Diseño Computacional de Materiales
Transcript of Diseño Computacional de Materiales
![Page 1: Diseño Computacional de Materiales](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022012517/6191f4ed6063c57fb502248a/html5/thumbnails/1.jpg)
Diseño Computacional de Materiales
Dr. Adrian C. Razzitte
![Page 2: Diseño Computacional de Materiales](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022012517/6191f4ed6063c57fb502248a/html5/thumbnails/2.jpg)
¿Qué es el Diseño Computacional de Materiales?
Es una metodología de análisis y predicción de propiedades estructurales, electrónicas, magnéticas, termodinámicas, químicas, mecánicas y ópticas de materiales mediante la aplicación combinada de métodos mecano-cuánticos (cálculos ab-initio), mecano-estadísticos (Monte Carlo y dinámica molecular) a partir de la estructura molecular.
![Page 3: Diseño Computacional de Materiales](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022012517/6191f4ed6063c57fb502248a/html5/thumbnails/3.jpg)
IntroducciónEstudio de materiales
![Page 4: Diseño Computacional de Materiales](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022012517/6191f4ed6063c57fb502248a/html5/thumbnails/4.jpg)
IntroducciónEstudio de materiales
Cristales puros
![Page 5: Diseño Computacional de Materiales](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022012517/6191f4ed6063c57fb502248a/html5/thumbnails/5.jpg)
IntroducciónEstudio de materiales
Cristales puros Teoría
![Page 6: Diseño Computacional de Materiales](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022012517/6191f4ed6063c57fb502248a/html5/thumbnails/6.jpg)
IntroducciónEstudio de materiales
Cristales puros Teoría
Materiales reales
![Page 7: Diseño Computacional de Materiales](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022012517/6191f4ed6063c57fb502248a/html5/thumbnails/7.jpg)
IntroducciónEstudio de materiales
Cristales puros Teoría
Materiales reales
Simples
Complejos
![Page 8: Diseño Computacional de Materiales](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022012517/6191f4ed6063c57fb502248a/html5/thumbnails/8.jpg)
IntroducciónEstudio de materiales
Cristales puros Teoría
Materiales reales
Simples
Complejos
Aproximaciones
![Page 9: Diseño Computacional de Materiales](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022012517/6191f4ed6063c57fb502248a/html5/thumbnails/9.jpg)
IntroducciónEstudio de materiales
Cristales puros Teoría
Materiales reales
Simples
Complejos
Aproximaciones
![Page 10: Diseño Computacional de Materiales](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022012517/6191f4ed6063c57fb502248a/html5/thumbnails/10.jpg)
IntroducciónEstudio de materiales
Cristales puros Teoría
Materiales reales
Simples
Complejos
Aproximaciones
![Page 11: Diseño Computacional de Materiales](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022012517/6191f4ed6063c57fb502248a/html5/thumbnails/11.jpg)
IntroducciónEstudio de materiales
Cristales puros Teoría
Materiales reales
Simples
Complejos
Aproximaciones
Experimentación
![Page 12: Diseño Computacional de Materiales](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022012517/6191f4ed6063c57fb502248a/html5/thumbnails/12.jpg)
IntroducciónEstudio de materiales
Cristales puros Teoría
Materiales reales
Simples
Complejos
Aproximaciones
Experimentación
![Page 13: Diseño Computacional de Materiales](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022012517/6191f4ed6063c57fb502248a/html5/thumbnails/13.jpg)
IntroducciónEstudio de materiales
Cristales puros Teoría
Materiales reales
Simples
Complejos
Aproximaciones
Experimentación
nes
![Page 14: Diseño Computacional de Materiales](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022012517/6191f4ed6063c57fb502248a/html5/thumbnails/14.jpg)
IntroducciónEstudio de los materiales
![Page 15: Diseño Computacional de Materiales](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022012517/6191f4ed6063c57fb502248a/html5/thumbnails/15.jpg)
IntroducciónEstudio de los materiales
Orbitalesatómicos
![Page 16: Diseño Computacional de Materiales](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022012517/6191f4ed6063c57fb502248a/html5/thumbnails/16.jpg)
IntroducciónEstudio de los materiales
Orbitalesatómicos
Orbitalesmoleculares
![Page 17: Diseño Computacional de Materiales](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022012517/6191f4ed6063c57fb502248a/html5/thumbnails/17.jpg)
IntroducciónEstudio de los materiales
Orbitalesatómicos
Orbitalesmoleculares
Funciones
![Page 18: Diseño Computacional de Materiales](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022012517/6191f4ed6063c57fb502248a/html5/thumbnails/18.jpg)
IntroducciónEstudio de los materiales
Orbitalesatómicos
Orbitalesmoleculares
Funciones
Función deonda
![Page 19: Diseño Computacional de Materiales](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022012517/6191f4ed6063c57fb502248a/html5/thumbnails/19.jpg)
IntroducciónEstudio de los materiales
Orbitalesatómicos
Orbitalesmoleculares
Funciones
Función deonda
Densidad decarga
![Page 20: Diseño Computacional de Materiales](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022012517/6191f4ed6063c57fb502248a/html5/thumbnails/20.jpg)
IntroducciónEstudio de los materiales
![Page 21: Diseño Computacional de Materiales](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022012517/6191f4ed6063c57fb502248a/html5/thumbnails/21.jpg)
IntroducciónEstudio de los materiales
Dinámica Molecular Clásica
![Page 22: Diseño Computacional de Materiales](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022012517/6191f4ed6063c57fb502248a/html5/thumbnails/22.jpg)
IntroducciónEstudio de los materiales
Dinámica Molecular ClásicaMétodos AB Initio
![Page 23: Diseño Computacional de Materiales](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022012517/6191f4ed6063c57fb502248a/html5/thumbnails/23.jpg)
IntroducciónEstudio de los materiales
Dinámica Molecular ClásicaMétodos AB InitioTight Binding
![Page 24: Diseño Computacional de Materiales](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022012517/6191f4ed6063c57fb502248a/html5/thumbnails/24.jpg)
IntroducciónEstudio de los materiales
Dinámica Molecular ClásicaMétodos AB InitioTight BindingMonte Carlo
![Page 25: Diseño Computacional de Materiales](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022012517/6191f4ed6063c57fb502248a/html5/thumbnails/25.jpg)
IntroducciónEstudio de los materiales
Dinámica Molecular ClásicaMétodos AB InitioTight BindingMonte CarloOtros métodos
![Page 26: Diseño Computacional de Materiales](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022012517/6191f4ed6063c57fb502248a/html5/thumbnails/26.jpg)
IntroducciónMétodos de estudio
![Page 27: Diseño Computacional de Materiales](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022012517/6191f4ed6063c57fb502248a/html5/thumbnails/27.jpg)
IntroducciónMétodos de estudio
Dinámica Molecular ClásicaMétodos AB InitioTight Binding
![Page 28: Diseño Computacional de Materiales](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022012517/6191f4ed6063c57fb502248a/html5/thumbnails/28.jpg)
IntroducciónMétodos de estudio
Dinámica Molecular ClásicaMétodos AB InitioTight Binding
El estado del sistema queda determinado completamente por las condiciones iniciales. La
cantidad de átomos está limitada.
![Page 29: Diseño Computacional de Materiales](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022012517/6191f4ed6063c57fb502248a/html5/thumbnails/29.jpg)
IntroducciónMétodos de estudio
Monte Carlo
Asume parámetros de interacción muy idealizados o simplificados y puede tratar gran
cantidad de átomos.
![Page 30: Diseño Computacional de Materiales](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022012517/6191f4ed6063c57fb502248a/html5/thumbnails/30.jpg)
Modelado de Sistemas Reales
→
21
1 1 22
22
2 2 12
1 22
1 22
1 2
d rm f ( r r )d td rm f ( r r )d t
r r r
m m d r f ( r )m m d t
= −
= −
= −
=+
Material real = Problema de muchos cuerpos “many body”: no tiene solución analíticaLa ecuación de dos cuerpos en mecánica clásica se reduce a una ecuación de un solo cuerpo
![Page 31: Diseño Computacional de Materiales](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022012517/6191f4ed6063c57fb502248a/html5/thumbnails/31.jpg)
Problema de tres cuerpos: solución analítica en casos limitados;requiere solución numérica. La solución numérica es el único camino para resolver problemas de muchos cuerpos. El enfoque se extiende a la Mecánica Cuántica
21
1 1 2 32
22
2 1 2 32
23
3 1 2 32
d rm f ( r , r , r )d td rm f ( r , r , r )d t
d rm f ( r , r , r )d t
=
=
=
![Page 32: Diseño Computacional de Materiales](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022012517/6191f4ed6063c57fb502248a/html5/thumbnails/32.jpg)
IntroducciónFuerzas presentes en los sistemas
físicos
![Page 33: Diseño Computacional de Materiales](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022012517/6191f4ed6063c57fb502248a/html5/thumbnails/33.jpg)
IntroducciónFuerzas presentes en los sistemas
físicosLos tipos de fuerzas que caracterizan actualmente a la ciencia son:
![Page 34: Diseño Computacional de Materiales](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022012517/6191f4ed6063c57fb502248a/html5/thumbnails/34.jpg)
IntroducciónFuerzas presentes en los sistemas
físicosLos tipos de fuerzas que caracterizan actualmente a la ciencia son:
Interacciones fuertes
![Page 35: Diseño Computacional de Materiales](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022012517/6191f4ed6063c57fb502248a/html5/thumbnails/35.jpg)
IntroducciónFuerzas presentes en los sistemas
físicosLos tipos de fuerzas que caracterizan actualmente a la ciencia son:
Interacciones fuertes Fuerzas de Coulomb
![Page 36: Diseño Computacional de Materiales](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022012517/6191f4ed6063c57fb502248a/html5/thumbnails/36.jpg)
IntroducciónFuerzas presentes en los sistemas
físicosLos tipos de fuerzas que caracterizan actualmente a la ciencia son:
Interacciones fuertes Fuerzas de CoulombInteracciones débiles
![Page 37: Diseño Computacional de Materiales](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022012517/6191f4ed6063c57fb502248a/html5/thumbnails/37.jpg)
IntroducciónFuerzas presentes en los sistemas
físicosLos tipos de fuerzas que caracterizan actualmente a la ciencia son:
Interacciones fuertes Fuerzas de CoulombInteracciones débilesFuerzas gravitatorias
![Page 38: Diseño Computacional de Materiales](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022012517/6191f4ed6063c57fb502248a/html5/thumbnails/38.jpg)
IntroducciónObjetivos de la simulación
Estudiar la estructura de materiales conocidos
Obtener propiedades de materiales conocidos.
Predecir nuevos materiales mediante cálculos numéricos.
![Page 39: Diseño Computacional de Materiales](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022012517/6191f4ed6063c57fb502248a/html5/thumbnails/39.jpg)
![Page 40: Diseño Computacional de Materiales](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022012517/6191f4ed6063c57fb502248a/html5/thumbnails/40.jpg)
Orbitales tipo s
![Page 41: Diseño Computacional de Materiales](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022012517/6191f4ed6063c57fb502248a/html5/thumbnails/41.jpg)
Orbitales tipo p
Unión tipo σ Unión tipo π
![Page 42: Diseño Computacional de Materiales](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022012517/6191f4ed6063c57fb502248a/html5/thumbnails/42.jpg)
Ecuación de Schrödinger
GS GSH E∧
Ψ = Ψ
![Page 43: Diseño Computacional de Materiales](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022012517/6191f4ed6063c57fb502248a/html5/thumbnails/43.jpg)
1 1 1 1 2 2 2 2 n n n nm
nl l
f (r , , ).f (r , , )....f (r , , )
f R (r)Y ( , )
Ψ= θ φ θ φ θ φ
= θ φ
La ecuación de SchrÖdinger para el átomo no esseparable debido a los términos de repulsión interelectrónica y se separa en n-ecuaciones hidrogenoides monoelectrónicas, tal que la función de orden cero resulta:
:
2 2 2 22 21 2
1 2 1 2
e e e( )2 m r r r r
− ∇ + ∇ − − +−
h
![Page 44: Diseño Computacional de Materiales](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022012517/6191f4ed6063c57fb502248a/html5/thumbnails/44.jpg)
Hamiltoniano multielectrónico2 '2 '2n n n 1 n
2i
i 1 i 1 i 1 j i 1e i ij
Ze eH2m r r
−∧
= = = = +
= − ∇ − +∑ ∑ ∑∑h
![Page 45: Diseño Computacional de Materiales](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022012517/6191f4ed6063c57fb502248a/html5/thumbnails/45.jpg)
Hamiltoniano multielectrónico2 '2 '2n n n 1 n
2i
i 1 i 1 i 1 j i 1e i ij
Ze eH2m r r
−∧
= = = = +
= − ∇ − +∑ ∑ ∑∑h
• H= Hamiltoniano del sistema multielectrónico
![Page 46: Diseño Computacional de Materiales](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022012517/6191f4ed6063c57fb502248a/html5/thumbnails/46.jpg)
Hamiltoniano multielectrónico2 '2 '2n n n 1 n
2i
i 1 i 1 i 1 j i 1e i ij
Ze eH2m r r
−∧
= = = = +
= − ∇ − +∑ ∑ ∑∑h
• H= Hamiltoniano del sistema multielectrónico• Vext=Potencial externo local uni-particular
![Page 47: Diseño Computacional de Materiales](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022012517/6191f4ed6063c57fb502248a/html5/thumbnails/47.jpg)
Hamiltoniano multielectrónico2 '2 '2n n n 1 n
2i
i 1 i 1 i 1 j i 1e i ij
Ze eH2m r r
−∧
= = = = +
= − ∇ − +∑ ∑ ∑∑h
• H= Hamiltoniano del sistema multielectrónico• Vext=Potencial externo local uni-particular• EGS= Energía del estado fundamental
![Page 48: Diseño Computacional de Materiales](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022012517/6191f4ed6063c57fb502248a/html5/thumbnails/48.jpg)
Hamiltoniano multielectrónico2 '2 '2n n n 1 n
2i
i 1 i 1 i 1 j i 1e i ij
Ze eH2m r r
−∧
= = = = +
= − ∇ − +∑ ∑ ∑∑h
• H= Hamiltoniano del sistema multielectrónico• Vext=Potencial externo local uni-particular• EGS= Energía del estado fundamental• ψGS= Función de onda del estado fundamental para el
sistema multielectrónico
![Page 49: Diseño Computacional de Materiales](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022012517/6191f4ed6063c57fb502248a/html5/thumbnails/49.jpg)
Hartree supone que los electrones (e) en el átomo de He se mueven en un campo estático→ cada e tiene su propia autofunción.
Si los e tienen autofunciones 1(r)ψ y 2 (r)ψ el primer e con autofunción 1(r)ψ se mueve en un campo debido a dos efectos
1) El campo del núcleo, dando un potencial -22e
r
2) El campo medio debido a los otros electrones; se obtiene imaginando el e1
moviéndose en una distribución homogénea de carga -e2
2 (r)ψ en el punto r. La energía potencial del primer electrón en el campo de esa carga uniforme es:
→
2' ' ' '22
'
(r ) dx dy dze
r r
ψ
−∫∫∫ donde r indica la posición en la que se ubica el e1
∴ se deduce que e1 se mueve en un campo en el que la energía potencial es
V1(r) = -22e
r+
2' ' ' '22
'
(r ) dx dy dze
r r
ψ
−∫∫∫
Método de Hartree-Fock
![Page 50: Diseño Computacional de Materiales](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022012517/6191f4ed6063c57fb502248a/html5/thumbnails/50.jpg)
La función de onda satisface la ecuación de SchrÖdinger :
[ ]21 1 1
2m E V (r) 0∇ ψ + − ψ =h
Similarmente el otro electrón se mueve en un campo equivalente:
V2(r) = -22e
r+
2' ' ' '12
'
(r ) dx dy dze
r r
ψ
−∫∫∫
Que da lugar a una ecuación de SchrÖdinger análoga. Estas dos ecuaciones determinan la función de onda de cada electrón. Los campos V1 y V2 se llaman autoconsistentes. En la aplicación práctica se estima V1, se resuelve la ecuación de Sch. para 2ψ y luego se calcula V2 , así se obtiene una ecuación de Sch. para 2ψ y luego se recalcula V1. Si no coincide con la original estimada, esta última debe corregirse y el proceso continúa.
2 221 2 1 2
12
1W 2E e (r ) (r ) d dr
= − Ψ Ψ τ τ∫∫
![Page 51: Diseño Computacional de Materiales](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022012517/6191f4ed6063c57fb502248a/html5/thumbnails/51.jpg)
[ ]
[ ]
n n
n n
n n
1 1 2 2 1 1 2 2 1 2
1 2 1 1 2 2 1 2 2 1
222 22 1 12 12 2
211 11 2 12 12 1
2ik i
H d
H dE o
d
(r ) ( r ) H (r ) ( r )d d
( r , r ) ( r ) ( r ) ( r ) ( r )
1 2 W H G (r ) H G (r )2 r
1 2 W H G (r ) H G (r )2 r
1H2
∧∗ ∗
∧∗
∗ ∗
∧∗ ∗
∗
Ψ Ψ τ
Ψ Ψ τ≥
Ψ Ψ τ
Ψ Ψ Ψ Ψ τ τ
Ψ = ψ ψ ± ψ ψ
∇ + + − − ψ = ± + ψ
∇ + + − − ψ = ± + ψ
= ψ − ∇
∫
∫∫
∫ ∫
∫ k
ik i 2 k 2 212
2 dr
1G (r ) ( r )dr
∗
− ψ τ
= ψ ψ τ∫
![Page 52: Diseño Computacional de Materiales](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022012517/6191f4ed6063c57fb502248a/html5/thumbnails/52.jpg)
Diseño Computacional de Óxidos Magnéticos
PROBLEMA:Intercambio electrónico y correlación en sólidosHerramienta:Teoría del Funcional de la Densidad y Teoremas de Hohenberg y Kohn & Kohn y Sham
![Page 53: Diseño Computacional de Materiales](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022012517/6191f4ed6063c57fb502248a/html5/thumbnails/53.jpg)
Tipos de Materiales Magnéticos
diamagnéticos
paramagnéticos
ferromagnéticos
ferrimagnéticos
![Page 54: Diseño Computacional de Materiales](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022012517/6191f4ed6063c57fb502248a/html5/thumbnails/54.jpg)
Propiedades Magnéticas
Material paramagnético
Fuerzas débiles de interacción
Material ferrimagnético
Fuerzas intensas de interacción
![Page 55: Diseño Computacional de Materiales](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022012517/6191f4ed6063c57fb502248a/html5/thumbnails/55.jpg)
Ciclo de Histéresis Magnética
-15000 -10000 -5000 0 5000 10000 15000
-0,8
-0,6
-0,4
-0,2
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
Hc
Mr
MsMH
aplicado
Haplicado
0H
![Page 56: Diseño Computacional de Materiales](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022012517/6191f4ed6063c57fb502248a/html5/thumbnails/56.jpg)
Cerámicos Magnéticos
MO: óxido de metal grupo IIA (BaO - CaO - SrO)
6 Fe2O3 : 1 MOFerritashexagonales
M2O3: óxido de metal de tierra rara
5 Fe2O3 : 3 M2O3
Ferritasgranates
MO: óxido de metal de transición
1 Fe2O3 : 1 MOFerritas espinelas
![Page 57: Diseño Computacional de Materiales](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022012517/6191f4ed6063c57fb502248a/html5/thumbnails/57.jpg)
Aplicaciones de los Materiales Magnéticos
registro magnéticoimanes permanentespigmentos coloreadoscatalizadores cerámicosaplicaciones en dispositivos de microondasprotectores de corrosión (recubrimientos antioxidantes)ferrofluidosquímica ambiental y contaminación
![Page 58: Diseño Computacional de Materiales](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022012517/6191f4ed6063c57fb502248a/html5/thumbnails/58.jpg)
Ciclos de Histéresis magnética de Ferritas
![Page 59: Diseño Computacional de Materiales](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022012517/6191f4ed6063c57fb502248a/html5/thumbnails/59.jpg)
Ferrita EspinelaAB2O4
A (2+) B (3+) O (2-)a
b
c
x
y
z
Celda unidad: contiene 8 unidades AB2O4 (64 átomos)
Espinela inversa: B[A B]O4 A(sitios octaédricos) B(sitios octaédricos y tetraédricos)
![Page 60: Diseño Computacional de Materiales](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022012517/6191f4ed6063c57fb502248a/html5/thumbnails/60.jpg)
En los materiales ferro y ferrimagnéticos el espín resultante del sistema origina un momento magnético neto
Este permanece en algunas direcciones preferenciales: direcciones de fácil magnetización
Estas direcciones están separadas por una barrera de energía de anisotropía
Los cristales cúbicos (espinelas) tienen tres direcciones de fácil magnetización (ferritas blandas)
La hexaferrita de bario tiene una única dirección de fácil magnetización (eje c) (ferrita dura)
![Page 61: Diseño Computacional de Materiales](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022012517/6191f4ed6063c57fb502248a/html5/thumbnails/61.jpg)
Dominios Magnéticos
![Page 62: Diseño Computacional de Materiales](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022012517/6191f4ed6063c57fb502248a/html5/thumbnails/62.jpg)
H =T+VHartree+Vexterno+ Vxc
Electrones Interactuantes Partículas Ficticias +V REAL No Interactuantes
+V efectivo
![Page 63: Diseño Computacional de Materiales](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022012517/6191f4ed6063c57fb502248a/html5/thumbnails/63.jpg)
Teorema de Hohenberg-Kohn
Cada Potencial local uniparticular Vext corresponde exactamente a una densidad de estado fundamental nGS(r)
![Page 64: Diseño Computacional de Materiales](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022012517/6191f4ed6063c57fb502248a/html5/thumbnails/64.jpg)
Energía en función de la densidad
ei H ii xc
E=E[ ]E=E[ , ]E[ ] =Ts[ ] + E [ ]+E [ ]+ E [ ]+ E [ ]
ρ
ρ ρρ ρ ρ ρ ρ ρ
↑ ↓
2 '3 3 '
H '
' 3x c
e ( ) ( )E [ ] =2
E [ ] = ( ) ( )x c
r r d r d rr r
r r d r
ρ ρρ
ρ ρ ε ρ
−∫
∫
![Page 65: Diseño Computacional de Materiales](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022012517/6191f4ed6063c57fb502248a/html5/thumbnails/65.jpg)
Teorema H-K y FDTLos valores esperados en el estado fundamental dependen sólo de nGS
La variable es nGS(x,y,z) y NO ψ(x1y1z1...xN,yN,zN)Se determina EGS y nGS por minimización del funcional E[n]
[ ] [ ] [ ]
[ ]
[ ] ( ( ) ) 0
GS
GS GS
V
En n T Vc Vext n E
En E
En N n r drδ µ
= Ψ + + Ψ ≥
=
− − =
∫
![Page 66: Diseño Computacional de Materiales](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022012517/6191f4ed6063c57fb502248a/html5/thumbnails/66.jpg)
Diagrama de flujo para calcular EGS
![Page 67: Diseño Computacional de Materiales](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022012517/6191f4ed6063c57fb502248a/html5/thumbnails/67.jpg)
Estructura de Bandas de PbO
![Page 68: Diseño Computacional de Materiales](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022012517/6191f4ed6063c57fb502248a/html5/thumbnails/68.jpg)
![Page 69: Diseño Computacional de Materiales](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022012517/6191f4ed6063c57fb502248a/html5/thumbnails/69.jpg)
Método deMonte Carlo“Sistema de
partículas clásicas”
![Page 70: Diseño Computacional de Materiales](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022012517/6191f4ed6063c57fb502248a/html5/thumbnails/70.jpg)
Método de Monte CarloSistema de partículas clásicas
La función de partición (en equilibrio térmico) se puede calcular introduciendo técnicas de muestreo y aplicando la simulación de Monte Carlo.
( )Neq rrrp ,...,, 21
![Page 71: Diseño Computacional de Materiales](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022012517/6191f4ed6063c57fb502248a/html5/thumbnails/71.jpg)
Método de Monte CarloSistema de partículas clásicas
∏∫=
⋅−
=N
ii
TkrrrU
dreN
VTQ B
N
1
),...,,( 21
!1),(
( ) ( )
( )TkrrrU
NB
N
eVTQN
rrrp ⋅−
⋅⋅
=,...,,
21
21
,!1,...,,
![Page 72: Diseño Computacional de Materiales](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022012517/6191f4ed6063c57fb502248a/html5/thumbnails/72.jpg)
Método de Monte CarloSistema de partículas clásicas
),...,,(2 21
2
1N
iN
i
rrrUmp
H +⋅
=∑=
i
N
ii
TkH
N dpdreNh
Z B ⋅⋅
= ∏∫=
⋅−
⋅1
3 !1
( )VTQh
TkmZN
B ,)2( 23
2 ⋅⋅⋅⋅⋅
=⋅π
![Page 73: Diseño Computacional de Materiales](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022012517/6191f4ed6063c57fb502248a/html5/thumbnails/73.jpg)
Método de Monte CarloSistema de partículas clásicas
El vector ∆r es elegido al azarEl vector ∆r es elegido para que el cociente permitido del movimiento sea apenas mayor que el 10%.
![Page 74: Diseño Computacional de Materiales](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022012517/6191f4ed6063c57fb502248a/html5/thumbnails/74.jpg)
Método de Monte CarloSistema de partículas clásicas
N
r
r + ∆r
![Page 75: Diseño Computacional de Materiales](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022012517/6191f4ed6063c57fb502248a/html5/thumbnails/75.jpg)
Método de Monte CarloSistema de partículas clásicas
Este movimiento está permitidoSi una nueva configuración es energéticamente más estable que la configuración original Si el cociente de la función de partición de equilibrio entre la nueva posición y la anterior es mayor que un número al azar generado entre 0 y 1
![Page 76: Diseño Computacional de Materiales](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022012517/6191f4ed6063c57fb502248a/html5/thumbnails/76.jpg)
Método de Monte CarloSistema de partículas clásicas
( )n
rrV
⋅=σ
ε1
σ = (Ze)2
Ze = carga de las partículasr = posiciónn = muestra (partículas) ε = constante dieléctrica del medio
![Page 77: Diseño Computacional de Materiales](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022012517/6191f4ed6063c57fb502248a/html5/thumbnails/77.jpg)
Método de Monte CarloTécnicas Modificadas
Método Histograma
SISTEMA a T
ft (U)
T
W = exp(-U/kB.T)
ft’(U)= exp(-(β’-β).U)
T’
W = exp(-U/kB.T´)
U´ CV