Dispersion en Choques

1. Introducción. 2. Conservación del momento lineal y de la energía. Tipos de choques. 3. Choques elásticos. Sistemas de coordenadas laboratorio y centro de

masas. 4. Choques inelásticos. Variación de la energía en el choque. Reacciones.5. Dispersión elástica por una esfera dura. Sección eficaz. 6. Dispersión por un potencial central: Dispersión de Rutherford.

Bibliografía: [Marion], [Rañada], [Goldstein], [AFinn]

Tema 7. Colisiones o choques y dispersiónChantal Ferrer Roca 2008

NOTA IMPORTANTE:

Los contenidos de este documento representan un esquema de los conceptos fundamentales del tema, por lo que en ningún caso se trata de apuntes completos. Este esquema se complementa con explicaciones, razonamientos, ejemplos y problemas que se desarrollan durante las clases, así como con alguno(s) de los libros que se incluyen en la bibliografía

Bibliografía: [Marion], [Rañada], [Goldstein], [AFinn]

Chantal Ferrer Roca 2008

Tema 7. Colisiones o choques y dispersión

1. IntroducciónCOLISIÓN O CHOQUE : proceso de interacción interno de un sistema (de dos cuerpos) entre los que se transfiere momento y energía e incluso masa

Ai + Bi Af + Bfinteracción

m2

m1 p1,i

v2,i=0

m1 p1,f

m2

v2,i=0

m2

m1 p1,i

p2,i=0

m1p1,f

m2

p2,f

m2

m1 p1,i

p2,i=0

m1

p1,f

m2 p2,f

m2

m1 p1,i

p2,i=0

m1

p1,fm2 p2,f

(Justo) antes (Justo) después

b

b

b

Choque frontal

Cho

ques

obl

icuo

s

Dispersión o difusión: las partículas son las mismas antes y después de la colisión Reacción: cambia la naturaleza de las partículas

Fuerzas impulsivas: grandes, tiempo breveFuerzas externas insignificantes en comparación

v (t)

Velocidad de un cuerpo deformable que cae desde una cierta altura y choca contra el suelo

dtb = parámetro de impacto

colis

ión

colis

ión

colis

ión


2. Conservación del momento lineal y de la energía. Tipos de choques

if TT >

BfAfBiAi TTTT +=+

fi PPrr

=

Q>0 exotérmico

Choque elástico : T se conserva

choques 2D, en general

1. CONSERVACIÓN DEL MOMENTO LINEAL (CML): las fuerzas externas son despreciables frente a las fuerzas internas durante la colisión

BfAfBiAi pppp rrrr+=+

2. En base a la CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA CINÉTICA (CE) en el choque:

if TT =

Choque inelástico : T no se conserva QTT if += QTTT if =∆=−

Q<0 endotérmico fi TT >La energía mecánica (cinética) se transforma en energía interna u otras formas de energía disipativas (calor, deformación, etc.)

La energía interna se transforma en energía mecánica (cinética) de las partículas finales (por ej.: en reacciones químicas, reacciones nucleares)

Se conocen los movimientos de las partículas antes de la colisión, pero se desconocen las fuerzas de interacción. ¿Qué se puede saber de su movimiento final aunque desconozcamos las fuerzas de interacción?Aunque no se conozca la interacción, los principios de conservación permiten deducir el estado final a partir del inicial o viceversa .

Como vimos en el tema 4:


21 mm = 21 mm > 21 mm <

Choques 1D elásticos (se conserva la energía)

Choques 1D completamente inelásticos (no se conserva la energía)

21 mm =

21 mv00mv +=+

21 mm > 21 mm <

fi1 mv2mv =

f2f2f1f1i1i1 vmvm0vm +=+

0v,vv f1i1f2 >> 0v,vv f1i1f2 <<

f21i1i1 v)mm(vm +=

DEMO DEMO DEMO

DEMO DEMO DEMO

DEMO de choques en 1D en clase (frontales) Chantal Ferrer Roca 20082. Conservación del momento lineal y de la energía. Tipos de choques

http://www.wfu.edu/physics/demolabs/demos/avimov/mechanics/elastic_collisions/elastic_cars.MPGhttp://www.wfu.edu/physics/demolabs/demos/avimov/mechanics/elastic_collisions/elastic_cars_bs.MPGhttp://www.wfu.edu/physics/demolabs/demos/avimov/mechanics/elastic_collisions/elastic_cars_sb.MPG

http://www.wfu.edu/physics/demolabs/demos/avimov/mechanics/inelastic_collisions/inelastic_cars.MPGhttp://www.wfu.edu/physics/demolabs/demos/avimov/mechanics/inelastic_collisions/inelastic_cars_bs.MPGhttp://www.wfu.edu/physics/demolabs/demos/avimov/mechanics/inelastic_collisions/inelastic_cars_sb.MPG

Videos

Videos

CM

vCMm2

m2

m1 v1i

v2i=0

v2f

v1f

θ1θ2 CM

vCM

m1

SISTEMA LABORATORIO

0p i2 =r

ec2ppp f2f1i1rrr

+=

ec1TTT f2f1i1 +=

CML

CE

2

2f2

1

2f1

1

2i1

m2p

m2p

m2p

+=

Momento y energía del estado inicial + una medida del final (ángulo, por ejemplo) = conocido estado final.

f2f12

f22

f12

f2f12

i1 pp2ppppprrrrrrr

⋅++=+=

Si las masas son idénticas, CML y CE son compatibles si uno de los momentos es nulo o si el ángulo entre ellas es 90º

3. Choques elásticos. Sistema laboratorio

En general, ambas partículas pueden tener velocidades iniciales. No obstante, siempre se puede encontrar un sistema inercial en el que una de ellas está quieta inicialmente (principio de relatividad de Galileo: todos los sistemas inerciales son equivalentes). Por otro lado, en muchos casos ese sistema es el sistema laboratorio (en el caso de reacciones nucleares el blanco está fijo).

21

2211CM mm

vmvmv++

=rr

r

La velocidad del CM es la misma durante todo el proceso, al ser despreciables las fuerzas externas

(Justo) antes

(Justo) después

colis

ión

1

21

sin)2sin(

θθ+θ

= Demostrar1

1

mm

=ρ


-vCM

SISTEMA LABORATORIO

i2i1 'p'prr

−=

CMvvv rrr−='

SISTEMA CENTRO DE MASAS (CON `)

f2f1 'p'prr

−=

Trasf. Galileana

vmmm

)vv(mmm

vmvmvvv'v121

212

21

22111CM11

rrrrr

rrrr µ=

+−

=++

−=−=

vmmm

)vv(mmm

vmvmvvv'v221

121

21

22112CM22

rrrrr

rrrr µ−=

+−

=++

−=−=

CM

vCMm2

m2

m1 v1i

v2i=0

v2f

v1f

θ1

θ2 CM

vCM

m1

0p i2 =r

21

2211CM mm

vmvmv++

=rr

r

despuésco

lisió

n

antes

De hecho, el SCM se define como aquel en el que el momento lineal total (del sistema) es nulo

f2f1i2i1 'T'T'T'T +=+CE

f1i1 'p'p =

solo cambia la dirección del movimiento θcm

CML

f2i2 'p'p =

f1i1 'v'v = f2i2 'v'v =

m1

CM

v'1im2

v'2i=vCM

p'i p'i

v'2f

θ’=ángulo de dispersión

CM

θcm=θ’

θ‘=θcm+π

p'f

p'f

colis

ión

antes

después

CMvvv rrr−='

3. Choques elásticos. Sistema centro de masas Chantal Ferrer Roca 2008

SISTEMA LABORATORIO SISTEMA CENTRO DE MASAS (CON `)

m1CM

v'1,im2

v'2,i=vCMp'i p'iCM

vCMm2

m2

m1 v1,i

v2i=0

v2,f

v1,f

θ1

θ2 CM

vCM

m10p i2 =r

después

colis

ión

v'2,f

θ’=ángulo de dispersión

CM

θcm=θ’

θ‘=θcm+π

p'f

p'f

colis

ión

antes antes

después

vr

CMvrθ

'vr

θ’

CMf11f1

f11f1

v'cos'vcosv'sin'vsinv+θ=θ

θ=θ

Relación estados finales para cualquiera de las partículas

f1

cmfx1

fy11

vv'cos

'sinpp

tg+θ

θ==θ

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ρ====

2

1

i1

i2

f1

f2

f1

cm

mm

'v'v

'v'v

'vv

Análogo para masa 2 (atención signos)

ρ+θθ

=θ'cos

'sintg 1

Si m2 está quieta (blanco en reacciones nucleares) hemos visto que:

-vCM

CMvvv rrr−='

Trasf. Galileana

'cos1'sintg 2 θ−

θ=θ

Problema 7.7 de boletín


i1

f1

EEdemin

3. Choques elásticos. SL y SCM


ρ

∞→θπ=θ 1tg,'para∞→θρ−=θ 1tg,'cossi

1'vv fcm <ρ<

20posible 1

π<θ≤π≤θ≤ 10posible

max1θ

20 max11

π<θ≤θ≤

El denominador nunca será nulo,Luego


'vv'cos

'sintg

f1

cm1

+θ

θ=θ

1'vv fcm =ρ=

1tgθ1tgθ

'θ

1'vv fcm >ρ>

max1θ

1tgθ

'θ'θ

'θCMvr CMvr CMvr

fvr fvr

f'θb'θ'θ

fvr

Para un valor de θ1 hay dos posibles de θ’, el “forward” y el “backward”. También hay dos posibles valores del módulo de la velocidad en SL. Conocido el ángulo θ1 y ρ, queda indeterminado en SL el módulo de la velocidad.

f'vr

fbvr

0'd

)tg(d 1 =θθ

ρ−=−=θ

1mm'cos

1

2max

Sólo si 12 mm <

1θ f'vr ff'vr

Determinación de la masa del blanco

3. Choques elásticos. SL y SCM

Figuras del libro “Mecánica”. Berkeley Physics Course I" Kittel-Knight-Ruderman


fi PPrr

= 0TTQ if ≠−= NO hay CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA CINÉTICA

CML

i1i2

f1f2

i

f

vvvv

)inicialrelativavelocidad(u)finalrelativavelocidad(ue rr

rr

−−

==

coeficiente de restitución (CHOQUES FRONTALES)

e=1 la velocidad relativa no cambia (T se conserva) choque elástico0<e<1 la velocidad relativa cambia (T no se conserva) choque parcialmente inelásticoe=0 la velocidad relativa final=0 (variación máxima de T) choque completamente inelástico

)1e(u21TTTQ 22

iif −µ=−=∆=r

21 ppPrrr

+=

En el sistema CM: Q2'p'p 2i

2f µ+=

21

21

mmmm

+=µ

i

f

pp

e''

=

CM

p'fm2θ'

p'ip'i

p'f

12 vvu rrr−=

222

211 vmvmT2 +=

T)mm(2ummP 212

212 +=+ v Válido para el estado final o

el inicial

CASOS según e

En CM

(demostrar)

4. Choques inelásticos unidimensionales. energía del choque

Mayor cuanto mayor la velocidad relativa inicial, y cuanto menor el coeficiente e

Problemas del boletín 7.2, 7.3, 7.4, 7.5Chantal Ferrer Roca 2008

2i1

22i v

2m

21)1e(u

21Q −=−µ=

EJEMPLO: Choque completamente inelástico de dos masas idénticas

SISTEMA LAB

CM

vCMmm v1i

v2i=0

SISTEMA CM (CON `)m

CM

v'1im

θ' v'2i=vCMp'i p'i

2v'v

2v'v i1

i2i1

i1 −== 2i1

2i2

2i121f mv

41)'v'v(m

210)'T'T('TQ −=+−=+−=

m2= m1= m

2m 2m0'v f =

CÁLCULO DIRECTO EN CM (CON `)

A PARTIR DE LA EXPRESIÓN GENERAL

En CM toda la energía cinética inicial se disipa (calor, deformación permanente, etc.)

2vv i1

f =

Problema 7.1 del boletín: caso particular

4. Choques inelásticos. Coef. de restitución y energía del choque


1i1i2

21f1f2

i

f

cos)vv()cos(vv

)segúninicial.rel.vel(u)segúnfinal.rel.vel(ue

θ−θ+θ−

=ξ

ξ=

coeficiente de restitución

2222

i1if cos)1e(v21TTTQ θ−µ=−=∆=

4. Choques inelásticos bidimensionales. Reacciones

mide el cociente cambiado de signo, entre la velocidad relativa de alejamiento a lo largo del eje ξ y la velocidad relativa de aproximación a lo largo del mismo ejeCM

vCMm2

m2

m1 v1,i

v2,i=0

v1,f

θ1θ2 CM

vCM

m1

0p i2 =r

(Justo) antes

(Justo) despuésco

lisió

n

v1,iv1f

ξ

Se demuestra que:

v2,f

En las reacciones (las partículas no mantienen su identidad) Q no está relacionado con el coeficiente e. Q puede incluso ser positivo. Supongamos reacciones nucleares (idem reac. químicas).

La energía total del sistema se conserva

cteETUETE intext

i

inti

iCMi =+=++= ∑∑

intETQ ∆−=∆=

Problema del boletín 7.6Chantal Ferrer Roca 2008

DISPERSIÓN : Choques en los que un proyectil se lanza contra un blanco,existiendo una relación entre la interacción que sufren (potencial) y los parámetros finales (ángulo de dispersión, velocidad).

Estudios de interacciones a nivel atómico con muchas partículas incidiendo sobre un blanco con distintos parámetros de impacto. De la proporción de partículas desviadas en diferentes ángulos se puede deducir el tipo de interacción y viceversa.

5. Dispersión y sección eficaz

m2

m1 p1,i

v2,i=0

m1 p1,f

m2

v2,i=0

m2

m1 p1,i

p2,i=0

m1p1,f

m2

p2,f

m2

m1 p1,i

p2,i=0

m1

p1,f

m2 p2,f

m2

m1 p1,i

p2,i=0

m1

p1,fm2 p2,f

(Justo) antes (Justo) después

s

s

s

Choque frontal

Cho

ques

obl

icuo

s

b = parámetro de impacto = s

colis

ión

colis

ión

colis

ión


5. Dispersión por una esfera dura y sección eficazDispersión elástica por una esfera dura Esfera dura: objeto extenso (radio a), masa

infinita (no hay retroceso) e impenetrable.

E

equivalente a barrera infinita: ⎩

⎨⎧

>≤≤∞

ar0ar0

)r(U

2

2

ef mr2)r(U)r(U l+=

)r(U

E0E

a r

s = parámetro de impacto= distancia entre centros perp. a la dirección de impacto

2cosasinas θ

=α=

π=α+θ 2

áng. inci.

áng. refl.

eje apsidal

22 s)mE2(=l

smv)sin(rmvpr ii =α−π=×=rr

lr

2imv

21TE == ∞

s

Punto apsidal rmin según los valores de la energía

sivr

a

α

α

α θ áng. disp

2

2

0 ma2E l

=


Blanco que dispersa muchas partículas incidentes con diferentes parámetros de impacto s: se tienen todas las posibles deflexiones finales con distribuciones por ángulos que dependen de la interacción con el blanco

haz de partículas incidente

blanco

iΦFlujo total de part. incidentes= N. part/u. sup/u. tiempo

fΦ Flujo total de part. dispersadas = N. part/u. sup/u. tiempo

Partículas dispersadas



φθθΩ=ΩΩ

ddsin)(Nd)(N


s

ds

ds

φsd

I = Partículas incidentes por u. de superficie y tiempo a través de una superficie elemental normal al haz, con parámetro s y ángulo φ

haz de partículas

blanco

N(Ω) =Num. de partículas detectadas después de la colisión por u. de ángulo sólido y tiempo en la posición esférica θ, φ

)sdsd(I φNum. Part./u. tiempo

Num. Part./u. tiempo

)sdsd(Id)(N φ=ΩΩ

θθ=

Ωdds

sins

I)(N

(s disminuye cuando aumenta el ángulo)

Simetría alrededor del eje: ángulo φ incidente y final iguales

Conservación del flujo:Las part. entre s y s+ds salen entreθ y θ+dθ



s

ds

ds

φsd

haz de partículas

blanco

Sección eficaz diferencial dσ correspondiente a dΩ : aquella que exponiéndola transversalmente al haz (homogéneo) es atravesada por un número de proyectiles equivalente a los que son dispersados en dΩ

)sdsd(I φNum. Part./u. tiempo

σ=ΩΩ Idd)(N

Ωσ

=dd

Conservación del flujo:

σIdDatos experimentales,

es algo que se mide

Modelo teóricoσd

)sdsd(Id)(N φ=ΩΩ

θθ=

Ωdds

sins

I)(N



Sección eficaz diferencial dσ correspondiente a dΩ : aquella que exponiéndola transversalmente al haz (homogéneo) es atravesada por un número de proyectiles equivalente a los que son dispersados en dΩ

Ωσ

=θθ d

ddds

sins

=ΩI

)(NSi el blanco retrocede, el ángulo de dispersión θ del movimiento relativo de dos cuerpos coincide con el ángulo θ en CM, pero no con el ángulo en SL: habría que transformar uno en otro usando las relaciones que vimos al tratar las colisiones en el tema de sistemas de partículas.

∫∫ ∫∫ππ π

θθθσ=θθφΩσ

=ΩΩσ

=σ00

2

0dsin)(dsind

ddd

dd

Sección eficaz total σ : superficie efectiva de la partícula blanco que produce una desviación

)(θσ Unidades: S.I. m2

fisica nuclear: barn =10-28 m2 (uranio)Chantal Ferrer Roca 2008

6. Dispersión por una esfera dura y sección eficaz.

EJEMPLO: sección eficaz de la dispersión por una esfera dura

4a

dds

sins

dd 2

=θθ

=Ωσ

sivr

s = parámetro de impacto= distancia entre centros perp. a la dirección de impacto

a

α

α

α θ

2cosasinas θ

=α=π=α+θ 2

áng. inci.

áng. refl.

eje apsidal

áng. disp

22

ad4ad

dd

π=Ω=ΩΩσ

=σ ∫∫σ

esfera cilindro conoIgual sección transversal (si tienen el mismo radio), luego igual

sección eficaz totalChantal Ferrer Roca 2008

Partículas puntutales

6. Dispersión por una esfera dura y sección eficaz.

RECORRIDO LIBRE MEDIO Y RELACIÓN CON SECCIÓN EFICAZ.

El recorrido libre medio es la distancia promedio que recorre una partícula entre dos colisiones sucesivas


Γ==

vcolisióndefrecuencia

promediovelocidadl

n = num de blancos/ unidad de volumen

Número de blancos en una porción L X L X dx: dxLnVn 2⋅=⋅

Probabilidad de que una partícula incidente colisione en dx: dxnL

Vn2 σ=

σ

Disminuación de intensidad del haz incidente (por colisiones desvían o frenan):

ndxIdI σ−=l

IdxdI

−=

lx0eII −= Luego en estos casos representa la

distancia de atenuación

(1/t entre colisiones)

σ=

n1

)colisionesentret()promediov( ⋅=l

Número de colisiones por unidad de longitud

Luego

Σ= num de colisiones/ unidad de longitud = l/1

σ=

Σ=

n11

l (Suponiendo que las partículas blanco estén quietas. No es asíentre las moléculas de un gas)

Esquema del experimento de Rutherford

Casi todas las partículas αatraviesan el metal, como si estuviera “agujereado”, dispersándose

Sabemos que:

Núcleo atómico: diámetro de 3 x 10-15 m (hidrógeno) a 20 x 10-15 m (uranio).

Átomo de H: diámetro de ~10-10 metros

partículas α= He2+ (carga +)

una peqeuña fracción retrocede (unas pocas por cada millón de partículas incidentes)

E. Rutherford(Nobel 1906)+ Geiger y Marsden

El resultado (partículas dispersadas para cada ángulo sólido en relación a incidentes= sección eficaz diferencial) es incompatible con el modelo del átomo de Thomson (modelo “plumcake”). Para hacer retroceder completamente a las partículas α hace falta algo macizo y positivo en el centro, pero muy pequeño (muy pocas retroceden). El resto es espacio vacío:

Modelo de átomo “planetario”, con nucleo muy pequeño (+) y electrones (-) que siguen órbitas muy grandes.

6. Dispersión por un potencial central: fórmula de Rutherford

Blanco: Lámina fina de oro (0,4 µm)

em7000m =α



ra

Uef(r)

2

2

cent mr2)r(U l

=

rk)r(U −=

E >0rc

E=Umin

E=0rmin rmax

x

0>E >Umin

Uef(r)

2

2

cent mr2)r(U l

=rk)r(U −=

Potencial coulombiano atractivo Potencial coulombiano REPULSIVO

0k <

0k >

f '

E=Umin,B=0, ε =0circunferencia

elipse

parábola

Hipérbola (r. izquier.)

ε<1, Umin<E<0C>B>0

ε =1, E=0C=B>0

ε >1, E>0B>C>0

f

Hipérbola (r. der.)= potencial electrostáticorepulsivo

E >0

rmin

ε <1, E>0 B>C>0

f ‘'

C/B=ε

Ecuación integral de la órbita o ecuación diferencial


ivr

ψ

ψ

θ

s


sivr

a

α

α α

θ

Dispersión por una esfera dura Dispersión Coulombiana

π=θ+α2π=θ+ψ2

2cosasinas θ

=α=2

cotE2ks θ

=Parámetro de impacto

Figura del libro Lecciones de Física deM. Ortega Girón


Ec de rama (-) de hipérbolaen coordenadas polares

2

mkCl

=

π=θ+ψ2

excentricidad

)cos1()1(a

1r1

2 ψε−−ε

=

a : semieje mayorε : excentricidad=c/a 1cosr =ψε∞→asíntota

ψ

ψΨ, en esfera dura, lo llamábamos α 2

sin)22

cos(cos1 θ=

θ−

π=ψ=

ε

CB

=ε =+=+= 2222

CmE21mE2C

C1

ll 2

2

mkE21 l

+

0

221

4eZZk

πε−=

Como en el caso de la esfera dura, se cumple

2mv21TE ∞∞ == mE2ssmv == ∞l

2

2

22

kEs21

mkE21

2sin1

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+=+=ε=

θl

2cot

E2ks θ

= Parámetro de impacto


Problema de dos cuerpos: µ en lugar de m, sistema CM

Figura del libro Lecciones de Física deM. Ortega Girón


2cot

E2ks θ

=Parámetro de impacto


θθ=

Ωσ

dds

sins

dd

)2(sin1)

E2k(

21

dds

2 θ=

θ

)2(sin1

E4k

)2(cos)2(sin2/)2(sin/)2(cos

E2k

2 θθθθθ

=)2(sin

1)E4k( 4

2

θ=

Válida en CM o con blanco fijo

0

221

4eZZk

πε−=

θθ=

Ωσ

dds

sins

dd

∫ ΩΩσ

=σ ddd

Como en todos los casos de potenciales de largo alcance, el valor es infinito : incluso las partículas con gran parámetro de impacto son desviadas. Lo que significa que la superficie dispersora es infinita. Sólo si el campo y el potencial se anulan a una cierta distancia, se obtiene un valor finito (por ejemplo, campo coulombiano de un núcleo apantallado por electrones de la corteza.atómica)

θσ

=ΩddI)(N

Sección eficaz diferencial

Sección eficaz total

Partículas desvidas en un ∆Ω

σ∆⋅=ΩΩσ

=∆Ω ∫θ

θId

ddI)(N

f

i

Det.)(N ∆Ω

Problemas 7.10 y 7.11 del boletínChantal Ferrer Roca 2008

Dispersion en Choques

Documents

Transcript of Dispersion en Choques