Discontinuous Galerkin Methods for the Time-Domain Maxwell's ...

18

Transcript of Discontinuous Galerkin Methods for the Time-Domain Maxwell's ...

Page 1: Discontinuous Galerkin Methods for the Time-Domain Maxwell's ...

������������� �� ��� ������� �� ���

���������� �������� ��������

�� ����������

���� �������� �� � ���������

��������� �� ���� ����������� ����� ����������� ��� �� ����������� �� �� !�� �"����������� �� ���������� ��� "���������� ���������� �� #�� ������ �$%&%��&%�� #

'(!)!� �"�

������� ���� �������������� ������������

�� ������� �� ���� ��� ���� �� �� ������������� �������� �����

��� �� �� ���� ��� ��������� ���������� � ������ �������� ��� ��� ��

��������� �� ������ ��� ��� �� ��������� �� ���� ��� ������� ��������

������� � ��� ��� ��� � ��� ��� ���� ��� ������ �� ���� �� ����������

��� ���������� ��������!������ ��� ������ �������� ����������

�� ����������

�� ����������� ����������� �� �������� ������ �� ��� ������� ���������������

���������� �� ! ������ "#$% ��� �����& ��� ���������� '()���*� �+������

�� ��������� ���� ������ �� ������ ��� ������ �� ������ ���& ��&������ ��

��������� �����& '()���*� �+������ �� ��� ����������� ,� �������� ��� ���

����� �� ���� � �(������� �� ���������� �� ������������ ��� ����� ��

��� ��� ��-������ ��(�� �� -�� "#.� #/%�

0� ��) �� �� ���� ��)���� ���� ��� ��� � ������� �� ����� ������

������ ��&�� ��� �������� #�� ����� ������ ������� ������ ����� ������ �� ���������

��������� )� ������ ��� ���& �������� ������ ��� &��� �� ������������ ���� ����

��������� ��� ���������� �� ��� ������� �� ��� ��� ��� ��� �����&��� ��� �������

��� ���� ����� ����������� �� ����������& ��� ������ ������������� �� ��������

�� ������( &���������� ,� ������ ����� ������ �� ������ �� ���� ���� � ��

�������& ��� ����������&� �� ��� ������� � �������� ��&�� ��������& �������

�� ������� ��������& "/% �� ��&������� ����� ��������� ������� "#/� 1.%� ��

���� ���������& ��������&��� � ������� "1/� 2% �� ������� ��� �������

"13%� 4���� ������+��� �� ����������� �� ��������� �� "#.� #/%� '��� �� �����

�������� ��)���� �� ��� ����� ��������� ���� ��� ����� ���� ����������

����� ��� �� ����� ���������� ����� �� ����� ������ ����� ������� ���������

����� ��������� ����� �������������

��� �����& )��� ������( &���������� ��� �� ������ �� ��� ��� �� �����������

"##%5����� ������� ������� "1$� #2%� ����� ������� ��� �� ����� ������ ����� #��

Page 2: Discontinuous Galerkin Methods for the Time-Domain Maxwell's ...

����� ������ � ��� � ������� ������������ ��� ����� ������� ������

������� ���������

��� ��� ������ �� ������ �������& �� ��&� ���� 6' ���������� ��� ������

�����&� �� ��) ����� ������� ������ ���� ��������� ��� �� ��� ���� ��� ���

&���� �� ��� ���������� ����� ����������� ��)���� ���� �����������& �� ���

��� ������ �� ��� ���������� ��� ��&&��� ��� ��&������� ���������� ��������

������+�� �� ���� ��� ������� �� ������ ��+����� ��� ������ ��&� ���� 76'

�������& ����������� ��&������� ������� �� ��������8�� �� ����& ��� �� ����

����� ��������� )� ����&���� ��� ��� ���& ��������� ����& ���� ��) ������

��� )����&�� �� )��� � ����� ���������� ��� ��� �� ��&�������� �������

� ������� �� #�� ����� ������ ������� "#1%� ��� ���������������� ��&� ����

������������ ���� �������� ���� ������ ���������� �� ��� ��+����� �������

����� ���������� ����� ������ �� �(������� ����� �� �������� �� ���� ��� ������

�� ����� �������� �� �������� ������(��� �� ��8��

����������� ��� ���������� �� ������� ��&������� �������� ������+��� �� ����

���� ��9 �� ��� ��������� �������� )��� ���������& ����� �� ��&������� ��

����� ������� ��� �����& )���������� �������� �� &����������� ������( ���

����� �� ������ ���������� �� ����� ������������� �������5:����� �������

";% �� ������ �� ������ )�� �� �����������& ��������� �� �������� �� �����

&��� �� �������� "<� 1=� 11� 1#% �� ��� ��� )� ��� ��������& ��� ������������

�������� )��� ������� ��&������� �������� ,� ������� �� ��&������� �������

���� �� ������� ����� ������� ������+���� ��� ������ �9�� ���� ���� �� �����

�(������ ��������

,� ��� �����)��& )� ������ ������������ ������� �� ��� 9�� ���������� ������

�� �������� �� ��������� ����� �������� �� ������� ��� �� �� �������

���� ������( ��� ������ � �������� ��� �� ���� ��)���� � ������( �

��� ����� ���� &��� ��� ���� ���� ������ �� ������� ����� �� ������ �� ����

���� ��� ����� ������������ &����� ������������ ����� ��� ���������� ������� ��&�

����������� ������� �� �(������� ������ ���������� �� ��� &�������� ��

������ ������ ��������� ��&�� ���+����������� ��������� �+������ �� ��������

'� � )��� ���� ����� �(��������� ,� ��� ��� ������� )� ���� ������� &������8����

�� ���� ���� �������� �� ����)�� ��������� )���� ������ ����� ����� ������

�����

�� � �� ���� ������� � ���

>� )� �� �����������& ��� ���������������� ������ ��� �����& '()���*�

�+������� ��� �� ��&�� �� ����������& ��� ������ �������� �� ��� ������ ��� ���

�������������� '()���*� �+������

����

��? ����

��� �

���

��? ����

��� � "=� % ? @ �1!

��� ���������� )� �������� ��� �������� �� ���� ���� �������� )��� :67 ������

����� ����� ���=� �! ? ���� �! ? =� A������8���� �� ����� ����� �� ����������

��&� �������& ������� ���������� �� ����&�����)���

��� ���������� �� ��� �������� )� )���� 6+��1! � ���������� �)

Page 3: Discontinuous Galerkin Methods for the Time-Domain Maxwell's ...

x=0 x=Lx+k-1=x-

kx+

k = x-k+1

Dk

���� �� �������� �� �� �� �� �������� ����

B��

��C

�� ��!

��? = �

)����

� ?

���

��

�� � ��! ?

���

��

�� B ?

�� =

= �

��

��������� ��� ��������� �� ��9��)� ������ ��� -�( �� ��� �������� ������������

�� ���� ��) ����� ��� ��� ����� �� ��������� @ ? "=� %� �� ��&������ ����

� ������������& ��������� ��� ������& � � "���� ���% �� )��� ��� ? = ��

��� ? � � ���������� �� ��&� 1� ������������ )� ���� ��� ��� ���&�� �� ���

�������� �� ? ��� � ���� ���� ����� )� ��������� ������ ����� �����&

��� ! ? ��� C C 1

#�� �

���� ��� � "�1� 1% ���������� ������ ������� �� ���&�� #�,� ��� �� ��� D ��������� )� ���� ����� ��� ��� �������� ����� �! ? "������ �!� ������ �!%�

�� �� �(������� � ��������� �

����� �! ?

�����

������ � �!��� � ��!! ?

�����

��� ��!��� ��

�! �

)���� ��� ��������� � C 1 &��� ������ )����� ��� �*�� ������� �� ��� ��! �� ���

������� E&��&� ��������� ���� �� ����� &��� ������� �����

��� ��! ?

������� ���

�� � ���

��� � ���� ��� ��

�� ! ? ��

F���� ��� ����& ���� ������� �� �� ������ &��������� )� �(����� ��� ����

E&��&� ���������� �����&� ��� �����)��& �������

����� �! ?

�����

��� ��!��� ��

�! ?

����

G����!����! �

Page 4: Discontinuous Galerkin Methods for the Time-Domain Maxwell's ...

)���� ����! �� ��������� ���� ������ �� ��� ������ �� G����! �� ��� �(���

���� �� ���� ���������� ����� ��� ������� �� ��������� ��&�� ������ �������

����� ���! ? �� ��� ����������� ������ ��� ������ ��� � ���������� ����

���� �

���! ?���!�#�C 1

)���� ���! ��������� ��� ������� E�&����� ��������� "#;%� H�) ������& ���

����(

I�� ? �����! �

)���� �� �� ��� E�&����� A��� E����� +������� ������� )� ������

��� ? IG��� � I� �����! ? ����! �

)����

��� ?���� � � �

��

��� G��� ?

�G��� � G���

���

�� ������ ������ �� ���� �� ���� ���� ��

����! ? "������!� � �����

�!%� � ����! ? "�����!� � �� ��

�!%� �

������ ��������� ��� ����� �� ���� E&��&� ���������� �� ��������� ����

��������� ������ � ���

,� ���� ������� ��� ����( I� ���� ������ ���� � ��� ������������ ���)���

���� ����� ��� � �� ���� ���������� G��� � � )��� � )� �� )���� �� �����

��� E&��&� ����������� ,� ���� �������������� ���� ���� �� ���� � �

������������ ���������� )� �� ����& ����� ��)���� � )� ���� ��� �������� ���

���&� �� ���� ������ �� ��� �� &������8�� �� ��&��� ���������� �� &�����

������������� �� &��� �������

� ���� � ��� ������������� ������� ��� �� ��) ��+���� ��� ���� �������� �����

��� ����� )��� ��� �� ����������� ���� 6+��1!� ������ �� ��� �����)��& )�

� � "=� � � % J ��

��

B������

C�� ���� !

��

���� ��! �� ? =

��� �� �� ����&��8�� � A���9�� ������� ����� �� ��� ���� ������� �����

,���&����� �� ���� ���� ������

��

��

B������

��� ��!� G� � � ���� !������

��� ? �

� ��

��

G� � � ���� !��� ��! �� �

)���� ��� �� ����&��8� � ��� )�9 A���9�� ����� ���� G� ��������� � ���)��

�������& ����� ����� )����� �� ���� �������������� ���� ������ �9�� ��� ����

�� �1 � ��� �� ���� ������������

Page 5: Discontinuous Galerkin Methods for the Time-Domain Maxwell's ...

� �������� ��� ������� )� ���� ����&��8� ��� �)� ���&������& �������� )���

���� ������ ��� ��� ������ ��&�� ��� ? ����� � ��� ��&� 1� ���� � ���� ����� )�

)��� �� �)� ��������� �� )� ���� ������ )���� ���� �� ���������� �� ��� �)��

�� ��� �������� ��� ���� )� ���� ��� �������� -�(� � ��

G� � � � ? G� � � ����� ��! �

)���� �� ������ �� ��� ���� �������� �� �� ��� �������� �� ��� ���&������& ���

������� ���� �� ����� �������� ������� �� ���� �������� �� )� ������ �� ����

����� �������� ,� �� �������� �� �������� ��� ��������� �� ���� ������ � �� �� ���

�������� -�( )���� �� ����������� ��� ��������& �� ���� �������)��� �������� ��

��� &���� ���������

���� ��� �������� -�( ���������� �� ��� ��&�� ��� ���� �� ������� ��� ����

������ )� �� ����&����� �� ���� ���� ���� �� ����� ��� ��� ����

��

��

B������

C�� ���� !

��

���� ��! �� ?

� ��

��

G� � �� ���!� � ����� ��! �� �#!

� �������� ������ �������� ����� ��� B��!� ����� ��� ������ ���������� ��

�� �9�� �� �� ������� �� ��� ������� �� ��� �� �����

'���� ?

��

��

��� ���!��� ��

�!��� ?��

#

��

��� !��� !� �

��� ?

��

��

��� ���!

���

����� ?

��

��� !���

� � �

� ��� �������������� ��� ����( �� �������� ����(� H��� �� �������� ���

��� �� ��� �����&� ��� ������� �� ��� ��� ��� �� �������� �� �� �����&

�������� ����� ���� ��� ���� ������ �� �������

K���& ��� ������������ ����(� I� ���������� ��� )� ���������� �����

'�� ? I��

��I�� � � ?

I�

����I�� � ��� ?

��

��� !��� � !� �

)���� ��� ����� ����&��� �� �� �������� �� +������� �� �� ����& ���������� ��

��� �����&��� �����������

0����� )�����& ��)� ��� ��� ������� ��� �� ������� ������� �� ��� ��������

-�(� � �� >� ���� -�( �� ����������� ��� ��������& ��� ���� ��������� ���� &����

��������� ����� ������� �� ������ ���������

4�� ����� ��������� �� ��� ��� ��������& ������ ���� �� ����������� ���� ���

�(�� �������� ���� ������ ��� ������ )��� ������& ��� &���� > ������ ������ -�(

)���� ������ ����� �����

G� � � ����� ��! ?1

#

�� ���! C � ���!

Page 6: Discontinuous Galerkin Methods for the Time-Domain Maxwell's ...

�� ���&� �� ���� ������ �� ��� ���������� �� ����&� ����������� ��)����

��� &����� ����������������! �������� � ��)��� -�( �� ��������� � ����� ����

�������� -�( ��� �9�� ���&� �� ��� ��� ��� '()���*� �+������ ����&���

)�� ����� ��� � �� ������ ��� �� �)�� ��������� )���� )� ����������

�� ����&���& �� ����������& ������������ ������� ��� ������

G� � � � ?1

#

�����G� �����C ����� !

����G� �� ���C ����� ! � �;!

)���� ���� ? ����� ��������� ��� ���� L��� �� �������� ��� �� ��� ? ��C���

�� ������ �������� �� ��� ������� �� &��� ��

�� ?

���

��� � � ?

��

����

��������� ��� ���� �������� �� ���������� )��� ��� ��&� ����

� ?�� C ��

#� � ?

� � C � �

#

7�������& 6+��#! )��� ��� ��)��� -�(� 6+��;!� �� ��� ��������� �� ��� ����(

�������� ��� ������ ��� ���� ������������� ������

����

#'�� ��

��

��C ���

� ? �

�1

�������

� �� � ���� ��

����

C �

�1

������

� �� � ���� ��

����

� �.!

����

#'�� ��

��

��C ���

� ? �

�1

��� ����

� �� � ���� ��

����

C �

�1

�� ����

� �� � ���� ��

����

�/!

���� ���� ���

� ! �� ��� ������ �� ������ ��9��)� ����� �� ������� � �� � ��

HC1 ���& �*�� ���� ������ >��� " � %� ������ �� ������� �� )�� �� ������ ������9�� � � ? ��

����� '�� �� �������� ����� �� �� �� ������� ��������� �9��& ��� �������������

������ ����� �(������� ������������ ��� ������������� ����� �� ��� ���������� ��

������� ������� �������� �� ������ ��&� ���� ��������� �� ��� ���� ��� ��

��������� �� �� ��� � ������ ����(������ ��� �� ��� ��� �� ��� ���������

����(�����(! ��������� )���� �� ���� ����&�����)�� �� ��������� �� �����

��&� �����������

6+������ �.!��/! ���������� ��� ���� ������ � �� �������� ������� ����������

>� ��� ������� ����� ���������� ��� ������ ������

Page 7: Discontinuous Galerkin Methods for the Time-Domain Maxwell's ...

��� ? ���

� � ��� ? ��

� �

�� ��9�)��� � ��� ��&�� ���� ����� ��� �� �������& ��� �������� ���������� ��

������ ������ ����������

������� &���& ���� ������� ��� �� ���� ��� �����)��& ����� ������� ��� ���

��� ������ "11%

���!� �� ��! ��

�� ��=!� �� �=! � C �

� ��

�����(������ �

���! � �2!

���� � �� ��� &���� ����&� ����� � � �� ��� ����&� ���� �� ��� ���� �������������� ������ ����!� �� � ? �(���� C 1!� )���� � �� �(���� ������� ���&���

���

��� �� ��� ��������� �� �� ������� ����� � � �� ������� ��� ��&� ���� �� �� )��� ��������&����� ������������ ��� ����� �� &��) � ���� ������� �� ���� ��

��� &��)�� ��� ����� ������ )��� ��������& ������

��� ��&���&��� ��� ���&�� �� ���� ������ )��� &����� ����� ��������� � � ��

&����� ���&�� � �� )��� ��� ���) ����� ���������� �� ����� �9��& �� ������

������ ��� ���& ���� ����&����� ���������

�� ������������� ������� 6+���.!��/!� �� �� )������ ����������� �

�����

?��� � �! �

����� �� �� ������ ������ �� ������� ���������� �+������� ���� �� �� �����

����& ����� �� �������� �������� )��� ������ ������ ����& ������ .��

����� �(������ F��&��D��� ������

�� ?��� ��!� �!

�� ?��� ��! C =/M���� �C =/M�!

� ?��� ��! C =/M���� �C =/M�!

� ?��� ��! C M��� �CM�!

�� ��CM�! ? �� ��! CM�

2��� C #�� C #� C�!

> ��&����� �(�������� ��� ��� ����� ���� ����� M�� �� ��� 9��)�� ��� &��� �������

��

M� � 7�E����

�����M�� ? 7�E���

�������M �

)��� 7�E ����& �� ��1! �� ���M � �����

� ��������� ��� ���������� �� ��� ��� ������� ��� �� �������� ��� ������

���� ��� �� ������� ����� � � "�1� 1%� ����� )��� �)� �������� ����&������������� �� ������ �������� �� ������ �� �� � � ? = �� ��� �)� �������

�� �� ? 1= �� �� ? ##/ ������������ �� �(�� �������� �� )��� 9��)� "/%�

Page 8: Discontinuous Galerkin Methods for the Time-Domain Maxwell's ...

K

||q-q

N||

100 101 102 10310-10

10-8

10-6

10-4

10-2

100

N=1

N=2

N=3

N=4

K-5

t

||q-q

N||

10-1 100 101 10210-8

10-7

10-6

10-5

10-4

10-3

10-2

10-1

100

N=1

N=2

N=3

N=4

���� �� �� �� �� �� ����� �� � ��� ���� �� ��� ��� � � � ��� �� ����������� ������ ���� � �� � ����� � ����� ��� ���� � ��� ��� �� ������ �� �� �� ����� �� ������� �������� �� �� ���� ���� � � � ����� ��������� ���� �������

,� ��&� # )� ��������� ��� ������ �� ��� �������� �������� � � ? 1� ��������&

��� ������� �� ��� ����� ������� &��� �� 6+��2� ����� ���� � �? ���� ��������&

��� &��� ��8�! �� � ���������& ��� ���� ��������� �����! �����&���� �� �������

,� ��&� # )� ��� ��������� ��� ��� ������� ���������� �� ������ ��� ����� ��

�������� )��� ��� ��� �������

��� �� ��&&���� ��� ����� ������� �� )��� ������ ��� ��������� )����

� ��&�������� �� ��&� ������ ��&� �� �������� �� ��+�����

� E��& ���� ����&����� �� ������

� 6���������� ��&� ��������� ��+�����& ������ ������ ��� )����&�� �� ����� �������� �������

���� �� ������ �� ���������� �� ������� �� �������� �� ��� ������ ��� ����

�������& ������� ��� ��� ������� ��������&� ���������

������������ � )� ���� ������� �� ��� �����)��&� ��� ������ �������� ��� ���

��� ������ �������������� ������� &������8�� )��� ������ ���&�� �� ��������

��+�����& ���������������� ����� ������������ &���� �� ��� ������(� ��������

&����������

�� �� ����� �� ��� ��� ������

���� ��� ������� �������� �� ��� �������������� ������ ���� ��� �(�������

�� �)�� ��� ������ ! ���������� �������� �� �������� ����&�� ���)��� ,� ���

�����)��& )� ���� ��&���&�� ��� &����� ������ �� ��� ��� ����������� �� �����

�����������

��� ����������� )� �������� ��� �)������������ ���� �� '()���*� �+������� ��&��

Page 9: Discontinuous Galerkin Methods for the Time-Domain Maxwell's ...

���

��?

���

� � �$!

����

��? ����

���

����

��?

��

� � ���

���

9��)� � ��� 6 ����� �� ��� ���� �� ����� ������ �� �����������& ��� ��� ��!

)��� ��� ������! �� �(���&� � �� �� ��� ������ ��� ' �����

,� ���� ���� )� ��

G�� ���� ? G�� �� �� ? = �

����� ��&����� ����������� � �� ���������� ���������� >� :67 �������

G��� ? G� �� ? =

,� ���� ����� G� ���������� � ���)�� �������& ����� ������

���� ��� ����� ������

�� 9�� ��������� ���)��� ��� �������������� �� ��� ��������������� ������

�� ��� ��� ����� �� �� ���) ��� ��� �������& �� �������� �� &����������� ����

���( ������&�� ����� �� ���� ��� ���� �� �������� ������ ����������������������

�(�������� �� ��� �������������� �������

� ������ ���� &�������� -�(�������� )� ����� ��� ��� ���������� ������ @�

�� �� ����� �� ���� ������ �������� ��� ��&�� ����&��� �� +����������� ��

���� ����������� ����� ��� ���� ������������� &��� �� ��������� �� &�������

�� ������ ���������& )�� ����� �������� �� ������ �� �� ��&�� ��&��� )���

������5������� ����������

�����)��& ��� �������������� ������� �� �� ���� ��� )��� ��� ���� ��������

��� )� ������ ���9 � �����&��� ��������� ����� ����!� � )��� � ��� �� &���

������� ��� � ��� ��� ��� +���������� ��� ����� ������ ��� �������������

��������� �(������� �� ��� �������������� ���� E�� �� ��������� ����� �� ���

��� �� ����&��� )���� ��� �� ��� ��� �������� ��� �� ��� &�������� -�(��������

����������� �� �����8��& �(�����& ����� �������5����� ����� &��� &�������� ����)���

�� ��� �� �(������& ����� �����&����

�� ������ �� &��� ������ ������ ��� ����&�� ��

� ?��C 1!��C #!

#�

)���� ��� ������� ��� ������ �� ���� ��9��)��� ���� � �� ��� ����� �� ��� ����

��������� ����(������� �� +������� )� ���� ������ �� )���� �� ��� �����

&��� ������� ��&�� ����� �� �� ������ �(������� �� ��� �������������� ����

>� ��� ��� ��� ���������� ��� )� ���� ����� ��� �(������� �� �����&

)���� ��� ��� ������ ��&�� �&�� ����&��� � J �� � �! � "�1� 1%N C � � =�� ��

Page 10: Discontinuous Galerkin Methods for the Time-Domain Maxwell's ...

n=2

N22=6

n=6

N26=28

n=2

N22=6

n=10

N210=66

���� �� !"��� � �� ��� ������������ �� �� ������ ��� �#��� ����� �� �� �����"��������� ��

� ���� �� ���� ����� �� ��� �������

��� �������� ����&��� ��� >������& ��� ���������� ��� �� �� ����&�������� ����

�����& �� ������ &��� �

��� � �! ? � C �

# �� C

1 C

# �� C

1 C �

# � � �3!

)���� �� ��������� ��� ; ������� �� �� �� � � �! � � �� ��� ���������� �� ���

������ ����&�� )���� �� � ��� ���� ���� ������ ��� )� �� ������� ���

������ �� ��� �����&� ������ ��� ��������& �������� � )� ���� ��� ��������

� )��� � ��� ������������ ������� >� �������� ��������� �� �9� �� ���

��� ������������ ������� ! � �� ������� ��� �� ����&������� ����&��� ���

�� ������ �� �� &��� �� "<� 1=% �� �� ���������� &������8���� �� ��� ����

���������� ����

�� ������ �� ��� ���� ������������� ������ ��� ����&�� �� ������� ���� �����

���� �������� �� ���� �������������� ���)��& ��� ��� ������������ �� )��� �����

���+�� E&��&� ���������� �� �� ����� 1<� �� �� ����� �� "3%� ���� �� �(����

� &��� ������ �� ����&�� ��� ������������ ��� ����� ���& ��� ��&�� �� ��� ���

���������� E�&����� A��� E����� ������� ��� ���� �� ���� #� > ��) �(�����

�� ��) ��� &��� ����� ������������� ���9 ��9� �� ���)� �� ��&� ;�

>� ���������� ���� �� ��� ����&�� �� &��� � "#=%

O"���! ? � ���� ��

#� C 1!

�1� �!� 1

�1� �

#

���

� �������� �� ��! �

� ? #� C �#� � #�

#��1 C #�! C 1 �

$� ?

#

##� C 1

�1

#� C #� C 1

��

"���! ?O"���!�$�

�<!

����� ��! ���������� ��� ������� ����� ��������� �� ����� � "#;%� ��&�� �

���� ��!

�� ��� E�&����� ��������� ��� ���� �� ��� ��� ���������� ����

Page 11: Discontinuous Galerkin Methods for the Time-Domain Maxwell's ...

��� �� ���� ��� ����������� ��)���� ����� �� ������ )�� �� ����

�����&5������& ����� ���������� �� ����)�� ��� ����& �� �� �� ����� ����

������ ������� ���� ���� /!�

���� ����� �� �������� ��������� ����� ��� �� �������� ������� � )��� �

��� ������������ ����( I� �� �� ������ �� &������� �(���� � �� ��� ����

���������� ��� ��������� �� ��� ����

���� ��� ������

���� ��� ���� �������)��� �������� �� ����� )� �� �������� ��� ����������

�� ��� &���� ������� >� �� ��� ��� ���������� ���� )� )����� ��� �����������

'()���*� �+������ �

B��

��C� � � ��! ? = �

)���� B ��������� ��� �������� � ��� ;������ �� ����� �� � ��! ��� -�(� ��

������� ��������� �� ����� ������� �� )���� �����8���� �� ����������� ����� ��� ���

6 ���� )� ��

B ?

�� � = =

= � =

= = �

�� � � ?

�� �

��

��

�� � � ��! ?

�� = ���

�� =

�� ��

��

6(���� � �� ��� ��� ���������� ��� )� ���� ��+���� ��� ��� ��������� ��

���(������

��� ��� �! ?

�����

������ � �!�� ��

�! �

������� ��� �+����� �

�� J

B������

C � � � ��

��� ��

�! ��� ?

����

�� ��

�!G� ��� �

� � � �����

�1=!

���������& ��� �������� -�(� G� � � �� �����)� �(���� ��� ��� ����� � �� ��� ����

���������� ���� ����� ������ -�( �� ������� �������� ���� ��� ��&� �� ���

�)� -�(�� )���� ��� ��)��� -�( �� �� ������ ���� ��� &����� ����������������

�(��������

G� � "� � � �% ?

������ �������� C �� ���� !

����� �� ����� C �� ���� ! �11!

��� ����� �� )���� ��)� ��� ���� �)������������ ������ ��� 6 ������ �

��!�'�� ���

��� ����

� ? �

�G��

������� �� C ��� ��

��� �1#!

��!�'�� ����

��C ��

�� ? �

�G�

�����

� �� � ��� ����

Page 12: Discontinuous Galerkin Methods for the Time-Domain Maxwell's ...

��!�'�� ����

��� ���

� C ���� ? �

�1

� ���� �� C ���

� ����

���� ��� ��

�� ���

� ! ��������� ��� � ����& ������ �� ��9��)�� �� ��� �������

�� �� )� �� ������ �� ? G� � � � ��� ��&����� ��������� �� � ���&

��� ������� �� ��� �������� ������������ ���� ��! ��������� ��� ���� ������

�������� �� !� ���������� ��� ���� ������������ ������� �������� ����

6+��3!�

'��� �� )�� ������ �� ��� ��� �������� �(���� ���� ��� ��������������

���� ��&�� '�� ���������� ��� ���� ��� ����( ����������� �������� ���� IN ���

�������� ������� � �� �� �� &��� �

'�� ? I��

��I��

�� ? I�

�����I�� � ��

�� ?

����!�����!

�� �� �

�� ? I�

�����I�� � ��

�� ?

��

����!�����!

����� �

)���� � ? � � �! �� ��� ���� ���������� �� ��� ��������� �������� K���& ��� ����

���� ���� ������ ������

� ? %��

��C %�

��

��� �� ? %�

� C %�

��

� �

)���� ��� ����( ��������� �� ������� �������� ���� ��� �����& &��� ��

6+��3!�

�� ��� ��������� ���)��� 6+���.!��/! �� 6+��1#! �� ����� �� ��� ����( �

)���� �� ��� ����� ���������� ����(������ �� ��� ������ ����&���

����

�� ��

�!G� ��� �

� � � ����� ?

����

�� ��

�!&��! �� �

)���� &��! �� ���� ���������� ��� ����������� ��� ������ ���9� ���� ; ��&�

����&��� �� ? 1� #� ;! �� ��� ����

����

�� ��

�!&��! �� ?

����

��� ���!

����

&���!��� ��

�! �� �

)���� ��� ��! �� ��� �������������� E&��&� ��������� ���� �� ��� &��� ������

���& ��� ��&� �� �����

'���� ?

����

��� ���!��� ��

�! �� �

�� ������ ��� �������������� ��� ����(� H��� ��� ��� �)������������ E�

&��&� ���������� �� ��

�!� ���������� �� ��� �������������� ��&� ������� ���

������ �������������� E&��&� ���������� ��� ���!� ��� �� ���+������ �� ���

����������� ,� )� ��) ����� ��� F� �� � �� C 1! � � ����������� ������� ���

Page 13: Discontinuous Galerkin Methods for the Time-Domain Maxwell's ...

−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

���� �� �� �� �� �� ����� ���� ��� ��� $%&' ����( �� �� �� � �� ���)* ��������� �� � �� � +'� ��� �� �� ���� , �������� �� � �� ����� �� �� ������ )������������� ����� �� ������� ���� �������� � ��� ������� ����������

�(����� ��� ��C1! ����� ���& ��&� �� ���� ��� ��&� ����&�� ���& ��&� � �� &���

����

�� ��

�!&��! �� ? ��F�� '

��F�� �

)���� �� �� ��� ������ �������� )��� �����& ��� ��&� ���&�� �� ��� ������

������ "�1� 1%� �� �������� ������� ��&� ������� ���� �������

� ?��

��F�� '

��F�

7����� ��� ���������� �� ���� �� �� �������� ������ ��� ��� ������ �������

���� )��� ��� &������� )��&����

�� ������������� ���� �� ��� �+������� 6+� 1#� �� �� ����� �� ���� ����&

��� .�� ����� F��&��D��� ��������� �� ��� ��� )��� ��������� �����& ��9�

M� � 7�E����

�����

���

)���� � �� ��� ������� ��&� ���&�� �� ��� ��������

���� � �� !��"��#

,� ��� �����)��& )� ���� ���� ��) �(����� �� �)�� �� ����������������

������ �� ������� ���� �� �� ������� �� ��������� �� ��� ������� '��

����� �(������ ��������& ��� �������9� �� ��� ��&� ���� ���������� ��

�� ����� �� "11� 1#� 1.%�

>� ����� �� ������ �(����� )� �������� ���� )� ' ��������& ��

�� ? #=' ������� ��������� >� ������ � ��� ��� ��� �� ���)� ��� ������&�

Page 14: Discontinuous Galerkin Methods for the Time-Domain Maxwell's ...

t

||Ez (t

)||

0 1 2 3 410-5

10-4

10-3

10-2

10-1

100

n=3

n=5

n=7

���� � )� ���� �� � ��� � �� ��� )* ��������� �� � �� � +'� ��� �� �� ��� ��� �������� �� ��� ��� ��������� ��� ������

������� �����&� ��� �(�� ��������� �� ��� </= �������� �� � ��&������� ����

������� ��������� "$%� �� &��� � )��� � ������� �� �� �� ���)� �� ��&� .�

� ������ ��� ������ �� ��� �������� )� ������� ��� ����� �� �� � ��������

�� ���� ��� ��������& ����������� �� ������� �� ���)� �� ��&� /� ��� /�� �����

���������� � ? / ����� �� 3�1= ������ ��� )����&��� �� ������� ������

�(�������� �����&���� � �(������� ��� �� ��� ��������� �� ��� �(�������

���������� �� ��� ��&� ����� ���� ������� ���������� )���� �� ���������� ������

)��� ����) ��� ����(������ ������

>� ���&�� ���� ������&��&� �����&� ����� �)������������� ���� ��� )� ��������

���� )� ' ��������& �� *:���* ����� ������� ��������� �� &���� ����

�����& ����(������ ;3== ��������� �� ������� ��� �� ��������� �� ���)� ��

��&� 2� � ������� ����������� ����� )� ��� �� ���� ��� ��������� ������

���� "#/%� �� ��������� ��� ��� �� �������� ��� ����� �� ����� �� )�� �

����������

��� ��������& ������� ���� ��� �� 9��)� �(�� ��������� � �������

��� ������ �� ��� �������� ������ )� �������� ��� �����&���� �� ��� �������

��� ����� ������� �F7�!� ,� ��&� $ )� ���) ��� �������� F7� ������� ����& ;

�������� ������ �� ����(������� ������ ��&&�����& �����&����� ��� �(���� ���

���� ���������� ��� ������ �� ���� &����� �������� ��� ��� ��&���&��� ��� ����

-�(������� ��� �� �� ����& ��&� ����� ������� �� &����� &���� ������� ���&

�� ���� ��� ����������� &���� ���� ��������& ������� ��� &����� &����������

��� �� ����� ��+����� �� ��������� �� ��������& ������ �� ������ �����& ���

���� ����� �� ����(������� ��� ��� ��� �� �����&�� ������ �� ��� �� ���

��&������ ���&�� �� -�(���� ������� ������ � �� �������� ��� ��&������

������������ �������� )��� &��� &��������� ������������ ��&� ����� ��������

�� ����� �� �� ��&�������� ���� ������ �� �������� )��� �� ����� �����

>� ��� �(����� )� �������� ��� ���������� �� ��&�����+������� �� "�1� 1%:67 �� ����� ����� �� ���������� �� ���� �� �������� ���& ������� �����

)���� �(���� ������ ������� ���+�������� 0� ����& ������� �������� �� ����

Page 15: Discontinuous Galerkin Methods for the Time-Domain Maxwell's ...

���� � �� �� �� �� ����� ���� ��� ��� $-.'' ����( �� �� �� � �� ���)* ��������� �� � /����� ���� ��� �� �� ���� , �������� �� � �� ����� �� �� ������ ,/���� � *���� 0��� $/*0( �� �� �� ������� �� ������������ ������

���� ��� �� ���� ������� ��� ������� ������ ,� ���� ������ ���� ��� �������

���+������� �� &��� �

( ? '�

�� C �� C ��N�C �C � � #

�� ���� ��� ������� �� �����& ��� ���� )��� #32 ��������� ��� �� .�� ������ ��

���� ��� ������ ���������� ��� #/= ��������� �������� �� ������� �� ���)�

�� ��&� 3�

�� ������� �� ��&� 3 ��� ���� ������� ��� ��� ������� ��&�����+������� ��

���������� ��� ��� ��&&���� ��� � ���� ���+������� �� ( � #= �� )��� ��������

��� ���������� �� )� ������� ���)��� 2 �� $� ���� ������� � 2/ ���������� ��&� �� / &���� ������ ��� ��&�� ���� ����������� �� .�/ ������ ��� )����&���

������ �����������& ��� �(������� ���������� �� ��&� ����� ������ ��� )����

����& ����� &����

$� ���% � �� ������ ��� & � ����'������

�� ���� ����� �(������� �� ��� ������� ���������� ��� �� �� ������� ����

���������������� '()���*� �+������� >� )� �� ���� �� ��� ��� �(���� ��

��� ������� ������� ���� �� �������� ��������� ,� ���� &���& ���� �)�� �� ������

���������� ���������� ������& ��) ���� ��� �)������������ ��� ��������� �� ���

��� �� ��� ��� �������� 4��� ��� ����� "<% �� ��� �����&��� ���������� ��

���������� �� ��� �������� �� ������ �� ��� ������ ���������� �� ������

���������� -�( �� ����� &��� �� 6+� �11!� �� ���� ��) ��������� �� ��� ���

� ����( ��) ���� ���������� �� ������ �� ��� ���� ����&��� �� ������ ��

��) �� �� ���� � )��� � �������� �(������ ������� ������ �� ��������������

���� ������� �� �(����� �� ������ ���������� �� ��������� �� "11� 1#%�

Page 16: Discontinuous Galerkin Methods for the Time-Domain Maxwell's ...

θ

RCS(db)

030

6090

120150

180-20

-10 0 10 20 30 40

������

1����

���234$�(������

���/���

��

����

���

���� ��

��5���

��

3���������

�������

�-��&�����

6��

���

�����"

������

����

��� ��

� ���

��

���

��� �

������

���������

���

�������

��������A���9

�������������������������������� ��������

������

��������&��������

���������������������&������������

�������

)�������������

��&���������&��&�����

����������

���������

����������

��

�����������&����������

��������)����������(�������������&����

���������"1#%���������&����������&��������

����".%�

,���������

����

��������&������������

���

>����������

������

�����������������

���&���������&)�����)���

�����

���������&������.�������F��&��D

���

���������)����������������

���������������������������&

�������������������

���&������

������"#%�

4�������������(�������������)���

������������&�������(���������

������

�������"1%�)������)

����&��������"1<%�

����

�����&�������������

�����������������������&�������������

'()���*�

�+��������������������)������������������������������

����������������

���+���������������������

��������&������������

��

B������

���������������

������

����������

��"1;�12%����������&���������

������

������

����������)��������������

&����������

��������A���9

��

��������������&'()���*�

�+���������������+

������������������

(���������������% ������������

,�������

������������������������

��������

�������������������

������

�����������������������������

��������A���9

�����������������&���

����������'()���*�

�+�������>�)�������

������

���������������

������)����

�����������

������������

�����

����&�����)��������

����&��

�&�����

��)����

��-�(����������

������������������

'����������(�����������������������������������

�����������

����

�����

�������������������� ���������������(���������������

����������� ����&����

��������(�����

���(�������������������

����������������������������������&������������������&���������

Page 17: Discontinuous Galerkin Methods for the Time-Domain Maxwell's ...

ω0 5 10 15 20

10-8

10-7

10-6

10-5

10-4

���� �� !�����7����� �� � 8�� �9� /!3 ������� ������ �� �� 5����� ��������� �� ���� ���� �� &'' ������ +.� �� ��� �� � ���������� ������� ��� ��� ��� )� �� � �� ������� �� ������ ������� ��� �� ������ ��� ��� ������� �� "��� �� ������� � �

��� : �� : �;�: �: � +�

> ���� ������ ������� ��:��7��� ,��� ��������������� �������! ��

�������& ��� ���������� �� ��������� ���������� ���� �� ����� ������+����

��)���� � )� �� 9��) �� ��������� ����& �� �������� �� ������& ���� )��� ��

����� �� �����������& ��) ���� ��� ���� ������� )� ����������� ���� ��� ��

�)������������ ������� �� ��� �&������� �� '��� �� )��� �9� ����� �������

����� �� ���������� ������� �� 9�� �������� �� ����� �������������� �� ���

�� ����� ��� ��� ��� ������ )���� ������� ��� ���� ���������� �� ��� ������

�������� ��� ������� I ����(� ��� ���� �� �)������������ ��� �������� '��

�� '��� ��� ����������� ����(� F� � )��� � ��� �������� ����(� �� ��� �����

�� ���������� ������� ��� ���� ������ �� ������ ����� ��� ����� ������ ����

�� ��� ���������� �� �(�������� �� ����� ������� � �� ���� �� ���� ������� ���

�������� ������� �� ��� �� &��� &�������� �� ��&�������

�� ������� �� ���� � )��� � ������� ���������� �� �� ��)������ ����

���������������� ��������� �� �� ��������& ��� �������

�)���� �&� ��

�� )��9 �� ��� )� ����� ��������� �� H�� ����� ������� '��==$.#/$�

�����&� � H�� 7���� >)��� �� >F4 ����� ������� >> 1<�=1�1�=2;1� ��

>�4�F ����� ������� �><//=�=.�1�==$#� �� �� ��� >����� :� ���� ���������

�����&� ���� F������ �����)����� � )� ������� ��������� �� H�� �����

������� , F�=;#.<11� �����&� ��� �����K�������� F������ :��&��� �� ��

>F4 ����� ������� >> 1<�=;�1�=1.2�

Page 18: Discontinuous Galerkin Methods for the Time-Domain Maxwell's ...

� � � � �

�� �� �� ������� �� �� �� ����� ������ ����� ����� �� ���������� ��������,4,�)*��'%��+� �,4, 0��� � 2����� 3���� <,� �%% �

+� �� ���������� �� �� �������� �� ������� �� �� �������� ���������� ��� ��������� ������ ���� ��� ������������ ��������� +� *=) 3������ �� 5 �� >�������� 1������+''-� <� ==� �..-��..��

-� �� ������� �� ���� ���� ���������� ������������ � ���!�� "������ ��� #��$������� ���� ��� %��&����� ?� 4��� 3������ �$+''�(� ��� �6-�+���

� �� �������� �� ��� �� ���� ���� ��� ��' �$������� ���� ������������ � ���!�� "��������� ��� " ()��� *+� ������ ?� 3������ /���� � �$+'' (� ��� &..���'�

&� �� ���!���� � ����� �� �� �� �������� #��$������ # ����� � ���� "������ ���" ()���,� *+� ����� �� #��-��( ����������� ?� 3������ /���� ���$+''�(� ��� -%�.'�

�� �� ������ � � .�������� �� #��$����� � #������ ���� =!!! )����� ,������ /���������$�%%'(� ��� 6��.%�

6� �� ��"���# �� �� �������� . �) .�(��� �' / �� &�� ������ ���� �� ����� �����

��� � � �� ���� 0���� �' #���������1 #����� #��- ��&����' #��������� �� *(�������� ��

����� ����� �'������ @�� *������ +'' A �� ������

.� �� �� �������� ���� *�������� ���� �� .����� �-��� � �� � ���� ��� %��'���� � �����-��

� ���� �� ���-��(� 4=,* ?� ����� ,�� � �$�%%.(� ��� �&&��6��

%� �� �� ������� �� � $�%���� �� &�� �-���� � "������ ��� #�����$ ���� � )� �� ��� ������ )��� 2����������� ������ 3������ *���� ,�� � *��� !����� ��$�%%%(� ��� -���-.��

�'� �� �� ������� �� �� �� ��"� �� &�� �-���� � "������ �� ���� ���� � *�������� 4=,*?� 4��� 3������ ��$+'''(� ��� +-&+�+-.'�

��� �� �� ������� �� �� �������� ���������� �� � "������ �� 2����������� �����3 �3����� �� �� �������� �� " ()���,� *+� ������ ?� 3������ /���� ���$+''+(� ��� ��- �

�+� �� �� ������� �� �� �������� ���������� .���� �� "������ ��� �������� �� *�������� �������� 3������ *� � !����� 4��� +''- A �� ������

�-� �� �� ������� �� �� �������� ���� ����� �� � ������������ � ���!�� "��������� ��� " ()��� *����$ ��� %��&���� /�� � )���� 2��� 4��� 0���� ,� +'' A �� ������

� � �� �� �������� ���������� .���� �� "������ �� ����� �� �� #��-�� ���� � *������� ��������1 . ��$��)� ,�� =������ ! �� /���� ���� ��� &%��+-�

�&� &� ��%%��� ������ �������� ��������� �� " ()���� *+� ����� �� ����� ����� ���������� �#������ ���� =!!! )����� ��� �� 4��� ��$�%.-(� ��� &.%� &%��

��� '� ������ (� '���"��� �� �������%�� �� � ���)�*��� �������� %�� ��' "����� ������ ����4���� ������ ������ " ()��� *+� ������ 4=,* ?� ����� ,�� � +'' A �� ������

�6� �� �� ��� ��� ������ *������ "����� �� *������� �������� ?��� @� � B 4���� =��� �%%-�

�.� ��$� ���"��� �� ��+%���� � ,#��������� �� ��$� ������ ������� �������� ����� �� �� "������� �� #��$�� ���� ���� =!!! )����� ,������ /������� ��$�%%+(� ��� -&6�-���

�%� �� �� ���� �� �� �� �������� .�����$� ���������� ������� ��� #��$������� ���������� ����� *+� ������ ,�� � ����� *���� ��$+''-(� ��� �-%��.��

+'� �� ���!����� �)��$ �� &�� .� ������ �� ��� #� ���� � �������� � %��'���� �� �� C)����� �� ,�� ������� �� 4���� 5��������C� 2�,� ,�D� �� ,����� /���� �%6&� ��� -&� %&�

+�� �� -� ����� �� �� -%�"��� #��- ����� �� .���� �� "������ ��� ��� ������ ���� �� �'-���&���� %��&����� ) �� ��$�%6+(� ��� �%%�+�&�

++� �� �� ����##����� .� ������� �� �� �� ��%%� #��-�� ���� �� *������� ������ �� �������� �� � �� ���� ����� ����� �� �� �������/����� �������� ���� %��������� 3������/���� 3���� �$�%%�(� ��� �6&��%��

+-� $� �*�")�� �������� � %��'���� ��� 3� �7���� /�� �������� ��� ,������ *��������� 4������ /������� 2=� �%-%�

+ � �� ��+%���� #��-�� ���� � *�������'� ����3 ��� ������� �������� ����� �� �� "������,���� E���� 1������ �%%&�

+&� �� ��+%��� /0��1� .�$ ���� �� #��-�� ���� � *�������'� ����1 ��� ������� �������� ����� �� �� "������ ,F��� E���� 1������ �%%.�

+�� ���� .�%����� �� �����2�� �� �� �#��%� ������ *������ "������ ��� *������� �������1.����� �5 "����) $� #������� �� �� ������� .--��� ������ =!!! /���� �%%.�

+6� � �� 3��� ������ � �������� �� ����� � 0���� �' / ��� %��&���� ��$��$��� " ()���� *+� ������ �� ������-�� "��� � =!!! )����� ,������ /������� ��$�%��(� ��� -'+�-'6�