Diseño y Análisis de Losas de Hormigón Armado Utilizando Métodos Plásticos

5/24/2018 Diseo y Anlisis de Losas de Hormign Armado Utilizando Mtodos Plsticos

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Instituto de Mecnica Estructuraly Riesgo Ssmico

HORMIGN IIUnidad 7:

DISEO Y ANLISIS DE LOSASDE HORMIGN ARMADO UTILIZANDO

MTODOS PLSTICOS.

Profesor:CARLOS RICARDO LLOPIZ.


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Contenido

7.1 INTRODUCCIN. TIPOS DE LOSAS

7.2 DIFERENTES MTODOS PARA EL ANLISIS Y DISEO DE LAS LOSAS7.3. ANLISIS POR LA TEORA DE LA PLACA ELSTICA

7.3.1 HIPTESIS7.3.2 ECUACIN DE EQUILIBRIO. DIFERENCIA ENTRE ELEMENTO VIGA

Y ELEMENTO LOSA7.3.3 SOLUCIN POR EL MTODO ELSTICO

7.4 CLCULO DE LOSAS DE HORMIGN ARMADO UTILIZANDO LA TEORA PLSTICA7.4.1 GENERALIDADES7.4.2 NECESIDAD DE UN COMPORTAMIENTO DCTIL PARA LA

APLICACIN DE LOS MTODOS PLSTICOS

7.5 MTODO DE HILLERBORG7.5.1 INTRODUCCIN7.5.2 FUNDAMENTO DEL MTODO DE LAS FAJAS DE HILLERBORG7.5.3 PROCESO DE DISEO7.5.4 EJEMPLO DE APLICACIN DEL MTODO DE HILLERBORG7.5.5 LNEAS DE DISCONTINUIDAD ORIGINADAS POR LAS ESQUINAS DE LAS

LOSAS7.5.6 BANDAS DE ARMADURA. LNEAS DE DISCONTINUIDAD

ORIGINADAS POR LOS LADOS DE LA LOSA7.5.7 EJEMPLO DE APLICACIN No17.5.8 EJEMPLO DE APLICACIN No2

7.5.9 BANDAS DE RESISTENCIA

7.6 MTODO DE LAS LNEAS DE ROTURA7.6.1 INTRODUCCIN FUNDAMENTOS7.6.2 ARMADURA DE LA LOSA7.6.3 DUCTILIDAD DE LAS SECCIONES DE LA LOSA7.6.4 COMPORTAMIENTO REAL DE LA LOSA7.6.5 FORMULACIN DE MECANISMOS DE COLAPSO. REGLAS PRCTICAS7.6.6 MOMENTOS DE RESISTENCIA NOMINAL EN LAS LNEAS DE FLUENCIA7.6.7 DETERMINACIN DE LA CARGA LTIMA7.6.8 RAZONES POR LAS QUE LA CARGA LTIMA OBTENIDA POR LAS LNEAS

DE ROTURA EN LA PRCTICA NO RESULTA SOBRESTIMADA

7.6.9 ANLISIS POR EL PRINCIPIO DE LOS TRABAJOS VIRTUALES7.6.9.1 FUNDAMENTOS7.6.9.2 EVALUACIN DEL TRABAJO INTERNO

7.6.9.2.1 TRABAJO A LO LARGO DE LAS LNEAS DE FLUENCIA7.6.9.2.2 EJEMPLO DE APLICACIN No17.6.9.2.3 DISIPACIN DE ENERGA EN UNA ZONA RGIDA7.6.9.2.4 EJEMPLO DE APLICACIN No2

7.6.9.2.5 EJEMPLO DE APLICACIN No3


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7.7 APLICACIONES PRCTICAS7.7.1 DEFINICIN DE ACCIONES SOBRE LAS LOSAS7.7.2 MTODOS DE ANLISIS7.7.3 LOSAS EN UNA SOLA DIRECCIN. MTODOS APROXIMADOS7.7.4 REDISTRIBUCIN DE ESFUERZOS7.7.5 REQUERIMIENTOS DE RIGIDEZ7.7.6 CALCULO DE DEFORMACIONES

7.7.6.1 INTRODUCCIN7.7.6.2 DEFORMACIN DIFERIDA

7.7.6.3 VIGAS Y LOSAS EN UNA DIRECCIN7.7.6.4 LOSAS EN DOS DIRECCIONES

7.7.6.4.1 LOSAS SIN VIGAS INTERIORES7.6.4.2 LOSAS CON VIGAS INTERIORES

7.7.7 REQUISITOS DE ARMADURAS

7.8 FLEXIBILIDAD DE LOS DIAFRAGAMAS4.8.1 GENERALIDADES4.8.2 FUERZAS DE INERCIA DE LOS PISOS4.8.3 DETERMINACIN DE LAS ACCIONES DE DIAFRAGMAS

7.9 REFERENCIAS

7.10 APENDICE A: Tablas del ACI-318

filename Emisin1

Emisin2

Emisin3

Emisin4

Emisin5

Emisin6

Emisin7

Obs.

Losas.doc Mar1987

Mar1992

Feb2001

Abr2003

Set2003

Mar2004

Jun2007

Pginas 53 53 53 34 47 104 77

Apnd.C enexcel

filename Emisin8

Emisin9

Losas.doc Abril2008

Octubre2009

Pginas 78 71


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7.1 INTRODUCCIN. TIPOS DE LOSAS

Las losas son elementos estructurales planos cuyo espesor es pequeocomparado con sus otras dimensiones, y que formando parte de los entrepisos,tienen como funcin estructural el soporte directo de las cargas que actan sobre

ellos, y la transmisin de las mismas hacia otros elementos estructurales comovigas, columnas y tabiques.

El tipo de carga ms comn que deben soportar las losas son las cargasverticales, provenientes de su peso propio y de elementos que forman parte de losentrepisos designadas como cargas permanentes y cuya notacin es D (Dead load)y sobrecargas de uso como el peso de muebles, personas, etc. designadas comocargas de uso o accidentales, con notacin L(Live load). Sin embargo, en zonas dealta sismicidad, como la que corresponde a la zona de Cuyo, las losas de hormignarmado tienen una importante misin en cuanto se refiere a la transmisin deacciones inerciales que se generan durante la ocurrencia de movimientos ssmicos.En estos casos, las fuertes aceleraciones que se inducen en un edificio debido a losmovimientos de su base, generan fuerzas inerciales, tanto horizontales comoverticales, que los entrepisos deben absorber y ser capaces de transmitir a loselementos con suficiente rigidez y resistencia lateral.

Las losas pueden clasificarse en general en dos categoras, de acuerdo al tipo deapoyo:

(i) Losas apoyadas en vigas, ver Fig. 7.1(a)(ii) Losas sin vigas (entrepisos sin vigas).

En el caso de losas sin vigas las cargas que ellas soportan son transmitidas acolumnas o tabiques, y se distinguen tambin dos casos, segn que la columnaposea o no capitel. Las Figs. 7.1(b) y (c) ilustran este tipo de losas.

En casos de losas apoyadas sobre vigas, como se muestra en Fig. 7.1(a), lascargas son transmitidas a vigas perimetrales del panel de losa. Dependiendo de larelacin Ly/Lx, las losas se pueden armar con armadura principal en una o dosdirecciones. Cuando la relacin de luces es mayor que 2, en general se puedeconsiderar a la losa formada por un haz de fajas paralelas a la direccin de la menorluz y de ancho unitario. Sin embargo, siempre es colocada una armadura de

reparticin en direccin perpendicular a la armadura principal. En las fajasadyacentes a las vigas de borde se debe tener en cuenta que aquella hiptesissimplificadora ya no es vlida y se debera proveer armadura adicional paralela a laarmadura de reparticin para compensar los esfuerzos adicionales que all segeneran. Sin embargo, la cantidad y forma de disposicin de las barras de acero enlas losas ser una funcin de la filosofa de diseo y anlisis en sus diversosmtodos que ms adelante se aplicar en detalle. Es decir entonces que existe otraposible clasificacin que es:

(i) Losas en dos direcciones.(ii) Losas en una direccin.


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Fig. 7.1Distintos tipos de losas.

De acuerdo a los materiales y procedimientos con que son construidas las losas,stas se clasifican en:

(i) losas tipos macizas o slidas.(ii) losas nervuradas.(iii) losas tipos alivianadas con elementos prefabricados.

Las losas macizas son aquellas que en todo su espesor, generalmenteconstante, estn constituidas por hormign con la adecuada cantidad de armadurageneralmente dispuesta en dos direcciones perpendiculares y que deben tomar losesfuerzos de traccin generados por los momentos flectores, torsores y el corte.

Las losas tipo nervuradas, que son una especie de variante de la losa slida,estn constituidas por nervios de hormign armado en forma de seccin T y

separados una distancia entre s que deben satisfacer ciertos requerimientos para su


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eficacia en resistencia y rigidez. La Fig.7.1(d) indica un esquema de losa tiponervurada. El uso de este tipo de losa permite una considerable reduccin delvolumen, y por lo tanto del peso propio de la estructura resistente de la losa, alsustituir por vaco una considerable zona del hormign que al estar en traccin nocolaborara para la resistencia. Por el contrario, permite el uso de nervios de

profundidad considerable que pueden aumentar notablemente no slo la resistenciasino tambin la rigidez del entrepiso por lo que su uso es muy atractivo para cubrirgrandes luces. Note que la reduccin de peso propio tambin implica reduccin defuerzas inerciales que se pueden inducir durante un sismo. Las losas nervuradas sepueden reforzar con armadura principal en una o dos direcciones, segn la relacinde luces y especificaciones que se vern ms adelante. La Fig. 7.2 muestra un casoutilizado en nuestro medio en losas nervuradas de edificios. Muchas veces en lugarde los elementos cermicos se colocan elementos de poliestireno expandido, comoencofrado perdido, que resultan en una losa mucho ms liviana y con muy buenascaractersticas de aislacin trmica. Esto tambin es usado en nuestro medio.

Fig. 7.2Caso de Losanervurada dondeSe usan ladrilloscermicos comoseparadores denervios.

Por ltimo, es importante mencionar el tipo de losas ms comnmente utilizadoen nuestro medio para construcciones bajas y que son las losas tipo alivianadas conelementos premoldeados. Podran considerarse como un caso especial de las losas

nervaduras, pero es conveniente colocarlas como un tercer tipo pues existendiferencias constructivas y de funcionamiento entre ellas. Por ejemplo, los nervios,que son viguetas prefabricadas, corren en una sola direccin, teniendo comoelementos de relleno entre s a elementos cermicos huecos que se los consideracomo estticamente inactivos, pero que permiten la composicin de una superficieinferior plana sobre la cual puede aplicarse directamente el cielorraso. Adems esoselementos de relleno sirven como aislante. La Fig. 7.3(a) indica los componentes dela losa alivianada prefabricada. Las viguetas, elementos (1) en la figura, songeneralmente de hormign armado pretensado. El elemento (2) es generalmente uncermico, o de poliestireno expandido, que en nuestro medio tiene una alturade12.50 cm o 16.50 cm en casos especiales. El elemento (3) es la capa de


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compresin, generalmente entre 3 a 5 cm de espesor, y que lleva una malla dereparticin de acero.

Tienen la ventaja de un rpido armado en obra con un sistema deapuntalamiento similar al que se muestra en la Fig. 7.3(b), formando parte de un

sistema de piso como se ilustra en la Fig. 7.3(c). La Fig. 4.4 muestra detalles tpicosde apoyos en vigas de hormign armado.

Fig. 4.3(a) Componentes de losasprefabricadas alivianadas.

Fig. 7.3(b) Apuntalamiento enlosas alivianadas.

Fig. 7.3(c) Vista del sistema depisos teniendo como elementoresistente la losa prefabricada.

Fig. 7.4 Detalles tpicos de apoyos de losas prefabricadas en vigas.

7.2 DIFERENTES MTODOS PARA EL ANLISIS Y DISEO DE LASLOSAS

En general pueden distinguirse dos filosofas para el anlisis y/o diseo desistemas de losas de hormign armado:

1. Mtodos basados en la teora elstica.

2. Mtodos basados en la teora plstica o anlisis lmite.


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Existen adems algunos mtodos que usan fundamentos de ambas teoras.Cualquiera sea el mtodo elegido, las losas deben satisfacer las siguientescondiciones:

(i) que bajo cargas de servicio, las deformaciones y fisuras deben

permanecer dentro de los lmites aceptables.(ii) que bajo estados de cargas excepcionales, posean una adecuadaductilidad y coeficiente de seguridad elevado para evitar el colapsode la misma. Es decir, cumplir requisitos de resistencia y ductilidad.

7.3 ANLISIS POR LA TEORA DE LA PLACA ELSTICA

7.3.1 HIPTESIS

La teora clsica de anlisis elstico se basa en las siguientes hiptesis:

a. la losa se comporta como formada de material istropo, homogneo y elsticopara estados de carga de servicio, y por lo tanto en ese rango es vlida la leyde Hooke

b. el espesor de la losa es suficientemente pequeo como para que se ignorenlas deformaciones por corte, pero a su vez ese espesor es suficiente comopara ofrecer resistencia a flexin (y no comportarse como una membrana), yque las deformaciones en su plano sean despreciables

c. la flecha en un punto cualquiera de la placa es pequea con respecto a suespesor

La distribucin de momentos y corte en las placas obtenidas a partir de estateora elstica es tal que:

1. las condiciones de equilibrio son satisfechas en cada punto de la losa2. se deben satisfacer las condiciones de contorno3. las tensiones son proporcionales a las deformaciones, o en otras

palabras, los momentos flectores son proporcionales a las curvaturaslo cual implica relacin constitutiva seccional lineal

7.3.2 ECUACIN DE EQUILIBRIO. DIFERENCIA ENTRE ELEMENTO VIGA YELEMENTO LOSA

Es importante reconocer el diferente comportamiento y mecanismo deresistencia de un elemento plano como el caso de una viga de un elementotridimensional como es el caso de un elemento losa, cuando ambos estn bajo laaccin de, por ejemplo, una carga uniformemente repartida q. La Fig. 7.5 muestra elcaso de un elemento de viga en equilibrio. De la Fig. 7.5(a) el equilibrio de cargasverticales nos indica que:

0. = dxdx

dVVdxqV

o sea:


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9

qdx

dV= (7.1)

siendo Vel corte sobre las caras del elemento viga. De la Fig. 7.5(b), del equilibriode momentos respecto al punto A, resulta:

02/.. =

+

+++ dx

dx

dMMdxdx

dx

dVVdxdxqM

y despreciando los trminos diferenciales de orden superior

Vdx

dM= (7.2)

o, para relacionar momento con cargas:

qdx

Md=

2

2

(7.3)

siendo las ecuaciones (7.1) y (7.3) las que definen las relaciones estticas de unelemento bidimensional sometido a flexin.

Figura 7.5. Equilibrio del elemento de viga

Diferente es el estado de equilibrio que se origina al analizar un elementoplaca, tridimensional, tal cual se muestra en Fig. 7.6. En ese caso la condicin deequilibrio de fuerzas verticales resulta en:

qdy

dVy

dx

dVx=+ (7.4)

y del planteo de la ecuacin de equilibrio de momentos segn Fig. 7.6(b), se tiene:


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10

2

2

dx

Md x +dxdy

Md xy2

2 + qdy

Md y=

2

2

(7.5)

Fig. 7.6. Equilibrio del elemento losa.

Se ven claramente ahora los distintos mecanismos de resistencia al compararlas ecuaciones (7.1) con (7.4) y (7.3) con (7.5). En el caso de viga slo tenemos unmomento Mque es el que est en el plano de las cargas. Para el caso del elementoplaca tenemos ms posibilidades, ya que son tres momentos de resistencia, dos deflexin y uno de torsin.

Las ecuaciones vistas anteriormente no resuelven totalmente el problema,pues el mismo se debe completar al establecer la compatibilidad de deformaciones ylas relaciones constitutivas.

Por compatibilidad de deformacin:

1

2

dxelstica

q


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dx

d===

longituddeunidad

Rotacincurvatura

pero

Zdw ejesegnntoesplazamiedx

dw

==

por lo tanto

ilidade compatibecuacin ddx

wd

2

2

=

y por relacin constitutiva:

EI

q

EIdx

Md

dx

wdo bienEI

M

dx

wd

EI

M====

1 2

2

4

4

2

2

De esta manera se llega a establecer la relacin entre las flechas w(x,y),y lacarga qque acta sobre el elemento. Para el caso de viga la ecuacin es:

EI

q

dx

wd=

4

4

(7.6)

donde EIes el mdulo de rigidez flexional de la viga, siendoE= mdulo de elasticidad del material (hormign)I= momento de inercia de la seccin.

Para el caso del elemento losa, se obtiene la ecuacin de Lagrange, que esuna ecuacin diferencial parcial de cuarto orden, con dos variables independientes:

D

q

dy

wd

dydx

wd

dx

wd=++

4

4

22

4

4

4

2 (7.7)

donde),( yxww= w es la flecha en un punto cualquiera de la losas de coordenadas (x,y),en

la direccin de la carga q.

D= rigidez a flexin de la placa = E. h3/ 12 (1- )h= espesor de la losa.= mdulo de Poisson.

7.3.3 SOLUCIN POR EL MTODO ELSTICO

El procedimiento general para solucionar el problema elstico de la viga o de la

losa es idntico en ambos casos, y consiste en determinar la ecuacin para la


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deformada de la viga o losa (ecuacin de la elstica que define la flecha), y luegopor derivacin de esa ecuacin obtener los esfuerzos internos. La ecuacin de laelstica debe satisfacer la ecuacin diferencial (7.6) para las vigas y (7.7) para laslosas, como as tambin las condiciones de contorno. Luego entonces los esfuerzosinternos quedan determinados a travs de las siguientes ecuaciones:

a. Momentos de flectores:

+=

2

2

2

2

dy

wd

dx

wdDMx (7.8.a.)

+=

2

2

2

2

dx

wd

dy

wdDMy (7.8.b.)

b. Momentos de torsores:

( ).dxdy

wdDMxy

= 1

2

(7.9)

c. Esfuerzos de corte:

+=

dy

dM

dx

dMV

xyxx (7.10.a.)

+=

dx

dM

dy

dMV

xyyy (7.10.b.)

d. Reacciones:

+=

2

3

3

3

2dxdy

wd)(

dx

wdDRx (7.11.a.)

+=

2

3

3

3

2dydx

wd)(

dy

wdDRy (7.11.b.)

La solucin de la ecuacin de Lagrange, desafortunadamente no es sencilla, yslo se han encontrado soluciones para un nmero limitado de casos. Con los

mtodos ortodoxos de integracin se pudieron al principio resolver casos muyparticulares como los de losa rectangular simplemente apoyada o empotrada, placacircular, algunos tipos de placas elpticas y triangulares, todos con cargauniformemente repartida o cargas concentradas simtricamente.

Las primeras soluciones para la ecuacin de Lagrange fueron encontradaspor Navier en 1820, quien us las series dobles de Fourier para describir lasdeformaciones y cargas de placas rectangulares simplemente apoyadas y con cargaarbitraria, ref. [2].

Una solucin ms general se obtiene por aplicacin del mtodo de Levy,

quien propuso un mtodo exacto para el caso de una placa con dos lados opuestos


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simplemente apoyados y pudiendo los otros dos lados admitir condiciones decontorno arbitrarias. Para este caso utiliz series simples de Fourier. Tambin por elmtodo de Levy se pueden obtener soluciones aproximadas para el caso de placasrectangulares muy largas con condiciones de borde arbitrarias en todos sus lados,ref. [2]. Cuando se menciona la palabra mtodo exacto hay que reconocer las

limitaciones que implica al tratarse de losas de hormign armado, salvo queestrictamente se hable del estado sin fisuracin alguna.

La aplicacin de los mtodos energticos para la solucin de placas fuedesarrollado por Ritz, basado en el principio de que la energa total de una placadeformada es mnima cuando existe equilibrio. Los mtodos de Rayleigh, Galerkin yKantorovich estn basados en aquel principio.

Otras soluciones en el rango elstico para placas han sido los obtenidos apartir del mtodo de las diferencias finitas y el mtodo de los elementos finitos,ref.[9]. Ambos son mtodos aproximados derivados de la teora elstica.

Por ltimo es importante destacar el advenimiento de otros mtodosaproximados, los que simplificando el planteo matemtico llevan a soluciones msgenerales. Algunos de estos mtodos, si bien tienen sus fundamentos en la teoraelstica, tienen en cuenta en forma parcial el efecto de las deformaciones plsticas.Uno de estos procedimientos es el de Marcus y otro de los ms utilizados es el deSiess-Newmark. Este ltimo es un procedimiento que se puede comparardirectamente con el mtodo de distribucin de momentos de Cross utilizado envigas.

7.4 CLCULO DE LOSAS DE HORMIGN ARMADO UTILIZANDO LATEORA PLSTICA

7.4.1 GENERALIDADES

El anlisis lmite o del estado ltimo reconoce que, debido a la plasticidad, esposible que ocurra una redistribucin de los momentos y los cortes ms all de loslmites dados por la teora elstica antes de que se alcance la capacidad ltima de lalosa.

Esta redistribucin de momentos es factible cuando la seccin de hormignarmado no est sobre armada. Una vez alcanzada la resistencia de fluencia, laseccin puede incrementar notablemente sus valores de curvatura con pocavariacin con relacin a la resistencia que corresponde al comienzo de plasticidadde la armadura traccionada. De esta forma, el anlisis lmite permite evaluar la cargaltima o mxima de la losa y la redistribucin de momentos y cortes para esta carga,suponiendo que las secciones de la losa son lo suficientemente dctiles como parapermitir que ocurra la redistribucin de esfuerzos internos.

Para determinar la carga ltima de un sistema de losas de hormign armadoexisten, de acuerdo a los teoremas de Prager, dos alternativas: un mtodo basadoen el lmite superior o un mtodo apoyado en los teoremas del lmite inferior.


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Los mtodos basados en los teoremas del lmite inferior dan como resultadouna carga ltima que o bien es la correcta o est por debajo de este valor; es decir,la carga ltima nunca es sobre estimada: se est del lado de la seguridad. El mtodoms conocido en este grupo es el de las fajas de Hillerborg.

Los mtodos basados en teoremas del lmite superior, por el contrario, llevana una carga ltima que es o la correcta o una que supera este valor. A este grupocorresponde el mtodo basado en la teora de las lneas de fluencia (a vecesllamadas lneas de rotura) de Johansen. En ste se postulan una serie demecanismos de colapso para el sistema de losas en estudio y de su anlisis, aquelque conduzca a la menor carga ltima se toma como el correcto o el msaproximado. Si no fuera el valor correcto la solucin sobre estimara en cierto rangola carga mxima que el sistema puede soportar.

Los trabajos de Prager y Hodge sobre anlisis lmite indican que la solucinexacta para placas no es siempre posible de obtener. En general la carga ltima o

de colapso estar comprendida entre estos dos lmites, superior e inferior. Unasolucin rigurosa de una placa en particular tender a que las cargas ltimasobtenidas por los dos procedimientos converjan, y de ocurrir este caso indicara quese ha encontrado la solucin exacta. Sin embargo, en hormign armado y en elrango inelstico, hablar de exactitud no es apropiado. Cualquier solucin, en laprctica, slo ser aproximada.

Como se ver luego, el mtodo de las fajas de Hillerborg es un mtodo dediseo, mientras que el de las lneas de fluencia es de anlisis. La Fig. 7.7 indica enforma esquemtica el significado de los valores dados por los teoremas de Prager.

Fig. 7.7Significado de los teoremas de Prager.

7.4.2 NECESIDAD DE UN COMPORTAMIENTO DCTIL PARA LA APLICACINDE LOS MTODOS PLSTICOS

La Fig. 7.8 ilustra la relacin constitutiva de una seccin de hormign armado,es decir el diagrama momento-curvaturas a travs del factor de rigidez de flexinEI.


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Fig. 7.8 Diagrama Momento vs. Curvatura de una seccin dctil.

De acuerdo a la teora elstica, los momentos son proporcionales a lascurvaturas de las secciones de la losa, y por lo tanto, slo existe una distribucin

de momentos elsticos para una capacidad de momento determinada. Sin embargo,de acuerdo a la teora plstica, cualquier nmero de distribucin de momentos esposible, dado que en rango inelstico los momentos no dependen de la curvatura.

Es por ello que si se selecciona una distribucin de momentos que esdiferente a la que resultara de la aplicacin de la teora elstica, debe ocurrir unaredistribucin de momentos antes de que se alcance la carga ltima. Rigurosamentehablando, aun en el diseo por la teora elstica se requiere de alguna redistribucinde momentos a menos que en los momentos usados para diseo de la armadura sehaya tenido en cuenta la compleja distribucin de rigideces que existen en una losauna vez que el hormign se ha fisurado en las zonas ms solicitadas. Por lo tanto,las soluciones que dan los anlisis lmites slo pueden ser aplicados a losas dehormign armado con secciones razonablemente dctiles. En la seccin 4.6.8 deeste trabajo se dan algunos valores de ductilidad en funcin de la cuanta de laslosas.

La relacin momento curvatura de la Fig. 7.8 es aproximadamente trilineal, enla que las discontinuidades de la curva con el correspondiente cambio brusco dependiente y reduccin de rigidez EI es debida a: (i) fisuracin del hormign entraccin; (ii) primera fluencia del acero en traccin; y (iii) deformacin ltima delhormign en compresin. El factor de ductilidad de curvaturas, para el caso de

material con comportamiento linealmente elstico-perfectamente plstico, LE-PP,est dado por:

y

u

=

De esta manera con seccin de hormign poco armada, las secciones de lalosa tendrn suficiente ductilidad. Es decir, el diagrama M-, tendr un tramo casihorizontal bastante amplio despus de la primera fluencia del acero, lo que permitirla redistribucin de momentos de las zonas ms solicitadas hacia las que an estnpor debajo de momento de fluencia. Esto permite que con la plastificacin casi total,se pueda alcanzar la carga ltima supuesta.


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7.5 MTODO DE HILLERBORG7.5.1 INTRODUCCIN

Hillerborg sugiri en el ao 1956 un mtodo para el anlisis de las losasreferido como teora del equilibrio y basado en el teorema del lmite inferior. Estemtodo de diseo puede ser enunciado as: Si es posible encontrar una distribucin

de momentos que satisfaga las ecuaciones de equilibrio de la placa y suscondiciones de borde para una carga externa dada, y siendo la placa capaz desoportar dichos momentos, entonces la carga externa representar un lmite inferiora la real capacidad ltima de la placa.

El objetivo fundamental de Hillerborg fue presentar un mtodo de diseoplstico que fuera simple y arrojara resultados del lado de la seguridad. La solucinas obtenida para la placa es tal que:

(i) son satisfechas las condiciones de equilibrio en todos los puntos de la placa.(ii) la condicin de resistencia a nivel de fluencia My no es excedida en ningn

punto de la placa, es decir:

( )[ ] ( )[ ]yqu

yxMyxM ,,

siendo el primer miembro el momento actuante en la placa en el punto (x,y)bajo lacarga de colapso qu, y el segundo miembro la resistencia de fluencia en ese punto.

(iii) son satisfechas adems las condiciones de contorno de la placa.Note que el mtodo no habla explcitamente de:

a. condiciones de la losa para el estado de serviciob. ductilidad de las secciones

pero ambas condiciones son importantes de verificar antes de que se adopte eldiseo definitivo.

7.5.2 FUNDAMENTO DEL MTODO DE LAS FAJAS DE HILLERBORG.Ya se vio anteriormente y qued expresado en la ecuacin (7.5) que el

equilibrio de un elemento de placa queda expresado a travs de la siguienteecuacin:

2

2

dx

Md x +dxdy

Md xy2

2 + qdy

Md y=

2

2

(7.12)

donde Mxy Myson los momentos flectores por ancho unitario en las direcciones x ey, mientras que Mxy es el momento torsor unitario y q la carga uniformementedistribuida por unidad de rea en el elemento (dx.dy).

De acuerdo a la teora del lmite inferior, cualquier combinacin de Mx, MyyMxy que satisfagan la ecuacin (7.12) en todos los puntos de la losa y lascondiciones de contorno bajo la accin de la carga ltima qu, ser una solucin dediseo vlida siempre y cuando se provea la armadura capaz de soportar aquellosmomentos. Por lo tanto, la carga ltima puede ser arbitrariamente distribuida entrecada uno de los tres trminos de la ecuacin de equilibrio antes escrita. Por ejemplo,


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17

qdy

Md

dx

Md yx=+

2

2

2

2

(7.12a)

es la variante ms simple del mtodo de Hillerborg y aparece cuando se impone que

Mxy=0, es decir que la carga sea totalmente soportada por flexin segn lasdirecciones xe y. As entonces la losa se puede visualizar como compuesta de dossistemas de fajas independientes (la torsin ya no las conecta) y que corren endireccin paralela a los ejes x e y. Esto es posible cuando no es condicinimprescindible movilizar los mecanismos de resistencia a torsin para que la losapueda resistir la accin externa, es decir, que si hay torsin la misma es porcompatibilidad (no por equilibrio). Este caso se designa como Mtodo Simple de lasFajas, para diferenciarlo de un trabajo posterior de Hillerborg que introduce elMtodo Avanzado de las Fajas (1964), en el que se analizan casos ms complejosde losas con re-entrantes, orificios, soportes sobre columnas y otros que necesitanconsiderar la torsin.

De esta manera, la Ecuac. (7.12a) se puede reemplazar por dos ecuacionesindependientes que representan la accin de las fajas sin interaccin de torsin:

2

2

dx

Md x = -q (7.13a)

2

2

dy

Md y = -(1-)q (7.13b)

donde es un factor de distribucin de cargas, seleccionado por el diseador y queest comprendido entre:

0 1

Si =1.0implica que toda la carga es soportada por la flexin de las fajas enla direccin x, y por el contrario, si = 0toda la carga es tomada por flexin de la fajaparalela a y.

Una caracterstica de este mtodo, presente tambin en el mtodo de laslneas de fluencia, es que para la distribucin de momentos entre las secciones de

flexin positiva y negativa, y entre las secciones que se apoyan en dos direcciones,la decisin es dejada al diseador. Esa libertad que el mtodo provee al proyectistapuede ser peligrosa si al no ser adecuadamente utilizada puede conducir al diseode losas que, aunque satisfagan los requerimientos de resistencia, puede que nocumplan con los requisitos de flecha y de fisuracin mximas admisibles para elestado de cargas de servicio. Este es un requisito de rigidez. Se entiende que lassecciones de la losa no deben sobre armarse para evitar la posibilidad de roturasfrgiles por falta de ductilidad. El hecho de asignar momentos con cierta libertaddebe entonces asegurar las condiciones de servicio. En 1972 el cdigo ingls yarecomendaba que cuando se utilizaba el mtodo de las fajas la relacin entremomentos negativos y positivos debera estar comprendida entre 1.0 y 1.5.


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7.5.3. PROCESO DE DISEOEl proceso de diseo es bastante simple y puede ser resumido en los

siguientes pasos, los que se grafican en la Fig. 7.9:

1. considerar la losa como formada por una malla de tiras o fajas, paralelas a lasdirecciones xe y,

2. dividir la losa en regiones o zonas de distribucin de las cargas,3. asignar valores de para cada regin, y que no necesitan ser estrictamente 0

1, sino intermedios4. aplicar la carga sobre cada una de las fajas, y en correspondencia con los

coeficientes de distribucin,5. separar la faja de la losa y con las condiciones de borde reales y el estado de

cargas correspondientes, proceder a laevaluacin de los esfuerzos internos,momentos y cortes, y las reacciones,

6. verificar que las deformaciones sean

similares para cualquier punto deencuentro de dos fajas perpendiculares.Si las deformaciones difieren demasiadose debe cambiar el sistema dedistribucin de cargas.

7. proveer la armadura adecuada parasoportar los esfuerzos computados.

Fig. 7.9Etapas para aplicar el mtodo de las fajas de

Hillerborg.

7.5.4 EJEMPLO DE APLICACIN DELMTODO DE HILLERBORG.

Se aplicar el mtodo descrito para eldiseo de una losa cuadrada, simplementeapoyada y que debe soportar una cargauniformemente repartida por unidad de rea

qu. De las varias soluciones posibles, sepresentan tres de muy simple desarrollo.

La primer solucin puede obtenerse alconsiderar un coeficiente de distribucin =0.50 constante para toda la superficie de la

placa, tal cual se muestra en la Fig. 7.10. Esto implica que la mitad de la carga esasignada uniformemente a las fajas en cada direccin. El momento mximo es(qu.l

2/16),y tiene un valor constante en las secciones de la mitad de la luz a travsde todo el ancho y largo de la losa.


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Fig. 7.10Losa cuadradasimplementeapoyada. Casode = 0.5

La segunda solucin se obtiene al dividir la losa en 3 regiones quecorresponden a la zona central, parte media de las fajas laterales y esquinas de lalosa, tal cual se ve en la Fig.7.11. Al asignar los valores de = 1.0, = 0.5 y = 0. 0,quedan definidas 3zonas. Note que en cada regin la sumatoria de los coeficientesde la reparticin en la direccin x e y debe ser igual a 1.0, es decir que en cadaregin la carga a distribuir es qu. En esta solucin hay slo dos tipos de fajas, la aayla bb. Ahora el mximo momento resulta ser (5/64 qu.l

2),y la distribucin de mximosmomentos es ahora constante en la mitad del ancho y en la mitad del largo de la

placa, como muestra la figura.

Fig. 7.11.Losacuadradasimplementeapoyadavariando segn fajasparalelas.


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La tercera solucin consiste en dividir la losa en regiones con lneas noparalelas a los ejes xo y. En este caso se toman 2diagonales, llamadas lneas dediscontinuidad, tal como lo muestra la Fig.7.12., quedando la losa fraccionada en 4tringulos. En este caso se considera que cada regin transmite la totalidad de sucarga al apoyo ms cercano. El momento mximo es ahora [(1/8).qu.l

2] y la

distribucin de los momentos mximos es una funcin parablica a travs de la luz lde la losa.Fig. 7.12Losa cuadradaapoyada condistribucin triangularde cargas.

Una cuartavariacin posible,cuya resolucin se

deja como ejerciciopara el lector, sepodra haberobtenido al proponeruna distribucin decargas concoeficientes escalonados comomuestra la Fig. 7.13.

Fig. 7.13Distinta configuracin de valoresde para distribucin de cargasen una losa cuadradasimplemente apoyada.

De las tres solucionesresueltas, se puede observarla variedad de distribucin de

momentos. Todas satisfacenlas condiciones de equilibrio ycontorno. Para este caso delosa simplemente apoyada eluso de la esttica fuesuficiente para ladeterminacin de los

esfuerzos que solicitan a la placa, a travs de cada faja.Es de inters observar el costo relativo que le corresponde a cada solucin con

respecto a los requerimientos de acero para los trescasos aqu analizados. El reade armadura es proporcional al momento por ancho unitario. Suponiendo que todaslas barras necesarias para los mximos momentos se prolonguen hasta los apoyos,


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y que se use la misma altura de losa, la cantidad de acero requerida en cada casoser proporcional al rea del diagrama de momentos mximos (Mx). Esas reasresultan:

(1/16. qu. l3) (3/64.qu.l

3= 333.21

1lqu ) (1/24.qu.l

3)

para las soluciones 1, 2 y 3 respectivamente. La relacin entre esas reas es,entonces, 1.0, 0.75 y 0.67, e indican los costos relativos entre las soluciones.

La solucin tres aparece como la ms econmica, pero esta conclusin puedevariar si las barras no se continan en toda la longitud l, sino hasta donde seannecesarias. Adems, segn la solucin tres, las barras deberan colocarse adistancias que variaran en forma continua, lo que no es nada prctico. Lo querealmente se hace es colocar a lo largo y a lo ancho de la placa bandas con ciertoancho prctico y con idntica armadura, tal cual se ver en ejemplos ms adelante.

7.5.5 LNEAS DE DISCONTINUIDAD ORIGINADAS POR LAS ESQUINAS DE LASLOSAS.

Las lneas de las losas que indican la distribucin de cargas en forma diferentese conocen como lneas de discontinuidad. Estrictamente, estas lneas dediscontinuidad pueden entrar a una esquina de losa con cualquier ngulo, pero stosson seleccionados sobre la base de que los momentos den una mayor economa dearmadura y que estn razonablemente de acuerdo con una distribucin demomentos elstica. Hillerborg sugiri las siguientes reglas:

1. donde se encuentren los lados simplemente apoyados, o dos empotrados, o

con iguales condiciones de borde, la lnea de discontinuidad debe ser labisectriz del ngulo, segn indica las Figs. 7.14(a) y 7.14 (b).

2. si un lado es simplemente apoyado y el otro es empotrado, la lnea dediscontinuidad ser como lo indica la Fig. 7.14(c).

Fig. 7.14 Posicin de lneas de discontinuidad en las esquinas a 90o. (a) ambos ladossimplemente apoyados, (b) ambos lados empotrados y (c) combinacin.

Hillerborg comenta en sus trabajos que la distribucin de cargas ms econmicapara el caso de una losa rectangular con todos sus lados simplemente apoyadoscomo el caso de la Fig.7.15 ocurre cuando el ngulo para el lado mayor es:

)/(tan 1 yx LL

= para LxLy


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Fig. 7.15 Lneas de discontinuidad.

7.5.6 BANDAS DE ARMADURA. LNEAS DE DISCONTINUIDAD ORIGINADASPOR LOS LADOS DE LA LOSA.

El problema que se presenta cuando la armadura es diseada de acuerdo alos momentos obtenidos del mtodo de las fajas con lneas de discontinuidadoriginadas por las esquinas de las losas es que sobre una gran porcin de la losa, siesta es rectangular, o cuadrada con condiciones de borde diferente en los lados quese encuentran, se requerir una variacin continua del espaciamiento entre lasbarras de acero. Esto es impracticable, y lo que Hillerborg sugiere es la colocacinde la armadura en forma uniforme en bandas de ancho razonable, y con unmomento de diseo para cada banda tomando como el momento mximo promediopara las fajas que corresponden a esa banda.

Fig. 7.16 Lneas dediscontinuidad que arrojanmomentos uniformes en lasbandas.

Wood y Armer hansealado que en lugar decomplicar los clculos delmomento al usar regiones

triangulares o trapezoidalesque se originan por laslneas de discontinuidad delas esquinas de las losas,

es conveniente trazar aquellas lneas paralelas a los lados de la losa, con lo que noes necesario tomar promedios de los momentos. La Fig.7.16 muestra el esquemapara este procedimiento. El ejemplo planteado en la Fig.7.13 es otro caso.

Como ejemplo de aplicacin se muestra el caso de la losa rectangularsimplemente apoyada de la Fig.7.17. Para este caso es conveniente tomar cuatrobandas con un ancho tal que franjas de borde sean de la luz menor de la losa (en


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este caso Ly/4). Por simple equilibrio de aplicacin de la esttica (ecuaciones deequilibrio) los momentos en la fajas son resueltos.

Fig. 7.17 Momentos Flectores y reacciones de apoyos para una losa uniformementecargada con todos los lados simplemente apoyados.

Otro ejemplo es presentado en la Fig.7.18, donde la losa tiene dos ladossimplemente apoyados y dos empotrados.


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En este caso, las lneas de discontinuidad se ubican de tal forma de tener encuenta la mayor capacidad de traccin de cargas del lado fijo con respecto al simpleapoyo. Aparece entonces un coeficiente que indica la extensin de las bandas.Para este ejemplo, Hillerborg sugiri tomar a Ly/2como ancho de la faja central en ladireccin x, y a (Lx-Ly/2)para el ancho de la franja central en la direccin y, como es

el caso de las franjas centrales de la losa central simplemente apoyada, segn sevio en la Fig. 7.17.

Fig. 7.18 Momentos flectores para una losa uniformemente cargada con dos ladosadyacentes empotrados y los otros dos simplemente apoyados.

Pese a que las bandas quedan como estructuras hiperestticas, losmomentos pueden ser fcil y rpidamente calculados al tomar como referencia las

secciones donde el corte es nulo. Para el caso de banda en la direccin x, utilizando


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el esquema de la Fig.7.19, se obtienen momentos y reacciones. Para el caso de lasfajas centrales en la direccin y, utilizando como base los conocimientos de estticaaplicados en la Fig.4.20., y si se toma como distancia del apoyo derecho hasta elpunto de corte nulo = mximo momento a yL= , entonces el esquema de la Fig.

7.21 servir para el clculo de los momentos y reacciones. El valor de aseleccionar depender de la relacin entre el momento negativo y el positivo. Se veclaramente en la Fig.7.18. que la relacin vale:

R = M(-) / M(+) = (1-2) / 2 (7.14)por lo que se tiene:

0.366 0.387 0.414R 2.0 1.5 1.0

Los valores de se toman normalmente entre 0.36 y 0.40. La tcnica de

elegir anchos desiguales para las regiones externas, a los efectos de obtener unazona con momento positivo constante, y a travs de un valor de que es unafuncin de la relacin R que el diseador desea, es slo necesaria cuando lascondiciones de apoyo de cada extremo de la faja son diferentes. Si ambos extremosson fijos o simplemente apoyados= 0.50, tal cual se ve en la Fig.7.17. Adems, larelacin entre el mximo momento negativo y el mximo positivo para el caso deambos extremos empotrados no es una funcin de , sino una decisin deldiseador.

Fig. 7.19. Resolucin de una faja empotrada y apoyada sometida a carga discontinua qu.


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Fig. 7.20.

Solucin de faja empotrada y apoyadasometida a carga continua qu.

Fig. 7.21

Una solucin plstica de viga empotrada yapoyada bajo carga continua qu.

7.5.7 EJEMPLO DE APLICACIN No 1.

Dada la losa rectangular de 9mx6m segn la Fig.7.22., con dos ladossimplemente apoyados y dos empotrados, sobrecarga de servicio uniformementerepartida de 700 kgr/m2, usar hormign de fc= 250 kgr/cm

2 y acero de fy= 4200kgr/cm2. Disear el panel con la armadura necesaria. Verificar el corte.


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(c) Armadura Superior (d) Armadura Inferior

Fig. 7.22 Ejemplo No1

Pasos a seguir:1. Estimacin de altura y peso propio:

Segn el CIRSOC 2005, la altura mnima, para apoyos sobre vigas de ciertarigidez, debe ser:

mm

fl

h

y

n

90936

14008.0

+

+

(7.15)

h = espesor de la losa.

nL = luz libre mayor de la losa.

yf = resistencia a fluencia de la armadura [MPa].

= relacin de esbeltez de la losa = luz mayor/luz menor.


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Para este caso:Ln = 900 cm = 9/6 = 1.5 hmin= 20cm

Se adopta h = 25 cm simplemente para seguir con el ejemplo tomado en ref[1], puesse podra adoptar 200mm de altura total.

Entonces resulta la carga por peso propio igual a:0.25m x 2400 kgr/m3= 600 Kgr/m2

2. Calcular la carga ltima para el diseo:

Aplicando el criterio del ACI-318, (note que en versin 2005 los factores deamyoracon de cargas son 1.2 para D y 1.6 para L: se sigue ejemplo de versinanterior) donde

qu= 1.4 x qu(D) + 1.7 qu(L)

qu= 1.4 x 600 + 1.7 x 700 = 2030 krg/m2

dondequ(D)=carga de peso propio (muerta).qu(L)=sobrecarga de servicio (accidental).

3. Calcular los momentos sobre las fajas:

Segn Fig. 7.22(b). Para ello hay que definir el coeficiente , el cual es unafuncin de R. Si se toma esa relacin igual a 2, (note que la solucin esttica daraR= 1.78segn Fig. 7.20), resulta = 0.336. La Fig.7.22(b) ilustra los diagramas demomentos, y los valores numricos son dados en la tabla correspondiente a esafigura.

4. Armadura de losas.

Es conveniente verificar primero el momento resistente que corresponde a lacuanta mnima, que se define para control de tensiones de retraccin y temperatura.Si se toma como cuanta mnima 0.18%(ACI-318-2005) resulta:

cmcmAs

25.1000018.0 minmin ==

Asmin= 4.5 cm2/m

utilizando barras de 10mmcada 18cm, la armadura es

As= [(100/18) + 1] x 0.79 cm2 = 5.17cm2/m

y se utilizar el criterio del ACI-318 para determinar la resistencia a flexin, al usar el

diagrama de compresin de tensiones equivalentes de Whitney:


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Mu= As fy[d 0.59c

ys

bf

fA

`]

Donde:

d = h r = 25 3 =22cmr= recubrimiento de la armadura

y para = 0.9como coeficiente de reduccin de resistencia, se tiene

(Mu min)resist. = 4394 kgrm/m

y es claro, entonces, que las nicas fajas que requieren armadura por sobre lamnima son las que estn en la banda central 1-1.

Para el momento negativo se adopta = 12mm cada 9 cm

As= 13.56cm2/m = 0.0054 = 0.54%

Mu= 11057 Kgrm/m > 9793 kgrm/m

Verificar si esta armadura no supera la mxima permitida por requerimientosde ductilidad. Para zonas ssmicas el ACI-318 estipula que

b 50.0 (7.16)

donde la cuanta balanceada es:

ys

s

y

cb

fE

E

f

f

+=

.003.0

003.0.

1.'.85.0 (7.17)

y en este caso resulta:%4.2024.0 ==b y %54.0%2.15.0 >=b

Para calcular hasta donde debe extenderse la armadura superior delmomento negativo, un criterio es prolongarla hasta el punto donde el momento se

hace nulo y adicionar un tramo igual a ho a 12.En la Fig.7.22(c) se determina lalongitud de las barras negativas dentro de la placa (para el apoyo tambin se debeprolongar). Para h= 25 cm y 12= 14.4 cmla longitud requerida es 1.61m + 0.25 m=1.81 m adoptndose l(-) = 2.0m.

Para el momento positivo mximo, dado que es la mitad del M(-)max , sepuede adoptar 12 mmcada18cm, con lo que As= 6.78cm

2/m, y

Mu = 5718 kgrm/m > 4896 kgrm/m

5. Detalle de armadura.


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La Fig.7.22(d) indica el detalle de armado. Tngase en cuanta la armaduramnima requerida por especificacin de cdigos.

6. Verificacin al corte.

El Cdigo ACI-318-2005 estipula que si el corte demanda o requerido, vu,obtenido a partir del anlisis estructural, cumple vu< vc, no se necesita armadurade corte, donde la tensin de corte requerida o demanda es:

vu= Vu/ b.d

siendo vcel corte aportado por el hormign solamente y viene dado por:

2/40.825053.0'53.0 cmkgrfv cc ===

(note que esta expresin es idntica a utilizar la de 17.0 cc fv = en MPa)

y afectado por el factor = 0.75(ACI-318-2005), resulta vc= 6.30 Kgr/cm2, que es el

corte mximo que puede soportar el hormign sin armadura de corte.

vu= (1 - ) qu. Ly= 7722 kgr/my entonces resulta:

vu= 3.50 kgr/cm2< 6.30 kgr/cm2

Esto normalmente ocurre en las losas de hormign armado donde el esfuerzoque controla es el de flexin, y no es necesario en la mayora de los casos utilizar elacero para soportar esfuerzos de corte, es decir el trmino vsque corresponde almecanismo de reticulado, como se ver en el captulo de corte, no es movilizado.

7.5.8 EJEMPLO DE APLICACIN No2.

Un panel interior rectangular de una losa continua posee una luz de 4m x 6m,segn Fig.7.23. Soporta una carga uniforme de servicio de L=700 kgr/m2y la cargaD esslo el peso propio de la losa. Usar fcy fycomo Ejemplo No1. Para este caso=0.50.

1. Espesor de la losa.para = 1.5 s = 1.0 l= 600cm

hmin = 13cm se adopta h = 14 cm d = 11cm

2. Carga ltima de diseo.qu= 1.7 x 700 + 1.4 x 2400 x 0.15 = 1700 kgr/m

2


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Fig. 7.23. Ejemplo No

2


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3. Determinacin de los momentos de diseo para las fajas tpicas.En este punto el diseador debe tomar una decisin con respecto a la relacin

entre momento negativo mximo y momento positivo mximo. Se adopta unarelacin de 1.5. De esta manera, los momentos de diseo se pueden determinarobteniendo los momentos estticos para cada faja y asignando 60% de este al

momento negativo y 40% al positivo.

faja 1-1Mestt.= quLY

2/8=7650kgr

faja 2-2

Para este caso el momento esttico se obtiene al reconocer el esquema deFig. 7.23, del que resulta:

Mest. = q (L1)2/2, y en este caso es

q = qu/2 y L1= Ly/4Mest.= quLy

2/64 = 956 kgrm

(note que para la faja 1-1 esq =qu y L1= Ly/2).

faja 3-3q = qu L1= Ly/ 4Mest.= quLy

2/32 = 1912 kgrm

faja 4-4Los momentos son la mitad de los de la faja 3-3.

Una vez obtenidos los momentos estticos, se le asigna el 60% para el momentonegativo y el 40%para el positivo, segn se ve en la tabla de la Fig. 7.23.

4. Armaduras.Para la cuanta mnima, 0.18%, Asmin= 2.52 cm

2/my adoptando 8mm cada 20 cm As = 2.51 cm

2/m

Mu= 1390 kgrm/m

La faja 1-1 requiere ms armadura que la mnima. Con 8mm cada 7cm,As=7.64cm2/m, y corresponden las siguientes resistencias:

Mn= 3450 Kgrm/m, resistencia nominal.

Md= 0.90 x 3450 = 3105 kgrm/m > Mu= 3090 kgrm/m

Para la armadura negativa se adopta 10mm cada 7cm, con lo cual As= 12 cm2/m

Mn= 5100 Kgrm/m, resistencia nominal.

Md= 0.90 x 5100 = 4590 kgrm/m = Mu= 4590 kgrm/m


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5. Detalle de armado.

Se muestra en Fig.7.23.

6. Verificacin al corte.

Vu= quLy/2 = 3400 kgr/mvu= 3400 /100 x 11 = 3.09 kgr/cm

2< Vd= 6.30 kgr/cm2

7.5.9 BANDAS DE RESISTENCIA.

El mtodo de las fajas simples de Hillerborg no puede resolver el caso de losacon aberturas, entrantes de esquinas y entrepisos sin vigas soportados porcolumnas, sin el uso de franjas de mayor resistencia que ayuden a distribuir lascargas a los soportes.

Una banda o franja de resistencia es una faja de ancho razonable quecontiene una concentracin de armadura y por lo tanto acta como una viga dentrode la losa. Esa faja de losa puede tener profundidad mayor que el resto del panel sifuera necesario.

El uso de las bandas de resistencia se puede apreciar en los casospresentados en las Figs. 7.24, 7.25, 7.26 y 7.27 Como ejemplo de aplicacin sepuede consultar a Ref. [1], pg. 242.

Fig. 7.24. Losas con cargauniforme y re entrantes.

Fig. 7.25Losas triangulares con carga uniformesoportadas en dos lados.


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Fig. 7.26(a ) Losa con carga uniforme y con una columna como soporte (b) Losa con cargauniforme y un lado libre de apoyo.

Fig. 7.27Losa con carga uniforme,apoyos simples y conaberturas.

7.6 MTODO DE LAS LNEAS DE ROTURA.

7.6.1 INTRODUCCIN FUNDAMENTOS.El mtodo para el anlisis lmite de losas de hormign armado conocido como

teora de las lneas de fluencia fue iniciado por Ingerslev (1923) y luego extendido

por Johansen (1943). A diferencia del mtodo de Hillerborg, el mtodo de las lneasde rotura responde a la teora del lmite superior, por lo que tericamente es unmtodo que tiende a sobreestimar la capacidad resistente de la losa. Esta cargaltima de la losa es evaluada al postular un mecanismo de colapso que escompatible con las condiciones del borde.

El mecanismo de rotura queda dibujado al trazar sobre el panel las lneas dearticulacin plstica o lneas de fluencia. La Fig. 7.28(a) muestra el resultado de unensayo sobre losa rectangular y la (b) indica un tipo de mecanismo de colapso paraun panel de losa cuadrada con apoyo simple. En esas lneas crticas se consideraque se han alcanzado los momentos de resistencia ltimos de la seccin. La carga

ltima es luego evaluada siguiendo el principio de los trabajos virtuales o las


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ecuaciones de equilibrio. Las regiones de la losa comprendidas entre las lneasplsticas no son examinadas para asegurar que en ellas no se excede el lmite deresistencia, pero ello nicamente ocurrira si se utilizara un mecanismo de colapsoincorrecto. Por lo tanto, al utilizar este mtodo, es necesario examinar todos losmecanismos posibles por los que la losa puede fallar para asegurar que, mediante la

eleccin de la carga ltima menor entre todos los mecanismos, la capacidad de lalosa no fue sobre evaluada.

Fig. 7.28 (a) Distribucin real fisuras para una losa rectangular simplemente apoyaday sometida a carga uniforme, (b) Lneas de fluencia de una losa cuadrada apoyada y con

carga uniforme.

Los mecanismos de colapso correctos para los casos ms comunes sonbastante conocidos (se han realizado numerosos ensayos al respecto) y por lo tantoel diseador no se ve confrontado con el problema de dilucidar si existen otrosposibles modos de falla como alternativas a los propuestos.

Debe quedar muy claro que la teora de las lneas de fluencia supone unmodo de falla por flexin, esto es, que la losa tiene suficiente resistencia al cortecomo para prevenir una falla por corte.

En definitiva el mtodo del lmite superior postula un mecanismo de colapso parala losa a carga ltima tal que:

(i) los momentos de las articulaciones plsticas no son mayores que elmomento resistente ltimo de la seccin.

(ii) el mecanismo de colapso es compatible con las condiciones de contornode la losa.

7.6.2 ARMADURA DE LA LOSA.La teora de las lneas de fluencia es aplicable a losas que son armadas en

forma uniforme (note la diferencia sustancial respecto del mtodo de Hillerborg).Esto significa que el rea seccional de acero por ancho unitario se asume comoconstante a travs de la losa, pero puede ser diferente para la armadura en cadadireccin y diferente para la armadura superior e inferior. Para tales losas elmomento resistente ltimo por ancho unitario tendr un valor constante a lo largo decualquier lnea recta en el plano de la losa. Generalmente la armadura es colocadaen dos direcciones perpendiculares.


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En cuanto a distancia entre las barras de acero, el cdigo ACI-318-2005, y elCIRSOC-201-2005, establecen que en zonas crticas la armadura principal no debeexceder 2 veces el espesor de la losa h. En cuanto a cuanta, la mnima est dadapor la expresin 0.756/fy[MPa]= 0.18%para el acero de fy= 420MPa=4200 kgr/cm

2, yen este caso la separacin mxima debe ser menor de 5 veces la altura de la losa y

no superar 450 mm. Para la cuanta mxima, se impone el lmite que c/d0.0286, verluego. Esto es para tener seguridad de que es posible la redistribucin de esfuerzos.

7.6.3 DUCTILIDAD DE LAS SECCIONES DE LA LOSA.

Tal como se mencion en la seccin 7.4.2, es necesario que las seccionessean lo suficientemente dctiles como para permitir que ocurra la rotacin plsticaen las zonas crticas mientras que la articulacin plstica se va extendiendo a lasotras zonas de la losa. Ello posibilitar la significativa redistribucin de momentosque es necesaria para que la losa pueda desarrollar el mecanismo de colapsopropuesto, es decir que se alcance la plastificacin casi total de la losa. Slo en ese

caso es posible evaluar la capacidad a partir de la contribucin de todas las lneasque han fluido.

Uno de los parmetros ms influyentes en la capacidad de absorcin y dedisipacin de energa que tendr la seccin es la cuanta de armadura de traccin.La Fig. 7.36 muestra una seccin de losa de hormign armado que ser analizadapara dos tipos de acero, fy

= 2400 kgr/cm2y fy= 4200 kgr/cm2(aceros tipo I y tipo III

en nuestro medio), tomando diferentes cuantas para ver su influencia en el valor dela ductilidad de curvaturas.

La siguiente tabla resume los resultados de ese anlisis:

Tabla 7.1 Momentos y Ductilidades para diferentes cuantas de acero y diferentescalidades de acero.

fy= 240 Mpa = 2400 kgr/cm2

Momentos (tcm)% Mcrk My Mu s(%)

0.3 36 46 49 38 5.50.5 36 75 80 21 3.11 37 145 152 9 1.4

1.5 39 212 216 5 0.82 40 277 271 4 0.5

fy= 420 Mpa = 4200 kgr/cm2

Momentos (tcm)% Mcrk My Mu s(%)0.2 36 57 59 18 4.40.3 36 85 88 11 2.80.5 36 137 140 6 1.5

1 38 266 254 3 0.6


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37

Estos valores fueron calculados mediante el programa de anlisis de seccionesde hormign armado sometido a flexocompresin MOCURDU (MOment CURvature DUctility), Ref. [10], segn los lineamientos propuestos por Park yPaulay, Ref. [5].

La nueva norma ACI-318-2005, ref.[13] y el CIRSOC-2005, ref.[14], exigenque para usar un coeficiente de reduccin de capacidad igual a 0.90, es decir quecorresponda a flexin, la deformacin del acero en la zona traccionada debe semayor del 0.50%.Sin embargo, el requerimiento de la norma ACI-318-1999, ref.[15]que exiga para redistribucin mx


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38

7.6.5 FORMULACIN DE LOS MECANISMOS DE COLAPSO. REGLASPRCTICAS.

Una vez que el mecanismo de colapso se ha desarrollado, las deformacionesplsticas a lo largo de las lneas de fluencia son mucho mayores que las

deformaciones elsticas de los segmentos o zonas de losas entre esas lneas, y porlo tanto en teora es razonable suponer que las zonas de losa entre lneas de roturason y se conservan planas. Esto significa, en otras palabras, que el modelomatemtico para representar la ley constitutiva es de seccin rgidamente elstica-perfectamente plstica, RE-PP, tal como lo muestra la Fig.7.30. En consecuencia,las deformaciones elsticas son ignoradas. Slo interesa llegar a formar la rtulaplstica, y de all en ms se considera que la seccin tiene la ductilidad requerida.

Fig. 7.30Relacin M-idealizada como RE-PP

Las reglas prcticas bsicas que pueden enunciarse como generales para laformulacin de un correcto mecanismo, y que pueden verificarse segn la Fig. 7.31,son las siguientes:

1. Las lneas de fluencia (ab, bc, etc) son rectas y siempre terminan en loscontornos de la losa o en otra lnea de rotura.

2. La losa queda dividida en forma completa por las lneas de articulacinplstica en zonas rgidas (1, 2, 3 y 4) que permanecen como planos rgidos(planos inclinados). Por lo tanto cada zona rgida debe tener un eje derotacin.

3. Los ejes de rotacin de las zonas rgidas generalmente yacen a lo largo delas lneas de apoyo. Si es simplemente apoyado, la articulacin de apoyo esel eje. Si es empotrado, se formar una lnea de articulacin plstica que

servir como eje de rotacin. Si el apoyo se realiza sobre columnas, el eje derotacin debe pasar por sobre el eje de las columnas.

4. Por compatibilidad de deformaciones, una lnea de rotura debe pasar a travsde la interseccin de los ejes de rotacin de las dos zonas rgidas que esalnea de fluencia divide (caso de la lnea abque divide 1 y 3 y se encuentracon el punto de interseccin de e1e1y e3e3).

De esta manera, en forma simple se pueden formular los mecanismos de colapsode losas que se muestran en la Fig. 7.32.


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Fig. 7.31Lneas de fluencia. Zonas rgidas. Ejes de rotacin.

Fig. 7.32Ejemplos de configuracionesde lneas de fluencia paralosas con carga uniforme.


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7.6.6 MOMENTOS DE RESISTENCIA NOMINAL EN LAS LNEAS DE FLUENCIA.

Para una lnea de fluencia que ocurre perpendicular a la direccin de lasarmaduras, para el estado lmite esquematizado en la Fig. 7.33, el momentoresistente nominal est dado por la expresin, ref. [5], por:

=

c

ys

ysnbf

fAdfAM

`59.0 (7.19)

(a) porcin de losa (b)seccin transversal (c) deformaciones (d) tensiones

Fig. 7.33 Hiptesis para evaluacin de la resistencia nominal a flexin.

Para el diseo se debe usar, ACI-318-2005, un coeficiente de reduccin decapacidad = 0.9, en el caso que la deformacin mxima de traccin, s,supere elvalor de 0.5% (para redistribucins0.75%).Para el caso comn de losa armadaen ambas direcciones xe y, los momentos por unidad de ancho Mnxy Mnysern, en

general, diferentes, porque las reas de acero Asx y Asy, y las profundidadesefectivas, dxy dy, sern diferentes en ambas direcciones. Adems, con frecuencia esnecesario determinar el momento resistente nominal por unidad de ancho a lo largode una lnea de fluencia que est con un ngulo diferente a 90con respecto a losejes xe y(caso de las lneas aben la Fig. 7.31). Para este caso general, tal como sedemostrar a continuacin, existirn, adems de momentos flectores, momentostorsores a lo largo de las lneas plsticas. Para obtener ese momento flector Mn ytorsor Mntse puede aplicar el criterio de fluencia de Johansen. Este criterio suponeque:

1. la lnea de fluencia real puede ser remplazada por una lnea tipo escaln, esdecir discontinua, de pasos paralelos a xe y, tal como se ve en la Fig. 7.34.

2. los momentos torsores que actan en esos escalones segn x e y son nulos(notar que en Fig. 7.34 no existen torsores en los escalones ac y bc ).

3. la resistencia de la seccin no se ve influenciada por la posibilidad de que lasbarras de acero se doblen en la fisura, tal cual se ve en la Fig. 7.34, o porcondicin de flexin biaxial en la zona de compresin del hormign.

4. el acero que cruza la lnea de rotura en ambas direcciones est en fluencia.


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Los ensayos sobre losas han demostrado que este criterio es bastanteexacto.

De acuerdo a la Fig.7.34, los componentes Mnx y Mny que contribuyen almomento de resistencia nominal de flexin Mny al momento de resistencia nominal

a torsin Mnt, pueden encontrarse al considerar el equilibrio de un pequeo elementotriangular tomado de la lnea de fluencia. Tomando momentos respecto al lado ab, elmomento ltimo de resistencia, por ancho unitario que acta perpendicular a la lneade fluencia es:

senbcMacMabM nynxn ..cos... +=

22 .cos. senMMM nynxn += (7.20)

y tomando momento con respecto a un eje perpendicular al lado ab, el momentotorsor por ancho unitario a lo largo de la lnea de articulacin es:

cos....cos..cos..... senabMsenabMbcMsenacMabM nynxnynxunt ==

cos..senMMM uyuxunt = (7.21)

Si fuera Mnx= Mny, resulta:

Mn= Mnx= Mny

Mnt= 0 (7.22)

y para este caso la losa dice isotrpica, pues Asx= Asyy los momentos resistentesltimos son iguales para todas las direcciones. En este caso, es evidente que nohace falta calcular el momento que acta perpendicular a la lnea de rotura, ya queslo basta calcular uno de los momentos con respecto a la direccin de lasarmaduras.

Fig. 7.34(a)Criterio de fluencia para losas dehormign armado. Elemento de losa conun campo de momentos aplicados ylneas de fluencia.


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Fig. 7.34(b)Lnea de fluencia con ngulo arbitrarioy armadura ortogonal, y equilibrio deun elemento de losa pequeo en lalnea de fluencia

Cuando uyux MM , es

evidente que el momento ltimo deresistencia depende de lainclinacin de la lnea de fluencia, yque existe, adems, momentotorsor. En este caso la losa sellama ortotrpica.

7.6.7 DETERMINACIN DE LA CARGA LTIMA.El primer paso para la solucin de una losa por el mtodo de las lneas de

fluencia consiste en, de acuerdo a las reglas prcticas ya enunciadas, postular losmecanismos de colapso. En general, los modelos o configuraciones de lneasplsticas tendrn dimensiones incgnitas que permiten ubicar correctamente laslneas de rotura y, adems, podr existir ms de una familia de lneas de articulacin(varios mecanismos de colapso) para una losa en particular. El diseador deberasegurar que todos los modos posibles de falla son explorados, pues el correcto esel que da la menor carga ltima y, entonces, si un modelo de rotura no se postul, lacarga ltima as calculada podra resultar sobrevaluada (mtodo inseguro).

La carga ltima puede ser calculada de dos maneras diferentes:(i) utilizando el principio de los trabajos

virtuales.(ii) aplicando las ecuaciones de equilibrio.

Cada mtodo tiene sus ventajas sobre el otro,dependiendo del caso particular a analizar.

Fig. 7.35Curvas tensin-deformacin del acero.

(a) Modelo LE-PP que exige el cdigo para flexin.(b) Modelo LE-LP que tiene en cuenta de alguna maneracierto endurecimiento de post fluencia.(c) Modelo ms real.


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7.6.8 RAZONES POR LAS QUE LA CARGA LTIMA OBTENIDA POR LASLNEAS DE ROTURA EN LA PRCTICA NO RESULTA SOBRESTIMADA.

El mtodo de las lneas de fluencia, como ya se mencion, est basado en lateora del lmite superior. Tericamente entonces, se constituye en un mtodo

inseguro. Sin embargo, hay dos razones, entre otras, que hacen que en la prcticala carga ltima est del lado de la seguridad:

1. La relacin momento-curvatura adoptada para el diseo se idealiza a uncomportamiento rgidamente elstico-perfectamente plstico. Sin embargo, eldiagrama real es otro, en el cual la resistencia ltima de la seccin dehormign armado es mayor si se tiene en cuenta el efecto del endurecimientodel acero despus de la fluencia. La Fig. 7.35 indica este aspecto.

2. No se consideran los efectos de accin de membrana de la placa, como astambin la contribucin de los momentos torsores.

Fig. 7.36 Estados de deformacin y tensin para (a) fluencia, (b) resistencia nominal.

La Fig. 7.36 muestra las suposiciones usuales para evaluar los momentospara estado de fluencia y de rotura en flexin. Cuando el hormign en compresinalcanza el valor de 0.003la deformacin del acero puede ser muchas veces mayor,por lo cual la tensin y contribucin al momento de rotura puede ser bastante mayorque la postulada por los cdigos con su modelo sin endurecimiento.

7.6.9 ANLISIS POR EL PRINCIPIO DE LOS TRABAJOS VIRTUALES.7.6.9.1 Fundamentos.

Supongamos que un cuerpo rgido se encuentra en equilibrio bajo la accinde un sistema se fuerzas. Si a ese cuerpo se le da un desplazamiento virtual(pequeo y compatible con las condiciones de vnculo), la suma del trabajo realizadopor las fuerzas ser nulo, pues la resultante de las fuerzas es cero. Para analizaruna losa por el mtodo del trabajo virtual, se debe postular un mecanismo decolapso con las lneas de fluencia. Los segmentos o elementos de placa en que lalosa queda dividida, pueden ser considerados como cuerpos rgidos porque lasdeformaciones de la losa cuando su flecha aumenta slo se producen en las lneas

plsticas. Los segmentos de losa estn en equilibrio bajo la accin de las cargas


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externas y los momentos flectores, torsores y el corte a lo largo de las lneas derotura. A un punto convenientemente elegido de la losa se le induce undesplazamiento en la direccin de la carga. Los desplazamientos resultantes detodos los puntos de la losa, (x,y), y la rotacin de los segmentos de losa conrespecto a las lneas de articulacin plstica se pueden obtener en funcin dey de

las dimensiones de los elementos de placa. Existir trabajo realizado por las cargasexteriores, We, en cada uno de los elementos de placa, y trabajo de los esfuerzosinternos a lo largo de las lneas de fluencia, Wi. As, entonces:

We= Wi (7.23)

Las reacciones en los apoyos no contribuyen al trabajo pues no sufrendesplazamiento. Adems, el trabajo realizado por los esfuerzos internos en laslneas de rotura es slo debida a los momentos flectores, porque las acciones acada lado de las rtulas plsticas son iguales y opuestas, tal cual se ve en la Fig.7.37, y para cualquier desplazamiento de las placas rgidas no hay movimiento

relativo de los lados de las lneas de rotura en correspondencia con las fuerzas detorsin o de corte. Sin embargo, s existe una rotacin relativa en la direccin de Mun,tal como se ve en la Fig. 7.37(b). Por lo tanto, el trabajo no es slo de flexin.

Fig. 7.37 (a) Acciones en unalnea de fluencia, (b) rotacinrelativa de los cuerpos rgidosen la direccin de Mn.

7.6.9.2 Evaluacin del trabajo interno.El trabajo interno se puede obtener por tres caminos diferentes:

(i) trabajo a lo largo de las lneas de fluencia.(ii) trabajo realizado en cada regin rgida.(iii) mtodo de las fuerzas nodales.

A continuacin se vern los dos primeros mtodos con sus correspondientesejemplos de aplicacin:

7.6.9.2.1 Trabajo a lo largo de las lneas de fluencia.

Para el caso de trabajo a lo largo de las lneas de fluencia, se debe encontrarel valor de Mn. La Fig. 7.38. muestra una lnea de rtula plstica que divide dosregiones cuyos ejes de rotacin son e1e1y e2e2. En esa figura se demuestra que:

Wi= mn (1.L.cos1+ 2.L.cos2) (7.24)


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45

mn= momento nominal por ancho unitario y por unidad de longitud de lnea derotura.

1= rotacin de la regin 1.2= rotacin de la regin 2.

L.cos1= proyeccin de la lnea de rotura al eje de rotacin de la zona 1.L.cos2= proyeccin de la lnea de rotura al eje e2e2.

Fig. 7.38 Trabajo a lo largo de una lnea de fluencia.

7.6.9.2.2 Ejemplo de aplicacin No1.

Tmese el caso de una losa cuadrada simplemente apoyada, bajo cargauniforme qu, segn Fig. 7.39. La losa est armada isotrpicamente, por lo que Mn=Mx= My.

Considerando la lnea AB, separe las regiones 1 y 2, y el trabajo interno a lolargo de esa lnea vale:

L/..21 = , si 0.1= L/21=

2/LXoYBsobreEjesproyLineaA =

[ ] nni mLLLLmABW 2)2/)(/2()2/)(/2()( =+=

nii

mABWTW 8)(.4)( ==


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46

Fig. 7.39Ejemplo de aplicacin No1de lneas de fluencia.

Para el trabajo externo se toma cada sector de placa rgida por separado conla carga que acta sobre cada regin (y no el total de la losa).

12/.3/1..2/..2/1)1( 2LqqLLW uue ==

y por simetra

3/.)1(.4)( 2LqWTW uee ==

La ecuacin de trabajo dice que:

We= Wi 8mn 3/. 2Lqu= 2/.24 Lmq nu=

Note que el mtodo de las lneas de rotura es un mtodo de anlisis y no de

diseo directo. Al evaluar la carga quse puede evaluar el coeficiente de seguridadque se tiene al comparar con la carga que la losa soportar en la realidad.

7.6.9.2.3 Disipacin de energa en una zona rgida.

Dado que para la mayora de las losas rectangulares el acero es colocadoparalelo a sus lados y en las direcciones xe y, y, dado que los momentos nominalesMnx y Mny son conocidos, es conveniente separar los componentes del trabajointerno segn xe y. Adems, se extender el concepto para expresar la energa dedisipacin para una zona rgida limitada por las lneas de fluencia y su eje de

rotacin.


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47

Fig. 7.40Lnea de fluenciainclinada con respecto

a la direccin de lasarmaduras.

Supngase lalnea de rotura de laFig. 7.40, la cualsobrelleva unarotacin n , ysometida a un

momento Mn por unidad de longitud (y por ancho unitario). El trabajo interno a lolargo de esa lnea de fluencia es:

senLsenMLMLsenMMLMLW onyonxonyxonnoi .cos.cos.)cos()(22 +=+==

y finalmente:

oyuyoxuxi XMYMLoW ....)( += (7.25)

Note que el primer trmino representa las proyecciones del momento, de la rotaciny de la lnea de fluencia sobre el eje de Mx, es decir sobre el eje y. El segundotrmino lo es para las proyecciones sobre el eje de My, es decir sobre el eje x.

Se aplicar este concepto para encontrar el trabajo interno en una zona rgidacomo la que muestra la Fig. 7.41. Considerando a la lnea de fluencia como ABCque rodea esa regin 1, y siendo la rotacin de la regin, entonces, por aplicacinde la ecuacin (7.25), se tiene:

yxuxxuyyuxi LLMLMLMW )./.(.0... 1 =+=

ya que el vector que representa la rotacin de la regin no tiene proyeccin sobre eleje de Mny(eje de x).

Fig. 7.41Regin o zona rgida.Acciones. Deformaciones.Armaduras y momentosnominales resistentes.

1.0


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48

Para calcular el trabajo interno no es recomendable mezclar los dos mtodos aquimplicados: o se utiliza la ecuacin (7.24) o la expresin (7.25).

7.6.9.2.4 Ejemplo de aplicacin No2.Tmese el caso de la losa rectangular simplemente apoyada,

ortotrpicamente armada, segn Fig. 7.42. Carga uniforme qu.

a) para calcular el trabajo interno se utiliza el concepto de trabajo en zonasrgidas. En este caso la armadura no es la misma para ambas direcciones,sino que nynx MM por lo que es necesario hacer su diferenciacin. Note que

la armadura que es paralela al eje xes la que produce el momento resistenteMnx, y la proyeccin de la representacin vectorial de ese momento es sobreel eje y; por eso el eje y es el eje de Mnx y tambin de x . A la armaduraparalela al eje yle corresponde Mnyque tiene proyeccin vectorial sobre el ejex, al igual que y . Es conveniente trabajar con la siguiente tabla:

Fig. 4.42. Ejemplo No. 2 de Lneas de Fluencia.

componente derotacin

componente de trabajozona

x y Mnx. x .Yo Mny. y .Xo

AED 1/L 0 ynx LLM )./.( 1 0

ABEF 0yL/.2 0 xyny LLM )./2.(

BCF 1/L o ynx LLM )./.( 1 0

DEFC 0yL/.2 0 xyny LLM )./2.(

Mny

Mnx


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49

Es conveniente suponer que el desplazamiento virtual 0.1= , por lo que eltrabajo interno total es:

yxnyynxi LLMLLMW /..4/.2 1+=

b. trabajo externo.Se evala para cada zona rgida por separado:

11 ...6/13/1).2/.(.)4()1( LLqLLqWW yuyuee ===

Dividiendo el trapecio en 2 tringulos y 1 rectngulo central:

+==

2

1.

2).2(

3

1.

2

1.

2..2.)3()2( 11

y

x

y

uee

LLL

LLqWW

)2/..()4/..()6/..( 11 LLqLLqLLq yuyxuyu +=

y el trabajo externo total es:

)2.3(6

.1LL

LqW

x

yu

e =

c. ecuacin de trabajo:We= Wi

y finalmente:

+

=

yy

xy

y

xny

y

nx

u

L

L

L

LL

L

LM

L

LM

q

12

1

23

212

(7.26)

Todas las cantidades de la ecuacin (7.26) son conocidas, excepto L1que esun parmetro de la configuracin de las lneas de fluencia que hay que determinar.Como este mtodo est basado en la teora del lmite superior, se debe buscar el

valor de L1para el cual el valor de la carga quresulta mnima. Para ello se aplica elprincipio de la carga mnima que expresa:

01

=dL

dqu para obtener el mnimo. (7.27)

Para resolver la derivada de la carga es conveniente colocar:

2

1

`.`.

v

vuvu

v

ud

dL

dqu =

= (7.28)


50/71

50

y para este caso es:( )21/1.12` LLMu yux =

yLv 2' =

finalmente, reemplazando en la ecuacin (7.28) y ordenando los trminos se llega a:

04

312

1 =

+

ny

nx

yx

y

ny

nx

y M

M

L

L

L

L

M

M

L

L

de donde:

+

=

ny

nx

x

y

ny

nx

ny

nx

x

y

y M

M

L

L

M

M

M

M

L

L

L

L

2/12

1 3.2

1

remplazando la ecuacin (7.26):

22/12/12

23

.24

+

=

ny

nx

x

y

x

y

ny

nxy

ny

u

M

M

L

L

L

L

M

ML

M

q

Note que si la losa es isotrpica la solucin se simplifica al colocar Mnx= Mny.

7.6.9.2.5 Ejemplo de aplicacin No3.

Tmese la losa cuadrada, con dos lados simplemente apoyados, un ladoempotrado y el otro libre. Carga uniforme. Armadura isotrpica. Ver Fig. 7.43.

Fig. 7.43 Ejemplo No3 de anlisis por lneas de fluencia.


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51

En este caso Mnx= Mny= Mnpara momento positivo.

Mny= Mnpara momento negativo.

a. trabajo interno:

Nuevamente conviene trabajar con el concepto de trabajo en zona rgida, y sepuede hacer la siguiente tabla resumen:

componente de rotacin componente de trabajoRegin

x y positivo negativo

ADEF1 0 Mn. 1 .L 0

BCEF1 0 Mn. 1 .L 0

AFB 03 Mn. 3 .L Mn. 3 .L

y haciendo la sumatoria, y colocando ( )31 f= , queda:

++=

n

nni

M

M

L

LLMW

`1

.22

1

1 (7.29)

b. trabajo externo:

( )3262

1

2422 13

11111

LLLq

LL

LLLL

Lq uu +

+

por lo que:

=

L

LLWe

113 .3

11

4

(7.30)

c. ecuacin de trabajo:

igualando (7.29) y (7.30)

++

=

LLL

M

M

L

LM

q n

nn

u 12

1

311

`1

224

(7.31)

y, nuevamente falta determinar el valor de L1para el cual quse hace mnima. Paraello se puede plantear, como el caso anterior:

01

=dL

dqu


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52

La expresin que se obtendra de aqu sera un poco complicada de manejarmatemticamente, por lo que una solucin expeditiva para resolver el problema eshacerlo numricamente. Para ello se coloca la siguiente igualdad:

++=

L

L

M

M

L

L

M

Lq n

n

n

u

1

12

3

11

`

1224

haciendo 1LL= , y adoptando una relacin para Mny Mn, por ejemplo que Mn= Mn,resulta:

3/1

2

12.4

. 2

+

=n

u

M

Lq

Se quiere obtener el valor de para el cual el primer miembro es mnimo.Entonces resulta:

0.1 0.2 0.7 0.8 0.9 1.0qu.L

2/Mn 49.65 30.0 17.9 17.7 17.8 18.0

y se ve que para = 0.8 ocurre el mnimo buscado. Ese valor se remplaza en laecuacin (7.31) y as se obtendr el valor mnimo de qupara este estado de cargas.

7.7.1 REDISTRIBUCIN DE ESFUERZOSLas condiciones que se imponen son:

(i) Los momentos no se deben haber obtenidos de mtodos aproximados.(ii) Slo es posible cuando t0.0075 = 0.75 %en la seccin donde se vaya

a disminuir el momento.(iii) Se deben recalcular los momentos en tramo para mantener el equilibrio

despus de la redistribucin.(iv) MR= ME donde = 1000 t0.20 = 20 %

En sus comentarios, la norma aclara que los estudios demuestran que lafisuracin y las flechas en losas y vigas diseadas con momentos redistribuidos bajocargas de servicio no son significativamente mayores que los que se obtendran silos elementos fueran diseados con los resultados directos de la teora elstica.

7.7.2 REQUERIMIENTOS DE RIGIDEZ.

Tanto para vigas y losas en una direccin por un lado como para losas cruzadaspor otro, la norma acepta dos formas de satisfacer los requisitos de rigidez:


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(i) adoptando alturas mnimas, es decir limitando la esbeltez de la pieza, vatablas o frmulas empricas, o bien

(ii) evaluando numricamente las flechas y verificar que no excedan loslmites permisibles que se dan en tablas.

Como mdulo de elasticidad del hormign se puede tomar la expresin:

MPafE cc 215004700 ==

en este caso (note que la versin anterior CIRSOC 201-1982, para este hormign, leasignara 30000 MPa, es decir casi un 40 %mayor), cuya interpretacin grfica seve en Fig. 7.44.

Fig. 7.44. Interpretacin Grfica delMdulo de Elasticidad del Hormign.

Como ya se expres entes,salvo un estudio ms detallado, lanueva norma exige que se calcule elmdulo de rigidez a flexin, (EI),tomando como valor de y para elMomento de Inercia un valordesignado como Inercia Efectiva, yque se evala mediante esta

expresin:

gcr

a

cr

g

a

cr

e IIM

MI

M

MI

+

=

33

1

donde:

Ma= momento actuantemximo para carga de servicio en el momento que se evalala flecha. En la seccin 9.5.2.4 la norma establece que en elementos continuos sepuede adoptar Iepromedio para seccin a M

+y M-(secciones crticas).

Mcr= momento para el estado lmite de fisuracin, que se puede evaluar mediante:

t

gr

cry

IfM =

fr= mdulo de ruptura o resistencia del hormign a flexin por traccin, y se calculacomo se vio en la seccin II.3.1.7 del captulo II.Ig= momento de inercia de la seccin bruta de hormign 12/3hbw yt = distancia del baricentro de la seccin de hormign (sin armadura) a la fibra

extrema traccionada.


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54

La Fig. 7.45 muestra parte de la notacin involucrada. La Fig. 4.46 muestra lainterpretacin grfica del los momentos de inercia sin fisurar, fisurado y efectivo en eldiagrama M-deformacin. La Fig. 4.47 indica el concepto de seccin transformada.

Fig. 7.45.Nomenclatura en la seccin transversala Flexin.

Fig. 7.46.Interpretacin de los momentos de inercia para

seccin fisurada.

Fig. 7.47.Seccin de HormignArmado FisuradaTransformada.

7.7.3 CALCULO DE LAS DEFORMACIONES7.7.3.1 Introduccin

La prediccin de las deformaciones en elementos de hormign armado esdificultosa. Secciones con armadura no simtrica conducen a deformaciones porcontraccin del hormign que se deben sumar a las deformaciones debidas a cargasverticales. Adems la fluencia lenta del hormign lleva a un aumento de lasdeformaciones para cargas permanentes de servicio. Las deformaciones debidas a

contraccin y fluencia a su vez son funciones de la temperatura, humedad,


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55

condiciones de curado, edad del hormign, etc. La disminucin de la rigidez deflexin debido a la fisuracin del hormign tiene tambin un efecto importante. Conel mtodo que se explicita a continuacin, se estima que el clculo de deformacionespuede tener un error del 20%, lo cual es suficientemente aceptable para la mayorade los casos prcticos.

El control de deformaciones ante cargas gravitatorias para elementos dehormign armado est asociado con las cargas de servicio. Cuando debanconsiderarse tambin deformaciones que aparecen por el transcurso del tiempo,solamente la carga permanente y aquella porcin de carga accidental que acta enforma permanente deben afectarse a deformaciones diferidas. El tipo de ocupacin ouso determinar qu porcin de la carga accidental debe considerarse. Por ejemplo,en el caso de edificios de departamentos tal vez slo el 20% o 25 % de la cargaaccidental deba tomarse como carga sostenida. En un edificio destinado a depsito,tal vez el 80% o 100 %de carga accidental deba considerarse como participante encontribuir a deformaciones diferidas.

7.7.3.2 Deformacin diferida

La deformacin de elementos de hormign armado se incrementa con eltiempo. Las deformaciones adicionales a la instantnea son causadas por lacontraccin y flexin del hormign. La deformacin diferida debe tenerse en cuentapues en ciertas circunstancias puede alcanzar valores de 2 a 3 veces el quecorresponde a deformacin instantnea.

La contraccin del hormign en secciones no armadas simtricamente causauna distribucin no uniforme de deformaciones en la seccin la cual resulta en unacurvatura de contraccin. La curvatura es mayor en elementos de hormign conarmadura simple, debido a que la contraccin del hormign no es impedida en lazona de compresin. En miembros a flexin la armadura mayor est en la zona detraccin. Por lo tanto la curvatura de contraccin tendr el mismo signo que lascurvaturas provocadas por cargas transversales (gravitatorias, por ejemplo).Adems, esas tensiones de traccin inducidas por contraccin ms las inducidas porcargas incrementa la fisuracin del hormign en traccin. La deformacin lenta delhormign resulta adems en un acortamiento de la parte comprimida, por lo tantocausa una curvatura adicional.

Es evidente que las deformaciones adicionales debidas a contraccin yfluencia se pueden reducir en forma substancial con la presencia de armadura decompresin. En el caso de igual armadura superior e inferior, la curvatura porcontraccin sera nula. La armadura de compresin tambin reduce la deformacinde fluencia debido a que mientras las deformaciones de compresin aumentan conel tiempo, parte de las tensiones de compresin inducidas son gradualmentetransferidas al acero. Adems del contenido y distribucin de acero, lasdeformaciones del hormign con el tiempo dependen de condiciones de humedad,temperaturas, curado, edad del hormign, relacin tensin a resistencia, y otrosfactores ms.


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La norma NZS:3101 da esta expresin :

kcp= [2 - 1.2(As/As)] 0.6 (7.43)

como factor por el cual hay que multiplicar la deformacin instantnea para obtener

la deformacin adicional, es decir :t = i + kcp . i (7.44)

donde :t = deformacin totali = deformacin instantneakcp = coeficiente de deformacin adicional

El ACI-318-2005 da una expresin con ms penalidad sobre lasdeformaciones diferidas, ya que propone:

501

+

=

= factor que depende del tiempo al cual se considera la deformacin, e igual a 2para 5 aos o ms.= cuanta de armadura de compresin. Esta debe tomarse en la mitad de la luzpara tramos simples y continuos, y en el punto de apoyo para voladizos.

Note que para As= 0, =0, y ambas expresiones coinciden en que Kcp= 2.

7.7.3.3 Vigas y losas en una direccin.La Fig.7.48 muestra las relaciones que se deben cumplir de (h/l)altura total de

losa vs. luz de clculo de las losas en una direccin, para el caso en que dichoselementos NO soporten elementos susceptibles de daarse por grandesdeformaciones. En el Apndice, pg. 25, est la tabla 9.5.(a) que da el CIRSOC.

En realidad la expresin a cumplir es que:

700/40.0 yb fhh +=

Fig. 7.48. Relacin de esbelteces para distintas condiciones de apoyo en losas macizas (nonervuradas) apoyadas en una direccin si no soportan elementos frgiles. Ver tabla 9.5(a)

en Apndice A, pg. 30.


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para hormign densidad normal, y donde hes la altura total de la losa, hb la alturabsica y fy la tensin de fluencia del acero. Se ve que para el acero ADN-420 elfactor de correccin es 1.0.

Si se deseara adoptar

Diseño y Análisis de Losas de Hormigón Armado Utilizando Métodos Plásticos

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