Discontinuous Galerkin Methods for the Time-Domain Maxwell's ...
-
Upload
nguyenquynh -
Category
Documents
-
view
218 -
download
0
Transcript of Discontinuous Galerkin Methods for the Time-Domain Maxwell's ...
������������� �� ��� ������� �� ���
���������� �������� ��������
�� ����������
���� �������� �� � ���������
��������� �� ���� ����������� ����� ����������� ��� �� ����������� �� �� !�� �"����������� �� ���������� ��� "���������� ���������� �� #�� ������ �$%&%��&%�� #
'(!)!� �"�
������� ���� �������������� ������������
�� ������� �� ���� ��� ���� �� �� ������������� �������� �����
��� �� �� ���� ��� ��������� ���������� � ������ �������� ��� ��� ��
��������� �� ������ ��� ��� �� ��������� �� ���� ��� ������� ��������
������� � ��� ��� ��� � ��� ��� ���� ��� ������ �� ���� �� ����������
��� ���������� ��������!������ ��� ������ �������� ����������
�� ����������
�� ����������� ����������� �� �������� ������ �� ��� ������� ���������������
���������� �� ! ������ "#$% ��� �����& ��� ���������� '()���*� �+������
�� ��������� ���� ������ �� ������ ��� ������ �� ������ ���& ��&������ ��
��������� �����& '()���*� �+������ �� ��� ����������� ,� �������� ��� ���
����� �� ���� � �(������� �� ���������� �� ������������ ��� ����� ��
��� ��� ��-������ ��(�� �� -�� "#.� #/%�
0� ��) �� �� ���� ��)���� ���� ��� ��� � ������� �� ����� ������
������ ��&�� ��� �������� #�� ����� ������ ������� ������ ����� ������ �� ���������
��������� )� ������ ��� ���& �������� ������ ��� &��� �� ������������ ���� ����
��������� ��� ���������� �� ��� ������� �� ��� ��� ��� ��� �����&��� ��� �������
��� ���� ����� ����������� �� ����������& ��� ������ ������������� �� ��������
�� ������( &���������� ,� ������ ����� ������ �� ������ �� ���� ���� � ��
�������& ��� ����������&� �� ��� ������� � �������� ��&�� ��������& �������
�� ������� ��������& "/% �� ��&������� ����� ��������� ������� "#/� 1.%� ��
���� ���������& ��������&��� � ������� "1/� 2% �� ������� ��� �������
"13%� 4���� ������+��� �� ����������� �� ��������� �� "#.� #/%� '��� �� �����
�������� ��)���� �� ��� ����� ��������� ���� ��� ����� ���� ����������
����� ��� �� ����� ���������� ����� �� ����� ������ ����� ������� ���������
����� ��������� ����� �������������
��� �����& )��� ������( &���������� ��� �� ������ �� ��� ��� �� �����������
"##%5����� ������� ������� "1$� #2%� ����� ������� ��� �� ����� ������ ����� #��
����� ������ � ��� � ������� ������������ ��� ����� ������� ������
������� ���������
��� ��� ������ �� ������ �������& �� ��&� ���� 6' ���������� ��� ������
�����&� �� ��) ����� ������� ������ ���� ��������� ��� �� ��� ���� ��� ���
&���� �� ��� ���������� ����� ����������� ��)���� ���� �����������& �� ���
��� ������ �� ��� ���������� ��� ��&&��� ��� ��&������� ���������� ��������
������+�� �� ���� ��� ������� �� ������ ��+����� ��� ������ ��&� ���� 76'
�������& ����������� ��&������� ������� �� ��������8�� �� ����& ��� �� ����
����� ��������� )� ����&���� ��� ��� ���& ��������� ����& ���� ��) ������
��� )����&�� �� )��� � ����� ���������� ��� ��� �� ��&�������� �������
� ������� �� #�� ����� ������ ������� "#1%� ��� ���������������� ��&� ����
������������ ���� �������� ���� ������ ���������� �� ��� ��+����� �������
����� ���������� ����� ������ �� �(������� ����� �� �������� �� ���� ��� ������
�� ����� �������� �� �������� ������(��� �� ��8��
����������� ��� ���������� �� ������� ��&������� �������� ������+��� �� ����
���� ��9 �� ��� ��������� �������� )��� ���������& ����� �� ��&������� ��
����� ������� ��� �����& )���������� �������� �� &����������� ������( ���
����� �� ������ ���������� �� ����� ������������� �������5:����� �������
";% �� ������ �� ������ )�� �� �����������& ��������� �� �������� �� �����
&��� �� �������� "<� 1=� 11� 1#% �� ��� ��� )� ��� ��������& ��� ������������
�������� )��� ������� ��&������� �������� ,� ������� �� ��&������� �������
���� �� ������� ����� ������� ������+���� ��� ������ �9�� ���� ���� �� �����
�(������ ��������
,� ��� �����)��& )� ������ ������������ ������� �� ��� 9�� ���������� ������
�� �������� �� ��������� ����� �������� �� ������� ��� �� �� �������
���� ������( ��� ������ � �������� ��� �� ���� ��)���� � ������( �
��� ����� ���� &��� ��� ���� ���� ������ �� ������� ����� �� ������ �� ����
���� ��� ����� ������������ &����� ������������ ����� ��� ���������� ������� ��&�
����������� ������� �� �(������� ������ ���������� �� ��� &�������� ��
������ ������ ��������� ��&�� ���+����������� ��������� �+������ �� ��������
'� � )��� ���� ����� �(��������� ,� ��� ��� ������� )� ���� ������� &������8����
�� ���� ���� �������� �� ����)�� ��������� )���� ������ ����� ����� ������
�����
�� � �� ���� ������� � ���
>� )� �� �����������& ��� ���������������� ������ ��� �����& '()���*�
�+������� ��� �� ��&�� �� ����������& ��� ������ �������� �� ��� ������ ��� ���
�������������� '()���*� �+������
����
��? ����
��� �
���
��? ����
��� � "=� % ? @ �1!
��� ���������� )� �������� ��� �������� �� ���� ���� �������� )��� :67 ������
����� ����� ���=� �! ? ���� �! ? =� A������8���� �� ����� ����� �� ����������
��&� �������& ������� ���������� �� ����&�����)���
��� ���������� �� ��� �������� )� )���� 6+��1! � ���������� �)
x=0 x=Lx+k-1=x-
kx+
k = x-k+1
Dk
���� �� �������� �� �� �� �� �������� ����
B��
��C
�� ��!
��? = �
)����
� ?
���
��
�� � ��! ?
���
��
�� B ?
�� =
= �
��
��������� ��� ��������� �� ��9��)� ������ ��� -�( �� ��� �������� ������������
�� ���� ��) ����� ��� ��� ����� �� ��������� @ ? "=� %� �� ��&������ ����
� ������������& ��������� ��� ������& � � "���� ���% �� )��� ��� ? = ��
��� ? � � ���������� �� ��&� 1� ������������ )� ���� ��� ��� ���&�� �� ���
�������� �� ? ��� � ���� ���� ����� )� ��������� ������ ����� �����&
��� ! ? ��� C C 1
#�� �
���� ��� � "�1� 1% ���������� ������ ������� �� ���&�� #�,� ��� �� ��� D ��������� )� ���� ����� ��� ��� �������� ����� �! ? "������ �!� ������ �!%�
�� �� �(������� � ��������� �
����� �! ?
�����
������ � �!��� � ��!! ?
�����
��� ��!��� ��
�! �
)���� ��� ��������� � C 1 &��� ������ )����� ��� �*�� ������� �� ��� ��! �� ���
������� E&��&� ��������� ���� �� ����� &��� ������� �����
��� ��! ?
������� ���
�� � ���
��� � ���� ��� ��
�� ! ? ��
F���� ��� ����& ���� ������� �� �� ������ &��������� )� �(����� ��� ����
E&��&� ���������� �����&� ��� �����)��& �������
����� �! ?
�����
��� ��!��� ��
�! ?
����
G����!����! �
)���� ����! �� ��������� ���� ������ �� ��� ������ �� G����! �� ��� �(���
���� �� ���� ���������� ����� ��� ������� �� ��������� ��&�� ������ �������
����� ���! ? �� ��� ����������� ������ ��� ������ ��� � ���������� ����
���� �
���! ?���!�#�C 1
�
)���� ���! ��������� ��� ������� E�&����� ��������� "#;%� H�) ������& ���
����(
I�� ? �����! �
)���� �� �� ��� E�&����� A��� E����� +������� ������� )� ������
��� ? IG��� � I� �����! ? ����! �
)����
��� ?���� � � �
��
��� G��� ?
�G��� � G���
���
�� ������ ������ �� ���� �� ���� ���� ��
����! ? "������!� � �����
�!%� � ����! ? "�����!� � �� ��
�!%� �
������ ��������� ��� ����� �� ���� E&��&� ���������� �� ��������� ����
��������� ������ � ���
,� ���� ������� ��� ����( I� ���� ������ ���� � ��� ������������ ���)���
���� ����� ��� � �� ���� ���������� G��� � � )��� � )� �� )���� �� �����
��� E&��&� ����������� ,� ���� �������������� ���� ���� �� ���� � �
������������ ���������� )� �� ����& ����� ��)���� � )� ���� ��� �������� ���
���&� �� ���� ������ �� ��� �� &������8�� �� ��&��� ���������� �� &�����
������������� �� &��� �������
� ���� � ��� ������������� ������� ��� �� ��) ��+���� ��� ���� �������� �����
��� ����� )��� ��� �� ����������� ���� 6+��1!� ������ �� ��� �����)��& )�
� � "=� � � % J ��
��
B������
C�� ���� !
��
���� ��! �� ? =
��� �� �� ����&��8�� � A���9�� ������� ����� �� ��� ���� ������� �����
,���&����� �� ���� ���� ������
��
��
B������
��� ��!� G� � � ���� !������
��� ? �
� ��
��
G� � � ���� !��� ��! �� �
)���� ��� �� ����&��8� � ��� )�9 A���9�� ����� ���� G� ��������� � ���)��
�������& ����� ����� )����� �� ���� �������������� ���� ������ �9�� ��� ����
�� �1 � ��� �� ���� ������������
� �������� ��� ������� )� ���� ����&��8� ��� �)� ���&������& �������� )���
���� ������ ��� ��� ������ ��&�� ��� ? ����� � ��� ��&� 1� ���� � ���� ����� )�
)��� �� �)� ��������� �� )� ���� ������ )���� ���� �� ���������� �� ��� �)��
�� ��� �������� ��� ���� )� ���� ��� �������� -�(� � ��
G� � � � ? G� � � ����� ��! �
)���� �� ������ �� ��� ���� �������� �� �� ��� �������� �� ��� ���&������& ���
������� ���� �� ����� �������� ������� �� ���� �������� �� )� ������ �� ����
����� �������� ,� �� �������� �� �������� ��� ��������� �� ���� ������ � �� �� ���
�������� -�( )���� �� ����������� ��� ��������& �� ���� �������)��� �������� ��
��� &���� ���������
���� ��� �������� -�( ���������� �� ��� ��&�� ��� ���� �� ������� ��� ����
������ )� �� ����&����� �� ���� ���� ���� �� ����� ��� ��� ����
��
��
B������
C�� ���� !
��
���� ��! �� ?
� ��
��
G� � �� ���!� � ����� ��! �� �#!
� �������� ������ �������� ����� ��� B��!� ����� ��� ������ ���������� ��
�� �9�� �� �� ������� �� ��� ������� �� ��� �� �����
'���� ?
��
��
��� ���!��� ��
�!��� ?��
#
�
��
��� !��� !� �
��� ?
��
��
��� ���!
���
����� ?
�
��
��� !���
� � �
� ��� �������������� ��� ����( �� �������� ����(� H��� �� �������� ���
��� �� ��� �����&� ��� ������� �� ��� ��� ��� �� �������� �� �� �����&
�������� ����� ���� ��� ���� ������ �� �������
K���& ��� ������������ ����(� I� ���������� ��� )� ���������� �����
'�� ? I��
��I�� � � ?
I�
����I�� � ��� ?
�
��
��� !��� � !� �
)���� ��� ����� ����&��� �� �� �������� �� +������� �� �� ����& ���������� ��
��� �����&��� �����������
0����� )�����& ��)� ��� ��� ������� ��� �� ������� ������� �� ��� ��������
-�(� � �� >� ���� -�( �� ����������� ��� ��������& ��� ���� ��������� ���� &����
��������� ����� ������� �� ������ ���������
4�� ����� ��������� �� ��� ��� ��������& ������ ���� �� ����������� ���� ���
�(�� �������� ���� ������ ��� ������ )��� ������& ��� &���� > ������ ������ -�(
)���� ������ ����� �����
G� � � ����� ��! ?1
#
�� ���! C � ���!
�
�� ���&� �� ���� ������ �� ��� ���������� �� ����&� ����������� ��)����
��� &����� ����������������! �������� � ��)��� -�( �� ��������� � ����� ����
�������� -�( ��� �9�� ���&� �� ��� ��� ��� '()���*� �+������ ����&���
)�� ����� ��� � �� ������ ��� �� �)�� ��������� )���� )� ����������
�� ����&���& �� ����������& ������������ ������� ��� ������
G� � � � ?1
#
�����G� �����C ����� !
����G� �� ���C ����� ! � �;!
)���� ���� ? ����� ��������� ��� ���� L��� �� �������� ��� �� ��� ? ��C���
�� ������ �������� �� ��� ������� �� &��� ��
�� ?
���
��� � � ?
��
����
��������� ��� ���� �������� �� ���������� )��� ��� ��&� ����
� ?�� C ��
#� � ?
� � C � �
#
7�������& 6+��#! )��� ��� ��)��� -�(� 6+��;!� �� ��� ��������� �� ��� ����(
�������� ��� ������ ��� ���� ������������� ������
����
#'�� ��
��
��C ���
� ? �
�1
�
�������
� �� � ���� ��
����
C �
�1
�
������
� �� � ���� ��
����
� �.!
����
#'�� ��
��
��C ���
� ? �
�1
�
��� ����
� �� � ���� ��
����
C �
�1
�
�� ����
� �� � ���� ��
����
�/!
���� ���� ���
� ! �� ��� ������ �� ������ ��9��)� ����� �� ������� � �� � ��
HC1 ���& �*�� ���� ������ >��� " � %� ������ �� ������� �� )�� �� ������ ������9�� � � ? ��
����� '�� �� �������� ����� �� �� �� ������� ��������� �9��& ��� �������������
������ ����� �(������� ������������ ��� ������������� ����� �� ��� ���������� ��
������� ������� �������� �� ������ ��&� ���� ��������� �� ��� ���� ��� ��
��������� �� �� ��� � ������ ����(������ ��� �� ��� ��� �� ��� ���������
����(�����(! ��������� )���� �� ���� ����&�����)�� �� ��������� �� �����
��&� �����������
6+������ �.!��/! ���������� ��� ���� ������ � �� �������� ������� ����������
>� ��� ������� ����� ���������� ��� ������ ������
��� ? ���
� � ��� ? ��
� �
�� ��9�)��� � ��� ��&�� ���� ����� ��� �� �������& ��� �������� ���������� ��
������ ������ ����������
������� &���& ���� ������� ��� �� ���� ��� �����)��& ����� ������� ��� ���
��� ������ "11%
���!� �� ��! ��
�� ��=!� �� �=! � C �
� ��
�����(������ �
���! � �2!
���� � �� ��� &���� ����&� ����� � � �� ��� ����&� ���� �� ��� ���� �������������� ������ ����!� �� � ? �(���� C 1!� )���� � �� �(���� ������� ���&���
���
��� �� ��� ��������� �� �� ������� ����� � � �� ������� ��� ��&� ���� �� �� )��� ��������&����� ������������ ��� ����� �� &��) � ���� ������� �� ���� ��
��� &��)�� ��� ����� ������ )��� ��������& ������
��� ��&���&��� ��� ���&�� �� ���� ������ )��� &����� ����� ��������� � � ��
&����� ���&�� � �� )��� ��� ���) ����� ���������� �� ����� �9��& �� ������
������ ��� ���& ���� ����&����� ���������
�� ������������� ������� 6+���.!��/!� �� �� )������ ����������� �
�����
?��� � �! �
����� �� �� ������ ������ �� ������� ���������� �+������� ���� �� �� �����
����& ����� �� �������� �������� )��� ������ ������ ����& ������ .��
����� �(������ F��&��D��� ������
�� ?��� ��!� �!
�� ?��� ��! C =/M���� �C =/M�!
� ?��� ��! C =/M���� �C =/M�!
� ?��� ��! C M��� �CM�!
�� ��CM�! ? �� ��! CM�
2��� C #�� C #� C�!
> ��&����� �(�������� ��� ��� ����� ���� ����� M�� �� ��� 9��)�� ��� &��� �������
��
M� � 7�E����
�����M�� ? 7�E���
�
�������M �
)��� 7�E ����& �� ��1! �� ���M � �����
� ��������� ��� ���������� �� ��� ��� ������� ��� �� �������� ��� ������
���� ��� �� ������� ����� � � "�1� 1%� ����� )��� �)� �������� ����&������������� �� ������ �������� �� ������ �� �� � � ? = �� ��� �)� �������
�� �� ? 1= �� �� ? ##/ ������������ �� �(�� �������� �� )��� 9��)� "/%�
K
||q-q
N||
100 101 102 10310-10
10-8
10-6
10-4
10-2
100
N=1
N=2
N=3
N=4
K-5
t
||q-q
N||
10-1 100 101 10210-8
10-7
10-6
10-5
10-4
10-3
10-2
10-1
100
N=1
N=2
N=3
N=4
���� �� �� �� �� �� ����� �� � ��� ���� �� ��� ��� � � � ��� �� ����������� ������ ���� � �� � ����� � ����� ��� ���� � ��� ��� �� ������ �� �� �� ����� �� ������� �������� �� �� ���� ���� � � � ����� ��������� ���� �������
,� ��&� # )� ��������� ��� ������ �� ��� �������� �������� � � ? 1� ��������&
��� ������� �� ��� ����� ������� &��� �� 6+��2� ����� ���� � �? ���� ��������&
��� &��� ��8�! �� � ���������& ��� ���� ��������� �����! �����&���� �� �������
,� ��&� # )� ��� ��������� ��� ��� ������� ���������� �� ������ ��� ����� ��
�������� )��� ��� ��� �������
��� �� ��&&���� ��� ����� ������� �� )��� ������ ��� ��������� )����
� ��&�������� �� ��&� ������ ��&� �� �������� �� ��+�����
� E��& ���� ����&����� �� ������
� 6���������� ��&� ��������� ��+�����& ������ ������ ��� )����&�� �� ����� �������� �������
���� �� ������ �� ���������� �� ������� �� �������� �� ��� ������ ��� ����
�������& ������� ��� ��� ������� ��������&� ���������
������������ � )� ���� ������� �� ��� �����)��&� ��� ������ �������� ��� ���
��� ������ �������������� ������� &������8�� )��� ������ ���&�� �� ��������
��+�����& ���������������� ����� ������������ &���� �� ��� ������(� ��������
&����������
�� �� ����� �� ��� ��� ������
���� ��� ������� �������� �� ��� �������������� ������ ���� ��� �(�������
�� �)�� ��� ������ ! ���������� �������� �� �������� ����&�� ���)��� ,� ���
�����)��& )� ���� ��&���&�� ��� &����� ������ �� ��� ��� ����������� �� �����
�����������
��� ����������� )� �������� ��� �)������������ ���� �� '()���*� �+������� ��&��
���
��?
���
� � �$!
����
��? ����
���
����
��?
��
� � ���
���
9��)� � ��� 6 ����� �� ��� ���� �� ����� ������ �� �����������& ��� ��� ��!
)��� ��� ������! �� �(���&� � �� �� ��� ������ ��� ' �����
,� ���� ���� )� ��
G�� ���� ? G�� �� �� ? = �
����� ��&����� ����������� � �� ���������� ���������� >� :67 �������
G��� ? G� �� ? =
,� ���� ����� G� ���������� � ���)�� �������& ����� ������
���� ��� ����� ������
�� 9�� ��������� ���)��� ��� �������������� �� ��� ��������������� ������
�� ��� ��� ����� �� �� ���) ��� ��� �������& �� �������� �� &����������� ����
���( ������&�� ����� �� ���� ��� ���� �� �������� ������ ����������������������
�(�������� �� ��� �������������� �������
� ������ ���� &�������� -�(�������� )� ����� ��� ��� ���������� ������ @�
�� �� ����� �� ���� ������ �������� ��� ��&�� ����&��� �� +����������� ��
���� ����������� ����� ��� ���� ������������� &��� �� ��������� �� &�������
�� ������ ���������& )�� ����� �������� �� ������ �� �� ��&�� ��&��� )���
������5������� ����������
�����)��& ��� �������������� ������� �� �� ���� ��� )��� ��� ���� ��������
��� )� ������ ���9 � �����&��� ��������� ����� ����!� � )��� � ��� �� &���
������� ��� � ��� ��� ��� +���������� ��� ����� ������ ��� �������������
��������� �(������� �� ��� �������������� ���� E�� �� ��������� ����� �� ���
��� �� ����&��� )���� ��� �� ��� ��� �������� ��� �� ��� &�������� -�(��������
����������� �� �����8��& �(�����& ����� �������5����� ����� &��� &�������� ����)���
�� ��� �� �(������& ����� �����&����
�� ������ �� &��� ������ ������ ��� ����&�� ��
� ?��C 1!��C #!
#�
)���� ��� ������� ��� ������ �� ���� ��9��)��� ���� � �� ��� ����� �� ��� ����
��������� ����(������� �� +������� )� ���� ������ �� )���� �� ��� �����
&��� ������� ��&�� ����� �� �� ������ �(������� �� ��� �������������� ����
>� ��� ��� ��� ���������� ��� )� ���� ����� ��� �(������� �� �����&
)���� ��� ��� ������ ��&�� �&�� ����&��� � J �� � �! � "�1� 1%N C � � =�� ��
n=2
N22=6
n=6
N26=28
n=2
N22=6
n=10
N210=66
���� �� !"��� � �� ��� ������������ �� �� ������ ��� �#��� ����� �� �� �����"��������� ��
� ���� �� ���� ����� �� ��� �������
��� �������� ����&��� ��� >������& ��� ���������� ��� �� �� ����&�������� ����
�����& �� ������ &��� �
��� � �! ? � C �
# �� C
1 C
# �� C
1 C �
# � � �3!
)���� �� ��������� ��� ; ������� �� �� �� � � �! � � �� ��� ���������� �� ���
������ ����&�� )���� �� � ��� ���� ���� ������ ��� )� �� ������� ���
������ �� ��� �����&� ������ ��� ��������& �������� � )� ���� ��� ��������
� )��� � ��� ������������ ������� >� �������� ��������� �� �9� �� ���
��� ������������ ������� ! � �� ������� ��� �� ����&������� ����&��� ���
�� ������ �� �� &��� �� "<� 1=% �� �� ���������� &������8���� �� ��� ����
���������� ����
�� ������ �� ��� ���� ������������� ������ ��� ����&�� �� ������� ���� �����
���� �������� �� ���� �������������� ���)��& ��� ��� ������������ �� )��� �����
���+�� E&��&� ���������� �� �� ����� 1<� �� �� ����� �� "3%� ���� �� �(����
� &��� ������ �� ����&�� ��� ������������ ��� ����� ���& ��� ��&�� �� ��� ���
���������� E�&����� A��� E����� ������� ��� ���� �� ���� #� > ��) �(�����
�� ��) ��� &��� ����� ������������� ���9 ��9� �� ���)� �� ��&� ;�
>� ���������� ���� �� ��� ����&�� �� &��� � "#=%
O"���! ? � ���� ��
#� C 1!
�1� �!� 1
�1� �
#
���
� �������� �� ��! �
� ? #� C �#� � #�
#��1 C #�! C 1 �
$� ?
#
##� C 1
�1
#� C #� C 1
��
"���! ?O"���!�$�
�<!
����� ��! ���������� ��� ������� ����� ��������� �� ����� � "#;%� ��&�� �
���� ��!
�� ��� E�&����� ��������� ��� ���� �� ��� ��� ���������� ����
��� �� ���� ��� ����������� ��)���� ����� �� ������ )�� �� ����
�����&5������& ����� ���������� �� ����)�� ��� ����& �� �� �� ����� ����
������ ������� ���� ���� /!�
���� ����� �� �������� ��������� ����� ��� �� �������� ������� � )��� �
��� ������������ ����( I� �� �� ������ �� &������� �(���� � �� ��� ����
���������� ��� ��������� �� ��� ����
���� ��� ������
���� ��� ���� �������)��� �������� �� ����� )� �� �������� ��� ����������
�� ��� &���� ������� >� �� ��� ��� ���������� ���� )� )����� ��� �����������
'()���*� �+������ �
B��
��C� � � ��! ? = �
)���� B ��������� ��� �������� � ��� ;������ �� ����� �� � ��! ��� -�(� ��
������� ��������� �� ����� ������� �� )���� �����8���� �� ����������� ����� ��� ���
6 ���� )� ��
B ?
�� � = =
= � =
= = �
�� � � ?
�� �
��
��
�� � � ��! ?
�� = ���
�� =
�� ��
��
6(���� � �� ��� ��� ���������� ��� )� ���� ��+���� ��� ��� ��������� ��
���(������
��� ��� �! ?
�����
������ � �!�� ��
�! �
������� ��� �+����� �
�� J
�
�
B������
C � � � ��
��� ��
�! ��� ?
����
�� ��
�!G� ��� �
� � � �����
�1=!
���������& ��� �������� -�(� G� � � �� �����)� �(���� ��� ��� ����� � �� ��� ����
���������� ���� ����� ������ -�( �� ������� �������� ���� ��� ��&� �� ���
�)� -�(�� )���� ��� ��)��� -�( �� �� ������ ���� ��� &����� ����������������
�(��������
G� � "� � � �% ?
������ �������� C �� ���� !
����� �� ����� C �� ���� ! �11!
��� ����� �� )���� ��)� ��� ���� �)������������ ������ ��� 6 ������ �
��!�'�� ���
��� ����
� ? �
�G��
�
������� �� C ��� ��
��� �1#!
��!�'�� ����
��C ��
�� ? �
�G�
�
�����
� �� � ��� ����
�
��!�'�� ����
��� ���
� C ���� ? �
�1
�
� ���� �� C ���
� ����
���� ��� ��
�� ���
� ! ��������� ��� � ����& ������ �� ��9��)�� �� ��� �������
�� �� )� �� ������ �� ? G� � � � ��� ��&����� ��������� �� � ���&
��� ������� �� ��� �������� ������������ ���� ��! ��������� ��� ���� ������
�������� �� !� ���������� ��� ���� ������������ ������� �������� ����
6+��3!�
'��� �� )�� ������ �� ��� ��� �������� �(���� ���� ��� ��������������
���� ��&�� '�� ���������� ��� ���� ��� ����( ����������� �������� ���� IN ���
�������� ������� � �� �� �� &��� �
'�� ? I��
��I��
�� ? I�
�����I�� � ��
�� ?
�
�
����!�����!
�� �� �
�� ? I�
�����I�� � ��
�� ?
��
����!�����!
����� �
)���� � ? � � �! �� ��� ���� ���������� �� ��� ��������� �������� K���& ��� ����
���� ���� ������ ������
� ? %��
��C %�
��
��� �� ? %�
�
� C %�
��
� �
)���� ��� ����( ��������� �� ������� �������� ���� ��� �����& &��� ��
6+��3!�
�� ��� ��������� ���)��� 6+���.!��/! �� 6+��1#! �� ����� �� ��� ����( �
)���� �� ��� ����� ���������� ����(������ �� ��� ������ ����&���
����
�� ��
�!G� ��� �
� � � ����� ?
����
�� ��
�!&��! �� �
)���� &��! �� ���� ���������� ��� ����������� ��� ������ ���9� ���� ; ��&�
����&��� �� ? 1� #� ;! �� ��� ����
����
�
�� ��
�!&��! �� ?
����
�
��� ���!
����
&���!��� ��
�! �� �
)���� ��� ��! �� ��� �������������� E&��&� ��������� ���� �� ��� &��� ������
���& ��� ��&� �� �����
'���� ?
����
�
��� ���!��� ��
�! �� �
�� ������ ��� �������������� ��� ����(� H��� ��� ��� �)������������ E�
&��&� ���������� �� ��
�!� ���������� �� ��� �������������� ��&� ������� ���
������ �������������� E&��&� ���������� ��� ���!� ��� �� ���+������ �� ���
����������� ,� )� ��) ����� ��� F� �� � �� C 1! � � ����������� ������� ���
−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
−1
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
���� �� �� �� �� �� ����� ���� ��� ��� $%&' ����( �� �� �� � �� ���)* ��������� �� � �� � +'� ��� �� �� ���� , �������� �� � �� ����� �� �� ������ )������������� ����� �� ������� ���� �������� � ��� ������� ����������
�(����� ��� ��C1! ����� ���& ��&� �� ���� ��� ��&� ����&�� ���& ��&� � �� &���
�
����
�
�� ��
�!&��! �� ? ��F�� '
��F�� �
)���� �� �� ��� ������ �������� )��� �����& ��� ��&� ���&�� �� ��� ������
������ "�1� 1%� �� �������� ������� ��&� ������� ���� �������
� ?��
��F�� '
��F�
7����� ��� ���������� �� ���� �� �� �������� ������ ��� ��� ������ �������
���� )��� ��� &������� )��&����
�� ������������� ���� �� ��� �+������� 6+� 1#� �� �� ����� �� ���� ����&
��� .�� ����� F��&��D��� ��������� �� ��� ��� )��� ��������� �����& ��9�
M� � 7�E����
�����
�
���
)���� � �� ��� ������� ��&� ���&�� �� ��� ��������
���� � �� !��"��#
,� ��� �����)��& )� ���� ���� ��) �(����� �� �)�� �� ����������������
������ �� ������� ���� �� �� ������� �� ��������� �� ��� ������� '��
����� �(������ ��������& ��� �������9� �� ��� ��&� ���� ���������� ��
�� ����� �� "11� 1#� 1.%�
>� ����� �� ������ �(����� )� �������� ���� )� ' ��������& ��
�� ? #=' ������� ��������� >� ������ � ��� ��� ��� �� ���)� ��� ������&�
t
||Ez (t
)||
0 1 2 3 410-5
10-4
10-3
10-2
10-1
100
n=3
n=5
n=7
���� � )� ���� �� � ��� � �� ��� )* ��������� �� � �� � +'� ��� �� �� ��� ��� �������� �� ��� ��� ��������� ��� ������
������� �����&� ��� �(�� ��������� �� ��� </= �������� �� � ��&������� ����
������� ��������� "$%� �� &��� � )��� � ������� �� �� �� ���)� �� ��&� .�
� ������ ��� ������ �� ��� �������� )� ������� ��� ����� �� �� � ��������
�� ���� ��� ��������& ����������� �� ������� �� ���)� �� ��&� /� ��� /�� �����
���������� � ? / ����� �� 3�1= ������ ��� )����&��� �� ������� ������
�(�������� �����&���� � �(������� ��� �� ��� ��������� �� ��� �(�������
���������� �� ��� ��&� ����� ���� ������� ���������� )���� �� ���������� ������
)��� ����) ��� ����(������ ������
>� ���&�� ���� ������&��&� �����&� ����� �)������������� ���� ��� )� ��������
���� )� ' ��������& �� *:���* ����� ������� ��������� �� &���� ����
�����& ����(������ ;3== ��������� �� ������� ��� �� ��������� �� ���)� ��
��&� 2� � ������� ����������� ����� )� ��� �� ���� ��� ��������� ������
���� "#/%� �� ��������� ��� ��� �� �������� ��� ����� �� ����� �� )�� �
����������
��� ��������& ������� ���� ��� �� 9��)� �(�� ��������� � �������
��� ������ �� ��� �������� ������ )� �������� ��� �����&���� �� ��� �������
��� ����� ������� �F7�!� ,� ��&� $ )� ���) ��� �������� F7� ������� ����& ;
�������� ������ �� ����(������� ������ ��&&�����& �����&����� ��� �(���� ���
���� ���������� ��� ������ �� ���� &����� �������� ��� ��� ��&���&��� ��� ����
-�(������� ��� �� �� ����& ��&� ����� ������� �� &����� &���� ������� ���&
�� ���� ��� ����������� &���� ���� ��������& ������� ��� &����� &����������
��� �� ����� ��+����� �� ��������� �� ��������& ������ �� ������ �����& ���
���� ����� �� ����(������� ��� ��� ��� �� �����&�� ������ �� ��� �� ���
��&������ ���&�� �� -�(���� ������� ������ � �� �������� ��� ��&������
������������ �������� )��� &��� &��������� ������������ ��&� ����� ��������
�� ����� �� �� ��&�������� ���� ������ �� �������� )��� �� ����� �����
>� ��� �(����� )� �������� ��� ���������� �� ��&�����+������� �� "�1� 1%:67 �� ����� ����� �� ���������� �� ���� �� �������� ���& ������� �����
)���� �(���� ������ ������� ���+�������� 0� ����& ������� �������� �� ����
���� � �� �� �� �� ����� ���� ��� ��� $-.'' ����( �� �� �� � �� ���)* ��������� �� � /����� ���� ��� �� �� ���� , �������� �� � �� ����� �� �� ������ ,/���� � *���� 0��� $/*0( �� �� �� ������� �� ������������ ������
���� ��� �� ���� ������� ��� ������� ������ ,� ���� ������ ���� ��� �������
���+������� �� &��� �
( ? '�
�� C �� C ��N�C �C � � #
�� ���� ��� ������� �� �����& ��� ���� )��� #32 ��������� ��� �� .�� ������ ��
���� ��� ������ ���������� ��� #/= ��������� �������� �� ������� �� ���)�
�� ��&� 3�
�� ������� �� ��&� 3 ��� ���� ������� ��� ��� ������� ��&�����+������� ��
���������� ��� ��� ��&&���� ��� � ���� ���+������� �� ( � #= �� )��� ��������
��� ���������� �� )� ������� ���)��� 2 �� $� ���� ������� � 2/ ���������� ��&� �� / &���� ������ ��� ��&�� ���� ����������� �� .�/ ������ ��� )����&���
������ �����������& ��� �(������� ���������� �� ��&� ����� ������ ��� )����
����& ����� &����
$� ���% � �� ������ ��� & � ����'������
�� ���� ����� �(������� �� ��� ������� ���������� ��� �� �� ������� ����
���������������� '()���*� �+������� >� )� �� ���� �� ��� ��� �(���� ��
��� ������� ������� ���� �� �������� ��������� ,� ���� &���& ���� �)�� �� ������
���������� ���������� ������& ��) ���� ��� �)������������ ��� ��������� �� ���
��� �� ��� ��� �������� 4��� ��� ����� "<% �� ��� �����&��� ���������� ��
���������� �� ��� �������� �� ������ �� ��� ������ ���������� �� ������
���������� -�( �� ����� &��� �� 6+� �11!� �� ���� ��) ��������� �� ��� ���
� ����( ��) ���� ���������� �� ������ �� ��� ���� ����&��� �� ������ ��
��) �� �� ���� � )��� � �������� �(������ ������� ������ �� ��������������
���� ������� �� �(����� �� ������ ���������� �� ��������� �� "11� 1#%�
θ
RCS(db)
030
6090
120150
180-20
-10 0 10 20 30 40
������
1����
���234$�(������
���/���
��
����
���
���� ��
�
��5���
��
3���������
�������
�-��&�����
6��
���
�����"
������
����
��� ��
� ���
��
���
��� �
������
���������
���
�������
��������A���9
�������������������������������� ��������
������
��������&��������
���������������������&������������
�������
)�������������
��&���������&��&�����
����������
���������
����������
��
�����������&����������
��������)����������(�������������&����
���������"1#%���������&����������&��������
����".%�
,���������
����
��������&������������
���
>����������
������
�����������������
���&���������&)�����)���
�����
���������&������.�������F��&��D
���
���������)����������������
���������������������������&
�������������������
���&������
������"#%�
4�������������(�������������)���
������������&�������(���������
������
�������"1%�)������)
����&��������"1<%�
����
�����&�������������
�����������������������&�������������
'()���*�
�+��������������������)������������������������������
����������������
���+���������������������
��������&������������
��
B������
���������������
������
����������
��"1;�12%����������&���������
������
������
����������)��������������
&����������
��������A���9
��
��������������&'()���*�
�+���������������+
������������������
(���������������% ������������
,�������
������������������������
��������
�������������������
������
�����������������������������
��������A���9
�����������������&���
����������'()���*�
�+�������>�)�������
������
���������������
������)����
�����������
������������
�����
����&�����)��������
����&��
�&�����
��)����
��-�(����������
������������������
'����������(�����������������������������������
�����������
����
�����
�������������������� ���������������(���������������
����������� ����&����
��������(�����
���(�������������������
����������������������������������&������������������&���������
ω0 5 10 15 20
10-8
10-7
10-6
10-5
10-4
���� �� !�����7����� �� � 8�� �9� /!3 ������� ������ �� �� 5����� ��������� �� ���� ���� �� &'' ������ +.� �� ��� �� � ���������� ������� ��� ��� ��� )� �� � �� ������� �� ������ ������� ��� �� ������ ��� ��� ������� �� "��� �� ������� � �
��� : �� : �;�: �: � +�
> ���� ������ ������� ��:��7��� ,��� ��������������� �������! ��
�������& ��� ���������� �� ��������� ���������� ���� �� ����� ������+����
��)���� � )� �� 9��) �� ��������� ����& �� �������� �� ������& ���� )��� ��
����� �� �����������& ��) ���� ��� ���� ������� )� ����������� ���� ��� ��
�)������������ ������� �� ��� �&������� �� '��� �� )��� �9� ����� �������
����� �� ���������� ������� �� 9�� �������� �� ����� �������������� �� ���
�� ����� ��� ��� ��� ������ )���� ������� ��� ���� ���������� �� ��� ������
�������� ��� ������� I ����(� ��� ���� �� �)������������ ��� �������� '��
�� '��� ��� ����������� ����(� F� � )��� � ��� �������� ����(� �� ��� �����
�� ���������� ������� ��� ���� ������ �� ������ ����� ��� ����� ������ ����
�� ��� ���������� �� �(�������� �� ����� ������� � �� ���� �� ���� ������� ���
�������� ������� �� ��� �� &��� &�������� �� ��&�������
�� ������� �� ���� � )��� � ������� ���������� �� �� ��)������ ����
���������������� ��������� �� �� ��������& ��� �������
�)���� �&� ��
�� )��9 �� ��� )� ����� ��������� �� H�� ����� ������� '��==$.#/$�
�����&� � H�� 7���� >)��� �� >F4 ����� ������� >> 1<�=1�1�=2;1� ��
>�4�F ����� ������� �><//=�=.�1�==$#� �� �� ��� >����� :� ���� ���������
�����&� ���� F������ �����)����� � )� ������� ��������� �� H�� �����
������� , F�=;#.<11� �����&� ��� �����K�������� F������ :��&��� �� ��
>F4 ����� ������� >> 1<�=;�1�=1.2�
� � � � �
�� �� �� ������� �� �� �� ����� ������ ����� ����� �� ���������� ��������,4,�)*��'%��+� �,4, 0��� � 2����� 3���� <,� �%% �
+� �� ���������� �� �� �������� �� ������� �� �� �������� ���������� ��� ��������� ������ ���� ��� ������������ ��������� +� *=) 3������ �� 5 �� >�������� 1������+''-� <� ==� �..-��..��
-� �� ������� �� ���� ���� ���������� ������������ � ���!�� "������ ��� #��$������� ���� ��� %��&����� ?� 4��� 3������ �$+''�(� ��� �6-�+���
� �� �������� �� ��� �� ���� ���� ��� ��' �$������� ���� ������������ � ���!�� "��������� ��� " ()��� *+� ������ ?� 3������ /���� � �$+'' (� ��� &..���'�
&� �� ���!���� � ����� �� �� �� �������� #��$������ # ����� � ���� "������ ���" ()���,� *+� ����� �� #��-��( ����������� ?� 3������ /���� ���$+''�(� ��� -%�.'�
�� �� ������ � � .�������� �� #��$����� � #������ ���� =!!! )����� ,������ /���������$�%%'(� ��� 6��.%�
6� �� ��"���# �� �� �������� . �) .�(��� �' / �� &�� ������ ���� �� ����� �����
��� � � �� ���� 0���� �' #���������1 #����� #��- ��&����' #��������� �� *(�������� ��
����� ����� �'������ @�� *������ +'' A �� ������
.� �� �� �������� ���� *�������� ���� �� .����� �-��� � �� � ���� ��� %��'���� � �����-��
� ���� �� ���-��(� 4=,* ?� ����� ,�� � �$�%%.(� ��� �&&��6��
%� �� �� ������� �� � $�%���� �� &�� �-���� � "������ ��� #�����$ ���� � )� �� ��� ������ )��� 2����������� ������ 3������ *���� ,�� � *��� !����� ��$�%%%(� ��� -���-.��
�'� �� �� ������� �� �� �� ��"� �� &�� �-���� � "������ �� ���� ���� � *�������� 4=,*?� 4��� 3������ ��$+'''(� ��� +-&+�+-.'�
��� �� �� ������� �� �� �������� ���������� �� � "������ �� 2����������� �����3 �3����� �� �� �������� �� " ()���,� *+� ������ ?� 3������ /���� ���$+''+(� ��� ��- �
�+� �� �� ������� �� �� �������� ���������� .���� �� "������ ��� �������� �� *�������� �������� 3������ *� � !����� 4��� +''- A �� ������
�-� �� �� ������� �� �� �������� ���� ����� �� � ������������ � ���!�� "��������� ��� " ()��� *����$ ��� %��&���� /�� � )���� 2��� 4��� 0���� ,� +'' A �� ������
� � �� �� �������� ���������� .���� �� "������ �� ����� �� �� #��-�� ���� � *������� ��������1 . ��$��)� ,�� =������ ! �� /���� ���� ��� &%��+-�
�&� &� ��%%��� ������ �������� ��������� �� " ()���� *+� ����� �� ����� ����� ���������� �#������ ���� =!!! )����� ��� �� 4��� ��$�%.-(� ��� &.%� &%��
��� '� ������ (� '���"��� �� �������%�� �� � ���)�*��� �������� %�� ��' "����� ������ ����4���� ������ ������ " ()��� *+� ������ 4=,* ?� ����� ,�� � +'' A �� ������
�6� �� �� ��� ��� ������ *������ "����� �� *������� �������� ?��� @� � B 4���� =��� �%%-�
�.� ��$� ���"��� �� ��+%���� � ,#��������� �� ��$� ������ ������� �������� ����� �� �� "������� �� #��$�� ���� ���� =!!! )����� ,������ /������� ��$�%%+(� ��� -&6�-���
�%� �� �� ���� �� �� �� �������� .�����$� ���������� ������� ��� #��$������� ���������� ����� *+� ������ ,�� � ����� *���� ��$+''-(� ��� �-%��.��
+'� �� ���!����� �)��$ �� &�� .� ������ �� ��� #� ���� � �������� � %��'���� �� �� C)����� �� ,�� ������� �� 4���� 5��������C� 2�,� ,�D� �� ,����� /���� �%6&� ��� -&� %&�
+�� �� -� ����� �� �� -%�"��� #��- ����� �� .���� �� "������ ��� ��� ������ ���� �� �'-���&���� %��&����� ) �� ��$�%6+(� ��� �%%�+�&�
++� �� �� ����##����� .� ������� �� �� �� ��%%� #��-�� ���� �� *������� ������ �� �������� �� � �� ���� ����� ����� �� �� �������/����� �������� ���� %��������� 3������/���� 3���� �$�%%�(� ��� �6&��%��
+-� $� �*�")�� �������� � %��'���� ��� 3� �7���� /�� �������� ��� ,������ *��������� 4������ /������� 2=� �%-%�
+ � �� ��+%���� #��-�� ���� � *�������'� ����3 ��� ������� �������� ����� �� �� "������,���� E���� 1������ �%%&�
+&� �� ��+%��� /0��1� .�$ ���� �� #��-�� ���� � *�������'� ����1 ��� ������� �������� ����� �� �� "������ ,F��� E���� 1������ �%%.�
+�� ���� .�%����� �� �����2�� �� �� �#��%� ������ *������ "������ ��� *������� �������1.����� �5 "����) $� #������� �� �� ������� .--��� ������ =!!! /���� �%%.�
+6� � �� 3��� ������ � �������� �� ����� � 0���� �' / ��� %��&���� ��$��$��� " ()���� *+� ������ �� ������-�� "��� � =!!! )����� ,������ /������� ��$�%��(� ��� -'+�-'6�