diseño factorial

Diseños ExperimentalesDiseños Experimentales

Prof. Enit Huamán Cotrina

EXPERIMENTAR VS. ANALIZAR DATOS EXISTENTES

¿Es realmente necesario ¿Es realmente necesario

hacer experimentos?hacer experimentos?

¿¿No se podría llegar a las No se podría llegar a las mismas conclusiones mismas conclusiones

analizando analizando convenientemente los convenientemente los

datos disponibles?datos disponibles?


INTRODUCCIÓN AL DISEÑO EXPERIMENTAL

Un experimento diseñado es una prueba o serie de pruebas en las cuales se

inducen cambios deliberados en las

variables de entrada de un proceso o sistema, de manera que sea posible

observar e identificar las causas de los cambios en

la respuesta de salida.


PRINCIPIOS BÁSICOS

Cualquier problema experimental involucra dos aspectos: El diseño del experimento y El diseño del experimento y el análisis estadístico de los el análisis estadístico de los

datosdatos. Estos dos temas están estrechamente ligados , ya que el método de análisis depende del diseño empleado


Riesgos de analizar datos cuya recogida no fue planificada

Datos inconsistentesDatos inconsistentes.

Por cambios debidos al tiempo, envejecimiento, reparaciones, etc. Esto provoca que los datos recogidos no sean consistentes lo que obviamente traerá confusiones en la interpretación.


Variables altamente correlacionadas.Variables altamente correlacionadas.

Cuando dos variables del proceso están correlacionadas, se pueden producir dos tipos diferentes de situación engañosa al analizar datos recogidos durante las operaciones habituales.

1. Confusión de los efectos.

2. Relación no causal. Variable oculta.


VariableVariable11

VariableVariable22

Variable3Variable3

Relación no Relación no causalcausal

VariableVariable11VariableVariable22

Variable3Variable3

ConfusiónConfusión


EXPERIMENTO DE UN SOLO FACTOR

Supongamos que el experimentador cuenta con los resultados de k muestras aleatorias independientes, cada una de tamaño n, de k diferentes poblaciones (esto es, datos relativos a k tratamientos, k grupos, k métodos de producción, etc.) y le interesa probar la hipótesis de que las medias de esas k poblaciones son todas iguales.


Diseño completamente aleatorizado

Un diseño completamente aleatorizado para comparar k medias de tratamientos es uno en el que los tratamientos se asignan aleatoriamente a las unidades experimentales, o en que se extraen muestras aleatorias independientes de cada una de las k poblaciones.


Tratam. Muestra

Tratam.1 Tratam.2 . . . Tratam.k Total

1 2 3 . . . ni

y11 y12 y13 . . .

1n1y

y21 y22 y23 . . .

2n1y

. . .

. . .

. . .

. . .

. . .

. . .

. . .

yk1 yk2 yk3 . . .

kn1y

y.1 y.2 y.3 . . .

n1y

Total y1. y2. . . . yk. y..




Modelo linealModelo lineal

donde:

yij : La j- ésima observación en la i-ésima muestra : Parámetro de la media poblacional.i : Efecto del i-ésimo tratamiento.

ij : Error aleatorio asociado a la observación yij, donde ij ~ N(0,2)

n ..., 2, 1, j ;k .., . 2, 1, i paray ijiij


Tabla del análisis de varianzaFuente de variación

Grados de libertad Suma de cuadrados Cuadrado medio Fc

Tratamientos k – 1

n

y

n

yk

i i

i2

1

2

SC(Tr) 1

SC(Tr)CM(Tr)

k

Error n. – k SC(Tr)SCTSCE kn

SCECME

Total

n. – 1

n

yy

k

i

n

jij

2

1 1

2SCT

CME

)Tr(CM


Ejemplo. Las cifras siguientes representan el número de errores cometidos, en cinco días consecutivos de trabajo, por cuatro técnicos de un laboratorio fotográfico:

Prueba con un nivel de significancia si las diferencias entre las cuatro muestras pueden atribuirse al azar.

DíaTécnico

ITécnico

IITécnico

IIITécnico

IV1 6 14 10 152 14 16 12 123 10 15 7 144 8 14 15 105 11 15 11 13

Suma 49 74 55 64


Utilizando el MSExcel


Origen de las variaciones

Suma de cuadr.

Grados de libertad

Promedio de los

cuadradosF

Probabilidad

Entre grupos 71.4 3 23.8 4.3077 0.0208Dentro de los grupos

88.4 16 5.525

Total 159.8 19

ANÁLISIS DE VARIANZA


Número de errores por técnico

11

12.814.8

9.8

02468

10121416

Técnico I Técnico II Técnico III Técnico IV

N°e

rror

es


Estimación de los parámetros del modelo

Para el modelo

Los estimadores de la media global y de los efectos de los tratamientos está dado por:

ijiijy

k,...,2,1iyyˆ

..yˆ

...ii


Intervalos de confianza

La media del tratamiento i-ésimo es:

Un intervalo de confianza de (1-)x100%

para la media del tratamiento i-ésimo es:

ii

k

CMEty

k

CMEty )]1n(k,2/[.ii)]1n(k,2/[.i


Intervalos de confianza

Un intervalo de confianza de (1-)x100%

para la diferencia en las medias de dos

tratamientos cualesquiera, por ejemplo, i -

j, será:

k

CME2tyy)(LC )]1n(k,2/[.j.iji


Ej.:Utilizando los datos del número de errores cometidos, las estimaciones de la media global y de los efectos de los tratamientos son:

7.01.128.12yyˆ

1.11.120.11yyˆ

7.21.128.14yyˆ

3.21.128.9yyˆ

1.1220

242ˆ

...44

...33

...22

...11


Un intervalo de confianza de 95% para la media del tratamiento 1.

Un intervalo de confianza de 95% para la diferencia de las medias de los tratamientos 1 y 2, es:

03.1257.75

525.5120.28.9

5

525.5120.28.9

1

1

85.115.85

)525.5(2120.2)8.148.9(

5

)525.5(2120.2)8.148.9(

21

1


Comparaciones de rango múltiple de Duncan

La prueba compara el rango de cualquier conjunto de p medias con un apropiado rango de mínima significación, Rp, dado por

Aquí Sx es una estimación de y se calcula

con la siguiente forma:

El valor de rp depende de del nivel deseado de significación y del número de grados de libertad correspondiente al CME

pXp r.SR

n/X

n

CMESx


EjemploEjemplo. Los siguientes datos corresponden a las mediciones de los pesos de recubrimiento de estaño de discos por cuatro laboratorios diferentes.

Laboratorio A Laboratorio B Laboratorio C Laboratorio D

0.250.330.220.300.270.280.320.240.310.260.200.28

0.180.280.210.230.250.200.270.190.240.220.290.16

0.190.250.270.240.180.260.280.240.250.200.210.19

0.230.300.280.280.240.340.200.180.240.280.220.21

Media0.272 0.227 0.230 0.250


Tabla de ANOVA

FV GL SS CM Fc Ft

Labor.Error

344

0.01560.0728

0.00520.0017

3.133 2.82

Total 47 0.0884


Sol1. Ordenar los promedios de menor a mayor.

Lab.Lab. BB CC DD AA

Media.Media. 0.2270.227 0.2300.230 0.2500.2500.2720.272

2. Calcule3. Seleccione rp

3. Seleccione Rp

0119.0Sx

PP 22 33 44

rprp 2.852.85 3.003.00 3.093.09

PP 22 33 44

RpRp 0.0340.034 0.0360.036 0.0370.037


4 medias.0.272-0.227=0.045>0.037 *3 medias.CDA: 0.272-0.23=0.042>0.036 *BCD:0.25-0.227=0.023<0.036 N.S2 medias.BC. 0.23-0.227=0.003<0.034 NSDC:0.25-0.23=0.02<0.034 NSAD: 0.272-0.25=0.022<0.034 NS


RESUMENRESUMEN

B C D A

0.227 0.23 0.25 0.272


Verificación de la adecuación del modelo

Supuestos

El modelo describe adecuadamente las observaciones.

Los errores tienen distribución normal e independiente con media cero y con varianza constante 2.

ijiijy

Examen de residuales


Residuales

.i

...i..

iij

ijijij

y

)yy(y

ˆˆy

donde

yye


Supuesto de Normalidad

Gráficos.HistogramaGráfico de probabilidad normal (PP)

Pruebas de hipótesisKolmogorov-SmirnovJi Cuadrado


Varianzas constantes

GráficosResiduales vs. Valores ajustados (identificar patrones)

PruebasPrueba de Levene modificada (ANOVA)

¡Problema serio si el modelo es de efectos aleatorios!


10 11 12 13 14 15

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

Fitted Value

Res

idua

lResiduals Versus the Fitted Values

(response is errores)


ANALISIS DE DATOS BLOQUEADOS

Se supone que el experimentador tiene a su disposición mediciones relativas a “a” tratamientos distribuidos sobre “b” bloques. En primer término, consideraremos el caso en que hay exactamente una observación de cada tratamiento en cada bloque.


Bloques T1 T2 T3 ... Ti ... Ta

B1 y11 y21 y31 ... yi1 ... ya1

. . . . ... . ... . .

. . . . ... . ... . .

. . . . ... . ... . .

. . . . ... . ... .

Totales ... ...

Bb y1b y2b y3b ... yib ... Yab

... yij ... yajBj Y1j y2j y3j

B3 y13 y23 y33 ... yi3 ... ya3

TratamientosTotales

B2 y12 y22 y32 ... yi2 ... ya2

1.y

2.y

3.y

jy.

by.

.1y .2y .3y .iy .ay ..y


El modelo

donde:

yij :es la observación relativa al i-ésimo tratamiento del j-ésimo bloque.

: es la gran media

i : es el efecto del i-ésimo tratamiento.

j: es el efecto del j-ésimo bloque.

ij: es el error aleatorio correspondiente a la observación yij

ijjiijy

bjai ,...,2,1 ; ,...,2,1 para


Dos restricciones

0

y0

b

1jj

a

1ii


Sumas de cuadrados

SSB)Tr(SSSSTSSE

ab

y

a

ySSB

ab

y

b

y)Tr(SS

ab

yySST

2..

b

1j

2j.

2..

a

1i

2.i

a

1i

2..

b

1j

2ij


Fuente de

variac.Grados de libertad

Suma de cuadrad.

Cuadrado

medio F

Tratam. a - 1 SS(Tr) CM(Tr) CM(Tr)/CME

Bloques b - 1 SSB CMB CMB/CME

Error (a - 1)(b - 1) SSE CME

Total ab - 1 SST

TABLA DE ANOVA


EjemploSe han tomado muestras de aguas subterráneas de cinco diferentes zonas de depósito de aguas tóxicas por cada una de tres laboratorios: la EPA, la compañía propietaria de los lugares de depósito y un asesor independiente dedicados a asuntos de ingeniería. Cada muestra fue analizada buscando detectar la presencia de cierto contaminante por todos los métodos de laboratorio que la agencia que recolectó la muestra suele emplear. Se consideraron los siguientes resultados:


A B C D E

Lab. 1 23.8 7.6 15.4 30.6 4.2

Lab. 2 19.2 6.8 13.2 22.5 3.9

Lab. 3 20.9 5.9 14.0 27.1 3.0

Lugar

¿Existe alguna razón para creer que las agencias no son, en sus mediciones, consistentes entre sí? ¿Difiere una zona de depósito con respecto a cualquier otra en su nivel de contaminación?


Origen de las

variaciones

Suma de cuadrados

Grados de

libertad

Promedio de los

cuadradosF Probab.

Filas 26.572 2 13.286 4.840 0.042

Columnas 1117.263 4 279.316 101.748 0.000

Error 21.961 8 2.745

Total 1165.796 14

ANÁLISIS DE VARIANZA


EXPERIMENTOS FACTORIALES

Definiciones.Definiciones.Usualmente en los experimentos se desea estudiar el efecto de dos o más factores.Por diseño factorial se entiende que en cada ensayo o réplica completa del experimento se investigan todas las combinaciones posibles de los niveles de los factores.


Por ejemplo. Factor A: “a” nivelesFactor A: “a” niveles Factor B: “b” nivelesFactor B: “b” niveles

Entonces cada réplica puede contener todas la abab combinaciones de los tratamientos.


MODELOS

Modelo de efectos fijos

Modelo de efectos

aleatorios

Modelo mixto


Efectos fijos

Cuando el investigador sólo está interesado en estudiar ciertos niveles de los factores ciertos niveles de los factores involucrados y por lo tanto la involucrados y por lo tanto la selección no es aleatoriaselección no es aleatoria. Los resultados sólo serán útiles para los niveles considerados en el estudio.


Efectos aleatorios

Cuando el investigador está interesado en un gran número de posibles niveles, y no es posible estudiarlos todos, la mejor manera de estudiarlos, es seleccionar seleccionar aleatoriamente una cantidad de niveles de la aleatoriamente una cantidad de niveles de la población de niveles de cada factor en estudiopoblación de niveles de cada factor en estudio. Los resultados podrán generalizarse para toda población de niveles.


Efectos mixtos

Cuando los niveles de algunos de los algunos de los factores son elegidos aleatoriamente y factores son elegidos aleatoriamente y mientras que otros niveles de los otros mientras que otros niveles de los otros factores, también considerados en el factores, también considerados en el estudio, son fijados por el investigadorestudio, son fijados por el investigador.


Efecto de un factor o efecto Efecto de un factor o efecto principalprincipal

Es el cambio en la respuesta media producido Es el cambio en la respuesta media producido por un cambio en el nivel del factor.por un cambio en el nivel del factor.Por ejmplo. Consideremos el diseño factorial 22. Es decir el diseño tiene dos factores y cada factor tiene dos niveles: bajo (-) y alto(+)


-(Bajo)

+(Alto)

-(Bajo)

+(Alto)

40

20

30 52

Factor Factor AA

Fact

or

BFa

ctor

BExperimento factorial de dos factores con la respuesta (y) indicada en los vértices

Factor AFactor A-- ++

B-

B-

B+

B+

Resp

ues

Resp

ues

tata


Cálculo del Efecto Principal A

Cuando el factor A se incrementa del nivel bajo al alto se produce un incremento de la respuesta promedio de 21 unidades.

212

3020

2

5240A


Cálculo del Efecto Principal B

Cuando el factor B se incrementa del nivel bajo al alto se produce un incremento de la respuesta promedio de 11 unidades.

112

4020

2

5230B


-(Bajo)

+(Alto)

-(Bajo)

+(Alto)

50

20

40 12

Factor Factor AA

Fact

or

BFa

ctor

B

Experimento factorial de dos factores con interacción

Factor AFactor A-- ++

B-

B-

B+

B+

Resp

ues

Resp

ues

tata


Con el nivel bajo del factor B (o B-), el efecto de A es:

Con el nivel alto del factor B (o B+), el efecto de A es:

El efecto de A depende de los niveles de B, por lo tanto existe una interacción entre A y B.

302050A

284012A

292

)3028(AB


DISEÑO FACTORIAL DE DOS FACTORES

En la práctica se suele trabajar con diseños de dos factores, A y B, donde cada factor tiene dos o más niveles.

Hay “a” niveles del factor A y “b” niveles del factor B y cada una de las “n” réplicas del experimento contiene ab combinaciones de los tratamientos


EjemploEjemplo. Un ingeniero está diseñando una batería que se usará en un dispositivo el cuál se someterá a variaciones de temperatura extrema. El único parámetro de diseño que puede seleccionar en este punto es el material de la placa o ánodo de la batería y tiene tres elecciones posibles. Cuando el dispositivo esté fabricado y se envíe al campo, el ingeniero no tendrá control sobre las temperaturas extremas en las que operará el dispositivo, pero sabe por experiencia que la temperatura probablemente afectará la vida efectiva de la batería.


El ingeniero decide probar probar los tres

materiales de la placa con tres niveles de

temeparatura, 15, 70 y 125°F, ya que estos

niveles de temperatura son consistentes con

el medio ambiente donde se usará finalmente

el producto. Se prueban cuatro baterías con

cada combinación del material de la placa y la

temperatura, y las 36 pruebas se corren de

manera aleatoria. La tabla siguiente muestra

los resultados obtenidos.


Datos de la vida (en horas) de las baterías

130 155 34 40 20 70

74 180 80 75 82 58

150 188 136 122 25 70

159 126 106 115 58 45

138 110 174 120 96 104

168 160 150 139 82 60

15 °F 70 °F 125 °F

TemperaturaTipo

de

M1

M2

M3


¿Qué efectos tienen el tipo de material y la temperatura sobre la

vida de la batería?

¿Qué efectos tienen el tipo de material y la temperatura sobre la

vida de la batería?


Modelo de los efectosLas observaciones de un experimento factorial pueden describirse con el siguiente modelo.

n,...,2,1k

b,...,2,1j

a,...,2,1i

:donde

)(y ijkijjiijk


Donde es el efecto promedio global, i es el efecto del nivel i-ésimo del factor A de las filas, j es el efecto del nivel j-ésimo del factor B de las columnas, ()ij es el efecto de la interacción entre i y j, y ijk es un componente del error aleatorio. Se supone que los errores tienen distribución normal con media cero y varianza constanteAmbos factores son fijos.Los efectos de los tratamientos se definen como las desviaciones de la media global, por lo que:

0)()(00b

1jij

a

1iij

b

1jj

a

1ii


Pruebas de Hipótesis

0unmenosal:H

0...:H

i1

a210

0unmenosal:H

0...:H

i1

a210

0)(unmenosal:H

j,i0)(:H

ij1

ij0

Efecto de los tratamientos de las filas

Efecto de los tratamientos de las columnas

Efecto de la interacción fila columna

0unmenosal:H

0...:H

j1

b210


Análisis estadístico del modelo con efectos fijos

Algunas notaciones

abny

yn

yy

yyyy

an

yy

bny

y

yyyy

......

..ij..ij

a

1i

b

1j

n

1kijk...

n

1kijk..ij

.j..j.

..i..i

a

1i

n

1kijk.j.

b

1j

n

1kijk..i


Suma de cuadrados total corregida

a

1i

b

1j

n

k

2.ij

a

1i

b

1j

2

b

1j

2a

1i

2

2

a

1i

b

1j

n

k

.ij

a

1i

b

1j

n

k

2

)yy(

)yyyy(n

)yy(an)yy(bn

)yy(

)yyyy(

)yy()yy(

)yy(

ijk

....j...i.ij

....j......i

ijk

....j...i.ij

....j......i

...ijk


La suma de cuadrados anterior puede simbolizarse de la siguiente forma

SSESSABSSBSSASST

Suma de Suma de cuadrados cuadrados debida a debida a las filaslas filas

Suma de Suma de cuadradocuadrado

s totals total

Suma de Suma de cuadrados cuadrados

debida a las debida a las columnascolumnas

Suma de Suma de cuadrados cuadrados debida a la debida a la

interacción A interacción A y By B

Suma de Suma de cuadrados cuadrados debida al debida al

errorerror


Fórmulas prácticas para el cálculo de la suma de cuadrados

abny

yan1

SSB

abny

ybn1

SSA

abny

ySST

2...

b

1j

2

2...

a

1i

2

a

1i

b

1j

n

1k

2...2

.j.

..i

ijk


La suma de cuadrados de la interacción se obtiene de la siguiente forma:

SSBSSASSSSAB

abny

yn1

SS

subtotales

2...

a

1i

b

1j

2.ijsubtotales

Y la suma de cuadrados del error se obtiene por diferencia.

subtotalesSSSST

SSBSSASSABSSTSSE


Cuadrado medioCuadrado medio

Los valores esperados de los cuadrados medios son:

1b

an

1bSSB

E)MSB(E

1a

bn

1aSSA

E)MSA(E

a

1i

2j

2

a

1i

2i

2


Cuadrado medioCuadrado medio

Los valores esperados de los cuadrados medios son:

2

a

1i

2ij

2

)1n(abSSE

E)MSE(E

)1b)(1a(

)(n

)1b)(1a(SSAB

E)MSAB(E


Respuesta promedio para cada combinación de los tratamientos

Gráfica tipo de material-temperatura

0.0

25.0

50.0

75.0

100.0

125.0

150.0

175.0

15 °F 70 °F 125 °F

Temperatura

Vid

a p

rom

ed

io

M1

M2

M3


Tabla de ANOVA para la vida de la Tabla de ANOVA para la vida de la bateríabatería

F.V gl SS MS Fc valor p

Material 2 10683.72 5341.86 7.911 0.0020

Temperatura 2 39118.72 19559.36 28.968 0.0000

Interacc ión 4 9613.78 2403.44 3.560 0.0186

Error 27 18230.75 675.21

Total 35 77646.97

¡La interacción ¡La interacción es es

significativa!significativa!


Como la interacción es significativa, las comparaciones entre las medias de uno de los factores (por ej. A) pueden ser empañadas por la interacción AB. Una manera útil es fijar el factor B en un nivel específico y aplicar alguna prueba de comparación (ej. Tukey) a las medias del factor A con ese nivel.

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