Diseño de sistemas de control€¦ · - Mejora los márgenes de estabilidad al aumentar el ancho...
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Diseño de sistemas de controlCompensadores de adelanto, atraso y adelanto-atraso.
(Mediante la respuesta en frecuencia)
Prof. Gerardo TorresSistemas de Control
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Compensación mediante la respuesta en frecuenciaRespuesta transitoria de forma indirecta.
- Margen de fase.
- Margen de ganancia.
- Magnitud del pico de resonancia.
- Frecuencia de cruce de ganancia.
- Frecuencia de resonancia.
- Ancho de banda.
- Constantes de error estático.
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Compensación mediante la respuesta en frecuenciaDiseño.
- Diagrama polar.
- Bode.
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Compensación mediante la respuesta en frecuenciaInformación en la respuesta de frecuencia.
Fig. 1. Ejemplo de diagrama de Bode
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Compensación mediante la respuesta en frecuenciaCompensación en adelanto- Mejora los márgenes de estabilidad al aumentar el ancho
de banda.- Requiere una mayor ganancia que en la compensación en
atraso.- Puede acentuar los efectos de ruido.Compensación en atraso- Mejora la respuesta en estado estacionario.- Reduce la ganancia a altas frecuencias sin reducirla a bajas
frecuencias.- Aumenta el tiempo del transitorio.Compensación de atraso-adelanto- Incrementa la ganancia a bajas frecuencias mientras
aumenta el ancho de banda.
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Compensación en adelanto
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Compensación en adelanto
Fig. 2. Traza polar de compensador en adelanto con Kc=1.(Ogata,2008)
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Compensación en adelanto
Fig. 3. Diagrama de Bode de compensador en adelanto(Ogata,2008)
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Compensación en adelanto
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Compensación en adelanto
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Compensación en adelanto
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Compensación en atraso
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Compensación en atraso
Fig. 4. Traza polar de compensador en atraso.(Ogata,2008)
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Compensación en atraso
Fig. 5. Diagrama de Bode de compensador en atraso.(Ogata,2008)
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Pasos para el diseño de un compensador en atraso por elmétodo de la respuesta en frecuencia.
1. Suponga el siguiente compensador de atraso:
Determine la ganancia K de manera que satisfaga las condiciones requeridas.
Compensación en atraso
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Pasos para el diseño de un compensador en atraso por elmétodo de la respuesta en frecuencia.
2. Si G1(s) ajustado en ganancia no cumple las condiciones demargen de fase y ganancia, encuentre la frecuencia (Nuevafrecuencia de cruce de ganancia) en la que el ángulo de fasesea igual a -180 + MFr, donde Mfr=Mfe+(5 a 12 ).
3. El cero del compensador debe ser ubicado entre una octavay una década por debajo de la nueva frecuencia de cruce deganancia.
Compensación en atraso
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Pasos para el diseño de un compensador en atraso por elmétodo de la respuesta en frecuencia.
4. Determine la atenuación necesaria para llevar la curva demagnitud a 0 dB en la nueva frecuencia de cruce de
ganancia, esta atenuación es de -20log() o20log(1/); determine . Con este valor se obtiene la
ubicación del polo del compensador en
5. De termine Kc
Compensación en atraso
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Este tipo de compensador combina los beneficios de amboscompensadores y es utilizado cuando no se desea afectar elancho de banda del sistema original.
Compensación en atraso-adelanto
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Compensación en atraso-adelanto
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Compensación en atraso-adelanto
Fig. 6. Diagrama de Bode de compensador en atraso-adelanto.(Ogata,2008)
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Compensación en atraso-adelantoPasos para el diseño de un compensador en atraso-adelantopor el método de la respuesta en frecuencia.
1. Suponga el siguiente compensador de atraso-adelanto (sepuede utilizar β≠γ):
Determine K de manera que se obtenga una respuestasatisfactoria en las características estáticas.
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Compensación en atraso-adelantoPasos para el diseño de un compensador en atraso-adelantopor el método de la respuesta en frecuencia.
2. Se escoge la nueva frecuencia de cruce de ganancia como lafrecuencia donde la fase del sistema G1(s) sea igual a -180,luego se ubica el cero del compensador de atraso unadécada antes de la nueva frecuencia de cruce de ganancia.Seguidamente se calcula sustituyendo = 1/ en laformula, utilizando el ángulo de compensación necesariotomando en cuenta los 5° a 12° adicionales, luego se ubicael polo del compensador de atraso.
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Compensación en atraso-adelantoPasos para el diseño de un compensador en atraso-adelanto por elmétodo de la respuesta en frecuencia.
3. Finalmente se ubica el punto en la nueva frecuenciade cruce de ganancia y se traza recta con una pendiente de +20dB, la intersección de dicha recta con la línea de 0 dB es lafrecuencia del polo del compensador en adelanto, el cero sedetermina con el corte de dicha recta con la línea de X dB (dB enla frecuencia donde se ubica el cero del compensador en atraso),la cual se puede determinar de manera gráfica o matemática.
4. Ya al tener el compensador en atraso-adelanto se verifica que elsistema compensado cumpla con los requerimientos, de no serasí, se realiza un ajuste para generar una optima compensación.
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Ejercicios
1. Se tiene el siguiente sistema de control, se desea:
• KV =20 s-1
• MF > 50°
• MG > 10 dB
Fig. 7. Sistema de control.(Ogata,2008)
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Ejercicios
K=Kc
K=10
m=50°-17°+5°=38°
=0,237
Fig. 8. Diagrama de Bode de G1(s).(Ogata,2008)
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Ejercicios
Fig. 9. Diagrama de Bode de G1(s), Gc(s) y G1(s)Gc(s).(Ogata,2008)
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Ejercicios
Fig. 10. Sistema de control compensado(Ogata,2008)
Fig. 11. Respuesta en el tiempo de sistema de control compensado y no compensado(Ogata,2008)
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Ejercicios
2. Se tiene el siguiente sistema de control, se desea:
• KV =5 s-1
• MF > 40°
• MG > 10 dB
Fig. 12. Sistema de Control(Ogata,2008)
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Ejercicios
K=Kc
K=5
m=40°+12°=52°
-180°+52°=128°
Cero = 0,1 rad/s
=10
Polo=0,01Fig. 13. Diagrama de Bode de G1(s), Gc(s) y G1(s)Gc(s).
(Ogata,2008)
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Ejercicios
3. Se tiene el siguiente sistema de control cuya función detransferencia en lazo abierto es G(s) y cuya realimentación esunitaria, se desea:
• KV =10 s-1
• MF ≥ 50°
• MG ≥ 10 dB
𝐺(𝑆) =𝐾
𝑆(𝑆 + 1)(𝑆 + 2)
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Ejercicios
K=Kc
K=10
=10
Fig. 14. Diagrama de Bode de G, Gc(s) y G(s)Gc(s).(Ogata,2010)
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Bibliografia
• 1. Ogata, Katsuhiko. Ingeniería de Control Moderna. Madrid : Prentice Hall, 2008.