UNIVERSITETI I TIRANËS

FAKULTETI I SHKENCAVE TË NATYRËS

DEPARTAMENTI I MATEMATIKËS

DISERTACION

PËR MARRJEN E GRADËS “DOKTOR I SHKENCAVE”

EKREM ALJIMI

DISA LLOJE TË KONVERGJENCAVE DHE

METODAT E SHUMUESHMËRISË

Udhëheqës Shkencor: Prof. Asoc. Dr. Elida Hoxha

Tiranë, 2014

UNIVERSITETI I TIRANËS

FAKULTETI I SHKENCAVE TË NATYRËS

DEPARTAMENTI I MATEMATIKËS

Disertacion

i

Paraqitur nga

Z. Ekrem Aljimi

Për marrjen e gradës shkencore

DOKTOR

Specialiteti : Analizë dhe Algjebër

Tema: DISA LLOJE TË KONVERGJENCAVE DHE METODAT E

SHUMUESHMËRISË

Mbrohet më dt. . . para jurisë:

1. Kryetar

2. Anëtar (oponent)

3. Anëtar (oponent)

4. Anëtar

5. Anëtar

6. Anëtar

II

FALËNDERIME

Realizimi i këtij punimi u mundësua falë ndihmesës së pakushtëzuar të disa personave, të cilët

dëshiroj t’i falënderoj përzemërsisht.

Së pari, shpreh falenderimet më të sinqerta dhe mirënjohjen time të thellë për Prof. Dr. Elida

Hoxha, udhëheqësen shkencore, e cila nuk e humbi kurrë besimin tek unë. E falënderoj për

përkushtimin, sugjerimet dhe këshillat aq të vyera.

Së dyti, dëshiroj të falenderoj profesorin e nderuar Prof. Dr. Naim Braha, për mbështetjen,

përkushtimin si dhe këshillat e tij në fushën analizës funksionale .

Dëshiroj të falenderoj, gjithashtu, profesorët e mi të departamentit të matematikës, mbështetja

morale dhe profesionale e të cilave më ka inkurajuar në mënyrë të vazhdueshme.

Së fundi, por jo për nga rëndësia, falënderimet e mia iu drejtohen të gjithë atyre personave që më

qëndruan pranë dhe ndanë në çdo moment “mungesën” time, duke treguar mirëkuptim e

tolerancë.

Në mënyrë të veçantë, iu kërkoj ndjesë nënës, gruas dhe djalit për të gjithë kohën e vëmendjen e

munguar.

III

ABSTRAKT

Në këtë temë të cilën e kemi quajtur “Disa lloje të konvergjencave dhe metodat e

shumueshmërisë” trajtojmë rezultate të llojeve të ndryshme të konvergjencave duke bërë një

lidhje me metodat e shumueshmërisë. Konvergjenca statistikore është paraqitur për shkak të

problemit të shumueshmërisë së serive. Ideja kryesore e konvergjencës statistikore e vargut

𝑥 = (𝑥𝑘) është se shumica e elementeve nga vargu 𝑥 = (𝑥𝑘) konvergjojnë dhe ne nuk

kujdesemi se çfarë ndodh me elementët e tjerë. Koncepti i konvergjencës statistikore është

drejtpërdrejt i lidhur me konvergjencën e disa karakteristikave statistikore si mesatarja, devijimi

standard etj. Në të njëjtën kohë, dihet se vargjet të cilat i marrim nga të dhënat e jetës reale, si

matjet apo llogaritjet, nuk na lejojnë, në rast të përgjithshëm, t'i testojmë nëse ato konvergjojnë

në mënyrë të zakonshme apo konvergjojnë statistikisht në sensin rigoroz matematik. Zhvillimi i

analizës neoklasike ka tejkaluar kufizimet e paraqitura nga paqartësia dhe pasiguria e të dhënave

nga jeta reale. Analiza neoklasike zgjeron qëllimin dhe rezultatet e analizës klasike matematike

duke aplikuar logjikën tradicionale të objekteve matematike, si funksionet, vargjet dhe seritë.

Qëllimi ynë në këtë punim është për të pasuruar fushën e analizës funksionale me rezultate të

reja. Këtu do të ndërtojmë një metodë të re të cilën do ta quajmë metoda Norlund- Euler, e cila

është përgjithësim i metodës Norlund- Cesaro. Ne do të provojmë disa veti të kësaj metode dhe

gjithashtu do të përgjithsojmë teoremën e Korovkin-it sipas metodës sonë dhe do e testojmë atë

për funksionet 1, 𝑒− 𝑥 , 𝑒−2𝑥 . Në vazhdim ne do të përgjithësojmë përsëri metodën e Norlund-

Eulerit dhe do të tregojmë disa veti të reja të saj. Po ashtu edhe kuptimin e shkallës së

konvergjencës statistikore me pesha sipas Norlund-Eulerit dhe disa veti të saj. Gjithashtu këtu do

të tregojmë me një shembull se konvergjenca me pesha sipas Norlund-Eulerit është koncept më i

gjërë se konvergjenca e zakonshme, kurse e anasjellta në përgjithësi nuk është e vërtetë. Duke e

shfrytëzuar konvergjencën statistikore me pesha do të provojmë teoremën e Korovkinit për

funksionet 1, 𝑐𝑜𝑠𝑥 dhe sin𝑥 . Do të përkufizojmë shkallën e konvergjencës statistikore me pesha

sipas Norlund Eulerit për funksionet periodike dhe tregojmë me një shembull se rezultati ynë

është më i fuqishëm se teorema e Korovkinit duke e shfrytëzuar konvergjencën e zakonshme. Po

ashtu japim edhe kuptimin e konvergjencës 𝐴 -statistikore me pesha sipas Norlund-Eulerit.

Provojmë se rezultatet që vlejnë për konvergjencën statistikore me pesha sipas Norlund-Eulerit

vlejnë edhe për konvergjencën 𝐴-statistikore me pesha sipas Norlund-Eulerit. Po ashtu provojmë

edhe disa rezultate të reja për konvergjencën 𝐴-statistikore me pesha sipas Norlund-Eulerit.

Fjalët kyçe: Konvergjenca statistikore sipas Norlund-Euler, konvergjenca statistikore me pesha

sipas Norlund-Euler, hapësira e vargjeve, Cesaro shumueshmëria, densiteti, operatorët linearë

pozitivë, teorema përafruese e Korovkinit, A-konvergjenca statistikore.

IV

ABSTRACT

On this subject which we have called "Some types of convergence and summability methods "

treat different results doing the convergence of different connection summability methods.

Statistical convergence was introduced in connection with problems of series summation. The

main idea of the statistical convergence of a sequence 𝑥 = (𝑥𝑘) is that the majority of elements

from 𝑥 = (𝑥𝑘) converge and we do not care what is going on with other elements. The concept

of statistical convergence is directly connected to convergence of such statistical characteristics

as the mean and standard deviation. At the same time, it known that sequences that come from

real life sources, such as measurement and computation, do not allow, in a general case, to test

whether they converge or statistically converge in the strict mathematical sense. To overcome

limitations in duced by vagueness and uncertainty of real life data, neoclassical analysis has been

developed. It extends the scope and results of the classical mathematical analysis by applying

logic to conventional mathematical objects, such as functions, sequences, and series. Our goal in

this thesis is to enrich the field of functional analysis with new results. In our results important

role plays product of two summability methods, and these new method we will call Norlund-

Cesaro methods and generalize of these this method we will call Norlund-Euler method. Here we

will prove some properties of this method and also we will prove Korovkin-type theorem on

𝐶[0,∞) by using the test functions 1, 𝑒− 𝑥 , 𝑒−2𝑥 . Also we will generalize Norlund-Euler method

and we will show some of its new properties. So will give the concept of the rate of weighted

Norlund-Euler statistical convergence and some its properties. As well we will give an example

to show that weighted Norlund-Euler statistical convergence is larger than the convergence in

ordinary sens, where the converse in generally is not true. Using weighted statistical convergence

we will prove the Korovkin theorem for functions 1, 𝑐𝑜𝑠𝑥 and 𝑠𝑖𝑛𝑥. Also we get the definition of

the rate of weighted Norlund-Euler statistical convergence for periodic functions and

demonstrate with an example that our result is stronger than the Korovkin theorem by utilizing

common convergence. As well we will give the definition of weighted Norlund-Euler 𝐴 -

statistical convergence. We will prove that the results which are valid for weighted Norlund-

Euler statistical convergence are valid and for weighted Norlund-Euler 𝐴-statistical convergence.

Also we will prove some new results for weighted Norlund-Euler 𝐴-statistical convergence.

Keywords: Weighted Norlund-Euler statistical convergence, sequence spaces, Cesaro

summability, density, positive linear operator, Korovkin type approximation theorem, A-

statistical convergence.

V

PARATHËNIE

Konvergjenca statistikore është paraqitur për herë të parë nga Zygmund të publikuar në

edicionin e parë të monografisë së tij me 1935 [8]. Formalisht kuptimi i konvergjencës

statistikore është paraqitur nga Steinhaus [4] dhe Fast [5]. Dhe më vonë është rishfaqur nga

Schoenberg [6]. Ky lloj i konvergjencës, edhe pse është shfaqur gati para pesdhjetë viteve, ajo

ka filluar tash kohëve të fundit të jetë një fushë që studiohet. Matematicientë të ndryshëm kanë

studiuar vetitë e konvergjencës statistikore dhe kanë aplikuar këtë koncept në fusha të ndryshme

si në: teori të masës [7], seri trigonometrike [8], teori të përafrimeve[9], hapësira lokalisht

konvekse [10], hapësira të Banahut [11] etj. Konvergjenca statistikore dhe metodat e

shumueshmërisë e zhvillojnë njëra tjetërën në mënyrë të vazhdueshme. Koncepti i konvergjencës

statistikore në teorinë e shumueshmërisë dhe analizës funksionale luan një rol të rëndësishëm.

Lidhja në mes teorisë së shumueshmërisë dhe konvergjencës statistikore është paraqitur nga

Schoenberg [6]. Më vonë konvergjenca statistikore është studiuar si metodë e shumueshmërisë

nga mjaft studiues si Fridy [22], Freedman [19], Kolk [20, 21], Fridy dhe Miller [22], Fridy

dhe Orhan [23,24], Mursaleen [17] , Savaş [25], Braha [26-28]. Gjithashtu, disa veti toplogjike

të konvergjencës statistikore janë studiuar nga Salat [20]. Pastaj në [30,31], Connor ka treguar

lidhjen në mes konvergjencës statistikore dhe analizës funksionale. Përkufizimi i konvergjencës

statistikore kishte dhënë mundësi që të definohen edhe lloje të tjera të konvergjencës si p.sh.

konvergjenca statistikore me pesha e cila është e lidhur me metodën e shumueshmëris së

Norlundit. Idenë e konvergjencës statisikore me pesha për herë të parë e ka dhënë V. Karakaja

and T.A.Chishti [16]. Kjo ide më vonë është korigjuar nga Mursaleen [17] ku ai përveç

korigjimit që ka bërë duke dhënë një shembull konkret për të argumentuarrezultatin në [16] ai

ka dhënë edhe disa veti të reja të kësaj lloj konvergjence. Teorema klasike përafruese e

Korovkinit me ndihmën e konvergjencës së zakonshme është dhënë në [32]. Në kuptimin

statistikor kjo teoremë është dhënë nga Gadjiev dhe Orhan [33]. Disa tipe të teoremës

përafruese duke përdorur konceptin e pothuajse kudo konvergjencës janë provuar nga [34-37].

Boyanov dhe Veselinov [28] e kanë provuar teoremën e Korovkin-it në 𝐶[0, ∞) duke e testuar me

funksionet 1, 𝑒− 𝑥 , 𝑒−2𝑥 .

Ne në këtë temë doktorature e cila titullohet “Disa lloje të konvergjencave dhe metodat e

shumueshmërisë”, jemi munduar të japim një kontribut modest në zhvillimin e mëtejshëm të

kësaj teorie relativisht të re, duke vërtetuar disa teorema të reja si dhe duke ndërtuar metoda të

reja të shumueshmërisë përmes konvergjencës statistikore. Studimi i konvergjencës statistikore

dhe metodave të shumueshmërisë ka një rëndësi të veçantë edhe për faktin se shumë veti tё tyre

lidhen ngushtё me konvergjencën statistikore me pesha sipas metodës së Norlund-Cesaros,

Norlund-Eulerit dhe Cesaro-Eulerit, gjithashtu këto veti lidhen edhe me konnvergjencën A-

statistikore me pesha sipas Norlund-Eulerit.

VI

PËRMBAJTJA:

KAPITULLI 1

DISA REZULTATE NDIHMËSE NË LIDHJE ME HAPËSIRAT E BANAHUT DHE

METODAT E SHUMUESHMËRISË

1.1 Hapësirat vektoriale dhe operatorët linearë. Përkufizimi.................................................1

1.2 Hapësirat e Normuara.........................................................................................................2

1.3 Hapësirat e Banahut............................................................................................................4

1.4 Përkufizimi i konvergjencës statistikore.............................................................................5

1.5 Shuma e serive....................................................................................................................7

1.6 Disa llogaritje me seri divergjente......................................................................................8

1.7 Përkufizimet themelore......................................................................................................12

1.8 Regulariteti i metodës........................................................................................................17

1.9 Përgjithësime lidhur me transformimet lineare..................................................................18

1.10 Transformimet regulare....................................................................................................19

1.11 Një aplikim i teoremës 1.10.2..........................................................................................20

KAPITULLI 2.

METODAT SPECIALE TË SHUMUESHMËRISË 1.1 Metoda e Norlundit...........................................................................................................23

1.2 Regulariteti dhe qëndrushmëria e metodës së Norlundit..................................................24

1.3 Metoda e Eulerit dhe disa veti të saj.................................................................................26

1.4 Metoda Norlund-Euler. Konvergjenca statistikore me pesha sipas

Norlund-Euler...................................................................................................................28

1.5 Zbatimi i konvergjencës statistikore me pesha sipas Norlund-Eulerit,

në teoremën përafruese.....................................................................................................36

1.6 Përgjithësimi i kovergjencës statistikore me pesha sipas Norlund-Eulerit

dhe disa rezultate të reja në lidhje me këtë metodë..........................................................40

1.7 Shkalla e konvergjencës statistikore me pesha sipas Norlund-Eulerit.............................46

1.8 Përafrimi i funksioneve periodike përmes konvergjencës statistikore

me pesha sipas Norlund –Eulerit......................................................................................48

2.9 Shkalla e konvergjencës statistikore me pesha sipas metodës së

përgjithësuar të Norlund-Eulerit për funksionet periodike...............................................53

KAPITULLI 3

KONVERGJENCA A-STATISTIKORE ME PESHA

3.1 Konvergjenca A-statistikore me pesha e vargjeve të operatorëve linearë

pozitivë……………………………………………………………………...................…55

3.2 Konvergjenca A-statistikore me pesha sipas Norlund-Eulerit e

vargjeve të operatorëve linear pozitiv………………………………………....................61

KONKLUZIONE DHE PROJEKTE PËR TË ARDHMËN 2. REFERENCAT……………………………………………………………….........…...72

VII

H Y R J E

Kjo temё doktorature i kushtohet studimit tё disa llojeve të konvergjencave si dhe metodave të

shumueshmërisë.

Kontributi ynё nё kёtё punim konsiston kryesisht nё studimin e mёtejshёm tё konvergjencës

statistikore Norlund-Eulerit dhe konvergjencës statistikore me pesha sipas metodës së

shumueshmëris së Norlund-Eulerit, studimin e vetive të tyre dhe gjithashtu përafrimin e

teoremës së Korovkinit përmes këtij lloji të konvergjencës dhe kësaj metode të shumueshmërisë.

Siç do tё shohim nga pёrkufizimi i konvergjencës statstikore me pesha sipas Norlund-Eulerit në

themel të tyre qëndrojnë përkufizimi i konvergjencës statistikore i dhënë nga Steinhaus, Fast, dhe

Schoenberg dhe gjithashtu ndërtimi i metodës së Eulerit, metodës së Norlundit dhe metodës së

Cesaros.

Punimi ёshtё ndarё nё tre kapituj. Nё kapitullin e parё kemi pёrmbledhur njё sёrё konceptesh dhe

vetish tё njohura mbi hapësirat e Banahut, pёr tё krijuar njё mjedis pune dhe njё “fjalor” tё

pёrshtatshёm qё do tё na shёrbejё pёr zhvillimin e temёs nё vazhdim. Kёto koncepte dhe veti

janё marrё kryesisht nga librat e Analizës funksionale S. Kurepa [1], S. Gjinushi [2] dhe

R.Zejnullahu [3]. Gjithashtu kemi dhënë përkufizimin e konvergjencës statistikore dhe përmes

një shembulli kemi treguar se konvergjenca statistikore është përgjithësim i konvergjencës së

zakonshme [4-6]. Në vazhdim kemi dhënë disa pёrkufizime dhe shembuj të serive divergjente

dhe disa veti në lidhje me to [14] . Po ashtu japim disa metoda të shumueshmërisë si metoda e

Cesaros, metoda e Eulerit, përkufizimi i regularitetit për metodat e shumueshmërisë [14].

Paragrafi 1.9. trajton përgjithësimet lidhur me transformimet lineare, transformimet e rregullta

dhe një aplikim të teoremës 4.2.2. [14].

Kapitulli i parë pёrgatit terrenin pёr tё kaluar nё pjesёn mё tё rёndёsishme tё këtij punimi, nё

ndёrtimin e metodave të shumueshmëris dhe të disa llojeve të konvergjencave [14].

Kapitulli i dytë ёshtё tёrёsisht kontribut i punёs tonё. V. Karakaya, T.A. Chishti [16], ka dhënë

kuptimin e konvergjencës statistikore me pesha, ndërsa këtë koncept e korrigjon Mursaleen,

Mohammad; Karakaya, Vatan; Ertürk, Müzeyyen; Gürsoy, Faik [17]. Ne kemi arritur të

formulojmë konvergjencën statistikore sipas Norlund-Eulerit dhe konvergjencwn statistikore me

pesha sipas Norlund-Eulerit [45-46], [48-49], [60] dhe kemi vërtetuar disa rezultate ndihmëse në

lidhje me këtë metodë.

Në kapitullin tretë duke u mbështetur në artikullin e S.A. Mohiuddine, Abdullah Alotaibi and

Bipan Hazarika [51] i cili ka ndërtuar 𝐴-konvergjencën statistikore me pesha, krahas kësaj

metode ne kemi ndërtuar 𝐴-konvergjencën statistikore me pesha sipas Norlund-Eulerit [61] dhe

kemi provuar disa rezultate në lidhje me këtë.

1

KAPITULLI 1

1. DISA REZULTATE NDIHMËSE NË LIDHJE ME HAPËSIRAT E

BANAHUT DHE METODAT E SHUMUESHMËRISË

Nё paragrafin 1.1, 1.2 dhe 1.3 do tё japim disa kuptime, pёrkufizime dhe pohime

bazё, qё do tё na shёrbejnё pёr zhvillimin nё vijim tё pёrmbajtjes sё kёsaj teme

doktorature. Ato janё marrё nga botime tё ndryshme mbi teorinё e operatorëve. Nё

pёrkufizimet, pohimet, teoremat dhe shembujt e kёtij kapitulli ne do t'i referohemi

literturës, kryesisht autorёve S. Kurepa [1], S. Gjinushi [2] dhe R.Zejnullahu [3].

1.1 Hapësirat vektoriale dhe operatorët linear. Përkufizimi .

Përkufizim 1.1.1. [1] Struktura e hapsirës vektoriale 𝑋 = {𝑥, 𝑦, 𝑧 … } mbi fushën 𝐹 = {𝛼,𝛽, 𝛾 … } përkufizohet me ndihmën e dy funksioneve:

(1) (𝑥,𝑦) → 𝑥 + 𝑦 me 𝑋 x 𝑋 në 𝑋 dhe

(2) (𝜆, 𝑥) → 𝜆𝑥 me 𝐹 × 𝑋 në 𝑋 Funksioni (1), mbledhja në X , ka këto veti : ∀𝑥,𝑦, 𝑧 ∈ 𝑋

(HV1) (𝑥 + 𝑦) + 𝑧 = 𝑥 + (𝑦 + 𝑧)

(HV2) Eksiston elementi i vetëm 0∈ X e tillë që për çdo 𝑥 ∈ 𝑋

𝑥 + 0 = 0 + 𝑥 = 𝑥

(HV3) Për cdo 𝑥 ∈ 𝑋 eksiston elementi i vetëm −𝑥 ∈ 𝑋 i tillë që

𝑥 + (−𝑥) = (−𝑥) + 𝑥 = 0

(HV4) Për cdo 𝑥,𝑦 ∈ 𝑋 𝑥 + 𝑦 = 𝑦 + 𝑥

Funksioni (2),prodhimi skalar, ka këto veti: ∀𝑥,𝑦 ∈ 𝑋 dhe 𝜆, 𝜇 ∈ 𝐹

(HV5) 𝜆(𝑥 + 𝑦) = 𝜆𝑥 + 𝜆𝑦

(HV6) (𝜆 + 𝜇)𝑥 = 𝜆𝑥 + 𝜇𝑥

(HV7) 𝜆𝜇 𝑥 = 𝜆 𝜇𝑥

(HV8) 1∙ 𝑥 = 𝑥

Elementet e hapsirës vektoriale i quajmë vektorë, kurse elemntet e fushës F i quajmë

skalar (numra).

Vetitë (HV1)-(HV4) tregojnë që hapsira vektoriale 𝑋 në lidhje me mbledhjen formon

grup aditiv dhe elementi neutral i këtij grupi është vektori zero (0-vektori).

Nqs 𝐹 = ℝ atëhere hapësira 𝑋 quhet hapësirë reale, nëse 𝐹 = ℂ atëhere hapësira 𝑋

quhet hapësirë komplekse.Vërejmë se 𝐹 është hapësirë vektoriale mbi ℂ gjithashtu

edhe mbi ℝ.

2

Për dy hapësira vektoriale X dhe Y mbi nje fushë të njëjtë 𝐹 themi se janë izomorfe në

qoftë se ekziston bijeksioni 𝐴 i 𝑋 në 𝑌 i tillë që për të gjithë skalarët λ, 𝜇 ∈ 𝐹 dhe për

të gjithë vektorët 𝑥,𝑦 ∈ 𝑋 vlen:

(3) 𝐴 𝜆𝑥 + 𝜇𝑦 = 𝜆𝐴𝑥 + 𝜇𝐴𝑦. Le të jenë X dhe Y dy hapësira vektoriale mbi fushën 𝐹.

Funksioni 𝛢:𝑋 → 𝑌 është

a) Aditiv në qoftë se

𝛢 𝑥 + 𝑦 = 𝐴𝑥 + 𝐴𝑦 (𝑥,𝑦 ∈ 𝑋) b) Homogjen në qoftë se

𝛢 𝜆𝑥 = 𝜆𝐴𝑥 (𝜆 ∈ 𝐹, 𝑥 ∈ 𝑋) c) Linear nëse ai është aditiv dhe homogjen

d) Antilinear nqs ai është aditiv dhe vlen kjo veti:

𝛢 𝜆𝑥 = 𝜆 𝐴𝑥 (𝜆 ∈ 𝐹, 𝑥 ∈ 𝑋)

Funksioni i cili e ka domenin ne hapsirën vektoriale 𝑋 dhe kodomenin në hapsirën

vektoriale 𝑌 quhet operator. Funksionin linear 𝐴:𝑋 → 𝑌 e quajmë operator linear,

nëse 𝑌 = 𝐹 funksionin linear 𝐴:𝑋 → 𝑌 e quajmë funksional linear.

Nëse 𝑋,𝑌 𝑑𝑕𝑒 𝑊 janë hapësira vektoriale mbi fushën 𝐹 dhe 𝐴:𝑋 → 𝑌, 𝐵:𝑌 → 𝑊 janë operatorë linearë, atëhere kompozimi 𝐵 ∘ 𝐴 është operator linear i 𝑋 në 𝑊 dhe

quhet produkt i operatorëve 𝐵 dhe 𝐴 dhe shënohet 𝐵𝐴.

Pasqyrimi identik 𝐼𝑋 : 𝑥 → 𝑥 i hapësirës 𝑋 në 𝑋 është operator linear dhe simbolikisht

shënohet 𝐼𝑋 përkatësisht me 𝐼.

1.2 Hapësirat e normuara

Përkufizim.1.2.1. [2,3] Funksioni 𝑥 → 𝑥 i hapësirës vektoriale 𝑋 në hapësirën e

numrave real (kompleksë) është normë në X nëse ajo i plotëson këto veti:

(N1) 𝑥 ≥ 0 për çdo 𝑥 ∈ 𝑋

(N2) 𝑥 = 0 atëherë dhe vetëm atëherë nëse 𝑥 = 0

(N3) 𝜆𝑥 = 𝜆 ⋅ 𝑥 për çdo 𝜆 ∈ 𝐹 dhe për çdo 𝑥 ∈ 𝑋

(N4) 𝑥 + 𝑦 ≤ 𝑥 + 𝑦 për çdo 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋

Çifti i renditur (𝑋, ∙ ) , i hapësirës vektoriale X dhe normës 𝑥 → 𝑥 të përkufizuar

në X quhet hapësirë e normuar vektoriale.

Dy veti të rëndësishme të normës :

Pohim1.2.2. [2,3]

1. Është i vërtet jobarazimi 𝑥 − 𝑦 ≤ 𝑥 − 𝑦 2. Funksioni normë ∙ është funksion i vazhdueshëm në çdo hapësirë të normuar

vektoriale.

Disa shembuj të hapësirave të normuara :

3

Shembull 1.2.3. 𝑋 = 𝐾𝑝𝑘 1 ≤ 𝑝 < +∞, ℝ,ℂ : 𝑥 𝑝 = ( 𝑥𝑖

𝑘𝑖=1

𝑝)

1

𝑝

për = +∞ : 𝑥 ∞ = max1≤𝑖≤𝑘 𝑥 𝑖

Çdo dy norma në hapësirën 𝐾𝑝𝑘 , 𝑝 ≥ 1, janë ekuivalente (shih përkufizimin e

hapësirave ekuivalente).

Shembull 1.2.4. ( 𝑋 = 𝑙𝑝 është hapësira e të gjitha vargjeve të pafundme të trajtës

𝑥 = (𝑥1,𝑥2 ,… , 𝑥𝑛 ,… ) të tillë që 𝑥𝑖 𝑝+∞

𝑖=1 konvergjon)

𝑋 = 𝑙𝑝 , 1 ≤ 𝑝 < +∞ ∶ 𝑥 = ( 𝑥𝑖 𝑝

+∞

𝑖=1

)1𝑝

Shembull 1.2.5. 𝑋 = 𝑚 është hapësira e gjitha vargjeve të kufizuara, dmth hapësira e

gjitha vargjeve 𝑥 = (𝑥1, 𝑥2 ,… , 𝑥𝑛 ,… ) të tillë që 𝑠𝑢𝑝𝑛∈ℕ 𝑥𝑛 < +∞.

𝑋 = 𝐶 është hapësira e të gjitha vargjeve të cilat konvergjojnë.

𝑋 = 𝐶0 është hapësira e të gjitha vargjeve të cilat konvergjojnë në zero.

Në hapësirën e vargjeve 𝑀,𝐶,𝐶0: 𝑥 = 𝑠𝑢𝑝𝑛∈ℕ 𝑥𝑛

Shembull 1.2.6. Hapësira X = ℂ a, b është hapësira e gjitha funksioneve të

vazhdueshme në intervalin e fundëm a, b .

𝑋 = ℂ 𝑎, 𝑏 : 𝑥 = max𝑎≤𝑡≤𝑏 𝑥(𝑡)

Shembull 1.2.7. 𝑋 = ℂ𝑝 𝑎, 𝑏 hapësira e gjitha funksioneve të vazhdueshme në

intervalin e fundëm a, b .

𝑋 = ℂ𝑝 𝑎, 𝑏 , 1 ≤ 𝑝 < +∞, 𝑥 = ( 𝑥 𝑡 𝑝𝑏

𝑎𝑑𝑡)

1

𝑝

Shembull 1.2.8. 𝑋 = 𝐿𝑝(𝑎, 𝑏) është hapësira e funksioneve të integrueshme sipas

Lebegut në intervalin (a, b).

𝑋 = 𝐿𝑝(𝑎, 𝑏) , 1 ≤ 𝑝 < +∞, 𝑥 = ( 𝑥 𝑡 𝑝𝑏

𝑎𝑑𝑚)

1

𝑝

Provohet se funksionet e dhëna në shembujt e mësipërm janë norma në hapësirat ku

janë të përkufizuara.

Përkufizim1.2.9. [2,3] Normat 𝑥 1 dhe 𝑥 2 në 𝑋 janë ekuivalente nëse ekzistojnë

numrat 𝑚,𝑀 > 0 të tillë që për cdo 𝑥 ∈ 𝑋 vlen 𝑚 𝑥 1 ≤ 𝑥 2 ≤ 𝑀 𝑥 1

Nga jobarazimi i fundit rrjedh: 1

𝑀 𝑥 2 ≤ 𝑥 1 ≤

1

𝑚 𝑥 2 .

4

1.3 Hapësirat e Banahut

Përkufizim1.3.1.[2,3] Vargu (𝑥𝑛) është varg i Cauchyt (Koshiut) në qoftë se për çdo

ε > 0 ekziston numri natyror 𝑛0 i tillë që për

𝑚 > 𝑛 ≥ 𝑛0 ⇒ 𝑥𝑚 − 𝑥𝑛 < 휀

Pohim1.3.2. [2,3] Çdo varg i Cauchyt(Koshiut) është i kufizuar.

Pohim1.3.3. [2,3] Çdo varg konvergjent ështe varg i Cauchyt(Koshiut).

Përkufizim1.3.4.[2,3] Hapësira është e plotë, në qoftëse çdo varg i Cauchyt(Koshiut)

konvergjon në të.

Përkufizim1.3.5.[2,3] Hapësirat e normuara e të plota do ti quajmë hapësira të

Banahut.

Shembull 1.3.6. 𝑚 = 𝑥 = (𝑥𝑛)𝑛∈ℕ: ∃𝑀 > 0, 𝑥𝑛 < 𝑀,𝑝ë𝑟 𝑛 ∈ ℕ është bashkësia

e të gjithë vargjeve numerike të kufizuara. Kjo bashkësi 𝑚 e paisur me veprimin e

mbledhjes dhe shumëzimit me skalar formon një hapësirë vektoriale.

Përcaktojmë në 𝑚 funksionin që pikës 𝑥 = (𝑥𝑛)𝑛∈ℕ i vë në korrespondencë numrin

𝑥 = 𝑠𝑢𝑝𝑛∈ℕ

𝑥𝑛

Që ky funksion paraqet normë e kemi parë në shembullin 1.2.5. Provohet se 𝑚 e

paisur me këtë normë është hapësirë e Banahut.

Shembull 1.3.7. Provohet se 𝑋 = 𝑙∞(𝑀) është hapësirë e Banahut ( 𝑙∞(𝑀) është

hapësira e gjitha funksioneve me vlera reale të kufizuara f: M → ℝ ) ku M është

hapësirë metrike e plotë dhe

𝑓 = sup𝑥∈𝑀 𝑓(𝑥)

Gjithashtu tregohet që hapësirat e dhëna në shembujtë e mësipërm me normat

përkatëse janë hapësira të Banahut.

5

1.4 Përkufizimi i konvergjencës statistikore

Fomalisht koncepti i konvergjencës statistikore është paraqitur nga Steinhaus [4] dhe

Fast [5] dhe më vonë edhe nga Schoenberg [6].

Konvergjenca statistikore, ka mbi pesëdhjetë vite që është futur si koncept, por kohët

e fundit ka filluar të hulumotohet kjo fushë më gjerësisht. Matematikanë të ndryshëm

kanë studiuar veti të konvergjencës staistikore dhe e kanë aplikuar atë në fusha të

ndryshme si në teorinë e masës [7], në seritë trigonometrike [8], në teorinë përafruese

[9], hapësirat lokalisht konvekese [10] dhe hapësirat e Banahut [11] etj.

Ideja e konvergjencës statistikore është përgjithësim i konvergjencës së zakonshme,

dhe gjithashtu shërben si një aparat ndihmës që në përgjithësi i pasuron me rezultate

të jashtëzakonshme metodat e shumueshmërisë, siç janë metoda e Cezaros, metoda e

Norlundit, metoda e Eulerit etj. Gjithashtu me një shembull konkret do të tregojmë se

konvergjenca statistikore është përgjithësim i konvergjncës së zakonshme.

Konsiderojmë nënbashkësinë 𝐾 të bashkësisë së numrave natyror 𝑁. Atëhere

𝐾𝑛 = 𝑘 ∈ 𝐾: 𝑘 ≤ 𝑛 .

Përkufizim 1.4.1 [12, kap11] Densiteti natyror 𝛿(𝐾) i bashkësisë 𝐾 është i barabartë

me

𝛿 𝐾 = lim𝑛→∞

𝐾𝑛

𝑛

sa herë që ekziston limiti i tij. Shprehja 𝐾𝑛 paraqet numrin kardinal të bashkësisë

𝐾𝑛 .

Le të konsiderojmë vargun real 𝑙 = 𝑎1,𝑎2,… dhe numrin real 𝑎.

Përkufizojmë bashkësinë 𝑑(𝑙) = 𝑘 ≤ 𝑛: 𝑎𝑘 − 𝑎 ≥ 휀 .

Përkufizim 1.4.2. [12] Themi se vargu 𝑙 konvergjon statistikishtë te numri 𝑎 nëse për

çdo 휀 > 0

lim𝑛→∞

𝑘 ≤ 𝑛: 𝑎𝑘 − 𝑎 ≥ 휀

𝑛= 0 (1.4.1)

Numri 𝑎 quhet limit statistikor i vargut 𝑙. Këtë e shënojmë 𝑠𝑡 − 𝑙𝑖𝑚 𝑙 = 𝑎. Gjithashtu

vargjet konvergjente janë statistikisht konvergjente sa herë që të gjitha nënbashkësitë

e numrave natyrorë kanë densitetin zero. Në përgjithësi e anasjellta nuk është e

vërtetë. Kjo është paraqitur me shembullin e mëposhtëm.

Shembull 1.4.3 Le të jetë dhënë vargu 𝑙 = 𝑎1,𝑎2,… termat e të cilit janë dhënë me

formulën

𝑎𝑛 = 𝑛 𝑠𝑎 𝑕𝑒𝑟ë 𝑞ë 𝑛 = 𝑠2 𝑝ë𝑟 ç𝑑𝑜 𝑠 = 1,2,3…1

𝑛 𝑝ë𝑟 𝑡ë 𝑡𝑗𝑒𝑟𝑎 𝑟𝑎𝑠𝑡𝑒

6

Të tegojmë se vargu i dhënë 𝑎𝑛 konvergjon statistikisht por nuk konvergjon në

mënyrë të zakonshme.

Atëhere lehtë shihet se

lim𝑛→∞

𝑘 ≤ 𝑛: 𝑎𝑘 − 𝑎 ≥ 휀

𝑛= lim

𝑛→∞

𝑘 ≤ 𝑠: 𝑎𝑘 − 𝑎 ≥ 휀

𝑛

= lim𝑛→∞

𝑠

𝑛= lim

𝑘→∞

𝑘

𝑘= 0

Pra, në bazë të (1.4.1) shohim se vargu i dhënë konvergjon statistikisht.

Nga ana tjetër shihet qartë se vargu i dhënë 𝑙 nuk është konvergjent në kuptimin e

konvergjencës së zakonshme. Dmth

kur 𝑛 = 𝑠2

lim𝑛→∞

𝑎𝑛 = ∞

kurse, për 𝑛 të tjera

lim𝑛→∞ 𝑎𝑛 = 0 .

Pra kjo tregon se vargu 𝑙 është divergjent.

Me këtë shembull treguam se një varg mund të konvergjojë statistikisht por jo edhe në

mënyrë të zakonshme. Pra konvergjenca statistikore është përgjithsim i konvergjencës

së zakonshme.

7

1.5 Shuma e serive. [14] Seria

𝑎𝑛

∞

𝑛=0

= 𝑎0 + 𝑎1 + 𝑎2 + ⋯

Themi se është konvergjente te 𝑠, nëse shuma e pjesëshme

𝑠𝑛 = 𝑎0 + 𝑎1 + 𝑎2 + ⋯+ 𝑎𝑛 → 𝑠 kur 𝑛 → ∞.

Seritë vijuese

1 − 1 + 1 − 1 + ⋯ (1.5.1)

1 − 2 + 3 − 4 + ⋯ (1.5.2)

1 − 2 + 4 − 8 + ⋯ (1.5.3)

1 − 1! + 2! − 3! + ⋯ (1.5.4)

1 + 1 + 1 + 1 + 1 + ⋯ (1.5.5)

janë seri divergjente. Seritë

1 + 𝑒𝑖𝜃 + 𝑒2𝑖𝜃 + ⋯ (1.5.6)

1

2+ 𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑐𝑜𝑠2𝜃 + ⋯ (1.5.7)

janë seri divergjente për çdo 𝜃 dhe serija

𝑠𝑖𝑛𝜃 + 𝑠𝑖𝑛2𝜃 + 𝑠𝑖𝑛3𝜃 + ⋯ (1.5.8)

është seri divergjente dhe vetëm në rastin kur 𝜃 është shumëfish i numrit 𝜋, atëherë

kjo seri konvergjon te 0.

Përkufizimet e konvergjencës dhe divergjencës së serive tani janë të rëndomta në

analizën elementare. Këto ide kanë qenë të njohura edhe për matematikanët para

Njutonit dhe Laibnicit ( në të vërtet Arkimedit); dhe për të gjithë matematikanët e

shekullit shtatëmbëdhjetë dhe tetëmbëdhjetë, megjithatë nga pakujdesija duket se

kanë manipuluar me seri, duke e ditur shume mirë se seritë që i kanë përdorur ishin

seri konvergjente.

Por kjo nuk ishte prezente në kohën e Cauchy ku përkufizimet ishin formuluar në

përgjithësi në mënyrë të qartë. Newton dhe Leibniz, ishin matematikanët e parë që

kanë përdorur sistematikisht seri të pafundme, por kishte pak tundim për të përdorur

seri të ndryshme (edhe pse Leibniz ka luajtur me to herë pas here).Tundimi është bërë

më i madh pas zgjerimit të analizës, dhe u zbulua shpejt se ato ishin të dobishme, dhe

se operacionet e kryera në to në mënyrë jokritike shpesh na kanë çuar në rezultate të

rëndësishme që mund të verifikohet në mënyrë të pavarur.

8

1.6 Disa llogaritje me seri divergjente. [14]

Dimë që seria

1 + 𝑥 + 𝑥2 + 𝑥3 + ⋯ =1

1 − 𝑥 (1.6.1)

nëse 𝑥 < 1 . Duket qartë se, nëse dëshirojm të shkruajmë ‗shumën‘ në ndonjë formë,

në ndonjë seri për 𝑥 të tjera, kjo shumë duhet të jetë formalishtë e njejtë. Për (i) do të

ishte e papërshtatshme nëse formula do të varionte në disa raste; (ii) duhet të presim

që shuma 𝑠 të plotësojë barazimin

𝑠 = 1 + 𝑥 + 𝑥2 + 𝑥3 + ⋯ = 1 + 𝑥 1 + 𝑥 + 𝑥2 + ⋯ = 1 + 𝑥𝑠

dhe (iii) ana e majtë e (1.6.1) është rezultat që paraqitet si raport i cili rrjedh nga ana

e djathtë, kështu që sigurisht ekziston ndonjë formë e ‗ =‘ me të cilën (1.6.1) ndoshta

mundë të thuhet të jetë i vërtet për çdo 𝑥.

(1) Supozojmë që (1.6.1 ), është e vërtetë për çdo 𝑥 (me përjashtim ndoshta për

𝑥 = 1, rast i cili paraqet vështirësi të veçanta), dhe të operojmë në formulë në

mënyrë kritike.

Vendosim 𝑥 = 𝑒𝑖𝜃 , ku 0 < 𝜃 < 2𝜋 (𝑥 ≠ 1), ne fitojmë

1 + 𝑒𝑖𝜃 + 𝑒2𝑖𝜃 + ⋯ = (1 − 𝑒𝑖𝜃 )−1 =1

2+

1

2𝑖 𝑐𝑡𝑔

1

2𝜃 (1.6.2)

dhe gjithashtu

1

2+ 𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑐𝑜𝑠2𝜃 + ⋯ = 0 (1.6.3)

𝑠𝑖𝑛𝜃 + 𝑠𝑖𝑛2𝜃 + ⋯ =1

2𝑐𝑡𝑔

1

2𝜃 (1.6.4)

për 0 < 𝜃 < 2𝜋.

E zëvendësojmë 𝜃 me 𝜃 + 𝜋, fitojmë

1

2− 𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑐𝑜𝑠2𝜃 −⋯ = 0 (1.6.5)

𝑠𝑖𝑛𝜃 − 𝑠𝑖𝑛2𝜃 + ⋯ =1

2𝑡𝑔

1

2𝜃 (1.6.6)

Për −𝜋 < 𝜃 < 𝜋.

Për 𝜃 = 0, (1.6.5) na jep

1 − 1 + 1 −⋯ =1

2 (1.6.7)

9

(2) Tani transformojmë (1.6.5) dhe (1.6.6) në mënyrë të përsëritur në lidhje me 𝜃.

Kështu fitojmë

(−1)𝑛−1𝑛2𝑘 cos𝑛 𝜃 = 0 (𝑘 = 1,2,3,… ;

∞

1

− 𝜋 < 𝜃 < 𝜋) (1.6.8)

(−1)𝑛−1𝑛2𝑘+1 sin𝑛 𝜃 = 0

∞

1

(1.6.9)

(−1)𝑛−1𝑛2𝑘 sin𝑛 𝜃 = (−1)𝑘 𝑑

𝑑𝜃

2𝑘

1

2 𝑡𝑔

1

2𝜃

∞

1

(1.6.10)

(−1)𝑛−1𝑛2𝑘+1 cos𝑛 𝜃 = (−1)𝑘 𝑑

𝑑𝜃

2𝑘+1

1

2 𝑡𝑔

1

2𝜃

∞

1

(1.6.11)

tri formulat e fundit për 𝑘 = 0, 1, 2,… ; −𝜋 < 𝜃 < 𝜋. Në veçanti, duke zëvendësuar

𝜃 = 0 në (1.6.8) dhe (1.6.11), dhe 𝜃 =1

2𝜋 në (1.6.9), dhe duke ditur se seria e Taylor-

it për 1

2 𝑡𝑔

1

2𝜃 është

1

2 𝑡𝑔

1

2𝜃 =

22𝑘+2 − 1

2𝑘 + 2 !

∞

𝑘=0

𝐵𝑘+1𝜃2𝑘+1,

ku 𝐵𝑘 është numri i Bernoull-it, ne fitojmë

12𝑘 − 22𝑘 + 32𝑘 − 42𝑘 + ⋯ = 0 (𝑘 = 1,2,3,… ) (1.6.12)

12𝑘+1 − 22𝑘+1 + 32𝑘+1 − 42𝑘+1 + ⋯

= (−1)𝑘22𝑘+1 − 1

2𝑘 + 2𝐵𝑘+1 𝑘 = 0,1,… (1.6.13)

12𝑘+1 − 32𝑘+1 + 52𝑘+1 −⋯ = 0 𝑘 = 0,1,… (1.6.14)

Ngjashëm, duke filluar prej

𝑒𝑖𝜃 − 𝑒3𝑖𝜃 + 𝑒5𝑖𝜃 −⋯ =𝑒𝑖𝜃

1 + 𝑒2𝑖𝜃=

1

2sec𝜃 (1.6.15)

dhe duke e ditur se

sec 𝜃 = 1 + 𝐸𝑘𝜃

2𝑘

2𝑘 !

∞

1

ku 𝐸𝑘 është numri i Euler-it, ne fitojmë (1.6.14) dhe gjithashtu

12𝑘 − 32𝑘 + 52𝑘 − 72𝑘 + ⋯ =1

2 (−1)𝑘𝐸𝑘 (𝑘 = 1,2,3,… ) (1.6.16)

10

Shohim se (1.6.13) , për 𝑘 = 0, është

1 − 2 + 3 − 4 + ⋯ =1

4 (1.6.17)

i cili është gjithashtu rezultat i cili përputhet me (1.6.7) sipas rregullave të Cauchy-ut

1 − 1 + 1 −⋯ 1 − 1 + 1 −⋯ = 1.1 − 1.1 + 1.1 + 1.1 + 1.1 + 1.1 − ⋯

(3) Nëse e integrojmë (1.6.5) nga 𝜃 = 0 në 𝜃 = 𝜙, fitojmë

𝑠𝑖𝑛𝜃 −1

2𝑠𝑖𝑛2𝜃 +

1

3𝑠𝑖𝑛3𝜃 −⋯ =

1

2𝜃 −𝜋 < 𝜃 < 𝜋 (1.6.18)

Kjo seri është konvergjente. Integrimi i dytë na jep

1−cos 𝜃 −1−cos 2𝜃

22+

1−cos 3𝜃

23−⋯ =

1

4𝜃2 (1.6.19)

Këtu ne mund ti përfshijmë edhe skajet, (seritë konvergjojnë uniformishtë për çdo 𝜃),

pra për 𝜃 = 𝜋 fitojmë

1 +1

32+

1

52+ ⋯ =

1

8𝜋2 (1.6.20)

Pasi që

1 +1

32+

1

52+ ⋯ = 1 +

1

22+

1

32+ ⋯−

1

22−

1

42+ ⋯

= 1 −1

4 1 +

1

22+

1

32+ ⋯ ,

ne përfundojmë se

1 +1

22+

1

32+ ⋯ =

1

6𝜋2 (1.6.21)

1 −1

22+

1

32−⋯ =

1

12𝜋2 (1.6.22)

dhe gjithashtu

cos 𝜃 −cos 2𝜃

22+

cos 3𝜃

22−⋯ =

1

12𝜋2 −

1

4𝜃2 −𝜋 < 𝜃 < 𝜋 (1.6.23)

Integrimet e mëtutjeshme na çojnë në shumimet e (−1)𝑛−1𝑛−2𝑘 cos𝑛𝜃 dhe

(−1)𝑛−1𝑛−2𝑘−1 sin𝑛𝜃 me vlera të funksioneve të Bernulit (Bernoullian).

(4) Nga ana tjetër, mund të bëjmë llogaritje të tjera, dhe fitojmë (1.6.19) nga (1.6.7)

dhe (1.6.12), duke argumentuar se

11

−1 𝑛−11 − cos𝑛 𝜃

𝑛2

∞

1

= −1 𝑛−1

𝑛2 −1 𝑘∞

𝑘=0

𝑛𝜃 2𝑘+2

2𝑘 + 2 !

∞

1

= −1 𝑘𝜃2𝑘+2

2𝑘 + 2 !

∞

𝑘=0

−1 𝑛−1𝑛2𝑘 =1

2

∞

𝑛=1

𝜃2 1 − 1 + 1 −⋯

=1

4𝜃2.

Ne mund ta përgjithësojmë këtë fakt. Supozojmë se

𝑓 𝜃 = 𝑎0 + 𝑎1𝜃2 + 𝑎2𝜃

4 + ⋯

është konvergjent për çdo 𝜃. Atëhere

−1 𝑛−1𝑓 𝑛 𝜃

𝑛2

∞

1

= −1 𝑛−1

𝑛2 𝑎𝑙 𝑛𝜃

2𝑙

∞

𝑙=0

= 𝑎𝑙

∞

𝑙=0

∞

𝑛=1

𝜃2𝑙 −1 𝑛−1𝑛2𝑙−2

∞

𝑛=1

=𝑎0 1

12−

1

22+

1

32−⋯ + 𝑎1𝜃

2 1 − 1 + 1 −⋯

=1

12𝑎0𝜋

2 +1

2𝑎1𝜃

2 (1.6.24)

Ky barazim në përgjithësi nuk është i vërtetë; për shembull për 𝑓 𝜃 = 𝑒−𝜃2; por

është i vërtet për një klasë mjaft të gjërë funksionesh. Kështu , nëse 𝑓 𝜃 është

funksion i Bessel-it

J0 𝜃 = 1 −𝜃2

22+

𝜃4

22 ∙ 42−⋯,

ne marrim

J0 𝜃 −J0 2𝜃

22+

J0 3𝜃

32−⋯

=1

12𝜋2 −

1

8𝜃2 −𝜋 < 𝜃 < 𝜋 (1.6.25)

(5) Nga (1.6.4) rrjedh se

cos𝑛𝜃 sin 𝑛𝜃 =

∞

1

1

4 𝑐𝑡𝑔

1

2 𝜙 + 𝜃 + 𝑐𝑡𝑔

1

2 𝜙 − 𝜃 =

1

2

sin𝜙

cos 𝜃 − cos𝜙

dhe gjithashtu

cos𝑚𝜃 − cos𝑚𝜙

cos𝜃 − cos𝜙= 2

sin𝑛𝜙

sin𝜙

∞

𝑛=1

cos𝑛𝜃 (cos𝑚𝜃 − cos𝑚𝜙)

për çdo 𝑚 > 0. Nëse e integrojmë këtë ekuacion nga 𝜃 = 0 deri te 𝜃 = 𝜋, ne

fitojmë

cos𝑚𝜃 − cos𝑚𝜙

cos𝜃 − cos𝜙𝑑𝜃 =

𝜋

0

𝜋sin𝑚𝜙

sin𝜙 1.6.26

e cila mund të tregohet në mënyra të ndryshme.

(6) Nga (1.6.4) dhe (1.6.6) rrjedh

𝑠𝑖𝑛𝜃 + 𝑠𝑖𝑛3𝜃 + ⋯ =1

2𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐𝜃

12

𝑠𝑖𝑛2𝜃 + 𝑠𝑖𝑛4𝜃 + ⋯ =1

2𝑐𝑡𝑔𝜃.

Nëse këtë barazim e shumëzojmë me 𝜃 dhe integrojmë nga 𝜃 = 0 deri te 𝜃 =1

2𝜋,

marrim

𝜃 sin 2𝑛 + 1 𝜃 𝑑𝜃 = −1 𝑛

2𝑛 + 1 2

12𝜋

0

, 𝜃 sin 2𝑛𝜃

12𝜋

0

𝑑𝜃 = −1 𝑛−1π

4n ,

θ

sinθ

12𝜋

0

= 2 1 −1

32+

1

52−⋯ (1.6.27)

𝜃 𝑐𝑡𝑔𝜃 𝑑𝜃 =

12𝜋

0

1

2π log2 (1.6.28)

Gjithashtu, këto formula mund të verifikohen në mënyrë të pavarur.

1.7 Përkufizime themelore. [14]

Rezultatet e llogaritjeve formale të paragrafit 1.6 janë korrekte dhe të gjitha formulat

(1.6.18)-( 1.6.23), (1.6.25), dhe (1.6.26)-(1.6.28) janë të sakta. Është e natyrshme që

të mendohet se edhe formulat e tjera që merren me përafrime të ndryshme të jenë të

sakta. Për këtë duhet të japim disa përkufizime të ‗ shumës ‘ të një serie të pafundme,

më të aplikueshme se sa përkufizimi klasik i Koshi-ut (Cauchy).

Le të supozojmë se, kemi dhënë disa përkufizime për shumën e serive të cilat

plotësojnë aksiomat vijuese:

(A) Nëse 𝑎𝑛 = 𝑠 atëhere 𝑘𝑎𝑛 = 𝑘𝑠; (B) Nëse 𝑎𝑛 = 𝑠 dhe 𝑏𝑛 = 𝑡 atëhere (𝑎𝑛 + 𝑏𝑛) = 𝑠 + 𝑡; (C) Nëse 𝑎0 + 𝑎1 + 𝑎2 + ⋯ = 𝑠 atëhere 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + ⋯ = 𝑠 − 𝑎0 dhe

anasjelltas .

Aktualisht, të gjitha përkufizimet të cilat do ti përdorim i plotësojnë aksiomat (𝐴) dhe

(𝐵), por në përgjithësi nuk plotësohet aksioma (C). Atëhere, nëse 1 − 1 + 1 −⋯ = 𝑠,

kemi

𝑠 = 1 − 1 + ⋯ = 1 + −1 + 1 −⋯ = 1 − 1 − 1 + ⋯ = 1 − s.

Këtu ne kemi përdorur vetëm aksiomat (A) dhe (C). Ngjajshëm, nëse 1 − 1 + 1 −1 + ⋯ = 1 − 2 + 3 − 4 + 5 + ⋯ = 𝑠, ne kemi

𝑠 = 1 − 2 + 3 − 4 + 5 + ⋯ = 1 + −2 + 3 − 4 + 5 + ⋯ = 1 − 2 − 3 + 4 − 5 + ⋯

= 1 − 1 − 1 + 1 − 1 + ⋯ − 1 − 2 + 3 −⋯ = 1 −1

2− 𝑠

13

Kemi 𝑠 = 1 −1

2− 𝑠 që nga rrjedh se 𝑠 =

1

4. Në këtë rastë kemi përdorur aksiomat

(𝐴), (𝐵) dhe (𝐶).

Pra në qoftë se ne përkufizojmë në një mënyrë tjetër (𝑃) që shuma 𝑎𝑛 është 𝑠,

atëherë themi se seria 𝑎𝑛 është (𝑃) e shumueshme, dhe në këtë rastë numri 𝑠 quhet

𝑃 -shuma e serisë 𝑎𝑛 . Simbolikisht e shënojmë

𝑎𝑛 = 𝑠 (𝑃)

Ne gjithashtu do të themi se 𝑠 është 𝑃 − limiti i shumës së pjesëshme 𝑠𝑛 , dhe

shënojmë

𝑠𝑛 → 𝑠(𝑃)

Duke shfrytëzuar simbolikën e mësipërme po japim disa metoda të shumueshmërisë.

(1) Metoda (𝑪,𝟏) . Le të jetë dhënë vargu (𝑎𝑛 ), dhe le të jetë

𝑠𝑘 = 𝑎0+𝑎1 + ⋯+ 𝑎𝑘−1

shuma e 𝑘-të e pjesshme e serisë

𝑎𝑛

∞

𝑛=0

.

Seria 𝑎𝑛∞𝑛=0 quhet e shumueshme sipas Cesaros, me shumë të Cesaros 𝑠 ∈ ℝ nëse

vlera mesatare e shumës së pjesshme 𝑠𝑘 tenton në 𝑠.

lim𝑛→∞

1

𝑛 + 1 𝑠𝑘

𝑛

𝑘=0

= lim𝑛→∞

𝑠0 + 𝑠1+𝑠2 + ⋯+ 𝑠𝑛𝑛 + 1

= 𝑠 (1.7.1)

ose 𝑠 quhet (𝐶, 1) −e shumueshme .

Me fjalë tjera, shuma e Cesaros e një serie të fundme është limiti i mesatares

aritmetike të 𝑛 shumave të para të pjesëshme të serisë, kur 𝑛 tenton në pambarim.

Është lehtë të shihet se çdo seri konvergjente është e shumueshme sipas Cesaros, dhe

shuma e serisë përputhet me shumën e Cesaros. Megjithatë, shembulli 3.3 tregon që

ka seri që divergjojnë por janë megjithatë të shumueshme sipas Cesaros.

Shembulli 1.7.1 Le të jetë 𝑎𝑛 = (−1)𝑛+1 për 𝑛 ≥ 1 . Atëherë vargu 𝑎𝑛 është

1,−1, 1,−1,… , (−1)𝑛+1,…

Shënojmë me 𝐺 serinë

𝑎𝑛 = (−1)𝑛+1 = 1 − 1 + 1 − 1 + ⋯+ (−1)𝑛+1 + ⋯

∞

𝑛=1

∞

𝑛=1

14

Atëhere vargu i shumave të pjesshme të saj

𝑠𝑛 = 𝑎𝑘

𝑛

𝑘=1

është

𝑠1, 𝑠2, 𝑠3, 𝑠4,…

ose

𝑠1 = 1, 𝑠2 = 1 − 1 = 0, 𝑠3 = 1 − 1 + 1 = 1, 𝑠4 = 1 − 1 + 1 − 1 = 0,…

ose

1, 0, 1, 0,…

Seria 𝐺 njihet me emrin si seria e Grandi-së dhe shihet qartë se ajo nuk konvergjon.

Në anën tjetër, termat e vargut 𝑡𝑛 , ku

𝑡𝑛 =1

𝑛 𝑠𝑘

𝑛

𝑘=1

janë

1

1,1

2,2

3,2

4,3

5,3

6,4

7,4

8,… ,

Prandaj

lim𝑛→∞

𝑡𝑛 = lim𝑛→∞

1

𝑛 𝑠𝑘

𝑛

𝑘=1

=1

2

Prandaj shuma Cesaro e serisë 𝐺 është 1

2.

Shembulli i lartpërmendur tregon se seritë divergjente përmes metodave të

shumueshmërisë konvergjojnë.

(2) Nëse 𝑎𝑛 𝑥𝑛 është seri konvergjente për 0 ≤ 𝑥 < 1 ( dhe gjithashtu për çdo 𝑥,

real ose kompleks, me 𝑥 < 1), 𝑓(𝑥) është shuma e saj dhe

lim𝑥→1−0

𝑓(𝑥) = 𝑠,

atëhere 𝑠 quhet 𝐴-shuma e 𝑎𝑛 .

(3) Nëse 𝑎𝑛 𝑥𝑛 është konvergjente për 𝑥 rrotull origjinës tek funksioni 𝑓(𝑥) regular

në një zonë rrethuese të hapur dhe të lidhur të origjinës dhe në pikën 𝑥 = 1,

𝑓 1 = 𝑠 ; atëhere 𝑠 quhet 𝔈-shuma e 𝑎𝑛 .

15

(4) Përkufizimi i katërt kërkon më tepër sqarime. Supozojmë se seria 𝑎𝑛𝑥𝑛

konvergjon për çdo 𝑥 rrotull zeros dhe

𝑥 =𝑦

1 − 𝑦 , 𝑦 =

𝑥

1 + 𝑥 (1.7.2)

Kështu që 𝑦 =1

2 i korrespondon 𝑥 = 1. Atëhere, për 𝑥 dhe 𝑦 rrotull zeros, ne kemi

𝑥𝑓 𝑥 = 𝑎𝑛𝑥𝑛+1 = 𝑎0𝑥 + 𝑎1𝑥

2

∞

𝑛=0

+ 𝑎2𝑥3 + ⋯

= 𝑎0

𝑦

1 − 𝑦+ 𝑎1

𝑦

1 − 𝑦

2

+ 𝑎2 𝑦

1 − 𝑦

3

+ ⋯

= 𝑎0

𝑦

1 − 𝑦+ 𝑎1

𝑦2

1 − 𝑦 2+ 𝑎2

𝑦3

1 − 𝑦 3+ ⋯

= 𝑎𝑝

∞

𝑝=0

𝑝 + 𝑚

𝑚

∞

𝑚=0

𝑦𝑝+𝑚+1 = 𝑎𝑝

∞

𝑝=0

𝑛

𝑛 − 𝑝

∞

𝑛=𝑝

𝑦𝑛+1.

Duke ndërruar rendin e shumimit, fitojmë

𝑥𝑓 𝑥 = 𝑦𝑛+1

∞

𝑛=0

𝑛

𝑛 − 𝑝

𝑛

𝑝=0

𝑎𝑝 = 𝑦𝑛+1

∞

𝑛=0

𝑛

𝑝

𝑛

𝑝=0

𝑎𝑝 = 𝑏𝑛𝑦𝑛+1 (1.7.3)

∞

𝑛=0

për 𝑦 të vegjël, ku

𝑏0 = 𝑎0 , 𝑏𝑛 = 𝑎0 + 𝑛

1 𝑎1 +

𝑛

2 𝑎2 + ⋯+ 𝑎𝑛 (1.7.4)

Nëse 𝑦-serija është konvergjentë për =1

2 , te 𝑠, dhe nëse

1

2𝑏0 +

1

4𝑏1 +

1

8𝑏2 + ⋯ = 2−𝑛−1𝑏𝑛 = 𝑠 (1.7.5)

atëhere 𝑠 quhet 𝐸, 1 −shuma e serisë 𝑎𝑛 .

Shkronja 𝔈 dhe 𝐸 të dyja paraqesin Eulerin, shkronja 𝐴 përdoret për metodën e Abel-

it dhe 𝐶 për metodën e Cesaros.

Të gjitha këto metoda plotësojnë aksiomat (A) dhe (B), dhe është lehtë të shihet se tri

të parat e plotësojnë aksiomën (C), me kushtë që 𝔈 metoda të jetë e lidhur me një

hapësirë të përkufizuar. Shënojmë me 𝑠𝑛 shumën e pjesëshme të serisë 𝑎0 + 𝑎1 +𝑎2 … , kurse me 𝑡𝑛 shumën e pjesëshme të serisë 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 … , prandaj 𝑡𝑛 =𝑠𝑛+1 − 𝑎0; dhe shënojmë

𝑓1 𝑥 = 𝑎1 + 𝑎2𝑥 + 𝑎3𝑥2 + ⋯

prandaj 𝑥𝑓1 𝑥 = 𝑓 𝑥 − 𝑎0.

(1) Nëse seria 𝑎0 + 𝑎1 + 𝑎2 … është 𝐶, 1 -e shumueshme te numri 𝑠 , atëherë

𝑡0 + 𝑡1 + 𝑡2 + ⋯+ 𝑡𝑛𝑛 + 1

=𝑛 + 2

𝑛 + 1 𝑠0 + 𝑠1 + 𝑠2 + ⋯+ 𝑠𝑛+1

𝑛 + 2− 𝑎0 → 𝑠 − 𝑎0

16

prandaj seria 𝑎0 + 𝑎1 + 𝑎2 … është 𝐶, 1 -e shumueshëme te numri 𝑠 − 𝑎0.

(2) Nëse seria 𝑎0 + 𝑎1 + 𝑎2 … është 𝐴 -e shumueshme te numri 𝑠 , atëhere

𝑓1 𝑥 = 𝑥−1 𝑓(𝑥) − 𝑎0 → 𝑠 − 𝑎0,

Dhe seria 𝑎0 + 𝑎1 + 𝑎2 … është 𝐴 -e shumueshëme te numri 𝑠 − 𝑎0.

(3) Nëse 𝑓(𝑥) është i një-vlershëm dhe regular në një hapsirë duke përfshirë 0 dhe 1,

dhe 𝑓(1) = 𝑠, atëhere 𝑓1 𝑥 është i një-vlershme dhe ragular në këtë hapsirë, dhe

𝑓1 1 = 𝑠 − 𝑎0.

Pohimi i drejtpërdrejtë në (𝐶) është i vërtet për të tri metodat. Më pak bie në sy se

(𝐸, 1)- metoda plotëson (𝐶). Nëse e marrim këtë si të dhënë për momentin, ajo është

e qartë se për të katër metodat, seria në (3.1.1), duhet të jap shumën 1

2. Lehtë

vërtetohet se 𝑆𝑛 është 1 për 𝑛 –tek dhe 0 për 𝑛-çift, kështu që 𝑠0 + 𝑠1 + 𝑠2 + ⋯+ 𝑠𝑛

është 1

2(𝑛 + 2) ose

1

2(𝑛 + 1) , pasi që 𝑓 𝑥 = (1 + 𝑥)−1 , dhe pasi që 𝑏0 = 1 dhe

𝑏𝑛 = 0 për 𝑛 > 0.

Tregohet se katër metodat i japin ekuacionet (1.6.2)-( 1.6.7) kurse tri të fundit i japin

ekuacionet (1.6.8)-(1.6.17). metoda (C,1) nuk e plotëson (1.6.17), pasi që vlerat e 𝑠𝑛

janë 1,−1, 2,−2, 3,… dhe

𝑠0 + 𝑠1 + 𝑠2 + ⋯+ 𝑠𝑛 = 1

2 𝑛 + 2 , për 𝑛 − tek

0, për 𝑛 − çift .

Vërejmë në këtë rastë se një përsëritje e procesit të mesatares do të japë limitin 1

4.

Metodat (1), (2) dhe (4) japin ∞ si shuma të (1.6.5): në rastin e fundit 𝑏0 = 1, 𝑏1 =

2, 𝑏2 = 4,…, kështu që seria (1.7.5) është 1

2+

1

2+

1

2+ ⋯ . Metoda (3) është e pa

aplikueshme pasi që 𝑓 𝑥 = (1 − 𝑥)−1 nuk është regulare për 𝑥 = 1.

Metodat (1) dhe (2) nuk vlejnë për (1.5.3): vlerat e 𝑠𝑛 janë 1,−1, 3,−5, 11,… ; dhe

𝑎𝑛𝑥𝑛 nuk është seri konvergjente kur 𝑥 ≥ 2 . Metoda (3) na jep shumën

1

3. Në

metodën (4) , 𝑏𝑛 = (1 − 2)𝑛 = (−1)𝑛 dhe

1

2𝑏0 +

1

4𝑏1 +

1

8𝑏2 + ⋯ =

1

2−

1

4+

1

8−⋯ =

1

3.

prandaj edhe kjo metodë na jep shumën 1

3. Është e qartë që kjo është shuma e ‗duhur‘

pasi ajo plotëson 𝑠 = 1 − 2𝑠 .

Gjithashtu është e dobishme të marrim në konsideratë (1.5.6). Këtu metoda (1) na jep

vlerën ∞. Metoda (2) është e pa aplikueshme. Metoda (3) na jep vlerën -1. Më në

fund, me metodën (4) ne kemi 𝑏𝑛 = (1 + 2)𝑛 = 3𝑛 ,

1

2𝑏0 +

1

4𝑏1 +

1

8𝑏2 + ⋯ =

1

2+

1

2∙

3

2+ ⋯+

1

2∙

3

2 𝑛

+ ⋯,

17

e cila divergjon në ∞, kështu që metoda na jep vlerën ∞. Vërejmë se në këtë rast kemi

dy vlera të shumës ∞ dhe −1, dhe gjithashtu këtu kemi një paradoks, pasi që nuk

duket e natyrshme që seria me terma pozitive të ketë shumën negative.

1.8 Regulariteti i metodës. [14]

Këtu kemi paraqitur disa metoda regulare. Për një metodë themi se është regulare nëse

shuma e metodës konvergjon te i njejti limit ku konvergjon seria e fillimit.

Prandaj metoda (𝐶, 1) është metodë regulare, pasi 𝑎𝑛 = 𝑠 , sell se edhe

𝑆𝑛 =𝑠0 + 𝑠1+𝑠2 + ⋯+ 𝑠𝑛

𝑛 + 1→ 𝑠.

Gjithashtu 𝐴 është metodë regulare, pasi 𝑎𝑛 = 𝑠 , sjell se edhe

𝑓 𝑥 = 𝑎𝑛𝑥𝑛 → 𝑠

Këto metoda janë regulare edhe në sens të zgjeruar.

Nëse 𝑎𝑛 është real dhe

𝑠𝑛 = 𝑎0 + 𝑎1 + ⋯+ 𝑎𝑛 → ∞

( p.sh. nëse 𝑎𝑛është seri divergjente me terma pozitive), atëhere

𝑆𝑛 =𝑠0 + 𝑠1+𝑠2 + ⋯+ 𝑠𝑛

𝑛 + 1→ ∞

dhe metoda (𝐶, 1) na jep 𝑠 = ∞.

Për metodën 𝐴 kemi dy mundësi. 𝑎𝑛 𝑥𝑛 divergjon për ndonjë 𝑥 = 𝑥0 < 1, atëhere

ajo divergjon në ∞ në intervalin 𝑥0, 1 , dhe

𝑓 𝑥 = 𝑎𝑛𝑥𝑛 = ∞

ose 𝑎𝑛 𝑥𝑛 konvergjon për 0 ≤ 𝑥 < 1 , dhe 𝑓 𝑥 → ∞ kur 𝑥 → 1. Në çdo rast tjetër

mund të themi se metoda 𝐴 na jep 𝑠 = ∞ . Kur metoda regulare ka këtë veti

plotësuese, ne do të themi se ajo është totalishtë regulare. Gjithashtu mund të shohim

se metoda (𝐸, 1) është totalisht regulare. Shihet qartë se metoda 𝔈 nuk është totalisht

regulare, pasi që shuma 1 + 2 + 4 + 8 + ⋯ tenton në −1 . Në fakt ajo nuk është

gjithmonë regulare, deri sa kërkohet që 𝑓 𝑥 të jetë regulare në 𝑥 = 1 ku 𝑎𝑛

konvergjon.

18

1.9 Përgjithësimet lidhur me transformimet lineare. [14]

Teorija e serive divergjente ka synuar përgjithësimin e kuptimit të limitit të vargut të

shumave të pjesshme 𝑠𝑛 , ku zakonisht në vend të tyre merren vargje ndihmës si

kombinime lineare të 𝑠𝑛 . Më herët kemi përcaktuar (𝐶, 1) − limitin e 𝑠𝑛 , ose

(𝐶, 1) −shumën e serisë 𝑎𝑛 , si limit të

𝑡𝑚 =𝑠0 + 𝑠1 + ⋯+ 𝑠𝑚

𝑚 + 1 (1.9.1)

kur 𝑚 → ∞; dhe 𝐴-limitin e 𝑠𝑛 , ose 𝐴-shuma e 𝑎𝑛 , si limit i

𝑡 𝑥 = 𝑎𝑛 𝑥𝑛 = 𝑥𝑛 1 − 𝑥 𝑠𝑛 (1.9.2)

kur 𝑥 → 1 për vlera më të vogël se 1. Në secilin rast vargjet ndihmëse janë të formës

𝑡𝑚 = 𝑐𝑚 ,𝑛 𝑠𝑛 𝑚 = 0,1,2,… (1.9.3)

ose

𝑡 𝑥 = 𝑐𝑛 𝑥 𝑠𝑛 (1.9.4)

ku 𝑥 është parametër i vazhdueshëm. Kështu në (4.1.1)

𝑐𝑚 ,𝑛 =

1

𝑚 + 1 𝑝ë𝑟 0 ≤ 𝑛 ≤ 𝑚

0 𝑝ë𝑟 𝑛 > 𝑚

dhe në (1.9.2), 𝑐𝑛 𝑥 = 𝑥𝑛 1 − 𝑥 . Në një rast varen nga parametëri 𝑚, në rastet

tjera nga parametri i vazhdueshëm 𝑥; por, siç kemi parë, kjo nuk është edhe aq e

rëndësishme. Për momentin konsiderojmë metodën e tipit (1.9.3).

Sistemi i ekuacioneve (1.9.3), të cilat mund ti shënojmë shkurtimisht

𝑡 = 𝑇 𝑠 (1.9.5)

është transformimi linear 𝑇 i 𝑠𝑛 dhe matrica e tij është

𝑇 = 𝑐𝑚 ,𝑛 ,

ku 𝑐𝑚 ,𝑛 është elementi në rreshtin e 𝑚-të dhe në shtyllën e 𝑛-të.

19

1.10 Transformimet regulare. [14]

Transformimet më të rëndësishme janë ato regulare. Ne themi se 𝑇 është regulare

nëse

𝑡𝑚 → 𝑠 𝑚 → ∞ (1.10.1)

sa herë që

𝑠𝑛 → 𝑠 𝑛 → ∞ (1.10.2)

Ne shikojmë pohimin e parë përfshirë edhe ekzistencën e 𝑡𝑚 për çdo 𝑚 ,

konvergjencën e të gjitha serive (1.9.3). Kështu, sipas teoremës së Koshiut,

transformimi (1.9.1) është regular.

Këtu kemi një teoremë të rëndësishme, teorema e Toeplitz dhe Schur, e cila jep

kushtet e nevojshme dhe të mjaftueshme për regularitetin e transformimeve lineare 𝑇.

Këtë teoremë do ta marrim pa vërtetim në paragrafin e mëposhtëm por do të bëjmë

edhe një aplikim të saj.

Shënojmë me 𝑋 klasën e të gjitha transformimeve lineare. Me 𝑋𝑟 shënojmë klasën e

të gjitha transformimeve regulare. Me 𝑐 shënojmë klasën e të gjitha transformimeve,

të cilat të gjitha vargjet konvergjente i transformojnë në vargje konvergjente.

Teoremë 1.10.1. [14] Kusht i nevojshëm dhe i mjaftueshëm që transformimi linear 𝑇

t'i takojë hapësirës 𝐶 (ku 𝐶 hapësira e gjitha vargjeve konvergjente) , është që

(i)

𝛾𝑚 = 𝑐𝑚 ,𝑛 < 𝐻 (1.10.3)

ku 𝐻 është e pavarur nga 𝑚.

(ii)

𝑐𝑚 ,𝑛 → 𝛿𝑛 (1.10.4)

për çdo 𝑛 , kur 𝑚 → ∞.

(iii)

𝑐𝑚 = 𝑐𝑚 ,𝑛 → 𝛿 (1.10.5)

ku 𝑚 → ∞.

Në këto rrethana 𝛿𝑛 është absolutisht konvergjente, dhe

𝑡𝑚 → 𝑡 = 𝛿𝑠 + 𝛿𝑛 𝑠𝑛 − 𝑠 = 𝑠 𝛿 − 𝛿𝑛 + 𝛿𝑛 𝑠𝑛 (1.10.6)

ku 𝑚 → ∞, sa here që 𝑠𝑛 → 𝑠.

Këtu, natyrisht, limitet 𝛿𝑛 dhe 𝛿 janë të fundëm.

20

Teoremë 1.10.2 (Teorema e Toeplitz dhe Schur) [14] Le të jetë 𝑇 transformim

regular që i takonë klasës 𝑋𝑟 . Kusht i nevojshëm dhe i mjaftueshëm që të plotësohen

kushtet e Teoremës 1.10.1 është që, 𝛿𝑛 = 0 për çdo 𝑛, dhe 𝛿 = 1.

Teoremë 1.10.3. [14] Le të jetë 𝑇 transformim i tillë që i takonë hapësirës 𝐶. Kusht i

nevojshëm dhe i mjaftueshëm që 𝑐𝑚 ,𝑛 → 𝛿𝑛 për çdo 𝑛, është që duhet të plotësohet

kushti i dytë i teoremës 1.10.1 dhe seria 𝑐𝑚 ,𝑛 të konvergjojë uniformisht në 𝑚. Në

këto rrethana kushtet e para dhe të dyta të teoremës 1.10.1 janë të nevojshme të

plotësohen, 𝛿𝑛 = 𝛿, dhe

𝑡𝑚 → 𝑡 = 𝛿𝑛 𝑠𝑛

për të gjitha vargjete kufizuara 𝑠𝑛 .

1.11. Një aplikim i teoremës 1.10.2. [14]

Çdo transformim

𝑡𝑚 = 𝑐𝑚 ,𝑛 𝑠𝑛 𝑚 = 0,1,2,…

mund të përdoret që të përkufizohet një metodë e shumueshmërisë: nëse

𝑠𝑛 = 𝑎0 + 𝑎1+⋯+ 𝑎𝑛

𝑡𝑚 = 𝑐𝑚 ,𝑛 𝑠𝑛 𝑚 = 0,1,2,… dhe 𝑡𝑚 → 𝑠, atëherë ne mund të themi se 𝑎𝑛

është 𝑇-e shumueshme te shuma 𝑠, dhe shënojmë

𝑠𝑛 → 𝑠 𝑇 , 𝑎𝑛 = 𝑠 𝑇 .

Ne e quajmë metodën regulare nëse 𝑇 është regulare.

Ne do të përdorim teoremën 1.10.2 që të vërtetojmë regularitetin e metodave të

shumueshmërisë që janë mjaft të rëndësishme në analizë.

Nëse

𝑝𝑛 ≥ 0 , 𝑝0 > 0 , 𝑝𝑛 = ∞ (1.11.1)

(e tillë që 𝑃𝑛 = 𝑝0 + 𝑝1 + ⋯+ 𝑝𝑛 → ∞) dhe

𝑡𝑛 =𝑝0𝑠0 + 𝑝1𝑠1 + ⋯+ 𝑝𝑛𝑠𝑛

𝑝0 + 𝑝1 + ⋯+ 𝑝𝑛→ 𝑠 (1.11.2)

kur 𝑛 → ∞, atëherë ne themi se

𝑠𝑛 → 𝑠(N ,𝑝𝑛) (1.11.3)

21

Teoremë 1.11.1. [14] Metoda (N ,𝑝𝑛) është regulare.

Vërtetim.

Këtu

𝑐𝑚 ,𝑛 =

𝑝𝑛

𝑃𝑚 𝑝ë𝑟 𝑛 ≤ 𝑚

0 𝑝ë𝑟 𝑛 > 𝑚 ,

𝑐𝑚 ,𝑛 = 𝑐𝑚 ,𝑛 = 𝑝𝑛𝑃𝑚

𝑚

𝑛=0

=𝑝𝑛𝑃𝑚

+𝑝𝑛−1

𝑃𝑚+. . +

𝑝0

𝑃𝑚=𝑝𝑛 + 𝑝𝑛−1 + ⋯+𝑝0

𝑃𝑚=𝑃𝑚𝑃𝑚

= 1

dmth (plotësohet kushti i dytë i teoremës 1.10.2. 𝛿 = 1)

dhe 𝑐𝑚 ,𝑛 → 0 (plotësohet kushti i parë teoremës 1.10.2. 𝛿𝑛 → 0) për çdo 𝑛. Kështu

që kushtet e teoremës 1.10.2 plotësohen, që dmth se kjo është metodë regulare. Në

veçanti, metoda (𝐶, 1), në të cilën 𝑝𝑛 = 1 , është gjithashtu metodë regulare.

22

KAPITULLI 2

METODAT SPECIALE TË SHUMUESHMËRISË

Në këtë kapitull do të paraqesim disa metoda të shumueshmërisë, të cilat do ti

përdorim që të ndërtojmë metoda të reja dhe do të tregojmë veti të ndryshme të tyre.

Me metoda speciale nënkuptojmë metodat vijuese: Metoda e Norlundit [14-15],

Metoda e Cesaros [14-15], Metoda e Eulerit [14-15], Metoda e Norlund Eulerit [45].

Gjithashtu në këtë paragraf do të paraqesim disa lloje të rëndësishme të konvergjencës

staistikore dhe metodave të shumueshmërisë. Konvergjenca statistikore me pesha për

herë të parë është përkufizuar nga V. Karakaya, T.A. Chishti[16], më pas përkufizimi

është korigjuar nga M. Mursaleen [17] i cili pasi e ka përkufizuar këtë metodë, ka

dhënë disa rezultate të reja. Rol të rëndësishëm në rezultatet e më poshtme luajnë

produkti i metodave të shumueshmërisë. Koncepti i konvergjencës statistikore luan

një rol të rëndësishmëm në teorinë e shumueshmërisë. Lidhja në mes teorisë së

shumueshmërisë dhe konvergjencës statistikore për herë të parë është paraqitur nga

Schoenberg [6]. Pastaj, konvergjenca është studiuar si metodë e shumueshmërisë nga

shumë studiues si Fridy [18], Freedman [19], Kolk [20,21], Fridy dhe Miller [22],

Fridy dhe Orhan [23,24], Mursaleen [17] , Savaş[25], Braha [26-28]. Gjithashtu, disa

veti topologjike të hapësirave të vargjeve që konvergjojnë statistikisht janë studiuar

nga Salat[29]. Krahas kësaj në [30, 31], Connor ka treguar lidhjet në mes

konvergjencës staistikore dhe analizës funksionale.

Teorema klasike përafruese e Korovkin-it është përcaktuar si në [32]. Versionin

statistikor të saj e ka dhënë Gadjiev and Orhan [33]. Kjo trajtë i teoremës përafruese

është provuar duke përdorur edhe konceptin e pothuajse kudo konvergjencës [16], [5],

[32-38], 𝜆-konvergjencës statistikore [39-41]. Boyanov dhe Veselinov [36] e kanë

provuar teoremën e Korovkinit në 𝐶 0, +∞ , duke e testuar pë funksionet

1, 𝑒−𝑥 , 𝑒−2𝑥 . Përveç kësaj, disa artikuj të rëndësishëm për këtë temë gjenden në [42–

44]. Ne kemi bërë përgjithësimin e rezultateve të Boyanov dhe Veselinov duke

përdorur nocionin e shumueshmërisë statistikore (𝑁,𝑝, 𝑞)(𝐸, 1) [45].

Shkalla statistikore e shumueshmërisë (C,1) është studiuar nga Syed Abdul

Mohiuddine, Abdullah Alotaibi and Mohammad Mursaleen [47], kurse ne kemi

dhënë kuptimin e shkallës së konvergjencës statistikore me pesha sipas metodës së

përgjithësuar të Norlund-Eulerit [48].

23

2.1. [14] Metoda e Norlundit

Supozojmë që

𝑝𝑛 ≥ 0 , 𝑝0 > 0 , 𝑃𝑛 = 𝑝0 + 𝑝1 + ⋯+ 𝑝𝑛

dhe përcaktojmë 𝑡𝑚 me

𝑡𝑚 = 𝑁𝑚 𝑝 (𝑠) =

𝑝𝑚𝑠0 + 𝑝𝑚−1𝑠1 + ⋯+ 𝑝0𝑠𝑚𝑝0 + 𝑝1 + ⋯+ 𝑝𝑚

→ 𝑠

Nëse 𝑡𝑚 → 𝑠, kur 𝑚 → ∞, dhe 𝑠𝑛 = 𝑎0 + 𝑎1+⋯+ 𝑎𝑛 , ne shënojmë

𝑠𝑛 → 𝑠 , 𝑎𝑛 = 𝑠 𝑁,𝑝𝑛

Marrim 𝑝𝑛 = 1 për çdo 𝑛, atëhere 𝑡𝑚 është vlera 𝐶, 1 e 𝑠𝑛 .

Nëse

𝑝𝑛 = 𝑛 + 𝑘 − 1

𝑘 − 1 =

Γ(𝑛 + 𝑘)

Γ(𝑛 + 1)Γ(𝑘) ,

ku 𝑘 > 0, atëhere ajo është vlera e 𝐶,𝑘 .

Zakonisht, në këto raste, 𝑝𝑛 është divergjente, por kjo nuk është esenciale. Kështu

nëse 𝑝0 = 𝑝1 = 1, dhe pjesa e mbetur 𝑝𝑛 janë 0, atëhere

𝑡𝑚 =1

2 𝑠𝑚−1 + 𝑠𝑚 ,

dhe ne fitojmë vlerën e 𝑠𝑛(1)

.

24

2.2. [14] Regulariteti dhe qëndrueshmëria e metodës së Norlundit.

Ne fillojmë duke i përcaktuar kushtet që vlerat e

𝑡𝑚 = 𝑁𝑚 𝑝 (𝑠) =

𝑝𝑚𝑠0 + 𝑝𝑚−1𝑠1 + ⋯+ 𝑝0𝑠𝑚𝑝0 + 𝑝1 + ⋯+ 𝑝𝑚

→ 𝑠

duhet të jenë regulare.

Teoremë 2.2.1. [14] Kusht i nevojshëm dhe i mjaftueshëm që metoda 𝑁,𝑝𝑛 të jetë

regulare është që

𝑝𝑛𝑃𝑛

→ 0

Vërtetim.

Nëse

𝑡𝑚 =𝑝𝑚𝑠0 + 𝑝𝑚−1𝑠1 + ⋯+ 𝑝0𝑠𝑚

𝑝0 + 𝑝1 + ⋯+ 𝑝𝑚

=𝑝𝑚

𝑝0 + 𝑝1 + ⋯+ 𝑝𝑚𝑠0 +

𝑝𝑚−1

𝑝0 + 𝑝1 + ⋯+ 𝑝𝑚𝑠1 + ⋯+

𝑝0

𝑝0 + 𝑝1 + ⋯+ 𝑝𝑚𝑠𝑚

= 𝑐𝑚 ,𝑛

𝑚

𝑛=0

𝑠𝑛 = 𝑐𝑚 ,𝑛 𝑠𝑛

atëhere

𝑐𝑚 ,𝑛 =

𝑝𝑚−𝑛

𝑃𝑚 𝑝ë𝑟 𝑛 ≤ 𝑚

0 𝑝ë𝑟 𝑛 > 𝑚 ,

𝑐𝑚 ,0 =𝑝𝑚𝑃𝑚

, 𝑐𝑚 ,1 =𝑝𝑚−1

𝑃𝑚 ,… , 𝑐𝑚 ,𝑛 =

𝑝𝑚−𝑛

𝑃𝑚

𝑐𝑚 ,𝑛 ≥ 0 𝑑𝑕𝑒 𝑐𝑚 ,𝑛 = 𝑐𝑚 ,𝑛 = 𝑝𝑚−𝑛

𝑃𝑚

𝑚

𝑛=0

=𝑝𝑚𝑃𝑚

+𝑝𝑚−1

𝑃𝑚+. . +

𝑝0

𝑃𝑚

=𝑝𝑚 + 𝑝𝑚−1 + ⋯+𝑝0

𝑃𝑚=𝑃𝑚𝑃𝑚

= 1

dmth

𝑐𝑚 ,𝑛 = 1

Kështu kushti i parë dhe i tretë të teoremës 1.10.2 plotësohet për çdo rast. Kushti i

dytë është se 𝑐𝑚 ,𝑛 → 0 kur 𝑛 është e fiksuar dhe 𝑚 → ∞. Marrim 𝑛 = 0 atëhere kemi

25

𝑝𝑚

𝑃𝑚→ 0 , kështu që kushti i teoremës tonë

𝑝𝑛

𝑃𝑛→ 0 është i nevojshëm; dhe pasi që

𝑐𝑚 ,𝑛 ≤𝑝𝑚−𝑛

𝑃𝑚−𝑛 është gjithashtu edhe i mjaftueshëm.

Themi se dy metoda 𝑃 dhe 𝑄 janë të qëndrueshme nëse 𝑠𝑛 → 𝑠 𝑃 , 𝑠𝑛 → 𝑠 , 𝑄 atëhere 𝑠 = 𝑠 ,.

Teoremë 2.2.2. [14] Çdo dy metoda regulare të Norlundit (𝑁,𝑝𝑛) dhe (𝑁, 𝑞𝑛) janë të

qëndrueshme: nëse 𝑠𝑛 → 𝑠(𝑁,𝑝𝑛) dhe 𝑠𝑛 → 𝑠 ,(𝑁, 𝑞𝑛), atëhere 𝑠 = 𝑠 ,.

Vërtetim. Shënojmë

𝑟𝑛 = 𝑝𝑛𝑞𝑛−𝑘

𝑛

𝑘=0

(𝑘𝑢 𝑛 = 0,1,… .𝑚)

atëhere

𝑁𝑚 𝑟 𝑠 =

𝑝0𝑞0𝑠𝑚 + 𝑝0𝑞1 + 𝑝1𝑞0 𝑠𝑚−1 + ⋯+ (𝑝0𝑞𝑚 + ⋯+ 𝑝𝑚𝑞0)𝑠0

𝑝0𝑞0 + 𝑝0𝑞1 + 𝑝1𝑞0 + ⋯+ (𝑝0𝑞𝑚 + ⋯+ 𝑝𝑚𝑞0)

=𝑝0(𝑞0𝑠𝑚 + ⋯+ 𝑞𝑚𝑠0) + ⋯+ 𝑝𝑚−1 𝑞0𝑠1 + 𝑞1𝑠0 + 𝑝𝑚𝑞0𝑠0

𝑝0(𝑞0 + ⋯+ 𝑞𝑚 ) + ⋯+ 𝑝𝑚−1(𝑞0 + 𝑞1) + 𝑝𝑚𝑞0

=𝑝0(𝑞0 + ⋯+ 𝑞𝑚 )

𝑞0𝑠𝑚 + ⋯+ 𝑞𝑚𝑠0

𝑞0 + ⋯+ 𝑞𝑚 + ⋯+ 𝑝𝑚−1(𝑞0 + 𝑞1)

𝑞0𝑠1 + 𝑞1𝑠0

𝑞0 + 𝑞1 + 𝑝𝑚𝑞0

𝑞0𝑠0

𝑞0

𝑝0(𝑞0 + ⋯+ 𝑞𝑚 ) + ⋯+ 𝑝𝑚−1(𝑞0 + 𝑞1) + 𝑝𝑚𝑞0

=𝑝0𝑄𝑚𝑁𝑚

𝑞 𝑠 + ⋯+ 𝑝𝑚𝑄0𝑁0 𝑞 𝑠

𝑝0𝑄𝑚 + ⋯+ 𝑝𝑚𝑄0= 𝛾𝑚 ,𝑛𝑁𝑛

𝑞 𝑠

𝑛

,

ku

𝛾𝑚 ,𝑛 =

𝑝𝑚−𝑛𝑄𝑚 𝑝𝑚−𝜐 𝑄𝜐𝑚𝜐=0

𝑝ë𝑟 𝑛 ≤ 𝑚

0 𝑝ë𝑟 𝑛 > 𝑚

këtu

𝛾𝑚 ,𝑛 ≥ 0, 𝛾𝑚 ,𝑛 = 𝛾𝑚 ,𝑛 = 1

dhe

𝛾𝑚 ,𝑛 ≤𝑝𝑚−𝑛𝑄𝑛

𝑝𝑚−𝑛 + 𝑝𝑚−𝑛−1 + ⋯+ 𝑝0 𝑞0=𝑝𝑚−𝑛𝑄𝑛𝑃𝑚−𝑛𝑞0

→ 0, 𝑘𝑢𝑟 𝑚 → ∞.

prandaj metodat me koeficientët 𝛾𝑚 ,𝑛 janë regulare. Prandaj nga 𝑠𝑛 → 𝑠 ,(𝑁, 𝑞𝑛)

rjedhë 𝑠𝑛 → 𝑠 ,(𝑁, 𝑟𝑛). Ngjajshëm, nga 𝑠𝑛 → 𝑠(𝑁,𝑝𝑛) rrjedhë 𝑠𝑛 → 𝑠(𝑁, 𝑟𝑛); prandaj,

pasi që të dy hipotezat plotësohen, atëhere 𝑠 dhe 𝑠 , duhet të jenë të njejta.

26

2.3. [14] Metoda e Eulerit dhe disa veti të saj

Ne kemi përkufizuar 𝑎𝑛 = 𝑠(𝐸, 1), më herët metodën e Euler-it si në vijim:

Supozojmë se serija 𝑎𝑛𝑥𝑛 konvergjon për çdo 𝑥 rrotull origjinës, dhe gjithashtu

𝑥 =𝑦

1 − 𝑦 , 𝑦 =

𝑥

1 + 𝑥

dhe 𝑦 =1

2 korrespondon me 𝑥 = 1. Atëhere, për 𝑥 dhe 𝑦 të vegjël, ne kemi

𝑥𝑓 𝑥 = 𝑎𝑛𝑥𝑛+1 = 𝑎0𝑥 + 𝑎1𝑥

2

∞

𝑛=0

+ 𝑎2𝑥3 + ⋯

= 𝑎0

𝑦

1 − 𝑦+ 𝑎1

𝑦

1 − 𝑦

2

+ 𝑎2 𝑦

1 − 𝑦

3

+ ⋯

= 𝑎0

𝑦

1 − 𝑦+ 𝑎1

𝑦2

1 − 𝑦 2+ 𝑎2

𝑦3

1 − 𝑦 3+ ⋯

= 𝑎𝑝

∞

𝑝=0

𝑝 + 𝑚

𝑚

∞

𝑚=0

𝑦𝑝+𝑚+1 = 𝑎𝑝

∞

𝑝=0

𝑛

𝑛 − 𝑝

∞

𝑛=𝑝

𝑦𝑛+1.

Duke ndërruar renditjen e shumimit, fitojmë

𝑥𝑓 𝑥 = 𝑦𝑛+1

∞

𝑛=0

𝑛

𝑛 − 𝑝

𝑛

𝑝=0

𝑎𝑝 = 𝑦𝑛+1

∞

𝑛=0

𝑛

𝑝

𝑛

𝑝=0

𝑎𝑝 = 𝑏𝑛𝑦𝑛+1

∞

𝑛=0

për 𝑦 të vegjël, ku

𝑏0 = 𝑎0 , 𝑏𝑛 = 𝑎0 + 𝑛

1 𝑎1 +

𝑛

2 𝑎2 + ⋯+ 𝑎𝑛

Nëse 𝑦-seria është konvergjente te shuma 𝑠, për 𝑦 =1

2 , dhe nëse

1

2𝑏0 +

1

4𝑏1 +

1

8𝑏2 + ⋯ =

𝑏𝑛2𝑛+1

= 𝑠

atëhere 𝑠 quhet metoda 𝐸, 1 −shumueshme e serisë 𝑎𝑛 .

Teoremë 2.3.1. [14] Metoda (𝐸, 1) është regulare.

Vërtetim. Këtu

𝑡𝑚 = 𝑏𝑛

2𝑛+1

𝑚

𝑛=0

dhe ne do ta shprehim 𝑡𝑚 përmes 𝑠𝑛 si në vijim. Nëse 𝐸 është operator i përkufizuar

me 𝐸𝑢𝑛 = 𝑢𝑛+1, atëhere 𝑏𝑛 = (1 + 𝐸)𝑛𝑎0 dhe

27

𝑡𝑚 = 𝑏𝑛

2𝑛+1

𝑚

𝑛=0

= (1 + 𝐸)𝑛

2𝑛+1

𝑚

𝑛=0

𝑎0 = (1 + 𝐸)𝑛

212𝑛𝑎0 =

1

2

𝑚

𝑛=0

1 + 𝐸

2 𝑛

𝑎0

𝑚

𝑛=0

.

Tani bëjmë këto transformime.

1

2

1 + 𝑥

2 𝑛𝑚

𝑛=0

=1

2∙

1 − 12 (1 + 𝑥)

𝑚+1

1 −12 (1 + 𝑥)

= 2−𝑚−1 ∙(1 + 1)𝑚+1 − (1 + 𝑥)𝑚+1

1 − 𝑥

= 2−𝑚−1 ∙ 𝑚 + 1𝑛

1 − 𝑥𝑛

1 − 𝑥

𝑚+1

𝑛=1

= 2−𝑚−1 ∙ 𝑚 + 1𝑛

(1 + 𝑥 + 𝑥2 + ⋯+ 𝑥𝑛−1)

𝑚+1

𝑛=1

Meqë barazimi i mësipërm është një identitet në mes polinomeve, ne mund ta

përdorim atë nëse në vend të 𝑥 zëvendësojmë 𝐸. Kështu

𝑡𝑚 = 2−𝑚−1 ∙ 𝑚 + 1𝑛

1 + 𝐸 + 𝐸2 + ⋯+ 𝐸𝑛−1

𝑚+1

𝑛=1

𝑎0

= 2−𝑚−1 ∙ 𝑚 + 1𝑛

𝑚+1

𝑛=1

𝑠𝑛−1 = 2−𝑚−1 ∙ 𝑚 + 1𝑛 + 1

𝑚+1

𝑛=1

𝑠𝑛 .

Prandaj 𝑡𝑚 = 𝑐𝑚 ,𝑛𝑠𝑛 , ku

𝑐𝑚 ,𝑛 = 2−𝑚−1

𝑚 + 1𝑛 + 1

𝑝ë𝑟 𝑛 ≤ 𝑚

0 𝑝ë𝑟 𝑛 > 𝑚

𝑐𝑚 ,𝑛 ≥ 0, 𝑐𝑚 ,𝑛 = 𝑐𝑚 ,𝑛 = 2−𝑚−1 𝑚 + 1

𝑛 + 1

𝑚

𝑛=0

= 2−𝑚−1 𝑚 + 1

𝑛 + 1

𝑚

𝑛=0

= 2−𝑚−1 𝑚 + 1

0 +

𝑚 + 1

1 + ⋯+

𝑚 + 1

𝑚 + 1 = 2−𝑚−1(1 + 1)𝑚+1

= 2−𝑚−1 ∙ 2𝑚+1 = 2−𝑚−1+𝑚+1 = 20 = 1

dhe 𝑐𝑚 ,𝑛 = 2−𝑚−1 𝑚 + 1𝑛 + 1

< 2−𝑚−1 ∙ (𝑚 + 1)𝑛+1 → 0 ku 𝑚 → ∞. Kështu kushtet

e teoremës 1.10.2 janë plotësuar, që tregon se metoda e Eulerit është regulare.

28

2.4. [45] Metoda Norlund-Euler. Konvergjenca statistikore me pesha sipas

Norlund-Euler.

Këtu kemi ndërtuar metodën e shumueshmëris 1,,, EqpN të cilën e kemi quajtur

metoda e Norlund-Eulerit dhe gjithashtu kemi përkufizuar konvergjencën statistikore

me pesha sipas Norlund-Eulerit dhe kemi dhënë disa rezultate të rëndësishme.

Le të jetë

0n

nx një seri e fundme me vargje nga shuma e n-të e pjesëshme nS .

Nëse transformimi )1,(E është përcaktuar si k

n

knn S

k

nE

0

1

2

1

dhe ne themi se kjo metodë e shumueshmërisë është konvergjente nëse SEn 1 kur

n , atëhere në këtë rastë themi se serija

0n

nx është )1,(E – e shumueshme te

numri i përcaktuar S. Këtë fakt e shënojmë 1, ESSn , kur n .

Le të jenë np dhe nq dy vargje reale të ndryshme nga zero të tilla që

nn pppP ...10 , ; 011 pP

nn qqqQ ...10 , 011 qQ

Për vargjet e dhëna np dhe nq , përkufizojm konvolucionin p q me :

nR p q kn

n

k

nqp

0

Përkufizim 2.4.1. Seria

0n

nx ose vargu nS është i shumueshëm te S sipas

metodës së përgjithësuar të Norlund-it dhe shënohet me qpNSSn ,, nëse

SSqpR

tn

n

n

qp

n

0

, 1

, kur n .

Le të marrim në konsiderim metodën vijuese të shumueshmërisë:

Nëse St Eqp

n ,, kur n , atëhere themi se seria

0n

nx ose vargu nS është i

shumueshëm te S sipas metodës së Norlund-Eulerit dhe simbolikisht shënohet me

1,,, EqpNSSn .

kn

kk

n

k

kkn

n

kkkn

n

Eqp

n Sk

qpR

EqpR

t00 0

1,,

2

111

29

Nëse në metodën Eqp

nt,, në vend të 2𝑘 zëvendësojmë 𝑘 + 1 dhe 1

katëhere fitojmë

metodën e Norlund- Cesaros [60]. Të gjitha rezultatet që vlejnë për Norlund-Euler

vlejnë edhe për metodën Norlund-Cesaro. Në këtë rast shihet se metoda Norlund-

Euler është përgjithësim i metodës Norlund-Cesaros.

Teoremë 2.4.2. [45] Metoda e Norlund-Eulerit është regulare.

Vërtetim. Dime që metoda e Norlund-Eulerit e ka formën

kn

kkkkn

n

Eqp

n Sk

qpR

t00

,,

2

11

. Gjithashtu dimë që metoda e Eulerit është

k

n

knn S

k

nE

0

1

2

1 dhe është regulare. Pasi që 1

nE është regulare, atëhere nga

përkufizimi i regularitetit të një metode kemi se Sxn

n

0

kështu që edhe

SSk

nE k

n

knn

0

1

2

1.

Por

SRR

SqpR

SSqpR

Sk

qpR

t n

n

n

k

kkn

n

n

k

kkn

n

kn

kkkkn

n

Eqp

n

111

2

11

0000

,,

Pra Sxn

n

0

dhe nga kjo rrjedhe se edhe St Eqp

n ,, atëhere kjo tregon se metoda e

Norlund-Eulerit është metodë e regulare.

Vërejtje 2.4.3. [45] Nëse 1 , 1k kp q , atëhere ne fitojmë metodën e

shumueshmërisë së Euler-it.

Le të shënojmë me 1,,, EqpN hapësirën e të gjitha vargjeve )( kxx që

konvergjojnë fuqishëm dhe të cilat janë 1,,, EqpN -të shumueshme te L:

𝑁, 𝑝, 𝑞 (𝐸, 1)

= 𝑥 = 𝑥𝑛 : limn→∞

1

𝑅𝑛 𝑝𝑛−𝑘𝑞𝑘

1

2𝑘

𝑘

𝜈 𝑥𝜈 − 𝐿 = 0 𝑝ë𝑟 𝑑𝑖𝑠𝑎 𝐿

𝑘

𝜈=0

𝑛

𝑘=0

Matrica kncA , , e metodës së shumueshmërisë 1,,, EqpN është dhënë me

𝑐𝑚 ,𝑛 =

1

𝑅𝑛𝑝𝑛−𝑘𝑞𝑘

1

2𝑘

𝑘𝜐

𝑘

𝜐=0

, 𝑛ë𝑠𝑒 𝑘 ≤ 𝑛

0 , 𝑛ë𝑠𝑒 𝑘 > 𝑛

Tashë jemi në gjendje të japim përkufizimin e konvergjencës statistikore me pesha

lidhur me metodën e shumueshmërisë 1,,, EqpN .

30

Përkufizim 2.4.4. [45] Vargu )( kxx thuhet se konvergjon statistikisht me pesha

sipas Norlund-Eulerit nëse për çdo 0 .

0||2

1:

1lim

0

k

kkknn

nn

Lxn

kqpRk

R

Simbolikisht këtë e shënojmë .lim)( LxstNE

Bashkësinë e gjitha vargjeve që konvergjojnë statistikisht me pesha sipas Norlund-

Eulerit e shënojmë me NES dhe e përcaktojmë si në vijim:

LLxn

kqpRk

RxxS

k

kkknn

nn

nNE disapër ,0||2

1:

1lim:)(

0

Nëse vargu )( kxx është NES - statistikisht konvergjent, ne gjithashtu përdorim

shënimin )( NEk SLx .

Përkufizim 2.4.5. [45] Thuhet se vargu )( kxx është rEqpN ]1,,,[ të

shumueshme )0( r te limiti L nëse ,

0||2

11lim

1 0

rn

k

k

kkkn

nn

Lxn

kqp

R

Simbolikisht ne atë e shënojmë si )]1,,,([ rk EqpNLx , dhe në këtë rast L quhet

rEqpN ]1,,,[ limiti që varet nga x.

Në teoremat në vijim kemi vënë në korrespondencë NES –konvergjencën statistikore

me metodën e shumueshmërisë 1,,, EqpN dhe rEqpN ]1,,,[ .

Teoremë 2.4.6. [45] Le të jetë

k

kkkn MLxk

qp0

||2

1

për çdo ∈ ℕ . Nëse

vargu )( kxx është NES -statistikisht konvergjent te L atëhere ai është statistikisht

1,,, EqpN -i shumueshëm te L por jo ansajelltas.

Vërtetim: Me qenë se )( kxx është NES -statistikisht konvergjent te numri L,

atëherë kemi

,0||2

1:

1lim

0

k

kkknn

nn

Lxk

qpRkR

ku

31

k

kkkn Lxk

qpNkK0

||2

1:

.

Shënojmë

k

kkknnR Lxk

qpRkKn

0

||2

1:)(

dhe

k

kkknn

c

R Lxk

qpRkKn

0

||2

1:)(

.

Atëhere

10|)(|

|||2

1:|

1

1|||

2

1:|

1

|)(|2

11|)(|

2

11

)(2

11)(

2

11

)(2

11

2

11t

0

)(0

0

)(

00)(

0

)(

0

)(

0)(

0)(

0

0000

Eq,p,

n

n

c

Rk

kkknn

n

Kkn

k

kkknn

n

k

k

n

K

kkkkn

n

k

k

n

Kk

kkkn

n

k

K

n

K

kkkkn

n

k

Kk

n

Kkk

kkkn

n

kn

kkkkn

n

kn

kkkkn

n

R

KLx

n

kqpRkM

R

RLx

n

kqpRkM

R

Lxk

qpR

Lxk

qpR

Lxk

qpR

Lxk

qpR

Lxk

qpR

Lxk

qpR

L

n

c

nR

c

nRnR

c

nRc

nRnRnR

kur n prej nga rrjedh që

kn

kkkkn

n

qp

n Lxk

qpR

t00

,

2

11

. Kjo tregon se, x

është 1,,, EqpN -i shumueshëm te L prandaj është statistikisht 1,,, EqpN -i

shumueshëm te L.

Shembull 2.4.7. [45] Le të jetë 1np dhe 1nq për çdo 𝑘 ∈ ℕ dhe gjithashtu

përcaktojmë vargun )( kxx si në vijim:

2,

0,k

k if k nx

if k n

Atëhere kemi nR p q 11...11111000

nqpn

k

n

k

kn

n

k

n dhe

32

lim𝑛→∞

1

𝑅𝑛 𝑘 ≤ 𝑅𝑛 :𝑝𝑛−𝑘𝑞𝑘

1

2𝑘

𝑘

𝜐

𝑘

𝜐=0

𝑥𝜈 − 0 ≥ 휀

= lim𝑛→∞

1

𝑛 + 1 𝑘 ≤ 𝑛 + 1:

1

2𝑘

𝑘

𝜐

𝑘

𝜐=0

𝑥𝜈 − 0 ≥ 휀

Për 𝑘 = 𝑛2 ⇒ 𝑥𝑛 = 𝑛 kemi

lim𝑛→∞

1

𝑅𝑛 𝑘 ≤ 𝑅𝑛 :𝑝𝑛−𝑘𝑞𝑘

1

2𝑘

𝑘

𝜐

𝑘

𝜐=0

𝑥𝜈 − 0 ≥ 휀

= lim𝑛→∞

𝑛

𝑛 + 1= lim

𝑛→∞

𝑛

𝑛 + 1 2= lim

𝑛→∞

𝑛

𝑛2 + 2𝑛 + 1= 0

Kjo dmth se vargu )( kxx konvergjon statistikisht.

Në anën tjetër,

lim𝑛→∞

1

𝑅𝑛 𝑝𝑛−𝑘𝑞𝑘

𝑛

𝑘=0

1

2𝑘

𝑘

𝜐

𝑘

𝜐=0

𝑥𝜈 − 0 = lim𝑛→∞

1

𝑛 + 1 1 ∙ 1 ∙

𝑛

𝑘=0

1

2𝑘

𝑘

𝜐

𝑘

𝜐=0

𝑥𝜈

= lim𝑛→∞

1

𝑛 + 1

1

2𝑘

𝑛

𝑘=0

𝑘

𝜐

𝑘

𝜐=0

𝜈 = lim𝑛→∞

1

𝑛 + 1

1

2𝑘∙

𝑛

𝑘=0

𝑘 ∙ 2𝑘−1 (∗)

= lim𝑛→∞

1

2 𝑛 + 1 𝑘

𝑛

𝑘=0

= lim𝑛→∞

1

2 𝑛 + 1

𝑛 ∙ (𝑛 + 1)

2= lim

𝑛→∞

𝑛

4= +∞.

Le të vlerësojmë 𝑘𝜐 𝑘

𝜐=0 𝜈

𝑘

𝜐

𝑘

𝜐=0

𝜈 = 𝑘

0 ∙ 0 +

𝑘

1 ∙ 1 + ⋯+

𝑘

𝑘 ∙ 𝑘

Dimë që

1 + 𝑥 𝑛 = 𝑛

0 ∙ 1 +

𝑛

1 ∙ 𝑥 +

𝑛

2 ∙ 𝑥2 + ⋯+

𝑛

𝑛 ∙ 𝑥𝑛

Barazimin e fundit e derivojmë anë për anë sipas 𝑥 − 𝑖𝑡, dhe kemi

𝑛 1 + 𝑥 𝑛−1 = 0 + 𝑛

1 ∙ 1 + 2 ∙

𝑛

2 ∙ 𝑥1 + ⋯+ 𝑛 ∙

𝑛

𝑛 ∙ 𝑥𝑛−1

Për 𝑥 = 1, kemi

𝑛 1 + 1 𝑛−1 = 0 + 𝑛

1 ∙ 1 + 2 ∙

𝑛

2 ∙ 1 + ⋯+ 𝑛 ∙

𝑛

𝑛 ∙ 1

33

𝑛 ∙ 2𝑛−1 = 𝑛

1 + 2 ∙

𝑛

2 + ⋯+ 𝑛 ∙

𝑛

𝑛

ose

𝑛

1 + 2 ∙

𝑛

2 + ⋯+ 𝑛 ∙

𝑛

𝑛 = 𝑛 ∙ 2𝑛−1

Prandaj në bazë të kësaj kemi se

𝑘

𝜐

𝑘

𝜐=0

𝜈 = 𝑘

0 ∙ 0 +

𝑘

1 ∙ 1 + ⋯+

𝑘

𝑘 ∙ 𝑘 = 𝑘 ∙ 2𝑘−1

Atëhere nga (*) kemi

lim𝑛→∞

1

𝑅𝑛 𝑝𝑛−𝑘𝑞𝑘

𝑛

𝑘=0

1

2𝑘

𝑘

𝜐

𝑘

𝜐=0

𝑥𝜈 − 0 = lim𝑛→∞

1

𝑛 + 1

1

2𝑘∙

𝑛

𝑘=0

𝑘 ∙ 2𝑘−1

= lim𝑛→∞

1

2 𝑛 + 1 𝑘

𝑛

𝑘=0

= lim𝑛→∞

1

2 𝑛 + 1

𝑛 ∙ (𝑛 + 1)

2= lim

𝑛→∞

𝑛

4= +∞.

vargu )( kxx divergjon.

Prandaj ky shembull tregon se e anasjellta e teoremës nuk është e vërtetë.

Teorema vijuese na jep relacione në mes NES -konvergjencës statistikore dhe

rEqpN ]1,,,[ .

Teoremë 2.4.8. [45]

a. Le të jetë )( kxx varg rEqpN ]1,,,[ - i shumueshëm te L. Nëse

Rasti 1: 10 r dhe 1||0 Lxk

Rasti 2: r1 dhe ||1 Lxk .

atëhere )( kxx konvergjon NES -statistikisht te L.

b. Le të jetë )( kxx varg NES -statistikisht konvergjent te L dhe

k

kkkn MLxk

qp0

||2

1

(𝑘 = 1,2,3,… ). Nëse

Rasti 1: 10 r dhe M1

Rasti 2: r1 dhe .10 M

atëhere rk EqpNLx ]1,,,[ :

34

Vërtetim:

a. Meqenëse

k

kkkn

kr

kkkn Lxk

qpLxk

qp00

||2

1||

2

1

për rastin 1. dhe rastin 2., atëherë kur n

n

Rn

Kkn

k k

K

n

Kk

kkkn

n

n

kkkkn

n

kr

n

kkkkn

n

R

K

R

Lxk

qpR

Lxk

qpR

Lxk

qpR

n

nR

nRnR

|)(|1

||2

11||

2

11

||2

110

)(1

0)(

0)(

00

00

0|)(|

lim

n

R

n R

Kn

ku

k

kkknnR Lxk

qpRkKn

0

||2

1:)(

Prandaj vargu )( kxx konvergjon NES -statistikishtë te L.

b. Supozojmë se )( kxx është NES - statistikisht konvergjent te L. Atëhere për çdo

0 , ne kemi 0)||2

1:()(

0

k

kkknNENE Lxk

qpNkK

.

Pasi që

k

kkkn MLxk

qp0

||2

1

(𝑘 = 1,2,… ), ne kemi

rk

K

n

Kk

kkkn

n

nRnR

Lxk

qpR

)(0

)(0

||2

11

)()(

||2

11

||2

11

21

)(0

)(0

)(0

)(0

nSnS

Lxk

qpR

Lxk

qpR

rk

Kk

n

Kkk

kkkn

n

rk

Kk

n

Kkk

kkkn

n

nRnR

nRnR

ku r

k

Kk

n

Kkk

kkkn

n

nRnR

Lxk

qpR

nS ||2

11)(

)(0

)(0

1

35

rk

Kk

n

Kkk

kkkn

n

nRnR

Lxk

qpR

nS ||2

11)(

)(0

)(0

2

.

Tani nëse )(nRKk atëhere

rk

Kk

n

Kkk

kkkn

n

nRnR

Lxk

qpR

nS ||2

11)(

)(0

)(0

1

||1

||2

11

)(0

)(0

c

R

n

k

Kk

n

Kkk

kkkn

nn

nRnR

KR

Lxk

qpR

Për )(nRKk , ne kemi

rk

Kk

n

Kkk

kkkn

n

nRnR

Lxk

qpR

nS ||2

11)(

)(0

)(0

2

))(

|)(|2

1sup(

||2

11

)(0

)(0

)(0

)(0

n

Rk

Kk

n

Kkk

kkknk

k

Kk

n

Kkk

kkkn

n

R

KLx

kqp

Lxk

qpR

n

nRnR

nRnR

,0|)(|

n

R

R

KM n

kur n . Pasi që

0)||2

1:()(

0

k

kkknNENE Lxk

qpNkK

.

Prandaj rk EqpNLx ]1,,,[ .

36

2.5. [45] Zbatimi i konvergjencës statistikore me pesha sipas Norlund-Eulerit, në

teoremën përafruese.

Le të jetë ],[ baC hapësira e gjitha funksioneve f të vazhdueshme në ],[ ba . Ne dimë

se ],[ baC është hapësirë e Banahut me normën

],[ ,)(sup],[

baCfxffbax

Teorema klasike përafruese e Korovkin-it formulohet si në vijim:

Le të jetë nT vargë i operatorëve linear pozitiv nga ],[ baC në ],[ baC . Atëhere, kusht

i nevojshëm dhe mjaftueshëm, për çdo ],[ baCf . 0)(),(lim

xfxfTnn

është

që 0)(),(lim

xfxfT iinn

, për 2,1,0i ku 1)(0 xf , xxf )(1 dhe 2

2 )( xxf .

Në këtë pjesë, ne kemi përgjithësuar rezultatet e Boyanov dhe Veselinov [36] duke

përdorur simbolikën e shumueshmërisë statistikore 1,,, EqpN dhe të njejtin test të

funksioneve 1, 𝑒− 𝑥 , 𝑒−2𝑥 . Ne gjithashtu japim një shembull për të justifikuar se

rezultati jonë është më i fuqishëm se ai i Bojanov-it dhe Veselinov-it.

Le të jetë )(IC hapësirë e Banach-ut me normën uniforme

, e të gjitha funksioneve

të vazhdueshme me vlera reale ),0[ I ; që )(lim xfx

të jetë i fundëm. Supozojmë

se )()(: ICICLn . Shënojmë );( xfLn për ));(( xsfLn ; dhe themi se L është

operator pozitiv nëse 0);( xfLn për çdo 0)( xf .

Teoremë 2.5.1. Le të jetë )( kT varg i operatorëve pozitivë linearë nga )(IC në

).(IC Kusht i nevojshëm dhe i mjaftueshëm që për çdo )(ICf .

𝑠𝑡 − lim𝑘→∞

𝑇𝑘 𝑓; 𝑥 − 𝑓(𝑥) ∞ = 0

është që

𝑠𝑡 − lim𝑘→∞

𝑇𝑘 1; 𝑥 − 1 ∞ = 0

𝑠𝑡 − lim𝑘→∞

𝑇𝑘 𝑒−𝑠; 𝑥 − 𝑒−𝑥 ∞ = 0

𝑠𝑡 − lim𝑘→∞

𝑇𝑘 𝑒−2𝑠; 𝑥 − 𝑒−2𝑥 ∞ = 0

Në mënyrë të ngjashme mund të provojmë versionin NES -statistikor. Tani provojmë

versionin vijues më të fuqishëm duke përdorur kuptimin e shumueshmërisë

statistikore 1,,, EqpN .

Teoremë 2.5.2. [45] Le të jetë )( kT varg i operatorëve pozitivë linearë nga )(IC në

)(IC . Atëherë kusht i nevojshëm dhe i mjaftueshëm që për çdo )(ICf

37

𝑁𝐸 𝑠𝑡 − lim𝑘→∞

𝑇𝑘 𝑓; 𝑥 − 𝑓(𝑥) ∞ = 0 (2.5.0)

është që

𝑁𝐸 𝑠𝑡 − lim𝑘→∞

𝑇𝑘 1; 𝑥 − 1 ∞ = 0 (2.5.1)

𝑁𝐸 𝑠𝑡 − lim𝑘→∞

𝑇𝑘 𝑒−𝑠; 𝑥 − 𝑒−𝑥 ∞ = 0 (2.5.2)

𝑁𝐸 𝑠𝑡 − lim𝑘→∞

𝑇𝑘 𝑒−𝑠; 𝑥 − 𝑒−𝑥 ∞ = 0 (2.5.3)

Vërtetim. Çdo xx ee 2,,1 i takon )(IC , kushtet (2.5.1)-( 2.5.3) rrjedhin nga (2.5.0).

Le të jetë )(ICf . Atëhere ekziston konstantja 0M e tillë që Mxf )( për

.Ix Për këtë,

Mxfsf 2)()( , xs, (2.5.4)

Është lehtë të provohet se për 0 të dhënë gjendet 0 e tillë që

)()( xfsf (2.5.5)

sa herë që xs ee për çdo Ix .

Shfrytëzojm (5.5.4) dhe (5.5.5), duke marrë 2

11 )(),( xs eexs dhe fitojmë

),(2

)()( 12

Mxfsf . xs

Kjo është,

).(2

)()()(2

1212

Mxfsf

M

Tani, llogarisim );1( xTk te ky jobarazim ku );( xfTk është monoton dhe linear.

Marrim

.)(2

);1()()();1()(2

);1( 1212

MxTxfsfxT

MxT kkk

Vëjmë re se x është i fiksuar dhe )(xf është numër konstant. Prandaj,

(2.5.6) );(2

);1(

);1( )();();(2

);1( );1( )(2

);1( );1( )()();1( )(2

);1(

12

1212

12

xTM

xT

xTxfxfTxTM

xTxTM

xTxTxfsfxTM

xT

kk

kkkkk

kkkk

38

Gjithashtu,

(2.5.7) ]1);1()[();1()();(

);1()();1()();()();(

xTxfxTxfxfT

xfxTxfxTxfxfTxfxfT

kkk

kkkk

Nëse ndjekim (2.5.6) dhe (2.5.7) që

(2.5.8) ]1);1()[();(2

);1()();( 12 xTxfxT

MxTxfxfT kkkk

Tani

]1);1([]);([2]);([

);1();(2);(

);2();();(

222

22

222

1

xTeexeTeexeT

xTexeTexeT

xeeeeTxeeTxT

k

xxs

k

xxs

k

k

xs

k

xs

k

xxss

k

xs

kk

Shfrytëzojmë (2.5.8) , dhe marrim

]1);1()[(

]1);1([]);([2]);([ 2

);1()();(

222

2

xTxf

xTeexeTeexeTM

xTxfxfT

k

k

xxs

k

xxs

k

kk

Këndej

.);(4

);(2

1);1(2

1);1()4

(

);(4

);(2

1);1(2

1);1()()();(

2

22

2

2

22

2

22

2

2

2

xs

k

xx

k

k

x

k

xs

k

xxx

k

k

x

kk

exeTM

exeTM

xTeM

xTM

M

exeTeM

exeTM

xTeM

xTMxfxfT

Deri sa që 1xe për Ix .

Tani, duke marrëIx

supe shprehjes së fundit, ne fitojmë

),);();(1);1(()();( 22

xs

k

xs

kkk exeTexeTxTKxfxfT

ku

22

2,

4max

MMMK . Prandaj

39

),2

1);(

2

1);(1

2

1);1((

)();(

2

1

2

11

xk

kkkn

s

k

xk

kkkn

s

k

k

kkknk

k

ek

qpxeT

ek

qpxeTk

qpxTK

xfxfT

(2.5.9)

k

kkknk

kqpxfT

12

1),(

Për 0r të dhënë zgjedhim 0, të tillë që ., r Përcaktojmë bashkësitë vijuese

, 2

1),(:

1

rxfk

qpxfTnmDk

kkknk

,4

12

1),1(:

,

1

1

K

rkqpxTnmD

k

kkknk

,42

1),(:

,

1

2

K

re

kqpxeTnmD x

k

kkkn

t

k

,42

1),(:

,2

1

2

3

K

re

kqpxeTnmD x

k

kkkn

t

k

Atëhere 321 DDDD , dhe gjithashtu )()()()( 321 DDDD .

Prandaj, duke përdorur kushtet (2.5.1)-(2.5.3) kemi

0)();(lim)(

xfxfTstNE kk

Kjo përfundon vërtetimin e teoremës.

40

2.6. [46] Përgjithësimi i kovergjencës statistikore me pesha sipas Norlund-Eulerit

dhe disa rezultate të reja në lidhje me këtë metodë.

Në këtë pjesë ne përgjithësojmë metodën e Norlund-Eulerit dhe gjithashtu

përgjithësojmë kuptimin e konvergjencës statistikore me pesha sipas Norlund-Eulerit

dhe japim disa rezultate në lidhje me këtë metodë.

Le të jetë

0n

nx një seri e fundme me vargje të shumave të pjesshme ( kS ) dhe q> 0

një numër real. Kuptimi sipas Eulerit ),( qE i vargut ( kS ) është përcaktuar me

Sq

n

qE n

n

n

q

n

0)1(

1

Seria

0n

nx thuhet se është ),( qE e shumueshme te numri S nëse

SSqn

qE n

n

n

q

n

0)1(

1 kur n

.

Le të jetë

0n

nx një seri e fundme dhe shënojmë me nS vargun e shumave të

pjesshme të saj. Nëse transformimi ),( qE është përcaktuar si

Sq

n

qE n

n

n

q

n

0)1(

1 )0( q

dhe kjo metodë e shumueshmërisë është konvergjente nëse

SSqn

qE n

n

n

q

n

0)1(

1 kur n ,

atëhere themi se seria

0n

nx është ),( qE –e shumueshme te numri i përcaktuar S.

Në këtë rastë ne do të shkruajmë qESSn , , kur n .

Le të jetë np dhe nq dy vargje realë të ndryshme nga zero, të tillë që

nn pppP ...10 , 011 pP

nn qqqQ ...10 , 011 qQ

Për vargjete e dhëna np dhe nq , konvolucioni p q është përcaktuar me:

nR p q kn

n

k

nqp

0

41

Përkufizim 2.6.1. Seria

0n

nx ose vargu nS është i shumueshëm në S sipas

metodës së përgjithsuar të Norlundit dhe ky fakt shënohet me qpNSSn ,, nëse

n

n

n

qp

n SqpR

t0

, 1

tenton te S, kur n .

Le të marrim në konsideratë metodën vijuese të shumueshmërisë:

n

k

kk

kkkn

n

n

k

q

kkkn

n

Eqp

n Sqk

qqp

REqp

Rt

0 00

,,

)1(

111

Nëse St Eqp

n ,, kur n , ne themi se seria

0n

nx ose vargu nS është i

shumueshëm te S sipas metodës së përgjithësuar të Norlund-Euler dhe këtë e

shënojmë me qEqpNSSn ,,, .

Teoremë 2.6.2. [46] Metoda e përgjithësuar Norlund-Eulerit është metodë regulare.

Vërtetim. Dime që metoda e përgjithësuar e Norlund-Eulerit e ka formën

kn

kkkkn

n

Eqp

n Sk

qqp

Rt

00

,,

)1(

11

. Gjithashtu dimë që metoda e Eulerit është

Sq

n

qE n

n

n

q

n

0)1(

1 regulare. Pasi që 1

nE është metodë regulare, atëhere nga

përkufizimi i regularitetit së një metode, kemi Sxn

n

0

atëhere edhe

SSqn

qE n

n

n

q

n

0)1(

1.

Por

SRR

SqpR

SSqpR

Sk

qqp

Rt n

n

n

k

kkn

n

n

k

kkn

n

kn

kkkkn

n

Eqp

n

111

)1(

11

0000

,,

Meqë Sxn

n

0

dhe prej saj rrjedh se edhe St Eqp

n ,, atëhere kjo tregon se metoda e

përgjithësuar e Norlund-Eulerit është metodë e regulare.

Le të shënojmë me qEqpN ,,, hapësirën e gjitha vargjeve )( kxx që

konvergjojnë fuqishëm dhe janë qEqpN ,,, të shumueshme në L :

𝑁,𝑝, 𝑞 𝐸, 1 =

42

= 𝑥 = 𝑥𝑛 : limn→∞

1

𝑅𝑛 𝑝𝑛−𝑘𝑞𝑘

1

(1 + 𝑞)𝑘

𝑘

𝜈 𝑞𝑘−𝜈 𝑥𝜈 − 𝐿 = 0 𝑝ë𝑟 𝑑𝑖𝑠𝑎 𝐿

𝑘

𝜈=0

𝑛

𝑘=0

matrica kncA , në metodën e shumueshmërisë qEqpN ,,, është dhënë me

nk

nkqk

qqp

Rc

n

k

kk

kkkn

nkn

nëse, 0

nëse,)1(

11

0 0,

Tani jemi në gjendje të japim përkufizimin e konvergjencës statistikore me pesha

sipas metodës së shumueshmërsië qEqpN ,,, .

Përkufizim 2.6.3. [46] Vargu )( kxx thuhet se konvergjon statistikisht me pesha

sipas metodës së përgjithësuar së Norlund-Euler nëse për çdo 0 .

0||)1(

1:

1lim

0

Lxqk

qqpRk

R

kk

kkknn

nn

Bashkësia e konvergjencave statistikore me pesha sipas metodës së përgjithësuar të

Norlund –Eulerit shënohet me q

NES , ku

LdisapërLxqk

qqpRk

RxxS k

k

kkknn

nn

n

q

NE ,0||)1(

1:

1lim:)(

0

Nëse vargu )( kxx është q

NES -konvergjent, ne gjithashtu përdorim shënimin

)( q

NEk SLx .

Në vazhdim, gjejmë relacionet ndërmjet q

NES , qEqpN ,,, dhe q

NES , qE, .

Teoremë 2.6.4. [46] Nëse vargu )( kx është qEqpN ,,, -i shumueshëm te 𝐿,

atëhere vargu )( kx është q

NES –konvergjent dhe përfshirja q

NESqEqpN ,,, është

e vërtetë.

Vërtetim: Le të jetë )( kx varg qEqpN ,,, -i shumueshëm në L dhe

||)1(

1:

0

Lxqk

qqpRkK k

k

kkknn

Atëhere, për 0 , ne kemi

43

n

k

kk

kkkn

n

Lxqk

qqp

R 0 0

||)1(

11

Kk

k

Kkkkn

n

Lxqk

qqp

R||

)1(

11

||)1(

1:

1

||)1(

11

0

Lxqk

qqpRk

R

Lxqk

qqp

R

kk

kkknn

n

Kk

k

Kkkkn

n

Prandaj, vargu )( kx është q

NES -konvergjent te L . Pra treguam pjesën e parë të

teoremës.

Shembulli i mëposhtëm tregon se përfshirja q

NESqEqpN ,,, është rigoroze.

Shembull 2.6.5. [46] Konsiderojmë që 1np dhe 1nq për çdo 𝑛 ∈ ℕ. Gjithashtu

ne përcaktojmë vargun )( kxx si më poshtë:

2,

0,k

k if k nx

if k n

Atëhere 0

1 1n

n

k

R n

dhe

|0|)1(

11

0

xqk

qqp

R

kk

kkkn

n

01

n

n

kur .n

Në anën tjetër,

n

k

kk

k

n

k

kk

kkkn

n

xqk

qnxq

k

qqp

R 0 00 0

2

)1(

1

1

1|0|

)1(

11

)1(2)1(

1

1

1

0 0 q

nq

k

qn

n

k

kk

k

kur .n

Pasi që vargu )( kx është q

NES –konvergjent por nuk është qEqpN ,,, -i

shumueshëm kjo na tregon se përfshirja q

NESqEqpN ,,, është e vërtet.

Theorem 2.6.6. [46] Le të jetë nR dhe MLxqk

qqp k

k

kkkn

||)1(

1

0

për çdo ∈ ℕ . Nëse )( q

NEk SLx , atëhere qEqpNxk ,,, .

44

Vërtetim: Le të jetë )( q

NEk SLx dhe

||)1(

1:

0

Lxqk

qqpRkK k

k

kkknn

deri sa nR dhe MLxqk

qqp k

k

kkkn

||)1(

1

0

për çdo 𝑘 ∈ ℕ , atëherë

për çdo 0 , ne kemi

n

k

kk

kkkn

n

Lxqk

qqp

R 0 0

||)1(

11

Kk

k

Kkkkn

n

Lxqk

qqp

R||

)1(

11

||)1(

1:

||)1(

11

0

Lxqk

qqpRk

R

M

Lxqk

qqp

R

kk

kkknn

n

Kk

k

Kkkkn

n

Deri sa është i çfardoshëm, kemi qEqpNLxk ,,, .

Më vijim do të kosiderojmë se 1np , 1nq dhe me ( )L S do të shënojmë

konvergjencën statistikore të vargut ( )kx . Teorema vijuese tregon se nën çfarë kushte

konvergjenca statistikore implikon konvergjencën e përgjithësuar statistikore me

pesha sipas Norlund –Eulerit.

Teoremë 2.6.7. [46] Le të jetë liminf 1,nR

n

për çdo Nn . Nëse )(SLxk ,

atëhere )( q

NEk SLx dhe përfshirja është e saktë.

Vërtetim: Për çdo 0 ne kemi

||)1(

11

||)1(

11

||)1(

11|:|

1

0

0

0

Lxqk

qqp

R

Lxqk

qqp

Rn

R

Lxqk

qqp

nLxRk

n

kk

kkkn

n

kk

kkkn

n

n

kk

kkknkn

Kjo e përfundon vërtetimin. Që përfshirja është e vërtetë ne do ta tregojmë me

shembullin e mëposhtëm.

45

Shembull 2.6.8. [46] Konsiderojm se 1kp dhe 1

kqk

për çdo 𝑘 ∈ ℕ . Dhe

gjithashtu le të konsiderojmë se 1( 1)k

kx . Atëhere rrjedhë

0||)1(

111:

1lim

0

Lxqk

qkRk

R

kk

kn

nn

, por ( ) ( ).kx L S

Teoremë 2.6.9. [46] Nëse vargu ,nR është varg i kufizuar i tillë që

limsup ,nR

n

atëhere nga q

NES -konvergjenca rrjedh S - konvergjenca.

Vërtetim: Për 0 , ne kemi

||)1(

1:

1

||)1(

1:

1

||)1(

1:

1|:|

1

0

0

0

Lxqk

qqpRk

R

Lxqk

qqpRk

Rn

R

Lxqk

qqpRk

nLxRk

n

kk

kkknn

n

kk

kkknn

n

n

kk

kkknnkn

Meqë limsup ,nR

n

fitojmë që )()( SLxSLx k

q

NEk , që dmth se

SS q

NE . Prandaj rezultati rrjedh nga teorema 2.6.7.

Teoremë 2.6.10. [46] Nëse vargu ,nR është varg i kufizuar i tillë që 1< liminf

nR

n

< limsup ,nR

n

atëhere q

NES - konvergjenca është ekuivalente me S -

konvergjencën.

Vërtetim: Vërtetimi i teoremës rrjedhë drejtë nga teorema 2.6.7 dhe teorema 2.6.9.

46

2.7. Shkalla e konvergjencës statistikore me pesha sipas Norlund-Eulerit

Le të shënojmë me 𝐹 𝑅 hapësirën e të gjitha funksioneve me vlera reale të

përkufizuar në 𝑅. Le të jetë 𝐶[𝑎, 𝑏] hapësira e gjitha funksioneve të vazhdueshme 𝑓

në 𝑎, 𝑏 . Ne dime që 𝐶[𝑎, 𝑏] është hapësirë e Banahut me normë

𝑓 ∞ = sup𝑥∈[𝑎 ,𝑏]

𝑓(𝑥) ,𝑓 ∈ 𝐶 𝑎, 𝑏 .

Në këtë pjesë, ne studiojmë shkallën e vargjeve që konvegjojnë statistikisht me pesha

sipa Norlund-Eulerit për operatorët linear pozitiv nga 𝐶(𝐼) në 𝐶(𝐼).

Le të jetë 𝐶(𝐼) hapësirë e Banahut me normë uniforme ∙ ∞ i funksioneve të

vazhdueshme në 𝐼 = [0,∞) ; me kusht që lim𝑛→∞ 𝑓(𝑥).

Supozojmë se 𝐿𝑛 :𝐶(𝐼) → 𝐶(𝐼). Ne shëojmë 𝐿𝑛(𝑓; 𝑥) për 𝐿𝑛(𝑓(𝑠); 𝑥) ; dhe themi se 𝐿

është operator linear pozitiv nëse 𝐿𝑛(𝑓; 𝑥) ≥ 0 për çdo 𝑓(𝑥) ≥ 0.

Përkufizim 2.7.1. [48] Le të jetë 𝑎𝑛 varg pozitiv jo zvoglues. Themi se vargu

𝑥 = 𝑥𝑛 konvergjon statistikisht me pesha sipas Norlund-Eulerit te numri 𝐿 me

shkallë 0 𝑎𝑛 nëse për çdo 휀 > 0

lim𝑛→∞

1

𝑎𝑛𝑅𝑛 𝑘 ≤ 𝑅𝑛 :𝑝𝑛−𝑘𝑞𝑘

1

(1 + 𝑞)𝑘

𝑘

𝜈 𝑞𝑘−𝜈 𝑥𝑘 − 𝐿 ≥ 휀

𝑘

𝜈=0

= 0

Në këtë rastë shënojmë 𝑥𝑘 − 𝐿 = 𝑁𝐸𝑞 𝑠𝑡 − 0 𝑎𝑛 .

Lema 2.7.2. [48] Le të jenë 𝑎𝑛 dhe 𝑏𝑛 dy vargje jorritëse pozitive. Le të jetë

𝑥 = 𝑥𝑛 dhe 𝑦 = 𝑦𝑛 të tilla që 𝑥𝑘 − 𝐿1 = 𝑁𝐸𝑞 𝑠𝑡 − 0 𝑎𝑛 dhe 𝑦𝑘 − 𝐿2 =𝑁𝐸𝑞 𝑠𝑡 − 0 𝑏𝑛 . Atëhere

(i) 𝛼 𝑥𝑘 − 𝐿1 = 𝑁𝐸𝑞 𝑠𝑡 − 0 𝑎𝑛 , për ndonjë skalar 𝛼.

(ii) 𝑥𝑘 − 𝐿1 ± 𝑦𝑘 − 𝐿2 = 𝑁𝐸𝑞 𝑠𝑡 − 0 𝑐𝑛 (iii) 𝑥𝑘 − 𝐿1 𝑦𝑘 − 𝐿2 = 𝑁𝐸𝑞 𝑠𝑡 − 0 𝑎𝑛𝑏𝑛

ku 𝑐𝑛 = 𝑚𝑎𝑥 𝑎𝑛 , 𝑏𝑛 .

Duke pasur parasysh që 𝑓 ∈ 𝐶 𝑎, 𝑏 është uniformisht i vazhdueshëm (sipas modulit)

pra

𝜔 𝑓, 𝛿 = sup 𝑥−𝑦 <𝛿

𝑓 𝑥 − 𝑓(𝑦) .

dhe

𝑓 𝑥 − 𝑓(𝑦) ≤ 𝜔 𝑓, 𝛿 𝑥 − 𝑦

𝛿+ 1 (2.7.1)

atëhere ne kemi rezultatet vijuese

47

Teorem 2.7.3. [48] Le të jetë 𝑇𝑘 varg i operatorëve linear pozitiv 𝐶(𝐼) në 𝐶(𝐼) .

Supozojm që

(i) 𝑇𝑘 1, 𝑥 − 1 ∞ = 𝑁𝐸𝑞 𝑠𝑡 − 0 𝑎𝑛 ,

(ii) 𝜔 𝑓, 𝜆𝑘 = 𝑁𝐸𝑞 𝑠𝑡 − 0 𝑏𝑛 ku 𝜆𝑘 = 𝑇𝑘 𝜑𝑥 ;𝑥 dhe 𝜑𝑥 𝑦 = 𝑒−𝑦 − 𝑒−𝑥 2.

Atëhere për çdo 𝑓 ∈ 𝐶(𝐼) kemi

𝑇𝑘 𝑓; 𝑥 − 𝑓 ∞ = 𝑁𝐸𝑞 𝑠𝑡 − 0 𝑐𝑛

ku 𝑐𝑛 = 𝑚𝑎𝑥 𝑎𝑛 , 𝑏𝑛 .

Vërtetim. Le të jetë 𝑓 ∈ 𝐶(𝐼), dhe 𝑥 ∈ 𝐼. Duke përdorur (2.7.1)

𝑇𝑘 𝑓; 𝑥 − 𝑓 𝑥 ≤ 𝑇𝑘 𝑓 𝑦 − 𝑓 𝑥 ;𝑥 + 𝑓 𝑥 𝑇𝑘 1, 𝑥 − 1

≤ 𝑇𝑘 𝑒−𝑦 − 𝑒−𝑥

𝛿+ 1; 𝑥 𝜔 𝑓, 𝛿 + 𝑓 𝑥 𝑇𝑘 1,𝑥 − 1

≤ 𝑇𝑘 1 +1

𝛿2 𝑒−𝑦 − 𝑒−𝑥 2; 𝑥 𝜔 𝑓, 𝛿 + 𝑓 𝑥 𝑇𝑘 1, 𝑥 − 1

≤ 𝑇𝑘 1, 𝑥 +1

𝛿2𝑇𝑘 𝜑𝑥 ;𝑥 𝜔 𝑓, 𝛿 + 𝑓 𝑥 𝑇𝑘 1, 𝑥 − 1

≤ 𝜔 𝑓, 𝛿 𝑇𝑘 1, 𝑥 − 1 + 𝑓 𝑥 𝑇𝑘 1, 𝑥 − 1 + 𝜔 𝑓, 𝛿 +1

𝛿2𝜔 𝑓, 𝛿 𝑇𝑘 𝜑𝑥 ; 𝑥

Vendsoim 𝛿 = 𝜆𝑘 = 𝑇𝑘 𝜑𝑥 ;𝑥 . Kështu që

𝑇𝑘 𝑓; 𝑥 − 𝑓 ∞≤ 𝑓 ∞ 𝑇𝑘 1; 𝑥 − 1 ∞ + 2𝜔 𝑓, 𝜆𝑘

+ 𝜔 𝑓, 𝜆𝑘 𝑇𝑘 1; 𝑥 𝑝𝑛−𝑘𝑞𝑘1

1 + 𝑞 𝑘

𝑘

𝜈 𝑞𝑘−𝜈

𝑘

𝜈=0

− 1

∞

≤

≤ 𝐾 𝑇𝑘 1; 𝑥 − 1 ∞ + 𝜔 𝑓, 𝜆𝑘 + 𝜔 𝑓, 𝜆𝑘 𝑇𝑘 1;𝑥 − 1 ∞

ku 𝐾 = max 𝑓 ∞ , 2 . Kështu

𝑇𝑘 𝑓; 𝑥 𝑝𝑛−𝑘𝑞𝑘1

1 + 𝑞 𝑘

𝑘

𝜈 𝑞𝑘−𝜈

𝑘

𝜈=0

− 𝑓 𝑥

∞

48

≤ 𝐾 𝑇𝑘 1;𝑥 𝑝𝑛−𝑘𝑞𝑘1

1 + 𝑞 𝑘

𝑘

𝜈 𝑞𝑘−𝜈

𝑘

𝜈=0

− 1

∞

+ 𝜔 𝑓, 𝜆𝑘

+ 𝜔 𝑓, 𝜆𝑘 𝑝𝑛−𝑘𝑞𝑘1

1 + 𝑞 𝑘

𝑘

𝜈 𝑞𝑘−𝜈

𝑘

𝜈=0

∙ 𝑇𝑘 1; 𝑥 𝑝𝑛−𝑘𝑞𝑘1

1 + 𝑞 𝑘

𝑘

𝜈 𝑞𝑘−𝜈

𝑘

𝜈=0

− 1

∞

Duke përdorur përkufizimin 2.7.1 dhe kushtet (i) dhe (ii), ne fitojmë rezultatin e

dëshiruar.

Kjo përfundon vërtetimin e teoremës.

2.8. [49] Përafrimi i funksioneve periodike përmes konvergjencës statistikore me

pesha sipas Norlund –Eulerit.

Le të jetë 𝐹(𝑅) hapësira e gjitha funksioneve të definuara në 𝑅 . Le të jetë 𝐶(𝑅) hapësira e funksioneve të vazhdueshme 𝑓 në 𝑅 . Ne dimë që 𝐶(𝑅)është hapësirë e

Banahut me normë

𝑓 ∞ = sup𝑥∈𝑅 𝑓(𝑥) , 𝑓 ∈ 𝐶 𝑅 .

Shënojmë me 𝐶2𝜋(𝑅) hapësirën e gjitha funksioneve 2𝜋 − periodike në 𝐶(𝑅) e cila

është hapësirë e Banahut me normë

𝑓 2𝜋 = sup𝑡∈𝑅

𝑓 𝑡 ,

Teorema e parë dhe e dytë e Korovkinit janë si në vijim [9,10].

Teoremë 2.8.1. Le të jetë 𝑇𝑛 varg i operatorëve linearë pozitivë nga 𝐶[0,1] në

𝐹[0,1]. Atëhere, kusht i nevojshëm dhe i mjaftueshëm që për çdo 𝑓 ∈ 𝐶[0,1] lim𝑛→∞ 𝑇𝑛 𝑓, 𝑥 − 𝑓(𝑥) ∞ = 0 , është që lim𝑛→∞ 𝑇𝑛 𝑓𝑖 , 𝑥 − 𝑓𝑖(𝑥) ∞ = 0 , për

𝑖 = 0,1,2 ku 𝑓0 𝑥 = 1, 𝑓1 𝑥 = 𝑥 dhe 𝑓2 𝑥 = 𝑥2.

Teoremë 2.8.2. Le të jetë 𝑇𝑛 varg i operatorëve linearë pozitivë nga 𝐶2𝜋(𝑅) në

𝐹(𝑅) . Atëhere, kusht i nevojshëm dhe i mjaftueshëm që për çdo )(2 RCf .

lim𝑛→∞ 𝑇𝑛 𝑓, 𝑥 − 𝑓(𝑥) 2𝜋 = 0 , është që lim𝑛→∞ 𝑇𝑛 𝑓𝑖 , 𝑥 − 𝑓𝑖(𝑥) 2𝜋 = 0 , për

𝑖 = 0,1,2 ,ku 𝑓0 𝑥 = 1,𝑓1 𝑥 = cos 𝑥 dhe 𝑓2 𝑥 = sin 𝑥.

Në këtë pjesë, ne provojmë teoremën e dytë të Korovkinit duke e përdorur simbolikën

e konvergjencs statistikore me pesha sipas Norlund-Eulerit. Gjithashtu kemi dhënë një

shembull se rezultati ynë është më i fuqishëm se ai në teoremën 2.8.2.

Shënojmë 𝐿𝑛(𝑓; 𝑥) për 𝐿𝑛 𝑓 𝑠 ; 𝑥 ; dhe themi se L është operator linear nëse

𝐿𝑛(𝑓; 𝑥) ≥ 0 për çdo 𝑓(𝑥) ≥ 0.

49

Teorem 2.8.3. [49] Le të jetë )( kT varg i opratorëve linearë pozitivë nga )(2 RC në

)(2 RC . Atëhere kusht i nevojshëm dhe i mjaftueshëm që për çdo )(2 RCf .

0)();(lim)(2

xfxfTstNE k

k

q (2.8.0)

është që

01);1(lim)(2

xTstNE k

k

q (2. 8.1)

0cos);(coslim)(2

xxtTstNE k

k

q (2. 8.2)

0sin);(sinlim)(2

xxtTstNE k

k

q (2. 8.3)

Vërtetim. Meqë 210 ,, fff i takojnë )(2 RC , kushtet (2.8.1)-(2.8.3) rrjedhin

drejtpërdrejt nga (2.8.0). Supozojmë se plotësohen kushtet (2.8.1)-(2.8.3) dhe le të jetë

)(2 RCf . Le të jetë I gjysëm interval me gjatësi R nga 2 . Fiksojmë Ix .

Nga vazhdueshmëria e funksionit f në x , rrjedh që për 0 gjendet 0 e tillë që

për çdo 𝑡 që plotëson kushtin xt të kemi

)()( xftf (2.8.4)

Meqë f është i kufizuar, atëhere për çdo Rt

22)()( fxftf (2.8.5)

Për çdo ]2,( xxt , është e njohur se

)(

2sin

2)()(

2

2 tf

xftf

(2.8.6)

ku

2sin)( 2 tx

t .

Me që )(2 RCf është 2 -periodik, jobarazimi (2.8.6) plotësohet për Rt .

Llogarisim );1( xTk te ky barazim, dhe kemi

50

(2.8.7) |sin);(sin||cos);(cos|1);1()

2sin

|)(|(

|sin);(sin||sin||cos);(cos||cos|1);1(

2sin

|1);1(||))(|(

)();(

2

2

2

2

xxtTxxtTxTf

xf

xxtTxxxtTxxTf

xTxf

xfxfT

kkk

kkk

k

k

Duke marrë Rxsup në (2.8.7) fitojmë

),sin);(sincos);(cos)1();1((()();(2222

xxtTxxtTfxTKxfxfT kkkk

ku

2sin 2

2

2

ffK .

Kështu

(2.8.8) ),sin)1(

1);(sin

cos)1(

1);(cos

1)1(

1);1((

)();(

20

20

20

2

xqk

qqpxtT

xqk

qqpxtT

qk

qqpxTK

xfxfT

kk

kkknk

kk

kkknk

kk

kkknk

k

Për 0r të dhënë zgjedhim 0, të tillë që r, . Përkufizojmë bashkësitë vijuese

,)1(

1),(:

20

rxfqk

qqpxfTnkD k

k

kkknk

,3

1)1(

1),1(:

,

20

1

K

rq

k

qqpxTnkD k

k

kkknk

,3

cos)1(

1),(cos:

,

20

2

K

rxq

k

qqpxtTnkD k

k

kkknk

51

,3

sin)1(

1),(sin:

,

20

3

K

rxq

k

qqpxtTnkD k

k

kkknk

atëhere 321 DDDD dhe gjithashtu )()()()( 321 DDDD NENENENE .

Prandaj, duke përdorur (2.8.1)-(2.8.3) ne fitojmë

0)();(lim)(2

xfxfTstNE k

k

q

Kjo e përfundon vërtetimin e teoremës.

Në vazhdim po japim një shembull dhe vërejtje përmbyllëse.

Në shembullin vijues ne konstruktojmë vargun e operatorëve linearë pozitivë të cilët

plotësojnë kushtet e Teoremës 2.8.3. por nuk i plotësojnë kushtet e teoremës 2.8.2.

Shembull 2.8.4. Për ndonjë ,Nn shënojmë me )( fSn shumën e tën të pjesëshme

të serisë Furie të f .

).sin)(cos)(()(2

1))((

1

0 kxfbkxfafaxfS k

n

k

kn

Për ndonjë ,Nn shënojmë

n

k

kn fSn

fF0

).(1

1:)(

𝑆𝑛 𝑓 =𝑎0

2+ 𝑎𝑘𝑐𝑜𝑠𝑘𝑥 + 𝑏𝑘𝑠𝑖𝑛𝑘𝑥

𝑛

𝑘=1

ku 𝑎0 =1

𝜋 𝑓 𝑡 𝑑𝑡𝜋

−𝜋; 𝑎𝑘 =

1

𝜋 𝑓 𝑡 cos𝑘𝑡 𝑑𝑡𝜋

−𝜋 ; 𝑏𝑘 =

1

𝜋 𝑓 𝑡 sin𝑘𝑡 𝑑𝑡𝜋

−𝜋

𝑆𝑛 𝑓 =𝑎0

2+ 𝑎𝑘𝑐𝑜𝑠𝑘𝑥 + 𝑏𝑘𝑠𝑖𝑛𝑘𝑥 =

1

2𝜋

𝑛

𝑘=1

𝑓 𝑡 𝑑𝑡

𝜋

−𝜋

+1

𝜋 cos 𝑘𝑥 ∙ 𝑓 𝑡 cos 𝑘𝑡 𝑑𝑡

𝜋

−𝜋

+ sin𝑘𝑡 ∙ 𝑓 𝑡 sin𝑘𝑡 𝑑𝑡

𝜋

−𝜋

𝑛

𝑘=1

=1

𝜋 𝑓 𝑡 ∙

1

2+ (cos𝑘𝑥 ∙ cos 𝑘𝑡 + sin𝑘𝑥 ∙ sin 𝑘𝑡)

𝑛

𝑘=1

𝑑𝑡

𝜋

−𝜋

=1

𝜋 𝑓 𝑡 ∙

1

2+ cos(𝑘𝑥 − 𝑘𝑡)

𝑛

𝑘=1

𝑑𝑡

𝜋

−𝜋

=1

𝜋 𝑓 𝑡 ∙

1

2+ cos𝑘(𝑥 − 𝑡)

𝑛

𝑘=1

𝑑𝑡

𝜋

−𝜋

=1

𝜋 𝑓 𝑡 ∙

1

2+ cos 𝑥 − 𝑡 + ⋯+ cos𝑛 𝑥 − 𝑡 + 𝑑𝑡

𝜋

−𝜋

=1

𝜋 𝑓 𝑡 ∙

sin 𝑛 +12 (𝑥 − 𝑡)

2sin12 (𝑥 − 𝑡)

𝑑𝑡

𝜋

−𝜋

52

Me llogaritje të zakonshme, për çdo ,Rt fitojmë

dttxtf

dttx

txn

ntfdt

tx

txk

ntfxfF

n

n

k

n

)( )(2

1

)2)((sin

)2))(1((sin

1

1)(

2

1

)2)sin((

)2))(12sin((

1

1)(

2

1:);(

2

2

0

ku

Vargu Nnn

është thelb pozitiv i cili quhet thelbi i Fejer, dhe operatori

korrespondues , 1n , nF quhet konovlucioni i operatorëve Fejer.

Vërejmë se teorema 2.8.2 plotësohet për vargun . nF Në fakt ne kemi që

ffFnn

)(lim , për çdo ).(C2 Rf

Le të jetë )(C)(C: 22 RRLk , ku ),;(1; xfFxxfL kkk (2.8.9)

ku vargu kxx është përcaktuar me (2.6.5). Tani

.sin1

;sin

.cos1

;cos

1;1

xn

nxtL

xn

nxtL

xL

n

n

n

Prandaj kemi

01);1(lim)(2

xLstNE n

n

q

0cos);(coslim)(2

xxtLstNE n

n

q

0sin);(sinlim)(2

xxtLstNE n

n

q

Pra, vargu nL plotëson kushtet (2.8.1)-(2.8.3), dhe sipas teoremës 2.8.3, ne kemi

0)();(lim)(2

xfxfLstNE n

n

q

që do me thënë se vlen teorema 2.8.3. Në anën tjetër, për operatorin e përcaktuar në

(5.9.2) teorema 2.8.2 nuk vlen sepse vargu nL nuk është konvergjent.

Kjo tregon se rezultati i teoremës 2.8.3 është më i fuqishëm se ai i teoremës 2.8.1.

2 ishumëfish është nëse 1n

2 ishumëfish ështënuk nëse )2)((sin)1(

)2))(1((sin

:)( 2

2

x

xtxn

txn

xn

53

2.9.[49] Shkalla e konvergjencës statistikore me pesha sipas metodës së

përgjithësuar të Norlund-Eulerit për funksionet periodike.

Në këtë pjesë, ne bëjmë një studim të shkallës së konvergjencës statistikore me pesha

sipas metodës së përgjithësuar të Norlund-Eulerit të vargjeve të operatorëve linear të

definuar nga )(C2 R në )(C2 R .

Përkufizim 2.9.1. [49] Le të jetë )( na varg pozitiv jo rritës. Ne themi se vargu

)( nxx konvergjon statistikisht me pesha sipas Norlund-Eulerit te numri L me

shkallë )(0 na nëse për çdo 0

0||)1(

1:

1lim

0

Lxqk

qqpRk

Rak

kk

kkknn

nnn

Në këtë rast ne shkruajmë )(0)( n

q

k astNELx .

Lema 2.9.2. [49] Le të jenë )( na dhe )( nb dy vargje pozitive jo yvogluese. Le të jetë

)( nxx dhe )( nyy dy vargje të tilla që )(0)(1 n

q

k astNELx dhe

)(0)(2 n

q

k astNELx . Atëhere

(i) ),(0)()( 1 n

q

k astNELx për ndonjë skalar

(ii) )(0)()()( 21 n

q

kk cstNELyLx

(iii) )(0)())(( 21 nn

q

kk bastNELyLx

ku nnn bac ,max .

Duke pasur parasyshë 𝑓 ∈ 𝐶 𝑎, 𝑏 është uniformisht i vazhdueshëm (sipas modulit)

pra

𝜔 𝑓, 𝛿 = sup 𝑥−𝑦 <𝛿

𝑓 𝑥 − 𝑓(𝑦) .

dhe

𝑓 𝑥 − 𝑓(𝑦) ≤ 𝜔 𝑓, 𝛿 𝑥 − 𝑦

𝛿+ 1 (2.9.1)

atëhere ne kemi rezultatet vijuese

Teoremë 2.9.3. [49] Le të jetë )( kT varg i operatorëve linearë pozitivë nga )(C2 R

në )(C2 R . Nëse plotësohen kushtet e mëposhtme

(i) )(0)(1);1(2 n

q

k astNExT

,

(ii) )(0)(),( n

q

k astNEf ku );( xT xkk dhe )

2(sin)( 2 xy

yx

atëhere për çdo )(C2 Rf , kemi

54

)(0)()();( n

q

k cstNExfxfT

ku nnn bac ,max.

Vërtetim. Le të jetë )(C2 Rf , dhe ,x . Duke përdorur ( 2.9.1)

1);1()(),( );(),1(

1);1()(),( ;2

sin1

1);1()(),( );1(

1);1()();)()(()();(

2

2

2

2

2

xTxffxTxT

xTxffxxy

T

xTxffxyx

T

xTxfxxfyfTxfxfT

kxkk

kk

kk

kkk

Marrim );( xT xkk , dhe kemi

2kk2

20

k

k

2

22

2

1);1(),(),( 1);1(

1)1(

1);1(),(

),( )1(1);1(

)();(

xTffxTK

qk

qqpxTf

fxTf

xfxfT

kk

kk

kkknk

k

k

ku 2

21, max

fK .

Kështu

20

0

kk

20

20

1)1(

1);1(

)1(

1),(),(

1)1(

1);1(

)()1(

1);(

kk

kkknk

kk

kkkn

kk

kkknk

kk

kkknk

qk

qqpxT

qk

qqpff

qk

qqpxTK

xfqk

qqpxfT

Tani duke përdorur Përkufizimin 2.9.1. dhe kushtet (i) dhe (ii), ne fitojmë rezultatin e

dëshiruar.

Kjo përfundon vërtetimin e teoremës.

55

KAPITULLI 3

KONVERGJENCA A-STATISTIKORE ME PESHA

3.1. Konvergjenca A-statistikore me pesha e vargjeve të operatorëve linearë

pozitivë.

Në këtë kapitull kemi dhënë kuptimin e konvergjencës 𝐴-statistikore me pesha të

operatorëve linearë pozitivë dhe disa rezultate ndihmëse të cilat janë vërtetuar në [51].

Kështu që çdo teoremë dhe pohim këtu do të jepen pa vërtetim.

Le të jenë 𝑋 dhe 𝑌 dy hapësira të vargjeve dhe le të jetë 𝐴 = (𝑎𝑛 ,𝑘) një matricë e

fundme. Nëse për ndonjë 𝑥 = (𝑥𝑘) në 𝑋 seria

𝐴𝑛𝑥 = 𝑎𝑛 ,𝑘

𝑘

𝑥𝑘 = 𝑎𝑛 ,𝑘

∞

𝑘=1

𝑥𝑘

konvergjon për çdo 𝑛 ∈ 𝑁 dhe vargu 𝐴𝑥 = 𝐴𝑛𝑥 i takon 𝑌 , atëhere ne themi se

matrica A pasqyron 𝑋 në 𝑌. Me (𝑋,𝑌) shënojmë bashkësinë e të gjitha matricave të

cilat pasqyrojnë 𝑋 në 𝑌.

Matrica 𝐴 quhet regulare nëse 𝐴 ∈ (𝑐, 𝑐), ku me simbolin 𝑐 shënojmë hapësirën e

gjitha vargjeve konvergjente dhe

lim𝑛𝐴𝑛𝑥 = lim

𝑘𝑥𝑘

për çdo 𝑥 ∈ 𝑐. Teorema e njohur Silverman-Toeplitz ( shiko[50]) pohon se: kushtë i

nevojshëm dhe i mjaftueshëm që matrica 𝐴 = (𝑎𝑛 ,𝑘) të jetë regularë është që

(i) lim𝑛 𝑎𝑛 ,𝑘 = 0 for each 𝑘;

(ii) lim𝑛 𝑎𝑛 ,𝑘𝑘 = 1;

(iii) sup𝑛 𝑎𝑛 ,𝑘 < ∞𝑘 .

Kolk [21] ka zgjeruar përkufizimin e konvergjencës statistikore e cila me ndihmën e

matricës regulare 𝐴 = (𝑎𝑛 ,𝑘) e kemi quajtur 𝐴-konvergjenca statistikore. Përkufizimi

i 𝐴-konvergjencës statistikore është dhënë si më poshtë.

Përkufizim 3.1.1. [51] Për ndonjë matricë jonegative regulare 𝐴, ne themi se vargu

është 𝐴-statistikisht konvergjent te numri 𝐿 nëse për çdo 휀 > 0 kemi

lim𝑛→∞

𝑎𝑛 ,𝑘

𝑘 : 𝑥𝑘−𝐿 ≥휀

= 𝐿

Le të jetë 𝑝 = 𝑝𝑘 varg i numrave jonegativ i tillë që 𝑝0 > 0 dhe

𝑃𝑛 = 𝑝𝑘

𝑛

𝑘=0

→ ∞ 𝑘𝑢𝑟 𝑛 → ∞

56

Le të jetë

𝑡𝑛 =1

𝑃𝑛 𝑝𝑘𝑥𝑘

𝑛

𝑘=0

, 𝑛 = 0,1,2,…

Ne themi që 𝑥 = 𝑥𝑘 është 𝑁 ,𝑝𝑛 − i shumueshëm te numri 𝐿 nëse

lim𝑛→∞ 𝑡𝑛 = 𝐿.

Densiteti i poshtëm dhe i sipërm me pesha i bashkësis 𝐸 ⊆ 𝑁 respektivisht është i

përcaktuar me

𝛿𝑁 𝐸 = lim𝑛→∞

inf1

𝑃𝑛 𝑘 ≤ 𝑃𝑛 : 𝑘 ∈ 𝐸

𝛿𝑁(𝐸) = lim𝑛→∞

sup1

𝑃𝑛 𝑘 ≤ 𝑃𝑛 : 𝑘 ∈ 𝐸

Themi se 𝐸 e ka densitetin me pesha zero, që e shënojmë me 𝛿𝑁(𝐸), nëse të dy

limitet e njëanshme të densitetit ekzistojnë dhe janë të barabartë; prandaj, e shënojmë

𝛿𝑁 𝐸 = lim𝑛→∞

1

𝑃𝑛 𝑘 ≤ 𝑃𝑛 : 𝑘 ∈ 𝐸

Vargu 𝑥 = (𝑥𝑘) thuhet se konvergjon statistikisht me pesha (ose është

𝑆𝑁 −konvergjentë) nëse për çdo 휀 > 0

lim𝑛→∞

1

𝑃𝑛 𝑘 ≤ 𝑃𝑛 :𝑝𝑘 𝑥𝑘 − 𝐿 ≥ 휀 = 0

Në këtë rast ne shkruajmë 𝐿 = 𝑆𝑁 − 𝑙𝑖𝑚𝑥.

Vërejtje 3.1.2. [51] Nëse 𝑝𝑘 = 1 për çdo 𝑘 , atëhere

𝑁 ,𝑝𝑛 − shumueshmëria reduktohet në (𝐶, 1) − shumueshmëri (ose Cesaro-

shumueshmëri) dhe konvergjenca statistikore me pesha reduktohet në konvergjencë

statistikore.

Në anën tjetër, shënojmë me 𝐶[𝑎, 𝑏] hapësirën e gjitha funksioneve të vazhdueshme 𝑓

në segemntin 𝑎, 𝑏 .

E dime që 𝐶[𝑎, 𝑏] është hapësirë e Banahut me normë

𝑓 ∞ = sup𝑥∈[𝑎 ,𝑏]

𝑓(𝑥) , 𝑓 ∈ 𝐶[𝑎, 𝑏]

Supozojmë që L është operator linear nga 𝐶[𝑎, 𝑏] në 𝐶. Është e qartë që nëse 𝑓 ≥ 0

atëherë 𝐿𝑓 ≥ 0, atëhere operatori linear 𝐿 është pozitiv në 𝐶[𝑎, 𝑏] . Ne shënojmë

vlerën e 𝐿𝑓 në pikën 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏] me 𝐿(𝑓; 𝑥). Teorema klasike përafruese e Korovkinit

është dhënë si në vijim.

57

Teoremë 3.1.3. [51] Le të jetë 𝑇𝑛 vargu i operatorëve linear nga 𝐶[𝑎, 𝑏] në 𝐶[𝑎, 𝑏]. Atëhere, kusht i nevojshëm dhe i mjaftueshëm që për çdo 𝑓 ∈ 𝐶[𝑎, 𝑏]

lim𝑛→∞

𝑇𝑛 𝑓; 𝑥 − 𝑓(𝑥) ∞ = 0

është që

lim𝑛→∞

𝑇𝑛 𝑓𝑖 ; 𝑥 − 𝑓𝑖(𝑥) ∞ = 0

ku 𝑓𝑖 𝑥 = 𝑥𝑖 𝑑𝑕𝑒 𝑖 = 0,1,2.

Në referencën [52] disa autorë kanë provuar këtë tip të teoremës përafruese në

hapësirat 𝐿𝑝 me peshë, ku 1 ≤ 𝑝 < ∞, përmes 𝐴-shumueshmërisë e cila është më e

fuqishme se konvergjenca e zakonshme. Për këtë tip të teoremave përafruese dhe

koncepteve të lidhura me të, mund ti referohemi [53–59] dhe referencave të tyre.

Në vazhdim po e japim teoremën e Korovkin-it sipas Konvergjencës A-statistikore me

pesha. Kolk [21] ka paraqitur kuptimin e konvergjencës 𝐴 -statistikore duke e

konsideruar matricën joregulare pozitive 𝐴 në vend të matricës së Cesaros në

përkufizimin e konvergjencës statistikore sipas Fast. Duke u frymëzuar nga puna e

Kolk, këtu është paraqitur kuptimi i konvergjencës së vargjeve 𝐴 −statistikore me

pesha dhe mandej janë provuar disa teorema të Korovkin-it duke e shfrytëzuar këtë

kuptim.

Përkufizim 3.1.4. [51] Le të jetë 𝐴 = (𝑎𝑛 ,𝑘) një matricë regulare jonegative. Vargu

𝑥 = (𝑥𝑘) i numrave real ose kompleks thuhet se është A-statistikisht konvergjentë me

pesha, që simbolikisht e shënojmë me 𝑆𝐴𝑁 -konvergjentë, te numri 𝐿 nëse për çdo

휀 > 0

lim𝑛→∞

𝑎𝑛 ,𝑘

𝑘∈𝐸(𝑝 ,휀)

= 0

ku

𝐸 𝑝, 휀 = 𝑘 ∈ 𝑁:𝑝𝑘 𝑥𝑘 − 𝐿 ≥ 휀

Simbolikisht e shënojmë 𝑆𝐴𝑁 − lim 𝑥 = 𝐿.

Vërejtje 3.1.5. [51]

(i) Nëse vendosim 𝐴 = 𝐼, ku 𝐼 paraqet matricën njësi, atëhere konvergjenca 𝐴-

statistikore me pesha e vargut reduktohet në konvergjencë të zakonshme.

(ii) Nëse vendosim 𝐴 = (𝐶, 1), ku (𝐶, 1) paraqet matricën e Cesaros të rendit

parë, atëhere konnvergjenca 𝐴 −statistikore me pesha e vargut reduktohet në

konvergjencë statistkore me pesha.

(iii) Nëse zëvendësojmë 𝐴 = 𝐶, 1 dhe 𝑝𝑘 = 1 për çdo 𝑘, atëhere konvegjenca

𝐴 −statistikore me pesha reduktohet në konvergjencë statistikore.

Kujtojmë se nga konvergjenca e zakonshme e vargut rrjedhë konvergjenca 𝐴 -

statistikore për të njejtën vlerë por e anasjellta në përgjithësi nuk është e vërtet.

58

Për shembull nëse, 𝐴 = 𝐶, 1 dhe 𝑝𝑘 = 1 për çdo 𝑘 dhe përkufizojmë vargun

𝑥 = (𝑥𝑘) me

𝑥𝑘 = 1,𝑛ë𝑠𝑒 𝑘 = 𝑛2

0,𝑝ë𝑟 𝑡ë 𝑡𝑗𝑒𝑟𝑎

ku 𝑛 ∈ 𝑁 . Atëhere ky varg është statistikisht konvergjent në 0 por nuk është

konvergjent; në këtë rast, konvergjenca 𝐴-statistikore me pesha e vargut koinçidon me

konvergjencën statistikore.

Teoremë 3.1.6. [51] Le të jetë 𝐴 = (𝑎𝑛 ,𝑘) një matricë regulare jonegative.

Konsiderojmë vargun e operatorëve linearë pozitivë (𝑀𝑘) nga ℂ[𝑎, 𝑏] në vetvete.

Atëhere kusht i nevojshëm dhe i mjaftueshëm që për çdo 𝑓 ∈ 𝐶[𝑎, 𝑏] të kufizuar në

tërë drejtëzën reale,

𝑆𝐴𝑁 − lim

𝑘→∞ 𝑀𝑘 𝑓; 𝑥 − 𝑓(𝑥) ∞ = 0 (3.1.0)

është që

𝑆𝐴𝑁 − lim

𝑘→∞ 𝑀𝑘 1; 𝑥 − 1 ∞ = 0 (3.1.1)

𝑆𝐴𝑁 − lim

𝑘→∞ 𝑀𝑘 𝜈; 𝑥 − 𝑥 ∞ = 0 3.1.2

𝑆𝐴𝑁 − lim

𝑘→∞ 𝑀𝑘 𝜈

2;𝑥 − 𝑥2 ∞ = 0 (3.1.3)

Teoremë 3.1.7. [51] Konsiderojmë vargun e operatorëve linear pozitiv (𝑀𝑘) nga

ℂ[𝑎, 𝑏] në vetëvete. Atëhere, kusht i nevojshëm dhe i mjaftueshëm që për çdo

𝑓 ∈ ℂ[𝑎, 𝑏] të kufizuar në tërë vijën reale,

𝑆𝑁 − lim𝑘→∞

𝑀𝑘 𝑓; 𝑥 − 𝑓(𝑥) ∞ = 0 (3.1.4)

është që

𝑆𝑁 − lim𝑘→∞

𝑀𝑘 1; 𝑥 − 1 ∞ = 0 (3.1.5)

𝑆𝑁 − lim𝑘→∞

𝑀𝑘 𝜈; 𝑥 − 𝑥 ∞ = 0 (3.1.6)

𝑆𝑁 − lim𝑘→∞

𝑀𝑘 𝜈2;𝑥 − 𝑥2 ∞ = 0 (3.1.7)

Vërejtje 3.1.8. [51] Nëse zëvendësojmë matricën regulare jonegative 𝐴 me matricën

e Cesaros dhe zgjedhim 𝑝𝑘 = 1 për çdo 𝑘, në teoremën 3.1.6, ne fitojmë teoremën 1

(shih Gadijev dhe Orhan [33]).

Vërejtje 3.1.9. [51] Sipas teoremës 2 (shiko [16]), ne kemi që nëse vargu 𝑥 = (𝑥𝑘)

është statistikisht konvergjent me pesha në L, atëhere ai është fuqishëm 𝑁 ,𝑝𝑛 −i

shumueshëm në L, me kusht që 𝑝𝑘 𝑥𝑘 − 𝐿 të jetë i kufizuar; kështu që, gjendet një

konstante 𝐶 e tillë që 𝑝𝑘 𝑥𝑘 − 𝐿 ≤ 𝐶 për çdo 𝑘 ∈ 𝑁.

59

Bashkësinë e të gjitha vargjeve 𝑥 = (𝑥𝑘) fuqishëm 𝑁 ,𝑝𝑛 −të shumueshme te 𝐿 ne e

shënojmë me

𝑁 ,𝑝𝑛 = 𝑥 = 𝑥𝑘 ∶ limn→∞

1

𝑃𝑛 𝑝𝑘 𝑥𝑘 − 𝐿 = 0 𝑓𝑜𝑟 𝑠𝑜𝑚𝑒 𝐿

𝑛

𝑘=0

Theorem 3.1.10. [51] Le të jetë 𝑀𝑘 :ℂ[𝑎, 𝑏] → ℂ[𝑎, 𝑏] vargu i operatorëve linearë

pozitvë të cilët plotësojnë (3.1.6)-(3.1.7) të Teoremës 3.1.6 dhe plotësojnë kushtin

lim𝑘→∞

𝑀𝑘 1; 𝑥 − 1 ∞ = 0 (3.1.8)

atëhere për çdo 𝑓 ∈ ℂ[𝑎, 𝑏]

limn→∞

1

𝑃𝑛 𝑝𝑘 𝑀𝑘 𝑓; 𝑥 − 𝑓 𝑥 ∞ = 0

𝑛

𝑘=0

(3.1.9)

Në vazhdim po e japim përkufizimin e shkallës së konvergjencës 𝐴 −statistikore me

pesha.

Së pari ne përcaktojm shkallën e konvergjencës 𝐴 −staistikore me pesha të vargut si

në vijim mandej japim disa teorema me vërtetim.

Përkufizim 3.1.11. [51] Le të jetë 𝐴 = (𝑎𝑛 ,𝑘) një matricë regulare jonegative dhe le

të jetë 𝑎𝑘 një varg pozitiv jorritës. Atëhere, vargu 𝑥 = (𝑥𝑘) konvergjon

𝐴 −statistikisht me pesha te 𝐿 me shkallë 𝑜(𝑎𝑘) nëse për çdo 휀 > 0

lim𝑛→∞

1

𝑎𝑛 𝑎𝑛 ,𝑘

𝑘∈𝐸(𝑝 ,휀)

= 0

ku

𝐸 𝑝, 휀 = 𝑘 ∈ 𝑁:𝑝𝑘 𝑥𝑘 − 𝐿 ≥ 휀

Simbolikisht, ketë fakt e shënojmë

𝑥𝑘 − 𝐿 = 𝑆𝐴𝑁 − 𝑜 𝑎𝑘 𝑘𝑢𝑟 𝑘 → ∞

Lema 3.1.12. [51] Le të jetë 𝐴 = (𝑎𝑛 ,𝑘) matrica regulare jonegative. Supozojmë se

𝑎𝑘 dhe 𝑏𝑘 janë dy vargje pozitive jorritëse. Le të jetë 𝑥 = 𝑥𝑘 dhe 𝑦 = 𝑦𝑘 dy

vargje të tillë që 𝑥𝑘 − 𝐿1 = 𝑆𝐴𝑁 − 𝑜 𝑎𝑘 dhe 𝑦𝑘 − 𝐿2 = 𝑆𝐴

𝑁 − 𝑜 𝑏𝑘 . Atëhere,

(i) 𝑥𝑘 − 𝐿1 ± 𝑦𝑘 − 𝐿2 = 𝑆𝐴𝑁 − 𝑜 𝑐𝑘 ,

(ii) 𝑥𝑘 − 𝐿1 𝑦𝑘 − 𝐿2 = 𝑆𝐴𝑁 − 𝑜 𝑎𝑘𝑏𝑘 ,

(iii) 𝛼 𝑥𝑘 − 𝐿1 = 𝑆𝐴𝑁 − 𝑜 𝑎𝑘 , për ndonjë skalar 𝛼,

ku 𝑐𝑘 = max 𝑎𝑘 ,𝑏𝑘 ,

60

Duke pasur parasyshë 𝑓 ∈ 𝐶 𝑎, 𝑏 është uniformisht i vazhdueshëm (sipas modulit)

pra

𝜔 𝑓, 𝛿 = 𝑠𝑢𝑝 |𝑓 𝑥 − 𝑓 𝑦 |:𝑥,𝑦 ∈ 𝑎, 𝑏 , 𝑥 − 𝑦 < 𝛿

dhe

𝑓 𝑥 − 𝑓(𝑦) ≤ 𝜔 𝑓, 𝛿 𝑥 − 𝑦

𝛿+ 1

atëhere ne kemi rezultatet vijuese

Teoremë 3.1.12. [51] Le të jetë 𝐴 = 𝑎𝑛 ,𝑘 matricë regulare jonegative. Nëse vargu i

operatorëve linear 𝑀𝑘 :ℂ[𝑎, 𝑏] → ℂ[𝑎, 𝑏] i plotëson kushtet

(i) 𝑀𝑘 1; 𝑥 − 1 ∞ = 𝑆𝐴𝑁 − 𝑜 𝑎𝑘 ,

(ii) 𝜔 𝑓, 𝜆𝑘 = 𝑆𝐴𝑁 − 𝑜 𝑏𝑘 , 𝑚𝑒 𝜆𝑘 = 𝑀𝑘 𝜑𝑥 ;𝑥 𝑑𝑕𝑒

𝜑𝑥 𝑦 = 𝑦 − 𝑥 2,

ku 𝑎𝑘 dhe 𝑏𝑘 janë dy vargje pozitivë jorritës, atëhere

𝑀𝑘 𝑓; 𝑥 − 𝑓(𝑥) ∞ = 𝑆𝐴𝑁 − 𝑜 𝑐𝑘

për çdo 𝑓 ∈ ℂ[𝑎, 𝑏], ku 𝑐𝑘 = max 𝑎𝑘 ,𝑏𝑘 .

Në vazhdim po japim një shembull dhe një vërejtje përmbyllëse

Shembull 3.1.13. Operatorët 𝐵𝑛 : 0,1 → [0,1] të dhënë me

𝐵𝑛 𝑓, 𝑥 = 𝑝𝑛 ,𝑘 𝑥 𝑓 𝑘

𝑛

𝑛

𝑘=0

ku 𝑝𝑛 ,𝑘(𝑥) janë polinomialët fundamental të Bernstein të përcaktuar me

𝑝𝑛 ,𝑘 𝑥 = 𝑛

𝑘 𝑥𝑘(1 − 𝑥)𝑛−𝑘

për ndonjë 𝑥 ∈ [0,1], ndonjë 𝑘 ∈ 0,1,… , 𝑛 , dhe ndonjë 𝑛 ∈ 𝑁, quhen operatorët e

Bernstein-it dhe për herë të parë janë përdorur në [28]. Le të jetë vargu (𝐴𝑛) me

𝐴𝑛 :ℂ[0,1] → ℂ[0,1] me 𝐴𝑛 𝑓, 𝑥 = 1 + 𝑥𝑛 𝐵𝑛(𝑓, 𝑥), ku 𝑥 = (𝑥𝑘) është varg

𝑥 = 𝑥𝑘 = 𝑘, 𝑛ë𝑠𝑒 𝑘 = 𝑛2,𝑛 ∈ 𝑁0, 𝑝ë𝑟 𝑛 𝑡ë 𝑡𝑗𝑒𝑟𝑎

kështu,

𝑥𝑘 = (1,0,0,2,0,0,0,0,3,0,… ,0,4,0,0,… )

Le të jetë 𝑝𝑘 = 1 (𝑘 = 1,2,… ) dhe 𝐴 = (𝐶, 1) matricë regulare jonegative. Atëhere

61

𝑝𝑘𝑥𝑘 = (1,0,0,8,0,0,0,0,27,0,… ,0,64,0,0,… )

𝑃𝑛 = 𝑝𝑘 =𝑛(𝑛 + 1)

2

𝑛

𝑘=1

Me që

lim𝑛→∞

1

𝑃𝑛 𝑘 ≤ 𝑃𝑛 :𝑝𝑘 𝑥𝑘 − 0 ≥ 휀 ≤ lim

𝑛→∞

1

𝑃𝑛 𝑃𝑛 = lim

𝑛→∞

1

𝑛(𝑛 + 1)2

= 0

vargu 𝑥𝑘 është varg statistikisht konvergjent me pesha por nuk konvergjon në

mënyrë të zakonshme. Nuk është e vështirë të shihet se

𝐵𝑛 1, 𝑥 = 1, 𝐵𝑛 𝑡, 𝑥 = 𝑥, 𝐵𝑛 𝑡2, 𝑥 = 𝑥2 +

𝑥 − 𝑥2

𝑛

dhe vargu (𝐴𝑛) plotëson kushtet (3.1.1)-(3.1.3). Nga kjo rrjedh

𝑆(𝐶,1)𝑁 − lim

𝑛→∞ 𝐴𝑛 𝑓; 𝑥 − 𝑓(𝑥) ∞ = 0

Nga ana tjetër, fitojmë 𝐴𝑛 𝑓, 0 = 1 + 𝑥𝑛 𝑓 0 , me që 𝐵𝑛 𝑓, 0 = 𝑓(0), dhe pasi që

𝐴𝑛 𝑓; 𝑥 − 𝑓(𝑥) ∞ ≥ 𝐴𝑛 𝑓, 0 − 𝑓(0) = 𝑥𝑛 𝑓(0)

rrjedh se (𝐴𝑛) nuk e plotëson teoremën e Korovkin-it, sepse (𝑥𝑛) dhe (𝐴𝑛) nuk janë

konvergjentë. Përfundimisht, arrijmë në përfundim se teorema 3.1.6 është rezultat më

i fuqishëm se teorema 3.1.3.

3.2. [61] Konvergjenca A-statistikore me pesha sipas Norlund-Eulerit e vargjeve

të operatorëve linear pozitiv.

I inspiruar nga puna e S.A. Mohiuddine, Abdullah Alotaibi dhe Bipan Hazarika [51]

ne kemi paraqitur nocionin e konvergjencës 𝐴-statistikore me pesha sipas Norlund-

Eulerit dhe mandej kemi ndërtuar disa teorema të Korovkinit duke i përdorur këto

nocione.

Përkufizim 3.2.1. [61] Le të jetë 𝐴 = (𝑎𝑛 ,𝑘) një matricë jonegative regulare. Themi

se vargu 𝑥 = (𝑥𝑘) i numrave real ose kompleks konvergjon 𝐴-statistikisht me pesha

sipas Norlund-Eulerit, që e shënojmë me 𝑆𝐴𝑁𝐸 −konvergjent, te 𝐿 nëse për çdo 휀 > 0

lim𝑛→∞

𝑎𝑛 ,𝑘

𝑘∈𝐸(𝑝 ,휀)

= 0

ku

𝐸 𝑝, 휀 = 𝑘 ∈ 𝑁:𝑝𝑛−𝑘𝑞𝑘1

2𝑘

𝑘

𝜈 𝑥𝜈 − 𝐿 ≥ 휀

𝑘

𝜈=0

(3.2.1)

62

simbolikisht shënohet 𝑆𝐴𝑁𝐸 − lim 𝑥 = 𝐿.

Teoremë 3.2.2. [61] Le të jetë 𝐴 = (𝑎𝑛 ,𝑘) matricë regulare jonegative. E

konsiderojmë vargun e operatorëve linear (𝑀𝑘) nga ℂ[𝑎, 𝑏] në vetëvete. Atëhere,

kusht i nevojshëm dhe i mjaftueshëm që për çdo 𝑓 ∈ ℂ[𝑎, 𝑏] të kufizuar në drejtëzën

reale,

𝑆𝐴𝑁𝐸 − lim

𝑘→∞ 𝑀𝑘 𝑓; 𝑥 − 𝑓(𝑥) ∞ = 0 (3.2.2)

është që

𝑆𝐴𝑁𝐸 − lim

𝑘→∞ 𝑀𝑘 1; 𝑥 − 1 ∞ = 0

𝑆𝐴𝑁𝐸 − lim

𝑘→∞ 𝑀𝑘 𝜈; 𝑥 − 𝑥 ∞ = 0 (3.2.3)

𝑆𝐴𝑁𝐸 − lim

𝑘→∞ 𝑀𝑘 𝜈

2; 𝑥 − 𝑥2 ∞ = 0

Vërtetim.

Ekuacionet (3.2.3) rrjedhin drejtpërdrejtë nga (3.2.2) sepse secili nga 1, 𝑥, 𝑥2 i takon

ℂ[𝑎, 𝑏].

Konsiderojmë funksionin 𝑓 ∈ ℂ 𝑎, 𝑏 , atëhere gjendet konstantja 𝐶 > 0 e tillë që 𝑓(𝑥) ≤ 𝐶 për çdo 𝑥 ∈ (−∞, +∞). Prandaj,

𝑓 𝜈 − 𝑓(𝑥) ≤ 2𝐶 −∞ < 𝜈, 𝑥 < +∞ (3.2.4)

Le të jetë dhënë 휀 > 0. Sipas hipotezës gjendet 𝛿 = 𝛿 휀 > 0 e tillë që

𝑓 𝜈 − 𝑓(𝑥) < 휀 ∀ 𝜈 − 𝑥 < 𝛿 (3.2.5)

Zgjidhim jobarazimet (3.2.4) dhe (3.2.5), zëvendësojmë Ω 𝜈 = (𝜈 − 𝑥)2 dhe

fitojmë

𝑓 𝜈 − 𝑓(𝑥) < 휀 +2𝐶

𝛿2Ω (3.2.6)

Ekuacioni (3.1.6) do të shkruhet si

−휀 −2𝐶

𝛿2Ω < 𝑓 𝜈 − 𝑓 𝑥 < 휀 +

2𝐶

𝛿2Ω (3.2.7)

Shumëzojmë me 𝑀𝑘 1; 𝑥 relacionin (3.2.7) . Meqë 𝑀𝑘 𝑓; 𝑥 është linear dhe

monoton, fitojmë

𝑀𝑘 1; 𝑥 −휀 −2𝐶

𝛿2Ω < 𝑀𝑘 1; 𝑥 𝑓 𝜈 − 𝑓 𝑥

< 𝑀𝑘 1; 𝑥 휀 +2𝐶

𝛿2Ω (3.2.8)

63

Vëmë re se 𝑥 është i fiksuar, atëhere 𝑓(𝑥) është numër konstant. Kështu, nga (3.2.8)

fitojmë

−휀𝑀𝑘 1; 𝑥 −2𝐶

𝛿2𝑀𝑘 Ω;𝑥 < 𝑀𝑘 𝑓; 𝑥 − 𝑓 𝑥 𝑀𝑘 1; 𝑥

< 휀𝑀𝑘 1; 𝑥 +2𝐶

𝛿2𝑀𝑘 Ω;𝑥 (3.2.9)

Termi ′′𝑀𝑘 𝑓; 𝑥 − 𝑓 𝑥 𝑀𝑘 1;𝑥 ′′ në (3.2.9) mund të shkruhet si

𝑀𝑘 𝑓; 𝑥 − 𝑓 𝑥 𝑀𝑘 1; 𝑥 = 𝑀𝑘 𝑓; 𝑥 − 𝑓 𝑥 −𝑓 𝑥 [𝑀𝑘 1; 𝑥 − 1] (3.2.10)

Duke zëvendësuar vlerën 𝑀𝑘 𝑓; 𝑥 − 𝑓 𝑥 𝑀𝑘 1; 𝑥 në (3.2.9), ne fitojmë

𝑀𝑘 𝑓; 𝑥 − 𝑓 𝑥

< 휀𝑀𝑘 1; 𝑥 +2𝐶

𝛿2𝑀𝑘 Ω;𝑥 + 𝑓 𝑥 [𝑀𝑘 1; 𝑥 − 1] (3.2.11)

Ne mund të shkruajmë termin ′′𝑀𝑘 Ω; 𝑥 ′′ në (3.2.11) si në vijim:

𝑀𝑘 Ω; 𝑥 = 𝑀𝑘 (𝜈 − 𝑥)2; 𝑥 = 𝑀𝑘 ν2; 𝑥 + 2𝑥𝑀𝑘 ν; 𝑥 + 𝑥2𝑀𝑘 1; 𝑥

= 𝑀𝑘 ν2; 𝑥 − 𝑥2 − 2𝑥 𝑀𝑘 ν;𝑥 − 𝑥 + 𝑥2[𝑀𝑘 1; 𝑥 − 1]

Ekuacioni (3.2.11) me vlerën e mësipërme të 𝑀𝑘 Ω;𝑥 bëhet

𝑀𝑘 𝑓; 𝑥 − 𝑓 𝑥 < 휀𝑀𝑘 1; 𝑥

+2𝐶

𝛿2 𝑀𝑘 ν

2; 𝑥 − 𝑥2 + 2𝑥 𝑀𝑘 ν; 𝑥 − 𝑥 + 𝑥2[𝑀𝑘 1; 𝑥 − 1]

+ 𝑓(𝑥)[𝑀𝑘 1;𝑥 − 1]= 휀[𝑀𝑘 1;𝑥 − 1] + 휀

+ 2𝐶

𝛿2 𝑀𝑘 ν

2; 𝑥 − 𝑥2 + 2𝑥 𝑀𝑘 ν; 𝑥 − 𝑥 + 𝑥2[𝑀𝑘 1; 𝑥 − 1]

+ 𝑓(𝑥)[𝑀𝑘 1;𝑥 − 1]

prandaj,

𝑀𝑘 𝑓; 𝑥 − 𝑓 𝑥

≤ 휀 +2𝐶𝑏2

𝛿2+ 𝐶 𝑀𝑘 1;𝑥 − 1 +

2𝐶

𝛿2 𝑀𝑘 ν

2;𝑥 − 𝑥2

+4𝐶𝑏

𝛿2 𝑀𝑘 ν;𝑥 − 𝑥

ku 𝑏 = max 𝑥 . Duke marrë supremum mbi 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏], fitojmë

𝑀𝑘 𝑓; 𝑥 − 𝑓 𝑥 ∞

≤ 휀 +2𝐶𝑏2

𝛿2+ 𝐶 𝑀𝑘 1; 𝑥 − 1 ∞ +

2𝐶

𝛿2 𝑀𝑘 ν

2; 𝑥 − 𝑥2 ∞

+4𝐶𝑏

𝛿2 𝑀𝑘 ν; 𝑥 − 𝑥 ∞

64

ose

𝑀𝑘 𝑓; 𝑥 − 𝑓 𝑥 ∞ ≤ 𝑇 𝑀𝑘 1;𝑥 − 1 ∞ + 𝑀𝑘 ν2;𝑥 − 𝑥2 ∞ + 𝑀𝑘 ν;𝑥 − 𝑥 ∞

ku

𝑇 = max 휀 +2𝐶𝑏2

𝛿2+ 𝐶,

2𝐶

𝛿2,4𝐶𝑏

𝛿2

Kështu

𝑝𝑛−𝑘𝑞𝑘1

2𝑘

𝑘

𝜈

𝑘

𝜈=0

𝑀𝑘 𝑓; 𝑥 − 𝑓 𝑥 ∞

≤ 𝑇 𝑝𝑛−𝑘𝑞𝑘1

2𝑘

𝑘

𝜈

𝑘

𝜈=0

𝑀𝑘 1;𝑥 − 1 ∞

+ 𝑝𝑛−𝑘𝑞𝑘1

2𝑘

𝑘

𝜈

𝑘

𝜈=0

𝑀𝑘 ν2; 𝑥 − 𝑥2 ∞

+ 𝑝𝑛−𝑘𝑞𝑘1

2𝑘

𝑘

𝜈

𝑘

𝜈=0

𝑀𝑘 ν; 𝑥 − 𝑥 ∞ (3.2.12)

Për 𝛼 > 0 të dhënë, zgjedhim 휀 > 0 të tillë që 휀 < 𝛼 , dhe definojmë bashkësitë

vijuese:

𝐸 = 𝑘 ∈ 𝑁:𝑝𝑛−𝑘𝑞𝑘1

2𝑘

𝑘

𝜈

𝑘

𝜈=0

𝑀𝑘 𝑓; 𝑥 − 𝑓 𝑥 ∞ ≥ 𝛼

𝐸1 = 𝑘 ∈ 𝑁:𝑝𝑛−𝑘𝑞𝑘1

2𝑘

𝑘

𝜈

𝑘

𝜈=0

𝑀𝑘 1, 𝑥 − 1 ∞ ≥𝛼 − 휀

3𝑇

𝐸2 = 𝑘 ∈ 𝑁:𝑝𝑛−𝑘𝑞𝑘1

2𝑘

𝑘

𝜈

𝑘

𝜈=0

𝑀𝑘 ν; 𝑥 − 𝑥 ∞ ≥𝛼 − 휀

3𝑇

𝐸3 = 𝑘 ∈ 𝑁:𝑝𝑛−𝑘𝑞𝑘1

2𝑘

𝑘

𝜈

𝑘

𝜈=0

𝑀𝑘 ν2; 𝑥 − 𝑥2 ∞ ≥

𝛼 − 휀

3𝑇

Është e lehtë të shihet se

𝐸 ⊂ 𝐸1 ∪ 𝐸2 ∪ 𝐸3

Kështu, për çdo 𝑛 ∈ 𝑁, nga (3.2.12) fitojmë

𝑎𝑛 ,𝑘

𝑘∈𝐸

≤ 𝑎𝑛 ,𝑘 +

𝑘∈𝐸1

𝑎𝑛 ,𝑘 +

𝑘∈𝐸2

𝑎𝑛 ,𝑘

𝑘∈𝐸3

(3.2.13)

65

Duke kaluar në limit kur 𝑛 → ∞ në 3.2.13 dhe nga (3.2.3) fitojmë

lim𝑛→∞

𝑎𝑛 ,𝑘

𝑘∈𝐸

= 0

nga rrjedh se

𝑆𝐴𝑁𝐸 − lim

𝑘→∞ 𝑀𝑘 𝑓; 𝑥 − 𝑓(𝑥) ∞ = 0

për çdo 𝑓 ∈ ℂ 𝑎, 𝑏 .

Teoremë 3.2.3. [61] Konsiderojmë vargun e operatorëve linear pozitiv (𝑀𝑘) nga

ℂ[𝑎, 𝑏] në vetëvete. Atëhere, kusht i nevojshëm dhe i mjaftueshëm që për çdo

𝑓 ∈ ℂ[𝑎, 𝑏] të kufizuar në tërë vijën reale,

𝑆𝑁𝐸 − lim𝑘→∞

𝑀𝑘 𝑓; 𝑥 − 𝑓(𝑥) ∞ = 0 (3.2.14)

është që

𝑆𝑁𝐸 − lim𝑘→∞

𝑀𝑘 1; 𝑥 − 1 ∞ = 0 (3.2.15)

𝑆𝑁𝐸 − lim𝑘→∞

𝑀𝑘 𝜈; 𝑥 − 𝑥 ∞ = 0 (3.2.16)

𝑆𝑁𝐸 − lim𝑘→∞

𝑀𝑘 𝜈2;𝑥 − 𝑥2 ∞ = 0 (3.2.17)

Vërtetim.

Duke ndjekur vërtetimin e teoremës 3.2.2, fitojmë

𝐸 ⊂ 𝐸1 ∪ 𝐸2 ∪ 𝐸3

Dhe gjithashtu

𝛿𝑁𝐸 𝐸 ⊂ 𝛿𝑁𝐸 𝐸1 + 𝛿𝑁𝐸 𝐸2 + 𝛿𝑁𝐸 𝐸3

Nga ekuacionet (3.2.15)-(3.2.17) fitojmë

𝑆𝑁𝐸 − lim𝑘→∞

𝑀𝑘 𝑓; 𝑥 − 𝑓(𝑥) ∞ = 0

Sipas teoremës 2 nga [46] ne kemi se nëse vargu 𝑥 = (𝑥𝑘) është statistikisht

konvergjent me pesha sipas Norlund-Euler te 𝐿 , atëhere ai është fuqishëm

𝑁,𝑝, 𝑞 𝐸, 1 − i shumueshëm në 𝐿 , me kusht që 𝑝𝑛−𝑘𝑞𝑘1

2𝑘 𝑘

𝜈 𝑘

𝜈=0 𝑥𝑘 − 𝐿 të

jetë i kufizuar; kështu që, gjendet një konstante 𝐶 e tillë që

𝑝𝑛−𝑘𝑞𝑘1

2𝑘 𝑘

𝜈 𝑘

𝜈=0 𝑥𝑘 − 𝐿 ≤ 𝐶 për çdo 𝑘 ∈ 𝑁.

Bashkësinë e të gjitha vargjeve 𝑥 = (𝑥𝑘) fuqishëm 𝑁,𝑝, 𝑞 𝐸, 1 − të shumueshme

te 𝐿 e shënojmë me

66

𝑁,𝑝, 𝑞 (𝐸, 1)

= 𝑥 = 𝑥𝑛 ∶ limn→∞

1

𝑅𝑛 𝑝𝑛−𝑘𝑞𝑘

𝑛

𝑘=0

1

2𝑘

𝑘

𝜈 𝑥𝜈 − 𝐿 = 0 𝑝ë𝑟 𝑑𝑖𝑠𝑎 𝐿

𝑘

𝜈=0

Teoremë 3.2.4. [61] Le të jetë 𝑀𝑘 :ℂ[𝑎, 𝑏] → ℂ[𝑎, 𝑏] vargu i operatorëve linearë

pozitvë të cilët plotësojnë (3.2.16)-(3.2.17) të teoremës 3.2.3 dhe

lim𝑘→∞

𝑀𝑘 1; 𝑥 − 1 ∞ = 0 (3.2.18)

atëhere,

limn→∞

1

𝑅𝑛 𝑝𝑛−𝑘𝑞𝑘

𝑛

𝑘=0

1

2𝑘

𝑘

𝜈 𝑀𝑘 𝑓; 𝑥 − 𝑓(𝑥) ∞ = 0 (3.2.19)

𝑘

𝜈=0

për çdo 𝑓 ∈ ℂ[𝑎, 𝑏].

Vërtetim.

Nga (3.2.18) rrjedh që 𝑀𝑘 𝑓; 𝑥 ∞ ≤ 𝐶 ,, për ndonjë konstante 𝐶 , > 0 dhe për çdo

𝑘 ∈ 𝑁.

Për 𝑓 ∈ ℂ[𝑎, 𝑏], fitojmë

𝑝𝑛−𝑘𝑞𝑘1

2𝑘

𝑘

𝜈 𝑀𝑘 𝑓; 𝑥 − 𝑓 𝑥 ∞

𝑘

𝜈=0

≤𝑝𝑛−𝑘𝑞𝑘1

2𝑘

𝑘

𝜈

𝑘

𝜈=0

𝑓 ∞ 𝑀𝑘 1;𝑥 ∞ + 𝑓 ∞

≤ 𝑝𝑛−𝑘𝑞𝑘1

2𝑘

𝑘

𝜈

𝑘

𝜈=0

𝐶 𝐶′ + 1 . (3.2.20)

Ana e djathët e relacionit (6.2.20) është madhësi konstante, kështu që

𝑝𝑛−𝑘𝑞𝑘1

2𝑘 𝑘

𝜈 𝑀𝑘 𝑓; 𝑥 − 𝑓 𝑥 ∞

𝑘𝜈=0 është e kufizuar. Meqë nga (3.2.18) rrjedh

(3.2.15), sipas teoremës 3.2.2 ne fitojmë

𝑆𝑁𝐸 − lim𝑘→∞

𝑀𝑘 𝑓; 𝑥 − 𝑓(𝑥) ∞ = 0 (3.2.21)

që është rezultati i dëshiruar.

Në vazhdim po e japim përkufizimin e shkallës së konvergjencës 𝐴 −statistikore me

pesha sipas Norlund-Eulerit mandej japim edhe disa rezultate me vërtetim.

Përkufizim 3.2.5. [61] Le të jetë 𝐴 = (𝑎𝑛 ,𝑘) një matricë regulare jonegative dhe le të

jetë 𝑎𝑘 një varg pozitiv jorritës. Atëhere, vargu 𝑥 = (𝑥𝑘) konvergjon

67

𝐴 −statistikisht me pesha sipas Norlund-Eulerit te numri 𝐿 me shkallë 𝑜(𝑎𝑘) nëse për

çdo 휀 > 0

lim𝑛→∞

1

𝑎𝑛 𝑎𝑛 ,𝑘

𝑘∈𝐸(𝑝 ,휀)

= 0

ku

𝐸 𝑝, 휀 = 𝑘 ∈ 𝑁:𝑝𝑛−𝑘𝑞𝑘1

2𝑘

𝑘

𝜈 𝑥𝜈 − 𝐿 ≥ 휀

𝑘

𝜈=0

Simbolikishtë ne e shënojmë

𝑥𝑘 − 𝐿 = 𝑆𝐴𝑁𝐸 − 𝑜 𝑎𝑘 𝑘𝑢𝑟 𝑘 → ∞

Ne do të tregojmë rezultatin ndihmës vijues duke shfrytëzuar përkufizimin e

mësipërm.

Lemma 3.2.6. [61] Le të jetë 𝐴 = (𝑎𝑛 ,𝑘) matrica regulare jonegative. Supozojmë se

𝑎𝑘 dhe 𝑏𝑘 janë dy vargje pozitive jorritës. Le të jetë 𝑥 = 𝑥𝑘 dhe 𝑦 = 𝑦𝑘 dy

vargje të tillë që 𝑥𝑘 − 𝐿1 = 𝑆𝐴𝑁𝐸 − 𝑜 𝑎𝑘 dhe 𝑦𝑘 − 𝐿2 = 𝑆𝐴

𝑁𝐸 − 𝑜 𝑏𝑘 . Atëhere,

(iv) 𝑥𝑘 − 𝐿1 ± 𝑦𝑘 − 𝐿2 = 𝑆𝐴𝑁𝐸 − 𝑜 𝑐𝑘 ,

(v) 𝑥𝑘 − 𝐿1 𝑦𝑘 − 𝐿2 = 𝑆𝐴𝑁𝐸 − 𝑜 𝑎𝑘𝑏𝑘 ,

(vi) 𝛼 𝑥𝑘 − 𝐿1 = 𝑆𝐴𝑁𝐸 − 𝑜 𝑎𝑘 , për ndonjë skalar 𝛼,

ku 𝑐𝑘 = max 𝑎𝑘 ,𝑏𝑘 ,

Vërtetim.

Supozojmë se

𝑥𝑘 − 𝐿1 = 𝑆𝐴𝑁𝐸 − 𝑜 𝑎𝑘 , 𝑦𝑘 − 𝐿2 = 𝑆𝐴

𝑁𝐸 − 𝑜 𝑏𝑘 (3.2.22)

Për 휀 > 0, përcaktojm

𝐸′ = 𝑘 ∈ 𝑁:𝑝𝑛−𝑘𝑞𝑘1

2𝑘

𝑘

𝜈

𝑘

𝜈=0

𝑥𝑘 − 𝐿1 ± 𝑦𝑘 − 𝐿2 ≥ 휀

𝐸′′ = 𝑘 ∈ 𝑁:𝑝𝑛−𝑘𝑞𝑘1

2𝑘

𝑘

𝜈

𝑘

𝜈=0

𝑥𝑘 − 𝐿1 ≥휀

2 (3.2.23)

𝐸′′′ = 𝑘 ∈ 𝑁:𝑝𝑛−𝑘𝑞𝑘1

2𝑘

𝑘

𝜈

𝑘

𝜈=0

𝑦𝑘 − 𝐿2 ≥휀

2

Lehtë shihet se

68

𝐸′ ⊂ 𝐸′′ ∪ 𝐸′′′ (3.2.24)

Nga kjo rrjedhë se për çdo 𝑛 ∈ 𝑁

1

𝑐𝑛 𝑎𝑛 ,𝑘

𝑘∈𝐸′

≤1

𝑐𝑛 𝑎𝑛 ,𝑘

𝑘∈𝐸′′

+1

𝑐𝑛 𝑎𝑛 ,𝑘

𝑘∈𝐸′′′

(3.2.25)

Me që 𝑐𝑘 = max 𝑎𝑘 ,𝑏𝑘 , nga (3.2.25) rrjedh

1

𝑐𝑛 𝑎𝑛 ,𝑘

𝑘∈𝐸′

≤1

𝑎𝑛 𝑎𝑛 ,𝑘

𝑘∈𝐸′′

+1

𝑏𝑛 𝑎𝑛 ,𝑘

𝑘∈𝐸′′′

(3.2.26)

Duke kaluar në limit kur 𝑛 → ∞ nga (3.2.26) dhe (3.2.22), fitojmë

lim𝑛→∞

1

𝑐𝑛 𝑎𝑛 ,𝑘

𝑘∈𝐸′

= 0 (3.2.27)

kështu që,

𝑥𝑘 − 𝐿1 ± 𝑦𝑘 − 𝐿2 = 𝑆𝐴𝑁𝐸 − 𝑜 𝑐𝑘 (3.2.28)

Ngjashëm, vërtetohen (ii) dhe (iii).

Duke pasur parasysh që 𝑓 ∈ 𝐶 𝑎, 𝑏 është uniformishtë i vazhdueshëm (sipas modulit)

pra

𝜔 𝑓, 𝛿 = 𝑠𝑢𝑝 |𝑓 𝑥 − 𝑓 𝑦 |:𝑥,𝑦 ∈ 𝑎, 𝑏 , 𝑥 − 𝑦 < 𝛿

dhe

𝑓 𝑥 − 𝑓(𝑦) ≤ 𝜔 𝑓, 𝛿 𝑥 − 𝑦

𝛿+ 1

atëhere ne kemi rezultatet vijuese

Theorem 6.2.7. [61] Le të jetë 𝐴 = 𝑎𝑛 ,𝑘 matricë regulare jonegative. Nëse vargu i

operatorëve linear 𝑀𝑘 :ℂ[𝑎, 𝑏] → ℂ[𝑎, 𝑏] plotëson kushtet

(iii) 𝑀𝑘 1; 𝑥 − 1 ∞ = 𝑆𝐴𝑁𝐸 − 𝑜 𝑎𝑘 ,

(iv) 𝜔 𝑓, 𝜆𝑘 = 𝑆𝐴𝑁𝐸 − 𝑜 𝑏𝑘 , 𝑤𝑖𝑡𝑕 𝜆𝑘 = 𝑀𝑘(𝜑𝑥 ;𝑥) 𝑎𝑛𝑑 𝜑𝑥 𝑦 =

𝑦 − 𝑥 2, (v) ku 𝑎𝑘 dhe 𝑏𝑘 janë dy vargje pozitive jorritëse, atëhere për çdo

𝑓 ∈ ℂ[𝑎, 𝑏],

𝑀𝑘 𝑓; 𝑥 − 𝑓 𝑥 ∞ = 𝑆𝐴𝑁𝐸 − 𝑜 𝑐𝑘

ku 𝑐𝑘 = max 𝑎𝑘 ,𝑏𝑘 .

Vërtetim. Ekuacioni (3.2.10) jepet në formën vijuese:

69

𝑀𝑘 𝑓; 𝑥 − 𝑓 𝑥 ≤ 𝑀𝑘 𝑓 𝑥 − 𝑓 𝑦 ;𝑥 + 𝑓 𝑥 𝑀𝑘 1;𝑥 − 1

≤ 𝑀𝑘 1 + 𝑦 − 𝑥

𝛿; 𝑥 𝜔 𝑓, 𝛿 + 𝑓 𝑥 𝑀𝑘 1; 𝑥 − 1

≤ 𝑀𝑘 1 + 𝑦 − 𝑥 2

𝛿2; 𝑥 𝜔 𝑓, 𝛿 + 𝑓 𝑥 𝑀𝑘 1;𝑥 − 1

≤ 𝑀𝑘 1;𝑥 +1

𝛿2𝑀𝑘 𝜑𝑥 ;𝑥 𝜔 𝑓, 𝛿 + 𝑓 𝑥 𝑀𝑘 1;𝑥 − 1

≤ 𝑀𝑘 1;𝑥 − 1 𝜔 𝑓, 𝛿 + 𝑓 𝑥 𝑀𝑘 1;𝑥 − 1 + 𝜔 𝑓, 𝛿 +1

𝛿2𝑀𝑘 𝜑𝑥 ;𝑥 𝜔 𝑓, 𝛿

Zgjedhim 𝛿 = 𝜆𝑘 = 𝑀𝑘(𝜑𝑥 ; 𝑥) , dhe fitojmë

𝑀𝑘 𝑓; 𝑥 − 𝑓(𝑥) ∞≤ 𝑇 𝑀𝑘 1; 𝑥 − 1 ∞ + 2𝜔 𝑓, 𝜆𝑘 + 𝑀𝑘 1; 𝑥 − 1 ∞𝜔 𝑓, 𝜆𝑘 (3.2.29)

ku 𝑇 = 𝑓 ∞ .

Për 휀 > 0, përkufizojmë bashkësitë vijuese:

𝐸1′ = 𝑘 ∈ 𝑁:𝑝𝑛−𝑘𝑞𝑘

1

2𝑘

𝑘

𝜈

𝑘

𝜈=0

𝑀𝑘 𝑓; 𝑥 − 𝑓 𝑥 ∞ ≥ 휀

𝐸2′ = 𝑘 ∈ 𝑁:𝑝𝑛−𝑘𝑞𝑘

1

2𝑘

𝑘

𝜈

𝑘

𝜈=0

𝑀𝑘 1, 𝑥 − 1 ∞ ≥휀

3𝑇

𝐸3′ = 𝑘 ∈ 𝑁:𝑝𝑛−𝑘𝑞𝑘

1

2𝑘

𝑘

𝜈

𝑘

𝜈=0

𝜔 𝑓, 𝜆𝑘 ≥휀

6

𝐸4′ = 𝑘 ∈ 𝑁:𝑝𝑛−𝑘𝑞𝑘

1

2𝑘

𝑘

𝜈

𝑘

𝜈=0

𝜔 𝑓, 𝜆𝑘 𝑀𝑘 1;𝑥 − 1 ∞ ≥휀

3

Nga (6.2.24) kemi që për 𝑛 ∈ 𝑁 plotësohet mosbarazimi

1

𝑐𝑛 𝑎𝑛 ,𝑘

𝑘∈𝐸1′

≤1

𝑐𝑛 𝑎𝑛 ,𝑘

𝑘∈𝐸2′

+1

𝑐𝑛 𝑎𝑛 ,𝑘

𝑘∈𝐸3′

+1

𝑐𝑛 𝑎𝑛 ,𝑘

𝑘∈𝐸4′

(3.2.30)

Meqë 𝑐𝑘 = max 𝑎𝑘 ,𝑏𝑘 , ne fitojmë nga (3.2.30) që

1

𝑐𝑛 𝑎𝑛 ,𝑘

𝑘∈𝐸1′

≤1

𝑎𝑛 𝑎𝑛 ,𝑘

𝑘∈𝐸2′

+1

𝑏𝑛 𝑎𝑛 ,𝑘

𝑘∈𝐸3′

+1

𝑐𝑛 𝑎𝑛 ,𝑘

𝑘∈𝐸4′

(3.2.31)

70

Duke kaluar në limit kur 𝑛 → ∞ në (3.2.31) me Lemën 3.2.6 dhe me hipotezat (i) dhe

(ii), fitojmë

lim𝑛→∞

1

𝑐𝑛 𝑎𝑛 ,𝑘

𝑘∈𝐸1′

= 0

Nga kjo rrjedhë

𝑀𝑘 𝑓; 𝑥 − 𝑓(𝑥) ∞ = 𝑆𝐴𝑁𝐸 − 𝑜 𝑐𝑘

Gjë që duhej të vërtetohej.

71

4. KONKLUZIONE DHE PROJEKTE PЁR TЁ ARDHMËN

Konvergjenca statistikore me pesha është studiuar për metodën e Norlundit. Duke u

bazuar në këtë ide ne kemi dhënë përkufizimin e konvergjencës statistikore me pesha

sipas Norlund-Cesaros e cila fitohet si produkt i metodës së Norlundit dhe Cesaros.

Konvergjenca statistikore me pesha sipas Norlund-Eulerit është zgjerim i

konvergjencës statistikore me pesha sipas Norlund-Cesaros dhe rezultatet e fituara te

metoda Norlund-Euler pa vështirësi mund të provohen edhe për Norlund-Cesaro. Ne

këtu jemi munduar që të vërtetojmë disa veti për këtë metodë dhe gjithashtu kemi bërë

një përafrim përmes tepremës së Korovkinit për funksionet eksponenciale 1, 𝑒−𝑥 , 𝑒−2𝑥

dhe ato periodike 1, 𝑐𝑜𝑠𝑥, 𝑠𝑖𝑛𝑥. Gjithashtu kemi dhënë kuptimin e konvergjencës A-

statistikore me pesha sipas Norlund-Eulerit. Dhe rezultatet qe vlejnë për

konvergjencën e lartpërmendur jemi munduar ti formulojmë dhe vërtetojmë edhe për

këtë lloj të konvergjencës. Gjithashtu për këtë lloj të konvergjencës kemi gjetur edhe

rezultate të reja që nuk janë trajtuar te konvergjenca statistikore me pesha sipas

Norlund-Eulerit.Kështu mendoj se në këtë punim doktorature kemi dhënë një

kontribut modest në studimin e mëtejshëm të tyre.

Në të ardhmen një rëndësi të veçantë do ti kushtoj studimit të metodave të reja që

mund të fitohen si produkt i tri apo më tepër metodave të shumueshmërisë dhe

aplikimin e këtyre metodave në teoremat e Tauberian-it. Gjithashtu mendoj se ende ka

vend për përgjithësimin e këtyre rezultateve edhe për këto metoda.

72

REFERENCAT:

[1] Svetozar Kurepa (1981)-Funkcionalna Analiza (Elementi Teorije Operatora)-

Zagreb, Skolska Knjiga.

[2] S. Gjinushi. Analiza funksionale I,II. Tiranë 1984.

[3] R. Zejnullahu. Analiza funksionale. Shtëpia botuese Libri Shkollor. Prishtinë

1988.

[4] H. Steinhaus, Sur la convergence ordinaire et la convergence asymptotique,

Colloq.Math. 2 (1951) 73-74.

[5] H. Fast, Sur la convergence statistique, Colloq. Math. 2 (1951) 241-244

[6] I.J. Schoenberg, The integrability of certain functions and related summability

methods, Amer. Math. Monthly 66 (1959) 361-375.

[7] H.I. Miller, A measure theoretical subsequence characterization of statistical

convergence, Trans. Amer. Math. Soc. 347 (1995) 1811-1819.

[8] A. Zygmund, Trigonometric Series, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1979.

[9] O. Duman, M K. Khan, and C. Orhan, A-Statistical convergence of approximating

operators, Math. Inequal. Appl. 6 (2003) 689-699.

[10] I.J. Maddox, Statistical convergence in a locally convex space, Math.

Proc.Cambridge Phil. Soc. 104 (1988) 141-145.

[11] J. Connor, M. Ganichev and V. Kadets, A characterization of Banach spaces with

separable duals via weak statistical convergence, J. Math. Anal. Appl. 244 (2000)

251-261.

[12] I. Niven, H.S. Zuckerman, An Introduction to the Theorem of Numbers, fourth

ed.,Wiley, New York, 1980.

[13] J.A. Fridy, On statistical convergence, Analysis 5 (1985) 301–313.

[14] G. H. HARDY (1949)-DIVERGENT SERIES-Oxford at the Clarendon Press

[15] JOHANN BOOS (2000) , Classical and Modern Methodes in Summability,

Oxford University Press. New York.

[16] V. Karakaya, T.A. Chishti, Weighted statistical convergence, Iran. J. Sci.

Technol. Trans. A Sci. 33 (2009) 219–223.

[17] Mursaleen, Mohammad; Karakaya, Vatan; Ertürk, Müzeyyen; Gürsoy, Faik.

Weighted statistical convergence and its application to Korovkin type approximation

theorem. Appl. Math. Comput. 218 (2012), no. 18, 9132--9137.

[18] Fridy, J. A. (1985). On statistical convergence. Analysis, 5, 301-313.

[19] Freedman, A. R. & Sember, I. J. (1981). Densities and summability. Pacific J.

Math. 95, 293-305.

[20] Kolk, K. (1991). The statistical convergence in Banach spaces. Acta et

Comment. Univ. Tartu.928, 41-52.

[21] Kolk, K. (1993). Matrix summability of statistically convergent sequences.

Analysis,vol.13 no. 1-2. Pp. 77-83. 1993.

[22] Fridy, J. A. & Miller, H. I. (1991). A matrix characterization of statistical

convergence. Analysis,11, 59-66.

[23] Fridy, J. A. & Orhan, C. (1993). Lacunary statistical convergence. Pacific J.

Math., 160, 43-51.

[24] Fridy, J. A. & Orhan, C. (1993). Lacunary statistical summability. J. Math.

Analysis Appl.,173(2), 497-504.

[25] Savaş, E. (1992). On strong almost A-summability with respect to a modulus and

statistical convergence. Indian J. Pure and Appl. Math. 23(3), 217-222

[26] N.L. Braha A new class of sequences related to the $l\sb p$ spaces defined by

sequences of Orlicz functions. J. Inequal. Appl. 2011, Art. ID 539745, 10 pp.

73

[27] Braha, N. L. On asymptotically $\Delta\sp m$ lacunary statistical equivalent

sequences. Appl. Math. Comput. 219 (2012), no. 1, 280—288

[28] Braha, Naim L.; Et, Mikâil. The sequence space $E\sb n\sp q(M,p,s)$ and $N\sb k$-lacunary statistical convergence. Banach J. Math. Anal. 7 (2013), no. 1, 88--96.

[29] Salat, T. (1980). On statistically convergent sequence of real numbers. Math.

Slovaca,30 ,139-150.

[30] Connor, J. S. (1988). The statistical and strong p-Cesaro convergence of

sequence. Analysis, 8, 47-63.

[31] Connor, J. S. (1989). On strong matrix summability with respect to a modulus

and statistical convergence. Canad. Math. Bull., 32, 194-198.

[32] P.P. Korovkin, Linear Operators and Approximation Theory, Hindustan

Publishing Corporation, Delhi, 1960.

[33] A.D. Gadjiev, C. Orhan, Some approximation theorems via statistical

convergence, Rocky Mountain J. Math. 32 (2002) 129–138.

[34] G.A. Anastassiou, M. Mursaleen, S.A. Mohiuddine, Some approximation

theorems for functions of two variables through almost convergence of double

sequences, J. Comput. Anal. Appl. 13 (1) (2011) 37–40.

[35] M. Becker, Global approximation theorems for Szasz–Mirakjan and Baskakov

operators in polynomial weight spaces, Indiana Univ. Math. J. 27 (1) (1978) 127–142.

[36] B.D. Boyanov, V.M. Veselinov, A note on the approximation of functions in an

infinite interval by linear positive operators, Bull. Math. Soc. Sci. Math.Roumanie

(N.S.) 14 (62) (1970) 9–13.

[37] O. Duman, K. Demirci, S. Karakus_, Statistical approximation for infinite

intervals (preprint).

[38] S.A. Mohiuddine, An application of almost convergence in approximation

theorems, Appl. Math. Lett. 24 (2011) 1856–1860.

[39] M. Mursaleen, A. Alotaibi, Statistical summability and approximation by de la

Vallee-Poussin mean, Appl. Math. Lett. 24 (2011) 320–324.

[40] M. Mursaleen, A. Alotaibi, Statistical lacunary summability and a Korovkin type

approximation theorem, Ann. Univ. Ferrara 57 (2) (2011) 373–381.

[41] H.M. Srivastava, M. Mursaleen, Asif Khan, Generalized equi-statistical

convergence of positive linear operators and associated approximation theorems,

Math. Comput. Mod. (2011), doi:10.1016/j.mcm.2011.12.011.

[42] E. Erkus_-Duman, O. Duman, Statistical approximation properties of high order

operators constructed with the Chan–Chyan–Srivastava polynomials,Appl. Math.

Comput. 218 (5) (2011) 927–1933.

[43] M. Orkcu, O. Dog˘ru, Weighted statistical approximation by kantorovich type q-

Szasz–Mirakjan operators, Appl. Math. Comput. 217 (20) (2011) 7913–7919.

[44] C. Radu, On statistical approximation of a general class of positive linear

operators extended in q-calculus, Appl. Math. Comput. 215 (6) (2009) 2317–2325.

[45] E. Aljimi, E. Hoxha and V.Loku. Some Results of Weighted Norlund-Euler

Statistical Convergence, International Mathematical Forum, Vol. 8, 2013, no. 37,

1797–1812. [46] Ekrem A. Aljimi and Valdete Loku ,Generalized Weighted Norlund-Euler

Statistical Convergence. Int. Journal of Math. Analysis, Vol. 8, 2014, no. 7, 345-354

[47] Syed Abdul Mohiuddine, Abdullah Alotaibi and Mohammad Mursaleen.

Statistical summability (C,1) and a Korovkin type approximation theorem. Journal of

inequalities and Applications. 2012:172. (doi:10.1186/1029-242x-2012-172).

[48] Ekrem A. Aljimi, The rate of weighted Norlund–Euler statistical

convergence.Int. Journal of Math. Analysis, Vol. 8, 2014, no. 26, 1297-1304.

74

[49] Ekrem A. Aljimi, Approximation for periodic functions via generalized weighted

Norlund–Euler statistical convergence. International Conference.13th Serbian

Mathematical Congress. Book of Abstracts. page 40. Vrnjacka Banja, Serbia. May

22-25, 2014. http://tesla.pmf.ni.ac.rs/people/smak/book_of_abstracts.pdf

[50] R.G.Cooke, Infinite matrices and sequence spaces, Macmillan, London, UK,

1950.

[51] S.A. Mohiuddine, Abdullah Alotaibi and Bipan Hazarika, weighted A-statistical

convergence for sequences of positive linear operators. Hindawi Publishing

Corporation. The scientific world journal. Volume 2014, Article ID 437863, 8 pages.

http://dx.doi.org/10.1155/2014/437863.

[52] T. Acar and F. Dirik, ―Korovkin-type theorems in weighted 𝐿𝑝 -spaces via

summation process,‖TheScientificWorld Journal, vol.2013, Article ID 534054, 6

pages, 2013.

[53] N. L. Braha, H. M. Srivastava, and S. A. Mohiuddine, ―A Korovkin‘s type

approximation theorem for periodic functions via the statistical summability of the

generalized de la Vall´ee

Poussinmean,‖AppliedMathematics and Computation, vol. 228,pp. 162–169, 2014.

[54] O. Duman and C. Orhan, ―Statistical approximation by positivelinear operators,‖

Studia Mathematica, vol. 161, no. 2, pp. 187–197, 2004.

[55] M. Mursaleen and A. Kilic¸man, ―Korovkin second theorem via B-statistical A-

summability,‖ Abstract and Applied Analysis, vol.2013, Article ID 598963, 6 pages,

2013.

[56] S. A. Mohiuddine and A. Alotaibi, ―Statistical convergence and approximation

theorems for functions of two variables,‖ Journal of Computational Analysis and

Applications, vol. 15, no. 2, pp.218–223, 2013.

[57] S. A. Mohiuddine and A. Alotaibi, ―Korovkin second theoremvia statistical

summability (𝐶, 1),‖ Journal of Inequalities and Applications, vol. 2013, article 149, 9

pages, 2013.

[58] O. H. H. Edely, M. Mursaleen, and A. Khan, ―Approximation for periodic

functions via weighted statistical convergence,‖ AppliedMathematics and

Computation, vol. 219, no. 15, pp. 8231–8236, 2013.

[59] V. N. Mishra, K. Khatri, and L. N. Mishra, ―Statistical approximation by

Kantorovich-type discrete q-Beta operators,‖ Advances in Difference Equations, vol.

2013, article 345, 2013.

[60] N.Braha and E.Aljimi Weighted Norlund-Cesaro Statistical Converegnce.

Conference proceedings 1st western Balcan Conference of Mathematical sciences

Elbasan 30 may-1 june 2013. http://www.iwbcms.org/docs/abstracts.pdf.

[61] E. Hoxha, E. Aljimi and V.Loku. Weighted Norlund-Euler A-Statistical

Convergence for Sequences of Positive Linear Operators. V CONGRESS OF THE

MATHEMATICIANS OF MACEDONIA,September 24-27, 2014. Ohrid, Republic

of Macedonia. http://www.cmm2014.ukim.edu.mk/short_communications.