dispensa matlab segnali e sistemi

7/28/2019 dispensa matlab segnali e sistemi

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Laboratorio Matlab

di Segnali e Sistemi

Mattia Zorzicon la collaborazione di

Francesco Guidolin e Chiara Masiero

17 maggio 2013


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Indice

1 Introduzione 5

2 Funzionalita basilari di Matlab 7

2.1 Come si presenta Matlab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.2 Command Window . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.2.1 Definizione di oggetti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.2.2 Operazioni di base sui vettori . . . . . . . . . . . . . . 12

2.2.3 Funzioni Matlab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.2.4 Altre istruzioni matlab . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.3 Gestione delle variabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.4 m-files . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.5 Strutture di controllo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.6 Grafici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3 Segnali e convoluzioni 29

3.1 Segnali pari e dispari, segnali complessi . . . . . . . . . . . . . 29

3.2 Area ed energia di un segnale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.3 Convoluzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4 Analisi di Fourier 47

4.1 Serie di Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4.2 Trasformata di Fourier per segnali a tempo continuo . . . . . . 52

4.3 Trasformata di Fourier per segnali a tempo discreto . . . . . . 57

4.4 Campionamento e aliasing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

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4 INDICE

5 Sistemi LTI discreti 65

5.1 Introduzione ai sistemi LTI discreti . . . . . . . . . . . . . . . 655.2 Risposta impulsiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 705.3 Risposta in frequenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 735.4 Autofunzioni dei filtri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

6 Sistemi LTI continui 79

6.1 Equazioni differenziali in Matlab . . . . . . . . . . . . . . . . . 806.2 Studio di sistemi meccanici tramite modelli LTI continui . . . 816.3 Accenni alluso di Simulink . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87


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Capitolo1Introduzione

Questa dispensa contiene il materiale fornito agli studenti per il laboratoriodel corso di Segnali e Sistemi per ingegneria dellInformazione svolto alluni-versita di Padova nella.a. 2011/2012. Lobiettivo principale del laboratorioe fornire una certa familiarita con lo strumento di calcolo Matlab, il qualee ampiamente usato in contesti ingegneristici e applicativi. Lobbiettivo se-condario, ma non per questo meno importante, e permettere agli studenti diassimilare meglio i concetti fondamentali riguardanti la teoria dei segnali edei sistemi visti a lezione.

Il termine Matlab deriva dallabbreviazione di MATrix LABoratory. Fu

creato alla fine degli anni 70 da Cleve Moler, il presidente del dipartimento discienze informatiche dellUniversita del Nuovo Messico. Egli creo Matlab perdare ai suoi studenti accesso alle librerie linpack e ad eispack senza che essidovessero conoscere il Fortran. Presto si diffuse nelle altre Universita e trovoun grande pubblico tra la comunita dei matematici applicati. Jack Little, uningegnere, conobbe il programma durante una visita a Moler allUniversit adi Stanford nel 1983. Riconoscendo il suo potenziale commerciale, si uncon Moler e Steve Bangert. Essi riscrissero Matlab in C e fondarono la TheMathWorksnel 1984 per continuare il suo sviluppo.

Matlab percio e un ambiente per il calcolo numerico e lanalisi statistica

che comprende anche lomonimo linguaggio di programmazione creato dal-la MathWorks. Questo software funziona su diversi sistemi operativi, tracui Windows, Mac OS, GNU/Linux e Unix. Attualmente in commercio edisponibile la versione R2012a.

Infine e doveroso citare, in alternativa a Matlab, il software gratuito Oc-

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6 CAPITOLO 1. INTRODUZIONE

tave. Il suo vantaggio e che e compatibile quasi completamente con Matlab.


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Capitolo2Funzionalita basilari di Matlab

2.1 Come si presenta Matlab

Quando il programma viene richiamato appare la schermata di Figura 2.1:

Figura 2.1: Schermata di Matlab

7


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8 CAPITOLO 2. FUNZIONALITA BASILARI DI MATLAB

Command Window e la sotto-finestra in cui vengono trasmesse le istru-

zioni desiderate a Matlab WorkSpace visualizza le variabili attualmente create dalle istruzioni

fornite.

La cartella di lavoro e la sotto-finestra che visualizza tutti i file contenutinella cartella in cui ha accesso Matlab.

In Figura 2.2 e mostrata la barra dei pulsanti di Matlab. Il primo tastoserve per creare un file Matlab che chiameremo m-file. Il secondo tasto aprela cartella di lavoro. Il quartultimo apre il sottoprogramma Simulink chevedremo in seguito. Lultimo tasto permettere di accedere alla guida in linea

di Matlab. Affianco e possibile selezionare la cartella di lavoro desiderata.

Figura 2.2: Barra dei pulsanti di Matlab

2.2 Command Window

In questa finestra appare un simbolo di attesta seguito da un cursore

>> _

Per fornire una istruzione a Matlab e sufficiente scrivere listruzione e premereinvio. Se scriviamo unistruzione inesistente, Matlab segnala, attraverso unafrase in rosso, che il comando non esiste.

> > f hs j

? ?? U n de f in e d f u nc t io n o r v a ri a bl e fh sj .

>>

Quando Matlab deve segnalare un errore utilizza sempre il colore rosso, pergli altri messaggi utilizza il nero. I comandi piu semplici e intuitivi riguardanole operazioni di somma, sottrazione, moltiplicazione, divisione ed elevamentoa potenza di numeri reali


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2.2. COMMAND WINDOW 9

> > 6 . 2 +2 - 3 . 02 ^ 2 *3 / 2

ans =

-5.4806

>>

La variabile ans contiene il risultato delloperazione. Per non visualizzarelecho di unistruzione e sufficiente scrivere punto e virgola dopo listruzione

> > 6 . 2 +2 - 3 . 02 ^ 2 *3 / 2 ;

>>

2.2.1 Definizione di oggetti

Definizione di una variabile realea = 3 ;

Definizione di un numero complesso> > z = 7+ i * 9

z =

7 .0 00 0 + 9 .0 0 00 i

>>

Va osservato che i e una variable predefinita come1 e in quanto

tale puo essere sovrascritta. E buona norma percio non sovrascriverei. Nota bene: anche j e considerata ununita immaginaria.

Definizione della variabile stringa s che contiene la parola ciao> > s = ci ao

s =


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ciao

>>

Definizione del vettore rigav =

1 2 3

(2.1)

>> v =[1 2 3]

v =

1 2 3

>>

Definizione del vettore colonna

v =

12

3

(2.2)

> > v = [1 ; 2; 3]

v =

1

2

3

>>

Il punto e virgola serve per indicare la fine di una riga.

Definizione della matrice

A =

1 2 34 5 6

(2.3)


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>> A =[1 2 3; 4 5 6]

A =

1 2 3

4 5 6

>>

Generazione del vettore

v =

5 6 7 8 9 10

(2.4)

i cui elementi sono equispaziati di 1 in maniera crescente

> > v = 5 :1 0

v =

5 6 7 8 9 10

>>

Generazione del vettore

v =

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

(2.5)

i cui elementi sono equispaziati di 0.1 in maniera crescente

> > v = 0 : 0 . 1 :0 . 6

v =

C ol um ns 1 t hr ou gh 4

0 0.100 0 0.200 0 0.300 0



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0. 4000 0. 5000 0. 6000

>>

2.2.2 Operazioni di base sui vettori

Somma tra due vettori

u =

12

, v =

34

(2.6)

> > u = [1 ; 2 ];> > v = [3 ; 4 ];

> > w = u +v

w =

4

6

>>

Calcolo del prodotto interno < u, v >= uTv> > u * v

ans =

11

>>

Prodotto tra i vettori u e v componente per componente> > v .* u

ans =


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3

8

>>

Esiste anche lanalogo per la divisione (./) e lelevamento a potenza (. ).

Trasposizione del vettore u (solo nel caso in cui u e definito nel camporeale)

> > u

an s =

1 2

>>

Selezione dellelemento j-esimo del vettore

v =

3 4 5 6

T

(2.7)

>> v =[ 3; 4; 5; 6 ];> > j = 2;

> > v ( j)

an s =

4

>>

Selezione di una sottosequenza del vettorev =

1.1 2.2 3.3 4.4 5.5 6.6

(2.8)

secondo gli indici di posizione j, k


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> > v = [ 1. 1 2 .2 3 .3 4 .4 5 .5 6 .6 ];

> > j = 2;> > k = 5;

> > v ( j :k )

ans =

2. 2000 3. 3000 4. 4000 5. 5000

>>

Polinomi: in matlab un polinomio e rappresentato da un vettore (ri-ga o colonna). Per creare un polinomio e sufficiente immettere suoicoefficienti in un vettore, che chiameremo p, in ordine decrescente. Peresempio, consideriamo

x5 + 10x4 + 0.6x3 + 12x2 7x + 5 (2.9)

>> p =[1 10 0.6 12 -7 5]

p =


1. 0000 10 .000 0 0. 6000 12 .000 0


-7.0000 5. 0000

>>

2.2.3 Funzioni Matlab

Matlab fornisce molte funzioni allutente. Largomento delle funzioni, sepresente, e compreso tra parentesi tonde.


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Esempio 1. Vogliamo valutare la seguente funzione polinomiale per x = 2

p(x) = x5 7x + 5. (2.10)In questo caso basta utilizzare la funzione polyval con argomenti di ingressoil corrispondente polinomio e il valore 2. Tale funzione restituisce p(2).

> > p = [ 1 0 0 0 - 7 5 ] ;

> > v a lo r e = p o l y va l ( p , 2 )

v al or e =

23

>>

Inoltre non e necessario salvare il valore che restituisce la funzione

> > p = [ 1 0 0 0 - 7 5 ] ;

> > p o l yv a l ( p , 2 )

ans =

23

>>

Per avere informazioni su una funzione Matlab e sufficiente scrivere helpseguito dal nome della funzione

> > h el p p o ly va l

P O L YV A L E v a lu a t e p o l y no m i a l .

Y = P OL YV AL ( P ,X ) r et ur ns t he v al ue of a

p ol yn om ia l P e va lu at ed at X . P is a v ec to r of

l en g th N + 1 w ho se e l em en t s a re t he c o ef f ic i en t s

o f t he p o ly n om i al i n d e sc e nd i ng p ow e rs .

Y = P (1 )* X ^N + P (2 )* X ^( N -1) + ... + P (N )* X

+ P ( N +1 )

If X is a m at ri x o r v ec to r , t he p ol yn om ia l is


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e va lu at ed at all p oi nt s in X . See P OL YV AL M f or

e v al u at i on i n a m at r ix s en se .

[ Y , D EL TA ] = P OL Y VA L ( P ,X , S ) u se s t he o p ti on a l

o ut pu t s t ru c tu r e S c r ea t ed b y P OL Y FI T t o g en e ra t e

p re di ct io n e rr or e st im at es D EL TA . D EL TA i s a n

e s ti m at e o f t he s t an da r d d e vi a ti o n o f t he e rr or

in p re di ct in g a f ut ur e o bs er va ti on at X by P ( X) .

If t he c oe ff ic ie nt s in P a re l ea st s qu ar es

e s ti m at e s c o mp u te d b y P OL YF IT , a nd t he e r ro rs i n

t he d at a i np ut t o P O LY FI T a re i nd ep en de nt ,

n or ma l , w it h c o ns t an t v ar ia nc e , t he n Y + / - D EL TAw il l c on t ai n a t l ea st 5 0\ % o f f ut ur e o b se r va t io n s

at X .

Y = P OL YV AL ( P ,X ,[ ] , MU ) o r [ Y , DE LT A ] =

P OL Y VA L ( P ,X , S , MU ) u se s X HA T = ( X - MU ( 1 )) / M U (2 ) i n

p la ce o f X . T he c en t er i ng a nd s ca l in g p a ra m et e rs

M U a re o p ti o na l o ut p ut c o mp u te d b y P OL Y FI T .

C la ss s u pp o rt f or i np ut s P , X ,S , M U :

f l oa t : d ou bl e , s i ng l e

S ee a l so p ol y fi t , p o l yv a l m .

O v e rl o a d ed m e t ho d s :

g f / p o l y v a l

R e fe r en c e p ag e i n H el p b r ow se r

d oc p o ly v a l

>>

Esempio 2. Vogliamo calcolare le radici del polinomio

x5 7x + 5. (2.11)


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La funzione Matlab che dobbiamo utilizzare e roots. Il parametro dingresso

e il polinomio e il parametro di uscita e un vettore contente le radici delpolinomio.

> > p = [ 1 0 0 0 - 7 5 ] ;

> > r oo ts ( p )

ans =

-1.7704

- 0. 16 18 + 1 . 66 71 i

- 0. 16 18 - 1 . 66 71 i

1.3464

0.7477

>>

Riportiamo alcune funzioni Matlab di interesse.

Funzioni costantiFunzione Descrizione

pi

exp(1) numero di Nepero

eps Precisione di Matlab

Funzioni per numeri realiFunzione Descrizione

round(x) Restituisce lapprossimazione intera del numero reale x

rem(x,y) Restituisce il resto della divisione x y

sign(x) Restituisce il segno di x

sqrt(x) Restituisce la radice quadrata di x

sin(x) Restituisce il seno di x

cos(x) Restituisce il coseno di x

tan(x) Restituisce la tangente di x

asin(x) Restituisce larcoseno di xacos(x) Restituisce larcocoseno di x

atan(x) Restituisce larcotangente di x

log(x) Restituisce il logaritmo di x

log10(x) Restituisce il logaritmo in base dieci di x


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Funzioni per numeri complessiFunzione Descrizione

real(z) Restituisce la parte reale del numero complesso z

imag(z) Restituisce la parte immaginaria del numero complesso z

abs(z) Restituisce il modulo del numero complesso z

phase(z) Restituisce la fase di z

conj(z) Restituisce il complesso coniugato di z

exp(z) Restituisce ez

Funzioni per vettori e matriciFunzione Descrizione

length(v) Restituisce la lunghezza del vettore v

norm(v) Restituisce la norma euclidea di vsum(v) Restituisce la somma degli elementi di v

wrev(v) Restituisce il vettore che ha gli elementi di v invertiti di ordine

min(v) Restituisce il valore e la posizione dellelemento piu piccolo di v

max(v) Restituisce il valore e la posizione dellelemento piu grande di v

zeros(m,1) Genera un vettore di zeri di dimensione m

ones(m,1) Genera un vettore di uno di dimensione m

polyval(p,k) Restituisce il valore p(k) dove p(x) e un polino mio

roots(p) Restituisce le radici del polinomio p(x)

conv(p,q) Restituisce il polinomio risultante dal prodotto dei polinomi p(x), q(x)

2.2.4 Altre istruzioni matlab

Istruzione Descrizione

disp(s) Visualizza loggetto s nel Command Window

clc Pulisce la finestra Command Window

num2str(x) Restituisce la variabile stringa che corrisponde alla variabile reale/complessa x

pause Arresta linserimento di istruzioni nel Command Window, leffetto termina premendo INVIO

% Simbolo per i commenti

2.3 Gestione delle variabili

Ogni variabile definita nel Command Window viene memorizzata nel Work-Space. Listruzione whospermette la visualizzazione delle variabili del Work-Space

> > w ho s


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2.3. GESTIONE DELLE VARIABILI 19

Name Size By tes Clas s A tt r i b u t e s

A 2 x4 64 do ub le

ans 1 x1 8 do ub le

v 1 x7 56 do ub le

>>

Listruzione clear permette la cancellazione di una o tutte le variabili delWorkSpace

> > w ho s


A 2 x4 64 do ub le

ans 1 x1 8 do ub le

v 1 x7 56 do ub le

> > c le ar A

> > w ho s


ans 1 x1 8 do ub le

v 1 x7 56 do ub le

> > c le ar a ll

> > w ho s

>>

Chiudendo Matlab tutte le variabili del WorkSpace vengono perse. Per sal-vare tutte le variabili del WorkSpace si ricorre allistruzione saveseguita dalnome del file su cui verranno salvate

> > s av e r i su l ta t i

>>

dopo questa istruzione Matlab crea il file risultati.mat nella cartella di la-voro. In questa maniera possiamo uscire dallambiente Matlab senza perderei nostri dati. Per ricaricare tutte le variabili salvate nel file .mat si utilizza ilcomando load

> > l oa d r i su l ta t i


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>>

2.4 m-files

Finora abbiamo visto come sia possibile utilizzare Matlab tramite la riga dicomando. Puo succedere pero che si vogliano scrivere veri e propri program-mi, cioe una successione di comandi da eseguire uno dopo laltro in un ordinefissato. In tal caso la successione di comandi deve essere memorizzata in unfile chiamato m-file. Per creare un m-file e sufficiente selezionare il primo ta-sto della barra dei pulsanti di Matlab, Figura 2.2. Si aprira un editor, Figura2.3, dove e possibile scrivere la sequenza di istruzioni. Terminata questa fase

Figura 2.3: Editor per gli m-file.

dobbiamo salvare il lavoro. Supponiamo di chiamarlo prova, allora Matlabcreera un file prova.m nella cartella di lavoro. Infine per eseguire la squenzadi istruzioni salvate in prova.m e sufficiente scrivere il nome del file, senzaestensione, nel Command Window

>>prova

>>

Esempio 3. Vogliamo scrivere il programma es3.m che calcola la media ela deviazione standard del vettore

x =

1 2 3 4T

. (2.12)


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2.4. M-FILES 21

1 % % % % % % % % % % %

2 % es3 . m %

3 % % % % % % % % % % %

4

5 c l ea r a ll % c a nc e ll o i l v ec c hi o W o rk S pa c e

6 clc % p ul is ci l o s ch er mo

7 x =[1 2 3 4] ;

8 m e d i a = s u m ( x ) / l e n g t h ( x ) ;

9 d i f f = x - m e d i a ; % v e tt o re d i ff e re n za

10 d e v _ s t d = s q r t ( s u m ( d i f f . ^ 2 ) / l e n g t h ( x ) ) ;

11 d i s p ( [ M ed ia n u m 2 s t r ( m e d i a ) ] ) % s t a m po r i s ul t a ti

12 d i s p ( [ D e vi a zi o ne s t an d ar d n u m 2 s t r ( d e v _ s t d ) ] )

Eseguendo es3.m otteniamo

M ed ia 2 .5 D e vi a zi o ne s t an da r d 1 .1 18

>>

Esempio 4. Vogliamo creare il programma es4.m che salva i due vettori

u =

4 7 9T

, v =

0 1 3T

(2.13)

nel file dati.mat

1 % % % % % % % % % % %

2 % es4 . m %

3 % % % % % % % % % % %4

5 c l ea r a ll

6 u =[4 7 9] ; % g en er o i v et to ri u , v

7 v = [0 ; 1 ; 3 ];

8 s a ve d a ti % s al vo l e v a ri a bi li d el W o rk S pa c e

Esempio 5. Utilizzando i vettori dellesercizio precedente, calcolare uTv

1 % % % % % % % % % % %

2 % es5 . m %

3 % % % % % % % % % % %

4

5 c l ea r a ll % c a n ce l lo t ut te l e v a ri a bi l i W o rk S pa c e

6 l o ad d a ti % c a ri c o i l v e cc h io W o rk S pa c e

7 u * v


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2.5 Strutture di controllo

Oltre agli operatori aritmetici esistono gli operatori relazionali , ==, =, ~= che corrispondono ai simboli matematici ,=,,,=. Mediantequesti operatori si possono scrivere delle relazioni che possono essere vere ofalse. Il valore vero viene indicato da Matlab con 1, mentre il valore falsoviene indicato con 0.

Struttura if1 if [ c o n d i z i o n e ]

2 [ i s t r u z i o n i ]

3 else

4 [ i s t r u z i o n i ]5 end

Struttura for1 for j = m i n : m a x

2 [ i s t r u z i o n i ]

3 end

Struttura while1 while [ c o n d i z i o n e ]

2 [ i s t r u z i o n i ]3 end

Esempio 6. Scrivere un programma che somma due polinomi p(x), q(x). Te-nere conto del fatto che i due polinomi possono avere grado diverso (e di con-seguenza i corrispondenti vettori possono avere lunghezze diverse). Testareil programma con i seguenti polinomi

p(x) = x3 + 1

q(x) = x2 + 7x 3. (2.14)

1 % % % % % % % % % % %

2 % es6 . m %

3 % % % % % % % % % % %


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2.5. STRUTTURE DI CONTROLLO 23

4

5 c l ea r a ll

6 clc % p u li sc i l o s c he r mo

7 p = [ 1 0 0 1 ] ; % p o li n om i d a s o mm a re

8 q = [2 7 -3 ];

9 if l e n g t h ( p ) < l e n g t h ( q )

10 c o r t o = p ;

11 l u n g o = q ;

12 else

13 c o r t o = q ;

14 l u n g o = p ;

15 end

16 d i f f = l e n g t h ( l u n g o ) - l e n g t h ( c o r t o ) ;17 if diff >0

18 s o mm a = [ z e r os ( 1 , d i f f ) c o rt o ] + l u n go ; % a g gi u ng i z er i a l p o li n om i o

19 % p iu c o rt o

20 else

21 s o m m a = c o r t o + l u n g o ;

22 end

23 d i s p ( P o l i no m i o s o mm a )

24 somma

Esempio 7. Scrivere un programma che stampa i primi dieci numeri interi

che sono il quadrato di un numero intero. Fare in modo che ogni numerovenga stampato dopo che lutente ha digitato INVIO.

1 % % % % % % % % % % %

2 % es7 . m %

3 % % % % % % % % % % %

4

5 c l ea r a ll

6 clc % p u l i sc i f i n es t r a C o m ma n d W i nd o w

7 for n = 1 : 1 0

8 d i s p ( n ^ 2 )

9 pause10 end

Esempio 8. Scrivere lo stesso programma dellEsempio 7 utilizzando il con-trollo while.


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1 % % % % % % % % % % %

2 % es8 . m %

3 % % % % % % % % % % %

4

5 c l ea r a l l

6 clc % p u li s ci f in e st ra C o mm an d W in d ow

7 n = 1 ;

8 while n < = 1 0

9 d i s p ( n ^ 2 )

10 n = n + 1 ;

11 pause

12 end

2.6 Grafici

Matlab fornisce anche funzioni grafiche. Consideriamo un segnale definito suun dominio D R

y = f(t), t D. (2.15)Per disegnare tale segnale su carta:

prendiamo un numero finito di punti t1, . . . tn contenuti in D, equispa-ziati secondo una prescelta quantita T

calcoliamo i corrispondenti y1, . . . yn con yi = f(ti) disegniamo i punti sul piano cartesiano e infine li uniamo secondo un

opportuno criterio.

Detto in maniera piu formale: campioniamo il segnale con passo di campio-namento pari a T e poi lo interpoliamo linearmente. Il concetto e lo stessoper stampare in Matlab tale segnale. Consideriamo il vettore

t = t1 . . . tn T , ti D, (2.16)calcoliamo

y =

f(t1) . . . f (tn)T

. (2.17)

Infine utilizziamo la funzione plot passandole i vettori t e y.


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2.6. GRAFICI 25

Esempio 9. Stampare il segnale

f(t) = sin(25

t 0.1), t [0, 10] (2.18)

con passo di campionamento pari a T = 0.02.

1 % % % % % % % % % % %

2 % es9 . m %

3 % % % % % % % % % % %

4

5 c l ea r a l l

6 T = 0 . 0 2 ; % p a s so d i c a m p io n a m en t o

7 t = 0 : T : 1 0 ; % c rea il v et to re t

8 for j = 1 : l e n g t h ( t ) % cr ea il v et to re y9 y ( j ) = s i n ( 2 * p i / 5 * t ( j ) - 0 . 1 ) ;

10 end

11 p l o t ( t , y )

12 x l a b e l ( t ) % nome asse x

13 y l a b e l ( f ( t ) ) % nome asse y

14 ax is ( [0 10 , -1 1 ]) % a ss i d el g ra fi co

15 g ri d o n % g r ig l ia g r af i co

Eseguendo il programma otteniamo il grafico di Figura 2.4. Matlab oltre allafigura fornisce una serie utility grafiche: salva figura, zoom grafico, esplora

grafico, datatip. Osserviamo che in questo m-fileci sono delle nuove funzionidi Matlab. Nella seguente tabella ne riportiamo la descrizione.

Funzione Descrizione

figure Apre una nuova finestra per stampare grafici

close all Chiude tutte le finestre dei grafici aperte

grid on Mostra la griglia nel grafico

grid off Non mostra la griglia nel grafico (default)

xlabel(s) Chiama lasse x con la variabile stringa s

ylabel(s) Chiama lasse y con la variabile stringa s

legend() Istruzione per la legenda del grafico

title(s) Intitola il grafico usando la variabile stringa saxis([x1 x2,y1 y3]) Imposta gli assi del grafico secondo (x1, x2) e (y1, y2)

hold on Permette di sovrapporre piu grafici nella stessa finestra

hold off Permette di stampare solo un grafico nella finestra (default)

stem Istruzione per stampare segnali a tempo discreto


26/90


Figura 2.4: Grafico dellEsempio 9

Esercizio 1. Consideriamo il segnale dellEsempio 9. Ripetere lesempio conT = 0.8 e T = 2. Commentare i grafici trovati.

Esercizio 2. Stampare il segnale

f(t) = e0.01t sin(0.4t), t

[0, 100]. (2.19)

Scegliere in maniera opportuna il passo di campionamento.

Esempio 10. Stampare su due figure differenti i segnali

f(t) = cos(2t), t [0, 50]g(t) = e0.1t cos(2t) (2.20)

con passo di campionamento pari a T = 0.02.

1 % % % % % % % % % % % %

2 % es10 . m %3 % % % % % % % % % % % %

4

5 c l ea r a ll

6 c l os e a ll % c h iu do t ut te l e f i ni e st r e a pe rt e


27/90

2.6. GRAFICI 27


8 t = 0 : T : 5 0 ; % c rea il v et to re t

9 y = c o s ( 2 * t ) ; % c re a il v et to re per f

10 z = e x p ( - 0 . 1 * t ) . * c o s ( 2 * t ) ; % c rea il v et to re p er g

11 p l o t ( t , y ) % s t am po i l p ri mo g r af ic o


13 y l a b e l ( f ( t ) ) % nome asse y

14 t i t l e ( p r im o g r af i c o ) % t it o lo g r af ic o

15 figure % a pr o u na n uo va f i gu ra

16 p l o t ( t , z , r ) % s t am p o i l s e co n do g ra f ic o


18 y l a b e l ( g ( t ) ) % nome asse y

19 t i t l e ( s e c on d o g r a fi c o ) % t it ol o g r af ic o

In questo caso abbiamo abbiamo utilizzato una scrittura molto piu compattae veloce per creare il vettore y. La funzione cos accetta come parametro diingresso anche un vettore e restituisce il corrispondente vettore y. Vale lastessa cosa per exp e tutte le altre funzioni analoghe di Matlab. Osserviamoche listruzione plot prevede un terzo parametro opzionale per specificare ilcolore del segnale: r,b,c,k,g corrispondono a rosso, blu, ciano, nero, verde.

Esercizio 3. Facendo riferimento allEsempio 10, vedere cosa succede quan-do:

tolgo la riga quindici sostituisco la riga quindici con hold on.


28/90



29/90

Capitolo3Segnali e convoluzioni

3.1 Segnali pari e dispari, segnali complessi

Iniziamo ad applicare le funzionalita di Matlab calcolando la parte pari edispari di un segnale.

Esempio 11. Scrivere un programma che stampa il segnale

f(t) = esin(2t), t [5, 5], (3.1)

la sua parte pari e dispari (il tutto sullo stesso grafico).1 % % % % % % % % % % % %

2 % es11 . m %

3 % % % % % % % % % % % %

4

5 c l ea r a l l

6 c l os e a l l

7 clc


9 t = - 5 : T : 5 ; % c rea il v et to re t

10 y = e x p ( s i n ( 2 * t ) ) ;11 y _ r i b = w r e v ( y ) ; % c re o i l v et to re p er l a f un zi on e

12 % r i b al t a ta

13 y _ p a r i = 0 . 5 * ( y + y _ r i b ) ; % v e tt o re p ar te p ar i

14 y _ d i s p = 0 . 5 * ( y - y _ r i b ) ; % v e t t or e p a rt e d i s pa r i

29


30/90

30 CAPITOLO 3. SEGNALI E CONVOLUZIONI

15 p l o t ( t , y ) % g ra f ic i

16 h ol d o n

17 plot(t ,y_pari , r )

18 plot(t ,y_disp , g )

19 x l a b e l ( t )

20 l e g e n d ( f ( t ) , p ar te p ar i , p a rt e d i s pa r i ) % l e g e n d a

21 g ri d o n

In Figura 3.1 e mostrato il grafico che stampa Matlab.

5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 51.5

1

0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

t

f(t)

parte pari

parte dispari


Esercizio 4. Stampare la parte reale e immaginaria del segnale complesso

f(t) = ej2ft, t [0, 0.5] (3.2)

con f = 0.1.

3.2 Area ed energia di un segnaleIn questa sezione vediamo come calcolare larea e lenergia (e quindi ancheil valore medio e la potenza) di un dato segnale. Iniziamo con i segnali atempo continuo.


31/90

3.2. AREA ED ENERGIA DI UN SEGNALE 31

Esempio 12. Scrivere un programma che stampa il segnale

f(t) = sinc(t), t R (3.3)e ne calcola larea.

Chiaramente possiamo solo stampare il segnale su un sotto-intervallo limi-tato di R, per esempio su [M, M] con M sufficientemente grande. ScegliamoM = 1000 e T = 0.02. Sapendo che

sinc(t)dt esiste, e lecito considerarela seguente approssimazione

sinc(t)dt MT

k=

MT

Tsinc(kT), (k Z). (3.4)

Infine utilizziamo la funzione sinc di Matlab.

1 % % % % % % % % % % % %

2 % es12 . m %

3 % % % % % % % % % % % %

4

5 c l ea r a l l

6 c l os e a l l

7 clc


9 M = 1 0 0 0 ;10 t = - M : T : M ; % c rea il v et to re t

11 y = s i n c ( t ) ;

12 p l o t ( t , y ) % s t a m pa g r a fi c o

13 x l a b e l ( t )

14 y l a b e l ( f ( t ) )

15 g ri d o n

16 a r e a = T * s u m ( y ) ; % c a l c o la a r ea

17 disp([ Ar ea d el s in c : n u m 2 s t r ( a r e a ) ] )

Esercizio 5. Consideriamo il segnale dellEsempio 12. Calcolare il valoremedio lenergia e la potenza di f.

Esempio 13. Scrivere un programma che stampa il segnale periodico (su unperiodo)

f(t) = sin3(t), t R (3.5)


32/90


e ne calcola lenergia.

La periodicita del segnale e Tp = 2. Sapendo che20 |f(t)|

2

dt esiste ede finito, per calcolare lenergia e lecita lapprossimazione

Tp0

|f(t)|2dt Tp

T

k=0

T|f(kT)|2, k Z (3.6)

dove T e il passo di campionamento.

1 % % % % % % % % % % % %

2 % es13 . m %

3 % % % % % % % % % % % %

4

5 c l ea r a ll

6 c l os e a ll

7 clc


9 T p = 2 * p i ; %periodicita

10 t = 0 : T : T p ; % cr ea il v et to re t

11 y = s i n ( t ) . ^ 3 ;

12 p l o t ( t , y ) % s t a m pa g r a fi c o

13 x l a b e l ( t )

14

y l a b e l ( f ( t ) )15 g ri d o n

16 E = T * s u m ( y . ^ 2 ) ; % c a l c ol a e n e rg i a

17 d i s p ( [ E n er g ia d el la f u nz i on e : n u m 2 s t r ( E ) ] )

Esercizio 6. Consideriamo il segnale dellEsempio 13. Calcolare larea, ilvalore medio e la potenza di f(t).

Ora prendiamo in considerazione i segnali a tempo discreto.

Esempio 14. Scrivere un programma che stampa il segnale a dominio di-

scretof(nT) = e0.02nT sin(nT), n 0 (3.7)

con T = 1 e ne calcola lenergia.


33/90

3.2. AREA ED ENERGIA DI UN SEGNALE 33

1 % % % % % % % % % % % %

2 % es14 . m %

3 % % % % % % % % % % % %

4

5 c l ea r a l l

6 c l os e a l l

7 clc

8 T = 1 ; % p a s so d i c a m p io n a m en t o

9 M = 2 0 0 ;

10 n = 0 : M ; % c re a il v et to re n

11 y = e x p ( - 0 . 0 2 * n * T ) . * s i n ( n * T ) ;

12 s t e m ( n , y ) % s t a m pa g r a fi c o

13 x l a b e l ( n )14 y l a b e l ( f ( n T ) )

15 E = T * s u m ( y . ^ 2 ) ; % c a l c ol a e n er g i a

16 disp([ E n er gi a d el s eg n al e : n u m 2 s t r ( E ) ] )

Esercizio 7. Consideriamo il segnale dellEsempio 14. Calcolare larea, ilvalore medio e la potenza di f.

Esempio 15. Consideriamo il segnale periodico a dominio discreto

f(nT) = sin2nT

Tp

, n Z

(3.8)

con T = 0.05 e TP = 2. Stampare f su un periodo e calcolarne larea.

1 % % % % % % % % % % % %

2 % es15 . m %

3 % % % % % % % % % % % %

4

5 c l ea r a l l

6 c l os e a l l

7 clc

8 T = 0 . 0 5 ; % p a s so d i c a m p io n a m en t o9 T p = 2 ; %periodicita

10 n = 0 : T p / T ; % c rea il v et to re n

11 y = s i n ( 2 * p i * n * T / T p ) ;

12 s t e m ( n , y ) % s t a m pa g r a fi c o


34/90


13 x l a b e l ( n )

14 y l a b e l ( f ( n T ) )

15 A = T * s u m ( y ) ; % c a lc o lo a re a

16 d i s p ( [ Ar ea d el s eg na le : n u m 2 s t r ( A ) ] )

In Figura 3.2 e mostrato il grafico che stampa Matlab.

0 5 10 15 20 25 30 35 401

0.8

0.6

0.4

0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

n

f(nT)


Esercizio 8. Consideriamo il segnale dellEsempio 15. Calcolare lenergia di

f.

3.3 Convoluzione

In questa sezione introduciamo il calcolo di convoluzioni con Matlab. Persemplicita desposizione, considereremo per primo il caso di segnali discretia supporto limitato.

Consideriamo due segnali a(n) e b(n). Sappiamo dalla teoria che la loroconvoluzione e definita come

a b(n) =

k=b(n k)a(k). (3.9)

Il codice seguente illustra luso del comando conv per il calcolo della convo-luzione. I grafici prodotti, riportati in Figura 3.3 e Figura 3.4, ne illustranoil meccanismo. Il risultato e illustrato in Figura 3.5.


35/90

3.3. CONVOLUZIONE 35

1 % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % %

2 % % C o nv o lu z io n e d i s eg n al i d i sc r et i a s u pp o rt o l i mi t at o % %

3 % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % %

4

5 c l os e a ll % c h iu de l e f i ne s tr e f ig u ra a pe rt e

6 clc % p u li s ce l a c om m an d w in do w

7

8 % Segn ali a e b

9 a = [1 2 -1 3];

10 x _a = 0 :3 ;

11

12 b = [ -1 3 -5];

13 x _b = 0 :2 ;14

15 % S eg n al e o t te n ut o r i ba l ta n do b

16 b _m en o = f l ip lr ( b ) ;

17 x _ b_ m en o = - f li pl r ( x _b ) ;

18

19 % % G r af ic i d ei s eg n al i d i i n te r es s e

20 f i gu r e , t i t l e ( S eg n al i d i i n te r es s e )

21 s u b p l o t ( 1 3 1 )

22 s t e m ( x _ a , a , L i n e W i d t h ,2 )

23 a xi s ([ -4 6 -5 3 ])

24 l e g e n d ( a ( n ) )

25 g ri d o n ;

26

27 s u b p l o t ( 1 3 2 )

28 s t e m ( x _ b , b , L i n e W i d t h ,2 )

29 a xi s ([ -4 6 -5 3 ])

30 l e g e n d ( b ( n ) )

31 g ri d o n ;

32

33 s u b p l o t ( 1 3 3 )

34 stem( x_b_meno ,b_meno , r , L i n e W i d t h ,2)35 a xi s ([ -4 6 -5 3 ])

36 l e g e n d ( b _ { - } ( n ) )

37 g ri d o n ;

38


36/90


39 % % R a p p re s e n t az i o n e g r a fi c a d e ll a c o n v ol u z i on e

40 f i g ur e , t i t l e ( C o n v o lu z i o ne a * b )

41 n_c = l en gt h (a ) + l en gt h( b) -1 ;

42

43 c = c on v (a , b );

44

45 for i = 0: n_c - 1

46 s u b p l o t ( 3 , 2 , i + 1 )

47 s t e m ( x _ a , a , L i n e W i d t h ,2 )

48 h ol d o n

49 s t em ( x _ b _ m e no + i , b _ me no , r , L i n e W i d t h ,2)

50 a xi s ([ -4 6 -5 3 ])

51 s e t ( g c a , Y T i c k ,-4:3)52 t i t l e ( [ c ( , n u m 2 s t r ( i ) , ) = , n u m 2 s t r ( c ( i + 1 ) ) ] )

53 g ri d o n ;

54 end

55

56 % % G ra fi co d el la c on vo lu zi on e c = a * b

57 figure

58 s t e m ( c , b , L i n e W i d t h ,2)

59 t i t l e ( c ( n ) )

60 g ri d o n ;

Consideriamo ora un esempio di convoluzione tra segnali continui. Sianodati i segnali rettangolari f(t) e g(t) definiti come

f(t) = Afrect

t tf

Df

,

g(t) = Agrect

t tg

Dg

.

La convoluzione per segnali continui e definita come

f g(t) :=

f(t )g() d.

Nel caso di interesse, lintegrale esiste. Quindi, scegliendo un periodo dicampionamento T sufficientemente piccolo, possiamo scrivere

f g(t) =

f(t )g() d T

k=

f(t kT)g(kT).


37/90


Figura 3.3: Segnali convolvendi a(n) e b(n) (in blu) e versione ribaltata dib(n) (in rosso)

Figura 3.4: Calcolo della convoluzione c(n) := a b(n)


38/90


Figura 3.5: Calcolo della convoluzione c(n) := a b(n)

Questa approssimazione ci permette di ricondurci al caso discreto, nel qualepossiamo ricorrere al comando conv di Matlab.

1 % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % %

2 % % C o nv o lu z io n e d i s eg n al i c o nt i nu i a s up p or to l i mi t at o % %

3 % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % %

4

5 % C a lc o li a mo c on M at la b u na v er s io ne a p pr o ss i ma t a d el la

6 % c o nv o lu z io n e d ei s eg n al i c o nt i nu i

7

8 % f (t ) = A _f * r ec t (( t - t_ f )/ D _f )

9 % g (t ) = A _g * r ec t (( t - t_ g )/ D _g )

10

11 % % S e gn a li d i i n te r es s e

12

13 clc

14 c l os e a l l

15

16 % P a ra m et r i c he d e fi n is c on o i s e gn a li

17

18 A_f = 1;

19 A_g = 1;

20

21 t_f = 2;


39/90


22 t _ g = 3 ;

23

24 D _ f = 5 ;

25 D _ g = 1 ;

26

27 % A p p r os s i m a zi o n e d i s cr e t a

28 T = 0 .0 01 ;

29 x = -5: T :5 ;

30

31 f = z er os ( s i ze ( x ) );

32 f _ i n i z i o = f i n d ( x = = t _ f - 0 . 5 * D _ f ) ;

33 f _f in e = f in d (x == t _f + 0. 5* D _f ) ;

34 f ( f _ i n i z i o : f _ f i n e ) = D _ f ;35

36 g = z er os ( s i ze ( x ) );

37 g _ i n i z i o = f i n d ( x = = t _ g - 0 . 5 * D _ g ) ;

38 g _f in e = f in d (x == t _g + 0. 5* D _g ) ;

39 g ( g _ in i zi o : g _ fi n e ) = D _g ;

40

41 g _m en o = f l ip lr ( g ) ;

42 x _ g_ m en o = - f l ip lr ( x ) ;

43

44 % % G r af ic i

45 s u b p l o t ( 1 3 1 )

46 p l o t ( x , f , L i n e W i d t h ,2);

47 l e g e n d ( f )

48 g ri d o n

49

50 s u b p l o t ( 1 3 2 )

51 p l o t ( x , g , L i n e W i d t h ,2);

52 l e g e n d ( g )

53 g ri d o n

54

55 s u b p l o t ( 1 3 3 )56 plot( x_g_meno ,g_meno , r , L i n e W i d t h ,2);

57 l e g e n d ( g _ { - } )

58 g ri d o n

59


40/90


Figura 3.6: Segnali convolvendi f(t) e g(t) (in blu) e versione ribaltata dig(t) (in rosso)

Figura 3.7: Grafico di f g(t) per Af = Ag = tf = tg = 1

60 % % C o n v ol u z i on e ( a p p r o s s im a z i o ne d i s cr e t a )

61 % A t te n zi o ne a m o lt i pl i ca r e p er i l p as so d i c a mp i on a me n to

62 c o nv _ fg = T * c on v (f , g );

63 x _c on v = - 10 : T :1 0;

64 figure , plot( x_conv ,conv_fg , b , L i n e W i d t h ,2)

65 l e g e n d ( c o n v ( f , g ) )

66 g ri d o n

In Figura 3.6 e Figura 3.7 sono riportati rispettivamente i segnali f(t) e g(t)e la loro convoluzione, nel caso Af = Ag = Df = Dg = 1.

Prendiamo ora in considerazione la risposta y di un sistema lineare (tempo


41/90


invariante) ad un ingresso generico x. Dalla teoria sappiamo che y e la

convoluzione tra risposta impulsiva h e lingresso x.Esempio 16. Consideriamo un filtro lineare, causale con risposta impulsiva

h(t) = et + et, t 0. (3.10)Supponiamo di alimentare il filtro con un gradino unitario x allistante ze-ro. Stampare la risposta impulsiva e la risposta y al gradino unitario per iseguenti valori di :

= 0.4 + j0.6 = j0.6

= 0.04 + j0.6. (3.11)

Guardando le risposte impulsive e le corrispondenti risposte al gradino, di-scutere la stabilita dei sistemi.

Sappiamo che

y(t) =

h(t )x()d =t0

h(t )x()d. (3.12)

Sotto ipotesi simili a quelle dellEsempio 12, fissando un T sufficientementepiccolo abbiamo la seguente approssimazione

y(t) T tT

k=0

h(t kT)x(kT). (3.13)

In altre parole possiamo approssimare y come il risultato di una convoluzionediscreta. In Matlab la funzione di convoluzione discreta e conv(x,h).

1 % % % % % % % % % % % %

2 % es16 . m %

3 % % % % % % % % % % % %

4

5 c l ea r a ll6 c l os e a ll

7 clc

8 T = 0 . 0 0 1 ;

9 a l p h a = - 0 . 4 + j * 0 . 6 ;


42/90


10 % a l ph a = j * 0 . 6;

11 % a l ph a = 0 . 0 4+ j * 0 .6 ;

12 t = 0 : T : 3 0 ;

13 h = e x p ( a l p h a * t ) + e x p ( c o n j ( a l p h a ) * t ) ;

14 p l o t ( t , h ) % s ta mp a r i sp o st a i m pu l si v a

15 t i t l e ( r i s p os t a i m p ul s i va )

16 x = o n e s ( 1 , l e n g t h ( t ) ) ; % i n g r e s s o

17 y = T * c o n v ( x , h ) ; % u s ci ta d el f il tr o

18 y = [ y ( 1 : l e n g t h ( t ) ) ] ; % r i a g g i u s ta m e n t o d el v e t to r e

19 figure

20 p l o t ( t , y )

21 t i t l e ( u sc it a d el f il t ro )

Nella Figura 3.8 sono mostrate le risposte al gradino per i diversi . La va-lutazione e i commenti riguardanti la stabilita vengono lasciati allo studente.

0 5 10 15 20 25 3015

10

5

0

5

10

uscita del filtro

=0.4+i0.6

=i0.6

=0.04+i0.6

Figura 3.8: Risposte al gradino unitario del filtro dellEsempio 16

Esercizio 9. Consideriamo un filtro lineare, causale con risposta impulsiva

h(t) = e1t + e1t + e2t + e2t, t 0. (3.14)

Supponiamo di alimentare il filtro con un gradino unitario x allistante ze-ro. Calcolare la risposta impulsiva e la risposta y al gradino unitario per i


43/90


seguenti valori di 1 e 2:

1 = 0.4 + j0.6, 2 = 0.4 + j0.61 = 0.4 + j0.6, 2 = j0.61 = 0.4 + j0.6, 2 = 0.04 + j0.61 = j0.6, 2 = j0.6

1 = j0.6, 2 = 0.04 + j0.6

1 = 0.04 + j0.6, 2 = 0.04 + j0.6. (3.15)


Esempio 17. Consideriamo un filtro lineare discreto, causale con rispostaimpulsiva

h(n) = n + n, n 0. (3.16)Supponiamo di alimentare il filtro con un gradino unitario discreto x alli-stante zero. Calcolare la risposta impulsiva e la risposta y al gradino x per iseguenti valori di :

= 0.8 + j0.4

= 0.8 + j0.6

= 0.8 + j0.63. (3.17)

Guardando le risposte impulsive e le corrispondenti risposte al gradino, di-scutere la stabilita dei sistemi.Sappiamo che

y(n) =

k=

h(n k)x(k) =n

k=0

h(n k)x(k). (3.18)

Anche in questo caso utilizziamo la funzione conv.

1 % % % % % % % % % % % %

2 % es17 . m %3 % % % % % % % % % % % %

4

5 c l ea r a ll

6 c l os e a ll


44/90


7 clc

8 a l p h a = 0 . 8 + j * 0 . 4 ;

9 % a l ph a = 0 . 8 + j * 0 .6 ;

10 % a l ph a = 0 . 8 + j * 0 . 63 ;

11 n = 0 : 1 : 8 0 ;

12 h = a l p h a . ^ n + c o n j ( a l p h a ) . ^ n ;

13 % s te m (t , h ) % s ta mp a r i sp o st a i m pu l si va

14 % t i tl e ( r i s p o st a i m pu l si v a )

15 x = o n e s ( 1 , l e n g t h ( n ) ) ; % i n g r e s s o

16 y = c o n v ( x , h ) ; % u s ci ta d el f il t ro

17 y = [ y ( 1 : l e n g t h ( n ) ) ] ; % r i a g g i u s ta m e n t o d el v e t to r e

18 % f ig ur e

19 s t e m ( n , y )20 t i t l e ( u sc it a d el f il t ro )

Nella Figura 3.9 sono mostrate le risposte al gradino per i diversi . La va-lutazione e i commenti riguardanti la stabilita vengono lasciati allo studente.

0 10 20 30 40 50 60 70 8010

5

0

5

10

15

uscita del filtro

=0.8+i0.4

=0.8+i06

=0.8+i0.63

Figura 3.9: Risposte al gradino unitario del filtro dellEsempio 17

Esercizio 10. Consideriamo un filtro lineare discreto, causale con rispostaimpulsiva

h(n) = n1 + 1n + n2 + 2

n, n 0. (3.19)


45/90


Supponiamo di alimentare il filtro con un gradino unitario discreto x alli-

stante zero. Calcolare la risposta impulsiva e la risposta y al gradino x per iseguenti valori di 1 e 2:

1 = 0.8 + j0.4, 2 = 0.8 + j0.4

1 = 0.8 + j0.4, 2 = 0.8 + j0.6

1 = 0.8 + j0.4, 2 = 0.8 + j0.63

1 = 0.8 + j0.6, 2 = 0.8 + j0.6

1 = 0.8 + j0.6, 2 = 0.8 + j0.63

1 = 0.8 + j0.63, 2 = 0.8 + j0.63. (3.20)



46/90



47/90

Capitolo4Analisi di Fourier

In questo capitolo affrontiamo il problema del calcolo delle serie e delletrasformate di Fourier in Matlab.

4.1 Serie di Fourier

In questa sezione parleremo della serie di Fourier. Dato un segnale periodicox(t) di periodo Tp a energia finita sul periodo, possiamo sempre esprimerlocome

x(t) =

k=

akej2kFt

(4.1)

dove

ak =1

Tp

Tp0

x(t)ej2kFtdt, F =1

Tp. (4.2)

Esempio 18. Considerare lo sviluppo in serie di Fourier di unonda quadra

x(t) = A0repTprect

t

dTp

(4.3)

con duty cycle d = 0.3, periodo Tp = 2 e ampiezza A0 = 7. Illustrare leffetto

Gibbs troncando lo sviluppo a N = 10, 30, 50 armoniche.In questo caso e facile vedere che

ak = A0dsinc(kd). (4.4)

47


48/90

48 CAPITOLO 4. ANALISI DI FOURIER

1 % % % % % % % % % % % %

2 % es18 . m %

3 % % % % % % % % % % % %

4

5 % S er ie d i F ou r ie r t r on c at a d el s e gn al e

6 % x (t ) = r ep _T p A0 r ec t (t /( d Tp ) )

7

8 c l os e a l l

9

10 T p = 2 ; % T em po d i c a mp i on a me n to

11 d = 0 . 3 ; % D ut y c yc le

12 A 0 = 7 ; % A m pi e zz a d el s e gn al e r ec t

13

14 % N um er o d i a r mo n ic h e c o ns i de r at e n el t r on c am e nt o

15 N = 1 0 ;

16 % N = 30 ;

17 % N = 50 ;

18

19 % c a lc o lo d ei c o ef f ic i en t i d i F ou r ie r

20 a 0 = A 0 * d * s i n c ( 0 ) ;

21 for k = 1 : N

22 a _ p i u ( k ) = A 0 * d * s i n c ( k * d ) ; % a_n per n >0

23 a _ m e n o ( k ) = A 0 * d * s i n c ( - k * d ) ; % a_n per n


49/90

4.1. SERIE DI FOURIER 49

0 0.5 1 1.5 2 2.5 31

0

1

2

3

4

5

6

7

8

N=10

N=30

N=50

Figura 4.1: Serie di Fourier troncate dellEsempio 18

Esempio 19. Consideriamo la serie di Fourier

x(t) = 2k=1

(1)k1 1k

sin(kt), t R. (4.5)

Stampare la corrispondente serie di Fourier troncata per N = 10, 30, 50.

1 % % % % % % % % % % % %

2 % es19 . m %

3 % % % % % % % % % % % %

4

5 c l ea r a ll

6 c l os e a ll

7 N = 1 0 ;

8 % N = 30 ;

9 % N = 50 ;

10 % c a lc o lo d el la s er ie d i F ou r ie r

11 t = 0 : 0 . 0 1 : 2 0 ;

12 x = z e r o s ( 1 , l e n g t h ( t ) ) ;13 for k = 1 : N

14 x = x + 2 * ( - 1 ) ^ ( k - 1 ) / k * s i n ( k * t ) ;

15 end

16 % s t a m pa s e g na l e


50/90


17 p l o t ( t , x )

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 204

3

2

1

0

1

2

3

4

N=10

N=30

N=50

Figura 4.2: Serie di Fourier troncate dellEsempio 19

In Figura 4.2 sono mostrate le corrispondenti serie troncate.

Esercizio 11. Consideriamo il segnale, periodico di periodo Tp = 2, cosdefinito per t [0, 2):

x(t) =

2(1 t), 0 t < 12, 1 t < 2. (4.6)

Stampare la corrispondente serie di Fourier troncata per N = 10, 30, 50.

Svolgimento.

1 % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % %

2 % ex11 . m %

3 % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % %

4

5 c l os e a l l

6

7 T p = 2 ; % P e ri od o d el s eg n al e

8 T = 0.01; % D i s c re t i z z az i o n e


51/90

4.1. SERIE DI FOURIER 51

9 t = 0: T: Tp ;

10 % s eg n al e

11 s t = z e ro s ( 1 , l e n gt h ( t ) ) ;

12 for i = 1 : le ng th ( t )

13 if ( t( i) < 1)

14 s t (i ) = 2 *( 1 - t ( i )) ;

15 else

16 s t ( i ) = 2 ;

17 end

18 end

19 f i g u r e ;

20 p l o t ( t , s t , L i n e W i d t h ,2);

21 t i t l e ( S e gn a le o r ig i na l e s u u n p e ri o do )22 g ri d o n ;

23 a xi s ([ 0 2 -1 3 ]) ;

24

25 % % S er ie di F ou ri er

26 % N = 1 0 ;

27 N = 3 0 ;

28 % N = 5 0 ;

29 sk = ze ros (1 , N);

30 s k_ = z er os ( 1 , N );

31 q = 1 : N ;

32 for k = 1 : l en gt h ( t )

33 s k = s k + T * 1/ T p * st ( k )* e x p ( -1 i * 2* p i * q* t ( k )/ T p );

34 s k_ = s k_ + T * 1/ T p * st ( k )* e xp ( 1 i * 2* p i * q* t ( k )/ T p );

35 end

36 f i g u r e ;

37 s t e m ( 1 : N , s k , r , L i n e W i d t h ,2);

38 g ri d o n ;

39 t i t l e ( C o ef f ic i en t i d el la s er ie d i F ou r ie r )

40

41 % % R i co s tr u zi o ne d el s e gn a le m ed i an te l a s er ie t r on c at a

42 x = T * 1 / 2* s u m ( s t ) * o n es ( 1 , l e n g th ( t ) ) ;43 for k = 1 : N

44 x = x + s k (k ) * ex p (1 i * 2* p i * q (k ) * t /2 ) +. . .

45 s k _ ( k ) * e x p ( - 1 i * 2 * p i * q ( k ) * t / 2 ) ;

46 end


52/90


47 f i g u r e ;

48 p l o t ( t , s t , - - , L i n e W i d t h ,2 )

49 h ol d o n

50 p l o t ( t , x , L i n e W i d t h ,2);

51 g ri d o n ;

52 l e g e n d ( S e g na l e o r i gi n a le ,...

53 [ S e g n al e r i co s tr u it o , N = , n u m 2 s t r ( N ) ] )

54 a xi s ([ 0 2 -1 3 ]) ;

Esercizio 11 Bis. Consideriamo la serie di Fourier

x(t) =

k=ake

jkt (4.7)

dove

ak =

0, k, pari 2

k2, k dispari.

. (4.8)

Stampare la corrispondente serie di Fouriertroncata per N = 1, 2, 3, 10, 30.

4.2 Trasformata di Fourier per segnali a tem-

po continuo

Dato un segnale x(t) a tempo continuo, la corrispondente trasformata di

Fourier e definita come

X(f) =

x(t)ej2ftdt, f R (4.9)

Se il precedente integrale esiste ed e finito, allora e lecita la seguente appros-simazione

X(f) TMT

k=MT

x(kT)ej2kfT, f R, (4.10)

dove T e il passo di campionamento e M e un numero sufficientemente eleva-to. Inoltre per rappresentare X(f) dobbiamo anche campionare la frequenza,per cui otteniamo

X(nF) TMT

k=MT

x(kT)ej2knFT, n Z (4.11)


53/90


54/90


16 l e g e n d ( s _ 1 ( t )= 3 s i n c ( t ) )

17 g ri d o n

18 % % T r as l az i on e i n f r eq u en z a

19 f = - N: F: N;

20 S _1 = z e ro s ( 1 , l e n gt h ( f ) ) ;

21 for i = 1 : l e n g t h ( f )

22 S _1 ( i) = T * s _1 * e xp ( -1 i *2 * pi * f( i )* t ). ;

23 end

24 f i g ur e , p l o t ( f , r e a l ( S _ 1 ) , L i n e W i d t h ,2 )

25 g ri d o n

26 h ol d o n

27

28 pause29

30 % s e gn al e m o lt i pl i ca t o n el t em po p er u n e s po n en z ia l e c o mp l es

31 f_0 = 2;

32 s _ 1_ e = s _ 1 .* e x p ( 1 i * 2* p i * f _ 0 * t ) ;

33 S _ 1_ t = z e ro s ( 1 , l e n gt h ( f ) ) ;

34 for i = 1 : l e n g t h ( f )

35 S _1 _t ( i ) = T * s _1 _e * e xp ( - 1 i *2 * pi * f ( i )* t ) . ;

36 end

37 p l o t ( f , r e a l ( S _ 1 _ t ) , r -. , L i n e W i d t h ,2)

38 l e g e n d ( S _ 1 ( f ) , S _ 1 ( f - f _ 0 ) )

39

40 pause

41

42 % M o d u la z i on e

43 s _ 1 _c o s = s _1 . * c o s ( 2 * p i * f _0 * t ) ;

44 S _ 1 _m o d = z e ro s ( 1 , l e n gt h ( f ) ) ;

45 for i = 1 : l e n g t h ( f )

46 S _1 _ mo d ( i ) = T * s _1 _ co s * e xp ( - 1 i *2 * pi * f ( i )* t ) . ;

47 end

48 p l o t ( f , r e a l ( S _ 1 _ m o d ) , k - - , L i n e W i d t h ,2)

49 l e g e n d ( S _ 1 ( f ) , S _ 1 ( f - f _ 0 ) , M o du l az i on e i n c os e no )50

51 % % A re a d el s eg na le

52

53 % s _1 = 3* s in c (t )


55/90

4.2. TRASFORMATA DI FOURIER PER SEGNALI A TEMPO CONTINUO55

54

55 % c al c ol o a p pr o ss i ma t o d el l a r ea :

56 A r e a _ ap p r o ss i m a t a = T * s u m ( s _1 )

57

58 % D al la t eo ri a s ap pi am o c he

59 % s ( t) = 3 s in c (t ) - -> S ( f )= 3 re ct ( f )

60

61 S _ 0 = 3

62

63 % % C o nv o lu z io n e n el t em po

64

65 % s eg na le s _2

66 s _2 = z e ro s ( l e n g th ( t ) , 1) ;67 s _ 2 ( M / T + 1 : M / T + 5 / T ) = 1 ;

68 s _ 2 ( M / T + 2 / T : M / T + 5 / T ) = 0 . 5 ;

69 % s eg na le s _2

70 s _3 = z e ro s ( l e n g th ( t ) , 1) ;

71 s _ 3 ( M / T - 1 / T : M / T + 3 / T ) = 0 . 7 5 ;

72

73 figure

74 p l o t ( t , s _ 2 , b , L i n e W i d t h ,2)

75 h ol d o n

76 p l o t ( t , s _ 3 , r , L i n e W i d t h ,2)

77 g ri d o n

78 l e g e n d ( s _ 2 , s _ 3 )

79 % T r as f or m at a d i F ou r ie r d i c on v ( s_ 2 , s _3 )

80 s 2 _ co n v _ s3 = T * c o nv ( s _2 , s _ 3 ) ;

81 s 2 _ c on v _ s 3_ r e d = s 2 _ co n v _ s3 ( ( l e n g t h ( s 1 _ c o nv _ s 2 ) - 1 ) /2 - M / T : . ..

82 ( l e n g t h ( s 1 _ c o n v _ s 2 ) - 1 ) / 2 + M / T ) ;

83 plot(t,s2_conv_s3_red , k - - , L i n e W i d t h ,2)

84 l e g e n d ( s _ 2 , s _ 3 , c o n v ( s _ 2 , s _ 3 ) )

85

86 % T ra sf or ma ta di F ou ri er di s _2

87 S _2 = z e ro s ( 1 , l e n gt h ( f ) ) ;88 for i = 1 : l e n g t h ( f )

89 S _2 ( i) = T * e xp ( -1 i *2 * pi * f( i )* t ) * s _2 ;

90 end

91 % T ra sf or ma ta di F ou ri er di s _2


56/90


92 S _3 = z e ro s ( 1 , l e n gt h ( f ) ) ;

93 for i = 1 : l e n g t h ( f )

94 S _3 ( i) = T * e xp ( -1 i *2 * pi * f( i )* t ) * s _3 ;

95 end

96

97

98 % T r as f or m at a d i F o ur ie r d i c on v ( s_ 1 , s _2 )

99 S _ co n v = z e ro s ( 1 , l e n gt h ( f ) ) ;

100 for i = 1 : l e n g t h ( f )

101 S _c on v ( i ) = T * e xp ( - 1 i *2 * pi * f ( i )* t ) * s 2 _c o nv _ s3 _ re d ;

102 end

103

104 figure105 p l o t ( f , r e a l ( S _ 2 . * S _ 3 ) , b -- , L i n e W i d t h ,2)

106 h ol d o n

107 p l o t ( f , r e a l ( S _ c o n v ) , r -. , L i n e W i d t h ,2)

108 l e g e n d ( S _ 2 ( f ) S _ 3 ( f ) , T F ( c o n v ( s _ 2 , s _ 3 ) ) )

109 g ri d o n

Esempio 20. Stampare la trasformata di Fourier del segnale

x(t) = sinc (2t) , t R. (4.12)

1 % % % % % % % % % % % %

2 % es20 . m %

3 % % % % % % % % % % % %

4

5 c l os e a l l

6

7 T = 0.05; % p as so di c am pi on am en to d i x

8 M = 1 0 0 ;

9 t = - M: T: M; % i n te r va l lo t e mp o ra l e [ - M ,M ]

10 F = 0.05; % p as so di c am pi on am en to d i X11 N = 5;

12 f = - N: F: N; % i n te r va l lo f r eq u en z ia l e [ - N ,N ]

13

14 % s e gn al e


57/90

4.3. TRASFORMATA DI FOURIER PER SEGNALI A TEMPO DISCRETO57

15 x = s in c (2 * t);

16 % s t am pa s e gn a le

17 f ig ur e , p l ot ( t , x ) , t i tl e ( S e g na l e x ( t ) )

18

19 % t r a s f o rm a t a d i F o u ri e r

20 X = z e r o s ( 1 , l e n g t h ( f ) ) ;

21 for k = 1 : l e n g t h ( t )

22 X = X + T * x ( k ) * e x p ( - 1 i * 2 * p i * f * t ( k ) ) ;

23 end

24

25 % s t a m pa t r a s fo r m at a

26 p l o t ( f , r e a l ( X ) , r ) , t i t l e ( T r a s f or m a t a X ( f ) )

27 a xi s ( [ - 1. 5 1 .5 - 0. 1 0 .6 ])28 g ri d o n

Esercizio 12. Ripetere lEsempio 20 con F = 0.01 ed F = 0.1. Qualefenomeno e possibile osservare?

Esercizio 13. Stampare la trasformata di Fourier del segnale

x(t) = e2|t|, t R. (4.13)

Esercizio 13 Bis. Stampare il modulo della trasformata di Fourier per10 2f 10 dei seguenti segnali

x1(t) = e0.5|t|, t R (4.14)

x2(t) = cos(7t)e0.5|t|, t R. (4.15)

Come si differenziano le due trasformate?

4.3 Trasformata di Fourier per segnali a tem-

po discretoConsideriamo un segnale a tempo discreto

x(nT), n Z. (4.16)


58/90


La corrispondente trasformata di Fourier e

X(f) =

n=

T x(nT)ej2fnT MT

n=MT

T x(nT)ej2fnT, f R (4.17)

dove M e un numero sufficientemente grande. Anche in questo caso dobbiamocampionare linsieme delle frequenze

X(kF) =

MT

n=MT

T x(nT)ej2knFT, k Z (4.18)

dove F e scelto sufficientemente piccolo.

Esempio 21. Stampare la trasformata di Fourier del segnale a dominiodiscreto con T = 1

x(n) =

1, |n| 100, |n| > 10 . (4.19)

1 % % % % % % % % % % % %

2 % es21 . m %

3 % % % % % % % % % % % %

4

5 c lc , c lo se a ll

6

7 n = - 1 0 : 1 0 ;

8 % s e g n a l e

9 x = o n e s ( 1 , l e n g t h ( n ) ) ;

10

11 % t r a s f o rm a t a d i F o ur i e r

12 F =0.01; 6

13 f = - 1 . 5 : F : 1 . 5 ;

14 X = z e r o s ( 1 , l e n g t h ( f ) ) ;

15 for k = 1 : l e n g t h ( n )16 X = X + x ( k ) * e x p ( - 1 i * 2 * p i * f * n ( k ) ) ;

17 end

18 p l o t ( f , r e a l ( X ) ) % s t a m pa t r a sf o r m at a


59/90

4.3. TRASFORMATA DI FOURIER PER SEGNALI A TEMPO DISCRETO59

Esercizio 14. Stampare la trasformata di Fourier del segnale a dominio

discreto con T = 1 x(n) = sinc (3n) , n Z. (4.20)Esempio 22. Si consideri il segnale dellEsempio 21 ed il segnale periodico

y(n) = repNx(n), N = 40. (4.21)

Calcolare i coefficienti di Fourier ak di y(n) e stampare sul grafico dellEsem-pio 21 il segnale a tempo discreto

k

N N ak. (4.22)

Cosa si puo osservare dal grafico? Ricordare che lespressione assunta dallatrasformata di Fourier per segnali discreti periodici di periodo Tp = NT e

S(kF) =N1n=0

T s(nT)ej2knFT, (4.23)

con F = 1Tp

. I coefficienti ak della serie di Fourier corrispondente si ottengono

dalla formula precedente come

ak = F S(kF) =1

TpS(kF). (4.24)

1 % % % % % % % % % % % %

2 % es22 . m %

3 % % % % % % % % % % % %

4

5 c lc , c lo se a ll

6 n = - 1 0 : 1 0 ;

7 % s e g n a l e

8 x = o n e s ( 1 , l e n g t h ( n ) ) ;

9 % t r a s f o rm a t a d i F o u ri e r10 F = 0 . 0 1 ;

11 f = - 1 : F : 1 ;

12 X = z e r o s ( 1 , l e n g t h ( f ) ) ;

13 for k = 1 : l e n g t h ( n )


60/90


14 X = X + x ( k ) * e x p ( - 1 i * 2 * p i * f * n ( k ) ) ;

15 end

16 figure ,plot(f,real(X)) % s t a m pa t r a sf o r m at a

17

18 % c oe ff ic ie nt i d i F ou ri er di y ( n)

19 y = o n e s ( 1 , l e n g t h ( n ) ) ;

20 N = 4 0 ;

21 k = - 4 0 : 4 0 ;

22 a = z er os ( 1 , l en gt h ( k )) ;

23 for l = 1 : l e n g t h ( k )

24 a ( l ) = 1 / N * e x p ( - 1 i * 2 * p i / N * k ( l ) * n ) * y ;

25 end

26 h ol d o n27 s t e m ( k / N , N * a , r )

28 l e g e n d ( T r as f or m at a d el s eg n al e d i sc r et o n on p e ri o di c o ,...

29 T r as f or m at a d el s eg n al e d i sc r et o p e ri o di c o )

Esercizio 15. Ripetere lEsempio 22 ponendo T = 21. Cosa succede? Dareuna spiegazione teorica del risultato trovato.


61/90

4.4. CAMPIONAMENTO E ALIASING 61

4.4 Campionamento e aliasing

Ricordiamo brevemente lenunciato del fondamentale

Teorema 4.1 (Nyquist-Shannon). Sia s(t), t R, un segnale limitato inbanda, ovvero la cui trasformata di Fourier soddisfa

S(f) = 0 per |f| > B.Allora, s(t) puo essere ricostruito esattamente a partire dai suoi campionis(nT), n Z, presi con frequenza Fc 2B campioni al secondo. La formulaper la ricostruzione esatta del segnale e:

s(t) =

n=

s(nT)sinc [Fc (t nT)] .

Esempio 23. Lesempio seguente illustra il meccanismo di ricostruzione deisegnali a banda limitata a partire da una loro versione campionata, eviden-ziando come la scelta della frequenza di campionamento sia fondamentaleper evitare laliasing.

1 % I l s eg u en te c od ic e c o ns e nt e d i v i su a li z za r e l e o p er a zi o ni

2 % d i c a mp i on a me n to e i n te r po l az i on e s u d i ve rs i t ip i d i s eg n al i .

3

4 % % D ef in iz io ne d el s eg na le e s tu di o n el t em po

5 c le ar a ll ;

6 c lo se a ll ;

7 clc

8

9 c am p = 0 .0 01 ;

10 t = -4: c am p :4 ;

11 k = l en gt h (t );

12

13 f _x = 0 .5 ;

14

15 % S c eg l ie r e i l s eg n al e :16 % x = s in ( 2 * pi * f _x * t ); d is p ([ B a nd a = , n um 2 st r ( f _x ) ] )

17 % x = c os ( 2 * pi * 2* f _ x *t ) ; d is p ([ B a nd a = , n um 2s t r ( 2* f _ x ) ])

18 x = 4 * si nc ( t * 4) ; d is p ( [ Ba nd a = 2 ])

19


62/90


20 f i g u r e ;

21 g ri d o n ;

22 h ol d o n ;

23 p l o t ( t , x ) ;

24 t i t l e ( S e g na l e o r i gi n a le );

25 fs = i np ut ( F r eq u en z e d i c a mp i on a me n to . V al o re d i f s ?\ n );

26 T = 1 / f s ;

27 n T = -4: T :4 ;

28

29 % S e le z io n ar e i l s e gn al e c a mp i on a to :

30 % x n = s in ( 2 * pi * f _x * n T );

31 % x n = c os ( 2 * pi * 2* f _ x * nT ) ;

32 x n = 4 * s in c ( nT * 4 );33

34 s t e m ( n T , x n , r );

35

36 % f i l t ro i n t e rp o l a to r e

37 q = f s * si nc ( t * fs ) ;

38 s e g n a le _ i n te r p o l at o = z e ro s ( 1 , l e n g th ( t ) ) ;

39

40 f i g u r e ;

41 h ol d o n ;

42 g ri d o n ;

43 s t e m ( n T , x n , r );

44 for i = 1: l en gt h ( nT )

45 t em p = x n (i ) .* s i nc ( ( t - ( (i - 1 - (4 / T )) * T )) * fs ) ;

46 p l o t ( t , t e m p ) ;

47 s e g n a le _ i n te r p o l at o = s e g n a le _ i n t er p o l a to + t e mp ;

48 end

49 t i t l e ( I n t e r po l a z io n e d ei c a m pi o n i );

50

51 f i g u r e ;

52 p l o t ( t , x , - - , L i n e W i d t h ,2);

53 t i t l e ( S e g na l e o r i gi n a le );54 h ol d o n

55 p l o t ( t , s e g n a l e _ i n t e r p o l a t o , r -. , L i n e W i d t h ,2);

56 g ri d o n ;

57 t i t l e ( S e g na l e r i c os t r u it o );


63/90

4.4. CAMPIONAMENTO E ALIASING 63

58

59 % % S tu di o i n f r eq u en z a

60 clc

61 d i s p ( S tu d io i n f re q ue n za );

62 c lo se a ll ;

63

64 F = 0 . 0 0 5 ; % p as so d i c am pi on am en to d i x

65 f = - 1 0 : F : 1 0 ;

66 % t r a s f o rm a t a d i F o u ri e r

67 X = z e r o s ( 1 , l e n g t h ( f ) ) ;

68 for k = 1 : l e n g t h ( t )

69 X = X + c a m p * x ( k ) * e x p ( - 1 i * 2 * p i * f * t ( k ) ) ;

70 end71 % s t a m pa t r a s fo r m at a s e g na l e o r i gi n a le

72 f i g u r e ;

73 p l o t ( f , r e a l ( X ) )

74 g ri d o n ;

75 t i t l e ( T r as f or m at a d i F ou r ie r d el s e gn a le o r ig i na l e ,...

76 L i n e W i d t h ,2);

77

78 pause

79

80 X n = z e r o s ( 1 , l e n g t h ( f ) ) ;

81 for k = 1 : l e n g t h ( n T )

82 X n = Xn + T * x n ( k )* e x p ( - 1 i * 2* p i * f * n T ( k ) );

83 end

84 % s t a m pa t r a s fo r m at a s e g na l e c a m p io n a t o

85 f i g u r e ;

86 h ol d o n ;

87 p l o t ( f , r e a l ( X n ) ) ;

88 t i t l e ( T r as f or m at a d i F ou r ie r d el s e gn a le c a mp i on a to ,...

89 L i n e W i d t h ,2);

90 g ri d o n

91 pause92

93 Q n = z e r o s ( 1 , l e n g t h ( f ) ) ;

94 for k = 1 : l e n g t h ( t )

95 Q n = Qn + c a mp * q ( k ) * e x p ( -1 i * 2 * p i * f * t (k ) ) ;


64/90


96 end

97 % s t a m pa t r a sf o r m at a d el f i lt r o i n t e rp o l a to r e

98 h ol d o n

99 p l o t ( f , r e a l ( Q n ) , r - , L i n e W i d t h ,2);

100 g ri d o n ;

101

102 % % t r as f or m at a d el s eg n al e r i co s tr u it o i n f r eq u en z e X n (f ) * Q(

103 s e g n al e _ f i lt r a t o = r e al ( X n ) . * r e al ( Q n ) ;

104

105 f i g u r e ;

106 p l o t ( f , r e a l ( X ) )

107 h ol d o n

108 plot(f,segnale_filtrato , r -. , L i n e W i d t h ,2);109 g ri d o n ;

110 l e g e n d ( T r as f or m at a d el s eg n al e o r ig i na l e ,...

111 T r a s f or m a ta d el s e gn a l e r i c o st r u it o )

112 t i t l e ( T r as f or m at a d i F o ur ie r d el s eg n al e f i lt r at o );

Esercizio 16. Consideriamo il segnale a banda infinita dellEsercizio 13.Ripetere lesercizio con T = 0.1, T = 0.5 e T = 1. Motivare, conoscendo labanda del segnale, i risultati trovati.


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Capitolo5Sistemi LTI discreti

5.1 Introduzione ai sistemi LTI discreti

In questa sezione parliamo dei sistemi lineari discreti di tipo causale attra-verso esempi che descrivono la dinamica di una certa popolazione. Prelimi-narmente, richiamiamo alcuni risultati sulla stabilita BIBO per questa classedi modelli.

Definizione 5.1 (Stabilita BIBO per sistemi discreti). Un sistema LTIcausale discreto del tipo

y(n) = h u(n)si dice BIBO stabile (dove BIBO sta per Bounded Input Bounded Output) see solo se per ogni ingresso limitato u(n) esiste B > 0 tale che |y(n)| B perogni n 0.

Vale il seguente

Teorema 5.1 (Condizioni necessarie e sufficienti per la BIBO stabilita).Dato il sistema LTI discreto causale

y(n) = h u(n)le seguenti condizioni sono equivalenti:

1. Il sistema e BIBO stabile

65


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66 CAPITOLO 5. SISTEMI LTI DISCRETI

2. La risposta impulsiva e tale che

+k=0

|h(k)| < .

Supponiamo ora che il modello ingresso-uscita corrisponda ad una funzio-ne di trasferimento H(z) razionale e che questa sia in forma minima, ovveropriva di cancellazioni. Allora, esprimendo il sistema nella forma in spazio distato

x(n + 1) = Ax(n) + Bu(n)

y(n) = Cx(n) + Du(n), (5.1)

in cui H(z) = C(zIA)1

B+D, possiamo introdurre unulteriore condizionenecessaria e sufficiente per la stabilita BIBO:

Teorema 5.2. Il sistema in forma minima (5.1) e BIBO stabile se e solo segli autovalori di A hanno tutti modulo minore di uno.

Sia x(n) il numero di individui che costituiscono la popolazione allistanten. In caso di risorse nulle la specie tende ad estinguersi con un tasso dimortalita pari ad m secondo la seguente equazione alle differenze

x(n + 1) = mx(n). (5.2)

Esempio 24. Si consideri una popolazione con m = 0.8 e sia x(n) il numerodi individui costituenti la popolazione allistante n. Supponendo che attual-mente il numero di individui sia pari a 50 (x(0) = 50), calcolare la dinamicadella popolazione dallistante 0 a 20.

1 % % % % % % % % % % % %

2 % es24 . m %

3 % % % % % % % % % % % %

4

5 c l ea r a ll

6 c l os e a ll

7 clc8 m = 0 . 8 ;

9 x ( 1 ) = 5 0 ; % c o n d iz i o n e i n i zi a l e

10 for n = 2 : 2 1

11 x ( n ) = m * x ( n - 1 ) ;


67/90

5.1. INTRODUZIONE AI SISTEMI LTI DISCRETI 67

12 end

13 s t e m ( 0 : 2 0 , x ) % s t a m pa g r af i c o

14 x l a b e l ( n )

15 y l a b e l ( x ( n ) )

Ora supponiamo che ci siano delle risorse disponibili costanti che possonosostenere una popolazione di numerosita R. In questa situazione ce untasso di natalita dipendente dalla differenza fra la popolazione sostenibiledallambiente R e quella presente

x(n + 1) = mx(n) + (R x(n)). (5.3)Esempio 25. Si consideri una popolazione con m = 0.8, R = 20 e sia x(n)

il numero di individui costituenti la popolazione allistante n. Supponendoche attualmente il numero di individui sia pari a 50, calcolare la dinamicadella popolazione dallistante 0 a 20. Interpretare il risultato in termini dievoluzione libera e risposta forzata.Svolgimento.

Possiamo riscrivere il sistema nella forma (5.1):x(n + 1) = (m 1)x(n) + Ry(n) = x(n)

,

dove

A = a := m 1, B = 1, C = 1, D = 0, u(t) = R, (t 0).Ricordiamo lespressione per luscita di un sistema in funzione delle matriciche lo descrivono, cioe

x(n) = Anx(0) +n1i=0

AiBu(n 1 i)

y(n) = CAnx(0) +n1i=0

CAiBu(n 1 i) + Du(n)

Il primo addendo nellespressione di y(n) descrive levoluzione libera del si-

stema, cioe leffetto delle condizioni iniziali, mentre il secondo e chiamatotermine di evoluzione forzata. Ricaviamo per il nostro esempio lequazione

x(n) = anx(0) +n1i=0

aiR.


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Poiche |a| = 0.2 < 1, per n +, avremo

x = limn+

x(n) =1

1 aR =50

3.

Simuliamo il sistema per verificare i risultati ottenuti. Landamento demo-grafico della popolazione e riportato in Fig. 25.

1 % % % % % % % % % % % %

2 % es25 . m %

3 % % % % % % % % % % % %

4

5 c l os e a ll

6 clc7 m = 0 . 8 ;

8 R = 2 0 ;

9 T = 2 0 ;

10 x = z er os ( 1 ,T );

11 x ( 1) = 5 0; % c o n d i z io n e i n i zi a l e

12 t = 0 : T ;

13

14 for n = 2 : T + 1

15 x ( n ) = m * x ( n - 1 ) + ( R - x ( n - 1 ) ) ;

16 end

17 s t e m ( 0 : T , x ) % s t a m pa g r af i c o

18 x l a b e l ( n )

19 y l a b e l ( x ( n ) )

20

21 a = m - 1 ;

22 d i s p ( [ Va lore di a = , n u m 2 s t r ( a ) ] )

23 d i s p ( [ L im it e d i x ( n) p er n t en de nt e a ll in fi ni to = ...

24 , n u m 2 s t r ( 1 / ( 1 - a ) * R ) ] )

25 grid

26

27 % E v ol u zi o ne l ib er a28 x _l = z er os ( s i ze ( x ) );

29 x _ l ( 1 ) = x ( 1 ) ;

30 for n = 2 : T + 1

31 x _ l ( n ) = a * x _ l ( n - 1 ) ;


69/90

5.1. INTRODUZIONE AI SISTEMI LTI DISCRETI 69

32 end

33

34 % E v ol u zi o ne f or z at a

35 x _f = z er os ( s i ze ( x ) );

36 for n = 2 : T + 1

37 x _f ( n ) = ( 1 - a ^ (n - 1 ) )/ ( 1 - a ) * R ;

38 end

39

40 figure

41 s u b p l o t ( 3 1 1 ) , s t e m ( t , x _ l , r ) , g r i d , l e g e n d ( Ev . l ib er a )

42 s u b p l o t ( 3 1 2 ) , s t e m ( t , x _ f , b ) , g r i d , l e g e n d ( Ev . f or z at a )

43 s u b p l o t ( 3 1 3 ) , s t e m ( t , x , k -- , L i n e W i d t h ,2),...

44 g ri d , h o l d o n , s t em ( t , x _ f + x _l , g ) ,45 l e g e n d ( x ( n ) , x_l + x_f )

0 2 4 6 8 10 1 2 1 4 16 1 8 200

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

n

x(n)

.

Figura 5.1: Andamento demografico della popolazione, Esercizio 25

Esercizio 17. Ora supponiamo che il numero di individui nati allistanten dipenda dalla differenza fra la popolazione sostenibile dallambiente R equella presente allistante n 2 per un tasso di fertilita t. Il nuovo sistemadiventa:

x(n) = mx(n 1) + (R tx(n 2)). (5.4)Calcolare la dinamica della popolazione dallistante 0 a 20 per i seguenti casi

x(1) = 10, x(0) = 20, m = 0.8, t = 0.4, R = 20x(1) = 10, x(0) = 20, m = 0.8, t = 1, R = 20. (5.5)


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Sulla base dei grafici, a quale classe di esseri viventi puo essere associata

la dinamica del primo e del secondo caso rispettivamente? Riflettere sulladinamica dei due sistemi.

5.2 Risposta impulsiva

Consideriamo il modello (5.4) della dinamica di una popolazione. Tale mo-dello puo essere visto come un sistema LTI discreto con ingresso costanteu(n) = R:

x(n) = mx(n 1) tx(n 2) + u(n). (5.6)Percio, la risposta impulsiva h(n) di tale modello si puo ottenere imponendo

u(n) = (n) con x(2) = 0 e x(1) = 0.Esempio 26. Stampare la risposta impulsiva del modello (5.6) con

1. m = 0.8 e t = 0.4

2. m = 0.8 e t = 1.

Guardando i grafici prodotti, dire se i corrispondenti sistemi sono stabili omeno e verificare che le conclusioni trovate siano conformi ai risultati trovatinellEsercizio 17.

1 % % % % % % % % % % % %

2 % es26 . m %

3 % % % % % % % % % % % %

4

5 c l ea r a ll

6 c l os e a ll

7 clc

8 m = 0 . 8 ;

9 T = 1 00 00 ;

10 u = [0 0 1 z er os ( 1 ,T ) ]; % i n g r e ss o d e lt a ( n )

11 % % P ri mo ca so ( t = 0. 4)

12 t = 0 . 4 ;13 h = z er os ( T + 3 , 1) ; % c o nd i zi o ne i n iz i al i n ul le

14 for n = 3 : T + 3

15 h ( n ) = m * h ( n - 1 ) + ( u ( n ) - t * h ( n - 2 ) ) ;

16 end


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5.2. RISPOSTA IMPULSIVA 71

17 figure

18 s t e m ( 0 : T , h ( 3 : T + 3 ) ) % s t a m pa g r a fi c o

19 a xi s ([ - 1 2 0 , - 0. 3 1 .3 ])

20 x l a b e l ( n )

21 y l a b e l ( x ( n ) )

22 t i t l e ( Ca so t = 0.4 )

23

24 % A pp ro ss im ia mo la s er ie d ei m od ul i di h (k ):

25 disp([ S er ie d ei m od ul i a p pr o ss i ma t a ( T = ,...

26 n u m 2 s t r ( T ) , ) vale ])

27 s u m ( a b s ( h ) )

28

29 % % S ec on do c as o ( t = 1)30 t = 1 ;

31 h = z er os ( T + 3 , 1) ; % c o nd i zi o ne i n iz i al i n ul le

32 for n = 3 : T + 3

33 h ( n ) = m * h ( n - 1 ) + ( u ( n ) - t * h ( n - 2 ) ) ;

34 end

35 figure

36 s t e m ( 0 : T , h ( 3 : T + 3 ) , r ) % s t a m pa g r a fi c o

37 a xi s ([ - 1 1 00 , - 1. 5 1 .5 ])

38 x l a b e l ( n )

39 y l a b e l ( x ( n ) )

40 t i t l e ( C a s o t = 1 )

41

42 % A pp ro ss im ia mo la s er ie d ei m od ul i di h (k ):

43 disp([ S er ie d ei m od ul i a p pr o ss i ma t a ( T = ,...

44 n u m 2 s t r ( T ) , ) vale ])

45 s u m ( a b s ( h ) )

Esercizio 18. Consideriamo un modello a tempo discreto con ingresso x euscita y che esegue la media mobile su tre punti:

y(n) =

1

3(x(n) + x(n 1) + x(n 2)). (5.7)Calcolare la risposta impulsiva.

Ora supponiamo di voler calcolare la risposta x di un sistema lineare(causale) ad un ingresso generico u partendo da condizioni iniziali nulle.


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In questa situazione potremo applicare lapproccio iterativo dellEsempio 25

oppure, avendo a disposizione la risposta impulsiva h, calcolare x tramite laconvoluzione tra u e h.

Esempio 27. Consideriamo il modello (5.6), supponendo che le risorse di-sponibili varino secondo un bioritmo (ad esempio le stagioni):

u(n) = Rsin( n

N0)

2+ S0. (5.8)

Calcolare la dinamica della popolazione dallistante 0 a 60 partendo dacondizioni iniziali nulle con m = 0.6, t = 0.2, R = 5, N0 = 2 e S0 = 10.

1 % % % % % % % % % % % %

2 % es27 . m %3 % % % % % % % % % % % %

4

5 c l ea r a ll

6 c l os e a ll

7 clc

8 m = 0 . 6 ;

9 t = 0 . 2 ;

10 R = 5 ;

11 N 0 = 2 ;

12 S0=10;

13 % c a lc o lo d el la r i sp o st a i m pu l si v a

14 u = [0 0 1 z er os ( 1 , 60 )] ; % i n g r e ss o d e lt a ( n )

15 h ( 1 ) = 0 ; % c o nd i zi o ne i n iz i al i

16 h ( 2 ) = 0 ;

17 for n = 3 : 6 3

18 h ( n ) = m * h ( n - 1 ) - t * h ( n - 2 ) + u ( n ) ;

19 end

20 h = h ( 3 : end ); % r i sp os t a i m pu l si v a d al l i s t an t e z er o

21 % c a lc ol o d el la r i sp o st a d el s is t em a

22 n = 0 : 6 0 ;

23 u = R * s i n ( n / N 0 ) / 2 + S 0 ;24 x = c o n v ( h , u ) ;

25 x = x ( 1 : 6 1 ) ; % r i ag g iu s ta m en t o d el v et t or e

26 s t e m ( 0 : 6 0 , x ) % s t a m pa g r a fi c o

27 x l a b e l ( n )


73/90

5.3. RISPOSTA IN FREQUENZA 73

28 y l a b e l ( x ( n ) )

Esercizio 19. Consideriamo una popolazione di pesci da allevamento la cuidinamica e descritta dal modello (5.6) con m = 0.6, t = 0.2, x(2) = 0 ex(1) = 0. Inizialmente, dalistante 0 a 39, i proprietari dellallevamentodecidono di non intervenire per modificare le risorse naturali che offre illaghetto che ospita questi pesci

u(n) = 5sin(n2 )

2+ 10, 0 n < 40. (5.9)

Tuttavia, gli allevatori non sono soddisfatti del numero di pesci che produ-cono e dallistante n = 40 immettono nel lago una risorsa (che si aggiunge aquella naturale) che decresce di una unita allaumentare di n

u(n) = 5sin( n

N0)

2+ 10 + 80 n, 40 n < 80. (5.10)

Dopo questa decisione gli allevatori sono contenti, ma vorrebbero che la po-polazione di questi pesci fosse costante nel tempo. Decidono percio di co-struire un impianto sofisticato che fornisce risorse costanti nel tempo allapopolazione di pesci

u(n) = 30, n 80. (5.11)

Stampare u e la corrispondente dinamica della popolazione.

5.3 Risposta in frequenza

In questa sezione ci occupiamo del calcolo della risposta in frequenza di unsistema LTI causale discreto.

Esempio 28. Consideriamo il sistema LTI dellEsempio 26. Vogliamo cal-colare la risposta in frequenza per i due casi considerati. Stampare moduloe fase delle risposte in frequenza.

1 % % % % % % % % % % % %2 % es28 . m %

3 % % % % % % % % % % % %

4

5 c l ea r a l l


74/90


6 c l os e a ll

7 clc

8 m = 0 . 8 ;

9

10 % P ri mo v al or e di t

11 t = 0 . 4 ;

12

13 % S ec on do v al or e di t

14 % t =1;

15

16 % c a lc o lo d el la r i sp o st a i m pu l si v a

17 u = [0 0 1 z er os ( 1 , 60 )] ; % i n g r e ss o d e lt a ( n )

18 h ( 1 ) = 0 ; % c o nd i zi o ni i n iz i al i19 h ( 2 ) = 0 ;

20 for k = 3 : 6 3

21 h ( k ) = m * h ( k - 1 ) - t * h ( k - 2 ) + u ( k ) ;

22 end

23 h = h ( 3 : end ); % r i sp o st a i m pu l si v a d al l i s t an te 0

24 % r i sp o st a i n f r eq u en z a

25 n = 0 : 6 0 ;

26 T h e t a = 0 . 0 1 ; % t r a s f o rm a t a d i F o u ri e r

27 t h e t a = - p i : T h e t a : p i ;

28 H = z e r o s ( 1 , l e n g t h ( t h e t a ) ) ;

29 for k = 1 : l e n g t h ( n )

30 H = H + h ( k ) * e x p ( - 1 i * t h e t a * n ( k ) ) ;

31 end

32 % s t am pa m od u lo r i sp os t a i n f r eq u en z a

33 figure

34 p l o t ( t h e t a , a b s ( H ) )

35 x l a b e l ( t h e t a )

36 y l a b e l ( | H | )

37 grid

38 % s t am pa f as e r is p os ta i n f r eq u en za

39 figure40 p l o t ( t h e t a , p h a s e ( H ) )

41 grid

42 x l a b e l ( t h e t a )

43 y l a b e l ( fa se di H )


75/90

5.4. AUTOFUNZIONI DEI FILTRI 75

Esercizio 20. Si consideri il sistema dellEsercizio 18. Stampare modulo e

fase della risposta in frequenza H(e

i

).

5.4 Autofunzioni dei filtri

Consideriamo un sistema LTI causale BIBO-stabile con risposta impulsivah(n):

x(n) = h u(n). (5.12)Se u(n) = sin(0n) e h(n) e a valori reali, allora, dopo un transitorio iniziale,

x(n) = |H(ej0)| sin(0n + arg[H(ej0)]). (5.13)

Osservazione 5.1. Dal punto di vista applicativo, questa proprieta permet-te di ricostruire empiricamente la risposta in frequenza di un sistema LTIstabile, mediante luso di segnali di ingresso sinusoidali con frequenze diverse.

Esempio 29. Consideriamo il sistema (5.6) con m = 0.6 e t = 0.2. Alimen-tiamo il sistema con la sinusoide di ampiezza unitaria e 0 = 1

u(n) = sin(0n), n 0. (5.14)

Stampare i tre seguenti grafici:

1. u(n) e x(n) (scegliamo 0 n 600)2. |U(ej)| e |X(ej)|3. |H(ej)|

Verificare dai grafici che

|H(ej0)| |X(ej0 )|

|U(ej0)| . (5.15)

1 % % % % % % % % % % % %2 % es29 . m %

3 % % % % % % % % % % % %

4

5 c l ea r a l l


76/90


6 c l os e a ll

7 clc

8 m = 0 . 6 ;

9 t = 0 . 2 ;

10 n = 0 : 6 0 0 ;

11 % s eg na le di i ng re ss o u

12 t h e t a 0 = 1 ;

13 u = s i n ( t h e t a 0 * n ) ;

14 T h e t a = 0 . 0 1 ; % t r a sf o rm a ta d i F o ur i er

15 t h e t a = - p i : T h e t a : p i ;

16 U = z e r o s ( 1 , l e n g t h ( t h e t a ) ) ;

17 for k = 1 : l e n g t h ( n )

18 U = U + u ( k ) * e x p ( - 1 i * t h e t a * n ( k ) ) ;19 end

20

21 % r i s p o st a i m p ul s i va

22 d = [0 0 1 z er os ( 1 , 60 0) ]; % i n g r e ss o d e lt a ( n )

23 h ( 1 ) = 0 ; % c o nd i zi o ni i n iz i al i

24 h ( 2 ) = 0 ;

25 for k = 3 : n ( end )+3

26 h ( k ) = m * h ( k - 1 ) - t * h ( k - 2

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