Discrete Wavelet Transform
Transcript of Discrete Wavelet Transform
[/50]Seminario Wavelet
Seminario
Wavelet
martedì 16 marzo 2010
[/50]Seminario Wavelet
IndiceFourier Transform Short-time Fourier Transform
Continuous Wavelet TransformDiscrete Wavelet Transform Applicazioni
CompressioneDenoising…
Fusione di immagini multirisoluzione
martedì 16 marzo 2010
[/50]Seminario Wavelet
Introduzione
La Trasformata Wavelet è uno strumento matematico semplice adatto all’analisi numerica di segnali (suoni ed immagini)
La WT nacque nei primi anni ’80 ed inizialmente fu utilizzata per la rappresentazione di segnali sismici
La teoria matematica fu formulata rigorosamente a metà degli anni ’80
martedì 16 marzo 2010
[/50]Seminario Wavelet
Fourier Transform (FT)
La FT è applicata a segnali per ottenere ulteriori informazioni che altrimenti non sarebbero individuabili nel dominio temporale (spaziale).
Il valore della FT in fo è uguale al prodotto tra il segnale x(t) e l’esponenziale valutato in fo integrato su tutto l’asse temporale
FT
Inverse FT
martedì 16 marzo 2010
[/50]Seminario Wavelet
Il segnale viene rappresentato con un insieme di funzioni base(esponenziali complessi) a differenti frequenze.
Funzioni base:
eo e2
e1 x
…
martedì 16 marzo 2010
[/50]Seminario Wavelet
Il segnale viene rappresentato con un insieme di funzioni base(esponenziali complessi) a differenti frequenze.
Funzioni base:
Esempio: l’onda quadra può essere espressa come somma infinita di coseni con opportune ampiezze e fasi
eo e2
e1 x
…
martedì 16 marzo 2010
[/50]Seminario Wavelet
Il segnale viene rappresentato con un insieme di funzioni base(esponenziali complessi) a differenti frequenze.
Funzioni base:
Esempio: l’onda quadra può essere espressa come somma infinita di coseni con opportune ampiezze e fasi
eo e2
e1 x
…
f1
martedì 16 marzo 2010
[/50]Seminario Wavelet
Il segnale viene rappresentato con un insieme di funzioni base(esponenziali complessi) a differenti frequenze.
Funzioni base:
Esempio: l’onda quadra può essere espressa come somma infinita di coseni con opportune ampiezze e fasi
eo e2
e1 x
…
f1,f2 f1
martedì 16 marzo 2010
[/50]Seminario Wavelet
Il segnale viene rappresentato con un insieme di funzioni base(esponenziali complessi) a differenti frequenze.
Funzioni base:
Esempio: l’onda quadra può essere espressa come somma infinita di coseni con opportune ampiezze e fasi
eo e2
e1 x
…
f1,f2 f1
f1,f2,f3
martedì 16 marzo 2010
[/50]Seminario Wavelet
Il segnale viene rappresentato con un insieme di funzioni base(esponenziali complessi) a differenti frequenze.
Funzioni base:
Esempio: l’onda quadra può essere espressa come somma infinita di coseni con opportune ampiezze e fasi
eo e2
e1 x
…
f1,f2 f1
f1,f2,f3
…
f1,f2,f3 ,f4
martedì 16 marzo 2010
[/50]Seminario Wavelet
La FT è utilizzata con successo nell’elaborazione di segnali
FT
Filtro
Segnale
Segnale filtrato
Filtraggio
martedì 16 marzo 2010
[/50]Seminario Wavelet
La FT è utilizzata con successo nell’elaborazione di segnali
FT
Filtro
Segnale
Segnale filtrato
Filtraggio
La FT è utilizzata con successo nell’elaborazione di immagini
Filtraggio
Segnale Segnale filtrato
martedì 16 marzo 2010
[/50]Seminario Wavelet
Problema:
martedì 16 marzo 2010
[/50]Seminario Wavelet
Problema:
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Problema:
FT
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Problema:
FT
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Problema:
FT
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Problema:
FT
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[/50]Seminario Wavelet
Problema:
FT
FT
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[/50]Seminario Wavelet
Problema:
Perché le rappresentazioni spettrali dei due segnali sono simili ?
FT
FT
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Nella FT si perde ogni indicazione temporale.L’integrazione sull’asse temporale è da – infinito a + infinito e quindi viene soltanto determinato se su una certa componente frequenziale è presente oppure no, ma non dove essa è presente nel tempo.In altre parole, se la frequenza fo appare soltanto all’istante t1, oppure soltantoall’istante t2, non ci saranno differenze nel calcolo della FT.
La FT non è adatta a rappresentare segnali non stazionari, cioè segnali concomponenti frequenziali variabili nel tempo.
La FT ha senso soltanto se il segnale èstazionario con componenti frequenzialicostanti nel tempo
L’informazione in frequenza non è dipendente da dove le componenti appaiono nel tempo
martedì 16 marzo 2010
[/50]Seminario Wavelet
Short-Time Fourier Transform (STFT)Quale è il problema della FT?Non funziona correttamente per segnali non stazionari.
martedì 16 marzo 2010
[/50]Seminario Wavelet
Short-Time Fourier Transform (STFT)Quale è il problema della FT?Non funziona correttamente per segnali non stazionari.
Supponiamo che il segnale non stazionario sia stazionario su intervalli regolari. E’ possibile allora applicare la FT su tali intervalli senza generare ambiguità.
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La STFT fornisce una rappresentazione tempo-frequenza
Si applica una finestra temporale sul segnale e si prende la FT
La base adesso è data da funzioni complesse finestrate con lunghezza finita (a supporto compatto)
Finestra
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STFT
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STFT
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STFT
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STFT
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STFT
STFT
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[/50]Seminario Wavelet
STFT
STFT
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[/50]Seminario Wavelet
STFT
STFT
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[/50]Seminario Wavelet
STFT
STFT
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[/50]Seminario Wavelet
STFT
STFT
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Problema: quanto deve essere ampia la finestra?
Finestra stretta ⇒ buona risoluzione nel tempo, cattiva risoluzione in frequenza Finestra ampia ⇒ buona risoluzione in frequenza, cattiva risoluzione nel tempo
Nella FT(x(t)) risoluzione frequenziale infinita ma risoluzione temporale nulla.Per x(t) risoluzione frequenziale nulla, ma risoluzione temporale infinita. La perfetta risoluzione in frequenza di FT(x(t)) è dovuta alla finestra infinita data dall’esponenziale complesso.Nella STST la finestra è di durata finita e quindi è possibile avere una cattiva localizzazione del segnale trasformato.
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Risoluzione in frequenza Risoluzione nel tempo
martedì 16 marzo 2010
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Risoluzione in frequenza Risoluzione nel tempo
Cattiva localizzazione frequenziale Buona localizzazione temporale
In grado di rilevare componenti ad alta frequenza
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[/50]Seminario Wavelet
Risoluzione in frequenza Risoluzione nel tempo
Cattiva localizzazione frequenziale Buona localizzazione temporale
In grado di rilevare componenti ad alta frequenza
Cattiva localizzazione temporale Buona localizzazione frequenziale
In grado di rilevare componenti a bassa frequenza
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martedì 16 marzo 2010
[/50]Seminario Wavelet
Sinusoide a frequenza f0
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Sinusoide a frequenza f1
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Sinusoide a frequenza f2
martedì 16 marzo 2010
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martedì 16 marzo 2010
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Sinusoide a frequenza f3
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martedì 16 marzo 2010
[/50]Seminario Wavelet
f0> f1> f2> f3
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STFT
f0> f1> f2> f3
martedì 16 marzo 2010
[/50]Seminario Wavelet
L’ampiezza della finestra viene variata dal parametro a ed è così calcolata laSTFT in quattro diverse situazioni
STFT
f0> f1> f2> f3
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[/50]Seminario Wavelet
martedì 16 marzo 2010
[/50]Seminario Wavelet
martedì 16 marzo 2010
[/50]Seminario Wavelet
Cattiva localizzazione in frequenza
martedì 16 marzo 2010
[/50]Seminario Wavelet
Cattiva localizzazione in frequenzaBuona localizzazione nel tempo
martedì 16 marzo 2010
[/50]Seminario Wavelet
Cattiva localizzazione in frequenzaBuona localizzazione nel tempo
martedì 16 marzo 2010
[/50]Seminario Wavelet
Cattiva localizzazione in frequenzaBuona localizzazione nel tempo
Migliore localizzazione in frequenza
martedì 16 marzo 2010
[/50]Seminario Wavelet
Cattiva localizzazione in frequenzaBuona localizzazione nel tempo
Migliore localizzazione in frequenza
Peggiore localizzazione nel tempo
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martedì 16 marzo 2010
[/50]Seminario Wavelet
martedì 16 marzo 2010
[/50]Seminario Wavelet
Buona localizzazione in frequenza
martedì 16 marzo 2010
[/50]Seminario Wavelet
Cattiva localizzazione temporale
Buona localizzazione in frequenza
martedì 16 marzo 2010
[/50]Seminario Wavelet
Cattiva localizzazione temporale
Buona localizzazione in frequenza
martedì 16 marzo 2010
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Pessima localizzazione temporale
Cattiva localizzazione temporale
Buona localizzazione in frequenza
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Tassellazione del piano frequenza-tempo
Al variare del tempo e della frequenza, le risoluzioni temporali ele risoluzioni frequenziali rimangono costanti.
martedì 16 marzo 2010
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Continuous Wavelet Transform (CWT)Nella STFT, sono presenti dei limiti di rappresentazione dovuti allalarghezza non variabile della finestra.
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Continuous Wavelet Transform (CWT)Nella STFT, sono presenti dei limiti di rappresentazione dovuti allalarghezza non variabile della finestra.
Analizziamo il segnale con una funzione modulante a larghezza variabile.
con la funzione wavelet
martedì 16 marzo 2010
[/50]Seminario Wavelet
Correlazione tra x e ψ* Wavelet significa onda piccola ψ*(t) è la Wavelet madre (s=1) τ indica la traslazione sull’asse temporale della Wavelet s è il parametro di scala ed è concettualmente simile alla scala utilizzata nelle mappe
Alte scale visioni globali del segnale non dettagliate temporalmente
Basse scale visioni dettagliate del segnale nel tempo
martedì 16 marzo 2010
[/50]Seminario Wavelet
Correlazione tra x e ψ* Wavelet significa onda piccola ψ*(t) è la Wavelet madre (s=1) τ indica la traslazione sull’asse temporale della Wavelet s è il parametro di scala ed è concettualmente simile alla scala utilizzata nelle mappe
Alte scale visioni globali del segnale non dettagliate temporalmente
Basse scale visioni dettagliate del segnale nel tempo
Funzione oscillante
Finestra di lunghezza finita
martedì 16 marzo 2010
[/50]Seminario Wavelet
Correlazione tra x e ψ* Wavelet significa onda piccola ψ*(t) è la Wavelet madre (s=1) τ indica la traslazione sull’asse temporale della Wavelet s è il parametro di scala ed è concettualmente simile alla scala utilizzata nelle mappe
Alte scale visioni globali del segnale non dettagliate temporalmente
Basse scale visioni dettagliate del segnale nel tempo
Funzione oscillante
Finestra di lunghezza finita
Che cosa succede al variare del parametro di scala s ?
Espansione Wavelets
s aumenta
martedì 16 marzo 2010
[/50]Seminario Wavelet
Correlazione tra x e ψ* Wavelet significa onda piccola ψ*(t) è la Wavelet madre (s=1) τ indica la traslazione sull’asse temporale della Wavelet s è il parametro di scala ed è concettualmente simile alla scala utilizzata nelle mappe
Alte scale visioni globali del segnale non dettagliate temporalmente
Basse scale visioni dettagliate del segnale nel tempo
Funzione oscillante
Finestra di lunghezza finita
Che cosa succede al variare del parametro di scala s ?
Espansione Wavelets
s aumenta
martedì 16 marzo 2010
[/50]Seminario Wavelet
Correlazione tra x e ψ* Wavelet significa onda piccola ψ*(t) è la Wavelet madre (s=1) τ indica la traslazione sull’asse temporale della Wavelet s è il parametro di scala ed è concettualmente simile alla scala utilizzata nelle mappe
Alte scale visioni globali del segnale non dettagliate temporalmente
Basse scale visioni dettagliate del segnale nel tempo
Funzione oscillante
Finestra di lunghezza finita
Che cosa succede al variare del parametro di scala s ?
Espansione Wavelets
s aumenta
martedì 16 marzo 2010
[/50]Seminario Wavelet
Correlazione tra x e ψ* Wavelet significa onda piccola ψ*(t) è la Wavelet madre (s=1) τ indica la traslazione sull’asse temporale della Wavelet s è il parametro di scala ed è concettualmente simile alla scala utilizzata nelle mappe
Alte scale visioni globali del segnale non dettagliate temporalmente
Basse scale visioni dettagliate del segnale nel tempo
Funzione oscillante
Finestra di lunghezza finita
Che cosa succede al variare del parametro di scala s ?
Espansione Wavelets
s aumenta
Compressione Wavelets
s diminuisce
martedì 16 marzo 2010
[/50]Seminario Wavelet
Correlazione tra x e ψ* Wavelet significa onda piccola ψ*(t) è la Wavelet madre (s=1) τ indica la traslazione sull’asse temporale della Wavelet s è il parametro di scala ed è concettualmente simile alla scala utilizzata nelle mappe
Alte scale visioni globali del segnale non dettagliate temporalmente
Basse scale visioni dettagliate del segnale nel tempo
Funzione oscillante
Finestra di lunghezza finita
Che cosa succede al variare del parametro di scala s ?
Espansione Wavelets
s aumenta
Compressione Wavelets
s diminuisce
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[/50]Seminario Wavelet
Correlazione tra x e ψ* Wavelet significa onda piccola ψ*(t) è la Wavelet madre (s=1) τ indica la traslazione sull’asse temporale della Wavelet s è il parametro di scala ed è concettualmente simile alla scala utilizzata nelle mappe
Alte scale visioni globali del segnale non dettagliate temporalmente
Basse scale visioni dettagliate del segnale nel tempo
Funzione oscillante
Finestra di lunghezza finita
Che cosa succede al variare del parametro di scala s ?
Espansione Wavelets
s aumenta
Compressione Wavelets
s diminuisce
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[/50]Seminario Wavelet
Interpretazione della CWT
Fissato τ1 ed s1
Prodotto
martedì 16 marzo 2010
[/50]Seminario Wavelet
Interpretazione della CWT
Fissato τ1 ed s1
Prodotto
martedì 16 marzo 2010
[/50]Seminario Wavelet
Interpretazione della CWT
Fissato τ1 ed s1
Prodotto
martedì 16 marzo 2010
[/50]Seminario Wavelet
Interpretazione della CWT
Fissato τ1 ed s1
Prodotto
martedì 16 marzo 2010
[/50]Seminario Wavelet
Fissato s1 ,τ varia da –infinito a +infinito
martedì 16 marzo 2010
[/50]Seminario Wavelet
Fissato s1 ,τ varia da –infinito a +infinito
martedì 16 marzo 2010
[/50]Seminario Wavelet
Fissato s1 ,τ varia da –infinito a +infinito
martedì 16 marzo 2010
[/50]Seminario Wavelet
Fissato s1 ,τ varia da –infinito a +infinito
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[/50]Seminario Wavelet
Fissato τ1 , s varia da –infinito a +infinito
Fissato s1 ,τ varia da –infinito a +infinito
martedì 16 marzo 2010
[/50]Seminario Wavelet
Fissato τ1 , s varia da –infinito a +infinito
Fissato s1 ,τ varia da –infinito a +infinito
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[/50]Seminario Wavelet
Fissato τ1 , s varia da –infinito a +infinito
Fissato s1 ,τ varia da –infinito a +infinito
martedì 16 marzo 2010
[/50]Seminario Wavelet
Fissato τ1 , s varia da –infinito a +infinito
Fissato s1 ,τ varia da –infinito a +infinito
martedì 16 marzo 2010
[/50]Seminario Wavelet
Il parametro di scala è inversamente proporzionale alla frequenza Per valori di s elevati, le Wavelets sono molto ampie, equivalente ad analizzare il segnale ad bassa frequenza Per valori di s piccoli, le Wavelets sono molto strette, equivalente ad analizzare il segnale ad alta frequenza
FT
martedì 16 marzo 2010
[/50]Seminario Wavelet
Il parametro di scala è inversamente proporzionale alla frequenza Per valori di s elevati, le Wavelets sono molto ampie, equivalente ad analizzare il segnale ad bassa frequenza Per valori di s piccoli, le Wavelets sono molto strette, equivalente ad analizzare il segnale ad alta frequenza
FT
martedì 16 marzo 2010
[/50]Seminario Wavelet
Il parametro di scala è inversamente proporzionale alla frequenza Per valori di s elevati, le Wavelets sono molto ampie, equivalente ad analizzare il segnale ad bassa frequenza Per valori di s piccoli, le Wavelets sono molto strette, equivalente ad analizzare il segnale ad alta frequenza
FT
martedì 16 marzo 2010
[/50]Seminario Wavelet
Il parametro di scala è inversamente proporzionale alla frequenza Per valori di s elevati, le Wavelets sono molto ampie, equivalente ad analizzare il segnale ad bassa frequenza Per valori di s piccoli, le Wavelets sono molto strette, equivalente ad analizzare il segnale ad alta frequenza
FT
martedì 16 marzo 2010
[/50]Seminario Wavelet
Il parametro di scala è inversamente proporzionale alla frequenza Per valori di s elevati, le Wavelets sono molto ampie, equivalente ad analizzare il segnale ad bassa frequenza Per valori di s piccoli, le Wavelets sono molto strette, equivalente ad analizzare il segnale ad alta frequenza
FT
martedì 16 marzo 2010
[/50]Seminario Wavelet
Il parametro di scala è inversamente proporzionale alla frequenza Per valori di s elevati, le Wavelets sono molto ampie, equivalente ad analizzare il segnale ad bassa frequenza Per valori di s piccoli, le Wavelets sono molto strette, equivalente ad analizzare il segnale ad alta frequenza
FT
martedì 16 marzo 2010
[/50]Seminario Wavelet
Il parametro di scala è inversamente proporzionale alla frequenza Per valori di s elevati, le Wavelets sono molto ampie, equivalente ad analizzare il segnale ad bassa frequenza Per valori di s piccoli, le Wavelets sono molto strette, equivalente ad analizzare il segnale ad alta frequenza
FT
martedì 16 marzo 2010
[/50]Seminario Wavelet
martedì 16 marzo 2010
[/50]Seminario Wavelet
CWT
martedì 16 marzo 2010
[/50]Seminario Wavelet
CWT
S=100
martedì 16 marzo 2010
[/50]Seminario Wavelet
CWT
S=100
martedì 16 marzo 2010
[/50]Seminario Wavelet
CWT
S=20S=100
martedì 16 marzo 2010
[/50]Seminario Wavelet
CWT
S=20S=100
martedì 16 marzo 2010
[/50]Seminario Wavelet
CWT
S=10S=20S=100
martedì 16 marzo 2010
[/50]Seminario Wavelet
CWT
S=10S=20S=100
martedì 16 marzo 2010
[/50]Seminario Wavelet
martedì 16 marzo 2010
[/50]Seminario Wavelet
Introduzione di uno “spike”
martedì 16 marzo 2010
[/50]Seminario Wavelet
CWT
Introduzione di uno “spike”
martedì 16 marzo 2010
[/50]Seminario Wavelet
CWT
Introduzione di uno “spike”
Viene individuata una componente in alta frequenza (bassa scala)
martedì 16 marzo 2010
[/50]Seminario Wavelet
CWT
Introduzione di uno “spike”
Per fattori di scala piccoli, otteniamo una buona risoluzione temporale ma una cattiva risoluzione in frequenza Per fattori di scala elevati, otteniamo una cattiva risoluzione temporale ed una buona risoluzione in frequenza
Viene individuata una componente in alta frequenza (bassa scala)
martedì 16 marzo 2010
[/50]Seminario Wavelet
Tassellazione del piano frequenza-tempo
A basse frequenze, altezze dei rettangoli piccole, ma basi ampie (alta risoluzione in frequenza e bassa risoluzione nel tempo) Bassa risoluzione ad alta frequenza, ma alta risoluzione temporale
Le aree di ogni rettangolo sono sempre le stesse (uguali porzioni del piano frequenza tempo, ma differenti proporzioni)
Valori delle aree limitati inferiormente da π/4
martedì 16 marzo 2010
[/50]Seminario Wavelet
CWT Processo di analisi Wavelet
martedì 16 marzo 2010
[/50]Seminario Wavelet
CWT Processo di analisi Wavelet
Inverse CWT Processo di sintesi Wavelet
martedì 16 marzo 2010
[/50]Seminario Wavelet
CWT Processo di analisi Wavelet
Inverse CWT Processo di sintesi Wavelet
E’ possibile ricostruire x(t) purché siano verificate le condizioni di ammissibilità:
martedì 16 marzo 2010
[/50]Seminario Wavelet
CWT Processo di analisi Wavelet
Inverse CWT Processo di sintesi Wavelet
E’ possibile ricostruire x(t) purché siano verificate le condizioni di ammissibilità:
Funzione oscillante a media nulla
martedì 16 marzo 2010
[/50]Seminario Wavelet
CWT Processo di analisi Wavelet
Inverse CWT Processo di sintesi Wavelet
E’ possibile ricostruire x(t) purché siano verificate le condizioni di ammissibilità:
martedì 16 marzo 2010
[/50]Seminario Wavelet
CWT Processo di analisi Wavelet
Inverse CWT Processo di sintesi Wavelet
E’ possibile ricostruire x(t) purché siano verificate le condizioni di ammissibilità:
Filtro passa-banda
martedì 16 marzo 2010
[/50]Seminario Wavelet
Problema: i PC sono utilizzati per la maggior parte dei calcoli. La CWT può essere calcolata in pratica utilizzando analiticamente equazioni, integrali, ecc…
martedì 16 marzo 2010
[/50]Seminario Wavelet
Problema: i PC sono utilizzati per la maggior parte dei calcoli. La CWT può essere calcolata in pratica utilizzando analiticamente equazioni, integrali, ecc…
E’ perciò necessario discretizzare la CWT.
Come campionare il piano s-τ ?
martedì 16 marzo 2010
[/50]Seminario Wavelet
Discrete Wavelet Transform (DWT)E’ possibile applicare un campionamento costante su τ ed s, ma non è il migliore in quanto è ridondante.
martedì 16 marzo 2010
[/50]Seminario Wavelet
Discrete Wavelet Transform (DWT)E’ possibile applicare un campionamento costante su τ ed s, ma non è il migliore in quanto è ridondante.
Utilizziamo un campionamento variabile
martedì 16 marzo 2010
[/50]Seminario Wavelet
Discrete Wavelet Transform (DWT)E’ possibile applicare un campionamento costante su τ ed s, ma non è il migliore in quanto è ridondante.
Utilizziamo un campionamento variabile
Basse scale (alte frequenze), passo dicampionamento piccolo
martedì 16 marzo 2010
[/50]Seminario Wavelet
Discrete Wavelet Transform (DWT)E’ possibile applicare un campionamento costante su τ ed s, ma non è il migliore in quanto è ridondante.
Utilizziamo un campionamento variabile
martedì 16 marzo 2010
[/50]Seminario Wavelet
Discrete Wavelet Transform (DWT)E’ possibile applicare un campionamento costante su τ ed s, ma non è il migliore in quanto è ridondante.
Utilizziamo un campionamento variabile
Alte scale (basse frequenze), passo dicampionamento grande
martedì 16 marzo 2010
[/50]Seminario Wavelet
Discrete Wavelet Transform (DWT)E’ possibile applicare un campionamento costante su τ ed s, ma non è il migliore in quanto è ridondante.
Utilizziamo un campionamento variabile
martedì 16 marzo 2010
[/50]Seminario Wavelet
Discrete Wavelet Transform (DWT)E’ possibile applicare un campionamento costante su τ ed s, ma non è il migliore in quanto è ridondante.
Utilizziamo un campionamento variabile
Campionamento del logaritmo del fattore di scala costante
martedì 16 marzo 2010
[/50]Seminario Wavelet
Discrete Wavelet Transform (DWT)E’ possibile applicare un campionamento costante su τ ed s, ma non è il migliore in quanto è ridondante.
Utilizziamo un campionamento variabile
martedì 16 marzo 2010
[/50]Seminario Wavelet
Rappresentazione diadica
martedì 16 marzo 2010
[/50]Seminario Wavelet
Rappresentazione diadica
Da si ad si+1 il passo di campionamento si raddoppia (il numero di punti si dimezza) Per ogni valore di scala fissato, deve essere comunque rispettato il criterio di Nyquist
martedì 16 marzo 2010
[/50]Seminario Wavelet
Rappresentazione diadica
Da si ad si+1 il passo di campionamento si raddoppia (il numero di punti si dimezza) Per ogni valore di scala fissato, deve essere comunque rispettato il criterio di Nyquist
s
martedì 16 marzo 2010
[/50]Seminario Wavelet
martedì 16 marzo 2010
[/50]Seminario Wavelet
DWT per segnali a tempo continuo DWT per sequenze
martedì 16 marzo 2010
[/50]Seminario Wavelet
DWT per segnali a tempo continuo DWT per sequenze
martedì 16 marzo 2010
[/50]Seminario Wavelet
DWT per segnali a tempo continuo DWT per sequenze
martedì 16 marzo 2010
[/50]Seminario Wavelet
DWT per segnali a tempo continuo DWT per sequenze
martedì 16 marzo 2010
[/50]Seminario Wavelet
DWT per segnali a tempo continuo DWT per sequenze
martedì 16 marzo 2010
[/50]Seminario Wavelet
Analisi Multirisoluzione (MRA) per sequenze
La DWT può essere rappresentata tramite l’implementazione iterativa di due filtri passa-alto (g(n)) e passa-basso (h(n)) a mezza banda
Le caratteristiche di scalamento vengono applicate andando a sottocampionare o sovracampionare i segnali filtrati
Nx(n) y(n)
Tc di y(t) N volte più grande del Tc di x(t).
Nx(n) y(n)
Tc di y(t) N volte più piccolo del Tc di x(t).
G(z)
H(z)
2
2
martedì 16 marzo 2010
[/50]Seminario Wavelet
Analisi Multirisoluzione (MRA) per sequenze
La DWT può essere rappresentata tramite l’implementazione iterativa di due filtri passa-alto (g(n)) e passa-basso (h(n)) a mezza banda
Le caratteristiche di scalamento vengono applicate andando a sottocampionare o sovracampionare i segnali filtrati
Nx(n) y(n)
Tc di y(t) N volte più grande del Tc di x(t).
Nx(n) y(n)
Tc di y(t) N volte più piccolo del Tc di x(t).
G(z)
H(z)
2
2
martedì 16 marzo 2010
[/50]Seminario Wavelet
Analisi Multirisoluzione (MRA) per sequenze
La DWT può essere rappresentata tramite l’implementazione iterativa di due filtri passa-alto (g(n)) e passa-basso (h(n)) a mezza banda
Le caratteristiche di scalamento vengono applicate andando a sottocampionare o sovracampionare i segnali filtrati
Nx(n) y(n)
Tc di y(t) N volte più grande del Tc di x(t).
Nx(n) y(n)
Tc di y(t) N volte più piccolo del Tc di x(t).
G(z)
H(z)
2
2
martedì 16 marzo 2010
[/50]Seminario Wavelet
Analisi Multirisoluzione (MRA) per sequenze
La DWT può essere rappresentata tramite l’implementazione iterativa di due filtri passa-alto (g(n)) e passa-basso (h(n)) a mezza banda
Le caratteristiche di scalamento vengono applicate andando a sottocampionare o sovracampionare i segnali filtrati
Nx(n) y(n)
Tc di y(t) N volte più grande del Tc di x(t).
Nx(n) y(n)
Tc di y(t) N volte più piccolo del Tc di x(t).
G(z)
H(z)
2
2
martedì 16 marzo 2010
[/50]Seminario Wavelet
Analisi Multirisoluzione (MRA) per sequenze
La DWT può essere rappresentata tramite l’implementazione iterativa di due filtri passa-alto (g(n)) e passa-basso (h(n)) a mezza banda
Le caratteristiche di scalamento vengono applicate andando a sottocampionare o sovracampionare i segnali filtrati
Nx(n) y(n)
Tc di y(t) N volte più grande del Tc di x(t).
Nx(n) y(n)
Tc di y(t) N volte più piccolo del Tc di x(t).
G(z)
H(z)
2
2
martedì 16 marzo 2010
[/50]Seminario Wavelet
G(z)
H(z)
2
2
martedì 16 marzo 2010
[/50]Seminario Wavelet
G(z)
H(z)
2
2
martedì 16 marzo 2010
[/50]Seminario Wavelet
G(z)
H(z)
2
2
martedì 16 marzo 2010
[/50]Seminario Wavelet
G(z)
H(z)
2
2
Livello 1
martedì 16 marzo 2010
[/50]Seminario Wavelet
G(z)
H(z)
2
2
martedì 16 marzo 2010
[/50]Seminario Wavelet
G(z)
H(z)
2
2
Sequenza di approssimazione al livello 1
martedì 16 marzo 2010
[/50]Seminario Wavelet
G(z)
H(z)
2
2
martedì 16 marzo 2010
[/50]Seminario Wavelet
G(z)
H(z)
2
2
Sequenza di dettaglio al livello 1
martedì 16 marzo 2010
[/50]Seminario Wavelet
G(z)
H(z)
2
2
martedì 16 marzo 2010
[/50]Seminario Wavelet
G(z)
H(z)
2
2
martedì 16 marzo 2010
[/50]Seminario Wavelet
G(z)
H(z)
2
2
martedì 16 marzo 2010
[/50]Seminario Wavelet
2G(z)
H(z) 2 …
G(z)
H(z)
2
2
martedì 16 marzo 2010
[/50]Seminario Wavelet
2G(z)
H(z) 2 …
G(z)
H(z)
2
2
Livello 2
martedì 16 marzo 2010
[/50]Seminario Wavelet
2G(z)
H(z) 2 …
G(z)
H(z)
2
2
martedì 16 marzo 2010
[/50]Seminario Wavelet
2G(z)
H(z) 2 …
G(z)
H(z)
2
2
martedì 16 marzo 2010
[/50]Seminario Wavelet
2G(z)
H(z) 2 …
G(z)
H(z)
2
2
martedì 16 marzo 2010
[/50]Seminario Wavelet
2G(z)
H(z) 2 …
G(z)
H(z)
2
2
martedì 16 marzo 2010
[/50]Seminario Wavelet
2G(z)
H(z) 2 …
G(z)
H(z)
2
2
martedì 16 marzo 2010
[/50]Seminario Wavelet
RAM
MUX H(z)
G(z) 2
2
Rete di Routing
Il numero di punti delle sequenze di dettaglio e di approssimazione si riduce di un fattore 2 ad ogni passo Rispetto alla FT non viene persa la localizzazione temporale Il numero di punti del segnale determina il numero massimo di livelli di scomposizione La risoluzione delle sequenze di dettaglio e di approssimazione dipende dal livello di analisi
martedì 16 marzo 2010
[/50]Seminario Wavelet
MRA per le immagini
G(z)
H(z)
G(z)
H(z)2
2 2
2
G(z)
H(z)
2
2
…Righe Colonne
martedì 16 marzo 2010
[/50]Seminario Wavelet
MRA per le immagini
G(z)
H(z)
G(z)
H(z)2
2 2
2
G(z)
H(z)
2
2
…Righe Colonne
martedì 16 marzo 2010
[/50]Seminario Wavelet
MRA per le immagini
G(z)
H(z)
G(z)
H(z)2
2 2
2
G(z)
H(z)
2
2
…Righe Colonne
martedì 16 marzo 2010
[/50]Seminario Wavelet
MRA per le immagini
G(z)
H(z)
G(z)
H(z)2
2 2
2
G(z)
H(z)
2
2
…Righe Colonne
martedì 16 marzo 2010
[/50]Seminario Wavelet
MRA per le immagini
G(z)
H(z)
G(z)
H(z)2
2 2
2
G(z)
H(z)
2
2
…Righe Colonne
Dett. orizzontale
Dett. verticale
Dett. diagonale
martedì 16 marzo 2010
[/50]Seminario Wavelet
MRA per le immagini
G(z)
H(z)
G(z)
H(z)2
2 2
2
G(z)
H(z)
2
2
…Righe Colonne
martedì 16 marzo 2010
[/50]Seminario Wavelet
MRA per le immagini
G(z)
H(z)
G(z)
H(z)2
2 2
2
G(z)
H(z)
2
2
…Righe Colonne
Immagine
martedì 16 marzo 2010
[/50]Seminario Wavelet
MRA per le immagini
G(z)
H(z)
G(z)
H(z)2
2 2
2
G(z)
H(z)
2
2
…Righe Colonne
Immagine Coefficienti 1° Livello
martedì 16 marzo 2010
[/50]Seminario Wavelet
MRA per le immagini
G(z)
H(z)
G(z)
H(z)2
2 2
2
G(z)
H(z)
2
2
…Righe Colonne
Immagine Coefficienti 1° Livello Coefficienti 2° Livello
martedì 16 marzo 2010
[/50]Seminario Wavelet
MRA per le immagini
G(z)
H(z)
G(z)
H(z)2
2 2
2
G(z)
H(z)
2
2
…Righe Colonne
Immagine Coefficienti 1° Livello Coefficienti 2° Livello
Ad ogni passo riduzione del numero dei punti di un fattore 4
martedì 16 marzo 2010
[/50]Seminario Wavelet
G(z)
H(z)
2
2 2G(z)
H(z) 2 …
martedì 16 marzo 2010
[/50]Seminario Wavelet
G(z)
H(z)
2
2 2G(z)
H(z) 2 …
G(z)
H(z) 4G(z2)
H(z2) 4
2
…
martedì 16 marzo 2010
[/50]Seminario Wavelet
G(z)
H(z)
2
2 2G(z)
H(z) 2 …
G(z)
H(z) 4G(z2)
H(z2) 4
2
…
Verifica
martedì 16 marzo 2010
[/50]Seminario Wavelet
G(z)
H(z)
2
2 2G(z)
H(z) 2 …
G(z)
H(z) 4G(z2)
H(z2) 4
2
…
Verifica
…
martedì 16 marzo 2010
[/50]Seminario Wavelet
G(z)
H(z)
2
2 2G(z)
H(z) 2 …
G(z)
H(z) 4G(z2)
H(z2) 4
2
…
Verifica
…
martedì 16 marzo 2010
[/50]Seminario Wavelet
G(z)
H(z) 4G(z2)
H(z2) 4
2
…
martedì 16 marzo 2010
[/50]Seminario Wavelet
G(z)
H(z) 4G(z2)
H(z2) 4
2
…
è detta scaling function
martedì 16 marzo 2010
[/50]Seminario Wavelet
G(z)
H(z) 4G(z2)
H(z2) 4
2
…
è detta scaling function
martedì 16 marzo 2010
[/50]Seminario Wavelet
G(z)
H(z) 4G(z2)
H(z2) 4
2
…
è detta scaling function
Codifica in sottobande
martedì 16 marzo 2010
[/50]Seminario Wavelet
G(z)
H(z) 4G(z2)
H(z2) 4
2
…
è detta scaling function
Codifica in sottobande
…
martedì 16 marzo 2010
[/50]Seminario Wavelet
G(z)
H(z) 4G(z2)
H(z2) 4
2
…
è detta scaling function
Codifica in sottobande
…
martedì 16 marzo 2010
[/50]Seminario Wavelet
G(z)
H(z) 4G(z2)
H(z2) 4
2
…
è detta scaling function
Codifica in sottobande
…
Ad ogni passo la banda si riduce di un fattore 2
martedì 16 marzo 2010
[/50]Seminario Wavelet
Processo di sintesi
x(n) può essere perfettamente ricostruito a partire dalle sequenze di dettaglio e di approssimazione.
martedì 16 marzo 2010
[/50]Seminario Wavelet
Processo di sintesi
x(n) può essere perfettamente ricostruito a partire dalle sequenze di dettaglio e di approssimazione.
2
2
+
martedì 16 marzo 2010
[/50]Seminario Wavelet
Processo di sintesi
x(n) può essere perfettamente ricostruito a partire dalle sequenze di dettaglio e di approssimazione.
2
2
+
2
2
+
martedì 16 marzo 2010
[/50]Seminario Wavelet
Processo di sintesi
x(n) può essere perfettamente ricostruito a partire dalle sequenze di dettaglio e di approssimazione.
2
2
+
2
2
+
Ad ogni livello le sequenze sono sovracampionate di un fattore 2
martedì 16 marzo 2010
[/50]Seminario Wavelet
Processo di sintesi
x(n) può essere perfettamente ricostruito a partire dalle sequenze di dettaglio e di approssimazione.
2
2
+
2
2
+
Ad ogni livello le sequenze sono sovracampionate di un fattore 2
I filtri passa-basso e passa-altoservono a garantire la ricostruzionedel segnale
martedì 16 marzo 2010
[/50]Seminario Wavelet
Alcune applicazioni
Fusione di immagini multirisoluzione
Compressione
Denoising
martedì 16 marzo 2010
[/50]Seminario Wavelet
Fusione di immagini multirisoluzioneImmagine pancromatica (PAN)ad alta risoluzione spaziale
Immagini multispettrali (MS)a bassa risoluzione spaziale
martedì 16 marzo 2010
[/50]Seminario Wavelet
Fusione di immagini multirisoluzioneImmagine pancromatica (PAN)ad alta risoluzione spaziale
Immagini multispettrali (MS)a bassa risoluzione spaziale
Si vuole ottenere una nuova immagine multispettrale le cui bande coincidono,spettralmente, il più possibile con l’immagine MS ed avente, al tempo stesso, unarisoluzione spaziale confrontabile con quella dell’immagine pancromatica.Ricostruire cioè un’immagine il più simile possibile a quella che il sensore MS vedrebbe alla risoluzione dell’immagine PAN.
martedì 16 marzo 2010
[/50]Seminario Wavelet
Fusione di immagini multirisoluzioneImmagine pancromatica (PAN)ad alta risoluzione spaziale
Immagini multispettrali (MS)a bassa risoluzione spaziale
Si vuole ottenere una nuova immagine multispettrale le cui bande coincidono,spettralmente, il più possibile con l’immagine MS ed avente, al tempo stesso, unarisoluzione spaziale confrontabile con quella dell’immagine pancromatica.Ricostruire cioè un’immagine il più simile possibile a quella che il sensore MS vedrebbe alla risoluzione dell’immagine PAN.
DWT non decimata applicata alle immagine PAN e MS per decorrelare i coefficienti a bassa ed alta frequenza Iniezione di componenti a basse scale (alte frequenze) in versioni ricampionate dell’immagine MS
martedì 16 marzo 2010
[/50]Seminario Wavelet
martedì 16 marzo 2010
[/50]Seminario Wavelet
martedì 16 marzo 2010
[/50]Seminario Wavelet
martedì 16 marzo 2010
[/50]Seminario Wavelet
martedì 16 marzo 2010
[/50]Seminario Wavelet
martedì 16 marzo 2010
[/50]Seminario Wavelet
martedì 16 marzo 2010
[/50]Seminario Wavelet
martedì 16 marzo 2010
[/50]Seminario Wavelet
martedì 16 marzo 2010
[/50]Seminario Wavelet
martedì 16 marzo 2010
[/50]Seminario Wavelet
martedì 16 marzo 2010
[/50]Seminario Wavelet
Compressione
La codifica di un’immagine può essere scomposta logicamente in una succesionedi trasformazioni applicate sequenzialmente
Immagineoriginale
CodificaQuantizzazioneTrasformazione
Immaginecompressa
martedì 16 marzo 2010
[/50]Seminario Wavelet
Compressione
La codifica di un’immagine può essere scomposta logicamente in una succesionedi trasformazioni applicate sequenzialmente
Immagineoriginale
CodificaQuantizzazioneTrasformazione
Immaginecompressa
DCT utilizzata nel formato JPEGDWT utilizzata nel formato JPEG 2000DWT con QuadTree Segmentation per la BANDELET Transform
martedì 16 marzo 2010
[/50]Seminario Wavelet
Compressione
La codifica di un’immagine può essere scomposta logicamente in una succesionedi trasformazioni applicate sequenzialmente
Immagineoriginale
CodificaQuantizzazioneTrasformazione
Immaginecompressa
DCT utilizzata nel formato JPEGDWT utilizzata nel formato JPEG 2000DWT con QuadTree Segmentation per la BANDELET Transform
La presenza o l’assenza delquantizzatore determina unacompressione con o senza perdita(lossy e lossless)
martedì 16 marzo 2010
[/50]Seminario Wavelet
JPEG 2000
Immaginericostruita
Decodificaentropica
Q-1 IDWT
Immaginecompressa
Decodificatore
Immagineoriginale
Codificaentropica
Q DWT
Immaginecompressa
Codificatore
martedì 16 marzo 2010
[/50]Seminario Wavelet
JPEG 2000
Immaginericostruita
Decodificaentropica
Q-1 IDWT
Immaginecompressa
Decodificatore
Immagineoriginale
Codificaentropica
Q DWT
Immaginecompressa
Codificatore
La DWT decorrela i coefficienti a bassa frequenza da quelli ad alta frequenza
martedì 16 marzo 2010
[/50]Seminario Wavelet
JPEG 2000
Immaginericostruita
Decodificaentropica
Q-1 IDWT
Immaginecompressa
Decodificatore
Immagineoriginale
Codificaentropica
Q DWT
Immaginecompressa
Codificatore
La DWT decorrela i coefficienti a bassa frequenza da quelli ad alta frequenza
Alto contenuto informativo
martedì 16 marzo 2010
[/50]Seminario Wavelet
JPEG 2000
Immaginericostruita
Decodificaentropica
Q-1 IDWT
Immaginecompressa
Decodificatore
Immagineoriginale
Codificaentropica
Q DWT
Immaginecompressa
Codificatore
La DWT decorrela i coefficienti a bassa frequenza da quelli ad alta frequenza
Alto contenuto informativo
Basso contenuto informativo
martedì 16 marzo 2010
[/50]Seminario Wavelet
L’immagine di approssimazione e le immagini di dettaglio a bassa frequenza vengono quantizzate con un numero maggiore di bit (SNR più grande a parità di segnale) Fattore di compressione variabile in funzione del numero di bit associati al processo di quantizzazione
Immagineoriginale
Un alto fattore di compressione produce un’immagine con dimensioni (in termini di byte) molto più ridotte rispetto all’immagine originale, ma al tempo stesso una peggiore qualità visiva
martedì 16 marzo 2010
[/50]Seminario Wavelet
Evoluzione verso tecniche avanzate di compressione come ad esempio la Bandelet Transform. A parità di dimensione del file viene garantita una migliore qualità visiva
JPEG JPEG 2000 BT
martedì 16 marzo 2010
[/50]Seminario Wavelet
DenoisingTecniche di denoising applicate ad immagini SAR, a segnali di campo di potenziale, ecc…
IDWTThresholding DWT
Applicare filtri passa-basso, passa-alto, passa-banda consente di effettuare metodi di denoising globale, ma nel caso di rumore sovrapposto al segnale, i filtri possono modificare pesantemente anche la forma del segnale La DWT si adatta perfettamente come tecnica di denoising a causa delle sue eccellenti proprietà di localizzazione
martedì 16 marzo 2010
[/50]Seminario Wavelet
DenoisingTecniche di denoising applicate ad immagini SAR, a segnali di campo di potenziale, ecc…
IDWTThresholding DWT
Applicare filtri passa-basso, passa-alto, passa-banda consente di effettuare metodi di denoising globale, ma nel caso di rumore sovrapposto al segnale, i filtri possono modificare pesantemente anche la forma del segnale La DWT si adatta perfettamente come tecnica di denoising a causa delle sue eccellenti proprietà di localizzazione
Vengono messi a 0 quei valori del segnale che si trovano all’interno dellafascia (-T0,T0)
martedì 16 marzo 2010
[/50]Seminario Wavelet
Thresholding Due possibili implementazioni:
martedì 16 marzo 2010
[/50]Seminario Wavelet
Thresholding Due possibili implementazioni:
Hard thresholding
martedì 16 marzo 2010
[/50]Seminario Wavelet
Thresholding Due possibili implementazioni:
Hard thresholding Soft thresholding
Migliori prestazioni
martedì 16 marzo 2010
[/50]Seminario Wavelet
Thresholding Due possibili implementazioni:
Hard thresholding Soft thresholding
Migliori prestazioni
I valori del rumore, con densitàgaussiana, sono maggiormente concentrati attorno allo zero equindi vengono soppressi
martedì 16 marzo 2010
[/50]Seminario Wavelet
Thresholding Due possibili implementazioni:
Hard thresholding Soft thresholding
Migliori prestazioni
martedì 16 marzo 2010
[/50]Seminario Wavelet
Thresholding Due possibili implementazioni:
Hard thresholding Soft thresholding
Migliori prestazioni
L’operazione di denoising data dalla DWTassociata al thresholding è, in presenza dirumore AWGN, asindoticamente ottima, cioè minimizza l’MSE
martedì 16 marzo 2010
[/50]Seminario Wavelet
martedì 16 marzo 2010
[/50]Seminario Wavelet
martedì 16 marzo 2010
[/50]Seminario Wavelet
martedì 16 marzo 2010
[/50]Seminario Wavelet
martedì 16 marzo 2010
[/50]Seminario Wavelet
martedì 16 marzo 2010
[/50]Seminario Wavelet
Diversa implementazione: Thresholding dipendente dal livello di analisi della DWT
martedì 16 marzo 2010
[/50]Seminario Wavelet
Diversa implementazione: Thresholding dipendente dal livello di analisi della DWT
Original image Noisy image Denoised image
martedì 16 marzo 2010
[/50]Seminario Wavelet
Immagine SAR simulata Immagine SAR despeckle
martedì 16 marzo 2010