Facoltà di Scienze della Formazione

Corso di Laurea in Politica del Territorio

Dispense del Corso

di GEOMETRIA

(Dott. Ing. Piemonte Andrea)

Assioma: proprietà assunta come vera e fondamentale

Teorema: proprietà verificate con deduzione logica. Si distinguono:

- IPOTESI: ciò che si suppone sopra gli elementi su cui verte il teorema

- TESI: conclusione del teorema

- DIMOSTRAZIONE: ragionamento logico con cui, partendo dalle ipotesi,

si giunge alla tesi

Corollario: teorema che consegue immediatamente ad un teorema o ad un assioma

LA RETTA Assioma di appartenenza della retta: esistono sottoinsiemi propri infiniti dello spazio,

detti rette, tali che per ogni coppia di punti distinti, A e B, esiste una ed una sola retta che li

contiene.

Teorema: due rette distinte dello spazio hanno al massimo un punto in comune

Def.: tre punti appartenenti ad una stessa retta si dicono allineati.

Def.: due o più rette si dicono concorrenti se passano per uno stesso punto.

La retta è dotata di due orientamenti naturali, uno opposto all’altro che si dicono sensi o

versi della retta. Quando sopra una retta è fissato il verso positivo, si dice che la retta è

orientata.

1

Def.: Sia data una retta orientata r e sia O un qualsiasi suo punto. Si chiama semiretta di

origine O l’insieme costituito dal punto O e da tutti i punti di r che precedono oppure

seguono O nel verso fissato.

Def.: si chiama segmento di estremi A e B l’insieme costituito dai punti A e B e dai punti

della retta orientata AB compresi tra A e B.

Def.: due segmenti si dicono consecutivi quando hanno in comune soltanto un estremo.

Def.: due segmenti si dicono adiacenti quando sono consecutivi e giacciono sulla stessa

retta.

Def.: Due rette incidenti r ed s si dicono fra loro perpendicolari (od ortogonali o normali)

quando formano quattro angoli retti.

Def.: due rette complanari si dicono parallele se sono coincidenti oppure se non hanno

alcun punto in comune.

Def.: in un piano si chiama fascio di rette parallele (o fascio improprio) l’insieme di tutte

le rette del piano parallele ad una retta data.

Def.: in un piano si chiama fascio di rette proprio di centro (o sostegno) O l’insieme di

tutte le rette del piano concorrenti nel punto O.

Teorema: per un punto appartenente ad una retta passa una ed una sola retta

perpendicolare.

Teorema: in un piano, per un punto non appartenente ad una retta data, passa una ed

una sola retta perpendicolare a questa.

Def.: Si chiama distanza di un punto da una retta il segmento di retta perpendicolare

condotto dal punto alla retta.

2

Def.: in un piano si chiama simmetria di asse r (simmetria assiale) quella corrispondenza

biunivoca fra i punti del piano, la quale ad ogni punto A associa il punto A’, tale che il

segmento AA’ sia perpendicolare ad r ed il suo punto medio M stia su r.

Def.: si chiama simmetria centrale di centro O, quella corrispondenza biunivoca fra i

punti del piano, la quale ad ogni punto A associa il punto A’ del piano che appartiene alla

retta passante per O ed A ed è simmetrico di A rispetto O.

IL PIANO

Assioma di appartenenza del piano: esistono sottoinsiemi propri infiniti dello spazio,

detti piani, che godono delle seguenti proprietà:

a) per ogni terna di punti non allineati dello spazio esiste uno ed un solo piano che li

contiene;

b) se una retta ha due punti in comune con un piano, essa è inclusa nel piano.

Def.: punti e rette appartenenti al medesimo piano si dicono complanari.

Def.: si chiama fascio di rette incidenti l’insieme di tutte le rette di un piano passanti per

uno stesso punto A. Il punto A si dice centro o sostegno del fascio.

Def.: Ogni retta r di un piano divide l’insieme degli ulteriori suoi punti in due parti non

vuote. Si chiama semipiano di bordo r, l’unione di una di queste due parti con la retta r.

Def.: Si chiama figura piana convessa ogni sottoinsieme non vuoto F del piano che gode

della seguente proprietà: se due punti distinti, A e B, appartengono ad F, il segmento AB è

incluso in F.

3

ANGOLI

Def.: si chiama angolo ciascuna delle due parti in cui un piano è diviso da due semirette

aventi la stessa origine, incluse queste due semirette.

Le due semirette, appartenenti ad ambedue gli angoli, si chiamano lati dell’angolo e

l’origine comune delle due semirette si chiama vertice dell’angolo.

Per indicare un angolo di lati OA ed OB, si usa scrivere o più semplicemente O ,

oppure .

BOA ˆ

b a

Def.: un angolo si dice convesso quando non contiene al suo interno i prolungamenti dei

lati. Un angolo si dice concavo quando contiene al suo interno il prolungamento dei lati.

Due rette che si intersecano in un punto O, dividono il piano in quattro angoli convessi.

Def.: si dice che due angoli sono opposti al vertice se i lati dell’uno sono i prolungamenti

dei lati dell’altro.

Def.: angolo PIATTO: angolo i cui lati sono semirette opposte;

angolo GIRO: angolo i cui lati sono semirette coincidenti e che comprende tutti i punti del piano:

angolo RETTO: angolo formato da due rette che intersecandosi

suddividono il piano in quattro angoli uguali; angolo NULLO: angolo i cui lati sono coincidenti e che non ha alcun

punto interno; angoli CONSECUTIVI: hanno in comune il vertice e soltanto un lato; angoli ADIACENTI: sono consecutivi e i lati non comuni sono l’uno il

prolungamento dell’altro (semirette opposte); angoli COMPLEMENTARI: angoli la cui somma dà l’angolo retto; angoli SUPPLEMENTARI: angoli la cui somma dà l’angolo piatto.

4

Unità di misura degli angoli: Gradi sessagesimali:

1° è definito come la novantesima parte di un angolo retto

Notazione: ### ° ## ’ ##.#### ”

Angolo giro = 360°

Angolo piatto = 180°

Angolo retto = 90°

1° = 60 ‘

1 ‘ = 60 “

Gradi centesimali:

1g è definito come la centesima parte di un angolo retto

Notazione: ### g ### c ###.### cc

Angolo giro = 400 g

Angolo piatto = 200 g

Angolo retto = 100 g

1g = 100 c

1c = 100 cc

Radianti:

1 rad è definito come l’angolo al centro di una circonferenza di raggio arbitrario, che

sottende un arco di lunghezza eguale al suo raggio

π = 3.1415926535897932384626433832795 = 4·tan-1(1)

Angolo giro = 2π

Angolo piatto = π

Angolo retto = π/2

Gradi millesimali

Angolo giro = 6400°° (millesimi)

5

Trasformazioni fra unità di misura degli angoli:

(utilizzo delle proporzioni)

## ° = ## g · 10/9 (#° : 360° = #g : 400g)

## ° = ## rad · π/180 (#° : 360° = #rad : 2π)

## g = ## rad · π/200 (#g : 400g = # rad : 2π)

6

VETTORI

Ogni segmento orientato da O a P, che chiamiamo vettore applicato OP , è caratterizzato

da tre proprietà:

- una direzione: definita dalla retta contenente O e P

- un verso: uno dei due possibili sulla retta - un modulo: costituito da un numero reale non negativo che rappresenta

la lunghezza del segmento in un’opportuna unità di misura

Un vettore può essere indicato o mediante una lettera corsiva con una freccia ( v ), o

scrivendo OP , oppure con la notazione O – P, dove O indica l’origine e P il secondo

estremo del vettore.

Il modulo del vettore è indicato con ⏐OP ⏐.

Somma di vettori

Regola del parallelogramma

Si definisce somma di due vettori u e v , applicati in un punto O, il vettore avente

direzione, verso e modulo della diagonale del parallelogramma determinato da u e v e si

indica con u + v .

7

Regola della poligonale

La somma di più vettori è data dal vettore che unisce un dato punto O con l’ultimo estremo

della linea poligonale i cui lati sono rappresentanti dei singoli vettori, e tracciati l’uno

consecutivamente all’altro, a partire dal punto O.

L’addizione fra vettori gode delle proprietà:

- commutativa

- associativa

- il vettore nullo è l’elemento neutro

Differenza di vettori

Due vettori si dicono opposti quando hanno egual modulo, stessa direzione e versi

contrari. L’opposto di un vettore v si indica con - v .

Si definisce differenza di due vettori u e v , e si indica con u - v , la somma di u con

l’opposto del vettore v .

8

Prodotto di un vettore per un numero reale

Sia u un vettore non nullo ed a un numero reale diverso da 0. Si chiama prodotto del

numero a per il vettore u e si indica con a u , il vettore che ha:

- la stessa direzione di u ;

- il verso concorde o contrario a quello di u a seconda che il numero a sia

positivo o negativo;

- il modulo eguale al prodotto del modulo di u per il valore assoluto di a.

9

Sistemi di riferimento

Ascisse sulla retta

Consideriamo una retta r e su di essa un punto O che chiamiamo origine, fissiamo un

verso come positivo e avremo così una retta orientata. Prendiamo poi un segmento u e lo

chiamiamo unità di misura. Ad ogni punto P della retta corrisponde la misura x del

segmento OP rispetto ad u.

Il numero x sarà positivo se P si trova sulla semiretta positiva, altrimenti sarà negativo.

Viceversa, ad ogni numero reale x corrisponderà un punto P della retta, tale che la misura

della distanza di P da O sia uguale ad x. Esiste quindi una corrispondenza biunivoca e

continua tra i punti della retta ed i numeri reali: ad ogni numero reale corrisponde uno ed

un solo punto della retta e ad ogni punto della retta corrisponte uno ed un solo numero

reale.

Def.: il rapporto xu

OP= si chiama ascissa del punto P.

La misura della distanza tra due punti P1 e P2 è data dal valore assoluto della differenza

algebrica tra le ascisse dei due punti: d = ⏐x2 –x1⏐.

L’ascissa del punto medio M è data da: 2

xxx 21M

+=

Coordinate cartesiane nel piano

Fissiamo sul piano due rette orientate, non parallele. Chiamiamo origine il loro punto

d’incontro O, assi coordinati le due rette orientate e precisamente, una di esse si chiamerà

asse delle ascisse (o delle x) e l’altra asse delle ordinate (o asse y).

Preso ora un punto P qualunque del piano, da esso si conducano le parallele agli assi e

siano A e B i loro punti d’intersezione con l’asse delle x e delle y, rispettivamente.

Fissata una unità di misura, diciamo a e b, le misure dei segmenti orientati OA e OB. I due

numeri così trovati si chiamano coordinate cartesiane del punto P. In tal modo ad ogni

punto del piano abbiamo associato una coppia di numeri reali.

10

Viceversa, dati due numeri reali a e b, è sempre possibile determinare uno ed un solo

punto che abbia per ascissa a e per ordinata b. La corrispondenza dei punti del piano con

le coppie ordinate di numeri reali è quindi biunivoca.

Si osservi che un sistema di coordinate è individuato dai due assi e dall’unità di misura.

Inoltre i due assi dividono il piano in quattro angoli, o quadranti, che prendono il nome di

primo(I), secondo(II), terzo(III) e quarto(IV). Nella numerazione dei quadranti si comincia

da quello a destra in alto e si prosegue secondo il verso antiorario.

Solitamente gli assi coordinati vengono scelti ortogonali e si ha quindi un sistema di

riferimento cartesiano ortogonale.

I sistemi di riferimento sono solitamente indicati con Oxy.

Dato un sistema di riferimento è possibile individuare una simmetria assiale rispetto uno

degli assi o una simmetria centrale rispetto l’origine.

11

Fissato sul piano un sistema di assi cartesiani ortogonali, diciamo (x1,y1) e (x2,y2)

rispettivamente le coordinate di due punti P1 e P2.

Per i teorema di Pitagora applicato al triangolo P1QP2 si ha:

( ) 212

2122121 )y(y)x(x PP P,Pd −+−==

Volendo invece individuare le coordinate del punto medio del segmento P1P2, per il

teorema di Talete si ha che:

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=

=

2

1

2

1

2

1

2

1

MPMP

BBBB

MPMP

AAAA

Le coordinate del punto M risultano quindi:

2yy y

2xxx 21

M21

M+

=+

=

12

Elementi di TRIGONOMETRIA Def.: un angolo si dice orientato quando è stabilito quale dei due lati deve considerarsi

come primo lato.

Def.: l’angolo orientato si dice positivo quando è descritto, a partire dal lato di origine,

mediante una rotazione antioraria attorno all’origine. L’angolo è detto negativo se la

rotazione avviene in senso orario.

Circonferenza goniometrica: è una circonferenza orientata, di raggio unitario, associata

ad un sistema di assi cartesiani ortogonali aventi per origine il centro della circonferenza

stessa. Il semiasse positivo delle x si assume come origine degli angoli e si considera

come verso positivo degli angoli quello antiorario.

Introdotta la circonferenza goniometrica si danno le seguenti definizioni:

HP HP PO Asen α sen === ˆO

SEN

OH OH PO Acos α cos

OA

=== ˆO

COSEN

AT AT PO Atan α tg

OA

=== ˆ

E

TANGENT

BC BC PO Acotg α cotg

OA

=== ˆE

COTANGENT OA

13

Oltre a queste funzioni circolari ce ne sono altre due di minore importanza che qui citiamo:

α

α

cosHPOP αcosec

senOHOP αsec

1

1

==

==

SECANTE

COSECANTE

Esaminiamo ora le principali caratteristiche delle prime quattro funzioni introdotte:

Seno

• α 1 α sen 1 ∀≤≤− ;

• è positivo nel I e nel II quadrante;

• è negativo nel III e nel IV quadrante;

• è crescente nel I e nel IV quadrante;

• è decrescente nel II e nel III

quadrante;

• è periodico di periodo 2 π

Coseno

• α 1 α cos 1 ∀≤≤− ;

• è positivo nel I e nel IV quadrante;

• è negativo nel II e nel III quadrante;

• è crescente nel III e IV quadrante;

• è decrescente nel I e nel II quadrante;

• è periodico di periodo 2 π

Tracciando il grafico delle funzioni y = sen (x) e y = cos (x), dove x è la misura dell’angolo

in radianti e y il corrispettivo valore della funzione goniometrica, si evidenzia come le due

siano sfasate di 90°.

14

Tangente

• α α tg ∀∞+≤≤∞− ;

• è discontinua

(non è definita in kπ/2, k ∈ Z)

• è positiva nel I e nel III quadrante;

• è negativa nel II e nel IV quadrante;

• è sempre crescente;

• è periodica di periodo π

Cotangente

• α α cotg ∀∞+≤≤∞− ;

• è discontinua

(non è definita in kπ, k ∈ Z)

• è positiva nel I e nel III quadrante;

• è negativa nel II e nel IV quadrante;

• è sempre decrescente;

• è periodica di periodo π

Riportiamo i valori numerici delle funzioni fondamentali di alcuni angoli notevoli:

Angolo in gradi

Angolo in radianti SEN COS TG COTG

0 0 0 1 0 -

30 π/6 21

23

33 3

45 π/4 22

22 1 1

60 π/3 23 2

1 3 33

90 π/2 1 0 - 0

180 π 0 -1 0 -

270 3π/2 -1 0 - 0

360 2π 0 1 0 -

15

Archi associati:

Archi opposti

) α ( cotg - ) α - ( cotg) α ( tg - ) α - ( tg

) α ( cos ) α - ( cos) α ( sen - ) α - ( sen

====

Archi complementari

) α ( tg ) α -

2π ( cotg

) α ( cotg ) α - 2π ( tg

) α ( sen ) α - 2π ( cos

) α ( cos ) α - 2π ( sen

=

=

=

=

Archi supplementari

) α ( cotg ) α - π ( cotg) α ( tg ) α - π ( tg

) α ( cos - ) α - π ( cos) α ( sen ) α - π ( sen

====

16

Archi che differiscono di 180°

) α ( cotg ) π α ( cotg) α ( tg ) π α ( tg

) α ( cos - ) π α ( cos) α ( sen - ) π α ( sen

=+=+=+=+

Identità fondamentali:

Da considerazioni geometriche sulla circonferenza g

relazioni fondamentali fra le funzioni goniometriche p

α cosα sen α tg

1 αcos αsen 22

=

=+

17

Archi che differiscono di 90°

) α ( tg - ) 2π α ( cotg

) α ( cotg - ) 2π α ( tg

) α ( sen - ) 2π α ( cos

) α ( cos ) 2π α ( sen

=+

=+

=+

=+

oniometrica si ricavano alcune

rincipali:

α tg1 cotgα

α senα cos cotgα

=

=

Formule di addizione e sottrazione:

) β ( tg ) α ( tg 1) β ( tg - ) α ( tg ) β - α ( tg

) β ( tg ) α ( tg - 1) β ( tg ) α ( tg ) β α ( tg

) β ( sen ) α ( sen ) β ( cos ) α ( cos ) β α ( cos) β ( sen ) α ( sen ) β ( cos ) α ( cos ) β α ( cos

) β ( sen ) α ( cos ) β ( cos ) α ( sen ) β α ( sen) β ( sen ) α ( cos ) β ( cos ) α ( sen ) β α ( sen

+=

+=+

⋅+⋅=−⋅−⋅=+

⋅−⋅=−⋅+⋅=+

Riportiamo a titolo di esempio la dimostrazione grafica della prima formula di addizione:

) α ( cos ) β ( sen ) α ( sen ) β ( cos ) α ( cos KQ ) α ( sen OK

RQ NK RQ MR MQ ) β α ( sen

+==+=

=+=+==+

Formule di duplicazione:

) α ( cotg 21 - ) α ( cotg ) 2α ( cotg

) α ( tg - 1) α ( tg 2 ) 2α ( tg

) α ( sen - ) α ( cos ) 2α ( cos) α ( cos ) α ( sen 2 ) 2α ( sen

2

2

22

=

=

=

⋅=

Si ricavano dalle formule di addizione

Formule di bisezione:

) α ( sen - 1) α ( cos - 1 )

2α ( tg

2) α ( cos - 1 )

2α ( sen

2) α ( cos 1 )

2α ( cos

±=

±=

+±=

Si ricavano dall’equazione fondamentale

e dalle formule di duplicazione del coseno

18

Funzioni goniometriche inverse Limitando opportunamente i campi di esistenza delle quattro funzioni goniometriche

fondamentali è possibile ricavare le relative funzioni inverse. Si ricorda infatti che le

funzioni periodiche non sono invertibili su tutto il loro dominio.

Arcoseno ( sen-1 )

Convenzionalmente si considera di limitare il campo di esistenza della funzione y = sen ( x ) all’intervallo chiuso [ - π/2 , π/2 ], in cui risulta invertibile. A lato è riportato il grafico della funzione inversa x = sen-1 ( y )

Arcocoseno ( cos-1 )

Convenzionalmente si considera di limitare il campo di esistenza della funzione y = cos ( x ) all’intervallo chiuso [ 0 , π ], in cui risulta invertibile. A lato è riportato il grafico della funzione inversa x = cos-1 ( y )

Arcotangente ( tg-1 )

Convenzionalmente si considera di limitare il campo di esistenza della funzione y = tg ( x ) all’intervallo aperto ] - π/2 , π/2 [, in cui risulta invertibile. A lato è riportato il grafico della funzione inversa x = tg-1 ( y )

NOTA: Generalmente le funzioni inverse vengono assegnate con la solita notazione y = f(x),

che preferisce indicare con x la variabile indipendente e con la y la dipendente.

19

Relazioni fra angoli e lati di un triangolo rettangolo

Ricordando le definizioni delle funzioni goniometriche si ha che:

c = a sen γ b = a cos γ b = a sen β c = a cos β

Pertanto risulta che in un triangolo rettangolo la misura di un cateto è data dal prodotto

della misura dell’ipotenusa per il seno dell’angolo opposto, oppure per il coseno

dell’angolo adiacente ad esso.

Si possono anche ricordare le relazioni che riguardano la tangente:

c = b tg γ b = c tg β

Teoremi sul triangolo qualunque

Teorema dei seni: in ogni triangolo i lati sono proporzionali ai seni degli angoli opposti.

γ sen

c β sen

b α sen

a==

20

Teorema delle proiezioni: in ogni triangolo un lato è uguale alla somma dei prodotti degli

altre due per il coseno dell’angolo che essi formano con il primo lato.

a = b cos γ + c cos β

b = c cos α + a cos γ

c = a cos β + b cos α

Teorema di Carnot (o del coseno): in ogni triangolo il quadrato di un lato è uguale alla

somma dei quadrati degli altri due, diminuita del doppio prodotto di questi per il coseno

dell’angolo da essi formato.

a2 = b2 + c2 – 2bc cos α

b2 = c2 + a2 – 2ca cos β

c2 = a2 + b2 – 2ab cos γ

21

Prodotto fra vettori

Precedentemente abbiamo visto come un vettore possa essere moltiplicato per uno

scalare. Introdurremo ora il prodotto fra vettori, che può essere di due tipi:

- Prodotto scalare

- Prodotto vettoriale

Prodotto scalare

Dati due vettori u e v , il prodotto scalare di u per v è uno scalare, si indica con u ⋅ v ed è così definito:

u) cos(vuvuv ˆ⋅⋅=⋅rrrr

uv

u

v

Se due vettori sono ortogonali il loro prodotto scalare è quindi nullo. Eseguendo il prodotto scalare di un vettore per un versore otteniamo la componente del vettore lungo la direzione individuata dal versore.

uvu

v

r

v cos (uv)

Se u è un vettore, i coseni degli angoli che u forma con i versori degli assi si dicono coseni direttori di tale vettore.

22

Prodotto vettoriale Dati due vettori u e v , il prodotto vettoriale di u per v è un vettore. Esso si indica con u ∧ v ed è così definito: Modulo: u) sen(vuvuv ˆ⋅⋅=∧

rrrr

Direzione: La direzione di w = u ∧ v è ortogonale al piano individuato da u e v e passante per O, dove u = P-O e v = Q-O.

Verso: E’ tale da vedere u percorrere l’angolo u^v in senso antiorario (regola della mano destra o del cacciavite).

v

u

uvO

Q

P

w = u v

Il prodotto scalare di due vettori può essere espresso anche tramite una notazione che qui riportiamo ma che sarà chiarita in seguito.

zyx

zyx

vvvuuukji

vu

rrr

rr=∧

23

Trasformazioni di coordinate Il problema della trasformazione di coordinate cartesiane consiste nell’esprimere le coordinate di un punto P rispetto ad un dato sistema Oxy per mezzo delle coordinate dello stesso punto riferite ad un nuovo sistema di assi O’XY. Considereremo due casi:

- Traslazione degli assi - Rotazione degli assi

Traslazione degli assi Consideriamo l’asse X parallelo ed equiverso all’asse x e l’asse Y parallelo ed equiverso all’asse y.

In questo caso perché il nuovo sistema O’XY sia individuato rispetto al vecchio sistema Oxy, basta conoscere le coordinate (a,b) del punto O’ rispetto al vecchio sistema Oxy. Premesso ciò, sia P un punto qualunque del piano le cui coordinate, rispetto ai vecchi assi x e y, indichiamo con (xP,yP), mentre indichiamo con (XP,YP) quelle rispetto ai nuovi assi X,Y. Dalla figura si deduce immediatamente come:

⎩⎨⎧

+=+=

bYyaXx

PP

PP

Oppure:

⎩⎨⎧

−=−=

byYaxX

PP

PP

Quelle sopra riportate sono le formule che permettono di trasformare le coordinate di un punto generico da un sistema di riferimento ad un altro nel caso di assi paralleli ed equiversi. Rotazione degli assi

24

Consideriamo due sistemi di assi ortogonali che abbiano la stessa origine e sia il secondo sistema ottenuto dal primo mediante una rotazione attorno ad O di un certo angolo α.

Supponiamo inizialmente che l’angolo di rotazione α fra i due sistemi sia acuto e positivo e consideriamo un punto che si trova nel primo quadrante di entrambi i sistemi di riferimento. Dalla figura si ricava che:

PP Y, OPX , PP y, OPx 2P2P1P1P ====

ed inoltre, per la similitudine dei triangoli, si ha che:

αXOxQPP2 == ˆˆ

Per le note relazioni di trigonometria applicate ai triangoli OMP2 e P2QP, si ha che:

cosαYQP

senαYQPMP

senαXMPQP

cosαXOM

P

P21

P21

P

=

==

==

=

Da cui:

⎪⎩

⎪⎨⎧

+=

−=

QPQPP

MPOMOP

1

11

P1

⇒ ⎩⎨⎧

+=−=

cosαYsenαXysenαYcosαXx

PPP

PPP

L’ultimo sistema scritto permette di passare dalle coordinate del sistema OXY a quelle del sistema Oxy. Risolvendo il sistema rispetto X e Y si ottengono delle equazioni simili alle precedenti per la trasformazione inversa:

25

⎩⎨⎧

+−=+=

cosαysenαxYsenαycosαxX

PPP

PPP

Rototraslazione degli assi Il caso più generale di trasformazione di coordinate cartesiane prevede la possibilità di avere contemporaneamente una rotazione degli assi ed una traslazione dell’origine degli stessi.

O

y

x

O’

X

Y

a

b α

Il sistema di equazioni che rappresentano questo caso risulta una combinazione dei due sistemi visti per i due casi precedenti:

⎩⎨⎧

++=−+=

cosαYsenαXbysenαYcosαXax

PPP

PPP

⎩⎨⎧

+−=+=

b)cosα -ya)senα -xYb)senα-ya)cosα-xX

PPP

PPP

((((

Coordinate polari Oltre ai sistemi di riferimento cartesiani, introdotti in precedenza, è possibile definire un altro sistema, utilizzato per determinare la posizione di un punto nel piano ed utile in molte applicazioni: il sistema di coordinate polari. Sul piano si fissi un punto O, detto polo, una retta orientata x passante per O, detta asse polare ed il verso antiorario come verso positivo delle rotazioni.

26

O x

P

ϑ

ρ

Ciò posto, la posizione di un qualsiasi punto P del piano può essere determinato per mezzo di due numeri, detti appunto coordinate polari del punto P:

- ρ (modulo): distanza positiva del punto P dal polo; - ϑ (anomalia o angolo polare): angolo formato dal segmento OP con

l’asse polare. Consideriamo ora il sistema di assi cartesiani ortogonali Oxy e il sistema polare che abbia O come polo ed x come asse polare. Sia P un punto qualsiasi del piano ed indichiamo con (xP,yP) e (ρP,ϑP) rispettivamente le coordinate cartesiane e polari di questo punto.

O

y

x

P

ϑ

ρx

P

yP

Le relazioni che legano le due coordinate si ricavano immediatamente dalla figura e sono:

⎩⎨⎧

==

ϑϑ

ρsenyρcosx

Oppure, per le trasformazioni inverse:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+=

+=

22

22

yxxcos

yxρ

ϑ

27

Equazione della RETTA Ogni retta è rappresentata da un’equazione di primo grado in due variabili.

ax + by + c = 0

Se la retta non passa per 0 e non è parallela agli assi, si ha che a ≠ 0, b ≠ 0 e c ≠ 0. Dividendo quindi per c si ottiene l’equazione segmentarla della retta:

bcq

acp , 1

qy

px

−=−==+

Dall’equazione, scritta in questa forma, si ricavano immediatamente i punti (0,q) e (p,0), intersezione della retta con gli assi.

Se b ≠ 0 l’equazione può scriversi sotto la forma, cosiddetta esplicita (o ridotta):

y = mx + q , m = -ba q = -

bc

dove m viene detto coefficiente angolare e q è l’intercetta della retta sull’asse delle ordinate. Andiamo ora ad analizzare il significato geometrico del coefficiente angolare. Sulla retta di equazione y = mx + q consideriamo due punti qualsiasi P1 (x1,y1) e P2 (x2,y2). Si ha allora:

α

28

) x- (x m y- y qmxyqmxy

212122

11 =⇒⎟⎟⎠

⎞+=+=

Risulta quindi:

tgαxxyym

21

21 =−−

=

Il coefficiente angolare è in definitiva una “misura” dell’inclinazione della retta: più grande è m in valore assoluto, più grande è l’angolo che la retta forma con l’asse x.

Possiamo elencare alcuni casi particolari di rette:

O

y

x

c

d - Retta coincidente con l’asse x ⇒ y = 0 - Retta parallela all’asse x ⇒ y – c = 0 - Retta coincidente con l’asse y ⇒ x = 0 - Retta parallela all’asse y ⇒ x – d = 0 Retta per due punti Dati due punti P0 (x0,y0) e P1 (x1,y1), la retta passante per questi punti ha equazione:

01

0

01

0

yyyy

xxxx

−−

=−−

Ortogonalità e parallelismo Date due rette r ed r’ di equazione, rispettivamente, y = mx + q e y = m’x + q’, si ha che: r parallela ad r’ ⇒ m = m’

r ortogonale ad r’ ⇒ m'1

m −=

29

Fascio proprio di rette Si dice fascio proprio di rette l’insieme di tutte e sole le rette di un piano che hanno uno stesso punto in comune, detto centro del fascio. Siano date due rette r ed r’. r ⇒ ax + by + c = 0 r’ ⇒ a’x + b’y + c’ = 0 Se le due rette non sono parallele, allora hanno un punto in comune, che indichiamo con C. L’equazione di una retta appartenente al fascio proprio di centro C, può essere scritta sotto forma di combinazione lineare delle equazioni delle due rette distinte del fascio, r ed r’. L’equazione del fascio proprio sarà dunque:

k (ax + by + c) + k’ (a’x + b’y + c’) = 0 , k,k’ ∈ ℜ Oppure, per k e k’ non entrambi nulli, si può scrivere:

ax + by + c + t (a’x + b’y + c’) = 0 , t = k’/k

Fascio improprio di rette Si dice fascio improprio di rette l’insieme delle rette di un piano parallele ad una retta data. Sia data una retta r: r ⇒ ax + by + c = 0 L’equazione del fascio improprio sarà:

ax + by + k = 0 , k ∈ ℜ Rette per un punto Sia posto il problema di scrivere l’equazione del fascio di rette proprio di centro P1 (x1,y1). Si può procedere osservando che a questo fascio apparterranno sicuramente le due rette, parallele rispettivamente all’asse x e all’asse y, di equazione x – x1 = 0 e y – y1 = 0. L’equazione del fascio può dunque essere scritta come combinazione lineare di queste due:

k (x – x1) + k’ (y – y1) = 0 oppure y – y1 = m (x – x1)

Retta passante per un punto e parallela ad una retta data Consideriamo un punto P1 (x1,y1) ed una retta r di equazione ax + by +c = 0. Si vuole determinare l’equazione della retta parallela ad r e passante per P1. La retta cercata ha equazione:

a ( x – x1) + b ( y – y1) = 0

30

Retta passante per un punto ed ortogonale ad una retta data Consideriamo un punto P1 (x1,y1) ed una retta r di equazione ax + by +c = 0. Si vuole determinare l’equazione della retta parallela ad r e passante per P1. La retta cercata ha equazione:

b ( x – x1) - a ( y – y1) = 0 Distanza punto – retta Consideriamo un punto P1 (x1,y1) ed una retta r di equazione ax + by +c = 0. Si vuole determinare la distanza del punto dalla retta: ⏐ HP1 ⏐.

Passo 1 Scriviamo innanzitutto la retta r’, passante per P1 ortogonale ad r:

r’ ⇒ b ( x – x1) - a ( y – y1) = 0 Passo 2 Troviamo il punto di intersezione fra r ed r’, risolvendo il seguente sistema:

⎩⎨⎧

=++=−−−

0cbyax 0)ya(y)xb(x 11

Osserviamo che: ax + by + c = a (x-x1) + b (y – y1) + ax1 + by1 + c Il sistema diventa dunque:

⎪⎩

⎪⎨⎧

=++++

−=−

0cbyax)y-b(y)x-a(x

)x(xab)y(y

1111

11

31

Dal sistema ricaviamo quindi le coordinate del punto H:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

++++

−=

++++

=

11122

11122

yc)by(axba

by

xc)by(axba

ax

Passo 3 Trovo la distanza fra i due punti P1 ed H:

21122

22

1122

2

c)by(axb(a

bc)by(axb(a

a++

++++

+=−+−= 22

21

21

2

1 )))()( yyxxHP

Ricaviamo dunque la formula finale che dato un punto P1 (x1,y1) ed una retta r di equazione ax + by +c = 0, ci permette di ricavare direttamente la loro distanza:

22

1111 ),(

ba

cbyaxHPrPd

+

++==

Le coniche Siano a una retta dello spazio, ed r un’altra retta che incontri la prima in un punto V, formando con essa un angolo α minore di 90°. Si definisce superficie conica quella superficie generata in una rotazione completa di una retta r, detta generatrice, attorno ad una retta a, detta asse. α è detta apertura della superficie conica e V il vertice. Si chiamano coniche le intersezioni ottenute tagliando la superficie conica con un piano. Le sezioni risultanti sono diverse a seconda della posizione e dell’inclinazione del piano secante.

32

1 – Se il piano secante è perpendicolare all’asse a, la sezione è una circonferenza (essa degenera in un punto se il piano passa per V). 2 – Se il piano secante forma con l’assa a un angolo maggiore dell’angolo α di apertura della superficie conica, e diverso da 90°, la sezione è un’ellisse. 3 – Se il piano secante è parallelo alla generatrice r, esso taglierà una sola falda della superficie conica e la sezione si chiama parabola (essa degenera in due rette coincidenti se il piano passa per V). 4 – Se il piano secante è parallelo all’asse a, la sezione è un’iperbole, formata da due rami, uno per ciascuna falda (essa degenera in una coppia di rette incidenti se il piano passa per V). CIRCONFERENZA Def. Si chiama circonferenza il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da un punto fisso, detto centro. Dato Oxy ed un punto C (α,β), la circonferenza di centro C e raggio r è il luogo dei punti P (x,y) tali che:

2222β)(yα)(xrPC −+−== Equazione cartesiana della circonferenza

Se C ≡ O allora l’equazione diventa: x2 + y2 = r2

Sviluppando l’equazione cartesiana scritta sopra otteniamo: r2 = x2 - 2αx + α2 + y2 - 2βy + β2

Da cui ricaviamo un’altra equazione rappresentativa della circonferenza:

nzacirconfere della normale Equazione 0cbyaxy x crβα

b2βa2α

22

222

=++++⇒⎟⎟⎟

⎠

⎞

=−+

=−=−

Una circonferenza è dunque rappresentata da un’equazione algebrica di 2° grado, nelle variabili x e y, con i coefficienti di x2 e y2 uguali tra loro.

33

E’ possibile trovare l’equazione anche nella forma: kx2 + ky2 + kax + kby + kc = 0 Equazione generale della circonferenza Consideriamo nuovamente l’equazione normale della circonferenza e completiamo i quadrati suggeriti nel primo membro. x2 + ax + y2 + by = - c

c4

b4a

4bbyy

4aaxx

2222

22 −+=+++++

c4

b4

a2by

2ax

2222

−+=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

Da questo risultato deduciamo che l’equazione x2 + y2 + ax + by + c = 0 rappresenta una circonferenza solo se:

0c2b

2a 22

>−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

Se ciò è verificato, le coordinate del centro della circonferenza sono ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−

2,

2ba ed il raggio

è c2b

2ar

22

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛= .

Possiamo elencare alcuni casi di circonferenze particolari. Se c = 0 ⇒ circonferenza che passa per l’origine Se a = 0 ⇒ circonferenza con centro sull’asse y Se b = 0 ⇒ circonferenza con centro sull’asse x Se a = b = 0 ⇒ circonferenza con centro C ≡ O Infine ricordiamo che è possibile descrivere una circonferenza tramite un’equazione, detta parametrica.

⎩⎨⎧

+=+=

rsentβyrcostαx

34O

y

x

tr

C ( )α,β

P (x,y)

Intersezione di una circonferenza con una retta Per studiare le varie posizioni che può assumere una retta r, rispetto ad una circonferenza, basta risolvere il sistema formato dalle equazioni della circonferenza e della retta.

⎩⎨⎧

=++=++++

0c'yb'xa'0cbyaxyx 22

Sia ∆ il discriminante dell’equazione di 2° grado risolutiva. Allora la retta si potrà trovare, rispetto alla circonferenza, nelle seguenti posizioni: Se ∆ > 0 ⇒ la retta risulta secante la circonferenza Se ∆ = 0 ⇒ la retta risulta tangente alla circonferenza Se ∆ < 0 ⇒ la retta risulta esterna alla circonferenza ELLISSE Def. Si chiama ellisse il luogo geometrico dei punti del piano per i quali è costante la somma delle distanze da due punti fissi, detti fuochi.

Indichiamo con 2a la somma costante di un punto P dell’ellisse dai due fuochi F ed F’, e con 2c la distanza dei fuochi. Per determinare l’equazione cartesiana dell’ellisse, assumiamo come asse x la retta contenente il segmento FF’ e come asse delle y la perpendicolare a questo, passante per il suo punto medio. Le coordinate dei fuochi F’ ed F sono, rispettivamente, (-c,0) e (c,0). Perché un punto P (x,y) appartenga all’ellisse deve essere:

aPFPF 2' =+

Che secondo la formula della distanza fra due punti diventa:

( ) ( ) aycxycx 22222 =++++−

Questa è, in forma irrazionale, l’equazione dell’ellisse. Razionalizziamola.

35

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )22222222

222222222222

222

222

2222

2222222

222

222

2222

caayaxcaxccx2aaayacx2acaxa

cxay2cxcxa

cxay2cxcxa

ycxycx4a4aycx

ycx2aycx

ycx2aycx

−=+−

++=+++

+=+++

+=+++

+++++−=+−

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ++−=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ +−

++−=+−

Si osservi ora che deve essere verificato che 2a > 2c e cioè che a > c. La quantità (a2 - c2) risulta quindi anch’essa positiva e può essere posto a2 - c2 = b2. L’equazione diventa quindi: b2x2 + a2y2 = a2b2

E dividendo tutto per a2b2 si ottiene:

12

2

2

2

=+by

ax Equazione canonica (o normale) dell’ellisse

Proprietà dell’ellisse Poiché l’equazione dell’ellisse contiene solo potenze pari della x e della y, ne consegue che se il punto (x1,y1) appartiene all’ellisse, allora vi appartengono anche i punti (x1,-y1), (-x1,y1), (-x1,-y1). Perciò si può affermare che l’ellisse è una curva simmetrica rispetto agli assi coordinati e rispetto l’origine. I segmenti AA’ e BB’ vengono detti, rispettivamente, asse maggiore ed asse minore dell’ellisse ed O viene detto centro dell’ellisse. I punti A, A’, B, B’ si dicono vertici dell’ellisse e la retta passante per i due fuochi F ed F’, asse focale.

36

L’ellisse è contenuta nella regione del piano delimitata dalle rette di equazione: x = -a, x = a, y = -b, y = b dove a è la misura del semiasse maggiore e b quella del semiasse minore. Eccentricità dell’ellisse Per una ellisse il rapporto

ace =

è compreso fra 0 ed 1 (nullo per la circonferenza), si chiama eccentricità dell’ellisse e si può assumere come la misura di quanto l’ellisse, per la sua forma più o meno allungata, differisce dalla circonferenza. Ellisse traslata

O

y

x

O’

Y

X

p

q

Consideriamo l’equazione:

( ) ( ) 12

2

2

2

=−

+−

bqx

apx

Essa rappresenta un’ellisse traslata secondo il cambio di coordinate:

⎩⎨⎧

−=−=

qyYpxX

Utilizzando il sistema di riferimento O’XY l’ellisse soddisferà l’equazione “canonica”:

12

2

2

2

=+bY

aX

Infine ricordiamo che è possibile descrivere un’ellisse tramite un’equazione, detta parametrica.

37

O

y

x

C (x ,y )C C

P (x,y)

ϕa

b

⎩⎨⎧

+=+=

ϕϕ

bsenyyacosxx

C

C

PARABOLA Def. Si dice parabola il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da un punto fisso F, detto fuoco e da una retta fissa, detta direttrice.

Per ottenere l’equazione che descrive la parabola introduciamo un sistema di riferimento. Assumiamo come asse y la perpendicolare alla direttrice d, passante per F e scegliamo l’origine O equidistante da d ed F; sia infine l’asse x parallelo a d. Poniamo:

pQF 2=

Le coordinate del fuoco sono allora (0,p) e la direttrice ha equazione y+d = 0. Un punto P (x,y) appartiene alla parabola se PHdPdFP == ),( , cioè:

( ) pypyx +=−+ 22 \ elevo al quadrato entrambi i membri

2

41 xp

y =

Posto p

a41

= si ottiene:

2axy = Equazione canonica (o normale) della parabola

38

La parabola di equazione y=ax2 ha per asse di simmetria l’asse y, il fuoco F sta sull’asse y

e le sue coordinate sono ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

4a1 , 0 . La direttrice ha equazione

ay

41

−= ed il vertice si trova

nell’origine degli assi. Parabola traslata Consideriamo l’equazione y = ax2 + bx + c con a, b, c costanti arbitrarie (a ≠ 0). Verifichiamo che essa rappresenta una parabola.

y = ax2 + bx + c \ + 4ab2

4abbxaxc

4aby

22

2

++=−+

Poniamo ∆ = b2 – 4ac:

2

2abxa

4a∆y ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=+

Eseguiamo ora una traslazione d’assi portando l’origine nel punto O’ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ∆

−−aa

b4

,2

:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−=

−=

4a∆Yy

2abXx

L’equazione della curva nel sistema O’XY diventa:

Y = aX2

Tale curva è una parabola con vertice in (X=0,Y=0); ha come asse di simmetria la retta di

equazione X=0, fuoco in ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ==

4a1Y0,X e per direttrice la retta

4a1Y −= .

39

Dunque l’equazione y = ax2 + bx + c rappresenta una parabola con vertice in ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−

4a∆,

2ab ,

asse di simmetria la retta di equazione 2abx −= , fuoco in ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −−

4a∆

4a1,

2ab e la cui

direttrice ha equazione 4a∆

4a1y −−= .

In particolare si possono distinguere due casi a seconda del segno del coefficiente del termine di secondo grado: - Se a > 0 ⇒ Si dice che la parabola rivolge la concavità verso l’alto ed il suo

vertice costituisce un punto di minimo. - Se a < 0 ⇒ Si dice che la parabola rivolge la concavità verso il basso ed il

suo vertice costituisce un punto di massimo.

In un piano cartesiano anche l’equazione x = ay2 rappresenta una parabola. Essa avrà per

asse di simmetria l’asse x, il fuoco sull’asse x e di coordinate ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ,0

4a1 e la direttrice di

equazione 4a1x −= ; il vertice è posto nell’origine degli assi.

40

IPERBOLE Def. Si dice iperbole il luogo geometrico dei punti del piano per i quali è costante la differenza delle distanze da due punti fissi, detti fuochi.

1by

ax

2

2

2

2

=− Equazione canonica (o normale) dell’iperbole

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

−=

=

xaby

xaby

Asintoti dell’iperbole

Se a = b l’equazione diventa x2 - y2 = a2 e l’iperbole è detta equilatera. In questo caso gli asintoti risultano ortogonali fra loro. Funzione OMOGRAFICA

dcxbaxy

++

=

L’equazione sopra scritta identifica l’iperbole equilatera di asintoti ca ye

cdx =−= .

41