A F B

Carlo DriDipartimento di Fisica

Universit degli Studi di Trieste

Versione 5 marzo 2015, 23:35

This work is licensed under the Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivatives 4.0 International License. To view a copy of this license, visithttp://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/.

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Indice

I. Introduzione 5

1. Le misure 71.1. Sistemi di misura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.2. Multipli e sottomultipli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.3. Analisi dimensionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.4. Conversioni fra unit di misura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.5. Errori nelle misure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.5.1. Cifre signicative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.5.2. Arrotondamenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.5.3. Cifre signicative nel riportare il risultato di calcoli . . . . . . . 17

II. Meccanica 19

2. Cinematica 232.1. Le grandezze che descrivono il moto dei corpi . . . . . . . . . . . . . . 23

2.1.1. Posizione, spostamento e spazio percorso . . . . . . . . . . . . . 232.1.2. Velocit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.1.3. Accelerazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.2. Moto di un corpo in una dimensione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.2.1. Il moto rettilineo uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.2.2. Il moto rettilineo uniformemente accelerato . . . . . . . . . . . 27

2.3. Moto di un corpo in due dimensioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.3.1. Posizione, velocit e accelerazione . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3. Dinamica 33

4. Lavoro ed energia 354.1. Energia cinetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354.2. Il lavoro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

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Indice

III. Statica e dinamica dei fluidi 37

5. Il principio di Pascal 39

6. La legge di Stevino 41

7. Il teorema di Bernoulli 43

8. Fluidi reali 458.1. La viscosit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 458.2. La legge di Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

IV. Termodinamica 47

9. La termometria 49

10. Calorimetria 51

11. Teoria cinetica dei gas 5311.1. Calori specici dei gas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

11.1.1. Calore specico a volume costante . . . . . . . . . . . . . . . . 5311.1.2. Calore specico a pressione costante . . . . . . . . . . . . . . . 54

12. Trasformazioni termodinamiche 5512.1. Riassunto delle trasformazioni termodinamiche . . . . . . . . . . . . . 55

12.1.1. Isocora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5512.1.2. Isobara . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5512.1.3. Isoterma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5512.1.4. Adiabatica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

13. Il secondo principio della termodinamica 5713.1. Macchine termiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5713.2. Il secondo principio della termodinamica . . . . . . . . . . . . . . . . . 5713.3. La pompa di calore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5713.4. La macchina di Carnot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

13.4.1. Calcolo del rendimento della macchina di Carnot . . . . . . . . 5913.5. Lentropia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

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Parte I.

Introduzione

1. Le misure

Il 23 settembre 1999 i tecnici del Jet Propulsion Laboratory della NASA stanno seguendolingresso del satellite Mars Climate Orbiter nellorbita di Marte: come da programmaalle 2,00 am ora locale si accendono i motori principali del mezzo per rallentare lasua discesa e permettergli di entrare nellorbita pressata. Un istante dopo il mezzoscompare dietro Marte, ma i tecnici attenderanno invano la sua ricomparsa allaltrolato del pianeta. 1 Il satellite si schiantato su Marte.

Il 10 novembre dello stesso anno, una commissione incaricata di valutare le cause dellaperdita del satellite pubblica un resoconto in cui nota che stato commesso un errorenel software di simulazione delle traiettorie del mezzo: il team inglese incaricato dellosviluppo software ha utilizzato inavvertitamente le libbre-forza (lbf) invece dei newton(N) nella simulazione delle forze, provocando un errore di un fattore 5 nellaltitudine diingresso nellorbita. 2 Questa inavvertenza nelluso delle unit di misura costata allaNASA qualcosa come 330 milioni di dollari.

In sica, cos come nella vita di ogni giorno, lutilizzo corretto delle unit di misura fondamentale: un numero con lindicazione errata dellunit di misura viene associatoda chi lo legge a una grandezza sica completamente diversa da quella corretta, oppureil suo ordine di grandezza viene completamente travisato. Pertanto per comunicare oannotare quasiasi grandezza in modo non ambiguo o parziale indispensabile conoscerele convenzioni con cui vengono universalmente scritte.

Le regole generali per la scrittura delle unit di misura sono:

le unit non si scrivono in corsivo

i simboli derivati da nomi propri di scienziati si scrivono con la letteramaiuscola,mentre quando ci si riferisce allunit di misura il nome completo dello scienziatova scritto in minuscolo (e.g. A, K per ampere e kelvin)

Vediamo ora quali sono i principali sistemi di misura.

1http://mars.jpl.nasa.gov/msp98/news/mco990923.html2ftp://ftp.hq.nasa.gov/pub/pao/reports/1999/MCO_report.pdf

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1. Le misure

N SI S SIlunghezza metro mmassa kilogrammo kgtempo secondo scorrente elettrica ampere Atemperatura assoluta kelvin Kquantit di sostanza mole molintensit luminosa candela cd

T 1.1.: Unit fondamentali del Sistema Internazionale

1.1. Sistemi di misuraIl Sistema Internazionale di unit dimisura (abbreviato SI) in assoluto il sistema dimisura pi utilizzato al mondo. Tale sistema di unit basato su sette unit fondamentali,che sono riportate in Tabella 1.1. Tutte le altre unit di misura si possono esprimere infunzione di queste sette unit fondamentali. Bench le unit fondamentali non sianoesprimibili come funzione di altre unit fondamentali, la denizione pratica di alcunedi esse dipende dalla denizione di altre grandezze. Ad esempio, il metro attualmentedenito come lo spazio percorso dalla luce nel vuoto in un tempo pari a 1299792458 s.Mentre il sistema SI basato sulla terna metrokilogrammosecondo (abbreviata

MKS) per esprimere lunghezza, massa e tempo, esiste un altro sistema di misuramolto simile al sistema SI, chiamato sistema CGS. Questo sistema basato sullestesse unit fondamentali, eccetto per le prime tre, che sono sostituite dalla ternacentimetrogrammosecondo (da cui il nome CGS).

Ci sono diverse unit di misura non ucialmente inserite nel sistema internazionaleche per sono estremamente comuni in diversi campi, e che pertanto dicilmente ver-ranno soppiantate dai loro equivalenti SI. In particolare, fra queste unit ne ricordiamoalcune qui di seguito, riservandoci di introdurne altre nel corso della dispensa:

il litro (simbolo L),3 una misura di volume, ed denito esattamente cos che1 L 1 dm3, cio un cubo di lato 10 cm;

le unit che indicano un numero di giorni, di ore, diminuti, indicati rispettiva-mente con i simboli d, h e m;

la tonnellata (simbolo t) una misura di massa, denita esattamente come1 t 1 103 kg = 1 106 g, e corrisponde, nel sistema SI, a 1Mg; 4

3Bench originalmente il litro fosse indicato con il simbolo minuscolo l, attualmente si raccomandainvece di utilizzare il simbolo maiuscolo L, ad evitare possibili ambiguit con la cifra 1 che in certegrae e sistemi di scrittura al computer dicilmente distinguibile dalla lettera l minuscola.

4Vedi paragrafo successivo sui pressi e potenze di 10.

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1.1. Sistemi di misura

N S Elunghezza pollice in o 25,4mmlunghezza piede ft 12 inmassa libbra lb 0,453 592 37 kgmassa once oz 116 lbvolume once uidea oz 28,41mLvolume once uideb oz 29,57mLtempo secondo s -

a Nel sistema imperiale b Nel sistema statunitense

T 1.2.: Unit principali del sistema imperiale e statunitense

Sopratutto in Gran Bretagna, Canada, Stati Uniti e alcuni altri paesi, invece del siste-ma internazionale si utilizzano il Sistema Imperiale e il Sistema ConsuetudinarioStatunitense. 5 Le unit pi utilizzate sono elencate in Tabella 1.2

Ricordiamo inne che esistono grandezze adimensionali cio senza unit di misura(nel corso della dispensa vedremo degli esempi).

5Questi due sistemi in realt hanno delle leggere dierenze nella denizione di alcune unit, inparticolare per quanto riguarda i volumi.

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1. Le misure

N P P 10exa E 1018peta P 1015tera T 1012giga G 109mega M 106kilo k 103etto h 102deca da 101- - 100deci d 101centi c 102milli m 103micro 106nano n 109pico p 1012femto f 1015atto a 1018

T 1.3.: Prefissi simbolici per indicare brevemente le potenze didieci contenute in una misura

1.2. Multipli e soomultipliSe uno volesse rappresentare ad esempio le dimensioni caratteristiche di un batterio,sarebbe decisamente scomodo indicarla con 0,000 001m. Oltre a essere scomodo, sarebbemolto facile sbagliare di trascrivere gli zeri. Sono stati cos introdotti dei simboli cherappresentano, quando anteposti come pressi allunit di misura in oggetto, la potenzadi dieci per cui il numero va moltiplicato, allo scopo di abbreviare la scrittura di misuremolto piccole o molto grandi rispetto alle unit di misura standard e ridurre la possibilitdi errori di trascrizione. Nella tabella 1.3 abbiamo riportato i pressi pi usati.

E 1.1

1 m = 1 106 m0,4 pF = 0,4 1012 F

0,001mV = 1 V = 1 106 V1,34 kW = 1,34 103 W

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1.3. Analisi dimensionale

Nellesempio 1.1, le misure pi a destra sono rappresentate nella cosiddetta notazionescientica, cio una notazione della forma

a 10b

con a un numero reale qualsiasi e b un intero. Nella calcolatrice tale forma vienerappresentata come aEb. consuetudine scegliere il valore dellesponente b in modoche il valore assoluto del numero a sia compreso tra 0 e 10 (0 < |a | < 10).

1.3. Analisi dimensionale spesso utile controllare la correttezza di una formula ricordata a memoria o di unrisultato numerico attraverso la cosiddetta analisi dimensionale cio lesplicitare ledimensioni siche delle grandezze in gioco in una equazione. Infatti unuguaglianza pucontenere operazioni tra diverse grandezze siche, ma chiaramente ci che sta a destradelluguale deve avere le stesse dimensioni di ci che sta alla sua sinistra (altrimentiluguaglianza non solo non vericata, ma non ha proprio alcun senso) 6In generale, le dimensioni di una generica grandezza sica Z si indicano con le

parentesi quadre intorno al simbolo che rappresenta quella grandezza, cos che

Z = c [Z ]dove c un fattore numerico (ovviamente adimensionale) e [Z ] rappresenta lunit dimisura. Ad esempio, esprimeremo le dimensioni di una forza F espressa in newtoncome:

[F ] = N = kg ms2Ancora un esempio per sottolineare limportanza dellanalisi dimensionale delle

espressioni matematiche che si ottengono: se ricordassimo a memoria che la velocitche acquista un corpo cadendo da unaltezza h data da

=p2 h

con accelerazione di gravit terrestre, potremmo vericarne la correttezza scrivendola sua relativa equazione dimensionale, esplicitando a destra e sinistra le dimensionidelle grandezze siche in gioco. Lanalisi del membro a sinistra delluguale ci d:

[] = ms6Per esemplicare il concetto: luguaglianza a = 2m non ha nessun signicato se a rappresenta, adesempio, il peso di una certa quantit di farina, allo stesso modo in cui non ha nessun senso dire1 kg = 1m.

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1. Le misure

mentre quello a sinistra p[] [h] =

rms2 m

e risulta chiaro chems ,

rms2 m

Pertanto lequazione sbagliata perch le dimensioni a destra delluguale non corri-spondono a quelle a sinistra: lequazione corretta potr essere invece (ed di fattocorretta)

=q2h

1.4. Conversioni fra unit di misuraSaper convertire correttamente e rapidamente fra unit dimisura diverse fondamentale,in particolare nelle discipline di tipo medico-sanitario, dove errori grossolani nelleconversioni possono portare a gravi conseguenze nel paziente, ad esempio nel caso diun errato dosaggio di farmaci. Vediamo uno scenario tipico di conversione fra unit dimisura, trascurando per il momento il signicato sico di eventuali grandezze ancoranon introdotte. Ad esempio, voglio sapere a quanti pascal (simbolo Pa) corrispondono233mmHg, sapendo che

760mmHg = 101 325 Pa (1.1) facile ridurre il problema alla domanda: Devo moltiplicare o dividere per questo oquel numero?, che porta facilmente a errori. Il metodo pi sistematico e semplice perrispondere ovviamente fare una proporzione, cio

760mmHg : 101 325 Pa = 233mmHg : x

da cui:x =

101 325 Pa 233mmHg760mmHg

Posso anche notare che se divido ambo i membri dellequazione 1.1 per 760mmHg,ottengo

760mmHg

760mmHg =

101 325 Pa760mmHg

cio che101 325 Pa760mmHg = 1 (1.2)

Pertanto, dato che il rapporto a sinistra delluguale pari a 1, posso moltiplicare i233mmHg per questo rapporto senza cambiare di fatto la misura che sto convertendo(sto moltiplicando per 1!):

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1.5. Errori nelle misure

233mmHg 1 = 233mmHg 101 325 Pa760mmHg = 31 064 Pa

1.5. Errori nelle misureQualsiasi tipo di misura sempre soggetta a degli errori (o incertezze). Ad esempio, semisuro la lunghezza di una matita con un righello graduato in millimetri, dicilmenteriuscir a determinarne la lunghezza con una precisione superiore a, diciamo, un terzodi millimetro o un quarto di millimetro. Cosa signica questo? Signica che non sar ingrado di decidere se la matita lunga, ad esempio, 150,3mm oppure 150,4mm, mamoltoprobabilmente sapr distinguere se lunga 150,3mm oppure 150,8mm. Prendiamo laseguente aermazione:

Misurando questa matita con questo righello, graduato in millimetri, possodire che lunga 150,4mm. Tuttavia, non riuscirei a distinguere se la sualunghezza avesse un valore qualsiasi compreso tra 150,3mm e 150,5mm.

Dal punto di vista formale, questa aermazione si scrive nel modo seguente:(150,4 0,2) mm oppure 150,40(2) mm

In generale, quando una misura viene scritta comex

chiamato errore assoluto, mentre x il valore che ritengo pi probabile per lamisura in oggetto. Pu essere utile in molti casi rappresentare lerrore come unapercentuale del valore pi probabile per la misura, e in tal caso si parla di errorerelativo r , denito come:

r =

x FiXme Note: erroricasuali e sistematiciFiXme Note: esempiodellarea delrettangolo

Esistono delle regole precise (che non tratteremo) che permettono di determinarequale sar lerrore su una misura ottenuta indirettamente da un calcolo. Tuttavia, possibile ragionare secondo il seguente esempio.

E 1.2: larea di un foglio A4

Se volessi determinare larea di un foglio A4 con un righello, dovrei misurareprima un lato, ottenendo `1 = (210,0 0,5) mm, e poi laltro, ottenendo `2 =(297,0 0,5) mm. Per determinare larea dovrei poi moltiplicare fra loro questinumeri. Il valore che ritengo pi probabile per larea sarebbe ovviamente A =`1 `2 = 62 369,9940mm2. Quale sarebbe lincertezza da assegnare alla misuradellarea? Riettendo sui numeri in questione, suciente analizzare i due casiestremi:

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Giulia Morasintervallo di errore

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1. Le misure

commetto il massimo errore in positivo su entrambe le misure, quindi le veremisure dei lati del foglio sarebbero 210,5mme 297,5mm, cio 62 623,7580mm2

commetto il massimo errore in negativo, cio il foglio misurerebbe 209,5mme 296,5mm, cio 62 116,7270mm2

Avrei pertanto un errore massimo (incertezza) sullarea pari alla met della die-renza tra questi due estremi, cio: 253,5155mm2 250mm2 = .

Nellesempio appena visto, dovrei pertanto scrivere che larea pari a 62 369,99mm2250mm2. La conoscenza dellerrore associato a questa misura (250mm2) ci indica ancheil numero di cifre con cui corretto riportare larea A: non ha senso riportare con duecifre dopo la virgola un dato che soggetto ad una incertezza pari a 250mm2, e pertantotale misura andrebbe scritta come A = 62 370mm2 250mm2 Sarebbe frustrante se perogni calcolo si dovesse svolgere tutto questo processo per sapere a quante cifre devoarrotondarlo. Dopo aver introdotto il concetto di cifre signicative e di arrotondamentovedremo un metodo pratico per determinare a grandi linee quante cifre correttomantenere nellesprimere il risultato di un calcolo.

1.5.1. Cifre significativeIn molte situazioni reali, non si ha a disposizione lerrore su una data misura, ma ilmodocon cui viene scritta la misura dice implicitamente, almeno in parte, la sua incertezza.Ad esempio, se scrivo che il volume di una certa sostanza pari a 40,00mL o se scrivo40mL la stessa cosa? No, perch nel primo caso, sto implicitamente aermando(cio comunicando a chi legge la misura) che so che la seconda cifra dopo la virgola esattamente zero e non, ad esempio, 3. Nel secondo caso invece, sto aermando checonosco per certo la cifra delle unit, ma non solo: sto implicitamente dicendo che nonho informazioni sulla prima cifra decimale, che potrebbe pertanto, per quanto ne so,essere un numero tra 0 e 9.7

In generale, le cifre di cui ci diamo si chiamano cifre signicative. Quando abbiamodavanti un numero, ci sono delle regole per determinare quali e quante cifre sonosignicative, e quali no. Partiamo da alcuni esempi per derivare poi le regole generali.

E 1.3: cifre significative

0,0023 contiene solo 2 cifre signicative, perch il numero si potrebbe scrivereanche come 23 104 o come 2,3 103, cio gli zeri, in questo caso, nonsono signicativi;

7Lo stesso dicasi per tutte le altre cifre decimali che non sono riportate.

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1.5. Errori nelle misure

1,200 contiene 4 cifre signicative, perch il fatto di aver indicato esplicitamentegli zeri dopo il primo decimale signica che so che sono esattamente 0 (quindianche gli zeri sono signicativi in questo caso);

00432 contiene solo 3 cifre signicative perch i due zeri non portano nessunareale informazione nel numero;

1287 contiene ovviamente 4 cifre signicative;

65 003 contiene 5 cifre signicative;

Le regole per determinare quali e quante sono le cifre signicative possono essereesposte come segue:

1. la cifra pi signicativa la prima cifra diversa da zero che compare da sinistra;

2. la cifra meno signicativa distingue due casi:a) la prima da destra, anche se zero, nel caso di un numero con la virgola;b) la prima da destra diversa da zero, nel caso di un numero senza virgola;

3. tutte le cifre, incluso lo zero, racchiuse tra la pi signicativa e la meno signica-tiva, sono a loro volta tutte signicative.

La regola 2.b contiene tuttavia una possibile fonte di ambiguit. Consideriamo adesempio la seguente scrittura: 200 km. In questo caso, la regola direbbe che il numeroha solo una cifra signicativa (il 2). Nelle intenzioni di chi ha scritto il numero, tuttavia,poteva esserci il fatto che quegli zeri erano davvero noti, oppure, come direbbe la regola,erano semplicemente degli zeri ad indicare la potenza di dieci. In questultimo caso,il numero avrebbe potuto essere scritto come 2 102 km, mentre nel primo avrebbedovuto essere scritto come 2,00 102 km. Come si pu vedere da questultimo esempio,questa ambiguit viene meno se le misure vengono rappresentate tramite la notazionescientica.

1.5.2. ArrotondamentiSupponiamo di avere una torta che, pesata su una bilancia precisa al grammo, risultapesare 1,145 kg, e supponiamo di dover trovare quanto pesa 1/3 della torta. Il risul-tato che la calcolatrice d digitando 1, 145/3 0, 38166667. Tuttavia, sarebbe assurdoriportare il peso con tutte le 8 cifre dopo la virgola come se fossero tutte signicative:da dove verrebbe infatti la precisione ulteriore rispetto alla sensibilit della bilanciadi 1 g? Detto in altro modo, riportando il risultato come 0,381 666 67 kg, staremmoimplicitamente aermando che conosciamo il peso di un terzo della torta con una

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1. Le misure

precisione di 10 g (precisione corrispondente alla cifra 7)! chiara lassurdit di unatale aermazione. Pertanto, nel riportare il risultato nale necessario arrotondare ilnumero che otteniamo dal calcolo in modo da non aumentare o diminuire articio-samente la precisione con cui eettivamente possiamo conoscerlo. Nellesempio inquestione, sar ragionevole limitare il risultato no alla cifra corrispondente ai grammi.

Ci sono delle regole precise per arrotondare il risultato di un calcolo, che non signicasemplicemente troncare il numero alla cifra desiderata (anzi, nel 50% dei casi unerrore). Usualmente, quello che succede che mi trovo davanti ad un numero datodalla calcolatrice con molte cifre, e devo riportarlo con il corretto numero di cifresignicative. 8 Il metodo per arrotondare il seguente:

1. decido il numero di cifre signicative a cui devo arrotondare

2. conto le cifre da sinistra verso destra, a partire dalla pi signicativa no alnumero di cifre a cui devo arrotondare, identicando cos la posizione di quellache sar la cifra meno signicativa

3. devo considerare ora la cifra che segue immediatamente a destra quella menosignicativa:a) se inferiore a 5, allora la cifra meno signicativa non va modicatab) se superiore a 5, la cifra meno signicativa va aumentata di 1c) se uguale a 5, la cifra meno signicativa va aumentata di 1 solo se pari 9

4. per nire, il numero va troncato alla cifra meno signicativa.

Vediamo alcuni esempi di applicazione di queste regole.

E 1.4: arrotondamenti

N C R0,381 666 67 3 0,38213,453 103 4 13,45 103112,297 5 112,300,379 995 2 4 0,38000,5555 2 0,56

8Vedremo in seguito le regole per sapere qual il numero di cifre signicative con cui riportare ilrisultato di un calcolo.

9Ricordiamo che lo zero un numero pari.

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1.5. Errori nelle misure

1.5.3. Cifre significative nel riportare il risultato di calcoliTorniamo ora alla domanda che ci siamo posti allinizio della sezione 1.5: se ho dellemisure con un dato numero di cifre signicative, con le quali devo svolgere delle opera-zioni matematiche, come faccio a sapere a quante cifre signicative devo arrotondare ilrisultato? Le regole sono le seguenti:

moltiplicazioni e divisioni considero il numero di cifre signicative dei due (o pi)fattori: il risultato va arrotondato a un numero di cifre signicative pari a quantene ha il fattore con il minor numero di cifre signicative

somme e sorazioni in questo caso, si considera il numero di cifre dopo la virgola deisingoli addendi, e il risultato va arrotondato a un numero di cifre dopo la virgolapari al termine che ne contiene di meno.

FiXme Note:aggiungere esempiFiXme Note: aggiungere esempi

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Parte II.

Meccanica

FiXme Note:aggiungereintroduzione

FiXme Note: aggiungere introduzione

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2. CinematicaLa cinematica si occupa di studiare il moto del punto materiale senza preoccuparsi dellecause che producono il moto.

Partiamo dal caso pi semplice, che la descrizione del moto di un punto lungo unaretta (cio un moto in una dimensione).

2.1. Le grandezze che descrivono il moto dei corpi

2.1.1. Posizione, spostamento e spazio percorsoPer poter arrivare a scrivere delle equazioni che descrivono il moto del punto, la primacosa da fare denirne univocamente la posizione del punto sulla retta. Chiaramente,per fare questo, necessario ssare un sistema di riferimento, come illustrato ingura 2.1.

x [m]-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

x (ti )

F 2.1.: La posizione di un punto

La posizione del punto allistante ti individuata dal vettore in gura, che in praticami rappresenta di quanto mi sono spostato (x (ti ) = 2m nel caso in gura), in qualedirezione (lungo la retta in questione) e in quale verso (verso destra nel caso in gura,cio nel verso positivo dellasse x ).

Supponiamo ora che il punto passi dalla posizione x (ti ) = 2m alla posizione x (t f ) =1m, come in gura 2.2.Allora il suo spostamento sar dato dal vettore rappresentato in rosso, che sar

lungo esattamentex = x (t f ) x (ti )

cio x = 1m (2m) = 3m. 11 importante ricordare che quanto si scrive k , con k una qualsiasi grandezza sica, si intende lavariazione di tale grandezza, cio sempre la dierenza tra il valore di k nale a cui va sottratto il

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2. Cinematica

x [m]-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

x (ti )x (t f )

x

F 2.2.: Lo spostamento di un punto

In generale necessario tenere presente che non sempre lo spostamento di un puntonon coincide con lo spazio che ha percorso. Ad esempio, una macchina di formulauno, nellistante in cui ha terminato un giro di pista, ha compiuto uno spostamento che uguale a zero, in quanto la sua posizione iniziale e la sua posizione nale sono uguali.Invece, lo spazio percorso nellintero giro corrisponde allintera lunghezza del tracciato.

2.1.2. VelocitLa velocit pu essere genericamente denita come lo spazio percorso nellunit ditempo. Tuttavia, basta immaginare un semplice esempio per capire che una denizionedi velocit deve essere pi precisa. Supponiamo di andare da Trieste a Milano, chedistano circa 400 km e di impiegare circa 4 h per il viaggio. Allora la nostra velocitsarebbe pari a 100 km/h. Ma chiaro che non abbiamo fatto tutto il viaggio andandoa 100 km/h: in ogni istante di tempo la nostra velocit cambiava, come indicato daltachimetro. La velocit indicata sopra pu essere denita una velocit media, maancora non basta, perch diverso considerare nel calcolo della velocit lo spaziopercorso e lo spostamento.

Si denisce velocit scalare media la grandezza:

hsi = spazio percorsot

(2.1)

mentre la velocit vettoriale media come:

=x (t )

t=

spostamentot

(2.2)

Inne, valutare la velocit ad un dato istante, signica sostanzialmente prendere lavelocit vettoriale media e ridurre di molto lintervallo di tempo in cui si valuta lavariazione della posizione (cio lo spostamento). Formalmente, questo si scrive

limt!0

x (t )

t=dx (t )

dt

valore di k iniziale (esattamente in questordine). Pertanto, il segno di tale variazione estremamenterilevante e non va omesso per nessun motivo.

24

2.2. Moto di un corpo in una dimensione

Il membro di sinistra nellequazione non altro che il limite di un rapporto incrementale,cio la derivata della posizione in funzione del tempo, rispetto al tempo. Pertanto, sidenisce velocit istantanea di un corpo:

(t ) =dx (t )

dt(2.3)

Dal punto di vista dimensionale, la velocit il rapporto fra una lunghezza e untempo, e nel sistema internazionale si esprime in m/s.

2.1.3. AccelerazioneLaccelerazione esprime quanto rapidamente varia la velocit. Ad esempio, alcunimodelli si auto sono in grado di portare la loro velocit da 0 km/h a 100 km/h (cioaccelerare) in 4,0 s: la variazione di velocit, pari a 100 km/h, avviene in 4,0 s. Pertanto,si denisce laccelerazione media come:

a =

t(2.4)

mentre laccelerazione istantanea il limite per t ! 0 di a, cio, analogamente allavelocit:

a(t ) =d (t )

dt(2.5)

cio laccelerazione istantanea la derivata della velocit in funzione del tempo, calcolatarispetto al tempo.Dal punto di vista dimensionale, laccelerazione il rapporto fra una velocit e un

tempo, cio fra una lunghezza e un tempo al quadrato; nel sistema internazionale siesprime in m/s2.

2.2. Moto di un corpo in una dimensioneIl caso pi semplice di moto di un corpo quello in cui questo si muove lungo unaretta, da cui lespressione moto rettilineo o moto in una dimensione. In generale, dalpunto di vista sicomatematico il moto di un corpo descritto interamente dallecosiddette equazioni del moto, cio le equazioni che descrivono posizione, velocit eaccelerazione in funzione del tempo:

8>>>>>:x (t )

(t )

a(t )

25

2. Cinematica

In particolare, dalla conoscenza della funzione x (t ), cio della posizione in funzionedel tempo in un dato sistema di riferimento (vedi sezione 2.1.1), posso ricavare la velocit (t ) (calcolando la derivata di x (t )) e laccelerazione a(t ) (calcolando la derivata di (t )).La funzione x (t ) chiamata legge oraria.

2.2.1. Il moto reilineo uniformeIl tipo di moto rettilineo pi semplice quello uniforme in cui la velocit costante,cio in cui (t ) = c dove c una costante pari alla velocit con cui avviene il moto.Immaginiamo di avere un simile moto che avviene su un asse come quello rappresentatonella sezione 2.1.1. Poniamoci ora la domanda: se ho un moto rettilineo uniforme convelocit c , quanto spazio x avr percorso 2 in un intervallo di tempo tra listante ti elistante t f ? Per rispondere a questa domanda, osserviamo che seguente integrale:Z tf

ti

(t ) dt = [x (t )]tfti = x (t f ) x (ti ) (2.6)

d esattamente x (t f ) x (ti ) = x , che la quantit che ci interessa. 3Pertanto, prendiamo ora la legge fondamentale del moto uniforme (t ) = c e

calcoliamo lintegrale di entrambi i membri 4:Z tfti

(t ) dt =

Z tfti

c dt

Dallequazione 2.6 sappiamo gi quanto vale il membro di sinistra, ed otteniamo perci:

x (t f ) x (ti ) =Z tfti

c dt

= [ct]tfti

= c (t f ti )

Ri-arrangiando i termini dellequazione appena ottenuta possiamo allora scrivere leequazioni del moto rettilineo uniforme:2La domanda corretta sarebbe di quanto mi sar spostato, ma in questo caso i concetti di spostamentoe spazio percorso sono uguali a meno di un possibile segno negativo dello spostamento dovuto ad unmoto nel verso negativo dellasse su cui avviene il moto.

3Ricordiamo che Z ba

f (x ) dx = [F (x )]ba dovedF (x )

dx= f (x )

La funzione F (x ) detta una primitiva di f (x ). Nel caso specico che stiamo trattando, abbiamo chedx (t )dt = (t ), da cui discende immediatamente il risultato dellintegrale.4 chiaro che se due funzioni sono uguali, anche i loro integrali fra gli stessi estremi saranno uguali.

26

2.2. Moto di un corpo in una dimensione

8>>>>>:x (t ) = x (ti ) +c (t ti ) (t ) = ca(t ) = 0

(2.7)

dove abbiamo chiamato listante di tempo t f con il generico nome t , e abbiamo calcolatoanche laccelerazione che ovviamente, se la velocit costante, sar uguale a zero.5 Pernire, se per convenzione nel sistema che stiamo studiando abbiamo posto ti = 0 s, leequazioni 2.7 diventano:

8>>>>>:x (t ) = x (0) +ct (t ) = ca(t ) = 0

(2.8)

2.2.2. Il moto reilineo uniformemente accelerato

Il moto uniformemente accelerato quel moto in cui laccelerazione costante, cioa(t ) = ac con ac una costante pari allaccelerazione con cui avviene il moto. Similmenteal caso del moto uniforme, chiediamoci: se ho un corpo in moto con accelerazionecostante ac , di quanto cambia la velocit del corpo in un intervallo di tempo tra unistante ti e un istante t f ? Ricalcando quanto visto sopra, possiamo valutare lintegrale:

Z tfti

a(t ) dt = [ (t )]tfti = (t f ) (ti )

d esattamente (t f ) (ti ) = , che la quantit che ci interessa. Otteniamo allorache

(t ) = (ti ) + ac (t ti ) (2.9)

dove come sopra abbiamo chiamato listante t f con il generico nome t . Ora poniamociunultima domanda: di quanto si spostato il corpo che si muove con accelerazioneac , tra listante ti e listante t f ? Sappiamo gi che la risposta a tale domanda datadallintegrale di (t ) tra ti e t f (che d come visto x (t f ) x (ti )), e pertanto, integrando

5Essendo che a(t ) = d (t )dt , se la velocit costante allora la sua derivata, cio laccelerazione, sar paria zero.

27

2. Cinematica

lequazione 2.9, otteniamo

x (t f ) x (ti ) =Z tfti

[ (ti ) + ac (t ti )] dt

= [ (ti )t]tfti +

"ac

t2

2 tit!#tf

ti

= (ti ) (t f ti ) + 12ac (t f ti )2

Ri-arrangiando lequazione con le solite convenzioni otteniamo

x (t ) = x (ti ) + (ti ) (t ti ) + 12ac (t ti )2 (2.10)

Possiamo allora raccogliere le equazioni del moto uniformemente accelerato:

8>>>>>>>>>:x (t ) = x (ti ) + (ti ) (t ti ) + 12ac (t ti )

2

(t ) = (ti ) + ac (t ti )a(t ) = ac

(2.11)

che, se ti = 0 s, si semplicano in:

8>>>>>>>>>:x (t ) = x (0) + (0)t + 12act

2

(t ) = (0) + acta(t ) = ac

(2.12)

Dallinsieme delle equazioni 2.11 possibile anche ricavare unequazione molto utilenella soluzione dei problemi, che lega fra loro, accelerazione, velocit e posizione senzauna dipendenza esplicita dal tempo. Dallequazione per (t ) otteniamo infatti

t ti = (t ) (ti )ac

che possiamo sostituire nellequazione per x (t ):

x (t ) = x (ti ) + (ti ) (t ) (ti )

ac+12ac

(t ) (ti )

ac

!2Da questa equazione possiamo esplicitare (t ) ottenendo cos lequazione cercata:

(t )2 = (ti )2 + 2ac (x (t ) x (ti )) (2.13)

28

2.3. Moto di un corpo in due dimensioni

Letta in un altro modo, tale equazione ci dice che

(t )2 (ti )22ac

= x (t ) x (ti )

cio che un corpo in moto uniformemente accelerato con accelerazione ac , tra un istanteti e un istante t compie uno spostamento pari a (t )

2 (ti )22ac .

2.3. Moto di un corpo in due dimensioniPrima di poter descrivere il moto di un corpo in due dimensioni occorre introdurre ilconcetto di vettore.

2.3.1. Posizione, velocit e accelerazione chiaro che se devo identicare la posizione di un corpo nel piano, non mi basta unnumero con unit di misura. Pi precisamente, per poter denire univocamente la miaposizione ho bisogno di ssare un sistema di riferimento cartesiano, e di specicare lecoordinate della posizione in tale sistema di riferimento.

O

A(xa ;a )

~r

rx

r

x

F 2.3.: Definire la posizione di un punto nel piano

Come indicato in gura 2.3, il punto A di coordinate (rx , r ) individuato univoca-mente dal vettore ~r , che caratterizzato da tre propriet:

29

2. Cinematica

modulo la lunghezza del vettore, che si indica con |~r | o semplicemente a e pufacilmente essere calcolata con il teorema di Pitagora: |~r | =

qr 2x + r

2 ;

direzione langolo in gura 2.3, cio langolo che forma la retta su cui giace ilvettore rispetto alla direzione positiva dellasse delle ascisse;

verso indicato dalla punta del vettore.Il punto O in gura 2.3, chiamato punto di applicazione del vettore ~r e in questo

caso coincide con lorigine degli assi. Tuttavia, il punto di applicazione pu essere unpunto qualsiasi nel piano. Bisogna tenere presente che, quando si descrive il moto diun punto nel piano, in generale ho che ~r una funzione del tempo, cio

~r = ~r (t )

Come mostrato in gura 2.3, il vettore ~r univocamente denito dalle sue com-ponenti rx e r , che non sono altro che le proiezioni di ~r lungo gli assi cartesiani. Apartire dalla conoscenza di |~r | e di , possibile ricavare le componenti del vettore dallesemplici relazioni trigonometriche: (

rx = r cosr = r sin

Un vettore si pu rappresentare anche tramite i versori degli assi cartesiani:~r = rxi + r j

La gura 2.4 mostra come denito lo spostamento ~r di un punto nel piano, cio,analogamente al caso unidimensionale:

~r = ~r (t f ) ~r (ti )Il punto di applicazione del vettore ~r il punto iniziale ~r (ti ) La velocit vettorialemedia si denisce, di nuovo in analogia con il caso unidimensionale, come:

~m =~r (t f ) ~r (ti )

t f ti =~r

t

Anche nel caso del moto in due dimensioni, la velocit scalare media denitadallequazione 2.1, ed pertanto uno scalare con segno sempre positivo. Lo spaziopercorso, nel caso del moto rappresentato in gura 2.4, corrisponde alla lunghezza dellalinea tratteggiata compresa tra A e B, mentre lo spostamento corrisponde al vettore ~r .

La velocit istantanea si denisce come

~ = limt!0

~r

t

e da questa denizione chiaro che il vettore velocit diretto come il vettore sposta-mento ed ha il suo stesso verso.

30

2.3. Moto di un corpo in due dimensioni

O

A

B

~r (ti )

~r (tf )~r

x

F 2.4.: Lo spostamento di un punto nel piano

31

3. Dinamica

33

4. Lavoro ed energiaSenza inoltrarci in denizioni astratte di energia, partiamo dallaermare che lenergia semplicemente una grandezza sica che misura la capacit di un sistema di compieredel lavoro.

4.1. Energia cineticaLenergia intuitivamente pi immediata da comprendere quella che si chiama energiacinetica, che lenergia posseduta da una massam in moto con velocit ~ , ed denitacome

EK =12m

2 energia cinetica (4.1)

4.2. Il lavoroConsideriamo ora una massam che viene trascinata su un piano senza attrito da unaforza ~F per un tratto ~d , come mostrato in gura 4.1.

m

~F

~dFx

x0

F 4.1.: Il lavoro fao da una forza ~F

Scriviamo prima di tutto la seconda legge di Newton per la componente x della forza~F :

Fx =ma da cui a =Fxm

mentre nella direzione supponiamo che non vi sia alcuno spostamento (supponiamocio che F sia pi piccola di P = m). Scriviamo poi la legge che regola il motouniformemente accelerato della massam:

2f = 2f + 2ad

35

4. Lavoro ed energia

Sostituendo laccelerazione trovata sopra in questultima equazione e riarrangiando itermini troviamo che: 1

2m2f

12m

2i = Fxd (4.2)

La quantit Fxd chiamata lavoro compiuto dalla forza ~F lungo lo spostamento ~d . Piin generale, il lavoro compiuto da una qualsiasi forza costante ~F che agisce per un tratto~d dato da

L = ~F ~d = Fd cos lavoro di una forza (4.3)dove il simbolo denota il prodotto scalare dei due vettori e rappresenta langolo tra~F e ~d . La gura 4.2 mostra geometricamente come il lavoro corrisponda alla prodottodella proiezione della forza nella direzione dello spostamento (F cos ) e del modulodello spostamento stesso (d).

~F~d

Fx = F cos

F 4.2.: Il lavoro fao da una forza ~F

Riprendiamo ora lequazione 4.2 e notiamo che al membro di sinistra abbiamo lavariazione di energia cinetica Ek = 12m2f 12m2i . Questo risultato un teoremagenerale che va sotto il nome di teoremadellenergia cinetica, e si esprime in generalecome:

Ek = L (4.4)dove Ek la variazione di energia cinetica e L il lavoro compiuto dalla risultantedelle forze sul corpo. 1

1Nella risultante delle forze vanno incluse tutte le forze che agiscono sul corpo, incluse eventualmenteforze di attrito.

36

Parte III.

Statica e dinamica dei fluidi

5. Il principio di Pascal

39

6. La legge di Stevino

41

7. Il teorema di Bernoulli

43

8. Fluidi reali

8.1. La viscosit

8.2. La legge di Stokes

45

Parte IV.

Termodinamica

9. La termometria

49

10. Calorimetria

51

11. Teoria cinetica dei gas

FiXme Note:aggiungere cenni disica statistica percapire il concetto dienergia interna di ungas

11.1. Calori specifici dei gas

11.1.1. Calore specifico a volume costanteSuppongo di fornire calore Q ad un gas mantenendo costante il suo volume. Alloraavr una variazione di temperatura e di pressione fatta cos:

p ! p + p e T ! T + T

Dallequazione fondamentale della calorimetria abbiamo che: FiXme Note: insertreference

Q = nCVT (11.1)

e sappiamo che per una trasformazione isocora Eint = Q , dato che L = 0. Per un gasperfetto monoatomico, sappiamo che Eint = 32nRT per cui anche

Eint =32nRT (11.2)

Mettendo insieme le equazioni 11.1 e 11.2, otteniamo che

CV =32R per un gas perfetto monoatomico. (11.3)

In generale, per un qualsiasi gas perfetto e per qualsiasi trasformazione, potremopertanto scrivere che Eint = nCVT e perci che

Eint = nCVT (11.4)

scegliendo opportunamente il CV relativo al gas in questione (monoatomico, biatomico,. . . ), e ricordando che la temperatura va espressa in gradi kelvin.

53

11. Teoria cinetica dei gas

11.1.2. Calore specifico a pressione costanteFornendo calore Q a un gas mantenuto a pressione costante, abbiamo che Q = nCpTe, dalle propriet della trasformazione isobara, sappiamo che Eint = Q + L. Se latrasformazione isobara, avremo anche che L = pV = nRT . Usando anchelequazione 11.4, possiamo allora scrivere:

nCVT = nCpT nRTda cui, semplicando, ricaviamo:

CV = Cp R relazione di Mayer (11.5)

chiamata appunto relazione di Mayer. Da questa relazione si deduce anche che Cp sempre superiore a CV .

54

12. Trasformazioni termodinamiche

12.1. Riassunto delle trasformazioni termodinamiche

12.1.1. IsocoraIl volume rimane costante, e pertanto L = 0. Ho che Q = nCVT e che Eint = Q . Lapressione e la temperatura sono legate dalla legge di Gay-Lussac, secondo la qualep/T = costante o p / T .

12.1.2. IsobaraLa pressione rimane costante e pertanto

Lamb = p (Vf Vi) = nR (Tf Ti)Inoltre Eint = Q + L, e Q = nCpT da cui

nCVT = nCpT nRT= nCpT pV

La relazione che lega le variazioni di temperatura a quelle di volume la legge diCharles, secondo la quale V /T = costante o V / T .

12.1.3. IsotermaSe la temperatura costante, allora Eint = 0. Pertanto, dal primo principio possiamodire che Q = Lamb. Il lavoro pu essere facilmente calcolato come

Lamb = Z VfVi

p dV

ottenendoLamb = nRT ln

VfVi

!La legge di Boyle mette in relazione le variazioni di pressione con quelle di volume:pV = costante.

55

12. Trasformazioni termodinamiche

12.1.4. AdiabaticaPer denizione ho Q = 0 e quindi Eint = Lamb. Pressione, volume e temperatura sonolegati dalle relazioni:

pV = costanteTV 1 = costante

56

13. Il secondo principio dellatermodinamica

13.1. Macchine termicheUna macchina termica un sistema che assorbe calore da una sorgente calda e netrasforma una parte in lavoro, cedendo la restante parte a un termostato pi freddo.Indichiamo con |Qc | il calore assorbito dal termostato caldo, con |Qf | il calore ceduto aquello pi freddo, e con Lm il lavoro prodotto dalla macchina termica. Allora avremoche

Eint = Q Lmdove Q = |Qc | |Qf | il calore scambiato dalla macchina. La macchina termica lavorain un ciclo e pertanto abbiamo che Eint = 0. Quindi

Q = Lm = |Qc | |Qf | (13.1)Si denisce rendimento di una macchina termica

=Lm|Qc | =

|Qc | |Qf ||Qc | = 1

|Qf ||Qc | (13.2)

Si noti che 0 < < 1.

13.2. Il secondo principio della termodinamica

13.3. La pompa di caloreE se volessimo trasferire calore da un corpo pi freddo a uno pi caldo? un processonon spontaneo, quindi mi costa. Diciamo che voglio togliere ciclicamente calore |Qf |dal termostato pi freddo e cedere calore |Qc | al termostato pi caldo. Per il secondoprincipio, in un ciclo ho che 0 = Q Lamb, doveQ il calore fornito alla macchina. Avrperci che Q = |Qf | |Qc | < 0 in quanto al netto la macchina cede calore. Pertanto,Lamb = |Qc | |Qf | > 0 in quanto il lavoro fatto dallambiente sulla macchina deve esserepositivo. Analogamente al rendimento, nel caso di una pompa di calore che assorbe

57

13. Il secondo principio della termodinamica

calore da un termostato freddo (e.g. un condizionatore), si denisce il coecient ofperformance:

COP (rareddamento) = |Qf |Lamb

Nel caso di una pompa di calore che cede calore a un termostato caldo invece si denisceanalogamente:

COP (riscaldamento) = |Qc |Lamb

13.4. La macchina di CarnotTra il 1820 e il 1840, Nicolas Lonard Sadi Carnot ha proposto un ciclo termodinamicoche ha dimostrato essere il ciclo pi eciente in assoluto operante tra due termostatia temperature Tc e Tf. Il ciclo di Carnot rappresentato nel piano di Clapeyron ingura 13.1.

A

Tc

CTf

D

B

V

p

F 13.1.: Il ciclo di Carnot

Vediamo le singole trasformazioni che avvengono durante questo ciclo:

A! B il gas compie una espansione isoterma a temperatura Tc, assorbendo calore|Qc | dal termostato caldo, compiendo pertanto una uguale quantit di lavoro (datoche Eint = 0);

B ! C il gas compie una espansione adiabatica, in cui non cede calore verso i ter-mostati e la sua temperatura diminuisce da Tc a Tf, compiendo un lavoro pariallopposto della variazione di energia interna (che negativa);

58

13.4. La macchina di Carnot

C ! D il gas viene sottoposto ad una compressione isoterma, in cui cede calore |Qf |al termostato freddo, compiendo sempre una uguale quantit di lavoro;

D ! A per tornare allo stato iniziale il gas sottoposto ad una compressione adia-batica,in cui non cede calore verso i termostati e la sua temperatura aumentada Tf a Tc, compiendo nuovamente un lavoro pari allopposto della variazione dienergia interna (che in questo caso positiva);

Per il ciclo nella sua interezza, chiaro che Eint = 0 e che pertanto

Q + Lamb = Q Lgas = 0dove Q = |Qc | |Qf |. Il rendimento di una macchina, come noto, dato da

=Lgas|Qc | =

|Qc | |Qf ||Qc | = 1

|Qf ||Qc | (13.3)

e ora dimostreremo che tale rendimento, nel caso della macchina di Carnot, pari a:

c = 1 TfTc

rendimento della macchina di Carnot (13.4)

13.4.1. Calcolo del rendimento della macchina di CarnotCalcoliamo innanzituo i calori scambiati nelle due isoterme. Nel trao A! B, ho che

|Qc | = L(g)AB = nRTc ln VBVA

!(13.5)

mentre nel trao C ! D ho che

|Qf | = L(g)CD = nRTc ln VDVC

!= nRTc ln

VCVD

!(13.6)

dove con L(g) abbiamo indicato il lavoro fao dal gas nelle rispeive trasformazioni. Il rapportofra le equazioni 13.5 e 13.6 ci d:

|Qf ||Qc | =

TfTc

ln VCVD

!ln

VBVA

! (13.7)Consideriamo ora le due adiabatiche, dove possiamo scrivere che:

TcV1B = TfV

1C e TcV

1A = TfV

1D (13.8)

59

13. Il secondo principio della termodinamica

Facendo il rapporto fra le due equazioni 13.8, oeniamo VBVA

!1=

VCVD

!1) VB

VA=VCVD

(13.9)

Considerando quanto appena oenuto nellequazione 13.9, dallequazione 13.7 si vede imme-diatamente che i due logaritmi sono uguali e che pertanto

|Qf ||Qc | =

TfTc

(13.10)

Inserendo questa relazione nel rendimento dato dallequazione 13.3, oeniamo immediatamentela 13.4.

13.5. LentropiaFiXme Note: Todo

60

I Introduzione1 Le misure1.1 Sistemi di misura1.2 Multipli e sottomultipli1.3 Analisi dimensionale1.4 Conversioni fra unit di misura1.5 Errori nelle misure1.5.1 Cifre significative1.5.2 Arrotondamenti1.5.3 Cifre significative nel riportare il risultato di calcoli

II Meccanica2 Cinematica2.1 Le grandezze che descrivono il moto dei corpi2.1.1 Posizione, spostamento e spazio percorso2.1.2 Velocit2.1.3 Accelerazione

2.2 Moto di un corpo in una dimensione2.2.1 Il moto rettilineo uniforme2.2.2 Il moto rettilineo uniformemente accelerato

2.3 Moto di un corpo in due dimensioni2.3.1 Posizione, velocit e accelerazione

3 Dinamica4 Lavoro ed energia4.1 Energia cinetica4.2 Il lavoro

III Statica e dinamica dei fluidi5 Il principio di Pascal6 La legge di Stevino7 Il teorema di Bernoulli8 Fluidi reali8.1 La viscosit8.2 La legge di Stokes

IV Termodinamica9 La termometria10 Calorimetria11 Teoria cinetica dei gas11.1 Calori specifici dei gas11.1.1 Calore specifico a volume costante11.1.2 Calore specifico a pressione costante

12 Trasformazioni termodinamiche12.1 Riassunto delle trasformazioni termodinamiche12.1.1 Isocora12.1.2 Isobara12.1.3 Isoterma12.1.4 Adiabatica

13 Il secondo principio della termodinamica13.1 Macchine termiche13.2 Il secondo principio della termodinamica13.3 La pompa di calore13.4 La macchina di Carnot13.4.1 Calcolo del rendimento della macchina di Carnot

13.5 L'entropia