Dispense di Meccanica Razionale

Giulio Avanzini

Universita del SalentoFacolta di Ingegneria Industriale

April 16, 2013

Indice

I Meccanica Newtoniana 1

1 Notazione e concetti introduttivi 3

1.1 Lo spazio della meccanica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Breve storia della meccanica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3 Unita di misura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.4 Grandezze scalari, vettoriali e tensoriali . . . . . . . . . . . . . 8

1.5 Operazioni fra vettori in uno spazio euclideo tridimensionale . 9

1.5.1 Operazioni elementari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.5.2 Prodotto scalare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.5.3 Prodotto vettoriale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.6 Riferimenti cartesiani ortogonali . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.7 Componenti di un vettore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.8 Trasformazione di coordinate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.9 Prodotto scalare e prodotto vettoriale per componenti . . . . 15

1.10 Rappresentazione per componenti di operatori lineari . . . . . 16

1.11 Trasformazione degli operatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2 Leggi di Newton 19

2.1 Cinematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.1.1 Legge oraria del moto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.1.2 Terna intrinseca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.1.3 Accelerazione nella terna intrinseca . . . . . . . . . . . 21

2.2 Le tre leggi della Dinamica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.2.1 Definizioni preliminari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.2.2 Enunciati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.2.3 Impulso lineare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.2.4 Momento di una forza rispetto a un polo fisso O . . . 24

3 Lavoro ed energia. Forze conservative 27

3.1 Lavoro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.2 Energia cinetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.3 Forze conservative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

i

ii INDICE

4 Sistemi di N elementi materiali. 33

4.1 Definizioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.2 Bilancio della quantita di moto per sistemi di N elementimateriali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.3 Bilancio del momento angolare assoluto . . . . . . . . . . . . . 35

4.4 Bilancio del momento angolare relativo . . . . . . . . . . . . . . 37

4.5 Energia cinetica di sistemi di N elementi materiali . . . . . . . 38

4.6 Energia potenziale per sistemi di N elementi materiali . . . . 38

5 Campi di forza centrali 41

5.1 Equazione del moto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

5.2 Conservazione del momento angolare . . . . . . . . . . . . . . . 43

5.3 Coordinate polari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

5.4 Altre conseguenze della conservazione del momento angolare . 45

5.5 Campi di forza centrali conservativi . . . . . . . . . . . . . . . . 46

5.5.1 Gradiente in coordinate polari . . . . . . . . . . . . . . 46

5.5.2 Condizione di conservativita . . . . . . . . . . . . . . . . 46

5.5.3 Equazione del moto per forze centrali conservative . . 47

5.5.4 Traiettoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

6 Moti Kepleriani 51

6.1 Attrazione gravitazionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

6.2 Equazioni del moto e primi due integrali del moto . . . . . . . 51

6.3 Geometria delle orbite (e terzo integrale del moto) . . . . . . . 53

6.4 Periodo orbitale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

6.5 Energia totale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

6.6 Diagramma dellenergia potenziale equivalente . . . . . . . . . 57

7 Assetto delle terne cartesiane ortogonali 63

7.1 Premessa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

7.2 Posizione angolare di un riferimento cartesiano . . . . . . . . . 64

7.2.1 Sequenze di rotazioni elementari: aspetti generali . . . 65

7.2.2 Quante sono le sequenze di rotazioni elementari? . . . 66

7.2.3 Sequenze famose . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

7.2.4 Commenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

7.2.5 Singolarita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

7.3 Matrice di trasformazione delle coordinate in funzione dellerotazioni elementari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

7.3.1 Matrice di trasformazione delle coordinate per rotazionielementari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

7.3.2 Composizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

7.3.3 Trasformazioni inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

7.3.4 Proprieta e problemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

INDICE iii

8 Moto delle terne cartesiane ortogonali 79

8.1 La velocita angolare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

8.1.1 Ma e veramente un vettore? . . . . . . . . . . . . . . 80

8.1.2 Asse di istantanea rotazione . . . . . . . . . . . . . . . . 81

8.1.3 Formule di Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

8.2 Velocita relativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

8.3 Accelerazione relativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

8.4 Il secondo principio della dinamica in un riferimento non in-erziale (forze apparenti) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

9 Moti riferiti alla superficie terrestre 85

9.1 Coordinate geografiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

9.1.1 Sistemi di riferimento geocentrici . . . . . . . . . . . . . 85

9.1.2 Coordinate geografiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

9.2 Moto relativo rispetto alla superficie terrestre . . . . . . . . . . 87

9.2.1 Sistema di riferimento topocentrico . . . . . . . . . . . 87

9.2.2 Moto di un corpo nel riferimento topocentrico . . . . . 88

9.2.3 Deviazione della gravita locale (o apparente) . . . . . . 89

9.2.4 Caduta dei gravi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

9.2.5 Cicloni e anticicloni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

9.3 Pendolo di Foucault . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

9.4 Dinamica di veicoli terrestri, navali e aerei . . . . . . . . . . . . 94

II Meccanica Lagrangiana 97

10 Sistemi vincolati e gradi di liberta 99

10.1 Configurazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

10.2 Vincoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

10.2.1 Classificazione dei vincoli . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

10.2.2 Esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

10.3 Gradi di liberta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

10.4 Coordinate generalizzate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

11 Calcolo delle variazioni 107

11.1 Estremo di un Funzionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

11.2 Approccio analitico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

11.3 Approccio variazionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

11.4 Lidentita di Beltrami . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

11.5 Un esempio: Il problema della brachistocrona . . . . . . . . . . 110

12 Principi fondamentali 113

12.1 Il Principio dei Lavori Virtuali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

12.2 Il Principio di dAlembert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

iv INDICE

12.3 Il Principio di Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

12.4 Il Principio di Hamilton per sistemi continui . . . . . . . . . . 117

13 Equazioni di Lagrange 119

13.1 Formulazione delle equazioni di Lagrange . . . . . . . . . . . . 119

13.2 Rappresentazione dei fenomeni dissipativi . . . . . . . . . . . . 122

III Dinamica del corpo rigido 127

14 Cinematica del corpo rigido 129

14.1 Gradi di liberta di un corpo rigido . . . . . . . . . . . . . . . . 130

14.2 Descrizione della posizione di un corpo rigido . . . . . . . . . . 131

14.2.1 Terna solidale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

14.2.2 Posizione e assetto del corpo rigido . . . . . . . . . . . . 131

14.3 Moti rigidi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

14.3.1 Distribuzione delle velocita . . . . . . . . . . . . . . . . 131

14.3.2 Classificazione dei moti rigidi . . . . . . . . . . . . . . . 132

14.4 Caratterizzazione di un atto di moto rigido . . . . . . . . . . . 133

14.4.1 Teoremi di Mozzi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

14.4.2 Moti rigidi piani . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

15 Equazioni cardinali della dinamica 137

15.1 Equivalenza delle sollecitazioni su un corpo rigido . . . . . . . 138

15.2 Equilibrio del corpo rigido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

15.3 Momento angolare di un corpo rigido . . . . . . . . . . . . . . . 139

15.4 Energia cinetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

15.5 Assi principali di inerzia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

15.6 Geometria delle masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

15.6.1 Simmetrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

15.6.2 Centro di massa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

15.6.3 Momenti di inerzia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

16 Moti del corpo rigido libero 149

16.1 Equazioni di Eulero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

16.2 Legame fra angoli di Eulero e velocita angolare . . . . . . . . . 149

16.3 Moti liberi del corpo rigido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

16.3.1 Poloide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

16.3.2 Erpoloide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

16.3.3 Rotazione pura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

16.4 Caso assial simmetrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

16.4.1 Soluzione delle equazioni di Eulero per Jx = Jy . . . . . 152

16.4.2 Evoluzione degli angoli di Eulero . . . . . . . . . . . . . 155

INDICE v

17 Corpo rigido vincolato 157

17.1 Vincoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

17.1.1 Appoggio e scorrimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

17.1.2 Altre forme di attrito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

17.1.3 Cerniera sferica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

17.1.4 Cerniera cilindrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

17.1.5 Cassetto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

17.1.6 Incastro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

17.1.7 Carrello . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

17.1.8 Vincolo di puro rotolamento . . . . . . . . . . . . . . . . 161

17.2 Atti di moto ammissibili e labilita . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

17.3 Spostamenti virtuali reversibili e irreversibili . . . . . . . . . . 163

18 Rotazioni a un grado di liberta 165

18.1 Rotazione rispetto a un asse fisso . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

18.2 Rotolamento senza strisciamento . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

IV Stabilita 171

19 Stabilita: prime definizioni 173

19.1 Moti ed equilibri L-stabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

19.1.1 Definizioni preliminari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

19.1.2 Requisito per la stabilita secondo Lyapunov . . . . . . 174

19.1.3 Altre definizioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

19.2 Disturbi e incertezze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

19.2.1 Stabilita totale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

19.2.2 Stabilita strutturale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

19.3 Stabilita di moti periodici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

20 Stabilita di un equilibrio 179

20.1 Linearizzazione nellintorno di un equilibrio . . . . . . . . . . . 179

20.2 Soluzione di unequazione differenziale lineare a coefficienticostanti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

20.3 Condizioni per la stabilita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

20.4 Stabilita per sistemi nonlineari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

20.5 Secondo metodo di Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

20.5.1 Funzioni definite in segno . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

20.5.2 Teoremi principali per il metodo diretto . . . . . . . . . 183

20.6 Sistemi conservativi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

21 Stabilita di sistemi meccanici lineari 187

21.1 Sistema massivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

21.2 Sistema giroscopico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

vi INDICE

21.3 Richiamo elastico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18821.4 Smorzamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18821.5 Frequenze proprie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

22 Esercizi 19122.1 Dinamica Newtoniana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19122.2 Moti relativi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19322.3 Equazioni di Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19422.4 Geometria delle masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19522.5 Stabilita e piccole oscillazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19722.6 Moti rigidi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

Non preoccuparti delle difficolta che incontri in matematica.Ti posso assicurare che le mie sono ancora piu grosse.

A. Einstein

Parte I

Meccanica Newtoniana

1

Capitolo 1

Notazione e concettiintroduttivi

1.1 Lo spazio della meccanica

Semplificando estremamente le cose, la meccanica e lo studio del moto dicorpi massivi nello spazio e dei loro possibili equilibri in funzione delle azioniche essi scambiano fra loro e con lambiente in cui si trovano, con lesclusionedelle forze di origine elettromagnetica, dei fenomeni chimici e dello scambiotermico (oggetto di altre discipline della Fisica). Sotto questa definizionericade, nonostante le limitazioni sopra indicate, lo studio di una grandis-sima varieta di fenomeni, anche molto diversi fra loro, come il moto deipianeti e delle stelle, determinato dalle mutue azioni gravitazionali (Mecca-nica Celeste), lo studio del moto dei fluidi (Fluidodinamica) o lo studio dimeccanismi quali ingranaggi, alberi e cinematismi vari (oggetto della Mec-canica Applicata alle Macchine).

La Meccanica Classica costituisce il fondamento teorico di tutte questediscipline che ne rappresentano, in un certo senso, una specializzazione adambiti applicativi, come detto sopra, anche molto diversi, ma riconducibilia tutto cio che si muove a velocita trascurabili rispetto a quella della luce.1

La Meccanica Razionale applica alla Meccanica Classica i principi logicodeduttivi della Matematica, al fine di formulare dei modelli matemarici rig-orosi per descrivere il comportamento di sistemi meccanici a partire da uninsieme di ipotesi che ne caratterizzino le proprieta salienti ed eventualmenteil grado di approssimazione insito nelle ipotesi stesse2.

1Quando questultima ipotesi non e valida, i fenomeni appaiono contraddire alcuni deipiu elementari e intuitivi postulati della Meccanica (e delle Geometria!). Occorre in questocaso rinunciare a nozioni apparentemente scontate, quali quella di evento contemporaneo,e fare posto alla Meccanica Relativistica. Tutto questo, per ora, e lavoro per i Fisicisperimentali e teorici.

2Un caso esemplare, in questo ambito, sara quello della dinamica del corpo rigido, ide-alizzazione di un corpo massivo di dimensioni non trascurabili, che verra assunto come in-

3

4 CAPITOLO 1. NOTAZIONE E CONCETTI INTRODUTTIVI

I metodi della Meccanica Classica, oggetto di queste lezioni, si basanosu alcune assunzioni fondamentali:

il moto dei corpi si svolge in uno spazio tridimensionale S, normato inaccordo con la geometria euclidea;

in tale spazio esiste un riferimento assoluto, al quale riferire il motodelloggetto studiato;

lo scorrere del tempo e uniforme in tutto lo spazio e indipendente dallostato di moto dellosservatore;

le leggi fisiche sono indipendenti dalla posizione dellosservatore e dalsuo stato di moto.

1.2 Breve storia della meccanica

Per quanto i postulati alla base della Meccanica Classica appaiano intuitivi,per non dire ovvi, essi sono stati una conquista ottenuta alla fine di unlungo processo speculativo e conoscitivo che, a partire dalla Fisica di Aris-totele, ha condotto fino alla grande rivoluzione galileiana e alla nascita dellascienza moderna, basata sulle evidenze sperimentali e la modellizzazionematematica. Le intuizioni del grande pisano, suffragate dalla verifica delcomportamento di oggetti reali, portarono alla formulazione, ancorche em-brionale, di concetti chiave della Meccanica, quale quello di inerzia (ovverodi massa) di un corpo o di accelerazione uniforme dovuto alla forza peso.Lisocronismo delle piccole oscillazioni di un pendolo, dimostrato empirica-mente dal Galilei, o le fasi delle lune di Giove, osservate da Arcetri e portatea supporto della teoria copernicana del moto dei pianeti intorno al Sole,non avevano ancora alcuna giustificazione teorica. Basteranno pero pochidecenni (e il genio di Isaac Newton) per formalizzare in modo matematica-mente rigoroso il comportamento di pendolo e pianeti e ottenere una teoriadel moto basato sui tre principi della dinamica e la legge di gravitazioneuniversale: la fisica segnava il suo primo grande successo nella descrizionedei meccanismi alla base dei fenomeni osservati. Era nata la Meccanica.

Ci furono anche insuccessi, come quello dellinterpretazione delle forzeaerodinamiche e dei fenomeni luminosi quali la riflessione e la rifrazione. Nelprimo caso linsuccesso fu parziale, in quanto la teoria newtoniana sulla gen-erazione di una resistenza allavanzamento nei mezzi fluidi, non applicabile alcaso di mezzi fluidi continui (gas a pressione ambiente e liquidi) risulto inveceadeguata alla modellizzazione del moto di corpi in un gas rarefatto, sebbeneil problema venne posto quasi 200 anni dopo la formulazione della teoria.Per altro la fluidodinamica risulta comunque fondata sui principi base della

deformabile, sotto lazione delle forze e dei momenti esterni che ne determinano lequilibrioo lo stato di moto.

1.2. BREVE STORIA DELLA MECCANICA 5

meccanica classica, anche se applicati non piu a corpuscoli, ma a porzioniinfinitesime di volume di un mezzo fluido che scambiano fra loro azioni dipressione e azioni viscose. Piu clamoroso risulto il caso dei fenomeni lumi-nosi. Interpretati alla luce di una teoria meccanicistica, la riflessione dellaluce appariva facilmente spiegabile come dovuta ai corpuscoli di luce cherimbalzano su una superficie in ossequio alle leggi della Meccanica e, inparticolare, quelle degli urti. Non cos pero, per la rifrazione, fenomeno cheinteressa i corpuscoli di luce che attraversano mezzi a densita diversa incui la luce di propaga a velocita differente. Fu Huygens a ipotizzare alla finedel XVII secolo che tale fenomeno fosse legato alla natura ondulatoria delraggio luminoso, teoria che Newton avverso categoricamente. Grazie al pres-tigio del suo estensore, la teoria corpuscolare della luce venne accettata dallacomunita scientifica. Solo il tempo dimostro che Huygens aveva (quasi) ra-gione, grazie agli esperimenti sullinterferenza e la diffrazione condotti, dopopiu di un secolo, da Thomas Young.

Nel corso del XVIII e del XIX secolo furono messi a punto gli strumentimatematici (e in particolare il calcolo integrale e differenziale) per descriverefenomeni e sistemi sempre piu complessi. Negli stessi anni fioriscono anchegli studi sui fenomeni elettrici e magnetici, ricondotti poi alla teoria unificatadellElettromagnetismo, che, fra le conseguenze principali, avra quello di ev-idenziale lesistenza di forze che violano il principio newtoniano di azionee reazione. Ma la vera crisi della Meccanica Classica arriva quando le ev-idenze sperimentali dimostrarono che la luce viaggia a una velocita finitae indipendente dallo stato di moto di sorgente e osservatore. In accordocon il principio di relativita galileiana, qualunque moto che avvenga convelocita relativa v rispetto a un riferimento in movimento con velocita ditrascinamento w, se osservato da un osservatore in quiete dovrebbe avereuna velocita rispetto allosservatore stesso pari alla somma (vettoriale) delmoto relativo e di quello di trascinamento, v + w. La luce viola questoprincipio e furono nuovamente necessari due ingredienti, un genio assolutocome Einstein e le nuove possibilita offerte dalla matematica moderna, perspiegare il fenomeno nellambito di una teoria coerente: la Relativita.

Siamo ormai allinizio del XX secolo e le conseguenze filosofiche, primache fisiche, della Teoria della Relativita furono pari, se non superiori, a quelledella rivoluzione copernicana che aveva scardinato lantropocentrismo delsistema tolemaico, con lUomo e la sua Terra al centro dellUniverso. Nonsolo la Terra era uno dei pianeti che girava intorno al Sole, il quale a suavolta era una delle tantissime stelle (e neppure tanto grande) di un am-masso di milioni di corpi celesti. Ora si mettevano in crisi concetti fonda-mentali e intuitivi come quelli di contemporaneita degli eventi, si scoprivache guardare nello spazio con il telescopio significava anche guardare indie-tro nel tempo, che lo stato di moto dellosservatore influenza il fenomenoosservato e, soprattutto, che non esiste un riferimento assoluto inerziale alquale riferire tutti i moti. In questi anni la Fisica Teorica si concentra

6 CAPITOLO 1. NOTAZIONE E CONCETTI INTRODUTTIVI

sempre piu sullanalisi dellinfinitamente piccolo: nascono la teoria atom-ica e i modelli delle interazioni nucleari. Nasce, soprattutto, la MeccanicaQuantistica che dimostra come i passaggi di energia su scala atomica nonpossono avvenire con continuita, ma in base a pacchetti di energia discretichiamati quanti. Ma questa volta bastarono pochissimi anni dai due fonda-mentali lavori di Einstein sulla Teoria della Relativita generale e ristretta peruna ulteriore, profondissima, rivoluzione. Il principio di indeterminazionedi Heisemberg, sancendo che non si possono misurare simultaneamente po-sizione e quantita di moto di una particella, minava, in un certo senso, lefondamenta stesse della Fisica sperimentale. In questo caso non e piu lostato di moto dellosservatore, ma il suo stesso osservare a rendere impossi-bile unosservazione neutra rispetto al fenomeno studiato.

I fenomeni su scala atomica dimostravano di sfuggire al meccanicismocausalistico che aveva generato la fiducia positivistica di riuscire, prima opoi, a interpretare qualunque fenomeno fisico sulla base di un opportunomodello matematico verificato attraverso prove sperimentali. Da questopunto di vista la Teoria della Relativita era inserita con continuita sullaMeccanica Classica, riuscendo semplicemente a fornire un modello validoper condizioni in cui le teorie di Newton perdevano di validita, senza rin-unciare pero al fondamento teorico di una conoscenza certa e assoluta deifenomeni fisici a partire da condizioni misurabili. Ed Einstein, cos come asuo tempo Newton, dimostro i limiti del suo genio nel non accettare la sfidadellindeterminazione.3 Per altro, allinizio del XX secolo, seri problemi diprevedibilita si manifestarono anche nellambito di fenomeni determini-stici. Il meccanismo della transizione al caos fa s che piccole variazioni nellecondizioni iniziali portino a unevoluzione di alcuni sistemi completamentediversa e, di fatto, non prevedibile, data la precisione (inevitabilmente finita)con cui e possibile determinare lo stato iniziale del sistema stesso.

Il Principio di Indeterminazione di Heisemberg e, sebbene in misura mi-nore, la scoperta di fenomeni caotici, hanno consentito il salto epistemo-logico che ha portato a rinunciare alla pretesa (che ora sappiamo infondata)di poter descrivere analiticamente in modo esatto con mezzi matematici emisure i fenomeni fisici su scala atomica e subatomica. Il modello matem-atico diviene a questo punto non piu la verita in senso conoscitivo, ma piumodestamente, uno strumento descrittivo che consente di prevedere in modoanche accurato landamento di fenomeni fisici che avvengano in condizioninote e misurabili. Il cambiamento di approccio al problema e radicale: lamatematica rimane s il linguaggio con cui leggere il mondo fisico, comegia indicato dal Galilei ne Il Saggiatore,4 ma il modello matematico diviene

3La famosa frase attribuita ad Einstein, Dio non gioca a dadi con il mondo, testimoniala difficolta di accettare aspetti fondamentali (e a quel punto ampiamente comprovatisperimentalmente) della moderna fisica delle particelle.

4La filosofia e scritta in questo grandissimo libro che continuamente ci sta aperto innanzia gli occhi (io dico luniverso), ma non si pu intendere se prima non simpara a intender

1.3. UNITA DI MISURA 7

strumentale, rappresentazione utile senza pretese di verita filosofica.

La Meccanica Classica, dunque, non e sbagliata tout court, in quantonon in grado di descrivere in modo adeguato la realta fisica come appare,ma e corretta purche utilizzata per rappresentare i fenomeni che puo descri-vere nellambito di opportune ipotesi: moto di corpi macroscopici a velocitatrascurabili rispetto a quella della luce. Le particelle atomiche e tutto quelloche si muove a velocita paragonabili a quella della luce avranno bisogno diun altro modello matematico per descriverne il comportamento, che a suavolta non e semplicemente giusto o sbagliato, ma consente di descrivere(per ora in modo accurato) un certo numero di fenomeni. La matematicaha cos perso la sua immanenza, teorizzata per moltissimi secoli, come seessa fosse connaturata al mondo e lingegnere puo serenamente continuare autilizzare i suoi modelli meccanici che rappresentano in modo assolutamenteadeguato il funzionamento dei sistemi di cui si occupa, dalle fondamenta diuna casa al viaggio interplanetario di una sonda spaziale, tutti fenomeniregolati dalle leggi newtoniane della Meccanica Classica.

1.3 Unita di misura

Le grandezze fisiche hanno caratteristiche diverse, che attengono tanto allaloro natura (cosa sto misurando, con la grandezza X?), quanto gli oggettimatematici diversi con cui possono essere descritte (come rappresento lagrandezza X?). Alla base di entrambi i problemi, e centrale per tutta lafisica, sta il problema della misura, ovvero il problema di quantificare unadata grandezza. Data una grandezza X, e innanzi tutto necessario definireun criterio di confronto fra due enti (oggetti o fenomeni) caratterizzatida grandezze X diverse e un criterio di somma, in modo che sia possibilestabilite una unita di misura U , da assumere come valore unitario di rifer-imento per la grandezza in esame. Detta u lunita di misura, la grandezzaX misura x[u] se preso il campione U per x volte si ottiene una grandezzapari a X.

Se e possibile un confronto diretto fra un multiplo dellunia di misura Ue la grandezza da misurare, la grandezza X e detta primaria. Un esempioclassico e quello della lunghezza L: dato il metro campione, utilizzato comeunita di misura, un dato ente e lungo ` metri se preso il metro campione,lungo 1 m per definizione, la sua lunghezza sommata ` volte a se stessafornisce una distanza equivalente alla lunghezza delloggetto considerato.

Non sempre pero il confronto diretto e possibile. Anche una grandezzaper certi versi banale come la velocita non e facilmente misurabile per

la lingua, e conoscer i caratteri, ne quali e scritto. Egli e scritto in lingua matematica, e icaratteri son triangoli, cerchi, ed altre figure geometriche, senza i quali mezzi e impossibilea intenderne umanamente parola; senza questi e un aggirarsi vanamente per un oscurolaberinto. Galileo Galilei, Il Saggiatore, Cap. VI.

8 CAPITOLO 1. NOTAZIONE E CONCETTI INTRODUTTIVI

somma e confronto, sebbene abbia perfettamente senso dire che loggettoA si muove al doppio della velocita delloggetto B. In questi casi si partedalla definizione della grandezza, ovvero dal suo significato fisico, per definireununita di misura in funzione dei campioni di altre grandezze. Per la ve-locita, che quantifica la distanza percorsa da un oggetto in un tempo dato,si ha una dimensione pari a lunghezza/tempo (L/T ) e ununita di misurapari a 1 metro al secondo (ovvero 1 ms1). Le grandezze fisiche definite daprodotti di potenze di altre grandezze sono dette derivate.

Si noti che, nello scrivere unequazione che rappresenti delle relazioni fragrandezze fisiche diverse, e indispensabile che le grandezze fisiche dei duemembri dellequazioni siano dimensionalmente coerenti. Inoltre esiste, perogni data branca della fisica, un numero minimo di grandezze indipendenti,dalle quali e possibile far discendere tutte le altre, attraverso prodotti dipotenze. Tali grandezze sono le grandezze fondamentali e nella Meccanicasono limitate a tre: lunghezza, massa e tempo.5 Da tali grandezze fonda-mentali, possono essere fatte discendere tutte le altre, i cui campioni sonoquindi definiti da valori unitari delle grandezze fondamentali che ne costi-tuiscono la dimensione. La quantita di moto, pari al prodotto di massa evelocita di un corpo, avra quindi come unita di misura il kg m s1. In al-cuni casi le grandezze derivate hanno un loro nome proprio, come nel casodellunia della forza, il Newton (1 N = 1 kg m s1), dellenergia, misuratain Joule (1 J = 1 kg m2 s2) o della pressione, il Pascal, pari alla pressioneesercitata con una forza di 1 N e distribuita su una superficie pari a 1 m2 (1N = 1 N m2 = 1 kg m1s2).6

1.4 Grandezze scalari, vettoriali e tensoriali

Una volta risolto il problema di misurarle7 occorre caratterizzare le grandezzefisiche dal punto di vista matematico. In particolare, si distinguono tre classi

5Per molto tempo e stato utilizzato il sistema pratico degli ingegneri, che aveva comegrandezze fondamentali la lunghezza, il tempo e la forza, ragion per cui era la massaad essere una grandezza derivata, avente come dimensioni quelle di una forza divisounaccelerazione, ovvero [F L1T 2], dove il chilogrammo era lunita di misura della forza,valutata sul peso di un campione, e la massa si misurava quindi in kg m1 s2.

6Si osservi come in questultimo caso lunita risultante risulti molto piccola, e pertantosi usano spesso dei multipli (e.g. il kPa). Per altro la pressione e talvolta espressa in unitadiverse, frutto dei diversi procedimenti di misura (come i millimetri di mercurio, mmHg) odi diversi campioni, (come latmosfera, atm, il cui valore equivale allincirca alla pressioneatmosferica standard a livello del mare).

7Non ci si soffermera sul procedimento di misura delle grandezze meccaniche, argomentoche esulta dalle finalita di un corso di Meccanica Razionale, presupponendo che, pertutte le grandezze considerate in seguito, sia disponibile uno strumento che permetta dimisurarle in modo preciso. La teoria della misura, ovvero la descrizione degli strumentie dei procedimenti tecnici che permettono di effettuare la misura delle grandezze fisichee le tecniche statistiche che ne stimano lincertezza, sono oggetto dei corsi di MisureMeccaniche.

1.5. OPERAZIONI FRA VETTORI IN UNO SPAZIO EUCLIDEO TRIDIMENSIONALE9

di grandezze: le grandezze scalari, che possono essere quantificate tramiteun numero reale (ad esempio, lenergia, il tempo, la massa); le grandezzevettoriali, caratterizzate non solo da una dimensione che le quantifica,ma associate anche a una direzione dazione (come la forza, la velocita); legrandezze tensoriali, che rappresentano caratteristiche che dipendono dauna direzione (come lo stato di tensione in un mezzo continuo o, come ve-dremo piu avanti, le caratteristiche inerziali di un corpo esteso nello spazio).

Al fine di agevolare la comprensione della natura delle diverse grandezzefisiche che compaiono in unequazione, si useranno simboli maiuscoli o mi-nuscoli corsivi per le grandezze scalari (il tempo t, lenergia E, etc.); legrandezze vettoriali saranno indicate da lettere minuscole in grassetto, comeper la velocita v; le grandezze tensoriali saranno indicate da lettere in gras-setto maiuscole, come il tensore dinerzia I.

1.5 Operazioni fra vettori in uno spazio euclideotridimensionale

1.5.1 Operazioni elementari

Come anticipato allinizio del capitolo, lo spazio della Meccanica e unospazio tridimensionale normato in accordo con la geometria euclidea. Ilmodo piu semplice e intuitivo di immaginare una grandezza vettoriale, inquesto spazio, e quello di considerare il vettore come un segmento orientato,la cui norma (o modulo) e pari alla lunghezza del segmento, orientato lungola direzione della congiungente i due punti che costituiscono gli estremi. In-dicando con v un generico vettore, orientato come il segmento AB, il suomodulo e indicato come v = v ed e pari alla distanza fra i punti A e B.

La somma di due vettori e ottenuta secondo la ben nota regola del par-allelogramma (Fig. 1.1.a): il vettore w = u + v giace sul piano identificatodai vettori u e v, e costituisce la diagonale del rombo avente per lati gli stessiu e v. Tenuto conto del fatto che i lati opposti di un parallelogramma sonocostituiti da segmenti orientati equipollenti (associati cioe allo stesso vet-tore), e possibile definire la somma dei due vettori come il vettore ottenutoapplicando il secondo vettore allestremo del primo (concatenazione deivettori, in Fig. 1.1.b)). Questa seconda definizione e estendibile in modobanale alla somma di n vettori in 3 dimensioni (Fig. 1.2). E facile dimostrareche la somma di vettori e commutativa (ovvero, u + v = v + u) e associativa(ovvero u + (v + w) = (v + u) + w).

La differenza di due vettori (v. Fig. 1.3.a) e data dalla somma delprimo piu lopposto del secondo vettore, w = u v = u + (v), dove ilvettore v ha la stessa direzione e modulo di v, ma verso opposto, tale chev + (v) = 0.

La moltiplicazione di un vettore per uno scalare, v = ku, fornisce

10 CAPITOLO 1. NOTAZIONE E CONCETTI INTRODUTTIVI

v

u u

u +v

v

a) b)

Fig. 1.1: Somma di due vettori: a) regola del parallelogramma; b) con-catenazione dei vettori.

ur

u +v +

w

w +r

v

Fig. 1.2: Somma di n = 4 vettori con la regola della concatenazione.

un vettore con la stessa direzione e verso del vettore u, con un modulo paria k volte quello del vettore di partenza (Fig. 1.3.b), ovvero v = ku. In unospazio tridimensionale, si possono poi definire altri due prodotti fra coppiedi vettori: il prodotto scalare e il prodotto vettoriale.8

1.5.2 Prodotto scalare

Il prodotto scalare di due vettori (indicato da un punto, ) e dato da unnumero reale pari al prodotto dei moduli dei vettori per il coseno dellangolo

8Si osservi che mentre tutte le operazioni elementari e il prodotto scalare hanno degliequivalenti elementari negli spazi vettoriali di dimensione superiore a 3, il prodotto vetto-riale e definito solo per spazi tridimensionali.

u

-vu -v

u

k ua) b)

Fig. 1.3: a) differenza di due vettori e b) moltiplicazione per uno scalare.

1.5. OPERAZIONI FRA VETTORI IN UNO SPAZIO EUCLIDEO TRIDIMENSIONALE11

v

u

a) b)

v

u

u xv

Fig. 1.4: a) angolo convesso compreso fra due vettori e b) prodotto vet-toriale.

compreso fra essi (Fig. 1.4.a):

u v = uv cos (1.1)

dove e langolo fra le direzioni dei due vettori. Si osservi che il prodottoscalare e commutativo e distributivo, ovvero u v = v u e u (v + w) =u v + u w.

Il prodotto scalare di due vettori perpendicolari e nullo, mentre se duevettori sono paralleli, il prodotto scalare e dato dal prodotto dei loro moduli.Se un vettore viene moltiplicato scalarmente per se stesso, si ottiene quindiil quadrato del suo modulo,

u u = u2

1.5.3 Prodotto vettoriale

Il prodotto vettoriale di due vettori u v e dato da un vettore w direttolungo la normale al piano individuato dai due vettori, avente come modulo ilprodotto dei moduli dei vettori per il seno dellangolo acuto (ovvero inferiorea rad) compreso fra essi (Fig. 1.4.b). Posto che

w = u v (1.2)

risultaw = uv sin , w u = w v = 0

La scelta del verso di w lungo la perpendicolare al piano identificato dau e v viene effettuata in modo tale che i tre vettori, u, v e w siano diretticome il pollice, lindice e il medio della mano destra, disposti allincircaperpendicolarmente fra loro.9 Si puo osservare che, se u e v sono paralleli,

9In alternativa, si puo dire che il prodotto vettoriale e diretto lungo la direzione delpollice della mano destra che si chiude a pungo nella direzione in cui il primo vettore ruotasul secondo o, ancora, il verso e tale che, osservando i vettori u e v dalla direzione di w,u ruota verso v in senso antiorario.

12 CAPITOLO 1. NOTAZIONE E CONCETTI INTRODUTTIVI

il piano non e piu definito, ma langolo compreso fra i vettori va a zero epertanto il prodotto vettoriale degenera nel vettore nullo.

Il prodotto vettoriale non e commutativo, anzi, considerando la definizionesopra riportata e le modalita con cui viene scelto il verso, si puo osservareche

u v = (v u) (1.3)

Il prodotto vettoriale e pero distributivo, ovvero

(u + v) w = u w + v w (1.4)

1.6 Riferimenti cartesiani ortogonali

In uno spazio tridimensionale, un riferimento cartesiano ortogonale Fcentrato nel punto O e formato da tre versori mutuamente ortogonali, e1,e2, ed e3, tali che il prodotto scalare

ei ej = ij ,

dove ij e il delta di Kronecker, tale che

ij = {1 if i = j0 if i j

Il riferimento e detto destro se i versori rispettano la regola

ei ej = ek,

con gli indici i, j e k ordinati secondo una permutazione ciclica dei numeri1, 2 e 3.

Un riferimento e quindi identificato dalla sua origine e dai versori che locompongono e verra indicato nel seguito come F = {O; e1, e2, e3}.

1.7 Componenti di un vettore

Si consideri ora una generica grandezza vettoriale v e il valore dei prodottiscalari vi = v ei. Il vettore v puo essere scritto nella forma

v = v1e1 + v2e2 + v3e3 (1.5)

dove vi, i = 1,2,3, sono le componenti di v nel riferimento F (Fig. 1.5).Il vettore colonna vF = (v1, v2, v3)T rappresenta pertanto il vettore v nelriferimento F . La scelta di F genera un omeomorfismo fra S ed R3: aogni vettore corrisponde una e una sola rappresentazione per componenti e,

1.8. TRASFORMAZIONE DI COORDINATE 13

e1

e3 e

2

O

v

v1

v3 v2

Fig. 1.5: Componenti di un vettore in un riferimento cartesiano ortogo-nale.

data una terna ordinata di numeri reali, ad essa corrisponde uno e un solovettore.10

Per le grandezze vettoriali la freccia comparira solo quando le grandezzecorrispondenti sono evocate indipendentemente da un particolare riferimento.Una volta scelto un opportuno sistema di riferimento e possibile pero rappre-sentare una grandezza vettoriale per componenti tramite un vettore colonnaindicato dallo stesso simbolo del grassetto usato per il vettore, senza freccia,ma con un pedice che indica il particolare riferimento in cui sono rappresen-tate le componenti.

1.8 Trasformazione di coordinate

Appare evidente che lomeomorfismo che associa terne di numeri (v1, v2, v3)T

a un dato vettore v dipende dal particolare riferimento F scelto. Se consid-eriamo un secondo riferimento cartesiano ortogonale11 G = {O; g1, g2, g3}, ilvettore v risulta rappresentato da una terna di numeri vG = (w1,w2,w3)T ,tali che

v = w1g1 +w2g2 +w3g3 (1.6)

con vG vF . Lo stesso versore e dunque rappresentato da terne di numeridiversi, in funzione del riferimento scelto. E possibile definire una legge ditrasformazione fra le due rappresentazioni.

Ciascuno dei versori ei della terna F ammette infatti una sua rappre-sentazione nella terna G,

ei = ei,1g1 + ei,2g2 + ei,3g3

10Si osservi che nello spazio delle terne ordinate (x, y, z)T R3 i versori ei sono rappre-sentati dalle terne e1 = (1,0,0)

T , e2 = (0,1,0)T e e3 = (0,0,1)

T .11Per semplicita si ipotizza che il riferimento G abbia la stessa origine di F .

14 CAPITOLO 1. NOTAZIONE E CONCETTI INTRODUTTIVI

per cui e possibile scrivere

v = v1e1 + v2e2 + v3e3

= v1(e1,1g1 + e2,1g2 + e3,1g3) +

+ v2(e1,2g1 + e2,2g2 + e3,2g3) +

+ v3(e1,3g1 + e2,3g2 + e3,3g3)

v = (g1,1v1 + e1,2v2 + e1,3v3)g1 +

+ (g2,1v1 + e2,2v2 + e2,3v3)g2 +

+ (g3,1v1 + e3,2v2 + e3,3v3)g3

Confrontando lultima espressione con lo sviluppo per componenti di vnella terna G in Eq. (1.6) si ha ottiene la relazione che lega le componentivG = (w1,w2,w3)T alle componenti vF = (v1, v2, v3)T dello stesso vettorenella terna F , ovvero

w1 = e1,1v1 + e1,2v2 + e1,3v3w2 = e2,1v1 + e2,2v2 + e2,3v3w3 = e3,1v1 + e3,2v2 + e3,3v3

In forma matriciale si puo scrivere

vG = T GFvF

dove la matrice di trasformazione delle coordinate T GF e data da

T GF =

e1,1 e1,2 e1,3e2,1 e2,2 e2,3e3,1 e3,2 e3,3

= [e1G e2G e3G ]

Proprieta della matrice di trasformazione

Si osservi che la matrice T GF e formata ordinando per colonne le compo-nenti dei versori ei espressi nella terna G, versori mutuamente ortogonali.Pertanto le colonne della matrice risultano essere tutte di norma unitaria erappresentano versori di R3 perpendicolari fra loro. Una matrice cos for-mata e detta matrice ortogonale e gode di alcune interessanti proprieta:

1. linversa di una matrice ortogonale T coincide con la sua trasposta:T 1 = T T ;

2. il determinante di una matrice ortogonale e det(L) = 1; se la matricee una matrice di trasformazione di coordinate il determinante e 1;

3. se T 1 e T 2 sono matrici ortogonali, il loro prodotto righe per colonneT 1T 2 e ancora una matrice ortogonale.

1.9. PRODOTTO SCALARE E PRODOTTO VETTORIALE PER COMPONENTI15

Grazie a queste proprieta e facile scrivere la trasformazione inversa, chefornisce le componenti di un generico vettore v espresse nella terna F infunzione di quelle nel riferimento G:

vF = TFGvG = (LGF)1vG = (LGF)TvG

Questo significa che

T GF =

eT1I. . .

eT2I. . .

eT3I

Il lettore dimostri come esercizio che valgono le relazioni

T GF = [g1F g2F g3F ] e TFG =

gT1F. . .

gT2F. . .

gT3F

1.9 Prodotto scalare e prodotto vettoriale per com-ponenti

Il prodotto scalare di due vettori puo essere facilmente espresso per com-ponenti, tenendo presente lassociativita delloperazione. Consideriamo unriferimento cartesiano ortogonale e due vettori u = u1e1 + u2e2 + u3e3 ev = v1e1 + v2e2 + v3e3. Il loro prodotto scalare e dato da

u v = (u1e1 + u2e2 + u3e3) (v1e1 + v2e2 + v3e3)

= u1e1 (v1e1 + v2e2 + v3e3) +

+ u2e2 (v1e1 + v2e2 + v3e3) +

+ u3e3 (v1e1 + v2e2 + v3e3)

Tenendo conto delle relazioni ei ej = ij , si ha che

u v = u1v1 + u2v2 + u3v3 = uTF vF (1.7)

Procedendo in modo analogo per il prodotto vettoriale si ha che

u v = (u1e1 + u2e2 + u3e3) (v1e1 + v2e2 + v3e3)

= u1e1 (v1e1 + v2e2 + v3e3) +

+ u2e2 (v1e1 + v2e2 + v3e3) +

+ u3e3 (v1e1 + v2e2 + v3e3)

16 CAPITOLO 1. NOTAZIONE E CONCETTI INTRODUTTIVI

Ricordando che ei ej = ek e che ei ei = 0, si ha che

u v = u1v2(e1 e2) + u1v3(e1 e3) +

+ u2v1(e2 e1) + u2v3(e2 e3) +

+ u3v1(e3 e1) + u3v2(e3 e2) =

= u1v2e3 u1v3e2 u2v1e3 + u2v3e1 + u3v1e2 u3v2e1 =

= (u2v3 u3v2)e1 + (u3v1 u1v3)e2 + (u1v2 u2v1)e3

Il vettore w = u v puo essere scritto quindi formalmente come il deter-minante della matrice

w = u v =

RRRRRRRRRRRRRR

e1 e2 e3u1 u2 u3v1 v2 v3

RRRRRRRRRRRRRR

Di conseguenza, le componenti di w sono date dai minori principali dellamatrice

u1 u2 u3v1 v2 v3

conwF = (u2v3 u3v2, u3v1 u1v3, u1v2 u2v1)T

E possibile anche una rappresentazione matriciale del prodotto vettorialeper componenti, dove wF = uF vF = UvF , dove la matrice antisimmetricaU e data da

U =

0 u3 u2u3 0 u1u2 u1 0

1.10 Rappresentazione per componenti di opera-tori lineari

La rappresentazione per componenti di grandezze vettoriali puo essere estesaa spazi di dimensioni n qualunque. Si definisce base, un insieme di vettoriB = {b1,b2, . . . ,bn} capaci di generare lintero spazio V. Una base generaun omeomorfismo fra V e Rn, dove n = dim(V) e la dimensione di V. Aciascun vettore v V corrisponde in modo biunivoco la nupla ordinata(v1, v2,, vn)

T Rn tale che

v = v1b1 + v2b2 + + vnbn (1.8)

Si consideri ora un endomorfismo lineare12 A che opera in V, tale che,preso un vettore v V, il vettore

w = Av12Non verranno considerati operatori lineari fra spazi di dimensione diversa. Per

una esposizione completa della teoria degli operatori lineari il lettore puo consultare unqualunque manuale di Algebra Lineare.

1.10. RAPPRESENTAZIONE PER COMPONENTI DI OPERATORI LINEARI17

appartiene a V. Un operatore lineare preserva la combinazione lineare,ovvero, presi due vettori v1,v2 V, e i vettori w1 = Av1 e w2 = Av2,risulta

A(v1 + v2) = (Av1) + (Av2) = w1 + w2.

Data una base, B = {e1,e2, . . . ,en}, si puo dunque scrivere

Av = A(v1b1 + v2b2 + + vnbn)

= v1(Ab1) + v2(Ab2) + + vn(Abn) (1.9)

dove ciascuno degli n vettori Abi ammette una sua rappresentazione percomponenti. Scriviamo tale rappresentazione nella forma

Abi = a1,ib1 + a2,ib2 + + an,ibn =n

j=1

aj,ibj

Sostituendo tale espressione in Eq. (1.9) si ottiene

Av = v1(a1,1b1 + a2,1b2 + + an,1bn) +

+ v2(a1,2b1 + a2,2b2 + + an,2bn) +

+ vn(a1,nb1 + a2,nb2 + + an,nbn) =

= (a1,1v1 + a1,2v2 + + a1,nvn)b1 +

+ (a2,1v1 + a2,2v2 + + a2,nvn)b2 +

+ (an,1v1 + an,2v2 + + an,nvn)bn

Lultima espressione, confrontata con lo sviluppo per componenti delvettore w = Av = w1b1 + w2b2 + + wnbn, permette di ricavare la iesimacomponente wi di w come

wi = ai,1v1 + ai,2v2 + + ai,nvn =n

j=1

ai,jvj

Tale operazione puo essere scritta in forma matriciale,

wB =ABvB

dove vB = (v1, v2,, vn)T e wB = (w1,w2,,wn)T sono le nuple ordinateche rappresentano v e w nella base B considerata, mentre la matrice AB Rnn definita come

AB =

a1,1 a1,2 a1,na2,1 a2,2 a2,n

an,1 an,2 an,n

rappresenta lazione dellomeorfismo A nella base considerata.

18 CAPITOLO 1. NOTAZIONE E CONCETTI INTRODUTTIVI

1.11 Trasformazione degli operatori

Lazione delloperatore A sullo spazio tridimensionale S e indipendente dalparticolare riferimento cartesiano scelto. Non cos la sua rappresentazioneper componenti, definita dalla matrice AF R33. e lasciato al lettore ladimostrazione che la legge di trasformazione

AG = T GFAFTFG = T GFAFT TGF

permette di ottenere gli elementi i,j di AG .

Capitolo 2

Leggi di Newton

2.1 Cinematica

Lanalisi e per limitata ai corpi per i quali sia definita la sola posizione Pnello spazio S, ovvero corpi la cui dimensione sia trascurabile rispetto al (oininfluente sul) loro spostamento. Supporremo il corpo dotato di massa m elo definiremo per questo motivo elemento materiale1. Lelemento mate-riale occupa dunque la posizione P (t) identificata dal vettore posizione r(t)rispetto allorigine O di un riferimento cartesiano opportunamente definito(Fig. 2.1). La curva C S definita come

C = {P (t) OP (t) = r(t), t (,)}

e detta traiettoria.La derivata del vettore posizione e la velocita dellelemento:

v(t) = limt0

r(t +t) r(t)

t= lim

t0r

t=

dr

dtt

Il vettore v(t) e tangente alla curva C nel punto P (t).La derivata seconda del vettore posizione e laccelerazione dellelemento,

a(t) = limt0

v

t=

dv

dtt=

d2r

dt2t

1In accordo con il testo di Piero Giorgio Bordoni, Lezioni di Meccanica Razionale, Ed.Veschi, Roma, ristampa 1982, si e preferita la dizione elemento materiale in luogo di puntomateriale, pure tipica della tradizione italiana, o quella di particella, tipica della tradizioneanglosassone (particle). Con il termine elemento si indica un corpo dotato di massa cheoccupa una posizione P nello spazio. La dizione punto materiale e considerata infattifuorviante dal Bordoni, in quanto il punto come ente geometrico e per definizione privo didimensione, mentre i corpi considerati dalla Meccanica possono avere dimensioni tuttaltroche trascurabili, anche nel caso in cui si consideri come rilevante la loro sola posizione. Unesempio e costituito dai moti orbitali, in cui la dimensione dei corpi celesti rende difficileassimilarli a punti nello spazio. Considerazione analoga vale per il termine particella,che suggerisce una dimensione limitata se non proprio puntiforme delloggetto studiato.

19

20 CAPITOLO 2. LEGGI DI NEWTON

r (t+t)

e1

e3 e

2

Ox

z y

P(t)

r (t)r (t)

v (t)

r

C

P(t+t)

Fig. 2.1: Traiettoria del punto P e sua velocita.

Se supponiamo che il riferimento cartesiano ortogonale F centrato in Oal quale riferiamo il moto sia immobile, i versori e1, e2 ed e3 sono costanti ele componenti dei vettori velocita e accelerazione sono dati rispettivamentedalle derivate prima e seconda delle componenti del vettore posizione r.Posto cioe rF(t) = (x(t), y(t), z(t))T , avremo che

vF(t) = (dx

dt,dy

dt,dz

dt)

T

= (x, y, z)T

aF(t) = (d2x

dt2,d2y

dt2,d2z

dt2)

T

= (x, y, z)T

dove un punto indica loperazione di derivazione rispetto al tempo.

2.1.1 Legge oraria del moto

Lo spostamento elementare dr = vdt avviene lungo la tangente alla traiet-toria C. Il suo modulo,

ds = dr = vdt = v(t)dt

rappresenta lincremento dellascissa curvilinea contata lungo C. La leggeoraria del moto lungo la traiettoria e data dunque dalla funzione

s(t) = t

t0v(t)dt

dove s rappresenta la lunghezza del percorso effettuato dallelemento lungo Ca partire dallistante t0. Si osservi che durante le fasi di moto dellelementolungo la traiettoria nelle quali la velocita non si annulla se non in singoliistanti isolati, la s(t) e monotona e, dunque, invertibile.

2.1. CINEMATICA 21

Una volta espressa in coordinate cartesiane, il valore del modulo dellavelocita e dato da

v(t) =x2 + y2 + z2

2.1.2 Terna intrinseca

Il versore t diretto lungo la direzione di v e il versore tangente, definito come

t = v/v

La derivata del versore tangente rispetto allascissa curvilinea

n = dt/ds

diretta verso linterno della concavita della traiettoria, esprime la rapiditacon cui cambia la direzione della traiettoria rispetto alla distanza percorsa.Il suo modulo c = n e detto curvatura della traiettoria. Si osservi chen risulta perpendicolare a t, in quanto il versore ha modulo unitario (edunque costante) per definizione.2 La direzione del versore n = n/c e dettaper questo normale principale. Linverso della curvatura, Rc = 1/c, e ilraggio di curvatura della traiettoria e rappresenta il raggio del cerchioosculatore della curva C in P , centrato in un punto C posto a distanza Rclungo la direzione n.

La direzione del versore b = tn e detta binormale, ed e perpendicolareal piano su cui giace il cerchio osculatore. I tre versori t, n e b formano laterna intrinseca (Fig. 2.2). Il modulo della derivata di b rispetto ad srappresenta la rapidita con cui il piano osculatore ruota intorno a t ed edetto torsione,

= db/ds

2.1.3 Accelerazione nella terna intrinseca

Dalla definizione di incremento dellascissa curvilinea, tale che s = v = ve di versore tangente, t = v/v, risulta immediatamente che nella terna in-trinseca il vettore velocita e dato da v = st. Derivando questa espressionerispetto al tempo otteniamo

a =dv

dt= st + s

dt

ds

ds

dt.

2Questo risultato vale per qualunque vettore di modulo costante, la cui derivata risultaperpendicolare al vettore dato. Consideriamo il generico vettore u(t) e assumiamo cheu = u sia costante. Ma allora e costante anche il suo quadrato u2 = u u, il che vuol direche

d(u2)

dt= 2u

du

dt= 0

dal che lassunto sulla perpendicolarita fra u e la sua derivata e dimostrato.

22 CAPITOLO 2. LEGGI DI NEWTON

P

v

C

t ^

n ^

b^

Rc

P(t0)

s=0

s

Fig. 2.2: Terna intrinseca nel punto P .

a (t)

P(t)

v (t)

an

at

C

Fig. 2.3: Componenti di accelerazione tangenziale e normale.

Ricordando che dt/ds = n = cn si ottiene lespressione dellaccelerazionein termini di componenti nella terna intrinseca,

a = st + s2cn

da cui risulta evidente come laccelerazione abbia due sole componenti in taleriferimento, lungo la tangente e la normale alla traiettoria, dette, appunto,componenti tangenziale e normale dellaccelerazione (Fig. 2.3).

Dallultima espressione e inoltre possibile determinare il valore della cur-vatura,

c =1

s2a st

2.2. LE TRE LEGGI DELLA DINAMICA 23

2.2 Le tre leggi della Dinamica

2.2.1 Definizioni preliminari

Dato un elemento materiale di massa m che si muove con velocita v, sidefinisce quantita di moto p il prodotto della sua massa per la velocita,p = mv. Considerando un generico polo Q (ad esempio, ma non necessari-amente, lorigine O del riferimento cartesiano ortogonale rispetto al qualeviene descritto il moto), si definisce momento della quantita di moto (omomento angolare) h il prodotto vettoriale h = r p =mr v.

2.2.2 Enunciati

Postulando lesistenza di un riferimento assoluto, detto riferimento in-erziale (o galileiano), e possibile formulare i tre principi fondamentali dellameccanica newotniana:

In assenza di forze esterne agenti su di esso, un elemento materiale simuove di moto rettilineo a velocita costante.

La forza agente su un elemento materiale e pari alla derivata temporaledella sua quantita di moto.

Quando due corpi si scambiano una mutua azione meccanica, le forzeagiscono lungo la congiungente i due corpi, sono uguali in modulo eopposte in verso.

In termini formali il secondo principio della dinamica indica che

f =dp

dt=

d(mv)

dt= mv +ma

Per sistemi a massa costante, m = 0, e si ottiene la classica formula forzauguale massa per accelerazione:

f =ma

valida solo ed esclusivamente in un riferimento inerziale. Si osservi come ilprimo principio, gia enunciato dal Galilei, ricada come caso particolare delsecondo, in quanto in assenza di forze la derivata della quantita di motorisulta nulla e, di conseguenza, la quantita di moto risulta vettorialmentecostante (principio di conservazione della quantita di moto).

Infine, il terzo principio e enunciato sopra nella sua formulazione forte, incui la retta dazione della forza scambiata fra due corpi A e B mutuamenteinteragenti e diretta lungo la loro congiungente AB. Nella formulazionedebole si postula invece solo che, detta fAB la forza che il corpo A esercita

24 CAPITOLO 2. LEGGI DI NEWTON

su B e, analogamente fBA la forza di B su A, la somma vettoriale di taliazioni sia nulla, ovvero

fAB = fBA.

Le forze elettromagnetiche fra cariche in movimento relativo, che perfortuna ricadono al di fuori del dominio della Meccanica, violano la formu-lazione forte del terzo principio, in quanto la loro retta dazione non e direttalungo la congiungente le cariche.

Il secondo principio della dinamica risolve in modo definitivo il problemadel moto di un elemento materiale libero sotto lazione di forze note, la cuisomma vettoriale f sia una funzione almeno Lipschitzcontinua di r, v e t.In questo caso, nota una condizione iniziale r(t0) = r0 e v(t0) = v0 al tempot0, il moto r(t) e univocamente determinato, in accordo con il teorema diCauchy. Tale moto puo essere ottenuto dallintegrazione di un sistema ditre equazioni differenziali ordinarie del secondo ordine

mx = fx

my = fy (2.1)

mz = fz

2.2.3 Impulso lineare

Integrando ambo i membri dellequazione

f =dp

dt

si ottiene

t2

t1fdt =

t2

t1

dp

dtdt = p(t2) p(t1)

Lintegrale a primo membro e detto impulso lineare e il suo valore e pariallincremento di quantita di moto dellelemento materiale considerato.

2.2.4 Momento di una forza rispetto a un polo fisso O

Si consideri lespressione del Secondo Principio della Dinamica e se ne molti-plichino vettorialmente ambo i membri per r da sinistra:

r f = r dp

dt

dove r e il vettore posizione rispetto a un polo O assunto fisso. Integrandotale equazione si ottiene

t2

t1(r f)dt =

t2

t1(r

dp

dt)dt (2.2)

2.2. LE TRE LEGGI DELLA DINAMICA 25

Ricordando che v = dr/dt, si ha che

d(r p)

dt= r

dp

dt+

dr

dt p

dove lultimo termine e nullo, in quanto p e per definizione parallelo a v =dr/dt, quando il polo O e fisso. Pertanto lequazione (2.2) puo essere scrittanella forma

t2

t1(r f)dt =

t2

t1

d(r p)

dtdt

=

t2

t1

dh

dtdt = h(t2) h(t1)

ovvero lintegrale del momento della forza m = r f e pari alla variazionedel momento angolare della quantita di moto:

t2

t1mdt = h(t2) h(t1)

Se il momento delle forze agenti sullelemento materiale e nullo, la derivatadel momento della quantita di moto e nulla e il momento angolare risultaquindi vettorialmente costante (principio di conservazione del momento dellaquantita di moto).

26 CAPITOLO 2. LEGGI DI NEWTON

Capitolo 3

Lavoro ed energia. Forzeconservative

3.1 Lavoro

Si consideri il prodotto scalare della forza f agente su un elemento materialedi massa m e il suo spostamento infinitesimo, dr lungo la sua traiettoria C,dal punto A al punto B. Si definisce lavoro svolto dalla forza f il valoredellintegrale

WAB = B

Af dr

calcolato lungo larco di traiettoria che va da A a B, dove

dW = f dr

e lincremento del lavoro associato allo spostamento infinitesimo da ra r + dr. La barra indica che non si tratta del differenziale esatto di unadata funzione W, ma solo di un incremento piccolo di una quantita dettalavoro.

3.2 Energia cinetica

Si osservi come, sostituendo nella definizione del lavoro lespressione delsecondo principio della dinamica (nel caso di massa m costante), si possascrivere la seguente catena di uguaglianze:

B

Af dr =

B

Ama dr =m

tB

tA

d2r

dt2dr

dtdt

= mtB

tA

d

dt(

1

2

dr

dtdr

dt)dt =

1

2m

tB

tA

d

dt(v2)dt

=1

2m (v2B v

2A)

27

28 CAPITOLO 3. LAVORO ED ENERGIA. FORZE CONSERVATIVE

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Fig. 3.1: Lavoro di una forza f lungo la traiettoria C da A a B.

Definendo lenergia cinetica di un elemento materiale di massa m come

T =1

2mv2

si ha che

WAB = B

Af dr = TB TA (3.1)

ovvero il lavoro compiuto dalla forza f e pari alla variazione dellenergiacinetica dellelemento materiale.1

3.3 Forze conservative

Se la forza f dipende solo dalla posizione r di m e il lavoro

WAB = B

Af dr

non dipende dalla traiettoria C per andare da A a B ma solo dalle posizioniiniziale e finale, la forza e detta conservativa (Fig. 3.2.a). Il suo lavoro suqualunque traiettoria chiusa risulta nullo,

f dr = 0 (3.2)

1Alla stessa formulazione si puo arrivare lavorando a livello di incrementi. Vale infattila seguente catena di uguaglianze:

dW = f dr =ma (vdt) =m(adt) v =md(v2

2) = d(

1

2mv2) = dT

avendo posto T = 12mv2.

3.3. FORZE CONSERVATIVE 29

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Fig. 3.2: Se il lavoro di una forza e indipendente dalla traiettoria Cipercorsa (a), il lavoro su una traiettoria chiusa e nullo (b).

in quanto (Fig. 3.2.b)

f dr =WC1AB +W

C2BA =W

C1AB W

C2AB = 0

E evidente che forze che non cambiano segno lungo una traiettoria chiusanon possono essere conservative. Un esempio di tali forze e dato da tutte leforze di attrito, sempre diretto in verso opposto a quello del moto, che sonoforze dissipative, tali cioe da ridurre (dissipare) lenergia del sistema.

La verifica della condizione espressa da Eq. (3.2) risulta difficile nellamaggior parte dei casi pratici, ma, grazie al teorema si Stokes si puo sosti-tuire la condizione espressa sullintegrale di una generica traiettoria chiusacon una condizione locale sul rotore del campo di forza. Loperatore rotore,indicato con il simbolo () o, talvolta, come rot(), applicato a un genericocampo vettoriale v in tre dimensioni e dato da

v = (vzy

vy

z) e1 + (

vxz

vzx

) e2 + (vy

xvxy

) e3

Dato un campo vettoriale v il flusso del rotore di v attraverso una gener-ica superficie S dotata di bordo chiuso S e pari allintegrale curvilineo delcampo lungo S. Considerando una generica superficie S avente la curvachiusa C come bordo (C = S) il teorema di Stokes permette dunque diaffermare che

Sf dr = S

( f) ndS

il che e possibile, per qualunque curva chiusa e campo di forza sufficiente-mente regolare, se e solo se

f(r) = 0

Daltra parte, condizione necessaria e sufficiente affinche il rotore di uncampo vettoriale sia nullo ovunque e che il campo vettoriale sia il gradiente

30 CAPITOLO 3. LAVORO ED ENERGIA. FORZE CONSERVATIVE

di una funzione scalare della sola posizione nello spazio.2 Definiamo V(r)questa funzione, risulta

f(r) = V

dove loperatore gradiente di una funzione scalare e il vettore

V = (V

x) e1 + (

V

y) e2 + (

V

z) e3

E evidente che la funzione V e sempre definita a meno di una costanteadditiva. Stante quanto sopra, e possibile esprimere il lavoro su un percorsoda A a B come la variazione della funzione V, in quanto

WAB = B

Af dr =

B

AV dr = VA VB (3.3)

dove lintegrale di linea del campo di forza lungo la traiettoria dipendesolo dalle posizioni iniziale e finale, A e B, come richiesto, appunto dalladefinizione di forza conservative. La funzione V, nota a meno di una costante,e detta energia potenziale. Si indica come potenziale il suo opposto, V.

Teorema di conservazione dellenergia meccanica

La somma di energia cinetica ed energia potenziale di un elemento materialesottoposto a sole forze conservative e costante.

Dimostrazione: Considerando le equazioni (3.1) e (3.3), si ha che

WAB = B

Af dr = TB TA = VA VB .

Ma allora TA + VA = TB + VB , ovvero la somma di energia cinetica ed energiapotenziale in un sistema conservativo e la stessa nelle posizioni iniziale e finale.Data larbitrarieta nella scelta di A e B lungo la traiettoria dellelemento, su puodunque affermare che la somma rimane costante lungo tutta la traiettoria C.

2La sufficienza e facilmente dimostrata dalla definizione di rotore. Se in un riferimentocartesiano ortogonale F le componenti di f sono date da

fF = (V

x,V

y,V

z)

T

la prima componente del rotore e pari a

f e1 = (fzy

fyz

) =

y(V

z) +

z(V

y) = 0

per il terorema di Schwarz sullinversione nellordine delle derivate miste. Analogamentesi annullano tutte le altre componenti di f e dunque, se il campo vettoriale ammetteun potenziale, allora il suo rotore e nullo. La necessita della condizione e piu ostica dadimostrare e a questo proposito il lettore e rimandato ai testi di Analisi Matematica.

3.3. FORZE CONSERVATIVE 31

La somma di energia cinetica e energia potenziale e detta energia totale (oenergia meccanica) del sistema,

E = T + V.

Esempio: Diagrammi di energia

Per sistemi con un numero limitato di gradi di liberta meccanici (uno o due al mas-simo) puo essere utile tracciare i cosiddetti diagrammi di energia, in cui si riportalandamento delle diverse forme di energia (e.g. potenziale gravitazionele o meccanicae cinetica) che compongono lenergia meccanica totale. Consideriamo il sistema mec-canico piu semplice: loscillatore armonico, costituito da una massa m che scorre senzaattrito in direzione x, collegata a una molla di costante elastica k, che realizza unaforza di richiamo elastico f = kx e sia x = 0 la posizione di riposo della molla (Fig.Fig0303.a).

Lenergia cinetica e data da

T = (1/2)mx2

mentre quella potenziale elastica e pari a

V(0) V(x) = x

0f(x)dx =

x

0kxdx = (1/2)kx2

Ponendo, senza perdita di generalita, V (0) = V0 = 0, si ha

V (x) = (1/2)kx2

rappresentata dalla linea continua in Fig. 3.3.b. In assenza di forze non conservative,lenergia meccanica totale E e costante (linea punteggiata in Fig. Fig0303.b),

E = T + V = (1/2)mx2 + (1/2)kx2 = cost

Lenergia potenziale e massima quando si annulla lenergia cinetica, dunque nelleposizioni

E = Vmax = (1/2)ka2

ovvero per

a =

2E/k

La velocita in ogni altro punto e pari a

v = x =

2(E V)/m = k(a2 x2)/m

ed e massima per x = 0, quando

vmax = ak/m

Tutte queste considerazioni permettono di analizzare molte proprieta del motodelloscillatore, prescindendo dalla soluzione dellequazione differenziale che ne descriveil moto. In questo semplice esempio, pero, e disponibile una soluzione analitica per il

32 CAPITOLO 3. LAVORO ED ENERGIA. FORZE CONSERVATIVE

k

m

x0 x

0

E,V

V

E

xmax

-xmax

T

Va) b)

Fig. 3.3: Oscillatore armonico (a) e suo diagramma di energia (b).

moto delloscillatore armonico. A partire dalla seconda legge della dinamica, infatti,abbiamo che

mx = f = kx

ovverox + 2x = 0

dove 2 = k/m e la pulsazione. Questa equazione differenziale lineare del secondoordine ammette una soluzione come combinazione lineare di seni e coseni di t,

x(t) = A sin(t) +B cos(t)

dove le costanti A e B possono essere facilmente determinate in funzione delle con-dizioni iniziali, x(t0) = x0 e x(t0) = x0.

Esercizio 1: Diagramma di energia delle montagne russe

Data la forma y = y(x) del profilo delle montagne russe, definire la velocita del carrelloin funzione di x nel caso ideale privo di attriti.

Esercizio 2: Diagramma di energia del pendolo

Una massa m e sospesa a un estremo di una barra inestensibile di lunghezza `, incernier-ata allaltro estremo in modo da consentire una rotazione completa alla barra stessa.Tracciare il diagramma di energia del pendolo identificando il valore della velocita oltreil quale il pendolo non oscilla, ma gira sempre nella stessa direzione, supponendo nulligli attriti. Cosa accade in presenza di attrito viscoso sulla massa? E in presenza diattrito secco nella cerniera? Discutere qualitativamente.

Capitolo 4

Sistemi di N elementimateriali.

4.1 Definizioni

Consideriamo un sistema composto da N elementi materiali, di massa mi, i =1,2, . . . ,N , la cui posizione sia indiduata in un opportuno sistema cartesianoortogonale F dai vettori ri (Fig. 4.1). Si definisce centro di massa delsistema di N elementi materiali il punto individuato dal vettore posizionerC tale che

rC =1

M

N

i=1miri

dove M = Ni=1mi e la massa totale del sistema.Su di essi agiscono forze esterne, la cui risultante sullelemento iesimo e

data da f i, e forze interne, dovute a mutua interazione, dove la forza f ji ela forza esercitata dallelemento jesimo sulliesimo. Per ciascun elementodi massa vale il secondo principio della dinamica che, assumendo massacostante per tutti gli elementi, risulta espresso dallequazione differenziale

miri = f i +N

j=1

(1 ij)f ji (4.1)

dove il termine 1 ij vale 0 per i = j, intendendo con cio che un elementonon esercita alcune forza su se stesso.

4.2 Bilancio della quantita di moto per sistemi diN elementi materiali

Sommando le equazioni del moto di tutti gli elementi materiali si ottiene

N

i=1miri =

N

i=1f i +

N

i=1

N

j=1

(1 ij)f ji

33

34 CAPITOLO 4. SISTEMI DI N ELEMENTI MATERIALI.

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Fig. 4.1: Sistema di N elementi materiali.

dove il primo termine del secondo membro puo essere posto pari alla risul-tante delle forze esterne agenti sul sistema, f tot =

Ni=1 f i, mentre il sec-

ondo termine del secondo membro risulta nullo per il terzo principio delladinamica, dal momento che f ji = f ij . Moltiplicando e dividendo ilprimo membro per la massa totale M e ricordando la definizione di centrodi massa si ha che

M rC = f tot

con M rC = ptot pari alla derivata della quantita di moto totale del sistema,

ptot =N

i=1pi =

N

i=1mivi =M rC . (4.2)

Dunque, la posizione del centro di massa del sistema di N elementi ma-teriali si comporta come un elemento fittizio di massa pari alla massa totaleM del sistema, mosso da una forza pari alla risultante delle forze esterne.Le forze interne non hanno effetto sul moto del centro di massa e pertanto,in assenza di forze esterne o per forze esterne a risultante nulla, il centro dimassa si muove di moto rettilineo uniforme e la quantita di moto totale delsistema risulta costante, il che comporta la dimostrazione del seguente

Teorema di conservazione della quantita di moto per un sis-tema di N elementi materiali

In assenza di forze esterne (f i = 0, i = 1,2, . . . ,N) o per forze esternea risultante identicamente nulla (Ni=1 f i = 0) la quantita di moto di unsistema di N elementi materiali e vettorialmente costante. Il suo centro dimassa quindi e in quiete o si muove di moto rettilineo uniforme.

4.3. BILANCIO DEL MOMENTO ANGOLARE ASSOLUTO 35

4.3 Bilancio del momento angolare assoluto persistemi di N elementi materiali

Si consideri ora il momento angolare del sistema di N elementi di massacostante, mi, calcolato rispetto a un generico polo A, dove il polo scelto nonsolo non coincide, in generale, con lorigine O del riferimento cartesiano F ,ma puo essere addirittura un punto mobile. Il polo A verra evidenziato adapice dei momenti e il vettore rAi indica la posizione delliesimo elementorispetto ad A. Il momento della quantita di moto del sistema di N elementie dato da

hAtot =

N

i=1hAi =

N

i=1rAi mi ri

la cui derivata e pari a

hAtot =

N

i=1

rAi mi ri +N

i=1rAi miri

E possibile scrivere i vettori rAi e ri come somma del vettore posizione delcentro di massa (contato rispetto ad A ed O nei due casi, rispettivamente)piu il vettore posizione i dellelemento iesimo contato a partire dal centrodi massa stesso, ovvero (Fig. 4.2)

rAi = rAC + i , ri = rC + i

Si noti che, dalla definizione di centro di massa, risulta che1

N

i=1mii = 0.

Sostituendo queste espressioni nella definizione della derivata del mo-mento angolare totale e ricordando la definizione di centro di massa si hache

hAtot =

N

i=1

( rAC + i) mi( rC + i) +N

i=1rAi

f i +

N

j=1

(1 ij)f ji

= M rAC rC + mAtot

dove

mAtot =N

i=1rAi f i

e il momento totale delle forze esterne rispetto al polo A, mentre il mo-mento totale delle forze interne, che agiscono a coppie lungo la stessa di-rezione e hanno pertanto lo stesso braccio, risulta nullo. La cosa puo

1La dimostrazione e lasciata al lettore.

36 CAPITOLO 4. SISTEMI DI N ELEMENTI MATERIALI.

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Fig. 4.2: Momento angolare rispetto a un generico polo A.

essere dimostrata in modo rigoroso osservando che la doppia sommatoria

Ni=1 rAi (

Nj=1(1 ij)f ji) e composta da coppie di termini del tipo

rAi f ji + rAj f ij = (rAi rAj) f ji = 0

in quanto, assumendo la validita del terzo principio della dinamica nellasua formulazione forte, i vettori (rAi rAj) e f ji sono paralleli, entrambidiretti lungo la congiunte gli elementi i e j, implicando con cio la nullita delprodotto vettoriale.

Vi sono due scelte per il polo A che portano a equazioni di bilancio delmomento angolare di forma particolarmente semplice. Se scegliamo comepolo A lorigine del riferimento cartesiano ortogonale cui riferiamo il moto,risulta rAC = rC e dunque il primo elemento nel membro di destra si annullaperche e nullo il prodotto vettoriale di un vettore per se stesso. Abbiamocos lequazione di bilancio espressa nella forma

hOtot = m

Otot

Se invece scegliamo come polo A il centro di massa C, il vettore rACrisulta nullo e lequazione di bilancio del momento angolare e data da unaforma analoga alla precedente:

hCtot = m

Ctot

Se dunque scegliamo come polo di riduzione dei momenti lorigine delriferimento cartesiano ortogonale O o il centro di massa del sistema di el-ementi materiali C, la derivata del momento angolare calcolata rispetto alpolo scelto risulta pari al momento totale delle forze esterne valutato rispettoallo stesso polo, il che permette di dimostrare banalmente il seguente

4.4. BILANCIO DEL MOMENTO ANGOLARE RELATIVO 37

Teorema di conservazione del momento angolare per un sis-tema di N elementi materiali

Se il momento totale delle forze esterne rispetto allorigine O del riferimentoinerziale (o rispetto al centro di massa C) e identicamente nullo, il momentoangolare totale del sistema di N elementi risulta vettorialmente costante neltempo.

4.4 Bilancio del momento angolare relativo persistemi di N elementi materiali

Lespressione del momento angolare rispetto a un generico polo A

hAtot =

N

i=1rAi mi ri

puo essere riscritta tenendo presente che

rAi = rAC + i , ri = rC + i

Sostituendo tali espressioni nella definizione di hAtot si ottiene unespressione

alternativa,

hAtot =

N

i=1

(rAC + i) mi( rC + i)

= rAC M rC +N

i=1i mi i

= rAC ptot + hreltot

dove

hreltot =

N

i=1i mi i

e il momento angolare relativo (o apparente) del sistema di N elementimateriali. Osservando che, quando si sceglie A = C, il momento angolareassoluto e relativo coincidono,2 levoluzione nel tempo del momento angolarerelativo e governata dallequazione

hreltot = m

Ctot

2Per A C il momento angolare assoluto e dato da

hC

tot =N

i=1i mi ri =

N

i=1i mi( rC + i) =

N

i=1i mi i h

rel

tot.

38 CAPITOLO 4. SISTEMI DI N ELEMENTI MATERIALI.

4.5 Energia cinetica di sistemi di N elementi ma-teriali

Lenergia cinetica di un sistema di N elementi materiali e data, come ovvio,dalla somma dellenergia cinetica dei singoli elementi che lo compongono,ovvero

Ttot =N

i=1Ti =

1

2

N

i=1

(miv2i ) =

1

2

N

i=1

(mi ri ri) .

Sostituendo anche in questo caso lespressione di ri = rC + i (ovvero ri =rC + i), si ha che

Ttot =1

2

N

i=1

[mi ( rC + i) ( rC + i)]

=1

2rC rC + rC

N

i=1mi i +

1

2

N

i=1mi i i

dove il secondo termine nellultima somma e identicamente nullo, per ladefinizione di centro di massa. Questa dimostrazione fornisce cos lenunciatodel

Teorema 1 (Teorema di Koenig, o teorema della decomposizione dellenergiacinetica): Lenergia cinetica totale di un sistema di N elementi materialipuo sempre essere scritto come la somma di due contributi,

Ttot =1

2mtotv

2C +

1

2

N

i=1miu

2i

di cui il primo rappresenta lenergia cinetica di un corpo fittizio avente massapari alla massa totale del sistema e velocita pari alla velocita del centro dimassa, mentre il secondo rappresenta lenergia cinetica associata al motorelativo rispetto al centro di massa, con velocita relativa ui = i.

4.6 Energia potenziale per sistemi di N elementimateriali

Si assuma ora che tutte le forze in gioco, tanto quelle esterne, f i, quantoquelle interne, f ji, siano conservative, ovvero esprimibili come il gradientedi un potenziale. Cio significa che le forze esterne sono date da

f i = Vext

i

dove il pedice i indica che il gradiente e calcolato in ri. Le forze internesono date da

f ji = Vintij i

= f ij = Vintji j

4.6. ENERGIA POTENZIALE PER SISTEMI DIN ELEMENTI MATERIALI39

dove V intij e una funzione di ri rj e la catena di uguaglianze deve valere invirtu del terzo principio della dinamica.

Si enuncia senza dimostrazione il seguente

Teorema di conservazione dellenergia meccanica

Per un sistema di elementi materiali sottoposto a sole forze conservative,lenergia meccanica, pari alla somma di energia cinetica ed energia poten-ziale,

E =N

i=1Ti +

N

i=1Vexti +

1

2

N

i=1

N

j=1

(1 ij)Vintij

e costante.

Nellespressione dellenergia potenziale associata alle forze interne si ap-plica un coefficiente 1/2 in quanto nella doppia sommatoria la coppia dielementi i e j compare due volte.

40 CAPITOLO 4. SISTEMI DI N ELEMENTI MATERIALI.

Capitolo 5

Campi di forza centrali

Si consideri, come primo sistema di N elementi, il caso piu semplice: quellodi due corpi (N = 2) che si scambino unazione lungo la congiungente (f12 =f21 in accordo con la formulazione forte del terzo principio), in assenzadi forze esterne (f1 = f2 = 0), come schematizzato in Fig. 5.1. Sottoqueste ipotesi, e possibile ridurre il problema a quello di un singolo elementoequivalente che si muova sotto lazione di un campo di forza centrale,usando il vettore r = r2r1 come incognita del moto. Molte informazioni sulcomportamento del sistema possono essere dedotte direttamente da questaipotesi iniziali, senza neppure formulare il modello della forza.

Nella prossima lezione si lavorera poi su un caso pratico di particolarerilievo, ovvero quello delle forze gravitazionali, che costituisce uno dei mas-simi successi della meccanica classica newtoniana. Tale modello non solo hapermesso una previsione accurata e una spiegazione fisica per il moto deipianeti intorno al Sole,1 ma rappresenta ancora oggi il modello di partenza

1Fa eccezione il pianeta Mercurio che, per la sua vicinanza al Sole, risente di effettirelativistici legati alla curvatura dello spaziotempo indotta dal campo gravitazionale delSole stesso, effetto trascurabile per tutti gli altri corpi che si muovono nel sistema solare.Lanomalia orbitale di Mercurio e la sua interpretazione nellambito della teoria dellarelativita ristretta costitu una delle prime prove empiriche per la teoria di Einstein.

e1

e3 e

2

O

r2

m1

m2

rC

C

f12= fr

1

f21= -f

Fig. 5.1: Sistema di 2 elementi materiali sottoposti a un campo di forzecentrali.

41

42 CAPITOLO 5. CAMPI DI FORZA CENTRALI

e1

e3 e

2

O

r2

m1

m2

rC

Cr1

r

1

2

Fig. 5.2: Geometria di un sistema di 2 elementi materiali.

per descrivere il moto di satelliti e sonde spaziali intorno alla Terra o duranteviaggi interplanetari.

5.1 Equazione del moto

Siano r1 e r2 le posizioni assolute di due elementi materiali di massa m1e m2 rispetto allorigine O di un riferimento cartesiano ortogonale F . Laposizione C del centro di massa del sistema formato dalle due masse

rC =1

m1 +m2(m1r1 +m2r2)

si trova lungo la congiungente i due punti P1 e P2 che individuano la po-sizione dei due elementi materiali (Fig. 5.2). Questo lo si puo dimostrarefacilmente scrivendo

r1 = rC + 1 ; r2 = rC + 2

Sostituendo la definizione di rC , si ottengono per 1 e 2 le espressioni

1 = r1 1

m1 +m2(m1r1 +m2r2)

=m2

m1 +m2(r1 r2) =

m2m1 +m2

r

Procedendo analogamente per 2, si ottiene

2 =m1

m1 +m2r

Prese le equazioni del moto per m1 e m2,

m1r1 = m1rC m1m2m1 +m2

r = f21

m2r2 = m2rC +m1m2m1 +m2

r = f12

5.2. CONSERVAZIONE DEL MOMENTO ANGOLARE 43

sommandole membro a membro si ottiene un risultato noto,

(m1 +m2)rC = 0

ovvero, in assenza di forze esterne il centro di massa C ha accelerazionenulla e la quantita di moto totale del sistema e costante. Sottraendo laprima equazione divisa per m1 dalla seconda divisa per m2 si ottiene invece

r2 r1 = r =1

m2f12

1

m1f21

Ponendo f12 = f e ricordando il terzo principio della dinamica si ottienelequazione del moto per il vettore r, che fornisce la posizione relativa di m2rispetto ad m1:

r =m1 +m2m1m2

f

da cui si deduce che il vettore che esprime la posizione relativa del secondoelemento rispetto al primo si comporta come il vettore posizione di un ele-mento materiale isolato di massa m = (m1m2)/(m1 +m2) sottoposto allasola forza f .

Dal momento che il centro di massa C non subisce accelerazione, essopuo essere assunto come origine del riferimento inerziale, senza perdita digeneralita, e levoluzione nel tempo di r e sufficiente a descrivere linterosistema di due elementi.

Osservazione: Per m1 m2 il centro di massa del sistema coincide, difatto, con la posizione della massa piu grande, che risulta quindi pratica-mente fissa nello spazio. Il vettore posizione dellelemento di massa piupiccola diviene dunque r2 r e ai fini pratici si torna al caso di una singolamassa m2 che si muove rispetto a un punto assunto come origine immobiledel riferimento inerziale. Inoltre, per m2/m1 0 la massa dellelementoequivalente m =m1m2/(m1 +m2)m2.

5.2 Conservazione del momento angolare

Dal momento che la forza f agisce lungo la congiungente i due elementi, essaha braccio nullo rispetto al centro di massa e dunque il momento totale delleforze agenti sul sistema (in assenza di altre forze esterne) rimane identica-mente nullo. Questo implica che il momento angolare totale h e costante.Scegliendo come origine il centro di massa C (e assumendo dunque cherC = rC = 0) si puo dimostrare che

hCtot = r1 m1 r1 + r2 m2 r2

= (m2

m1 +m2r) (

m1m2m1 +m2

r) +m1

m1 +m2r

m1m2m1 +m2

r

=m1m2m1 +m2

r r

44 CAPITOLO 5. CAMPI DI FORZA CENTRALI

ur

m1

^

r

m2

u

^

e1

^

e2

^

e3

^

v

r.

.r

Fig. 5.3: Coordinate polari, riferimento radialetrasversale e relativecomponenti di velocita.

Cio implica che i vettori r e r giacciono sempre sullo stesso piano e dunqueil moto relativo di un elemento rispetto allaltro (o quello di entrambi glielementi rispetto al comune centro di massa) e vincolato ad appartenere aun piano invariante, detto piano del moto P.

Si osservi che momento angolare totale e relativo, in questo caso, co-

incidono. Nel seguito si indichera per semplicita hCtot = h e con h il suo

modulo.

5.3 Coordinate polari

Date le caratteristiche ora evidenziate del moto, confinato su un piano invari-ante, risulta conveniente esprimere il vettore r in coordinate polari, (r, ),dove r = r e, come al solito, il modulo del vettore r (ovvero la distanzafra i due elementi), mentre rappresenta una distanza angolare contatarispetto a una direzione di riferimento arbitraria, fissata sul piano P, che,stante quanto sopra discusso, risulta fisso nel riferimento inerziale (Fig. 5.3).Senza perdita di generalita, e possibile associare a tale direzione il primo ver-sore della terna inerziale, e1, in modo tale che e2 giaccia su P ed e3 sia adesso perpendicolare, in modo tale che e3 = h/h.

Siano ur e u i versori radiale (parallelo a r) e trasversale (perpen-dicolare a ur e tale che u r > 0). Stante la scelta fatta per i versori delriferimento cartesiano ortogonale, risulta

(ur)F = (cos , sin ,0)T ; (u)F = ( sin , cos ,0)

T

Il terzo versore della terna polare, normale al piano del moto, risulta datoda un = ur u e3.

5.4. ALTRE CONSEGUENZE DELLA CONSERVAZIONE DEL MOMENTO ANGOLARE45

La derivata temporale delle componenti dei versori ur e u e data da

(ur)F = ( sin , cos ,0)

T= (u)F

(u)F = ( cos , sin ,0)

T= (ur)F

Considerando che il vettore posizione e dato da

r = rur

(ovvero ha una componente non nulla nella sola direzione radiale) e possibileesprimere il vettore velocita come

r = rur + r ur = rur + ru

e laccelerazione nella forma

r = rur + r ur + ru + ru + r u = (r r2) ur + (2r + r) u

5.4 Altre conseguenze della conservazione del mo-mento angolare

Scrivendo nel riferimento polare il momento angolare totale si ha

h = r v = rur [m(rur + ru)] =m

r2un

che, dovendo essere vettorialmente costante, risulta, fra laltro, costante inmodulo, ovvero mr2 =cost.

Lequazione ora scritta presenta una notevole interpretazione geometrica.In coordinate polari, infatti, larea elementare spazzata dal vettore r per unincremento infinitesimo d di posizione angolare e pari a dA = (1/2)(rd)r(Fig. 5.4). Associando lincremento di area spazzata da r al corrisponenteincremento temporale dt, si ha che larea spazzata lunita di tempo e datada

dA

dt=

1

2r2 =

h

2m= cost.

Integrando a sinistra e a destra, si dimostra che il vettore r spazza areeuguali in tempi uguali, il che equivale alla formulazione della seconda leggedi Keplero per il moto dei pianeti intorno al Sole. Occorre pero aggiungeredue importanti considerazioni. Innanzi tutto Keplero formulo le sue leggisu sole basi empiriche, sfruttando le accuratissime (per lepoca) osservazioniastronomiche del suo maestro Tycho Brahe, dunque senza un fondamentoteorico che giustificasse il risultato. Inoltre la legge ora derivata non vale soloper linterazione gravitazionale fra corpi massivi, ma per qualunque campodi forza centrale, e risulta pertanto di portata piu generale.

46 CAPITOLO 5. CAMPI DI FORZA CENTRALI

m1

r

m2

e1

^

e2

^

v

d

r d

Fig. 5.4: Velocita areolare.

5.5 Campi di forza centrali conservativi

5.5.1 Gradiente in coordinate polari

Si consideri una generica funzione F (, ) che dipende dalla posizione P sulpiano P, posizione che puo essere espressa in termini tanto di coordinatecartesiane (x, y), quanto in termini di coordinate polari (r, ). Il gradientedi F e il vettore parallelo alla direzione ds di massima var