centro do vão L, (∆=5QL4/384EI) devido ao peso

suportado.

38

1.2 Normas de projeto

1.2.1 Norma BS 5400 [3]

A norma britânica BS 5400 [3] recomenda que, para passarelas cujas

frequências naturais na direção transversal vertical estejam abaixo de 5 Hz, a

aceleração de pico da estrutura na direção transversal vertical seja limitada ao valor

calculado pela Equação 3. Segundo a norma BS 5400 [3], passarelas com valores

das frequências naturais acima de 5 Hz, não apresentariam problemas de vibrações

excessivas e, portanto, atenderiam aos critérios de conforto humano.

nvert fa 5,0lim, = (3)

Onde:

alim, vert: aceleração limite na direção transversal vertical;

fn: frequência natural;

Segundo norma britânica BS 5400 [3], o cálculo da aceleração de pico é

obtido pela Equação 4, sendo que tais valores são reduzidos na faixa de frequência

de 4 a 5 Hz, adotando-se respectivamente redução de 1 e 0,7, para os valores

extremos, sendo que os valores intermediários são obtidos por interpolação linear.

ψπ BSestn Kyfa224= (4)

Onde:

a: aceleração de pico da estrutura (m/s²);

fn: frequência fundamental na direção transversal vertical da passarela (Hz);

yest: deslocamento no centro do vão (yest = PL3/48EI);

P: peso do pedestre igual a 700 (N);

E: módulo de elasticidade (Pa);

I: momento de inércia (m4);

L: comprimento do vão da passarela (m);

KBS: fator de configuração que depende do número de vãos da passarela;

ψ: fator de resposta dinâmica.

Na Tabela 1 constam os valores relativos ao fator de configuração KBS a

serem utilizados no cálculo da aceleração de pico na direção transversal vertical de

39

passarelas de pedestres, segunda a norma BS 5400 [3]. Observa-se que para

passarelas de pedestres simplesmente apoiadas, portanto com um único vão, o fator

de configuração KBS é igual a 1. Já para passarelas com dois ou mais vãos, os

fatores de configuração são menores do que 1, ou seja, a aceleração de pico na

direção transversal vertical de passarelas com mais de um vão é menor do que

aquela para uma passarela com mesmo comprimento, porém, com um único vão.

Tabela 1 – Fator de configuração KBS [3]

Configuração da passarela Razão L1/L

KBS

- 1,0

- 0,7

1,0 0,6

0,8 0,8

≤0,6 0,9

O fator de resposta dinâmica (ψ) é função do comprimento do vão da

passarela e do coeficiente de amortecimento da estrutura, conforme demonstrado na

Figura 3. Observa-se que o fator de resposta dinâmica (ψ) é diretamente

proporcional ao comprimento do vão e inversamente proporcional ao coeficiente de

amortecimento estrutural.

Figura 3 – Fator de resposta dinâmica (ψ) [3]

40

1.2.2 Norma OHBDC [4]

A norma canadense OHBDC [4] recomenda que a aceleração seja verificada

caso a frequência fundamental da estrutura na direção transversal vertical encontre-

se abaixo de 4 Hz. A aceleração limite recomendada pela presente norma não deve

ultrapassar o valor obtido por meio da Equação 5:

78,0

25,0lim, nvert fa = (5)

Onde:

alim, vert: aceleração limite na direção transversal vertical;

fn: frequência natural.

Ainda, a norma OHBDC [4], recomenda que o cálculo da aceleração de pico

seja realizado adotando-se o método simplificado da norma britânica BS 5400 [3]

dado pela Equação 4.

1.2.3 Norma Eurocode 5 – EC5 1 [5]

A norma Eurocode 5 [5] recomenda que seja verificado comportamento

dinâmico da estrutura sempre que a frequência fundamental da passarela de

pedestre seja inferior a 5 Hz, que neste cenário não deverá ultrapassar o valor limite

de 0,7 m/s2 (7%g). O cálculo da aceleração para um fluxo de pessoas é obtido

utilizando-se a Equação 6:

fvertvert Kaa ,,1= (6)

Onde:

a1,vert: aceleração sem levar em consideração o fator de grupo Kver,f;

Kvert,f: fator de grupo relacionado à frequência natural da passarela.

O cálculo da aceleração a1,vert sem levar em conta o fator de grupo Kvert,f é

realizado por meio das Equações 7e 8:

ξ

ξπ

M

eKa

n

avert

2

,1

1165

−= (7)

ALM ρ= (8)

Onde:

41

M: massa total da passarela (Kg);

ρ: densidade do aço (Kg/m3);

A: área da sessão transformada transversal da passarela (m2);

L: vão da passarela (m);

ξ: coeficiente de amortecimento;

n: número de passos para cruzar o vão da passarela L (m), (n=L/0,9m);

Ka: fator de configuração.

O cálculo da aceleração devido ao caminhar de um único pedestre cruzando

a passarela é obtido pela Equação (9):

fvertvert KabLa ,,1027,0= (9)

Onde:


b: largura da passarela (m).

Observa-se, na Figura 4, que o fator de grupo relacionado à frequência

natural da passarela (Kvert,f) apresenta valores máximos para passarelas com

frequência fundamental na direção transversal vertical entre 1,5 Hz a 2,5 Hz. Esta

faixa corresponde aos valores de frequência do passo do primeiro harmônico do

caminhar humano. O fator de grupo Kvert,f é máximo quando a frequência

fundamental da passarela é igual a frequência da carga de excitação do caminhar

humano, ou seja, a estrutura encontra-se em ressonância com a força excitadora.

Figura 4 – Fator de grupo em função da primeira frequência natural na direção transversal

vertical da passarela (Kvert,f) [5]

42

Os valores relativos ao fator de configuração (Ka) da norma Eurocode 5 [5]

são iguais aos valores dos fatores de configuração (KBS) da norma BS 5400 [3].

Portanto, o fator de configuração (Ka) da norma Eurocode 5 [5] pode ser obtido da

Tabela 1.

1.2.4 Normas SIA 160 [6], CEB [7] e AASHTO [8]

As normas SIA 160 [6], CEB [7] e AASHTO [8] recomendam que seja evitado

projetar passarelas cujas frequências naturais estejam nas faixas de 1,6 a 2,4 Hz e

3,5 a 4,5 Hz. As recomendações sugerem que sejam evitadas estas faixas de

frequências naturais por estarem em ressonâncias com as frequências do primeiro e

segundo harmônico do caminhar humano.

1.2.5 Norma Brasileira 6118 [53]

A NBR 6118/2003 [53] recomenda que a frequência natural da estrutura (fn)

seja superior à frequência da fonte de excitação (para esta norma chamada de

freqüência crítica fcrít) por um fator igual a 1,2 (fn > 1,2 fcrít). A NBR 6118 [53] sugere,

segundo o modelo estrutural, a utilização das seguintes frequências críticas e

consequentemente frequências fundamentais mínimas de projeto:

Tabela 2 – Frequência natural crítica para estruturas submetidas à ação humana [53]

Caso fcrit (Hz)

Ginásio de esportes 8,0

Salas de dança ou de concerto sem cadeiras fixas 7,0

Escritórios 3,0 a 4,0

Salas de concerto com cadeiras fixas 3,4

Passarelas de pedestres ou ciclistas 1,6 a 4,5

1.2.6 Norma Bro [54]

A norma Bro [54] é aplicada a projetos de pontes e passarelas na Suécia,

publicada pela (Swedish Road Administration) autoridade nacional. Esta norma

recomenda que passarelas devam ter a frequência fundamental na direção vertical

superior a 3,5 Hz. Assim, deve-se proceder à verificação da aceleração de pico para

passarelas de pedestres cujas frequências naturais sejam inferiores aos valores

43

recomendados, devendo a aceleração limite ser inferior a 0,5 m/s2.

1.2.7 Norma ISO 10137 [55]

A norma ISO 10137 [55] foi elaborada de forma a auxiliar os engenheiros

calculistas na fase da elaboração de projetos, recomendando valores de

acelerações limites em função das frequências naturais para modelos estruturais

segundo a sua utilização, conforme Figura 5.

1 3 4 5 8 10 25 40

25

10

5

2,5

1

0,5

0,25

0,1

0,05

Freqüencia (Hz)

Ace

lera

ção

de P

ico

(% G

ravi

dade

)

Curva Base ISOPara Aceleração RMS

Escritórios,Residências

Passarelas Internas,Shoppings,Salas de Jantar e Salões de Dança

Atividades Ritmicas,Passarelas Externas

Figura 5 – Aceleração de pico máxima [55]

1.2.8 Norma Eurocode 5 – Parte 2 [56]

A norma Eurocode 5 – Parte 2 [56] sugere que sejam verificadas as acelerações

de pico de passarelas quando as respectivas frequências naturais forem inferiores a

5 Hz. O cálculo da aceleração de pico devido ao caminhar de um único pedestre

cruzando uma passarela simplesmente apoiada é dado, conforme a frequência

natural da estrutura, pelas Equações 10 a 12. O cálculo da aceleração para fluxo de

pedestres é realizado utilizando-se Equação 13.

ξM

a vert

200,1 = para Hzf vertn 5,2, ≤ (10)

44

ξM

a vert

100,1 = para Hzf vertn 0,55,2 , ≤≤ (11)

ALM ρ= (12)

Onde:


ρ: densidade do aço (Kg/m3);

A: área da sessão transformada da passarela (m2);


ξ: coeficiente de amortecimento.

vertpedvertnped Knaa ,1,123,0= (13)

Onde:

nped: número de pedestres

K1,vert: coeficiente relacionado a primeira frequência natural da passarela na

direção transversal vertical.

Observa-se, na Figura 6, que o fator de grupo relacionado à frequência

natural da passarela (K1,vert) apresenta valores máximos para passarelas com

frequência fundamental na direção transversal vertical de 1,5 a 2,5 Hz. Esta faixa

corresponde aos valores de frequência do passo do primeiro harmônico do caminhar

humano. Portanto, o fator de grupo (K1,vert) é máximo quando a frequência

fundamental da passarela na direção vertical é igual ao valor da frequência de

excitação do caminhar, ou seja, a estrutura encontra-se em ressonância com a força

excitadora.

Figura 6 – Coeficiente relacionado a frequência natural da passarela (K1,vert ) [5]

45

1.2.9 Guia de projeto 11 AISC (American Institute of Steel Construction) [12]

O guia de projeto 11 do AISC [12] recomenda que a aceleração de pico das

passarelas de pedestres não ultrapassem os limites delineados na Tabela 3,

segundo sua localização.

Tabela 3 – Acelerações limites para passarelas de pedestres (ISO 2631-2, 1989)

Descrição Aceleração (m/s2)

Passarela interna 0,15

Passarela externa 0,49

Ainda, este guia de projeto recomenda metodologia simplificada para cálculo

da aceleração de pico de passarelas devido ao caminhar de um único pedestre dado

pela Equação 14:

W

fPa n

β

)035(exp −= (14)

Onde:

P: 0,41 KN para passarelas de pedestres (KN);

fn: frequência natural da estrutura (Hz);

β: amortecimento igual a 0,1;

W: peso efetivo da passarela (Kg).

1.2.10 ISO 2631/2 - International Organization for Standardization [10]

A norma International Organization for Standardization (ISO 2631/2 [10]),

aplica-se à vibração em direções ortogonais e abrange vibrações aleatórias, de

choque, e harmônicas. A faixa de frequência coberta é de 1 a 80 Hz e o critério é

expresso em relação às acelerações efetivas medidas, rms, dadas pela Equação 15:

∫=T

eff dttaT

a0

2 )(1

(15)

Onde:

T: o período de tempo na qual a aceleração efetiva é medida.

46

A ISO 2631/2 [10] sugere limites em termos da aceleração rms, como um

múltiplo da linha base da curva apresentada na Figura 7.

Figura 7 – Curva base de vibrações para acelerações verticais [10]

1.2.11 Trabalhos relacionados à análise dinâmica de passarelas de pedestres

Rainer, Pernica e Allen [9] propuseram método para cálculo do valor da

aceleração de pico de passarelas de pedestres devido ao caminhar de um único

pedestre dado pela Equação 16.

Φ= iestnnped yfa απ 224 (16)

Onde:

fn: frequência natural da passarela;

yest: deslocamento no centro do vão (yest = PL3/48EI) devido ao peso (N);

αi: coeficiente de Fourier;

Φ: fator de amplificação dinâmico

O fator de amplificação dinâmico para passarelas simplesmente apoiadas

submetidas à carga senoidal, conforme Figura 8, é função do número de ciclos por

vão (número de passos por vão) e do coeficiente de amortecimento da estrutura. O

número de ciclos por vão é dado pela Equação 17:

pp cf

LvâoporCiclos = (17)

47

Onde:

L: comprimento do vão da passarela de pedestre (m);

fp: frequência do passo do pedestre (Hz);

cp: comprimento do passo do pedestre (m),

O fator de amplificação dinâmico (Φ) proposto por Rainer, Pernica e Allen [9]

cresce com o aumento do número de ciclos necessários para se realizar a travessia

da passarela. O fator de amplificação da resposta dinâmica para estruturas em

ressonância e no estado permanente, também, denominado de fator de qualidade

(Q) é dado pela Equação 18:.

ξ2

1=Q (18)

Onde:

Q: fator de qualidade;

ξ: coeficiente de amortecimento estrutural.

Observa-se, pela Figura 8, que quanto maior o coeficiente de amortecimento

estrutural mais rapidamente a estrutura alcança a resposta dinâmica máxima

correspondente ao estado permanente.

Figura 8 – Fator de amplificação dinâmico em função do comprimento do vão e do coeficiente de amortecimento estrutural (Φ) [9]

48

Pimentel e Fernandes [11] acrescentaram à formulação de Rainer, Pernica e

Allen [9] um fator de configuração Kpf que leva em consideração o número de vãos

da passarela, conforme Equação 19:

pfiestnnped Kyfa φαπ 224= (19)

Onde:

fn: frequência natural da passarela;

yest: deslocamento no centro do vão (yest = PL3/48EI) devido ao peso (P) igual

a 700 N;

L: comprimento do vão (m);

E: módulo de elasticidade (Pa);

I: momento de inércia (m4).

αi: coeficiente de Fourier;

ϕ: fator de amplificação dinâmico;

Kpf: fator de configuração que depende do número de vãos.

O fator de configuração Kpf sugerido por Pimentel e Fernandes depende do

número de vãos, e da relação entre os comprimentos dos vãos da passarela de

pedestre, conforme Tabela 4.

Tabela 4 – Fator de configuração em função do número de vãos de passarelas (Kpf) [11]

Configuração da passarela Razão a/L

Kpf

- 1,0

1,0 0,69

0,8 0,92

0,6 0,96

0,4 0,97

0,2 0,97

1,0 0,60

0,8 0,81

0,6 0,90

0,4 0,96

0,2 0,96

Grundmann [57] apresentou uma formulação simplificada para cálculo de

49

aceleração de pico aplicável a passarelas simplesmente apoiadas dado pelas

Equações 20 a 22:

( )δ

δ

π n

vert em

Fa

−−= 16,0 (20)

PF iα= (21)

Mm35

17= (22)

Onde:

P: peso do pedestre igual a 700 N;

αi: coeficiente de Fourier para o ith harmônico;

n: número de passos para cruzar o vão;

m: massa modal (Kg);


δ: amortecimento critico em termos de decremento logarítmico (δ=2πξ).

1.2.12 Comparativo entre os critérios normativos

A Figura 9 apresenta os valores limites para acelerações de pico de

passarelas externas estabelecidos pelas normas apresentadas no presente capítulo.

Os valores das acelerações, em RMS, da Norma ISO 10137 [55] foram convertidos

para aceleração de pico.

Figura 9 – Aceleração vertical limite (m/s²)

50

Observa-se que para as normas BS 5400 [3], OHBDC [4] e ISO 10137 [55], os

valores limites variam conforme a frequência natural da estrutura na direção

transversal vertical. Já para as normas Eurocode 5 [5] e Bro [54] os valores limites

das acelerações de pico independem da frequência natural da estrutura.

No presente capítulo foram apresentadas metodologias simplificadas,

recomendadas por normas e trabalhos realizados, para determinação da aceleração

de pico na direção transversal vertical de passarelas de pedestres bem como os

respectivos critérios normativos para verificação do conforto humano.

O capítulo seguinte apresenta o modelo de carregamento devido ao caminhar

humano utilizado para obtenção da resposta dinâmica da passarela investigada

quando da implementação de modelo numérico computacional baseado nos

métodos dos elementos via programa ANSYS [52].

51

2 MODELO DE CARREGAMENTO DINÂMICO

2.1 Introdução

O presente capítulo apresenta o carregamento dinâmico utilizado no modelo

numérico computacional para obtenção da resposta dinâmica da estrutura

investigada.

Em diversas normas e pesquisas desenvolvidas, a função representativa do

caminhar humano tem sido representada por uma série de Fourier, com base em

uma composição de harmônicos. A representação matemática da ação humana do

caminhar na direção transversal vertical é dada pela Equação 23.

( )[ ]∑ ++= ipi tfiPtF φπα 2cos1)( (23)

Onde:

F(t): função de carregamento dinâmico;

P: peso de uma pessoa;

αi: coeficiente dinâmico para a força harmônica (fator de carga dinâmica);

i: múltiplo do harmônico (1, 2, 3, etc.);

fp: frequência do passo humano;

φi: ângulo de fase para o harmônico i;

t: tempo.

Em que pese problemas relacionados a vibrações excessivas em passarelas

de pedestres terem sido reportados por muitos anos, somente recentemente tem

sido incorporado na prática de projeto, a verificação do estado limite de vibrações

excessivas (ELS-VE). Face à complexidade do carregamento devido ao caminhar

humano, a resposta dinâmica de passarelas envolve um grande número de modos

de vibração. Contudo, estudos acadêmicos e experimentais apresentam

metodologias simplificadas para realização de análise dinâmica destas estruturas

durante a fase de projeto.

Normalmente, os problemas de vibrações excessivas envolvem forças que se

repetem ao longo do tempo sendo causadas por máquinas ou por atividades

humanas, como a dança, a aeróbica, o correr ou o caminhar. Usualmente o

52

caminhar humano é considerado como sendo uma força senoidal composta por

harmônicos.

O carregamento dinâmico devido ao caminhar humano é complexo. Durante o

caminhar, o movimento de pernas do ser humano causa a subida e descida da

massa efetiva do corpo em cada passo causando variação da força dinâmica

gerada. O modelo de carregamento utilizado no modelo numérico computacional

apresenta variação espacial e temporal, objetivando uma representação mais

realista dos passos dados pelo ser humano em uma caminhada.

A resposta dinâmica de passarelas de pedestres depende dos parâmetros

representativos do caminhar humano, tais como: a distância, a frequência e a

velocidade do passo do pedestre considerados. Ilustrativamente, a Tabela 5

apresenta valores destes parâmetros conforme o tipo de caminhada.

Tabela 5 – Características do caminhar humano [12]

Atividade Velocidade (m/s)

Distância do Passo (m)

Frequência do Passo (Hz)

Caminhada lenta 1,1 0,60 1,7 Caminhada normal 1,5 0,75 2,0 Caminhada rápida 2,2 1,00 2,3

A frequência natural na direção transversal vertical da passarela investigada é

igual a 4,10 Hz (f01 = 4,10 Hz). Para cálculo da resposta dinâmica, a malha de

elementos finitos deve, portanto, ser, suficientemente refinada, de forma que o

carregamento dinâmico devido ao caminhar humano seja adequadamente alocado

nos respectivos nós do modelo numérico.

O tempo de contato da aplicação da carga dinâmica com a estrutura depende

da distância e da frequência do passo. Segundo os valores referenciais da Tabela 5,

para um pedestre caminhando em ritmo normal o período do passo é igual a 1/fp =

½ Hz = 0,50 s, correspondente a uma distância de 0,75 m. Portanto, adotando-se

uma malha com elementos finitos com comprimento de 0,25 m, por exemplo, para

representar um passo do pedestre sobre a passarela seriam necessárias três

cargas. Cada carga P1, P2 e P3 deve ser aplicada durante 0,50/3 = 0,1667 s,

conforme ilustrado na Figura 10. Para caminhadas com frequências de passo

diferente do ritmo normal, aplica-se a mesma teoria utilizada, ajustando-se os

valores dos parâmetros representativos do caminhar humano, comprimento do

passo, período e velocidade do passo.

53

0,25 0,25

0,75

0.25

P1∆t = 0.1667 s

P2∆t = 0.1667 s

P3∆t = 0.1667 s

Figura 10 – Representação do passo do pedestre durante a caminhada [19].

Observa-se que a ação dinâmica das cargas P1, P2 e P3 não são aplicadas

simultaneamente. A carga P1 é aplicada durante 0,1667 s, e no final deste período

de tempo, P1 passaria a assumir um valor nulo e, logo em seguida, a carga P2 é

aplicada por 0,1667 s. Este processo numérico ocorre sucessivamente, ao longo do

tempo, do início até o fim da travessia de toda a passarela.

As forças dinâmicas devido ao caminhar humano apresentam componentes

nas direções transversal vertical, transversal horizontal e longitudinal que dependem

dos parâmetros representativos do caminhar humano, frequência de passo,

velocidade de caminhada e comprimento de passo. Diversos estudos, foram

realizados na tentativa de quantificar os componentes das forças induzidas pela

caminhada. Inicialmente, o componente na direção transversal vertical era de maior

interesse tendo em vista que a maioria dos problemas relacionados a vibrações

excessivas eram atribuídos a este componente da força.

Segundo Bachmann apud Murray, Allen e Ungar [12] a frequência do passo

do pedestre segue um distribuição normal com média de 2,0 HZ e desvio padrão de

0,2. Isto implica que a faixa contendo os valores mais prováveis da frequência de

força na direção transversal vertical é 1,4 a 2,6 Hz. Como a componente na direção

transversal horizontal da força é aplicada em metade da frequência de passo, a

frequência da força nesta direção está na faixa de 0,7 a 1,2 Hz (Figura 11), segundo

Nakamura [58].

Diversas passarelas foram projetadas com frequências naturais nas direções

transversal vertical e transversal horizontal nas faixas de frequência do primeiro

54

harmônico da carga de excitação do caminhar humano (frequências nas direções

transversal vertical de 1,6 a 2,6 Hz e transversal horizontal de 0,8 a 1,3 Hz). O

fenômeno da ressonância que acarreta aumento significativo dos deslocamentos e

acelerações de estruturas, ocorre quando a frequência da carga de excitação é igual

a frequência natural do sistema estrutural. Assim, passarelas projetadas com

frequência natural na faixa de frequência do caminhar humano podem apresentar

vibrações excessivas devido à ação de pedestres.

Figura 11 – Faixas de frequências nas direções transversal vertical e transversal

horizontal em passarelas. Fonte: Nakamura [58].

No modelo numérico computacional implementado para obter a resposta

dinâmica da passarela investigada, foi aplicado o modelo de carregamento na

direção transversal vertical, de forma a se representar a caminhada de pedestres,

proposto por Varela e Battista [18].

2.2 Modelo proposto por Varela e Battista [18]

O modelo de carregamento proposto por Varela e Battista [18] é baseado em

análise mais realista da excitação dinâmica devido ao caminhar do pedestre,

incorporando o impacto transiente do calcanhar humano. Este modelo de

carregamento foi proposto a partir de uma aproximação matemática respaldada por

estudos experimentais que permitiram registrar a reação total de um piso, gerada ao

longo do tempo, durante uma caminhada sobre plataformas rígidas (Ohlsson [59];

Varela [18]), de acordo com a Figura 12.

55

Figura 12 – Força de contato de um passo humano e reação do piso [59].

A carga de excitação dinâmica associada ao caminhar humano, já

incorporando efeito do impacto do calcanhar, é obtida a partir das Equações 24 a 27

(Varela [18]). A função matemática proposta, na Equação 24, representativa da

carga dinâmica produzida por uma pessoa caminhando sobre um piso, não é

modelada simplesmente por uma série de Fourier, tendo em visto que a equação

matemática também engloba em sua formulação o pico transiente representativo do

impacto do calcanhar sobre o piso.

56

( )

( )[ ]

( )

<≤+

−−

<≤+++

<≤

<≤

+

−

<≤+

−

=

∑=

pp

p

2

nh

1i

ppipp

ppm

pp

p

p1

mmi

p

p

mmi

Tt T90,0se P1T

tCP10

T90,0t T15,0se T1,0tfi2senPP

T15,0t T06,0se F

T06,0t T04,0se 1T02,0

T04,0tCFf

T04,0t 0se PtT04,0

PFf

)t(F

φπα

(24)

α+= ∑

=

nh

1i

im 1.PF (25)

−= 1

f

1C

mi

1 (26)

( )( )

=+−

=−=

4nh se 1P

3nh se 1PC

42

2

2αα

α (27)

Onde:

Fm : valor máximo da série de Fourier, dado pela Equação (23);

fmi : fator de majoração do impacto do calcanhar, fmi = 1,12 (Varela [18]);

Tp : período do passo;

C1 : coeficiente dado pela Equação (24);

C2 : coeficiente dado pela Equação (25).

No presente trabalho, são utilizadas as Equações 24 a 27 para obtenção da

força dinâmica devido ao caminhar humano sobre os pisos. Adotando-se, ainda,

57

para o fator de amplificação do impacto do calcanhar humano o valor de 1,12 (fmi =

1,12) [18]. Entretanto, cabe ressaltar que este valor de 1,12 varia para cada pessoa.

No modelo de carregamento, os coeficientes dinâmicos para os quatros

primeiros harmônicos da caminhada devem ser obtidos. Exemplificativamente, o

guia de projeto do AISC (Murray et al [12]) fornece os valores destes parâmetros

segundo a Tabela 6.

Destaca-se que os coeficientes dinâmicos associados aos harmônicos da

caminhada humana são função da frequência do passo do pedestre. Existem

diversas pesquisas desenvolvidas onde foram formuladas equações matemáticas

para, a partir dos valores da frequência do passo, determinar os valores de tais

coeficientes, conforme exposto mais adiante no capítulo 10 do presente trabalho.

Tabela 6 – Coeficientes dinâmicos propostos por Murray, Allen e Ungar [12]

Harmônico i Coeficiente

Dinâmico(αi) Ângulo de Fase (φi)

1 0,50 0

2 0,20 π/2

3 0,10 π

4 0,05 3π/2

A Figura 13 apresenta uma função de carregamento dinâmico vertical, a qual

representa um pedestre com peso igual a 735 N caminhando com frequência de

passo igual a 2 Hz sobre uma passarela.

Figura 13 – Força dinâmica do caminhar humano na direção transversal vertical (2 Hz)

58

Neste capítulo foi apresentado o modelo de carregamento dinâmico devido ao

caminhar humano utilizado no cálculo numérico computacional para obtenção do

comportamento dinâmico do modelo estrutural investigado.

O capítulo seguinte é dedicado aos conceitos básicos de estatística utilizados

na implementação da análise dinâmica probabilística.

59

3 DEFINIÇÃO DOS PARÂMETROS UTILIZADOS NA INVESTIGAÇÃO

3.1 Introdução

Os métodos analíticos determinísticos, revisados no capítulo 1 do presente

trabalho, para avaliação do comportamento dinâmico de passarelas de pedestres

não levam em consideração a natureza estocástica do caminhar humano. Os valores

das acelerações de pico são obtidos no meio do vão da passarela adotando-se os

valores médios do peso, frequência e comprimento do passo dos pedestres.

Nos métodos determinísticos, as acelerações de pico obtidas são

comparadas com valores limites estabelecidos em normas e guias de projeto como

um único critério para determinação do conforto humano, desprezando-se a

probabilidade de ocorrência de tais valores de pico.

Por meio de análise probabilística do comportamento dinâmico de passarelas

de pedestres é possível determinar para um dado nível de confiança a probabilidade

de uma dada passarela experimentar valores de aceleração de pico acima dos

limites estabelecidos em normas e guias de projeto. Simulando-se inúmeros

cenários de carregamento, por meio da implementação do método de Monte Carlo,

pode-se obter um histograma dos valores das acelerações de pico e as respectivas

probabilidades de ocorrência destes valores.

3.2 Variável aleatória

Barbetta [72] define variável aleatória como sendo uma variável com um valor

único determinado aleatoriamente após a realização de um experimento. Portanto, a

aleatoriedade implica que os valores de uma dada variável só são conhecidos

depois do experimento ser realizado.

Na análise do comportamento dinâmico de passarelas de pedestres os

parâmetros referentes ao peso, frequência e comprimento do passo do pedestre

representam variáveis aleatórias cujos valores só são conhecidos no momento que

um determinado pedestre inicia sua travessia.

60

3.3 Variável aleatória contínua e discreta

Uma variável aleatória discreta assume valores inteiros e finitos (Barbetta

[71]). Já uma variável aleatória contínua pode assumir infinitos valores num dado

intervalo de números reais e é medida numa escala contínua.

3.4 Distribuição de probabilidades

Além de atribuir valores a uma dada variável aleatória, podemos atribuir,

também, uma probabilidade de ocorrência para cada valor desta variável.

Conhecendo-se todos os valores de uma variável aleatória juntamente com suas

respectivas probabilidades, temos uma distribuição de probabilidades (Barbetta [71]).

A distribuição de probabilidades é a curva que associa a cada valor possível

de uma variável a respectiva probabilidade de ocorrência. No lançamento de um

dado, por exemplo, cada face tem a mesma probabilidade de ocorrência que é 1/6.

Como os valores das distribuições de probabilidades são probabilidades, e

como as variáveis aleatórias devem tomar um de seus valores, temos as duas

regras a seguir que se aplicam a qualquer distribuição de probabilidades (Barbetta

[71]):

1. A soma de todos os valores de uma distribuição de probabilidades deve ser

igual a 1, Equação 28.

Variável aleatória será discreta se o número de valores possíveis no seu contradomínio for finito ou enumerável

Variável aleatória será contínua se o número de valores possíveis no seu contradomínio for um intervalo ou conjunto de valores

VARIÁVEL ALEATÓRIA

DISCRETA CONTÍNUA

Os resultados possíveis estão contidos em conjunto finito ou enumerável

Os resultados possíveis abrangem um intervalo de número reais

61

∑P(x) = 1 (28)

Onde:

P(x): probabilidade de ocorrência de um valor x da variável.

2. A probabilidade de ocorrência de um evento deve ser maior do que zero e

menor do que 1, Equação 29.

0 <P (x) <1 para todo x (29)

Onde:

P(x): probabilidade de ocorrência de um valor x da variável.

Outra vez, no exemplo do lançamento de um dado, já que todas as faces têm

a mesma probabilidade de ocorrência 1/6 ao somá-las obtemos o valor 1, que

corresponde a primeira regra de uma distribuição de probabilidades. O valor 1/6 é

maior do que zero e menor do que 1, satisfazendo a segunda regra da distribuição

de probabilidades.

A distribuição de probabilidades pode ser representada por um histograma de

probabilidades. O histograma de probabilidades representa graficamente os dados

quantitativos, agrupados em classes de frequência que permite distinguir a forma, o

ponto central e a variação da distribuição, além de outros dados como amplitude e

simetria na distribuição dos dados (Barbetta [71]).

Como exemplo a Figura 14 demonstra um histograma relativo à soma dos

valores obtidos a partir do lançamento simultâneo de dois dados 200000 mil vezes.

0

5000

10000

15000

20000

25000

30000

35000

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Fre

qu

ên

cia

Soma dos valores Figura 14 – Histograma

62

3.5 Função de probabilidade ou função de densidade de probabilidade (fdp)

Variáveis aleatórias, discretas ou contínuas, são quantificadas por uma

função de densidade de probabilidade (fdp). A fdp é a função que associa a cada

valor do espaço amostral de uma variável aleatória, a probabilidade de ocorrência de

tais valores (Barbetta [71]).

A Figura 15 representa a função densidade de probabilidade (fdp) da resposta

dinâmica de uma passarela de pedestre quando submetida ao carregamento

aleatório de um único pedestre. A aleatoriedade do carregamento deve-se ao fato de

pedestres possuírem peso, frequência e comprimento de passo distintos. Portanto,

cada indivíduo, apresenta um potencial dinâmico para excitar um dado sistema

estrutural. Como as respostas dinâmicas da estrutura variam em função das

características individuais de cada pedestre, o comportamento dinâmico é melhor

representado por sua respectiva função de probabilidade.

Observa-se que os valores próximos à parte central do gráfico (0,6 m/s²)

apresentam maior probabilidade de ocorrência. Por meio da função densidade de

probabilidade é possível determinar a probabilidade de ocorrência de um valor x de

uma variável aleatória.

0%

5%

10%

15%

20%

25%

30%

35%

40%

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2

Pro

ba

bil

ida

de

(%

)

Aceleração (m/s²) Figura 15 – Função densidade de probabilidade (fdp)

3.6 Função de distribuição acumulada (fda)

Além da função densidade de probabilidade, existe também outra forma de

representar uma distribuição de probabilidades de uma variável aleatória. A função

63

de distribuição acumulada da variável aleatória representa a probabilidade de uma

variável assumir um valor menor ou igual a x (Barbetta [71]). Na Figura 16

encontram-se graficamente representadas as funções densidade de probabilidade e

a função de distribuição acumulada da resposta dinâmica de uma passarela de

pedestres submetida ao carregamento de um único pedestre.

Observa-se na Figura 16 que a probabilidade da estrutura analisada

apresentar aceleração de pico igual ao menor 0,8 m/s² é de 96%. Ou seja, para esta

estrutura é esperado, considerando-se a aleatoriedade do peso, frequência e

comprimento do passo dos pedestres, que sua resposta dinâmica ultrapasse

somente em 4% dos casos o valor de 0,8 m/s². Logo, a curva de probabilidade

acumulada pode ser utilizada para se determinar o valor máximo de uma variável

aleatória para um dado grau de confiança.

0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

80%

90%

100%

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2

Pro

ba

bil

ida

de

(%

)

Aceleração (m/s²)

fdp (x)

fda (x)

Figura 16 – Função de distribuição acumulada (fda)

3.7 Valor esperado de uma variável

Define-se valor esperado (ou esperança matemática ou média) de uma

variável aleatória como a média ponderada de longo prazo de x em relação à função

de densidade de probabilidade (fdp), conforme a Equação 30 (Barbetta [71]).

∑== )()()( xPxxxE µ (30)

Onde:

µ(x): média;

x: valor possível da variável aleatória;

P(x): probabilidade de ocorrência de um valor x.

64

3.8 Variância e desvio padrão de uma variável aleatória

Define-se variância de uma variável aleatória como a média dos desvios

quadráticos da variável em relação à sua própria média. Matematicamente, é

expressa pela Equação 31. O desvio padrão é definido como a raiz quadrada

positiva da variância segunda a Equação 32 (Barbetta [71]).

[ ] ²)(²2 µσ −−= ∑ xPx (31)

[ ]( ) 2/1²)(² µσ −−= ∑ xPx

(32)

Onde:

σ²: variância;

σ: desvio padrão;

µ(x): média, esperança ou valor esperado;

x: valor possível da variável aleatória;

P(x): probabilidade de ocorrência de um valor x.

3.9 Distribuição normal

A distribuição normal de probabilidades é considerada a mais importante no

ramo da estatística, visto que permite modelar uma infinidade de fenômenos

naturais, e, além disso, possibilita realizar aproximações para calcular probabilidades

de muitas variáveis aleatórias que têm outras distribuições (Barbetta [71]).

É também conhecida como distribuição de Gauss, Laplace ou Laplace-Gauss.

A distribuição Normal é caracterizada por uma função de densidade de

probabilidade cujo gráfico descreve uma curva em forma de sino, que evidencia

maior probabilidade de a variável aleatória assumir valores próximos aos valores

centrais. A curva característica de uma distribuição normal é dada pela Equação 33

(Barbetta [71]):

2

2

1

2

1)(

−

= σ

µ

πσ

x

exf (33)

Onde:

σ: desvio padrão;

µ: média;

65

f(x): distribuição normal de uma variável x.

Uma variável aleatória tem distribuição normal se sua função de densidade de

probabilidade tiver a forma de um sino, conforme a Figura 17, representativa da

resposta dinâmica de uma passarela de pedestres submetida ao carregamento de

um único pedestre, cujo peso, frequência e comprimento do passo são variáveis

aleatórias.

Observa-se que os valores centrais possuem maior probabilidade de

ocorrência quando comparados com os valores extremos. Por exemplo, 0,6 m/s² tem

a probabilidade de ocorrência igual a 33%, já o valor 0,8 m/s² possui probabilidade

de ocorrência de apenas 7,5%.

0%

5%

10%

15%

20%

25%

30%

35%

40%

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2

Pro

ba

bil

ida

de

(%

)

Aceleração (m/s²) Figura 17 – Curva característica de uma distribuição normal

As principais características da distribuição normal são:

1. Teoricamente, a curva prolonga-se de –∞ a +∞.

2. A área total sob a curva é igual a 1, conforme a Equação 34.

∫+∞

∞−

= 1)( dxxf (34)

Onde:

f(x): distribuição normal de uma variável x.

3. Conforme pode ser observado na Figura 18, a curva é simétrica em torno

de µ (média), o que faz com que média seja igual a mediana e a moda. A

mediana representa o valor de uma dada variável correspondente a 50%

66

de probabilidade de ocorrência, já a moda representa o valor da variável

com maior probabilidade de ocorrência.

Figura 18 – Simetria da distribuição normal [71]

4. A curva da distribuição normal, conforme a Figura 19, tem dois pontos de

inflexão, respectivamente em µ-σ e µ+σ. Cerca de 68% dos valores

recaem no intervalo de um desvio padrão de cada lado da média, 95%

recaem no intervalo média ± 2 desvios e 99,7% recaem no intervalo

média.

± 3 desvios.

Figura 19 – Pontos de inflexão da curva de distribuição normal [71]

Neste capítulo foram apresentados os fundamentos de estatística necessários

para implementação de método probabilístico para verificação do comportamento

dinâmico de passarelas de pedestres. No capítulo seguinte são abordados os

conceitos teóricos do método de Monte Carlo.

67

4 MÉTODO DE MONTE CARLO (MMC)

4.1 Introdução

Método de Monte Carlo (MMC) é um método estatístico, onde se atribuem,

segundo uma dada distribuição estatística, valores às variáveis de uma determinada

equação a fim de se obter estatisticamente sua solução numérica. Este método já

era conhecido há séculos, mas começou a ser utilizado efetivamente, somente nas

últimas décadas. O nome Monte Carlo foi denominado por Metropolis, inspirado no

interesse do pesquisador Ulam por poker durante o projeto Manhatan na segunda

guerra mundial, devido à similaridade da simulação estatística de jogos de azar e por

causa da capital de Mônaco conhecido como a capital mundial dos jogos de azar

(Flanagam [72]).

A base do método vem a ser o teorema da transformação integral. Ele permite

que, sendo conhecida a função de distribuição acumulada (fda) de uma variável

aleatória x, seja gerada uma amostra aleatória de tamanho n, representada por (x1,

x2, ..., x

n), com a utilização da Equação 35 (Flanagam [72]):

)(1

idai rfx−

= (35)

Onde:

fda: função de distribuição acumulada de uma variável;

ri: número aleatório entre 0 e 1.

O método da simulação de Monte Carlo é utilizado na solução de problemas

que envolvem variáveis aleatórias com funções de probabilidade conhecidas ou

assumidas. Sabe-se que, se f(x) representar a função densidade de probabilidade

da variável x, A função de distribuição acumulada é dada pela Equação 36

(Flanagam [72]).

∫∞

∞−

= dxxfxf dpda )()( (36)

Onde:

fda(x): função de distribuição acumulada da variável x;

fdp(x); função densidade de probabilidade da variável x.

68

Os principais componentes do Método de Monte Carlo são segundo

Rodrigues [72]:

a) Função densidade de probabilidade (fdp) ou função de distribuição

acumulada (fda);

b) Geradores de números aleatórios;

c) Regras de amostragem;

d) Estimativa de erro.

No ramo da engenharia civil, especificamente no campo da dinâmica

estrutural, as simulações estatísticas contrastam com métodos convencionais

determinísticos historicamente utilizados para avaliação do comportamento de

estruturas submetidas a ações de natureza randômica.

A resposta dinâmica de passarelas de pedestres submetidas à ação do

caminhar humano é função das variáveis aleatórias e independentes peso,

frequência e comprimento do passo do pedestre. Portanto, a partir o conhecimento

da função de densidade de probabilidade de tais variáveis aleatórias é possível

simular diferentes cenários para se obter a resposta dinâmica probabilística de uma

dada estrutura.

4.2 Geração de números aleatórios

Uma fase muito importante no cálculo de Monte Carlo é a seleção de

variáveis aleatórias a partir das funções de densidade de probabilidade (fdp) ou

funções de distribuição acumuladas (fda) apropriadas (Rodrigues [73]).

O procedimento para selecionar um conjunto de valores de x, envolve a

utilização de números aleatórios. Devem ser atribuídos valores que representem

fielmente a distribuição estatística da variável aleatória.

Em simulações computacionais utilizam-se geradores de números

pseudoaleatórios que são sub-rotinas para fornecer um número aleatório toda vez

que for necessário realizar uma amostragem (Flanagam [71]).

No presente trabalho, utilizou-se o programa computacional livre denominado

SIMULAR [74], com linguagem de programação Visual Basic da Microsoft, para

realizar as simulações baseadas no Método de Monte Carlo com intuito de obter a

69

resposta dinâmica da estrutura quando submetida ao carregamento aleatório de um

único pedestre.

O programa SIMULAR dispõe de inúmeras funções de distribuição estatística,

lognormal, poisson, normal, exponencial e etc. As variáveis aleatórias peso,

frequência e comprimento do passo do pedestre seguem uma distribuição normal

conforme detalhado mais adiante no capítulo 10 do presente trabalho.

4.3 Regras de Amostragem

Outro aspecto muito importante na simulação de Monte Carlo diz respeito ao

número de interações necessárias para se obter resultados com um determinado

grau de confiabilidade. Em geral, quanto maior o número de simulações, melhor a

curva de distribuição acumulada refletirá a gama de resultados possíveis. No

entanto, Flanagan [72] indica a utilização do teste do qui-quadrado para verificar se

a quantidade de simulações realizadas é suficiente.

Rodrigues [73] propõe uma alternativa mais simples para a avaliação do

número de interações, por meio da Equação 37.

σξ 2

)1( ppN

−≥ (37)

Onde:

N: número de interações

p: probabilidade a ser estimada pelo método de Monte Carlo;

ξ: erro máximo para estimativa de p;

σ: coeficiente de variação.

O valor de N deve ser considerado apenas como uma avaliação inicial do

número de simulações. A aplicação da Equação 37, simultaneamente com a

utilização do teste do qui-quadrado, fornecerá uma estratégia adequada para

verificar se o valor de N está correto ou não.

Ainda segundo Rodrigues [73] outra forma de se determinar o número de

interações é aplicar o processo de convergência. À medida que o processo de

simulação vai sendo executado, devem ser calculadas as médias dos resultados

70

obtidos. Quando a variação destas medidas cair, ou estabilizar-se dentro de uma

determinada faixa de valor, o processo poderá ser interrompido.

4.4 Simulação de Monte Carlo

Como visto o método de Monte Carlo pode ser utilizado para se determinar as

probabilidades de ocorrência dos valores de uma determinada variável aleatória. Por

exemplo, podem-se determinar as probabilidades dos resultados correspondentes

ao somatório dos valores de dois dados lançados simultaneamente. Na Tabela 7, a

primeira coluna representa o número do evento (ou interação), a segunda coluna o

número obtido a partir do lançamento do dado número um, a terceira coluna

representa o valor obtido do dado número dois e a quarta coluna o somatório dos

valores obtidos dos dois dados.

Tabela 7 – Simulação pelo método de Monte Carlo da soma de dois dados

Eventos Dado 1 Dado 2 Soma dos Valores 1 4 4 8 2 1 6 7 3 1 2 3 4 6 2 8 5 3 3 6 6 4 1 5 7 4 2 6 8 5 6 11 9 1 3 4

10 1 2 3

Este experimento pode, facilmente, ser implementado computacionalmente.

Os valores dos dados são obtidos a partir da geração números aleatórios. Por

exemplo, a função “=ALEATÓRIOENTRE(1;6)” do programa Excel da Microsoft,

gera aleatoriamente número inteiros entre 1 e 6 seguindo uma distribuição uniforme,

onde os todos os valores da distribuição possuem mesma probabilidade de

ocorrência.

Realizando-se a simulação acima para o número de eventos correspondente

a duzentos mil, a média dos somatórios dos valores dos dados é igual 7 e o desvio

padrão igual a 2,41. A Figura 20 demonstra o histograma, já na Figura 21

71

encontram-se a função densidade de probabilidade (fdp) e a função densidade

acumulada (fda) do somatório dos valores obtidos dos dois dados.

0

5000

10000

15000

20000

25000

30000

35000

40000

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Fre

qu

ên

cia

Soma dos valores

Figura 20 – Histograma soma dos valores de dois dados

0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

80%

90%

100%

2 4 6 8 10 12

Pro

bab

ilid

ade

(%)

Soma dos Valores

fdp

fda

Figura 21 – Funções de probabilidade (fdp) e (fda)

Neste capítulo foram apresentados os conceitos básicos do Método de Monte

Carlo. O próximo capítulo descreve o modelo estrutural investigado na presente

dissertação.

72

5 DESCRIÇÃO DO MODELO ESTRUTURAL INVESTIGADO

5.1 Introdução

O presente capítulo apresenta informações relativas ao projeto estrutural da

passarela investigada. Serão apresentados os dados referentes à geometria da

estrutura, características geométricas dos perfis e características físicas dos

materiais utilizados. A estrutura em questão é uma passarela interna mista existente,

constituída por perfis em aço e lajes em concreto armado, suscetível a vibrações

provenientes da caminhada humana.

5.2 Modelo estrutural da passarela

O modelo estrutural investigado neste trabalho de pesquisa consiste em uma

passarela interna de pedestre mista (aço-concreto) com vão de 15 m, construída em

um hospital público na cidade do Rio de Janeiro, conforme ilustrado na Figura 22. Os

perfis metálicos ASTM A36 utilizados são do tipo “I” soldados. Para as vigas de aço

foi considerado um módulo de elasticidade igual a 205 GPa. A laje de concreto

possui espessura de 0,10 m, resistência característica a compressão de 25 MPa e

módulo de elasticidade igual a 28 GPa.

No modelo construído, a laje de concreto da passarela foi construída

apoiando-se sobre as transversinas, conforme apresentado nas Figuras 23 e 24. A

Tabela 8 ilustra as propriedades geométricas dos perfis das longarinas e

transversinas.

Tabela 8 – Características geométricas da passarela investigada (dimensões em mm)

Tipo de Perfil

Altura do

Perfil

(H)

Largura da

Mesa (bf)

Espessura

da Mesa

Superior (tf)

Espessura

da Mesa

Inferior (tf)

Espessura

da Alma

(tw)

Longarina - I 700 x 700 300 25,0 25,0 8,0 Transversina - I 330 x 330 200 9,5 9,5 6,3

Durante a fase de projeto foi discutida uma opção de apoiar a laje de concreto

sobre as longarinas mantendo-se as mesmas dimensões dos perfis de aço. Ao longo

desta investigação serão apresentados os resultados referentes ao modelo

73

efetivamente construído cuja laje de concreto da passarela encontra-se assentada

sobre as transversinas.

Figura 22 – Vista superior do modelo estrutural.

74

Figura 23 – Vista lateral da laje de concreto sobre as transversinas.

Figura 24 – Vista frontal da laje de concreto sobre as transversinas.

75

5.3 Modelagem do amortecimento estrutural

Amortecimento é o processo pelo qual a energia do movimento vibratório é

dissipada. Entretanto, a avaliação do amortecimento estrutural é uma tarefa

complexa que não pode ser determinada através da geometria da estrutura, das

dimensões dos elementos estruturais e do amortecimento dos materiais, segundo

Clough e Penzien [61].

Segundo Chopra [62], é impossível determinar a matriz de amortecimento de

um sistema estrutural através das propriedades de amortecimento de cada elemento

que compõe a estrutura da maneira como é determinada a matriz de rigidez, por

exemplo. Isto ocorre porque ao contrário do módulo de elasticidade, que é utilizado

na computação da rigidez, as propriedades de amortecimento dos materiais não são

bem estabelecidas.

Ainda que estas propriedades fossem conhecidas, de acordo com Chopra

[62], a matriz de amortecimento resultante não levaria em conta uma parte

significante da energia dissipada através do atrito nas ligações em estruturas

metálicas, abertura e fechamento de micro fissuras no concreto, atrito entre a

estrutura e outros elementos que estejam acoplados à mesma, tais como alvenaria,

divisórias, equipamentos mecânicos, proteção contra incêndio, etc. Algumas destas

fontes de dissipação de energia são extremamente difíceis de serem identificadas.

A avaliação física do amortecimento de uma estrutura só é considerada

corretamente medida se seus valores são obtidos através de ensaios experimentais.

Entretanto, a realização destes ensaios muitas das vezes demanda tempo e custo

que na maioria dos casos é muito elevado. Por esta razão, o amortecimento é

geralmente obtido em termos de taxas de contribuição, ou taxas de amortecimento

modal, Clough e Penzien [61].

Com este intuito, é habitual utilizar-se a matriz de amortecimento de Rayleigh,

que considera duas principais parcelas, uma relativa à taxa de contribuição da matriz

de massa (α) e outra à taxa de contribuição da matriz de rigidez (β), conforme pode

ser observado através da Equação 38. Define-se M a matriz de massa e K a matriz

de rigidez do sistema, Craig Jr. [63], Clough e Penzien [61] e Chopra [62].

KMC βα += (38)

76

A Equação 39 pode ser reescrita, em termos de taxa de amortecimento modal

e frequência natural circular (rad/s), como:

2

2

0i

0

ωβ

ω

αξ +=

i

i (39)

Onde:

ξi = Taxa de amortecimento do i-ésimo modo;

ω0i = Frequência natural circular referente ao i-ésimo modo.

Isolando α e β da Equação 39, para duas frequências naturais mais

importantes, obtêm-se as Equações 40 e 41.

0101011 - 2 ωωβωξα = (40)

( )

01010202

011022

-

- 2

ωωωω

ωξωξβ = (41)

A partir de duas frequências naturais mais importantes é possível descobrir os

valores de α e β. Em geral, a frequência natural ω01 é tomada como a menor

frequência natural, ou frequência fundamental da estrutura, e ω02 como a segunda

frequência mais importante no carregamento.

Na literatura, encontram-se diversos valores e dados sobre o amortecimento

estrutural. Muitas vezes, entretanto, estes valores aparecem com grande

variabilidade, o que dificulta sua utilização em projetos estruturais nos quais se

deseja atingir certo grau de sistematização. Além disso, face à grande variedade de

formas de se considerar o amortecimento estrutural nos programas de análise

numérica, as quais, caso sejam utilizadas de forma incorreta, fornecem resultados

que não correspondem a uma situação real.

O AISC [12] apresenta valores recomendados de amortecimento viscoso para

estruturas, conforme apresentado na Tabela 9.

Tabela 9 – Valores recomendados de taxas de amortecimento ξ [12]

Tipo de construção Amortecimento ξ

Escritórios, residências e igrejas 0,02 – 0,05

Shopping centers 0,02

Passarelas internas 0,01

Passarelas externas 0,01

77

Com base nestes dados foi utilizado um coeficiente de amortecimento de

1,0% (ξ = 1,0% ou 0,01) em todos os modos. Esta taxa leva em conta a existência

de poucos elementos que contribuem com o amortecimento da estrutura. A Tabela

10 apresenta os parâmetros α e β utilizados nas análises de vibração forçada, para a

modelagem do amortecimento da estrutura da passarela mista desenvolvida nesse

estudo.

Tabela 10 – Parâmetros α e β usados na análise de vibração forçada

f01

(Hz)

f02

(Hz)

ω01

(rad/s)

ω02

(rad/s) α β

4,10 11,08 25,76 69,62 0,376063955 0,00020969

Este capítulo descreve as características físicas do sistema estrutural

investigado. No capítulo seis, será apresentado o modelo numérico-computacional

adotado no presente estudo.

78

6 MODELO NUMÉRICO-COMPUTACIONAL

6.1 Introdução

No capítulo cinco foram apresentadas todas as propriedades referentes à

estrutura da passarela de pedestre investigada. No presente capítulo, as

propriedades físicas e geométricas apresentadas são utilizadas para desenvolver o

modelo numérico-computacional que representa o comportamento do sistema

estrutural estudado.

No modelo numérico desenvolvido são empregadas técnicas usuais de

discretização, via método dos elementos finitos, por meio do emprego do programa

ANSYS [52]. A estrutura da passarela de pedestres mista (aço-concreto) foi

elaborada através da utilização de elementos de casca e viga em um modelo com

número total de 5494 nós e 32970 graus de liberdade. O comprimento dos

elementos finitos que compõem a malha da estrutura é de aproximadamente 0,20m,

num total de 5854 elementos. As Figuras 25 e 26 apresentam o modelo estrutural

investigado, onde pode se observar que a laje de concreto encontra-se assentada

sobre as transversinas.

Figura 25 – Vista tridimensional do modelo em elementos finitos

79

Figura 26 – Vista inferior do modelo em elementos finitos

A Tabela 11 descreve as características gerais do modelo em elementos

finitos elaborado para a realização do presente estudo, onde constam os tipos de

elementos finitos utilizados bem como os números totais de nós, de graus de

liberdade e de elementos utilizados.

Tabela 11 – Dados gerais sobre o modelo estrutural

Dados Quantidade Número de graus de liberdade 32970

Número de nós 5495

Número de elementos Beam44

5854 550

Shell63 5304

Neste modelo, as longarinas e transversinas são simuladas por elementos

finitos tridimensionais BEAM44, onde são considerados os efeitos de flexão e de

torção. As Figuras 27 ilustra o elemento BEAM44 utilizado para modelar as

longarinas e transversinas.

Figura 27 – Elemento beam44 [52]

80

Para modelagem da laje de concreto do tabuleiro foram utilizados elementos

finitos de casca do tipo SHELL63, que possuem quatro nós e seis graus de liberdade

por nó. A Figura 28 ilustra o elemento finito de casca tipo SHELL63 utilizado para

modelar a laje de concreto da passarela investigada.

Figura 28 – Elemento shell63 [52]

Considera-se, ainda no modelo em elementos finitos, que o concreto trabalha

no regime linear-elástico e que em ambos os elementos finitos as seções

permanecem planas no estado deformado. São utilizadas, também, conexões

rígidas do tipo “off-set”, de forma a se garantir a compatibilidade de deformações

entre os nós dos elementos de casca e os nós dos elementos de viga

tridimensionais.

Os elementos de viga tridimensionais utilizados possuem capacidade de

absorver esforços axiais, transversais, bem como torção e flexão. Este tipo de

elemento possui seis graus de liberdade em cada nó: translação em relação aos

eixos x, y e z e rotação em torno dos eixos x, y e z.

No presente capítulo foi apresentada uma descrição completa do modelo

numérico-computacional desenvolvido para o modelo estrutural investigado,

apresentando suas características geométricas e físicas.

No capítulo seguinte, serão efetuadas análises de vibração livre do modelo

numérico-computacional apresentado no presente capítulo de forma a obter-se o

comportamento dinâmico da estrutura através da análise das frequências naturais

(autovalores) e dos respectivos modos de vibração (autovetores).

81

7 ANÁLISE DE AUTOVALORES E AUTOVETORES

7.1 Introdução

Neste capítulo são obtidos os autovalores (frequências naturais) e os

autovetores (modos de vibração), referentes ao modelo estrutural investigado no

presente trabalho. O problema de autovalor, associado a uma análise de vibração

livre, foi resolvido a partir do programa computacional ANSYS [52]. O objetivo

consiste em identificar as frequências naturais do modelo computacional e seus

respectivos modos de vibração.

7.2 Análise das frequências naturais (autovalores)

Com o objetivo de avaliar de forma mais geral o comportamento dinâmico da

estrutura, no que diz respeito ao conforto humano do pedestre, o comprimento da

passarela foi variado, abrangendo diversas relações entre a rigidez e a massa do

modelo, obtendo-se o valor da frequência fundamental para o modelo estrutural

investigado.

Na sequência do estudo foi feita uma comparação entre o valor da frequência

fundamental (f01), obtida analiticamente segundo método proposto por Murray, Allen

e Ungar [12] com aquele calculado por meio da modelagem computacional, via

método dos elementos finitos, com a utilização do programa ANSYS [52]. Deste

modo, a Tabela 12 apresenta as cinco primeiras frequências naturais da passarela

em função do comprimento do vão.

Dos resultados fornecidos pelas Tabelas 12, verifica-se que a comparação

entre as frequências f01 analítica e f01 numérica “Ansys” resulta em um erro

percentual máximo da ordem de 8%, demonstrando, portanto, a confiabilidade do

método analítico proposto por Murray, Allen e Ungar [12] para determinação da

frequência natural de passarelas de pedestres simplesmente apoiadas.

82

Tabela 12 – Autovalores em função do comprimento do vão

Vão

(m)

f01 (Hz)

(Murray et al

[12])

Frequências Naturais (Hz) (ANSYS [52])

f01 f02 f03 f04 f05

Erro

(%)

5 29,11 30,65 54,05 59,96 69,84 83,16 5,3%

6 22,20 23,16 39,74 48,35 61,84 74,32 4,3%

7 17,27 17,66 30,38 39,98 53,79 68,81 2,3%

8 13,48 14,00 24,80 41,88 52,37 60,29 3,8%

9 10,90 11,12 20,72 35,48 45,88 55,33 2,0%

10 8,98 9,18 17,77 30,32 40,79 50,92 2,2%

11 7,61 7,62 15,77 26,96 44,95 46,07 0,1%

12 6,44 6,13 14,04 23,30 39,83 40,22 4,8%

13 5,51 5,50 12,67 12,67 20,28 34,91 0,2%

14 4,77 4,76 11,56 17,79 30,96 32,62 0,2%

15 4,12 4,10 11,08 15,86 28,53 31,76 0,4%

16 3,64 3,63 10,05 14,06 25,79 28,44 0,3%

17 3,23 3,22 9,38 12,54 23,56 25,68 0,3%

18 2,89 2,86 8,79 11,24 21,64 23,30 1,0%

19 2,60 2,59 8,28 10,14 19,99 21,26 0,3%

20 2,35 2,34 7,83 9,19 18,61 19,41 0,3%

O modelo investigado tem comprimento de vão igual a 15m. A Tabela 13

apresenta os valores das seis primeiras frequências naturais da estrutura. Pode-se

observar uma predominância dos efeitos de flexão e de torção da estrutura da

passarela.

O primeiro modo de vibração, de interesse particular na análise do

comportamento dinâmico da estrutura, refere-se à flexão na direção transversal

vertical. Os demais autovetores apresentados na Tabela 13 são referentes aos

modos de vibração lateral, flexão vertical, longitudinal, lateral com torção e flexão da

estrutura respectivamente.

As frequências naturais são de extrema importância para este estudo, uma

vez que se objetiva analisar a questão do conforto humano e da resposta da

estrutura quando aplicamos o carregamento dinâmico devido à caminhada de

pedestres.

83

Tabela 13 – Autovalores do modelo estrutural investigado

Frequências

Naturais

(Hz)

Modos de Vibração

f01 4,10 Modo 1 Flexão vertical do tabuleiro

f02 11,08 Modo 2 Lateral


f04 28,53 Modo 4 Longitudinal


f06 42,29 Modo 6 Lateral com torção

7.3 Análise dos modos de vibração (Autovetores)

Nas Figuras 29 a 34 são apresentadas os seis primeiros modos de vibração

da estrutura modelo investigado. O primeiro modo de vibração apresentado na

Figura 29 é referente à flexão vertical (f01=4,10 Hz). O segundo modo, conforme

Figura 30, corresponde ao modo de vibração lateral da estrutura (f02=11,08 Hz). Já o

terceiro modo de vibração da estrutura, Figura 31, corresponde à flexão transversal

(f03=15,86 Hz). A Figura 32 apresenta o quatro modo de vibração longitudinal

(f04=25,83 Hz). O quinto modo de vibração, Figura 33, corresponde à flexão vertical

da estrutura (f05=31,76 Hz). O último modo de vibração apresentado, na Figura 34,

corresponde à vibração lateral com torção da estrutura. Observa-se das Figuras 29 a

34 uma predominância dos efeitos de flexão na direção transversal vertical.

Figura 29 – 1º Modo de vibração f01=4,10 Hz Figura 30 – 2º Modo de vibração f02=11,08 Hz

84



Os modos de vibração dos demais modelos apresentam o mesmo

comportamento do modelo construído.

No presente capítulo foram apresentados os resultados das análises de

vibração livre do modelo computacional desenvolvido. Estes resultados permitiram

conhecer o seu comportamento quando submetida à ação de carregamentos

dinâmicos.

No capítulo oito será apresentada a solução analítica determinística para

determinação da aceleração de passarelas de pedestres bem como a solução

analítica proposta por Zivanovic [34] para avaliação do comportamento de

passarelas simplesmente apoiadas. Estes métodos reduzem o modelo estrutural

com infinitos graus de liberdade para um sistema com um único grau de liberdade

(S1GL).

85

8 ANÁLISE DINÂMICA DETERMINÍSTICA DE PASSARELAS SUBMETIDAS AO

CAMINHAR DE UM PEDESTRE

8.1 Solução analítica

As soluções analíticas revisadas no presente capítulo reduzem as passarelas

de pedestres que possuem infinitos graus de liberdades para um sistema

equivalente com um único grau de liberdade (S1GL). Sabe-se que a equação que

representa o comportamento dinâmico de um determinado modo de vibração i de um

sistema com um grau de liberdade é dado pela Equação 42 [49].

i

i

iiim

tFtutvta

)()()(2)(

2 φωωξ =++ (42)

Onde:

a(t) : aceleração de pico (m/s²);

v(t): velocidade (m/s);

u(t): deslocamento (m);

ξ: coeficiente de amortecimento modal;

t: tempo;

mi: massa modal do harmônico i;

ωi: frequência angular da carga de excitação para o harmônico i;

ϕ: função do modo de vibração i;

F(t): Força harmônica.

Sendo F(t) uma função harmônica F(t) = F0 cos(ωit) em ressonância com a

estrutura, o deslocamento e a aceleração de pico para o estado permanente podem

ser obtidos pelas Equações 43 e 44 respectivamente [49].

)cos(2

1)( 0

2t

m

Ftu i

i

i

ii

ωφ

ωξ= (43)

)cos(2

1)( 0 t

m

Fta i

i

i

i

ωφ

ξ=

(44)

a(t): aceleração de pico (m/s²);


86



t: tempo;


ωi: frequência angular da carga de excitação para o harmônico i;

ϕi: função do modo de vibração i;


Existem duas formas de se calcular a resposta dinâmica determinística de

passarelas de pedestres. Na primeira opção, a frequência da carga de excitação

escolhida é igual a frequência natural do sistema, de modo que a estrutura esteja em

ressonância com algum harmônico do caminhar humano. Nesta opção a resposta

dinâmica da estrutura, ao menos do ponto de vista estatístico, é superestimada por

não considerar a distribuição normal da frequência do passo dos pedestres. Ou seja,

nem todos os pedestres caminham com frequência de passo em ressonância com a

estrutura.

Na segunda opção, a frequência da carga de excitação corresponde ao valor

médio da frequência do passo (2 Hz), neste caso a estrutura pode ou não se

encontrar em ressonância com a carga de excitação. O deslocamento e a

aceleração, neste caso, podem ser obtidos pelas Equações 45 a 49. Neste caso a

resposta dinâmica da estrutura pode ser superestimada ou subestimada. Caso a

estrutura encontre-se em ressonância com o valor médio da frequência do passo, o

valor da resposta dinâmica, do ponto de vista estatístico, é superestimada. Quando a

estrutura não se encontra em ressonância com a carga de excitação (valor médio da

frequência do passo 2 Hz), a resposta dinâmica é subestimada.

)cos(²²²4²)²1(

1)( 0 t

m

Ftu i

ii

i

i

ωω

φ

βξβ +−= (45)

)cos(²²4²)²1(

1)( 0 t

m

Fta i

i

i

i

ωφ

βξβ +−=

(46)

1²²4²)²1(

1≠

+−= β

βξβparaFAD

i (47)

87

12

1== β

ξparaFAD

i (48)

nf

f=β

(49)

Onde:





t: tempo;


ω: frequência angular da carga de excitação para o harmônico i;

ϕ: função do modo de vibração i;


f: frequência da carga de excitação;

fn: frequência fundamental da estrutura;

FAD: fator de amplificação dinâmico;

Segundo Clough [61] a amplitude da resposta dinâmica de um sistema com

um grau de liberdade submetido a uma carga senoidal ressonante varia até atingir o

estado permanente, sendo uma função da duração do carregamento e do

coeficiente de amortecimento estrutural.

A variação da amplitude até atingir o estado permanente de um sistema

massa mola com um grau de liberdade (S1GL) em ressonância com a carga de

excitação é dado pela Equação 50. O deslocamento do sistema (S1GL) é dado pela

Equação 51.

( )ppp vLfhe

stu

tu /21

)(

)( ξπ−−=

(50)

( )12

1)(

2−=

− tf petuπξ

ξ (51)

Onde:


88

u(st): resposta máxima no estado permanente (m);

ξ: coeficiente de amortecimento modal (%);

t: tempo (s);

fp: frequência da carga de excitação (Hz);

vp: velocidade do passo (m/s);

lp: comprimento do vão (m);

h: harmônico do caminhar (h=1, 2, 3, 4 ...).

As Figuras 35 a 40 representam a relação entre o deslocamento u(t) de um

sistema massa mola com um grau de liberdade (S1GL), em ressonância com a

carga de excitação senoidal, ao longo do tempo e o deslocamento máximo no

estado permanente u(st) para os coeficientes de amortecimento estrutural 0,5%, 1%,

1,5%, 2%, 5% e 10% respectivamente. A relação entre a resposta dinâmica u(t) /

u(st) varia de 0 a 1. Quando esta relação assume o valor unitário significa que o

sistema (S1GL) atingiu a resposta máxima no estado permanente.

Conforme Chopra [62], a amplitude e o tempo necessário para que a resposta

dinâmica de um sistema estrutural, em ressonância com a carga de excitação

senoidal, atinja o estado permanente são fortemente influenciados pelo coeficiente

de amortecimento estrutural.

Quanto menor o coeficiente de amortecimento estrutural maior será o tempo

necessário para que sistema com um grau de liberdade (S1GL) atinja a resposta no

estado permanente.

Observa-se na Figura 35 que somente após 47,5 segundos, o sistema com

um grau de liberdade (S1GL) com coeficiente de amortecimento estrutural igual a

0,5% atingiu 95% da resposta dinâmica no estado permanente. Com o aumento do

coeficiente estrutural, reduz-se o tempo necessário para que o S1GL atinja a

resposta máxima (estado permanente), como pode ser observado nas Figuras 36 a

40. Para o os coeficientes de amortecimento 1%, 1,5%, 2%, 5%, 10%, 95% das

respostas dinâmicas máximas são atingidas após 23,75 s, 16 s, 12,25 s, 4,75 s e 2,5

s.

89

Figura 35 – Deslocamento do sistema com um grau de liberdade (S1GL) (ξ 0,5%).

Figura 36 – Resposta dinâmica de sistema com um grau de liberdade (S1GL) (ξ 1%).

90

Figura 37 – Resposta dinâmica de sistema com um grau de liberdade (S1GL) (ξ 1,5%).


91



A Figura 41 demonstra de forma consolidada o percentual da resposta

dinâmica no estado permanente de um sistema (S1GL) atingida em função do

coeficiente de amortecimento. Sendo demonstrado, outra vez, que quanto maior o

coeficiente estrutural mais rapidamente o sistema atingirá a resposta dinâmica no

estado permanente.

92

Figura 41 – Resposta dinâmica de sistema com um grau de liberdade (S1GL)

A Figura 42 apresenta a variação da relação das amplitudes das respostas

dinâmicas u(t) e u(st) em função do comprimento do vão de passarelas de pedestres

(aceleração em m/s²) e dos coeficientes de amortecimento estruturais 0,5%, 1%,

1,5% e 2%. A variação da amplitude da resposta dinâmica ao longo do vão de

passarelas representa aspecto relevante para avaliação do comportamento dinâmico

destas estruturas, visto que em função da intensidade de fluxo de pedestres aos

quais estão submetidas, passarelas de pedestres podem não atingir a resposta

dinâmica máxima no estado permanente.

Figura 42 – Resposta dinâmica de sistema com um grau de liberdade (S1GL)

93

No método proposto por Murray, Allen e Ungar [12] no guia de projeto AISC

para avaliação da resposta dinâmica de pisos e passarelas revisado no capitulo 1 do

presente trabalho, o fator redutor R da Equação 14 leva em consideração que a

ressonância não é alcançada devido ao caminhar humano e que o pedestre

caminhando e a pessoa perturbada não se encontram no local de maior

deslocamento modal. Este fator redutor R sugerido não varia em função do

comprimento do vão da passarela, ou seja, não é função do tempo de atuação do

carregamento sobre a estrutura,

Já no método proposto por Rainer, Pernica e Allen [9] os fatores de

amplificação dinâmicos sugeridos, segundo a Figura 8, são funções dos coeficientes

de amortecimentos estruturais e o número de ciclos por vão, assim, neste método de

avaliação de resposta dinâmica da estrutura é considerado o tempo de atuação do

carregamento senoidal.

8.2 Método proposto por Zivanovic, Pavic e Reynolds [35]

Zivanovic, Pavic e Reynolds [35] propuseram método analítico probabilístico

para cálculo da aceleração de pico de passarelas a partir da equação dinâmica para

o modo de vibração i dado pela Equação 42. Considerando que a função do primeiro

modo de vibração é representada por uma meia senóide sen (πνpt/L) a equação que

governa o movimento do primeiro modo de vibração é dada pela Equação 52.

)()2(1

)()(2)( 2t

L

vsentfsenP

mtutvta

p

p

ππαωωξ =++ (52)

ppp lfv =

(53)

Onde:





t: tempo (s);


fp: frequência da carga de excitação (Hz);

94


lp: comprimento do passo (m)

F(t): Força harmônica (N).

A solução analítica da aceleração dada pela Equação 52 pode ser

transformada por meio das propriedades trigonométricas das funções seno e

cosseno, conforme a Equação 54.

+−

−=++ t

L

vt

L

v

m

Atutvta

pp πω

πωωωξ coscos)()(2)( 2 (54)

)()()( 21 tatata +=

(55)

( )

( ) ( )

( ) ( )

[ ])()(cos

)()(

cos

)cos()(

cos2

_)()(

)()(

cos)(

22

22

0

22

0

2222

2

0

22

0

22

0

22

0

22

0

22

0

22

022

1

tsentf

tdsenf

tdsentdf

e

tdf

tdf

tdsenf

e

tdsenf

tdsenf

tdf

eta

ddndt

ndt

n

dd

nt

n

n

n

n

αγααβαγβ

ωγβ

ωαγω

γβ

ωωξω

γβ

βω

ωγβ

αγω

γβ

βωξω

γβ

βωξω

ωγβω

αγω

γβω

βξωω

γβ

βωξ

ξω

ξω

ξω

++

−

−

++

++

++

+

+−

+−

+−

+−

+−

+−=

−

−

−

(56)

m

Af

20 =

(57)

PA α=

(58)

21 ξωω −= nd

(59)

L

v pπωα −=

(60)

22 αωβ −= n

(61)

αξωγ n2=

(62)

Onde:

95

a(t): aceleração da passarela de pedestres (m/s²);




t: tempo (s);


ω: frequência angular da carga de excitação (rad/s);

ωn: frequência natural angular da estrutura (rad/s);

P: peso do pedestre (N);

α: coeficiente dinâmico da carga de excitação;


L: comprimento da passarela (m)

A solução para a2(t) apresenta a mesma formulação matemática para a1(t)

dada na Equação 56, sendo que neste casos os valores de f0 e α são dados pela

Equação 63.

L

ve

m

Af

pπωα +=

−=

20

(63)

A Equação 56 representa a solução analítica completa para passarelas de

pedestres reduzidas a um sistema (S1GL), sendo o primeiro modo de vibração na

direção transversal representado por uma meia senóide.

96

9 ANÁLISE DE VIBRAÇÕES NÃO DETERMINÍSTICAS

9.1 Aspectos gerais

O estudo de vibrações aleatórias está relacionado ao estudo de processos

randômicos ou estocásticos em que os fenômenos envolvidos são do âmbito da

mecânica mais especificamente da dinâmica estrutural.

O conceito matemático dos processos estocásticos tem sido utilizado para

descrever alguns fenômenos físicos. Na engenharia civil é necessário analisar os

fenômenos que causam vibrações em construções, seja por questões de segurança

estrutural, ou de desconforto causado aos usuários dessas estruturas. Entre as

ações que provocam vibrações em estruturas, pode-se citar a ação sísmica, o vento,

as explosões, o funcionamento de máquinas, o tráfego rodoviário e ferroviário e de

particular interesse no presente trabalho a atividade humana.

9.2 Processos determinísticos e estocásticos

Segundo Azevedo [68] o conceito de processo determinístico é oposto ao do

processo estocástico. Ao se medir as vibrações de uma dada estrutura, caso os

registros obtidos sejam idênticos, pode-se afirmar que o processo é determinístico,

portanto, não estocástico, tendo em vista que as características de uma próxima

medição desse processo são conhecidas.

No entanto, se as medições realizadas de um processo diferirem entre si,

então o processo é definido como estocástico ou de natureza aleatória. As

diferenças encontradas de registro para registro são atribuídas às variabilidades

naturais do fenômeno estudado e não podem ser controladas pelo observador.

Por exemplo, pode-se considerar como processo estocástico a sequência de

registros sísmicos. Neste caso, todos os registros serão diferentes, não existindo,

exceto de um ponto de vista estatístico, qualquer tipo de previsibilidade relativo às

características de um dado evento.

Um outro exemplo de processo estocástico, são as vibrações medidas numa

máquina funcionado com alguma irregularidade causando vibrações aleatórias e

irregulares ao longo do tempo.

97

Azevedo [68] destaca que os processos estocásticos estão intimamente

associados à noção de imprevisibilidade, para os quais os resultados

(previsibilidade) só podem ser avaliados do ponto puramente estatístico. Estes

processos são descritos por meio da sua probabilidade de ocorrência.

Pode-se arguir que não existem, fisicamente, fenômenos puramente

determinísticos, visto que sempre existe algum grau de imprevisibilidade por menor

que seja nas medições de fenômenos físicos. Em alguns casos é suficiente admitir

que fenômenos possuem caráter determinístico.

Grande parte dos fenômenos estudados na engenharia civil e

especificamente no ramo da engenharia estrutural são considerados determinísticos.

9.3 Classificação de processos determinísticos e estocásticos

Azevedo [68] alerta que os valores de uma função com variação temporal que

representam um dado fenômeno físico, podem ser classificados como

determinísticos ou estocásticos. Um conjunto de valores determinístico, que pode

ser descrito por meio de uma formulação matemática, pode ser classificado, de

acordo com as suas características, em periódico ou não periódico casos os

respectivos valores se repitam ou não durante um período de tempo.

Os fenômenos periódicos podem ser classificados em senoidais e não

senoidais. Os fenômenos senoidais são aqueles que podem ser descritos através de

funções de tipo seno ou cosseno. Os periódicos não senoidais são aqueles que

podem ser descritos através de outras funções periódicas que não as senoidais

Um exemplo de fenômeno periódico senoidal é a vibração induzida por uma

máquina rotativa funcionando no estado permanente. Já como exemplo de um

fenômeno periódico não senoidal pode-se citar a vibração induzida por um martelo

pneumático em que as pancadas possuem a mesma amplitude e se encontram

igualmente espaçadas.

Azevedo [68] diferencia dentre os fenômenos não periódicos os quase

periódicos dos transitórios. Os fenômenos quase periódicos são aqueles em que não

existindo uma periodicidade formal, podem ser analisados considerando a existência

de um período. Os transitórios são aqueles em que não é possível observar

nenhuma repetição de valores após um dado período de tempo. Destaca-se que um

conjunto de valores que não possa ser descrito através de uma formulação

98

matemática explícita é considerado como representativo de um processo estocástico

e tem a propriedade de ser um conjunto único.

Conforme Azevedo [68], uma série de registros medidos ao longo do tempo

representa um processo estocástico quando puder ser descrito por meio de

propriedades estatísticas apropriadas. As propriedades estatísticas de um processo

estocástico são obtidas, de uma forma geral, por meio das médias de todos os

registros. Existem inúmeras classificações de processos estocásticos em função das

características das propriedades estatísticas.

Azevedo [68] classifica os processos estocásticos em estacionários ou não

estacionários. Os processos estacionários são aqueles em que as propriedades

estatísticas (média, desvio padrão e etc.) não variam com o tempo. Já nos

processos não estacionários as suas propriedades estatísticas variam com o tempo.

Como exemplo de um processo estacionário pode-se citar a variação da

frequência do caminhar de um dado pedestre em torno de um valor médio

representativo da sua frequência preferencial de passo, Figura 43. Neste fenômeno

físico tanto a média como a variância da frequência do passo podem ser

consideradas constantes, representado, portanto, um processo estocástico

estacionário.

Figura 43 – Processo randômico estacionário

Exemplos típicos de processos não estacionários são os registros sísmicos.

Na Figura 44 pode-se observar as medições sísmicas registradas em um

acelerograma típico. A não estacionariedade é patente, visto que as propriedades

99

estatísticas variam com o tempo. Azevedo [68] destaca que embora o valor médio do

sinal seja constante, já a envolvente, que está relacionada com os valores máximos

e com a variância do sinal, assume diferentes valores em função do instante em que

é determinada.

Figura 44 – Processo estocástico não estacionário [68]

9.4 Fator de qualidade e largura de banda.

Clough [61] demonstra que para valores relativamente pequenos de

coeficiente de amortecimento estrutural, a amplitude da resposta dinâmica da

estrutura na ressonância é obtida multiplicando-se a resposta estática pelo fator de

amplificação dinâmica, neste caso, denominado de fator de qualidade (Q), segundo

a Equação 48.

Na Figura 45 os pontos R1 e R2 correspondem às relações de frequência para

as quais a razão das amplitudes é igual ao fator qualidade (Q) dividido pela raiz

quadrada de dois. Estes pontos são chamados de pontos de meia potência, pois a

energia vibratória é proporcional ao quadrado da amplitude no movimento

harmônico.

A diferença entre as frequências correspondentes a estes dois pontos, R2 e

R1, define o que se chama de largura de banda. Os pontos R2 e R1 são obtidos pelas

Equações 64 e 65.

2

12

1 21

=−=

n

Rω

ωξ

(64)

100

2

22

2 21

=+=

n

Rω

ωξ

(65)

Figura 45 – Fator de qualidade (Q) [61]

A Tabela 14 demonstra os valores referentes aos fatores de qualidade para

os coeficientes de amortecimento estrutural 0,5%, 1%, 1,5% e 2% e os respectivos

pontos de meia potência (R1 e R2). Observa-se, da Tabela 14, que quanto menor o

coeficiente de amortecimento estrutural, mais próximos os pontos de meia potência

(R1 e R2) estarão dos valores correspondentes à ressonância (ω/ωn=1). Verifica-se

ainda que pequenas variações na relação entre a frequência da carga de excitação

(ω) e a frequência natural da estrutura (ωn) implicam em redução significativa da

resposta dinâmica do sistema estrutural.

Tabela 14 – Fator de qualidade (Q) e pontos de meia potência

Largura de Banda ξ - 0,5% ξ - 1% ξ - 1,5% ξ - 2% Fator de qualidade (Q) 100 50 33,33 25 R1 0,99 0,98 0,97 0,96 R2 1,01 1,02 1,03 1,04

2/Q 70,71 35,36 23,57 17,68

Segundo Clough [61] a resposta dinâmica de um sistema estrutural depende

da relação entre a carga de excitação e de sua frequência natural. A resposta

ressonância

101

dinâmica máxima da estrutura é atingida na ressonância e com ângulo de fase

correspondente a 90º. As Figuras 46 e 47 apresentam os valores correspondentes

aos fatores de amplificação dinâmico e respectivos ângulos de fase em função do


Figura 46 – Fator de amplificação dinâmico [61]

Figura 47 – Ângulo de fase para resposta dinâmica máxima [61]

102

10 ESTUDO E SELEÇÃO DOS PARÂMETROS ESTATÍSTICOS PARA A ANÁLISE

DINÂMICA NÃO DETERMINÍSTICA (PROBABILÍSTICA)

10.1 Aspectos gerais

O método probabilístico, para avaliação da resposta dinâmica de passarelas

submetidas ao carregamento de um único pedestre, proposto no presente trabalho

adota a solução analítica dada pelas Equações 52 e 63, considerando-se, portanto,

que passarelas simplesmente apoiadas podem ser reduzidas a um sistema com um

único grau de liberdade (S1GL). A Figura 48 ilustra a caminhada de um pedestre ao

longo do vão de uma passarela e o nó central (meio do vão) para o qual os valores

da resposta dinâmica da estrutura são obtidos.

Figura 48 – Modelo de carregamento representativo do caminhar de um pedestre sobre

passarela de pedestre

No método probabilístico, assume-se que as variáveis aleatórias e

independentes, frequência do passo (fp), intravariabilidade do passo (Intra) e

comprimento do passo do pedestre (lp) seguem uma distribuição normal.

Hausdorff, Zemany, Peng e Goldberger [48] demonstraram que a frequência

do passo do pedestre não é constante durante a caminhada. A variação da

frequência do passo de um dado pedestre ao longo do tempo caracteriza a

intravariabilidade do passo. Já a variação da frequência do passo entre pedestres é

denominada intervariabilidade.

No método probabilístico proposto no presente trabalho, foram consideradas

tanto a intervariabilidade quanto a intravariabilidade do passo do pedestre.

A Tabela 15 apresenta os valores médios e respectivos desvios padrões das

variáveis aleatórias independentes utilizadas na simulação de Monte Carlo para

obtenção da resposta dinâmica de passarelas de pedestres.

Nó Central

103

Tabela 15 – Parâmetros estatísticos do caminhar humano

Variável Unidade Média (µ) Desvio Padrão (σ) Referências

fp Hz 2,00 0,2 Bachmann [12]

lp m 0,71 0,071 Zivanovic [15]

Intra Hz - 1,3+0,1% de µ Hausdorff [48]

Segundo Zivanovic, Pavic e Reynolds [35] existe uma interdependência entre

o coeficiente dinâmico dos respectivos harmônicos do caminhar humano e peso do

pedestre. Entretanto, não existe uma quantificação precisa desta dependência.

Desta maneira, no modelo probabilístico foi adotado o peso médio do pedestre de

735 N, desprezando-se, portanto, a aleatoriedade do peso.

As Figuras 49 a 52 apresentam as funções densidade de probabilidade (fdp) e

funções de distribuição acumulada (fda) das variáveis aleatórias independentes

frequência e comprimento do passo respectivamente. Observa-se que as funções de

probabilidade (fdp) apresentam o formato de sino característico de uma distribuição

normal.

0,0%

0,5%

1,0%

1,5%

2,0%

2,5%

1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6

Pro

ba

bil

ida

de

(%

)

Frequência do Passo (Hz)

Figura 49 – Função densidade de probabilidade da frequência do passo dos pedestres

104

0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

80%

90%

100%

1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6

Pro

ba

bil

ida

de

(%

)

Frequência do Passo (Hz) Figura 50 – Função distribuição acumulada da frequência do passo dos pedestres

0,0%

1,0%

2,0%

3,0%

4,0%

5,0%

6,0%

0,45 0,50 0,55 0,60 0,65 0,70 0,75 0,80 0,85 0,90 0,95

Pro

ba

bil

ida

de

(%

)

Comprimento do Passo (m) Figura 51 – Função densidade de probabilidade do comprimento do passo dos pedestres

0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

80%

90%

100%

0,5 0,6 0,7 0,8 0,9

Pro

ba

bili

da

de

(%

)

Comprimento do Passo (Hz) Figura 52 – Função distribuição acumulada do comprimento do passo dos pedestres

105

10.2 Frequência e intravariabilidade do passo (Hz)

No ramo da dinâmica estrutural, a ressonância é o fenômeno físico que

acarreta no aumento significativo da resposta dinâmica de sistemas estruturais. A

ressonância ocorre quando os valores da frequência da carga de excitação e a

frequência natural da estrutura são iguais. A resposta dinâmica de passarelas é um

processo de banda estreita visto que na maioria dos casos o coeficiente de

amortecimento destas estruturas é pequeno. Conforme visto no capítulo 9, este

processo é considerado de banda estreita porque pequenas variações da relação

entre a carga de excitação e a frequência natural da estrutura reduz, fora do valor

ressonante (f/fn=1) provocam reduções significativas na amplitude de resposta

destas estruturas.

A Figura 53 apresenta três modelos de carregamento determinísticos

comumente utilizados na avaliação da resposta dinâmica no meio do vão de

passarelas de pedestres, força dinâmica máxima, força dinâmica determinística com

variação temporal e força dinâmica determinística com variação temporal espacial. A

força dinâmica determinística máxima representa o valor máximo da carga de

excitação dinâmica relativa ao primeiro harmônico do caminhar humano. A força

dinâmica determinística com variação temporal leva em consideração a variação

temporal do carregamento. Já a força dinâmica determinística com variação

temporal e espacial considera tanto a variação temporal como a variação espacial do

carregamento ao longo do deslocamento do pedestre.

Estas forças são consideradas determinísticas por terem sido obtidas a partir

dos valores médios das variáveis peso, frequência e comprimento do passo do

pedestre (peso igual a 735 N, frequência do passo igual a 2 Hz e comprimento do

passo igual a 0,75 m). Estas forças foram calculadas para uma passarela com

comprimento igual 15 m, sendo o tempo de travessia igual a 10 s.

Observa-se na Figura 53 que a força dinâmica determinística com variação

temporal é uma função puramente senoidal, apresentando valores de pico

constantes ao longo do tempo e iguais ao valor da força dinâmica determinística

máxima. Já a força dinâmica determinística com variação temporal e espacial

apresenta valores de pico crescentes ao longo do tempo até chegar ao valor

máximo, tempo igual a 5 s (meio do vão), e após atingir o valor máximo os valores

de pico decrescem até o tempo final de travessia do pedestre. Nestes modelos de

106

carregamento não reside qualquer imprevisibilidade, pois, adotando-se os valores

médios do peso, frequência e comprimento do passo dos pedestres, os respectivos

valores da força dinâmica gerada pelo caminhar podem ser determinados

matematicamente, caracterizando, portanto, um processo determinístico.

Figura 53 – Forças dinâmicas determinísticas do caminhar humano (P=735 N e fp= 2 Hz)

A Figura 54 demonstra as força dinâmica máxima, força dinâmica aleatória

com variação temporal e força dinâmica aleatória com variação temporal e espacial.

As forças são consideradas aleatórias por terem sido calculadas adotando-se os

valores médios do peso, frequência e comprimento do passo dos pedestres, porém,

considerando-se a intravariabilidade do passo. Assim, estas forças aleatórias

apresentam comportamento imprevisível, matematicamente, ao longo do tempo.

Da Figura 54 é possível observar que os valores de pico da força dinâmica

aleatória com variação temporal variam ao longo do tempo sendo por vezes

superiores outrora inferiores ao valor de pico da força dinâmica determinística

máxima.

A força dinâmica aleatória com variação temporal e espacial, também,

apresenta comportamento imprevisível, sendo que o seu valor de pico, para o

exemplo apresentado, também ultrapassou o valor característico da força dinâmica

determinística máxima.

107

Figura 54 – Forças dinâmicas aleatórias do caminhar humano (P=735 N e fp= 2 Hz)

Ilustrativamente, a Figura 55 apresenta as respostas dinâmicas de uma

passarela com massa total de 20000 Kg, comprimento igual a 15 m, frequência

natural de 2 Hz e coeficiente de amortecimento estrutural de 1%, sob a excitação de

carregamentos determinísticos e aleatórios. Os modelos de carregamentos

determinísticos são obtidos para um pedestre referencial (peso igual 735 N,

frequência do passo de 2 Hz e comprimento do passo 0,75 m).

Na Figura 55 a aceleração de pico devido à força determinística representa a

resposta dinâmica máxima da estrutura considerando o carregamento como sendo

determinístico obtido a partir dos valores médios dos parâmetros característicos do

pedestre. A aceleração devido à força determinística com variação temporal leva em

consideração a variação da força dinâmica ao longo do tempo, já a aceleração

calculada para força dinâmica determinística com variação temporal e espacial

considera além da variação no tempo a variação espacial do carregamento durante

o deslocamento do pedestre sobre a passarela. A aceleração devido à força

aleatória com variação espacial e temporal é obtida considerando-se, além da

variação temporal e espacial do carregamento, a intravariabilidade do passo do

pedestre.

108

Observa-se da Figura 55 que a aceleração da passarela devido à força

aleatória com variação temporal e espacial apresenta comportamento randômico.

Quando comparada com a aceleração devido à força determinística com variação

temporal e espacial, a aceleração devido à força aleatória apresenta valores de pico

por vezes superiores e outrora inferiores aos valores determinísticos. Ocorre,

também, alteração no tempo em que estes valores de pico são atingidos em função

da variação da frequência do passo do pedestre.

Figura 55 – Comparativo entre as respostas dinâmicas determinísticas e aleatórias

Hausdorff, Zemany, Peng e Goldberger [48] estudaram a variabilidade da

frequência do passo do caminhar humano. Para adultos saudáveis a variação da

frequência do passo segundo este estudo é de 1,3 ± 0,1 %.

10.3 Coeficientes dinâmicos (α)

Os coeficientes dinâmicos da força devido ao caminhar humano são função

da frequência do passo do pedestre, sendo, portanto, variáveis aleatórias

dependentes. Diversas pesquisas já foram realizadas com intuito de estabelecer

109

relações matemáticas para os coeficientes dinâmicos em função da frequência do

passo para os quatro harmônicos do caminhar humano. Os resultados encontram-se

apresentados na Tabela 16.

Tabela 16 – Coeficientes dinâmicos

Autor Coeficiente Dinâmico Direção Murray, Allen e Ungar [12]

αi = 0,83 (exp- 0,35ifp) vertical

Young apud Hauksson

[22]

α1 = 0,37 (fp - 0,92) α2 = 0,054 + 0,0044fp α3 = 0,026 + 0,0050fp α4 = 0,010 + 0,0051fp

vertical

Rainer, Pernica e Allen apud Varella [18]

α1 = -0,22169fp³ + 1,11946fp² -1,44748fp + 0,5967 α2 = -0,012037(2fp)³ + 0,1494(2fp)² - 0,53146(2fp) + 0,6285 α3 = 0,00009068(3fp)5 – 0,0021066(3fp)4 + 0,018364(3fp)³ -

0,077278(3fp)² + 0,17593(3fp) – 0,1477 α4 = 0,00051715(4fp)4 – 0,014388(4fp)³+ 0,14562(4fp)² –

0,6018469

vertical

Kerr apud Zivanovic [33]

α1=-0,2649fp 3 + 1,3206fp 2 - 1,7597fp + 0,7613 Vertical

As Figuras 56 a 59 apresentam os coeficientes dinâmicos segundo as

formulações matemáticas propostas por Rainer, Pernica e Allen [9], Murray, Allen e

Ungar [12], Young apud Hauksson [22] e Kerr apud Zivanovic [33] respectivamente.

Já, as figuras 60 a 63 apresentam, comparativamente, os valores dos coeficientes

dinâmicos para o primeiro, segundo, terceiro e quatro harmônio do caminhar

humano segundo as formulação de Rainer, Pernica e Allen [9], Murray [12], Young

apud Hauksson[22] e Kerr apud Zivanovic [33].

Das Figuras 56 a 63, verifica-se que na formulação matemática proposta por

Murray, Allen e Ungar [12] os valores dos coeficientes dinâmicos decrescem com o

aumento da frequência do passo do pedestre. Portanto, na formulação matemática

proposta por Murray [12], os coeficientes dinâmicos apresentam comportamento

inverso daqueles obtidos pelas formulações matemáticas de Rainer, Pernica e Allen

[9], Young apud Hauksson [22] e Kerr apud Zivanovic [33].

Para o primeiro harmônico do caminhar humano, os coeficientes dinâmicos

propostos nas formulações de Rainer, Pernica e Allen [9] e Kerr apud Zivanovic [33]

apresentam valores de mesma magnitude e comportamento crescente até 2,5 Hz.

110

Na faixa entre 2,5 a 3,0 Hz os coeficientes dinâmicos destas duas formulações

apresenta comportamento decrescente com o aumento da frequência do passo.

Os valores dos coeficientes dinâmico propostos por Young apud Hauksson

[22], para o primeiro harmônico do caminhar humano, apresentam comportamento

sempre crescente com a frequência do passo do pedestre, divergindo na faixa entre

2,4 Hz a 3,0 Hz dos valores propostos por Rainer, Pernica e Allen [9] e Kerr apud

Zivanovic [33].

Ainda, os valores do coeficiente dinâmicos para o segundo harmônico, do

caminhar de um pedestre com frequência de passo igual à de 2 Hz, propostos por

Murray, Allen e Ungar [12] são aproximadamente o dobro dos valores propostos por

Rainer, Pernica e Allen [9], Young apud Hauksson [22].

Figura 56 – Coeficientes dinâmicos Rainer, Pernica e Allen [9]

111

Figura 57 – Coeficientes dinâmicos Murray [12].

Figura 58 – Coeficientes dinâmicos Young apud Hauksson [22]

112

Figura 59 – Coeficientes dinâmicos Kerr apud Zivanovic [33]

Figura 60 – Comparação coeficientes dinâmicos 1º harmônico

113



114


115



ANALÍTICA

Os resultados do método analítico probabilístico foram obtidos a partir de

2000 interações. Variando-se a frequência fundamental na direção transversal

vertical de uma passarela referencial, com massa total de 20000 Kg, no intervalo de

1 a 10 Hz e considerando-se os coeficientes de amortecimento estrutural 0,5%, 1 %,

1,5% e 2%, foram calculados os valores da aceleração de pico para os

comprimentos de vão de 10 m, 15 m, 20 m, 30 m, 40 m, 50 m, 60 m, 70 m, 80 m, 90

m e 100 m.

Os valores das acelerações de pico foram obtidos utilizando-se as

formulações matemáticas propostas por Rainer, Pernica e Allen [9], Murray [12],

Young apud Hauksson [22] e Kerr apud Zivanovic [33] para determinação dos

coeficientes dinâmicos.

A partir dos valores das acelerações de pico obtidos probabilisticamente,

calculou-se os valores relativos ao percentil 95% (a95%). O percentil 95%

corresponde ao valor com 95% de probabilidade de ocorrência. Ou seja, medindo-se

a resposta dinâmica máxima da estrutura 100 vezes é esperado que em 95

medições os valores da aceleração de pico sejam iguais ou inferiores ao valor

representativo do percentil 95% (a95%).

Com os valores referentes ao percentil 95% foram construídos os espectros

de resposta probabilísticos para passarelas referenciais (massa total igual a 20000

Kg). As Figuras 64 a 74 apresentam os espectros de resposta para os comprimentos

de vão de 10 a 100 m, respectivamente, segundo as formulações matemáticas

propostas por Rainer, Pernica e Allen [9] para determinação dos coeficientes

dinâmicos.

Observa-se nas Figuras 64 a 74 que as respostas dinâmicas de passarelas

de pedestres simplesmente apoiadas, reduzidas a um sistema com um grau de

liberdade (S1GL), variam em função do respectivo comprimento do vão, ou seja,

dependem do tempo de atuação do carregamento dinâmico. Com o intuito de

permitir a comparação dos valores referentes ao percentil 95% (a95%) com os

critérios de conforto humano, nas Figuras 64 a 74 encontram-se delineados (por

linhas tracejadas) os limites da aceleração de pico na direção transversal vertical

116

estabelecidos pela norma ISO 2623 para passarelas de pedestres externas e

internas, correspondentes aos valores 0,49 m/s² e 0,15 m/s², respectivamente.

Adotando-se os limites de aceleração de pico na direção transversal vertical

segundo a norma ISO 2631/2 [10], verifica-se que para passarelas de pedestres o

primeiro harmônico do carregamento dinâmico devido ao caminhar humano é de

maior relevância. Para a passarela referencial (massa total igual a 20000 Kg)

somente a partir do comprimento de vão de 70 m, o segundo harmônico do caminhar

ocasionou resposta dinâmica acima do limite desta norma, para o coeficiente de

amortecimento estrutural igual 0,5%. O terceiro e quarto harmônico do caminhar

humano não gerou resposta dinâmica da estrutura referencial acima dos valores

limites para os valores de coeficiente de amortecimento adotados.

Para os coeficientes de amortecimento estruturais equivalentes a 1%, 1,5% e

2%, o segundo, terceiro e quarto harmônico não acarretaram em valores de

aceleração de pico acima dos limites estabelecidos pela norma ISO 2631/2 [10] para

passarelas externas.

Análise análoga pode ser realizada, caso a passarela para qual se deseja

determinar o comportamento dinâmico seja uma passarela interna. Com a redução

do valor da aceleração limite na direção transversal vertical para passarelas internas,

observa-se que os harmônicos do caminhar humano já ocasionam respostas

dinâmicas da estrutura referencial (massa total igual a 20000 Kg) acima destes

valores limites a partir do comprimento de vão de 10 m para os coeficientes de

amortecimento estrutural 0,5% e 1%.

Com o aumento do comprimento do vão da passarela referencial (massa total

igual a 20000 Kg), observa-se que os harmônicos da força dinâmica do caminhar

humano geram para os coeficientes de amortecimento estrutural estudados de 0,5%,

1%, 1,5% e 2% respostas dinâmicas acima dos valores estabelecidos para

passarelas de pedestres pela ISO 2631/2 [10].

117

Figura 64 – Espectro de resposta comprimento do vão 10 m (m/s²)


Passarelas Externas

Passarelas Internas

Passarelas Externas

Passarelas Internas

118



Passarelas Externas

Passarelas Externas

Passarelas Internas

Passarelas Internas

119



Passarelas Externas

Passarelas Externas

Passarelas Internas

Passarelas Internas

120



Passarelas Externas

Passarelas Externas

Passarelas Internas

Passarelas Internas

121


Figura 73 – Espectro de resposta comprimento do vão 90 m (m/s²).

Passarelas Externas

Passarelas Externas

Passarelas Internas

Passarelas Internas

122

Figura 74 – Espectro de resposta comprimento do vão 100 m (m/s²).

Com a implementação do método analítico probabilístico é possível

determinar o tempo necessário, para que a resposta dinâmica de passarelas de

pedestres, reduzidas a um S1GL e submetidas a carregamento senoidal aleatório

com modo de vibração representado por meia senóide, atinja o estado permanente.

A Figura 75 apresenta esta variação para os coeficientes de amortecimento

estrutural 0,5%, 1%, 1,5% e 2%. A resposta dinâmica de passarelas de pedestres ao

longo do tempo representada por a(t) (aceleração como função do tempo em m/s²) é

igual a 0 no momento inicial e cresce exponencialmente até o valor no estado

permanente a(st). Dessa maneira, a relação a(t)/a(st) corresponde ao percentual da

resposta dinâmica no estado permanente atingida ao longo do tempo (t).

Passarelas Externas

Passarelas Internas

123

Figura 75 – Variação da amplitude da resposta dinâmica em função do comprimento do vão

de um sistema com um grau de liberdade (S1GL) submetido a carregamento aleatório do

caminhar humano

11.1 Determinação da reposta dinâmica graficamente

Com a utilização dos gráficos contendo os espectros de respostas das

passarelas referenciais apresentados nas Figuras 64 a 74, é possível, graficamente,

determinar, para qualquer passarela com massa total diferente da passarela

referencial, a aceleração de pico modal correspondente ao percentil 95% (a95%),

aplicando-se o fator de correção de massa k conforme as Equações 66 e 67.

Por exemplo, para se determinar a aceleração máxima amax, 95% de uma

passarela com massa total igual a 50000 Kg, com coeficiente de amortecimento

igual a 1%, frequência fundamental na direção transversal vertical igual a 2,10 Hz e

comprimento de vão igual 100 m, segundo a formulação matemática para os

coeficientes dinâmicos proposta por Rainer, Pernica e Allen[9], busca-se no gráfico

da passarela referencial com propriedades modais iguais a passarela investigada, o

124

valor corresponde da aceleração a95% e aplica-se sobre este valor o fator de

correção de massa k.

Dessa maneira para passarela com massa total igual a 50000 Kg o valor da

amax, 95% corresponde a 0,48 m/s², sendo o fator de correção de massa k igual a 0,4

(20000/50000) e sendo o valor da a95% da passarela referencial obtido graficamente

igual a 1,2 m/s², conforme Figura 76.

Figura 76 – 1º Harmônico comprimento do vão 100 m (m/s²).

respectromr aka ,max, =

(66)

m

mk r

m =

(67)

Onde:

amax, p: aceleração máxima para um dado percentil (m/s²);

km: fator de correção de massa;

mr: massa da passarela referencial igual a 20.000 Kg;

m: massa total da passarela investigada (Kg).

125

Para se determinar o valor da aceleração de pico de passarelas com massa

total diferente do valor da passarela referencial são necessários os seguintes

passos:

Passo 1. Determinar o comprimento do vão e as propriedades modais da

passarela investigada, frequência natural, coeficientes de

amortecimento, massa total.

Passo 2. Buscar o gráfico da passarela referencial mais próximo do

comprimento do vão da passarela analisada, caso necessário

fazer interpolação.

Passo 3. No gráfico da passarela referencial buscar o valor da aceleração

para a curva correspondente ao amortecimento estrutural da

passarela investigada.

Passo 4. Calcular o fator de correção de massa k.

Passo 5. Multiplicar o valor da aceleração a95% achado no passo 3 pelo

fator de correção de massa k.

126


PASSARELAS DEVIDO AO CAMINHAR DE UM PEDESTRE: SOLUÇÃO VIA

MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS

Para o modelo estrutural investigado, com massa total é igual a 19789 Kg,

coeficiente de amortecimento estrutural igual a 1% e frequência fundamental na

direção transversal vertical de 4,10 Hz, foram calculados numericamente,

empregando-se as técnicas usuais de discretização, via método dos elementos

finitos, por meio do emprego do programa ANSYS [52], as respectivas respostas

dinâmicas. Foram adotadas as mesmas premissas aplicadas no método analítico

probabilístico, ou seja, distribuição normal da frequência e do comprimento do passo

do pedestre.

Os carregamentos foram gerados a partir do software Gerador de Funções de

Carga – GCFD, ajustando-se para cada frequência de passo do pedestre os valores

dos coeficientes dinâmicos do primeiro, segundo, terceiro e quarto harmônico do

caminhar humano. Foram realizadas 100 interações, de forma a obter os espectros

de respostas probabilísticos, adotando-se, separadamente, as formulações

matemáticas para determinação dos coeficientes dinâmicos propostas por Rainer,

Pernica e Allen [9], Murray, Allen e Ungar [12] e Young apud Hauksson [22].

Nos cálculos das respostas dinâmica do modelo numérico não foi considerada

a intravariabilidade do passo do pedestre. Com os valores das respostas dinâmica

da estrutura expressas por meio de aceleração de pico em m/s², foram calculados as

respectivas funções de distribuição acumulada (fda) que se encontram apresentados

nas Figuras 77 a 79.

Para a probabilidade de ocorrência correspondente a 95%, as acelerações de

pico deste percentil (a95%) obtidas segundo as formulações matemáticas para

determinação dos coeficientes dinâmicos propostas por de Murray, Allen e Ungar

[12], Rainer, Pernica e Allen [9] e Young apud Hauksson [22] correspondem a 0,43,

0,26 e 0,17m/s². O resultado numérico obtido adotando-se a formulação de Murray

[12] é, como esperado, significativamente superior ao valor calculado a partir da

formulação de Rainer, Pernica e Allen [9]. Tendo em vista que a estrutura analisada

encontra-se em ressonância com o segundo harmônico do caminhar humano, e os

coeficientes dinâmicos propostos por Murray, Allen e Ungar [12] são igualmente

superiores aos valores propostos por Rainer, Pernica e Allen [9].

127

Figura 77 – Função distribuição acumulada com coeficientes dinâmicos segundo formulação

matemática proposta por Murray [12]

Figura 78 – Função distribuição com coeficientes dinâmicos segundo formulação

matemática proposta por Rainer, Pernica e Allen [9]

128

Figura 79 – Função distribuição acumulada com coeficientes dinâmicos segundo formulação

matemática proposta por Young apud Hauksson [22]

Comparando-se os valores probabilísticos da aceleração de pico referentes

ao percentil 95% obtidos analiticamente com os valores resultantes do método

numérico, Tabela 17, observa-se a convergência dos valores, demonstrando a

confiabilidade do método analítico probabilístico proposto. As divergências entre os

valores obtidos numericamente e analiticamente podem ser atribuídas ao baixo

número de interações utilizado no método numérico.

Tabela 17 – Comparação entre os resultados do método analítico e do método numérico

Aceleração (m/s²) Método Analítico Método Numérico Erro (%)

amax, 95% - Rainer 0,26 0,29 11,48

amax, 95% - Murray 0,43 0,46 5,60

amax, 95% - Young 0,17 0,23 23,64

A estrutura investigada é uma passarela interna em um hospital público no

Estado do Rio de Janeiro. Adotando-se o valor limite de aceleração de pico de 0,15

129

m/s² recomendado pela Norma ISO 2631/2 [10] para este tipo de estrutura, a

passarela investigada não atenderia aos critérios de conforto humano, adotando-se

as formulações matemáticas para determinação dos coeficientes dinâmicos

propostas por Rainer, Pernica, Allen [9], Murray [12] e Young apud Hauksson [22].

Todavia, caso a estrutura fosse uma passarela externa, a mesma atenderia aos

critérios de conforto humano estabelecidos na norma citada.

As Tabelas 18 e 19 apresentam os valores das acelerações, referentes aos

percentis 50%, 60%, 70%, 75%, 80%, 85%, 90%, 95% e 99%, para a passarela

examinada, considerando percentuais diferentes para intravariabilidade do passo do

pedestre. Ou seja, foram calculadas as respostas dinâmicas da passarela de

pedestre investigada considerando que a intravariabilidade do passo flutua em torno

da frequência preferencial do passo de pedestre 4%, 3%, 2% e, ainda,

desconsiderando-se completamente a intravariabilidade do passo. Observa-se da

Tabela 18 que com o aumento da intravariabilidade do passo ocorre redução dos

valores da aceleração de pico correspondentes ao percentil 95% (a95%).

Tabela 18 – Análise de Sensibilidade da Intravariabilidade do passo com coeficientes

dinâmicos segundo Rainer, Pernica e Allen [9]

Percentil (%) Intravariabilidade

4%

Intravariabilidade

3%

Intravariabilidade

2%

Sem

Intravariabilidade

Percentil 50% 0,14 0,13 0,13 0,06

Percentil 60% 0,15 0,15 0,17 0,10

Percentil 70% 0,16 0,17 0,18 0,22

Percentil 75% 0,16 0,18 0,19 0,23

Percentil 80% 0,17 0,18 0,20 0,23

Percentil 85% 0,18 0,19 0,22 0,25

Percentil 90% 0,19 0,20 0,22 0,25

Percentil 95% 0,21 0,21 0,23 0,25

Percentil 99% 0,22 0,23 0,25 0,25

130

Tabela 19 – Análise de Sensibilidade da Intravariabilidade do passo com coeficientes

dinâmicos segundo Murray [12]

Percentil (%) Intravariabilidade

4%

Intravariabilidade

3%

Intravariabilidade

2%

Sem

Intravariabilidade

Percentil 50% 0,22 0,22 0,21 0,12

Percentil 60% 0,25 0,25 0,23 0,13

Percentil 70% 0,27 0,28 0,28 0,14

Percentil 73% 0,28 0,28 0,28 0,14

Percentil 74% 0,28 0,28 0,28 0,14

Percentil 75% 0,29 0,28 0,29 0,20

Percentil 80% 0,29 0,29 0,31 0,37

Percentil 85% 0,30 0,32 0,34 0,38

Percentil 90% 0,33 0,33 0,37 0,41

Percentil 95% 0,35 0,36 0,38 0,42

Percentil 99% 0,38 0,38 0,40 0,43

131

13 FORMULAÇÕES PARA AVALIAÇÃO DA RESPOSTA DINÂMICA DE

PASSARELAS DEVIDO AO CAMINHAR DE VÁRIOS PEDESTRES


Nos capítulos anteriores foram apresentados métodos analíticos

probabilísticos para verificação da resposta dinâmica de passarelas de pedestre

devido ao caminhar humano de um único pedestre. A resposta dinâmica de

passarelas submetidas ao carregamento dinâmico devido ao fluxo de pedestres

caminhando sem restrição espacial, com frequência e comprimento de passo

escolhidos livremente pelos pedestres, depende dentre inúmeras variáveis da

intensidade do fluxo de pedestres (pedestres/m²), do grau de interação entre os

pedestres e da interação pedestre-estrutura. A Figura 80 é representativa da

caminhada aleatória de fluxo de pedestre sobre uma passarela.

Figura 80 – Modelo de carregamento para duas pessoas caminhando.

O limite de 0,5 m/s² para aceleração de pico na direção transversal vertical,

estabelecidos pela norma demonstrada ISO 2631/2, apresentado no capítulo 1, leva

em consideração a resposta dinâmica da estrutura sob o caminhar de um único

pedestre.

Os efeitos dinâmicos do carregamento devido ao fluxo de pedestres

caminhando sem restrição espacial têm sido pesquisados principalmente na última

década em função de inúmeros problemas de vibrações excessivas e

consequentemente desconforto humano ocorrido. Nestas pesquisas, o efeito

dinâmico de fluxo de pedestres tem sido proposto como um múltiplo da ação de

único pedestre.

O grau de sincronização entre os pedestres afeta diretamente na resposta

dinâmica da estrutura. A diferença dos ângulos de fase entre pedestres faz com que

parte destes pedestres atuem como um sistema massa mola absorvendo parte da

energia gerada por outras pessoas, conforme Figura 81.

132

Dessa maneira, pode-se dizer que um fluxo de pedestre caminhando sem

restrição espacial sobre passarelas de pedestres tem efeito dinâmico diferente

daquele produzido por grupo de pedestres. Sendo grupo de pedestres definido como

um conjunto de pessoas caminhando em sincronia entre si, ou seja, com mesma

frequência de passo e ângulo de fase.

Figura 81 – Efeito dinâmico de fluxo de pedestres [49]

13.1.1 Efeito dinâmico de fluxo de pedestres proposto por Matsumoto [65]

Matsumoto [65] propôs em seu trabalho que o carregamento dinâmico devido

ao fluxo de pedestre pode ser calculado multiplicando-se o efeito de um único

pedestre pela raiz quadrada do número de pedestres caminhando sobre a estrutura

conforme a Equação 68. O número de pedestre equivalentes representa o fator

multiplicador do efeito dinâmico de um único a ser levado em consideração quando

da avaliação da resposta dinâmica de passarelas submetidas a fluxo de pedestres.

O Método de Monte Carlo pode ser utilizado para se determinar

probabilisticamente a força equivalente de fluxos com N pedestres caminhando

aleatoriamente sobre uma passarela, com peso, frequência e comprimento de passo

e ângulo de fase seguindo uma distribuição normal.

Por exemplo, considerando-se a distribuição normal da frequência do passo,

do comprimento do passo e do peso dos pedestres, pode-se gerar, separadamente,

133

os carregamentos dinâmicos devido ao caminhar humano de cada pedestre,

adotando-se, como tempo inicial da caminhada, valores que venham caracterizar a

travessia de fluxo de pedestres. Ou seja, um pedestre, inicia sua caminhada após o

outro sem que haja restrição espacial do caminhar individual de cada pedestre.

Como cada pedestre inicia sua caminhada em um tempo inicial aleatório, as

forças geradas por cada pedestre apresentam diferenças de fase. Somando-se as

forças geradas por N pedestres, observa-se que a força equivalente gerada pelo

fluxo de pedestre é menor do que somatório das ações caso os pedestres

estivessem caminhando em sincronia, isto é, em fase entre si.

A Figura 82 apresenta o resultado da simulação Monte Carlo, obtido nesta

dissertação, demonstrando o número equivalente de pedestres para um fluxo

aleatório. Nesta simulação de Monte Carlo as forças dinâmicas geradas por cada

pedestre foram modeladas segundo a formulação matemática proposta por Varela e

Battista [18]. As curvas representativas do percentil 50%, 75%, 90% e 95%

representam a probabilidade dos números equivalentes de pedestres serem

inferiores aos valores característicos da curva.

Por exemplo, para um fluxo com 50 pedestres, pode-se afirmar que em 50%,

75%, 90% e 95% dos casos, o número equivalente de pedestres será inferior a 12,

14, 16 e 17 respectivamente.

Observa-se na Figura 82 que o número de pedestres equivalente proposto

por Matsumoto é inferior ao obtido por meio de simulação baseada no método de

Monte Carlo. Demonstrando que existe um grau de interação entre o homem e a

estrutura (IHS) que, além da aleatoriedade do peso, frequência e comprimento de

passo e ângulo de fase dos pedestres, reduz os efeitos dinâmicos do carregamento

do fluxo de pedestres sobre passarelas.

Entretanto segundo guia de projeto Sètra [49] o método proposto por

Matsumoto por vezes apresenta resultados superestimados quando comparados

com dados experimentais, devido à premissa adotada neste modelo de que todos os

pedestres caminham com mesma frequência e ângulo de fase distribuídos segundo

uma distribuição normal [49].

NNeq =

(68)

134

Onde:

Neq: número de pedestres equivalentes.

N: número de pedestres caminhando sobre a passarela.

Figura 82 – Número de pedestres equivalente segundo simulação baseada no Método de

Monte Carlo.

13.1.2 Efeito dinâmico de fluxo de pedestres proposto por Fujino [66]

Fujino, baseado em medições experimentais de uma passarela no Japão com

capacidade para 2000 pessoas, demonstrou que a formulação matemática, proposta

por Matsumoto [65], subestimou em até 10 vezes os valores medidos. Fujino [66]

propôs a Equação 69 para se determinar o número equivalente para fluxo de

pedestres.

NNeq 2,0=

(69)

Onde:



13.1.3 Efeito dinâmico de fluxo de pedestre proposto na norma Eurocode 5 [5]

135

A norma Eurocode 5 [5], para passarelas de pedestres de madeira,

recomenda que a resposta dinâmica de passarelas simplesmente apoiadas seja

calculada pela Equação 70 e 71, sendo o número de pedestres equivalentes dado

pela Equação 72.

vertN kNaa ,1123,0=

(70)

Hzfpara

Hzfpara

M

Ma

n

n

0,55,2

5,2

100

200

1≤<

≤

=

ξ

ξ

(71)

NNeq 23,0=

(72)

Onde:



K1,vert: coeficiente relacionado a primeira frequência natural da passarela na

direção transversal vertical Figura 6.

13.1.1 Efeito dinâmico de fluxo de pedestre proposto na norma ISO 10137 [55]

A Norma ISO 10137 que trata do estado limite de serviço de vibrações

excessivas (ELS-VE) recomenda que o efeito dinâmico devido a fluxo de pedestres

deve ser obtido pela multiplicação da força do carregamento devido ao caminhar

humano de um único pedestre pela raiz quadrada do número de pedestres, segundo

a Equação 73. Entretanto esta norma não especifica a frequência do passo a ser

utilizada e se o carregamento é estacionário ou apresenta variação temporal.

( )

++= ∑

=

n

i

ipiN tfiNPtF1

2cos1)( φπα (73)

Onde:

F(t): função de carregamento dinâmico;

P: peso de uma pessoa;

αi: coeficiente dinâmico para a força harmônica (fator de carga dinâmica);

i: múltiplo do harmônico (1, 2, 3, etc.);

136

fp: frequência do passo humano;

φi: ângulo de fase para o harmônico i;

t: tempo.

N: número de pedestres.

13.1.2 Efeito dinâmico de fluxo de pedestre segundo o anexo nacional do Reino

Unido ao Eurocode 1 [38]

O Anexo da Nacional do Reino Unido ao Eurocode 1 define modelos de

carregamento para o caminhar e corrida de humanos e, ainda, para fluxo de

pedestres. O único modelo de carregamento aplicável para densidade de fluxo de

pedestre acima de 0,4 pedestres/m² é representado pelas Equações 74 a 76.

λ

γ Nk

A

FtFN

08,1)( = (74)

ξγ 4,7= (75)

64,0=λ (76)

Onde:

Fo: força dinâmica referencial de um único pedestre (N);

A: área do tabuleiro da passarela (m²);

k: fator que leva em conta a probabilidade de ressonância do caminhar

humano com estrutura;

ϒ: fator que leva em consideração o nível de sincronização entre os

pedestres;

λ: fator que ajusta a posição do número de pedestres em relação à

configuração do modo de vibração da estrutura. Para modo de vibração com

formato senoidal L=0,64;

ξ: coeficiente de amortecimento estrutural.

13.1.3 Efeito dinâmico de fluxo de pedestre proposto no guia de projeto Sétra [49]

O guia de projeto Sètra apresenta critérios de classificação para passarelas

de pedestres segundo a intensidade do fluxo de pedestres sob o qual estas

estruturas estão submetidas. A partir da classificação das passarelas e do nível de

137

conforto desejado, este guia de projeto estabelece limites de aceleração de pico nas

direções transversais vertical e horizontal.

As passarelas de pedestres são classificadas em quatro grupo distintos:

a) Classe IV – passarela de pedestres raramente usada, construída em áreas

pouco habitadas ou para assegurar a continuidade da caminhada de

pedestres sobre rodovias.

b) Classe III – passarela de pedestres para uso padrão que ocasionalmente são

submetidas ao carregamento de fluxo de pedestres (0,5 pedestre/m²).

c) Classe II – passarela de pedestre urbana construída para ligar áreas

populosas submetidas a tráfego pesado e ocasionalmente toda sua área é

submetida ao carregamento de pedestres (0,8 pedestre/m²).

d) Classe I – passarela de pedestre urbana construída em áreas com alta

concentração de pedestres (estações de trem, estádios de futebol e etc.)

submetidas frequentemente a tráfego pesado (1,0 pedestre/m²).

Segundo o guia de projeto Sétra [49] as passarela de pedestres da Classe IV

não precisam ser avaliadas dinamicamente, tendo em vista o seu tipo de localização

e utilização. Para passarelas muito leves é recomendada a escolha ao menos da

Classe III.

A Tabela 20 demonstra o nível de conforto humano em função da aceleração

de pico destas estruturas. Devido à natureza subjetiva do conforto humano, o guia

de projeto Sètra [49] recomenda patamares de aceleração de pico para avaliação do

conforto humano. Em ordem crescente, os três primeiros correspondem ao nível

máximo, médio e mínimo de conforto, sendo o último correspondente ao nível de

aceleração não aceitável.

A Tabela 21 apresenta, em níveis decrescentes, as faixas de frequências

naturais na direção transversal vertical em Hz das estruturas, de maior probabilidade

de ocorrência do fenômeno físico da ressonância. Os níveis 1, 2, 3 e 4 representam,

portanto, as faixas de maior, médio, mínimo e risco negligenciável de ocorrência de

ressonância.

138

Tabela 20 – Aceleração limite segundo guia de projeto Sètra (m/s²) [49]

Nível de Aceleração (m/s²) 0 0,5 1 2,5

Nível 1 Máximo

Nível 2 Médio

Nível 3 Mínimo

Nível 4

Tabela 21 – Faixas de frequência fundamental crítica segundo guia de projeto Sètra [49]

Frequência (Hz) 0 1 1,7 2,1 2,6 5

Nível 1

Nível 2

Nível 3

Nível 4

Uma vez definido a classe da passarela e a faixa de frequência natural na

qual a estrutura se encontra, é necessária a avaliação do comportamento da

estrutura para diferentes cenários de carregamento, casos 1, 2 e 3 conforme Tabela

22.

a) Caso 1 – fluxo de pedestres esparso e denso.

b) Caso 2 – fluxo de pedestres intenso.

c) Caso 3 – segundo harmônico da carga de excitação.

Tabela 22 – Casos de carregamentos para verificação da resposta dinâmica [49]

Casos de carregamentos para verificação da aceleração

Fluxo de

Pedestres

Classe Faixa de Frequência Fundamental (Hz)

1 2 3

Esparso I Case 1 Não Não

Denso II Caso 2 Caso 3

Intenso III Case 2 Caso 3 Caso 3

O efeito dinâmico de fluxo de pedestres recomendado, no guia de projeto

Sètra, considera que a frequência do passo dos pedestres segue uma distribuição

normal. Para um determinado coeficiente de amortecimento estrutural e fluxo com N

pedestres foram realizados 500 amostras de testes digitais para avaliar o número de

139

pedestres equivalentes que resultaria na mesma resposta dinâmica da estrutura

submetida ao carregamento do fluxo de pedestres aleatório. A contribuição dos

pedestres para o aumento da massa modal foi, também, considerada na formulação

matemática. Entretanto, o efeito do número de pedestres no coeficiente de

amortecimento estrutural não foi levado em consideração. A resposta dinâmica da

estrutura pode ser obtida pelas Equações 77 a 80.

²/0,1)2cos(8,10)( 0 mpedestreparaftNA

FtFN <= πψξ (77)

²/0,1)2cos(85,1)( 0 mpedestreparaftNA

FtFN ≥= πψ (78)

²/0,185,1

²/0,18,10

mpedestreNN

ou

mpedestreparaNN

eq

eq

≥=

<= ξ

(79)

A

Fa N

πρξ

4

2

1= (80)

Onde:

Fo: força dinâmica referencial de um único pedestre (N);

A: área do tabuleiro da passarela (m²);

ψ: fator redutor da resposta dinâmica para passarelas fora da faixa de

ressonância com o caminhar humano;

ξ: coeficiente de amortecimento estrutural;

N: número de pedestres;

Neq: número de pedestres equivalentes;

a: aceleração de pico (m/s²).

Os fatores redutores da resposta dinâmica (ψ), para passarelas fora da faixa

de frequência máxima de probabilidade de ocorrência de ressonância com o primeiro

e segundo harmônico da carga de excitação, são apresentados nas Figuras 83 e 84

respectivamente. Observa-se nestas Figuras que a reposta dinâmica de passarelas

de pedestres é máxima na faixa de frequência de passo de pedestres de 1,7 a 2,1

Hz para o primeiro harmônico, e de 3,4 a 4,2 Hz para o segundo harmônico do

caminhar humano.

140

Figura 83 – Fator redutor da reposta dinâmica de passarelas (ψ) 1º harmônico [49]

Figura 84 – Fator redutor da resposta dinâmica de passarelas (ψ) 2º harmônico [49]

13.1.4 Efeito dinâmico de fluxo de pedestre segundo Brand, Sanjayan e Sudbury

[17]

Brand, Sanjayan e Sudbury [17] demonstraram que o número de pedestre

equivalente (Neq) obtido estatisticamente para um grupo de pedestre caminhando

com mesma frequência e ângulo de fase é dado pela Equação 81.

)1(log, LNC elf −−= (81)

Onde:

141

N: número de pedestres

L: nível de confiança requerido (ex. L95% = 0,95)

13.1.5 Comparativo entre os métodos propostos do efeito Dinâmico devido a fluxo de

Pedestres

As Figuras 85 e 86 apresentam respectivamente o número de pedestres

equivalentes para cada método apresentado no presente capítulo e as respostas

dinâmicas de uma passarela referencial com massa total igual a 100000 Kg,

coeficiente de amortecimento estrutural de 1% e frequência fundamental de 2 Hz.

Comparando-se os métodos mais utilizados, os modelos propostos por Matsumoto

[65] e guia de projeto Sètra [49], observa-se que o método Sètra [49] é superior ao

valor proposto por Matsumoto [65].

Entretanto, adotando-se o coeficiente estrutural de 0,5% para a passarela

referencial o método Sétra se torna inferior ao valor obtido pelo método de

Matsumoto [65]. Dessa maneira, demonstra-se que o número de pedestres

equivalente segundo o método proposto por Matsumoto [65], em função do

coeficiente de amortecimento estrutural, pode ser superior ou inferior ao valor

correspondente proposto no guia de projeto Sètra [49].

Figura 85 – Número de pedestres equivalente (Neq).

142

Figura 86 – Resposta dinâmica da passarela referencial (m/s²).

143

14 AVALIAÇÃO DA RESPOSTA DINÂMICA DE PASSARELAS DEVIDO AO

CAMINHAR DE VÁRIOS PEDESTRES

14.1 Introdução

O presente capítulo apresenta dois métodos para avaliação do

comportamento dinâmico de passarelas de pedestres submetidas à ação dinâmica

de fluxo de pedestres. Nestes métodos, inicialmente, calcula-se a resposta dinâmica

devido ao caminhar de um pedestre e posteriormente este valor é multiplicado pelo

número equivalentes de pedestres para se obter a resposta dinâmica devido à vários

pedestres. Portanto, estes métodos, podem ser utilizados para se determinar a

resposta dinâmica devido ao caminhar de uma pessoa ou fluxo de pedestres.

1) Método proposto no guia de projeto Sètra [49]

2) Método Espectro de Resposta [43]

14.2 Método proposto no guia de projeto Sétra [49]

O método proposto no guia de projeto Sètra [49], para obtenção da resposta

dinâmica de passarelas submetidas a fluxo de pedestre, é dado pelas Equações 77

a 80. As Figuras 87 a 89 apresentam os resultados da resposta dinâmica de uma

passarela referencial com massa total de 19789 Kg, área do tabuleiro igual 52,5 m²,

com frequências naturais na direção transversal vertical variando de 1 a 9 Hz para

os coeficientes de amortecimento 0,5%, 1% e 2% respectivamente.

A passarela referencial apresenta mesma massa total em Kg, comprimento e

área do tabuleiro da passarela investigada. Os valores referenciais da massa, do

comprimento e da área em m² da passarela referencial foram escolhidos de forma

que as respostas dinâmicas obtidas para fluxo de pedestres possam ser

comparadas com os valores calculados na análise da resposta dinâmica devido ao

caminhar de um único pedestre.

Os valores das acelerações das Figuras 87 a 89 foram obtidos a partir da

formulação matemática proposta por Rainer, Pernica e Allen [9] para determinação

dos coeficientes dinâmicos.

Destaca-se que o método proposto no guia de projeto Sétra [49] foi

desenvolvido para passarelas com vãos longos e, portanto com massa total maior do

144

que a passarela referencial utilizada no exemplo. Portanto, as acelerações de pico

para modelos reais apresentarão valores inferiores aos constantes nas Figuras 87,

88 e 89.

Observa-se nestas Figuras que a configuração das curvas segue o formato do

fator redutor de resposta dinâmica (ψ) dado nas Figuras 83 e 84. Ou seja,

passarelas com frequência natural na direção transversal vertical nas faixas de 1,7

Hz a 2,1 Hz e 3,4 Hz a 4,2 HZ, apresentam maior probabilidade de estarem em

ressonância com primeiro e segundo harmônico da carga de excitação do caminhar

humano, respectivamente. Observa-se nos espectros de resposta, Figuras 87 a 89,

que passarelas na faixa de ressonância com harmônicos do caminhar humano

apresentam acelerações de pico maiores do que estruturas fora das faixas dos

valores correspondem aos harmônicos do carregamento dinâmico.

Nas Figuras 87 a 89, verifica-se que a resposta dinâmica de passarelas

depende da intensidade do fluxo de pedestres sob o qual estão submetidas. As

classes III, II e I correspondem a fluxo de pedestres com 0,5, 0,8 e 1,0 pedestre/m²

respectivamente. Já para a classe IV, os valores da resposta dinâmica foram obtidos

devido ao caminhar de um único pedestre. Os valores da aceleração de pico

determinístico foram obtidos, também, devido ao caminhar de um único pedestre e

considerando-se as respostas dinâmicas no estado permanente dado pela Equação

46, sendo adotado o valor médio da frequência do caminhar humano igual 2 Hz.

Dessa maneira, nestes espectros, as resposta dinâmicas de passarelas de

pedestres que não se encontram em ressonância com a estrutura foram ajustadas

conforme o fator de amplificação dinâmico dado pela Equação 47.

Pode-se afirmar que, segundo método proposto no guia de projeto Sètra [49],

as respostas dinâmicas de passarelas são função da intensidade do fluxo de

pedestre. Quanto mais intenso o fluxo maior será a resposta dinâmica da estrutura.

As respostas dinâmicas são, também, função do coeficiente de amortecimento da

estrutura. Sendo que, quanto maior for o coeficiente de amortecimento estrutural

menor será a resposta dinâmica da passarela.

145

Figura 87 – Aceleração método Sètra (m/s²) (ξ 0,5%)

Figura 88 – Aceleração método Sètra (m/s²) (ξ 1%)

146

Figura 89 – Aceleração método Sètra (m/s²) (ξ 2%)

As Figuras 90 a 93 apresentam a variação da reposta dinâmica da passarela

referencial com massa 19789 Kg, com frequência natural na direção transversal

vertical de 2 Hz, 4 Hz, 6 Hz e 8 Hz, respectivamente, em função do seu respectivo

amortecimento estrutural. Os valores foram obtidos segundo os coeficientes

dinâmicos propostos por Rainer, Pernica e Allen [9]. Observa-se nestas figuras, uma

redução exponencial da resposta dinâmica da estrutura com o aumento do


Figura 90 – Aceleração método Sètra (m/s²) 2 Hz

147



148


14.3 Método Espectro de Resposta [43]

A resposta dinâmica de passarelas de pedestres, submetidas à fluxo de

pedestres aleatório, pode ser obtida a partir da simulação, com número suficiente de

interações, do comportamento randômico do caminhar humano. Butz [43] ressalta

que a implementação de modelo estocástico para avaliação da resposta dinâmica de

estruturas demanda tempo e ferramenta computacional adequada, sendo sua

implementação, por vezes impraticável na fase de projeto.

O método espectro de resposta é um modelo de avalição do comportamento

dinâmico de passarelas de pedestres implementado a partir de simulações baseadas

no Método de Monte Carlo para quatro cenários distintos de fluxo de pedestres.

Levando-se em consideração a aleatoriedade da frequência do passo dos pedestres

e a variação das propriedades modais das estruturas, tais como: coeficiente de

amortecimento e frequência natural.

Butz [43] destaca que no caso ideal, o modelo estocástico representativo do

caminhar de fluxo de pedestres deve ser composto por indivíduos caminhando

independentemente com frequência de passo e velocidade em suas respectivas

149

faixas preferenciais. Entretanto, em um fluxo de pedestres real existe um grau de

interação entre os pedestres que influencia a velocidade de deslocamento dos

mesmos ao longo da passarela. O método espectro de resposta é baseado na

premissa que a frequência do passo e a respectiva velocidade de deslocamento dos

pedestres permanecem constantes, desconsiderando-se, ainda, a intravariabilidade

da frequência do passo.

O fluxo de pedestre é caracterizado por um conjunto de indivíduos

caminhando aleatoriamente, portanto, não caminhando em grupo (em fase entre si)

e o tempo de chegada à passarela segue um distribuição de Poisson. A Tabela 23

apresenta as médias, os desvios padrões das variáveis aleatórias características do

caminhar humano utilizados no método Espectro de Resposta [43] para modelar o

fluxo de pedestres.

Tabela 23 – Parâmetros estatístico segundo método espectro de resposta [43]

Fluxo de Pedestre

Densidade

(ped/m²)

Frequência do Passo (Hz) Velocidade

(m/s) Média Desvio Padrão

Esparso 0,2 1,8 0,1 1,44

Denso 0,5 1,8 0,1 1,30

Muito denso 1,0 1,6 0,08 1,00

Extremamente denso 1,5 1,4 0,04 0,80

Para cada densidade de fluxo de pedestre, o valor correspondente ao

percentil 95% da aceleração é determinado pelas Equações 82 a 88.

%95,%95,%95max aaka σ= (82)

Onde:

amax, 95%: percentil 95% da aceleração máxima.

σa, 95%: desvio padrão da aceleração.

ka, 95%: fator de pico que transforma o desvio padrão em aceleração.

150

2

12

2

2 k

red

i

f

a kkM

Cξ

σσ = (83)

32

2

11 afafak ii ++= (84)

32

2

12 bfbfbk ii ++= (85)

−

−=

2

2

1exp

red

ip

redB

ffk (86)

nk ff =2σ (87)

pp lcdn = (88)

Onde:

σa²: variância da aceleração;

a1, a2, a3: constantes;

b1, b2, b3: constantes;

fi: frequência natural que coincide com a frequência do passo (Hz);

Mi: massa modal (Kg).

C: constante que descreve a carga máxima do espectro de carregamento;

σf: variância do carregamento;

kf: constante;

n: número de pedestres;

d: densidade de pedestres (pedestres/m²);

cp: comprimento da passarela (m);

lp: comprimento da passarela (m);

kred: fator redutor da resposta dinâmica para estruturas fora da ressonância;

Os coeficientes a1, a2, a3, b1, b2, b3 e Bred encontram-se definidos na Tabela

24. O fator de pico ka, 95% é determinado para cada cenário de carregamento pela

Equação 89. A Tabela 25 apresenta o fator de pico segundo a densidade do fluxo de

pedestres.

151

Tabela 24 – Coeficientes do método espectro de resposta [43]

D

(p/m²)

Kf C a1 a2 a3 b1 b2 b3 Bred

0,5 1,2 x 10-

2

2,95 -0,070 0,600 0,075 0,003

-0,040 -1,000 0,093

1,0 7,0 x 10-

3

3,70 -0,070 0,560 0,084 0,004 -0,045 -1,000 0,0775

%50

%95max

%95,)(

)(

a

a

ak

σ= (89)

Tabela 25 – Fator de pico ka, 95% [43]

Densidade (ped/m²) Aceleração Vertical Aceleração Lateral

≤0,5 3,92 3,77

1,0 3,80 3,73

1,5 3,74 3,63

As Figuras 94 a 96 apresentam os resultados da resposta dinâmica de uma

passarela referencial com massa total de 19789 Kg, área do tabuleiro igual 52,5 m²,

com frequências naturais na direção transversal vertical variando de 1 a 9 Hz para

os coeficientes de amortecimento 0,5%, 1% e 2% respectivamente.

A passarela referencial apresenta mesma massa total, comprimento e área do

tabuleiro da passarela investigada neste trabalho. Os valores referenciais de massa,

comprimento e área da passarela referencial foram escolhidos de forma que as

respostas dinâmicas obtidas para fluxo de pedestres possam ser comparadas com

os valores da resposta dinâmica devido ao caminhar de um único pedestre

apresentado no capítulo 11.

Os valores das acelerações das Figuras 94 a 96 foram obtidos a partir da



Observa-se, nestas figuras, que a configuração das curvas segue o formato

do fator redutor de resposta dinâmica (Kred) dado pela Equação 86. Ou seja,

passarelas com frequência natural na direção transversal vertical apresentam maior

152

resposta dinâmica quando em ressonância com os harmônicos da carga de

excitação devido ao caminhar humano.

Ainda, nas Figuras 94 a 96, verifica-se que a resposta dinâmica de passarelas

depende da intensidade do fluxo de pedestres sob o qual estão submetidas. As

classes III, II e I correspondem a fluxo de pedestres com 0,5, 0,8 e 1,0 pedestre/m²

respectivamente. Já para a classe IV, os valores da resposta dinâmica foram obtidos

devido ao caminhar de um único pedestre. Os valores da aceleração de pico

determinístico foram obtidos devido ao caminhar de um único pedestre e

considerando-se as respostas dinâmicas no estado permanente.

Pode-se afirmar que, segundo o método Espectro de Resposta [43], as

acelerações de pico das passarelas são função da intensidade do fluxo de pedestre,

quanto mais intenso o fluxo maior será a resposta dinâmica da estrutura. As

respostas dinâmicas são, também, função do coeficiente de amortecimento da

estrutura. Sendo que quanto maior for o amortecimento estrutural menor será a

resposta dinâmica da passarela.

Figura 94 – Aceleração método Espectro de Resposta (m/s²) ξ 0,5%

153

Figura 95 – Aceleração método Espectro de Resposta (m/s²) ξ 1%

Figura 96 – Aceleração método Espectro de Resposta (m/s²) ξ 2%

As Figuras 97 a 100 apresentam a variação da reposta dinâmica de uma

passarela referencial com massa igual a 19789 Kg, com frequência fundamental de

2 Hz, 4 Hz, 6 Hz e 8 Hz, respectivamente, em função do coeficiente de

amortecimento estrutural. Mais uma vez, os valores foram obtidos adotando-se a

154



Observa-se, como esperado, a redução da resposta dinâmica da estrutura

com o aumento do coeficiente de amortecimento estrutural.

Figura 97 – Aceleração método Espectro de Resposta (m/s²) 2 Hz


155



156

15 COMPARAÇÃO ENTRE OS RESULTADOS DAS ANÁLISES DINÂMICAS

DETERMINÍSTICA E NÃO DETERMINÍSTICA


Neste capítulo, os resultados obtidos, para o caminhar de uma pessoa e fluxo

de pedestres, através das análises analíticas probabilísticas e determinísticas são

comparados. Esta comparação permite verificar a convergência dos resultados

obtidos.


probabilística devido ao caminhar de um pedestre

Os valores das acelerações (a95%) calculados a partir dos métodos

probabilísticos, Monte Carlo (modelo proposto no presente trabalho), Sètra e

Espectro de Resposta devido ao caminhar de um único pedestre de uma passarela

referencial com massa total igual 20000 Kg, comprimento de vão igual a 15 m,

coeficiente de amortecimento estrutural de 1% e frequência natural variando de 1 a 9

Hz, foram comparados com os valores obtidos pelo método determinístico dado pela

Equação 46 que considera a resposta dinâmica da estrutura no estado permanente.

As Figuras 101 e 102 apresentam os resultados das acelerações a95%

(percentil 95%) a partir das formulações matemáticas para determinação dos

coeficientes dinâmicos do caminhar humano propostas por Rainer, Pernica e Allen

[9] e Murray, Allen e Ungar [12] respectivamente. Observa-se que os valores obtidos

no método determinístico são superiores aos valores obtidos a partir dos métodos

probabilísticos.

A título ilustrativo, observa-se que o valor da aceleração de pico (a95%), obtida

por meio do método de Monte Carlo que neste caso leva em consideração a

intravariabilidade da frequência do passo do pedestre, é 7% inferior ao valor

calculado utilizando-se o método Espectro de Resposta, cujas respostas dinâmicas,

também, são obtidas a partir de simulações Monte Carlo, porém, desconsiderando-

se a intravariabilidade do passo do passo. Portanto, pode-se afirmar que a

intravariabilidade do passo do pedestre tende a reduzir o pico das respostas

dinâmicas de passarelas.

157

A resposta dinâmica de passarelas como pode ser observado nestas Figuras

é máxima quando a estrutura encontra-se em ressonância com a carga de excitação

(frequência do passo igual a 2 Hz). Interessante observar que as respostas

dinâmicas obtidas pelo método proposto no guia de projeto Sètra [49] e pelo método

de Monte Carlo apresentam valores maiores do que aqueles calculados pelo método

Espectro de Resposta [43] para estruturas fora da faixa de ressonância com o valor

médio da frequência de passo caminhar humano (2 Hz). Por exemplo, para a

passarela referencial com frequência natural na direção transversal vertical igual a

1,8 Hz, as acelerações (a95%) obtidas pelos métodos Sétra, Monte Carlo e Espectro

correspondem respectivamente a 1,02 m/s², 0,70 m/s² e 0,40 m/s². No método

Espectro de Reposta [43] as respostas dinâmicas crescem substancialmente à

medida que a frequência natural da estrutura se aproxima do valor médio (2,0 Hz) da

frequência do passo do pedestre. Isto ocorre, em função do desvio padrão da

variável frequência do passo utilizado no método Espectro de Resposta ser igual

0,1, sendo, portanto, a metade do desvio padrão igual a 0,2 utilizado no Monte Carlo

e Sètra [49]. Esta diferença é justificável, tendo em vista que o método Espectro de

Resposta [43] prevê um grau de interação entre os pedestres caminhando em fluxo

que impede que a frequência do passo varie livremente como na caminhada de um

único pedestre. Daí, a divergência entre os valores dos desvios padrões adotados.

Cabe relembrar que para uma variável qualquer seguindo uma distribuição

normal com valor médio µ, a probabilidade de ocorrência de valores mais afastados

deste valor médio depende do respectivo desvio padrão da variável. Destaca-se,

conforme demonstrado no capítulo 3 e 4 do presente trabalho, que para uma

variável com distribuição normal valor médio µ e desvio padrão σ, 99,7% dos valores

prováveis encontram-se na faixa média mais ou menos três vezes o desvio padrão

(µ± 3σ).

Assim, para uma passarela com frequência natural igual a 1,8 Hz, a

probabilidade desta estrutura encontrar-se em ressonância com o primeiro

harmônico do caminhar humano (com valor médio de frequência de passo é igual a

2 Hz) é maior para uma distribuição normal com o desvio padrão igual 0,2

comparado com o valor igual a 0,1 adotado no método Espectro de Resposta.

No método determinístico dado pela Equação 46, as respostas dinâmicas são

calculadas desprezando-se a distribuição normal da frequência do passo dos

pedestres. Pode-se observar que neste método a aceleração de pico é máxima

158

quando a estrutura tem frequência natural igual a 2 Hz e, portanto, se encontra em

ressonância com a carga de excitação (valor médio da frequência de passo igual a 2

Hz). Sendo que a resposta dinâmica decresce, bruscamente, à medida que a

frequência natural se afasta do valor médio da frequência do passo. Comprovando

que vibrações em passarelas de pedestres são processos de banda estreita.

Por fim, cabe ressaltar que as respostas dinâmicas de passarelas dependem

dos coeficientes dinâmicos adotados. Utilizando-se os valores propostos por Murray,

Allen e Ungar [12], as respostas dinâmicas de estruturas, com frequência natural na

direção transversal vertical acima de 3,0 Hz, e, portanto, passíveis de estarem em

ressonância com o segundo, terceiro e quatro harmônico do caminhar humano serão

maiores do que os valores obtidos quando adotados os valores dos coeficientes

dinâmicos propostos por Rainer, Pernica e Allen [9].

Figura 101 – Comparativo entre os métodos probabilísticos e determinístico Rainer, Pernica

e Allen [9]

1,8

159

Figura 102 – Comparativo entre os métodos probabilísticos e determinístico Murray, Pernica

e Allen [12]


probabilística devido à vários pedestres

Os valores das acelerações (a95%) calculados segundo o método Sètra para

uma passarela referencial com massa total igual a 20000 Kg, comprimento do vão

igual a 15 m, coeficiente de amortecimento estrutural de 1% e frequência natural

variando de 1 a 9 Hz, foram comparados com os valores obtidos pelo método

Espectro de Resposta considerando as densidades de pedestres por m² iguais 0,5

(classe III), 0,8 (classe II) e 1 classe (I). Para a classe IV o carregamento dinâmico

utilizado é devido ao caminhar de um único pedestre.

A Figura 103 apresenta os resultados das acelerações a95% (percentil 95%)

adotando-se os coeficientes dinâmicos propostos por Rainer, Pernica e Allen [9].

Observa-se que os valores do obtidos pelo método Sètra para classe I (1 ped/m²)

são superiores aos valores do método de Espectro de Resposta. Isto ocorre, porque

as formulações dos efeitos dinâmicos do fluxo de pedestres destes dois métodos

não são iguais. O método espectro de resposta adota a formulação de Matsumoto

160

[65] (raiz quadrada do número de pedestres) enquanto o método Sètra utiliza as

formulações empíricas dadas pela Equação 79.

A divergência entre os valores das acelerações dos dois métodos é maior

para classe I. Para esta classe o efeito dinâmico adotado no método Sètra é quase

duas vezes maior do que o valor utilizado no método Espectro de Resposta.

Cabe relembrar que o efeito dinâmico de fluxo de pedestres do método Sètra

é função do número de pedestres bem como do coeficiente de amortecimento

estrutural. Assim, dependendo deste coeficiente, as respostas dinâmicas obtida pelo

método Sétra podem ser superiores ou inferiores aos valores obtidos utilizando-se o

método Espectro de Resposta.

Figura 103 – Comparativo entre os métodos probabilísticos e determinístico Murray [12]

161

16 CONSIDERAÇÕES FINAIS

16.1 Introdução

O objetivo desta dissertação foi estudar o comportamento dinâmico de

passarelas de pedestre submetidas ao carregamento randômico devido ao caminhar

de uma pessoa ou fluxo de pedestres. Os resultados obtidos por meio do método

analítico probabilístico foram comparados com os valores, também, obtidos

analiticamente por meio do método determinístico.

Um modelo numérico-computacional foi desenvolvido via método dos

elementos finitos, por meio do emprego do programa computacional ANSYS [52],

objetivando verificar a confiabilidade do modelo analítico probabilístico proposto

utilizando como modelo base a estrutura investigada.

O modelo analítico probabilístico, no qual passarelas de pedestres biapoiadas

são reduzidas a um sistema massa mola com um grau de liberdade (S1GL), foi

implementado computacionalmente com a utilização do software livre SIMULAR [74]

com linguagem de programação Visual Basic da Microsoft. Neste método analítico

computacional foi considerada a aleatoriedade da frequência e do comprimento do

passo do pedestre, desprezando-se a aleatoriedade do peso do pedestre, tendo em

vista a existência de uma possível correlação, ainda não precisamente quantificada,

entre a frequência do passo e o peso do pedestre [35].

No modelo numérico, o comportamento dinâmico da passarela mista

investigada foi analisado mediante a simulação do caminhar de um pedestre sobre a

estrutura considerando-se a aleatoriedade da frequência e do comprimento do passo

do pedestre. Já no modelo analítico, foi considerado ainda, a intravariabilidade do

passo do pedestre, ou seja, a variação da frequência do passo durante a

caminhada.

As respostas dinâmicas das passarelas, tanto no modelo analítico como no

modelo numérico foram apresentadas em termos de probabilidade de ocorrência

relativos ao percentil 95%. Estes valores foram analisados e comparados com os

limites propostos por normas e recomendações de projeto, objetivando uma análise

de conforto humano.

162

16.2 Conclusões

São apresentadas a seguir, as conclusões obtidas ao longo deste trabalho de

pesquisa, onde foi realizado um extenso estudo numérico. Ao longo do trabalho

foram apresentadas várias conclusões e, estas são aqui apresentadas, de forma

itemizada, em que cada item representa um aspecto ou parâmetro utilizado para

análise do comportamento dinâmico de passarelas de pedestres.

a) Coeficientes dinâmicos

Os coeficientes dinâmicas do caminhar humano são variáveis dependentes da

frequência do passo do pedestre. No presente trabalho foram apresentadas as

formulações matemáticas propostas por Rainer, Pernica e Allen [9], Murray, Allen e

Ungar [12], Young apud Hauksson [22] e Kerr apud Zivanovic [33] para

determinação destes coeficientes.

Observou-se que os coeficientes dinâmicos dos respectivos harmônicos do

caminhar humano tendem a crescer com o aumento da frequência do passo do

pedestre segundo as formulações matemáticas propostas por Rainer, Pernica e

Allen [9], Young apud Hauksson [22] e Kerr apud Zivanovic [33]. Já na formulação

proposta por Murray, Allen e Ungar [12] os coeficientes dinâmicos decrescem com o

aumento da frequência do passo.

Os valores dos coeficientes dinâmicos do primeiro harmônico do caminhar são

de mesma magnitude para as quatro formulações matemáticas. Por exemplo para o

valor médio de frequência de passo igual a 2 Hz, os coeficientes dinâmicos segundo

Rainer, Pernica e Allen [9], Murray, Allen e Ungar [12], Young apud Hauksson [22] e

Kerr apud Zivanovic [33] correspondem a 0,41, 0,41, 0,43 e 0,41. Todavia, existe

diferença significativa entre os valores dos coeficientes dinâmicos para os demais

harmônicos do caminhar humano. Sendo que os valores propostos por Murray, Allen

e Ungar [12] são aproximadamente o dobro dos valores propostos por Rainer,

Pernica e Allen [9] e Young apud Hauksson [22]. Exemplificativamente, para o

segundo harmônico do caminhar (valor médio da frequência do passo de 2 Hz), o

coeficiente de Murray, Allen e Ungar [12] é igual a 0,20. Já os valores propostos por

Rainer, Pernica e Allen [9] e Young apud Hauksson [22] são iguais a 0,11 e 0,09

respectivamente.

163

Pode-se concluir que os valores da aceleração de pico obtidos analiticamente

variam em função da formulação matemática adotada para determinação dos

coeficientes dinâmicos do caminhar humano.

b) Comparação entre os resultados obtidos com emprego do método analítico

probabilístico e os valores obtidos numericamente

A partir da implementação computacional do método analítico probabilístico

para verificação da resposta dinâmica de passarelas de pedestres foram obtidas as

acelerações de pico para uma passarela referencial com massa total igual a 20000

Kg, variando-se as frequências naturais na direção transversal vertical no intervalo

de 1 Hz a 9 Hz, os coeficientes de amortecimento estrutural (0,5%, 1 %, 1,5% e 2%)

e comprimento dos vão da estrutura de 10 a 100m. Com os resultados obtidos foram

calculadas as funções de distribuição acumulada (fda). Posteriormente, foram

construídos espectros de respostas a partir dos valores referentes ao percentil 95%

das acelerações de pico.

Observa-se que, a resposta dinâmica para passarelas reduzidas a um

sistema com um grau de liberdade (S1GL), é função do comprimento do vão da

estrutura, ou seja, do tempo de duração do carregamento na estrutura. A aceleração

de pico da estrutura estará mais próxima da resposta no estado permanente quanto

maior for o comprimento do seu vão.

Os gráficos de espectro de resposta podem ser utilizados para calcular o valor

representativo do percentil 95% da aceleração de pico de passarelas com

propriedades modais iguais e massas totais distintas da passarela referencial

aplicando-se o fator de correção de massa.

Os valores das acelerações de pico, para estruturas em ressonância com a

carga de excitação e no estado permanente, obtidos por meio do método

determinístico são superiores aos valores das acelerações calculadas utilizando-se o

método probabilístico que leva em consideração o comprimento do vão da

passarela, e, portanto, o tempo de atuação do carregamento dinâmico. Por exemplo,

para um passarela com massa total igual a 20000 Kg, comprimento do vão igual a

15 m, coeficiente de amortecimento igual a 1% e frequência natural igual 2 Hz, a

aceleração de pico no estado permanente obtida com o emprego de método

determinístico é igual a 1,5 m/s² em contraste com o valor de 0,72 m/s² obtido

164

adotando-se o método probabilístico proposto neste trabalho.

Conforme Murray, Allen e Ungar [12], passarelas de pedestres em função do

seu comprimento do vão e, portanto tempo de atuação do carregamento dinâmico,

de modo geral, não atingem a resposta dinâmica no estado permanente. Em função

disso, diversos métodos analíticos levam em consideração este efeito redutor da

resposta dinâmica no estado permanente em suas respectivas formulações

matemáticas.

Por exemplo, Rainer, Pernica e Allen [9] propôs, em sua formulação analítica

determinística para determinação da aceleração de pico, a utilização de fatores de

amplificação dinâmicos em função do comprimento do vão das passarelas. Já

Murray, Allen e Ungar [12] recomenda a utilização em seu método, também,

determinístico a utilização de um fator redutor da resposta dinâmica igual a 0,7 para

passarelas de pedestres para qualquer comprimento de vão.

Os métodos analíticos determinísticos propostos por Rainer, Pernica e Allen

[9] e Murray, Allen e Ungar [12], portanto, levam em consideração o tempo de

atuação do carregamento. Contudo, em tais métodos a estrutura é sempre colocada

em ressonância com a carga de excitação. Ou seja, nestes métodos não é

considerada a distribuição normal da frequência dos passos dos pedestres.

Alternativamente, pode-se, também, determinar a aceleração de pico de

passarelas de pedestres adotando-se como frequência da carga de excitação o valor

médio do caminhar (2 Hz). Neste caso, a estrutura só estaria em ressonância com o

caminhar humano caso uma de suas frequências naturais na direção vertical fosse

igual a 2 Hz. Ao se adotar, o valor médio da frequência do passo (2 Hz), o valor da

aceleração de pico pode ser subestimado, tendo visto que, em função da

distribuição normal da frequência do passo dos pedestres (intervariabilidade), parte

destes usuários podem gerar carregamentos dinâmicos ressonantes com a

estrutura.

Um outro aspecto não considerado nos métodos determinísticos é a variação

da frequência do passo de um dado pedestre ao longo de sua caminhada

(intravariabilidade do passo). Assim, pode-se concluir que os métodos analíticos

determinísticos não levam em consideração nem a intervariabilidade e

intravariabilidade do passo dos pedestres.

No método analítico probabilístico proposto no presente trabalho que leva em

consideração tanto a intervariabilidade quanto a intravariabilidade do passo

165

pedestres, observa-se que passarelas de pedestres que se encontram nas faixas de

frequência dos harmônicos do caminhar humano, porém, não ressonantes com a

frequência média do caminhar (2 Hz) apresentam respostas dinâmicas maiores do

que os valores obtidos através por meio de método determinístico adotando-se o

valor médio da frequência do passo (2 Hz) como frequência da carga de excitação.

Isto ocorre, porque o método analítico probabilístico considera que a

frequência do passo segue uma distribuição normal e, consequentemente, um

percentual dos pedestres poderia gerar carregamentos ressonantes com a estrutura.

Ou seja, ao se levar em consideração a aleatoriedade da frequência, do

comprimento e da intravaribalidade do passo dos pedestres, passarelas com

frequência natural diferente do valor médio da frequência do passo do pedestre (2

Hz) irão experimentar acelerações de pico mais elevados do que aquelas calculadas

considerando-se somente o valor médio da frequência de excitação (2 Hz).

Por exemplo, uma passarela de pedestre com frequência fundamental de 1,6

HZ, massa total 20000 Kg, comprimento de 100 m e coeficiente de amortecimento

de 1% não está em ressonância com o valor médio da frequência do caminhar

humano de 2 Hz. Entretanto, devido à distribuição normal da frequência do passo é

esperado que parte dos pedestres caminhem com frequência de passo igual a 1,6

Hz, portanto, em ressonância com a estrutura. O valor da aceleração de pico obtido

analiticamente com emprego de método determinístico é igual a 0,05 m/s²,

adotando-se o valor médio da frequência do passo (2 Hz).

Quando colocada em ressonância com a carga de excitação o valor da

aceleração de pico desta estrutura corresponde a 1,5 m/s² ao passo que no método

probabilístico o valor referente ao percentil 95% da aceleração de pico é igual a 0,72

m/s².

Assim, nos métodos determinísticos propostos por Rainer, Pernica e Allen [9]

e Murray, Allen e Ungar [12] a estrutura é sempre colocada em ressonância com

algum harmônico da caminhada humana. De modo que a resposta dinâmica é

sempre calculada para situação menos favorável. Dessa maneira, os métodos

determinísticos não levam em consideração a probabilidade da estrutura estar em

ressonância com a carga de excitação e do ponto de vista estatístico superestimam

o valor da aceleração de pico destas estruturas.

c) Intravariabilidade do passo do pedestre

166

Foram calculadas as respostas dinâmicas de inúmeras passarelas de

pedestres referênciais (frequência natural: entre 1Hz e 9Hz; massa total: 20000 Kg;

coeficiente de amortecimento: 1% e vão: variando a cada 10m), assumindo-se que a

intravariabilidade do passo do pedestre varia em torno da frequência de passo

preferencial do pedestre da ordem de 4%, 3 %. 2 % e 1,3%. Estes valores

percentuais da intravariabilidade adotados são respaldados por medições

experimentais realizadas em diversas pesquisas.

Assim sendo, as acelerações de pico obtidas por meio do emprego dos

métodos analíticos probabilísticos demonstram que as acelerações de pico são

reduzidas à medida que se aumenta a intravariabilidade do passo do pedestre. Por

exemplo: para o modelo estrutural investigado a aceleração de pico obtida

analiticamente desprezando-se a intravariabilidade do passo é igual a 0,25 m/s².

Considerando-se a intravariabilidade do passo igual a 2%, 3% e 4% da a frequência

preferencial do passo, as respectivas acelerações de pico são iguais a 0,23 m/s²,

0,21 m/s² e 0,21 m/s².

d) Efeito dinâmico de grupo de pedestres

Foram apresentadas diversas formulações matemáticas que tentam a partir

do cálculo da reposta dinâmica de passarelas devido ao caminhar de uma pessoa

prever o comportamento destas estruturas quando submetidas a fluxo de pedestres.

O efeito dinâmico de fluxo de pedestre não é igual ao somatório dos efeitos

dinâmicos de cada indivíduo caminhando sobre a estrutura, já que em um fluxo,

devido à diferença do tempo inicial da caminhada de cada pessoa, somente parte

destes pedestres encontram-se em fase entre si.

Em função da diferença de fase entre pedestres e da diferença de fase do

carregamento dinâmico entre os pedestres e o modo de vibração da estrutura, parte

dos usuários atuam como sistema massa mola absorvendo parte da energia gerada

pelo fluxo de pedestres.

No guia de projeto Sètra foi apresentada formulação empírica para cálculo do

número equivalente de pedestres que leva em consideração o coeficiente de

amortecimento estrutural bem como o aumento da massa modal da estrutura em

função da massa total dos pedestres, se constituindo hoje no método mais utilizado

167

para calcular o efeito dinâmico de fluxo de pedestres.

Por exemplo, para um fluxo de 49 pedestres, o efeito dinâmico deste fluxo em

uma passarela com coeficiente de amortecimento igual a 1%, segundo o método

Sètra [49], pode ser obtido multiplicando-se a resposta dinâmica devido a um único

pedestre por 7,1. Já, segundo a formulação de Matsumoto [65] o respectivo fator

multiplicador corresponde a 7.

e) Método analítico probabilístico para verificação do comportamento dinâmico

de passarelas submetidas a fluxo de pedestre

Foram apresentados dois métodos analíticos probabilísticos para verificação

da resposta dinâmica de passarelas submetidas a fluxo de pedestres. Tais métodos

partem da premissa que a resposta dinâmica de passarelas submetidas a fluxo de

pedestre pode ser calculada aplicando-se sobre o valor da resposta dinâmica devido

ao caminhar de um único pedestre um fator multiplicador denominada de número de

pedestres equivalentes.

As formulações apresentadas resultam em valores distintos de resposta

dinâmica para a passarela referencial utilizada. A formulação matemática para se

calcular o efeito dinâmico de fluxo de pedestres, proposta no guia de projeto Sètra

[49] é a mais utilizada por levar em consideração o aumento da massa modal da

estrutura devido à massa do fluxo de pedestres e o coeficiente de amortecimento

estrutural.

Por exemplo para uma passarela de pedestres com massa total igual a

100000 Kg, coeficiente de amortecimento estrutural igual a 1% e frequência natural

igual a 2 Hz aceleração de pico devido a fluxo de 50 pedestres é igual a 1,2 m/s²

segundo o método Sétra [49].

16.3 Sugestões para trabalhos futuros

a) Acrescentar, no método analítico probabilístico implementado

computacionalmente, as análises da resposta dinâmica de passarelas de

pedestres nas direções horizontais e longitudinais;

168

b) Acrescentar no método analítico probabilístico um sistema “massa-mola-

amortecedor” para simular o pedestre, de forma a se considerar o efeito da

interação pedestre-estrutura;

c) Investigar numericamente a resposta dinâmica de passarelas quando

submetidas a fluxo de pedestres randômico;

d) Investigar a relação entre o peso do pedestre e a respectiva frequência do

passo;

e) Acrescentar ao modelo numérico computacional o corpo humano como um

sistema massa-mola de modo a se medir o aumento do coeficiente de

amortecimento estrutural devido a fluxo de pedestres e as respectivas

acelerações ao longo da travessia.

169

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