ESCALERA

El diseño de la escalera se realiza teniendo en cuenta que se conformará por dos tramos con un descanso intermedio.

Para el diseño de la escalera se tendrá en cuenta las siguientes consideraciones:

Altura libre entre pisos de 2.90m. Holgura correspondiente al acabado y el cielo rezo 0.1m. Longitud de la huella 0.3m.

De esta manera se tiene que:

Altura de la escalera

La altura de la escalera estará compuesta de los siguientes componentes:

Alturatotal=Altura libre+Espesor de losa del segundo piso+Holgura para acabados

Así:

Altura de laescalera=2.9m+0.6m+0.1m=3.6m

Dimensiones

Dadas las condiciones geométricas de la escalera, se cubrirá la distancia entre pisos en dos tramos de la siguiente longitud:

h=( altura total )

2=3.6m

2=1.8m

Contrahuella: Para efectos prácticos se trabajará con una contrahuella de 0.18m, valor cercano al que actualmente es utilizado por los arquitectos en el medio colombiano (0.175), con esto se subirá hasta el descanso en 10 contrahuellas.

Huella: Se trabajará con una huella de 0.3m con lo cual se cumple con la normativa colombiana (NSR-10) que en la sección K.3.8.3.4 literal “a” establece dicha medida como la mínima admisible. De esta manera se abarcaría la altura hasta el descanso en 9 huellas.

Angulo de la escalera: Dicho ángulo vendrá dado por la siguiente expresión:

tanα=0.180.3

α ≈30.96 °

En donde:

α: Ángulo entre la horizontal y la escalera.

Espesor de la losa: Dicho espesor se considerará en función de la normativa colombiana NSR-10 y se considerará para diseño como una losa maciza en una dirección para estas condiciones en la sección C.9.5.2.6 en la tabla C.9.5(a) de la NSR-10 se habla de que dicho espesor se:

t= l20

En donde:

t: es el espesor de la losa.

l: es la luz entre apoyos.

De esta manera se tiene:

t=4.7m20

=0.235m

Avalúo de cargas:

Es importante tener en cuenta que según la NSR-10 la carga viva considerada para escaleras no debe ser inferior a 3.00 KN/m2

Dado que como se mencionó previamente para el diseño de la escalera, esta se toma como su proyección en planta, se considerarán para el avalúo de cargas dos tramos: tramo inclinado y descanso se tiene:

Tramo inclinado:

Cálculo Resultado (KN/m2)Peso propio de la losa (0.235∗1∗1∗24 )

cos (30.96 )6.58

Peso de los peldaños ( 0.18∗0.232∗1∗24)

0.3

2.16

Peso del acabado en granito para los peldaños

0.045∗0.18+0.30.3

∗1∗22 1.584

Peso del afinado inferior en pañete

(0.02∗1∗1∗22 )cos (30.96)

0.51

Subtotal 10.84Carga viva 3.00

Total 13.84

Descanso:

Cálculo Resultado (KN/m2)Peso propio de la losa (0.235∗1∗1∗24 ) 6.58Peso del acabado superior de granito

0.045∗1∗1∗22 0.99

Peso del afinado inferior en pañete

0.02∗1∗1∗22 0.44

Subtotal 7.07Carga viva 3.00

Total 10.07

Diseño:

En primera instancia con las cargas obtenidas se realizará un diagrama de cargas en proyección horizontal por metro de ancho, tal como se muestra en las siguientes imágenes (imágenes obtenidas con el programa SAP2000-v14):

Diagrama de Cargas

Diagrama de cortante

A B

AB

Diagrama de momento

Cálculo de reacciones

Con el objeto de corroborar los resultados obtenidos por medio del programa SAP2000-v14 a continuación se calculan manualmente las reacciones y el momento máximo:

Basados en la figura del diagrama de cargas se tiene que:

RA=12∗10.07∗4.7+ 3.77∗2.7∗3.35

4.7=30.92KN

RB=12∗10.07∗4.7+ 3.77∗2.7∗1.35

4.7=26.59KN

Cálculo del momento máximo

El momento máximo estará definido por la siguiente ecuación:

M ¿

Donde x0=RA

13.84=2.23m

De esta manera se tiene que:

M ¿

Diseño elástico

Se tiene por condiciones de implementación del proyecto las siguientes características de los materiales:

fs=170MPa f ' c=35.2MPa E s=200000MPa

Ec=3900∗√35.2≈23138MPa

Con estos datos, se calcula el valor de n y la cuantía.

A B

Cálculo de n:

n=ES

Ec

=20000023138

=8.6

Cálculo de la cuantía:

Para este cálculo se hará uso de las siguientes fórmulas:

M=12∗f ' c∗k∗ j∗b∗d2 ; f ' c=

fsn∗K

k+1; j=1−

K3

K=−nρ+√ (nρ )2+2∗n∗ρ ; As= ρb∗d

Teniendo en cuenta el reglamento colombiano (NSR-10), se proporcionará un recubrimiento al refuerzo de 20mm, por lo que para el cálculo de la altura efectiva se tiene que:

d=0.235-0.02=0.215

Utilizando un b=1m y d=0.215 se calcula la cuantía

M=

12∗f s

n∗k

k+1k (1−13∗k )∗b∗d2

Remplazando se obtiene:

34.48=

12∗170000KPa

8.6∗k

k+1∗k∗(1−13∗k )∗1∗0.2152

De donde:

k=0.2487

Ahora se calcula la armadura necesaria teniendo en cuenta un diseño subreforzado:

AS=0.001028m2=1028m m2

De esta manera se elige el siguiente refuerzo:

A B

ϕ superior 12

' '

c /0.25 12

' '

c /0.25

ϕinferior 12

' '

c /0.125 12

' '

c /0.25 12

' '

c /0.125

Dada la reacomodación de hierros, se recalcula la cuantía teniendo en cuenta que son necesarias 8 barras por metro:

ρ=A s

b∗d= 8∗1291000∗215

=0,0048

Determinación del factor de seguridad:

Para la verificación del factor de seguridad con el que se está trabajando es necesario aplicar la teoría de resistencia última dado que por el método elástico es imposible su obtención:

Por resistencia última se tiene que:

ϕ M n=ϕ∗A s∗f y∗(d−a2 )

En donde:

a=ρ f y

0.85∗f c' ∗d

Se tiene entonces que:

a=0.004784∗4200.85∗36.2

∗0.215=0.014438

ϕ M n=0.9∗8∗0.000129∗420000(0.215−0.01442 )=81.06KN /m

Así:

U =ϕ M n

M max

=81.0634.48

=2.35

F . S=Uϕ

=3.350.9

=2.61

Esfuerzo de trabajo:

f cmax=15.8MPa=0.45 f ´c

f s=17MPa

k=−8.6∗0.004784+√ (8.6∗0.004784 )2+2∗8.6∗0.004784

k=0.248646

f s'=

f s

n∗k

k+1=

1708.6

∗0.248646

0.248646=3.94MPa .

Refuerzo transversal

Para el refuerzo transversal se utilizará la siguiente fórmula:

A s=0.0018∗b∗t

A s=0.0018∗0.215∗1=0.000387m2

Que se distribuirán de la siguiente manera:

ϕ38

cada0.16metros

Diseño a cortante:

Teniendo en cuenta las reacciones halladas anteriormente, se procede al cálculo del cortante a una distancia “d” del borde del apoyo:

V d=30.92−13.84∗0.215∗1=27.94KN

Ahora si se usa el factor de carga utilizado anteriormente se obtiene que:

U V d=27.94∗2.35=65.67KN

El esfuerzo cortante es por tanto:

vu=65.671∗0.215

=305.43 KN

m2

ϕ V c=ϕ√ f c

'

6=0.85∗√35.2

6=0.8405=840,5KPa

Como se observa:

vu<ϕ V c

305.43KPa<840,5KPa

El esfuerzo cortante por tanto es resistido por el concreto y no es necesario colocar refuerzo.

Diseño de las vigas de la escalera (Viga 5)

Para el diseño de la viga de la escalera, se deben tener en cuenta en primera instancia, que su comportamiento está regido principalmente por las viguetas tipo 3 que llegan a ella, según se vio anteriormente dicha viga tendrá una resultante hacia arriba en lugar de una fuerza hacia abajo, levantando las vigas y produciendo un momento negativo, dicha reacción tiene un valor de 9,3 espaciadas a cada metro, para efectos de seguridad se tendrán en cuenta dos escenarios de carga, en primera instancia se trabajará con dicha resultante y finalmente se aplicara una carga distribuida a lo largo de la luz entre la viga de carga B y la viga de la escalera, para la vigueta tipo 3.

Diseño a flexión para la viga5:

Escenario de carga A.

Cargas sobre la viga:

Cabe mencionar que la carga de la vigueta se tomara como distribuida dividiendo su valor entre el espaciamiento entre viguetas, que tiene un valor de 1 metro.

Peso propio: 0.30*0.65*1*24 = 4,68KN/m

Reacción de la vigueta tipo 3= -9.3/1 = -9,3KN/m

Reacción del lado del plano inclinado de la escalera (Ra) = 30,92KN/m

Total carga = 26,3KN/m

Para hallar el momento máximo en la viga y poder realizar el diseño a flexión de la viga 6 o viga de la escalera se deberá solucionar el siguiente modelo:

Viga 5 para escenario de carga A

Por lo tanto se obtiene por medio del software SAP2000v-14 el siguiente momento flector:

Momentos en la viga 5 para escenario de carga A

Por lo cual se obtiene el momento máximo de la viga y se procede con el diseño por el método de la resistencia última:

M n=53,26KNm

∅ M n=1,57∗53,26=83,62KNm

Se tiene las siguientes especificaciones:

f’c=35,2MPa, acero de fy=420 MPa, y la viga contará con las siguiente especificaciones: b=0,30 y d=0,49.

Se utiliza la siguiente fórmula para el diseño por resistencia última:

ϕ M n=ϕρ f y (1−0.59 ρf y

f ' c)b d2

Así remplazando se obtiene que:

83,62=0,9∗420000∗ρ∗(1−0.59∗ρ∗42000035200 )∗0.3∗0,492

Resolviendo para ρ se obtiene que :

ρ=0.003141

Con esta cuantía se procede al cálculo de la armadura a la flexión:

A s=ρbd

A s=0.003141∗0.3∗0.49

A s=461,7mm2

Por lo que el acero correspondería a:

Refuerzo inferior= 2 φ3/8”+1 φ1/2”

Escenario de carga B.

En este escenario se considera una carga distribuida en la vigueta 3, en la luz que va desde viga de la escalera hasta la viga de carga, esto con el fin de establecer un escenario en donde se produzca flexión positiva, dicho escenario de carga es mostrado a continuación:

Vigueta 3 para escenario de carga B

Para este caso se tienen las siguientes reacciones:

Reacciones de la vigueta 3 para el escenario de carga B

Se procede a realizar el análisis:

Peso propio = 0,3*0,65*1*24 =4,68KN/m

Reacción de la vigueta= 2,82/1 =2,82KN/m

Reacción del lado del plano inclinado de la escalera (Ra) = 30,92KN/m

Carga total = 38,42KN/m

Por tanto el modelo a resolver mediante SAP200v14 para la viga 5 de la escalera en este caso es:

Viga 5(escalera) escenario de carga B

Diagrama de momentos viga 5 escenario de carga B.

∅ M n=1,57∗77,5=121,675KNm

El diseño se realiza de manera similar al caso anterior:

b=0,30 y d=0,49.

ϕ M n=ϕρ f y (1−0.59 ρf y

f ' c)b d2

Así remplazando se obtiene que:

121,675=0,9∗420000∗ρ∗(1−0.59∗ρ∗42000035200 )∗0.3∗0,492

Resolviendo para ρ se obtiene que :

ρ=0.004619

Con esta cuantía se procede al cálculo de la armadura a la flexión:

A s=ρbd

A s=0.004619∗0.3∗0.49

A s=1425,8mm2

Por lo que el acero correspondería a:

Refuerzo inferior= 3 φ1”

Diseño a cortante para la viga 5:

El caso que mejor representa el funcionamiento de la viga es el caso A, se decide realizar el análisis de cortante basado en las condiciones de dicho escenario de carga.

El diagrama de cortante para la viga 5, es el mostrado a continuación:

Cortante para la viga 5 en escenario de carga A.

Se puede observar que el cortante máximo es:

V=53,26KN

Por relación de triángulos se obtiene el cortante a una distancia d del apoyo, este valor es:

V d=40,21KN

Se multiplica por el factor de carga utilizado:

U V d=1.57∗40,21=63,13KN

El esfuerzo cortante será entonces:

vu=63,130.3∗0.65

=323,74KN /m2

Comparando este valor con la resistencia a cortante del concreto se tiene que:

323,74KN /m2<840.5KN /m2

Se concluye finalmente que no es necesario refuerzo para esfuerzo cortante, sin embargo, por procesos constructivos se podrán flejes, de 3/8” a cada d/2=0,245m.

Diseño de las vigas de la escalera (Viga 6)

Diseño a flexión para la viga6:

Escenario de carga A.

Avalúo de cargas sobre la viga:

Peso propio= 0.3*0.65*1*24 =4,68KN/m

Reacción de la vigueta tipo 3= -9.3/1 = -9,3KN/m

Reacción del lado del descanso de la escalera (Rb) =26.59KN /m

Total carga = 21,97KN/m

Se procede a la modelación en SAP200v14:

Viga 6 para escenario de carga A.

Momentos en la viga 6 para el escenario de carga A.

Se tiene por el método de la resistencia última que:

∅ M n=1,57∗44,6=70,022KNm

ϕ M n=ϕρ f y (1−0.59 ρf y

f ' c)b d2

Así remplazando se obtiene que:

70,022=0,9∗420000∗ρ∗(1−0.59∗ρ∗42000035200 )∗0.3∗0,492

Resolviendo para ρ se obtiene que :

ρ=0.00262

Con esta cuantía se procede al cálculo de la armadura a la flexión:

A s=ρbd

A s=0.001657∗0.3∗0.49

A s=385,14m m2

Por lo que el acero correspondería a:

Refuerzo inferior= 3 φ1/2”

Escenario de carga B.

Al igual que en el diseño para la viga 5 se toma una carga distribuida en la luz de la vigueta 3 entre la viga de carga y la viga de la escalera para que la reacción produzca una flexión positiva.

Siguiendo de esta manera lo expuesto anteriormente las cargas serán:

Avalúo de cargas sobre la viga:

Peso propio= 0.3*0.65*1*24 =4,68KN/m

Reacción de la vigueta tipo 3=2,82/1 =2,82KN/m

Reacción del lado del descanso de la escalera (Rb) =26.59KN /m

Total carga = 34,09KN/m

Se procede a la modelación:

Viga 6 para escenario de carga B

Momento en viga 6 para escenario de carga B.

Por el método de la resistencia última se tiene que:

∅ M n=1,57∗68,84=108,079KNm

ϕ M n=ϕρ f y (1−0.59 ρf y

f ' c)b d2

Así remplazando se obtiene que:

108,079=0,9∗420000∗ρ∗(1−0.59∗ρ∗42000035200 )∗0.3∗0,492

Resolviendo para ρ se obtiene que :

ρ=0.004087

Con esta cuantía se procede al cálculo de la armadura a la flexión:

A s=ρbd

A s=0.004087∗0.3∗0,49

A s=600,8m m2

Por lo que el acero correspondería a:

Refuerzo inferior= 3 φ3/4”

Diseño a cortante para la viga 6 :

El caso que mejor representa el funcionamiento de la viga es el caso A, se decide realizar el análisis de cortante basado en las condiciones de dicho escenario de carga.

El diagrama de cortante para la viga 6, es el mostrado a continuación:

Cortante para la viga 6 en escenario de carga A.

Se puede observar que el cortante máximo es:

V=44,6KN

Por relación de triángulos se obtiene el cortante a una distancia d del apoyo, este valor es:

V d=33,673KN

Se multiplica por el factor de carga utilizado:

U V d=1.57∗33,673=52,87KN

El esfuerzo cortante será entonces:

vu=52,870.3∗0.65

=271,11KN /m2

Comparando este valor con la resistencia a cortante del concreto se tiene que:

271,11K N /m2<840.5KN /m2

Se concluye finalmente que no es necesario refuerzo para esfuerzo cortante, sin embargo, por procesos constructivos se podrán flejes, de 3/8” a cada d/2=0,245m.

Diseño de las vigas de la escalera (vigas 3 y 4)

Diseño a flexión:

Solo se realiza un diseño para estas vigas dado que ambas soportan las mismas cargas, teniendo en cuenta que la longitud aferente correspondiente a la viga de la escalera es de 1,09m se tiene que:

Cargas:

Cargas distribuidas:

Peso propio= 0,30*0,65*1*24 = 4,68 KN/m

Peso de losa=1,09*0,05*1*24 = 0,384KN/m

Peso de la madera laminada=0,25KN/m2*1,09 m = 1,34KN/m

Peso del cielo raso colgante= 0,29 KN/m2*1,09m = 0,3161

Peso del mortero afinado = 1,09*0,03*1*22 =0,7194 KN/m

Carga distribuida total =7,4395 KN/m

Reacciones puntuales:

Reacción de la viga 5 =53,26 KN

Reacción de la viga 6 = 44,6KN

Basados en los datos obtenidos anteriormente se procede a la modelación en SAP2000v14, de la siguiente manera, con el fin acercarse a un resultado similar al que arrojaría una viga semiempotrada:

En primera instancia se modela la viga con las cargas mencionadas anteriormente, con la viga empotrada, esto con el fin de establecer los momentos en los apoyos.

Se toma la mitad de los momentos en los apoyos, las cargas mencionadas anteriormente y se modela la viga como viga simplemente apoyada.

Los diagramas de la modelación son los siguientes:

Cargas asignadas:

Cargas asignadas sobre la viga 4

Momentos para viga empotrada:

Diagrama de momentos para viga 4 tomando apoyos empotrados

Por tanto la mitad de los momentos será:

Ma=160,49/2=80,245.

Md=152,46/2=76,23

Momentos para la viga semiempotrada (caso a utilizar para realizar el diseño):

Diagrama de momentos para viga 4 tomando apoyos simples y momentos puntuales

Con las especificaciones de material f’c=35.2 MPa, acero de fy=420 MPa, y a saber, en la viga, b=0.30 y d=0.49; se procede a mostrar la síntesis de diseño a flexión:

Flexion A BLuz(m) 10

Mn (KN*m)

80,25 218,19 76,23

φMn 125,9925 342,5583 119,6811ρ 0,00429 0,012406 0,004073

Asmm^2 630,63 1823,682 598,731φ superior 3 φ 3/4" 3 φ 3/4"φ inferior 2 φ 7/8" 5 φ 7/8" 2 φ 7/8"

Diseño a cortante

Diagrama de cortante para viga 4

Se tiene entonces el siguiente análisis:

Cortante A BV(KN) 108,05 125,217

Vd(KN) 103,51 120,677Vu 162,5107 189,46289vu 510,23767

7594,85993

7φvs No

necesitaNo

necesita

Como en casos anteriores se puede observar que el cortante es resistido por el concreto, por tal razón solo se diseñaran flejes con propósitos constructivos, dichos flejes son mostrados en el plano.