Disequazioni esponenziali e logaritmiche
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Disequazioni Esponenziali
xa
Definizioni e proprietà
Esponenziale:
Proprietà: 1.
2. allora
3. allora
xa a x
0xa 0, ax
10 a'' xx aaxx
1a'' xx aaxx
Disequazioni Esponenziali
Def. Le disequazioni esponenziali sono quelle nelle quali l’incognita compare ad esponente di una certa espressione.
Soluzione
Le disequazioni esponenziali si risolvono sfruttando le proprietà 1.2.3.
Es.1
Applico 2
322
1
x
5
55
2
1
2
1232
5
2
1
2
1
x 5/ xxS
Es.2
Applico 3
164 x
244 x
2x
2/ xxS
Es.3
Cambio variabile
0133 12 xx
01333 2 xx
zx 3
013 2 zz 6
131
6
131
z
Da z torno a x:
6
1313
6
131
x
0..vs
?
Problema….
Dobbiamo trovare quel numero tale che:
?
6
1313?
Logaritmi
Def.
Nel nostro caso:
bacb ca log
6
1313?
a
c
b 6
131log? 3
?????
Definizione:
Definizione: dati due numeri a,b strettamente positivi con si definisce logaritmo in base a di b il numero c al quale si deve elevare a per ottenere b; si ha quindi:
1a
bacb ca log
Dalla definizine di logaritmo si ha:
baba log
ba ba log
Allora un qualsiasi numero b può essere espresso attraverso il logaritmo in una qualsiasi base a>0 (diversa da 1) utilizzando una delle due relazioni viste.
Dalla definizione di logaritmo…….
Proprietà:
1.
2. Se allora
3. Se allora
01log a 1,0 aa
10 a '' loglog xxxx aa
0, ' xx
1a '' loglog xxxx aa 0, ' xx
4.
5.
6.
7.
)(logloglog xyyx aaa 0, yx
)(logloglogy
xyx aaa 0, yx
xpx ap
a loglog 0x
a
bb
c
ca log
loglog 1,0,0.1,0 ccbaa
Alle disequazioni logaritmiche
Def.: Le disequazioni logaritmiche sono quelle che contengono l’incognita nell’argomento di un logaritmo.
Per risolverle occorre innanzitutto richieder la CDE del logaritmo(argomento strett.positivo), dopodichè si sfruttano le proprietà appena elencate.
Es.1
CDE
Per def.di logaritmo
3log2
1 x
0x
3
2
1
2
1 2
1loglog
x 8loglog
2
1
2
1 x
La base è minore di uno, vale la 2. Allora passando dalla disuguaglianza tra logaritmi a quella tra i rispettivi argomenti il verso della disuguaglianza cambia verso.
8x
8loglog2
1
2
1 x
8/ xxS
CDEok
Es.2
CDE:
(Per def log)
4log 2 x
0x
422 )2(loglog x
poiché la base è maggiore di 1, passo alla disuguaglianza tra gli argomenti
(uso 3.)
16loglog 22 x
16xCDEok
16/ xxS
Es.3
CDE:
03
log2
3
1 xx
03
032
x
xx
03 xx
Passo agli argomenti rovesciando la disuguaglianza:
03
log2
3
1 xx 1log
3log
3
1
2
3
1 xx
13
2
xx
2
1313
x
2
131x
03 xx CDEok
2
131
2
1313 xxS
Proposta:
24log x
soluzione
CDE:
24log x
04
04
x
x 4x
la base del logaritmo è “e”, la base naturale, ed essendo e=2.7182…la disequazione di partenza può essere scritta come:
2log4log ex
Da cui:
Elevo al quadrato ambo i membri
24 ex
positivopositivo
44 ex
Ricordo la CDE e la combino con la soluzione appena trovata:
44 ex
4x 44/ 4 exxS
Esercizi:
1)
2)
3)
4)
2)2(log3 x
2)2(log3
1 x
2)7(log 2
4
1 x
11log3
1 x